logo

Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

266.921875 KB
Mavzu: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli
differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial
tenglamalar.
                                                             Reja:
1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari;
2. Yuqori tartibli differensial tenglamalar turlari va yechish usullari;
3. Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.                                   Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Ta’rif .   Erkli   o’zgaruvchi  x∈(a,b) ,   noma’lum   funksiya  	y(x)   va   uning	
y'(x),y''(x),...,y(n)(x)
 hosilalari orasidagi ushbu
F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0
(1)
funksional bog’lanishga 	
n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif-2.   Tartibi  
n   bo’lgan   (1)   tenglamani  	(a,b)   intervalda   ayniyatga
aylantiruvchi   funksiyaga,   uning   yechimi   deyiladi.   Jumladan,  
funksiya quyidagi
differensial tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi.
Ta’rif-3.   Yuqori   tartibli   hosilaga   nisbatan   yechilgan   oddiy   differensial
tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi:
. (2)
Kelgusida biz, bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu
(3)
Boshlang‘ich   shartlarni   qanoatlantiruvchi   yechimini   topishga   Koshi   masalasi
deymiz. Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama	
F(x,y,y')=0
(4)
ko‘rinishda   bo‘ladi.   Birinchi   tartibli   hosilaga   nisbatan   yechilgan   differensial
tenglama esa	
y'=	f(x,y)
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi. Ta’rif-4.  Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaningy(x0)=	y0
(6)
boshlang‘ich   shartni   qanoatlantiruvchi  	
y(x)   yechimini   topishga   Koshi   masalasi
deyiladi. Bu yerda  	
x0  va  	y0  oldindan berilgan haqiqiy sonlardir. Geometrik tilda:	
y'=	f(x,y)
  tenglamaning  	(x0,y0)   nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishga
Koshi masalasi deyiladi. 
             O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Ushbu  
                                      	
y'=	f(x)⋅g(y)                                (7)
ko’rinishdagi   differensial   tenglamaga   o’zgaruvchilari   ajraladigan   differensial
tenglama deyiladi. Bu   yerdagi  	
f(x)   va  	g(y)   funksiyalar mos ravishda  	a<	x<b
va 	
c<	y<d  oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (7)
differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi	
D	=	(a,b)×	(c,d)=	{(x,y)∈	R2:	a<	x<b,c<	y<d}
sohada   aniqlangan   va   uzluksizdir.   (7)   ko’rinishdagi   differensial   tenglamaning
yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz:
1-hol.   Aytaylik,  	
g(y)≠0,y∈(c,d)   bo’lsin.   U   holda   (7)   differensial
tenglamani ushbu	
dy
g(y)
=	f(x)dx
 ko‘rinishda yozish mumkin.  Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab	
∫	
dy
g(y)
=∫	f(x)dx
(8) munosabatni   hosil   qilamiz.   Ma’lumki,  [g(y)]−1   va  	f(x)   funksiyalar   uzluksiz
ekanligidan,   ularning   mos   ravishda  	
G(y)   va  	F(x)   boshlang ‘ ich   funksiyalarining
mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni quyidagi 	
G	(y)=	F	(x)+C	,	C	=	const
(9)
ko ‘ rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan 	
g(y)≠	0  holda 	G(y)  monoton funksiya
bo’ladi. Chunki, 	
G'(y)=	1
g(y)
≠	0.
Bundan esa uning teskarisi  	
G−1  mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3)
tenglikdan
y(x)=	G−1(F	(x)+C	)
(10)
funksiyani topamiz. O ‘ z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial
tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
2-hol.   Aytaylik   biror  	
y(x)=	¯y∈(c,d)   nuqtada  	g(¯y)=	0   bo’lsin.   Bu
tenglamaning   ildizi   yordamida   aniqlangan  	
y(x)=	¯y   o’zgarmas   funksiya   (7)
differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi.
Misol   1:O ‘ zgaruvchilari   ajraladigan   differensial   tenglamani   yeching:
Yechish: 
                                                          Misol 2:   differensial tenglamani yeching
Yechish:
                                                  
Boshlang‘ich shartdan,    , bundan, 
Bir jinsli va kvazi bir jinsli differensial tenglamalar
 
Ta’rif.  Agar quyidagi
        y'=	f(x,y) (1)
differensial tenglamaning o‘ng tomonidagi 	
f(x,y)  funksiya uchun	
f(x,y)=	f(λx	,λy	),	∀	λ>0
(2)
shart bajarilsa, (1) differensial tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Oxirgi (2) tenglikda 	
λ=	1
x  desak,	
f(x,y)=	f(1,y
x):=	h(
y
x)
munosabat hosil bo‘ladi. Buning natijasida (1) differensial tenglama ushbu	
y'=	h(
y
x)
(3) ko‘rinishni   oladi.   Endi   (3)   ko‘rinishdagi   differensial   tenglamaning   yechimini
topish bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun quyidagiy(x)=	z(x)⋅x
(.4)
almashtirishdan   foydalanamiz.   Bu   yerda  
z=	z(x)   yangi   noma’lum   funksiya.   Bu
(4) almashtirishning ikkala tomonini differensiallab	
y'=	z'x+z
(5)
tenglikni   hosil   qilamiz.   (4)   va   (5)   tengliklardan   foydalanib,   (3)   differensial
tenglamani quyidagicha yozish mumkin:	
z'x+z=	h(z),
ya’ni	
z'=	1
x
[h(z)−	z].
(6)
Bu esa o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial  tenglamadir.
Ta’rif-2.  Agar 	
f(x,y)  funksiya uchun	
f(λx	,λy	)=	λkf(x,y),∀	λ>0
(7)
shart bajarilsa, (1) tenglamaga 	
k -  darajali bir jinsli differensial  tenglama deyiladi. 
Ta’rif-3.  Agar 	
f(x,y)  funksiya uchun 	
f(λαx,λβy)=	λβ−αf(x,y),∀	λ>0,	α,β∈R
(8)
shart bajarilsa, (1) tenglamaga kvazi bir jinsli differensial  tenglama deyiladi.
Oxirgi (8) holda ham (1) differensial tenglamani ushbu	
y(x)=	xβ/α⋅z(x)
(9) almashtirish   yordamida   o‘zgaruvchilari   ajraladigan   differensial     tenglamaga
keltirish mumkin. Buning uchun (8) tenglikda λ=	x−1/α  deb	
f(1,y/xβ/α)=	x1−β/αf(x,y)
,
ya’ni	
f(x,y)=	xβ/α−1f(1,y/xβ/α)
munosabatlarni   topamiz.   Oxirgi   tenglikdan   va   (9)   almashtirishdan   foydalanib   (1)
differensial  tenglamani	
xβ/αdz
dx	
+	β
α	
z⋅x−1+β/α=	x−1+β/αf(1,z)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Bundan	
xdz
dx	
=	f(1,z)−	β
α	
z
(10)
ko‘rinishdagi   differensial     tenglama   kelib   chiqadi.   Bu   esa   o‘zgaruvchilari
ajraladigan differensial  tenglamadir. 
Mavzuga doir misollar:
1-Misol.   (x 2
+y 2
)dy+ 2 xy   dx=0   f
1 (x,   y)=x 2
+y 2
  va   f
2 (x,   y)= 2 xy   differensial
tenglama bir jinslidir, chunki  x 2
+y 2 
va 2 xy  funksiyalar ikki o‘lchovli bir jinslidir:
Haqiqatan  
  f
1 (tx, ty) = (tx) 2
+(ty) 2
=t 2
(x 2
+y 2
)=t 2
 f
1 (x, y)
 f
2 (tx,ty)= 2(tx) (ty)=t 2
2xy = t 2
 f
2 (x, y).
Endi differensial tenglamani yechamiz, ya’ni   u=u(x)   funksiya kiritib   y=ux ,
dy=u dx+x du.  Unda 
(x 2 
+ x 2
 u 2
) (u dx+x du) + 2x 2 
u dx = 0
yoki ixchamlab,
(1+u 2
)dx+2ux dx=0
o‘zgaruvchilarni ajratib, 0	1
22				du	u
u	
x
dx
hosil qilamiz.
Integrallab,   lnx+ln(l+u 2
)=lnc   yoki   x(l+u 2
)=C   ni   topamiz.   u = y/x
almashtirishni   hisobga   olsak,   berilgan   tenglamaning   umumiy   integralini   hosil
qilamiz: 
x 2
+y 2
=Cx.
2-Misol.  Ushbu	
x	
y	x	y	y	
2	2		
 yoki 	)0	(	1	
2	
	
	
			x	x
y	
x
y	y
bir jinsli tenglamani yeching.
Yechish:   O‘ng   tomoni   nol   o‘lchovli   bir   jinsli   funksiyadan   iborat,  	
u	x	y		/
almashtirish   bajaramiz,   u   holda  	
y	u	xu	y	ux	y	,	,				   va  	y   ning   ifodalarini
differensial tenglamaga qo‘yamiz:	
2	2	1	,	1	u	xu	u	u	u	xu								
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil bo‘ladi.
Oxirgi  tenglikni  	
dx   ga ko‘paytirib  	0	1	2			u	x   ga bo‘lamiz, o‘zgaruvchilar
ajraladi.
Integrallab, topamiz: 
C	x	u	ln	ln	arcsin		 . Bu yerdan 	)	sin(ln	Cx	x	y . 
3-Misol.  Ushbu 	
x
y	y	yx	ln	cos	  differensial tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglamani  x  ga bo‘lamiz, bo‘ladi 	

	
			x
y	
x
y	
x
y	y		ln	cos
.
Demak, qaralayotgan tenglama bir jinsli differensial tenglama, quyidagi  y=z
x,   z=z   (x)   almashtirishni   bajaramiz.   Unda  	
zx	z	y			   bo‘lib,   berilgan   differensial
tenglama, ushbu	
z	z	z	zx	ln	cos		
yoki )1	ln	(cos			z	z	dx
dzxko‘rinishda   bo‘ladi.   Bu   o‘zgaruvchilari   ajraladigan   tenglama.   Unda
o‘zgaruvchilarni ajratsak bo‘ladi	
?)1	ln	(cos	,)1	ln	(cos				z	z	z	
dz	
x
dx
Integrallaymiz	
∫				1	ln	cos	
ln	ln	ln	z
z	d	c	x
yoki	
∫	∫								2	ln	)	ln	(	sin2	1	cos	ln	
22	
u	ctg	cx	z	u	du	
u
du	cx	u
yoki	

	
				x
y	ctg	cx	z	ctg	cx	ln2
1	ln	2
ln	ln
berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi, bunda   c   ixtiyoriy o‘zgarmas.
Endi  cos ln z= 1 tenglikni ko‘ramiz, bundan 	
,...2,1,0	,	,...,2,1,0	,
22										k	xe	y	k	e	z kk		
yechim hosil bo‘ladi. Yuqori tartibli differensial tenglamalar
         (1)
tenglamaga   n -chi   tartibli     differensial   tenglama   deyiladi,   bu   erda   x   -   erkli
o ‘ zgaruvchi,  y=y(x)  izlanuvc h i funk s iya.
y ( n )
= ¿
tenglamaga yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan  n- chi tartibli differensial
tenglama deyiladi. Koshi masalasi yoki boshlang‘ich masala deb
bo‘lganda.
                                            (2)
shartni   qanoatlantiruvchi       funksiyani   topishga   aytiladi.   Bu   yerda
  berilgan sonlar. Ko‘p hollarda, (1) tenglamani integrallash
vaqtida 
shakldagi tenglik hosil  bo‘lishi  mumkin. Bu tenglamaga berilgan tenglamaning
k  - chi tartibli oraliq integrali deyiladi. Tartibini pasaytirish mumkin bo‘lgan n-chi tartibli differensial
tenglamalar. (to’liqmas tenglamalar)
              (3)
1. Agar   (3)   tenglamani     ga   nisbatan   yechish   mumkin   bo‘lsa,   u
holda   bitta   yoki   bir   nechta     ko‘rinishdagi   oddiy   tenglama   hosil
qilamiz.   Bu   tenglamani   ketma-ket   n   marta   integrallab   umumiy   yechimni   topish
mumkin.
Ko‘rsatmalar .   Bu holda 
formuladan foydalanish mumkin.
2. Agar   (3)   tenglamani   parametrik   ko‘rinishda,   ya’ni
  shaklda   yozish   mumkin   bo‘lsa,   u   holda  
munosabatdan   foydalanib,   tenglamaning   umumiy   yechimi   parametrik   ko ‘ rinishda
topi ladi .
Mavzuga doir misollar:
1-misol .       . 
Tenglamani  y (4)
  ga nisbatan yechsak,     tenglama hosil  bo‘ladi. Ketma-
ket to‘rt marta integrallab, 
 
umumiy yechimni hosil qilamiz.
2-misol .       . Bu tenglamada   almashtirish olamiz.  
 
ga qo‘ysak, 
ga qo ‘ yamiz.
Bu ifodani integrallab tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
  
II.                                    
                   (4)
(4) tenglamani  ,          almashtirish yordamida n-k  tartibli 
 tenglamaga keltirish mumkin.
3-misol .              
Tenglamada noma’lum funksiya   y   qatnashmagan.     yordamchi funksiyani
kiritamiz. U vaqtda   va tenglama   ko‘rinishga keladi.
Bu tenglama Klero tenglamasi, demak umumiy yechimi      maxsus
yechim   bo‘ladi.
Bu yerdan   va  tenglamaning umumiy yechimi 
,  maxsus yechimi   tenglamadan topiladi va 
.
III.                                           .  (5)
tenglamani     almashtirish   olib   (bu   yerda   erkli   o‘zgaruvchi
vazifasini   y   bajaradi)   tartibini   bitta   birlikka   pasaytirish   mumkin.   Bu   holda
hosilalar quyidagicha topiladi: 
va hokazo.
4-misol .            .
  almashtirish   olamiz,   u   holda     va   tenglama  
shaklga   keladi.   Bu   yerdan     va   demak, .   Bu   tenglamani
integrallab,   berilgan   tenglamaning   umumiy   yechimini   topamiz, O ‘ zgarmas koeffisiyentli bir   jinsli  chiziqli differensial tenglamalar
(1)
tenglamaga   n   -   chi   tartibli   o ‘ zgarmas   koeffisiyentli   birjinsli   differensial   tenglama
deyiladi. Bu yerda   o’zgarmas sonlar.
Tenglamaning xususiy yechimi    ko’rinishda bo ‘ lib,  u
(2)λ
  -   xarakteristik   tenglamaning   ildizi   bo ‘ lishi   kerak.   Yechim   ko ‘ rinishi   (2)
xarakteristik tenglama ildizlariga bog ‘ liq:
a) (2)  tenglama ning  barcha ildizlari haqiqiy va har xil.
  B u holda     yechimlar   tenglamaning fundamental
yechimlar   sistemasini   tash k il   etadi,   chunki   ular   yordamida   tuzilgan   Vronskiy
determinanti noldan farqli .
1-misol .       .
Xarakteristik tenglamani tuzamiz
.
=3,  =4 bu tenglamaning ildizlaridir .  Demak ,    tenglamaning
hususiy yechimlari va      berilgan tenglamaning umumiy yechimi
bo’ladi.
b) (2) tenglamaning ildizlari orasida kompleks  yechim mavjud.
  Xarakteristik  tenglama haqiqiy koeffisiyentli  bo‘lganligi  sababli  ildizga  qo‘shma
bo‘lgan son ham ildiz bo‘ladi .  Bu ildizlar   bo ‘ lsin. Bu
ildizlarga (1) tenglamaning       ko ‘ rinishdagi  ikkita
yechim mos keladi.
2-misol .     .
Xarakteristik tenglama 
.   U       ildizlarga   ega,   demak,  
berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’lib, ular chiziqli bog ‘ lanmagan va 
   
tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
3   -misol    .   Xarakteristik   tenglama   ildizlari
  bo ‘ lgan differensial tenglamaning umumiy
yechimini yozing.
 Umumiy yechimy=	c1e2xcos	4x+c2e2xsin	4x+c3e−3xCosx	+c4e−3xSinx	+c5e−4x
 
ko ‘ rinishda bo’ladi.
c) Xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida karrali ildiz mavjud .  
 Masalan,   tenglamaning   karrali ildizi bo ‘ ls in , bu holda (1) tenglama   ta
    (3)
ko ‘ rinishdagi   x ususiy   yechimga   ega   bo ‘ ladi.   Bu   yechimlarni   chiziqli
bog ‘ lanmaganligini   bevosita   Gram   determinantidan   foydalanmasdan   aniqlash
mumkin.
             (4)
tenglik barcha  x   lar uchun o ‘ rinli bo ‘ lsin, u holda 
ko‘phad aynan nolga teng bo‘ladi, bu esa ko‘phadning barcha koeffisiyentlari nol
bo‘lgandagina bajarilishi mumkin. Demak, (4) tenglik faqat  
bo‘lganda   bajariladi   va   bundan   (3)   chiziqli   bog‘lanmagan   funksiyalar   sistemasini
tashkil etadi.
4-misol .   Xarakteristik   tenglama   ildizlari     bo‘lgan
  differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing .
    to‘rt   karrali   ildiz   bo‘lganligi   sababli   tenglamaning   xususiy
yechimlari     bo‘ladi;     ikki   karrali   –   yechim
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko ‘ rinishga ega
   
              5 -misol .   L[y]=0   tenglamaning   xarakteristik   tenglamasi   ildizlari
    bo‘lsa.   uning   umumiy yechimini   yozing.     uch   karrali   va     ikki   karrali   ildizlar
bo‘lganligidan foydalanamiz. Umumiy yechim quyidagi ko‘rinishga ega
 (5)
tenglamani  qaraymiz .  Bu yerda   - o ‘ zgarmas sonlar,   
da aniqlangan va uzluksiz funksiya.

Mavzu: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar. Reja: 1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari; 2. Yuqori tartibli differensial tenglamalar turlari va yechish usullari; 3. Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ta’rif . Erkli o’zgaruvchi x∈(a,b) , noma’lum funksiya y(x) va uning y'(x),y''(x),...,y(n)(x) hosilalari orasidagi ushbu F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0 (1) funksional bog’lanishga n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Ta’rif-2. Tartibi n bo’lgan (1) tenglamani (a,b) intervalda ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi. Jumladan, funksiya quyidagi differensial tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi. Ta’rif-3. Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi: . (2) Kelgusida biz, bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu (3) Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deymiz. Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama F(x,y,y')=0 (4) ko‘rinishda bo‘ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama esa y'= f(x,y) (5) ko‘rinishda bo‘ladi.

Ta’rif-4. Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaningy(x0)= y0 (6) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi y(x) yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda x0 va y0 oldindan berilgan haqiqiy sonlardir. Geometrik tilda: y'= f(x,y) tenglamaning (x0,y0) nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishga Koshi masalasi deyiladi. O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar Ushbu y'= f(x)⋅g(y) (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi. Bu yerdagi f(x) va g(y) funksiyalar mos ravishda a< x<b va c< y<d oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (7) differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi D = (a,b)× (c,d)= {(x,y)∈ R2: a< x<b,c< y<d} sohada aniqlangan va uzluksizdir. (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz: 1-hol. Aytaylik, g(y)≠0,y∈(c,d) bo’lsin. U holda (7) differensial tenglamani ushbu dy g(y) = f(x)dx ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab ∫ dy g(y) =∫ f(x)dx (8)

munosabatni hosil qilamiz. Ma’lumki, [g(y)]−1 va f(x) funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda G(y) va F(x) boshlang ‘ ich funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni quyidagi G (y)= F (x)+C , C = const (9) ko ‘ rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan g(y)≠ 0 holda G(y) monoton funksiya bo’ladi. Chunki, G'(y)= 1 g(y) ≠ 0. Bundan esa uning teskarisi G−1 mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3) tenglikdan y(x)= G−1(F (x)+C ) (10) funksiyani topamiz. O ‘ z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi. 2-hol. Aytaylik biror y(x)= ¯y∈(c,d) nuqtada g(¯y)= 0 bo’lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan y(x)= ¯y o’zgarmas funksiya (7) differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi. Misol 1:O ‘ zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yeching: Yechish:

Misol 2: differensial tenglamani yeching Yechish: Boshlang‘ich shartdan, , bundan, Bir jinsli va kvazi bir jinsli differensial tenglamalar Ta’rif. Agar quyidagi y'= f(x,y) (1) differensial tenglamaning o‘ng tomonidagi f(x,y) funksiya uchun f(x,y)= f(λx ,λy ), ∀ λ>0 (2) shart bajarilsa, (1) differensial tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Oxirgi (2) tenglikda λ= 1 x desak, f(x,y)= f(1,y x):= h( y x) munosabat hosil bo‘ladi. Buning natijasida (1) differensial tenglama ushbu y'= h( y x) (3)