logo
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIK OLIMPIADALARGA TAYYORLASHNING METODIK TIZIMINI TAKOMILLASHTIRISH

MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIK OLIMPIADALARGA TAYYORLASHNING METODIK TIZIMINI TAKOMILLASHTIRISH

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

2767.9697265625 KB
Скачать
MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIK OLIMPIADALARGA TAYYORLASHNING METODIK TIZIMINI TAKOMILLASHTIRISH KIRISH ………………………………………….……………5 I BOB. MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIKADAN FAN OLIMPIADALARIGA TAYYORLASH METODIK TIZIMINING NAZARIY ASOSLARI 1.1 -§ . Matematika fani olimpiadasi shakllanishining qisqacha tarixi ……………………………………………………………8 1.2-§. Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalar mazmuniga qo‘yiladigan talablar …………………………………….…………………15 1.3- § Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalarni yechish metodikasiga qo‘yiladigan talablar …………………………………………17 I bob bo‘yicha xulosalar…….………………………………20 II BOB. MAKTABLARDA O‘QUVCHILARNI MATEMATIKADAN FAN OLIMPIADALARIGA TAYYORLASH BO‘YICHA MASALALAR TIZIMINI SHAKLLANTIRISH VA ULARDAN FOYDALANISH METODIKASI 2 . 1 -§ . Maktablarda o ‘ quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo ‘ yicha GMAT masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi ……………………...……22 2.2-§. Maktablarda o ‘ quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga “ sonlar nazariyasi ” bo ‘ yicha masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi ………………………….…37 1 2.3-§ . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga “planimetriya”ga oid ayrim teoremalarni isbotlash va ularga oid nostandart masalalarni yechish metodikasi……………………47 II bob bo yicha xulosaʻ lar………………………………………59 III BOB. TAJRIBA –SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA UNING NATIJALARI 3.1 -§ . Tajriba –sinov ishlarini tashkil etish ………………………...…59 3.2 -§ . Tajriba sinov ishlarining natijalari va tahlili …………..…….….61 III bob bo yicha qisqacha xulosalar…………….………………64 ʻ Xulos alar …………………………………….…………………6 5 Foydalanilgan adabiyotlar ro yhati ʻ ……………….…………66 2 KIRISH Magistrlik dissertatsiyasining asoslanishi va uning dolzarbligi. Iqtidorli o‘quvchilarni aniqlash va ularning ijodkorlik qobiliyatlarini rivojlantirish ta’lim tizimining ustuvor yo‘nalishlari qatoriga kiradi. Ushbu yo‘nalishda respublikamizda muhim muayyan ishlar amalga oshirilmoqda, jumladan “Prezident” maktablari, ijod maktablari, san’at maktablari va muayyan fanlar chuqurlashtirilib o‘qitilishga yo‘naltirilgan maktablar tashkil etildi. Prezidentimiz tashabbusi bilan taklif etilgan “Bir million dasturchi” loyihasini amalga oshirish dolzarb masala bo‘lib turibdi. Bu masalani hal qilish maqsadida magistraturaga va doktoranturalarga qabul rejalari miqdori ko‘paytirilmoqda va matematiklarga imtiyozlar berilmoqda. Ushbu yo‘nalishda fan olimpiadalari va turli tuman ijodiy tanlovlar o‘tkazish va ularga o‘quvchilarni jalb qilish zamonaviy ta’lim tizimining muhim muammolari hisoblanadi. Bugungi kunda ilmiy-tadqiqot ishlarini olib boruvchi ijodkor talabalar, magistrantlar va doktorantlarni tayyorlashda o‘quvchilar o‘rtasidagi fan olimpiadalarining roli beqiyosdir. Shu maqsadda fan olimpiadalarining maqsadlari, vazifalari, ularni tashkil etish , olimpiadalarga tayyorlash, o‘quv materiallari yaratish va olimpiadachilarni o‘qitish metodikalarini takomillashtirish masalalari dolzarb bo‘lib turibdi.[1] Tadqiqot ob’ekti . Maktablarda matematika bo‘yicha fan olimpiadalarini o‘tkazish jarayoni. Tadqiqod predmeti . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash tizimi. Tadqiqot maqsadi . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash tizimini takomillashtirish asosida olimpiadalarda erishiladigan natijalarni yaxshilash va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligini oshirish. Tadqiqot vazifalari . 3 1. Fan olimpiadalariga tayyorlash muammolariga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlar tahlili asosida tayyorlashning metodik tizimini tashkil etadigan asosiy omillarni aniqlash. 2.O‘quvchilarga matematikadan fan olimpiadalarda beriladigan masalalar mazmuniga qo‘yiladigan talablarni ishlab chiqish. 3. O‘quvchilarga matematikadan fan olimpiadalarda beriladigan masalalarni sohalar kesimida mazmuniga ko‘ra turlarga ajratish va ularni yechish bo‘yicha muayyan metodik tavsiyalar ishlab chiqish. 4. Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha masalalar tizimidan amaliyotda foydalanish metodikasini ishlab chiqish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 1.Matematikadan fan olimpiadalariga oid ilmiy-uslubiy adabiyotlar tahlili amalga oshiriladi; 2. Olimpiada materiallari ilmiy uslubiy jihatdan o‘rganiladi; 3.Olimpiada masalalari toifalarga ajratilib sinflashtiriladi; 4.Olimpiada masalalarini yechish bo‘yicha metodik tavsiyalar ishlab chiqiladi; Tadqiqodning asosiy masalalari va farazi . Matematikadan fan olimpiadalariga ta’lim tizimining ilmiy asoslangan muayyan tor doiradagi maqsadi, mazmuni, shakli, metodi va vositalari tayyorlanish jarayonida to‘g‘ri tashkil etilib amalga oshirilsa, yuqori natijalarga erishiladi. Tadqiqod mavzusi bo‘yicha adabiyotlar sharhi (tahlili) . Olimpiadalar tarixi o‘rganildi : a) Xalqaro matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi. b) Mustaqil Davlatlar Hamdo‘stligi (MDH) da matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi o‘rganildi. c) O‘zbekistonda matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi. 4 Tadqiqotda qo‘llanilgan metodikaning tavsifi . - muammolariga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning , olimpiadalarda tushgan masalalarning nazariy tahlili: - pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish; - olimpiadalarga tayyorlash , uni tashkil etish va o‘tkazish jarayonida bevosita ishtirok etish; - so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. 1.Olimpiadalarga tayyorlanish uchun ilmiy-uslubiy adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasi aniqlanadi; 2. Olimpiadalarda tushadigan masalalarning mazmuni va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi; 3.O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin; 4.Olimpiadalarni tashkil etish ularga tayyorlanish bo‘yicha ko‘rsatmalar olish mumkin; Ish tuzilmasining tavsifi. Dissertatsiya ishi 68 sahifadan iborat bo‘lib, kirish, uchta bob, xulosa, amaliy tavsiyalar va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhatini o‘z ichiga oladi. 5 I BOB. Maktab o‘quvchilarini matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash metodik tizimining nazariy asoslari. 1.1 . Matematika fani olimpiadasi shakllanishining qisqacha tarixi. Matematik musobaqalar qadimgi Yunonistonda miloddan avvalgi 776- yildan beri ma’lum, ko‘plab mashhur olimlar L. Fibonachchi, N. Tartalya, L. Eyler, I. Bernulli, I. Nyutonlarning nomlari va matematika sohasidagi ba’zi eng ajoyib kashfiyotlar ular bilan bog‘liq. Fransiya Fanlar akademiyasi sovrini uchun tanlovlardan biridagi S.V Kovalevskayaning g‘alabasi haqida aytish kerak.1986-yilda Vengriyada “ Этвешское ” musobaqasi bo‘lib o‘tdi , bu musobaqa maktab o‘quvchilari uchun zamonaviy ommaviy musobaqa edi va birinchi matematika olimpiadasining prototipiga aylandi[9]. Rossiyada muammolarni hal qilish uchun musobaqalar 19-asrning oxirida ishlab chiqilgan .1884-yilda Kiyev universiteti professori V.P. Ermakov "Journal of Elementary Mathematics" jurnalini nashr etdi. Bir yil o‘tgach, E.K. Shpachinskiy jurnalga muharrir etib tayinlandi. Jurnal esa yangi- "Eksperimental fizika va elementar matematika byulleteni" deya nom oldi. Bu 1917-yil yanvargacha davom etdi. 1885-yildan boshlab unda har yili " mukofot uchun muammolar" nashr etiladi. Ushbu musobaqa zamonaviy sirtqi olimpiadalarning prototipiga aylandi[7]. Bizgacha saqlanib qolgan ma’lumotlarga ko‘ra, SSSRda birinchi matematik olimpiada Tbilisida 1933-yil 3-noyabrda 26-sonli maktab bazasida Gruziya SSRda xizmat ko‘rsatgan o‘qituvchilar S.E. Vatakidze va T.D. Petrakovskaya tomonidan o‘tkazilgan. 1930-yillarga kelib, ko‘plab sovet matematiklari yangi matematik smenani tayyorlash uchun maktab bilan hamkorlik qilish kerak degan xulosaga kelishdi . Aynan shu davrda SSSRda matematika bo‘yicha olimpiadaning keng rivojlanishi boshlandi. Rossiyadagi birinchi ommaviy olimpiada 1934-yilda Leningrad universitetida o‘tkazilgan matematika olimpiadasi edi. Birinchi Leningrad olimpiadasi uchta turdan iborat edi: 6 Birinchi va ikkinchi turlar tayyorgarlik xarakteriga ega edi, uchinchi bosqich g‘oliblarni aniqlash uchun muhim ahamiyatga ega edi. Unda ishtirokchilarga matematikaning turli sohalaridan 2 ta topshiriq taklif qilindi[8]. 1935-yildan beri Moskvada matematika olimpiadalari o‘tkazib kelinmoqda. Birinchi Moskva Olimpiadasida Moskva maktablari va universitetlarining ko‘plab talabalari qatnashdilar. Ushbu olimpiada Moskva matematika jamiyati tomonidan tashkil etilgan. Tashkiliy qo‘mita tarkibiga A.N. Kolmogorov, V.F. Kogan, L.A. Lyusternik, S.L. Sobolev, L.G. Shnirelman va boshqa Moskva matematiklari kiritilgan edi. Olimpiada ishtirokchilarining o‘rtacha yoshi 16-20 yoshni tashkil etdi. Birinchi matematika olimpiadalaridagi muvaffaqiyatlar-qobiliyatli maktab o‘quvchilari bilan ishlashning to‘liq o‘zgarishiga yordam berdi[6]. Ikkinchi jahon urushi oldidan olimpiadalar har yili o‘tkazib kelindi va tezda umumiy e'tirofga sazovor bo‘ldi. Ko‘pgina universitetlarda maktab o‘quvchilari uchun matematik to‘garaklar paydo bo‘ldi. Ikkinchi jahon urushi yillarida olimpiada Ashxobod va Qozonda o‘tkazilgan. Urushdan keyin 1946- yilda matematika olimpiadalari qayta tiklandi va Sovet Ittifoqi oliy o quv ʻ yurtlari olimpiadalarda qatnasha boshlaganligi sababli “Olimpiada harakati” keskin yuksala boshladi. Olimpiada harakatining rivojlanishi umumta’lim maktablari o‘quvchilari uchun xalqaro matematika olimpiadalarining yaratilishiga olib keldi . Birinchi Xalqaro matematika olimpiadasi 1959-yilda Ruminiyada bo‘lib o‘tgan. Xalqaro matematika olimpiadasida qatnashish uchun Sovet Ittifoqi terma jamoasi tasodifiy tanlab olingan va tizimli tayyorgarlikka ega emas edi, shuning uchun ular muvaffaqiyatsiz ishtirok etishdi. Olimpiada bunday xalqaro musobaqani o‘tkazishning birinchi tajribasi bo‘ldi. Olimpiadada ishtirok etayotgan har bir mamlakat jamoani tayyorlashda ham, olimpiadani o‘tkazishda ham hal qilishi kerak bo‘lgan ko‘plab muammolar aniqlandi . Olimpiadada ishtirok etuvchi barcha davlatlar , shuningdek, ushbu 7 davlatlarning matematiklari hamda ta lim, xalq ta limi va madaniyat, oliy ta limʼ ʼ ʼ vazirliklari xalqaro matematika olimpiadalarini o tkazish bilan bog liq ʻ ʻ muammolarni o rganish, ishlab chiqish va hal etish bilan shug ullandilar. ʻ ʻ RSFSR ta’lim vazirligi bu muammolar juda jiddiy ekanligini aniqladi. Shu bois, vaqtincha, ikki yil muddatga xalqaro musobaqalarda qatnashishdan bosh tortish va bu davrda olimpiadalarga tayyorgarlik ko‘rish va o‘tkazish metodikasini ishlab chiqish hamda boshqa ko‘plab muammolarni hal etish to‘g‘risida qaror qabul qilindi. Butunittifoq olimpiadasi xalqaro matematika olimpiadasiga jamoa tanlash masalasini muvaffaqiyatli hal qilish imkonini berdi. Shuning uchun 1962-yildan beri SSSR terma jamoasi doimiy ravishda xalqaro matematika olimpiadalarida qatnashib keladi. 2012-yilda 53-Xalqaro matematika olimpiadasi (IMO) bo‘lib o‘tdi. O‘z faoliyati davomida IMO butun dunyo maktab o‘quvchilari uchun eng yuksak va nufuzli fan olimpiadasiga aylandi[14]. Rossiya mustaqil jamoa sifatida birinchi marta 1992-yilda Moskvada o‘tkazilgan 33-MMO musobaqasida qatnashdi . Keyingi yillarda Rossiya terma jamoasi roppa-rosa 80 ta oltin, 37 ta kumush va 9 ta bronza medalini qo‘lga kiritdi. Sovet Ittifoqi terma jamoasi hisobiga : 77 ta oltin, 67 ta kumush va 45 ta bronza medali[5]. Matematika bo‘yicha terma jamoani tayyorlash tizimi bir necha bosqichlardan iborat, “Butunrossiya olimpiadasi” (1960-yildan beri o‘tkaziladi, 1961-yildan buyon barcha ittifoq respublikalari qatnashgan), yozgi va qishki o‘quv yig'inlari shular jumlasidandir. Bundan tashqari, xalqaro musobaqalarda jumladan “Xitoy ochiq olimpiadasi” va IMO natijalariga ko‘ra dunyoning eng yaxshi mamlakatlari jamoalari ishtirok etadigan Ruminiya ustalari musobaqasidagi terma jamoaga nomzodlarning chiqishining natijalari hisobga olinadi. Birinchi matematika olimpiadalari asosan mamlakat oliy o‘quv yurtlariga o‘qishga kirish uchun eng qobiliyatli yoshlarni saralash maqsadida tashkil 8 etilgan bo‘lsa, bugungi kunda ular juda ko‘p sonli talabalarni qamrab oluvchi davlat tadbiri sifatida namoyon bo‘lmoqda va har yili respublika bo‘ylab markaziy tashkiliy qo‘mita rahnamoligida o‘tkaziladi. Turli yillarda maktab o‘quvchilari uchun Butunrossiya olimpiadasining matematika bo‘yicha uslubiy komissiyasi tarkibiga Moskva davlat universiteti ,Sankt-Samara, Sankt- Peterburg , Saratov talabalari, aspirantlari, o‘qituvchilari va tadqiqotchilari kiradi. Komissiya a’zolarining aksariyati o‘tgan yillardagi Butunittifoq, Butunrossiya va Xalqaro matematika olimpiadalari g’oliblari va sovrindorlaridir. Shunday qilib, Rossiyada olimpiada o‘tkazishning aniq tizimi ishlab chiqilgan. Agar birinchi Moskva Olimpiadasida 314 kishi va Leningrad Olimpiadasida 307 kishi qatnashgan bo‘lsa, unda Butunrossiya olimpiadalarining har biri 1,5 milliondan ortiq maktab o‘quvchilarini jalb qiladi. Rossiyada matematika olimpiadasining rivojlanish bosqichlarini G.I. Alekseeva buni quyidagicha belgilaydi: – matematika olimpiadasining paydo bo‘lishi (1884-1933); – SSSRda matematika olimpiadasining rivojlanishi (1934-1960); – matematika olimpiadasini tashkil etishning zamonaviy tuzilmasini shakllantirish (1960 yildan). Birinchi “katta” olimpiadalarning natijalarini sarhisob qilar ekanmiz, ular sobiq SSSR bo‘ylab olimpiada harakatini rivojlantirishda katta rol o‘ynaganini , yetakchi oliy o‘quv yurtlarida maktab o‘quvchilari va maktab o‘qituvchilari bilan faol ish olib borilganligini ta’kidlash lozim. Rossiyadagi zamonaviy olimpiada harakati matematika bo‘yicha darsdan va maktabdan tashqari ishlarning turli raqobatbardosh shakllari bilan ifodalanadi , bu yerda ko‘p yillik tajriba va innovatorlar va ishqibozlarning ishi mujassamlangan[11] . Matematik musobaqalarning barcha turlarini tizimlashtirish mumkin, ular matematik musobaqalar shakllarining o‘ziga xos "daraxtlari" shaklida taqdim etilishi mumkin. E.A. Dyshinskiyning so‘zlariga ko‘ra, matematik musobaqalarni ajratish mumkin : –majburiy va ixtiyoriy; 9 –to‘liq va yarim kunlik; –individual va guruh; –bitta qorong‘u va ko‘p qorong‘i ; –bir bosqichli va ko‘p bosqichli. Rossiyada harakat quyidagi mashhur musobaqalar bilan ifodalanadi: –Lomonosov turniri (1978-yildan); – Shaharlar turniri (1980-yildan); –Rossiya yosh matematiklar festivali (1990-yildan); – Arximed turniri (1992-yildan); – Yosh matematiklarning Ural turniri (1993-yildan); - " Tuymaada " maktab o‘quvchilari xalqaro olimpiadasi (1994-yildan); – Matematik regatalar (1996 yildan); – A.N. Kolmogorov (1997 yildan); – Janubiy matematika turniri (2005 yildan) va boshqalar[9]. Dissertatsiya tadqiqotida G.I. Alekseeva fan olimpiadalarining iqtidorli bolalar bilan ishlash tizimidagi rolini belgilab, olimpiada harakatining asosiy ko‘rsatkichlarini ajratib ko‘rsatadi[9]: I. Tashkiliy-uslubiy: 1. Maktablarda matematika fanini o‘qitish darajasini oshirish; 2. Mavzu mazmunini doimiy ravishda boyitib borish; 3. Ixtisoslashtirilgan sinflar va maktablarning paydo bo‘lishi va rivojlanishi; 4. Maktablarda ta’lim sifatini monitoring qilish; 5. O‘qituvchi-havaskorlarni aniqlash va qo‘llab-quvvatlash. II. Pedagogik: 1. Muayyan fanga layoqatli va qiziquvchi talabalarni aniqlash va ularga yordam berish; 2. Talabalarning bilish va tadqiqot faoliyatini shakllantirish ; 3. Qat'iyat, ehtiyotkorlik, sabr-toqat kabi shaxsiy fazilatlarni shakllantirish. 10 Yuqoridagilarni umumlashtirib, shuni ta'kidlaymizki, hozirgi vaqtda Rossiyadagi Olimpiada harakati murakkab ierarxik tashkilotga ega va turli xil shakl va ko‘rinishlarga ega bo‘lgan ijtimoiy harakatdir . Olimpiadalar izlanish va ijodiy tasavvur uchun asos yaratadi, o‘quvchini fikrlashga va aqliy kuchlarni tarbiyalashga o‘rgatadi . Matematik ta’limni insonparvarlashtirish –matematika vositasida shaxsni har tomonlama rivojlantirish vazifasiga mos keladigan ilmiy ish ko‘nikmalarini egallaydilar. Olimpiadalarning tashkil etilishi chuqurlashtirilgan va ixtisoslashtirilgan maktablar tarmog‘ini kengaytirishga yo‘naltirilgan matematika fanidan iqtidorli o‘quvchilar bilan ishlash tizimini yaratishga turtki bo‘ldi. Jonkuyar o‘qituvchilar va iqtidorli o‘quvchilarni qo‘llab-quvvatlashni nazarda tutuvchi davlat dasturlarini ishlab chiqish uchun mazkur dasturlarni amalga oshirishda ham davlat, ham jamoat tuzilmalarining sa’y-harakatlarini birlashtirish. O‘zbekistonda matematika olimpiadalari 1962-yildan boshlangan. Ularning tashabbuschisi va to umrining oxirigacha fidoyisi atoqli o‘zbek matematigi akademik S.H.Sirojiddinov (1920-1988) bo‘lgan. Domla qaysi lavozimda ishlamasin, matematika olimpiadasining respublika bosqichiga shaxsan o‘zi rahbarlik qilar, qatnashchilar bilan suhbatlashar, ular uchun ommabop va qiziqarli ma'ruzalar o‘qib berar edi. Gap shundaki, bir asrlik tajriba matematik olimpiadalar matematika ta'limini ko‘tarish, iste'dodli yoshlarning qobiliyatini charxlash, kelgusida kuchli matematiklar tarbiyalab yetishtirishning eng samarali vositasi bo‘lishini ko‘rsatgan edi. 1959 yilda dastlabki Xalqaro matematika olimpiadasi tashkil etildi. Unda 7 mamlakat vakillari qatnashgan bo‘lsa, 2012 yildagi 53-olimpiadada 100 ta mamlakat terma jamoalari o‘zaro bellashdilar. 1997 yildan mustaqillik sharofati bilan mamlakatimiz vakillari ham Xalqaro matematik olimpiadalarda qatnasha boshladi[23]. Har bir maktabning har bir sinfida matematikaga layoqatli bir necha o‘quvchi bo‘ladi. Akademik litseylarning aniq fanlar yo‘nalishidagi guruhlarida 11 esa bunday talabalar ko‘pchilikni tashkil etishi ko‘zda tutilgan. Ravshanki, ular orasida turli bosqich musobaqalar, jumladan, Xalqaro matematika olimpiadalarida qatnashishni istaydigan, unda g'olib bo‘lishni orzu qiladigan o‘quvchilar oz emas. Xo‘sh, bu maqsadga yetish uchun nima qilmoq kerak? Xalqaro matematika olimpiadasiga qanday tayyorlanish kerak? Buning yo‘llari ko‘p. Faqat bu maqsadda yo‘lga otlanishdan avval, ko‘zlangan maqsad to‘g'risida aniq tasavvurga ega bo‘lish zarur. Xalqaro matematika olimpiadalarida dunyoning besh qit'asidan kelgan o‘quvchilar matematikadan masala yechish bo‘yicha musobaqa qiladilar. Har bir mamlakat terma jamoasi 6 ta o‘quvchidan iborat bo‘ladi. Ularning yoshi 20 dan katta bo‘lmasligi, oliy o‘quv yurtida o‘qimagan va o‘qimayotgan bo‘lishi lozim. Har yilgi musobaqada ikki kun uchtadan masala beriladi va ular bu masalalarni yechish uchun 4,5 soat vaqt ajratiladi. Har bir masala yechimi 7 ballgacha baholanadi. Demak, to‘planishi mumkin bo‘lgan eng yuqori baho - 42 ball. Masalalar maktab matematika dasturi bo‘yicha algebra, geometriya, sonlar nazariyasi va kombinatorikaga oid bo‘ladi. Masalalar olimpiada qatnashchisidan katta bilim, matematikaga alohida qobiliyat hamda ancha-muncha tajriba talab etadi. Axir XMOga dunyoning eng kuchli o‘quvchilari yig'iladi-da! Ular dastlab o‘z ta'lim muassasalarida, so‘ng tuman, viloyat va mamlakat bo‘yicha o‘tkazilgan hududiy bosqich olimpiadalarida yaxshi natija ko‘rsatib, pog'onama-pog'ona ko‘tarilib, XMO bosqichiga yetib borishadi. Tabiiyki, eng bilimli, eng qobiliyatli va eng tajribali o‘quvchilarga g'oliblik nasib etadi[22]. Dunyoga Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy, Ahmad Farg'oniy, Ulug'bek kabi buyuk matematiklar yetishtirib bergan yurtimizda matematikaga o‘ta qobiliyatli yoshlar ko‘p ekanligi shubhasiz. Kitobning maqsadi -- matematikaga qobiliyatli o‘quvchilarimizni olimpiada masalarini muvaffaqiyat bilan yechadigan darajada tayyorlanishga ko‘mak berish, ularning bilimini boyitib, tajribasini oshirish. (Darvoqe, bilim va tajriba orttirish davomida qobiliyat ham charxlanib boradi.) 12 1.2. Matematikadan olimpiada masalalari tushunchasi va ularga qo‘yiladigan asosiy talablar : Olimpiada masalalarining ta’riflari[12]. Quyidagi jadvalda olimpiada masalalarining turli mualliflar tomonidan berilgan ta’riflari va ularga qo‘yilgan talablar keltirilgan.(1.1-jadval) 1.1-jadval Olimpiada masalalarining ta’riflari va talablari. П. В Чулков 1. Har bir qatnashchi qandaydir masalani yecha olishi uchun turli qiyinchilikdagi masalalar; 2.Maktab matemarikasi(sinflar kesimida) dasturu doirasida bo‘lgan nostandart va qiziqarli bo‘lgan masalalar. А. О. Келдибекова Noma ’ lum usulda yechiladigan , nostandart va mantiqiy mazmundagi , o ‘ zlashtirish darajalari bo ‘ yicha Blum taksonomiyasining ( bilish , tushunish , qo ‘ llash , tahlil , sintez va baholash ) barcha bosqichlarini qoplab oladigan maktab matematikasi dasturi doirasidagi masalalar . В. Н. Русанов Darslikdagi masalalarga o ‘ xshash bo ‘ lmagan nostandart va kutulmagan noananaviy yechish usullarini talab qiladigan hamda 4 ta masaladan ikkitasini ko ‘ pchilik o ‘ quvchilar yecha oladigan , bittasi o ‘ rtacha va bittasi qiyin bo ‘ lgan masalalar А. Н. Саженков Elementar matematikaning muhim klassik natijalari va ularning tadbiqlariga doir masalalari. Yechilish g ’ oyalari va algoritmlari bo ‘ yicha tabaqalashtirilgan masalalar . В.Фарков Bayon etilishi va yechish usuli bo‘yicha nostandart va qiyinlik darajasi oshirilgan masalalar. Olimpiada masalalari ularni yechishda qanday materiallardan 13 foydalanilishiga qarab tabaqalashtiriladi: 1) maxsus metodlarni qo‘llab yechiladigan masalalar; 2) qiyinlik darajasi yuqori ,lekin maktab dasturi doirasidagi masalalar; 3) To‘garak va fakultativlarda o‘rganiladigan usullardan foydalanib yechiladigan dastur doirasidagi aralash tipdagi masalalar. А.Я.Канель- Белов, А.К.Ковальджи Maktab matematikasi metodlaridan foydalanib yechiladigan ilmiy muammolarga doir masalalar Н. Г.Куприна Ijodkorlik va tadqiqodchilikni va matematik qobiliyatni talab qiluvchi hamda o ‘ quvchilarni ruhlantiruvchi masalalar А. Р.Тугузбаева Yechish usullari va bayon etilishi bo ‘ yicha nostandart va qiyinlashtirilgan hamda yechish usullaru an ’ anaviy yechish usullaridan tubdan farq qiluvchi masalalar ( Butun sonlarda yechiladigan tenglamalar , Dirixle prinsipi , juft - toqlik , graflar , mantiqiy , sonlar nazariyasi elementlari va o ‘ yinlar hazariyasi elementlari ) Matematikadan olimpiada masalalari bir qator masalalar uchun atama bo ` lib , ularni yechish albatta kutilmagan va o ` ziga xos yondashuvni talab qiladi . Olimpiada topshiriqlarini bajarish uchun qat ' iy belgilangan vaqt ajratilgan , chunki topshiriqlar majburiy yoki ilg ' or darajadagi ( maktab standartlari bo ‘ yicha ) emas , balki nostandart vazifalardir . Nostandart vazifa nima? «Nostandart masalalar — matematika kursida ularni yechishning aniq dasturini belgilovchi umumiy qoida va qoidalar mavjud bo‘lmagan masalalar ». 14 Ammo shuni ta'kidlash kerakki, "nostandart vazifa" tushunchasi nisbiydir. Xuddi shu turdagi muammolarni hal qilish usullari bilan tanish bo‘lganimizga qarab, standart yoki nostandart bo‘lishi mumkin[19] . Shunday qilib, olimpiada (nostandart) muammosi algoritmi noma'lum bo‘lgan muammodir, ya'ni. uni qanday yechish mumkinligi, qanday o‘quv materialiga asoslangan yechim ma’lum emas va ko‘p vazifalar maxsus bilim va tayyorgarlikni talab qiladi. Bunday vazifalarga zukkolik, mantiq, invariantlarni qo‘llash, rang berish vazifalari va boshqalar kiradi. 1.3 Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalarni yechish metodikasiga qo‘yiladigan talablar. Olimpiada topshirig'ining murakkabligi topshiriqning tuzilishi bilan belgilanadigan ob'ektiv xarakteristikasidir . Muammoning murakkabligi uni hal qilish uchun zarur bo‘lgan – uni hal qilish uchun zarur bo‘lgan ma'lumotlar hajmi (ta'riflar, ko‘rishlar va boshqalar soni) ; - topshiriqdagi ma'lumotlar miqdori; - ular o‘rtasidagi munosabatlar soni; - muammoning holatidan mumkin bo‘lgan xulosalar soniga; - muammoni hal qilishda o‘zaro kirish miqdori; - uni hal qilishda aks ettirish uzunligi; - yechim bosqichlarining umumiy soni, jalb qilingan dalillar va boshqalarga bog'liq. Olimpiada muammosining qiyinligi muammoning sub'ektiv xarakteristikasi bo‘lib, muammo va uni hal qiluvchi talaba o‘rtasidagi munosabatlar bilan belgilanadi. Topshiriqning qiyinligi quyidagilarga bog'liq: - topshiriqning murakkabligi (murakkab vazifa odatda talabalar uchun qiyinroq); - muammo matnida uchraydigan materialni o‘rganishdan keyin o‘tgan davr (1-2 yil oldin o‘rganilgan material bo‘yicha topshiriqlar,allaqachon unutilgan 15 foydalanilgan faktlar); - bunday muammolarni hal qilishda mashq qilish; - o‘quvchining rivojlanish darajasi (umumiy ta'lim sinfi o‘quvchisi uchun qiyin bo‘lgan vazifa fizika-matematika sinfi o‘quvchisi uchun oson bo‘lishi mumkin); – talabaning yoshi. Olimpiadaning maktab bosqichiga oid topshiriqlar quyidagi talablarga javob berishi kerak[20]: 1. Topshiriqlar maktab matematikasining turli bo‘limlari bo‘yicha oddiy test xarakterida bo‘lmasligi kerak .Vazifalarning aksariyati (ilmiy) ijodkorlik elementlarini o‘z ichiga olishi kerak. 2.Olimpiada o‘tkaziladigan vaqtda tegishli sinfda matematika, algebra va geometriya bo‘yicha asosiy darsliklardan kamida bittasida o‘rganilmagan matematika bo‘limlaridagi topshiriqlar topshiriqlarga kiritilishi mumkin emas . 3. Olimpiada topshiriqlari, bir tomondan, deyarli har bir ishtirokchiga ularning eng oddiyini bajarish imkoniyatini berish, ikkinchi tomondan, asosiy maqsadlardan biriga erishish uchun turli xil murakkablik xususiyatiga ega bo‘lishi kerak. Olimpiadaning eng qobiliyatli 18 nafar ishtirokchisini aniqlash. Ishtirokchilarning kamida 70% birinchi vazifani, taxminan 50% ikkinchi, 20% - 30% uchinchi va olimpiada ishtirokchilarining eng yaxshilari oxirgi vazifani muvaffaqiyatli bajarganligi ma'qul . 4. Vazifalar jozibador, esda qolarli so‘zga ega bo‘lgan vazifalarni o‘z ichiga olishi kerak. 5. Topshiriqlar matni to‘g‘ri, tushunarli va ishtirokchilar uchun tushunarli bo‘lishi kerak. Vazifalar shartlarni talqin qilishda noaniqlikka yo‘l qo‘ymasligi kerak . Vazifalar ushbu yosh toifasidagi o‘quvchilarga tanish bo‘lmagan atama va tushunchalarni o‘z ichiga olmaydi. 6. Har bir sinf uchun variant 4-6 ta topshiriqdan iborat bo‘lishi kerak. Topshiriqlar mavzulari turlicha bo‘lishi kerak, agar iloji bo‘lsa, maktab matematikasining barcha bo‘limlarini qamrab olishi kerak : arifmetika, algebra, 16 geometriya . Variantlar mantiqiy vazifalarni (maktabning boshlang'ich va o‘rta bosqichlarida), kombinatorikani ham o‘z ichiga olishi kerak. Shunday qilib , 4-6-sinflar uchun arifmetik, mantiqiy topshiriqlar, vizual geometriyadagi vazifalar,paritet tushunchasidan foydalangan holda vazifalarni kiritish tavsiya etiladi ; 7-8-sinflarda algebraik ifodalarni o‘zgartirishlar,bo‘linish masalalari, isbotlash uchun geometrik masalalar,yechish uchun kombinatoryal masalalar qo‘llaniladigan topshiriqlar qo‘shiladi; 9-11 da chiziqli va kvadratik funksiyalarning xossalariga oid masalalar, sonlar nazariyasiga oid masalalar,tengsizliklar, trigonometriya, stereometriya,matematik analiz va kombinatorikadan foydalangan holda masalalar ketma-ket qo‘shiladi. 7. Olimpiada topshiriqlari bir yoki bir nechta ishtirokchilarni variantga kiritilgan barcha topshiriqlar bilan tanishtirish xavfini kamaytirish uchun bitta manba asosida tuzilmasligi kerak .Olimpiada ishtirokchilariga notanish bo‘lgan turli manbalardan foydalanish yoki variantlarga yangi masalalarni kiritish afzaldir . Matematika faniga qiziquvchi va qobilyatli o‘quvchilarni saralab olgandan so‘ng, ularning tanqidiy va kreativ fikrlashini shakllantirish maqsadida “matnli masalalar” yechish ko‘nikmasini rivojlantirish muhimdir. Buning uchun M.A.Mirzaahmedov muallifligidagi kitoblarni ishlab chiqish zarur va yetarli. Matnli masalalar asosan matematikaning real hayotga bog'langan qismi deb qabul qilinadi. Bu bo‘lim savdo-sotiq, ish, harakat, vaqt va kalendarlar orasidagi bog‘lanishlar hamda shu va shunga o‘xshash tipdagi masalalarni hayotga tadbiq etishga yordam beradi. Shu bilan bir qatorda foizlar, masshtab, geometrik o‘lchovlar, shkalalar, koordinatalar va hokazolarni ham o‘z ichiga oladi. Shuni takidlab o‘tish joizki, matnli masalalar uchun faqat matematik formulalardan foydalanibgina qolmasdan, mantik va logika ilmini ham birga foydalanish muhim o‘ringa ega. Chunki, faqat hisob-kitob yoki formula bilan 17 masalani mazmunan anglashni iloji yo‘q va uni mazmunan teran anglash uchun esa bizga mantiq ilmi kerak bo‘ladi[21]. Keyingi sinflarda iqtidorli o‘quvchilarni tayyorlash quyidagi kitoblar tavsiya beriladi. Kitobda eng dastlabki (1959 yil) olimpiadadan boshlab to 53- olimpiadagacha (2012 yil) berilgan masalalar jamlangan. Ularni yechishga urinib ko‘rgan o‘quvchi dastavval masalalar nisbatan yengilroq bo‘lgani, so‘ng yil sayin qiyinlashib borganini payqashi mumkin. Xuddi shu xususiyat kitobni o‘ziga xos qo‘llanmaga aylantiradi: o‘quvchi ham osondan qiyin tomon qobiliyatini charxlab boradi. Kitobning ikkinchi qismida har bir masalani yechishga turtki beradigan ko‘rsatmalar ilova qilingan. Albatta, masalani mustaqil yechishga intilish, juda bo‘lmagan holatlardagina ko‘rsatmalarga qarab qo‘yish hamda o‘zingiz topgan usul bilan ko‘rsatmalarda keltirilgan usulni taqqoslab ko‘rish tavsiya etiladi. Qo‘shimcha adabiyotlar sifatida quyidagi darsliklar tavsiya beriladi: 1. GMAT® Official Guide 2019, GMAT® Official Guide 2022. 2.“ Matematikadan olimpiada masalalari” H. Norjigitov, A.X. Nuraliyev. Toshkent 2020. 3. “ Планиметриядан хисоблашга ва исботлашга доир танланган масалалар ” Обид Каримий “ Укитувчи ” Нашриёти . Т ош к е н т 1965. Internet tarmoqlari, ijtimoiy tarmoqlari va ilovalar bo‘yicha quyidagi manbaalar tavsiya beriladi: 1.KHISO.UZ sayti Sardor Bazarbayev. 2.”Kun testi” ilovasi Sardor Bazarbayev. 3. “ mba.com” sayti Graduate Management Admission Council (GMAC). I bob bo‘yicha xulosalar 1.Olimpiadalar tarixi o‘rganildi: a) Xalqaro matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi. 18 b) Mustaqil Davlatlar Hamdo‘stligi (MDH) da matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi o‘rganildi c) O‘zbekistonda matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi 2. Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalar mazmuniga qo‘yiladigan talablar takomillashtirildi. 3.Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalarni yechish metodikasiga qo‘yiladigan talablar takomillashtirildi. II BOB. Maktablarda o‘quvchilarni matematikdan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha masalalar tizimini shakllantirish va ulardan foydalanish metodikasi 19 2.1. Maktablarda o‘quvchilarni matematikdan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha GMAT masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi. IT(Information Technology) va iqtisodiy statistika sohasi rivoj topib borayotgan bugungi kunimizda o‘quvchilarimizni matematik mantiq va mulohaza yuritishini rivojlantirish maqsadida xalqaro tajribalarni o‘rganish muhim ahamiyat kasb etib bormoqda, zero bu tajribalar eskicha “avtoritar” metodlardan voz kechib xalqaro sinalgan metodlar orqali o‘quvchilarimizni tanqidiy va kreativ fikrlashlarini rivojlantiradi. Bir o‘ylab ko‘ring-a hozirgi kunda qaysi bir o‘quvchimiz mustaqil (real) hayotda daftar qog’oz ko‘tarib “tagma-tag ko‘paytirish” yoki boshqa arifmetik amallarni bajaryapti? Tashqaridan qaraganda kulgili holat. Bu ishni albatta cho‘ntak telefon yoki kalkulyatorlar bajarib bermoqda. Xalqaro GMAC ( Graduate Management Admission Council) ta’lim sohasiga xizmat ko‘rsatuvchi tashkilot tomonidan tashkil qilingan GMAT sertifikatining aynan “Data sufficient” (ma’lumotlar yetarliligi) bo‘limining maqsadi ham o‘quvchilarni aniq hisob-kitoblaridan (arifmetika) ko‘ra optimal g’oyalarini ustuvor qo‘yishdan iboratdir. Quyida biz GMAT sertifikatining “Data sufficient” bo‘limiga qisqacha to‘xtalib o‘tamiz: “Data sufficient” bo‘limidagi testlar savol va 2 ta mulohazadan iborat(2.1 rasm): Mulohazaning yetarli bo‘lishi sharti! 20 Mulohaza berilgan savolga hech ikkilanmay “HA” yoki “YO‘Q” deya javob bera olsa yetarli bo‘ladi. Agarda ikkilanish holatlari bo‘lsa yetarli bo‘lmaydi. Misol uchun : Musbat butun p soni- tub sonmi? (1) p-toq son. (2) p sonining natural bo‘luvchilari soni 2 ta. (3) p 2 − 3 p − 4 = 0 1-mulohaza yetarli emas, chunki p=3 toq soni- tub son bo‘ladi (HA), p=9 toq soni- tub son bo‘la olmaydi (YO‘Q) (ikkilanish bor). 2-mulohaza yetarli, chunki faqatgina tub sonlarning natural bo‘luvchilari soni 2 ta bo‘ladi (HA). 3-mulohaza yetarli, chunki p2− 3p− 4=0 kvadrat tenglamaning javoblari: p1= 4 va p2=−1 bu yerda p2 – masalaga shartiga mos kelmaydi, demak p= 4 , bu son tub emas (YO‘Q). Savolga qanday javob topishni quyidagi blok sxema orqali tushunib olishimiz mumkin (2.2-rasm): 21 Sonlar nazariyasi bo’yicha topshiriqlar va ularni yechish metodikasi [25] 1. If d and g are integers, is d+g an even integer? (1) d is an even integer. (2) d=g 1. Agar d va g butun sonlar bo‘lsa, d+g juft bo‘ladimi? (1) d- juft son (2) d=g. 1-mulohaza: d = 2 k , k ∈ Z unda d + g = 2 k + g →{ 2 k + g = 2 k + 2 t = 2 ∙ ( k + t ) juft b o ' ladi , g − juft son bo ' lsa g = 2 t , t ∈ Z 2 k + g = 2 k + 2 t − 1 = 2 ∙ ( k + t ) − 1 toq b o ' ladi , g − toq son b o ' lsa g = 2 t − 1 , t ∈ Z Aniq xulosaga kelinmadi demak, yetarli emas. 2-mulohaza: d = g → d + g = g + g = 2 g − juft son Aniq xulosaga kelindi. 2-mulohaza yetarli (2.3-rasm). 22 Demak to‘g’ri javob B ekanligini ko‘rishimiz mumkin. Quyidagi masalalarni yechib ko‘rishingizni tavsiya beramiz. 2. If m, n, and p are integers, is m + n odd? (1) m= p2+4p+4 (2) n = p 2 + 2 m + 1 2. Agar m, n va p butun sonlar bo‘lsa, m+n toqmi? (1) m = p 2 + 4 p + 4 (2) n= p2+2m+1 3. If a and b are both positive integers, is ba+1−bab odd? (1) a+(a+4)+(a−8)+(a+6)+(a−10 ) is odd (2) b 3 + 3 b 2 + 5 b + 7 is odd 3. Agar a va b butun sonlar bo‘lsa, ba+1−bab toqmi? (1) a + ( a + 4 ) + ( a − 8 ) + ( a + 6 ) + ( a − 10 ) toq (2) b3+3b2+5b+7 toq 4. If w, y, and z are positive integers, and w = y – z, is w a perfect square? (1) y + z is a perfect square. (2) z is even . 4. Agar w,y va z musbat butun sonlar va w = y – z bo‘lsa, w to‘la kvadratmi? (1) y+z to‘la kvadrat. (2) z-juft 5. If x and y are positive integers and 3x + 5 < x + 11, is x a prime number? (1) The sum of x and y is even. (2) The product of x and y is odd 5. Agar x va y musbat butun va 3x + 5 < x + 11 bo‘lsa, x-tub sonmi? (1) x va y ning yig’indisi juft. (2) x va y ning ko‘paytmasi toq. 23 6. n is an integer greater than or equal to 0. The sequence tn f or n > 0 is defined as tn=tn−1+n . Given that t0=3 , is tn even? (1) n + 1 is divisible by 3 (2) n – 1 is divisible by 4 6. n butun soni 0 dan katta yoki teng son bo‘lsin. Barcha n > 0 uchun tn ketma-ketlik t n = t n − 1 + n kabi ifodalanadi. t 0 = 3 ga teng bo‘lsa, tn -juftmi? (1) n+1 3 ga bo‘linadi. (2) n-1 4 ga bo‘linadi 7. Seven integers, x1 , x2 ,x3 , x4 , x5 , x6 , and x7 , are picked at random from the set of all integers between 10 and 110, inclusive. If each of these integers is divided by 7 and the 7 remainders are all added together, what would be the sum of the 7 remainders? (1) The range of the remainders is 6. (2) The seven integers are consecutive 7. 10 va 110 orasidagi butun sonlar to‘plamidan (10 va 110 ham kiradi) ixtiyoriy 7 ta butun x 1 , x2 , x 3 , x4 , x 5 , x 6 , va x 7 sonlari tanlandi. Agar bu sonlarni har birini 7 bo‘lgandagi qoldiqlar qo‘shilgan bo‘lsa, 7 ta qoldiqlar yig’indisi necha bo‘ladi? (1) Qoldiqlarning eng kata va eng kichigini farqi 6. (2) 7 ta butun sonlar ketma-ket. 8. Five consecutive positive integers are chosen at random. If the average of the five integers is odd, what is the remainder when the largest of the five integers is divided by 4? (1) The third of the five integers is a prime number. (2) The second of the five integers is the square of an integer. 8. Beshta ketma-ket kelgan musbat butun sonlar ixtiyoriy tanlandi. Agar beshta butun sonning o‘rta arifmetik qiymati toq bo‘lsa, beshta butun sonning eng kattasini 4 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping? 24 (1) Beshta butun sonning 3-si tub son. (2) Beshta butun sonning 2-si butun sonning kvadrati (to‘la kvadrat) 9. If a and b are both single-digit positive integers, is a + b a multiple of 3? (1) The two-digit number "ab" (where a is in the tens place and b is in the ones place) is a multiple of 3. (2) a – 2b is a multiple of 3. 9. Agar a va b bir xonali musbat butun sonlar bo‘lsa, a+b 3 ga karralimi? (1) “ab” ikki xonali son ( o‘nlar xonasida a, birlar xonasida b) 3 ga karrali (2) a-2b 3 ga karrali 10. If P, Q, R, and S are positive integers, and P Q = R S , is R divisible by 5 ? (1) P is divisible by 140 (2) ¿7x , where x is a positive integer 10. Agar P,Q,R va S musbat butun sonlar va P Q = R S bo‘lsa, R 5 ga bo‘linadimi? (1) P soni 140 ga bo‘linadi (2) Q=7x , bu yerda x musbat butun son[15]. Planimetriya bo’limiga oid masalalar. 1. The figure above shows the top of a circular cake with a slice removed. The shaded region on top of the cake is the remaining part of a circular decoration that was centered on the cake. What is the area of the shaded region? 25 (1) P was the center of the top of the cake before the slice was removed and the angle of the slice, ∠ RPS , is 60°. (2) PR = PS = 11 centimeters 1. Yuqoridagi rasmda bir qismi kesib olingan doira shaklidagi tortning ustki qismi tasvirlangan. Bo‘yalgan soha bu- tortning markazida joylashgan doira shaklidagi bezakning qolgan qismi. Bo‘yalgan sohaning yuzi qancha? (1) P- qism kesib olinishidan oldingi tortning ustki qismi markazi, ∠RPS = 60°. (2) PR = PS = 11 santimetr. 2. What is the area, in square meters, of the building plot shown in the figure above? (1) KM = MP = 30 meters (2) JK = KL = LM = MN = NP = 15 meters 2.Yuqoridagi uy chizmasining yuzini toping( m2 )? (1) KM = MP = 30 metr. (2) JK = KL = LM = MN = NP = 15 metr. 3. In the figure shown, quadrilateral ABCD is inscribed in a circle of radius 5. What is the perimeter of quadrilateral ABCD ? (1) The length of AB is 6 and the length of CD is 8. (2) AC is a diameter of the circle. 3. Ko‘rsatilgan rasmda, ABCD to‘rtburchak radiusi 5 ga teng bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan. ABCD to‘rtburchakning perimetri nimaga teng? (1) AB tomon uzunligi 6 va CD tomon uzunligi 8 ga teng. (2) AC – aylananing diametri. 26 Tenglama va tengsizliklar bo’yicha masalalar. 1.On the number line above, is the product of w, x, y and z negative? (1) z is positive (2) The product of w and x is positive 1. Yuqoridagi sonlar o‘qida w, x, y va z larning ko‘paytmasi manfiymi? (1) z musbat. (2) w va x ning ko‘paytmasi musbat. 2. Is xy > 5 ? (1) 1 ≤ x ≤ 3 and 2 ≤ y ≤ 4. (2) x + y = 5 2. xy > 5 mi? (1) 1 ≤ x ≤ 3 va 2 ≤ y ≤ 4. (2) x + y = 5 3. In the equation x2+bx +12 =0 , x is a variable and b is a constant. What is the value of b ? (1) x − 3 is a factor of x2+bx +12 (2) 4 is a root of the equation x 2 + bx + 12 = 0 . 3. x2+bx +12 =0 tenglamada, x – o‘zgaruvchi va b o‘zgarmas son. b ning qiymatini toping? (1) x2+bx +12 ko‘phad x – 3 ga karrali. (2) 4 soni x 2 + bx + 12 = 0 tenglamani ildizi. 4. Is x between 0 and 1 ? (1) x 2 is less than x . (2) x3 is positive 4. x – 0 va 1 oralig’idami? (1) x2 kichik x dan . (2) x 3 -musbat. 5. If xy = − 6 , what is the value of xy (x+y)=? 27 (1) x− y=5 (2) xy2=18 5. Agar xy =−6 bo‘lsa, xy ( x + y ) ning qiymatini toping? (1) x − y = 5 (2) xy2=18 [16] Mustaqil yechish uchun misollar. 1. If the units digit of integer n is greater than 2, what is the units digit of n ? ( 1) The units digit of n is the same as the units digit of n 2 . (2) The units digit of n is the same as the units digit of n3 . 1. n butun sonning oxirgi raqami 2 dan katta bo‘lsa, n ning oxirgi raqami qanday bo‘ladi ? (1) n ning birlik raqamining oxirgi raqami bilan bir xil n2 . (2) n ning birlik raqamining oxirgi raqami bilan bir xil n3 . 2. What is the value of the integer p ? (1) Each of the integers 2, 3, and 5 is a factor of p. (2) Each of the integers 2, 5, and 7 is a factor of p. 2. p butun sonning qiymati nimaga teng? (1) 2, 3 va 5 butun sonlarining har biri p ning bo‘luvchisi . (2) 2, 5 va 7 butun sonlarning har biri p ning bo‘luvchisi . 3. If the length of Wanda's telephone call was rounded up to the nearest whole minute by her telephone company, then Wanda was charged for how many minutes for her telephone call? ( 1) The total charge for Wanda's telephone call was $6.50. (2) Wanda was charged $0.50 more for the first minute of the telephone call than for each minute after the first. 3. Agar Wandaning telefon qo‘ng'irog'i davomiyligi uning telefon kompaniyasi tomonidan eng yaqin butun daqiqaga yaxlitlangan bo‘lsa, u holda Wanda telefon qo‘ng'irog'i uchun necha daqiqaga pul to‘lagan? (1) Wandaning telefon qo‘ng'irog'i uchun umumiy to‘lov 6,50 $ ni tashkil etdi. 28 (2) Wanda telefon qo‘ng'irog'ining birinchi daqiqasi uchun birinchisidan keyingi har bir daqiqaga qaraganda 0,50 $ ko‘proq haq to‘laydi. 4. What is the perimeter of isosceles triangle MNP? (1) MN= 16 (2) NP= 20 4. MNP teng yonli uchburchakning perimetri nimaga teng ? (1) MN= 16 (2) NP= 20 5. In a survey of retailers, what percent had purchased computers for business purposes? (1) 85 percent of the retailers surveyed who owned their own store had purchased computers for business purposes. (2) 40 percent of the retailers surveyed owned their own store. 5. Chakana sotuvchilar o‘rtasida o‘tkazilgan so‘rovda qancha foiz kompyuterlarni biznes maqsadlarida sotib olgan? (1) O‘z do‘koniga ega bo‘lgan so‘rovda qatnashgan sotuvchilarning 85 foizi kompyuterlarni biznes maqsadlarida sotib olgan. (2) So‘ralgan chakana sotuvchilarning 40 foizi o‘z do‘koniga egalik qiladi. 6. The only gift certificates that a certain store sold yesterday were worth either $100 each or $10 each. If the store sold a total of 20 gift certificates yesterday, how many gift certificates worth $10 each did the store sell yesterday? ( 1) The gift certificates sold by the store yesterday were worth a total of between $1,650 and $1,800. (2) Yesterday the store sold more than 15 gift 6. Kecha ma'lum bir do‘kon sotgan yagona sovg'a sertifikatlarining har biri 100 yoki 10 dollarga teng edi. Kecha do‘kon jami 20 ta sovg'a sertifikatlarini sotgan bo‘lsa, kecha do‘kon har biri 10 dollarlik nechta sovg'a sertifikatlarini sotgan? 29 (1) Kecha do‘kon tomonidan sotilgan sovg'a sertifikatlari umumiy qiymati 1650 dan 1800 dollargacha bo‘lgan. (2) Kecha do‘kon 15 dan ortiq sovg'alarni sotdi 7. Is the standard deviation of the set of measurements x 1, x 2, x 3, x 4, . . ., x20 less than 3 ? (1)The variance for the set of measurements is 4. (2)For each measurement, the difference between the mean and that measurement is 2. 7. x 1, x 2, x 3, x 4, . . ., x20 o‘lchovlar to‘plamining standart og'ishi 3 dan kichikmi? (1) O‘lchovlar to‘plami uchun dispersiya 4 ga teng. (2) Har bir o‘lchov uchun o‘rtacha va bu o‘lchov o‘rtasidagi farq 2 ga teng. 8. Is the range of the integers 6, 3, y, 4, 5, and x greater than 9 ? (1) y > 3x (2) y > x > 3 8. 6, 3, y, 4, 5 va x butun sonlarining kengligi 9 dan kattami? (1) y > 3x (2) y > x > 3 9. Of the companies surveyed about the skills they required in prospective employees, 20 percent required both computer skills and writing skills. What percent of the companies surveyed required neither computer skills nor writing skills? (1) Of those companies surveyed that required computer skills, half required writing skills. (2) 45 percent of the companies surveyed required writing skills but not computer skills. 9. Bo‘lajak xodimlardan talab qilinadigan ko‘nikmalar haqida so‘ralgan kompaniyalarning 20 foizi kompyuter va yozish ko‘nikmalarini talab qildi. So‘rovda qatnashgan kompaniyalarning necha foizi kompyuter va yozish ko‘nikmalarini talab qilmagan? 30 (1) So‘rovda qatnashgan kompaniyalardan kompyuter ko‘nikmalarini talab qilgan, yarmi yozish qobiliyatini talab qilgan. (2) So‘rovda qatnashgan kompaniyalarning 45 foizi yozish ko‘nikmalarini talab qiladi, lekin kompyuter ko‘nikmalarini talab qilmaydi. 10. What is the value of w + q? (1) 3w=3-3q (2) 5w+ 5q= 5 10. w + q ning qiymati nimaga teng ? (1) 3w=3-3q (2) 5w+ 5q= 5 11. If X and Y are points in a plane and X lies inside the circle C with center O and radius 2, does Y lie inside circle C? (1) The length of line segment XY is 3. (2) The length of line segment OY is 1.5. 11. Agar tekislikdagi X va Y nuqtalar bo‘lsa va X nuqta markazi O va radiusi 2 bo‘lgan C aylana ichida bo‘lsa, Y nuqta C aylana ichida yotadimi? (1) XY kesmaning uzunligi 3 ga teng. (2) OY kesmaning uzunligi 1,5 ga teng. 12. If Paula drove the distance from her home to her college at an average speed that was greater than 70 kilometers per hour, did it take her less than 3 hours to drive this distance? (1) The distance that Paula drove from her home to her college was greater than 200 kilometers. (2) The distance that Paula drove from her home to her college was less than 205 kilometers. 12 . Agar Paula o‘z uyidan kollejgacha bo‘lgan masofani soatiga 70 kilometrdan oshiq o‘rtacha tezlikda bosib o‘tgan bo‘lsa, bu masofani bosib o‘tish uchun unga 3 soatdan kam vaqt yetadimi? (1) Paula o‘z uyidan kollejigacha bo‘lgan masofa 200 kilometrdan ko‘proq edi. (2) Paula o‘z uyidan kollejigacha bo‘lgan masofa 205 kilometrdan kam edi. 31 13. In the xy-plane, if line k has negative slope and passes through the point (-5,r), is the x-intercept of line k positive? (1) The slope of line k is -5. (2) r> 0 13. XOY tekislikda k chiziqning burchak koeffitsiyenti manfiy bo‘lib, (- 5,r) nuqtadan o‘tsa, k to‘g'ri chiziqning OX o‘qini kesib o‘tish nuqtasi musbatmi? (1) k chiziqning keffitsiyenti -5 ga teng. (2) r > 0 14. If $5,000 invested for one year at p percent simple annual interest yields $500, what amount must be invested at k percent simple annual interest for one year to yield the same number of dollars? (l) k = 0.8p (2) k= 8 14. Agar bir yil davomida p foizli oddiy yillik foiz evaziga qo‘yilgan 5000 AQSh dollari 500 AQSh dollari foyda keltirsa, bir xil miqdordagi dollarni olish uchun bir yil davomida k foizli oddiy yillik foiz stavkasida qanday mablag‘ qo‘yish kerak? (l) k = 0,8p (2) k=8 15. If x + y z > 0 , is x < 0 ? (1) x < y (2) z < 0 15. Agar x + y z > 0 , x < 0 bo‘ladimi? (1) x < y (2) z < 0 16. In City X last April, was the average (arithmetic mean) daily high temperature greater than the median daily high temperature? (1) In City X last April, the sum of the 30 daily high temperatures was 2, 160° . 32 (2) In City X last April, 60 percent of the daily high temperatures were less than the average daily high temperature. 16. O‘tgan aprel oyida X shahrida o‘rtacha (o‘rtacha arifmetik) kunlik yuqori harorat o‘rtacha kunlik yuqori haroratdan yuqori bo‘lganmi? (1) O‘tgan aprel oyida X shahrida 30 kunlik yuqori haroratlar yig'indisi 2,160 ° ni tashkil etdi. (2) O‘tgan aprel oyida X shahrida kunlik yuqori haroratning 60 foizi o‘rtacha kunlik yuqori haroratdan past edi. 17. Of the 66 people in a certain auditorium, at most 6 people have their birthdays in any one given month. Does at least one person in the auditorium have a birthday in January? (1) More of the people in the auditorium have their birthday in February than in March. (2) Five of the people in the auditorium have their birthday in March. 17 . Muayyan auditoriyadagi 66 kishidan ko‘pi bilan 6 kishining har qanday oyda tug'ilgan kuni bor. Auditoriyadagi kamida bitta odamning yanvar oyida tug'ilgan kuni bormi? (1) Auditoriyadagi odamlar mart oyiga qaraganda fevral oyida tug'ilgan kunini nishonlaydilar. (2) Auditoriyadagi besh kishining tug'ilgan kuni mart oyida. 18. Last year the average (arithmetic mean) salary of the 10 employees of Company X was $42,800. What is the average salary of the same 10 employees this year? (1) For 8 of the 10 employees, this year's salary is 15 percent greater than last year's salary. (2) For 2 of the 10 employees, this year's salary is the same as last year's salary. 18. O‘tgan yili X kompaniyasining 10 nafar xodimining o‘rtacha (o‘rtacha arifmetik) ish haqi 42 800 dollarni tashkil etdi. Xuddi shu 10 nafar xodimning bu yilgi o‘rtacha maoshi qancha? 33 (1) 10 nafar xodimdan 8 nafari uchun bu yilgi ish haqi o‘tgan yilgi maoshdan 15 foizga ko‘p. (2) 10 nafar xodimdan 2 nafari uchun bu yilgi ish haqi o‘tgan yilgi ish haqi bilan bir xil. 19. In a certain classroom, there are 80 books, of which 24 are fiction and 23 are written in Spanish. How many of the fiction books are written in Spanish? (1) Of the fiction books, there are 6 more that are not written in Spanish than are written in Spanish. (2) Of the books written in Spanish, there are 5 more nonfiction books than fiction books. 19. Ma'lum bir sinfda 80 ta kitob mavjud bo‘lib, ulardan 24 tasi badiiy va 23 tasi ispan tilida yozilgan. Badiiy kitoblarning nechtasi ispan tilida yozilgan? (1) Badiiy kitoblardan ispan tilida yozilganidan ko‘ra ispan tilida yozilmagan yana 6 tasi bor. (2) Ispan tilida yozilgan kitoblardan badiiy adabiyotlardan 5 taga ko‘p badiiy bo‘lmagan kitoblar mavjud. 20. If P is the perimeter of rectangle Q, what is the value of P? (1) Each diagonal of rectangle Q has length 10. (2) The area of rectangle Q is 48. 20. Q to‘rtburchakning perimetri P bo‘lsa, P ning qiymati qanday bo‘ladi? (1) Q to‘rtburchakning har bir diagonali uzunligi 10 ga teng. (2) Q to‘rtburchakning yuzasi 48 ga teng. 2.2. Maktablarda o‘quvchilarni matematikdan fan olimpiadalariga “sonlar nazariyasi” bo‘yicha masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi. Taqqoslama va uning ba’zi murakkab masalalarga tatbiqlari[13]. Bizga a va b butun sonlar va m natural son berilgan bo‘lsin. 34 Ta’rif. Agar a va b sonlarini m ga bo‘lgandagi qoldiqlari teng bo‘lsa, a va b sonlar m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi deyiladi va a≡b(modm ) shaklda yoziladi. Masalan, a= 22 va b = 27 sonlari m = 5 modul bo‘yicha taqqoslanadi, ya’ni 22 ≡ 27 ( mod 5 ) . Xossalari: 1° . Ixtiyoriy a butun soni va m natural soni uchun a ≡ a ( modm ) taqqoslama o‘rinli bo‘ladi. 2° . Agar a ≡ b ( modm ) bo‘lsa, u holda b ≡ a ( modm ) bo‘ladi. 3° . Agar a ≡ b ( modm ) va b ≡ c ( modm ) bo‘lsa, u holda a≡c(modm ) bo‘ladi. 4° . Taqqoslamalarni hadma-had qo‘shish va hadma-had ko‘paytirish mumkin, ya’ni, agar a ≡ b ( modm ) va c≡d(modm ) bo‘lsa, u holda a+c≡b+d(modm ) va a ∙ c ≡ b ∙ d ( modm ) bo‘ladi. 5° . a ≡ b ( modm ) taqqoslama va ∀ n ∈ N soni uchun an ≡ bn ( mod mn ) taqqoslama o‘rinli bo‘ladi. 6° . Taqqoslamaning ikkala tarafini ham m bilan o‘zaro tub bo‘lgan ( EKUB ( m , c ) = 1 ) c soniga ko‘paytirish mumkin. Ya’ni a ≡ b ( modm ) va EKUB ( m , c ) = 1 bo‘lsa, u holda a ∙ c ≡ b ∙ c ( modm ) o‘rinli bo‘ladi. 7° . Agar a ≡ b ( modm ) bo‘lsa, u holda a n ≡ b n ( modm ) boladi. Bu yerda n ixtiyoriy natural son. Ta’rif. Musbat sonlar ustida aniqlangan, hamda a soniga 1,2,3,4 , … . a − 1 sonlar ichida a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini mos qo‘yuvchi funksiya Eyler funksiyasi deyiladi. Eyler funksiyasi φ ( a ) kabi belgilanadi. Misol: φ ( 1) = 1 , φ ( 2 ) = 1 , φ ( 3) = 2 , φ ( 4 ) = 2 , φ ( 5) = 4 , φ ( 6) = 2. Eyler funksiyasining qiymatini berilgan a sonining a= p1α1∙p2α2∙p3α3∙… ∙pkαk kanonik yoyilmasidan foydalanib, hisoblaydigan formula keltiramiz. Tasdiq. a soni uchun Eyler funksiyasi ya’ni a soniga 1,2,3,4 ,… .a−1 35 sonlar ichida a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar soni φ ( a ) quyidagicha topiladi: φ ( a ) = a ∙ ( 1 − 1 p 1 ) ∙( 1 − 1 p 2 ) ∙( 1 − 1 p 3 ) … ∙ ( 1 − 1 p k ) Isbot. Avval a tub son bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni a= p biror tub songa teng bo‘lsin. U holda p tub son ekanligidan 1,2,3 , … p − 1 sonlarni har biri bilan o‘zaro tub bo‘ladi. Demak, φ ( p ) = p − 1 . Endi a biror tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsin ya’ni a= pα . U holda {1,2,3,4 ,… ,pα−1}∖{p,2p,3p,… ,(pα−1−1)p} sonlarning barchasi pα bilan o‘zaro tub, ya’ni φ ( p ¿ ¿ α ) = p α − p α − 1 ¿ . Aytaylik, a= p1∙p2 ko‘rinishda bo‘lsin, bu yerda p1,p2 tub sonlar. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda p1<p2 deb olib, { 1,2,3 , … , p 1 ∙ p 2 − 1 } ∖ { p 1 , 2 p 1 , 3 p 1 , 4 p 1 , … , ( p 2 − 1 ) p 1 , p 2 , 2 p 2 , 3 p 2 , 4 p 2 , … , ( p 1 − 1 ) p 2 } sonlarni qaraymiz. Bu sonlarning barchasi p1∙p2 bilan o‘zaro tub bo‘ladi, ya’ni φ(p1∙p2)= p1∙p2− p1− p2+1=(p1−1)∙(p2−1)= φ¿ Demak, o‘zaro tub bo‘lgan ikkita p 1 va p 2 n atural son uchun φ ( p 1 ∙ p 2 ) = φ ¿ ekanligi kelib chiqdi. Induksiyadan foydalangan holda juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lgan k ta natural son uchun: φ ( p 1 ∙ p 2 ∙ p 3 ∙ … ∙ p k ) = φ ¿ ekanligini osongina hosil qilish mumkin. Teorema (Eyler teoremasi) . O‘zaro tub bo‘lgan a va m ( m > 1 ) sonlari uchun quyidagi munosabat o‘rinli: aφ(m)≡1(modm ) Isbot. Aytaylik, φ ( m ) = c bo‘lsin. m dan kichik va m bilan o‘zaro tub bo‘lgan turli r1,r2,r3,… ,rc sonlari uchun ar1,ar2,ar3,… ,arc sonlarni qaraymiz. U holda a r 1 ≡ s 1 ( modm ) , a r 2 ≡ s 2 ( modm ) , a r 3 ≡ s 3 ( modm ) , … . , a r c ≡ s c ( modm ) . Bu yerda s 1 , s 2 , s 3 , … , s c lar o‘zaro teng bo‘lmagan sonlar. Haqiqatan, si= sj bo‘lsa, u holda a r i ≡ s i ( modm ) va arj≡sj(modm ) 36 ekanligidan a r i − a r j ≡ ( s i − s j )( modm ) ≡ 0 ( modm ) kelib chiqadi. EKUB ( a , m ) = 1 bo‘lganligi uchun ri− rj≡0(modm ) ya’ni r i = r j . Bu esa rk sonlarining turli ekanligiga zid. Shuningdek, s1,s2,s3,… ,sc sonlarning barchasi m bilan o‘zaro tub ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bundan esa r1∙r2∙r3∙… ∙rc= s1∙s2∙s3∙… ∙sc tenglik kelib chiqadi. ari≡si(modm ) taqqoslamalarni hadma-had ko‘paytirsak, a c ∙ r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 ∙ … ∙ r c = s 1 ∙ s 2 ∙ s 3 ∙ … ∙ s c ( modm ) munosabatga ega bo‘lamiz. Demak, ac=1(modm ) ya’ni a φ ( m) = 1 ( modm ) . (*) Agar Eyler teoremasida m soni o‘rniga biror p tub olinsa, u holda (*) tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi: ap−1=1(modp ) Ushbu tenglikning ikkala tomonini a ga ko‘paytirsak, a p = a ( modp ) tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik Fermaning kichik teoremasi deyiladi. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi . Endi quyidagi taqqoslamalar sistemasini qaraymiz: { x≡b1(mod m1) x≡b2(mod m2) … x≡bk(mod mk) bu yerda, m1,m2,m3,… ,mk sonlari jufti-jufti bilan o‘zaro tub sonlar ya’ni ∀ i,jϵ1,k va i ≠ j lar uchun EKUB (mi,m j)= 1 .Bu sistema bir noma’lumli chiziqli taqqoslamalar sistemasi deyiladi. Teorema (Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi)[3]. Bir noma’lumli chiziqli taqqoslamalar sistemasi berilgan bo‘lib, M s va M s¿ sonlari quyidagicha aniqlangan bo‘lsin: m 1 ⋅ m 2 ⋅ m 3 ⋅ … ⋅ m s = M s ⋅ m s , va M s¿ sonini M s⋅M s¿=1(mod ms) shart o‘rinli bo‘ladigan qilib tanlab olamiz. x0 sonini quyidagicha aniqlaymiz: x 0 = M 1 ⋅ M 1¿ ⋅ b 1 + M 2 ⋅ M 2¿ ⋅ b 2 + … . + M k ⋅ M k¿ ⋅ b k U holda x≡x0(mod m1⋅m2⋅m3⋅… ⋅mk) taqqoslamani qanoatlantiruvchi barcha x lar to‘plami berilgan sistemaning yechimlari to‘plamiga teng bo‘ladi. 37 Isbot. M j larning aniqlanishiga ko‘ra, M s dan farqli barcha ms lar ga bo‘linadi. Natijada, x0≡ M s⋅M s¿∙bs(mod ms)≡bs(mod ms) hosil bo‘ladi. Shu sababli x= x0 yechim sistemani qanoatlantiradi. Bundan esa, berilgan sistema quyidagi sistemaga ekvivalent ekanligi kelib chiqadi: { x ≡ x 0 ( mod m 1 ) x ≡ x 0 ( mod m 2 ) … x ≡ x 0 ( mod m k ) Bu sistema x≡x0(mod m1⋅m2⋅m3⋅… ⋅mk) taqqoslamaga teng kuchli. Misol: Quyidagi sistemani yeching. { x≡b1(mod 4) x≡b2(mod 5) x≡b3(mod 7) Bu yerda M 1 = 35 , M 2 = 28 , M 3 = 20 bo‘lganligi uchun, 35 ∙ 3 ≡ 1 ( mod 4 ) , 28 ∙ 2 ≡ 1 ( mod 5 ) , 20 ∙ 6 ≡ 1 ( mod 7 ) ekanligidan M 1¿=3,M 2¿=2,M 3¿=6 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, x 0 = 35 ∙ 3 ∙ b 1 + 28 ∙ 2 ∙ b 2 + 20 ∙ 6 ∙ b 3 = 105 ∙ b 1 + 56 ∙ b 2 + 120 ∙ b 3 Yuqoridagi teoremaga ko‘ra berilgan sistema quyidagi tenglamaga teng kuchli: x≡(105 ∙b1+56 ∙b2+120 ∙b3)(mod 140 ) Aytaylik, b 1 = 1 , b 2 = 3 va b3=2 bo‘lsin, u holda bo‘lib, sistemaning quyidagi yechimi hosil bo‘ladi: x ≡ ( 105 ∙ 1 + 56 ∙ 3 + 120 ∙ 2 ) ( mod 140 ) ≡ 93 ( mod 140 ) . Bu yechimni x=93 140 yoki x=93 +140 k,k Zϵ ko‘rinishida ham yozish mumkin. Taqqoslamaning ba’zi murakkab masalalarga tatbiqlari. 1-Misol: 2031 2042 sonining oxirgi ikki raqamini toping? 38 1-usul. Ixtiyoriy a … bcd n sonini daraja amallaridan foydalanib a … bc 1 m ko‘rinishiga yoki a… b24 k ko‘rinishiga keltirsa bo‘ladi (n,m ,k Nϵ ) . Xususan a … bc 1 m ko‘rinishiga keladigan sonlar uchun ( a … bc 0 + 1 ) m sonini Nyuton binomi formulasi bo‘yicha yoyganimizda quyidagi munosabatga ega bo‘ lamiz : ( a … bc 0 + 1 ) m = ∑ k = 0m C m k ∙ a … bc 0 k ∙ 1 m − k = C m0 ∙ a … bc 0 0 ∙ 1 m + + C m1 ∙ a … bc 0 1 ∙ 1 m − 1 + C m2 ∙ a … bc 0 2 ∙ 1 m − 2 + … + ¿ C mm ∙ a … bc 0 m 1 m − m ¿ yig’indini yoyilma ko‘rinishidagi barcha C mk lar butun s on va uchinchi hadidan boshlab barcha hadlari 100 ga karrali bo‘lganligi sababli barchasini 100 d deb belgilaymiz chunki oxirgi ikki xonasiga ta’sir qilmaydi ( a … bc 0 + 1 ) m = C m0 ∙ a … bc 0 0 ∙ 1 m + + C m1 ∙ a … bc 0 1 ∙ 1 m − 1 + 100 d = ¿ ¿1+m ∙a… bc 0∙1+100 d=100 d+10 ∙(a… bc ∙m)+1 Aytaylik m = … f ya’ni m sonining birlar xonasida f raqami bo‘lsin, unda sonning o‘nlar xonasida c∙f sonining oxirgi raqami turadi va bu holatda har doim birlar xonasida 1 raqami bo‘ladi. Bizga berilgan misolda ( 2030 + 1 ) 2042 bundan m = 2042 , f = 2 , c = 3 o‘nlar xonasida c∙f= 2∙3=6 raqami bo‘ladi, birlar xonasida 1 raqami bo‘ladi. Demak , 2031 2042 = … 61 2-usul.(Eyler teoremasi) 2031 2042 sonining oxirgi ikki raqamini topish masalasi 2031 2042 ≡ x(mod 100 ),x<100 masalasi bilan teng kuchli sababi, x − ¿ bu 2031 2042 sonini 100 ga bo‘lgandagi qoldiq desak bo‘ladi. EKUB ( 2031,100 ) = 1 , 100 soni uchun Eyler funksiyasini aniqlaymiz: φ ( 100 ) = 100 ∙ ( 1 − 1 2 ) ∙( 1 − 1 5 ) = 100 ∙ 1 2 ∙ 4 5 = 40 Eyler teoremasiga ko‘ra 2031 40≡1(mod 100 ) va bu taqqoslamani 7° -xossaga asosan darajaga oshirsak (2031 40)51≡2031 2040 ≡1(mod 100 ) taqqoslamani hosil qilamiz, 6° -xossaga ko‘ra x ≡ 2031 2042 ≡ 2031 2040 ∙ 2031 2 ≡ 1 ∙ 2031 2 ≡ 31 2 ≡ 961 ≡ 61 ( mod 100 ) 61 <100 shart bajarilganligidan x=61 tenglik o‘rinli bo‘ladi. 2-Misol. 2022 242 sonini oxirgi ikki raqamini toping? 39 1-usul. . Ixtiyoriy a … bcd n sonini daraja amallaridan foydalanib a … bc 1 m ko‘rinishiga yoki a… b24 k ko‘rinishiga keltirsa bo‘ladi (n,m ,k Nϵ ) . Xususan a… bd 2k=a… bd 2mn…q0∙a… bd 2rr− raqam bo‘ lganligidan a … bd 2 r sonining oxirgi ikki raqamini topish qiyin emas. a… bd 2mn…q0=((a… bd 0+2)10)mn…q=(∑k=0 10 C10k∙a… bd 010−k∙2k)mn…q=(100 d+C109∙a… bd 01∙29+C1010∙a… bd 00∙210)mn…q yoyilmada C 109 = 10 va a … bd 0 1 = 10 q ga teng ekanligidan C109∙a… bd 01∙29=100 l ya’ni 100 ga karrali, demak daraja asosining oxirgi ikki raqami C1010∙a… bd 00∙210=… 24 soniga bog’liq ekanligi kelib chiqadi. ((a… bd 0+2)10)mn…q=(100 d+100 l+… 24 )mn…q=(… 24 )mn…q=¿{ … 24 ,(… 24 )mn…qsonida q−toq raqam bo ‘lsa … 76 ,(… 24 )mn…qsonida q− juft raqam bo ‘lsa Bizga berilgan misolda 2022 642 = 2022 240 ∙2022 2 deb olsak bo‘ladi 1) 2022 640 =(2022 10)64=(… 24 )64=((4− juft ))=… 76 2) 2022 2∙… 76 =… 84 Demak 2022 641 = … 84 munosabatga ega bo‘lamiz. 2-usul. ( Eyler teoremasi ) 2022 642 ≡ x ( mod 100 ) , x < 100 va EKUB ( 2022,100 ) = 4 bo‘lgani uchun bu taqqoslamani ikki tomonini ham 5°-xossaga ko‘ra 4 ga qisqartirganimizda: 1011 2∙2022 640 ≡ x 4(mod 25 ) munosabat o‘ rinli va EKUB ( 2022 ; 25 ) = 1 tenglikdan Eyler teoremasini qo‘llasak maqsadga muvofiq bo‘ladi φ(25 )=25 ∙(1− 1 5)= 20 ; 1) 2022 20 ≡ 1 ( mod 25 ) ⇒ 7 ° − xossaga ko ' ra ⇒ ( 2022 20 ) 32 ≡ 1 ( mod 25 ) 2) Ushbu taqqoslamani ikki tomonini 6°-xossaga ko‘ra 1011 2 ga ko‘paytirsak: 1011 2∙2022 640 ≡1011 2∙1≡21 ≡ x 4(mod 25 ) taqqoslama hosil bo‘ ladi Demak, x 4=21 ⇒ x=84 . 3-misol. Yangi 2022-yil munosabati bilan qorbobo 9-B sinfning a’lochi o‘g’il bolalariga 3 tadan, a’lochi qizlariga 2 tadan kitob sovg’a qildi. Agar 40 qorbobo jami bo‘lib 40 ta kitob sovg’a qilgan bo‘lsa, nechta o‘g’il va qiz sovg’a olishgan? Yechish: Berilgan masalaga mos tenglama tuzsak 3a+2b=40 ,a=?,b=? Bu yerda a − ¿ o‘g’il bolalar soni, b − ¿ qiz bolalar soni. 2 b = − 3 a + 40 ⇒ 2 b ≡ 40 ( mod 3 ) 6°-xossaga ko‘ra bu taqqoslamani 2 ga ko‘paytirsak 4 b ≡ 80 ( mod 3 ) ⇒ b ≡ 2 ( mod 3 ) ⇒ b = 3 k + 2 , k ϵ Z bu tenglikdan 3a=40 −2b= 40 − 2∙(3k+2)= 40 −6k−4=36 −6k a=12 −2k tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak { a=12 − 2k b=3k+2 kϵZ xususan, k = 0 da { a = 12 b = 2 , k = 1 da { a = 10 b = 5 , k = 2 da { a = 8 b = 8 , k = 3 da { a = 6 b = 11 k = 4 da { a = 4 b = 14 , k = 5 da { a = 2 b = 17 , k = 6 da { a = 0 b = 20 k ning qolgan qiymatlarida a<0 yoki b < 0 bo‘ladi bu masala shartiga zid. Umumiy javob { a=12 − 2k b=3k+2 kϵZ . 4-misol. Fermada o‘rdak, tovuq va qo‘ylar bo‘lib, o‘rdak va qo‘ylarning oyoqlari soni 70 ta, o‘rdaklarning oyoqlari va tovuqlarning panjalari soni esa 32 ta bo‘lsa. O‘rdaklar, tovuqlar va qo‘ylarning sonini toping? (Tovuqning panjalari soni 3ta) Yechish. Masalaga mos tenglama tuzamiz { 2 x + 4 y = 70 2 x + 3 z = 32 ⇒ { x + 2 y = 35 2 x + 3 z = 32 { x = − 2 y + 35 2 x = − 3 z + 32 ⇒ { x ≡ 35 ( mod 2 ) 2 x ≡ 32 ( mod 3 ) bu taqqoslamalar sistemasini Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi dan foydalanib yechamiz: { x ≡ 35 ( mod 2 ) 2 x ≡ 32 ( mod 3 ) ⇒ { x ≡ 1 ( mod 2 ) 2 x ≡ 2 ( mod 3 ) ⇒ { x ≡ 1 ( mod 2 ) 4 x ≡ 4 ( mod 3 ) ⇒ { x ≡ 1 ( mod 2 ) x ≡ 1 ( mod 3 ) x 0 = 2 a 1 + 3 a 2 Bu yechimni taqqoslamalar sistemasiga olib borib qo‘yamiz { x0≡1(mod 2) x0≡1(mod 3) { 2a1+3a2≡1(mod 2) 2a1+3a2≡1(mod 3)⇒ { 3a2≡1(mod 2) 2a1≡1(mod 3)⇒ { a2≡1(mod 2) 4a1≡2(mod 3)⇒ { a2≡1(mod 2) a1≡2(mod 3) demak, a1=3k+2,a2=2l+1,k,lϵZ 41 Xususan, a1=2,a2=1 deb tanlab olsak x0=2∙2+3∙1=7 umumiy yechim esa quyidagicha ko‘rinishda bo‘ ladi: x= x0+EKUK (2,3 )∙k⇒ x= 7+6k bu noma’lumga mos qolgan noma’lumlarni topamiz { 2 y = 35 − x = 35 − 7 − 6 k 3 z = 32 − 2 x = 32 − 2 ∙ ( 7 + 6 k ) ⇒ { 2 y = 28 − 6 k 3 z = 18 − 12 k ⇒ { y = 14 − 3 k z = 6 − 4 k ⇒ ⟹ { x = 7 + 6 k y = 14 − 3 k z = 6 − 4 k , k ϵ Z . Endi xususiy yechimlarni topamiz, k = − 1 da { x = 1 y = 17 z = 10 k=0da { x=7 y=14 z=6 , va k=1da { x=13 y= 11 z= 2 k ning qolgan qiymatlarida x < 0 , y < 0 yoki z < 0 bo‘ladi bu masala shartiga zid. Umumiy javob { x = 7 + 6 k y = 14 − 3 k z = 6 − 4 k , k ϵ Z . 5-misol. 7 112 sonni 11 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. Yechish. 7112 va 11 – tub son, u holda Ferma teoremasiga ko‘ra 711−1≡1(mod 11 )⟹ (710)11≡111(mod 11 )⟹ 7110 ≡1(mod 11 )⟹ 7112 ≡72(mod 11 )⟹ 7112 ≡49 (mod 11 )⟹ 7112 ≡5(mod 11 ). Javob: r =5 6-misol. 14 79 sonni 9 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ Yechish. 14 79 va 9 – tub son emas, u holda Eyler teoremasiga asosan 14 φ ( 9 ) ≡ 1 ( mod 9 ) munosabat o rinli. Endi ‟ φ(9) ni hisoblaymiz: φ ( 9) = 9 ( 1 − 1 3 ) = 6 ; 14 6 ≡ 1 ( mod 9 ) ⟹ 14 78 ≡ 1 ( mod 9 ) ⟹ 14 79 ≡ 14 ( mod 9 ) ¿ ⟹ 14 79 ≡ 5 ( mod 9 ) Javob: r = 5 . 7-misol. 22006 sonning oxirgi ikki raqamini toping. Yechish. 2 2006 sonning oxirgi ikki raqamini topish uchun uni 100 ga bo‘lgandagi qoldiqni topamiz. Eyler teoremasiga keltirib olamiz: 22006 ≡r(mod 100 )⟹ 4∙22004 ≡r(mod 100 )⟹ 22004 ≡ r 4(mod 25 )⟹ 42 Endi 2 2004 sonini 25 ga bo lgandagi qoldiqni topamiz. ‟ 2 2004 va 25 tub son emas, u holda Eyler teoremasiga asosan 2 φ ( 25 ) ≡ 1 ( mod 25 ) munosabat o‘rinli. Endi φ ( 25 ) ni hisoblaymiz: φ(25 )=25 (1− 1 5)=20 . 2 φ ( 25 ) ≡ 1 ( mod 25 ) ⟹ 2 20 ≡ 1 ( mod 25 ) ⟹ 2 2000 ≡ 1 ( mod 25 ) ⟹ 2 2004 ≡ 2 4 ( mod 25 ) ⟹ 2 2004 ≡ 16 ( mod 25 ) ⟹ r 4 = 16 ⟹ r = 64. Demak, 2 2006 sonning oxirgi ikki raqami 64 bilan tugar ekan. Javob: 64 Mustaqil yechish uchun masalalar [13] 1. 13 7 sonni 7 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 2. 9 258 sonni 17 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 3. 3101 sonni 101 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 4. 8 122 sonni 11 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 5. 12 61 sonni 25 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 6. 3 2007 sonning oxirgi ikki raqamini toping. 7. 42005 sonning oxirgi ikki raqamini toping. 8. 2222 55550 sonni 7 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 9. 3333 6666 sonni 5 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 10. 7 777 sonning oxirgi ikki raqamini toping. 11. 17 502 sonni 12 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 12. 12 1201 sonni 13 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 13. 320 sonni 7 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 14. 412 sonni 9 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 15. 2002 2002 sonni 5 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 16. 4 8 sonni 9 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 17. 11 322 sonni 17 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 18. 3 37 sonni 7 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 19. 17 609 sonni 16 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 43 20. 25 111 sonni 26 ga bo lgandagi qoldiqni toping.‟ 21. 2500 sonni 7 ga bo lgandagi qoldiqni toping. ‟ 2.3. Maktablarda o‘quvchilarni matematikdan fan olimpiadalariga Planimetriyaga oid ayrim teoremalarni isbotlash va ularga nostandart masalalarni yechish metodikasi. Cheva teoremasi va uning ayrim murakkab geometrik masalalarga tatbiqi [2] . Bizga ∆ABC berilgan bo‘lib, AC tomon yotuvchi to‘g’ri chiziqdan Z nuqta berilgan bo‘lsin, X va Y nuqtalar esa mos ravishda AB va BC tomonlardan olingan deb faraz qilsak(1-rasm), u holda quyidagi teorema o‘rinli: Menelay teoremasi . Agarda ∆ABC ning tomonlarida yoki tomonlarining davomida yotuvchi X , Y va Z nuqtalar quyidagi AX BX ∙ BY CY ∙ CZ AZ = 1 shartni qanoatlantirsa, unda bu nuqtalar bir to‘g’ri chiziqda yotadi(2.4-rasm). Isbot. O nuqta XZ kesmadan olingan va CO ∥AB ga parallel bo‘lsin(1-rasm), a) ∠AZX = ∠CZO umumiy burchaklar teng va CO ∥AB ligidan mos ∠XAZ = ∠OCZ burchaklar tengligidan ∆AXZ~∆COZ uchburchaklar o‘xshash => AX OC = AZ CZ => oc = AX ∙ CZ AZ (1) b) Vertikal burchaklar tengligidan ∠ OYC = ∠ BYX va CO ∥AB parallel kesmalar uchun BC kesuvchi bundan ichki almashinuvchi burchaklar ∠ COY = ∠ BXY teng. Demak ∆BYX~∆YOC uchburchaklar o‘xshash => 44 BY CY = BX OC => oc = CY ∙ BX BY (2) c) (1) va (2) ifodalarni mos ravishda nisbatlasak AX ∙ CZ ∙ BY AZ ∙ CY ∙ BX = AX BX ∙ BY CY ∙ CZ AZ = 1 munosabatga ega bo‘lamiz. Teorema isbotlandi. Bizga ∆ABC uchburchak va uning tomonlarida X ,Y ,Z nuqtalar berilgan bo‘lsin. Ta’rif. Uchburchakning uchidan chiqib shu burchak qarshisidagi tomonni tutashtiruvchi kesma cheviana deb ataladi. 1-Teorema [24] . Uchburchakning BD chevianasi: AC tomonni a va b kesmalarga, ∆ABC uchburchakni esa ∆ ABD va ∆ BDC uchburchaklarga ajratsa unda a b = S ABD S BDC tenglik o‘rinli bo‘ladi(2.5-rasm). Isbot. ∆ABC uchburchakning AC asosiga BE=h balandlik tushirsak, bu balandlik AD va DC asoslar uchun umumiy balandlik bo‘ladi. 45 Demak S ADB = a ∙ h 2 va SBDC = b∙h 2 o‘rinli, bundan S ABD S BDC = a ∙ h 2 b ∙ h 2 = a ∙ h b ∙ h = a b kelib chiqadi. Demak, asosdan cheviana ajratgan kesmalar nisbati mos ravishda cheviana ajratgan uchburchaklarning yuzalari nisbatiga teng bo‘lar ekan. Biz quyida bir muhim lemmani isbotini qarab chiqamiz. Lemma. Agar a b = c d bo‘lsa, a b = c d = a − c b − d bo‘ladi. Isbot. a b = c d = θ deb belgilash olsak, a = b ∙ θ va c= d∙θ bo‘ladi, bundan a−c b−d= b∙θ− d∙θ b− d = θ∙(b−d) b−d =θ . Demak, a b = c d = θ = a − c b − d lemma isbotlandi. Uchburchak ∆ ABC da AX ,BY ,CZ kesmalar chevianalar bo‘la oladi(2-rasm). Ta‘rif. Agar AX ,BY ,CZ chevianalar bir nuqtada kesishsa, ular konkurent chevianalar deb ataladi. Teorema [12] (Cheva teoremasi). ∆ABC uchburchakda AX ,BY ,CZ chevianalar konkurent bo‘lsa (2.6-rasm), AY CY ∙ CX BX ∙ BZ AZ = 1 tenglik o‘rinli bo‘ladi(2.6-rasm). 46 Isbot ( 1-usul ) . 1-teoremaga ko‘ra AY CY = S ABY S BYC va AY CY = S AOY S OYC bundan S AOY S OYC = S ABY S BYC bo‘ladi. Lemmaga ko‘ra SABY SBYC = SAOY SOYC = SABY − SAOY SBYC −SOYC = SAOB SBOC demak, AY CY = S AOB S BOC tenglik o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shunday, CX BX = S AOC S AOB va BZ AZ = S BOC S AOC tengliklarni ham yoza olamiz. Bu tengliklardan: AY CY ∙CX BX ∙BZ AZ = SAOB SBOC ∙SAOC SAOB ∙SBOC SAOC =1 munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. Isbot ( 2-usul ) . Menelay teoremasidan foydalanib Cheva teoremasini isbotlaymiz. a) ∆ ACZ uchburchak tomonlarida yoki tomonlarining davomida yotuvchi B , O va Y nuqtalar bir to‘g’ri chiziqda joylashgani sababli Menelay teoremasiga ko‘ra: AY CY ∙ CO OZ ∙ BZ AB = 1 (*) b) ∆ BCZ uchburchak tomonlarida yoki tomonlarining davomida yotuvchi A , O va X nuqtalar bir to‘g’ri chiziqda joylashgani sababli Menelay teoremasiga ko‘ra: BX CX ∙ CO OZ ∙ AZ AB = 1 (**) d) (*) va (**) tengliklarni nisbatlasak quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: AY CY ∙ CX BX ∙ BZ AZ = 1 teorema isbotlandi. Menelay teoremasidan foydalanib uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida uchburchak uchidan hisoblanganda 2:1 nisbatda bo‘lishini mustaqil isbotlash mumkin bo‘ladi. Murakkab geometrik masalalarga tatbiqlari. 1-masala(Abituriyent gazetasidan a7-g4-22). ABC uchburchakda BE mediana. AB 47 tomondan D nuqta olingan va AD=2DB. CD va BE kesmalar F nuqtada kesishadi. Agar CFE uchburchakning yuzi 8 ga teng bo‘lsa, ABC uchburchak yuzini toping(2.7-rasm). Yechish: 1-usul. Masala shartiga mos chizma chizib olib, unda F nuqtadan o‘tuvchi AO cheviana o‘tkazamiz(2.7-rasm). a) Cheva teoremasiga ko‘ra AE EC ∙ OC OB ∙ DB AD = 1 ⇒y y∙OC OB ∙x 2x=1= ¿OC OB = 2 1 1-teoremaga ko‘ra SAFE SEFC = AE EC =1⇒ SAFE =SEFC =8 . Demak, SAFC = SAFE +SEFC ekanligidan SAFC = 2∙SAFE =16 bo‘ladi (2.8-rasm). b ) Lemmaga ko‘ra S AOB S AOC = S AFB S AFC va 1- teoremaga asosan S AOB S AOC = OB OC = z 2 z = 1 2 tengliklarni yoza olamiz. Demak, SAFB SAFC = 1 2 bundan esa S AFB = S AFC : 2 = 16 : 2 = 8 = ¿ S AFB = 8 . c ) Lemmaga ko‘ra S AEB S BEC = S AFB S BFC va 1-teoremaga asosan S AEB S BEC = AE EC = y y = 1 demak S AFB S BFC = 1 bundan S AFB = S BFC = 8 . Topilgan natijalarni qo‘shib berilgan uchburchak yuzasini topamiz: SABC = SAFC +SAFB +SBFC =16 +8+8=32. 2-usul .Menelay teoremasidan foydalanib yechamiz. 48 a) Uchburchak ∆BEC uchun C ,F va D nuqtalar bir to‘g’ri chiziqda yotgani uchun Menelay teoremasiga ko‘ra CO OB ∙ BF EF ∙ AE AC = 1 ⟹ ⟹ 2 z z ∙ BF EF ∙ y 2 y = 1 ⟹ BF EF = 1 ⟹ BF EF = S BFC S CFE = 1 bu nisbatga ko‘ra SCFE = SBFC =8 tenglikdan esa SBEC = SCFE +SBFC =8+8=16 o‘rinli bo‘ladi. b) BE kesma AC tomon medianasi ekanligidan S ABE = S BEC = 16 ⟹ S ABC = S ABE + S BEC = 16 ∙ 2 = 32 demak S ABC = 32 . 2-masala(Abituriyent gazetasidan a8-g16-24). ABC uchburchakda AC tomonga BE, AB tomonga CD chiziqlar tushirilgan va ular T nuqtada kesishadi. Agar | AC | = 2 | AE | , 2 ∙ | AD | = 3 ∙ | DB | bo‘lsa, | ET | | BT | ni toping? Yechish: 1-usul. T nuqtadan o‘tuvchi AO cheviana o‘tkazamiz (5-rasm). a) Cheva teoremasiga ko‘ra. AE EC ∙ OC OB ∙ DB AD = 1 ⇒ y y ∙ OC OB ∙ 2 x 3 x = 1 = ¿ OC OB = 3 2 1-teoremaga ko‘ra SATE STEC = AE EC = y y=1= ¿SATE = STEC , demak S ATC = S ATE + S TEC = ¿ S ATC = 2 ∙ S ATE b) 1-teoremaga ko‘ra S AOC S AOB = OC OB = 3 z 2 z = 3 2 . Lemmaga ko‘ra S AOC S AOB = S ATC S ABT = 3 2 . c) Demak SATC = 2∙SATE va S ATC S ABT = 3 2 = ¿ 2 ∙ S ATE S ABT = 3 2 = ¿ S ATE S ABT = 3 4 1- teoremaga ko‘ra SATE SABT =|ET | |BT |= 3 4 . 2-usul .Menelay teoremasidan foydalanib yechamiz. 49 Uchburchak ∆BEC (4-rasm) uchun A,T va O nuqtalar bir to‘g’ri chiziqda yotgani uchun Menelay teoremasiga ko‘ra CO OB ∙ BT ET ∙ AE AC = 1 ⟹ 3 z 2 z ∙ BT ET ∙ y 2 y = 1 ⟹ BT ET = 4 3 bu munosabatga ko‘ra ET BT = 3 4 tenglik o‘rinli bo‘ladi. 3-masala. ( Jergonn nuqtasi) [17] . ΔABC ga ichki chizilgan aylana BC ,CA ,AB tomonlarga mos ravishda D ,E,F nuqtalarda urinadi(2.9-rasm). Isbotlang: AD ,BE ,CF to‘g’ri chiziqlar O nuqtada kesishadi va bu nuqta Jergonn nuqtasi deyiladi. Yechish: a) BF va BD urinmalar B nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan ikki urinma va bu urinmalar tengligi bizga ma’lum BF = BD = y xuddi shunday AF = AE = x va CD = CE = z tengliklar o‘rinli. b) Chevaning teskari teoremasiga ko‘ra AF BF ∙BD CD ∙CE AE = x y∙y z∙z x=1 munosabat o‘rinliligidan AD , BE va CF kesmalar konkurent ya’ni O nuqtada kesishadi. Bu nuqta Jergonn nuqtasi deb ataladi. 4-masala [18] . (O‘qituvchilar olimpiadasi. Qashqadaryo) ABC uchburchakning AB,AC va BC tomonlarida mos ravishda F,E va D nuqtalar olingnki, bunda AD,BE va CF to‘g’ri chiziqlar P nuqtada kesishadi. U holda quyidagi ifodaning qiymatini toping: AP AD +BP BE +CP CF =? 50 Yechish: Agarda biz CE=a, AE=b, AF=c, BF=d, BD=e va CD=d (2.10-rasm) deb belgilash kiritsak unda Cheva teoremasiga ko‘ra 51 a b ∙ c d ∙ e f = 1 bundan a ∙ e ∙ c = b ∙ d ∙ f (1.1) kelib chiqadi. a) Menelay teoremasiga ko‘ra a b∙AP PD ∙ e e+ f=1=¿ PD AP = a b ∙ e e + f = ¿ PD AP + 1 = a b ∙ e e + f + 1 = ¿ AD AP = ae + be + bf b ( e + f ) = ¿ AP AD = b ( e + f ) ae + be + bf a) Xuddi a bo‘limda bajarganimizdek BP BE = d(a+b) ad +bd +ac va CP CF = f ( c + d ) cf + df + ce bo‘ladi. Endi (1.1) tenglikdan foydalanib quyidagi natijalarga erishamiz: b) AP AD = b ( e + f ) ae + be + bf = (( ae = bdf c )) = b ( e + f ) bdf c + be + bf = bc ( e + f ) b ( df + ce + cf ) = c ( e + f ) df + ce + cf c) BP BE = d ( a + b ) ad + bd + ac = (( ac = bdf e )) = d ( a + b ) ad + bd + bdf e = de ( a + b ) d ( ae + be + bf ) = e ( a + b ) ae + be + bf = (( ae = bdf c )) = e ( a + b ) bdf c + be + bf = ce ( a + b ) b ( df + ce + cf ) d) AP AD +BP BE +CP CF = c(e+ f) df +ce +cf + ce (a+b) b(df +ce +cf )+ f(c+d) cf +df +ce = bce +bcf +aec +bec +bcf +bdf b(df +ce +cf ) =((aec =bdf ))=¿ ¿ 2 b ( df + ce + cf ) b ( df + ce + cf ) = 2. Kesmani α nisbatda bo‘luvchi C nuqta koordinatasini topish formulasi va uning tatbiqlari [4] a)Vektorlar haqida tushuncha. Yo‘nalishga ega bo‘lgan kesma vektor deb ataladi. Agar A(x1;y1;z1) nuqta vektorning boshi va B(x2;y2;z2) vektorning oxirini ifodalovchi nuqtalar bo‘lsa, ⃗AB vektor ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: 52 ⃗ AB vektorning koordinatasini esa ⃗AB (x2− x1;y2− y1;z2− z1) kabi belgilaymiz. Demak vektorning koordinatasini aniqlash uchun vektorning oxirini(yo‘nalishini) aniqlovchi nuqta koordinatsidan vektorning boshini aniqlovchi nuqta koordinatasini mos ravishda ayirib topar ekanmiz. b)Vektorni songa ko‘paytirish. ⃗ AB vektorni biror n-biror haqiqiy songa ko‘paytirganda 1) n>0 bo‘lsa vektor yo‘nalishini saqlaydi va vektorni uzunligi n marta ortadi 2) n<0 bo‘lganda esa vektor yo‘nalishi qarama-qarshi yo‘nalishga o‘zgaradi va uzunligi n marta ortadi. Vektorni songa ko‘paytirganda koordinatalari quyidagicha o‘zgaradi: n ∙ ⃗ AB ( x ; y ; z ) = ⃗ AB ( nx ; ny ; nz ) Demak vektorni songa ko‘paytirganimizda mos koordinatalari n marta ortar ekan. c) Vektorni (kesmani) α nisbatda ajratuvchi C nuqta koordinatasini topish. 53 Bizga ⃗AB vektor va shu vektorga tegishli C ( x ; y ; z ) nuqta berilgan bo‘lsin. Agar ⃗AC : ⃗ CB = α deb belgilasak, ⃗ AC ( x − x 1 ; y − y 1 ; z − z 1 ) va ⃗ CB ( x 2 − x ; y 2 − y ; z 2 − z ) vektorlar ⃗AC = α∙⃗CB tenglikni qanoatlantiradi. Teng vektorlarni mos koordinatalari ham tengligidan (x− x1;y− y1;z− z1)= ¿ tenglikni o‘rinli Koordinatalarini mos ravishda tenglasak { x − x 1 = α ∙ ( x ¿ ¿ 2 − x ) ¿ y − y 1 = α ∙ ( y 2 − y ) z − z 1 = α ∙ ( z 2 − z ) → { x = x 1 + α x 2 1 + α y = y 1 + α y 2 1 + α z = z 1 + α z 2 1 + α Demak ⃗AB vektorni α nisbatda ajratuvchi C(x;y;z) nuqta koordinatalari { x= x1+αx2 1+α y= y1+αy2 1+α z= z1+αz2 1+α (*) ga teng. d) Tatbiqlar. 1-masala. Uchlari A(x1;y1;z1) va B(x2;y2;z2) nuqtalarda bo‘lgan kesmaning o‘rtasi C ( x ; y ; z ) ni koordinatasini toping. Yechish: ⃗AC =⃗CB demak ⃗ AC : ⃗ CB = α = 1 : 1 = 1 (*) formulaga ko‘ra C nuqtaning koordinatasi : { x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2 z = z 1 + z 2 2 ga teng. 54 2-masala. Uchlari A(x1;y1;z1) , B(x2;y2;z2) va C(x3;y3;z3) bo‘lgan uchburchakning medianalari kesishgan C ( x ; y ; z ) nuqta koordinatalarini toping. AD ; BE ; CF -medianalar , O ( x ; y ; z ) - medianalar kesishgan nuqta. E ( a ; b ; c ) nuqta AC tomonning o‘rtasi bo‘lgani uchun { a = x 1 + x 3 2 b = y 1 + y 3 2 c = z 1 + z 3 2 (**) Medianalar kesishish nuqtasi medianani uchidan boshlab hisoblaganda BO : OE = α = 2 : 1 = 2 ga teng. (*) ga ko‘ra O ( x ; y ; z ) nuqtani koordinatasi: { x = x 2 + α ∙ a α + 1 y = y 2 + α ∙ b α + 1 z = z 2 + α ∙ z α + 1 → ¿ Natijada C nuqtaning koordinatasi { x = x 1 + x 2 + x 3 3 y = y 1 + y 2 + y 3 3 z = z 1 + z 2 + z 3 3 ga teng bo‘ldi. I I bob bo‘yicha xulosalar . 1. Maktablarda o‘quvchilarni matematikdan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha GMAT masalalarini yechishning o‘zbekcha metodikasi shakllantirildi va GMAT topshiriqlarini yechish bo‘yicha tavsiyalar berildi. 55 2. Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha “Sonlar nazariyasi” bo‘limidagi “Taqqoslama” mavzusi bo‘yicha nazariy ma’lumotlar berildi va maktab darsliklariga kiritilmagan teoremalar o‘rganilib ayrim nostandart masalalarga tatbiq etildi. 3. Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha “ Planimetriya” bo‘limidagi “ Cheva” teoremasi va berilgan kesmani α nisbatda bo‘luvchi C nuqtani koordinatasini topish ning turli xil optimal isbotlari keltirib o‘tildi va ayrim murakkab geometrik masalalarga tatbiq etildi. III BOB. Tajriba –sinov ishlarini tashkil etish va uning natijalari. 3.1. Tajriba –sinov ishlarini tashkil etish 3.2.Tajriba sinov islarining natijalari va tahlili. Uchinchi bob bo‘yicha xulosalar. 3.1. Tajriba –sinov ishlarini tashkil etish Tadqiqotlar olib borilayotgan maktab: Tadqiqot olib borilayotgan maktab sifatida Oqdaryo tumanidagi 52- ixtisoslashtirilgan davlat umumiy o‘rta ta’lim maktab internati tanlandi. Ushbu maktabdagi matematika faniga ixtisoslashtirilgan 5-9-sinf (12-16 yosh) o‘quvchilari orasidan maxsus tayyorlangan topshiriqlar asosida iqtidorli o‘quvchilarni saralab olindi. Dastlabki bosqichda tanlangan o‘quvchilarning tanqidiy va kreativ fikrlashini shakllantirish maqsadida “matnli masalalar” yechish ko‘nikmasi rivojlantirib olindi. Buning uchun M.A.Mirzaahmedov muallifligidagi va M.I.Skanaviy muallifligidagi “ Matematikadan masalalar to‘plami” kitoblarni ishlab chiqish maqsadga muvofiq topildi. 56 Saralab olingan o‘quvchilar bilan quyidagi mavzulari bo‘yicha dastlabki dars mashg’ulotlari o‘tildi. Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha to‘garak mashg’ulotlarining dasturi (3.1-jadval) : 3.1-jadval № Mavzular soati . Dars shakli 1. Olimpiada masalalarini yechishning asosiy qoidalari. 2 Ma’ruza-suhbat 2. Boshqotirma va rebuslar 2 Amaliy mashg’ulot 3. Idishlardagi suyuqliklarni taqsimlash haqidagi masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 4. Rejalashtirishga doit matnli masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 5. Birgalikda ishlashga doit matnli masalalar. 2 Amaliy mashg’ulot 6. Foizlarga doir matnli masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 7. Qiziqarli qadimiy masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 8. Funksional tenglamalar 2 Amaliy mashg’ulot 9. Juft – toqlikka doit mantiqiy masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 10. Bo‘linish belgilariga va qoldiqli bo‘lishga doir masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 11. Dirixle prinsipi va invariantlarga doir masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 57 12. Zarur va yetarli shartlar . 2 Amaliy mashg’ulot 13. Geometrik masalalar . 2 Amaliy mashg’ulot 14. “Va”, “Yoki”, “kelib chiqadi”, “Teng kuchli”, “Emas” , “Mavjud”, “Ixtiyoriy” so‘zlarini to‘g’ri tushunishnb foydalanish. 2 Ma’ruza- suhbat 15. Sanoq sistemalari 2 Amaliy mashg’ulot 16. Irratsional sonlar 2 Amaliy mashg’ulot 17. Parametrlarga bog’liq masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 18. Kvadrat uchhad nollarining joylashuviga doir masalalar 2 Amaliy mashg’ulot 19. Tengsizliklarni isbotlash 2 Amaliy mashg’ulot 20. Butun sonlarda yechiladigan tenglamalar 2 Amaliy mashg’ulot 21. Kombinatorika . Ehtimollar nazariyasi elementlari . 2 Amaliy mashg’ulot Jami: 42 Keyingi bosqichda o‘zbek tiliga tarjima qilingan “klassik” olimpiada masalalarni yechishni shakllantirildi. Bu bosqichda tavsiya qilinadigan adabiyotlar sifatida Sh.A.Ayupov muallifligidagi “ Matematika olimpiadalari masalalari” kitobning 1-2-qismlaridagi nostandart klassik masalalarni ishlab chiqishni maqsadga muvofiq deb topildi. 58 3.2.Tajriba sinov islarining natijalari va tahlili. O‘quvchilarini matematik olimpiadalarga tayyorgarligini baholash maqsadida tajriba va nazorat guruhlarida o‘tkazilgan nazorat ishlari natijalarini hisoblashda qulay bo‘lishi uchun 100 ballik reyting tizimidan 5 ballik reyting tizimini qulay deb topdik. Bu quyidagi 3.2- jadvalda ifodalangan: 3.2-jadval Baho <<2>> <<3>> <<4>> <<5>> Ballar 51-54 55-60 61- 65 66 - 70 71- 75 76- 80 81- 85 86- 90 91- 95 96- 100 Tajriba 0 1 2 2 3 3 4 5 3 1 Nazorat 2 3 3 4 6 2 1 2 1 0 Ushbu jadvalni DTS da keltirilgan darajalar bo‘yicha quyidagicha baholarga aylantirdik: III daraja – reproduktiv daraja bo‘lib, DTS da belgilab berilgan bilimlarni o‘zlashtirishning minimal darajasiga mos keladi - "3" baho. II daraja – bu ham reproduktiv darajada qo‘llaniladigan DTS dagi bilimlar darajasi bo‘lib, bu darajada egallangan bilimlar «4» bilan baholandi. I daraja – bilimlarni ijodiy qo‘llash darajasi bo‘lib - «5» bilan baholandi. 1. Reyting ko‘rsatkichi 86 – 100 % – «5» 2. Reyting ko‘rsatkichi 71 – 85,9 % – «4» 3. Reyting ko‘rsatkichi 56 – 70,9 % – «3» 4. Reyting ko‘rsatkichi 0 – 55% – «2». Tajriba-sinov ishlari jarayonida 186 nafar o‘quvchilardan olingan savolnoma, test va boshqa ishlar tahlil etilib, matematik-statistika metodi orqali tasodifiy tanlangan ikkita guruh (har bir sinfda 35 ta dan o‘quvchi) o‘quvchilarining axloqiy shakllanganlik darajasi aniqlandi. Yuqoridagi 3.3- jadvalga asoslangan holda quyidagi 3.3-jadvalni to‘ldiramiz: 59 3.3-jadval № Guruhlar nomi <<2>> <<3>> <<4>> <<5>> 1. Tajriba guruhi 0 5 10 9 2. Nazorat guruhi 2 10 9 3 Yuqoridagi jadvalga mos keluvchi poligonlarni chizamiz (3.1-rasm): 60 Poligonda qayd etilgan chiziqlardan anglanadiki, bu tanlamalar uchun mos o‘rta qiymatlar 4,167 >3,375 shartni qanoatlantirishini ko‘rsatadi. Ularni quyidagi formula asosida hisoblaymiz: baho o'rtacha = 2∙b2+3∙b3+4∙b4+5∙b5 b2+b3+b4+b5 bu yerda b 2 , b 3 , b 4 , b 5 mos ravishda 2,3,4,5 baho olganlar soni. Demak, tajriba guruhida o‘rtacha o‘zlashtirish nazorat guruhidagidan katta ekan: 4,167 >3,375 III bob bo‘yicha xulosalar. Demak, tajriba guruhidagi o‘quvchilarning o‘rtacha o‘zlashtirish darajasi nazorat guruhidagi o‘quvchilarning o‘rtacha o‘zlashtirish darajasiga nisbatan 23,4% ko‘pligini ko‘rishimiz mumkin. Samaradorlik darajasi esa tajriba guruhida nazorat guruhiga nisbatan 58,3% ga yuqori bo‘di. Bu o‘z navbatida tajriba guruhida o‘quvchilar o‘zlashtirish darajasi nazorat guruhidagiga nisbatan yuqori ekanligidan dalolat beradi. 61 Xulosalar. O‘quvchilarni matematika olimpiadasiga tayyorlashni tashkil etish va o‘qitish metodikasi: 1. 4-5-sinf (11-12 yosh) o‘quvchilari orasidan maxsus tayyorlangan topshiriqlar asosida iqtidorli o‘quvchilarni saralash. 2. Xorijiy va o‘zbek tilida chop etilgan olimpiada masalalariga doir kitoblar asosida masalalarni mavzular va sinflar bo‘yicha tabaqalashtirish. 3. Maxsus tanlangan mavzular asosida o‘quv dasturini ishlab chiqish (ilova etilgan). 4. An’anaviy masalalarni o‘rganish orqali olimpiada masalalarini yechishga tayyorlash. Olimpiada masalalarini yechishga nazariy tayyorlash. 5. O‘zbek tilidagi xalqaro olimpiadalarda foydalanilgan masalalarni mavzular kesimida tahlil qilish. Tavsiyalar Fan olimpiadasiga tayyorlash bo‘yicha metodik tavsiyalar: 62 a) Tarixan shakllangan, an’anaviy masalalarni o‘rganish orqali olimpiada masalalarini yechishga tayyorlash. Olimpiada masalalarini yechishga nazariy tayyorlash.(Maktab matematikasi dasturiga kiritilmagan materiallar asosida) b) O‘zbek tiliga tarjima qilingan va xalqaro olimpiadalda foydalanilgan masalalarni mavzular kesimida tahlil qilish.( IMO klassik masalalari) c) Zamonaviy, nostandart masalalarni to‘plash va ularni yechishni o‘rganish. (GMAT va SAT), ( IMO zamonaviy masalalari) Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati. I. Normativ-huquqiy hujjatlar va metodologik ahamiyatga molik nashrlar. 1. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Zamonaviy bilim va kasb-hunar egallash imkoniyatlarini kengaytirish bo‘yicha qo‘shimcha chora- tadbirlar to‘g‘risida” 2022-yil 12-avgustdagi PQ-350-son qarori . II. Monografiya, ilmiy maqola, patent, ilmiy to‘plamlar 2. Arziqulov A.U, Ruziyev M.F. “ Cheva teoremasi va uning ayrim murakkab geometrik masalalarga tatbiqi” mavzusidagi “SCIENCE AND EDUCATION” scientific journal.12-soni.12.12.2022y 3. Raximov N, Ruziyev M. “ Taqqoslama va uning tatbiqi” mavzusidagi “ SCIENCE AND EDUCATION” scientific journal. 5-soni. 05.05.2022y. 4. Ruziyev M. “ Kesmani α nisbatda bo’luvchi C nuqta koordinatasini topish formulasi va uning tatbiqlari” mavzusidagi Oqdaryo tuman xalq ta’limi bo’limi tomonidan tashkil qilingan “Ta’lim-tarbiya jarayoniga innovatsion 63 yondashuvlar. Muammo va yechimlar” mavzusidagi ikkinchi ilmiy- onlayn konferensiya. 05.05.2021y III. Foydalanilgan boshqa adabiyotlar 5. Агаханов Н. X , Богданов И.И, Кожевников П.А, Пратусевич М.Я, Терешин Д.А, “Международная математическая олимпиада” 2012 г-(80-82с). 6. Агаханов, Н. X, Подлипский О.К. “Математика.Районные олимпиады”. 6–11 классы, 2010 г-(192с). 7. Агаханов, Н. X, Подлипский О.К. “Математика. Всероссийские олимпиады”. 2009 г- ( 159с ). 8. Агаханов, Н.Х., Подлипский О.К. “Методические рекомендации по разработке требований к проведению школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике”.Москва. 2012 г-(9 с). 9. Алексеева, Г.И. “Из истории становления и развития математических олимпиад: опыт и проблемы”. Дисс канд. пед. наук. – Якутск, 2002 г- ( 144 с ) . 10. Вакульчик, П.А. Нестандартные и олимпиадные задачи по математике. Минск. УниверсалПресс, 2004 г – ( 352 c). 11. Фарков, А. В. “Олимпиадные задачи по математике и методы их решения”. Народное образование.2003 г-(112 с). 12. Шеховцов В. А. “Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности“ Волгоград. Учитель, 2009 г-(99 с). 13. Ayupov Sh . A , Omirov B . A , Xudoyberdiyev A . X , Haydarov F . H . “ Algebra va sonlar nazariyasi ”. Toshkent -2019 y -(250- b ). 14. Andreescu, T., Gelca R. Mathematical Olympiad Challenges. Birkhauser, 2000. – 280 p.1 64 15. GMAC ( Graduate Management Admission Council) GMAT-2019 (27-p). 16. GMAC ( Graduate Management Admission Council) GMAT-2022 (101-p) 17. Klamkin, M. USA Mathematical Olympiads 1972-1986. Problems and Solutions. Mathematical Association of America, 1989. (180 p). 18. Negut, A. Problens for the Mathematical Olympiads. GIL Publishing House, 2005.(158 p). 19. Yunusov S, Afonina S.I, Berdiqulov M.A, Yunusova D. I. “Qiziqarli matematika va olimpiada masalalari” . O‘ qituvchi” nashriyoti. Toshkent-2007y-(68-b). IV.Elektron resurslar 20. Живолуп А. Вся правда про Тольятти. – 2016. – Режим доступа: http://tltpravda.ru/blog/education/19410.html/–Последнее обновление 31.05.2017. 21. https://doc4web.ru/pedagogika/programma-speckursa-podgotovka- uchaschihsya-kolimpiade-po-matem.html – Последнее обновление 23.05.2017. 22. Официальный сайт Международной математической олимпиады. – Режим доступа: www.imo-official.org/ – Последнее обновление 15.05.2017. 23. mathnet . uz sayti . 24. http :// library . ziyonet . uz / ru / book / download /32319 25. mba.com sayti 65

MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIK OLIMPIADALARGA TAYYORLASHNING METODIK TIZIMINI TAKOMILLASHTIRISH KIRISH ………………………………………….……………5 I BOB. MAKTAB O‘QUVCHILARINI MATEMATIKADAN FAN OLIMPIADALARIGA TAYYORLASH METODIK TIZIMINING NAZARIY ASOSLARI 1.1 -§ . Matematika fani olimpiadasi shakllanishining qisqacha tarixi ……………………………………………………………8 1.2-§. Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalar mazmuniga qo‘yiladigan talablar …………………………………….…………………15 1.3- § Matematika bo‘yicha fan olimpiadalariga tayyorlash jarayonida tavsiya qilinadigan masalalarni yechish metodikasiga qo‘yiladigan talablar …………………………………………17 I bob bo‘yicha xulosalar…….………………………………20 II BOB. MAKTABLARDA O‘QUVCHILARNI MATEMATIKADAN FAN OLIMPIADALARIGA TAYYORLASH BO‘YICHA MASALALAR TIZIMINI SHAKLLANTIRISH VA ULARDAN FOYDALANISH METODIKASI 2 . 1 -§ . Maktablarda o ‘ quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo ‘ yicha GMAT masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi ……………………...……22 2.2-§. Maktablarda o ‘ quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga “ sonlar nazariyasi ” bo ‘ yicha masalalar tizimini shakllantirish va topshiriqlarini yechish metodikasi ………………………….…37 1

2.3-§ . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga “planimetriya”ga oid ayrim teoremalarni isbotlash va ularga oid nostandart masalalarni yechish metodikasi……………………47 II bob bo yicha xulosaʻ lar………………………………………59 III BOB. TAJRIBA –SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA UNING NATIJALARI 3.1 -§ . Tajriba –sinov ishlarini tashkil etish ………………………...…59 3.2 -§ . Tajriba sinov ishlarining natijalari va tahlili …………..…….….61 III bob bo yicha qisqacha xulosalar…………….………………64 ʻ Xulos alar …………………………………….…………………6 5 Foydalanilgan adabiyotlar ro yhati ʻ ……………….…………66 2

KIRISH Magistrlik dissertatsiyasining asoslanishi va uning dolzarbligi. Iqtidorli o‘quvchilarni aniqlash va ularning ijodkorlik qobiliyatlarini rivojlantirish ta’lim tizimining ustuvor yo‘nalishlari qatoriga kiradi. Ushbu yo‘nalishda respublikamizda muhim muayyan ishlar amalga oshirilmoqda, jumladan “Prezident” maktablari, ijod maktablari, san’at maktablari va muayyan fanlar chuqurlashtirilib o‘qitilishga yo‘naltirilgan maktablar tashkil etildi. Prezidentimiz tashabbusi bilan taklif etilgan “Bir million dasturchi” loyihasini amalga oshirish dolzarb masala bo‘lib turibdi. Bu masalani hal qilish maqsadida magistraturaga va doktoranturalarga qabul rejalari miqdori ko‘paytirilmoqda va matematiklarga imtiyozlar berilmoqda. Ushbu yo‘nalishda fan olimpiadalari va turli tuman ijodiy tanlovlar o‘tkazish va ularga o‘quvchilarni jalb qilish zamonaviy ta’lim tizimining muhim muammolari hisoblanadi. Bugungi kunda ilmiy-tadqiqot ishlarini olib boruvchi ijodkor talabalar, magistrantlar va doktorantlarni tayyorlashda o‘quvchilar o‘rtasidagi fan olimpiadalarining roli beqiyosdir. Shu maqsadda fan olimpiadalarining maqsadlari, vazifalari, ularni tashkil etish , olimpiadalarga tayyorlash, o‘quv materiallari yaratish va olimpiadachilarni o‘qitish metodikalarini takomillashtirish masalalari dolzarb bo‘lib turibdi.[1] Tadqiqot ob’ekti . Maktablarda matematika bo‘yicha fan olimpiadalarini o‘tkazish jarayoni. Tadqiqod predmeti . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash tizimi. Tadqiqot maqsadi . Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash tizimini takomillashtirish asosida olimpiadalarda erishiladigan natijalarni yaxshilash va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligini oshirish. Tadqiqot vazifalari . 3

1. Fan olimpiadalariga tayyorlash muammolariga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlar tahlili asosida tayyorlashning metodik tizimini tashkil etadigan asosiy omillarni aniqlash. 2.O‘quvchilarga matematikadan fan olimpiadalarda beriladigan masalalar mazmuniga qo‘yiladigan talablarni ishlab chiqish. 3. O‘quvchilarga matematikadan fan olimpiadalarda beriladigan masalalarni sohalar kesimida mazmuniga ko‘ra turlarga ajratish va ularni yechish bo‘yicha muayyan metodik tavsiyalar ishlab chiqish. 4. Maktablarda o‘quvchilarni matematikadan fan olimpiadalariga tayyorlash bo‘yicha masalalar tizimidan amaliyotda foydalanish metodikasini ishlab chiqish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 1.Matematikadan fan olimpiadalariga oid ilmiy-uslubiy adabiyotlar tahlili amalga oshiriladi; 2. Olimpiada materiallari ilmiy uslubiy jihatdan o‘rganiladi; 3.Olimpiada masalalari toifalarga ajratilib sinflashtiriladi; 4.Olimpiada masalalarini yechish bo‘yicha metodik tavsiyalar ishlab chiqiladi; Tadqiqodning asosiy masalalari va farazi . Matematikadan fan olimpiadalariga ta’lim tizimining ilmiy asoslangan muayyan tor doiradagi maqsadi, mazmuni, shakli, metodi va vositalari tayyorlanish jarayonida to‘g‘ri tashkil etilib amalga oshirilsa, yuqori natijalarga erishiladi. Tadqiqod mavzusi bo‘yicha adabiyotlar sharhi (tahlili) . Olimpiadalar tarixi o‘rganildi : a) Xalqaro matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi. b) Mustaqil Davlatlar Hamdo‘stligi (MDH) da matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi o‘rganildi. c) O‘zbekistonda matematik olimpiadalarning shakllanish tarixi va asoschilari o‘rganildi. 4

Tadqiqotda qo‘llanilgan metodikaning tavsifi . - muammolariga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning , olimpiadalarda tushgan masalalarning nazariy tahlili: - pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish; - olimpiadalarga tayyorlash , uni tashkil etish va o‘tkazish jarayonida bevosita ishtirok etish; - so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. 1.Olimpiadalarga tayyorlanish uchun ilmiy-uslubiy adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasi aniqlanadi; 2. Olimpiadalarda tushadigan masalalarning mazmuni va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi; 3.O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin; 4.Olimpiadalarni tashkil etish ularga tayyorlanish bo‘yicha ko‘rsatmalar olish mumkin; Ish tuzilmasining tavsifi. Dissertatsiya ishi 68 sahifadan iborat bo‘lib, kirish, uchta bob, xulosa, amaliy tavsiyalar va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhatini o‘z ichiga oladi. 5

Похожие

C++ dasturlash tilida elementar matematik funksiyalar grafiklari bilan ishlash dasturiy tizimini yaratish
Virtual laboratoriyalar asosida umumiy o‘rta ta’lim maktablari o‘quv jarayonini takomillashtirish(8-sinf fizika darsligi misolida)
Komil insonni har tomonlama tarbiyalashda ona tilining roli
MATEMATIKADAN NOSTANDART XARAKTERDAGI MASALALARNI O’QITISH METODIKASI (PARAMETRGA BOG’LIQ BO’LGAN TENGLAMA VA SISTEMALAR MISOLIDA)
KOMPETENSIYAVIY YONDASHUV ASOSIDA TARBIYACHILARNING TARBIYAVIY FAOLIYATGA TAYYORLASHNING USULLARI