Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

266.921875 KB

Скачать

Mavzu: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli
differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial
tenglamalar.
Reja:
1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari;
2. Yuqori tartibli differensial tenglamalar turlari va yechish usullari;
3. Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Ta’rif . Erkli o’zgaruvchi x∈(a,b) , noma’lum funksiya y(x) va uning
y'(x),y''(x),...,y(n)(x)
hosilalari orasidagi ushbu
F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0
(1)
funksional bog’lanishga
n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif-2. Tartibi
n bo’lgan (1) tenglamani (a,b) intervalda ayniyatga
aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi. Jumladan,
funksiya quyidagi
differensial tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi.
Ta’rif-3. Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial
tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi:
. (2)
Kelgusida biz, bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu
(3)
Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi
deymiz. Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama
F(x,y,y')=0
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial
tenglama esa
y'= f(x,y)
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi.

Ta’rif-4. Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaningy(x0)= y0
(6)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi
y(x) yechimini topishga Koshi masalasi
deyiladi. Bu yerda
x0 va y0 oldindan berilgan haqiqiy sonlardir. Geometrik tilda:
y'= f(x,y)
tenglamaning (x0,y0) nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishga
Koshi masalasi deyiladi.
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Ushbu

y'= f(x)⋅g(y) (7)
ko’rinishdagi differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial
tenglama deyiladi. Bu yerdagi
f(x) va g(y) funksiyalar mos ravishda a< x<b
va
c< y<d oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (7)
differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi
D = (a,b)× (c,d)= {(x,y)∈ R2: a< x<b,c< y<d}
sohada aniqlangan va uzluksizdir. (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaning
yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz:
1-hol. Aytaylik,
g(y)≠0,y∈(c,d) bo’lsin. U holda (7) differensial
tenglamani ushbu
dy
g(y)
= f(x)dx
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab
∫
dy
g(y)
=∫ f(x)dx
(8)

munosabatni hosil qilamiz. Ma’lumki, [g(y)]−1 va f(x) funksiyalar uzluksiz
ekanligidan, ularning mos ravishda
G(y) va F(x) boshlang ‘ ich funksiyalarining
mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni quyidagi
G (y)= F (x)+C , C = const
(9)
ko ‘ rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan
g(y)≠ 0 holda G(y) monoton funksiya
bo’ladi. Chunki,
G'(y)= 1
g(y)
≠ 0.
Bundan esa uning teskarisi
G−1 mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3)
tenglikdan
y(x)= G−1(F (x)+C )
(10)
funksiyani topamiz. O ‘ z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial
tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
2-hol. Aytaylik biror
y(x)= ¯y∈(c,d) nuqtada g(¯y)= 0 bo’lsin. Bu
tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan
y(x)= ¯y o’zgarmas funksiya (7)
differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi.
Misol 1:O ‘ zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yeching:
Yechish:

Misol 2: differensial tenglamani yeching
Yechish:

Boshlang‘ich shartdan, , bundan,
Bir jinsli va kvazi bir jinsli differensial tenglamalar

Ta’rif. Agar quyidagi
y'= f(x,y) (1)
differensial tenglamaning o‘ng tomonidagi
f(x,y) funksiya uchun
f(x,y)= f(λx ,λy ), ∀ λ>0
(2)
shart bajarilsa, (1) differensial tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Oxirgi (2) tenglikda
λ= 1
x desak,
f(x,y)= f(1,y
x):= h(
y
x)
munosabat hosil bo‘ladi. Buning natijasida (1) differensial tenglama ushbu
y'= h(
y
x)
(3)

ko‘rinishni oladi. Endi (3) ko‘rinishdagi differensial tenglamaning yechimini
topish bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun quyidagiy(x)= z(x)⋅x
(.4)
almashtirishdan foydalanamiz. Bu yerda
z= z(x) yangi noma’lum funksiya. Bu
(4) almashtirishning ikkala tomonini differensiallab
y'= z'x+z
(5)
tenglikni hosil qilamiz. (4) va (5) tengliklardan foydalanib, (3) differensial
tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
z'x+z= h(z),
ya’ni
z'= 1
x
[h(z)− z].
(6)
Bu esa o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
Ta’rif-2. Agar
f(x,y) funksiya uchun
f(λx ,λy )= λkf(x,y),∀ λ>0
(7)
shart bajarilsa, (1) tenglamaga
k - darajali bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif-3. Agar
f(x,y) funksiya uchun
f(λαx,λβy)= λβ−αf(x,y),∀ λ>0, α,β∈R
(8)
shart bajarilsa, (1) tenglamaga kvazi bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Oxirgi (8) holda ham (1) differensial tenglamani ushbu
y(x)= xβ/α⋅z(x)
(9)

almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga
keltirish mumkin. Buning uchun (8) tenglikda λ= x−1/α deb
f(1,y/xβ/α)= x1−β/αf(x,y)
,
ya’ni
f(x,y)= xβ/α−1f(1,y/xβ/α)
munosabatlarni topamiz. Oxirgi tenglikdan va (9) almashtirishdan foydalanib (1)
differensial tenglamani
xβ/αdz
dx
+ β
α
z⋅x−1+β/α= x−1+β/αf(1,z)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Bundan
xdz
dx
= f(1,z)− β
α
z
(10)
ko‘rinishdagi differensial tenglama kelib chiqadi. Bu esa o‘zgaruvchilari
ajraladigan differensial tenglamadir.
Mavzuga doir misollar:
1-Misol. (x 2
+y 2
)dy+ 2 xy dx=0 f
1 (x, y)=x 2
+y 2
va f
2 (x, y)= 2 xy differensial
tenglama bir jinslidir, chunki x 2
+y 2
va 2 xy funksiyalar ikki o‘lchovli bir jinslidir:
Haqiqatan
f
1 (tx, ty) = (tx) 2
+(ty) 2
=t 2
(x 2
+y 2
)=t 2
f
1 (x, y)
f
2 (tx,ty)= 2(tx) (ty)=t 2
2xy = t 2
f
2 (x, y).
Endi differensial tenglamani yechamiz, ya’ni u=u(x) funksiya kiritib y=ux ,
dy=u dx+x du. Unda
(x 2
+ x 2
u 2
) (u dx+x du) + 2x 2
u dx = 0
yoki ixchamlab,
(1+u 2
)dx+2ux dx=0
o‘zgaruvchilarni ajratib,

0 1
22    du u
u
x
dx
hosil qilamiz.
Integrallab, lnx+ln(l+u 2
)=lnc yoki x(l+u 2
)=C ni topamiz. u = y/x
almashtirishni hisobga olsak, berilgan tenglamaning umumiy integralini hosil
qilamiz:
x 2
+y 2
=Cx.
2-Misol. Ushbu
x
y x y y
2 2  
yoki )0 ( 1
2
 
 
   x x
y
x
y y
bir jinsli tenglamani yeching.
Yechish: O‘ng tomoni nol o‘lchovli bir jinsli funksiyadan iborat,
u x y  /
almashtirish bajaramiz, u holda
y u xu y ux y , ,     va y ning ifodalarini
differensial tenglamaga qo‘yamiz:
2 2 1 , 1 u xu u u u xu        
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil bo‘ladi.
Oxirgi tenglikni
dx ga ko‘paytirib 0 1 2   u x ga bo‘lamiz, o‘zgaruvchilar
ajraladi.
Integrallab, topamiz:
C x u ln ln arcsin   . Bu yerdan ) sin(ln Cx x y .
3-Misol. Ushbu
x
y y yx ln cos  differensial tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglamani x ga bo‘lamiz, bo‘ladi

 
   x
y
x
y
x
y y  ln cos
.
Demak, qaralayotgan tenglama bir jinsli differensial tenglama, quyidagi y=z
x, z=z (x) almashtirishni bajaramiz. Unda
zx z y    bo‘lib, berilgan differensial
tenglama, ushbu
z z z zx ln cos  
yoki

)1 ln (cos   z z dx
dzxko‘rinishda bo‘ladi. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama. Unda
o‘zgaruvchilarni ajratsak bo‘ladi
?)1 ln (cos ,)1 ln (cos    z z z
dz
x
dx
Integrallaymiz
∫    1 ln cos
ln ln ln z
z d c x
yoki
∫ ∫        2 ln ) ln ( sin2 1 cos ln
22
u ctg cx z u du
u
du cx u
yoki

 
    x
y ctg cx z ctg cx ln2
1 ln 2
ln ln
berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi, bunda c ixtiyoriy o‘zgarmas.
Endi cos ln z= 1 tenglikni ko‘ramiz, bundan
,...2,1,0 , ,...,2,1,0 ,
22          k xe y k e z kk  
yechim hosil bo‘ladi.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar
(1)
tenglamaga n -chi tartibli differensial tenglama deyiladi, bu erda x - erkli
o ‘ zgaruvchi, y=y(x) izlanuvc h i funk s iya.
y ( n )
= ¿
tenglamaga yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan n- chi tartibli differensial
tenglama deyiladi. Koshi masalasi yoki boshlang‘ich masala deb
bo‘lganda.
(2)
shartni qanoatlantiruvchi funksiyani topishga aytiladi. Bu yerda
berilgan sonlar. Ko‘p hollarda, (1) tenglamani integrallash
vaqtida
shakldagi tenglik hosil bo‘lishi mumkin. Bu tenglamaga berilgan tenglamaning
k - chi tartibli oraliq integrali deyiladi.

Tartibini pasaytirish mumkin bo‘lgan n-chi tartibli differensial
tenglamalar. (to’liqmas tenglamalar)
(3)
1. Agar (3) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, u
holda bitta yoki bir nechta ko‘rinishdagi oddiy tenglama hosil
qilamiz. Bu tenglamani ketma-ket n marta integrallab umumiy yechimni topish
mumkin.
Ko‘rsatmalar . Bu holda
formuladan foydalanish mumkin.
2. Agar (3) tenglamani parametrik ko‘rinishda, ya’ni
shaklda yozish mumkin bo‘lsa, u holda
munosabatdan foydalanib, tenglamaning umumiy yechimi parametrik ko ‘ rinishda
topi ladi .
Mavzuga doir misollar:
1-misol . .
Tenglamani y (4)
ga nisbatan yechsak, tenglama hosil bo‘ladi. Ketma-
ket to‘rt marta integrallab,

umumiy yechimni hosil qilamiz.
2-misol . .

Bu tenglamada almashtirish olamiz.

ga qo‘ysak,
ga qo ‘ yamiz.
Bu ifodani integrallab tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

II.
(4)
(4) tenglamani , almashtirish yordamida n-k tartibli
tenglamaga keltirish mumkin.
3-misol .
Tenglamada noma’lum funksiya y qatnashmagan. yordamchi funksiyani
kiritamiz. U vaqtda va tenglama ko‘rinishga keladi.
Bu tenglama Klero tenglamasi, demak umumiy yechimi maxsus
yechim bo‘ladi.
Bu yerdan va tenglamaning umumiy yechimi
,

maxsus yechimi tenglamadan topiladi va
.
III. . (5)
tenglamani almashtirish olib (bu yerda erkli o‘zgaruvchi
vazifasini y bajaradi) tartibini bitta birlikka pasaytirish mumkin. Bu holda
hosilalar quyidagicha topiladi:
va hokazo.
4-misol . .
almashtirish olamiz, u holda va tenglama
shaklga keladi. Bu yerdan va demak, . Bu tenglamani
integrallab, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz,

O ‘ zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar
(1)
tenglamaga n - chi tartibli o ‘ zgarmas koeffisiyentli birjinsli differensial tenglama
deyiladi. Bu yerda o’zgarmas sonlar.
Tenglamaning xususiy yechimi ko’rinishda bo ‘ lib, u
(2)λ
- xarakteristik tenglamaning ildizi bo ‘ lishi kerak. Yechim ko ‘ rinishi (2)
xarakteristik tenglama ildizlariga bog ‘ liq:
a) (2) tenglama ning barcha ildizlari haqiqiy va har xil.
B u holda yechimlar tenglamaning fundamental
yechimlar sistemasini tash k il etadi, chunki ular yordamida tuzilgan Vronskiy
determinanti noldan farqli .
1-misol . .
Xarakteristik tenglamani tuzamiz
.
=3, =4 bu tenglamaning ildizlaridir . Demak , tenglamaning
hususiy yechimlari va berilgan tenglamaning umumiy yechimi
bo’ladi.
b) (2) tenglamaning ildizlari orasida kompleks yechim mavjud.
Xarakteristik tenglama haqiqiy koeffisiyentli bo‘lganligi sababli ildizga qo‘shma
bo‘lgan son ham ildiz bo‘ladi . Bu ildizlar bo ‘ lsin. Bu
ildizlarga (1) tenglamaning ko ‘ rinishdagi ikkita
yechim mos keladi.
2-misol . .
Xarakteristik tenglama
.

U ildizlarga ega, demak,
berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’lib, ular chiziqli bog ‘ lanmagan va

tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
3 -misol . Xarakteristik tenglama ildizlari
bo ‘ lgan differensial tenglamaning umumiy
yechimini yozing.
Umumiy yechimy= c1e2xcos 4x+c2e2xsin 4x+c3e−3xCosx +c4e−3xSinx +c5e−4x

ko ‘ rinishda bo’ladi.
c) Xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida karrali ildiz mavjud .
Masalan, tenglamaning karrali ildizi bo ‘ ls in , bu holda (1) tenglama ta
(3)
ko ‘ rinishdagi x ususiy yechimga ega bo ‘ ladi. Bu yechimlarni chiziqli
bog ‘ lanmaganligini bevosita Gram determinantidan foydalanmasdan aniqlash
mumkin.
(4)
tenglik barcha x lar uchun o ‘ rinli bo ‘ lsin, u holda
ko‘phad aynan nolga teng bo‘ladi, bu esa ko‘phadning barcha koeffisiyentlari nol
bo‘lgandagina bajarilishi mumkin. Demak, (4) tenglik faqat
bo‘lganda bajariladi va bundan (3) chiziqli bog‘lanmagan funksiyalar sistemasini
tashkil etadi.
4-misol . Xarakteristik tenglama ildizlari bo‘lgan
differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing .
to‘rt karrali ildiz bo‘lganligi sababli tenglamaning xususiy
yechimlari bo‘ladi; ikki karrali – yechim
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko ‘ rinishga ega

5 -misol . L[y]=0 tenglamaning xarakteristik tenglamasi ildizlari
bo‘lsa. uning umumiy

yechimini yozing. uch karrali va ikki karrali ildizlar
bo‘lganligidan foydalanamiz. Umumiy yechim quyidagi ko‘rinishga ega
(5)
tenglamani qaraymiz . Bu yerda - o ‘ zgarmas sonlar,
da aniqlangan va uzluksiz funksiya.

Mavzu: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar. Reja: 1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari; 2. Yuqori tartibli differensial tenglamalar turlari va yechish usullari; 3. Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ta’rif . Erkli o’zgaruvchi x∈(a,b) , noma’lum funksiya y(x) va uning y'(x),y''(x),...,y(n)(x) hosilalari orasidagi ushbu F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0 (1) funksional bog’lanishga n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Ta’rif-2. Tartibi n bo’lgan (1) tenglamani (a,b) intervalda ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi. Jumladan, funksiya quyidagi differensial tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi. Ta’rif-3. Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi: . (2) Kelgusida biz, bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu (3) Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deymiz. Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama F(x,y,y')=0 (4) ko‘rinishda bo‘ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama esa y'= f(x,y) (5) ko‘rinishda bo‘ladi.

Ta’rif-4. Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaningy(x0)= y0 (6) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi y(x) yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda x0 va y0 oldindan berilgan haqiqiy sonlardir. Geometrik tilda: y'= f(x,y) tenglamaning (x0,y0) nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishga Koshi masalasi deyiladi. O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar Ushbu y'= f(x)⋅g(y) (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi. Bu yerdagi f(x) va g(y) funksiyalar mos ravishda a< x<b va c< y<d oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (7) differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi D = (a,b)× (c,d)= {(x,y)∈ R2: a< x<b,c< y<d} sohada aniqlangan va uzluksizdir. (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz: 1-hol. Aytaylik, g(y)≠0,y∈(c,d) bo’lsin. U holda (7) differensial tenglamani ushbu dy g(y) = f(x)dx ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab ∫ dy g(y) =∫ f(x)dx (8)

munosabatni hosil qilamiz. Ma’lumki, [g(y)]−1 va f(x) funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda G(y) va F(x) boshlang ‘ ich funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni quyidagi G (y)= F (x)+C , C = const (9) ko ‘ rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan g(y)≠ 0 holda G(y) monoton funksiya bo’ladi. Chunki, G'(y)= 1 g(y) ≠ 0. Bundan esa uning teskarisi G−1 mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3) tenglikdan y(x)= G−1(F (x)+C ) (10) funksiyani topamiz. O ‘ z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi. 2-hol. Aytaylik biror y(x)= ¯y∈(c,d) nuqtada g(¯y)= 0 bo’lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan y(x)= ¯y o’zgarmas funksiya (7) differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi. Misol 1:O ‘ zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yeching: Yechish:

Misol 2: differensial tenglamani yeching Yechish: Boshlang‘ich shartdan, , bundan, Bir jinsli va kvazi bir jinsli differensial tenglamalar Ta’rif. Agar quyidagi y'= f(x,y) (1) differensial tenglamaning o‘ng tomonidagi f(x,y) funksiya uchun f(x,y)= f(λx ,λy ), ∀ λ>0 (2) shart bajarilsa, (1) differensial tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Oxirgi (2) tenglikda λ= 1 x desak, f(x,y)= f(1,y x):= h( y x) munosabat hosil bo‘ladi. Buning natijasida (1) differensial tenglama ushbu y'= h( y x) (3)

Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

12.08.2023

0

266.921875 KB

Похожие