logo

Bir jinslimas g’ovak muhitlarda anomal modda ko’chishi masalasini sonli tadqiq etish

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1191.373046875 KB
MAVZU:  BIR JINSLIMAS  G’OVAK MUHITLARDA ANOMAL
MODDA KO’CHISHI MASALASINI SONLI TADQIQ ETISH
MUNDARIJA
KIRISH ……………… ……………………………………………….…   3
I BOB. Bir jinslimas g’ovak muhitda anomal modda ko’chishi va 
uning matematik modellari
1.1.  G'ovakli muhitda moddalarning anomal ko’chish jarayonlarini 
modellashtirish  …………………………………………………………… 6
1.2.  Birjinslimas g'ovak muhitda moddalarni anomal ko’chishining 
matematik modellari  ……………………………………………...…...… 11
1.3.   G'ovakli muhitda moddalarni anomal ko’chishda kasir hosilalar va ularni 
hisoblash. ………..………………………………….………………...…. 20
II BOB. G’ovak muhitda a nomal modda ko’chishida kasir hosilalar va 
ularni hisoblash.
2.1 Kasrli diffuziya tenglamasi………...……………………………… 30
2.2  Grunvald-Letnikov usuli ……………………………..………..…..… 31
2.3  Riman – Liuvilla usuli ……………………………………………….. 
34
III BOB. Ikki sohali birjinislimas muhitlarda modda ko’chishi  
3.1  Har xil xususiyatlarga ega bo'lgan ikki sohali muhitda modda 
ko’chishi ……………………………………………………………........ 37
3.2  Ikki sohali birjinisli bo’lmas  g’ovak muhitda nomuvozanat adsorbsiyani 
hisobga olgan holda  modda ko’chishi… …………………………..….…. 46
XULOSA ………………………………………………………….....…. 55
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ………….....… 56
1 KIRISH
Dissertasiya   mavzusining   dolzarbligi   va   zarurati:   Jahon   miqyosida   neft
qazib olish sanoatida neft qatlamlariga ikkilamchi va uchlamchi usullari bilan ta sirʼ
etishning   takomillashgan   loyihasini   ishlab   chiqish   yetakchi   o rinni   egallamoqda.	
ʼ
So ngi   yillarda   ko pgina   rivojlangan   mamlakatlarda   neftni   qazib   olish   sanoatida,	
ʼ ʼ
g ovak muhitlarda modda ko chishi jarayonini ifodalovchi klassik modellar o rniga
ʼ ʼ ʼ
moddaning   anomal   ko chishi   jarayonini   ifodalovchi   noklassik   modellar	
ʼ
qo llanilmoqda.   Shu   jihatdan   neft   qatlamlariga   issiqlik   usuli   bilan   ta sir   etish	
ʼ ʼ
texnologiyasida,   neft   qatlamlaridagi   g ovak   muhitlarda   temperaturani   hisobga	
ʼ
olgan   holda   moddaning   anomal   ko chishi   jarayonini   ifodalovchi   noklassik
ʼ
modellarni  qo llash  muhim  ahamiyat  kasb  etmoqda.  Bu   borada,   jumladan   АQSh,	
ʼ
Rossiya,   Xitoy   va   boshqa   rivojlangan   davlatlarning   neft   va   gazni   qazib   olish
sanoatlarida,   neft   qatlamlaridagi   g ovak   muhitlarda   bir   jinsli   bo lmagan	
ʼ ʼ
suyuqliklar   sizishi   va   moddaning   anomal   ko chishi   jarayonlariga   ta sir   etuvchi	
ʼ ʼ
asosiy   omillarni   hisobga   olgan   holda   loyihalash   usullarini   takomillashtirishga
alohida e tibor qaratilgan.	
ʼ
Jahonda neft qazib olish sanoatida qatlamlarning neft beruvchanligini oshirish
uchun   neft   qatlamlariga   ta sir   qilishning   turli   usullari,   xususan   neft	
ʼ
harakatchanligini oshirishga yordam beruvchi issiqlik, qatlamlar orasidagi bosimni
ushlab   turuvchi   turli   usullar   qo llanilmoqda.   Termogidrodinamik   jarayonlarning
ʼ
ilmiy   asoslari   yaratilmoqda.   Bu   yo nalishda,   xususan   yoriq   g ovak   muhitlarda	
ʼ ʼ
modda   ko chishi   jarayonlarining   matematik   modellarini   takomillashtirishga	
ʼ
alohida   e tibor   qaratilmoqda.   Ushbu   sohada,   jumladan   yoriq   g ovak   muhitlarda	
ʼ ʼ
anomal   ko chish   jarayonini   adekvat   ifodalovchi   matematik   modellar   yo qligi	
ʼ ʼ
inobatga   olib   yangi   matematik   modellar,   EHM   uchun   dastur   va   algoritmlarni
ishlab chiqish zarur hisoblanmoqda.
Respublikamiz   neft   qazib   olish   sanoatida   neft   qatlamlarini   o zlashtirishda	
ʼ
yangi   texnologiyalarni   qo llashga   katta   e tibor   qaratilib,   mazkur   yo nalishda	
ʼ ʼ ʼ
amalga   oshirilgan   dasturiy   chora   tadbirlar   asosida,   jumladan,   neft   qazib   olishni
oshirish   va   zamonaviy   texnologiyalarni   qo llash   tufayli   muayyan   natijalarga	
ʼ
erishilmoqda. 2017-2021 yillarda O zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish	
ʼ
bo yicha Harakatlar strategiyasida, jumladan «... ishlab chiqarishni modernizatsiya	
ʼ
qilish,   texnik   va   texnologik   jihatdan   yangilash,   ishlab   chiqarish   ...,   ...   zamonaviy
tejamkor va samarali texnologiyalarni bosqichma-bosqich joriy etish orqali qishloq
joylarida aholini toza ichimlik suvi bilan ta minlashni tubdan yaxshilash» vazifasi	
ʼ
belgilangan. Mazkur vazifani  amalga oshirish, jumladan aholi  ichimlik suvi  bilan
2 ta minlash,   yer   osti   suv   havzalarini   muhofaza   qilish   hamda   neft   qazib   olishniʼ
oshirish   maqsadida   bir   jinsli   bo lmagan   suyuqliklar   sizishi,   moddaning   anomal	
ʼ
ko chishi   jarayonlarini   ifodalovchi   takomillashgan   matematik   modellarni   yaratish	
ʼ
muhim vazifalardan biri hisoblanadi.  
Muammoning o’rganilganlik darajasi.    Yoriq g ovak muhitlarda modda va	
ʼ
issiqlikning   anomal   ko chishi   hamda   har   xil   xarakteristikalarga   ega   bo lgan   ikki	
ʼ ʼ
sohali   muhitda   modda   ko chishi   masalalarini   А.Suzuki,   A.S.Fomin,	
ʼ
V.A.Chugunov,   T.Hashida,   Y.Nibori,   A.S.Bredford,   F.J.Leij,   H.Makita,
J.Simunek, N.Toride, S.E.Silliman va boshqa olimlar tomonidan ilmiy tadqiqotlar
olib borilgan.
Bir   jinsli   bo lmagan   yoriq   g ovak   muhitlarda   moddaning   anomal   ko chishi	
ʼ ʼ ʼ
masalalari   bo yicha   taniqli   olim   va   tadqiqotchilardan   A.D.Benson,
ʼ
M.M.Meerschaert,   W.S.Wheatcraft,   F.Huang,   F.Liu,   M.Sahimi,   R.Schumer,
B.Baeumer,   N.R.Horne,   H.Zhan,   B.F.A.Tompson,   J.Аkilov,   B.X.Xo jayorov,	
ʼ
V.F.Burnashev   va   boshqalar   tomonidan   izlanishlar   olib   borilgan   va   ma lum	
ʼ
darajada ijobiy natijalarga erishilgan.
Bugungi kunda bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda anomal modda 	
ʼ ʼ
ko chishi masalalari to liq o rganilmagan. Shuningdek, yoriq g ovak muhitlarda 	
ʼ ʼ ʼ ʼ
moddaning ko chishiga massa almashinuvi jarayonlarini matematik 	
ʼ
modellashtirishda kasr hosilali differentsial tenglamalar imkoniyatlaridan yetarli 
darajada foydanilmagan. 
Tadqiqotning maqsadi  bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda anomal modda 	
ʼ ʼ
ko chishi modellarini takomillashtirishdan va ko chish xarakteristikasida anomallikni 	
ʼ ʼ
baholashdan iborat.
Tadqiqotning vazifalari:
Bir o’lchovli holda kasrli diffuziya tenglamalarni sonli usullari keltirish
bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda modda anomal ko chishining matematik	
ʼ ʼ ʼ
modellariga asosan masalalarni yechish usullarini ishlab chiqish;
bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda modda anomal ko chishining matematik
ʼ ʼ ʼ
modellarini takomillashtirish;
ikki   sohali   bir   jinsli   bo lmagan   g ovak   muhitlarda   modda   ko chishining	
ʼ ʼ ʼ
matematik modellarini takomillashtirish;
Tadqiqotning obyekti  sifatida   birjinslimas suyuqliklar ikki sohali g’ovak 
muhitlarda modda ko’chishi modeli olingan. 
3 Tadqiqotning predmeti  ikki sohali birjinslimas g’ovak muhitlarda 
moddaning ko’chishi jarayonining  matematik modellari, hisoblash algoritmlari va 
kompyuterda sonli tajribalar o’tkazish uchun dasturiy majmualari va  gidrodinamik 
tahlil jarayonlarini tashkil etadi.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi. 
birjinslimas   g’ovak   muhitlarda   modda   ko’chishining   matematik   modellarini
sonli yechildi   
ikki sohali birjinslimas g’ovak muhitlarda modda ko’chishining matematik 
modellarini takomillashtir ildi ;
ikki sohali g ovak muhitda modda ko chishining matematik modeli ʼ ʼ
qaytariluvchi kolloid zarrachalarning tutilishini hisobga olgan holda ishlab chiqilgan;
Tadqiqotning amaliy natijalari  quyidagilardan iborat:
differensial tenglamalar asosida moddaning ko’chishi jarayonining matematik
modeli, hisoblash algoritmlari ishlab chiqilgan;
birjinslimas g’ovak muhitlarda nomuvozanat adsorbsiyali modda ko’chish 
jarayonini hisoblash uchun dasturiy vosita ishlab chiqilgan;
ikki   sohali   muhitda   nochiziqli   kinetika   asosida   modda   ko chishi   jarayonini	
ʼ
hisoblash uchun dasturiy vosita ishlab chiqilgan.
Tadqiqotning tuzilmasi.  Magistrlik dissertatsiyasi mavzusi, kirish, uch bob, 
xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovalardan iborat.
Dissertatsiya mavzusi bo’yicha chop etilgan ilmiy ishlar.
Релаксациенная дробно-дифференциальная модель фильтрации 
однородной жидкости в пористой среде
Зокиров М.С О1. 1 , Абдурахмонов М.С О2. 1 ,Раупов С.Б О3. 1
1 ; 2 ; Самаркандский государственный университет, Самарканд, 
Узбекистан;
3 Термезский государственный университет, Термез, Узбекистан;  .
Solute transport in a two-zone medium with kinetics
Dzhiyanov T.O. 1 , Xolikov J.R. 2 , Abduraxmonov M.S. 3
1 , 2 , 3 Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan;  
4 I BOB. Bir jinslimas g’ovak muhitda anomal modda ko’chishi va
uning matematik modellari
§ 1.1. G'ovakli muhitda moddalarning anomal ko’chish jarayonlarini
modellashtirish
Ma’lumki,   Fik   qonuni   diffuziya   oqimi   va   modda   konsentratsiyasi   gradienti
o’rtasida   proportsional   bog‘lanishni   o‘rnatadi   [6,   39].   Bunda   moddani   konvektiv
ko’chishning   tenglamasi   olinadi,   uning   yechimi   turli   boshlang'ich   va   chegaraviy
shartlar   uchun   olingan.   Xususan,   impulsiv   chegara   sharoitlari   uchun   bir   jinsli
muhitda   Gauss   taqsimot   funksiyasi   shakliga   ega   bo'lgan   siljish   egri   chiziqlari
olinadi.   Biroq,   bir   qator   holatlar   uchun   bunday   model   shartlari   buziladi.   Bunday
holda,   ko'pincha   ikkita   qoidabuzarlik   aniqlanadi:   1)   kontsentratsiya   profillarining
nisbatan   tez   o’sishi,   2)   dum,   ya'ni   siljish   egri   chiziqlarining   tushuvchi   qismining
nisbiy   uzayishi.   Bu   anomaliyaning   natijasidir,   ya'ni   moddaning   fik   bo'lmagan
ko’chishi.
Haqiqiy   suv   omborlarida   va   laboratoriya   tajribalarini   o'tkazishda
moddalarning ko’chishining anomal tabiati ko'pincha kuzatiladi, buni klassik Fick
qonuniga   asoslangan   an'anaviy   modellar   doirasida   tasvirlash   qiyin.   So'nggi
vaqtlarda   adabiyotda   klassik   Fik   qonuni   [44]   asosida   qurilmagan   moddaning
diffuziya ko’chishining yangi matematik modellari berilgan bir qator ishlar paydo
bo'ldi. Suyuqlikda muallaq kichik zarralar, turli kuchlar ta'sirida g'ovak bo'shlig'ida
harakatlanayotganda,   harakatning   murakkab   traektoriyasiga   ega   bo'lishi   mumkin.
Berilgan   zarrachaning   ma'lum   bir   nuqtada   vaqtning   ma'lum   bir   nuqtasida   bo'lish
ehtimoli   normal   taqsimotga   ega   bo'lolmaydi,   shuning   uchun   klassik   Fick
nazariyasidan   foydalanish   yetarli   asosga   ega   emas.   Bunday   vaziyatda,
[11,13,28,32,80,81,83]   da   ko'rsatilganidek,   ehtimollik   modellaridan
foydalanganda,   ehtimollik   zichligi   vaqt   va   fazoviy   koordinata   bo'yicha   kasr
hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni qanoatlantiradi.
Yoriq   g’ovak   muhit   (YG’M)   juda   murakkab   tuzilishga   ega   va   ko'pincha
fraktallar   deb   hisoblanadi.   Yoriqlar   va   g'ovak   bloklarning   murakkab   tuzilishi
5 natijasida   muallaq   zarrachalarning   traektoriyasi   ham   murakkab   tuzilishga   ega.
Bunday   muhitda   moddalarni   ko’chishning   birinchi   modellaridan   biri   [43]   da
ko’rsatilgan.   Bikontinuum   yondashuvi   [4]   doirasida   kasir   hosilalarni   o'z   ichiga
olgan   YG’Mda   konvektiv   ko’chish   tenglamalari   analitik   tarzda   olinadi.
Tenglamalar   YG’Mda   moddalarni   uzatish   jarayonlarini   tahlil   qilish   uchun
ishlatilgan [42, 45].
Fraktal tuzilishga ega muhitda diffuziya jarayonlarini modellashtirishga turli
yondashuvlar [19,33,34,36,49,85] da keltirilgan. Muammoning holatining nisbatan
batafsil tahlili [60,114,126] da keltirilgan.
Yer osti suv havzalarining ifloslanishi atrof-muhitni muhofaza qilishda katta
muammo   hisoblanadi.   Ifloslantiruvchi   moddalar   har   xil   tabiatga   ega   bo'lishi
mumkin   -   organik   birikmalar,   og'ir   metallar,   radioaktiv   moddalar,   turli   sanoat
chiqindilari   va   boshqalar   [38,40].   Ko'pgina   yer   osti   suv   omborlari   yoriq   g’ovakli
yoki   sof   yoriq   tipga   ega.   Birinchisida   yoriqlar   bilan   kesilgan   g’ovak   bloklar
g’ovakli   va   o'tkazuvchan,   ikkinchisida   esa   ular   g’ovakli   emas   (bir   oz   g’ovakli,
shuning   uchun   suv   o'tkazmaydigan).   Yoriqlar   odatda   fraktal   tuzilishga   ega   va
nisbatan   yaxshi   o'tkazuvchandir   [   45,46].   YG’Mda   asosiy   suyuqlik   zahiralari
g’ovakli bloklarda joylashgan va yoriqlar harakatning asosiy kanallari hisoblanadi.
Bu   xususiyatlar   jarayonni   matematik   modellashtirishning   asosini   tashkil   qilishi
kerak.
So'nggi vaqtlarda fraktal tuzilishga ega bo'lgan muhitda diffuziya jarayoniga
katta   e'tibor   berilmoqda   [60].   [108]   da,   fraktal   geometriyaga   ega   bo'lgan
birjinslimas   g'ovakli  muhitda  birjinslimas  suyuqlik  oqimi   uchun fraktal  kechikish
vaqtiga   ega   nisbatan   oddiy   model   taklif   qilingan.   Bir   jinsli   bo lmagan   muhitdaʻ
moddalarni   tashish   bo yicha   olib   borilgan   dala   eksperimental   tadqiqotlarida	
ʻ
[7,52,99]   moddaning   konsentratsiya   profillari   klassik   Fik   qonuniga   qaraganda
tezroq harakatlanishi, assimetriya va tik oldingi chetiga ega ekanligi aniqlandi. Bu
ta'sirlarni klassik Fik qonuni va mos keladigan massa uzatish tenglamasi doirasida
tasvirlab   bo'lmaydi.   Kuchli   bir   jinsli   bo lmagan   muhitda   moddalarning	
ʻ
o tkazilishining   anomal   xarakterini   kasr   hosilalari   bilan   differensial   tenglamalar	
ʻ
6 yordamida   modellashtirish   mumkinligi   ko rsatilgan   [3,12,61,82,108].   Xususan,ʻ
[108]   da,   massa   balansi   tenglamasiga   vaqtga   nisbatan   konsentratsiyaning   kasr
hosilasi   bilan   qo'shimcha   atamaning   kiritilishi   ikki   zonali   yondashuvlar   nuqtai
nazaridan   tushuntirilgan,   bunda   moddaning   harakatchan   zonadan   ko’chishi
statsionar suyuqlik bo'lgan zonaga turli intensivlikda sodir bo'ladi [30, 52, 53].
YG’Mda moddalarni ko’chishining eng oddiy modellari individual yoriq va
uni   o'rab   turgan   g'ovakli   muhitni   o'rganish   bilan   bog'liq.   Bunday   muhitda
moddaning   ko’chishini   eksperimental   tadqiqotlar   [97]   ko'rsatadiki,   uzun   dum
shakllanishi joy almashish egri chizig'ida topiladi. Bu Darsi qonuni buzilganda va
Forxxaymer   qonuni   ishlaganda,   yoriq   atrofida   chegara   qatlami   mavjudligi   va
yuqori   oqim   tezligi   bilan   izohlanadi.   Eksperimental   joy   almashish   egri   chiziqlari
ikki   zonali   yondashuv   [27,93,94]   yordamida   ishlangan,   ya'ni   birida   suyuqlik
harakatchan,   ikkinchisida   esa   harakatsiz   bo'lgan   ikki   qonunga   ega   muhitni   ko'rib
chiqadigan.   Ushbu   model   asosida   tuzilgan   eksperimental   va   nazariy   siljish   egri
chiziqlari o'rtasida yaxshi natijaga erishiladi.
Anomal   modda   ko’chishi   Fickning   chiziqli   bo'lmagan   qonuni   ko'rinishida
ham namoyon bo'lishi mumkin [59]. Suyuqlikda yuqori konsentratsiyali moddalar
bo'lsa, moddalar oqimining zichligi va kontsentratsiya gradienti o'rtasidagi chiziqli
bog'liqlik   buziladi.   Eksperimental   ma'lumotlarni   qayta   ishlash   shuni   ko'rsatadiki,
moddaning   past   konsentratsiyasida   Fick   qonuni   qoniqarli   ishlaydi.   Biroq,   yuqori
konsentratsiyalar   uchun   eksperimental   ma'lumotlarning   yaxshi   tavsifini   faqat
chiziqli   bo'lmagan   nazariya   yordamida   olish   mumkin.   Xuddi   shunday   xulosalar
[107]   da   turli   omillarning   ko'rsatilgan   model   parametrlariga   ta'siri   bilan
izohlangan.
Anomal hodisalarni hisobga olish uchun Fick qonuni ba’zan inertial atama –
modda   oqimi   zichligining   vaqt   hosilasini   ham   o‘z   ichiga   oladi   [2,55,58,70,106].
Bunday   holda,   moddalarni   ko’chishi   giperbolik   tenglamalari   olinadi,   ular
kontsentratsiya profillarining tarqalish tezligining cheklanganlik xususiyatiga ega,
ya'ni kontsentratsiya to'lqinlari hosil bo'ladi. Makroskopik modellashtirish asosida
modda   oqimi   zichligining   bo'shashish   vaqti   juda   qisqa   ekanligi   ko'rsatilgan.   [70]
7 da   turli   parametrlarning   differensiallanishiga   qarab,   konsentratsiya   to lqinlariningʻ
tarqalish   xarakteristikalari   ham   har   xil   bo lgan   turli   uzatish   qonunlarini   olish	
ʻ
mumkinligi ko rsatilgan.	
ʻ
Bir   qator   ishlar   g'ovak   muhitda   modda   va   suyuqlikning   ko’chish
qonuniyatlarida xotira effektlarini hisobga olishga bag'ishlangan. [22,51] da Darsi
qonuni xotira effektlarini kiritish uchun umumlashtiriladi. Suyuqlik bosimini uning
zichligiga   bog'lovchi   umumiy   holat   tenglamasi   ham   qabul   qilinadi.   Tajriba
natijalari tavsiya etilgan modellar yordamida tavsiflanadi. Shuni ta'kidlash kerakki,
g'ovakli   muhitda   suyuqlik   harakati   paytida   xotira   effektlarining   namoyon   bo'lishi
g'ovak bo'shlig'ida moddalarning ko’chishi va massa almashinuvi jarayonlari bilan
bog'liq bo'lishi mumkin . Shunday qilib, o’tirgan zarralar suyuqlik o'rniga harakat
qilganda, g'ovaklarga joylashadigan ba'zi zarralar ularning hajmini kamaytirishi va
ba'zan   ularni   yopishi   mumkin,   ularning   ba'zilari   g'ovakli   muhit   skeleti   bilan
kimyoviy   yoki   fizik   ta'sirga   kirishishi   mumkin.   G'ovak   bo'shlig'i   tuzilishining
o'zgarishiga   olib   keladi.   Bularning   barchasi   muhitning   o'tkazuvchanligining
o'zgarishiga   olib   keladi   va   bu   o'z   navbatida,   suyuqlik   harakatlanayotganda   xotira
effektlarining   namoyon   bo'lishiga   olib   keladi.   [51,65]   da   xotira   effektlarining
namoyon   bo'lishini   ko'rsatuvchi   eksperimental   tadqiqotlar   natijalari   keltirilgan.
Holat   va   filtratsiya   qonunlarining   tenglamalari   vaqt   bo'yicha   oqimning   asosiy
xarakteristikasining   kasr   hosilalarini   o'z   ichiga   oladi.   Tajriba   natijalarini   qayta
ishlash   hosilalarning   tartibini   birlikdan   ancha   kichik   chegaralar   ichida   beradi.   Bu	
0,12	÷0,37	.
xotira effektlarining roli katta ekanligini ko`rsatadi.
Sierpinski sohasida tartibsiz muhitda diffuziya ko'rib chiqiladi. Suyuqlik va
moddalarning   fraktal   tuzilishga   ega   bo'lgan   muhitda   ko’chishi   perkolatsiya
nazariyasi bilan chambarchas bog'liqdir [101, 102].
Shuni   ta'kidlash   kerakki,   erigan   moddalar   va   suyuqlikda   muallaq   kolloid
zarrachalarni   ko’chishni   modellashtirishga   yondashuvlar   g'ovakli   muhitlarda
o'xshashdir.   An'anaviy   modellar   muvozanat   tenglamasidan   va   g'ovaklardagi
moddalarning cho'kishi  (cho'kishi)  kinetikasidan iborat. Balans  tenglamasi  odatda
konvektiv   diffuziya   tenglamasidan,   zarracha   (yoki   erigan   moddalar)   oqimi
8 konvektiv   va   dispersiv   oqimlar   yig'indisidan   iborat.   Zarrachalarning   cho'kish   va
ajralish   kinetikasi   uchun   ham   turli   xil   tenglamalar   mavjud.   Bir   qator   ishlarda
eksperimental ma'lumotlarni klassik ko’chish modellari bo'yicha tavsiflash amalga
oshirildi.   Biroq,   Birjinslimas   muhitlar   uchun   bunday   modellar   odatda   yaxshi
natijalar   bermaydi.   Bunday   Birjinslimas   muhitlar   anomal   effektlar   paydo   bo'lishi
mumkin,   ular   uchun   yuqorida   tavsiflangan   yondashuvlar   modellashtirish   uchun
ishlatilishi mumkin.
Klassik   modellarga   muvofiq,   muhitning   chiqish   joyidagi   siljish   egri
chiziqlari suyuqlik teshiklarining bir hajmini pompalagandan keyin paydo bo'ladi.
Biroq, bu shart har doim ham  qondirilmaydi, qattiq zarrachalar va polimerlarning
ba'zi   suyuqliklari   uchun   bunday   og'ish   [5,   78,   129]   da   kuzatilgan.   Bu   shuni
anglatadiki,   fenomenologik   modellar   suyuqlik   filtrlash   mexanizmlarini   to'g'ri,
umumlashtirmaydi   va   universal   tarzda   tavsiflay   olmaydi.   Bunday   vaziyatda
modellashtirishning   mumkin   bo'lgan   va   samarali   usullaridan   biri   mikrogrid
modellaridan   foydalanish   bo'lishi   mumkin.   Bunday   modellarning   ayrimlari
[8,91,92,98,103,   111,112,113,117]   da   taklif   qilingan.   Yangi   populyatsiya   balansi
modeli   [105]   da   qayta   tavsiflangan   bo'lib,   u   zarrachalar   oqimining   kamayishi,
g'ovak bo'shlig'ining selektivligini hisobga oladi (katta o'lchamdagi zarralar uchun
ba'zi  g’ovaklardan  o'tib  bo'lmaydi,  nisbatan   kichikroq  bo'lgan   zarralar  uchun  ular
o'tish   mumkin).   Olingan   yechimlar   siljish   egri   chiziqlari   klassiklardan   sezilarli
darajada og'ishini ko'rsatadi. Umuman olganda, fenomenologik modellar bilan bir
qatorda statik (stokastik) modellashtirishdan ham samarali foydalanish mumkin.
Taqdim   etilgan   qisqacha   sharh   shuni   ko'rsatadiki,   moddaning   Birjinslimas
g'ovakli muhitda anomal tarqalishi (dispersiyasi) moddalarni ko’chish jarayonlarini
tahlil   qilishda   hal   qiluvchi   ahamiyatga   ega   bo'lishi   mumkin.   Shu   bilan   birga,
jarayonlarni   matematik   modellashtirishga   turli   xil   yondashuvlar   mavjud.   Vaqt   va
koordinata   bo'yicha   kasr   hosilalaridan   foydalanish   usuli   nisbatan   yangi   bo'lib,
moddalarning   anomal   ko’chish   ta'sirini   sifat   va   miqdoriy   baholashda
muvaffaqiyatli   qo'llanilishi   mumkin.   Ko’chish   tenglamalarida   kasr   hosilalarining
9 paydo  bo'lishi   Birjinslimas   muhit   yoki   ularning  fraktal   tuzilishining   buzilishining
bevosita natijasidir.
§ 1.2. Birjinslimas g'ovak muhitda moddalarni anomal ko’chishining
matematik modellari
G'ovakli   muhitlarda   moddalarning   ko’chishini   matematik   modellashtirish
tahlil   qilish   uchun   samarali   vositadir.   Laboratoriya   sharoitida   eksperimental
tadqiqotlar   yoki   to'liq   miqyosda,   real   sharoitlarda   dala   tadqiqotlari   bilan
solishtirganda,   matematik   modellashtirish   turli   parametrlarning   xarakteristikalar,
o'tkazish   ko'rsatkichlariga   ta'sirini   jismoniy   jihatdan   to'g'ri   tasvirlash   va   miqdoriy
aniqlash imkonini beradi.
Suyuqlikda muallaq zarrachalarni ko’chishining klassik modellari konvektiv
ko’chish   va   zarrachalarning   cho'kish   kinetikasini   hisobga   oladi,   gidrodinamik
dispersiya   e'tiborga   olinmaydi   [66].   Ba'zi   o'zgartirishlar   va   turli   omillarni
qo'shimcha   hisobga   olgan   holda   bir   qator   shunga   o'xshash   modellar
[35,69,111,112,113,123] da taklif qilingan. Chiziqli holatda kinetik tenglama bilan
birga   moddani   ko’chish   tenglamalari   analitik,   umumiy   holda   esa   sonli   yechimni
qabul   qiladi.   Bu   yechimlar   laboratoriya   tajribalarini   tavsiflash   uchun   ishlatiladi
[9,10,54,62,88,131].
Suyuqlik zichligi va muhitning g'ovakliligi past konsentratsiyali suyuqliklar
uchun   doimiy   bo'lsa,   bir   o'lchovli   holatda   balans   tenglamasi   quydagi   ko’rinishga
ega bo'ladi.∂
∂t
(mc	+δ)+∂q
∂x
=	0,
(1.1 )
Bu   yerda  	
c   muallaq   zarrachalar   kontsentratsiyasi,  	m   muhitning   g'ovakligi,  	δ
kechiktirilgan   (cho'kma)   zarrachalarning   konsentratsiyasidir.  	
c   odatda   g’ovak
10 hajmiga nisbatan  aniqlanadi, ya'ni  g'ovak hajmiga nisbatan zarrachalar  soni  (yoki
hajmi) vaδ   – muhitning butun hajmiga nisbatan, 	q – zarrachalar oqimi.
zarrachalar oqimi	
q   konvektiv va dispersiv, ikki qismdan iborat	
q=	Uc	−	D	∂c
∂x
,
( 1.2)	
D=	αDU	,
( 1.3)
bu   erda    	
D   dispersiya   koeffitsienti  	U,   filtrlash   tezligiga   proportsional   deb
hisoblanadi,   	
αD bo'ylama disperslik koeffitsienti hisoblanadi.
Zarrachalarni   o’tirib   qolish   jarayoni   quydagi   kinetika   tenglama   bilan
tavsiflanadi	
∂δ
∂t
=	λ(δ)q,
( 1.4)
bu   erda  	
λ(δ)   filtrlash   koeffitsienti   deyiladi.   Muayyan   holatda   u   quyidagicha
aniqlanadi	
λ(δ)=	λ0(1−	bδ	),b=	const	.
(1.1),   (1.4)   tenglamalar   Darsi   qonuni   bilan   to'ldirilishi   kerak,   u
zarrachalarning   cho'kishi   natijasida   muhit   o'tkazuvchanligining   o'zgarishini
hisobga olgan holda quyidagicha yozilishi mumkin.	
U	=−	
k0k(δ)	
μ	
∂	p
∂x	,k(δ)=	1	
1+βδ	,β=	const	,
( 1,5)
bu erda 	
k(δ) o'tkazuvchanlikni kamaytirish funktsiyasi deyiladi.
Nafaqat   kechikish,   balki   ilgari   kechiktirilgan   zarrachalarning   ajralishi   ham
hisobga olinsa, (1.1), (1.4) tenglamalar quyidagicha yoziladi.	
∂
∂t(mc	+δ)+U	∂c
∂x=	D0
∂2c	
∂x2,
( 1.6)	
∂δ
∂t
=	λ(δ)cU	−	kdet	δ,
( 1.7)
11 bu erda D   dispersiya koeffitsienti o'rniga     	D0,kdet   diffuziya koeffitsientini oldik  ,
ya'ni zarrachalarni ajratish koeffitsienti.
Odatda,   (1.6),   (1.7)   tenglamalar   tizimi   uchun   quyidagi   dastlabki   shartlar
o'rnatiladi	
c(0,x)=0,δ(0,x)=	0,
( 1,8)
demak,   suyuqlik   muhitga   kirgunga   qadar   u   toza   (zarrachalarsiz)   suyuqlik   bilan
to'ldirilgan.
Chegarada	
x=	0   odatda quyidagi chegara sharti qaraladi	
(Uc	−	D0
∂c
∂x)|x=0=	c0U	,
( 1,9)
bu yerda 	
c0 zarrachalarning berilgan doimiy konsentratsiyasi.
Ba'zan chegaraviy holatda (1.9) dispersiv uzatish hisobga olinmaydi. Keyin
bu shart soddalashtiriladi	
c(t,0)=c0.
( 1.10)
G'ovakli   muhitdagi   zarrachalarning   harakatini   ikki   komponentga   bo'lish
mumkin:   birinchisi   -   doimiy   tezlikdagi   konvektiv   harakat,   ikkinchisi   -   konvektiv
ko’chish   bilan   bir   xil   tezlikda   harakatlanadigan   ko’chish   fronti   bo'ylab   tasodifiy
dispersiv   ko’chish.   Muhitning   chiqish   uchini   tark   etgan   zarracha   muhitga
qaytmaydi, deb taxmin qilinadi. Bu muhitning chiqish uchida dispersiya yo'qligini
anglatadi .	
x=	L	
∂c(t,L)	
∂x	
=0.
( 1.11)
(1.8)   –   (1.11)   kabi   shartlar   bilan   (1.6),   (1.7)   yechimni   chiziqli   holat   uchun
analitik yo l bilan olish mumkin.	
ʻ
Agar   zarrachalarni   (moddani)   cho'ktirish   yoki   chiqarish   ta'siri   bo'lmasa,
(1.6),   (1.7)   tenglamalar   soddalashtiriladi.   Bu   holda   massa   saqlanish   tenglamasini
quyidagicha yozish mumkin	
∂c
∂t
+∇	⋅(⃗vc)+∇	⃗J=	r,
( 1.12)
12 bu yerda ⃗v filtrlash tezligi vektori, 	⃗J dispersiv massa oqimi  va 	r  moddaning massa
ko’chish  intensivligi [6].
(1.12)   dagi   filtrlash   tezligi   odatda   doimiy   qiymat   sifatida   belgilanadi   yoki
suyuqlik harakati tenglamalaridan aniqlanadi.
Moddaning   dispersiv   oqimi  	
⃗J boshqa   ko’chish   xususiyatlari   bilan   bog'liq
bo'lishi kerak. Odatda bu munosabat umumlashtirilgan Fik qonuni sifatida beriladi	
⃗J=	D⋅∇	c
,  ( 1.13)
bu yerda  D   	
‒ dispersiya tensori.
Dispersiya   tensori   moddaning   kontsentratsiyasiga   va   uning   gradientiga
bog'liq emas, ammo bu filtrlash tezligiga bog'liq [6]	
D	=	(D	m+αTv)I+(αL−	αT)
⃗vT
v
,  ( 1.14)
Bu yerda  	
Dm   molekulyar diffuziyaning samarali koeffitsienti,	αT,  	αL - ko'ndalang
va uzunlamasına dispersiyalar, I - birlik tenzori,   v  	
⃗v   vektorning qiymati   , T ustki
belgisi  	
⃗v   vektor   transpozitsiyasini   bildiradi.   Odatda  	αT,  	αL   muhit   xossalarini
xarakterlovchi konstantalardir.
(1.12), (1.13) tenglamalardan passiv (konservativ) moddani olamiz.	
∂c
∂t
+∇	⋅(⃗vc)=	∇	⋅(D⋅∇	c).
( 1,15)
(1.14)   bilan   (1.15)   tenglama   laboratoriyada   yaratilishi   mumkin   bo'lgan   bir
jinsli g'ovakli muhitlar uchun qoniqarli natijalar beradi. Biroq, amalda barcha real
muhitlar   bir   jinsli   emas,   ular   uchun   (1.15),   (1.14)   tenglamadan   foydalanish
mumkin.   Haqiqiy   muhitning   kichik   va   katta   miqyosdagi   Birjinslimasligi
moddalarning   ko’chish   qonunining   Fik   qonunidan   chetga   chiqishining   asosiy
sababidir  [58]. Bundan tashqari, (1.15)  tenglama parabolik turga tegishli  bo'lib, u
cheksiz tebranishning tarqalish tezligi bilan tavsiflanadi, ya'ni  kontsentratsiyaning
buzilishlari cheksiz tezlikda tarqaladi, bu fizik nuqtai nazardan noto'g'ri faktdir.
Juda   tez-tez   dispersiya   koeffitsientlari	
αT,  	αL doimiy   bo'lmagan   qiymatlar
sifatida   qabul   qilinadi,   lekin   filtrlash   tezligiga   bog'liq.   Boshqa   hollarda,   ular
13 koordinatali  x va  	t   vaqtga   bog'liq   deb   hisoblanadi .   Katta  	x va  	t ular   asimptotik
qiymatlariga yetadi [31, 79].	
⃗J
   va  	∇с   o'rtasidagi chiziqli munosabatlar (1.13) buzilgan yondashuv ham
mavjud.   Masalan,   yuqori   konsentratsiyali   aralashmalar   uchun   chiziqli   bo'lmagan
munosabatni   kuzatish   mumkin   [59].   Ayrim   asarlarda    	
⃗J   o‘zgarishda   xotiraning
ta’siri   hisobga   olingan   [119,124].   Bunda   (1.13)   ga   nisbatan  	
⃗J   differentsial
tenglama   sifatida   ifodalanadi.   Umumiyroq   holatda   (1.15)   o rniga   (1.13),   (1.14)	
ʻ
umumlashgan   bog liqliklar   qo llanilganda   integrodifferensial   tenglamalar   olinadi.	
ʻ ʻ
Bunday nazariyalar "nolokal" deb ataladi, bunda muhitning dispersiyaviy xossalari
harakat   tarixiga   va   muhitning   barcha   nuqtalarida   kontsentratsiya   gradientiga
bog'liq.
E'tibor  bering,  materiyaning  o'tish  nazariyasida  anomal   ta'sirlarni  tavsiflash
uchun   bunday   yondashuvlar   ancha   vaqt   oldin   qo'llanilgan.   Masalan,   [106]   da
avtokorrelyatsiya   nazariyasi   taklif   qilingan   bo'lib,   uning   asosida   moddalarni
uzatish tenglamasi olingan bo'lib, u bir o'lchovli ko’rinishga ega.	
∂c
∂t+v∂c
∂x−	D	∂2c	
∂x2=	−	A	(
∂2c	
∂t2+2v	∂2c	
∂t∂x+2v∂2c	
∂x2),
( 1.16)
bu   yerda   A   yangi   doimiy,	
D=	αLv,  	A=	β/v ,  	β   muhit   xususiyatini   tavsiflovchi
doimiy hisoblanadi.
  (1.16)   tenglama     (1.12)   ko'rinishga   ega   bo’ladi   agar   (1.13)   o'rniga   biz
(skalar shaklda) olsak.	
J=−	D	∂c
∂x
−	A	∂J
∂t
−	Av	∂J
∂x
.
( 1.17)
[119] da, kichik miqyosda Birjinslimas muhitlar taklif qilingan	
⃗J=−	D⋅∇	c−	A⋅∂⃗J
∂t
,
( 1.18)
bu   yerda   A   tenzor   bo'lib,   u   A   koeffitsientining   uch   o'lchovli   ekvivalenti
hisoblanadi .
14 Shubhasiz, (1.18) (1.17) ning maxsus holatidir. Xuddi shunday, (1.18) uchun
(1.16) o'rniga quyidagi uzatish tenglamasini olamiz∂с
∂t+v∂c
∂x−	D	∂2c	
∂x2=	−	A	(
∂2c	
∂t2+2v	∂2c	
∂t∂x).
[58]   da   suyuqlik   oqimi   va   dispersiyasining   yangi   termodinamik   nazariyasi
asosida   olingan   yuqoridagilarni   umumlashtiruvchi   umumiyroq   bog liqlik	
ʻ
keltirilgan. Bu nazariya boshqa adabiyotlarida ham keltirilgan [58], ya'ni [56, 57].
[58]   ning   asosiy   xulosasi   shundan   iboratki,   dispersiya   tenglamalari   suyuqlikning
g’ovak   muhitdagi   harakati   tenglamasidan   Darsi   qonuni   olingani   kabi   g’ovak
muhitdagi moddaning ko’chishi tenglamalaridan ham olinishi mumkin.
Keling,   (1.12)   xususiy   holatni   bir   o’lchovli   konvektiv   a’zo   va   moddaning
massa almashinuvini hisobga olmagan holda ko'rib chiqaylik.	
∂c
∂t
=−	∂
∂x
(J).
( 1.19)
Ma'lumki, Fick diffuziyasi holatida moddaning diffuziya oqimi quyidagicha
aniqlanadi.	
J=−	D(m)∂c
∂x	
,
(1.20)
Bu yerda 	
D(m) molekulyar diffuziya koeffitsienti . 
Quyidagi   o'lchamsiz   o'zgaruvchilarni   kiritamiz  	
X	=	x
x0
,	τ=	t
t0
,	c=	c
c0
,   bu
yerda  	
x0,t0,c0     xarakterli uzunlik, vaqt va konsentratsiya, mos ravishda (1.20) ni
(1.19) ga almashtirib, o'lchamsiz o'zgaruvchilarga o'tamiz	
1
t0
∂c
∂τ=	1
x0
2	
∂
∂X	(D	(m)∂c	
∂X	).
( 1.21)
O'lchovsiz   tenglama   (1.21)   mos   keladigan   o'lchovli   tenglama   bilan   bir   xil
shaklni   saqlab   qolishi   uchun   masshtablar  	
τ0 va  	x0 o'zaro   bog'liqligi   kerak	τ0~x0
2.
Oxirgi   munosabat   Fick   diffuziyasi   uchun   xosdir.   Biroq,   fraktal   tuzilishga   ega
bo'lgan   muhitlarda   o'tkazilgan   ko'plab   tajribalar   bu   munosabatlarni
15 qoniqtirmasligini   ko'rsatadi   [60].     O’rtakvadrat   siljishi   vaqtga   quyidagicha
bog'liqligi ko'rsatilgan¿x2>~t	
2
2+θ,
( 1,22)
bu erda 	
θ   anomal diffuziya indeksi deyiladi.
(1.22) ni hisobga olib, (1.21) da korrelyatsiyani qo’llaymiz	
x0
2~t	
2
2+θ.
( 1,23)
Ko'rinib turibdiki, 	
θ=	0   (1.23)  dan Fick diffuziyasiga kelamiz.
Masshtablash munosabati  (1.23) qanoatlantiriladigan diffuziya tenglamasini
olish uchun 	
J   massa oqimi munosabati  mos ravishda o'zgartirilishi kerak. Bunday
holda,   Fik   qonuni  	
θ=0   dagi   o'zgartirilgan   munosabatdan   kelib   chiqishi   aniq.  
Tabiiyki,   bunday   o'zgartirishlar   har   xil   bo'lishi   mumkin,   shunga   ko'ra   turli   xil
diffuziya   tenglamalarini   olish   mumkin.   Ikkita   ma'lum   modifikatsiya   [44]   da
keltirilgan.   Ulardan   birinchisi   diffuziya   koeffitsientining   quyidagicha   o'zgarishi
bilan bog'liq [85].	
D(m)(x)=	D	fx−θ,
( 1,24)
bu yerda 	
Df samarali diffuziya koeffitsienti, doimiy.
(1.24) dan foydalanish quyidagi diffuziya tenglamasiga kelamiz	
∂c
∂t
=	∂
∂x(D	fx−θ∂c
∂x).
( 1,25)
(1.25) tenglama uchun (1.23) munosabat bajariladi.
Anomal diffuziya indeksi 	
θ muhitning fraktal o'lchamiga bog'liq 	df .
Yana   bir   modifikatsiya   massa   oqimining  	
J   modifikatsiyasi   bilan   bog'liq
bo'lib,   u   koordinatadan   kontsentratsiyaning  	
θ+1 -chi   tartibli   kasr   hosilasi   bilan
mutanosib   hisoblanadi,   Va   bu   holda   (1.23)   munosabat   qanoatlantiriladi.   Biroq,
differensial tenglamaning tartibi 	
2+θ   ga teng bo'ladi , bu esa masalalarni qo'yishda
qo'shimcha muammolarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun tenglamaning tartibi 2
ga   teng   yoki   undan   kichik   bo'lishi   kerak.   Bunga   (   1.20)   modifikatsiyadan   so'ng
16 hosila   tartibi   1   ga   teng   yoki   undan   kam   bo'lganligi   bilan   erishiladi.   (1.23)
munosabatni   bajarish   talabi   vaqt   bo'yicha   qo'shimcha   kasr   hosilalarini   kiritishni
talab   qiladi,   bu   esa  J   ning   o'zgarishida   lokal   bo'lmagan   ta'sirlarni   tavsiflaydi .
Bunday   ta'sirlar,   xususan,   [32,   63,   83]   da   qayd   etilgan   va   o'rganilgan.   Demak,
massa oqimi shaklda berilishi mumkin	
J=	D	f∂t
1−γ
(
∂βc	
∂xβ),γ>0,β<1,
( 1,26)
Bu yerda  	
γ va	β   mos ravishda vaqt va fazo o'zgaruvchisiga nisbatan hosilalarning
tartibini aniqlang.
(1.26) dagi kasr hosilalari tegishli integral tasvirlar bilan aniqlanadi [104].	
∂x
βc=	∂βc	
∂xβ=∫
0
x
(x−	ξ)−β	
Г	(1−	β)
∂c
∂ξ
dξ	,
   	∂t
γc=	∂γc	
∂xγ=∫
0
t	
(t−	ξ)−γ	
Г	(1−	γ)
∂c
∂ξ	
dξ	,
Bu yerda 	
Г(х)   gamma funksiyasi . 
( 1.26) ni (1.19) o rniga qo yish orqali quydagi hosil bo’ladi	
ʻ ʻ	
∂c
∂t=	∂
∂x(D	f∂t
1−γ
(
∂βc	
∂xβ)),
( 1,27)
bunda   hosilalarning   tartiblari  	
γ va  	β (1.23)   munosabat   qanoatlantiriladigan   tarzda
tanlanishi kerak. Bu talab quydagicha bo’ladi	
t0~x(1+β)/γ.
( 1,28)
(1.28) ni (1.23) bilan solishtirsak, quydagini olamiz	
θ+2=	1+	β
γ	
.
( 1,29)
(1.27)   ning   ikkala   qismiga   kasr   integrallash   amalini   qo’llasak,   quyidagi
tenglamani olamiz.	
∂γc	
∂tγ=	∂
∂x(D	f
∂βc	
∂xβ).
( 1.30)
Tartibsiz   muhitlarda,   yuqorida   ta'kidlanganidek,   moddaning   tarqalishi
anomal   ta'sirlarning   namoyon   bo'lishi   bilan   sodir   bo'ladi   va   anomaliyaning
17 mumkin   bo'lgan   sabablaridan   biri   g'ovakli   muhit   strukturasining   bir   jinsli
emasligidir.   YG’M   ni   shunday   vosita   deb   hisoblash   mumkin.   Ba'zi   ishlarda
suyuqlikning   muallaq   va   erigan   moddalar   bilan   birgalikda   yoriqlar   va   g'ovakli
bloklarda   alohida   oqishini   hisobga   olgan   holda,   moddalarni   o'tkazish   modellari
taklif qilinadi va anomal effektlar o'rganiladi. [45] da modda kontsentratsiyasining
kasr hosilalarini vaqt bo'yicha ham, koordinatalarda ham ishlatadigan, yoriqlar va
tasodifiy   taqsimlangan   g'ovakli   bloklar   o'rtasidagi   moddalar   almashinuvini,
sekinlashuv   ta'sirini   hisobga   oladigan   modellardan   biri   taklif   qilingan.   Muhitning
kirish   chegarasida   ixtiyoriy,   vaqtga   bog'liq   chegara   sharti   uchun   YG’M   va   atrof-
muhitdagi moddalar konsentratsiyasi uchun analitik yechimlar olinadi. Moddaning
g'ovakli   bloklarga   anomal   tarqalishi   bilan   bir   qatorda,   o'tkazish   jarayonida   atrof-
muhitga diffuziya muhim rol o'ynashi ko'rsatilgan.
YG’Mda   muhitning   jinsi   bilan   o'zaro   ta'sir   qiluvchi   faol   modda   bilan
aralashma   kiritilganda,   o'tkazish   xususiyatlari   juda   katta   farq   qilishi   mumkin
bo'lgan zona paydo bo'lishi mumkin. Umuman olganda, YG’Mda moddani yoriqlar
bo'ylab   ancha   masofaga   ko’chish   mumkin,   shu   bilan   birga   moddaning   g'ovakli
bloklarga   tarqalishi   bir   vaqtning   o'zida   sodir   bo'ladi.   Moddaning   yoriqlardan
g'ovakli bloklarga diffuziya ko’chishi sezilarli bo'lishi mumkin bo'lgan sekinlashuv
hodisalariga   olib   keladi   [84,   122].   Yoriq   atrofida   o'zgargan   zona,   xususan,
karbonatli YG’Mlarda, faol modda yoriq joyni o'rab turgan tog 'jinslari bilan o'zaro
ta'sirlashganda,   uni   eritishi   mumkin   bo'lganida   paydo   bo'lishi   mumkin   [89,   96].
G'ovakli bloklarga diffuziyani klassik Fik qonuni bilan tavsiflash mumkin. Biroq,
Birjinslimas   bloklar   uchun,   ayniqsa   moddaning   tog   jinsi   bilan   o'zaro   ta'sirini
hisobga   olgan   holda,   Fik   qonuni   buziladi.   (1.30)   tenglama   anomal   hodisalarni
hisobga olgan holda diffuziya jarayonini tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin.
[42]   da   moddaning   tog   jinslari   bilan   o zaro   ta siri   natijasida   tuzilishiniʻ ʻ ʼ
o zgartirishi mumkin bo lgan atrof muhit bilan bir yoriqlikdagi diffuziya masalasi	
ʻ ʻ
ko rib chiqilgan.
ʻ
Ba'zi   ishlarda   erigan   moddalar   bo'lgan   sovuq   suvni   YG’Mga   quyish
muammolari tahlil qilingan [120, 121]. Issiqlik va moddaning ko’chishi jarayonida
18 ham anomal hodisalar hisobga olinadi. Modellashtirishda kasr hosilali tenglamalar
bilan amalga oshiriladi.
Yuqoridagi   qisqacha   sharhdan   ko'rinib   turibdiki,   moddalarni   Birjinslimas
muhitda   ko’chish   vaqtida   anomal   hodisalarni   modellashtirishda   turli   xil
yondashuvlar   mavjud.   Anomaliya   effektlarini   tavsiflashning   samarali   usullaridan
biri   kasr   hosilalari   bilan   differensial   tenglamalardan   ham   vaqt,   ham   fazoda
bo’yicha   hosilalar   hisoblanadi.   Keyinchalik   ushbu   ishda   ushbu   yondashuv
moddalarni   Birjinslimas   muhitda   ko’chishning   turli   masalalarini   hal   qilish   uchun
ishlatiladi.
§ 1.3. G'ovakli muhitda moddalarni anomal ko’chishda kasir hosilalar va
ularni hisoblash.
§1.2 da ta'kidlanganidek, moddaning Birjinslimas muhitda anomal ko'chishi
vaqt va fazoda kasr hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan tavsiflanadi. Bu
tenglamalarni   yechish   uchun   kasr   hosilalari   funksiyalarning   o‘zi   yoki   ularning
butun tartibli hosilalari bilan ifodalanishi kerak. Asosan, chiziqli masalalar  uchun
operatsion usul, xususan, Laplas o'zgartirishlar usuli qo'llanilishi mumkin. Ammo,
umumiy   holatda,   sonli   usullar,   xususan,   chekli   ayirmalar   usuli   qo'llaniladi.
Shuning uchun kasr hosilalarini diskretlashtirish masalalari muhim ahamiyat kasb
etadi.   Quyida   ushbu   masalaga   oydinlik   kiritadigan   ba'zi   ma'lumotlar   mavjud.
Oddiy   ko’chish   masalasi   uchun   turli   xil   yechim   usullarini   qo'llash   imkoniyati
haqida to'xtalmaymiz. Kasr hosilalari bo'lgan tenglamalarni yechish usullari haqida
ma'lumot beraylik.
19 [45]   da   transformatsiyalar   guruhlari   ortidan   moddaning   ko’chish   masalasi
boshlang ich   va   chegaraviy   shartlarga   ega   (o lchamsiz   birliklarda)   quyidagiʻ ʻ
tenglama ko’rinishda keltiriladi:	
∂C
∂t+b∂γC
∂tγ+∂βC	
∂tβ=−	∂C
∂X	,	0<X	<∞	,
(1,31 )	
C(0,X	)=0
(1,32)	
C(t,0)=c0(t),
(1,33)
bu yerda 	
c0(t)  berilgan funksiya. 
(1.31) (1.33)   masala   o zgaruvchiga   nisbatan   Laplas   konvertatsiyasi
‒ ʻ
yordamida yechiladi 	
t .  O'zgartirishlarda tenglama olinadi	
d¯c	
dX	
=	−	¯c(s+bs	γ+sβ),
(1,34 )	
¯c(0)=	¯c0,
(1,35)
bu yerda 	
¯c=	L(c),	L  Laplas o'zgartirish operatori . 
(1.34) yechim (1.35) ko'rinishga ega	
¯c=	s¯c0¯ϕ(s,X	)exp	(−	Xs	),
(1,36)
bu yerda 	
¯ϕ(s,X	)=	1
s
exp	[−	(sβ	+bs	γ)X	].
(1.36) dan quydagiga kelamiz	
C(t,X	)=	∂
∂t∫
0
t
c0(t−	τ)χ(τ−	X	)ϕ(τ−	X	,X	)dτ	,
(1,37)
Bu yerda 	
χ(τ)  Heaviside birligi funktsiyasi , 
ϕ(t,X)=1−
1
π
∫
0
∞
exp	[−ξt−X(bξ
γ
cos	(πγ)+ξ
β
cos	(πβ))]׿¿×sin	[X(bξ
γ
sin(πγ)+ξ
β
sin(πβ))]
dξ
ξ	
.
Xususiy holatda, (1.37) dan  qachonki 	
c0(t)=1  quydagiga kelamiz	
C	(t,X	)=	χ(t−	X	)ϕ(t−	X	,X	).
(1,38)
20 (1.38) dan γ=	1
2	
,	β=	1
2  uchun quydagicha 	
C	(t,X	)=	χ(t−	X	)erfc	[
X	(1+b)	
2√t−	X	].
Adsorbsiya,   zarrachalarning   cho'kishi   va   g'ovaklarning   zarrachalardan
ajralib   chiqish   hodisalarini   hisobga   olgan   holda   Birjinslimas   muhitda   moddalarni
ko’chishi   uchun   eng   oddiy   holatlarda   (chiziqli   sorbsiya   izotermlari,   sorbsiyaning
chiziqli kinetikasi, tiqilib qolish va suffuziyaning chiziqli kinetikasi va boshqalar)
chiziqli   shaklga   ega   bo'lgan   ko’chish   tenglamalari   tizimlari   ham   olinadi
[25,44,147,148,150.   ].   Bu   tenglamalarni   yechish   uchun   ba'zi   analitik   yechish
usullarini, masalan, Laplas o'zgartirishlar usulini  ham qo'llash mumkin. Biroq, bu
holatda   ham,   analitik   yechimni   olish   bir   qator   qiyinchiliklarga   duch   kelishi
mumkin.   Shu   sababli,   g'ovakli   muhitda   moddalarni   ko’chish   masalalari   hal
qilishning eng universal usullari sonli usullardir. 
§1.2   da   qayd   etilgan,   atrof   muhit   jinslarning   xususiyatlarining   o'zgarishi
bilan bitta yoriqda moddalarni ko’chish masalasi, tebranish usuli bilan hal qilindi.
Tenglamalar quyidagi o'zgaruvchilar kiritilishi bilan o'lchovsiz shaklga keltiriladi.	
Ci=	ci
c0
,	t=	τ
τ0
=	τD	2
1γ	
x0
(1+β)γ
,Y=	y
y0
,	ε=	D	2
χγ	
D1	
y0
1+α−(1+β)χγ,	Km=	m2
m1
.
Tenglamalarning   o'lchamsiz   shakli   va   unga   mos   keladigan   boshlang'ich   va
chegara shartlari quyidagicha	
εD	t
χC	1=	D	Y
α+1C1,	0<Y<1,
(1,39)	
Dt
γC2=	DY
β+1C2,Y>1,
(1,40)	
C1(0,Y	)=	C2(0,Y)=	0,
(1,41)	
C1(t,0)=1,
(1,42)	
C1(t,1)=C2(t,1),
(1,43)	
Dt
1−χDY
αC1=	εK	mDt
1−γDY
βC2,
(1,44)
21 C2(t,∞	)=	0,(1,45)
bu yerada 	
Dt
χC=	∂χc	
∂tχ,	DY
αC=	∂αc	
∂Yα.
(1.39)   (1.45) masala yechimi quyidagicha ifodalanadi	
‒	
C1(t,Y)=	∑
k=0
∞	
U	k(t,Y)εk,C2(t,Y)=	∑
k=0
∞	
Vk(t,Y)εk,
bu yerda 	
Uk(t,Y),Vk(t,Y)  noma'lum funktsiyalar 
Suyuqlik   oqimi   bilan   bog'liq   masalalar   uchun,   xotira   effektlarini   hisobga
olgan holda, filtratsiya qonuni uchun ham, suyuqlik zichligiga bosim bilan bog'liq
bo'lgan holat tenglamasi uchun ham kasr hosilalari ishlatilgan.
Demak [22,51] Darsi qonuni va holat tenglamasida	
⃗q=−D	∇	p,
(1,46)	
p=	Gρ	,
(1,47)
bu erda 	
⃗q  - suyuqlik massasi oqimi, 	p - bosim, 	ρ  - suyuqlik zichligi, 	D  - filtrlash
koeffitsienti, 	
G  - koeffitsient, xotira effektlarini hisobga olgan holda yoziladi. 	
f1(t)∗⃗q=−	f2(t)∗∇	p,
(1,48 )	
ϕ1(t)∗	p=	ϕ2(t)∗ρ,
(1,49)
Bu yerda 	
f1(t),f2(t),ϕ1(t),ϕ2(t) integro-differensial operatorlar va 	¿ vositalar 	
f(t)∗g(t)=∫
0
t	
f(t−ξ)g(ξ)dξ	.
(1.48), (1.49) munosabatlari quydagi ko’rinishga keltiriladi	
(γ+ε	∂n1	
∂tn1)⃗q=−	(c+d	∂n2	
∂tn2)∇	p,
(1,50)	
(a+b	∂m1	
∂tm1)p=	−	(α+	β	∂m2	
∂tm2)ρ,
(1,51)
bu yerda 	
γ,ε,c,d,a,b,α,β    " xotira sozlamalari",	‒	0≤n1,n2,m1,m2<1.
(1.50), (1.51) da kasr hosilalari Caputo [20, 95] ga muvofiq aniqlanadi.
22 f(n)(t)=	∂nf(t)	
∂tn	=	1	
Г(1−n)∫
0
t
(t−	ξ)−ndf	(ξ)	
dξ	dξ	.(1,52)
 	
⃗q  bir o'lchovli holatda aniq, analitik yechim olindi . 
Yuqoridagi   natijalar   kasr   hosilalari   bilan   differensial   tenglamalarni
yechishda   operativ   usulni   qo‘llash   mumkinligini   ko‘rsatadi.   Tabiiyki,   masala
chiziqli bo'lishi kerak.
Filtrlash   qonunida   xotiraning   ta'sirini   hisobga   olish   uchun   biroz   boshqacha
yondashuv mavjud. Masalan, [12,118] asarlarda	
v=	μ	∂α
∂tα(
∂p
∂x),
(1,53)
bu erda parametr 	
α,0≤	α<1 xotira rolini o'ynaydi.
(1.53) natijasida suyuqlikning qovushqoqlik effekti ham xotiraga ega bo'ladi.
Qayd   etilgan   yechim   usullari   o'ziga   xos   xususiyatga   ega,   ya'ni   ularni   kasr
hosilalari bo'lgan umumiy tenglamalarga, xususan, chiziqli bo'lmaganlarga qo'llash
mumkin   emas.   Shu   jihatdan   sonli   usullar,   xususan,   chekli   ayirmalar   usuli
universaldir.   Keyinchalik,   kasr   hosilalari   bilan   differensial   tenglamalarga   ushbu
usulni qo'llash imkoniyatlarini ko'rib chiqamiz.
Diffuziya   masalalarida   kasr   hosilalardan   foydalanish   yaqin   yillarda   katta
qiziqish uyg'otdi [118]. Xuddi shu ishda kasr hosilalarini yaqinlashtirishning ba'zi
usullari keltirilgan. Diffuziya masalalarida [12,64,86,134] ishlar kasr hosilalaridan
foydalanishga bag'ishlangan. Kasrli hosilalarni yaqinlashtirish butun tartibli oddiy
hosilalarni   yaqinlashtirishga   qaraganda   qiyinroq.   Bu   kasr   hosilalarining   lokal
bo'lmagan   xususiyatga   ega   ekanligi   bilan   bog'liq.   Berilgan   nuqtada   hosilani
taxminan   hisoblash   uchun   berilgan   nuqta   yaqinidagi   ma'lumotlardan   foydalanish
kerak,   hosila   hisoblash   nuqtasi   mintaqa   chegarasidan   qanchalik   uzoqda   bo'lsa,
hosilani hisoblash uchun shuncha ko'p hisob ishlatiladi.
Kasr hosilalarini aniqlash uchun ba'zi formulalarni keltiramiz [72, 95, 104].
Kasr   hosilalari   uchun   eng   mashhur   ta’rif   Rimann-Liuvil   formulasi   bo'lib,   u
quyidagicha 	
x∈[a,b] aniqlanadi.
23 DRL
α	u(x)=	1	
Г(n−α)	
dn	
dx	n∫
a
x
u(ξ)(x−	ξ)n−α−1dξ	,(1,54 )
bu yerda 	
α hosila tartibi, 	n−	1<α<n,n=	[α]+1,[α]−	α  ning butun qismi.
Yana bir ta'rif - Grunvald-Letnikov formulasi	
D	GLα	=	lim
Δx	→0	
1
Δx	α	∑
k=0	
[x−a
Δx	]
(−	1)k¿(α¿)¿	
¿	¿¿
(1,55)
bu yerda 	
α>0  hosila tartibi . 
Haqiqiy sonlar to'plamida har bir chegaralangan funksiya 	
u(x)  uchun (1.54)
qator mutlaqo yaqinlashadi.
(1.55)   dan   foydalanish   ko'pincha   beqaror   farq   sxemalariga   olib   keladi   va
yaqinlashish aniqligi odatda birinchi tartibdan yuqori emas.
Kasr hosilasining yana bir ta'rifi Kaputo [20] tomonidan taklif qilingan. Bu
(1.52) formula bo'lib, uni (1.54), (1.55) ga o'xshash  yozuvda quydagi ko’rinishda
yozamiz.	
Dc
αu(x)=	1	
Г(n−α)∫
a
x
(x−	ξ)n−α−1dnu(ξ)	
dx	n	dξ	,
(1,56)
bu yerda 	
n−	1<α<n,n=	[α]+1.
  (1,56   )   formula   (1,54)   ga   nisbatan   bir   qator   afzalliklarga   ega.   (1.54)   ning
eng   mashhur   va   muhim   kamchiligi   shundaki,   Laplas   o'zgartirish   usulidan
foydalanganda   hosila  	
DRL
α	u(x)   ning   chegara   qiymati  	x=	0.   pastki   chegara
nuqtasida paydo bo'ladi. Bu qiymat ko'pincha muayyan muammolarni hal qilishda
fizik   talqinga   ega   emas.   (1.56)   formula   Laplas   o'zgarishlaridan   foydalanganda,
aniq   fizik   ma'noga   ega   bo'lgan   nuqtadagi    	
x=	a, butun   tartibli   hosila   qiymatini
beradi . Bundan tashqari, doimo Kaputo hosilasi (1.56) nolga teng, Rimann-Liouvil
hosilasi   esa   nolga   teng   emas.   Bu   Caputo   va   Riemann-Liouville   hosilalarining
o'ziga   xos   xususiyatlarini   tavsiflaydi.   Agar  	
Dc
αu(x) va  	DRL
α	u(x) mavjud   bo'lsa,	
[a,b],
unda har qanday uchun	1<α<n
 tenglik 	x∈[a,b]  uchun amal qiladi
24 Dc
αu(x)=	D	RL
α	u(x)−	∑
k=0	
n−1dku(a)	
dx	k	
(x−	a)−α+k	
Г	(−	α+k+1).To'r   oralig'i   bo'lgan   nuqtalar  	
Δx	− bilan   quyidagi   to’rni   kiritamiz   .	
xj=	a+	jΔx	,	j=	0,1	,...,N	,
Kaputo hosilasining yaqinlashuvini ko'rib chiqamiz	
Dc
αu(x)=	1	
Г(2−α)∫
a
x
(x−	ξ)1−αd2u(ξ)	
dξ	2	dξ	.
(1,57)
(1.57) dan 	
xj  har bir nuqtada quydagi ko’rinishga kelamiz	
Dcαu(xj)=	1	
Г	(2−	α)∑k=0
j−1
∫
xk
xk+1
(xj−	ξ)1−αd2u	
dξ	2dξ	.
(1,58)
Odatdagi 	
Dc
αu(xj)  approksimasiyasi	
Dc,1
α,Δx	u(xj)=	1	
Г	(2−	α)∑
k=0
j−1u(xk+2)−	2u(xk+1)+u(xk)	
Δx	2	∫
xk
xk+1
(xj−	ξ)1−αdξ	=	
=	1	
Г	(2−	α)∑
k=0
j−1u(xk+2)−	2u(xk+1)+u(xk)	
Δx	2	⋅Δx	2−α	
2−	α	dj,k=	
=	Δx	−α	
Г	(3−	α)∑
k=0	
j−1
(u(xk+2)−	2u(xk+1)+u(xk))dj,k,
(1,59)
bu yerda 	
dj,k=(j−	k)2−α−(j−	k−	1)2−α.
Approksimasiya (1.59) birinchi darajali	
O(Δx	).
Endi   ikkinchi   tartibli   approksimasiyani   ko'rib   chiqamiz.   Buning   uchun   har
bir nuqtada 	
xj,j=1,2,...,N−1 hisoblashimiz kerak
1	
Г(2−	α)∫
a
xj
(xj−	ξ)1−αd2u(ξ)	
dξ	2	dξ	.
(1,60)
Integrallarni (1.60) hisoblash uchun funktsiyaning ikkinchi hosilasi tugun 	
u
nuqtalari  	
Sj(ξ) kiritilgan   to'rning   tugun   nuqtalariga   to'g'ri   keladigan
25 xk,k=0,1,...,j.chiziqli   splinelar   bilan   yaqinlashadi.   Splayn  	Sj(ξ), quyidagicha
aniqlanadi .	
Sj(ξ)=	∑
k=0
j	d2u(xk)	
dξ	2	Sj,k(ξ),
(1,61)
bu   erda  	
Sj,k(ξ) har   bir   interval   uchun  	[xk−1,xk+1],1≤	k≤	j−1, formulalar   bilan
berilgan	
S
j,k
(ξ)=¿
{
ξ−xk−1	
x
k
−x
k−1
,x
k−1
≤ξ≤x
k
,¿
{
xk+1−ξ	
x
k+1
−x
k
,x
k
≤ξ≤x
k+1
,¿¿¿¿
For 	
k=	0 va 	k=	j,Sk,j(ξ) shaklida berilgan	
Sj,0(ξ)=¿
{
x1−ξ	
x1−x0
,x0≤ξ≤x1¿¿¿¿	Sj,j(ξ)=¿
{
ξ−xj−1	
xj−xj−1
,xj−1≤ξ≤	xj¿¿¿¿
Shunday qilib, (1.60) ga yaqinlik quyidagi shaklga ega	
1	
Г(2−	α)∫
a
xj
(xj−	ξ)1−αd2u(ξ)	
dξ	2	dξ	=	1	
Г(2−	α)∫
a
xj
(xj−	ξ)1−αSj(ξ)dξ	=	
=	1	
Г	(2−	α)∑
k=0
j	d2u(xk)	
dξ	2	∫
a
xj
(xj−	ξ)1−αSj,k(ξ)dξ	=	Δx	2−α	
Г(4−	α)∑
k=0
j	d2u(xk)	
dξ	2	aj,k,
bu yerda	
aj,k=	(j−	1)3−α−	j2−α(j−	3+α),k=	0,	
aj,k=	(j−	k+1)3−α−	2(j−	k)3−α+(j−	k−	1)3−α,	1≤	k≤	j−	1,	
aj,k=1,k=	j.
Natijada, Kaputo hosilasining yaqinlashuvini quyidagicha yozish mumkin
26 Dcα,Δx	u(xj)=	Δx	−α	
Г	(4−	α)[aj,0δ0u0+∑
k=1
j	
aj,kδ2uk],(1,62)
bu yerda 	
δ0,δ2  quyidagi operatorlar 	
δ0uj=	2u(xj)−	5u(xj+1)+4u(xj+2)−	u(xj+3)	
δ2uj=	u(xj+1)−	2u(xj)+u(xj−1).
Agar  	
u(x)∈C3[a,b] va  	1<α<2, keyin   approksimasiya   (1.62)   ikkinchi
tartibli bo'ladi,  ya'ni	
O(Δx	2).
Shunga   o'xshash   approksimasiyalarni   Riemann-Liouville   va   Grunvald-
Letnikov hosilalari uchun ham kiritish mumkin. Ammo, kelajakda biz faqat Caputo
lotinlaridan   foydalanamiz,   shuning   uchun   bu   approksimasiyalar   bu   erda
berilmaydi.   So'nggi   paytlarda   asosan   Kaputo   formulasidan   foydalanilganiga
qaramay,   Riemann-Liouville,   Grunvald-Letnikov   kasr   hosilalari   qo'llaniladigan
ishlar   mavjud.   Shunday   qilib,   masalan,   [68]   da   kasr   hosilasi   bilan   parabolik
tenglama   uchun   qo'yilgan   namlikning   tarqalishi   masalasini   sonli   hal   qilish   uchun
quydagi tenglamadan foydalanamiz.
∂u(t,x)	
∂t	=	D	∂αu(t,x)	
∂xα	,1<α<2
Grunvald-Letnikov hosilasi ishlatilgan.
[133]   da   konvektiv-diffuziya   ko’chishning   bir   o'lchovli   tenglamasi   ko'rib
chiqiladi.	
∂γc	
∂tγ+v∂c
∂x=	D	∂αc	
∂xα,
(1,63)
Bu yerda 	
0<γ≤	1,1<α≤	2.
(1.63) ni to’r usulida yechish uchun quyidagi to’r kiritiladi	
xj=	jh	,h>0,tn=	nτ	,τ>0,	j=0,1,...,	n=0,1,...,	
h,τ−	x
va vaqt 	t bo'yicha to’r qadamlari.
Kaputo tomonidan aniqlangan vaqtga nisbatan kasr hosilasi
27 ∂
γ
c(t,x)	
∂t
γ	=¿
{	
1	
Г(1−γ)
∫
0
t
(t−ξ)
−γ∂c
∂ξ
dξ	,0<γ<1,¿¿¿¿(1,64)
To’rning tugun nuqtasida 	
(tn,xj) (1.64) integral quyidagicha aniqlanadi	
∂γс	
∂tγ|(tn,xj)=1
Г(1−	γ)∫
0
t
(t−	ξ)−γ∂c(ξ,xj)	
∂ξ	dξ	=	
1
Г(1−γ)[∑k=0
n−2
∫
tk
tk+1
(tn−	ξ)−γ∂c(ξ,xj)	
∂ξ	dξ	+∫
tn−1
tn
(tn−	ξ)−γ∂c(ξ,xj)	
∂ξ	dξ	]=	
=1
Г(1−	γ)[∑k=0	
n−2c(tk+1,xj)−	c(tk,xj)	
τ	∫
tk
tk+1
(tn−ξ)−γdξ	+
c(tn,xj)−	c(tn−1,xj)	
τ	∫
tn−1
tn
(tn−ξ)−γdξ	
]
=	
=	τ1−γ	
Г(2−γ)[∑
k=0	
n−2c(tk+i,xj)−	c(tk,xj)	
τ	((n−	k)1−γ−(n−	k−1)1−γ)+
c(tn,xj)−c(tn−1,xj)	
τ	].	(1.65	)
Vaqtning   ma'lum   bir   nuqtasi   uchun  	
tn  	c(tk,xj),k=0,1,...,n−1 ma'lum.
Shuning   uchun   yig'indi   ostidagi   ifoda   ma'lum.   Ularni   quydagi   ko’rinishda
keltirilgan	
A=	τ1−γ	
Г	(2−	γ)∑
k=0	
n−2c(xj,tk+1)−	c(xj,tk)	
τ	((n−	k)1−γ−	(n−	k−	1)1−γ)
(1.65) ko’rinishda yozish mumkin	
∂γc	
∂tγ|(tn,xj)=	A+	
τ−γ	
Г(2−	γ)
[с(tn,xj)−	c(tn−1,xj)].
Approksimasiyalash uchun 	
∂αc	
∂xα ishlatiladi	
∂αc	
∂xα|(tn,xj)=	1	
Г(−	α)hα[∑
k=0
j	Г	(k−	α)	
Г	(k+1)
c(tn−1,xj−k+1)+∑
k=0	
n−jГ	(k−	α)	
Г	(k+1)
c(tn−1,xn−k)].
Shunga o'xshash approksimasiyalar [75, 76, 130, 132] da ishlatilgan.
28 Yuqorida   keltirilgan   materialdan   ko'rinib   turibdiki,   differensial
tenglamalarni   kasr   hosilalari   bilan   yechish   uchun   turli   usullardan   foydalanish
mumkin. Ko'rib chiqilayotgan muhitning eng universal usuli - bu chekli ayirmalar
usuli.   Bundan   tashqari,   biz   turli   masalalarni     hal   qilish   uchun   ushbu   usuldan
foydalanamiz.   Bunday holda, yuqorida keltirilgan kasr hosilalarining yaqinlashuvi
qo'llaniladi.
29 2-BOB. Bir o’lchovli holda kasrli diffuziya tenglamalarni son usullari.
§ 2.1Kasrli diffuziya tenglamasi
Bir jinsli muhitda moddalarni ko’chish jarayonining standart modeli klassik 
konveksiya-diffuziya tenglamasi bo'lib, u bir o'lchovli holatda manbalar bo’lmagan
holda quyda ko’rinishga ega.∂C
∂t=−υ∂C
∂x+D	∂2C	
∂x2
                                          (1.1)
Bunda 	
D  parametri muhitdagi nuqtalarning Broun harakatini xarakterlaydi, 	υ  esa 
ularning 	
x  o‘qi bo‘yicha ko’chish tezligidir.
Agar biz Dirak 	
δ(x−a)  funksiyasini boshlang'ich shart sifatida oladigan bo'lsak, u 
holda har qanday 	
t  vaqtda Gauss kontsentratsiya profili markazdan masofa bilan 
juda tez (eksponensial) kamayib boruvchi butun qismlarga ega bo'ladi:	
C(x,t)=	1	
2√πDt	e
(a−x+υt)2	
4Dt
                                        (1.2)
Ikki harakatlanayotgan zarrachalar orasidagi masofa 	
t1/2   ga oshadi. [1] 
Boshqa tomondan, (1.1) tenglama ko’chish jarayonlarini modellashtirish uchun har
doim ham mos kelmasligini ko'rsatadigan laboratoriya tajribalari [157] mavjud. 
Birjinslimas muhitda konsentratsiya profillari "qiyshiq" (assimetrik) bo'lishi 
mumkin.
Hozirgi vaqtda bir jinsli muhitda bunday hodisalarni tasvirlash uchun kasr hosilali 
diffuziya modeli qo'llaniladi. Shunday qilib, bir o’lchovli klassik tenglama (1.1) ni 
umumlashtiriladi va quyidagi quydagi ko’rinishga keltiriladi:	
∂C
∂t=−υ∂C
∂x+(1+β)⋅D
2⋅∂αC	
∂xα+(1−	β)⋅D
2⋅	∂2C	
∂(−	x)2
                            (1.3)
Bu erda 	
C(x,t)  - o'tkazilgan moddaning konsentratsiyasi, 	υ  - konvektiv o'tish 
tezligi, 	
D  - dispersiya koeffitsienti, 	α  - differentsiallash operatorining kasr 
darajasi 	
1≤α≤2 , 	β  - uning qiyshayish simmetriyasi koeffitsienti 	−1≤	β≤1 .  (1.3) 
ifoda bir o'lchovli kasr hosilali diffuziya tenglamasini beradi.
30 §2.2  Grunvald-Letnikov usuli
[2] da bu usul ham batafsil tavsiflangan. Furye usulidan farqli o'laroq, u ayirmali 
usul bo'lib, Grunvald-Letnikov kasr hosilasining ta'rifiga asoslanadi. Ushbu 
algoritmning mohiyati quyidagicha. Dastlabki kasr diffuziya tenglamasini operator
ko’rinishda berilgan [2]:Cin+1−Cin	
τ	=	(1+β)	
2	⋅Li⃗Cn+(1−	β)	
2	⋅Ri⃗Cn	
Li⃗Cn={
ΔαCn	
Δx	α}i+1
=	1
h(+αFi+1/2	n	−+αFi−1/2	n	)
,   (	
1≤α≤2 ),                     (2.6)(2.1)	
Ri⃗Cn={	
ΔαCn	
(−Δx	)α}i−1
=1
h(−αFi+1/2	n	−−αFi−1/2	n	)
,   (	
−1≤	β≤1 )
Bu yerda F oqimlari Grunvald-Letnikov kasr hosilasi ta'rifi bo'yicha hisoblanadi:	
+αFi+1/2	n	={
Δα−1	
Δx	α−1}i+1
=1
hα−1	∑
k=0	
[(x−a)/h]
λk⋅C(xi+1−k⋅h,t),	
−αFi+1/2	n	={
Δα−1	
(−	Δx	)α−1}i
=−1
hα−1	∑
k=0	
[(b−x)/h]
λk⋅C(xi+k⋅h,t),
                          (2.2)
 	
λk=(−1)k
(
α−1
k	)  koeffitsientlari rekursiv munosabatda ifodalanadi: 
,   	
λ0=1       (2.3)
Barcha oraliq hisob-kitoblarni amalga oshirgan holda, 	
α  ≠1, 2 uchun  R  va  L  
operatorlari asosiy diagonallarga ulashgan identifikatsiya elementlari bilan to'liq 
to'ldirilgan uchburchak matritsalar ekanligini ta'kidlaymiz. Masalan,  L  operatori 
quyidagi ko’rinishga ega:
31	
λk+1=−	λk⋅(α−	k−1)	
k+1 L=	1
hα
(	
θ1	1	0	⋯	⋯	⋯	0	0	0	0	
θ2	θ1	1	0	⋯	⋯	⋯	0	0	0	
θ3	θ2	θ1	1	0	⋯	⋯	⋯	0	0	
θ4	θ3	θ2	θ1	1	0	⋯	⋯	⋯	0	
⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	
θN−4	θN−5	⋯	θ3	θ2	θ1	1	0	0	0	
θN−3	θN−4	⋯	⋯	θ3	θ2	θ1	1	0	0	
θN−2	θN−3	⋯	⋯	⋯	θ3	θ2	θ1	1	0	
θN−1	θN−2	⋯	⋯	⋯	⋯	θ3	θ2	θ1	1	
θN	θN−1	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯	θ3	θ2	θ13
)                          (2.4)	
θK
 koeffitsientlari rekurent bo'lsa:	
θk+1=−	θk⋅(α−	k)	
k+1
 ,   	θ0=1                                 (2.5)
Tahlil shuni ko'rsatadiki, bu sxema 	
h  va 	τ  da birinchi tartibli (2.1) dastlabki 
tenglamaga yaqinlashadi va 	
ατ
ha≤1 da turg’undir.
Grunvald-Letnikov ta'rifiga asoslangan shartsiz barqaror qisman oshkormas sxema 
ham mavjud. Usul quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:	
Ci
n+1	
τ	=(1+β)⋅(
+α~Fi+1/2	
n+1/2−+α~Fi−1/2	
n+1/2	
h	)+(1−	β)⋅(
−α~Fi+1/2	
n+1/2−−α~Fi−1/2	
n+1/2	
h	)
,         (2.6)
Bu yerda	
+α~Fi+1/2	n+1/2=Ci+1n+1−(α−1)Cin+1	
ha−1	+(Lrest	)i+1/2	n
,	
−α~Fi+1/2	n+1/2=−Cin+1−(α−1)Ci+1n+1	
ha−1	+(Rrest	)i+1/2	n
,
(2.12)	
(Lrest	)i+1/2	n	=	1
hα−1	∑k=0	
[(x−a)/h]
λk⋅Ci−kn
;   	(Rrest	)i+1/2	n	=	−1	
hα−1	∑k=0	
[(b−x)/h]
λk⋅Ci+kn
32 Oqimlarni (2.12) almashtirgandan so'ng, (2.6) tenglama uch diagonal matritsa bilan
ifodalangan tenglamaga o’zgaradi, bu oddiyroq uch nuqtali progonka usuli bilan 
yechiladi:Cin+1−Cin	
τ	=(1+β)⋅(
Ci+1n+1−	α⋅Cin+1+(α−	1)Ci−1n+1	
hα	)+(1−	β)⋅(
(α−1)Ci+1n+1−	α⋅Cin+1+C	i−1n+1	
hα	)+Qin
(2.13)	
Qi
n=	1
h(1+β)⋅[(Lrest	)i+1/2	
n	−	Lrest	)i−1/2	
n	]+1
h(1−	β)⋅[(Rrest	)i+1/2	
n	−	Rrest	)i−1/2	
n	]
Ushbu sxemalarning asoslanishi va tahlili [157] da batafsil berilgan.
33 §2.3  Riman – Liuv illa usuli
Yunalish bo’yicha  approksimatsiya tartibini oshirish zarurati oldingi ayirmali 
sxemalari (birinchi tartibdagi) α  ning kichik qiymatlari uchun kontsentratsiya 
profilining xatti-harakatlarini nokorrekt  berilganligi bilan bog'liq.  Tugunlar 
sonining ko'payishi muammoni qisman hal qildi, ammo hisoblash jarayonining 
sezilarli darajada oshishiga olib keldi.  Riman – Liuvilla  ta'rifi  har qanday aniqlik 
bilan sonli hisoblash mumkin bo'lgan ba'zi integrallarni o'z ichiga oladi. Shuning 
uchun, bu ta'rif bizga kasr hosilalarini istalgan tartibda approksimatsiya qilish 
imkonini beradi.
Demak, m =1 uchun 	
[a,b]  oraliqda Riman va Liuvil  [157]  bo’yicha kasrli 
differentsiallash amallari quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:	
∂αC	
∂xα=1
Γ(1−α)⋅d
dx	∫
a
xC(t)dt	
(x−t)α	
∂αC	
∂(−	x)α=−1
Γ(1−	α)⋅d
dx	∫
x
bC(t)dt	
(t−	x)α
                             (2.7)	
x∈[a,b],
    	0≤a<1
Kasrli diffuziyaning dastlabki tenglamasini ayirmali ko’rinishida tasvirlaymiz:	
Cn+1−Cn	
τ	=(1+β)	
2	⋅
+Fi+1/2	n	−+Fi−1/2	n	
h	+(1−β)	
2	⋅
−Fi+1/2	n	−−Fi−1/2	n	
h
               (2.8)
(2.8) ifoda 	
τ  dagi birinchi approksimatsiya tartibini beradi. 	h  dagi 
approksimatsiya tartibi F oqimlarini qanchalik to'g'ri ifodalashimizga bog'liq 
bo'ladi. Masalan, 	
+Fi+1/2	
n  oqimini ko'ramiz: 	
+Fi+1/2	n	=	∂α−1C	
∂xi+1/2	α−
,            	1≤	a<2                                      (2.9)
Keyin (2.7) ta'rifga ko'ra, unga kiritilgan integralni hisoblash sistemasining 
tugunlari bilan chegaralangan segmentlar bo'yicha integrallar yig'indisiga 
bo'lgandan so'ng, biz quyidagilarni ko’rinishga kelamiz:
34 +Fi+1/2	n	=	1	
Γ(2−α)⋅	d	
dx	i+1/2[∑k=i+1	
N−2
∫xk
xk+1	C(t)dt	
(xi+1/2−t)a−1+∫xi
x+1	C(t)dt	
(xi+1/2−t)a−1]            (2.10)	
x0=a
,    	1≤	a<2	
−Fi+1/2
n
 oqimi aynan shu tarzda yoziladi	
−Fi+1/2	n	=	−1	
Γ(2−α)⋅	d	
dx	i+1/2[∑k=i+1	
N−2
∫xk
xk+1	C(t)dt	
(t−xi+1/2)a−1+	∫
xi+1/2	
x+1	C(t)dt	
(t−xi+1/2)a−1]
         (2.11)	
xN−1=b
,    	1≤	a<2	
h
 dagi ikkinchi darajali approksimatsiyaning ayirmalar usulini olish uchun 	C(x)  
integralini uzluksiz,  chiziqli bo’laklab 	
βk⋅x+γk funksiya sifatida ko’rsatish kifoya, 
bunda	
x∈[xk,xk+1]	
βk=
Ck+1−Ck	
h	
γk=Ck−	βk⋅xk
                                                 (2.12)
Umuman olganda, (2.10) va (2.11) formulalar bo'yicha oqimlarni aniqlashda 
xatolik 	
hm+2  dan oshmaydi, bu erda 	m  - 	C(x)  funksiyasi 	[xk,xk+1]  oraliqlari ichida 
interpolyatsiya qilinadigan polinom darajasi. Bu holatda, 	
m=1 , 	F  oqimlari 	h  da 
uchinchi darajaga approksimatsiyadir va shuning uchun butun sxema (2.8) ikkinchi
tartibli.
Bundan tashqari (2.10) va (2.11) formulalardagi integratsiyani analitik tarzda 
bajarish mumkin. Natijada, biz operator shaklida qulay tarzda ifodalangan ikkala 
oqim uchun quyidagi ifodalarni olamiz:	
Li⃗Cn=1
h(+Fi+1/2	n	−+Fi−1/2	n	)	
Ri⃗Cn=1
h(−Fi+1/2	
n	−−Fi−1/2	
n	)
                                            (2.13)
Hisoblash shuni ko'rsatdiki,  L  va  R  matritsalarining shakli oldingi bobda 
Grunvald-Letnikov usulida olingan matritsalarga o'xshaydi. Biroq (2.4) 
operatoridagi 	
θk  koeffitsientlari murakkabroq shaklga ega bo'ladi:
35 θ0=1
(2−α)⋅Γ(2−	α)⋅22−α	
θ1=θ0(32−α−2)	
θk=θ0[(2k−3)2−α−	2⋅(2k−1)2−α+(2k+1)2−α]	
k≥2,	
1≤α<2                          (2.14)
Shunday qilib, biz fazoda ikkinchi darajali approksimatsiyaning aniqroq raqamli 
usulini oldik. Sxema, tahlil shuni ko'rsatadiki, 	
ατ
ha≤1 da ham turg’un.
Ushbu sxema ham o'zgartirilishi mumkin, bu uni qisman oshkormas va shartsiz 
turg’un qiladi. Yangi 	
θk  koeffitsientlarini (2.6)-(2.13) tenglamalar bilan 
tavsiflangan tayyor Grunvald-Letnikov usuliga almashtirish kifoya. Bunday holda, 
biz 	
τ  vaqt qadamini oshirish imkoniyati tufayli yanada soddaroq algoritmga ega 
bo'lamiz.
36 3-BOB Ikki sohali birjinislimas muhitlarda modda ko’chishi
Ushbu   bobda   biz   model   asosida   ikki   sohali   Birjinslimas   g'ovak   muhitda
moddalarning   ko’chishini   qaraymiz   [37].   3.1-paragrfda   moddaning   har   xil
xususiyatlarga ega bo'lgan ikki sohali muhitda  ko’chishi ko'rib chiqiladi [154]. 3.2-
paragrfda   nomuozanat   adsorbsiyasili   moddaning   Birjinslimas   g'ovakli   muhitga
ko’chishi  qaraladi [155]. 
§3.1. Har xil xususiyatlarga ega bo'lgan ikki sohali muhitda moddalarning
ko’chishi
Kolloid   zarralar   bir   jinsli   tuzilishga   ega   bo'lgan   muhitlarga   qaraganda
strukturali   g'ovak   muhitda   nisbatan   tezroq   harakatlanishi   va   uzoq   masofalarni
bosib   o'tishi   mumkin   [23,67,87,90].   Buning   sababi   moddalarning   tez   ko’chishiga
yordam   beradigan   muhitning   mavjudligi.   YG’Mlar   strukturasi     moddaning   tipik
namunasidir [102, 128]. Bunday muhitlarda moddalarni ko’chini modellashtirishda
odatda suyuqlik va u bilan birga qattiq zarralar yoki unda muallaq erigan moddalar
harakatining   asosiy   yo'llari   yoriqlar   deb   hisoblanadi.   Soddalashtirilgan
modellardagi   g’ovak   bloklar   suyuqlik   uchun   o'tkazmaydigan   hisoblanadi,   ammo
zarralar   yoki   erigan   moddalar   diffuziya   orqali   ularga   kirib   borishi   mumkin.
Shunday   qilib,   muhitda   ikkita   zona   hosil   bo'ladi,   biri   harakatchan   suyuqlik
(yoriqlar),   ikkinchisi   esa   harakatsiz   (g'ovakli   bloklar).   Massa   almashinish
jarayonlari zonalar orasida sodir bo'ladi.
G'ovakli   muhitda   moddalarning  jadal   ko’chishi   ko'plab   omillarning  natijasi
bo'lishi mumkin. Shuning uchun bu hodisani matematik modellashtirishda ma'lum
qiyinchiliklar   mavjud   .   Ushbu   yo'nalishdagi   ba'zi   modellar   [   47,109,116,125]
asarlarda taqdim etilgan. Ushbu modellarda yuqorida keltirilgan  ikki sohali muhit
(yondashuv)   ishlatilgan.     Zonalar   orasidagi   massa   almashinuvi   birinchi   tartibli
kinetik   tenglama   bilan   modellashtirilgan   [27,   127].   Sohalar   orasidagi   kinetik   va
chiziqli   massa   almashinishi   kombinasiyasi   biroz   boshqacha   yondashuvda   taklif
37 qilingan   [73].   Ikki   sohali   yondashuvning   ba'zi   modifikatsiyalari   -   bu   har   ikkala
zonadagi suyuqlik harakatini hisobga oladigan, ammo har xil ko’rinish ega bo'lgan
yondashuv [47, 109].
Kolloid   zarrachalarni   g'ovak   muhitga   ko’chish   jarayonida   ularning
g'ovaklarga   cho'kishi   sodir   bo'ladi,   ularning   sabablari   har   xil   bo'ladi.   Cho'kma,
zarrachalarning   tog’   jins   skeletining   yuzasi   bilan   o'zaro   ta'sir   qilish   xususiyati   va
joyiga   qarab,   qaytariladigan   yoki   qaytarilmas   bo'lishi   mumkin.   Ushbu   omillarni
hisobga   olgan   holda,   ko’chish   modellari   tabiiy   ravishda   murakkablashadi.
Qaytariladigan   va   qaytarilmaydigan   cho'kishni   hisobga   olgan   holda   ikki   marta
g'ovaklikka   ega   bo'lgan   muhitda   moddalarning   ko’chishi   bunday   murakkab
modellar   bilan   tavsiflanadi.   Bunday   holda,   modellarda   muhitning   strukturasini
hisobga   olish   muhim   ahamiyatga   ega   [16,   18,  115].  Ikki   sohalar   orasidagi   massa
almashinuvi   har   bir   zonada   o’tirib   qolgan   moddaning   hajmiga   bog'liq   deb
hisoblanadi,   bundan   tashqari,   ko’chish   jarayonidan   kichik   teshiklarni   hisobga
olmaslik   mumkin,   ya'ni   moddalarning   cho'kishi   tufayli   ularning   berkiladi
[16,48,100].
[74]   da   kolloid   moddalarni   ikki   marta   g ovaklikka   ega   bo lgan   muhitdaʻ ʻ
ko’chish   modeli   keltirilgan   bo lib,   unda   zarrachalarning   qaytar   va   qaytarilmas	
ʻ
holati   qaralgan,   shuningdek,   yoriqlar   va   g ovak   bloklar   orasidagi   massa	
ʻ
almashinuvi   hisobga   olingan.   Olingan   analitik   yechim   eksperimental   natijalarni
tavsiflash   uchun   ishlatilgan   [15].   Nazariy   va   eksperimental   natijalar   o'rtasida
yaxshi natijaga erishildi. Dispersiya va o’tirib qolish parametrlari kattaroq zarralar
uchun  yuqoriroq  bo'lgan,   nisbatan   kichik   g’ovakli   muhit   uchun   qaytariladigan   va
qaytarilmaydigan zarrachalarni o’tirib qolish intensivligi kattaroq edi.
Har ikkala zonada ham turli xarakteristikalar (parametrlar) bo‘yicha kolloid
zarrachalarning   teskari   o’tirib   qolish   mavjud   degan   farazda   kolloid   ko’chish
jarayonini   ko‘rib   chiqamiz.   Nisbatan   aytadigan   bo'lsak,   har   bir   zonada   ikkita
maydon   mavjud   bo'lib,   ulardan   birida   zarrachalarni   o’tirib   qolish   darajasi
ikkinchisiga   qaraganda   yuqori,   zarrachalarni   chiqarish   tezligi   esa   ikkinchisiga
qaraganda   nisbatan   past.   Bu   yondashuv   [74]   ga   qaraganda   realroqdir,   chunki
38 zarrachalarning   qaytarilmas   o’tirishi   jarayonning   dastlabki   bosqichida,   muhitning
tog   jinslari   yuzasida   kolloid   zarrachalarning   monoqatlami   hosil   bo lgandaginaʻ ʻ
kuzatiladi   [17,35,50].   Shunday   qilib,   zarrachalarning   qaytarib   bo'lmaydigan
o’tirishi vaqt chegarasiga ega bo'lib, undan tashqarida u qaytariladigan bo'ladi. [74]
da,   qayta   tiklanmaydigan   kechikish   jarayonning   butun   davomiyligi   uchun
ishlatiladi, ya'ni   butun vaqt oralig'i uchun. Shu munosabat bilan, ikki tomonlama
qaytariladigan o’tirib qolish   kinetikasidan foydalanish afzal roqdir . Bunday holda,
qaytarilmas   o’tirib   qolish   kinetikasini   qaytariladigan   kinetikaning   cheklovchi
holati sifatida ko'rib chiqish mumkin bo'ladi.
Quydagi   rasmda   belgilanishdagi   indeks   1   bo'lgan   birinchi   zona   yuqori
o'tkazuvchanlikka ega, ikkinchi zona esa past. Har bir sohada ikkita muhit mavjud
bo'lib,   ularning   har   birida   qaytarilmas   muvozanat   kinetikasiga   ega   bo'lgan
moddaning cho'kishi sodir bo'ladi.
Bir o'lchovli holatda moddaning ko’chishi tenglamalari quyidagicha yozilishi
mumkin [73]	
ρ
∂Sal	
∂t	+ρ
∂Ssl	
∂t	+θl
∂C	l	
∂t=	θlDl
∂2Cl	
∂x2−	θlvl
∂C	l	
∂x	+α(Cm−	Cl)
,  ( 3.1)	
(l=	1,2	;	m=	2,1	)
,
39Rasm. 3.1. Ikki sohali modda ko’chish sxemasi S
s2S
s1
S
a1
S
a2k
sd1
k
s1
k
a1
k
ad1 k
sd2
k
s2
k
a2
k
ad2C
2C
1
v
1 v
2 bu   yerda  t   vaqt,  ‒ s,  	x  ‒	м3/кг   masofa   ,  	Ssl m,  	Dl  ‒	θl   dispersiya   koeffitsienti   ,	
м2/с
,   	‒	vl suyuqlik   harakati tezligi, m/   s   ,  	v1>v2 ,  	Сl   - suyuqlikda hajmiy modda
konsentrasiyasi,  	
м3/м	3 ,	ρ   muhitning   zichligi,  	кг/м	3 ,	α   zonalar   orasidagi   massa
uzatish koeffitsienti,  	
с−1 ,    	Sal   va   	Ssl    modda cho’kindi konsentrasiyasi,  	‒	м3/кг ,	
θl
   soha g’ovakligi, ‒	м3/м	3 .
Har   bir   zona   bo'limida   moddalarning   cho'kishi   kinetik   tenglamalarga
muvofiq teskari tarzda sodir bo'ladi.	
ρ
∂Sal	
∂t	=	θlkalCl−	ρk	adl	Sal,	(l=	1,2	)
,  ( 3.2)	
ρ
∂Ssl	
∂t	=	θlkslCl−	ρk	sdl	Ssl,	(l=	1,2	)
,  ( 3.3)
Bu   yerda    	
kal ,	ksl     moddalarning   suyuq   fazadan  	‒ qattiq   fazaga  	с−1 cho‘kish
koeffitsientlari   ,  	
l ,  	kadl	,	ksdl   moddaning   qattiq   fazadan   ajralish   va   suyuqlikka	‒
o‘tish koeffitsientlari, 	
с−1 ,
Moddaning doimiy konsentratsiyasi bo'lgan suyuqlik, vaqtning boshlang'ich
momentidan boshlab toza (moddasiz) suyuqlik bilan to'yingan muhitga to’ldirilgan	
с0
. Konsentratsiya maydoni muhitning o'ng chegarasiga etib bormaydigan shunday
vaqt   davrlarini   ko'rib   chiqaylik  	
x=∞ .   Berilgan   farazga   ko'ra,   masalaning
boshlang'ich va chegaraviy shartlari quydagi ko’rinishga ega	
Сi(0,х)=	0,	Sal(0,x)=	0,Ssl(0,x)=	0,
( 3.4)	
Сl(t,0)=	c0,
( 3.5)	
∂Cl	
∂x	(t,∞	)=	0,	l=	1,2	.
( 3.6)
(3.1) - (3.6), Masala chiziqli bo'lsa-da, analitik yechimni olish qiyin, chunki
zonalarning   har   birida   bir   vaqtning   o'zida   uchta   maydonni   topish   kerak.   Shuning
40 uchun masalani yechish uchun biz chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. Ko'rib
chiqilayotgan   sohada    Ω	=	{(t,	x),0≤	t≤	T	,	0≤	x≤	∞	}   yo'nalishlar   bo'yicha   to’r
formasi joriy etilgan	
ω	τh=	{(tj,xi);tj=	τj	,	xi=	ih	,τ=	T
J	
,i=	0,I,	j=	0,J}
,
bu yerda 	
I  etarlicha katta butun son bo'lib, oraliq bo'lishi uchun tanlangan 	[0,xI]	
xi=	ih	,
oraliq hisoblangan maydon o'zgarishi maydonini bir-biriga birlashtiradi	
Ci,Sai
va 	Ssi  	x yo'nalishdagi katak  h qadam bo'ladi.
Ochiq to’r sohasida	
ω	τh=	{(tj,	xi);	tj=	τj	,	xi=	ih	,	τ=	T
J	
,	j=	1,J	,	i=	1,I−	1,}
(3.1), (3.2), (3.3) tenglamalar quyidagicha approksimasiya qilingan	
ρ(Sal)ij+1−	(Sal)ij	
τ	+ρ(Ssl)ij+1−	(Ssl)ij	
τ	+θl
(Cl)ij+1−	(Cl)ij	
τ	=	
=	θlD	l
(C	l)i−1j+1−	2(Cl)ij+1+(Cl)i+1j+1	
h2	−	θlvl
(Cl)ij+1−	(Cl)i−1j+1	
h	+α(Cm)ij−	α(Cl)ij,
(3.7)	
(l=	1,2	;	m=	2,1	)
,	
ρ
(Sal)i
j+1−(Sal)i
j	
τ	=	θlkal(Cl)i
j−	ρk	adl	(Sal)i
j+1,	(l=	1,2)
,  ( 3,8)	
ρ
(Ssl)i
j+1−(Ssl)i
j	
τ	=	θlksl(Cl)i
j−	ρk	sdl	(Ssl)i
j+1,	(l=	1,2)
,  ( 3,9)
bu   yerda  	
(Сl)i
j ,  	(Sal)i
j ,  	(Ssl)i
j nuqtadagi  	(tj,xi) ,  	Sal(t,x) ,  	Ssl(t,x) ,  	(l=1,2)
funksiyalarning to’r qiymatlari 	
Cl(t,x) .
Aniq to’r tenglamalaridan (3.8), (3.9) ni aniqlaymiz 	
(Sal)i
j+1 ,	(Ssl)i
j+1
41 (Sal)i
j+1=	pb1(Sal)i
j+pb2,(l=1,2;b=1,2),  ( 3.10)	
(Ssl)i
j+1=qb1(Ssl)i
j+qb2,(l=1,2;b=1,2)
,  ( 3.11)
Bu yerda 	
pb1=	1	
1+τk	adl
.. 	
pb2=	
τθ	lkal	
ρ+ρτ	kadl	
(Cl)i
j,(l=1,2;b=1,2) _	
qb1=	1	
1+τk	sdl
, 	
qb2=	
τθ	lksl	
ρ+ρτ	ksdl	
(Cl)i
j,(l=1,2;b=1,2) .
To’r tenglamalari (3.7) ko’rinishga keltiriladi	
Al(Cl)i−1
j+1−	Bl(Cl)i
j+1+El(Cl)i+1
j+1=−(Fl)i
j,(l=1,2)
,  ( 3.12)
Bu yerda	
Al=	
θlDlτ	
h2	+
θlvlτ	
h
,	
Bl=	θl+
2θlDlτ	
h2	+
θlvlτ	
h
,	
El=	
θlDlτ	
h2
,	
(Fl)i
j=(θl−	ατ	)(C	l)i
j+ατ	(C	m)i
j−	ρ((Sal)i
j+1−(Sal)i
j)−	ρ((Ssl)i
j+1−(Ssl)i
j),	
(l=1,2;m=2,1	)
.
Yechimlarni   hisoblashning   quyidagi   tartibi   o'rnatiladi.   (3.10),   (3.11)   ga
binoan  	
(Sal)i
j+1 ,  	(Ssl)i
j+1   ni   aniqlaymiz   ,   keyin   chiziqli   tenglamalar   sistemasini
(3.12)   progonka   usuli   bilan   yechamiz   –  	
(Cl)i
j+1,(l=1,2). Chunki  	pb1,qb1<1 ,
(3.10),   (3.11)   sxemalar   barqaror,   (3.12)   uchun   esa   barqarorlik   shartlari   progonka
usuli qoniqtiriladi 	
(b=1,2) .
Hisob-kitoblarda dastlabki parametrlarning quyidagi qiymatlari ishlatilgan:	
v1=10	−4м/с
,  	v2=10	−5м/с ,  	D1=	v1⋅αl ,  	D	2=	v2⋅αl ,	θ1=	0,1	,	θ2=	0,4	
ka1=3⋅10	−4с−1,kad1=2,5	⋅10	−4с−1,ks1=4⋅10	−4с−1,ksd1=	2⋅10	−4с−1,ρ=1800	кг/м	3,	
ka2=	4⋅10	−4с−1,kad	2=	2⋅10	−4с−1,	ks2=	5⋅10	−4с−1,	ksd2=	10	−4с−1,
 	αl=	0,005	м.
42 3.2   Rasmda.     U shbu   parametr   qiymatlari   uchun   natijalarni   ko'rsatilgan.
Grafiklardan   ko'rinib   turibdiki,   moddaning   muhit   zonalarida   sezilarli   farq   bilan
ko’chishi   mavjud,   bu   ikki   zonaning   xususiyatlari   o'rtasidagi   qarama-qarshilik
natijasidadir. Ikki zonada o’tirib qolgan moddalarning tarqalishida sezilarli  farqni
ko'rish   mumkin.   3.2-   va   3.3-rasmlarni   solishtirganda   3.3-rasmda   muallaq   va
cho'kma   moddalarning   konsentrasiyalari   ko'rsatilgan  ksd1=	ksd2=	0. ,   har   bir
zonaning   har   ikki   qismida   moddalarning   cho'kishining   qaytishini   hisobga   olish
cho'kishning umumiy hajmini pasayishiga olib keladi.
3.4-rasmda turli qiymatlar uchun grafiklar ko'rsatilgan. Taqdim etilgan 	
α.
da   natijalardan   ko'rinib   turibdiki,   qiymatlarning   o'sishi  	
α ikkala   zonada   ham
moddalar tarqalishining yaqinlashishiga olib keladi. Bu klassik natijalar bilan to'liq
mos   keladi.  	
α ning   katta   qiymatlarda   ikkala   zonaning   xarakteristikasidagi   farq
kamayadi, ya'ni muhit o'zini deyarli bir hil hisoblanadi.
43C
l а)
х , м
10 4
· S
a l ,м 3
/кг
б )
х , м 44Rasm . 3.2α=10	−5с−1,  	t=3600	c. da konsentratsiya profillari  С
l  (а),  S
а
l  (б),  S
s
l  (в)  
C
l а)
х , м
10 4
· S
a l ,м 3
/кг
б )
х , м10 4
· S
s l , м 3
/кг
в )
х , м 45Rasm  3.3  α=10	−5с−1,  	t=3600	c,  da konsentratsiya profillari  С
l  (а),  S
а
l  (б),  S
s
l  (в)  
     	
ksd1=	ksd2=	0.
C
l а)
х , м
б )
х , мC
l10 4
· S
s l ,м 3
/кг
в )
х , м § 3.2. Muvozanatsiz adsorbtsiyaga ega bo'lgan moddani Birjinslimas g'ovak
muhitda ko’chishi
Bu erda yaxshi o'tkazuvchan (tranzit) va yomon o'tkazuvchan turg'un zonalardan 
tashkil topgan bir hil bo'lmagan g’ovak muhit ko'rib chiqiladi, uning  sxemasi  3.5-
rasmda ko'rsatilgan. Birinchi zonadagi parametrlar  1 indeks bilan belgilanadi  .  1-
zonada ikkita bo'lim mavjud bo'lib, ularning har birida qaytarilmas muvozanat 
kinetikasiga ega bo'lgan modda o’tiriladi. Moddalar almashinuvi ikkinchi zona 
bilan sodir bo'ladi, biz birinchi zonadagi moddaning kontsentratsiyasi vaqtiga 
nisbatan kasr hosilasi sifatida modellashtiramiz. Shuning uchun [37] dan farqli 
o'laroq, ikkinchi zonadagi konsentratsiya maydoni hisobga olinmaydi.
46в )
х , мC
l
Rasm  3. 4 .   t= 3600  c ,α=10	−5с−1(а);α=10−4с−1(б);α=10	−3с−1(в);  da profili  С
l
Ikkinchi
hudud 3.5-rasm.  Ikki sohali muhitda moddalarni uzatish sxemasi
Bir o'lchovli holatda moddaning ko’chishi quydagi tenglamalar ko’rinishida
yoziladiρ∂Sa1	
∂t	+ρ∂Ss1	
∂t	+θ1
∂C1	
∂t	+a2
∂γC1	
∂tγ=	θ1D1
∂2C1	
∂x2−	θ1v1
∂C1	
∂x
,  (3.13)
bu yerda 	
t  vaqt, ‒ s, 	x  ‒ masofa, m, 	D1  bo‘ylama ‒ dispersiya  koeffitsienti , 	м2/с ,	
v1
  suyuqlik   harakatining   tezligi,   m/  ‒ s   ,  	С1   suyuqlikdagi   moddaning   hajm‒
konsentratsiyasi  	
Sa1 va  	Ss1   cho‘kilgan   moddaning   konsentratsiyasi,  ‒	м3/кг ,  	θ1 ‒
g‘ovaklik,  	
м3/м3 ,  	ρ   o‘rtacha   zichlik  ‒	кг	/м3 ,  	a2 moddaning   ikkinchi   muhitga
ko’chishi tufayli qaytarilish ko’effisenti 	
сβ−1 ,  .
Zonalarning   har   bir   qismida   moddaning   cho'kishi   kinetik   tenglamalarga
muvofiq qaytarilmas tarzda sodir bo'ladi.	
ρ
∂Sa1	
∂t	=θ1ka1C1−	ρk	ad1Sa1,
(3.14)	
ρ
∂Ss1	
∂t	=θ1ks1C1−	ρk	sd1Ss1,
(3.15)
Bu yerda 	
ka1 , 	ks1 suyuqlik fazadan qattiq fazagacha bo‘lgan moddalarning cho‘kish
koeffitsientlari,  
с−1 ,	kad1,ksd1
  moddalarning   qattiq   fazadan   ajralib   chiqish   va
suyuqlikka o'tish koeffitsientlari 	
с−1 ,
Moddaning doimiy konsentratsiyasi bo'lgan suyuqlik, vaqtning boshlang'ich
momentidan boshlab toza (moddasiz) suyuqlik bilan to'yingan muhitga to’ldirilgan	
с0
. Konsentratsiya maydoni muhitning o'ng chegarasiga etib bormaydigan shunday
vaqt davrlarini ko'rib chiqaylik  	
x=	∞ . Belgilangan taxminlarga ko'ra, masalaning
boshlang'ich va chegaraviy shartlari quydagi ko’rinishga ega	
С1(0,х)=0,Sa1(0,x)=0,Ss1(0,x)=0,
(3.16)	
С1(t,0)=	c0,
(3.17)
47 ∂C1	
∂x	(t,∞)=	0.(3.18)
Masalani yechish uchun biz chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. Ko'rib
chiqilayotgan sohada 	
Ω=	{(t,	x),0≤	t≤	T	,	0≤	x≤	∞	}
  yo'nalishlarda to’r formasini
qo’llaymiz	
ωτh=	{(tj,xi);tj=	τj	,	xi=	ih	,τ=	T
J	
,i=	0,I,	j=	0,J}
,
bu yerda  	
I yetarlicha katta butun son oraligi bo'lishi  uchun olingan  	[0,xI],  	xi=ih,
maydonlarning   hisoblangan   o'zgarishi   maydonini   bir-biriga   birlashtirildi  	
C1,Sa1 va	
Ss1,h
  – 
x yo'nalishidagi  to’r qadami .
Ochiq to’r sohosi	
ωτh=	{(tj,xi);tj=	τj	,	xi=	ih	,τ=	T
J	
,	j=	1,J	,	i=	1,I−	1,}
(3.13), (3.14), (3.15) tenglamalar quyidagicha approksimasiya qilingan.	
ρ(Sa1)ij+1−	(Sa1)ij	
τ	+	ρ(Ss1)ij+1−	(Ss1)ij	
τ	+θ1
(C	1)ij+1−	(C	1)ij	
τ	+	
+
a2τ1−γ	
Γ	(2−	γ)[∑
k=0	
j−1(C	1)ik+1−	(C	1)ik	
τ	((j−	k+1)1−γ−	(j−	k)1−γ)+
((C	1)ij+1−	(C	1)ij)	
τ	]=	
=	θ1D	1
(C	1)i−1j+1−	2(C	1)ij+1+(C	1)i+1j+1	
h2	−	θ1v1
(C	1)ij+1−	(C	1)i−1j+1	
h	,	(3.19	)	
ρ(Sa1)i
j+1−(Sa1)i
j	
τ	=θ1ka1(C1)i
j−	ρk	ad1(Sa1)i
j+1,
(3.20)	
ρ
(Ss1)i
j+1−(Ss1)i
j	
τ	=θ1ks1(C1)i
j−	ρk	sd1(Ss1)i
j+1,
(3.21)
48 bu   yerda  (С1)i
j ,  	(Sa1)i
j ,  	(Ss1)i
j   -   funksiyalarning   to’r   qiymatlari  	Ss1(t,x)  	C1(t,x) ,	
Sa1(t,x)
 	(tj,xi) nuqtadagi 
oshkor to’r tenglamalari (3.20), (3.21) dan 	
(Sa1)i
j+1 ,	(Ss1)i
j+1  ni aniqlaymiz 	
(Sa1)i
j+1=	pb1(Sa1)i
j+pb2,
(3.22)	
(Ss1)i
j+1=	qb1(Ss1)i
j+qb2,
(3.23)
Bu yerda 	
pb1=	1	
1+τk	ad	1
,	
pb2=	
τθ	1ka1	
ρ+ρτ	kad	1
(C1)i
j,	
qb1=	1	
1+τk	sd1
, 	
qb2=	
τθ	1ks1	
ρ+ρτ	ksd1
(C1)ij .
To’r tenglamalari (3.19) quydagi ko’rinishga keltiriladi	
−	A1(C1)i−1
j+1+B1(C1)i
j+1−	E1(C1)i+1
j+1=(F1)i
j,
(3.24)
Bu yerda	
A1=	
θ1D1τ	
h2	+
θ1v1τ	
h
,	
B1=	θ1+
2θ1D1τ	
h2	+
θ1v1τ	
h	+	
a2τ1−γ	
Γ(2−	γ)
,	
E1=	
θ1D1τ	
h2
,	
(F1)i
j=(θ1+
a2τ1−γ	
Γ(2−γ)
)(C1)i
j−	ρ((Sa1)i
j+1−(Sa1)i
j)−	ρ((Ss1)i
j+1−(Ss1)i
j)−	
−
a2τ1−γ	
Γ(2−	γ)[∑
k=0
j−1
((j−	k+1)1−γ−(j−k)1−γ)(С1)i
k+1−((j−k+1)1−γ−(j−	k)1−γ)(С1)i
k
].
Yechimni   hisoblashning   quyidagi   tartibi   o'rnatiladi.   (3.22),   (3.23)   ga
binoan   ,  	
(Ss1)i
j+1 ni   aniqlaymiz  	(Sa1)i
j+1 ,   keyin   chiziqli   tenglamalar   tizimini   (3.24)
progonka     usuli   bilan   yechish   orqali  	
‒(C1)i
j+1. ni   topamiz.  
  Chunki  	pb1,qb1<1
49 (3.22), (3.23) sxemalar  barqaror va (3.24) uchun progonka usuli uchun turg’unlik
shartlari bajariladi.
Hisoblashda dastlabki parametrlarning quyidagi qiymatlari ishlatilgan:c0=0,	c1=0,1	,
 	a2=10	−3,	v1=10	−4м/с ,  	D1=	v1⋅αl ,  	αl=0,005	м,	θ1=	0,1	,	
ka1=	3⋅10	−4с−1,kad	1=2,5	⋅10	−4с−1,	ks1=4⋅10	−4с−1,	ksd1=	2⋅10	−4с−1,	ρ=1800	кг/м	3
va har xil	
γ.
Ba'zi   hisoblash   natijalari   3.6   rasmda   ko'rsatilgan.   3.6 .   Rasmdan   ko'rinib
turibdiki,   moddaning   ikkinchi   zonaga   chiqishi   mobil   suyuqlikdagi   moddaning
konsentratsiya   profillarining   kechiktirilgan   tarqalishiga   olib   keladi.   Ushbu   hodisa
natijasida   adsorbsiyalangan   moddaning   kontsentratsiyasida   ham   kechikishlar
kuzatiladi.
5010 4
· S
a1 ,м 3
/кг
б )
х , мC
1 а)
х , м § 3.2   Taklif   etilayotgan   modelning   samaradorligini   baholash   uchun   natijalarni
tegishli   natijalar   bilan   solishtirish   juda   muhimdir   [37].   Buning   uchun   [37]   vaa2
∂γC1	
∂tγ
(1) dagi  manba hadlarini  solishtiramiz 	α(С2−	С1) . 	α(С2−	С1)   ifoda   §3.1
dagi   kabi   parametr   qiymatlari   uchun   hisoblangan.  	
a2,γ   va  	α=10	−4с−1
parametrlar   uchun     mos   keladigan   grafiklar   3.7-rasmda   ko'rsatilgan.   Rasmdan
ko'rinib turibdiki, cho'kish koeffisentini o'zgartirish grafik chiziqlarini mos ravshda
oxshash   o’zgarishi,   bu   taklif   qilingan   model   natijalari   va     eski   model   natijalari
o'rtasidagi o’xshshlikni ko'rsatadi [37].Natijalarning yaqinligini miqdoriy baholash
uchun   3.7-rasmdagi   kontsentratsiya   egri   chiziqlariga   asoslanib,   quydagi
ko’rinishda olamiz.	
δ1=∫
0
L
(I1−	I2)2dx
(3,25)
Bu   yerda   L   berilgan   qiymat  	
t ,   konsentratsiya   profillari   tarqaladigan   sohaning
shartli chegarasi;	
I1=	α(C	2−	C1),I2=	a2
∂γC1	
∂tγ	.	
t=	3600	c
 ga muvofiq hisoblash natijasi
5110 4
· S
s1 ,м 3
/кг в )
х , м
Rasm . 3.6 .   t = 3600  c ,  da konsentratsiya profillari  С
1  (а),  S
а1  (б),   S
s 1  (в) δ1=1,17	⋅10	−10	uchun	а2=0,000155	,γ=0,5	,	
δ1=1,47⋅10	−10	uchun	а2=0,0003	,γ=0,7	,	
δ1=1,37⋅10	−10	uchun	а2=0,00115	,γ=0,9	.	
δ1  qiymatlari   ma'lum   bir   vaqt   uchun   standart   og'ish  	I1от 	I2   ni   tavsiflaydi.
Olingan   qiymatlardan  	
δ1   a)     holatiga   engv   kichik   yuzani   berishi   kerak	
a2=	0,000155	,γ=	0,5	.
Biz bunday hisob-kitoblarni faqat ikkita yondashuvning asosiy o'xshashligini
baholash   uchun   qilganimizni   ta'kidlaymiz.   Boshqa   parametlar   uchun  	
tи	α,а2,γ
mutlaqo   boshqa   baholarni   olish   mumkin.   Asosiy   holda,   ikkita   modelni   taxmin
qilish   uchun  	
δ1.   ma'lum   bir   qiymat   uchun   ta'riflar   bo'yicha   tegishli   koeffitsientli
teskari masalalarni 	
α  yoki aksincha, berilgan 	α  uchun 	а2 va 	γ.  topish kerak
Oqim   muddatlarining  yaqinligi  	
I1и I2 tavsiya  etilgan   yondashuv  va  ma'lum
model   yordamida   aniqlangan   kontsentratsiya   maydonlarining      	
С1, yaqinligini
ko’rsatish   kerak     [37].   Buning   uchun   mos   keladigan   profillar   quriladi  	
С1 (3.8-
rasm).   Grafiklardan   ko'rinib   turibdiki,   yechimlar   bir-biriga   yaqin.   Ularning
yaqinligini   baholash   uchun   biz   (3.25)   dan   foydalanamiz   ,   faqat   ikkita   model
asosida aniqlanganlar uchun , ya'ni 	
С1,	
δ2=∫
0
L
(C1
(1)−	C1
(2))2dx	,
Bu   yerda  	
C1(1)   berilgan   t   dagi   konsentratsiya   maydoni  	C1(t,x) [37]   ga   muvofiq
aniqlanadi va 	
C1(2) shu yerda madeldan aniqlanadi. Yuqorida tahlil qilingan holatlar
uchun quyidagi qiymatlar olingan:
δ2=0,001240744347292	uchun	а2=0,0002	,γ=	0,5	,	
δ2=0,001280805959493	uchun	а2=0,0004	,	γ=	0,7	,	
δ2=0,001536863189483	uchun	а2=0,0016	,	γ=	0,9	.
Natijalardan   ko'rinib   turibdiki,   qiymatlar  	
δ2 a)   holatda   ham   eng   kichik
yaqinlashish mumkin
52 Amalga oshirilgan tahlil shuni ko'rsatadiki, bu erda taklif qilingan oddiyroq
model,   mos   keladigan   parametrlar   bilan,   murakkabroq   modelning   natijalarini
qoniqarli tarzda tavsiflashi mumkin [37].
53I
1, I
2  ·10 6
х , ма)
в) б)
х , мI
1, I
2  ·10 6
х , мI
1, I
2  ·10 6 54Rasm . 3.7.  t =3600  c , a2=0,00015	,γ=0,5 (а),  	a2=0,0003	,γ=0,7 (б), 	a2=0,00115	,	
γ=0,9
(в). 
а)
х , м
б)
х , м 55в)
х , м
Rasm .3.8. Ikki model asosida olingan konsentratsiya profillarini solishtirish.  t =3600  c ,  α=10	−4,	
a2=0,0002	,γ=0,5
(а),  	a2=0,0004	,γ=0,7 (б), 	a2=0,0016	,γ=0,9 (в).  XULOSA
«   B ir jinslimas  g’ovak muhitlarda anomal modda ko’chishi masalasini sonli 
tadqiq etish  » mavzusidagi magistrlik dissertasiyasi bo’yicha olib borilgan 
tadqiqotlar natijasida quyidagi asosiy xulosalar kelib chiqadi:
1. G'ovakli   muhitda   moddalarning   anomal   ko’chish   jarayonlari
tahlil qilindi.
2. Birjinslimas   g'ovak   muhitda   moddalarni   anomal   ko’chishining
matematik modellari yechildi.
3. G'ovakli muhitda moddalarni anomal ko’chishda kasir hosilalar
va ular yechildi.
4. Ikki   sohali   birjinisli   bo’lmagan   g’ovak   muhitda   nomuvozanat
adsorbsiyali modda ko’chishi  masalasi sonli yechildi.
56 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. Altoe J.E., Bedricovetsky P., Siqueira A.G., de Souza A.L.S., Shecaira
F.S.   Correction   of   basic   equations   for   deep   bed   filtration   with   dispersion   //
Journal of Petroleum Science and Engineering. - 51.  - 2006. - P.68–84.
2. Auriault J.-L., Lewandowska J., Royer P. On non-Fickian   hyberbolic
diffusion //StudiaGeotechnicaetMechanica. Vol. XXX, No.- 2008. - P. 1-2.
3.   Baeumer   B.,   Meerschaert   M.M.,   Benson   D.A.,   Wheatcraft   S.W.
Subordinated   advection–dispersion   equation   for   contaminant   transport   //
Water Resour. Res. 37. -2001.-P. 1543–1550.
4.   Barenblatt G.I., Entov V.M. and Ryzhik V.M. Theory of Fluid Flow
Through   Natural   Ro cks.   Kluwer   Academic,   Dordrecht,   The   Netherlands
(1990).
5. Bartelds   G.A.,   Bruining   J.   and   MolenaarJ.The   modeling   of
velocity   enhancement   in   polymer   flooding   // Transport   Porous   Media.-
26 .-1997-P. 75–88.
6. Bear   J.   Dynamics   of   Fluids   in   Porous   Media.   Book   published   by
American Elsevier Publishing Co.- New York, 1972.- P.761.
7. Becker M. W., Shapiro A. M. Tracer transport in fractured crystalline
rock:   evidence   of   non-diffusive   breakthrough   tailing   //   Water   Resour.   Res.
36.- 2000.- P. 1677–1686.
8. Bedricovetsky   P.G.Upscaling   of   stochastic   micro   model   for
suspension   transport   in   porous   media   //   Transport   in   Porous   media.   75(3).-
2008.-P.335-369.
9. Bedrikovetsky   P.,   Marchesin   D.,   Hime   G.,   Alvarez   A.,
MarchesinA.O.,   Siqueira   A.G.,   Souza   A.L.S.,   Shecaira   F.S.,   Rodrigues   J.R.
Porous   media   deposition   damage   from   injection   ofwater   with   particles   //   Q
VIII Ecmor European Conference on Mathematics in Oil Recovery.- Austria.
Leoben,2002.
57 10. Bedrikovetsky   P.G.,   Marchesin   D.,   Checaira   F.,   Serra   A.L.,Resende
E. Characterization of deep bed filtration systemfrom laboratory pressure drop
measurements // J. Pet. Sci. Eng. 64. -2001.-167 p.
11. Benson   D.A.,   Schumer   R.,Meerschaert   M.M.,   Wheatcraft   S.W.
Fractional   dispersion,   Le’vy   motion,   and   the   MADE   tracer
tests // Transportporous media 42.-2001.- P. 211–240.
12. Benson   D.A.,   Wheatcraft   S.W.,   Meerschaert   M.M.   Application   of   a
fractional advection–dispersion equation // Water Resour. Res. 36.- 2000.- P.
1403–1412.
13. Benson D.A., WheatcraftS.W., Meerschaert M.M. The fractional order
governing equation of Levy motion  // Water Resources Res., 36(6).- 2000.- P.
1413–1423.
14. Beven   K.,   Germann   P.Macropores   and   water-flow   in   soils   //Water
Resources Research 18.-1982.- P. 1311–1325.
15. Bradford   S.A.,   Bettahar   M.,   Simunek   J.,   van   Genuchten   M.Th.
Straining and attachment of colloids in physically heterogeneous porousmedia
// Vadose Zone Journal. 3.-2004.- P. 384–394.
16. Bradford  S.A.,  Simunek J.,  Bettahar  M.,  van  Genuchten  M.T., Yates
S.R.Modeling colloid attachment, straining, and exclusion in saturatedporous
media // Environmental Science & Technology. 37.-2003.- P. 2242–2250.
17. Bradford   S.A.,   Torkzaban   S.   Colloid   transport   and   retention
inunsaturated porous media: A review of interface-, collector-, and pore-scale
processes and models //Vadose Zone Journal. 7.- 2008.- P. 667–681.
18. Bradford   S.A.,   Torkzaban   S.,   Simunek   J.   Modeling   colloid
transportand   retention   in   saturated   porous   media   under   unfavorable
attachmentconditions // Water Resources Research 47. W10503.- 2011.
19. Campos D., Fort J., Mendez V. Propagation through fractal media: The
Sierpinski  gasket and the Koch curve   //Europhysics letters, 68 (6).- 2004. P.
769–775.
58 20. Caputo     M.   Models   of   flux   in   porous   media   with   memory   //Water
Resour. Res.  36 (3).- 2000. -P.693–705.
21. Caputo   M.Elasticita   e   dissipazione   (Elaticity   and   anelastic
dissipation).Zanichelli Publisher.- Bologna, 1969. -P.150.
22. Caputo   M.,   Plastino   W.   Diffusion   in   porous   layers   with   memory
//Geophys. J. Int.  158 .- 2004.- P. 385–396.
23. Cey   E.E.,   Rudolph   D.L.   Field   study   of   macropore   flow   processes
using   tension   infiltration   of   a   dye   tracer   in   partially   saturated   soils   //
Hydrological Processes. 23.- 2009.-P. 1768–1779.
24. Chen   Z.-X.   Transient   flow   of   slightly   compressible   fluids
through double-porosity, double-permeability systems  −  A state-of-
the-Art   Review   //   Transport   in   Porous   Media.1989.   Vol.   4.- P.
147 − 184.
25. Civan   F.   Reservoir   Formation   Damage   -   Fundamentals,   Modeling,
Assessment,   and   Mitigation.Gulf   Publ.   Co.,   Houston,   TX,   and   Butterworth-
Heinemann, Woburn, MA, 2000.-742 p.
26. Clark   M.M.   Transport   modeling   for   environmental   engineers   and
scientiests.A John Wiley & Sons, Inc. Publication.2 nd
 ed.- 2009. -630 p.
27. Coats   K.H.,   Smith   B.D.   Dead-end   pore   volume   and   dispersion   in
porous media // Soc.Pet.Eng.J. -1964. No. 4.-P. 73−84.
28. Compte A. Stochastic foundation of fractional dynamics  //Phys.Rev. E.
53.-1996.- P. 4191–4193.
29. Corapciolu   M.Y.,   Tiang   S.,   Kim   S.-H.Comparision   of   kinetic   and
hybrid-equilibrium   models   Simulating   colloid-facilitated   contaminant
transport in porous media // Transport in Porous Media, 36(3). -1999.- P. 373-
390.
30. Cunningham J. A., Werth C. J., ReinhardM.,Roberts P. V. Effects of
grain-scale   mass   transfer   on   the   transport   of   volatile   organics   through
sediments.1. Model development // Water Resour. Res. 33.- 1997.- P. 2713–
2726.
59 31. Dagan   G.   Flow   and   Transport   in   porous   media.   Springer-Verlag.
1989. -Berlin.
32. Del-Castillo-Negrete     D.,   Carreras   B.   A.,   and   Lynch     V.   E. Front
dynamics in reactiondiffusion systems with levy flights: A fractional diffusion
approach  // Phys. Rev. Lett., 91. 018302(4).-2003.
33. Dinariyev   O.   YU. The   pressure   build-up   curve   for   a   fractal   cracked
porous medium . Linear theory // J. Appl. Math. Mech. 58.1994.- P. 755–758.
34. Do Hoang N. A., Hoffmann K. H., Seeger S., TarafdarS. Diffusion in
disordered fractals  // Europhysics letters, 70 (1).- 2005.- P.109–115.
35. Elimelech   M.   et   al.   Particle   Deposition   and   Aggregation:
Measurement, Modelling, and Simulation. Butterworth-Heinemann.- Oxford,
England,1995.
36. Essex   C.,   Davison   M.,   Schulsky   C.,   Franz   A.,   Hoffmann     K. The
differential   equation   describing   random   walks   on   the   Koch   curve   //J.   of
Physics A: Math. Gen. 34.- 2001.-P. 8397–8406.
37. Feike J.L., Bradford S.A. Colloid transport in dual-permeability media
// Journal of Contaminant Hydrology.  150.-  2013. -P .65 − 76.
38. Fetter C.W. Applied Hydrogeology. Upper Saddle River, New Jersey:
Prentice Hall, 2001.- 4 th
 edition.
39. Fetter   C.W.   Contaminant   Hydrogeology,   second   ed.   Prentice-Hall,
Upper Saddle River, NJ, USA. -1999.
40. Fetter   C.W. Contaminant   Hydrogeology .   Prentice   −   Hall,   Inc.:   Upper
Saddle River, NJ, USA.- 1999. -P. 58–70.
41. Fetter  C.W. Applied Hydrogeology. Upper Saddle River, New Jersy:
Prentice Hall, 2001. 3 rd
 edition.
42. Fomin   S.   A.,   Chugunov   V.   A.   and   Hashida   T.   Application   of
Fractional   Differential   Equations   for   Modeling   the   Anomalous   Diffusion   of
Contaminant   from   Fracture   into   Porous   Rock   Matrix   with   Bordering
Alteration Zone//  Transport in Porous Media. 81. -2010.- P.187–205.
60 43. Fomin   S.   A.,   Chugunov   V.   A.   and   Hashida   T.   Non-Fickian   mass
transport   in   fractured   porous   media//   Advances   in   Water   Resources.   34 (2).-
2011.- P.  205–214.
44. Fomin   S.   A.,   Chugunov   V.   A.,   and   Hashida   T.   Mathematical
modeling   of   anomalous   diffusion   in   porous   media   //   Fractional   Differensial
Calculus.V.1. №1.- 2011.- P. 1-28. 
45. Fomin   S.   A.,   Chugunov   V.   A.,   and   Hashida   T. The   effect   of   non-
Fickian diffusion into surrounding rocks on contaminant transport in fractured
porous aquifer  // Proceedings of Royal Society A 461.- 2005.- P. 2923–2939.
46. Fomin   S.   A.,   Hashida     T.,   Shimizu     A.,   Matsuki     K.   Sakaguchi   K.
Fractal concept in numerical simulation of hydraulic fracturing of the hot dry
rock geothermal reservoir //Hydrol. Processes 17. -2003.- P. 2975–2989.
47. Gerke   H.H.,   van   Genuchten   M.T.   Macroscopic   representation
ofstructural   geometry   for   simulating   water   and   solute   movement   in
dualporosity media // Advances in Water Resources. 19. -1996. -P. 343–357.
48. Ginn   T.R.,   Wood   B.D.,   Nelson   K.E.,   Scheibe   T.D.,   Murphy   E.M.,
Clement   T.P.   Processes   in   microbial   transport   in   the   natural   subsurface
//Advances in Water Resources. 25.- 2002. -P. 1017–1042.
49. Giona M.,  RomanH. E. Fractional diffusion equation on fractals: one-
dimensional   case   and   asymptotic   behavior   //   J.   Phys.   A:   Math.   Gen.   25.   -
1992.- P. 2093–2105.
50. Gitis   V.,   Rubinstein   I.,   Livshits   M., Ziskind   M.   Deep-bed   filtration
model   with   multistage   deposition   kinetics   //   Chemical   Engineering   Journal.
163.- 2010.- P. 78-85.
51. Giuseppe   D.E.,   Moroni   M.,   Caputo   M.   Flux   in   Porous   Media   with
Memory:   Models   and   Experiments   //Transport   Porous   Media.   -2009.- DOI
10.1007/s11242-009-9456-4
52. Haggerty R., McKenna S.A.,  Meigs L.C. On the late-time behavior of
tracer   test   breakthrough   curves   //   Water   Resour.   Res.   36.-   2000.-P.   3467–
3479.
61 53. Haggerty R., Gorelick S.M. Multiple-rate mass  transfer for modeling
diffusion   and   surface   reactions   in   media   with   pore-scale   heterogeneity   //
Water Resour. Res. 31.- 1995.- P. 2383–2400.
54. Harter   T.   et   al.   Colloid   transport   and   filtration   of   Cryptosporidium
parvum   in   sandy   soils   and   aquifer   sediments   //Environ.Sci.   Technol.   34.   -
2000.- 62 p.
55. Hassanizadeh   M.S.   On   the   transient   non-Fickian   dispersion   theory   //
Transport in porous media. -1996.- 23.- P. 107-124.
56. Hassanizadeh  S.M. Derivation of basic  equation of mass  transport  in
porous   media.   Part1.   Macroscopic   balance   laws   //   Adv.   Water   Resour.   9.-
1986.- P. 196-206.
57. Hassanizadeh  S.M. Derivation of basic  equation of mass  transport  in
porous   media.   Part2.   Generalized   Darcy’s   and   Fick’s   laws   //   Adv.   Water
Resour. 9.- 1986. -P. 207-222.
58. Hassanizadeh   S.M.   On   the   transient   non-Fickian   dispersion   theory   //
Transport in Porous Media. 23 (1).- 1996.- P.107-124.
59. Hassanizadeh   S.M.,   A.   Leijnse.   A   non-linear   theory   high-
concentration-gradient   dispersion   in   porous   media   //   Advances   in   Water
Resources. 18(4). -1995.P.203-215. 
60. Havlin   Sh.,   Ben-Avraham   D.   Diffusion   in   disordered   media   //
Advances in Physics.51, №1.- 2009.-P. 187-292.
61. Herrick   M.,   Benson   D.,   Meerschaert   M.,   McCall   K.   Hydraulic
conductivity, velocity, and the order of the fractional dispersion derivative in
a highly heterogeneous system // Water Resour. Res. 38.-2002.-P. 1227–1239.
62. Herzig   J.P.,   Leclerc   D.M.,   Goff   P.L.   Flow   of   suspensions   through
porous media - application to deep filtration // Ind. Eng. Chem. 62 (5).-1970. -
P. 8-35. 
63. Huang   F.,   and   Liu   F. The   time   fractional   diffusion   equation   and   the
advection-dispersion equation  //Anziam J. 46.-2005.-P. 317–330. 
62 64. Huang G., Huang Q. and Zhan H. Evidence of one-dimensional scale-
dependent   fractional   advection   dispersion   // Journal   of   Contaminant
Hydrology , 85.- 2006.-P.53–71.
65. Iaffaldano   G.,   Caputo   M.,   Martino   S.Experimental   and   theoretical
memory diffusion of water in sand //Hydrol. Earth Syst. Sci.  10 . -2006.-P. 93–
100.
66. Iwasaki T. Some notes on sand filtration // J. Am. Water WorksAssoc.
29. -1937.-1591 p.
67. Jarvis   N.J.   A   review   of   non-equilibrium   water   flow   and   solute
transport in soil macropores: principles, controlling factors and consequences
for water quality // European Journal of Soil Science. 58.- 2007.- P. 523–546.
68. Jogdand   S.M.,   Takale   K.C.,   Borkar   V.C. Fractional   Order   Finite
Difference   Scheme   For   Soil   Moisture   Diffusion   Equation   And   Its
Applications // IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM) e-ISSN: 2278-5728.
Volume 5.Issue 4.- P. 12-18.
69. Khilar K.C., Fogler H.S. Migration of Fines in Porous Media.Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London. -1998.
70. Khuzhayarov   B.Kh.   Macroscopic   simulation   of   relaxation   mass
transport in a porous medium // Fluid Dynamics. Vol. 29,  №5 .- 2004.-P. 693-
701.
71. Khuzhayorov   B.Kh. ,   Makhmudov   J.M. Flow   of   Suspensions   in   2D
Porous Media with Mobile and Immobile Liquid Zones // Journal  of Porous
Media. -2010  - Vol. 13, No. 5.-P   423−437 
72. Kilbas A.A., Srivastava H.M. and Trujillo J.J. Theory and Applications
of Fractional Differential equations .Elsevier.- 2006.
73. Leij   F.J.,   Bradford   S.A.   Combined   physical   and   chemical
nonequilibriumtransport model: analytical solution, moments, and application
to colloids //Journal of Contaminant Hydrology. 110.- 2009.- P. 87–99.
74. Leij   F.L.,   Bradford   S.A.   Colloid   transport   in   dual-permeability
media // Journal of Contaminant Hydrology. 150.- 2013.-P. 65–76.
63 75. Lu   X.   Z.     Finite   difference   method   for   time   fractional   advection-
dispersion equation // Journal of Fuzhou University(Natural Science Edition).
32(4). -2004.- P. 423-426.
76. Lu   X.   Z.,   Liu   F.   W.   Time   fractional   Diffusion-Reaction   equation   //
Numerical Mathematics.A. Journal of Chinese Universities. 27(3). -2005.- P.
267−273.
77. Marsily   D.Ch.   Quantitative   Hydrogeology.Graundwater   Hydrology
for Engineers.Academic Press, INC. -1986.
78. Massei   N.,   Lacroix   M.,   Wang   H.   Q.,   and   Dupont   J.   Transport   of
particulate   material   and   dissolved   tracer   in   a   highly   permeable   porous
medium:   comparison   of   the   transfer   parameters   //   J.   Contam.   Hydro . 57 .-
2002.- P. 21–39.
79. Matheron   G.,   G.   de   Marsily,   Is   transport   in   porous   media   always
diffusive?   A   counterexample   //   Water   Resours.   Res.,   16(5).   -1980.-   P.   901-
917. 
80. Meerschaert M. M.,  Benson D. A., Scheffler H.-P. Stochastic solution
of  space-time fractional  diffusion equations   //  Phys. Rev.  E, 65, 041103(4).-
2002 .
81. Meerschaert M. M.,   Benson D. A., Scheffler H.-P., and Becker-kern
P. Governing   equations   and   solutions   of   anomalous   random   walk   limits //
Phys. Rev. E 66, 060102 (R), 2002.
82. Meerschaert   M.   M.,   Benson   D.   A.,   Baeumer   B.   Multidimensional
advection and fractional dispersion // Phys. Rev. E. 59. -1999.-P. 5026–5028.
83. Metzler     R.,   and   Klafter   J.   T he   random   walk’s   guide   to   anomalous
diffusion: A fractional dynamics approach //   Physics Reports. 339.-2000. -P.
1–77. 
84. Neretnieks   I.   Diffusion   in   the   rock   matrix:   an   important   factor   in
radionuclide retardation // J. Geophys. Res.  85 .-1980.- P. 4379–4397.
85. O’shaughnessyB.,ProcacciaI. Diffusion   on   fractals   //     Phys.   Rev.   A.
32. -1985.-P. 3073–3083.
64 86. Pachepsky Y., Benson D. and Rawls W. Simulating scale - dependent
solute   transport   in   soils   with   the   fractional   advective-dispersive
equation // Soil Sci. Soc. Am. J.  4.- 2000.- P. 1234–1243.
87. Pang   L.,   McLeod   M.,   Aislabie   J.,   Simunek   J.,   Close   M.,   Hector   R.
Modeling   transport   of   microbes   in   ten   undisturbed   soils   under
effluentirrigation // Vadose Zone Journal 7. -2008.- P. 97–111.
88. Pang   S.,   Sharma   M.M.   A   model   for   predicting   injectivitydecline   in
water injection wells // SPE paper 28489 presented at69th Annual Technical
Conference and Exhibition held in NewOrleans. LA.-1994.-25–28 September.
89. Park   J.B.,   Hwang   Y.,   Lee   K.J.   Analytic   solution   of   radionuclide
transport   with   the   limited   diffusion   from   the   fracture   into   a   porous   rock   //
Ann. Nucl. Energy. 28 .-2001.- P. 993–1011.
90. Passmore   J.M.,   Rudolph   D.L.,   Mesquita   M.M.F.,   Cey   E.E.,   Emelko
M.B.The   utility   of   microspheres   as   surrogates   for   the   transport   of   E.   coli
RS2gin   partially   saturated   agricultural   soil   //   Water   Research   44.-2010.-   P.
1235–1245.
91. Payatakes A. C., Tien C. and Turian R. M.A new model for granular
porous media. I. model formulation // AIChE J. ,  19 (1). -1973.- P. 58–76.
92. Payatakes   A.   S.,   Rajagopalan   R.   and   Tien   C.   Application   of   porous
medium models to the study of deep bed filtration //   The Canadian J. Chem.
Eng .  52 .- 1974.-722 p.
93. PiquemalJ.On   the   modelling   conditions   of   mass   transfer   in   porous
media presenting capacitance effects by a dispersion–convection equation for
the   mobile   fluid   and   a   diffusion   equation   for   the   stagnant   fluid   //   Transport
Porous Media. 10.-1993. P. 271–283.
94. PiquemalJ.On   the   modelling   of   miscible   displacements   in   porous
media with stagnant fluid // Transport Porous Media 8. -1992.- P. 243–262.
95. Podlubny     I.   Fractional   Differential   Equations.   Academic   Press,   San
Diego,1999.
65 96. Polak   A.,   Grader   A.S.,   Wallach   R.,   Nativ   R.   Chemical   diffusion
between   a   fracture   and   the   surrounding   matrix.   Measurement   by   computed
tomography and modeling // Water Resour. Res.  39 (4).-2003. -1106 p.
97. Qian   J.,   Zhan   H.,   Chen   Z.,   HaeYe.Experimental   study   of   solute
transport under non-Darcian flow in a single fracture // Journal of Hydrology.
399.- 2011. -P. 246-254.
98. Rege  S. D., Fogler  H. S. A network model  for  deep bed filtration of
solid particles and emulsion drops //  AIChE J. 34 (11). -1988.- P. 1761–1772.
99. Reimus P. W., Pohll G., Mihevc T., Chapman J., Haga M., Lyles B.,
Kosinski   S.,   Niswonger   R.,   Sanders   P.   Testing   and   parameterizing   a
conceptual   model   for   solute   transport   in   fractured   granite   using   multiple
tracers in a forced-gradient test // Water Resour. Res. 39.- 2003.- 1356 p.
100. Ryan   J.N.,   Elimelech   M.   Colloid   mobilization   and   transport
ingroundwater   //   Colloids   and   Surfaces   A:   Physicochemical   and
EngineeringAspects 107.-1996.- P. 1–56.
101. Sahimi   M.   Application   of   Percolation   Theory.Taylor&   Francis   Ltd.-
2003.
102. Sahimi M. Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock.
From   Classical   Methods   to   Modern   Approaches.   Second,   Revised   and
Enlarged Edition. WILEY-VCH VerlagGmbH&Co. KGaA.- 2011.
103. SahimiM., and Imdakm A. O. Hydrodynamics of particulate motion in
porous media // Phys. Rev. Letters 66 (9).-1991.- P. 1169–1172.
104. Samko   S.G.,   Kilbas   A.A.,   Marichev   O.I. Fractional   integrals   and
derivatives: Theory and applications .Gordon and breach.- London,1993.
105. Santos   A.,   Bedrikovetsky   P.   A   stochastic   model   for   particulate
suspensionflow   in  porous   media  //   Transport  in  porous  media.  62.  -2006.  P.
23-53.
106. Scheidegger A.E. The Physics of Flow Through Porous Media. Univ.
of Toronto Press. Toronto, 1960.
66 107. Schotting   R.J.,   Moser   H.,   Hassanizadeh   S.M.   High-Consentration-
Gradient   Dispersion   in   Porous   Media:   Experiments,   Analysis   and
Approximations  //   Advances  in Water  Resources.  Vol. 22, No. 7. -1999. -P.
665-680. 
108. Schumer   R.,   Benson   D.A.,   Meerschaert   M.M.   Baeumer   B.   Fractal
mobile/immobile transport // Water Resour. Res. 39.- 2003. -1296 p.
109. Selim   H.M.,   Ma   L.   Physical   Nonequilibrium   in   Soils:   Modeling
andApplications. Ann Arbor Press, Chelsea, MI. -1998.
110. Selim H.M., Ma L. Transport of reactive solutes in soils .   A modified
two-region approach //Soil Sci. Soc. Am. J.,  Vol.59, N.1.- 1995.  -P. 75−82.
111. Sharma M.M., Yortsos Y.C. A network model for deep bed filtration
processes //AIChE J. Vol. 33(10). -1987. -P. 1644-1653.
112. Sharma M.M., Yortsos Y.C. Fines migration in porous media //AIChE
J. Vol. 33(10). -1987.- P. 1654-1662.
113. Sharma   M.M.,   Yortsos   Y.C.   Transport   of   particulate   suspensions   in
porous media: Model formulation //AIChE J.Vol.33(10).-1987.-P. 1636-1643.
114. SibatovR.T.,   UchaikinV.V. Fractional   differential   approach   to
dispersive   transport   in   semiconductors   //UspekhiFizicheskihNauk   179(10).   -
2009. -P. 1079–1104.
115. Silliman   S.E.   Particle   transport   through   two-dimensional,
saturatedporous   media:   influence   of   physical   structure   of   the   medium
//Journal ofHydrology 167.- 1995.- P. 79–98.
116. Simunek   J.,   van   Genuchten   M.Th.   Modeling   nonequilibrium   flow
andtransport   processes   using   HYDRUS   //Vadose   Zone   Journal   7.-   2008.   -P.
782–797.
117. Siqueira   A.   G.,   Bonet   E.   and   Shecaira   F.   S.   Network   modelling   for
transport of water with particles in porous media // SPE  paper 18257 presented
at the SPE Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference
held in Port-of-Spain, Trinidad and Tobago, 2003.
67 118. Sousa   E.   How   to   approximate   the   fractional   derivative   of   order1<α≤	2
.   Proceedings   of   the   4th   IFAC   Workshop   on   Fractional
Differentiationand its Applications. Badajoz.  Spain.- 2010.
119. Stract   O.D.L.   A   mathematical   model   for   dispersion   with   a   moving
front in groundwater // Water Resours. Res., 28(11).-1992.- P. 2973-2980.
120. Suzuki A., Horne R.N., Makita   H. ,Niibori  Y. , Fomin S.A., Chugunov
V.A.,   Hashida   T . Development   of   fractional   derivative -b ased   mass   and   heat
transport   model   //   Proceedings,   Thirty-Eighth   Workshop   on   Geothermal
Reservoir Engineering Stanford University, Stanford, California, February 11-
13. 2013. -SGP−TR−198.
121. Suzuki   A.,   Niibori   Y.,   Fomin   S.   A.,   Chugunov   V.   A,   and   Hashida
T. Characterization of Mass/Heat Transfer in Fractured Geothermal Reservoirs
by Means of Mathematical Model for Complex Systems //  Proceedings World
Geothermal Congress  Melbourne. Australia. 19-25 April 2015.
122. Tang   D.H.,   Frind   E.O.,   Sudicky   E.A.   Contaminant   transport   in
fractured   porous   media:   Analytical   solution   for   a   single   fracture   //   Water
Resour. Res.  17 . -1981. -P. 555–564.
123. Tiab D. Donaldson E.C. Petrophysics.Gulf Publishing.Houston.1996.
124. Tompson A.F.B. On a new functional form for the dispersive flux in
porous media // Water Resour. Res. 24. -1988.- P. 1939-1947.
125. Toride   N.,   Leij   F.J.,   van   Genuchten   M.Th.   The   CXTFIT   code
forestimating   transport   parameters   from   laboratory   or   field   tracer
experiments.Version   2.0.Res.   Rep.   137.   U.S.   Salinity   Lab,   Riverside,   CA.-
1995.
126. UchaikinV.V. The   Fractional   Derivatives   Method .Artishok   Press,
Ul’yanovsk, 2008.-512 p.
127. Van   Genuchten   M.Th.,   Wierenga   P.J.   Mass   Transfer   Studies   in
Sorbing   Porous   media.I.   Analytical   Solution   //   Soil   Science   Society   of
America Journal, 1976.-Vol.40, N.4.- P.473−480.
68 128. Van   Golf-Racht   T.D. Fundamentals   of   Fractured   Reservoir
Engineering. Developments   in   Petroleum   Science,   Vol.   12. Elsevier.-1982.-
732 p.
129. Veerapen J.P., Nicot B., and Chauveteau G.A. In-Depth Permeability
Damage   by   Particle   Deposition   at   High   Flow   Rates   //   SPE   paper   68962
presented at presented at the SPE European Formation Damage Conference to
be held in The Hague, The Netherlands 21–22 May 2001.
130. Weihua   D.   Numerical   algorithm   for   the   time   fractional   Fokker-
Planckequation   //   Journal   of   Computational   Physics.   227.-2007.   P.   1510-
1522.
131. Wennberg   K.E.,   Sharma   M.M.   Determination   of   the
filtrationcoefficient   and   the   transition   time   for   water   injection   //
Proceedingsof   the   SPE   European   Formation   Damage   Conference,   SPE
38181,The Hague, The Netherlands. -1997.- June 2–3.
132. Xia   Y.   Wu   J.   C.     Numerical   Solutions   of   Fractional   Advection–
Dispersion   Equations   //   Journal   of   Nanjing   University   (Natural   Sciences).
43(4). -2007. -P. 441-446.
133. Xia Yuan, Wu Jichun, ZhouLuying Numerical solutions of time-space
fractional   advection–dispersion   equations   // ICCES,   Vol.9,   no.2.   -2009.-
P.117−126.
134. Zhou   L.,   Selim   H.M.   Application   of   the   fractional   advection-
dispersion   equation   in   porous   media   //   Soil   Sci.   Soc.   Am.   J.   67.   -2003.   P.
1079–1084.
135. Акилов   Ж.А.   Нестационарные   движения   вязкоупругих
жидкостей.- Ташкент: Фан, 1982.-104  c .
136. Алишаев   М.Г.,   Розенберг   М.Д.,   Теслюк   Е.В.   Неизотермическая
фильтрация   при   разработке   нефтяных   месторождений. -   Москва:   Недра.
1985.  −  271 с.
137. Аметов И.М., Байдиков Ю.Н., Рузин Л.М. и др. Добыча тяжелых
и высоковязких нефтей. -  М осква : Недра ,  1985. − 205 с.
69 138. Воробьев   А.Х.   Диффузионные   задачи   в   химической   кинетики.
Учебное пособие − М осква : Изд-во Моск. ун-та, 2003. – 98с. 
139. Крянев   Д.,   Жданов   С. Применение   методов   увеличения
нефтеотдачи   пластов   в   России   и   за   рубежом.   Опыт   и   перспективы   //
Бурение и нефть. -  2012 .- № 2. 
140. Молокович Ю.М. и др. Релаксационная фильтрация /  Казан: КГУ.
1980. – 136 с.
141. Молокович   Ю.М.   Неравновесная   фильтрация   и   ее   применение
внефтепромысловой   практике.   –   Москва-Ижевск:   НИЦ   «Регулярная
ихаотическая динамика», Институт компьютерных исследований , 2006.
– 214с.
142. Применение   современных   методов   увеличения   нефтеотдачи   в
России: важно не упустить время. -  Ernst & Young ,  2013.
143. Рубинштейн   Л.И.   Температурные   поля   в   нефтяных   пластах.-
Москва, Недра. 1972.  − 276 с.
144. Самарский А.А. Теория разностных схем.   – М осква:   Наука ,   1977.
– 656   с.
145. Самко   С.Г.,   Килбас   А.А.,   Маричев   О.И.   Интегралы   и
производные   дробного   порядка   и   некоторые   их   приложения.-   Минск:
Наука и техника, 1987. – 688 c.
146. Сургучев   М.Л.   Вторичные   и   третичные   методы   увеличения
нефтеотдачи пластов. - М осква : Недра, 1985. – 308с.
147. Хужаёров Б.Х. Фильтрация неоднородных жидкостей в пористых
средах.  -Ташкент: Фан, 2012.  – 280 с.
148. Хужаёров   Б.Х.,   Махмудов   Ж.М. Математические   модели
фильтрации   неоднородных   жидкостей   в   пористых   средах.-Ташкент :
Фан, 20 14.– 280 с.
149. Хужаёров   Б.Х.,   Махмудов   Ж.М.,   Зикиряев   Ш.Х.   Перенос
вещества   в   пористой   среде,   насыщенной   подвижной   и   неподвижной
70 жидкостью   //   Инженерно-физический   журнал,   2010. - Т.   83,   №2. -   С.
248−254.
150. Шехтман Ю.М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий.
М осква : Изд-во АН СССР ,   1961  −  212   с 
151. Жиянов   Т.О.,   Рахимов   М.Н.   З адача   релаксационного   переноса
вещества   в   пористой   среде   //   Самарқан   давлат   университети   илмий
тадқиқотлар ахборотномаси.-  2012. № 2.-С.  21-25 .
152. Акилов   Ж.А.,   Жиянов   Т.О.     Д войной   релаксационный   перенос
вещества в пористой среде // Узбекский журнал «Проблемы механики». -
2013.  - № 2 . -  С.16-18.
153. Хужаёров     Б.Х.,   Дж иянов   Т.О.   Аномальный   перенос   вещества   в
неоднородной   пористой   среде   //   Узбекский   журнал   «Проблемы
механики».  - 2016. -  № 2 . С.25-30.
154. Хужаёров     Б.Х.,   Дж иянов   Т.О.   Перенос   вещества   в   двухзонных
средах   с   различными   характеристиками   //     Узбекский   журнал
«Проблемы механики».  - 2017 --  №2-3.  -  С.   58-61 
155. Хужаёров     Б.Х.,   Дж иянов   Т.О.   Перенос   вещества   с
неравновесной  адсорбцией в неоднородный пористой среде //  Проблемы
вычислительной и прикладной математики.  - 2017.  - № 3(9).  –С. 63-70.
156. Khuzhayorov B., Dzhiyanov T., Khaydarov   O. Double-Relaxation
Solute   Transport   in   Porous   Media   //   International   Journal   of   Advanced
Research in Science, Engineering and Technology. Vol. 5, Issue 1 ,   - January
2018.  - P. 5094-5100.
157. В .   М.   Головизнин,   В.   П.   Киселев,   И.   А.   Короткин   численные
методы   решения   уравнения   дробной   диффузии   в   одномерном   случае   //
Препринт ИБРАЭ № IBRAE-2002-10
71

MAVZU: BIR JINSLIMAS G’OVAK MUHITLARDA ANOMAL MODDA KO’CHISHI MASALASINI SONLI TADQIQ ETISH MUNDARIJA KIRISH ……………… ……………………………………………….… 3 I BOB. Bir jinslimas g’ovak muhitda anomal modda ko’chishi va uning matematik modellari 1.1. G'ovakli muhitda moddalarning anomal ko’chish jarayonlarini modellashtirish …………………………………………………………… 6 1.2. Birjinslimas g'ovak muhitda moddalarni anomal ko’chishining matematik modellari ……………………………………………...…...… 11 1.3. G'ovakli muhitda moddalarni anomal ko’chishda kasir hosilalar va ularni hisoblash. ………..………………………………….………………...…. 20 II BOB. G’ovak muhitda a nomal modda ko’chishida kasir hosilalar va ularni hisoblash. 2.1 Kasrli diffuziya tenglamasi………...……………………………… 30 2.2 Grunvald-Letnikov usuli ……………………………..………..…..… 31 2.3 Riman – Liuvilla usuli ……………………………………………….. 34 III BOB. Ikki sohali birjinislimas muhitlarda modda ko’chishi 3.1 Har xil xususiyatlarga ega bo'lgan ikki sohali muhitda modda ko’chishi ……………………………………………………………........ 37 3.2 Ikki sohali birjinisli bo’lmas g’ovak muhitda nomuvozanat adsorbsiyani hisobga olgan holda modda ko’chishi… …………………………..….…. 46 XULOSA ………………………………………………………….....…. 55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ………….....… 56 1

KIRISH Dissertasiya mavzusining dolzarbligi va zarurati: Jahon miqyosida neft qazib olish sanoatida neft qatlamlariga ikkilamchi va uchlamchi usullari bilan ta sirʼ etishning takomillashgan loyihasini ishlab chiqish yetakchi o rinni egallamoqda. ʼ So ngi yillarda ko pgina rivojlangan mamlakatlarda neftni qazib olish sanoatida, ʼ ʼ g ovak muhitlarda modda ko chishi jarayonini ifodalovchi klassik modellar o rniga ʼ ʼ ʼ moddaning anomal ko chishi jarayonini ifodalovchi noklassik modellar ʼ qo llanilmoqda. Shu jihatdan neft qatlamlariga issiqlik usuli bilan ta sir etish ʼ ʼ texnologiyasida, neft qatlamlaridagi g ovak muhitlarda temperaturani hisobga ʼ olgan holda moddaning anomal ko chishi jarayonini ifodalovchi noklassik ʼ modellarni qo llash muhim ahamiyat kasb etmoqda. Bu borada, jumladan АQSh, ʼ Rossiya, Xitoy va boshqa rivojlangan davlatlarning neft va gazni qazib olish sanoatlarida, neft qatlamlaridagi g ovak muhitlarda bir jinsli bo lmagan ʼ ʼ suyuqliklar sizishi va moddaning anomal ko chishi jarayonlariga ta sir etuvchi ʼ ʼ asosiy omillarni hisobga olgan holda loyihalash usullarini takomillashtirishga alohida e tibor qaratilgan. ʼ Jahonda neft qazib olish sanoatida qatlamlarning neft beruvchanligini oshirish uchun neft qatlamlariga ta sir qilishning turli usullari, xususan neft ʼ harakatchanligini oshirishga yordam beruvchi issiqlik, qatlamlar orasidagi bosimni ushlab turuvchi turli usullar qo llanilmoqda. Termogidrodinamik jarayonlarning ʼ ilmiy asoslari yaratilmoqda. Bu yo nalishda, xususan yoriq g ovak muhitlarda ʼ ʼ modda ko chishi jarayonlarining matematik modellarini takomillashtirishga ʼ alohida e tibor qaratilmoqda. Ushbu sohada, jumladan yoriq g ovak muhitlarda ʼ ʼ anomal ko chish jarayonini adekvat ifodalovchi matematik modellar yo qligi ʼ ʼ inobatga olib yangi matematik modellar, EHM uchun dastur va algoritmlarni ishlab chiqish zarur hisoblanmoqda. Respublikamiz neft qazib olish sanoatida neft qatlamlarini o zlashtirishda ʼ yangi texnologiyalarni qo llashga katta e tibor qaratilib, mazkur yo nalishda ʼ ʼ ʼ amalga oshirilgan dasturiy chora tadbirlar asosida, jumladan, neft qazib olishni oshirish va zamonaviy texnologiyalarni qo llash tufayli muayyan natijalarga ʼ erishilmoqda. 2017-2021 yillarda O zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish ʼ bo yicha Harakatlar strategiyasida, jumladan «... ishlab chiqarishni modernizatsiya ʼ qilish, texnik va texnologik jihatdan yangilash, ishlab chiqarish ..., ... zamonaviy tejamkor va samarali texnologiyalarni bosqichma-bosqich joriy etish orqali qishloq joylarida aholini toza ichimlik suvi bilan ta minlashni tubdan yaxshilash» vazifasi ʼ belgilangan. Mazkur vazifani amalga oshirish, jumladan aholi ichimlik suvi bilan 2

ta minlash, yer osti suv havzalarini muhofaza qilish hamda neft qazib olishniʼ oshirish maqsadida bir jinsli bo lmagan suyuqliklar sizishi, moddaning anomal ʼ ko chishi jarayonlarini ifodalovchi takomillashgan matematik modellarni yaratish ʼ muhim vazifalardan biri hisoblanadi. Muammoning o’rganilganlik darajasi. Yoriq g ovak muhitlarda modda va ʼ issiqlikning anomal ko chishi hamda har xil xarakteristikalarga ega bo lgan ikki ʼ ʼ sohali muhitda modda ko chishi masalalarini А.Suzuki, A.S.Fomin, ʼ V.A.Chugunov, T.Hashida, Y.Nibori, A.S.Bredford, F.J.Leij, H.Makita, J.Simunek, N.Toride, S.E.Silliman va boshqa olimlar tomonidan ilmiy tadqiqotlar olib borilgan. Bir jinsli bo lmagan yoriq g ovak muhitlarda moddaning anomal ko chishi ʼ ʼ ʼ masalalari bo yicha taniqli olim va tadqiqotchilardan A.D.Benson, ʼ M.M.Meerschaert, W.S.Wheatcraft, F.Huang, F.Liu, M.Sahimi, R.Schumer, B.Baeumer, N.R.Horne, H.Zhan, B.F.A.Tompson, J.Аkilov, B.X.Xo jayorov, ʼ V.F.Burnashev va boshqalar tomonidan izlanishlar olib borilgan va ma lum ʼ darajada ijobiy natijalarga erishilgan. Bugungi kunda bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda anomal modda ʼ ʼ ko chishi masalalari to liq o rganilmagan. Shuningdek, yoriq g ovak muhitlarda ʼ ʼ ʼ ʼ moddaning ko chishiga massa almashinuvi jarayonlarini matematik ʼ modellashtirishda kasr hosilali differentsial tenglamalar imkoniyatlaridan yetarli darajada foydanilmagan. Tadqiqotning maqsadi bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda anomal modda ʼ ʼ ko chishi modellarini takomillashtirishdan va ko chish xarakteristikasida anomallikni ʼ ʼ baholashdan iborat. Tadqiqotning vazifalari: Bir o’lchovli holda kasrli diffuziya tenglamalarni sonli usullari keltirish bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda modda anomal ko chishining matematik ʼ ʼ ʼ modellariga asosan masalalarni yechish usullarini ishlab chiqish; bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda modda anomal ko chishining matematik ʼ ʼ ʼ modellarini takomillashtirish; ikki sohali bir jinsli bo lmagan g ovak muhitlarda modda ko chishining ʼ ʼ ʼ matematik modellarini takomillashtirish; Tadqiqotning obyekti sifatida birjinslimas suyuqliklar ikki sohali g’ovak muhitlarda modda ko’chishi modeli olingan. 3

Tadqiqotning predmeti ikki sohali birjinslimas g’ovak muhitlarda moddaning ko’chishi jarayonining matematik modellari, hisoblash algoritmlari va kompyuterda sonli tajribalar o’tkazish uchun dasturiy majmualari va gidrodinamik tahlil jarayonlarini tashkil etadi. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. birjinslimas g’ovak muhitlarda modda ko’chishining matematik modellarini sonli yechildi ikki sohali birjinslimas g’ovak muhitlarda modda ko’chishining matematik modellarini takomillashtir ildi ; ikki sohali g ovak muhitda modda ko chishining matematik modeli ʼ ʼ qaytariluvchi kolloid zarrachalarning tutilishini hisobga olgan holda ishlab chiqilgan; Tadqiqotning amaliy natijalari quyidagilardan iborat: differensial tenglamalar asosida moddaning ko’chishi jarayonining matematik modeli, hisoblash algoritmlari ishlab chiqilgan; birjinslimas g’ovak muhitlarda nomuvozanat adsorbsiyali modda ko’chish jarayonini hisoblash uchun dasturiy vosita ishlab chiqilgan; ikki sohali muhitda nochiziqli kinetika asosida modda ko chishi jarayonini ʼ hisoblash uchun dasturiy vosita ishlab chiqilgan. Tadqiqotning tuzilmasi. Magistrlik dissertatsiyasi mavzusi, kirish, uch bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovalardan iborat. Dissertatsiya mavzusi bo’yicha chop etilgan ilmiy ishlar. Релаксациенная дробно-дифференциальная модель фильтрации однородной жидкости в пористой среде Зокиров М.С О1. 1 , Абдурахмонов М.С О2. 1 ,Раупов С.Б О3. 1 1 ; 2 ; Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан; 3 Термезский государственный университет, Термез, Узбекистан; . Solute transport in a two-zone medium with kinetics Dzhiyanov T.O. 1 , Xolikov J.R. 2 , Abduraxmonov M.S. 3 1 , 2 , 3 Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan; 4

I BOB. Bir jinslimas g’ovak muhitda anomal modda ko’chishi va uning matematik modellari § 1.1. G'ovakli muhitda moddalarning anomal ko’chish jarayonlarini modellashtirish Ma’lumki, Fik qonuni diffuziya oqimi va modda konsentratsiyasi gradienti o’rtasida proportsional bog‘lanishni o‘rnatadi [6, 39]. Bunda moddani konvektiv ko’chishning tenglamasi olinadi, uning yechimi turli boshlang'ich va chegaraviy shartlar uchun olingan. Xususan, impulsiv chegara sharoitlari uchun bir jinsli muhitda Gauss taqsimot funksiyasi shakliga ega bo'lgan siljish egri chiziqlari olinadi. Biroq, bir qator holatlar uchun bunday model shartlari buziladi. Bunday holda, ko'pincha ikkita qoidabuzarlik aniqlanadi: 1) kontsentratsiya profillarining nisbatan tez o’sishi, 2) dum, ya'ni siljish egri chiziqlarining tushuvchi qismining nisbiy uzayishi. Bu anomaliyaning natijasidir, ya'ni moddaning fik bo'lmagan ko’chishi. Haqiqiy suv omborlarida va laboratoriya tajribalarini o'tkazishda moddalarning ko’chishining anomal tabiati ko'pincha kuzatiladi, buni klassik Fick qonuniga asoslangan an'anaviy modellar doirasida tasvirlash qiyin. So'nggi vaqtlarda adabiyotda klassik Fik qonuni [44] asosida qurilmagan moddaning diffuziya ko’chishining yangi matematik modellari berilgan bir qator ishlar paydo bo'ldi. Suyuqlikda muallaq kichik zarralar, turli kuchlar ta'sirida g'ovak bo'shlig'ida harakatlanayotganda, harakatning murakkab traektoriyasiga ega bo'lishi mumkin. Berilgan zarrachaning ma'lum bir nuqtada vaqtning ma'lum bir nuqtasida bo'lish ehtimoli normal taqsimotga ega bo'lolmaydi, shuning uchun klassik Fick nazariyasidan foydalanish yetarli asosga ega emas. Bunday vaziyatda, [11,13,28,32,80,81,83] da ko'rsatilganidek, ehtimollik modellaridan foydalanganda, ehtimollik zichligi vaqt va fazoviy koordinata bo'yicha kasr hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni qanoatlantiradi. Yoriq g’ovak muhit (YG’M) juda murakkab tuzilishga ega va ko'pincha fraktallar deb hisoblanadi. Yoriqlar va g'ovak bloklarning murakkab tuzilishi 5