logo
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. KARRALI XOSMAS INTEGRALLAR VA ULARNING TADBIQLARI

KARRALI XOSMAS INTEGRALLAR VA ULARNING TADBIQLARI

Загружено в:

20.11.2024

Скачано:

0

Размер:

111.83984375 KB
Скачать
KARRALI XOSMAS INTEGRALLAR VA ULARNING TADBIQLARI Mundarija : KIRISH…………………………………………………………………………… 4 I Bob. Karrali xosmas integrallar haqida umumiy tushunchalar …………... I.1-§. Karrali xosmas integral ta’rifi ……………… .…………………………… 6 I.2-§. Manfiymas funksiyadan olingan xosmas integral ……………………. 11 II bob. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishi .…………............ II.1-§. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari…………… 14 II.2-§. Karrali xosmas integrallarning absolyut yaqinlashishi ...………………… 18 II.3-§. Karrali xosmas integrallar va karrali qatorlar yaqinlashishi orasidagi bog’lanish……………………………………………………………....... 24 II.4-§. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishiga doir misollar …………… 30 III bob. Ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral……………. III.1-§. Ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral yaqinlashishi….. 36 III.2-§. Karrali xosmas integralning bosh qiymati…………………. 49 XULOSA………………………………………………………………………….. 60 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATI…………………………….ʻ 61 1 O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Fakultet: Matematika Kafedra: Matematik analiz O‘quv yili: 2020-2024 Bakalavr: G. Boboxonova Ilmiy rahbar: dots. B. Fayzullayeva Mutaxasisligi: Matematika “Karrali xosmas integrallar va ularning tadbiqlari” mavzusidagi bitiruv malakaviy ishiga ANNOTATSIYA Ushbu bitiruv malakaviy ishida matematik analiz sohasida nazariy izlanishlarda keng qo’llaniladigan karrali xosmas integrallar yaqinlashi va hisoblash masalari o’rganilgan. karrali xosmas integrallar yaqinlashishining taqqoslash alomatlari, absolyut yaqinlashishi, karrali xosmas integrallar bilam bog’liqligi, bosh qiymat masalalari keltirilgan va misollar asosida yoritilgan. Bundan tashqari karrali xosmas integrallar tadbiqlari o’rganilgan. ABSTRACT to the dissertation work on the subject “Multiple improper integrals and their applications” In this graduation thesis, the approximation and calculation problems of multiple improper integrals, which are widely used in theoretical research in the field of mathematical analysis, are studied. Comparison signs of convergence of multiple improper integrals, absolute convergence, relationship with multiple improper integrals, 2 principal value problems are given and explained on the basis of examples. In addition, applications of multiple improper integrals were studied. KIRISH Masalaning qo‘yilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishi analizning muhim, lekin kam tadqiq qilinadigan qismlaridan biri bo’lgan karrali xosmas integrallarni o’rganishga bag’ishlangan. Asosiy masala karrali xosmas integrallarning yaqinlashishi, parametrga bog’liq karrali xosmas integrallar, karrali xosmas integrallar va karrali qatorlar yaqinlashishi orasidagi bog’lanish, ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral yaqinlashishi, karrali xosmas integralning bosh qiymati kabi tushunchalarni o’rganish va ularga doir misollar yechishdan iborat. Mavzuning dolzarbligi. Matematik analizdagi nazariy izlanishlarda va fizik jarayonlarning matematik modelini tuzishda karrali xosmas integrallar mavzusi keng qo’llaniladi. Matematik fizikaning ko’pgina masalalarida ma’lum sohalarda berilgan funksiya xosmas integralining xarakterini o’rganishdan iborat. Bundan tashqari integral geometriya masalalarining Radon almashtirishlarining formulasi maxsuslikka ega bo’lgan funksiyalarning integralini o’rganish masalasiga keltiriladi. Bu kabi masalalar hisoblash masalasida ham uchraydi. Tadqiqotning obyekti va predmeti. Karrali xosmas integrallar, karrali xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi, karrali qatorlar, parametr, bosh qiymat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Bu ishda karrali xosmas integrallarni har tomonlama o’rganish maqsad qilib qo’yilgan. Karrali xosmas integrallarni hisoblash, ularning asimptotikasini va parametrga bog’liq misollar o’rganishdan iborat. Tadqiqotda qo‘llanilgan metodikaning tavsifi. Mazkur bitiruv malakaviy ishida matematik analiz, chiziqli algebra, oddiy differensial tenglamalar, kompleks 3 o‘zgaruvchili funksiyalar, funksianal analiz va matematik fizika tenglamalari fanlaridagi usullardan foydalanildi. Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Bitiruv malakaviy ishi uchta bob, sakkizta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Teorema va natijalar hamda formulalar bob, paragraf va tartib raqami bo‘yicha nomerlangan. 4 I bob. Karrali xosmas integrallar haqida umumiy tushunchalar. I.1-§. Xosmas integral ta'rifi . Amaliyotda muhim bo'lgan masalalarni yechish uchun integralni chegaralangan soha bo'yicha hisoblashni bilish yetarli. Ammo nazariy izlanishlarda chegaralanmagan soha, xususan, butun fazo bo'yicha ham integrallashga to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, bunda olingan natijalar ko'pincha amaliy masalalarni yechishda ham foydali bo'ladi. Avval R n fazosida funksiyani integrallash masalasini ko'rib chiqaylik. Ushbu paragrafda biz, bunga ba'zan alohida urg'u bermasdan, f funksiyani Rn fazosida aniqlangan va istalgan kublanuvchi ( n=2 bo'lganda kvadratlanuvchi) Ω ⊂ R n sohada integrallanuvchi deb faraz qilamiz. Bunday funksiyalarni Rn da lokal integrallanuvchi deb ham ataymiz. Bir o'zgaruvchili holda, R to'g'ri chiziq bo'yicha integrallash masalasini yechishda, avval istalgan [a,b] kesma bo'yicha integrallanib, so'ngra a→ −∞ va b→ +∞ deb, limitga o'tilgan edi. Boshqacha aytganda, [ a k , b k ] ⊂ [ a k + 1 , b k + 1 ] va lim ¿ k → ∞ [ a k , b k ] = R ¿ xossalarga ega bo'lgan [ a k , b k ] kesmalar ketma-ketligiga o'tilgan edi. Agar bunda hosil bo'lgan integrallar ketma-ketligi limitga ega bo'lsa, ana shu limit R to'g'ri chiziq bo'yicha olingan xosmas integral deb atalgandi. Ko'p o'zgaruvchili holda ham xuddi shu yo'lni tutishimiz mumkin. Tabiiyki, bunda I ( Ω k ) = ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ( 1.1 .1 ) 5 integrallar ketma-ketligini qarab, Ω k sifatida kengayib borib, limiti Rn fazosini batamom to'ldiruvchi (biz qamrab oluvchi degan jumlani ishlatamiz) kublanuvchi sohalar ketma-ketligini olish kerak. Ammo, bir o'lchovli holdan farqli o'laroq, ko'p o'lchovli fazo fazoni qamrab oluvchi to plamlar ketma-ketligiga ancha boy. Masalan, ikki o'lchovli holda tekislikni qamrab oluvchi to'plamlar ketma-ketligi sifatida markazi koordinatalar boshida bo'lib, radiusi cheksizga intiluvchi doiralar ketma- ketligini olish mumkin. Xuddi shu singari, markazi koordinatalar boshida bo'lib, tomonlari uzunligi cheksizga intiluvchi kvadratlar ketma-ketligini ham olsa bo'ladi. Lekin, agar faqat shunday ketma-ketliklar bilan cheklanib qolsak, biz bir qator muammolarga duch kelamiz. Masalan, shunday funksiya tuzish mumkinki, u uchun bu limitlardan biri mavjud bo'lib, ikkinchisi esa mavjud bo'lmaydi. Yoki bo'lmasa, shunday funksiya ko'rsatish mumkinki, u uchun bu limitlarning har ikkalasi mavjud bo'lsada, ular o'zaro farq qiladi. Masalan, agar { Ω k } lar R2 fazoni qamrab oluvchi kengayuvchi kvadratlar ketma-ketligi bo'lsa, quyidagi limk→∞∬Ωk ❑ sin ⁡(x2+y2)dxdy limit mavjud bo'ladi. Lekin, agar { Ω k } lar R2 fazoni qamrab oluvchi kengayuvchi doiralar ketma-ketligi bo'lsa, u holda yuqoridagi limit mavjud bo'lmaydi. Bunday hollarni istisno qilish uchun, (1.1.1) ketma-ketliklar limitining R n ni qamrab oluvchi har qanday { Ω k } to plamlar ketma-ketligi uchun mavjudligini talab qilish yetarlidir. Xosmas integralning klassik ta'rifida Rn ni qamrab oluvchi to'plamlar sifatida kublanuvchi (ikki o'lchovli holda - kvadratlanuvchi) sohalar, ya'ni bog'langan ochiq to'plamlar olinadi. Biz ham shu yo'lni tutamiz. 1.1.1-ta'rif. Faraz qilaylik, Ω k ⊂ R n sohalarning {Ωk}k=1 ∞ ketma-ketligi quyidagi ikki shartni qanoatlantirsin: 6 1. har bir Ω k soha Ω k + 1 sohada yotsin, ya'ni:Ωk⊂Ωk+1;(1.1 .2) 2. barcha Ωk sohalarning birlashmasi R n fazosini batamom to 'ldirsin, ya'ni: ¿k=1¿∞❑ Ωk= Rn.(1.1 .3) u holda bunday ketma-ketlik Rn fazosini qamrab oladi deymiz. Masalan, Rk radiusli bir-birining ichida joylashgan sharlar ketma-ketligi, Rk sonlar ketma- ketligi o'sib borib, cheksizlikka intilganda, Rn fazosini qamrab oladi. 1.1.1-eslatma. Agar { Ω j } sohalar ketma-ketligi Rn fazosini qamrab olsa, u holda istalgan K ⊂ Rn kompakt to' plam uchun shunday N nomer topiladiki, j ≥ N bo'lganda K ⊂Ω j munosabat o'rinli bo'ladi. Haqiqatan, agar bunday bo'lmasa, shunday xj∈K nuqtalar ketma-ketligi topilar ediki, u uchun xj∉Ω j,j=1,2 ,… bo'lar edi. Bu nuqtalar ketma-ketligidan, K to'plamning kompaktligiga ko'ra, biror x 0 ∈ K nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy xjk ketma-ketlik ajratish mumkin. (1.1.3) shartga asosan esa, shunday Ω m soha topiladiki, x 0 nuqta o'zining biror atrofi bilan Ω m sohada yotadi. U holda, biror nomerdan boshlab x j k ketma-ketlikning barcha nuqtalari ham Ωm da yotadi, demak, (1.1.2) ga binoan, bu nuqtalar j k ≥ m bo'lganda Ω j k sohada yotadi. Bu esa x j ketma- ketlikning tanlanishiga ziddir. Xuddi bir karralik integral holidagidek, quyidagi ∫ R n ❑ f ( x ) dx ( 1.1 .4 ) 7 simvol bilan f funksiyadan Rn fazosi bo'yicha olingan (birinchi tur) xosmas integralni belgilaymiz. 1.1.2-ta’rif. Agar f lokal integrallanuvchi funksiya bo'lib, Rn fazosini qamrab oluvchi har qanday kublanuvchi { Ω k } ketma-ketlik uchun lim k → ∞ ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ( 1.1 .5 ) limit mavjud bo'lsa, u holda (1.1.4) xosmas integral yaqinlashadi deyiladi. Bunda f funksiyaga R n fazo bo'yicha (xosmas ma'noda) integrallanuvchi deymiz. Agar (1.1.5) limit mavjud bo'lmasa, (1.1.4) integralni uzoqlashadi deymiz. 1.1.2 - eslatma. Bu ta'rifda har bir Ωk soha kublanuvchi va demak, chegaralangan. Bundan chiqdi, bunday sohada olingan integral oddiy aniq (xos) integral bo'ladi. 1.1.3 - eslatma. Agar f funksiya Rn bo yicha integrallanuvchi bo'lsa, u holda (1.1.4) limit qamrab oluvchi { Ω k } sohalarining tanlanishiga bog'liq emas. Haqiqatan, agar bunday bo'lmasa, Rn ni qamrab oluvchi shunday ikki { Ω k' } va { Ω k' ' } sohalar ketma-ketligi topilar ediki, ularga mos (1.1.5) integrallar limiti o'zaro teng bo'lmas edi: lim k → ∞ I ( Ω k' ) = α ≠ β = lim k → ∞ I ( Ω k' ' ) Lekin, 1.1.1. - eslatmaga ko'ra, R n ni qamrab oluvchi { Ω k } sohalar ketma- ketligini shunday tuzish mumkinki, bunda {Ω2k−1} elementlar { Ω m' } ketma-ketlikning biror qismiy ketma-ketligi, { Ω 2 k } lar esa, { Ω m' ' } ketma-ketlikning biror qismiy ketma-ketligi bo'ladi. Ravshanki, bunday { Ω k } lar uchun mos (1.1.5) sonli ketma-ketlik ikki xil limitga ega: limk→∞I(Ω2k−1)=α,limk→∞I(Ω2k)= β bundan chiqdi, {I(Ωk)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lmas ekan. Bu esa xosmas integralning yaqinlashish ta'rifiga ziddir. 8 Shunday qilib, agar (1.1.5) limit Rn ni qamrab oluvchi ixtiyoriy sohalar ketma-ketligi uchun mavjud bo'lsa, u holda bu limit sohalar ketma-ketligining tanlanishiga bog'liq bo'lmaydi. Bu limit f funksiyadan Rn fazo bo yicha olingan xosmas integral deyiladi va ushbu ∫ R n ❑ f ( x ) dx = lim k → ∞ ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ( 1.1 .6 ) ko'rinishda belgilanadi. E'tibor bering, (birinchi tur) xosmas integral deb (1.1.4) simvolga ham, (1.1.6) limitga (bu limit mavjud bo'lganda) teng songa ham aytilar ekan. 1.1.1 - teorema. Agar f va g funksiyalardan R n bo'yicha olingan xosmas integrallar mavjud bo'lsa, u holda istalgan haqiqiy λ va μ sonlar uchun λf + μg funksiyadan olingan xosmas integral ham. mavjud bo'lib, quyidagi ∫ Rn❑ [λf (x)+μg (x)]dx = λ∫ Rn❑ f(x)dx +μ∫ Rn❑ g(x)dx tenglik bajariladi. Isbot . Xos integrallarning integral ostidagi funksiyaga chiziqli bog'liqligi hamda limitga o'tish amalining chiziqliligidan oson kelib chiqadi. I.2-§. Manfiymas funksiyadan olingan xosmas integral . Agar ta'rifga qat'iy amal qilsak, (1.1.4) xosmas integralni yaqinlashishini isbotlash uchun (1.1.5) limitning barcha qamrab oluvchi { Ω k } ketma-ketliklar uchun mavjudligini ko'rsatish kerak. Ammo manfiymas funksiyalar uchun xosmas integralning yaqinlashishi ancha oson tekshiriladi. 1.2.1 - teorema. Agar R n da lokal integrallanuvchi f funksiya manfiymas bo'lib, I(Ωk)=∫Ωk ❑ f(x)dx sonli ketma-ketlik Rn ni qamrab oluvchi { Ω k } sohalarni aqalli bitta tanlashda chegaralangan bo'lsa, u holda (1.1.4) integral yaqinlashadi. 9 Isbot. Faraz qilaylik, I(Ωk) sonli ketma-ketlik R n ni qamrab oluvchi biror ketma-ketlik uchun chegaralangan bo'lsin. Ta'rifga ko' ra , Ω k sohalar kengayadi va teorema shartiga ko'ra, f funksiya manfiymas. Shunday ekan, I(Ωk) ketma-ketlik o'suvchi, demak, chekli lim k → ∞ I ( Ω k ) = I limit mavjud. Bundan tashqari, istalgan k nomer uchun I(Ωk)≤I(1.2 .1) tengsizlik o'rinli. Endi Rn ni qamrab oluvchi boshqa bir { Ω j' } ketma-ketlik olaylik. Yuqorida qayd qilinganidek, istalgan j nomer uchun shunday k nomer topiladiki, Ω j'⊂Ωk bo'ladi va integral ostidagi funksiya manfiymas bo'lgani uchun, I ( Ω j' ) ≤ I ( Ω k ) . Demak, (1.2.1) ga ko'ra, istalgan j nomer uchun I(Ω j')≤I tengsizlik bajariladi. bundan chiqdi, { I ( Ω j' )} sonli ketma-ketlik o'suvchi va chegaralangan, demak, u yaqinlashadi. Shunday qilib, (1.1.5) limit istalgan qamrab oluvchi { Ω k } ketma-ketlik uchun mavjud. Bu esa (1.1.4) xosmas integralning yaqinlashishini anglatadi. 1.2.1-natija. Faraz qilaylik, f va g funksiyalar R n da lokal integrallanuvchi bo'lib, 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) shartni qanoatlantirsin. Agar g funksiyadan R n bo'yicha olingan xosmas integral yaqinlashsa, u holda f funksiyadan olingan xosmas integral ham yaqinlashadi. Haqiqatan, ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ≤ ∫ Ω k ❑ g ( x ) dx 10 tengsizliklarga ko'ra, agar o'ng tomondagi integrallar ketma-ketligi yaqinlashsa, u holda chap tomondagi integrallar ketma-ketligi chegaralangan bo'ladi, demak, 1.2.1 - teoremaga asosan, yaqinlashadi. 1.2.1 - misol. p∈R ning qanday qiymatlarida I p = ∫ R n ❑ dx 1 + ¿ x ¿ p ( 1.2 .2 ) integral yaqinlashishini aniqlang. Quyidagi Ω k = { x ∈ R n : ∨ x ∨ ¿ k } sharlar ( n = 2 da doiralar) ketma-ketligini qaraylik. Ravshanki, Ωk ketma-ketlik R n ni qamrab oladi. (1.1.1) integrallarni hisoblash uchun sferik koordinatalar sistemasiga o'tamiz, ya'ni quyidagi formulalardan foydalanamiz 1.2.1-natija. Faraz qilaylik, chegarasi ∂ Ω = {( r , θ ) : r = R ( θ ) , θ ∈ ∑ ❑ n − 1 } munosabat bilan aniqlangan, kublanuvchi Ω soha { x 1 = r sin θ 1 sin θ 2 … sin θ n − 1 x 2 = r cos θ 1 sin θ 2 … sin θ n − 1 … x n = r cos θ n − 1 Funksiyalar sistemasi orqali kublanuvchi E∈Rn sohaga homeomorf akslantirilsin. Agar f ( x ) funksiya E sohada integrallanuvchi bo'lsa, u holda f ( r , θ ) funksiya Ω sohada integrallanuvchi bo’lib, quyidagi ∫ E❑ f ( x ) dx = ∫ 02 π d θ 1 ∫ 0π d θ 2 … ∫ 0π φ ( θ ) d θ n − 1 ∫ 0R ( θ ) f ( r , θ ) r n − 1 d r tenglik bajariladi. Ip(Ωk)=∫Ωk ❑ dx 1+¿x¿p=ωn∫0 k ❑ rn−1dr 1+rp Agar p>n bo'lsa, oxirgi bir karrali integral k bo'yicha chegaralangan. Shunday ekan, 1.2.1 - teoremaga ko'ra, (1.2.2) integral p>n da yaqinlashadi va p≤n da uzoqlashadi. II bob. Karrali xosmas integrallar yaqinlashishi. 11 II.1-§. Karrali xosmas integrallar yaqinlashish alomatlari. Taqqoslash alomatlari. Yuqorida o'rnatilgan manfiymas funksiyalardan olingan xosmas integrallar xossalari yordamida xosmas integrallar yaqinlashishining taqqoslash alomatlari deb ataluvchi, yetarli shartlarini aniqlash mumkin. 2.1.1 – teorema. (taqqoslashning umumiy alomati). Faraz qilaylik, f va g funksiyalar R n da lokal integrallanuvchi bo'lib, quyidagi ¿ f ( x ) ∨ ≤ g ( x ) shartni qanoatlantirsin. Agar g funksiyadan Rn bo'yicha olingan xosmas integral yaqinlashsa, u holda f dan olingan xosmas integral ham yaqinlashadi. Isbot. Ikki f+¿(x)=|f(x)|+f(x) 2 ,f−¿(x)=|f(x)|−f(x) 2 ¿(2.1.1) ¿ manfiymas funksiyalarni kiritaylik. Ushbu funksiyalar lokal integrallanuvchi bo'lib, 0≤ f±(x)≤∨ f(x)∨≤g(x) tengsizliklar bajariladi. 1.2.1 - teoremaning natijasiga ko'ra, har ikki f ± funksiyalar Rn da xosmas ma'noda integrallanuvchi, demak, 1.1.1 - teoremaga ko'ra, f= f+¿−f−¿¿¿ funksiya ham integrallanuvchi bo'ladi. 2.1.2 - teorema (taqqoslashning xususiy alomati). Faraz qilaylik, f funksiya Rn da lokal integrallanuvchi bo'lsin. 1. Agar ¿ f ( x ) ∨ ≤ C 1 + ¿ x ¿ p , p > n shart bajarilsa, (1.1.4) xosmas integral yaqinlashadi. 2. Agar 12 f ( x ) ≥ C 1 + ¿ x ¿ p , p ≤ n shart bajarilsa, (1.1.4) xosmas integral uzoqlashadi. Isbot. 2.1.1 - teorema va 1.2.1 - misoldan kelib chiqadi.n karrali xosmas integralga muhim misollardan biri quyidagi Pn=∫ Rn❑ e−(x12+x22+…+xn2)dx1dx2… dxn(2.1 .2) integraldir. Taqqoslashning xususiy alomatidan bu integralning yaqinlashishi kelib chiqadi. Shuni aytish kerakki, bir o'zgaruvchili holda P1= ∫−∞ ∞ ❑ e−x2dx (2.1 .3) integralni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash oson emas, chunki integral ostidagi funksiyaning boshlang'ich funksiyasi elementar funksiya bo'lmaydi. Biz (2.1.2) integralni hisoblashni n=2 holdan boshlaymiz. 2.1.1 - misol . Ikki karrali quyidagi P2=∫ R2❑ e−(x2+y2)dxdy (2.1 .4) xosmas integralni hisoblang. R 2 tekislikni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Dk= {(x,y)∈R2:x2+y2<k2} doiralarni olamiz. Qutb koordinatalariga otib, P2(Dk) ¿∫Dk ❑ e−(x2+y2)dxdy =∫0 2π ❑ dφ ∫0 k ❑ e−r2rdr =¿=− 2π⋅1 2e−r2 |r=0 r=k = π(1−e−k2) tenglikka ega bo'lamiz. Demak, P 2 = lim k → ∞ P 2 ( D k ) = π 13 ya'ni ∫ R 2 ❑ e −( x 2 + y 2 ) dxdy = π 2.1.2 - misol. Bir o'lchovli (2.1.3) integralni hisoblang. Avval ikki karrali (2.1.4) integralni, R 2 tekislikni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Q k = {( x , y ) ∈ R n : | x| < k , ∨ y ∨ ¿ k } kvadratlarni olib, hisoblaymiz. Ma'lumki, P2(Qk)=∫ Qk ❑ e−(x2+y2)dxdy = ¿=∫ −k k ❑ e−x2dx ∫ −k k ❑ e−y2dy =(∫ k k ❑ e−x2dx ) 2 Endi k→ ∞ deb limitga o'tsak, P2= P12 tenglikni olamiz. Demak, P1= ∫−∞ ∞ ❑ e−x2dx =√π 2.1.3 - misol. n karrali (2.1.2) xosmas integralni hisoblang. Rn fazoni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Q k = { x ∈ R n : | x j | < k , j = 1,2 , … , n } kublarni olamiz. U holda Pn(Qk)=∫Qk ❑ e−(x12+x22+…+xn2)dx1dx2… dxn=¿ ¿ ∫ − kk ❑ e − x 1 2 d x 1 ∫ − kk ❑ e − x 22 d x 2 … ∫ − kk ❑ e − x n2 d x n = ( ∫ − kk ❑ e − x 2 dx ) n Endi k→ ∞ deb limitga o'tsak, P n = P 1 n = √ π n tenglikka kelamiz. Demak, 14 ∫ R n ❑ e −( x 1 2 + x 22 + … + x n2 ) d x 1 d x 2 … d x n = π n 2 ( 2.1 .5 ) II. 2- §. Xosmas integrallarning absolyut yaqinlashishi. Bir o'zgaruvchili holdagiga o'xshash karrali xosmas integrallar uchun ham absolyut yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin. 2.2.1-ta'rif. Agar quyidagi ∫ Rn❑|f(x)|dx (2.2 .1) integral yaqinlashsa, (1.1.4) xosmas integral absolyut yaqinlashadi deyiladi. Bevosita 2.1.1. - teoremadan lokal integrallanuvchi funksiyadan olingan absolyut yaqinlashuvchi xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi. Shartli yaqinlashuvchi xosmas karrali integral tushunchasini ham, odatdagidek, yaqinlashuvchi, lekin absolyut yaqinlashmaydigan xosmas integral deb kiritsa bo'lar edi. Lekin bunday integral mavjud emas. Bunga sabab R n ni qamrab oluvchi sohalar ketma- ketligini tanlash imkoniyatining kengligidadir. Chunonchi, biz shunday qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligini tuzishimiz mumkinki, bunda tuzilgan sohalarning katta qismi berilgan f funksiyaning musbat bo'lgan to'plami bilan ustma-ust tushadi. Bunday to'plamda f ( x ) = ¿ ¿ f ( x ) ∨ ¿ tenglik bajarilib, f dan olingan integralning yaqinlashishi ¿f∨¿ dan olingan integralning ham yaqinlashishini ta'minlaydi. Navbatdagi teorema bu mulohazalarimizning asosli ekanini ko'rsatadi. 2.2.1 - teorema. Yaqinlashuvchi xosmas karrali integral absolyut yaqinlashadi. Isbot. (1.1.4) integral yaqinlashsin deb faraz qilib, (2.2.1) integralning ham yaqinlashishini isbotlaymiz. Haqiqatan, agar bunday bo'lmasa, (2.1.1) funksiyalarning biridan, masalan, f + ¿ ( x ) ¿ dan olingan xosmas integral uzoqlashadi. Rn ni qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligi sifatida radiusi monoton ravishda + ∞ ga intiluvchi 15 Ω k ={ x ∈ R n : ∨ x ∨ ¿ R k } , k = 1,2,3 , … sharlar ketma-ketligini olamiz. Xosmas integral yaqinlashishining ta'rifidan (6) limitning mavjudligi kelib chiqadi. Boshqa tomondan, f+¿¿ dan olingan xosmas integralni uzoqlashadi deb faraz qilganimiz uchun, 1.2.1 - teoremaga ko'ra, limk→∞∫Ωk ❑ f+¿(x)dx=+∞¿ L k orqali Lk= {x∈Rn:Rk≤∨ x∨¿Rk+1},k=1,2,3 ,… ko'rinishdagi shar qatlamini ( n = 2 da doiraviy xalqani) belgilaymiz va o'suvchi { R k } ketma-ketlikni quyidagi ∫Lk ❑ f+¿(x)dx>k¿(2.2 .2) shartni qanoatlantiradigan qilib tanlab olamiz. Endi quyidagicha yo'l tutish mumkin edi. Ya'ni, Pk orqali L k qatlamning f funksiya musbat bo'lgan nuqtalari to'plamini belgilab, bu to'plam ochiq, bog'langan va kublanuvchi bo'lsin deb faraz qilamiz. U holda ~ Ω k = Ω k ∪ P k sohalar ketma-ketligi ham qamrab oluvchi bo'lib, kublanuvchi to'plamlardan iborat bo'ladi. Shunday ekan, f funksiyadan ~Ωk sohalar bo'yicha olingan integrallar ketma-ketligi ham yaqinlashadi. Bundan chiqdi, ~Ωk∖Ωk= Pk sohalar bo'yicha olingan integrallar ketma-ketligi ham yaqinlashishi kerak. Lekin bu (2.2.2) ga zid, chunki x∈Pk uchun f + ¿ ( x ) = f ( x ) ¿ tenglik bajariladi va demak, ∫Pk ❑ f(x)dx =∫Pk ❑ f+¿(x)dx=∫Lk❑f+¿(x)dx>k.¿¿ Ammo bu mulohazalarning kamchiligi shundaki, f + ¿ ( x ) > 0 ¿ shart o'rinli bo'lgan Pk to'plam ochiq, bog'langan va kublanuvchi bo'lmasligi mumkin. Shu sababli, teoremani isbotlash uchun qo'shimcha mulohazalar yuritish zarur. L k shar qatlamining bog'langan kublanuvchi to'plamlardan iborat bo'lgan shunday { E j } j = 1m bo'linishini olamizki, bunda (2.2.2) ning chap tomonidagi integral uchun Darbuning quyi 16 yig'indisi shu integraldan 1 sonidan kamga farq qilsin (bo'linish diametrini yetarlicha kichik qilib tanlab, bunga doim erishish mumkin). U holda, mj¿ desak, (2.2.2) dan ∑ j = 1N ❑ m j ¿ baho kelib chiqadi. Ushbu F k = ¿ j ¿ ' ❑ E j to'plamni qaraylik, bu yerdagi shtrix yig'indining mj¿ baho bajarilgan to'plamlar bo'yicha olinayotganini bildiradi. Ushbu to'plam kublanuvchi va unda f + ¿ ¿ funksiya qat'iy musbat. Bundan chiqdi, barcha x∈Fk lar uchun f + ¿ ( x ) = f ( x ) ¿ tenglik o'rinli. Ma'lumki, Darbuning quyi yig'indisi integraldan oshib ketmaydi. Demak, (2.2.3) ga ko'ra, ∫Fk ❑ f(x)dx ≥∑j ' ❑ m j¿ Hajmi nolga teng bo'lgan ∂Fk chegarani chiqarib tashlab, Fk to'plamni ochiq qilib olishimiz mumkin. Hosil bo'lgan to'plamga uni Ω k shar bilan tutashtiruvchi radial ravishda joylashgan yetarlicha tor ko'pyoqlilarni qo'shib, shunday kublanuvchi H k⊂ Lk to'plamni olamizki, bunda Ω k ∪ H k to'plam ochiq va bog'langan bo'ladi. Tutashtiruvchi ko'pyoqlilarda f funksiya manfiy bo'lib, (2.2.4) tengsizlik buzilishi mumkin. Lekin bu ko'pyoqlilarni shunchalik tor qilib tanlash mumkinki, natijada ∫Hk ❑ f(x)dx >k− 2(2.2 .5 ) tengsizlik bajariladi. Endi quyidagi Ω k' = Ω k ∪ H k kengayuvchi sohalar ketma-ketligini qaraylik. 17 Har ikki { Ω k } va { Ω k' } ketma-ketlik Rn fazosini qamrab oladi. Demak, f funksiyadan olingan xosmas integralning yaqinlashishiga ko'ra, limk→∞∫Ωk ❑ f(x)dx = limk→∞∫ Ωk'❑ f(x)dx limitlar mavjud va o'zaro teng. Ammo bu, (18) ga ko'ra o'rinli bo'lgan quyidagi ∫ Ωk'❑ f(x)dx −∫Ωk ❑ f(x)dx =∫Hk ❑ f(x)dx >k−2 tengsizlikka ziddir. Hosil bo'lgan ziddiyat absolyut yaqinlashmaydigan integralning umuman yaqinlashmasligini isbotlaydi. 2.2.1 - misol. Ushbu I = ∫ R 2 ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy ( 2.2 .6 ) ikki karrali xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring. Qamrab oluvchi ketma-ketlik elementlari sifatida Ω k = {( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < R k2 } doiralarni olamiz. Qutb koordinatalariga o'tsak, ∫ Ω k ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy = 2 π ∫ 0R k ❑ sin ⁡ ρ 2 ρ 2 ρdρ = π ∫ 0R k2 ❑ sin ⁡ t t dt tenglikka kelamiz. Oxirgi bir karrali integralning limiti mavjud bo'lib, u π/2 ga teng. Demak, lim k → ∞ ∫ Ω k ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy = π 2 2 ( 2.2 .7 ) Shunday qilib, kengayuvchi doiralar ketma-ketligiga mos kelgan integrallar limiti π2/2 ga teng ekan. Shu faktga asoslanib, (2.2.6) integralni yaqinlashadi deya olamizmi? Yo'q, chunki ta'rifga ko'ra, qayd qilingan limit qamrab oluvchi ketma-ketliklarni ixtiyoriy tanlashda ham mavjud bo'lishi kerak.(2.2.6) integralning yaqinlashish masalasini hal 18 qilish uchun barcha qamrab oluvchi ketma-ketliklarda yaqinlashishni tekshirish o'rniga, 2.2.1 - va 1.2.1 - teoremalardan foydalanamiz. Buning uchun integral ostidagi funksiya modulidan olingan integralni aqalli bitta qamrab oluvchi ketma-ketlik uchun tekshirish yetarli. Haqiqatan, Ω k sifatida yana yuqoridagi doiralar ketma-ketligini olsak,∫Ωk ❑ |sin ⁡(x2+y2)| x2+y2 dxdy =2π∫0 Rk ❑ |sin ⁡ρ2| ρ2 ρdρ = π∫0 Rk2 ❑ ¿sin ⁡t∨ ¿ tdt ¿ tenglikka kelamiz. Ma'lumki, oxirgi bir karrali integral R k → ∞ da + ∞ ga intiladi, demak, (2.2.6) integral absolyut yaqinlashmaydi. Bundan chiqdi, u umuman yaqinlashmas ekan. II. 3-§. Karrali xosmas integrallar bilan karrali sonli qatorlar yaqinlashishi orasidagi bog'liqlik. Bir o'zgaruvchili holda sonli qator yaqinlashishining Koshi-Makloren alomati mos birinchi tur xosmas integral yaqinlashishiga asoslangan edi Xuddi shu singari yaqinlashish alomati karrali sonli qatorlar uchun ham o'rinli. Faraz qilaylik, Q = {( x , y ) ∈ R 2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 } kvadratda aniqlangan ikki o'zgaruvchili f ( x , y ) funksiya har bir argumenti bo'yicha monoton kamaysin: f(x+ξ,y+η)≤ f(x,y),(x,y)∈Q ,ξ≥0,η≥0 (2.3 .1) Bu funksiya lokal integrallanuvchi bo'lgani uchun biz quyidagi I=∬Q ❑ f(x,y)dxdy =∫0 ∞ ❑ ∫0 ∞ ❑ f(x,y)dxdy (2.3 .2) birinchi tur xosmas integralni qarashimiz mumkin. Bu integral bilan birga ushbu S = ∑ k = 0∞ ❑ ∑ m = 0∞ ❑ f ( k , m ) ( 2.3 .3 ) ikki karrali qatorni olaylik. 19 E'tibor bering, bir o'zgaruvchili holdan farqli o'laroq, (2.3.3) qator yaqinlashishi jamlanishning qaysi nomerdan boshlab amalga oshirilishiga bog'liq. Masalan, (2.3.3) qator uzoqlashsada, S = ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ f ( k , m ) ( 2.3 .4 ) qator yaqinlashishi mumkin. Misol sifatida koordinata o'qlarida birga va o'qlardan tashqarida nolga teng f funksiyani olish kifoya. Navbatdagi tasdiq o'rinli. 2.3.1- teorema. Faraz qilaylik, Q kvadratda aniqlangan manfiymas f funksiya (2.3.1) monotonlik shartini qanoatlantirsin. 1. Agar (2.3.2) integral yaqinlashsa, (2.3.4) sonli qator ham yaqinlashadi. 2.Agar (2.3.2) integral uzoqlashsa, (2.3.3) sonli qator ham uzoqlashadi. 3.Yaqinlashuv o'rinli bo'lgan holda navbatdagi ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ f ( k , m ) ≤ ∬ Q ❑ f ( x , y ) dxdy ≤ ∑ k = 0∞ ❑ ∑ m = 0∞ ❑ f ( k , m ) ( 2.3 .5 ) tengsizliklar bajariladi. Isbot. Butun koordinatali har qanday (k,m)∈Q nuqta uchun navbatdagi Q ( k , m ) = {( x , y ) ∈ R 2 : k ≤ x < k + 1 , m ≤ y < m + 1 } birlik kvadratni qaraymiz. Ma'lumki, bunday kvadratlar o'zaro kesishmaydi va ularning birlashmasi butun Q kvadratni qoplaydi: ¿ k , m = 0 ¿ ∞ ❑ Q ( k , m ) = Q ( 2.3 .6 ) (2.3.1) monotonlik shartiga ko'ra, Q ( k , m ) kvadratning har bir nuqtasida f ( k + 1 , m + 1 ) ≤ f ( x , y ) ≤ f ( k , m ) , ( x , y ) ∈ Q ( k , m ) tengsizlik o'rinli. Bu tengsizliklarni Q ( k , m ) kvadrat bo'yicha integrallab, kvadrat yuzi 1 ga tengligini hisobga olsak, quyidagi 20 f(k+1,m+1)≤ ∬Q(k,m) ❑ f(x,y)dxdy ≤ f(k,m)munosabatga kelamiz. Bu tengsizliklarni barcha k≥0 va m≥0 lar bo'yicha yig'ib, (2.3.6) ni hisobga olsak, teorema tasdig'iga va talab qilingan (2.3.5) munosabatga ega bo'lamiz. 2.3.1-eslatma. Odatda, (2.3.2) xosmas integral yaqinlashishi biror R>0 radiusli shardan tashqarida, ya'ni x2+y2≥R2 da tekshiriladi. 2.3.1 - misol. Ushbu ∑k=1 ∞ ❑ ∑m=1 ∞ ❑ 1 (k2+m2)α/2 (2.3 .7) ikki karrali qator α>0 ning qaysi qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang. Agar f ( x , y ) = { 1 ( x 2 + y 2 ) α / 2 , x 2 + y 2 ≥ 1 1 , x 2 + y 2 < 1 desak, shubhasiz ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ f ( k , m ) = ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ 1 ( k 2 + m 2 ) α 2 ( 2.3 .8 ) tenglik bajariladi. Bundan tashqari, agar ζ(α) Riman dzeta-funksiyasi bo'lsa, ∑k=0∞ ∑m=0 ∞ f(k,m)=1+∑k=1∞ 1 kα+∑m=1 ∞ 1 mα+∑k=1∞ ∑m=1 ∞ 1 (k2+m2)α/2=¿ ¿ 1 + 2 ζ ( α ) + ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ 1 ( k 2 + m 2 ) α 2 ( 2.3 .9 ) f funksiyadan Q kvadratning birlik doiradan tashqaridagi qismi bo'yicha olingan integralni baholaymiz. Buning uchun qutb koordinatalariga o'tsak, 21 ∬ x 2 + y 2 ≥ 1 ❑ dxdy( x 2 + y 2 ) α / 2 = 2 π ∫ 1∞ ❑ ρdρ ρ α tenglikka ega bo'lamiz. Bu integral α>2 da yaqinlashadi, demak, 2.3.1 - teoremaga ko'ra, (2.3.7) qator α > 2 da yaqinlashadi. Agarda α≤2 bo'lsa, integral uzoqlashadi va shuning uchun (2.3.9) qator uzoqlashadi. Bundan (2.3.7) qatorning α ≤ 2 da uzoqlashishi kelib chiqadi. Xususan, navbatdagi qator uzoqlashadi: ∑ k = 1∞ ❑ ∑ m = 1∞ ❑ 1 k 2 + m 2 = + ∞ Xuddi ikki karrali qator singari aniqlanadigan n karrali qatorlar uchun ham yuqoridagi natija o'rinli. Butun k j ≥ 1 koordinatali k = ( k 1 , k 2 , … , k n ) vektorni kiritaylik. Agar a k haqiqiy sonlar bo'lsa, S = ∑ k 1 = 1∞ ❑ ∑ k 2 = 1∞ ❑ … ∑ k n = 1∞ ❑ a k ( 2.3 .10 ) formal yig'indini n karrali sonli qator deymiz. Ikki karrali qatorlar holidagidek, (2.3.10) qator yaqinlashishiga turli ta'riflar berish mumkin. Masalan, bu qatorni takroriy qator deb qarash mumkin, ya'ni avval bir indeks bo'yicha 1 dan ∞ gacha yig'ib chiqamiz, so'ngra boshqa indeks bo'yicha va hokazo. Ko'p kompleks o'zgaruvchili funksiyalarni o'rganishda quyidagi S m = ∑ k 1 = 1m 1 ❑ ∑ k 2 = 1m 2 ❑ ⋯ ∑ k n = 1m n ❑ a k to'g'ri to'rtburchakli qismiy yig'indilarni qarashga to'g'ri keladi, bu yerda m = ( m 1 , m 2 , … , m n ) butun musbat koordinatali vektor. Agar lim min { m j} → ∞ S m = S bo'lsa, (2.3.10) qator S soniga to'g'ri to'rtburchaklar bo'yicha yaqinlashadi deyiladi. Differensial operatorlarning spektral nazariyasida quyidagi S R = ∑ ¿ k ∨ ¿ R ❑ a k 22 doiraviy (yoki sferik) qismiy yig'indilar muhim rol o'ynaydi, bu yerda R musbat son bo'lib, yig'indi esa indeksi ¿ k ∨ ¿√ k 12 + k 22 + … + k n2 < R shartni qanoatlantiruvchi barcha a k hadlar bo'yicha olinadi. Umumiy holda (2.3.10) qator yaqinlashishi qismiy yig'indi kórinishini tanlashga bog'liq. Ammo, agar qatorning barcha hadlari manfiymas bo'lsa, qator yaqinlashishi bu tanlovga bog'liq emas .Bu holda 2.3.1 - teoremaga o'xshash tasdiq o'rinli. 2.3.2 - teorema. Faraz qilaylik, manfiymas f(x) funksiya Ω = { x ∈ R n : x j ≥ 0 , j = 1,2 , … , n } sohada aniqlangan bo'lib, bu sohada quyidagi f(x+ξ)≤ f(x),ξ∈Rn,ξj≥0 (2.3 .11 ) monotonlik shartini qanoatlantirsin. U holda ushbu ∑ k j ≥ 1 ❑ f ( k ) ≤ ∫ Ω ❑ f ( x ) dx ≤ ∑ k j ≥ 0 ❑ f ( k ) ( 2.3 .12 ) qo'sh tengsizlik bajarilib, agar tengsizlik biror qismi chekli bo'lsa, undan chapdagi qismi ham chekli bo'ladi. Isbot. Xuddi.2.3.1 - teorema isboti kabidir. 2.3.2 - misol. Ushbu Sα= ∑ k∈Zn,k≠0 ❑ 1 ¿k¿α= ∑ k∈Zn,k≠0 ❑ 1 (k12+k22+⋯+kn2)α/2 (2.3 .13 ) qator α>0 ning qanday qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang. Xuddi 2.3.1 - misoldagidek mulohaza yuritib, (2.3.13) qatorning α > n da yaqinlashib, α ≤ n da esa, uzoqlashishini ko'ramiz. II. 4-§. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishiga doir misollar. 2.4.1-misol. Quyidagi 23 ∬ R2eax2+bxy +cy2+d1x+d2y+d3dxdyKarrali xosmas integralni yaqinlashishini o ' rganamiz va hisoblaymiz. Avvalo bu karrali xosmas integralni hisoblash uchun uni parametr ( a,b,c,d1,d2,d3¿ larning qanday qiymatlarida yaqinlashishini o’rganamiz. Ma 'lumki, ax2+bxy +cy2+d1x+d2y+d3=0 tenglama ikkinchi tartibli chiziqni ifodalaydi. Agar { 2ax +by +d1=0 bx +2cy +d2=0 Sistemani yechimi (ikkinchi tartibli chiziqning markazi) ( x 0 , y 0 ) bo 'lib, ∬ R2eax2+bxy +cy2+d1x+d2y+d3dxdy karrali xosmas integral uchun { x = x ' + x 0 y = y ' + y 0 almashtirish olsak, u holda integral ko 'rinishi quyidagicha bo'ladi, ∬ R2eax'2+bx'y'+cy'2+Mdx 'dy ' bu yerda M = a x 02 + b x 0 y 0 + c y 02 + d 1 x 0 + d 2 y 0 + d 3 bu xosmas integral yaqinlashishi uchun a x ' 2 + b x ' y ' + c y ' 2 kvadratik forma manfiy aniqlangan bo 'lishi kerak. Kvadratik formalar uchun Selvestr alomatiga asosan a x ' 2 + b x ' y ' + c y ' 2 kvadratik forma manfiy aniqlangan bo 'lishi uchun | a b 2 b 2 c| >0,a<0 bo 'lishi zarur va yetarli. 24 Demak, berilgan karrali xosmas integral | a b 2 b 2 c | > 0 , a < 0 da yaqinlashadi. Endi integralni hisoblash masalasini qaraymiz. | a b 2 b 2 c| >0 bo'lganligi sababli, a x 2 + bxy + c y 2 + d 1 x + d 2 y + d 3 = 0 chiziqning kanonik ko 'rinishi umumiy holda A x 2 + B y 2 = ∆ S ko 'rinishida bo'lib, A= 1 2(a+c−√(a− c)2+b2) , B = 1 2 ( a + c + √( a − c ) 2 + b 2 ) ∆= | a b 2 d1 2 b 2 d1 2 cd2 2 | , s = | a b 2 b 2 c | tengliklar o 'rinli bo'ladi. Demak, ∬ R 2 e a x 2 + bxy + c y 2 + d 1 x + d 2 y + d 3 dxdy = ∬ R 2 e A x 2 + B y 2 − ∆ S dxdy = e − ∆ S ∙ ∫ − ∞+ ∞ e A x 2 dx ∙ ∫ − ∞+ ∞ e B y 2 dy Berilgan integralni yuqoridagi ko 'rinishdagi takroriy integralni hisoblash masalasiga keladi, bunda ∫ − ∞+ ∞ e A x 2 dx va ∫ − ∞+ ∞ e B y 2 dy integrallar Puasson integrallari bo 'lib, ularning qiymatlari mos ravishda √ − π A va √ − π B ga teng. Demak, ∬ R 2 e a x 2 + bxy + c y 2 + d 1 x + d 2 y + d 3 dxdy = e − ∆ S ∙ π √ AB tenglik o 'rinli bo'ladi. A va B ifodalarni o'rniga o'z qiymatlarini qo'ysak, A ∙ B = 1 4 (( a + c ) 2 − ( a − c ) 2 − b 2 ) = 1 4 ( 4 ac − b 2 ) ∬ R 2 e a x 2 + bxy + c y 2 + d 1 x + d 2 y + d 3 dxdy = e − ∆ S ∙ π √ S tenglik o 'rinli bo'ladi. 25 2.4.2-misol. Quyidagi I=∬ R2❑ e−3x2−3y2−2xy−2x+2y−2dxdy xosmas integralni yaqinlashishga tekshiraylik, avval ushbu integral uchun t = x − y + 1 , z = x + y almashtirish bajaramiz, x= t+z−1 2 ,y= z−t+1 2 integralni ko ' rinishi quyidagicha bo ' ladi I = ∬ R 2 e − 3 ( t + z − 1 2 ) 2 − 3 ( z − t + 1 2 ) 2 − 2 ( t + z − 1 2 )( z − t + 1 2 ) − 2 ( t + z − 1 2 ) + 2 ( z − t + 1 2 ) − 2 dtdz = ¿ ¿∬ R2❑ e−t2−2z2dtdz Endi R 2 fazoni qamrab oluvchi ketma-ketlik elementlari sifatida Ek={(t,z)∈R2;|t|<k,|z|<k} to’plamni olamiz va kvadrat bo’yicha qismiy integralni hisoblaymiz: I ( E k ) = ∫ E k❑ e − t 2 − 2 z 2 dtdz = ∫ − kk e − t 2 dt ∫ − kk e − 2 z 2 dz O’ng tomondagi har bir integral k → ∞ da chekli limitga ega, ya’ni Puasson integrali qiymatiga asosan ∫ − ∞+ ∞ e − λ x 2 dx = √ π λ Bu limit π √2 ga teng. limk→∞I(Ek)= π √2 Demak, kvadratlar ketma-ketligi limitga ega va integral ostidagi funksiya manfiymas ekanligini hisobga olsak, integral 1.2.1-teoremaga ko’ra yaqinlashadi. 2.4.3-misol. Agar E= {(x,y)∈R2:0≤x≤y} bo’lsa, quyidagi I=∬E ❑ e−(x+y)dxdy xosmas integralni yaqinlashishga tekshiramiz. Avval 26 F( x , y ) = { e − ( x + y ) , agar ( x , y ) ∈ E bo ' lsa , 0 , agar ( x , y ) ∈ R 2 ¿ b o ' lsa , deb belgilab, I integralni ∬ R2❑ F(x,y)dxdy xosmas integral ko’rinishiga keltiramiz. Endi integral ostidagi funksiyani manfiymas ekanligini hisobga olsak, integral 1.2.1- teoremaga asosan yaqinlashadi. 2.4.4-misol. Agar E = { ( x , y ) ∈ R 2 : 0 < x 2 + y 2 < 1 } bo’lsa, quyidagi I = ∬ R 2 ❑ ln √ x 2 + y 2 dxdy xosmas integralni hisoblaymiz. Qutb koordinatalar sistemasiga o’tamiz, x=rcos φ,y=rsin φ I=2π∫0 1 r∙ln rdr = ( u=ln r,du = dr r dv =rdr ,v= r2 2 ) =2π( r2 2 ln r− r2 4|r=0 r=1 )=− π 2 2.4.5-misol. Quyidagi karrali xosmas integrallarni hisoblang. I1=∫−∞ +∞ ∫−∞ +∞ e−(x2+y2)cos (x2+y2)dxdy I2= ∫−∞ +∞ ∫−∞ +∞ e−(x2+y2)sin (x2+y2)dxdy Bu integrallarni hisoblash uchun quyidagi yig’indini qaraymiz, P= I1+iI2=∫−∞ +∞ ∫−∞ +∞ e−(x2+y2)ei(x2+y2)dxdy =¿∫−∞ +∞ ∫−∞ +∞ e−(1−i)(x2+y2)dxdy R2 tekislikni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Dk={(x,y)∈R2:x2+y2<k2} doiralarni olamiz. Qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, P ( D k ) = ∫ D k e − ( 1 − i ) ( x 2 + y 2 ) dxdy = ∫ 02 π dφ ∙ ∫ 0k r ∙ e − ( 1 − i ) r 2 dr = − 2 π ∙ 1 2 ( 1 − i ) e − ( 1 − i ) r 2 | r = 0r = k = π 1 − i ( 1 − e − ( 1 − i ) k 2 ) tenglikka ega bo’lamiz. Demak, 27 P = lim k → ∞ P( D k ) = π 2 + i π 2 ya’ni I 1 = ∫ − ∞+ ∞ ∫ − ∞+ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) cos ( x 2 + y 2 ) dxdy = π 2 I 2 = ∫ − ∞+ ∞ ∫ − ∞+ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) sin ( x 2 + y 2 ) dxdy = π 2 III-bob. Ixtiyoriy soha bo'yicha xosmas integrallar. III.1-§.Ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral yaqinlashishi. Xosmas ma'noda integrallash muammosiga berilgan funksiya qaralayotgan sohada chegaralanmagan bo'lgan holda ham duch kelamiz. Odatda bunday funksiyalar sohaning istalgan kompakt qismida chegaralangan bo'ladi. Boshqacha aytganda, funksiya chegaralanmagan qiymatlarni faqat chegara atrofidagina qabul qiladi. Bundan buyon bu bobda biz, bunga alohida urg'u bermasdan, biror Ω ⊂Rn sohada berilgan funksiya Ω ning istalgan kompakt kublanuvchi ( n=2 bo'lganda kvadratlanuvchi) qismiy to'plamida integrallanuvchi deb faraz qilamiz, ya'ni istalgan kompakt kublanuvchi E ⊂ Ω to'plam uchun quyidagi I ( E ) = ∫ E ❑ f ( x ) dx ( 3.1 .1 ) integralni mavjud deb hisoblaymiz. Bunday funksiyalarni biz Ω da lokal integrallanuvchi deymiz. Masalan, f(x)= 1 ¿¿ funksiya istalgan α>0 uchun Ω = { x ∈ R n : ∨ x ∨ ¿ R } sharda lokal integrallanuvchi. Boshqa bir misol sifatida shardan markazi chiqarib tashlangan 28 Ω 0 ={ x ∈ R n : 0 < ¿ x ∨ ¿ R } ( 3.1 .2 ) sohada (ya'ni, bir nuqtasi "o'yib olingan" sharda) lokal integrallanuvchi f ( x ) = 1 ¿ x ¿ β , β > 0 , funksiyani olish mumkin. Ω sohada lokal integrallanuvchi f funksiyadan Ω bo'yicha olingan xosmas integral, xuddi Rn bo'yicha olingan xosmas integral kabi, Ω ni qamrab oluvchi { Ω k } sohalar ketma-ketligi yordamida aniqlanadi. Bu holda, butun Rn fazosidan farqli o'laroq, qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligini faqat monoton qilib olish (ya'ni (2) shartni qanoatlantiruvchi qilib olish) yetarli emas. Chunki, agar Ω soha kublanuvchi bo'lsa, u holda bunday ketma-ketlik elementi Ω bilan, yoki uning f funksiya oddiy ma'noda integrallanuvchi bo'lmagan qismi bilan ustma-ust tushishi mumkin. Bunday holni chetlab o'tish maqsadida, ketma-ketlik elementlarini Ω ichida yotuvchi biror kompaktning qismi qilib olish yetarli. Masalan, qamrab oluvchi ketma-ketlikning Ω k elementlarini ularning Ω k yopig'i Ω da yotadigan qilib olish mumkin. U holda, f funksiya lokal integrallanuvchi bo'lgani sababli, Ω k sohalar bo'yicha f dan olingan integrallar mavjud bo'ladi. Ω sohani qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligini quyidagi umum qabul qilingan ko'rinishda kiritamiz. 3.1.1-ta'rif. Faraz qilaylik, Ω k ⊂ Ω sohalarning {Ωk}k=1 ∞ ketma-ketligi quyidagi ikki shartni qanoatlantirsin: 1. Ωk sohaning Ω k = Ω k ∪ ∂ Ω k yopig'i Ω k + 1 sohada yotsin, ya'ni: Ω k ⊂ Ω k + 1 ( 3.1 .3 ) 2. barcha Ω k sohalarning birlashmasi Ω soha bilan ustma-ust tushsin, ya'ni: ¿ k = 1 ¿ ∞ ❑ Ω k = Ω ¿ ( 3.1 .4 ) ¿ U holda bunday ketma-ketlik Ω sohani qamrab oladi deymiz. 29 Masalan, markazi biror nuqtada bo'lgan konsentrik (ya'ni biri ikkinchisi ichida yotgan) sharlar ketma-ketligini olaylik. Agar ularning Rk radiuslari qat'iy o'sib, R soniga intilsa, bu ketma-ketlik markazi o'sha nuqtada va radiusi R ga teng bo'lgan sharni qamrab oladi. Boshqa bir misol sifatida bir nuqtasi o'yib olingan (31.2) sharni qamrab oluvchi Ω k = { x ∈ R n : 1 k < ¿ x ∨ ¿ R } ketma-ketlikni olishimiz mumkin. 3.1.1 - eslatma. Agar {Ωm} sohalar ketma-ketligi Ω sohasini qamrab olsa, u holda istalgan K ⊂Ω kompakt to'plam uchun biror N nomerdan boshlab K ⊂Ωm,m≥N munosabat o'rinli bo'ladi. Bu tasdiq xuddi R n fazo holidagidek isbotlanadi Xuddi bir karralik integral holidagidek, quyidagi ∫Ω ❑ f(x)dx (3.1 .5) simvol bilan f funksiyadan Ω soha bo'yicha olingan (ikkinchi tur) xosmas integralni belgilaymiz. 3.1.2-ta'rif. Agar f funksiya Ω sohada lokal integrallanuvchi bo'lib, bu sohani qamrab oluvchi har qanday kublanuvchi { Ω k } sohalar ketma-ketligi uchun limk→∞∫Ωk ❑ f(x)dx (3.1 .6) limit mavjud bo'lsa, u holda (31.5) xosmas integral yaqinlashadi deyiladi. Bunda f funksiyani Ω soha bo'yicha (xosmas ma'noda) integrallanuvchi deymiz. Agar (3.1.6) limit mavjud bo'lmasa, (31.5) integralni uzoqlashadi deymiz. 3.1.2 - eslatma. Agar f funksiya Ω soha bo'yicha xosmas ma'noda integrallanuvchi bo'lsa, u holda yuqoridagi limit qamrab oluvchi { Ω k } ketma-ketlik tanlanishiga bog'liq emasligini ko'rsatish qiyin emas. Bu tasdiq xuddi R n fazosi bo'yicha xosmas integrallar holidagidek isbotlanadi. 30 Agar (3.1.5) xosmas integral yaqinlashsa, (3.1.6) limit f funksiyadan Ω soha bo'yicha olingan xosmas integral deyiladi va quyidagi ∫ Ω ❑ f ( x ) dx = lim k → ∞ ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ( 3.1 .7 ) ko'rinishda belgilanadi. E'tibor bering, (ikkinchi tur) xosmas integral deb (3.1.5) simvolga ham, (3.1.6) limitga (bu limit mavjud bo'lganda) teng songa ham aytilar ekan. 3.1.1- teorema. Agar f va g funksiyalardan Ω soha bo'yicha olingan xosmas integrallar yaqinlashsa,u holda istalgan haqiqiy λ va μ sonlari uchun λf + μg funksiyadan olingan xosmas integral mavjud va navbatdagi ∫ Ω ❑ [ λf ( x ) + μg ( x ) ] dx = λ ∫ Ω ❑ f ( x ) dx + μ ∫ Ω ❑ g ( x ) dx tenglik o'rinli bo 'ladi. Isbot. aniq integral va limitga o'tish amalining chiziqliligidan kelib chiqadi. 2.Butun fazo bo'yicha integral holidagidek, navbatdagi shart manfiymas funksiyadan istalgan soha bo'yicha olingan xosmas integralning yaqinlashishini ta'minlaydi. 3.1.2 - teorema. Agar f funksiya manfiymas bo'lib, I ( Ω k ) = ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx sonli ketma-ketlik Ω sohani qamrab oluvchi aqalli bitta { Ω k } ketma-ketlik uchun chegaralangan bo'lsa, u holda (3.1.5) integral yaqinlashadi. Isbot butun fazo bo'yicha integral holidagidek olib boriladi. 3.1.1- misol. Agar Ω = { x ∈ R n : ∨ x ∨ ¿ R } bo'lsa, A(α)=∫Ω ❑ dx ¿¿ integralni α ning qanday qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang. Ω ni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida 31 Ω k ={ x ∈ R n : ∨ x ∨ ¿ R − 1 k } sharlarni olamiz. Agar sferik koordinatalarga o'tsak, ∫ Ω k ❑ dx ¿ ¿ tenglikni olamiz. Oxirgi bir o'lchovli integral k→ ∞ da α<1 lar uchungina yaqinlashadi. Demak, A(α) integral α < 1 da yaqinlashadi va α ≥ 1 da uzoqlashadi. 3.1.2- misol. Agar Ω = { x ∈ R n : 0 < ¿ x ∨ ¿ R } bo'lsa, B(β)=∫Ω ❑ dx ¿x¿β integralni β ning qanday qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang. Ω ni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Ω k = { x ∈ R n : 1 k < ¿ x ∨ ¿ R } shar qatlamlarini olamiz. Sferik koordinatalariga o'tsak, β < n lar uchun ∫ Ω k ❑ dx ¿ x ¿ β = ω n ∫ 1 / kR ❑ r n − 1 r β = ω n n − β [ R n − β − ( 1 k ) n − β ] tengliklarni olamiz. Demak, β<n da B(β) integral yaqinlashadi va u B(β)= ωn n− βRn−β ga teng. Agar β ≥ n bo'lsa, B(β) uzoqlashadi. 3.1.3- misol. Agar Ω ⊂ R n ixtiyoriy kublanuvchi soha bo'lib, a uning biror tayinlangan nuqtasi bo'lsa, 32 I(β)=∫Ω ❑ dx ¿x− a¿βintegralni β ning qanday qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang. Biz I ( β ) ni berilgan Ω sohadan a nuqtani o'yib olingan Ω ( a ) = ¿ Ω ∖{a} soha bo'yicha xosmas integral deb qarashimiz mumkin. Ω ( a ) ni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Ωk={x∈Ω :∨ x−a∨¿1 k} sohalar ketma-ketligini olamiz. Endi N nomerni shunday tanlaymizki, radiusi 1 N ga teng va markazi a∈Ω nuqtada bo'lgan shar to'laligicha Ω da yotsin. U holda k > N lar uchun ∫Ωk ❑ dx ¿x− a¿β=∫ΩN ❑ dx ¿x− a¿β+ ∫Ωk∖ΩN ❑ dx ¿x− a¿β deb yozishimiz mumkin. O'ng tomondagi birinchi integral ostidagi funksiya chegaralangan va bu integral k ga bog'liq emas, ikkinchi integral esa, parallel ko'chirish yordamida 3.1.2- misolda qaralgan integralga keladi. Demak, β<n bo'lsa, I(β) integral yaqinlashadi va β≥n da I(β) integral uzoqlashadi. 3.1.3 - eslatma. Bundan buyon, biror a∈Ω nuqtada yakkalangan maxsuslikka ega bo'lgan funksiyadan Ω soha bo'yicha olingan integral deganda, aynan 10 - misoldagi integralni, ya'ni Ω ∖{a} soha bo'yicha olingan xosmas integralni tushunamiz. Taqqoslash alomatlari. Xosmas integrallar yaqinlashishining, taqqoslash alomatlari deb ataluvchi yetarli shartlarini keltiramiz. Isbot xuddi butun fazo bo'yicha integral holidagidek olib boriladi. 3.1.3- teorema (taqqoslashning umumiy alomati). Faraz qilaylik, f va g funksiyalar Ω da lokal integrallanuvchi bo'lib, ¿f(x)∨≤g(x) shart bajarilsin. 33 Agar Ω bo'yichag funksiyadan olingan xosmas integral yaqinlashsa, u holda f funksiyadan olingan xosmas integral ham yaqinlashadi. Isbot . 2.1.1 - teorema isbotiga o'xshash. 3.1.4- teorema (taqqoslashning xususiy alomati). Faraz qilaylik, a kublanuvchi Ω ⊂ R n sohasining ixtiyoriy nuqtasi bo'lib, f funksiya Ω ∖{a} da lokal integrallanuvchi bo'lsin. 1.Agar x≠a lar uchun ¿ f ( x ) ∨ ≤ C ¿ x − a ¿ β , β < n shart bajarilsa, u holda (3.1.5) xosmas integral yaqinlashadi. 2.Agar x ≠ a lar uchun f ( x ) ≥ C ¿ x − a ¿ β , β ≥ n shart bajarilsa, (3.1.5) xosmas integral uzoqlashadi. Isbot. 3.1.3 - teorema va 3.1.3 - misoldan kelib chiqadi. 3.1.4- misol. Ushbu ∫ R n ❑ dx ¿ x ¿ q integralni yaqinlashishga tekshiring. Biz bu integralni Ω= Rn∖{0} soha, ya'ni butun fazodan koordinatalar boshi chiqarib tashlangan soha bo'yicha xosmas integral deb qarashimiz mumkin. Quyidagi Ωk={x∈Rn:1 k<¿x∨¿k} sohalar ketma-ketligini kiritamiz. Bu ketma-ketlik Ω sohasini qamrab oladi. Sferik koordinatalarga o'tsak, 1 ω n ∫ Ω k ❑ dx ¿ x ¿ q = ∫ 1 / kk ❑ r n − 1 − q dr = { k n − q − k q − n n − q , q ≠ n , 2 ln ⁡ k , q = n , munosabatni olamiz. Shubhasiz, ixtiyoriy q∈R qiymatlarda bu integrallar ketmaketligi k → ∞ da cheksizga intiladi. Demak, ixtiyoriy q∈R lar uchun qaralayotgan xosmas integral uzoqlashar ekan. 34 4.Agar ∫ Ω ❑ ∨ f ( x ) ∨ dx xosmas integral yaqinlashsa, (3.1.5) integral absolyut yaqinlashadi deyiladi. Istalgan Ω soha uchun 2.2.1 - teoremaga o'xshash tasdiq o'rinli, chunonchi, lokal integrallanuvchi funksiyadan olingan integral faqat va faqat absolyut yaqinlashganda yaqinlashadi. Isbot xuddi yuqoridagi sxema bo'yicha olib boriladi, lekin bunda Ω sohaning ixtiyoriy shaklda bo'lishi mumkinligi bilan bog'liq bo'lgan qo'shimcha qiyinchiliklar tug'iladi. 3.1.5- misol. Agar Ω 0 = { x ∈ R 2 : 0 < ¿ x ∨ ¿ R } bo'lsa, I = ∫ Ω ❑ x 1 ¿ x ¿ 3 dx ( 3.1 .8 ) integralni yaqinlashishga tekshiring. Ω0 ni qamrab oluvchi ketma-ketlik sifatida Ω k = { x ∈ R 2 : 1 k < ¿ x ∨ ¿ R } , k = 1,2 , … halqalarni olamiz. Qutb koordinatalariga o'tib, burchaklar bo'yicha integrallagandan so'ng, ∫Ωk ❑ x1 ¿x¿3dx =∫1/k R ❑ ρdρ ∫0 2π ❑ ρcos ⁡φ ρ3 dφ =0 tenglikni olamiz. Demak, kengayuvchi xalqalar bo'yicha olingan integrallar ketmaketligi nolga intilar ekan. Ammo bu berilgan integral yaqinlashishini anglatmaydi, chunki buning uchun, Ω0 sohasini qamrab oluvchi istalgan ketma-ketlik olganda ham, unga mos integrallar ketmaketligi yaqinlashishini isbotlashimiz kerak. 3.1.3 - teoremada keltirilgan taqqoslash alomatlari bu misol uchun ish bermaydi, chunki integral ostidagi funksiyaning yuqoridan aniq bahosi 35 |x 1 ¿ x ¿ 3 | ≤ 1 ¿ x ¿ 2 ko'rinishga ega bo'lib, bu baho integral yaqinlashishini ta'minlamaydi. Boshqa tomondan, x1= 0 koordinatalar o'qida integral ostidagi funksiya nolga teng. Shunday ekan, biz bu funksiyani quyidan biror musbat funksiya bilan baholab, integralni uzoqlashishini ham ko'rsata olmaymiz. Shuning uchun biz, ikki karrali integral yaqinlashishi uning absolyut yaqinlashishiga teng kuchli ekanidan foydalanib, 3.1.2 - teoremani qo'llaymiz. Yuqoridagi kengayuvchi xalqalar ketma-ketligi uchun ∫ Ω k | x 1 | ¿ x ¿ 3 dx = ∫ 1 / kR ρdρ ∫ 02 π ρ ∨ cos ⁡ φ ∨ ¿ ρ 3 dφ ≥ ∫ 1 / kR dρ ρ ∫ 02 π cos 2 ⁡ φdφ = π ln ⁡ ( Rk ) ¿ baho o'rinli bo'lib, bunday integrallar ketma-ketligi chegaralanmagan, demak, (3.1.8) integral uzoqlashadi. 3.1.6- misol. Agar Ω 0 = { x ∈ R n : 0 < ¿ x ∨ ¿ R } bo'lsa, quyidagi Ij=∫Ω0 ❑ xj ¿x¿n+1dx ,j=1,2 ,… ,n (3.1 .9) n karrali integrallarni yaqinlashishga tekshiring. Sferik koordinatalarga o'tib, Ω ni qamrab oluvchi Ω k = { x ∈ R n : 1 k < ¿ x ∨ ¿ R } shar qatlamlari ketma-ketligi uchun ∫Ωk ❑ xj ¿x¿n+1dx =0 tenglik bajarilishini tekshirish qiyin emas. Endi, xuddi avvalgi misoldagidek, (3.1.9) integral absolyut yaqinlashmasligini va bundan chiqdi, uzoqlashishini ko'rsatish oson. 36 3.1.7 - misol. Agar a kublanuvchi Ω ⊂Rn sohaning ixtiyoriy tayinlangan nuqtasi bo'lsa, quyidagi Ij=∫Ω ❑ (xj− aj) ¿x− a¿n+1dx ,j=1,2 ,… (3.1 .10 ) integrallarni yaqinlashishga tekshiring. Faraz qilaylik, εk kamayib nolga intiluvchi biror ketma-ketlik bo'lsin. Qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligi elementlari sifatida Ω k = { x ∈ Ω : ∨ x − a ∨ ¿ ε k } sohalarni olamiz. N nomerni shunday tanlaymizki, radiusi εN ga teng bo'lib, markazi a∈Ω nuqtada bo'lgan shar to'laligicha Ω da yotsin. U holda k > N lar uchun ∫ Ω k ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx = ∫ Ω N ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx + ∫ Ω k ∖ Ω N ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx tenglikni hosil qilamiz. O'ng tomondagi birinchi integral ostidagi funksiya chegaralangan va bu integral k ga bog'liq emas. Ikkinchi integral, parallel ko'chirish yordamida, 3.1.6 - misolda qaralgan integralga keladi va demak, u nolga teng. Shunday qilib, lim k → ∞ ∫ Ω k ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx = ∫ Ω N ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx Lekin shunga qaramasdan, xuddi 3.1.3 - misoldagi kabi, (3.1.10) integrallar absolyut yaqinlashmaydi va shu sababli uzoqlashadi. III.2-§. Karrali xosmas integralning bosh qiymati Yuqorida aniqlangan xosmas karrali integrallar tadbiqiy masalalarni yechishda foydalaniladigan ko'p zarur xossalarga ega. Ammo shunga qaramasdan, ba'zi muhim hollarda yuqoridagi ta'rifga ko'ra yaqinlashuvchi integralga ega bo'lgan funksiyalar sinfi ancha torlik qiladi. Integrallanuvchi funksiyalar sinfini kengaytirish uchun, 37 tabiiyki, integralning yaqinlashish ta'rifidagi shartlarni kuchsizlantirish zarur. Bunday ta'riflar bir qancha, lekin tadbiqda eng ko'p uchraydigan ta'riflardan biri integralning Koshi ma'nosidagi yaqinlashishi ta'rifidir. 3.2.1-ta'rif. Faraz qilaylik, Ω ⊂ R n ixtiyoriy kublanuvchi soha bo'lib, a bu sohaning biror nuqtasi bo'lsin. Bundan tashqari, f funksiya ixtiyoriy ε>0 uchun Ωε=¿ {x∈Ω :∨ x− a∨ ¿ε} sohada integrallanuvchi bo'lsin. Agar lim ε → 0 ∫ Ω ε ❑ f ( x ) dx limit mavjud bo'lsa, a ∈ nuqtada maxsuslikka ega bo'lgan ∫ Ω ❑ f ( x ) dx ( 3.2 .1 ) integralni Koshi ma'nosida yaqinlashadi deymiz. Bu limit (3.2.1) xosmas integralning bosh qiymati deyilib, V . p . ∫ Ω ❑ f ( x ) dx = lim ε → 0 ∫ Ω ε ❑ f ( x ) dx ( 3.2 .2 ) ko'rinishda belgilanadi. 3.2.1- misol. Faraz qilaylik, a biror kublanuvchi Ω sohaning istalgan nuqtasi bo'lib, f j ( x ) = ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 , 1 ≤ j ≤ n bo'lsin. f j ( x ) funksiyadan olingan integralni Koshi ma'nosida yaqinlashishga tekshiring. Aytaylik, radiusi R ga teng va markazi a nuqtada bo'lgan shar to'laligicha Ω sohasida yotsin. U holda istalgan musbat ε<R uchun ∫Ωε ❑ (xj− aj) ¿x− a¿n+1dx =∫ΩR ❑ (xj− aj) ¿x−a¿n+1dx + ∫Ωε∖ΩR ❑ (xj− aj) ¿x− a¿n+1dx 38 deb yozish mumkin. O'ng tomondagi birinchi integral xos bo'lib, uε ga bog'liqmas, ikkinchi integral esa, 3.1.6 - va 3.1.7 - misollarga ko'ra, nolga teng. Bundan chiqdi, integralning bosh qiymati mavjud va u V . p . ∫ Ω ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx = ∫ Ω R ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx ga teng. Bunda o'ng tomondagi integral xosdir. 3.2.1 - eslatma. 3.1.7 - misolga ko'ra, yuqoridagi xosmas integral oddiy ma'noda yaqinlashmaydi. 3.2.2 - eslatma. Oddiy («regulyar») yaqinlashuvchi xosmas integrallardan farqli o'laroq, bosh qiymat ma'nosidagi integrallar singulyar integrallar deb ham ataladi. 2*. 3.2.1 - misoldagiga o'xshash integrallar gravitatsiya nazariyasi va elektromagnetizmda muhim o'rin tutadi. Masalan, n = 3 da bunga o'xshash integrallar o'zgarmas μ zichlikli Ω jism hosil qilgan tortishish maydoni potensialining hosilasini hisoblashda hosil bo'ladi. μ ( x ) zichlik o'zgarmas bo'lmagan hollarda integral Koshi ma'nosida yaqinlashmasligi mumkin, ammo agar μ ( x ) funksiya biror silliqlikka ega bo'lsa, navbatdagi misolda ko'rsatilganidek, qaralayotgan integral Koshi ma'nosida yaqinlashadi. Agar 0<α≤1 berilgan son bo'lib, shunday M >0 soni topilsaki, istalgan x ∈ Ω va y∈Ω nuqtalar uchun ¿ μ ( x ) − μ ( y ) ∨ ≤ M ∨ x − y ¿ α ( 3.2 .3 ) tengsizlik bajarilsa, Ω sohasida aniqlangan μ ( x ) funksiya α ko'rsatkich bilan Holder shartini qanoatlantiradi deymiz. Agar α= 1 bo'lsa, Holder sharti, odatda, Lipshits sharti deyiladi. 3.2.2- misol. Agar μ ( x ) funksiya Ω sohasida aniqlangan bo'lib, (3.2.3) Holder shartini qanoatlantirsa, a∈Ω nuqtada maxsuslikka ega bo'lgan 39 I(a)=∫Ω ❑ (xj− aj) ¿x− a¿n+1μ(x)dx (3.2 .4)integralni Koshi bo'yicha yaqinlashishini ko'rsating. Quyidagi ∫ Ω ε ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 μ ( x ) dx = ¿ = ∫ Ω ε ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 [ μ ( x ) − μ ( a ) ] dx + μ ( a ) ∫ Ω ε ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 dx ayniyatni qaraymiz. 3.2.1 - misolga ko'ra, yetarlicha kichik ε > 0 larda oxirgi integral ε ga bog'liq emas. Bu integralni λj(a) simvoli bilan belgilab, yetarlicha kichik ε>0 larda ∫ Ω ε ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 μ ( x ) dx = ∫ Ω ε ❑ ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 [ μ ( x ) − μ ( a ) ] dx + λ j ( a ) μ ( a ) tenglikni yozishimiz mumkin. O'ng tomondagi xosmas integral oddiy ma'noda yaqinlashishini ko'rish qiyin emas. Haqiqatan, Holder shartiga binoan, integral ostidagi funksiya uchun | ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 [ μ ( x ) − μ ( a ) ] | ≤ ¿ x − a ∨ ¿ ¿ x − a ¿ n + 1 ⋅ M ∨ x − a ¿ α = M ¿ x − a ¿ n − α ¿ baho o'rinli. Shunday ekan, xosmas integral yaqinlashishi taqqoslashning xususiy alomatidan kelib chiqadi. Demak, (3.2.4) integral Koshi ma'nosida yaqinlashib, uning bosh qiymati V . p . ∫ Ω ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 μ ( x ) dx = ∫ Ω ( x j − a j ) ¿ x − a ¿ n + 1 [ μ ( x ) − μ ( a ) ] dx + λ j ( a ) μ ( a ) ga teng. Ahamiyat bering, o'ng tomondagi xosmas integral oddiy ma'noda yaqinlashadi. 3.Xuddi yuqoridagidek, butun fazo bo'yicha integralning Koshi ma'nosida yaqinlashish tushunchasi kiritiladi. 3.2.2-ta'rif. Faraz qilaylik, f funksiya Rn da aniqlangan va lokal integrallanuvchi bo'lsin. Agar 40 lim R → 0 ∫ ¿ x ∨ ¿ R ❑ f ( x ) dx limit mavjud bo'lsa, ∫ R n ❑ f ( x ) dx ( 3.2 .5 ) integralni Koshi ma'nosida yaqinlashadi deymiz. Bu limit (3.2.5) xosmas integralning bosh qiymati deyiladi va V . p . ∫ R n ❑ f ( x ) dx = lim R → 0 ∫| x| < R ❑ f ( x ) dx ( 3.2 .6 ) kabi belgilanadi. 3.2.3 - misol. Ikki karrali I = ∫ R 2 ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy ( 3.2 .7 ) xosmas integralning bosh qiymati topilsin. Qutb koordinatalarga o'tsak, ∫ x 2 + y 2 < R 2 ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy = 2 π ∫ 0R ❑ sin ⁡ ρ 2 ρ 2 ρdρ = π ∫ 0R 2 ❑ sin ⁡ t t dt tenglikni olamiz. Oxirgi bir o'lchovli integralning R→ +∞ dagi limiti mavjud va π / 2 ga teng. Shunday ekan, V . p . ∫ R 2 ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy = π 2 2 . 3.2.3 - eslatma. (3.2.7) ko'rinishdagi integrallar to'lqin optikasida muhim o'rin tutadi. 2.2.1 - misolga ko'ra, bu xosmas integral oddiy ma'noda uzoqlashadi va shuning uchun u ma'noga ega emas. Lekin Koshi ma'nosida yaqinlashish unga yangi bir ma'no berib, undan amaliy hisob-kitoblarda foydalanishga imkon beradi. 41 3.2.4 - eslatma. 3.2.2 - misoldagiga o'xshash, (3.2.7) integralni shunday o'zgartirish mumkinki, natijada hosil bo'lgan integral oddiy ma'noda yaqinlashadi. Buning uchun u ( ρ ) = 1 ρ 2 , v ( ρ ) = 1 − cos ⁡ ρ 2 deb, bo'laklab integrallash kifoya. U holda du ( ρ ) = − 2 ρ 3 , dv ( ρ ) = 2 ρ sin ⁡ ρ 2 demak, ¿¿π1− cos ⁡R2 R2 + ∫ x2+y2<R2❑ 1−cos ⁡(x2+y2) (x2+y2)2 dxdy . Bundan chiqdi, V . p . ∫ R 2 ❑ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dxdy = ∫ R 2 ❑ 1 − cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2 dxdy bunda o'ng tomondagi xosmas integral oddiy ma'noda yaqinlashadi. 4 ¿ . Endi umumiyroq ko'rinishga ega bo'lgan I ( g ) = ∫ R 2 ❑ g ( x , y ) sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) dxdy ( 3.2 .8 ) xosmas integralni qaraymiz. 3.2.4 - misol. Agar G(ρ)=∫0 2π ❑ g(ρcos ⁡φ,ρsin ⁡φ)dφ (3.2 .9) funksiya ρ→ +∞ da monoton kamayib, nolga intilsa, (3.2.8) xosmas integralning Koshi ma'nosida yaqinlashishini ko'rsating. Qutb koordinatalariga o'tib, quyidagi ∫ x 2 + y 2 < R 2 ❑ g ( x , y ) sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) dxdy ¿ ∫ 0R ❑ sin ⁡ ρ 2 ρdρ ∫ 02 π ❑ g ( ρ cos ⁡ φ , ρ sin ⁡ φ ) dφ = ¿ = ¿ ∫ 0R ❑ G ( ρ ) sin ⁡ ρ 2 ρdρ = 1 2 ∫ 0R 2 ❑ G ( √ t ) sin ⁡ tdt ¿ 42 tenglikni olamiz. G (√ t ) funksiya t → + ∞ da monoton ravishda nolga intilgani uchun, oxirgi integral, Dirixle-Abel alomatiga kóra, R→ +∞ da limitga ega. Bundan chiqdi, V .p.∫ R2❑ g(x,y)sin ⁡(x2+y2)dxdy = 1 2∫0 ∞ ❑ G (√t)sin ⁡tdt . (3.2 .10 ) 3.2.5 - eslatma. Umuman aytganda, (3.2.10) tenglikning o'ng tomonidagi xosmas integral shartli yaqinalshadi. Agar (3.2.9) tenglik bilan aniqlangan G ( ρ ) funksiya differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi yetarlicha tez nolga intilsa, u holda bu integralni bo'laklab integrallab, absolyut yaqinlashuvchi integralga keltirish mumkin. 5 ¿ . Ba'zi hollarda kengayuvchi sharlar o'rniga Rn fazosini qamrab oluvchi boshqa tayinlangan ketma-ketliklar olinadi. Masalan, ikki o'zgaruvchili holda kengayuvchi konsentrik D ( R ) = {( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < R 2 } ( 3.2 .11 ) doiralar o'rniga ba'zan, tomonlari koordinata o'qlariga parallel bo'lgan quyidagi Q(R)={(x,y)∈R2:|x|<R,|y|<R} (3.2 .12 ) ko'rinishdagi kengayuvchi kvadratlar olinadi. Lekin bunda shuni hisobga olish kerakki, bunday kengayuvchi sohalar bo'yicha integrallarining limiti mavjud bo'lgan funksiyalar sinfi Koshi bo'yicha integrallanuvchi funksiyalar sinfidan farq qiladi. 3.2.5 - misol. Quyidagi I=∫ R2❑ sin ⁡(x2+y2)dxdy xosmas integralni qaraylik. 43 Integral ostidagi funksiyaning har bir x va yo' zgaruvchi bo'yicha juft ekanini hisobga olib, QR= {(x,y)∈R2:∨ x∨¿R,∨ y∨¿R} kvadrat bo'yicha qismiy integralni hisoblaymiz: I ( Q R ) = ∫ Q R ❑ ( sin ⁡ x 2 cos ⁡ y 2 + cos ⁡ x 2 sin ⁡ y 2 ) dxdy = ¿ = 2 ∫ − RR ❑ sin ⁡ x 2 dx ∫ − RR ❑ cos ⁡ y 2 dy = 8 ( ∫ 0R ❑ sin ⁡ x 2 dx ) ⋅ ( ∫ 0R ❑ cos ⁡ y 2 dy ) . O'ng tomondagi har bir integral Dirixle-Abel alomatiga ko'ra, R → + ∞ da chekli limitga ega bo'lib, bu limit √ π / 8 ga teng, ya'ni ∫ 0∞ ❑ sin ⁡ x 2 dx = ∫ 0∞ ❑ cos ⁡ y 2 dy = √ π 8 Demak, kvadratlar bo'yicha integrallar ketma-ketligi limitga ega va limR→+∞I(QR)= π Ammo, kengayuvchi doiralar bo'yicha limitning mavjud emasligini ko'rsatish qiyin emas, ya'ni qaralayotgan funksiya Koshi ma'nosida integrallanuvchi bo'lmaydi. Haqiqatan, qutb koordinatalariga o'tib, ∫ x2+y2<R2❑ sin ⁡(x2+y2)dxdy = 2π∫0 R ❑ sin ⁡r2rdr = π(1−cos ⁡R2) tenglikka ega bo'lamiz. Ravshanki, R→ +∞ da o'ng tomon limitga ega emas. Navbatdagi misol yuqoridagi tasdiqning teskarisi ham o'rinli ekanini, ya'ni kengayuvchi doiralar bo'yicha integrallarning yaqinlashishidan kengayuvchi kvadratlar bo"yicha integrallarning yaqinlashishi kelib chiqmasligini ko'rsatadi. 3.2.6 - misol. g(x,y) funksiyani qutb koordinatalarida g(r,φ)= r4cos ⁡4φ ko'rinishda aniqlaylik. Bu funksiyadan R>0 radiusli doirada olingan integral nolga teng: ∫ 0R ❑ ∫ 02 π ❑ g ( r , φ ) rdrdφ = ∫ 0R ❑ r 5 dr ∫ 02 π ❑ cos ⁡ 4 φdφ = 0. 44 Demak, integral Koshi ma'nosida yaqinlashadi va u nolga teng. Lekin g ( r , φ ) funksiyanig(r,φ)= r4(cos 4⁡φ+sin 4⁡φ)−6r4cos 2⁡φsin 2⁡φ= x4+y4− 6x2y2 ko'rinishda ham yozishimiz mumkin. Shunday ekan, bu funksiyadan {∨ x∨≤R,∨ y∨≤R} kvadrat bo'yicha integral uchun ∫ − RR ∫ − RR ( x 4 + y 4 − 6 x 2 y 2 ) dxdy = 4 R 6 5 + 4 R 6 5 − 6 2 R 3 3 ⋅ 2 R 3 3 = − 16 15 R 6 tenglik o'rinli. Demak, kvadratlar bo'yicha integrallar R → + ∞ da − ∞ ga intiladi, ya'ni qaralayotgan funksiya Koshi ma'nosida kvadratlar bo'yicha integrallanuvchi emas. 3.2.6 - eslatma. Yuqorida shartli yaqinlashuvchi karrali integrallarning mavjud emasligi qayd qilingan edi. Shunday bo'lsada, Koshi bo'yicha yaqinlashuvchi karrali xosmas integrallar, aslida, xuddi bir o'lchovli holdagi shartli yaqinlashuvchi integrallar rolini o'ynaydi. Koshi bo'yicha yaqinlashish xosmas ma'noda integrallanuvchi funksiyalar sinfini, demak, mos ravishda, karrali xosmas integrallar yordamida yechiladigan masalalar sinfini sezilarli darajada kengaytirishga imkon beradi. XULOSA Amaliyotda muhim bo'lgan masalalarni yechish uchun integralni chegaralangan soha bo'yicha hisoblashni bilish yetarli. Ammo nazariy izlanishlarda chegaralanmagan soha, xususan, butun fazo bo'yicha ham integrallashga to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, bunda olingan natijalar ko'pincha amaliy masalalarni yechishda ham foydali bo'ladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida karrali xosmas integral tushunchasi, uning yaqinlashish masalalari keng o’rganilgan va har bir ta’rif, teoremalar misollar yordamida yanada yoritib berilgan. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishi bilan karrali qatorlar yaqinlashishi o’rtasidagi bog’lanish, karrali xosmas integrallarning Koshi ma’nosida 45 yaqinlashishi, bosh qiymat masalalari o’rganilgan. Karrali xosmas integrallarning nazariy ahamiyati bilan bir qatorda matematik fizika va statistikaga oid masalalarga ham tadbiqlari o’rganib chiqilgan. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati. 1. Alimov Sh. A, Ashurov B. Matematik analiz maruzalar. T. 2007 y. 2. T. Azlarov, H. Mansurov Matematik analiz, 2-qism. T . 1989 y . 3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. 1990 г. 4. Фихтенгоьц. Г. М. Курс диференциального и интегрального исчисления 2,3 Т. М «Наука» 1970 г. 5. Кудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу 1,2 Т. М «Наука» 1984, 1986 г. 6. Никольский С. М. Курс математического анализа 1,2 Т. М 1975. 46 7. Зорич В. А. Математический анализ, ч. I , II , −М. Наука, 1981 . 8. Ильин В. А. ,Позняк Э.Г. Основы математического анализа, 2-Т. М «Наука» 1980 г. 9. Ricci F. and Stein E. Harmonic Analysison Nilpotent Groups and singulyar Integrals. I. Osillatory Integrals, J. Funct. Anal. 1987. 10. Abdullayev J.I., Shermatov M.H. “Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi” Samarqand: SamDU nashri 2009 11. G’oziyev A. “Analitik funkyaning chegaraviy masalalari” SamDU. 2010- yil. 47

KARRALI XOSMAS INTEGRALLAR VA ULARNING TADBIQLARI Mundarija : KIRISH…………………………………………………………………………… 4 I Bob. Karrali xosmas integrallar haqida umumiy tushunchalar …………... I.1-§. Karrali xosmas integral ta’rifi ……………… .…………………………… 6 I.2-§. Manfiymas funksiyadan olingan xosmas integral ……………………. 11 II bob. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishi .…………............ II.1-§. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari…………… 14 II.2-§. Karrali xosmas integrallarning absolyut yaqinlashishi ...………………… 18 II.3-§. Karrali xosmas integrallar va karrali qatorlar yaqinlashishi orasidagi bog’lanish……………………………………………………………....... 24 II.4-§. Karrali xosmas integrallarning yaqinlashishiga doir misollar …………… 30 III bob. Ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral……………. III.1-§. Ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral yaqinlashishi….. 36 III.2-§. Karrali xosmas integralning bosh qiymati…………………. 49 XULOSA………………………………………………………………………….. 60 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATI…………………………….ʻ 61 1

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Fakultet: Matematika Kafedra: Matematik analiz O‘quv yili: 2020-2024 Bakalavr: G. Boboxonova Ilmiy rahbar: dots. B. Fayzullayeva Mutaxasisligi: Matematika “Karrali xosmas integrallar va ularning tadbiqlari” mavzusidagi bitiruv malakaviy ishiga ANNOTATSIYA Ushbu bitiruv malakaviy ishida matematik analiz sohasida nazariy izlanishlarda keng qo’llaniladigan karrali xosmas integrallar yaqinlashi va hisoblash masalari o’rganilgan. karrali xosmas integrallar yaqinlashishining taqqoslash alomatlari, absolyut yaqinlashishi, karrali xosmas integrallar bilam bog’liqligi, bosh qiymat masalalari keltirilgan va misollar asosida yoritilgan. Bundan tashqari karrali xosmas integrallar tadbiqlari o’rganilgan. ABSTRACT to the dissertation work on the subject “Multiple improper integrals and their applications” In this graduation thesis, the approximation and calculation problems of multiple improper integrals, which are widely used in theoretical research in the field of mathematical analysis, are studied. Comparison signs of convergence of multiple improper integrals, absolute convergence, relationship with multiple improper integrals, 2

principal value problems are given and explained on the basis of examples. In addition, applications of multiple improper integrals were studied. KIRISH Masalaning qo‘yilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishi analizning muhim, lekin kam tadqiq qilinadigan qismlaridan biri bo’lgan karrali xosmas integrallarni o’rganishga bag’ishlangan. Asosiy masala karrali xosmas integrallarning yaqinlashishi, parametrga bog’liq karrali xosmas integrallar, karrali xosmas integrallar va karrali qatorlar yaqinlashishi orasidagi bog’lanish, ixtiyoriy soha bo’yicha olingan karrali xosmas integral yaqinlashishi, karrali xosmas integralning bosh qiymati kabi tushunchalarni o’rganish va ularga doir misollar yechishdan iborat. Mavzuning dolzarbligi. Matematik analizdagi nazariy izlanishlarda va fizik jarayonlarning matematik modelini tuzishda karrali xosmas integrallar mavzusi keng qo’llaniladi. Matematik fizikaning ko’pgina masalalarida ma’lum sohalarda berilgan funksiya xosmas integralining xarakterini o’rganishdan iborat. Bundan tashqari integral geometriya masalalarining Radon almashtirishlarining formulasi maxsuslikka ega bo’lgan funksiyalarning integralini o’rganish masalasiga keltiriladi. Bu kabi masalalar hisoblash masalasida ham uchraydi. Tadqiqotning obyekti va predmeti. Karrali xosmas integrallar, karrali xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi, karrali qatorlar, parametr, bosh qiymat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Bu ishda karrali xosmas integrallarni har tomonlama o’rganish maqsad qilib qo’yilgan. Karrali xosmas integrallarni hisoblash, ularning asimptotikasini va parametrga bog’liq misollar o’rganishdan iborat. Tadqiqotda qo‘llanilgan metodikaning tavsifi. Mazkur bitiruv malakaviy ishida matematik analiz, chiziqli algebra, oddiy differensial tenglamalar, kompleks 3

o‘zgaruvchili funksiyalar, funksianal analiz va matematik fizika tenglamalari fanlaridagi usullardan foydalanildi. Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Bitiruv malakaviy ishi uchta bob, sakkizta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Teorema va natijalar hamda formulalar bob, paragraf va tartib raqami bo‘yicha nomerlangan. 4

I bob. Karrali xosmas integrallar haqida umumiy tushunchalar. I.1-§. Xosmas integral ta'rifi . Amaliyotda muhim bo'lgan masalalarni yechish uchun integralni chegaralangan soha bo'yicha hisoblashni bilish yetarli. Ammo nazariy izlanishlarda chegaralanmagan soha, xususan, butun fazo bo'yicha ham integrallashga to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, bunda olingan natijalar ko'pincha amaliy masalalarni yechishda ham foydali bo'ladi. Avval R n fazosida funksiyani integrallash masalasini ko'rib chiqaylik. Ushbu paragrafda biz, bunga ba'zan alohida urg'u bermasdan, f funksiyani Rn fazosida aniqlangan va istalgan kublanuvchi ( n=2 bo'lganda kvadratlanuvchi) Ω ⊂ R n sohada integrallanuvchi deb faraz qilamiz. Bunday funksiyalarni Rn da lokal integrallanuvchi deb ham ataymiz. Bir o'zgaruvchili holda, R to'g'ri chiziq bo'yicha integrallash masalasini yechishda, avval istalgan [a,b] kesma bo'yicha integrallanib, so'ngra a→ −∞ va b→ +∞ deb, limitga o'tilgan edi. Boshqacha aytganda, [ a k , b k ] ⊂ [ a k + 1 , b k + 1 ] va lim ¿ k → ∞ [ a k , b k ] = R ¿ xossalarga ega bo'lgan [ a k , b k ] kesmalar ketma-ketligiga o'tilgan edi. Agar bunda hosil bo'lgan integrallar ketma-ketligi limitga ega bo'lsa, ana shu limit R to'g'ri chiziq bo'yicha olingan xosmas integral deb atalgandi. Ko'p o'zgaruvchili holda ham xuddi shu yo'lni tutishimiz mumkin. Tabiiyki, bunda I ( Ω k ) = ∫ Ω k ❑ f ( x ) dx ( 1.1 .1 ) 5

Похожие

GRAFLAR NAZARIYASI ELEMENTLARI VA ULARNING MASALALAR YECHISHGA TADBIQLARI
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi
EVOLYUTSION ALGEBRA VA UNING TADBIQLARI
FAZOSI BIR JINSLI KO’PHADDAN IBORAT BO’LGAN TEBRANIVCHAN INTIGRALLARNING BAHOSI
SIRT INTEGRALLARINING MAYDONLAR NAZARIYASIGA