ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNI YECHISH UCHUN AYIRMALI SXEMALAR TUZISH
![∂u
∂xi
= ∂u
∂r
∂u
∂xi
=
xi− ξi
r
∂λ
∂r,
∂2u
∂xi2=
(xi− ξi)2
r2
d2λ
dr 2+1
r
dλ
dr [1−
(xi− ξi)2
r2 ]Bu hosilalarni (1.1.20) tenglamaga qo’ysak, Laplas tenglamasi o’rniga
λ''+ n− 1
r
λ'= 0
Oddiy differensial tenglama hosil bo’ladi.
Bu tenglamaning umumiy yechimi
C1E(x,ξ)+C2
dan iboratdir.
Chekli D sohada o’zgarmas sondan farqli bo’lgan u(x) garmonik funksiya
D sohaning ichki nuqtalarida maksimum va minimumga erisha olmaydi.
Isbot. Faraz qilaylik, biror
x0∈D nuqtada u(x) funksiya , maksimumga
erishsin, yani
u(x0)= M . D sohada yotuvchi |x− x0|<ε sharni olamiz. Bu
sharni xar bir nuqtasida u(x)=M bo’ladi.haqiqatan ham, agar y,
|y− y0|<ε ,
nuqtada u(y)<M (u(y)>M tengsizlik bo’lishi mumkin emas) tengsizlik o’rinli
bo’lsa u(x), funksiya uzluksiz bo’lgani uchun bu tengsizlik y nuqtaning biror
|ξ− y|<δ
ham o’rinli bo’ladi.
Demak, barcha
|x− x0|<ε sharda u(x)=M. Endi x-D sohaning ixtiyoriy
nuqtasida bo’lib, l esa x ni
x0 bilan tutashtiruvchi va D da yotadigan uzluksiz
egri chiziq bo’lsin. D sohaning chegarasi S bilan l egri chiziq orasidagi
masofadan kichik bo’lgan
ε sonni olamiz. |η− y|<ε sharning y markazini x0
nuqtadan x nuqtaga qarabl chiziq bo’yicha siljitib boramiz. Yuqorida
isbotlaganga asosan y ixtiyoriy holatda bo’lganda ham bu sharning ichida u=M
va u(x)=M bo’ladi. Demak, barcha D da u(x) =M. Hosil bo’lgan qarama-
qarshilik teoremaning birinchi qismi to’gri ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga
o’xshash ikkinchi qismi, ya’ni minimum hol isbotlanadi.](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_22.png)
![keltirilgan shart orqali aniqlanadiu0,j= f1,j un,j= f2,j ui,0= f3,j ui,m= f4,i
i= 0,n j=0,m
(1.2.6) tenglamalar sistemasini yechish uchun bizga oldingi
boblardan ma’lum bo’lgan iteratsion usullardan foydalaniladi.
ui,j
(k+1)=(ui+1,j
(k) +ui−1,j
(k) +ui,j+1
(k) +ui,j−1
(k) −h2fi,j)
Elliptik tenglamaning u(x,y) yechimini topishimiz kerak
∂2u
∂x2+ ∂2u
∂y2= f(x,y)
To’rtburchak bo’lgan maydonda
[a,b] [c,d] quyidagi chegaraviy shartlar jadvalda keltirilgan.
x=a x=b y=c y=d
1 u = u
1
( y ) u=u2(y) u = u
3 ( x ) u = u
4 ( x )
2 u
x = q
1
( y ) u
x = q
2 ( y ) uy=q3(x) uy=q4(x)
(1.2.7) tenglamadan ko'rinib turibdiki, uning yechimi ikkita bo'shliqqa bog'liq
tabiiy o'zgaruvchilar x va y. Keling, unda koordinatalar sistemasini tanlaylik x
o'zgaruvchisi x o'qi bo'ylab, y o'zgaruvchisi esa y o'qi bo'ylab o'zgargan
kordinatalar. (1.2.7) tenglamani yechish uchun chekli-ayirmalar usulidan
foydalanamiz,vertikalning kesishishidan hosil bo’ladi tekis va gorizontal
chiziqlar (11-rasm) va to’g’ri qoplama uchburchak [a,b]
∪ [c,d]. Kesishma orqali
hosil qilingan panjara tugunlarining koordinatalari.Vertikal va gorizontal
segmentlar formulalar bilan aniqlanadi.
xi= a+i∗ hx yj= c+ j∗ hy
hx− x
o'qi bo'ylab qadam hx= (a− b)
N
;](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_26.png)
![j=0,1 ...,J
Ti,0=ϕ(xi,0)
Ti,j= ϕ(xi,l2)
i=0,1 ,...IChegaraviy shartlar olinishi kerak. (1.2.23) tenglamalar sistemasini yechish
uchun odatda iteratsion usullar ishlatiladi. Masalan, Zeydel usulini ishlatsak,
Ti,j
yechimlarni topish uchun
Ti,j
(k+1)= 1
4[Ti−1,j
(k) +Ti+1,j
(k) +Ti,j+1
(k) +Ti,j−1
(k+1)]− h2
4 fi,j
(1.2.24)
Iteratsion formulani hosil qilamiz.Bunda qavslar ichida yozilgan yuqori indeks
yaqinlashishlar nomerini bildiradi. Yaqinlashishlar soni ortib borganda,yani
k→ ∞ bo’lganda, Ti,j
(k) yechimlar Ti,j aniq yechimga yaqinlashadi.
Iteratsiyalarni
max ¿1≤i≤I−1¿
1≤j≤J−1¿
¿|Ti,j
(k)−Ti,j
(k+1)|<ε¿
Shart bajarilganda to’xtatish mumkin. Bunda
ε ixtiyoriy oldindan tanlanib
olinadigan kichik son yechim aniqligi.
Shunday qilib, (1.2.16) Puasson tenglamasining taqribiy yechimining xatoligi
ikkita tarkibiy qismdan iborat bo’ladi: birinchidan, ( 1.2.22 ) to’r tenglama
aproksimatsiya xatoligi va ikkinchidan ( 1.2.23 ) sistemani iteratsion usu bilan
yechishda ro’y beradigan xatolik.
Yuqorida qaralgan chekli ayirmali sxema tugun va yechim
yaqinlashuvchidir. (1.2.24) iteratsion formulaning o’ng tarafiga dastlabki
yaqinlashish sifatida ixtiyoriy sonlarnu olish mumkin. Masalan, to’rning](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_34.png)
![Elliptik tenglama u(x,y) birinchi turdagi chegaraviy shartlarda masala
qaraladi.
Tenglama (0,2π ) (0, π ) sohada qaraladi.Tenglama quyidagi ko’rinishga ega
∂ 2
U
∂ x 2 + ∂ 2
U
∂ y 2 = f
( x , y )
(2.1.1)
f
( x , y ) = − sin x ( 1 + sin y ) − sin y ( 1 + sin x )
Chegaraviy shartlar quyidagicha
U(0,
y )= 1+sin y , U(2 π,y )= 1+sin y , (2.1.2)
U(
x,0 )= 1 + sin x
, U( x , , π
)= 1 + sin x
, (2.1.3)
Bu (2.1.1)-( 2.1.3) masalaning aniq yechimi matlab dasturida topilgan va
quyidagi ko’rinishga ega
u(x,y)=(1+sin x)(1+sin y)
Reloksatsiya usullari bilan olingan yechimlar aniq yechim bilan
taqqoslanadi va xatolik baholanadi.Xatolikni ikki xil normada baholash kerak:
‖ Δ ‖
c = max
ⅈ , j | U
ij − y
ij |
(2.1.4)
‖
Δ ‖ = √
∑
i = 1N
1
∑
j = 1N
2 (
u
ij − y
ij ) 2
(2.1.5)
Bunda u
ij -aniq yechimning x
ij =
¿¿ ) nuqtadagi qiymati y
ij -shu nuqtadagi to’r
yechim ,
h1,h2 lar x va y yo’nalishlar bo’yicha qadam uzunliklari
x
ij =
( x
i , y
j ) , i = 0 , N
1 ; j = 0 , N
2 ;
(2.1.1) tenglamani yechish uchun chekli-ayirmalar usulidan
foydalanamiz, vertikalning kesishishidan hosil bo'ladi tekis va gorizontal
chiziqlar (11-rasm) va to'g'ri qoplama uchburchak [a, b] [c, d]. Kesishma
orqali hosil qilingan panjara tugunlarining koordinatalari.Vertikal va gorizontal
segmentlar formulalar bilan aniqlanadi.
xi=a+ⅈ∗hx y = C + j ⋅ h
y
hx− ¿
x o'qi bo'ylab qadam h
x = ( a − b ) ∕ N
;
h
y - y o'qi bo'ylab qadam
hy=(d−C)∕M ;
Bu yerda 0≤ⅈ≤N
, 0≤ j≤M .](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_40.png)
![u1=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
f=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
# chegaraviy shartlar
for i in range(N1+1):
x[i]=i*h1
u[i,0]=1+math.sin(x[i])
u[i,N2]=1+math.sin(x[i])
for j in range(N2+1):
y[j]=j*h2
u[0,j]=1+math.sin(y[j])
u[N1,j]=1+math.sin(y[j])
# Ichki nuqtalarni boshlang'ich qiymatlarini nol qilish
for i in range(1, N1):
for j in range(1, N2):
u[i, j] = 0 # boshlang'ich yaqinlashish
# Iteratsiya parametrlari
max_iter = 10000 # Maksimal iteratsiyalar soni
epsilon = 1e-3 # Aniqlik
# Gauss-Zeydel iteratsiyasi
for k in range(max_iter):
u0 = u.copy()
for i in range(1, N1):
for j in range(1, N2):
u[i,j] = 0.5*(h2**2*(u0[i+1,j]+u[i-1,j])+h1**2*(u0[i,j+1]+u[i,j-1])-
h1**2*h2**2*(-math.sin(x[i])*(1+math.sin(y[j]))-
math.sin(y[j])*(1+math.sin(x[i]))))/(h1**2+h2**2)
# xatolikni tekshirish
if np.max(np.abs(u - u0)) < epsilon:](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_58.png)
![print(u,'Iteratsiyalar soni:',k)
break
# aniq yechimni hisoblash
for i in range(N1+1):
for j in range(N2+1):
u1[i,j]=(1+math.sin(x[i]))*(1+math.sin(y[j]))
print('aniq yechim',u1)
# c normani aniqlash
deltac=np.max(np.abs(u - u1))
print('C norma',deltac)
# L2 normani aniqlash
deltal2=0
for i in range(1,N1+1):
for j in range(1,N2+1):
deltal2=deltal2+(u1[i,j]-u[i,j])**2
print('L2 norma',math.sqrt(deltal2))
# natijani excelga yozish
#u_df = pd.DataFrame(u, index=y, columns=x)
# Excel fayliga yozish
#u_df.to_excel("gauss_seidel_solution.xlsx", index=True)
#Natijaning oxirgi ustunini Excelga eksport qilish
# Grafik ko'rinishda natijani ko'rsatish
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_59.png)
![y=np.zeros((N2+1),dtype=float) # y o'qi
u=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
u0=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
u1=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
f=np.zeros((N1+1,N2+1),dtype=float)
# chegaraviy shartlar
for i in range(N1+1):
x[i]=i*h1
u[i,0]=1+math.sin(x[i])
u[i,N2]=1+math.sin(x[i])
for j in range(N2+1):
y[j]=j*h2
u[0,j]=1+math.sin(y[j])
u[N1,j]=1+math.sin(y[j])
# Ichki nuqtalarni boshlang'ich qiymatlarini nol qilish
for i in range(1, N1):
for j in range(1, N2):
u[i, j] = 0 # boshlang'ich yaqinlashish
# Iteratsiya parametrlari
max_iter = 10000 # Maksimal iteratsiyalar soni
epsilon = 1e-3 # Aniqlik
# Gauss-Zeydel iteratsiyasi
for k in range(max_iter):
u0 = u.copy()
for i in range(1, N1):
for j in range(1, N2):
u[i,j] = (1-omega)*u0[i,j]+omega*(0.5*(h2**2*(u0[i+1,j]+u[i-1,j])
+h1**2*(u0[i,j+1]+u[i,j-1])-h1**2*h2**2*(-math.sin(x[i])*(1+math.sin(y[j]))-
math.sin(y[j])*(1+math.sin(x[i]))))/(h1**2+h2**2))
# xatolikni tekshirish](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_61.png)
![if np.max(np.abs(u - u0)) < epsilon:
print(u,'Iteratsiyalar soni:',k)
break
# aniq yechimni hisoblash
for i in range(N1+1):
for j in range(N2+1):
u1[i,j]=(1+math.sin(x[i]))*(1+math.sin(y[j]))
print('aniq yechim',u1)
# c normani aniqlash
deltac=np.max(np.abs(u - u1))
print('C norma',deltac)
# L2 normani aniqlash
deltal2=0
for i in range(1,N1+1):
for j in range(1,N2+1):
deltal2=deltal2+(u1[i,j]-u[i,j])**2
print('L2 norma',math.sqrt(deltal2))
# natijani excelga yozish
#u_df = pd.DataFrame(u, index=y, columns=x)
# Excel fayliga yozish
#u_df.to_excel("gauss_seidel_solution.xlsx", index=True)
#Natijaning oxirgi ustunini Excelga eksport qilish
# Grafik ko'rinishda natijani ko'rsatish
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, u, cmap='viridis')
# O'qlarni belgilash
ax.set_xlabel('X o\'qi')
ax.set_ylabel('Y o\'qi')](/data/documents/a5c56c3d-5904-48c8-a1af-81760066d999/page_62.png)
ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNI YECHISH UCHUN AYIRMALI SXEMALAR TUZISH Kirish ...................................................................................................... 1-Bob. Elliptik tipdagi tenglamalar ..................................................... 1.1 Elliptik tipdagi tenglamalar va ularni analitik yechish usullari........ 1.2 Elliptik tipdagi tenglamalarni sonli yechish usullari........................ 2-Bob. Elliptik tipdagi tenglamalarni sonli tadqiq qilish ................. 2.1 Puasson tenglamasini 1-tur chegaraviy shartlar yordamida Relaksatsiya usulidan foydalanib sonli yechish.................................... 2.2 Puasson tenglamasini 2-tur chegaraviy shartlarda Gauss-Zeydel va Relaksatsiya usulidan foydalanib yechish............................................. Xulosalar ............................................................................................... Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati .................................................... Ilovalar ..................................................................................................
Sharof Rashidov nomidagi Samarqand Davlat Universitetining Matematika fakulteti 4- kurs talabasi Abdullayev Ikromjonning « Elliptik tipdagi tenglamani yechish uchun ayirmali sxemalar tuzish » mavzusidagi bitiruv malakaviy ishiga ilmiy rahbar MULOHAZASI Mazkur bitiruv malakaviy ishi statsionar jarayonlar uchun chekli ayirmali sxemalar tuzishga bag’ishlangan. Statsionar jarayonlar uchun quyilgan chegaraviy masalani chekli ayirmali sxemalar tuzib Gauss-Zeydell va Relaksatsiya usullaridan foydalanib yechimlar olingan. Hisoblash tajribalari asosida olingan yechimlar aniq yechim bilan o’zaro taqqoslanildi va taqribi yechim xatoligi C va L 2 norma orqali baholangan . Relaksatsiya usuli orqali olingan yechimlar uchun shunday ω qiymatini topish mumkin ekanki shu topilgan qiymatda qolgan usullarga qaraganda Relaksatsiya usuli orqali olingan qiymatlar aniq yechimga ko’proq yaqilashi ko’rsatilgan. Bitiruv malakaviy ishi kirish qismi, ikki bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovadan iborat. Kirish qismida masalaning dolzarbligi, ilmiyligi, tadqiqot usullari, amaliy ahamiyati va qisqa anatatsiya berilgan. Birinchi bobda Elliptik tipdagi tenglamalar va ularni analitik yechish haqida malumotlar keltirilgan. Ikkinchi bobda Puasson tenglamasini Gauss-Zeydel va Relaksatsiya usullari bilan yechish haqida malumotlar berilgan. Taqdim etilayotgan bitiruv malakaviy ishi talab darajasidagi bakalavrlik ishi bo’lib, uning muallifi, 5130200 – «Amaliy matematika » yo’nalishi bo’yicha bakalavr akademik darajasini olishga munosibdir va yaxshi bahoga loyiq deb hisoblayman .
Ilmiy rahbar f.- m. f. d., prof. B. Xo’jayorov Sharof Rashidov nomidagi Samarqand Davlat Universitetining Matematika fakulteti 4- kurs talabasi Abdullayev Ikromjonning « Elliptik tipdagi tenglamani yechish uchun ayirmali sxemalar tuzish » mavzusidagi bitiruv malakaviy ishiga TAQRIZ Ushbu bitiruv malakaviy ishi statsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechishda chekli ayirmali sxemalardan foydalanishga bag’ishlangan. Masalani sonli yechish jarayonida approksimatsiyalash tartibini oshirish bilan xatolik mos kamayib boradi. Shu sababli ishni bajarish davomida Puasson tenglamasiga quyilgan chegaraviy masalani chekli ayirmalar usullari orqali yechib approksimatsiyalash tartiblari ko’rsatilgan. Ushbu masalani chekli ayirmali sxemalar yordamida approksimatsiya qilingan va yechish algoritmiga keltirilib python dasturlash tili muhitida dastur shakillantirilgan va natijalar olingan. Bitiruv malakaviy ishini bajarishdan olingan natijalar: quyilgan masala Gauss-Zeydel va Relaksatsiya usullari orqali yechilib olingan natijalar taqqoslangan. Sonli tajribalar shuni ko’rsatadiki, Relaksatsiya usulidan foydalanilgandaω ning shunday optimal qiymatini topish mumkin ekanki shu qiymatda sonli yechim xatoligi eng kam bo’lar ekan. Bitiruv malakaviy ishi kirish qismi, ikkita bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovadan iborat. Taqdim etilayotgan bitiruv malakaviy ish talab darajasidagi bakalavrlik ishi bo’lib, uning muallifi, 5130200 – «Amaliy matematika» yo’nalishi b’yicha bakalavr akademik darajasini olishga munosibdir va yaxshi bahoga loyiq deb hisoblayman
KIRISH Tabiatda issiqlik almanishinish jarayonlari ko’p uchraydi. Issiqlikni tarqalayotgan muhitiga bog’liq ravishda matematik modellari keltirib chiqarilgan va bu modelga quyilgan turli xil chegaraviy masalalar analitik yechib natijalar olingan. Lekin tabiatdagi issiqlik tarqalishi (jismning isishi yoki sovushi) jarayonlarini matematik modellashtirganimizda har doim ham aniq analitik yechimini topish mumkin bo’lgan tenglamalarga kelavermaydi. Shunday hollarda bu turdagi masalalar sonli yechishga to’g’ri keladi. Sonli yechishda biz avvalo masalaning matematik modelini to’g’ri tuzilganini tekshirishimiz zarur. Qaralayotgan masalani har xil sonli usullar bilan yechish mumkin. Ammo, hamma usullar ham kerakli aniqlikdagi yechimni beravermaydi. Bunday holatlarda tanlanayotgan chekli ayirmali sxemaning approksimatsiyalash tartibiga bog’liq bo’ladi. Bitiruv malakaviy ishining dolzarbligi. Statsionar jarayonlar uchun quyilgan chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar asosida sonli yechishda approksimatsiya aniqligi yechimda yo’l quyiladigan xatolikni baholaydi. Yechim turg’unlikni taminlagan holda approksimatsiya aniqligini oshirish dolzarb masala hisoblanadi. Bitiruv malakaviy ishning maqsadi. Elliptik tipdagi tenglamalarni yechishning maqsadi ushbu tenglamalar orqali ifodalangan fizik, tabiiy yoki muhandislik jarayonlari haqida aniq ma'lumotlarni olishdir. Bu jarayonlar muvozanat holatidagi tizimlarni tavsiflashda muhim ahamiyatga ega. Elliptik tenglamalarni yechish orqali biz quyidagilarni aniqlay olamiz: fizik va muhandislik tizimlaridagi potensiallarni aniqlash, muvozanat holatidagi harorat taqsimoti, suv oqimlari va gidrodinamikani tahlil qilish. Elliptik tipdagi tenglamalarni sonli yechish uchun tenglamani chekli ayirmali sxemalar yordamida approksimatsiya qilish. Puasson tenglamasini 1- va 2- tur chegaraviy shartlarda Gauss-Zeydel va relaksatsiya uslluridan foydalanib
taqribi yechish. Gauss-Zeydel usuli relaksatsiya usuliga qaraganda aniq yechimga tezroq yaqinlashishini ko’rsatish. Taqribi yechim aniq yechimga qanchalik yaqinlashganini normalar orqali aiqlash. Elliptik tipdagi tenglamalarni yechishning asosiy maqsadi — real dunyo tizimlaridagi muvozanat holatlarini batafsil tahlil qilish va tushunishdir. Bu tenglamalar orqali aniqlangan natijalar ilmiy tadqiqotlar, texnologik innovatsiyalar va muhandislik amaliyotlari uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Bitiruv malakaviy ishning vazifalari. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun turli xil chekli ayirmali sxemalar tuzish va ular asosida yechimlarni olib xatoliklarini baholash quyigilarni nazarda tutadi: Xoch shablondan foydalanib tenglamani approksimatsiya qilamiz. Gauss-Zeydel va Relaksatsiya usullari yordamida jarayonni algoritimlashtiramiz; Olingan algoritmlarga mos kompyuterda dastur tuzib natija olish; Ikkita usul asosida topilgan natijalarni jadval ko’rinishida taqqoslash; Berilgan usullardan olingan yechimlarni aniq yechim bilan taqqoslash va xatoliklarni baholash uchun 1- va 2 - tur normalarni aniqlash. Bitiruv malakaviy ishining amaliy ahamiyati. Elliptik tipdagi tenglamalar ko'plab tabiat hodisalarini modellashtirishda ishlatiladi. Ushbu tenglamalar odatda muvozanat holatidagi jarayonlarni tavsiflaydi, ya'ni vaqt bo'yicha o'zgarishlar ahamiyatsiz bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan holatlarni. Masalan, issiqlik uzatish, elektromagnit maydonlar, suv oqimlari va gidrodinamikasi h.k bu ishdagi olinayotgan aniqlikni barcha shu turdagi jarayonlar tenglamasini yechishda qo’llash mumkin. Bitiruv malakaviy ishining tuzilmasi. Malaka ishi kirish qismi, 2 ta bob, xulosa, foydalangan adabiyotlar ro’yxati va ilovalardan iborat.