Reja: I bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar. 1.1 Rm fazo va uning muhim to’plamlari. 1.2 Rm fazoda ketma -ketlik va uning limiti 1.3 Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning limiti II bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi. 2.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi. 2.2 Uzluksiz funksiyalarning xossalari. 2.3 Ko’p o’zgaruvchili funkiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi. Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar.

I bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar 1.1 Rm fazo va uning muhim to’plamlari. Rm fazo m ta A1, A 2, A 3, ... A m (m > 1, butun son) to’plamlarning Dekart ko’paytmasi ikkita A va V to’plamlarning Dekart ko’paytmasiga o’xshash ta’riflanadi. Agar A1 = A 2 = . . . =A m = R bo’lsa, u holda To’plam Rm to’plam deb ataladi. Rm to’plamning ( x1, x 2, . . . x m) shu to’plam nuqtasi deyiladi va u odatda bitta harf bilan belgilanadi: x = (x 1, x 2, . . . x m) Bunda x1, x 2, . . . x m sonlar x nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, . . . m – koordinatalari deyiladi. Agar nuqtalar uchun x1 = y 1, x 2 = y 2, . . . x m = y m. Bo’lsa , u holda x = y deb ataladi. Ta’rif Ushbu (1) Miqdor x va y nuqtalar orasidagi masofa (Evklid masofasi) deb ataladi. Bunday aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega (bunda ) 1) 2) 3) Bu xossalarni isbotlaylik. (1) munosabatdan p(x, y) miqdorning har doim manfiy emasligini ko’ramiz. Agar p(x, y) = 0 bo’lsa, unda y1 – x1 = 0, y 2 – x2 = 0, . . . , y m – xm = 0 bo’lib, x1 = y 1, x 2 = y 2, . . . x m = y m ya’ni x = y bo’ladi. Aksincha x = y , ya’ni x1 = y 1, x 2 = y 2, . . . x m = y m bo’lsa, u holda (1) dan p(x,y) – 0 bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa 1) – xossani isbotlaydi. (1) munosabatdan bo’ladi. Masofaning 3) – xossasi ushbu 1 2 1 2 1 2 ... ... {( , ,..., ), , ,..., } m m m A A A R R R x x x x R x R x R           1 2 1 2 ( , ,..., ) , ( , ... ) mm mm x x x x R y y y y R    2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) m m m m n x y y x y x y x y x              ,, m x y z R ( , ) 0xy   ( , ) 0x y x y     ( , ) ( , )x y y x   ( , ) ( , ) ( , )x z x y y z    

(2) tengsizlikka asoslanib isbotlanadi, bunda a1, a 2, . . . a m; b 1, b 2, . . . b m ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Avvalo shu tengsizlikning to’g’riligini ko’rsatayl ik. Ravshanki, uchun Bundan, x ga nisbatan kvadrat uchhadning manfiy emasligi kelib chiqadi. Demak, bu kvadrat uchhad ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. Binobarin, uning diskrminanti bo’lishi kerak. Bundan esa bo’lib, bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa bo’lishi kelib chiqadi. Odatda (2) tengsizlik Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi. Ixtiyoriy nuqtalarni olib, ular orasidagi masofani (1) formuladan foydalanib topamiz: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m m m x y y x y x y x x y x y x y                2 2 2 11 1 1 1 () m m m m m m a b a b          2 1 ( ) 0 m i ax b    2 2 2 1 1 1 ( ) (2 ) 0 m m m i i i i i i a x a b x b          2 2 2 1 1 1 [ ] 0 m m m i i i i i i i a b a b         33 1 1 1 m m m i i i i i i i a b a b        1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m i i i i i i i i i z x y x z y            2 2 2 1 1 1 () m m m i i i i i i i a b a b          1 2 1 2 ( , ,..., ) , ( , ... ) mm mm x x x x R y y y y R   

(3) Endi Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi (2) da , , deb olsak, unda bo’lib, bo’ladi. Yuqoridagi (3) munosabatlarni e’tiborga olib, topamiz: Bu esa 3) – xossani isbotlaydi. 1.2 Rm fazoda ketma -ketlik va uning limiti Ushbu akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan to’plam Rm fazoda ketma -ketlik deyiladi va 3* kabi belgilanadi. Har bir ni ketma -ketlik hadlari hadlari deyiladi. Rm fazoda biror { x(n) }: Ketma -ketlik va a = (a 1, a 2, . . . a m) nuqta berilgan bo’lsin. 2 1 ( , ) ( ) m ii i x y y x     2 1 ( , ) ( ) m ii i z y z y     2 1 ( , ) ( ) m ii i x z x z     11 ia y x  11 ib z x  11 ic z y  1 1 1 1a b z x    ( 1, 2,..., )im 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m i i i i i i i i i z x y x z y            ( , ) ( , ) ( , )x z x y y z     : m f N R  (1) ( 2) ( ) ; ;...; ;... n x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 12 ( , ,..., )( 1, 2,...) n n n n m x x x x n  (1) ( 2) ( ) ; ;...; ;... n x x x

Ta’rif Agar olinganda ham shunday topilsaki, ixtiyoriy n > n 0 uchun tengsizlik bajarilsa, a nuqta {x(n) }ketma -ketlikning limiti deyiladi va yoki da kabi belgilanadi. Agar {x(n) }ketma -ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma -ketlik deyiladi. 1-misol Rm fazoda ushbu ketma -ketlikning limiti a = (0, 0, . . . 0) ekanini ko’rsating. sonni olaylik. Shu ga ko’ra ni topamiz. Unda uchun bo’ladi. Demak, Ta’rifga ko’ra bo’ladi. Teorema Rm fazoda ketma -ketlikning a = (a 1, a 2, . . . a m) ni intilishi: 0   0nN  () ( , ) n xa   () lim n n xa   n  ()n xa  () 1 1 1 { } { , ,..., } n x n n n  0    0 ]1 m n   0 nn  () 1 1 1 ( , ) (( , ,..., ), (0, 0,..., 0)) n xa n n n   2 2 2 1 1 1( 0) ( 0) ... ( 0) n n n         2 0 [ ] 1 m m m m nn n m         () ( , ) n xa   () 1 1 1 lim lim ( , ,..., ) (0, 0,..., 0) n nn xa n n n      ( ) ( ) ( ) ( ) 12 { } { , ,..., } n n n n m x x x x 