logo

DEFORMATSIYALANUVCHI MUHITDA JOYLASHGAN SILINDRIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARIGA AYLANISH INERSIYASI VA KO’NDALANG SILJISH DEFORMATSIYASI TA’SIRI

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1907 KB
DEFORMATSIYALANUVCHI MUHITDA JOYLASHGAN  SILINDRIK
QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARIGA AYLANISH INERSIYASI
VA KO’NDALANG SILJISH DEFORMATSIYASI TA’SIRI
MUNDARIJA
KIRISH........................................................................... ...............3
I-BOB. DOIRAVIY ELASTIK STERJEN BURALMA TEBRANISHI 
ASOSIY TENGLAMALARI.
§1.1 Doiraviy   elastik   silindrik   sterjenning   vaqtdan   bog’liq
tebranishlari .................................................................................9
§1.2 Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishi  umumiy
tenglamalari.................................................................................16
§1.3 Doiraviy   silindrik   qobiqning   buralma   tebranishlarida
deformarsiyalanuvchi muhit ta’sirini e’tiborga olish..................26
§1.4 Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishlari asosiy
tenglamalari (xususiy hol)...........................................................33
II-BOB DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING SONLI
USULLARI
§2.1 С hekli   ayirmalar   usulini   d ifferentsial   tenglamalar   yechishda
qo’llanilishi..................................................................................37
§2.2 Differentsial  tenglamalarni  taqribiy  yechish ….........................45
III-BOB DOIRAVIY ELASTIK SILINDRIK QOBIQNING BURALMA 
TEBRANISHLARI       
§3.1 Doiraviy   elastik   silindrik   qobiqning   buralma   tebranish
tenglamalarida aylanish inersiyasi ta’siri ...................................51
§3.2 Doiraviy   elastik   silindrik   qobiqning   buralma   tebranish
tenglamalarida     ko’ndalang   siljish   deformatsiyasi
ta’siri............................................................................................58
XULOSA…...………..…………………………………………60 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI……….....61
Ilovalar.........................................................................................64
Kirish
Keyingi vaqtlarda fan va texnikaning jadal rivojlanishi turli xil yangi t urdagi
konstruksiya elementlarini yangi tex nologiyalar asosida yaratishga olib kelmoqda.
Hozirgi zamon texnikasi tez sur’atlar bilan rivojlanishi mexanika sohasida qilinishi
kerak   bo’lgan   yangidan-yangi,   nazariy   va   amaliy   masalalarni   yechishni
qo’ymoqda.   Keyingi   yillarda   materiallar   yuqori   bosimli   va   yuqori   haroratli   o’ta
murakkab jarayonlarda qo’llanilmoqda. Materiallar chidamli, mustahkam va arzon
bo’lishi uchun ularning qotishmalaridan o’ta mustahkam va yaroqli modulli tolalar
amaliyotda keng qo’llanilmoqda.
Bunday   yangiliklar   jismning   elastiklik   modeli   bilan   bir   qatorda,
deformatsiyalanuvchi   qattiq   jismning   boshqa,   umumiyroq   va   mukammalroq
modellarini   ham   yaratishga   olib   keldi   va   bu   modellardan   keng   miqyosda
foydalanilmoqda.   Bunda   jismlarning   plastiklik,   qovushoq-elastiklik
xususiyatlaridan keng ko’lamda foydalanishga olib kelmoqda. 
Keyingi yillar davomida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining
“yemirilish mexanikasi”, “kompozit materiallar mexanikasi”, “Nanomexanika” va
shu   kabi   qator   yangi   yo’nalishlar   paydo   bo’lishiga   ham   ana   shu   yangi   talablar
sabab bo’ladi. Ushbu yangiliklar zamirida eng avvalo elastik jism modeli yotadi.
Dissertatsiya   ishining   tadqiqot   predmeti      t   ashqi   ta’sir   natijasida
konstrukksiya   elementlari   sterjenlar,   plastinka   va   qobiqlarda   paydo   bo’ladigan
tebranish turlarini aniqlash.   Tebranishlar vaqtdan bog’liq xususiyatga ega bo’lgan
hollarda   bunday   elementlarda   paydo   bo’ladigan   nostatsionar   to’lqinlar   tarqalish
jarayonlarini,   ularning   fizik-mexanik   xususiyatlarini   hisobga   olgan   holda   tadqiq
qilishdan   iborat.   Vaqtdan   bog’liq   tebranishlarni   o’rganishda   tebranishlarning
xususiy   chastotalari,   xususiy   amplitudalarini   aniqlash   va   tebranish   formalarini
topish masalalarini qo’yish, ularni yechish va ilmiy xulosalar chiqarish.
2 Qobiqlarlar   nostatsionar   tebranishlarni   tashqi   dinamik   yuklar   ta’sirida
uyg’otilgan hollar uchun fizik-mexanik xarakteristikalardan foydalanib tadqiq etish
dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi.
Dissertatsiya   ishining   tadqiqot   ob’ekti     yuqorida   aytib   o’tilgan
xulosalardan   foydalanib,   ko’ndalang   kesimi   doiraviy,   uzunligi   chekli,   materiali
elastik bo’lgan silindrik qobiq va qatlamlar qaralgan. Bunda qobiqlarning buralma
tebranishlarida   hosil   bo’ladigan   kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik   holatini
qatlam   materialining   fizik-mexanik   xususiyatini   e’tiborga   olgan   holda   aniqlash
mumkin.   Bulardan   tashqari   qobiqni   o’rab   turuvchi   asosiy   ob’yekt   tariqasida
deformatsiyalanuvchi muhit ta’siri ham e’tiborga olingan.
Mavzuning dolzarbligi   doiraviy elastik qobiqlar mexanika sohasining juda
ko’p va xilma-xil muhandislik qurilmalari tarkibiy qismlarini tashkil qiladi.Bunday
qobiq   va   qatlamlar   ko’plab   mashina   va   mexanizmlarning   asosiy   elementlari
hisoblanadi.   Demak   o’z-o’zidan   ko’rinadiki   bunday   qobiq   va   qatlamlar   turli   xil
dinamik  tashqi   ta’sirlar   ostida   bo’ladi   va   ularning   ko’ndalang   kesimlarida   har   xil
yuklanishlar paydo bo’ladi. Sterjenlardagi bunday yuklanishlarni aniqlash masalasi
deformatsiyalanuvchi   qattiq   jismlar   mexanikasining   dolzarb   masalalaridan   biri
hisoblanadi. Tashqi ta’sirlar ostidagi qobiq va qatlamlar  ko’ndalang kesimlaridagi
kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik   holatlarini   aniqlash   dolzarb   hisoblanadi.
Bunda,   tashqi   dinamik   ta’sirlar   natijasida   qatlam   nuqtalarida   paydo   bo’ladigan
kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik   holatlarini   aniqlash   murakkablashadi.
Bunday   hollarda   masalani   analitik   yechish   mumkin   bo’lmay   qoladi   va   masalani
yechishda   sonli   usullardan   foydalanishga   to’g’ri   keladi.   Shulardan   kelib   chiqqan
holda dissertatsiya doirasida qaralgan masala dolzarb masalalar qatoriga kiradi deb
hisoblash mumkin.
Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasi masalalarini sonli yechishda
qo’llanilib   kelinayotgan   usullardan   chekli   elementlar,   chekli   ayirmalar   va
chegaraviy   elementlar   usullarini   keltirishimiz   mumkin.   Bunday   usullardan   biri
sifatida   dissertatsiya   doirasida   chekli   ayirmalar   usulidan   foydalanamiz.   Bundan
3 tashqari qaralayotgan masalalarni yechishda ularning matematik modelini qurishda
asosiy omil sidatida [1, 2] ishlarining natijalaridan foydalanamiz. 
Ishning   maqsad   va   vazifalari       magistrlik   dissertatsiyasi   ishining   asosiy
maqsadi   qilib   ko’ndalang   kesimi   doiraviy   bo’lgan   elastik   silindrik   qobiq   va
qatlamlarning vaqtdan bog’liq buralma tebranishlarini tadqiq qilish, tenglamalarda
aylanish   inersiyasi   hamda   ko’ndalang   siljish   deformatsiyasi   ta’sirlarini   inobatga
olish etib belgilangan. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan [3,4] tebranish
tenglamalari   asosida   olib   borish   va   masalalarni   sonli   usullar   yordamida   yechish
vazifasi   qo’yilgan.   Yuqorida   keltirib   o’tilganlardan   kelib   chiqib   dissertatsiya
ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: 
 elastiklik nazariyasi asosiy tenglama va munosabatlarini tahlil qilish;
 ko’ndalang   kesimi   doiraviy   elastik   qobiq   va   qatlamlar   uchun   buralma
tebranish umumiy tenglamalarini keltirib chiqarish;
  klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalarini xususiy hollarda keltirib
chiqarish;
 differensial tenglamalarni yechishning sonli usullarinini tahlil qilish; 
   chekli ayirmalar va progonka usullarini o’rganish hamda amaliy masalalar
yechishga tadbiq etish;
 Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish. 
Muammoning   ishlab   chiqilish   darajasi.   Doiraviy   elastik   sterjen   va
qobiqlarda   buralma   tebranishlarni   tadqiq   etish   masalasi   bilan   juda   ko’p   olimlar
shug’illanishgan   va   hozirgacha   ilmiy   izlanishlar   olib   borishmoqdalar.   Fan   va
texnikaning   taraqqiyot   darajasi   materiallarning   yangidan-yangi   xususiyatlarini,
jumladan:     reologik,   anizotropik,   temperaturaviy   va   h.k.   xususiyatlarini   inobatga
olgan holda tadqiqotlar olib borishni talab etmoqda. Bundan tashqari sterjenlardagi
buralma tebranishlarni yangi aniqlashtirilgan tebranish tenglamalar asosida keltirib
chiqarish bo’yicha juda kam ishlar bajarilgan.
Tadqiqotning   ilmiy   yangiligi.   Doiraviy   elastik   silindrik   qobiqlarning
buralma tebranishlari haqidagi masalalar analitik yechimlar asosida tadqiq etilgan.
4 Aslida dinamik jarayonlarda bu kabi yechimlarni olish juda murakkab hisoblanadi.
Bunda ko’proq xotira effektini hisobga oladigan aniqroq ravishda natija beradigan
singulyar   yadrolardan   foydalaniladi.   Bu   kabi   yadrolar   bilan   esa   masalani   analitik
yechish qiyinlashadi yoki masalani yechib bo’lmaydi.
Shuning   uchun   sterjen   va   qobiqlarning   buralma   tebranishlari   haqidagi
masalalarni   sonli   tadqiq   etish   talab   etiladi.   Sonli   usullardan   foydalanish   hozirgi
vaqtla katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Maskur dissertatsiya ishi
doirasida   qaralgan   va   yechilishi   uchun   sonli   usullar   tadbiq   etilgan   masalalarning
ilmiy ahamiyati birinchidan, materialning elastiklik xususiyati hisobga olinganligi
ikkinchidan,   masalani   yechish   uchun   chekli   ayirmalar   usulining   qo’llanilishidan
iboratdir. Dissertatsiya ishining ilmiy yangiligi doiraviy elastik qobiqning buralma
tebranishi   uchun   tebranish   tenglamalariga   sonli   usullarning   qo’llanilishidan
iboratdir.
Tadqiqotning amaliy ahamiyati.   Hozirgi  zamon texnikasi, yer  osti  va yer
usti   inshootlari,   qurilish,   aviatsiya,   kemasozlik   va   boshqa   juda   ko’plab   sohalarda
ko’ndalang   kesimi   doiraviy   bo’lgan   qobiq   va   qatlamlar   muhandislik
qurilmalarining   asosiy   elementlaridan   biri   sifatida   ishlatiladi.   Qo’llanilish
jarayonida   bunday   qatlamlar   intensiv   va   impulsli   dinamik   yuklar   ta’siri   ostida
bo’ladilar. Ko’p hollarda ularning dinamik chidamlilik darajasini tajribadan emas,
balki hisoblash ishlari yordamida aniqlashga to’g’ri keladi.
Yuqorida   keltirilganlar   elastik   doiraviy   qatlamlarning   vaqtdan   bog’liq
tebranishlarini   tadqiq   qilish,   ularning   tebranish   chastotasi   va   amplitudasi,
tebranishlar   shakli,   ko’chishi   va   kuchlanishi   kabi   boshqa   xarakteristikalarini
aniqlash tadqiqotning amaliy ahamiyatga ega ekanligidan dalolatdir. Dissertatsiya
ishida   qaralgan   qobiq   va   qatlamlarning   buralma   tebranishlari   haqidagi   masalalar
ham shunday tadqiqotlar sarasiga kiradi va muhim amaliy ahamiyatga ega bo’lgan
masalalardan biri ekanligini ko’rsatadi.
Dissertatsiya ishining tuzilishi.   Ushbu magistrlik dissertatsiyasi ishi kirish,
uchta   bob,   xulosa   va   foydalanilgan   asosiy   adabiyotlar   ro’yxatidan   iborat   bo’lib
jami …    .betni tashkil qiladi. 
5 Dissertatsiya   asosiy   bo’limlarining   qisqacha   mazmuni.     Dissertatsiya
ishining   kirish   qismida   ishning   predmeti   va   dolzarbligiga   atroflicha   to’xtalib
o’tilgan. Ishning predmeti ishonarli qilib keltirilgan va shu asosda  uning ob’yekti
aniqlashtirilgan.
Doiraviy   elastik   sterjen,   qobiq   va   qatlamlarning   buralma   tebranishlarini
klassik va aniqlashtirilgan tenglamalar asosida tadqiq qilish mexanikaning  dolzarb
mavzularidan biri ekanligi keltirilgan. Dissertatsiya ishining maqsadi va vazifalari
belgilab   olingan.   Bunday   vazifalardan   bir   nechtasi   alohida   ajratilgan   va   sanab
o’tilgan. Ularning har biriga tavsif keltirilgan.
Dissertatsiya   ishida   hal   qilinishi   kerak   bo’lgan   muammo   tahlil   qilingan.
Olingan   natijalarning   ilmiy   va   amaliy   ahamiyatlari   aniq   misollarda   sodda   qilib
bayon etilgan. 
Dissertatsiya   ishining   birinchi   bobi   “Doiraviy   elastik   sterjenning   buralma
tebranishi   asosiy   tenglamalari”   deb   nomlangan   va   o’z   ichiga   to’rtta   paragrafni
olgan.   Birinchi   paragrafda   d oiraviy   elastik   silindrik   sterjenning   vaqtdan   bog’liq
tebranishlariga  doir o’tkazilgan ilmiy tadqiqot ishlariga qisqacha sharh berilgan. 
Ikkinchi   paragrafda   ko’ndalang   kesimi   d oiraviy   elastik   silindrik   sterjenning
buralma   tebranishi   umumiy   tenglamalari   keltirib   chiqilgan   va   boshqa   mualliflar
tomonidan chiqarilgan tenglamalar bilan taqqoslash ishlari bajarilgan.
Uchinchi   paragraf   d oiraviy   silindrik   qobiqning   buralma   tebranishlarida
deformarsiyalanuvchi   muhit   ta’sirini   e’tiborga   olish   deb   nomlangan   va   qobiqni
o’rab turuvchi muhitga baho berilgan.
To’rtinchi paragraf d oiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishlari
asosiy tenglamalari (xususiy hol)  qarab chiqilgan.  Aniqlashtirilgan tenglamalarning
har bir hadi qanday mexanik ma’noga ega ekanligi bayon etilgan.
Dissertatsiya   ishining   ikkinchi   bobi   d ifferentsial   tenglamalarni   yechishning
chekli     ayirmalar     usuli,   x ususiy     hosilali     differentsial     tenglamalarni   taqribiy
yechish ga qo’llaniladigan asosiy formilalar keltirib chiqarishga bag’ishlangan. Shu
bobning birinchi paragrafi  d ifferentsial tenglamalarni yechishning chekli  ayirmalar
usuli   deb   nomlangan   bo’lib   bunda   o’ng,   chap   va   markaziy   ayirmalar   haqida
6 ma’lumotlar   berilgan.   Shu   bobning   ikkinchi   paragrafida     x ususiy     hosilali
differentsial   tenglamalarni   taqribiy yechish   uchun asosiy formula va munosabatlar
va   tenglamalarni   yechish   tartibi   keltirilgan.   Keyyinchalik   ushbu   bobda   keltirilgan
ma’lumotlardan   foydalanib   dissertatsiya   ishi   doirasida   aniq   amaliy   masalalarni
yechishda uchun  sonli usullardan, xususan chekli ayirmalar usulidan foydalanilgan.
Dissertatsiya   ishining   uchinchi   bobi   “Doiraviy   elastik   silindrik   qobiqning
buralma tebranishlari” deb nomlangan. Bob ikkita paragrafdan iborat bo’lib birinchi
paragrafda   d oiraviy   elastik   silindrik   qobiqning   buralma   tebranish   tenglamalarida
aylanish   inersiyasi   ta’sirini   e’tiborga   olish   deb   nomlangan.   Tenglamalarda   ushbu
ta’sirni   hisobga   olgan   holda   uzunligi   chekli   bo’lgan   qobiq   uchun   sonli   natijalar
olingan va  grafiklar  ko’rinishida  tasvirlangan.   Ikkinchi   paragrafda  d oiraviy  elastik
silindrik   qobiqning   buralma   tebranish   tenglamalarida   ko’ndalang   siljish
deformatsiyasi   ta’sirini   e’tiborga   olib   uzunligi   chekli   bo’lgan   qobiq   uchun   sonli
natijalar olingan. K o’chishlarni vaqtdan va koordinatadan bog’liq bo’lgan grafiklari
keltirilgan. Sonli natijalar asosida mexanik xulosalar chiqarilgan.
7 I-BOB.   DOIRAVIY ELASTIK STERJEN BURALMA TEBRANISHI
ASOSIY TENGLAMALARI
§1.1  Doiraviy elastik silindrik sterjenning vaqtdan bog’liq tebranishlari
Egilishning   differensial   munosabatlarini   Bernulli   statik   holda   chiqargunga
qadar   sterjenlarning   egilishi   haqidagi   tadqiqotlar   nashr   qilinmagan   edi.   Bu
tadqiqotlarni   keyinchalik   L.Eyler   (1744)   davom   ettirdi.   Ushbu   tebranish
tenglamasi   o’zida   inersiya   kuchini   hisobga   oluvchi   dinamik   had   orqali   to’ldirildi
va   balkaning   ko’ndalang   tebranishi   differensial   tenglamasi   hosil   qilindi.   Bu
chiqarilgan tenglamalar Eyler-Bernulli tenglamalari deb nom oldi. 
Bizga   ma’lumki,   uzunligi   bo’yicha   bir   jinsli   bo’lmagan   balkaning
differensial tebranish tenglamasi  quyidagicha ko’rinishida bo’ladi
                                        (1.1)
                                       (1.2)
Bu   yerda   x- bo’ylama   koordinata,   t-vaqt,   -qaralayotgan   sterjen   nuqtasining
markaziy   o’qidan   chetlashishi,   -eguvchi   moment,   -qirquvchi   (ko’ndalang)
kuch,   -   tekis   taqsimlangan   kuch,   -sterjen   ko’ndalang   kesim   yuzi,   -
Elastiklik moduli,  -material zichligi.
Sterjen   klassik   egilish   tenglamalari   tekis   kesimlar   gipotezasi   (D.Bernulli
gipotezasi)ga   asoslangan:   deformatsiyagacha   tekis   bo’lgan   kesimlar
deformatsiyadan   keyin   ham   tekisligicha   qoladi.   Ko’ndalang   va   bo’ylama   tolalar
bo’yicha   kuchlanishlar   juda   kichik,   shuning   uchun   ularni     hisobga   olmasa   ham
bo’ladi.   Tekis   kesimlar   gipotezasi   barcha   sterjenlar   uchun   tajribalardan   katta
aniqlikka ega ekanligini ko’rsatadi.
Ko’pgina   materiallar   uchun   Puasson   koeffisiyenti     noldan   farqli
bo’lgani   uchun   uning   ta’siri   bo’ylama   cho’zilishda   yon   tomondan   siqilishga,
bo’ylama siqilishda esa yon tomondan kengayishga olib kelishini ko’rish mumkin.
Bundan   ko’rinadiki   D.Bernulli   gipotezasi   egilish   vaqtida   ko’ndalang   kesimdagi
nuqtalarning   ko’chishini   cheklamaydi.   Hosil   qilingan   (1.1)   tenglamadan
sterjenning   tebranish   tadqiqotlarida   J.Fure,   J.Bussinesk   va   boshqa   olimlar
8 keyinchalik   foydalanganlar.   Birinchilardan   bo’lib   sterjenning   ko’ndalang
tebranishi   nazariyasiga,   sterjen   elementlarida   aylanish   inersiyasi   va   ko’ndalang
siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olishni S.P.Timoshenko taklif etgan.   
Sterjen   statik   egilganda   keltirilgan   yechimlar   ko’ndalang   siljish
deformatsiyasi ta’siri juda muhim ekanligini ko’rsatadi. Statik holatda ko’ndalang
siljish   deformatsiyasi   ta’sirini   bir   qancha   materiallarda,   jumladan   rezinali
sterjenlarda yaqqol ko’rish mumkin [7].
Siljish   deformasiyasi   ta’siri   yassi   ko’ndalang   kesimning   buzilishiga   sabab
bo’lishi   mumkin   (jamlangan   kuchlar,   jamlangan   massalar,   qattiqlik   yoki   zichlik
sakrashlari va h.k.).
Bundan   tashqari   dinamik   masalalarda   tebranish   modellari   bilan   bog’liq
ko’ndalang   kesimlarining   tuzilishi   mumkinligini   aytib   o’tish   mumkin;   vaqt
bo’yicha   o’zgaruvchilar,   maydonlar   katta   gradiyentlar   chegaralarida   elastiklik
nazariyasi klassik modellari to’g’ri kelmasligi mumkin.
S.P.Timoshenko   yaxlit   sterjen   tebranishlari   haqidagi   masalani   qarab,   past
chastotalarda   ko’ndalang   kesim   deformatsiyasining   kichik   ta’siri   chastotaning
oshishi bilan ortib boradi degan xulosaga kelgan.
Bu esa uzunlik birligiga mos keluvchi buralish to’lqinlari sonining ortishini
ko’rsatadi.   [21]   ishlariga   tayanib,   aylanish   inersiyasi   va   ko’ndalang   siljish
deformasiyasi   ta’sirini   e’tiborga   olib,   bir   jinsli   prizmatik   sterjen   uchun   buralma
tebranish   to’lqin   tenglamasini   keltiramiz.   Urinmaning   egrilik   chizig’iga   og’ish
burchagi  , deb olamiz, u holda buralma deformasiya,   egrilik va neytral o’q
oldidagi   siljishlardan iborat bo’ladi, ya’ni
;                                                  (1.3)
 -eguvchi  moment va  - ko’ndalang kuch ifodalari quyidagicha:
;                          (1.4)
9 Sterjen   cheksiz   kichik   elementining   aylanish   inersiyasi   hisobga   olinganda
chiziq   tekisligiga   perpendikulyar   k   nuqta   orqali   o’tuvchi   o’qqa   nisbatan   harakat
tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
                                                  ;
(1.5)
Qaralalayotgan   elementning     - o’qqa   nisbatan   harakat   tenglamasi
quyidagi ko’rinishga ega
                                                  ;                                     (1.6)
(1.4)   munosabatni   e’tiborga   olsak   (1.5)   va   (1.6)   tenglamalardan   ikkita
harakat differensial tenglamalarini hosil qilamiz
                                        ;                                (1.7)
                                            ;                                  (1.8)
Bu   differensial   tenglamalardan     ni   yo’qotib   S.P.Timoshenko   tomonidan
yaratilgan balka egilish tenglamasiga ega bo’lamiz
                        ;
(1.9)
Agar   (1.9)   tenglama   tarkibidagi     qatnashgan   hadni   hisobga   olmasak,   u
holda   Releyning   aylanish   inersiyasi   ta’sirini   hisobga   olgan   tenglamasi   kelib
chiqadi. 
Chegaraviy masalalarni yechishda (1.7) va (1.8) aniqlashtirilgan tenglamalar
(1.2) va (1.3) munosabatlarga mos holda cheraviy shartlar bilan to’ldiriladi. Bunda
chegaraviy shartlar korrektligi haqidagi masala dolzarb hisoblanadi. Ba’zi ishlarda
[9,   10,   11]   Timoshenkoning   tipidagi   tenglamalar   klassik   nazariya   chegaraviy
shartlari bilan yechiladi, bu esa nokorrekt hisoblanadi.
-   y   o’qi   bo’yicha   ko’ndalang   siljish   va   x   o’qi   yo’nalishida   bo’ylama
siljishning aproksimatsiyalariga asoslangan.
                                               (1.10)
10 ;                               (1.11)
Quyida   S.P.Timoshenko   modeli   tavsifini   keltiramiz.   (1.11)   tenglamadagi
ikkinchi   qo’shiluvchi   ko’ndalang   kesimlar   buzilishini,   ya’ni   ularning   tekislikda
siljishini   ifodalaydi.   (1.10)   va   (1.11)   ifodalarni   e’tiborga   olib   normal   va   urinma
kuchlanishlar uchun qo’yidagi formulalarni hosil qilamiz
  ;                         (1.12)
;                          (1.13)
Klassik nazariyadagi ko’ndalang hamda normal kuchlanishlar  va (1.12)  o’q
bo’ylab   deformasiyasi   bilan   bog’lanish   ko’ndalang     va   bo’ylama  
kuchlanishlarni hisobga olmasdan qabul qilinadi.
Eguvchi   moment   va   ko’ndalang   kuch   uchun   integral   kattaliklarga   o’tib
quyidagi ifodalarni olamiz 
   ;                                   (1.14)
;                                                             (1.15)
(1.14) va (1.15) formulalardagi   k-   korrektlovchi koeffisiyent,   -ko’ndalang
kesimda   siljishning   o’rtacha   burchagi,   kesim   tekisligi   buzilishini   taxminiy
xarakterlovchi   -funksiya   ko’rinishi   shunday   olinadiki,   kesimda   urinma
kuchlanishlar taqsimoti materiallar qarshiligi kursidagi kabi, ya’ni
   ;                                               (1.16)
D.I.Jukovskiy   formulasiga   ko’ra   bo’lishi   kerak.   Shuning   uchun   (1.12),   (1.13)   va
(1.16) ifodalardan quyidagilarni hosil qilamiz
   ;                                   (1.17)
(1.17) formulalar   k   korrektlovchi koeffitsiyent kattaligini aniqlashga imkon beradi
(masalan, to’g’ri to’rtburchakli ko’ndalang kesim uchun  k=615 )
   ;                                        (1.18)
11 bog’lanishni kiritib 
;                             (1.19)
ifodalarni   olamiz,   ular   (1.7)   va   (1.8)   tenglamalarga   olib   keladi.   (1.3),   (1.18)   va
(1.19) tenglamalarni taqqoslashdan   ekanligi kelib chiqadi.
(1.10)-(1.19)   S.P.Timoshenko   modelining   tavsifidagi   masalaning   aniq
qo’yilishi   matematik   approksimasiyasi   ma’nosida   qat’iy   emas.   Haqiqatan   (1.10)
munosabat neytral sirtda aniq bajariladi. (1.19) ifodalar esa faqat egrilik va sterjen
siljishi orasidagi bog’lanish hisobga olingan holda o’rinli bo’ladi.
  S.P.Timoshenko   modelini   boshqa   ko’rinishdagi   talqinlari   ham   bizga
ma’lum.   Ulardan   biri   [12]   ga   tegishli   bo’lib,   alohida   e’tiborga   loyiq   hisoblanadi.
Bir nechta talqinlarning mavjudligi oxir oqibat bir nechta farqli koeffitsiyentlarga
ega,   bo’lib   (1.9)   tenglamaga   olib   keladi.   k   korrektlovchi   koeffitsiyentning
mavjudligi   S.P.Timoshenko   modeliga   mos   keluvchi   gipotezalarni   bayon   qilishda
muhim hisoblanib, keyingi natijalarga olib keladi.
S.P.Timoshenko   tenglamasi   (1.9)   to’lqin   xarakteriga   ega   Ya.S.Uflend     bu
tenglamani   yechishda   Laplas   integral   almashtirishlarini   qo’lladi   va   shu   bilan
bog’liq   keyingi   tadqiqotlarda   qo’llanilgan   Riman-Mellin   qator   integrallarni
hisobladi.
S.P.Timoshenko   bir   jinsli   bo’magan   balka   tenglamalarini   V.Q.Qabulov,
A.Wergandlar   qaraganlar.   Uzunligi   bo’yicha   o’zgaruvchi   holda     va
  kattaliklar,   (1.4)   munosabatlarda   o’zgarishsiz   qoladi   u   holda   (1.7)   va   (1.8)
tenglamalar quyidagi ko’rinishni oladi:
                                     (1.20)
Agar   sterjen   bir   jinsli   elastik   muhitda   k   qattiqlik   koeffitsiyenti   bilan
xarakterlanuvchi   ko’ndalang   tebranishlar,   muhit   reaksiyasi   -solishtirma
bog’lanish   sifatida   namoyon   bo’ladi   va   (1.9)   Timoshenko   balka   tenglamasiga
tegishli   hadlar   bilan   oson   to’ldiriladi.   Boshlang’ich   -ko’chishga   va   -
12 bo’ylama   yuklanishga   ega   bo’lgan   S.P.Timoshenko   tipidagi   balka   tenglamasi
E.J.Brunelli  ishida keltirilgan.
               ( )
S.H.Crandall   va   A.Yildiz,   S.P.Timoshenko   modeliga   asoslanib   Foygt
bo’yicha   tebranishlar   ko’ndalang,   bo’ylama   va   yopishqoq   elastik   so’nishlarda
effektlarni hisobga oluvchi differensial tenglamalar sistemasini hosil qilishdilar.
                                (1.21)
Bu yerda   va   so’ndirish koeffitsiyentlari, 
H. Favre  ishida 
   ;                                (1.22)
;                                          (1.23)
munosabatlar   bilan   ifodalanuvchi   qovushoq-elastik   materialdan   yasalgan   sterjen
uchun   aylanish   inersiyasi   va   siljish   deformatsiyasini   hisobga   olib   differensial
tenglama olingan.
(1.22)   bog’lanish   Kelvin   jisimini     da   va   Maksvell   jisimini     da
tavsiflaydi. Yana   va   koeffitsiyantlarga nisbatan kichik deb faraz qilinadi, u
holda   bunday   material   kvazielastik   deb   ataladi.   Aniqlashtirilgan   tenglama
ko’rinishga ega.
     (1.24)
13 Bu   yerda   -siljishga   o’zgarishni   hisobga   oluvchi   keltirilgan   yuza.
Harakatlanayotgan yoki turg’un uchta to’lqin sinflari qaraladi bular: uzun, o’rta va
qisqa   to’lqinlar.   To’lqinlar   uzun   deyiladi,   qachonki   aylanish   inersiyasi   va   siljish
e’tiborga olinmasa. O’rtacha to’lqinlarda bu omillar hisobga olinadi, lekin ularning
ta’siri   kichik   deb   qaraladi.   Qisqa   to’lqinlarda   aylanish   inersiyasi   va   siljish   ta’siri
ko’ndalang inersiyasi bilan bir xil tartibda bo’lishi bilan xarakterlanadi. Balandligi
h   bo’lgan   to’g’ri   to’rtburchakli   sterjen   uchun   quyidagi   hollar   olingan:   uzun
to’lqinlar  , o’rta to’lqinlar  , qisqa to’lqinlar  .
Oddiy   dempfirlashni   hisobga   olib     ko’ndalang   tezlikka   va  
burchak tezlikka proportsional bo’lgan hol J. Gonda tomonidan olingan. 
       (1.25)
bu tenglamaning yechimi Laplas almashtirishlariga keltiriladi.
Balka   aylanish   inertsiyasi   va   siljishini   hisobga   olingan   elastik-plastik
dempferlash holidagi buralma tebranishlar tenglamasi M. P. Galin va V.Q.Qabulov
ishlarida berilgan. 
14 §1.2  Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishi  umumiy
tenglamalari
Silindrik     koordinatalar   sistemasida   bir   jinsli,   izotrop   va   radiusi  
bo’lgan   doiraviy   silindrik   qovushoq-elastik   sterjenni   qaraymiz.   Tebranish
tenglamalarini   chiqarishda   silindrik   sterjenni   elastiklik   nazariyaga   qat’iy
bo’ysinuvchi uch o’lchovli jism sifatida deb qaraymiz.
Qovushoq-elastik   sterjen   nuqtalarining     ko’chish   vektorini
quyidagicha keltiramiz
      ,                                                  (1. 26 )
bu   yerda   -   bo’ylama   va     -ko’ndalang   to’lqin   potensiallari,     –   z   o’qi
bo’yicha yo’nalgan birlik vektori [3].
ifodalarini hisobga olib ko’chish vektorini
kabi ifodalaymiz.
Ko’chish   vektorining   oxirgi   ifodasidagi   -birlik   vektorlari   oldidagi
koeffitsientlar mos ravishda  - ko’chish komponentalarini aniqlaydi.
                                       (1.2 7 )
Deformatsiya va ko’chish orasidagi munosabatlar, 
15 ya’ni   Koshi   munosabatlaridan     deformatsiyalarni
 potensiallar orqali ifodalaymiz 
                        (1. 28 )  
        
Bu yerda   – hajmiy deformasiya;   – uch o’lchamli Laplas operatori.
Tebranishlar   simmetrik   bo’lganida   ko’chishlar   va   deformatsiyalarning
(1.27), (1.28) ifodalari quyidagi ko’rinishga keladi
,             (1. 29 )
va
                                            (1.30)
   
 
Qovushoq-elastik jism uchun Guk qonuniga
16 asosan     kuchlanishlar   va
    deformatsiyalar   orasidagi   quyidagi   munosabatga
ega bo’lamiz
          (1.31)
-qovushoqlik teskarilanuvchi operatorlari;
                            (1.32)
  –   Lame   koeffitsentlari;     –   qovushoq-elastiklik   operatorining
ixtiyoriy yadrolari. 
Silindrik   koordinatalar   sistemasida   sterjen   (uch   o’lchovli   qovushoq-elastik
jism) nuqtalarining harakat tenglamalari quyidagicha bo’ladi [5]
                                   (1. 33 )
17 Sterjen   nuqtalarining   harakat   tenglamalariga   kuchlanishlarning   (1.31)
ifodasini   va   ko’chishlarning   (1.27)   ifodalarini   qo’yib,   ba’zi   soddalashtirishlardan
keyin quyidagiga  ega  bo’lamiz
Bu   tenglamalarni   mos   ravishda   -   birlik   vektorlariga   ko’paytirib
qo’shamiz, 
soddalashtirishladan so’ng  ushbu tenglikni  hosil  qilamiz,
Bu tenglik o’rinli bo’lishi uchun
bo’lishi kerak. Bundan biz quyidagi to’lqin tenglamasiga ega bo’lamiz [2].
                                      (1.34)
Bu yerda   – sterjen materialining zichligi ; 
18 U   holda,   ya’ni     vektori   (1.26)   kabi   tasvirlanganda,   -vektor
maydonining   solinoidallik sharti o’z-o’zidan bajariladi.
Endi   silindrik   qovushoq-elastik   sterjenning   buralma   tebranishlari   haqidagi
dinamik   chegaraviy   masalani   qo’yamiz.   Buning   uchun   sterjenning   buralma
tebranishlarini   uning   sirtida   ta’sir   etuvchi       kuchlanish   hosil   qiladi   deb
hisoblaymiz. U holda sterjen uchun chegaraviy shart quyidagicha bo’ladi
;                                   (1.35)
Boshlang’ich shartlarni nol deb olamiz.
Yuqorida qayd qilingan [1,2] adabiyotlarda ko’rsatilishicha sterjenning buralma
tebranishlari  faqat     potentsial  bilan xarakterlanadi. Shuning uchun sterjenning
buralma tebranish tenglamasi quyidagi ko’rinishni oladi [1]
Sterjenning   buralma   tebranishlari     o’q q a     nisbatan     simmetrik     bo’lganligi
uchun   buralma     tebranishlarni   xarakterlovchi   barcha   parametrlar   θ   burchakdan
bog’liq   bo’lmaydi,   shu ning   uchun     potensial   ham   θ   burchakdan   bog’liq
bo’lmaydi. U holda oxirgi tenglama  quyidagi ko’rinishni oladi.  
                                        (1.36)
Shunday   qilib   buralma   tebranishlarda   sterjen   nuqtalarining   harakati   (1.36)
tenglama   orqali   ifodalanadi.   Chegaraviy   shartlar   (1.35)   va   boshlang’ich   shartlar
nol deb olinadi.
Masalani yechish uchun   potentsialni ushbu ko’rinishda tasvirlaymiz [4]
                                            (1.37)
bu   yerda   l -   p   tekislikning   uchastkasidan   o’ngda     joylashgan     ochiq
kontur, potensialning  bu ifodasinidan    va    larni topamiz,  
                          
19 hosil qilingan  ifodalarni (1.36) harakat tenglamasiga qo’yib, 
soddalashtirishlardan keyin quyidagiga ega bo’lamiz
,
bunda
kabi belgilashlar olsak  quyidagini hosil qilamiz.
,                                                        (1.38)
Yuqoridagi (1.38) tenglamaning umumiy yechimi  
,                                                      (1.39)
ga teng, bunda  I
0  – modifikasiyalangan Bessel funksiyasi  [6]. 
Modifikasiyalangan   Bessel   funksiyasi     uchun   quyida   qo’llaniladigan   ba’zi
munosabatlarni keltiramiz [5]
                     (1.40) 
Sterjen sirtida  ta’sir  etuvchi    kuchlanish ifodasini  ham
                                  (1.41)
kabi  tasvirlab (1.37)  ifodani hisobga  olsak (1.35) chegaraviy shart quyidagi 
ko’rinishni  oladi
;                                   (1.42)
bunda  .
Agar     (1.39)   umumiy   yechimini   va   (1.40)   munosabatlarni   hisobga   olsak,   (1.42)
chegaraviy shart quyidagicha bo’ladi
20                                           (1.43)
endi    ko’chishni ham
                                                   (1.44)
kabi     tasvirlaymiz.     potensial   va     ko’chish   ifodasini   (1.29)   formuladagi
ikkinchi tenglikka qo’yamiz 
 Oxirgi tenglikka (1.39) umumiy yechimni qo’yib
                                                          (1.45)
ifodaga ega bo’lamiz.
Ko’chishning   ushbu   ifodasidagi   Besselning   -modifikasiyalangan
funksiyasini  r  radial koordinata   bo’yicha qatorga yoyamiz.
U holda  quyidagiga  ega bo’lamiz      
                                           (1. 46 )
Oxirgi  (1. 46 ) tenglamada  n=0  va      deb  hamda
                                                 (1.47)
kabi almashtirish olib quyidagini hosil qilamiz      
                                           (1.48)
Keltirilgan     (1.48)     ifodadan   ko’rinadiki   almashtirilgan       funksiya
deformatsiya   o’lchov   birligiga   ega.   Bu   (1.48)     formula     masalaning   aniq
matematik   qo’yilishi     va     uning   aniq   yechimidan     kelib     chiqadi.   Integrallash
o’zgarmasi     ni   (1.47)   tenglikdan   topib   (1.46)   formulaga   qo’yamiz.   Natijada
  ko’chishning almashtirilgan   funksiya orqali  ifodasini  hosil  qilamiz
                                          (1.49)
21 Chegaraviy shartning (1.43) ifodasidagi     I
2   funksiyani       bo’yicha qatorga
yoyib,   hamda     integrallash   o’zgarmasi   o’rniga   uning   (1.47)   ifodasini   qo’yib
quyidagini  hosil  qilamiz 
                                 (1.50)  
Endi    funksiya va    operatorlarni quyidagi ko’rinishda kiritamiz
                                   (1. 51 )
U holda (1. 50 ) tenglama ushbu ko’rinishda  bo’ladi
                                                   (1.52)
bu yerda 
                                          (1.53)      
Yuqorida    kabi belgilangan ifodaga  asosan (z,t) o’zgaruvchili 
operatorning quyidagiga tengligini  ko’rish  qiyin emas [4]
                            (1.54)
Hosil   qilingan   (1.52)   ifoda   (1.54)   ga   muvofiq     operator   uchun  
sterjen   ko’chishining     bosh   qismiga   nisbatan   tartibi   cheksiz   katta   bo’lgan
integro-differensial   operatorni   o’z   ichiga   oladi.   Shunday   qilib   doiraviy   sterjen
nuqtalari   buralma   tebranishining   bosh   ko’chishlariga   nisbatan   umumiy
tenglamalari   (1.52)   tenglama   hisoblanadi.   Bu   tenglama   t   vaqt   va     z   koordinata
bo’yicha ixtiyoriy tartibli hosilani o’z ichiga oladi. 
Ko’chishning (1.49) ifodasidan quyidagini topamiz
                                            (1.55)
bunda 
                                                  (1.56)
Sterjenning ixtiyoriy nuqtasidagi ko’chishni, (1.52) tenglama yechimi natijalari va
(1.55), (1.56) formulalar orqali olish mumkin.
22 Sterjenning   buralma   tebranishlarida   faqat     ko’chish   va     va  
kuchlanishlar   noldan   farqli   bo’ladi.   Ularni     funksiya   orqali   ifodalaymiz.
Buning uchun    ,     kuchlanishlarni 
                                           (1.57)
kabi   tasvirlab,   ularnng   bu   ifodalarini   va   -potensialning   (1.37)   ko’rinishini
(1.31) formulaning   va  ifodasiga qo’yamiz
 
Hosil   qilingan   bu   ifodaga   (1.39)   yechimidan   (1.40)   munosabatlarni   hisobga   olib
tegishli hosilalar olsak, qo’yidagi ifodalarga ega bo’lamiz 
                                            (1.58)
Hosil   qilingan   (1.58)   ifodadagi   I
1   va   I
2 -   modifikatsiyalangan   Bessel
funksiyasini   radial   koordinata   bo’yicha   qatorga   yoyib   va         o’zgarmasning
qiymatini (1.47) formula bo’yicha qo’yamiz va kuchlanishlar uchun 
                                    (1.59)
ifodaga ega  bo’lamiz. 
Yuqoridagi   va    belgilashlarni hisobga olib (1.59) ifodani quyidagicha
yozamiz
                                         (1.60)
bu yerda   –operatorlarni  mos  ravishda  (1.56) va (1.53) formulalar orqali
aniqlaymiz.
23 Olingan   (1.52)   tenglamalar   doiraviy   silindrik   qovushoq-elastik   sterjen
buralma   tebranishlari   uchun   umumiy   hisoblanadi.   Kuchlanishlarning   (1.60)   va
ko’chishlarning   (1.55)   formulalari   yordamida   sterjenning   ixtiyoriy   kesimida
vaqtning     ixtiyoriy     momentidagi   kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik     holatini
hohlagan aniqlikda topish mumkin.
§1.3.   Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranishlarida
deformarsiyalanuvchi muhit ta’sirini e’tiborga olish
Silindrik   qobiq   va   qatlamlar   buralma   tebranishlari   haqidagi   masalani
urganishda   doiraviy   silindrik   qatlamning   buralma     tebranish   tenglamalaridan
foydalanamiz.   Ushbu   nazariya   slindrik   qatlamlar   uchun   ham   o'rinli   ekanligi   [8]
ishlarida   keltirilgan.   Unga   ko’ra   anizotrop   slindrik   qatlamning   buralma
tebranishlarida buralma kuchishlarni e’tiborga olib asosiy tenglamalar sistemasini
quyidagicha yozishimiz mumkin
        ( 1.61)
24 bu yerda   - integrodifferensial operator; 
                                                                                         (1.62 )
b
0  – ko`ndalang to`lqin tarqalish tezligi   ;
 - siljish moduli;
 - izotropiya tekisligiga perpendikulyar tekislikning ciljish moduli;
Bu erda    
                              
formulalar   otqali   ifodalanadi.   Bu   yerda   - Puasson   koeffitsientlari,   E,   E ’
  -
elastiklik modulari.
 - qatlam nuqtalari buralma kuchishlari bosh qismlari;
                                                        (1.63)
 va   - qatlam ichki va tashqi radiuslari;                           
 - qatlam o`rta sirtining radiusi bo’lib u quyidagi formula bilan topiladi:
  -   deformatsiyalanuvchi   muhit   reaksiyasi   bo'lib   doiraviy   slindrik   qobiq   va
qatlamlar uchun quyidagicha qabul qilinadi.
25   va     -   qovushoq   elastik   operatorlar   bo’lib   qobiq   materiali   holatiga
bog'liq. Qobiq uchun "nol" o'rab turuvchi muhit uchun "1" bo’lishi mumkin:
 - Lame koeffitsentlari qobiq materiali uchun (m=0), muhit uchun (m=1);
  -   qovushoq   elastik   operator.   Bunda     va         (m=0,1)   -
teskari operator deb faraz qilinadi.
-   bu   ham   operator   hisoblanib,   o'rab   turuvchi   muhit   ta'sirini   hisobga
oladi.
Kuchish   va   kuchlanishlar   formulalarini   quyidagi   kuchishlar   orqali   yozish
mumkin:                
                             
         
(1.64)
          
          
26                           (1.64’)
          
bu yerda
              
                - integridifferensial operator.
O’rab   turuvchi   muhit   ta’sirini   hisobga   olgan   holda   ko’chishlarga   nisbatan
aniqlashtirilgan tebranish tenglamalarini quyidagicha yozamiz
                                  (1.65)
Bu yerda    qatlam ko’chishlarining bosh qismlari;
 - tashqi kuch funksiyalari;
 -chiziqli differensial operator;
o’rab turuvchi muhit reaksiyasi;   
27hr	
	1r
2r	
z	

b)
h	
r	
	1r	
2r	a)	
1	2	r	r	h		                          
        Dissertatsiya   doirasida   kuchlanishlarga   nisbatan   chiqarilgan   (1.65)
tenglamalar sistemasini masalalar yechishda qullaymiz.
Quyida   uzunligi   chekli   bo’lgan   chetlari   sharnirli   tayangan   doiraviy   elastik
slindrik   qatlamning   buralma   tebranishlariga   aylanish   inersiyasi   va   ko'ndalang
siljish deformatsiyasi ta'sirini qarab chiqamiz.
Asosiy   tebranish   tenglamalari   sifatida   aniqlashtirilgan   [2]   tebranish
tenglamalari   (1.65)   dan   foydalanamiz,   bunda   qobiq   materialini   elastik,   qobiq
sirtida tashqi ta'sirlar va tashqi muhit ta'siri yo'q deb (1.65) tenglamalar sistemasini
quyidagi kurinishga keltiramiz
                             (1.66)
281-Rasm. Silindrik qobiq bu yerda          lar      kuchishlarining bosh qismlari bo’lib u quyidagiga
teng   :
(1.66) da tashqi kuchlar ta’sirini va o’rab turuvchi muhit ta’sirini hisobga olmasak
     
 operatorning chiziqliligidan foydalansak 
                                                     (1.67)
bo’ladi.   U   holda   ba’zi   bir   matematik   almashtirishlardan   song   quyidagi   ikkita
tenglamaga ega bo’lamiz
                                                                                 (1.68)
                    (1.69)
  Bu yerda          -Puasson koeffitsienti,     -
Lame koeffitsientlari,  - qatlam materiali zichligi,    -qatlam oraliq sirti radiusi.
     Ushbu (1.68) tenglamada  -ni hisobga olsak qatlam tebranishlari klassik holga
mos  keladi  (sterjenlar  nazariyasiga   ko’ra). Shuning uchun  keyingi  hisoblarimizda
29 (1.68)   tenglamalar   sistemasidagi   ikkinchi   tenglamadan   foydalanamiz.   Hosil
qilingan tenglamani   ga ko'paytiramiz, bu yerda       - qatlam
ko’ndalang kesimi inersiya momenti;
                         
  -operatorni   teskari   kurinishda   yozsak   (1.69)   ni   ba'zi   bir   almashtirishlardan
keyin quyidagicha yozamiz
                 
                  ,                 (1.70)
bu   yerda     E   -   qatlam   materiali   elastiklik   moduli;     F   -   qatlam   kundalang   kesimi
yuzasi;
       
(1.70)   tenglamalarda     va     koefitsientlar   ko’ndalang   siljish   deformatsiyasi
ta’sirini   hisobga   oladi,     -   aylanish   inersiyasi   ta'sirini;   -
30 bo'ylama   kuch   inersiyasi   ta'sirini;     -   reaktiv   moment,
 - bo'ylama tekis taqsimlangan kuchni hisobga oladi. 
Ushbu   (1.70)   tenglamaga     va       parametrlarini   kiritamiz.   Bu
parametrlar   “nol”   va   “bir”   qiymatlarni     qabul   qiladi .   Y a'ni   aylanish   inersiyasi   va
ko’ndalang   siljish   deformatsiyasi   ta’siri   bor   yoki   yo'q   ekanligini   bildiradi.   (1.70)
tenglamada   ulchamsiz   koordinataga   utamiz,   ya'ni  
    bu   yerda         va   yozish   osonlashish   uchun   keyingi
yozuvlarda yo'duzchalarni  tashlab ketamiz
    
                  .      (1.71)
K eyingi   boblarda   u shbu   keltirib   chiqarilgan   (1.71)   tenglamadan   amaliy
masalalar   yechishda   foydalanamiz .
§1.4  Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishlari asosiy
tenglamalari (xususiy hol)
Yo’qoridagi paragrafda keltirib chiqarilgan (1.52) tenglama doiraviy elastik
sterjenning buralma tebranishi uchun umumiy tenglama hisoblanadi. Bu tenglama
ko’chishlarning bosh qismlariga nisbatan keltirilib chiqarildi. Sterjenning sirti unga
ta’sir   etuvchi   kuchlanishlardan   holi   deb   hisoblab,   sterjen   buralma   tebranishining
klassik va aniqlashtirilgan tenglamalarini keltirib chiqaramiz.
31 Avvalo   elastik   sterjenning   umumiy   (1.52)   tenglamasidan   elastik   sterjen
uchun klassik buralma tebranish tenglamasiga yaqin, lekin undan umumiy bo’lgan
tenglamani   chiqaramiz.   Buning   uchun   (1.53)   formulada       deb   va   (1.54)
munosabatni hisobga olib quyidagiga ega bo’lamiz 
Hosil qilingangan   ning ifodasini (1.52) tenglamaga qo’yib ushbuni olamiz 
Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini   ga bo’lib
                                  (1.72)
qovushoq-elastik sterjen buralma tebranishlarining tenglamasiga ega bo’lamiz. Bu
tenglamaning   tartibi   ikkiga   teng.   Undan     bo’lgan   hol   uchun   ushbu   elastik
sterjenning buralma tebranishlari tenglamasi kelib chiqadi.
                                     (1.73)
Hosil   qilingan   (1.71)   tenglamada   ekanligini   hisobga   olsak,   bu
tenglama   elastik   sterjenning   buralma   tebranish   klassik   tenglamasidan   iborat
ekanligi ko’rinadi. Shunga mos ravishda (1.61) tenglamani ham elastik sterjenning
buralma tebranish klassik tenglamasi deb ataymiz.
Sterjenning   buralma   tebranishlari   aniqlashtirilgan   tenglamasini   keltirib
chiqarish   uchun   (1.53)   ifodada     deb   qaraymiz   va   quyidagi   tenglikni   hosil
qilamiz 
(1.54)   munosabatni   e’tiborga   olgan   holda     ifodani   (1.52)   tenglamaga   qo’yib
quyidagiga ega bo’lamiz
32 Bu   tenglikni   har   ikkala   tomonini     ga   bo’lib,   ikkinchi   qavsni   kvadratga
ko’taramiz va quyidagini olamiz
     (1.74)
Hosil   qilingan   bu   tenglama   qovushoq-elastik   sterjen   buralma   tebranishlari
aniqlashtirilgan   tenglamasi   hisoblanadi.   Bu   tenglama   to’rtinchi   tartibli   bo’lib
undan     bo’lgan   hol   uchun   elastik   sterjenning   buralma   tebranishlari
aniqlashtirilgan tenglamasini hosil qilamiz.
     (1.75)
Ushbu (1.75) tenglamada   ekanligini hisobga olsak elastik sterjenning
buralma   tebranish   aniqlashtirilgan   tenglamasiga   ega   bo’lamiz.   Shunga   mos
ravishda   (1.74)   tenglamani   ham   qovushoq-elastik   sterjenning   buralma   tebranishi
aniqlashtirilgan tenglamasi deb ataymiz.
Hosil  qilingan (1.74)  tenglamani  ko’ndalang kesim  yuzasi  doiraviy bo’lgan
sterjenning   markaziy   o’qiga   nisbatan   inertsiya   momenti     va   qovushoqlik
teskarilanuvchi operatori   ga ko’paytirib quyidagi tenglamaga kelamiz.
Bu yerda ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan sterjenning markaziy o’qiga nisbatan
inersiya   momenti     va   sterjenning   ko’ndalang   kesim   yuzasi  
ekanligini hisobga olsak yo’qoridagi  tenglamani
   (1.76)
ko’rinishida yozish mumkin bo’ladi.
33 Bu tenglamada   deb va   ekanligidan
ga ega bo’lamiz.
Agar   ( -  Puasson koeffitsienti,  )  kabi belgilash olsak, 
oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin
(1.77)
Keltirib chiqarilgan (1.77) tenglamadagi hadlarning mexanik ma’nosi haqida
to’xtalib o’tamiz:
 -aylanish inersiyasining ta’siri; 
 -tekis taqsimlangan kuch;
 -inersiya kuchlari;
 -ichki kuchlanish kuchlari.
Oxirgi (1.77) tenglamadan faqat aylanish inersiyasi hisobga olinsa,
                               (1.78)
tenglamaga, faqat ko’ndalang siljish deformatsiyasi hisobga olinsa,
                (1.79)
tenglamaga, faqat taqsimlangan kuchlar hisobga olinsa
                            (1.80)
tenglamaga ega bo’lamiz. 
34 II-BOB.  
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING
SONLI USULLARI
§2.1  С hekli ayirmalar usulini d ifferentsial tenglamalar yechishda
qo’llanilishi
Plastinkalar va qobiqlar nazariyasining qator masalalari berilgan chegaraviy
shartli xususiy xosilali deferensial tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalar oddiy
masalalar   hamda   chegaralar   va   tashqi   yuklarning   oddiy   shakllaridagina   aniq
yechiladilar.  Ko’p  hollarda   aniq  yechimlarni   topish   qiyin   bo’ladi.   Shuning   uchun
sonli   usullarga   murojaat   qilinadi.   Xususan   shunday   sonli   usullardan   biri
differensial   tenglamalarni   tegishli   chekli   ayirmalar   qatnashgan   tenglamalar   bilan
almashtirishdan iboratdir.
Chekli   ayirmalar   metodining   imkoniyati   EHM   paydo   bo’lishi   bilan   oshib
ketdi.   Plastinkalar   va   qobiqlar   nazariyasi   masalalarini   chekli   ayirmalar   usuli
yordamida yechishga doir ilmiy ishlar keskin ko’paydi.
Biz     quyida   [9]   ishdan     foydalangan     holda     chekli     ayirmalar     usulining
asosiy  mohiyatini  bayon  qilamiz.
Xususiy   xosilali   differensial   tenglamalarni   taqribiy   yechishda   to’rlar   yoki
chekli ayirmalar metodining asosiy g’oyasi quyidagilardan iborat:
 yechim qidirilayotgan G soha to’rli   soha bilan almashtiriladi;
–   berilgan   differensial   tenglama   sohaning   ichki   nuqtalarida   tegishli   chekli
ayirmalar qatnashgan tenglamalar  bilan almashtiriladi;
–   chegaraviy   shartlar   asosida   qidirilayotgan   yechimning   qiymatlari     soha
tugunlarida topiladi.
Bunday   almashtirish   natijasida   ko’p   noma’lumli   algebraik   tenglamalar
sistemasiga   kelamiz.   Bunda   noma’lumlar   soni   tenglamalr   soni   va   tugunlar   soni
ko’paytmasiga   teng   bo’ladi.   Bu   sistemani   yechib   izlanayotgan     funksiyaning
nuqtalardagi  sonli   qiymatlarini    hosil  qilamiz.  Funksiyaning  boshqa  nuqtalaridagi
qiymatlari interpolyasion formulalardan topiladi.
35 To’rli  sohani tanlash har bir aniq masalaga qarab amalga oshiriladi, biroq
hamma vaqt   kontur  G  ni yaxshiroq approksimatsiya qilishga intiladi.
To’rli soha kvadrat, to’g’ri to’rtburchak, uchburchak, oltiburchak va boshqa
elementlardan iborat bo’lishi mumkin.
R
n   qoldiq   hadning   qiymatlari   alohida   elementning   o’lchamlaridan   bog’liq
bo’ladi.   Ya’ni   o’lchamlar   qancha   kichik   olinsa   R
n   qoldiq   had   shuncha   kichik
bo’ladi. Ammo tugunlar soni ortib ketishi natijasida tenglamalar soni ko’payadi va
uni EHM da yechish amalda mumkin bo’lmay qoladi. 
Ma’lumki         funksiuaning   nuqtadagi   hosilasi   quyidagicha
topiladi:
Bu   yerda   -   argumentning   chekli   orttirmasi,     bo’lganda   birinchi   formulaga
o’ng hosila, ikkinchi formulaga esa chap hosila deyiladi. 
Yuqorida berilgan formulada limit simvolini tushurib qoldirsak o’ng va chap
hosilalar uchun ushbu taqribiy formulalarni olamiz.
                    (2.1)
Amalda  nuqtada markaziy ayirmalardan ham foydalanadi
                                (2.2)
Ikkinchi tartibli chekli ayirma xosila uchun
                                     (2.3)
formuladan   foydalanish   qulay.   Yuqoridagi   (2.2)   va   (2.3)   ifodalar   asosida   yuqori
tartibli chekli ayirmali xosilalar uchun formulani keltirish mumkin
Hosilalarning almashtirishning  bu usuli  uning aniqligini baholashga imkon
bermaydi.
36 Funksiya   hosilalarining   uning   diskret   nuqtalaridagi   qiymatlari   orqali
almashtirib   approksimatsiya   xatosining   bahosini   ham   beruvchi   turli   usullar
mavjud. Quyida Teylor formulalariga asoslanuvchi usuldan foydalanamiz. 
O’ng chekli ayirmali hosila
Teng   uzoqlikda   joylashgan     nuqtalar   uchun  
  qiymatlari ma’lum bo’lsin, bunda -   o’qi bo’yicha qadam (1-
rasm).
                                  (2.4)
kattalikka  funksiyaning  nuqtadagi o’ng  ayirmasi deyiladi.
Ikkinchi o’ng ayirma esa birinchi ayirmadan olingan ayirma hisoblanadi.
Xuddi   shu   yo’l   bilan   yuqori   tartibli   ayirmalarni   ham   topish   mumkin.
Shunday   qilib     nuqtada   -tartibli   o’ng   ayirmani   topish   uchun   ushbu
formuladan foydalanamiz.
                             (2.5)
Endi     nuqtada     ayirmali   operator   va     differensial   operatorlar
orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. Buning uchun   va   funksiyalar Teylor
qatoriga yoyiladi 
                                   (2.6)
Ushbu belgilashlarni olamiz      u holda
372	i	1	i	i	1	i	2	i	
	 x
2.1-rasm Hosil  qilingan bu  ifodaga (2.6) formulani ikkinchisini qo’llab quyidagicha  yozish
mumkin
                                                        (2.7)
(2.7) ni (2.4) ga qo’yib quyidagini olamiz
;
Bu yerdan ,  operatorlar orasidagi quyidagi bog’lanishga ega bo’lamiz. 
 yoki
;                                              (2.8)
(2.9) ni n-darajaga ko’tarib n-tartibli hosila operatori orasida bog’lanishni topamiz 
;                                          (2.9)
(2.9), (2.10) formulalarni amalda tadbiq etish uchun   ni    bo’yicha
qatorga yoyamiz.
                                       (2.10)
 Shunday qilib 
                               (2.11)
Bu   formula   yordamida     funksiyaning     nuqtadagi   xosilasi   ixtiyoriy
aniqlikda o’ng ayirmalar orqali ifodalash mumkin.
Chap ayirmali hosilalar
  funksiyaning     nuqtadagi   birinchi   chap   ayirmasi   yoki   chap
ayirmasi deb ushbuga aytamiz. 
                                  (2.12)
Bu yerda chap ayirma o’ng ayirmadan farqli ravishda    (nabla) bilan belgilandi,
yuqori tartibli ayirmalar
              (2.13)
Yuqoridagi (2.6) yoyilmani   lar uchun 
ishlatsak:
38                                                        (2.14)
hosil qilingan  (2.14) ni (2.12) ga  qo’ysak
U holda   va  operatorlari orasida bog’lanish topiladi:
 yoki                                      (2.15)
  ni     ning   darajalari   bo’yicha   qatorga   yoyib,   hosila   operatorini   chap
ayirmalar operatori orqali ifodalaymiz:
                                                 (2.16)
n-tartibli   chap   ayirmali   hosilalarni   chap   ayirmalar   orqali   (2.15)   ni   m -
darajaga ko’tartish yo’li bilan hosil qilamiz:
                          (2.17)
Bu   yerda     ayirma     tartibga   ega   ekanligini   ko’ramiz.  
operatorlar orasida ushbu bog’lanish  mavjud
                                                    (2.18)
Markaziy ayirmali hosilalar
  funksiyaning     nuqtadagi   birinchi   markaziy   ayirmasi   yoki
markaziy ayirmasi deb ushbu ifodagi aytiladi
                         (2.19)
Yuqoridagi kabi yuqori tartibli ayirmalarni ham kiritish mumkin. 
Masalan,
,        (2.20)
392	i	1	i	i	1	i	2	i	
	 x
2.2-rasm	

2/1	i	2/1	i Barcha   toq   tartibli   markaziy   ayirmalar   funksiyaning     nuqtalardagi
qiymatlari   orqali,   barcha   juft   tartibli   markaziy   ayirmalar   esa   funksiyaning  
nuqtalaridagi   qiymatlari   orqali   hisoblanadi.   Bunday   yozuvdan   qutulish   uchun
o’rtalashgan markaziy ayirma tushunchasi kiritiladi.
O’rtalashtirish operatorini quyidagicha kiritamiz
                                                    (2.21 )
Buning yordamida birinchi tartibli o’rtalashgan ayirma quyidagicha yoziladi
;                                                (2.22 )
O’rtalashgan uchinchi ayirma (1.21 )  va (1.22 )  ga asosan 
.                               (2.23 )
Barcha toq o’rtalashgan ayirmalar ayirma yuqoridagi kabi topiladi.
 operatorlarni o’zaro bog’lash mumkin
bundan
                                                       (2.24)
Ikkinchi   tomondan     funksiyani     va     nuqtalarda   Teylor
qatoriga yoyib ushbuni olamiz:
                                (2.25)
40 Birinchi   tartibli   hosila   operatori   o’rtallashgan   markaziy   ayirma   orqali
quyidagicha ifodalanadi
                                                (2.26)
bunda ushbu yoyilmadan foydalanamiz
(2.25)  tenglikni hisobga olsak bu ifodani ko’rinishi quyidagicha bo’ladi
Bu ifodani   ni darajasini o’sib borish tartibida yozamiz
                               (2.27)
Oxirgi   yoyilmadan   foydalanib   ixtiyoriy   tartibli   markaziy   ayirmani   topish
mumkin.   (2.27)   dan   ko’rinadiki   yoyilmaning   bitta   hadining   qo’shilishi
approksimatsiya   aniqligini     ga   oshiradi.   Bundan   tashqari   markaziy   ayirmali
hosilalar bir tomonli hosilalarga nisbatan aniqlik darajasi katta .
Yuqori   tartibli   hosilalarni   (2.27)   dan   uning   o’ng   va   chap   tomonlarini   -
darajaga ko’tarish yo’li bilan hosil qilamiz, bunda juft darajalarda (2.24) ni hisobga
olamiz.
                         (2.28)
Oxirgi formulada    bo’lganda
;
;
;
Keltirib   chiqarilgan   (2.28)   formuladan   ixtiyoriy   tartibli   markaziy   ayirmali
hosilani aniqlashimiz mumkin.
41 § 2.2.  Differentsial  tenglamalarni  taqribiy  yechish
Xususiy hosilali differentsial tenglamalar.
Ikki   noma’lumli   o‘zgaruvchiga   bog‘liq   bo‘lgan   u=u(x,y)   funktsiyaning
ikkinchi tartibli xususiy   hosilali    differentsial    tenglamasini  quyidagi ko‘rinishda
yozamiz.
                               (2.29)
Bu   yerda   ,   u   erkli   o‘zgaruvchilar,   u   izlanayotgan   noma’lum   funktsiya,
lar   esa   x,u   erkli   o‘zgaruvchilar   bo‘yicha   bir   va   ikkinchi   tartibli
xususiy  hosilalar hisoblanadi. 
(2.29)   tenglamaning     yechimi   deb,   uni   ayniyatga   aylantiruvchi   u=u(x,u)
funktsiyaga aytiladi. Bu   ye chim grafigi Oxuu  fazoda  sirtni ifodalaydi.
42 Agar   (3.29)   tenglamada     u   izlanayotgan   noma’lum   funktsiya   va   uning
xususiy  hosilalari  ning darajalari  birinchi bo‘lsa hamda ularning
ko‘paytmalari   ishtrok   etmasa   bunday   tenglamani   chiziqli   deb   ataladi.   Uni
quyidagicha yozish mumkin:
                     (2.30)
Bu   yerda   A,B,S , a,b,s   koeffitsentlar   o‘zgarmas   yoki   x,u   erkli   o‘zgaruvchilarning
funktsiyalari bo‘lishi mumkin. 
  (**) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin.   (2.30)   tenglama   diskriminanti
D=AC-B 2  
ni  tuzamiz , buning ishorasiga qarab tenglama turini aniqlaymiz:
agar   D>0    ( 2.30 ) elliptik turdagi tenglama ;  
agar    D=0      ( 2.30 )   parabolik turdagi tenglama ;
agar    D<0      ( 2.30 ) giperbolik turdagi tenglama .
1 .   Agar   ( 2.30 )   da     A=1,   B =0,   S=1   bo‘lsa,     elliptik   turdagi
Laplas   tenglamasi   deyiladi.   Bu   tenglama     u=u(x,y)   issi qlikni   ‘lastinkaning     (x,y)
nuqtasda vaqtga bog‘liq bo‘lmagan holda tarqalishini  ifodalaydi.  
2.   Agar   (**)   da   A =   - a 2
,   a=1,   B=0,C=0,   b=0,   c=0   bo‘lsa,
  bu parabolik turdagi tenglama bo‘lib, u   t   vaqt birligi ichida   x
koordinata bilan ingichka bir jinsli sterjen bo‘yicha    u=u(x,t)  issiqlikni tarqalishini
ifodalaydi.   F(x,t)   –issiqlikni   jisim   bo‘yicha   manbadan   tarqalish   zichligi   bilan
bog‘liq funktsiya, agar bu funktsiya ishtrok etmasa bu tenglama birjinsli bo‘ladi.  .
a-  sterjenning fizik  xossasiga bog‘liq bo‘lgan o‘zgarmas.  
C h ekli ayirmalar  usuli  yoki to‘r usuli
Chekli       ayirmalar   usuli   xususiy   hosilali   tenglamalarning      sonli   yechimini
topishda   eng   qulay   usullardan   biridir .
Bu       usulining   asosida       hosilarni         chekli       ayirmalar       nisbati       bilan
almashtirish   qoidasi   yotadi .
43 Aytaylik,   Oxy   koordinatalar   tekisligida       chegarasi   T   chiziq   bilan
chegaralangan       yo‘ik       G         soha       berilgan   bulsin.   G   sohani       kesib       o‘tuvchi
o‘qlarga parallel bo‘lgan   to‘g‘ri   chiziqlar    oylasini quramiz :
                      
          Bu   to‘g‘ri   chiziqlarning   kesishish   nuqtalarni   tugunlar   deb   ataladi.
Hosil bo‘lgan turda ikki     tugunni     qo‘shni     tugun     deb     ataladi. Agar ular biri
ikinchisidan       OX       yoki   OU   koordinata       o‘qlari   yunalishida   h   yoki   l   masofada
joylashgan   bo‘lsa G+Г sohaga   tegishli   bo‘lgan va   sohaning   chegarasi G dan,
qadamdan   kichik masofada   turgan   tugunlarni    ajratamiz.
    Sohaning   biror       tuguni   va   unga   qo‘shni   bo‘lgan   turtta   tugun   ajratilgan
tugunlariga      tegishli       bo‘lsa,   bu  tugunni       ichki       tugun  deb  ataladi.  (2-rasm,  A
tugun).   Ajratilganndan   qolganlari   chegara   tugunlari   deb   ataladi(2-rasm,   B,   C
tugunlar).
Noma’lum   funktsiyaning t o‘ rning  5 yoki 9  tugunli  sxemalarining
tugunlaridagi   qiymatini     orkali   belgilaymiz.   Har   bir
  ichki   nuqtadagi   xususiy   hosilalarni   ayirmalar   nisbati   bilan
quyidagicha almashtiramiz:
44                                 ( 2.31 )
CHegaraviy nuqtalarda esa     aniqligi kamroq     bo‘lgan     quyidagi     formular bilan
almashtiramiz:
                                (2.32)
    Xuddi       shuningdek,   ikkinchi       tartibli       xususiy   hosilarni   quyidagicha
almasht’ramiz:
                        (2.33)
Yuqorida     ketirilgan almatiririshlar xususiy     hosilasi tenglamalarni o‘rniga
chekli ayrimali   sistemasini yechishga olib   keladi.
Yuqorida ko‘rsatilgan sohada quyidagi masalani ko‘ramiz.
                                 ( 2.34 )
bu yerda  a,c,d,e,g  lar  x  va  y  larning funktsiyalari. (x
i ,y
k ) tugunda  f(x,y)  funksiya va
koeffitsentlarni  a
ij ,  b
ij ,  c
ij ,  d
ij ,  g
ij ,  f
ij,  u
ij   kabi belngilab, besh nuqtali tugunlar sxemasi
bo‘yicha     (2.31),   (2.32)   formulalar   asosida   chekli   ayirmalar   yordamida
    (2.31)
tenglamani quyidagicha yozamiz. 
                a
ik + b
ik + c
ik +
                        +   d
ik - g
ik u
ik = f
ik                                                                                
( 2.35 )
45 S h uningdek   G   chegara   chiziq   funksiyasi     asosida   chegara   tugunlari
yoki   (0 < <1 )uchun quyidagi munosabatlarni yozamiz:
yoki
.
Agar   tenglama   tarkibida     ishtrok   etsa   uni     to‘qqiz   nuqtali   tugunlar
sxemasi   bo‘yicha   chekli   ayirmalar   bilan   quyidagicha     almashtirib   (2.35)
tenglamaga qo‘shamiz.
= 
Chekli   ayirmalar   yordamida   (2.34)   tenglamani,   (x
i ,y
k )   tugunga   nisbatan
hosilbo‘ladigan tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:
A
i,k u
i,k +B
i,k  u
 i,k-1 +C
i,k u
 i,k +D
i,k u
i+1,k +E
i,k u
i,k+1   = f
i,k                                   
( 2.36 )
,   ,  ,
, 
Farazimizga   asosan   a(x,u) > 0 ,   b (x,u) < 0 ,   g (x,u) < 0     lar   silliq   funktsiyalar
bo‘lsa,
etarlicha kichik h uchun  
g
i,k <0, A
i,k >0, B
i,k >0, C
i,k <0, D
i,k >0, E
i,k >0
bo‘lganda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
A
i,k +B
i,k +C
i,k +D
i,k +E
i,k = g
i,k.
46 Hosil   bo‘lgan   chiziqli   tenglamalar   sistema   (2.36)   si   uchun   yuqoridagi   shartlar
bajarilganda bu sohaning ichki tugunlarida sistemani yechimini topishda  iteratsiya
usulini qullash uchun uni quyidagi   ko‘rinishga keltiramiz. 
SHuningdek chegaraviy tugunlar uchun
Berilgan   boshlang‘ich   echim   asosida   aniq   yechimga   yaqinlashish   jarayonini
oddiy iteratsiya usulida quyidagicha hisoblaymiz:
,      i =0,1,2,…
    Yuqoridagi  shartlar  asosida     bu  jarayonni  u
i,k   aniq  yechimga  yaqinlashish  sharti
quyidagicha tanlanadi:
47 48 III-BOB
DOIRAVIY ELASTIK SILINDRIK QOBIQNING BURALMA
TEBRANISHLARI
§3.1.  Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida
aylanish inersiyasi ta’siri
Maskur   magistrlik   dissertasiyasi   doirasida   mateiali   transversal-izotrop
doiraviy   silindrik   qatlamning   buralma   tebranishlariga   aylanish   inersiyasi   ta`sirini
ikkinchi bobda keltirilgan sonli usullar yordamida qarab chiqamiz. 
Silindrik qobiq va qatlamlar buralma tebranishlari haqidagi masalani tadqiq
qilishda   doiraviy   silindrik   qatlamning   buralma   tebranishlari   tenglamalaridan
foydalanamiz.   Ushbu   nazariyani   silindrik   qatlamlar   uchun   ham   o'rinli   ekanligini
[8] ishlarida keltirib o’tilgan. 
                   Dissertatsiya ishining uchinchi  bobi “Doiraviy elastik silindrik qobiqning
buralma   tebranishlari”   deb   nomlangan.   Bob   ikkita   paragrafdan   iborat   bo’lib
birinchi paragrafda qobiq ichki va tashqi radiuslarini hisobga olgan holda aylanish
inersiyasi hisobga olingan hollar uchun yechilgan. Olingan sonli natijalar asosida,
ko’chishlarning vaqtdan va koordinataga bog’liq grafiklari keltirilgan.
           Uzunligi   ga teng, chetlari sharnirli tayangan, ko’ndalang kesimi doiraviy
bo’lgan   silindrik   elastik   qobiq   uchun   vaqtning   ixtiyoriy   momentidagi
kuchlanganlik   va   deformatsiyalanganlik   holatini,   berilgan   boshlang’ich   va
chegaraviy   shartlar   asosida     sohada,   aylanish   inersiyasi   ta’sirini   hisobga
49 olgan   holda   aniqlash   talab   etilgan   bo’lsin.   Qobiqning   sirtida   kuchlanishlar   yo’q
deb qaraymiz. 
Masalani   yechishda   aylanish   inersiyasi   ta’sirini   hisobga   olganda   buralma
tebranishlarining (1.75) differensial tenglamasidan foydalanamiz. 
    
                  .      
          bu yerda  E - qatlam materiali elastiklik moduli;  -Puasson koeffitsienti.
              Quyidagicha   almashtirish   olamiz:       u   holda   (3.1)
tenglama quyidagi ko’rinishga keladi;
       (3.2)
           
O’rganilayotgan     sohani   -to’g’ri
to’rtburchakli   to’r   bilan   koordinata   bo’yicha   ,   vaqt   bo’yicha     qadamlar   bilan
ajratib olamiz
50     
-yechimning aniqligini ta’minlovchi koeffitsiyentlar.
Masala   shartiga   ko’ra   boshlang’ich   va   chegaraviy   shartlarini   aniqlaymiz.
Faraz qilaylik, kinematik qo’zg’atish funksiyasi   dan iborat bo’lsin. Bu
yerda A -amplitudani ifodalovchi o’zgarmas, 	1t - vaqtning fiksirlangan momenti.
Sterjen   erkin   uchida   ,   qistirib   mahkamlangan   uchida   esa  
bo’lganligi uchun chegaraviy shartlarni yozamiz:
                                        (3.3)
boshlang’ich shartlar:
;                                     (3.4)
dan iborat bo’ladi.
Tenglamadagi  -hadlarni chekli ayirmalar 
orqali yozib olamiz:
     
-izlanayotgan funksiyaning to’r tugunidagi qiymati.
51 Bu   ifodalarni   hisobga   olib,   (3.2)   doiraviy   elastik   qobiqning  buralma  tebranishlari
tenglamasini chekli ayirmalar orqali tasvirlaymiz
= +
+ +                                                            (3.5)
Hosil qilingan (3.5) da   va   larni quyidagicha yozamiz:
 
(3.6)
                                                                                        (3.7)
Ushbu   tenglamalar   sistemasini   yechishda   -larga   nisbatan   gruhlab
chiqib, ba’zi bir matematik almashtirishlardan so’ng (3.6) ni quyidagicha yozamiz 
                                                  (3.8)
boshlang’ich shartlar:
  da    ,   ;      (3.9) 
chegaraviy shartlar:
  da    ,         da   .                          (3.10)
Yuqorida   keltirilgan   (3.8),   (3.9),   (3.10)   lar   birgalikda   chegaraviy   masalani
tashkil qiladi.
52 Hosil   qilingan   (3.8)   ifoda   rekurent   formula   hisoblanadi.     va     larga
qiymatlar   berib   to’rning   tegishli   nuqtalaridagi   ko’chishlarni   va   kuchlanishlarni
aniqlaymiz. Sterjen materiali uchun  quyidagilarni qabul qilamiz  
Ushbu   qiymatlarni   (3.8)   rekurent   formulaga   qo’yib,   (3.9)   boshlang’ich   va
(3.10) chegaraviy shartlardan foydalanib ,,Paskal” dasturlash tilida tuzilgan dastur
asosida ko’chishlar va kuchlanishlarni to’rning tugun nuqtalaridagi sonli qiymatlari
topiladi.   Olingan   natijalar   asosida   vaqtdan   va   koordinatadan   bog’liq   grafiklar
quriladi.
-0,2 00,20,40,60,8 11,2
0 1 2 3 4 5 6
tU
 Aylanish inersiyasi Klassik
3.1-rasm. Qobiq  uchidan   z   bo’yicha  i=10   qadamga mos keluvchi kesim
nuqtalarining buralma   ko’chishlari
53 3.2- rasm .  Qobiq    uchidan    z    bo ’ yicha    i =50    qadamga   mos   keluvchi   kesim
nuqtalarining   buralma     ko ’ chishlari .
Olingan natijalarni grafik ko’rinishida tasvirlaymiz.
                                               3.3-rasm
54i =25  Klassik
i =50  Klassik tU                                           3.4-rasm
    Olingan   natijalar   3.3,   3.4-rasmlarda     buralma   ko’chish   va   vaqtdan
bog’liq   grafiklar   tasvirlangan.   3.3-rasmda   i=25   va     i=50     (z     bo’yicha)   qadamga
mos keluvchi kesim nuqtalari klassik holi uchun   ko’chish grafigi tasvirlangan.
3.4-rasmda   i=25   va   i=50   qadamga  mos  keluvchi  kesim  nuqtalari  aniqlashtirilgan
tebranish tenglamalari asosida   ko’chish vaqtdan bog’liq grafigi tasvirlangan. 
    Bu   natijalar   bo’yicha   va   qurilgan   grafiklar   asosida   quyidagi   mexanik
xulosalarni chiqarish mumkin.   
1. Tenglamalarning   klassik   hol   uchun   olingan   natijalar   xususiy   holda
sterjen uchun olingan natijalarga aynan mos keladi.
2. Ko’ndalang   kesimlarda   aylanish   inersiyasining   ta’siri   tebranish
amplitudalarini 20% gacha kamayishiga olib keladi;
3. Qobiq   kesimlaridagi   ko’chishlar   amplitudalarini   kamayishiga   olib
keladi.  (3.4-rasm).  Aylanish  inersiyasi  ta’siri   hisobga  olinganda  bu  kattalik
klassik holdagiga nisbatan 2-3 barobar katta bo’ladi.
4. Aylanish   inersiyasini   ta’siri   tebranishlarni   koordinata   bo’yicha   asta
sekin so’nib borishiga olib keladi.
55 tU
i =25  Aylanish inersiyasi
i =50  Aylanish inersiyasi § 3.2 Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida
ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olish
Doiraviy   elastik   silindrik   qobiq   uchun   keltirilgan   tenglamalarda   ko’ndalang
siljish   deformatsiyasi   ta’sirini   hisobga   olganda   (3.6)   va   (3.7)   tenglamalar   uchun
boshlang’ich   va   chegaraviy   shartlardan   foiydalangan   holda   ,,Paskal”   dasturlash
tilida   tuzilgan   dastur   asosida   ko’chishlar   to’rning   tugun   nuqtalaridagi   sonli
qiymatlarini aniqlaymiz. 
Olingan natijalarni grafik ko’rinishida tasvirlaymiz.
                                                      
3.5-rasm
    Olingan   natijalar   buralma     ko’chishning   vaqtdan   bog’liq     grafigi
ko’rinishida   tasvirlangan.   3.5-rasmda   i=25   va   i=50   (z     bo’yicha)   qadamga   mos
keluvchi   kesim   nuqtalarining     ko’chish   grafigi   klassik   va   aniqlashtirilgan
tenglamalada   ko’ndalang   siljish   deformatsiyasi   ta’siri   hisobga   olingan   hol   uchun
tasvirlangan.
56Klassik  i =25
Klassik  i =50 Ko’ndalang siljish deformatsiyasi   i =25
Ko’ndalang siljish deformatsiyasi   i =50tU   Hisob   ishlarida   qobiq   materialini   po’lat   deb   qabul   qilamiz   va   mexanik
xarakteristikalarini   quyidagicha   olamiz:  
.   O’rab   turuvchi   muhitni   tuproq   deb   qaraymiz.   Hisob
ishlarida tuproqning suglinok va glina bo’lgan hollaridan foydalanamiz. Suglinok
uchun   3
,   glina   uchun  
   ko’rinishida tanlaymiz.
h=0,1; Po’lat+Suglinok
3.6-rasm
 h=0,1; Po’lat+Glina
3.7-rasm
57 ASOSIY XULOSALAR
Dissertatsiyta ishi doirasida olingan asosiy natijalar quyidagilardan iborat .
1. Doiraviy   elastik   sterjening   buralma   tebranishi   umumiy   teglamalari   keltirib
chiqarildi.   Olingan   umumiy   teglamalardan   xususiy   holda   klassik   va
aniqlashtirilgan tenglamalar kelib chiqishi asoslandi.
2. Doiraviy  elastik  sterjen  ko’ndalang  kesimlari   aylanish  inersiyasini   hisobga
oluvchi buralma tebranish aniqlashtirilgan tenglamasi taklif qilindi. 
3. Doiraviy   elastik   silindrik   qobiq   uchun   buralma   tebranishlari   umumiy
tenglamalar keltirib chiqarildi.
4. Qobiq   uchun   chiqarilgan   umumiy   tenglamalarda   aylanish   inersiyasi   va
ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olib sonli natijalar olindi.
5. Qobiq   uchun   chiqarilgan   umumiy   tenglamalarda   aylanish   inersiyasi   ta’siri
hisobga   olingan   holi   uchun   natijalar   olindi.   Ushbu   natijalar   sterjen   uchun
xususiy holda qarab chiqilgan natijalarga mos kelishi tekshirildi.
6. Qobiq   uchun   chiqarilgan   umumiy   tenglamalarda   ko’ndalang   siljish
deformatsiyasi ta’siri hisobga olingan hol uchun sonli natijalar olindi.
7. O’rab   turuvchi   muhit   suglinok   bo’lganda   muhit   ta’siri   tebranishlar
amplitudasini 15% gacha kamaytirishga olib keladi. 
8. O’rab   turuvchi   muhit   glina   bo’lganda   muhit   ta’siri   tebranishlar
amplitudasini 25% gacha kamaytirishga olib keladi.
58 FOYDALANILGAN    ADABIYOTLAR   RO ’ YXATI
1. Филиппов И. Г, Чебан В. Г.Математическая теорS колебаний упругих
и вязкоупругих пласт. и стержней. –Киш.ев:Шт.ца, 1988. – 190 с.
2. Худойназаров Х.Х.-Нестационарное взаимодействие цил.дрических 
оболочек и стержней с деформируемой средой. 
3. Х уд о йназаров   Х .   Продольно-радиальные   колебанS   круговой
цил.дрической   вязкоупругой   оболочки,   находящейся   в
деформируемой   среде//Проблемы   д.амики   взаимодействS
деформируемых   сред.   Материалы   III   Всесоюзной   конференци.Горис.
4-8 июня 1990 г.-Ереван: 1990.-С.21-26.
4. Бердиев   Ш.Д.   Продольно-радиальные   колебанS   цил.дрической
оболочки   с   учетом   окружающей   среды   //   Узб.   Журнал   Проблемы
механики  – 1998. №1.- С .22-27
5. Кубенко  B .Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций 
со средой.- Киев: Наук. думка, 1979.-188 с.      
6. Петрашень   Г.И.   Проблемы   .женерной   теори   колебаний
вырожденных систем //  ИсследованS по упругости и пластичности. –
Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33.
7. Уфлянд   Я.С.   Распространение   волн   при   поперечных   колебанSх
стержней и пласт.. Прикл. матем. и мех., 1948, 12, №3, 287-300.
8. Кабулов   В.К.   О   волновых   уравненSх   колебанS   балок,   пласт.   и
оболочек. В сб. Вопр. вычесл. матем. Ташкент, АН УзССР,  1963, 104-
139- РЖМех, 1964, 3В195.
9. Худойназаров   Х.Х,   А.Абдуллаев   Эластик   назарSси   масалалар.и
сонли ечиш. СамДУ, Самарқанд, 1995.
59 10. Худойназаров   Х. Х. ,   Исматова   Ф.   Основные   направленS   развитS
уточненных   теорий   колебанS   цил.дрических   оболочек//
Сб.науч.работ.-Изд-во СамГУ, 1997г. - С
11. Тюманок   А.   Неуситановившееся   осесимметричное   колебани е
цил.дрической   оболочки,   возбуждаемое   подвижной   нагрузкой//   Изв
АН ЭССР. т.14.Сер.фK.-мат. и техн.наук.-1985.-№3.-С.414-421.
12. Н3уль   У.К.   О   применимости   приближенных   теорий   при   переходных
процессах деформации круговых цил.дрических оболочек//Труды VI.
Всесоюзной   конференци   по   теори   пласт.   и   оболочек.   Баку,   1966.-
М.:Наука, 1966.-С.593-599.
13. Гр3олюк   Э.И.,   Селезов   И.Т.   Неклассические   теори   колебаний
стержней, пласт. и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика
тверд. деформир.тел.-Т.5.-М.: ВИНИТИ, 1973.-272 с.
14. ТеорS   оболочек   с   учетом   поперечного   сдв3а.   Под.   ред.проф.
Галимова К.З.-Казан ь : Kд-во КГУ, 1977.-212 с.
15.  Herrmann G., Mirsky I. Iherr-dimensional and shell-theory analysis of xially
Summetric motions of cylinders //I.Appl.Mech.-1956.-V.23,№4.-p.563-568.
16. Филлипов   И.Г.,   Кудайназаров   К.   Приближенные   уравненS
нестационарных   колебаний   толстостенной   круговой   цил.дрической
вязкоупругой   оболочки//   Изв.АН   УзССР.   Сер.техн.наук.-1980.-
№2.С.41-45.
60 17.   Шавелев   А.А.   Вынужденные   колебанS   консольной   цил.дрической
оболочки   переменной   тольщины   при   к.ематическом   возбуждени
вдоль   оси   //   Деп.   В   ЦНИИТЭИ   приборстроенS .-№3427.   пр .   от
10.09.1986
18.Berkowitz   H.M.   Lonqitudinal   impact   of   a   seminfinite   Elastic   Cylendrical
shells // J. Appl. Mech.-1963.-v.30, №3.-P.347-354
19. Ильясов   М.Х.,   Гасанов   А.Х.   Нес т ационарная   задача   о   продольном
ударе   по   вязкоупругому   цил.дрической   конечной   дл.ы//Изв.АН
АзССР. Сер.фK.-техн. и мат. наук.-1986.-7.-№3.-С.50-57.
            20.Клейн   Г.К.   Расчет   подземных   трубопроводов.-М.:   Изд-во   Литер.   по
стр-ву, 1969.-240с.
           21. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. КолебанS в .женерном деле.
Пер. с анг.-М.: Маш.остроение, 1985.-472 с.
           22. Исмайилов К. Сиқилган стерженлар, пласт.калар ва қобиқларн.г
эластиклик чегарасидан кей.ги устиворл3и. Тошкент, 2006, 175 б.
61 Ilovalar
“ Doiraviy elastik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida 
aylanish inersiyasi ta’sirinini hisobga olish” 
      Program Nomozov Q._aylanish_inersiyasi;
   Uses crt;
   const Nz=99; Nt=200; jt=200; kt=10;
   type
     ff   = text;
     vec1 = array [0..Nz+1] of real;
    var i,j,k,n,it : integer;
       u1,u2,u3,x,y,ck,dk,fk,mk,nk,szt,s : vec1;
       l,d,ta,d2,ta2,t,t0,t1,
       al1,al0,bet0,bet1,Ab,Bb,r0,ak,gam,eta,gam1,eta1,Dat,
        ksi1,ksi2,ksi3,a1,a2,a3 ,AL      : real;
       w1,sigma,tn: array[1..100] of real;
        fl,fli : text;
 procedure prog3(var y : vec1);
   begin
      ck[0]:=al1/(al0*d-al1);
      dk[0]:=d*Ab/al1;
      for i:=1 to Nz do
         begin
          ck[i]:=1/(mk[i]-nk[i]*ck[i-1]);
          dk[i]:=fk[i]-nk[i]*ck[i-1]*dk[i-1];
        end;
      y[Nz+1]:=(Bb*d+bet1*ck[Nz]*dk[Nz])/(bet0*d+bet1*(ck[Nz]+1));
      i:=Nz+1;
      while i>=1 do begin i:=i-1; y[i]:=ck[i]*(dk[i]-y[i+1]); end;
   end;
62   function f(t,t1:real): real;
    var pi: real;
    begin
       pi:=3.14159;
       if t<=t1 then f:=sin(pi*t/t1) else f:=0;
    end;
    begin
    clrscr;
      assign(fl,'nom.dat'); rewrite(fl);
      assign(fli,' nom.dat'); rewrite(fli);
    {Boshlang'ich ma'lumotlar}
       l:=10; r0:=1; gam:=0.498; eta:=1-gam; Dat:=0;
       AL:=0; a1:=0.6; a2:=0.3; a3:=0.1;  ksi1:=0.1; ksi2:=0.3; ksi3:=0.6;
     {Boshlang'ich hisoblar}
      d:=l/(Nz+1); ta:=0.5*d; d2:=d*d; ta2:=ta*ta; t1:=Nt*ta/4;
     {Boshlang'ich shartlar}
     for i:=0 to Nz+1 do
       begin x[i]:=i*d;
             u1[i]:=0; u2[i]:=0; u3[i]:=0; s[i]:=0 end;
   t:=0; j:=0; k:=0;n:=0;
   for it:=1 to Nt do
      begin
      t:=t+ta;
    {Tenglamani yechish}
    for i:=0 to Nz+1 do
     begin
    {Hamma hadlarda ikkiga ajratish}
    s[i]:=s[i]+AL*ta*(a1/ksi1*exp(-ta/ksi1)+a2/ksi2*exp(-ta/ksi2)+
    a3/ksi3*exp(-ta/ksi3))*(u2[i+1]-2*u2[i]+u2[i-1])*ta2/d2;
63     ak:=-gam/d2-Dat*(1-2*gam)/(6*d2*ta2);
    mk[i]:=(1/ta2+2*gam/d2+Dat*(1-2*gam)/(3*d2*ta2))/ak;
    nk[i]:=1;
    fk[i]:=(-s[i]+1/ta2*(2*u2[i]-u1[i])+eta/d2*(u1[i+1]-2*u1[i]+u1[i-1])+
    Dat*(1-2*eta)/(6*d2*ta2)*(u1[i+1]-2*u1[i]+u1[i-1]))/ak;
      end;
    al0:=1; al1:=1; bet0:=1; bet1:=1;
    Ab:=f(t,t1); Bb:=0;
    prog3(u3);
   {Chegaraviy shartlar}
    u3[0]:=f(t,t1);      u3[Nz+1]:=0;
    for i:=1 to Nz do
      begin   szt[i]:=(u3[i+1]-u3[i-1])/(2*d);
     end;
    for i:=0 to Nz+1 do begin u1[i]:=u2[i]; u2[i]:=u3[i]; end;
       {Pechat}
       j:=j+1; k:=k+1;
    if k=kt then begin k:=0; n:=n+1;tn[n]:=t; w1[n]:=u3[10];  end;
    if j=jt then
     begin
     j:=0;
     for i:=0 to Nz+1 do
      begin
     writeln(x[i]:10:5,' ',u3[i]:10:5);
    writeln(fl,x[i]:10:5,' ',u3[i]:10:5);
       end;
       end;
    end;
64    close(fl);
 for i:=1 to n do writeln(fli, tn[i]:10:4,' ',w1[i]:10:5);
   close(fli);
  end.
Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida
ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olish
    Program Nomozov_Q_ko’ndalang siljish;
    Uses crt;
    const Nz=99; Nt=100; jt=100; kt=2;
    type
      ff   = text;
      vec1 = array [0..Nz+1] of real;
    var i,j,k,n,it : integer;
        u1,u2,u3,v1,v2,v3,x,y,ck,dk,fk,mk,nk,szt : vec1;
        l,d,ta,d2,ta2,t,t0,t1,
       
al1,al0,bet0,bet1,Ab,Bb,r0,ak,gam,eta,gam1,eta1,omega,o
mega2,
        mu,mu1,       
r1,r2,co,e,nu,aco,bco,cco,kco,dco,qo,
        a1,a2,s1,s2,s3,s4,k1,k2,k3,k4 : real;
        w1,w2,w3,sigma,tn: array[1..100] of real;
        fl,fli : text;
  procedure prog3(var y : vec1);
   begin
       ck[0]:=al1/(al0*d-al1);
       dk[0]:=d*Ab/al1;
       for i:=1 to Nz do
         begin
           ck[i]:=1/(mk[i]-nk[i]*ck[i-1]);
           dk[i]:=fk[i]-nk[i]*ck[i-1]*dk[i-1];
         end;
      
y[Nz+1]:=(Bb*d+bet1*ck[Nz]*dk[Nz])/(bet0*d+bet1*(ck[Nz]
+1));
       i:=Nz+1;
       while i>=1 do begin i:=i-1; y[i]:=ck[i]*(dk[i]-
y[i+1]); end;
   end;
   function f(t,t1:real): real;
     var pi: real;
     begin
65         pi:=3.14159;
        if t<=t1 then f:=sin(pi*t/t1) else f:=0;
     end;
     begin
     clrscr;
       assign(fl,'BerdZ.dat'); rewrite(fl);
       assign(fli,'BerdT.dat'); rewrite(fli);
     {Boshlang'ich ma'lumotlar}
       l:=10; r0:=1; gam:=0.5; eta:=1-gam; omega:=0.2; 
omega2:=omega*omega;
       mu:=1; mu1:=1.5;
     {Boshlang'ich hisoblar}
       d:=l/(Nz+1); ta:=0.8*d; d2:=d*d; ta2:=ta*ta; 
t1:=Nt*ta/4;
     {Boshlang'ich shartlar}
      for i:=0 to Nz+1 do
        begin x[i]:=i*d;
              u1[i]:=0; u2[i]:=0; u3[i]:=0;
              v1[i]:=0; v2[i]:=0; v3[i]:=0 end;
       e:=2.0e11;
       nu:=0.3;
       mu:=e/(2*(1+nu));
       r1:=1;
       r2:=1.1;
       a1:=1;
       a2:=1;
       co:=2*(1+nu);
      
S1:=2*co*(sqr(sqr(r2))-sqr(sqr(r1)))/(sqr(r1*r2)*ln(r2/
r1));
       S4:=16/(sqr(sqr(r1))+sqr(sqr(r2)));
       S3:=(sqr(r2)-sqr(r1))/(sqr(r1*r2)*ln(r2/r1));
      
S2:=32*(sqr(sqr(r2))-sqr(sqr(r1)))/(sqr(sqr(r1*r2))*ln(
r2/r1));
       aco:=-e/mu/(a1*co);
       bco:=(a2*co+a1*e/mu)/(a1*co);
       cco:=S1*S4/(a1*co)/100;
       dco:=-S3*e/mu/(a1*co);
       kco:=-S2*e/mu/(a1*co);
       k1:=bco/d2;
       k2:=aco/sqr(d2);
       k3:=dco/d2;
       k4:=cco;
       j:=0;
66     t:=0; j:=0; k:=0;n:=0;
    for it:=1 to Nt do
       begin
       t:=t+ta;
     {Tenglamani yechish}
     for i:=0 to Nz+1 do
      begin
    {Hamma hadlarda ikkiga ajratish}
     ak:=-gam/d2;
     mk[i]:=(1/ta2+2*gam/d2-cco)/ak;
     nk[i]:=1;
     qo:=dco/d2*(v2[i+1]-2*v2[i]+v2[i-1])+kco*v2[i];
     fk[i]:=(1/ta2*(2*u2[i]-u1[i])+eta/d2*(u1[i+1]-
2*u1[i]+u1[i-1])+
             cco*u2[i-1]+qo)/ak;
      end;
     al0:=1; al1:=1; bet0:=1; bet1:=1;
     Ab:=f(t,t1); Bb:=0;
     prog3(u3);
    {Chegaraviy shartlar}
     u3[0]:=f(t,t1);      u3[Nz+1]:=0;
     for i:=0 to Nz+1 do
      begin   szt[i]:=(u3[i+1]-u3[i-1])/(2*d);
      v3[i]:=2*v2[i]-v1[i]+ta2*u3[i];
     end;
     for i:=0 to Nz+1 do begin
     u1[i]:=u2[i]; u2[i]:=u3[i];
     v1[i]:=v2[i]; v2[i]:=v3[i]; end;
        {Pechat}
        j:=j+1; k:=k+1;
     if k=kt then begin k:=0; n:=n+1;tn[n]:=t;
     w1[n]:=u3[25]; w2[n]:=u3[50]; w3[n]:=u3[75];  end;
     if j=jt then
      begin
      j:=0;
      for i:=0 to Nz+1 do
       begin
     writeln(x[i]:10:5,' ',u3[i]:10:5);
     writeln(fl,x[i]:10:5,' ',u3[i]:10:5);
       end;
        end;
67      end;
    close(fl);
  for i:=1 to n do 
writeln(fli,tn[i]:10:4,w1[i]:10:5,w2[i]:10:5,w3[i]:10:5
);
    close(fli);
   end.
68

DEFORMATSIYALANUVCHI MUHITDA JOYLASHGAN SILINDRIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARIGA AYLANISH INERSIYASI VA KO’NDALANG SILJISH DEFORMATSIYASI TA’SIRI MUNDARIJA KIRISH........................................................................... ...............3 I-BOB. DOIRAVIY ELASTIK STERJEN BURALMA TEBRANISHI ASOSIY TENGLAMALARI. §1.1 Doiraviy elastik silindrik sterjenning vaqtdan bog’liq tebranishlari .................................................................................9 §1.2 Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishi umumiy tenglamalari.................................................................................16 §1.3 Doiraviy silindrik qobiqning buralma tebranishlarida deformarsiyalanuvchi muhit ta’sirini e’tiborga olish..................26 §1.4 Doiraviy elastik silindrik sterjenning buralma tebranishlari asosiy tenglamalari (xususiy hol)...........................................................33 II-BOB DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING SONLI USULLARI §2.1 С hekli ayirmalar usulini d ifferentsial tenglamalar yechishda qo’llanilishi..................................................................................37 §2.2 Differentsial tenglamalarni taqribiy yechish ….........................45 III-BOB DOIRAVIY ELASTIK SILINDRIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARI §3.1 Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida aylanish inersiyasi ta’siri ...................................51 §3.2 Doiraviy elastik silindrik qobiqning buralma tebranish tenglamalarida ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’siri............................................................................................58 XULOSA…...………..…………………………………………60

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI……….....61 Ilovalar.........................................................................................64 Kirish Keyingi vaqtlarda fan va texnikaning jadal rivojlanishi turli xil yangi t urdagi konstruksiya elementlarini yangi tex nologiyalar asosida yaratishga olib kelmoqda. Hozirgi zamon texnikasi tez sur’atlar bilan rivojlanishi mexanika sohasida qilinishi kerak bo’lgan yangidan-yangi, nazariy va amaliy masalalarni yechishni qo’ymoqda. Keyingi yillarda materiallar yuqori bosimli va yuqori haroratli o’ta murakkab jarayonlarda qo’llanilmoqda. Materiallar chidamli, mustahkam va arzon bo’lishi uchun ularning qotishmalaridan o’ta mustahkam va yaroqli modulli tolalar amaliyotda keng qo’llanilmoqda. Bunday yangiliklar jismning elastiklik modeli bilan bir qatorda, deformatsiyalanuvchi qattiq jismning boshqa, umumiyroq va mukammalroq modellarini ham yaratishga olib keldi va bu modellardan keng miqyosda foydalanilmoqda. Bunda jismlarning plastiklik, qovushoq-elastiklik xususiyatlaridan keng ko’lamda foydalanishga olib kelmoqda. Keyingi yillar davomida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining “yemirilish mexanikasi”, “kompozit materiallar mexanikasi”, “Nanomexanika” va shu kabi qator yangi yo’nalishlar paydo bo’lishiga ham ana shu yangi talablar sabab bo’ladi. Ushbu yangiliklar zamirida eng avvalo elastik jism modeli yotadi. Dissertatsiya ishining tadqiqot predmeti t ashqi ta’sir natijasida konstrukksiya elementlari sterjenlar, plastinka va qobiqlarda paydo bo’ladigan tebranish turlarini aniqlash. Tebranishlar vaqtdan bog’liq xususiyatga ega bo’lgan hollarda bunday elementlarda paydo bo’ladigan nostatsionar to’lqinlar tarqalish jarayonlarini, ularning fizik-mexanik xususiyatlarini hisobga olgan holda tadqiq qilishdan iborat. Vaqtdan bog’liq tebranishlarni o’rganishda tebranishlarning xususiy chastotalari, xususiy amplitudalarini aniqlash va tebranish formalarini topish masalalarini qo’yish, ularni yechish va ilmiy xulosalar chiqarish. 2

Qobiqlarlar nostatsionar tebranishlarni tashqi dinamik yuklar ta’sirida uyg’otilgan hollar uchun fizik-mexanik xarakteristikalardan foydalanib tadqiq etish dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi. Dissertatsiya ishining tadqiqot ob’ekti yuqorida aytib o’tilgan xulosalardan foydalanib, ko’ndalang kesimi doiraviy, uzunligi chekli, materiali elastik bo’lgan silindrik qobiq va qatlamlar qaralgan. Bunda qobiqlarning buralma tebranishlarida hosil bo’ladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini qatlam materialining fizik-mexanik xususiyatini e’tiborga olgan holda aniqlash mumkin. Bulardan tashqari qobiqni o’rab turuvchi asosiy ob’yekt tariqasida deformatsiyalanuvchi muhit ta’siri ham e’tiborga olingan. Mavzuning dolzarbligi doiraviy elastik qobiqlar mexanika sohasining juda ko’p va xilma-xil muhandislik qurilmalari tarkibiy qismlarini tashkil qiladi.Bunday qobiq va qatlamlar ko’plab mashina va mexanizmlarning asosiy elementlari hisoblanadi. Demak o’z-o’zidan ko’rinadiki bunday qobiq va qatlamlar turli xil dinamik tashqi ta’sirlar ostida bo’ladi va ularning ko’ndalang kesimlarida har xil yuklanishlar paydo bo’ladi. Sterjenlardagi bunday yuklanishlarni aniqlash masalasi deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi. Tashqi ta’sirlar ostidagi qobiq va qatlamlar ko’ndalang kesimlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash dolzarb hisoblanadi. Bunda, tashqi dinamik ta’sirlar natijasida qatlam nuqtalarida paydo bo’ladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash murakkablashadi. Bunday hollarda masalani analitik yechish mumkin bo’lmay qoladi va masalani yechishda sonli usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Shulardan kelib chiqqan holda dissertatsiya doirasida qaralgan masala dolzarb masalalar qatoriga kiradi deb hisoblash mumkin. Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasi masalalarini sonli yechishda qo’llanilib kelinayotgan usullardan chekli elementlar, chekli ayirmalar va chegaraviy elementlar usullarini keltirishimiz mumkin. Bunday usullardan biri sifatida dissertatsiya doirasida chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. Bundan 3

tashqari qaralayotgan masalalarni yechishda ularning matematik modelini qurishda asosiy omil sidatida [1, 2] ishlarining natijalaridan foydalanamiz. Ishning maqsad va vazifalari magistrlik dissertatsiyasi ishining asosiy maqsadi qilib ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan elastik silindrik qobiq va qatlamlarning vaqtdan bog’liq buralma tebranishlarini tadqiq qilish, tenglamalarda aylanish inersiyasi hamda ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirlarini inobatga olish etib belgilangan. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan [3,4] tebranish tenglamalari asosida olib borish va masalalarni sonli usullar yordamida yechish vazifasi qo’yilgan. Yuqorida keltirib o’tilganlardan kelib chiqib dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan:  elastiklik nazariyasi asosiy tenglama va munosabatlarini tahlil qilish;  ko’ndalang kesimi doiraviy elastik qobiq va qatlamlar uchun buralma tebranish umumiy tenglamalarini keltirib chiqarish;  klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalarini xususiy hollarda keltirib chiqarish;  differensial tenglamalarni yechishning sonli usullarinini tahlil qilish;  chekli ayirmalar va progonka usullarini o’rganish hamda amaliy masalalar yechishga tadbiq etish;  Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish. Muammoning ishlab chiqilish darajasi. Doiraviy elastik sterjen va qobiqlarda buralma tebranishlarni tadqiq etish masalasi bilan juda ko’p olimlar shug’illanishgan va hozirgacha ilmiy izlanishlar olib borishmoqdalar. Fan va texnikaning taraqqiyot darajasi materiallarning yangidan-yangi xususiyatlarini, jumladan: reologik, anizotropik, temperaturaviy va h.k. xususiyatlarini inobatga olgan holda tadqiqotlar olib borishni talab etmoqda. Bundan tashqari sterjenlardagi buralma tebranishlarni yangi aniqlashtirilgan tebranish tenglamalar asosida keltirib chiqarish bo’yicha juda kam ishlar bajarilgan. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Doiraviy elastik silindrik qobiqlarning buralma tebranishlari haqidagi masalalar analitik yechimlar asosida tadqiq etilgan. 4

Aslida dinamik jarayonlarda bu kabi yechimlarni olish juda murakkab hisoblanadi. Bunda ko’proq xotira effektini hisobga oladigan aniqroq ravishda natija beradigan singulyar yadrolardan foydalaniladi. Bu kabi yadrolar bilan esa masalani analitik yechish qiyinlashadi yoki masalani yechib bo’lmaydi. Shuning uchun sterjen va qobiqlarning buralma tebranishlari haqidagi masalalarni sonli tadqiq etish talab etiladi. Sonli usullardan foydalanish hozirgi vaqtla katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Maskur dissertatsiya ishi doirasida qaralgan va yechilishi uchun sonli usullar tadbiq etilgan masalalarning ilmiy ahamiyati birinchidan, materialning elastiklik xususiyati hisobga olinganligi ikkinchidan, masalani yechish uchun chekli ayirmalar usulining qo’llanilishidan iboratdir. Dissertatsiya ishining ilmiy yangiligi doiraviy elastik qobiqning buralma tebranishi uchun tebranish tenglamalariga sonli usullarning qo’llanilishidan iboratdir. Tadqiqotning amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, yer osti va yer usti inshootlari, qurilish, aviatsiya, kemasozlik va boshqa juda ko’plab sohalarda ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan qobiq va qatlamlar muhandislik qurilmalarining asosiy elementlaridan biri sifatida ishlatiladi. Qo’llanilish jarayonida bunday qatlamlar intensiv va impulsli dinamik yuklar ta’siri ostida bo’ladilar. Ko’p hollarda ularning dinamik chidamlilik darajasini tajribadan emas, balki hisoblash ishlari yordamida aniqlashga to’g’ri keladi. Yuqorida keltirilganlar elastik doiraviy qatlamlarning vaqtdan bog’liq tebranishlarini tadqiq qilish, ularning tebranish chastotasi va amplitudasi, tebranishlar shakli, ko’chishi va kuchlanishi kabi boshqa xarakteristikalarini aniqlash tadqiqotning amaliy ahamiyatga ega ekanligidan dalolatdir. Dissertatsiya ishida qaralgan qobiq va qatlamlarning buralma tebranishlari haqidagi masalalar ham shunday tadqiqotlar sarasiga kiradi va muhim amaliy ahamiyatga ega bo’lgan masalalardan biri ekanligini ko’rsatadi. Dissertatsiya ishining tuzilishi. Ushbu magistrlik dissertatsiyasi ishi kirish, uchta bob, xulosa va foydalanilgan asosiy adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib jami … .betni tashkil qiladi. 5