LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI

Загружено в:

20.11.2024

Скачано:

0

Размер:

844.583984375 KB

Скачать

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA
TATBIQLARI

Mundarija
Kirish……………………………………………………………………………
Masalaning qo‘yilishi…………………………………………………………..
Analitik mexanikaning asosiy elementlari……………………………………
1-bob. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR
YECHISHGA TATBIQLARI ………………………………………………….
1.1. Lagranjning 1-tur tenglamalari………………………………………….
1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari.
2-bob. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR
YECHISHGA TATBIQLARI……………………………………………………
2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari…………………………………………….
2.2. Mexanik sistemalar dinamikasini masalalarida Lagranjning 2- tur
tenglamasining qo‘llanishi……………………………………………………….
XULOSALAR…………………………………………………………………….
ADABIYOTLAR RO‘YXATI……………………………………………….......
2

Masalaning qo‘yilishi.
Mexanik sistemalarningni matematik modellashtirishda yani harakat diferensial
tenglamalarini olishda Lagranj tenglamalaridan keng foydalaniladi. Lagranjning
birinchi tur tenglamalaridan foydalanishida mexanik sistemaga qo‘yilgan
bog‘lanishlar tenglamalarini aniqlab, Lagranjning ko‘paytuvchilar usuli bo‘yicha
sistemaning differensial tenglamalari ifodalannadi. Natijada bog‘lanishlar
tenglamalari bilan birgalikda keltirilgan ko‘paytuvchilarning qiymatlari va
sistemaning yechimlari, izlanayotgan nomalumlar aniqlanadi.
Lagranchning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanishda qaralayotgan mexanik
sistemaning umumlashgan kordinatalari, tezliklari, kinetik va potensial
energiyalari tasir etuvchi umumlashgan kuchlar aniqlanib, mexanik sistemaning
harakat diferensial tenglamalari aniqlanadi. Integrallash natijalari va boshlang‘ich
shartlardan foydalanib, mexanik sistemalarning harakat, dinamikasi o‘rganiladi.
Ushbu bitiruv malakaviy ish Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari
yordamida mexanik sistemalarning turli harakatlarini o‘rganishga oid masalalarni
yechishga, tahlil qilishga bag‘ishlangan.

3

Analitik mexanikaning asosiy elementlari.
Nuqtalarning holati va harakati o’zaro bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar
to’plamiga mexanik sistema deyiladi.
Harakati jarayonida nuqtalari orasidagi masofa o’zgarmas bo’lgan mexanik
sistemaga absalyut qattiq jism deyiladi.
Agarda mexanik sistemaning har bi nuqtasi fazoda istalgan vaziyatni egallay
olsa va istalgan tezlikka erisha olsa sistemaga erkin sistema, aks holda erksiz
sistema deyiladi.
Mexanik sistema holati va harakatini chegaralovchi sabablarga bog’lanishlar
deyiladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining holatiga va tezligiga chek
qo’yadi.
Mexanik sistemaga bog’lanishlar tomonidan qo’yilgan cheklanishlar qo’shimcha
kuchlanishlarni yuzaga keltirib chiqaradi. Bu kuchlarga bog’lanish reaksiyalari
deyiladi. Ularning boshqa kuchlardan farqi shundaki, bu kuchlar oldindan berilgan
bo’lmaydi va ular bog’lanishlarning xarakteriga, sistemaning holati hamda
xarakatiga bog’liq bo’ladi.
Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va
vaqt orasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglama yoki tengsizliklar bilan
beriladi.
Mexanik sistema N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. V-nuqtaning
dekart koordinatalarini x
v , y
v , z
v lar bilan belgilaymiz. Agar sistemaga bitta
bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u analitik usulda umumiy holda, quydagicha bo’ladi.
f(x1,y1,z1,x2,y2,z2....,˙x1,˙y1,˙z1,....,˙xn,˙yn,˙xn,t)≤0, (1.1)
bu yerda
˙xv,˙yv,˙xv(v=1,2 ,....,N) lar v-nuqta tezligining dekart koordinata
o’qlaridagi proeksiyalari , t vaqt. Agar (1.1) munosabatda tenlik belgisi qo’yilgan
bo’lsa, bunday bog’lanishga ushlab tura oladigan bog’lanish, tengsizlik belgisi
qo’yilgan bo’lsa bunday bog’lanishga qo’yib yuboriladigan bog’lanish deyiladi.
Masalan: koordinatalari x
1 , y
1 , z
1 va x
2 , y
2 , z
2 bo’lgan ikkita sterjen vositasida
bir-biriga bog’langan bo’lsin. Bu holda bog’lanish ushlab tura oladigan bog’lanish
bo’ladi va uning tenglamasi quydagicha yiziladi:
(x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− l2= 0,
yani, bu nuqtalar orasidagi masofa hamma vaqt o’zgarmas qoladi.
4

Agar sterjenni cho’zilmaydigan ip bilan almashtirsak nuqtalar bir-biriga
yaqinlasha oladi, lekin bir-biridan l dan katta masofaga uzoqlasha olmaydi. Bu
holga bog’lanish qo’yib yuboradigan bog’lanish bo’ladi va bo’g’lanish tenglamasi
quydagicha bo’ladi:
Kelgusida biz faqat ushlab tura oladigan bog’lanishlarni qaraymiz.
Agar bog’lanish tenglamasi
f(xv,yv,zv,˙xv,˙yv,˙zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,N) (1.2)
Vaqt t dan oshkor ko’rinishda bog’liq bo’lsa, bunday bog’lanishga reonomli yoki
nostatsionar bog’lanish deyiladi.
Masalan: ikkita nuqta elastik sterjen bilan bir-biriga bog’langan va sterjen
uzunligi quydagi qonun bilan o’zgarsin:
l=l1+l0sin t . Bu holda bog’lanish
tenglamasi quydagicha bo’ladi:
(x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− (l1+l2sin t)2= 0,
bu yerda x
1 ,y
1 ,z
1 va x
2 ,y
2 ,z
2 lar nuqtalarning koordinatalari.
Agar bog’lanish sistema nuqtalarining faqat kordinatalariga chek qo’ysa, ya’ni
bog’lanish tenglmasi quydagi ko’rinishda berilgan bo’lsa,

f(xv,yv,zv,t)=0 (1.3)
bunday bog’lanishga geometrik yoki gonolomli bog’lanish deyiladi. (1.2) tenglama
bilan berilgan bog’lanishga kinematik bog’lanish deyiladi.
Agar kinematik (differensial) bog’lanish tenglamasi (1.2) ni integrallash yo’li
bilan (1.3) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lmasa, bunday bog’lanishga
nogonomli (integrallanmaydigan) bog’lanish deyiladi. Agar (1.2) tenglama
integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirilsa, u holda bog’lanish geometrik
bog’lanish bo’ladi.
Masalan: bog’lanish tenglamasi
∑v=1
N
(xv˙xv+yv˙yv+zv˙zv)=0
ko’rinishida berilgan bo’lsin. Bu tenglama integrallashdan so’ng quydagi
ko’rinishga keladi.
∑v=1
n
(xv2+yv2+zv2)= c,
integrallash o’zgarmas. Demak, bog’lanish geometrik bog’lanish bo’lar ekan.
5

Agar gonolomli bog’lanish tenglamasi vaqtdan oshkor bog’liq bo’lsa, ya’ni
bog’lanish tenglamasi
f(xv,yv,zv)=0 (v=1,2,3 ,...,N)
ko’rinishida berilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga skleronomli statsionar
bog’lanish deyiladi.
Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, nogolonomli bog’lanish tenglamasi t dan oshkor
bog’liq bo’lmasa ham bog’lanish reonomli bo’lishi mumkin.
Mexanik sistemaga tenglamalari quydagi ko’rinishda berigan m ta bog’lanish
qo’yilgan bo’lsin, ya’ni
∑v=1
N
(Aμv ˙xv+Bμv ˙yv+Cμv ˙zv)+D μv= 0
(μ=1,2 ,...,m)
Bu yerda
Aμv,Bμv,Cμv,Dμv lar koordinatalarining va vaqtning funksiyasi. Agar bu
tenglamalar sistemasi integrallansa, bog’lanish gonolomli, aks holda nogonolomli
bo’ladi.
Moddiy sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar gonolomli bo’lsa, bunday sustemaga
gonolom sistewma deyiladi. Agar bog’lanishlardan hech bo’lmaganda bittasi
nogonolomli bo’lsa, bunday sistemaga nogonolomli sistema deyiladi.
Mexanik sistema holatini to’lasincha aniqlovchi parametrlarga, ya’ni sistemani
har bir nuqtasining holatini aniqlovchi parametrlarga umumlashgan deyiladi.
N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan moddiy sistemaga k-ta geometrik
bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni

f(xv,yv,zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,k) (1.4)
3N ta koordinatalar k ta tenglamalar bilan bog’langan. Bu tenglamalar sistemasini
echib, k ta koordinatalarni qolgan 3N-k ta koordinatalar orqali ifodalash mumkin.
Bu 3N-k ta koordinatalar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shu
koordinatalar sistema nuqtalarining holatini bir qiymatli aniqlaydi. Bu
koordinatalar umumlashgan koordinatalar bo’ladi. Shunday qilib, umumlashgan
koordinatalar soni
n=3N-k (1.5)
ga teng bo’lar ekan.
Umumlashgan koordinatalar sifatida faqat dekart koordinatalarini olish shart
emas, balki ihtiyoriy koordinatalarni olish mumkin. Har xil masalada har xil
umumlashgan koordinatalar kritiladi. Umumlashgan koordinatalarni qulay tanlash
masala yechimini osonashtiradi.
6

Moddiy nuqtaga geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Geometrik bog’lanish
tenglamasi quydagicha yoziladi:
f(x, y, z) = 0 (statsionar bog’lanish) (1.6)
f(x, y, z, t) = 0 (reonomli bog’lanish) (1.7)
Ushlab tura olmaydigan bog’lanish f(x, y, z)≥0 ko’rinishida bo’ladi. Buni
quydagicha ham yozish mumkin:
f(x, y, z) = c (1.8)
bu yerda c≥0. Bu bog’lanishlar ta’sirida nuqta f(x, y, z)=0 sirt ustida turishi yoki
f(x,y,z)>0 tengsizlikni qanotlantirgan holda bog’lanishni tashlab ketishi mumkin.
Erksiz moddiy nuqtaning x, y, z koordinatalari ihtiyoriy paytda bog’lanish
tenglamasini qanotlantirishi kerak. Shuning uchun nuqtaga bitta geometrik
bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, o’zaro bog’liq bo’lmagan koordinatalar ikkita bo’ladi
va nuqtaning erkinlik darajasi ikkiga teng. Ikkita geometrik bog’lanish qo’yilgan
bo’lsa, nuqta bitta erkinlik darajasiga ega bo’ladi. Uchta geometrik bog’lanish
qo’yilgan bo’lsa, nuqta qaralayotgan sanoq sistemasiga nisbatan qo’zg’almas
bo’ladi.
Moddiy nuqtaga qo’yib yubormaydigan statsionar bog’lanish qo’yilgan bo’lsin
f(x, y, z)=0.
M nuqtaning koordinatalarini x, y, z bilan belgilaymiz. Nuqtaga MM 1=δ⃗r
virtual ko’chish beramiz, u holda M
1 nuqtaning koordinatalari
x+δx ,y+δy ,z+δz ,
bo’ladi. M
1 nuqtaning koordinatalari bog’lanish tenglamasini qanoatlantirishi
kerak, ya’ni
f(x+δx ,y+δy ,z+δz )=0
Bu ifodani darajali qatorga yozamiz.
f(x,y,z)+∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz +ε(δx ,δy ,δz )=0,
Bu yerda
ε(δx ,δy ,δz ) = δx ,δy ,δz larga nisbatan yuqori tartibli kichik miqdor.
f(x,y,z)=0 va yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, quydagi tenglikka
kelamiz

∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz =0 (1.9)
Shunday qilib f(x,y,z)=0 bog’lanish bo’lgan holda nuqta koordinatalarining
variatsiyalari (1.9) tenglikni qanoatlantirar ekan.
7

O’zaro bog’liq bo’lmagan varatsiyalar ikkita bo’ladi. Endi bog’lanish qo’yib
yubormaydigan reonomli bo’lsin, ya’ni f(x,y,z,t)=0 M
1 nuqtaning koordinatalarini
bog’lanish tenglamasiga qo’yib, uni darajali qatorga yoyamiz.f(x+δx ,y+δy ,z+δz )=
f(x,y,z)+∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz +ε(δx ,δy ,δz )=0,
f(x,y,z,)=0 va yuqori tartibli kichik
miqdorlarni tashlab yuborsak, ya’ni (1.9) ga
mos munosabatni hosil qilamiz, yani
∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz =0
(1.9)
Bundan ko’rinib turibdiki, bog’lanishning reonomligi koordinatalarning
variatsiyalariga hech qanday ta’sir ko’rsatmaydi, chunki vaqt variatsiyalanmaydi.
Endi bog’lanish f(x,y,z)=0 bo’gan holda nuqtaning haqiyqiy ko’rinishini
qaraymiz. Nuqta t paytda M holatda bo’lsin. dt vaqt oralig’ida nuqta
M11 holatga
o’tsin.
M11 nuqtaning koordinatalari x+dx, y+dy, z+dz va haqiqiy ko’chish
MM 1
1=dr
bo’ladi M11 nuqtaning koordinatalari bog’lanish tenglamasini
qanoatlantirishi kerak, ya’ni
f(x+dx, y+dy, z+dz)=0
buni darajali qatorga yoyamiz.
f(x,y,z)+∂f
∂xdx +∂f
∂ydy +∂f
∂zdz +ε(δx ,δy ,δz )=0,
Bu yerda
ε(δx ,δy ,δz ) - δx ,δy ,δz larga nisbatan yuqori tartibli kichik miqdor.
f(x,y,z)=0 ni e’tiborga olib, yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak,
quydagi munosabatni hosil qialmiz

∂f
∂xdx +∂f
∂ydy +∂f
∂zdz =0 (1.10)
Demak, bog’lanish statsionar bo’lgan holda nuqta koordinatalarining
variatsiyalari ham, haqiqiy ko’rinishning proeksiyalari ham bir xil shartlarni
qanoatlantirar ekan, ya’ni bu holda nuqtaning haqiqiy ko’chishi mumkin bo’lgan
ko’chishlar to’plamiga kirar ekan.
8

Bog’lanish reonomli bo’lsin, ya’ni f(x,y,z,t)=0. M11 nuqta koordinatalarini
bog’lanish tenglamasiga qo’yib, uni darajali qatorga yoyamiz:

f(x+δx ,y+δy ,z+δz )= f(x,y,z,t)+∂f
∂xdx +∂f
∂ydy +∂f
∂zdz +ε(δx ,δy ,δz )=0,
Yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborib, hamda f(x,y,z,t)=0 ni etiborga
olib, quydagi munosabatni hosil qilamiz:

∂f
∂xdx +∂f
∂ydy +∂f
∂zdz +∂f
∂tdt=0. (1.11)
Bu holda (1.10) va (1.11) shartlar bir xil emas, ya’ni haqiqiy ko’chish
proeksiyalari bilan mumkin bo’lgan ko’chish proeksiyalari har xil shartlarni
qanoatlantiradi. Bu shuni bildiradiki, bog’lanish reonomli bo’lsa nuqtaning xaqiqiy
ko’chishi mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plamiga
qarashli bo’lmaydi. Buni geometrik
interpritarsiyasini qaraymiz.
Vaqtning biror t paytda nuqta turg’un sirt I
holatda bo’lsin.
Harakatlanuvchi nuqta M holatda bo’lsin. Shu t
vaqtda nuqtaning har qanday virtual ko’chishi I
sirtni M nuqtasidan o’tuvchi urinma tekislikda
yotadi. Nuqtaning haqiqiy ko’chishi dt vaqt
oralig’ida sodir bo’ladi. Bu vaqt oralig’ida sirt II
holatga o’tadi. Natijada
MM 1
1=dr vektor aytilgan urima tekislikda yotmaydi,
shuning uchun haqiqiy ko’chish birorta ham virtual ko’chish bilan ustma-ust
tushmaydi. Endi nuqtaga ushlabtura olmaydigan statsionar bog’lanish holni
karamiz, ya’ni
f(x,y,z)=c
bu yerda c≥0. Nuqtaga
δ⃗r(δx ,δy ,δz ) virt ual ko’chish beramiz. U holda nuqtaning
yangi holati uchun
f(x+δx ,y+δy ,z+δz )= с+δс ,
bu yerda
δc =0 , agar nuqta bog’lnishni tashlab ketmasa, δc ≠0, agar nuqta
bog’lanishni tashlab ketsa. Oxirgi ifodani Teylor qatoriga yoyib, yuqori tartibli
kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, quydagi tenglikni hosil qilamiz:
f(x,y,z)+∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz =с+δс
9

f(x,y,z)=c bo’lgani uchun
∂f
∂xδx +∂f
∂yδy +∂f
∂zδz =δс
(1.12)
(1.12) tenglik qo’yib yuboradigan bog’lanish tomonidan nuqta koordinatalari
variatsiyalariga qo’yiladigan shartni ifodalaydi. Agar nuqta bog’lanishni tashlab
keta olmasa,
δc =0 ; va (1.12) shart (1.9) shart bilan ustma-ust tushadi. Agar nuqta
bog’lanishni tashlab ketsa,
δc aniq bir ishoraga bog’liq bo’ladi.
Bog’lanish reonomli bo’lgan holda ham huddi shunday natijani olamiz. Olingan
natijalarni boshqacha ko’rinishda ham tasvirlash mumkun. Bizga ma’lumki

gradf (x,y,z)= ∂f
∂x
⃗i+∂f
∂y
⃗j+∂f
∂z
⃗k
Bundan foydalanib, (1.9) va (1.12) shartlarni quydagicha yozish mumkin:

gradf δ⃗r=0 (1.13)
yoki ushlab tura olmaydigan bog’lanish uchun

gradf δ⃗r=δc (1.14)
bu yerda
δc aniq bir ishoraga ega.
N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Sistemaga
k ta ganolomli bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Qaralayotgan sistemaning holati
n=3N-k ta q
1, q
2 ,…, q
n o’zaro bog’liq bo’lmagan parametrlar bilan aniqlanadi. Ana
shu q
i (i=1,2,…,n) parametrlarga sistemaning umumlashgan koordinatalari
deyiladi. Sistemaning erkinlik darajasi deb, umumlashgan koordinatalarning o’zaro
bog’liq bo’lmagan variatsiyalari soniga aytiladi. Barcha 3N ta dekart
koordinatalarini umumlashgan q
1, q
2 ,…, q
n koordinatalar orqali ifodalash mumkin,
ya’ni

xv=xv(q1,q2,...,qn,t),
yv=yv(q1,q2,...,qn,t),(v=1,2 ,...,N),
zv=zv(q1,q2,...,qn,t), ( 1.15)
(1.15) tenglmalar vektor ko’rinishida quydagicha ifodalanadi:

⃗rv= xv⃗i+yv⃗j+zv⃗k=⃗r(q1,q2,....,qn,t) (v=1,2 ,...,N) (1.16)
Agar bog’lanishlar statsionar bo’lsa, (1.15) tenglamalarni shunday tasvirlash
mumkinki, ularning ifodasiga vaqt oshkor ko’rinishda kirmaydi, ya’ni
10

xv=xv(q1,q2,...,qn),
yv=yv(q1,q2,...,qn),(v=1,2 ,...,N),
zv=zv(q1,q2,...,qn), (1.17)
Bu holda systema nuqtalarining radius vektorlari ham faqat umumlashgan
koordinatalarning funksiyasi bo’ladi, ya’ni

⃗rv=⃗rv(q1,q2,....,qn) (v=1,2 ,...,N) (1.18)
vaqtni fiksirab olib, (1.15) funksiyalarni differennsiallaymiz:

~dxv=∑
i=1
n ∂xv
∂qi
~dqi, ~dyv=∑
i=1
n ∂yv
∂qi
~dqi, ~dzv=∑
i=1
n ∂zv
∂qi
~dqi,
fμ(xv,yv,zv,t)=0(μ=1,2 ,...,n)
bog’lanish tenglamalarini fiksirlangan t uchun to’la
differensialini hisoblaymiz

∑v=1
N
(
∂ fμ
∂xv
dx v+∂ fμ
∂yv
dy v+∂ fμ
∂zv
dz v)= 0
(μ=1,2 ,....,k)
Endi bog’lanish tenglamalarini variatsialaymiz
∑
v=1
N
(
∂ fμ
∂xv
δx v+∂ fμ
∂yv
δy v+∂ fμ
∂zv
δz v)= 0
Olingan oxirgi tenglamardan
dx v,dy v,dz v differensiallar δx v,δyvδzv variatsialar bilan
mos tushadi.
Koordinatalar variatsialari statsionar bog’lanish uchun ham, quydagi
formulalar bilan hisoblanadi:

δx v=∑i=1
n ∂xv
∂qi
δq i, δy v=∑i=1
n ∂yv
∂qi
δq i, δz v=∑i=1
n ∂zv
∂qi
δq i, (1.19)
δq i=dq i
larga umumlashgan koordinatalarning variatsialari deyiladi.
Bundan tashqari xulosa qilish mumkunki, gonolomli sistemaning erkinlik
darajasi umumlashgan koordinatalarning soniga teng bo’lar ekan. Nogolonomli
sistema uchun bunday emas, ya’ni sistemaning erkinlik darajasi umumlashgan
koordinatalar sonidan nogonolomli bog’lanishlar tenglamalari sonining ayirmasiga
teng.
11

Sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi kuchlarning mumkin bo’lgan
ko’chishlarda bajargan ishlari yig’indisiga mumkin bo’lgan ish deyiladi. Mumkin
bo’lgan ish quydagicha yoziladi:
δA =∑v=1
N
⃗Fv⋅δ⃗rv (1.20)
bu yerda:
⃗Fv sistemaning v- nuqtasiga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning teng ta’sir
etuvchisi,
δ⃗rv - o’sha nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi.
(1.16) va (1.19) ga asosan mumkin bo’lgan ko’chish uchun quydagi ifodani
yozish mumkin:

δ⃗rv=∑
i=1
n ∂⃗rv
∂qi
δq i, (1.21)
(1.21) ni (1.20) ga qo’yamiz;

δA =∑
v=1
N
⃗Fv∑
i=1
n ∂⃗rv
∂qi
δq i
Bu yerda yig’indi tartibini almashtiramiz

δA =∑
v=1
N
δq i∑
i=1
n
⃗Fv
∂⃗rv
∂qi
Quydagicha belgilash kiritamiz

Q=∑ ∑
i=1
n
⃗Fv
∂⃗rv
∂qi
= ∑
v=1
N
(Xv
∂xv
∂qi
+Yv
∂yv
∂qi
+Zv
∂zv
∂qi) (1.22)
Q
i ga q
i umumlashgan koordinataga mos umumlashgan kuch deyiladi. Har bir
umumlashgan koordinataga bitta umumlashgan kuch mos keladi. Natijada:

δA =∑i=1
n
Qiδq i= Q1δq 1+Q2δq 2+...+Qnδq n (1.23)
Umumlashgan ish ifodasidagi umumlashgan koordinatalar variatsiyalari
oldidagi koeffitsientlar umumlashgan kuchlarni ifodalaydi.

1.1. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI
12

A k t i v k u c h l a r t a ’ s i r i d a g i m e x a n i k s k s t e m a n i q a raymiz. Sistemaga
chekli golonomli va differensial bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin, N ta moddiy
nuqtadan tash kil topgan mexanik sistemaning xarakat differensial tenglamalari
quyidagicha bo’ladi.

( (1.1)

(1,1) tenglamalarda 3 N ta dekart koordinalari, 3 N ta……. reaksiya
kuchlarining proyeksiyalari, ya’ni 6 N ta noma’lum katnashadi.
Sistema nuqtalariga k ta cheklifk(x,y,z,t)=0,(k=1,2 ,...,k)
( 1 .2)
r ta differensial
(1.3)
boglanishlar qo’yilgan bo’lsin. Bu yerda …… va …… lar sistema nuqtalarining
koordikatalarini va vaqtni funksiyalari.
Shunday qilib; r ta differensial bog’lanishli va k ta geometrik bog’lakishli
nogolonomli sistemani qaraymiz.
Mexanik sistemani harakat differensial tenglamalari (1.2) va (1.3) bog’lanish
tenglamalari bilan birgalikda 3 N+k+r tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu
tengla malardan 6 N ta nomalumlarni topishimiz kerak. Demak, noma’lumlarning soni
tenglamalar sonidan 3n -(k+r) taga ko’p, ya’ni sistemaning erkinlik darajasi qadar
ko’p, Bun- dan ko’rinib turibdiki, (1.2),(1.3) bog’lanish tenglamalari ni berilishi
masalani dinamik aniq masalaga keltirish uchun yetarli emas. Sistema bog’lanishlariga
qo’shimcha shart lar qo’yish kerak.
Faraz qilaylik, sistemaga qo’yilgan hamma b og’lanishlar ideal bo’lsin. Bu xolda
masala aniq masalaga keltiriladi. Bog’lanshlar ideal bo’lgan xolda dinamikaning
umumiy teng lamasidan foydalanamiz, bu tenglamaga bog’lanish reaksiyala ri
kirmaydi.
13

Yuqoridagi bog’lanish tekglamalarini variasiiyalab q uyidagi teng lamalarni hosil
kilamiz:
(1.4)
va
(1.5)
Shunday qilib, 3 N ta δ x
v , δ y
v , δ z
v variasiyalardan k+r tasi o’zaro bog’langan, 3K-
(k+r) tasi o’zaro bog’lanmagan. (k+r) ta o’zaro bog’langan variasiyalarni (1.4) va (1.5)
tengla malardan topib. Dinamikaning umumiy tenglamasiga ko’yamiz. Natijada oxirgi
tekglamada faqat o’zaro bog’lanmagan variasiyalar katnashadi. Variasiyalarni
o’zaro bog’liq, bo’lmaganligidan, ular oldidagi koeffitsiyntlar nolga tengligi kelib
chiqadi, nat'ijada 3N-(k+r) ta tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamalarga (1.2) va (1.3) (k+r) ta bog’lanish teng lamalarini ko’shib, 3 N
ta tenglamalar sistemasini hosil qi lamiz. Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan 3 N
ta dekart koordinatalarini topish mumkin.
Demak o‘zaro bog’liq, variasiyalarni yo’qotishni Lagranjning anikmas
kupaytuvchilar metodidan foydalanib bajarish osonrok. Buning uchun (1.4)
tenglamalarning har birini λk(k=1,2 ,...,k) ga, (1.5) tenglamalarni har birini ga
ko’paytirib, dinamikaning umumiy tenglamasi bilan hadma-had qo‘shamiz:
(1.6)
(1.6) tenglamada λ va μ larni shunday tanlaymizki, (k+r) ta o’zaro bog’liq
variatsiyalar oldidagi koeffitsentlar nolga aylansin, qolgan variatsiyalar o’zaro
bog’liqmasligidan, ularning oldidagi koeffitsentlar ham nolga teng bo’ladi.
Natijada 3N ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

( (1.7 a )

14

(1.7a) tenglamalarga (k+r) ta
(1.7b)
(1.8)
bog’lanish tenglamalarni qo’shib, (3N+k+r) ta tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz. Bu tenglamalar sistemasidan 3 N ta Dekart koordinatalarini va (k=r) ta
Lagranj ko’paytuvchilarini topish mumkin. (1.7) tenglamalarni (1.1) tenglamalar
bilan solishtirib, kuyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:

( (1.9)

Lagranj ko ’ paytuvchilaryaking mexanik ma ’ nosi statikada qanday bo ’ lsa , bu
yerda ham xuddi shunday bo ’ lar ekan , ya ’ ni ular reaksiya kuchlariga proporsional
buladi .
(1,7) tenglamalarga Lagranjning 1-tur tenglamala ri deyiladi.
1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari.
1.1-masala
m massaga ega bo‘lgan nuqta va tekisliklarning
kesishishidan hosil bo‘gan to‘g‘ri chiziq bo‘yicha harakatlanadi (oz-vertikal o‘q.)
Nuqtaning harakat tenglamasini yozing, bog‘lanishlar reaksiyasini toping.
Bog‘lanishlar tenglamasini yozamiz
(1)
Sistemaning erkinlik darajasi birga teng.
Ushbu holda tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi:
15

(2)
(3)
(4)
Bog‘lanishlar reaksiyalarining teng tasir etuvchisining proeksiyalari
(5)
(1) Munosabatlarni differensiallab mumkin bo‘lgan tezlik va tezlanishlar
tenglamalarini olamiz
(6)
(7)
Nuqtaning tezlanishining proeksiyalari
(8)
Bog‘lanishlar ko’paytuvchilari
(9)
(9) ifodalarni (5) ga qo‘ysak quyidagiga ega bo‘lamiz
(10)
(8) tenglamalarni integrallash natijasida topamiz
(11)
Ushbu ifodalardagi o‘zgarmaslardan ikkitasi o‘zaro bog‘lanmagan ,
bu shartdan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
16

U holda (11) tenglamalarni ikkita o‘zgarmaslar bo‘yicha quyidagicha yozish
mumkin

1.2-masala
m massali material nuqta markaziy tortish kuchi tasirida silliq
qo‘zg‘almas ellipsoid va a,b,c yarim o‘q bo‘yicha harakatlanadi ( r-nuqtaning
radius vektori , o‘zgarmas) reaksiya kuchini nuqtaning holati va tezligi
funksiyasi sifatida aniqlang.
Bog‘lanish tenglamasi quyidagicha bo‘ladi :

Bundan topamiz
(1)
Nuqtaning harakat tenglamalari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(2)
tenglamalardan larni topamiz, (1) ifodaga qo‘yamiz va bog‘lanishlarning
ko‘paytuvchini aniqlaymiz yani

17

Ellipsoid riyaksiyasi uchun ega bo‘lamiz.

1.3-masala
Massalari va bo‘lgan ikkita material nuqta silliq siterjen orqali ip bilan
bog‘langan va vertical tekislikga harakatlanadi. Nuqtalarning tezlanishini aniqlang.
0
x
Ip cho‘zilmaydigan bo‘lgani uchun geometrik bog‘lanish tenglamasini quyidagicha
yozish mumkin:
(1)
Bu yerda sterjen kesiminingradiusi. Bu holda lagranjning birinchi tur
tenglamasini yozamiz
(2)
(1) bog‘lanish tenglamasi bo‘yicha U holda (2) tenglamalardan ega
bo‘lamiz
ipning reaksiyasi . Ipning zo‘riqishi o‘qga
qarama-qarshi yo‘nalgan, shuning uchun manfiy ishorali bo‘ladi.
18

1.4-masala
Massalari bo‘lgan ikkita yuq
cho‘zilmaydigan ipga bog‘langan. Ip qo‘zg‘almas blok orqali o‘tadi.yuklarning
harakat tenglamalarini va ipning reaksiyasini aniqlang.
Boshlang‘ich holatda sistema teng turadi. Iplarga
ga yuklar osilgan.
Yechish: Sistema ikkita qisimdan iborat, bitta bog‘lanish
ikkinchi yukning og‘irlik kuchi
o‘qni nuqtadan pastga yo‘naltiramiz kuchlarning o‘qga
proeksiyalarini aniqlaymiz:
(1)
Bu holda bog‘lanish tenglamasi ipning quyidagicha bo‘ladi:
(2)
19 O

Bunda (2) bog‘lanish tenglamasining xususiy hosilalari
(3)
bo‘ladi.
Lagranjning birinchi tur tenglamalarini yozamiz
(4)
(1) va (3) munosabatlarni hisobga olib (4) yozamiz
Yoki
(5)
(5) differensial tenglamalar Lagaranj ko‘paytuvchi orqali ifodalangan.
(5) tenglamalarning ikkinchisidan ni topamiz
(6)
Buni (5)-ning birinchi tenglamasiga qo‘yamiz natijada ega bo‘lamiz
(7)
(7) diofferensial tenglama (2) bog’lanish tenglamasi bilan birgalikga sistemani
ifodalaydi. (2) tenglamani ikki marta differensiallasak
(8)
natijaga ega bo’lamiz
(9)
(9) sistemani boshlang’ich shartlarda, yani
20

larda
integrallaymiz. Natijada yuklarning harakat tenglamasini olamiz:
Iplarning reaksiyalarini aniqlash uchun ko’paytuvchini aniqlaymiz.(6) ifodaga
(9) ning ikinchi tenglamasidan qiymatini qo’ysak
(10)
U holda
(11)
Demak, (3) va (10) natijalarga asosan
(12)

2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari.
Lagranj erksiz sistemaning harakatini bir-biriga bog’liqsiz umumlashtirilgan
koordinatalar vositasi bilan tekshirganidan, koordinatalar soni sistemaning erkinlik
darajasiga teng bo’ladi, shuning bilan birga harakat tenglamalarining soni ham
sistemaning erkinlik darajasiga teng bo’ladi. Tajribada uchratiladigan
sistemalarning erkinlik darajasi katta son bo’lmagani uchun erksiz sistemaning
harakati bir necha diffrensial teng- lamalar bilan aniqlanadi. Masalan, sistema
mashina yoki mexanizm bo’l- sa uning erkinlik darajasi bir-ikkitadan oshmaydi.
Bazi asboblarda erkinlik darajasi ikkidan oshiq bo’lishi ham mumkin.
Sistema faqat ta golonomli bog’lanishda bo’lsin. U holda sistemaning bir-
biriga bog’liqsiz koordinatalari bo’ladi. Demak, sistemaning harakati
ta bir-biriga bog’liqsiz umumlashtirilgan koordinatalar bilan
21

aniqlanadi. Sistemaning biror nuqtasining holati radius vektor bilan
aniqlansin:
. (2,1)
Harakatni tekshirish uchun Dalamber-Lagranj tenglamasini olamiz
yoki
,
Birinchi yig’indining umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodasi bizga ma’lum
. shu formulaga muvofiq

-umumlashtirilgan kuch.
Sistema nuqtasining mumkin bo’lgan ko’chishini umumlashtirilgan
koordinatalar orqali ifodalaymiz, buning uchun (a) dan ni aniqlaymiz:
.
bu formuladan foydalanib, tenglamaning ikkinchi qismini quyidagicha o’zgartirib
yozamiz:

Skalyar ko’paytma ) ni quyidagicha o’zgartirib yozishimiz mumkin:
22

). ( 2.2)
(1) Tenglikdan ni hisoblaymiz:
. ( 2. 3)
Bu ifodaga birinchi darajada kirganida, unga nisbatan xususiy hosila olsak:
, (2.4)
kelib chiqdiki. Undan tashqari, quyidagi tenglamani isbotlaymiz:
, (2.5)
Uning uchun (2.3) tenglamadan ga nisbatan hosila olamiz
.
Ikkinchi tomondan huddi shunday ifodani bevosita ning muvofiq ravishda ikki
karra hosilasini olish bilan topishimiz mumkin, yani:
.
Keyingi ikki tenglamaning o’ng tomonlarini solishtirib, (2.5) formulani olamiz.
Endi mana shu (2.4) va (2.5) tengliklardan foydalanib, yuqoridagi (2.2) ifodani
o’zgartirib yozamiz:

23

bunda sitemaning kinetik energiyasi. Buni ko’zda tutib,
) ning qiymatini yuqoridagi kvadrat qavsga qo’ysak:

kelib chiqadi. Bu ifodani ko zda tutsak, Dalamber - Lagranj tenglamasiʻ
umumlashgan koordinata orqali quyidagicha yoziladi:
=0
Umumlashtirilgan koordinatalarning barchasi mutlaqo ixtiyoriy son bulganidan
ham ixtiyoriy sondir, shuning uchun keyingi tenglama faqat oldidagi qavslar
har qaysisi alohida nulga teng bulgandagina qanoatlantirilishi mumkin, ya ni:
ʼ
(2.6)
Bu tenglama Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi deyiladi.
Bu xildagi tenglamadan ta yozishimiz mumkin. Demak, erksiz harakat
differensial tenglamasi sistemaning erkinlik darajasiga teng buldi. Lagranjning
birinchi xil tenglamasida noma lumlar soni va shuning bilan birga tenglamalar soni
ʼ
ta edi. Kuramizki, Lagranjning ikkinchi xil tenglamasi birinchi xil
tenglamasidan ta tenglamaga farq qilayapti. Bu farq, albatta, amaliy masalalarni
yechishda juda ham katta ahamiyatga ega.
Kinetik energiyani umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodalash
Sistema ta material nuqtadan iborat bulib, bu nuqtalar ta golonomli
boglanishda bulsa, uning erkinlik darajasi ta bulib, ta bir-biriga
bog liqsiz koordinata bilan aniqlanadi. Sistemaning kinetik energiyasini mana shu
ʻ
umumlashtirilgan ta koordinata orqali ifodalaymiz. Uning uchun sistemaning
24

biror nuqtasining tezligini uning radius-vektori orqali quyidagicha
aniqlaymiz:
bundan:

Bu ifodadan foydalanib, sistemaning to’la kinetik energiyasini hisoblaymiz:
(2.7)
bunda -umumlashtirilgan tezlikka nisbatan nol darajadagi funksiyadir:
. (2.8)
- umumlashtirilgan tezlikka nisbatan birinchi darajadagi (chiziqli) funksiya.
, (2. 9 a )
. (2.9 b)
Eng keyingi esa umumlashtirilgan tezlikka nisbatan ikkinchi darajali
(kvadratik) funksiyadir:
(2.10)
25

Bunda
(2.11)
Kinetik energiyaning umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodasi quyidagicha
yozilad:

. (2.12)
Bog lanishlarning hammasi statsionar bulsa, ya ni vaqtga ochiqdan-ochiq bog liqʻ ʼ ʻ
bo lmasa:
ʻ

buladi. Bu holda kinetik energiya ifodasi bir jinsli kvadratik funksiyaga keltiriladi:
(2.13)

Potensial kuch uchun Lagranj tenglamasi
Sistemaga qo yilgan kuchlar potensialli bo lsa, umumlashtirilgan kuchlar potensial
ʻ ʻ
funksiyaning tegishli umumlashtirilgan koordinataga nisbatan olingan xususiy
hosilasiga teng bo lishi bizga ma lum:
ʻ ʼ

Potensial funksiya o rniga potensial energiya olsak, bu tenglik manfiy ishora bilan
ʻ
yoziladi:
.
26

Bu hol uchun Lagranj tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(2.14)
Potensial energiya umumlashtirilgan tezlikka bog liq bulmaganidan foydalanib,ʻ
(2.14) tenglamani boshqacharoq kurinishda yozamiz Shuning uchun
yangi funksiya kiritamiz: U bulsin. Bu hol uchun (2.14) formula
quyidagicha yoziladi:
(2.15)
Gamilton buyicha kinetik potensial yoki Lagranj funksiyasi deyiladi.
Sistemaga qo yilgan kuch potensialli bulsa, Lagranj tenglamasidan foydalanish
ʻ
juda ham qulaylashadi. Faqat bilan ni hisoblab, (2.15) tenglamaga quysak,
sistema nuqtalarining harakat tenglamasi kelib chiqadi
Energiya integrali
Lagranj tenglamasi ham potensial kuch uchun birinchi integralni beradi.
Sistema golonomli statsionar bog lanishda bulib, erkinlik darajasi k ta bulsin; u
ʻ
holda harakat tenglamasi quyidagicha yoziladi:
( 2. 16)
Bunda kuch funksiyasi:
va
27

va vaqtga ochiqdan-ochiq bog liq emas.ʻ
(2.14) tenglamaning har qaysisini ga ko paytirib, so ngra qo shsak:
ʻ ʻ ʻ
kelib chiqadi. Chap tomonning birinchi hadini quyidagicha o zgartirib yozamiz:
ʻ

Buni oldingi tenglikka ko’ysak:
(2.17)
kelib chiqadi. bir jinsli kvadratik funksiya bo lgani-dan, bir jinsli funksiyalar
ʻ
haqidagi Eyler teoremasiga muvofiq:

ifodani xosil qilamiz. Undan tashkari, kuch funksiya bilan kinetik energiya
vaqtga ochiqdan-ochiq bog’liq bulmaganligidan, ularning vaqtga nisbatan to la
ʻ
hosilasi quyidagicha ifodalanadi:
, ( 2. 18)
)
( 2. 16) va ( 2. 17) ifodalarning ( 2. 18) tenglikka qo ysak:
ʻ

kelib chiqadi. Bundan:
28

Bu tenglamani integrallasak, energiya integrali kelib chiqadi:
(2.19)
Energiyaning saqlanish qonunini ifodalovchi (2.19) tenglama Lagranj
tenglamasining sonini bitta kamaytirdi. Agar sistemaning erkinlik darajasi faqat
bitta bulsa, u holda energiya integralining mavjudligi masalani hal qilib quyadi.
2.2. MEXANIK SISTEMALAR DINAMIKASINI MASALALARIDA
LAGRANJNING 2- TUR TENGLAMASINING QO‘LLANISHI.
Masala 2.1
Sistema ikki jismdan iborat bulib, biri silliq gorizontal birinchi ishqalanmasdan
tekislikda jismga juda yengil sirpansin, ikkinchisi sterjen bilan biriktirilib, vertikal
tekislikda tebranma harakat qilsin (2.1- Chizma).
y
Mana shu sistemaning harakatini tekshiramiz.
Sistema tarkibiga kirgan jismlar og irlik markazining koordinatalarini tegishliʻ
ravishda bilan belgilaymiz. Bu koordinatalar bilan burchak
o rtasidagi munosabatni quyidagicha topamiz:
ʻ
29

Sistemaning erkinlik darajasi ikkita bulib, umumlashtirilgan koordinatalar uchun
bilan ni qabul qilamiz. Har qaysi jismning kinetik energiyasini hisoblash
qiyin emas:

+
+ .
Sistemaning kinetik energiyasi:

Shu ko’rinishda buladi.
Birinchi jismning ogirligi gorizontal ko chishda ish bajarmaganidan, potensialʻ
energiya ifodasi oldingi masaladagidek buladi, ya ni:
ʼ
Lagranj funksiyasi:
dan tegishli hosilalarni tuzamiz:

;
30

Lagranj tenglamasi quyidagi ko ʻ rinishda yoziladi :
.
ning hammasini keltirib qo ysak, quyidagi differensial tenglamalarni olamiz:ʻ
,

Bu tenglamalarning integralini topish qiyin emas.
Sistemaga qo yilgan kuch gorizontal yo nalishda bo lmaganidan, uning inersiya
ʻ ʻ ʻ
markazi faqat vertikal harakatda buladi.
Shuning uchun:

yoki
= 0
bundan:
.
Bu tenglik birinchi differensial tenglikni qanoatlantirishi kurinib turibdi.
Ikkinchi tenglamadan ni topamiz.,
31

Kichik tebranishni tekshiramiz; buning uchun deb olamiz.
va kichik son bo lganligi uchun ularning kupaytmasi ikkinchi tartibdagi kichikʻ
son bulganligidan, ularni hisobga olmasak, harakat tenglamasi quyidagicha
yoziladi:

Bu, garmonik tebranish harakatining tenglamasi bo lib, uning davri:
ʻ

bulsin, u holda;

bo ladi. Demak,
ʻ ning og irligi ʻ ga qaraganda katta bulsa, tebranish davri
oddiy tebrangich davridan kam farq qilar ekan.
Masala 2.2
Rotorlarni statik muvoznatlashtirish uchun ishlatiladigan mashinada podishipniklar
vertikal burchak ostida og’gan podishipnikka o’rnatilgan rotor (o’z o’qiga
nisbatan) inersiya momentiga ega va o’qdan masofada joylashgan massani
tashkil etadi. Rotor harakatining differensial tenglamasi yozilsin va rotor
muvozanat holati atrofidagi kichik tebranishning chastotasi aniqlansin
A
r
B
mg
32

mgsinα
α
Lagranjning 2-tur tenglamasini yozamiz.

Lagranj funksiyasi

Qaralayotgan sistemaning kinetic energiyasi quyidagicha bo‘ladi:

Potensial energiyasini yozamiz

U holda Lagranj funksiyasi quyidagicha

Xususiy hosilalarini topamiz, yani

Ushbu ifodalarni Lagranjning 2-tur tenglamasiga qo‘ysak, ega bo‘lamiz

33

bo‘ganda
differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Bunda kichik tebranishlar chastitasi

Masala 2.3.
Qo ’ zg ’ almas vertikal o ’ q atrofida o ’ zgarmas burchak tezlik bilan
aylanuvchi to ’ g ’ ri chiziqga moddiy nuqta og ’ irlik kuchi tasirida harakat
qiladi to ’ g ’ ri chiziq gorizontal bilan burchak tashkil qiladi nuqta
harakatining qonuni topilsin .
B
M
r
mg
A α 2.3.chizma
O
konservativ sistemalar uchun Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi quyidagicha
bo‘ladi
(A)

nuqtaning harakati murakkab harakat bo’lgani uchun kinetik energiya
34

Bu yerda

Kinetik energiyaning hosilalari quyidagicha bo‘ladi

M nuqta uchun potensial energiya quyidagicha :

Hosilasi aniqlaymiz:

Bularni (A) tenglamaga qo’ysak, ega bo‘lamiz

Yoki

Differensial tenglamaning yechimi quyidagicha:

(B)
deb olib (B) tenglamaga qo‘ysak

35

Bundan

Umumiy yechim

Masala 2.3
Silliq gorizontal sterjenga kiydirilgan va bikrligi C bo‘lgan prujina bilan
birlashtirilgan massalari bo’lgan ikki jisimdan iborat sistemaning
harakatini aniqlang. Dastlabki paytda jisimlar tinch holatda bo’lgan va jismlar
massa markazlari orasidagi masofa cho‘zilmagan prujina uzunligi dan 2 marta
katta bo‘lgan.
Yechish: Sistema ikkita erkinlik darajasiga ega. Chunki Sistema holatini ikkita
bir-biriga bog’liq bo’lmagan parametrlari sifatida cho’zilmagan prujinaning biror
C nuqtasidan jismlargacha bo’lgan masofalarni olish mumkin. Bu masofalarni
umumlashgan koordinatalar sifatida qabul qilamiz:
Bu holda sistemaning kinetic energiyasi quyidagicha bo’ladi .

Belgilangan vaqtda prujinaning uzayishi ga teng, demak prujinaning
elastiklik kuchini quyidagicha yozish mumkin:

Unga mos ravishda potensial energiyani yozish mumkin.

36

Sistemaning kinetic potensiali, yani Lagranj funksiyasi

Lagranj tenglamasi bo’yicha sistemaning differensial tenglamasini olish uchun
hosilalarni topamiz.
Natijada ega bo’lamiz :
(1)

Abssisasi quyidagidan aniqlanadigan massalar markazini kiritamiz:

(1)- differensial tenglamalarini qo’shib, quyidagiga keltiramiz:

Integrallash natijasiga ega bo’lamiz

Demak, massa markazining boshlang’ich tezligi nolga tengligidan
U holda va
Ushbu olingan ifoda harakat tenglamasini birinchi integrali hisoblanadi.
Quyidagicha belgilash kiritib hrakat tenglamasini quyidagicha
yozamiz .

Ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayirib, quyidagiga kelamiz:
37

(chunki
Bu yerda,

Demak, olingan tenglamaning umumiy integrali

Shunday qilib,

Boshlang’ich shartlarni hisobga olib, quyidagilarni aniqlaymiz:

Demak,
Endi olingan natijalarni harakat tenglamasining birinchi integrali bilan solishtirib,
quyidagi oxirgi natijalarni olamiz:

Masala.2.4 Har birining uzunligi ga, massalari ga teng bo’lgan ikkita bir xil
tebrangich sterjenlari osilish o’qlaridan masofada bikirligi bo’lgan elastic
prujina uchlari bilan birlashtirilgan. Mayatniklardan birini uning muvozanat
holatidan burchakka og’dirib qo’yib yubormaydigan, sistemaning mayatniklari
muvozanat holat atrofida qiladigan tebranma harakati aniqlansin; mayatniklarning
boshlang’ich tezliklari nolga teng. Mayatnik sterjenlarining massalari va
prujinaning massasi hisobga olinmasin.
38

Yechish: Sistemaning kinetik va potensial energiyalarini hisoblaymiz.
Umumlashgan kordinatalar lardan iborat.
Kinetik kinetik energiyani ifodasini yozamiz:

bun yerda
Demak,
(1)
Sistema potensial energiyasi.
(2)
bu yerda

Agar burchaklar yetarlicha kichik bo’lsa quyidagi munosabatlar
o’rinli bo’ladi:

U holda potensial energiya ifodasi
(3)
39

(1) va (3) ifodalarni quyidagicha yozamiz
(i=1.2)
Lagranj tenglamalariga qo’yamiz. Buning uchun hosilalarni hisoblaymiz

Natijada Lagranj tenglamalari qyidagi ko’rinishga keladi

yoki
(4)
(4) tenglamalar sistemasini yechimlarini quyidagi ko’rinishda axtaramiz
(5)
(5) yechimlarni (4) tenglamalarga qo’yib larni topish uchun quyidagi bir
jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

(6)
Bundan chastotalar tenglamasini olish uchun

yoki

Bu tenglamani yechib, chastotalar tenglamasining ildizlarini topamiz:

40

Natijada (4) tenglamaning ikkita chiziqli bog’lanmagan yechimlarini topamiz

larni (6) tenglamalarga qo’yamiz, natijada

a) birinchi bosh tebranish uchun:

b) ikkinchi bosh tebranish uchun

Bular uchun boshlang’ich shartlar

natijada
Shunday qilib

Yoki

Natijada

bu yerda
.
41

Masala.2.5
Bir jinsli ingichga uzunlikdagi sterjenning A va B uchlariga surilgichlar
ulangan bo’lib, ular sterjenning og’irlik kuchi ta’sirida OD va OE
yo’nalishlar bo’ylab sirpanadi(n rasim).
Vertikal Oxy tekisligida joylashgan burchak DOE to’g’ri burchakdan
iborat. Surilgichlarning massalarini hamda ishqalanish kuchlarini hisobga
olmasdan sterjenning harakat differensial tenglamasi tuzilsin. Agar OE
yo’nalish gorizontal yo’nalish bo’lsa, sterjenning burchak tezligi
aniqlansin.
C
O B E
Yechish . Sterjenning erkinlik darajasi birga teng uning holatini belgilovchi
burchakni umumlashgan koordinata deb qabul qilamiz vaqtga bog’liq
o’zgaradi. Shaklda og’irlik kuchini tasvirlaymiz A va B bog’lanish reaksiya
kuchlarini tasvirlash shart emas, chunki ular Lagranj tenglamasiga kirmaydi.
AB sterjen Oxy tekisligida harakatlanadi. Harakat tekis parallel harakatdan
iborat bo’lgani uchun uning kinetik energiyasini quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda sterjen massasi, sterjen massalar markazi nuqtaning tezligi,
sterjenning C nuqtadan shakl tekisligiga perpendikulyar o’tgan o’qqa
nisbatan inersiya momenti, C massalar markazining tezligini aniqlash uchun uning
harakat qonunidan foydalanamiz.
42

Tengliklarni vaqt bo’yicha differensiallab, C nuqta tezligini aniqlaymiz:

ning qiymtlarini kinetik energiya formulasiga qo’yib sterjenning kinetik
energiyasini aniqlaymiz:

yoki

Endi umumlashgan kuchlarni hisoblaymiz. Sterjenga ta’sir qiluvchi og’irlik kuchi
potensial kuch bo’lgani uchun potensial energiyani hisoblaymiz :

Umumlashgan kuchning koordinataga mos qiymatini aniqlaymiz:

kinetik energiya, burchakka bog’liq bo’lmagani uchun
Topilganlarni Lagranj tenglamasi ga qo’yamiz
bundan hosil bo’ladi.
Bu tenglama sterjenning biz izlagan differensial tenglamasini bildiradi.
Umumlashgan tezlikni aniqlash uchun differensial tenglikning ikki tomonini ga
ko’paytiramiz.
43

(1)
tenglikni hosil qilamiz, formulada quyidagicha shakl almashtirish

Buni (1) tenglamaga qo’ysak:

hosil bo’ladi, buni integrallab, toppish talab etiladi

burchak tezlik aniqlanadi. Integral o’zgarmasi C sonini aniqlash uchun
boshlang’ich shartlardan foydalanamiz.
Aytaylik sterjin harakatinin tinch holatdan boshlagan bo’lsin va vertikal bilan
burchak tashkil qilsin. U holda bo’lganda bo’ladi va
kelib chiqadi. Oxirgi tenglikka C o’zgarmasning qiymatini qo’ysak,
sterjinning burchak tezligi burchakning funksiyasi sifatida aniqlanadi:

44

Xulosa
Ishda analitik mexanikaning asosiy elementlari haqida umumiy malumotlar bayon
etiladi.
Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari golonom va nogolonam
bog’lanishli sistemalar uchun, hamda konservativ sistemalar uchun keltirilgan.
Turli tipdagi mexanik sistemalarning harakatlarini o’rganish bo’yicha masalalar
yechilgan.
Lagranjning birinchi tur tenglamalari bo’yicha mexanik sistemalarning harakat
differensial tenglamalarini va qo’yilgan bog’lanishlar tenglamalari bilan
birgalikda Lagranj ko’paytuvchilari asosida yechish bir nechta masalalarda
ko’rsatilgan.
Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari bo’yicha mexanik sistemalarning harakat
differensial tenglamalarini keltirib chiqarishda kinetik va potensial energiyalarini,
hamda umumlashgan kuchlarni aniqlash bir nechta aniq masalalar yechildi,
masalalarni modellashtirish, yechish uslublari tatbiq etildi.

45

Adabiyotlar
1. O’razboev M.T. Nazariy mexanika asosiy kursi. T.O’qituvchi,1961.
2. Rashidov T.P,Shoziyotov Sh. , Mo’minov K.V. Nazariy mexanika asoslari. T.
O’qituvchi, 1990.
3. Aziz-Qoriev C.Q., Yangurazov Sh.X. Nazariy mexanikadan masalalar yechishga
qo’llanma. -T. O’qituvchi, 1975.
4. Dusmatov O.M, Tilavov A.T. Analitik mexanika asoslari. – Samarqand, 2004.
5. Meshcherskiy I.V.Nazariy mexanikadan masalalar to’plami. Toshkent,
O’qituvchi, 1989.
6. Bat M.I., Djanelidze G.Yu., Kelzon A.C.Teoreticheskaya mexanika b primerax
va zadazax.T.2, Moskva, Nauka, 1964.
7. N.V.Butenin. Bvedenie v analiticheskuyu mexaniku. Makva,Nauka,1971

46

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI Mundarija Kirish…………………………………………………………………………… Masalaning qo‘yilishi………………………………………………………….. Analitik mexanikaning asosiy elementlari…………………………………… 1-bob. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI …………………………………………………. 1.1. Lagranjning 1-tur tenglamalari…………………………………………. 1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari. 2-bob. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI…………………………………………………… 2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari……………………………………………. 2.2. Mexanik sistemalar dinamikasini masalalarida Lagranjning 2- tur tenglamasining qo‘llanishi………………………………………………………. XULOSALAR……………………………………………………………………. ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………………………………....... 2

Masalaning qo‘yilishi. Mexanik sistemalarningni matematik modellashtirishda yani harakat diferensial tenglamalarini olishda Lagranj tenglamalaridan keng foydalaniladi. Lagranjning birinchi tur tenglamalaridan foydalanishida mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanishlar tenglamalarini aniqlab, Lagranjning ko‘paytuvchilar usuli bo‘yicha sistemaning differensial tenglamalari ifodalannadi. Natijada bog‘lanishlar tenglamalari bilan birgalikda keltirilgan ko‘paytuvchilarning qiymatlari va sistemaning yechimlari, izlanayotgan nomalumlar aniqlanadi. Lagranchning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanishda qaralayotgan mexanik sistemaning umumlashgan kordinatalari, tezliklari, kinetik va potensial energiyalari tasir etuvchi umumlashgan kuchlar aniqlanib, mexanik sistemaning harakat diferensial tenglamalari aniqlanadi. Integrallash natijalari va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, mexanik sistemalarning harakat, dinamikasi o‘rganiladi. Ushbu bitiruv malakaviy ish Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari yordamida mexanik sistemalarning turli harakatlarini o‘rganishga oid masalalarni yechishga, tahlil qilishga bag‘ishlangan. 3

Analitik mexanikaning asosiy elementlari. Nuqtalarning holati va harakati o’zaro bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar to’plamiga mexanik sistema deyiladi. Harakati jarayonida nuqtalari orasidagi masofa o’zgarmas bo’lgan mexanik sistemaga absalyut qattiq jism deyiladi. Agarda mexanik sistemaning har bi nuqtasi fazoda istalgan vaziyatni egallay olsa va istalgan tezlikka erisha olsa sistemaga erkin sistema, aks holda erksiz sistema deyiladi. Mexanik sistema holati va harakatini chegaralovchi sabablarga bog’lanishlar deyiladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining holatiga va tezligiga chek qo’yadi. Mexanik sistemaga bog’lanishlar tomonidan qo’yilgan cheklanishlar qo’shimcha kuchlanishlarni yuzaga keltirib chiqaradi. Bu kuchlarga bog’lanish reaksiyalari deyiladi. Ularning boshqa kuchlardan farqi shundaki, bu kuchlar oldindan berilgan bo’lmaydi va ular bog’lanishlarning xarakteriga, sistemaning holati hamda xarakatiga bog’liq bo’ladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va vaqt orasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglama yoki tengsizliklar bilan beriladi. Mexanik sistema N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. V-nuqtaning dekart koordinatalarini x v , y v , z v lar bilan belgilaymiz. Agar sistemaga bitta bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u analitik usulda umumiy holda, quydagicha bo’ladi. f(x1,y1,z1,x2,y2,z2....,˙x1,˙y1,˙z1,....,˙xn,˙yn,˙xn,t)≤0, (1.1) bu yerda ˙xv,˙yv,˙xv(v=1,2 ,....,N) lar v-nuqta tezligining dekart koordinata o’qlaridagi proeksiyalari , t vaqt. Agar (1.1) munosabatda tenlik belgisi qo’yilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga ushlab tura oladigan bog’lanish, tengsizlik belgisi qo’yilgan bo’lsa bunday bog’lanishga qo’yib yuboriladigan bog’lanish deyiladi. Masalan: koordinatalari x 1 , y 1 , z 1 va x 2 , y 2 , z 2 bo’lgan ikkita sterjen vositasida bir-biriga bog’langan bo’lsin. Bu holda bog’lanish ushlab tura oladigan bog’lanish bo’ladi va uning tenglamasi quydagicha yiziladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− l2= 0, yani, bu nuqtalar orasidagi masofa hamma vaqt o’zgarmas qoladi. 4

Agar sterjenni cho’zilmaydigan ip bilan almashtirsak nuqtalar bir-biriga yaqinlasha oladi, lekin bir-biridan l dan katta masofaga uzoqlasha olmaydi. Bu holga bog’lanish qo’yib yuboradigan bog’lanish bo’ladi va bo’g’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: Kelgusida biz faqat ushlab tura oladigan bog’lanishlarni qaraymiz. Agar bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv,˙xv,˙yv,˙zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,N) (1.2) Vaqt t dan oshkor ko’rinishda bog’liq bo’lsa, bunday bog’lanishga reonomli yoki nostatsionar bog’lanish deyiladi. Masalan: ikkita nuqta elastik sterjen bilan bir-biriga bog’langan va sterjen uzunligi quydagi qonun bilan o’zgarsin: l=l1+l0sin t . Bu holda bog’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− (l1+l2sin t)2= 0, bu yerda x 1 ,y 1 ,z 1 va x 2 ,y 2 ,z 2 lar nuqtalarning koordinatalari. Agar bog’lanish sistema nuqtalarining faqat kordinatalariga chek qo’ysa, ya’ni bog’lanish tenglmasi quydagi ko’rinishda berilgan bo’lsa, f(xv,yv,zv,t)=0 (1.3) bunday bog’lanishga geometrik yoki gonolomli bog’lanish deyiladi. (1.2) tenglama bilan berilgan bog’lanishga kinematik bog’lanish deyiladi. Agar kinematik (differensial) bog’lanish tenglamasi (1.2) ni integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lmasa, bunday bog’lanishga nogonomli (integrallanmaydigan) bog’lanish deyiladi. Agar (1.2) tenglama integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirilsa, u holda bog’lanish geometrik bog’lanish bo’ladi. Masalan: bog’lanish tenglamasi ∑v=1 N (xv˙xv+yv˙yv+zv˙zv)=0 ko’rinishida berilgan bo’lsin. Bu tenglama integrallashdan so’ng quydagi ko’rinishga keladi. ∑v=1 n (xv2+yv2+zv2)= c, integrallash o’zgarmas. Demak, bog’lanish geometrik bog’lanish bo’lar ekan. 5

Agar gonolomli bog’lanish tenglamasi vaqtdan oshkor bog’liq bo’lsa, ya’ni bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv)=0 (v=1,2,3 ,...,N) ko’rinishida berilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga skleronomli statsionar bog’lanish deyiladi. Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, nogolonomli bog’lanish tenglamasi t dan oshkor bog’liq bo’lmasa ham bog’lanish reonomli bo’lishi mumkin. Mexanik sistemaga tenglamalari quydagi ko’rinishda berigan m ta bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni ∑v=1 N (Aμv ˙xv+Bμv ˙yv+Cμv ˙zv)+D μv= 0 (μ=1,2 ,...,m) Bu yerda Aμv,Bμv,Cμv,Dμv lar koordinatalarining va vaqtning funksiyasi. Agar bu tenglamalar sistemasi integrallansa, bog’lanish gonolomli, aks holda nogonolomli bo’ladi. Moddiy sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar gonolomli bo’lsa, bunday sustemaga gonolom sistewma deyiladi. Agar bog’lanishlardan hech bo’lmaganda bittasi nogonolomli bo’lsa, bunday sistemaga nogonolomli sistema deyiladi. Mexanik sistema holatini to’lasincha aniqlovchi parametrlarga, ya’ni sistemani har bir nuqtasining holatini aniqlovchi parametrlarga umumlashgan deyiladi. N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan moddiy sistemaga k-ta geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni f(xv,yv,zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,k) (1.4) 3N ta koordinatalar k ta tenglamalar bilan bog’langan. Bu tenglamalar sistemasini echib, k ta koordinatalarni qolgan 3N-k ta koordinatalar orqali ifodalash mumkin. Bu 3N-k ta koordinatalar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shu koordinatalar sistema nuqtalarining holatini bir qiymatli aniqlaydi. Bu koordinatalar umumlashgan koordinatalar bo’ladi. Shunday qilib, umumlashgan koordinatalar soni n=3N-k (1.5) ga teng bo’lar ekan. Umumlashgan koordinatalar sifatida faqat dekart koordinatalarini olish shart emas, balki ihtiyoriy koordinatalarni olish mumkin. Har xil masalada har xil umumlashgan koordinatalar kritiladi. Umumlashgan koordinatalarni qulay tanlash masala yechimini osonashtiradi. 6

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI

20.11.2024

0

844.583984375 KB

Похожие