Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning bosh elementlar usuli uchun dastur ishlab chiqish
![double determinant (const vector<vector<double>>& matrix) {
int n = matrix.size ();
vector<vector<double>> temp = matrix;
double det = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int maxRow = i;
for (int k = i + 1; k < n; k++) {
if (abs(temp[k][i]) > abs(temp[maxRow][i])) { // std::abs dan foydalanish
maxRow = k;
}
}
if (i != maxRow) {
swap(temp[i], temp[maxRow]);
det = -det;
}
det *= temp[i][i];
for (int k = i + 1; k < n; k++) {
double factor = temp[k][i] / temp[i][i];
for (int j = i; j < n; j++) {
temp[k][j] -= factor * temp[i][j];
}
}
}
return det;
}
// Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish
vector<double> cramer(vector<vector<double>> A, vector<double> B) {
int n = A.size();
double detA = determinant(A);
8](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_8.png)
![if (detA == 0) {
cerr << "System has no unique solution" << endl;
exit(1);
}
vector<double> X(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
vector<vector<double>> Ai = A;
for (int j = 0; j < n; j++) {
Ai[j][i] = B[j];
}
X[i] = determinant(Ai) / detA;
}
return X;
}
int main () {
vector<vector<double>> A = {
{2, -1, 0},
{-1, 2, -1},
{0, -1, 2}
};
vector<double> B = {1, 0, 1};
vector<double> X = cramer(A, B);
for (int i = 0; i < X.size(); i++) {
cout << "x[" << i << "] = " << X[i] << endl;
}
return 0;
}
9](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_9.png)
![Aniqroq tushuntirish maqsadida, quyidagi C++ kodlarida Gauss eliminatsiya usulini
amalga oshirishni ko'rsataman. Bu dastur matritsa va burchaklarni o'zlashtirib, Gauss
eliminatsiya usuli orqali noma'lumlar qiymatlarini topadi va chiqaradi.
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
// Gauss eliminatsiya usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish
void gaussElimination(vector<vector<double>>& A, vector<double>& b) {
int n = A.size();
// Uchburchak ko'rinishga keltirish
for (int i = 0; i < n; i++) {
// Pivot elementini topish
int maxRow = i;
for (int k = i + 1; k < n; k++) {
if (fabs(A[k][i]) > fabs(A[maxRow][i])) {
maxRow = k;
}
}
12](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_12.png)
![// Qatorlarni almashtirish
swap(A[maxRow], A[i]);
swap(b[maxRow], b[i]);
// Qatorlarni modifikatsiya qilish
for (int k = i + 1; k < n; k++) {
double factor = A[k][i] / A[i][i];
for (int j = i; j < n; j++) {
A[k][j] -= factor * A[i][j];
}
b[k] -= factor * b[i];
}
}
// Orqadan o'rinli yechim topish
vector<double> x(n);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
x[i] = b[i];
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
x[i] -= A[i][j] * x[j];
}
13](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_13.png)
![x[i] /= A[i][i];
}
// Yechimni chiqarish
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << "x[" << i << "] = " << x[i] << endl;
}
}
int main () {
vector<vector<double>> A = {
{2, -1, 0},
{-1, 2, -1},
{0, -1, 2}
};
vector<double> b = {1, 0, 1};
gauss Elimination (A, b);
return 0;
14](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_14.png)
![vector<vector<double>> elements;
public:
// Constructor
Matrix(vector<vector<double>> elems) : elements(elems) {}
// Getter method to access elements
double get (int row, int col) const {
return elements[row][col];
}
// Setter method to modify elements
void set (int row, int col, double value) {
elements[row][col] = value;
}
// Method to get the number of rows
int nomer Rows () const {
return elements.size ();
}
// Method to get the number of columns
int numCols () const {
if (elements.empty ()) {
17](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_17.png)
![return 0;
}
return elements[0].size();
}
// Method to print the matrix
void print() const {
for (int i = 0; i < elements.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < elements[i].size(); ++j) {
cout << elements[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
};
// Yakobi usulini amalga oshiruvchi funksiya
vector<double> jacobiMethod(const Matrix& A, const vector<double>& B, int
maxIterations) {
int n = A.numRows();
vector<double> X(n, 0); // Boshlang'ich qiymatlar X = [0, 0, ..., 0]
vector<double> newX(n, 0); // Yangi qiymatlar
for (int iter = 0; iter < maxIterations; ++iter) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
double sum = 0.0;
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (j != i) {
18](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_18.png)
![sum += A.get(i, j) * X[j];
}
}
newX[i] = (B[i] - sum) / A.get(i, i);
}
// Farqni hisoblash
double maxDiff = 0.0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
maxDiff = max (maxDiff, abs(newX[i] - X[i]));
}
// Farq epsilon dan katta bo'lsa, natijani qaytarish
if (maxDiff < EPSILON) {
return newX;
}
// Yangi qiymatlarni o'zgartirish
X = newX;
}
// MaxIterations ga yetganda natija qaytariladi
return newX;
19](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_19.png)
![1. Qo'shish (+) : Vektorlar va matrislar orasida qo'shish amaliyatini bajaradi.
2. Ayirish (-) : Vektorlar va matrislar orasida ayirish amaliyatini bajaradi.
3. Ko'paytirish (*) : Skalarni vektor yoki matrisga ko'paytirish amaliyatini
bajaradi.
4. Bo'lish (/) : Vektorni skalar (son) bilan bo'lish amaliyatini bajaradi.
C++ dasturlash tili operatorlar yukori amallarni o'z ichiga olgan xususiy funksiyalar
orqali yozilgan klasslar yoki strukturalar bilan birga ishlatiladi. Bu usul obyektlarni
standart algebraik amallarni bajarish uchun tayyorlaydi va dasturlashda matematik
amallarni bajarishni osonlashtiradi.
Masalan, quyidagi C++ kodida, vektorlar uchun qo'shish (+) va ko'paytirish (*)
operatorlaridan foydalanish ko'rsatilgan:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class Vector {
private:
vector<double> elements;
public:
// Constructor
Vector(vector<double> elems): elements(elems) {}
// Getter method to access elements
double get (int index) const {
return elements[index];
}
// Setter method to modify elements
void set (int index, double value) {
elements[index] = value;
}
// Method to get the size of the vector
22](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_22.png)
![int size () const {
return element.size ();
}
// Operator overloading for vector addition
Vector operator+ (const Vector& other) const {
if (size ()!= other.size()) {
cerr << "Vector sizes don't match for addition" << endl;
exit (1);
}
vector<double> result;
for (int i = 0; i < size (); ++i) {
result.push_back(elements[i] + other.elements[i]);
}
return Vector(result);
}
// Operator overloading for scalar multiplication
Vector operator*(double scalar) const {
vector<double> result;
for (int i = 0; i < size (); ++i) {
result.push_back(elements[i] * scalar);
}
return Vector(result);
}
};
int main () {
Vector vec1({1, 4, 3});
Vector vec2({4, 5, 6});
// Vector addition
Vector resultAdd = vec1 + vec2;
23](/data/documents/d9dce222-3127-45ca-a185-e859b28c3636/page_23.png)
“ Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning bosh elementlar usuli uchun dastur ishlab chiqish ” Reja: I.KIRISH II.ASOSIY QISM 1.Algebraik chiziqli tenglamalar tizimni yechishning nazariy asosi 2.Chiziqli algebraik tizimni yechish jarayoni c++ dasturlash tili yordamida avtomatlashtirish 3.Chiziqli algebraik tenglamalar tizimlariga ishlatiladigan operatorlar III.XULOSA IV.FOYDANILGAN ADABIYOTLAR 1
Kirish Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish matematik va amaliy fanlarning muhim qismidir. Bu jarayon ko'plab ilmiy, muhandislik, iqtisodiyot va kompyuter fanlari sohalarida keng qo'llaniladi. Chiziqli tenglamalar tizimlari, ayniqsa, katta hajmli ma'lumotlar bilan ishlashda, modellarni qurishda va ularga asoslangan tahlillarni o'tkazishda zarurdir. Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi - chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun bosh elementlar usuli yordamida C++ dasturlash tilida dastur ishlab chiqishdir. Bosh elementlar usuli, yoki Gauss-Jordan eliminatsiya usuli, chiziqli tenglamalar tizimini yechishning eng keng tarqalgan va samarali usullaridan biridir. Bu usul yordamida tenglamalar tizimini yechish jarayoni ko'plab algoritmik yondashuvlarga asoslanadi va natijada bir necha muhim matematik amallarni o'z ichiga oladi. Chiziqli algebra vektorlar va matrikslar bilan ishlashni o'rganadigan matematik bo'limdir. Bu fan: Vektorlar va ularning xossalari, Matrikslar va ular bilan amallar, Tenglamalar tizimlari va ularni yechish usullari kabi asosiy tushunchalarni o'z ichiga oladi. Vektorlar va matrikslar chiziqli algebraik tizimlarning asosiy elementlaridir. Ular yordamida matematik modellar quriladi va ularning echimlari topiladi. Vektorlar bir o'lchovli massivlar bo'lib, ularni yig'ish, ayirish, skalyar va vektor ko'paytirish kabi amallar orqali ishlatish mumkin. Matrikslar esa ikki o'lchovli massivlardir va ular bilan yanada murakkab amallar bajarish mumkin, jumladan, ko'paytirish, transponatsiya, inversiya va determinant hisoblash. Matriksni uchburchak shakliga keltirish - asosiy elementlarni qo'llab, pastki uchburchak matritsani nolga aylantirish. Qaytib kelish - yuqori uchburchak matritsani birlik matritsaga aylantirish va natijada tenglamalar tizimini yechish. 2
Bu usul chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun juda samarali hisoblanadi, chunki u ko'plab muammolarni sodda va tez yechishga imkon beradi. Kurs ishi davomida, C++ dasturlash tilida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun dastur ishlab chiqiladi. C++ tili bu maqsad uchun tanlandi, chunki u yuqori tezlik va samaradorlik bilan ishlaydi, shuningdek, obyektga yo'naltirilgan dasturlashning kuchli tomonlarini taklif etadi. Dastur quyidagi funksiyalarga ega bo'lishi kerak: Matrikslarni yaratish va ularning elementlari bilan ishlash, Gauss-Jordan eliminatsiya usulini qo'llash orqali chiziqli tenglamalar tizimini yechish, Natijalarni chiqarish va ularni tahlil qilish. Ushbu kurs ishi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun zamonaviy dasturlash texnikalari va algoritmlarini qo'llashni o'rganishni maqsad qiladi va talabalarga matematik muammolarni yechish bo'yicha amaliy ko'nikmalar beradi. 3
II-BOB. ASOSIY QISM 1.Algebraik chiziqli tenglamalar tizimni yechishning nazariy asosi Noma’lumlar soni n ta bo`lgan m ta chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy ko`rinishi quyidagicha: bu yerda aij – no`malumlar oldidagi koeffisentlar; bi lar esa tizimning – ozod hadlari (i = 1,2,…m, j = 1,2,…n.) deyiladi. Bu yerda m –tenglamalar soni, n- no`malumlar soni x1 x2 ,....xn bu no`malumlarni aniqlash kerak. aij – no`malumlar oldidagi koeffisentlar indekslari tenglamaning nomeri (i) va aij – no`malumning indeks nomeri (j). Tizim (1) – bir jinsli deb nomlanadi agar uning ozod hadlari nolga teng bo’lsa (b1=b2=……=bm=0), teskari holatda-bir jinislimas. Tizim (1) kvadratli deb nomlanadi agar m tenglamalar soni nomolimlar soni n ga teng bolsa. Tizim (1) ning yechimi shunday c1, c2, ......, cn n sonlar toplami dur har bitasi ci tizimning xi nomolimi orniga qoyilganda (1) tizimning barcha tenglamalarin birdaylikga aylantirsa. Tizim (1) mos deb nomlanadi agar u hesh bolmaganda bitta echimga ega bolsa va mos emas deb nomlanadi, agar u bitta ham echimga ega bolmasa. Moslik tizim (1) bitta yoki undan ham kob echimlarga ega bolishi mumkin. Moslik (1) turdagi tizim aniqlangan deb nomlanadi, agar u bitta yechimga ega bolsa. Agar u hesh bolmaganda ikkita yechimga ega bolsa, unda u aniqlanmagan deb nomlanadi. Agar (1) mos tizimning yechimlarining c1 (1), c2 (1), …, cn (1) va c1 (2), c2 (2) … cn (2) hesh bolmasa bittasining tengligi c1 (1) = c1 (2), c2 (1) = c2 (2), …, cn (1) = cn (2) Bajarilmasa unda ular har-hil deb nomlanadi. Agar tenlamalar soni nomolimlar sonidan kob bolsa unda u qayta aniqlangan deb nomlanadi. Chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari tenglamalar tizimida x1, x2, ..., xn lar o`rniga mos ravishda 0 0 2 0 1 ,..., n x x x o`zgarmas sonlarni qo`yish natijasida berilgan tenglamar tizimi ayniyatlar tizimiga aylansa, u holda 0 0 2 0 1 , ,..., n x x x lar (1) tizimning yechimi deb ataladi. Kamida bitta yechimga ega tenglamalar tizimi 4
birgaklikdagi tenglamalar tizimi deyiladi. Yechimga ega bo`lmagan tenglamar tizimi birgalikda emas deb ataladi. Agar ikkita tenglamalr tizimi bir xil yechimga ega bo`lsa, yoki ikkisi ham yechimga ega bo’lmasa ular teng kuchli deb ataladi. 2.Chiziqli algebraik tizimni yechish jarayoni c++ dasturlash tili yordamida avtomatlashtirish. Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechish usullar: Kramer usili Gauss usili Kramer usuli. Gabriel Cramer – Shvtsariya matematigi. 1704 yili 31 iyulda Shvtsariyaning Jeneva shaharida dunyaga kelgan va 4 yanvarda 1752 yili Fransiyada vafot etgan. Chiziqli algebraning yaratuvchilaridan biri. Kramer usuli, chiziqli tenglamalar tizimlarini yechish uchun foydalaniladi. Agar tenglama kvadrat matritsadan iborat bo'lsa va bu matritsaning determinanti 0 ga teng bo'lmasa, yani, unikallik yechimi mavjud bo'lsa, Kramer usuli foydalaniladi. Kramer usuli, sistemdagi har bir noma'lumning qiymatini topish uchun determinantlardan foydalanadi. Har bir noma'lum xix_ixi uchun, berilgan sistemning barcha determinantalari AiA_iAi bo'lib, unga mos determinantlar orqali quyidagi formula orqali topiladi: xi=det (Ai)det(A)x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}xi =det(A)det(Ai ) Bu formulada AAA matritsasi barcha koeffitsientlarni o'z ichiga olgan matritsa, va AiA_iAi esa AAA ning iii-chi ustunining burchaklarni berilganlar vektori bilan almashtirilgan matritsadur. Kramer usuli quyidagi holatlarda foydalaniladi: 1. Tizimda noma'lumlar soni berilgan tenglamalar mavjud bo'lsa. 2. Tenglamalar kvadrat matritsa shaklida berilgan bo'lsa. 3. Matritsaning determinanti 0 ga teng bo'lmagan bo'lsa. 5