Elliptik tipdagi differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarini chekli ayirmalar usuli bilan yechish dasturlar dastasini tuzish.

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

113.6357421875 KB

Скачать

Mavzu: Elliptik tipdagi differensial tenglamalar uchun
chegaraviy masalalarini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
dasturlar dastasini tuzish.

Reja:
1. Kirish.
2. Asosiy:
2.1. Differensial tenglamaga oid asosiy tushunchalar.
2.2.Birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajralgan va
ajraladigan differensial tenglamalar.
2.3.Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar.
2.4.To’r usuli. Dirixli masalasi uchun to’rlar usuli.
2.5. Elliptik tipdagi chegaraviy masalalarning
chekli ayirmali approksimatsiyasi .
3. Xulosa.
4. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish
Elliptik tipdagi keng tarqalgan tenglama Puasson tenglamasi.
Ushbu tenglamani yechish uchun matematik fizikaning ko'plab muammolari,
masalan, qattiq tanadagi haroratni barqaror taqsimlash, diffuziya muammolari,
elektrostatik bo'lmagan muhitda elektrostatik maydonni elektr toklari mavjud
bo'lganda taqsimlash muammolari va boshqalar.
Elliptik tipdagi tenglamalarni yechish uchun bir nechta o'lchovlar uchun differensial
tenglamalarni yoki ularning tizimlarini algebraik tenglamalar tizimiga aylantirish
uchun chekli usullar qo'llaniladi. Qarorning aniqligi koordinatali panjara qadamlari,
iteratsiyalar soni va kompyuterning bitli panjarasi bilan belgilanadi.
ushbu turdagi tenglamalar tufayli turli xil sohalarda sodir bo'lgan statsionar
jarayonlarni tasvirlash mumkin. Misol uchun, Puasson tenglamasidan foydalanib,
elektrostatik maydonni, bosim maydonini ta'riflash mumkin, amalda elliptik tipdagi
tenglamalarni qo'llash va ularni qanday hal qilish quyidagilardan amalda elliptik
tipdagi tenglamalarni qo'llash masalasini o'rganish.
Elliptik tipdagi tenglamalar Laplas va Puasson Dirixli tenglamalari bo'lib, elektr
maydon uchun salohiyat nazariyasida paydo bo'ladi. Bundan tashqari, parabolik va
gepirbolik muammolarning ko'pgina statsionar (o'rnatilgan) yichimlari bu.
Bunday tenglamalar issiqlik uzatish jarayonida haroratning statsionar taqsimlanishini
va diffuziya vaqtida kontsentratsiyaning statsionar taqsimlanishini tasvirlaydi. Laplas
tenglamasiga boshqa ko'plab vazifalar ham keltiriladi, masalan,
elektrostatik maydonni elektr zaryadlari yo'qligida bir xil bo'lmagan o'tkazuvchan
muhitda taqsimlash vazifasi.

2.1. Differensial tenglamaga oid asosiy tushunchalar.
1-Ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o‘zgaruvchi x, noma’lum
funksiya y va uning turli tartibli hosilalari qatnashgan tenglamaga aytiladi.
Differensial tenglamani umumiy shaklda quyidagicha yozish mumkin:
F(x; y; y 1
; y 11
; ...; y (n)
)=0 (1). Agar (1) tenglamada noma’lum funksiya у
bir argumentli bo‘lsa oddiy differensial tenglama, deyiladi. Differensial
tenglamani tartibi deb unga kiruvchi yuqori hosilaning tartibiga aytiladi.
Masalan,
у ‟
-2 ху ‟‟
+5=0, у 1
+ ху =0 birinchi tartibli, у 11
+7 у =0 ikkinchi tartibli
differensial tenglamalardir.
2-Ta’rif. Differensial tenglamani yechimi yoki integral egri chizig’i deb,
differensial tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiruvchi har qanday
y=f(x) funksiyaga aytiladi.
Misol. y 1
=2x differensial tenglamani yechimi у = х 2
+ с bo‘lib, integral egri
chiziqlari parabolalar oilasidan iborat bo‘ladi. Topilgan у =f(x,c) umumiy
yechimidan, x=x0 bo‘lganda у / х = х
0 қу
0 shartni qanoatlantiruvchi yechimiga
differensial tenglamani xususiy yechimi deyiladi.

2.2.Birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajralgan va
ajraladigan differensial tenglamalar.
a) Birinchi tartibli eng sodda differensial tenglamalarga o‘zgaruvchilarga
ajralgan f
1 (x)dx+f
2 (y)dy=0 hol kiradi. Bu tenglamani yechimi bevosita
integrallash orqali topiladi  f
1 (x)dx+  f
2 (y)dy=c.
Misol. xdx+ydy=0, integrallaymiz:  xdx+  ydy=c, х 2
/2+ у 2
/2= с , х 2
+ у 2
= с
1 2

bo‘lib, integral egri chiziqlari konsentrik aylanalarni beradi.
b) O‘zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamani umumiy ko‘rinishi
quyidagicha bo‘ladi: f
1 (y)f
2 (y)dx+f
3 (x)f
4 (y)dy=0. Bu tenglama f
2 (y)  f
3 (x)  0
shartda, shu f
2 (y)f
3 (x) ga bo‘lish natijasida o‘zgaruvchilarga
ajralgan differensial tenglamaga keltirilib, integrallash yordamida umumiy
yechim topiladi: (f
1 (x)/f
3 (x))dx+(f
4 (y)/f
2 (y))dy=0;
 (f
1 (x)/f
3 (x))dx+  (f
4 (y)/f
2 (y))dy=c.
Oliy matematikaning muxim yunalishlaridan biri bo’lgan differensial
tenglamalar turli sohalarga, tegishli amaliy masalalarni yechishda keng
qo’llaniladi. Jumladan qishloq xo’jaligida o’simliklarni o’sish jarayonlari
ma’lum bir differensial tenglamani yechimi sifatida aniqlanishi ko’rsatilgan.

2.3.Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar.
А ) Radioaktiv yemirilish masalasi. Elementar atomlarning yadrolari  ,  , 
nurlar chiqarib boshqa elementlar yadrolariga o’z-o’zidan aylanishi radioaktiv
yemirilish deyiladi. Ma’lumki, atomlarni yadrolari birdaniga yemirilmay balki
izotopning butun mavjud bo’lish davrida yemiriladi va har bir izotop uchun bu
jarayon o’zgarmas bo’ladi. (  =const).
Shunday qilib dt vaqtda yemirilgan dN atomlar soni  Ndt ga teng bolib,
y quyidagi tenglamani qanoatlantiradi: dN=-  Ndt. Manfiy ishora vaqt o’tishi
bilan yemirilmagan atomlar soni N kamayib borishini bildiradi. Hosil bo’lgan
sodda o’zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamani yechimi
quyidagicha bo'ladi: dN/N=-  dt, dN/N=-  dt+lnc, lnN=-  t+lnc, N(t)=ce -
 t
.
Agar boshlang’ich vaqtda t=0 da atomlar soni N
0 bo’lsa, с =N
0 bo’lib
qoladi.
Tabiiy savol tug’iladi, necha yildan keyin boshlang`ich radioaktiv modda
miqdori N
0 , N
0 /2 ga teng bo’ladi, ya’ni ikki marta kamayadi? Aniqlanganki
radiy uchun Т =1590 yil, uran uchun Т =4,6 mlrd yil kerak ekan. Demak,
1590- yildan keyin radiy atomi 50% ga yemirilar ekan.
B) Qishloq xo’jaligidagi hayvonlar va o’simliklarni o’sish jarayonlari
quyidagi murakkab Gompers tenglamasi yordamida ifodalanilishi aniqlangan
dw/dt= Д Wln(W
1 /W) bu yerda Д har-bir o’simlik, hayvon uchun aniqlanadigan
o’zgarmas miqdor, W=W(t) o’sish funksiyasi Gompers tenglamasi yechilib,
o’sish integral egri chiziqlari aniqlanadi. Xuddi shuningdek reaktiv harakat,
jismlarni sovush jarayonlari ham differensial tenglamalarga keltirilib yechiladi.

2.4.To’r usuli. Dirixli masalasi uchun to’rlar usuli
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini
topishda eng qulay usullardan biridir .
Bu usulning asosida hosila la rni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish
qoidasi yotadi.
Aytaylik, Oxy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan
chegaralangan yok i G soha berilgan bo’lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga
parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar oylasini quramiz :
m k
kh y y
n i
ih x x
i
i
,...,2 ,1 ,0
,...,2 ,1 ,0
,
0
0
  
 
  
 
Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalari tugunlar deb ataladi.
Hosil bo‘lgan turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri
ikinchisidan Ox yoki Oy koordinata o‘qlari yo’nalishida h yoki l masofada
joylashgan bo‘lsa, G+Г sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G
dan, qadamdan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan to’rtta tugun ajratilgan
tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi. (1-rasm, A
tugun). Ajratilganndan qolganlari chegara tugunlari deb ataladi(1-rasm, B, C
tugunlar).
Noma’lum ),( yxuu 
funksiyaning t o‘ rning 5 yoki 9 tugunli sxemalarining
y
h
l
x
В
•
•
•
10. 1-расм
А С
G
Г

5 6
h
2
h
( i,k)
1 3
( i,k)
8 7 4
2
4
1 0 3
10.2 -расм 10.3 -расм tugunlaridagi qiymatini
) , ( 0 0 kl y ih x u uik    orqali belgilaymiz. Har bir
) , ( 0 0 kl y ih x  
ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan
quyidagicha almashtiramiz:
l
u u
y
u
h
u u
x
u
ki ki
ik
k i k i
ij
2
) (
2
) (
1, 1 ,
,1 ,1
 
 








(1)
Chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi formula la r bilan
almashtiramiz:

l
u u
y
u
h
u u
x
u
ik kik
ik
ik k i
ik










1 ,
,1
) (
) ( (2)
Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni quyidagicha
almashtiramiz:
hl
u u u u
xy
u
l
u u u
y
u
h
u u u
x
u
k i k i k i k i
ik
ki ik ki
ik
k i ik k i
ik
4
) (
2
) (
,
2
) (
1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 2
2
1 , 1 ,
2
2
2
,1 ,1
2
2
       
 
 
  



 



 



(3)

Yuqorida ketirilgan almashtirishlar xususiy hosilali tenglamalarni o‘rniga
chekli ayrimali sistemasini yechishga olib keladi.
Yuqorida ko‘rsatilgan sohada quyidagi masalani ko‘ramiz.) , ( 2
2
2
2
y x f gu
y
u
d
x
u
c
y
u
b
x
u
a Lu  












(4)
bu yerda a,c,d,e,g lar x va y larning funksiyalari. (x
i ,y
k ) tugunda f(x,y) funksiya
va koeffitsentlarni a
ij , b
ij , c
ij , d
ij , g
ij , f
ij, u
ij kabi belgilab, besh nuqtali tugunlar
sxemasi bo‘yicha (1.1), (1.3) formulalar asosida chekli ayirmalar yordamida
(1.4*) tenglamani quyidagicha yozamiz.
a
ik
2
,1 ,1 2
h
u u u k i ik k i     + b
ik
2
1, 1, 2
l
u u u ki ik ki     + c
ik
h
u u k i k i
2
,1 ,1    + d
ik
l
u u ki ki
2
1, 1,    - g
ik u
ik = f
ik
(*)
Shuningdek G chegara chiziq funksiyasi
) , ( у х  asosida chegara tugunlari
) , ( i i y h ő  
yoki ) , ( h y õ i i  (0 <  <1 )uchun quyidagi munosabatlarni
yozamiz:
) (
1
1
1
) , ( ) , (
) , ( , ,1
1
k i k i
k i k i
k i u
y h x y x u
y h x u   
 
  
  
 



 
 
yoki
) (
1
1
1
) , ( ) , (
) , ( , 1 ,
1
  
 
  
  
 



 
  ki ki
k i k i
k i u
h y x y x u
h y x u
.
Agar tenglama tarkibida
y x
u е
 
2
2 ishtrok etsa uni to‘qqiz nuqtali tugunlar
sxemasi bo‘yicha chekli ayirmalar bilan quyidagicha almashtirib (*) tenglamaga
qo‘shamiz.
ik)
2
(
y x
u ĺ
 

=
hl
u u u u
e k i k i k i k i
ji 2
1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1           
Chekli ayirmalar yordamida (4) tenglamani, (x
i ,y
k ) tugunga nisbatan hosil
bo‘ladigan tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:

A
i,k u
i,k +B
i,k u
i,k-1 +C
i,k u
i,k +D
i,k u
i+1,k +E
i,k u
i,k+1 = f
i,k (**)h
d
h
b
A ki ki
ki 2
,
2
,
,  
,
h
c
h
a B kiki
ki
2 ,
2,
,
 
, ki ki ki ki g h
b a C , 2
, , , ) (2    ,
h
c
h
a
D ki ki
ki 2
,
2
,
,  
, hd
hb
E kiki
ki
2 ,
2,
, 
Farazimizga asosan a(x,u) > 0 , b (x,u) < 0 , g (x,u) < 0 lar silliq funksiyalar
bo‘lsa,
yitarlicha kichik h uchun
g
i,k <0, A
i,k >0, B
i,k >0, C
i,k <0, D
i,k >0, E
i,k >0
bo‘lganda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
A
i,k + B
i,k + C
i,k + D
i,k + E
i,k = g
i,k .
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistema (**) si uchun yuqoridagi shartlar
bajarilganda bu sohaning ichki tugunlarida sistemani yechimini topishda
iteratsiya usulini qo’llash uchun uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz.
ki
ki
ki
ki
ki
k i
ki
ki
k i
ki
ki
ki
ki
ki
ki C
f
u
C
E
u
C
D
u
C
B
u
C
A
u
,
,
1 ,
,
,
,1
,
,
,1
,
,
1 ,
,
,
,          
Shuningdek chegaraviy tugunlar uchun
  
 

    


 k i k i ki u u , 1 ,1 , 1
1
1
Berilgan boshlang‘ich
)0(
,kiu yechim asosida aniq yechimga yaqinlashish
jarayonini oddiy iteratsiya usulida quyidagicha hisoblaymiz:
ki
ki p
ki
ki p
ki
ki p
ki
ki p
ki
ki р
ik C
f
u
C
E
u
C
D
u
C
B
u
C
A
u ki k i k i ki ,
, )(
,
, )(
,
, )(
,
, )(
,
, )1 (
1 , ,1 ,1 1 ,          

  
 

 




   k i
p p
k i ki u u ,
) ( )1 (
1
1
1 1 ,1 ,
, ‘=0,1,2,…
Yuqoridagi shartlar asosida bu jarayonni u
i,k aniq yechimga yaqinlashish sharti
quyidagicha tanlanadi:

)0(, , )(, , max
1
max ki
p
ki pki ki u
q
q u u

 





    
 
 
ki
ki ki ki ki
ki
ki
ki C
E D B A q
,
, , , ,
,
,
, ,
1
max.
2.5. Elliptik tipdagi chegaraviy masalalarning
chekli ayirmali approksimatsiyasi
Birinchi chegaraviy masala yoki Puasson tenglamasi:

) , ( 2
2
2
2
y x f
y
u
x
u и 

 

   (3.1)
uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo‘yiladi G sohaning ichki nuqtalarida
(3.1) tenglamani va G - chegarasida esa
u

g =  (x,y)
shartni qanotlantiruvchi u=u(x,y) funksiya topilsin. Mos ravishda Ox va Oy
o‘qlarida h va l qadamlarni tanlab,
,...)2 ,1 ,0 ( ,
,...)2 ,1 ,0 ( ,
0
0
    
    
k kl y y
i ih x x
k
i
to‘ g‘ ri chiziqlar yordamida t o‘ r quramiz va sohaning ichki tugunlaridagi
2
2
2
2
,
y
u
x
u




hosilalarni yuqoridagi formulalar asosida (3.1) tenglamani esa quyidagi chekli
ayirmalar tenglamalari bilan almashtiramiz:
ik
ki ik ki k i ik k i f
l
u u u
h
u u u

 

     
2
1 , 1 ,
2
.1 ,1 2 2
(3.2)
bu yerda
) , ( k i ik y x f f  (3.2) tenglama sohaning chegaraviy nuqtalaridagi ikи
qiymatlari bilan birgalikda
) , ( k i y х tugunlaridagi u(x,y) funksiya qiymatlariga

nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema
to‘g‘riburchakli sohada va l=k b o‘ lganda eng sodda ko‘rinishga keladi.
Bu holda (3.2) tenglama quyidagicha yoziladi.
ik ik ki ki k i k i f h u u u u u 2 1 , 1 , ,1 ,1 4          (3.4)
Chegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy funksiya qiymatlariga teng
bo‘ladi. Agar (3.1) tenglamada f(x,y)=0 bo‘lsa,
0 2
2
2
2






 
y
u
x
u
u
Laplas tenglamasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning chekli ayirmalar
tenglamasi quyidagicha:
) (
4
1
1. 1, ,1 ,1         ki ki k i k i ik u u u u u
(3.5)
Bu (3.4) va (3.5) tenglamalarni 4 -rasmdagi tugunlar siemasidan
foydalaniladi. Bundan buyon rasmlarda (
i i y x , ) tugunlarni ularning indekslari
bilan

( i-1,k+ 1) ( i-1, k+ 1)
h
h
( i, k+ 1)
h
( i,k) ( i+ 1,k) ( i-1,k)
( i,k)
( i+ 1, k -1) ( i-1,k -1) ( i,k -1)
4-rasm 5-rasm
almashtirib yozamiz. Bazan 5- rasmdagi kabi tugunlar sxemasidan foydalanish
qulay bo‘ladi. Bu h olda Laplas chekli ayrimalar tenglamasi quydagicha yoziladi.

) (
4
1
1 ,1 1 ,1 1 ,1 ,          k i k i k i ki u u u u
(3.6)
Puasson tenglamasi uchun esa:
ki k i k i k i k i ki f
h
u u u u u ,
2
1 ,1 1 ,1 1,1 1,1 , 2
) (
4
1
            
(3.6’)
Differensial tenglamalarni ayrimalar bilan almatirish xatoligi ya’ni (3.6)
tenglama uchun qoldiq xad
ki,R quyidagicha baholanadi.
bu yerda









 

4
4
4
4
4
4
2
,
, max
,
6
y
u
x
u M
M h R
G
ki
Ayrimalar usuli bilan topilgan taqribiy yechim xatoligi uchta xatoligidan
kelib chiqadi:
1) differensial tenglamalarni ayrimalar bilan
almashtirishdan.
2) chegaraviy shartni approksimatsiya qilishdan.
3) hosil bo‘lgan ayrimali tenglamalarni taqribiy yechishlardan.

$Tenglamani yechimini topuvchi dastur. #include <iostream.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <conio.h #include <math.h> float a, b, x, y, x0, y0, z, h, P[100]; int n, i; float Eyler() { return x-y; } int main() { clrscr(); cout << "Marhamat quyidagi o`zgaruvchilarning qiymatini kiriting: \n"; cout << "A = "; cin >> a; cout << "B = "; cin >> b; cout << "N = "; cin >> n; cout << "X0 = "; cin >> x0; cout << "Y0 = "; cin >> y0; h=(b-a)/n; x=x0; y=y0; cout << "h = " << h; for (i=1; i<=n; i++) { z=Eyler(); cout << i << " z = " << z; P[i]=y + h*z; cout << "Y [" << i << "] = "<< P[i] << "\n"; y=P[i]; x=x+h; }$ return 0;
}
Natija:
A=0
B=1
N=5
X0=0
Y0=0.8
Y[1] = 1
Y[2] = 2.15
Y[3] = 3.346
Y[4] = 4.5145

return 0;
}
Natija:
A=0
B=1
N=5
X0=0
Y0=0.8
Y[1] = 1
Y[2] = 2.15
Y[3] = 3.346
Y[4] = 4.5145

Xulosa.
Biz xulosa o’rnida shuni ta’kidlashimiz mumkinki oliy matematika va
dasturlashtirish fanlaridan olgan bilimlarimz asosida elliptik tipdagi differensial
tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechish.
Bu dasturiy maxsulotni tuzish jarayonida C++ dasturlash tilidan foydalanib
o’tdik. Bundan kelib chiqqan h о ld а quyidagi xulosaga keldik. Elliptik tipdagi
differinsial tenglamalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechgan vaqtimizda
qo’lda hisoblashlarni kamaytirish maqsadida qolgan yechimlarni dastur tuzish
orqali olishimiz maqsadga muvofiqroq.

Foydalanilgan adabiyotlar.
1. A. N. Tixonov, A. A. Samarskiy, matematik fizika tenglamalari M., "fan"
nashriyoti, 1977. – 735 p.
2. D. A. Shapiro, matematik fizika metodlari bo'yicha ma'ruzalar to'plami, 1-
qism, NSU nazariy fizika kafedrasi, 2004. – 123 bilan.
3. S. I. Kolesnikova, matematik fizika tenglamalarining asosiy muammolarini hal
qilish usullari, M., MFTY, 2015. – 80 bilan.
4 . Internet resurslar

5. http://dict.scask.ru/

Mavzu: Elliptik tipdagi differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarini chekli ayirmalar usuli bilan yechish dasturlar dastasini tuzish. Reja: 1. Kirish. 2. Asosiy: 2.1. Differensial tenglamaga oid asosiy tushunchalar. 2.2.Birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. 2.3.Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar. 2.4.To’r usuli. Dirixli masalasi uchun to’rlar usuli. 2.5. Elliptik tipdagi chegaraviy masalalarning chekli ayirmali approksimatsiyasi . 3. Xulosa. 4. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish Elliptik tipdagi keng tarqalgan tenglama Puasson tenglamasi. Ushbu tenglamani yechish uchun matematik fizikaning ko'plab muammolari, masalan, qattiq tanadagi haroratni barqaror taqsimlash, diffuziya muammolari, elektrostatik bo'lmagan muhitda elektrostatik maydonni elektr toklari mavjud bo'lganda taqsimlash muammolari va boshqalar. Elliptik tipdagi tenglamalarni yechish uchun bir nechta o'lchovlar uchun differensial tenglamalarni yoki ularning tizimlarini algebraik tenglamalar tizimiga aylantirish uchun chekli usullar qo'llaniladi. Qarorning aniqligi koordinatali panjara qadamlari, iteratsiyalar soni va kompyuterning bitli panjarasi bilan belgilanadi. ushbu turdagi tenglamalar tufayli turli xil sohalarda sodir bo'lgan statsionar jarayonlarni tasvirlash mumkin. Misol uchun, Puasson tenglamasidan foydalanib, elektrostatik maydonni, bosim maydonini ta'riflash mumkin, amalda elliptik tipdagi tenglamalarni qo'llash va ularni qanday hal qilish quyidagilardan amalda elliptik tipdagi tenglamalarni qo'llash masalasini o'rganish. Elliptik tipdagi tenglamalar Laplas va Puasson Dirixli tenglamalari bo'lib, elektr maydon uchun salohiyat nazariyasida paydo bo'ladi. Bundan tashqari, parabolik va gepirbolik muammolarning ko'pgina statsionar (o'rnatilgan) yichimlari bu. Bunday tenglamalar issiqlik uzatish jarayonida haroratning statsionar taqsimlanishini va diffuziya vaqtida kontsentratsiyaning statsionar taqsimlanishini tasvirlaydi. Laplas tenglamasiga boshqa ko'plab vazifalar ham keltiriladi, masalan, elektrostatik maydonni elektr zaryadlari yo'qligida bir xil bo'lmagan o'tkazuvchan muhitda taqsimlash vazifasi.

2.1. Differensial tenglamaga oid asosiy tushunchalar. 1-Ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o‘zgaruvchi x, noma’lum funksiya y va uning turli tartibli hosilalari qatnashgan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglamani umumiy shaklda quyidagicha yozish mumkin: F(x; y; y 1 ; y 11 ; ...; y (n) )=0 (1). Agar (1) tenglamada noma’lum funksiya у bir argumentli bo‘lsa oddiy differensial tenglama, deyiladi. Differensial tenglamani tartibi deb unga kiruvchi yuqori hosilaning tartibiga aytiladi. Masalan, у ‟ -2 ху ‟‟ +5=0, у 1 + ху =0 birinchi tartibli, у 11 +7 у =0 ikkinchi tartibli differensial tenglamalardir. 2-Ta’rif. Differensial tenglamani yechimi yoki integral egri chizig’i deb, differensial tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiruvchi har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi. Misol. y 1 =2x differensial tenglamani yechimi у = х 2 + с bo‘lib, integral egri chiziqlari parabolalar oilasidan iborat bo‘ladi. Topilgan у =f(x,c) umumiy yechimidan, x=x0 bo‘lganda у / х = х 0 қу 0 shartni qanoatlantiruvchi yechimiga differensial tenglamani xususiy yechimi deyiladi.

2.2.Birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. a) Birinchi tartibli eng sodda differensial tenglamalarga o‘zgaruvchilarga ajralgan f 1 (x)dx+f 2 (y)dy=0 hol kiradi. Bu tenglamani yechimi bevosita integrallash orqali topiladi  f 1 (x)dx+  f 2 (y)dy=c. Misol. xdx+ydy=0, integrallaymiz:  xdx+  ydy=c, х 2 /2+ у 2 /2= с , х 2 + у 2 = с 1 2 bo‘lib, integral egri chiziqlari konsentrik aylanalarni beradi. b) O‘zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamani umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: f 1 (y)f 2 (y)dx+f 3 (x)f 4 (y)dy=0. Bu tenglama f 2 (y)  f 3 (x)  0 shartda, shu f 2 (y)f 3 (x) ga bo‘lish natijasida o‘zgaruvchilarga ajralgan differensial tenglamaga keltirilib, integrallash yordamida umumiy yechim topiladi: (f 1 (x)/f 3 (x))dx+(f 4 (y)/f 2 (y))dy=0;  (f 1 (x)/f 3 (x))dx+  (f 4 (y)/f 2 (y))dy=c. Oliy matematikaning muxim yunalishlaridan biri bo’lgan differensial tenglamalar turli sohalarga, tegishli amaliy masalalarni yechishda keng qo’llaniladi. Jumladan qishloq xo’jaligida o’simliklarni o’sish jarayonlari ma’lum bir differensial tenglamani yechimi sifatida aniqlanishi ko’rsatilgan.

2.3.Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar. А ) Radioaktiv yemirilish masalasi. Elementar atomlarning yadrolari  ,  ,  nurlar chiqarib boshqa elementlar yadrolariga o’z-o’zidan aylanishi radioaktiv yemirilish deyiladi. Ma’lumki, atomlarni yadrolari birdaniga yemirilmay balki izotopning butun mavjud bo’lish davrida yemiriladi va har bir izotop uchun bu jarayon o’zgarmas bo’ladi. (  =const). Shunday qilib dt vaqtda yemirilgan dN atomlar soni  Ndt ga teng bolib, y quyidagi tenglamani qanoatlantiradi: dN=-  Ndt. Manfiy ishora vaqt o’tishi bilan yemirilmagan atomlar soni N kamayib borishini bildiradi. Hosil bo’lgan sodda o’zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamani yechimi quyidagicha bo'ladi: dN/N=-  dt, dN/N=-  dt+lnc, lnN=-  t+lnc, N(t)=ce -  t . Agar boshlang’ich vaqtda t=0 da atomlar soni N 0 bo’lsa, с =N 0 bo’lib qoladi. Tabiiy savol tug’iladi, necha yildan keyin boshlang`ich radioaktiv modda miqdori N 0 , N 0 /2 ga teng bo’ladi, ya’ni ikki marta kamayadi? Aniqlanganki radiy uchun Т =1590 yil, uran uchun Т =4,6 mlrd yil kerak ekan. Demak, 1590- yildan keyin radiy atomi 50% ga yemirilar ekan. B) Qishloq xo’jaligidagi hayvonlar va o’simliklarni o’sish jarayonlari quyidagi murakkab Gompers tenglamasi yordamida ifodalanilishi aniqlangan dw/dt= Д Wln(W 1 /W) bu yerda Д har-bir o’simlik, hayvon uchun aniqlanadigan o’zgarmas miqdor, W=W(t) o’sish funksiyasi Gompers tenglamasi yechilib, o’sish integral egri chiziqlari aniqlanadi. Xuddi shuningdek reaktiv harakat, jismlarni sovush jarayonlari ham differensial tenglamalarga keltirilib yechiladi.

Elliptik tipdagi differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarini chekli ayirmalar usuli bilan yechish dasturlar dastasini tuzish.

12.08.2023

0

113.6357421875 KB

Похожие