Matematik paketlar yordamida determinatlarning xossalarini tadqiq etish
![II I BOB. MAPLE TIZIMIDA DETERMINANTLARNI XOSSALARINI
ISBOTLASH JARAYONI
3.1. Maple tizimida determinantlarni xossalarini isbot qilish
Agar determinantning barcha satr elementlarini ustun elementlariga yoki
aksincha almashtirilsa, uning qiymati o'zgarmaydi:
> Restart:
with(linalg):
> with(Student[LinearAlgebra]):
1-xossani isbotini tekshirish:
> A1:= <<1,2,3>|<4,5,6>|<7,8,2>>; # Berilgan matrisa
Determinant(A1); # A1 matrisa determinantni qiymatini hisoblash
:= A1
1 4 7
2 5 8
3 6 2
21
A1 determinantni satrlarini ustunga, ustunlarini satrga
almashtirish(transponirlash) va hisoblash jarayoni:
> B1:=Transpose(A1); # A1 matrisani transponirlash
Determinant(A1); # transponirlangan matrisa determinantini hisoblash
:= B1
1 2 3
4 5 6
7 8 2
21
Bizga elementlari ixtiyoriy bo‘lgan A2 matrisa berilgan bo‘lsin:
> A2:= <<a11,a12,a13>|<a21,a22,a23>|<a31,a32,a33>>;
Determinant(A2); # A2 matrisa determinantini yoyilmasi
30](/data/documents/bf05ccc9-8d32-45f3-b53f-6b184719cb3c/page_30.png)
![> A2;
> B4:=MultiplyRow(A2,2,-b);
Determinant(B4);
collect(%,b);B4 matrisa determinantini yoyilmasi
> -b*Determinant(A2);
B4 va A matrisalar determinantlari yoyilmasidan satr ko‘paytuvchilarini o‘rin
almashtirganini 3-xossani o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin.
4. Agar determinantning biror satr (ustun) elementlari mos ravishda boshqa
yo'l (ustun) elementlariga proportsional bo'lsa, u holda determinant qiymati nolga
teng bo'ladi:
> Restart:
with(linalg):
> with(Student[LinearAlgebra]):
33](/data/documents/bf05ccc9-8d32-45f3-b53f-6b184719cb3c/page_33.png)
![> k:=2:A1:=array(1..3,1..3,[[a
11 ,a
12 ,a
13 ],[a
21 ,a
22 ,a
23 ],[a
31 ,a
32 ,a
33 ]]);
det(A1);a11a22a33a11a23a32a21a12a33a21a13a32a31a12a23a31a13a22
> A11:=array(1..3,1..3,[[a
11 ,a
12 ,a
13 ],[k*a
11 ,k*a
12 ,k*a
13 ],[a
31 ,a
32 ,a
33 ]]);
det(A11);
0
MISOL
> A12:=array(1..3,1..3,[[2,4,7],[1,2,3],[4,5,6]]);
det(A12)
> A12:=array(1..3,1..3,[[2,4,7],[k*A
12 [1,1],k*A
12 [1,2],k*A
12 [1,3]],[4,5,6]]);
det(A
12 );
5. Agar determinantning yo'l (ustun) elementlari ikki ifodaning yi ђ indisi
ko'rinishida bo'lsa, u holda determinant ikki determinant yig'indisi ko'rinishida
yozilishi mumkin:
> A
2 :=array(1..3,1..3,[[a
11 ,a
12 ,a
13 ],[a
21 ,a
22 ,a
23 ],[a
31 ,a
32 ,a
33 ]]);
det(A
2 );
> A21:=array(1..3,1..3,[[a
11 ,a
12 ,a
13 ],
[A
2 [2,1]+A
2 [1,1],A
2 [2,2]+A
2 [1,2],A
2 [2,3]+A
2 [1,3]],[a
31 ,a
32 ,a
33 ]]);
det(A
21 )
a11a22a33a11a23a32a21a12a33a21a13a32a31a12a23a31a13a22
> m1:=Matrix(1..3,1..3,[[a
11 ,a
12 ,a
13 ],[a
21 ,a
22 ,a
23 ],[a
31 ,a
32 ,a
33 ]]);
m2:=Matrix(1..3,1..3,[[0,0,0],[a
11 ,a
12 ,a
13 ],[0,0,0]]);
> P:=Matrix(m1+m2);
Determinant(P);
MISOL
> A
22 :=Matrix(1..3,1..3,[[2,4,7],[1,2,3],[4,5,6]]);
Determinant(A
22 );
A
22 1:=Matrix(1..3,1..3,[[0,0,0],[2,4,7],[0,0,0]]);
Determinant(A
22 );
> P1:=Matrix(A
22 +A221);
Determinant(P1);
> A
21 :=Matrix(1..3,1..3,[[2,4,7],[1+2,2+4,3+7],[4,5,6]]);
34](/data/documents/bf05ccc9-8d32-45f3-b53f-6b184719cb3c/page_34.png)
![Determinant(A
21 );
6. Agar determinantning yo'l (ustun) elementlarini noldan farqli biror
songa ko'paytirib, mos ravishda boshqa yo'l (ustun) elementlariga qo'shsak,
determinant qiymati o'zgarmaydi:
> A
21 := <<a
11 ,a
12 ,a
13 >|<a
21 ,a
22 ,a
23 >|<a
31 +k2*a
11 ,a32+k2*a
12 ,a
33 +k2*a
13 >>;
Determinant(A
21 );
> A
22 := <<a
11 ,a
12 ,a
13 >|<a
21 ,a
22 ,a
23 >|<a
31 ,a
32 ,a
33 >>;
> A
23 := <<0,0,0>|<0,0,0>|<k2*a
11 ,k2*a
12 ,k2*a
13 >>;
#Determinant(A
23 )
> A
22 +A
23 ;
Determinant(A
22 +A
23 );a11a22a33a11a23a32a21a12a33a21a13a32a31a12a23a31a13a22
MISOL
7. Demerminanting biror yo'l (ustun) elementlarini mos ravishda o'zining
algebraik to'ldiruvchilariga ko'paytirib qo'shsak, u holda yig'indi determinant
qiymatiga teng bo'ladi.
> B
1 := <<b
11 ,b
21 ,b
31 >|<b
12 ,b
22 ,b
32 >|<b
13 ,b
23 ,b
33 >>;
Determinant(B1);
> i:=1:n2:=3:MB
1 :=0:
for j from
1 to n2 do
MB1:=MB
1 +(-1)^(i+j)*B1[i,j]*Minor(B1,i,j);
print(B
1 [i,j],Minor(B1,i,j));
od:
expand(MB
1 );
b11b22b33b11b32b23b12b23b31b12b21b33b13b21b32b13b22b31
35](/data/documents/bf05ccc9-8d32-45f3-b53f-6b184719cb3c/page_35.png)
![8. Determinantning biror yo'l (ustun) elementlarini mos ravishda boshqa yo'l
(ustun) elementlarining algebraik to'ldiruvchilariga ko'paytirib qo'shsak, u holda
yig'indi nolga teng bo'ladi.
> C1:= <<c
11 ,c
21 ,c
31 >|<c
12 ,c
22 ,c
32 >|<c
13 ,c
23 ,c
33 >>;
Determinant(C1);c11c22c33c11c32c23c12c23c31c12c21c33c13c21c32c13c22c31
> i:=1:n2:=3:MC:=0:t:=0:
for j from n2 by -1 to 1 do
t:=t+1:
MC:=MC+(-1)^(i+t)*C1[i,t]*Minor(C1,n2,t);
print(n2,t,C1[i,t],Minor(C1,n2,t));
od:
expand(MC);
,,,32c1 2 c1 1c2 3c1 3c2 1
N-tartibli determinant umumlashtirish:
> Bn:= <<b
11 ,b
12 ,b
13 ,b
14 >|<b
21 ,b
22 ,b
23 ,b
24 >|<b
31 ,b
32 ,b
33 ,b
34 >|<b
41 ,b
42 ,b
43 ,b
44 >>;
Determinant(Bn);
:= Bnb1 1b2 1b3 1b4 1b1 2b2 2b3 2b4 2b1 3b2 3b3 3b4 3b1 4b2 4b3 4b4 4
> Bn1:= <<2,0,3,3>|<-1,1,-1,1>|<1,2,2,6>|<0,-1,3,1>>;
Determinant(Bn1);
3.2. Mapleda matritsalar va determinantlar
Maple to'plami ixtisoslashtirilgan paketdagi funksiyani unga kirgandan keyin
uni RAMga saqlamasdan bir martalik ishlatish imkoniyatiga ega. Bunday
qo'ng'iroq uchun siz kvadrat qavslar ichida chaqirilgan funksiya nomi bilan birga
paket nomini ko'rsatishingiz kerak.
36](/data/documents/bf05ccc9-8d32-45f3-b53f-6b184719cb3c/page_36.png)
Matematik paketlar yordamida determinatlarning xossalarini tadqiq etish MUNDARIJA KIRISH …………………………………………………………………………….3 I BOB. N TARTIBLI DETERMINATLAR ……………………………………...5 1 .1. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar…………………………………….5 1.2. n-tartibli determinantlar………………………………………………………..8 II BOB. DETERMINATLARNI XOSSALARINI ISBOTLASH UCHUN QO‘LLANILGAN MAPLE TIZIMINING BUY’RUQLARI TAVSILOTI .....20 2.1 . Maple tizimining asosiy imkoniyatlari va interfeysi…………………………..20 II I BOB. MAPLE TiZIMIDA DETERMINANTLARNI XOSSALARIN ISBOTLASH JARAYONI ………………………………………………………30 3.1. Maple tizimida determinantlarni xossalarini isbot qilish……………………...30 3.2 . Mapleda matritsalar va determinantlar………………………………………..36 XULOSA …………………………………………………………………………43 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR VA ILOVALAR ……………………..44
KIRISH Masalaning qoyilishi. Amaliy masalalarni yechishda, N-tartibli determinatlarni hisoblash uchun ularninng xossalarini bilish muhim ahamiyat kasb etadi. Ma’lum ki, determinantlar nazariyasida n ta simovldan iborat hamma o‘rin almashtirishlarni tartiblash da ular oldingi tartib dan birgina transpozisiya orqali h osil bo‘ladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishda determinantlarni hisoblash jarayonida qo‘llaniladigan xossalarni Maple matematik paketi yordamida namoyish etish masalasi namoyish etiladi. Mavzuning dolzarbligi . Maple matematik tizimii asosida murakkab analitik va hisoblash amallarini bajarish mumkin. Shuning uchun tadqiqotlar jarayonida n- tartibli determinatlarni xossalarini isbot qilish jarayonini N ning etarlicha katta qiymatlarida amalda ko‘rsatish murakkab va dolzarb masala hisoblanadi. Ishning maqsadi . Maple matematik tizimii asosida n-tartibli determinatlarni xossalarini isbot qilish jarayonidagi murakkab analitik va hisoblash amallarini N ning yetarlicha katta qiymatlarida amalda ko‘rsatishdan iborat. Ishning vazivalari: 1. N-tartibli determinantlarni xossalarini isbotlashda qo‘llaniladigan kombitarika amallarini tahlil qilish. 2. Maple tizimining determinant hisobiga oid buyrug’larini tavsiflash. 3. linalg kutubxonasidagi determinantlar hisobiga oid buyrug’larini amaliy tadbiqlarini ko‘rsatish. 4. N-tartibli determinantlarni xossalarini Maple tizimida isbotlanishini namoyish etish. Ishning tadqiqot metodlari. n-tartibli determinatlar xossalarini isbotlash, Maple tizimining analitik va hisoblash amallarni bajarish vositalari. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati . n-tartibli determinatlarni ba'zi bir xossalarini isbotlashda foydalanilishi, t alabalar matematik usullarni o‘rganishda murakkab hisoblashlarni bajarish, usullarning mohiyatini, qo‘llanilish sohalarini o‘rganishda matematik paketlardan foydalanish mumkinligini ko‘rsatilagnligi bilan izohlanadi. 2
Ishning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi, kirish qismi, 3 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan iborat. Ishning hajmi ___ betdan iborat.ʻ Ishning qisqacha mazmuni. Kirish qismida, masalani qo‘yilish, dolzarbligi, maqsadi, bajariladigan vazifalar, ilmiy va amaliy ahamiyati bayon etilgan. I-Bobda, N-tartibli determinantlarni xossalarini isbotlashda qo‘llaniladigan kombitarika amallarini qo‘llanilishi bilan bo‘liq tushunchalarning matematik tavsilotlari berilgan. II-Bobda, Maple tizimining determinant hisobiga oid buyrug’larini tavsifl, linalg kutubxonasidagi buyrug’larini amaliy tadbiqlari ko‘rsatilgan. III-bobda, N-tartibli determinantlarni xossalarini Maple tizimida isbotlanish jarayoni namoyish etigan Xulosa qismiada, bitiruv malakaviy isda bajarilagan vazifalar, ular ilmiy va amaliy ahamiyati bayon etilgan. 3
I BOB. n- TARTIBLI DETERMINATLAR 1 .1. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar n-tartibli determinatlarni o‘rganish uchun bizga chekli to‘plamlarga doir bazi tushnchalar va faktlar kerak bo‘ladi,n ta elementdan iborat chekli M to‘plam berilgan bo‘lsin.Bu elementlar dastlabki n ta 1.2…..,n natural sonlar yordamida nomerlab chiqishi mumkin va bizni qiziqtiradigan masalalarda bu to‘plam elementlarining individual xossalari hech qanday ahamiyat kasb etmaganligi sababli, biz M to‘plamning elementlari uchun 1,2,…,n sonlarning o‘zini olib qo‘ya olamiz. 1,2,…,n sonlarning joylashishning biz foydalanadigan normal tartibdan tashqari ularni yana boshqa ko‘p usullar bilan tartiblash mumkin.Masalan,1,2,3,4 sonlarni yana quyidagi usullar bilan joylashtirish mumkin:3,1,2,4 yoki 2,4,1,3 va hakozo. 1,2,…,n sonlarning ma’lum bir aniq tartibda har qanday joylashishga n ta sondan (yoki n ta simvoldan) tuzilgan o‘rin almashtirishlar deyiladi. n ta simvoldan iborat har xil o‘rin almashtirishlar soni n! (en faktorial deb o‘qiladi) bilan belgilanuvchi 1.2…n ko‘paytmaga teng. Darhaqiqat, n ta simvoldan iborat o‘rin almashtirishning umumiy ko‘rinishi i 1 ,i 2 ,…,in bo‘ladi,,bu yerda is larning har biri 1,2,…,n sonlarnning biri,shu bilan birga 1,2,…,n sonlarning hech qaysisi ikki marta uchramaydi.i1 deb 1,2,…,n sonlarning ixtiyoriy birortasini olish mumkin; bu n ta turli imkoniyatlarini beradi.Agar,endi i 1 tanlab olingan bo‘lsa, u holda i 2 deb qolgan n-1 ta sondan birinigina olish mumkin,yani i 1 va simvollarni tanlab olishning turli usullari soni n(n-1) ko‘paytmaga teng va hakozo. Shunday qilib, n ta simvoldan iborat o‘rin almashtirishlar soni n=2 da 2!=2 ga teng (12 va 21 o‘rin almashtirishlar;n<9 bo‘lgan misollarda o‘rinlari almashinayotgan simvollarni vergul bilan ajratmaymiz),n=3 da bu son 3!=6 ga n=4 da u 4!=24 ga teng.So‘ngra n ning o‘sishi bilan o‘rin almashtirishlar soni nihoyatda tez o‘sadi;masalan, n=5 da u 5!=120 ga, n=10 da esa 3628800 ga teng. 4
Agar birorta o‘rin almashtirishda ixtiyoriy ikkita simvolning (yonma-yon turgan bo‘lishi shart emas) o‘rinlarini almashtirib, qolgan simovllarni o‘z o‘rnida qoldirsak,ravshanki yani o‘rin almashtirishni hosil qilamiz.O‘rin almashtirishni bunday o‘zgartirish (almashtirish) transpozisiya deyiladi. n ta simvoldan iborat barcha n! o‘rin almashtirishlarni shunday tartibdda joylashtirish mumkinki bunda har bir keyingi o‘rin almashtirish oldingisidan birgina transpozisiya yordamida hosil qilinadi shu bilan birga transpozisiyalashni ixtiyoriy o‘rin almashtirishdan boshlash mumkin. Bu tasdiq n=2 da o‘rinli: agar 12 o‘rin almashtirishdan boshlash talab qilinayotgan bo‘lsa izlanayotgan joylashuv 12, 21 bo‘ladi;agar 21 o‘rin almashtirishdan boshlash lozim bo‘lsa bu joylashuv 21,12 bo‘ladi.Tasdig’imiz n-1 uchun isbot qilingan deb faraz qilib,uni n uchun isbotlaymiz. i 1 , i 2 ,…,i n (1) O‘rin almashtirishdan boshlashimiz kerak bo‘lsin.Birinchi o‘rinda i1 turgan n simvoldan iborat barcha o‘rin almashtirishlarni qarab chiqamiz .Bunday o‘rin almashtirishlar (n-1)! ta shu bilan birga (1) o‘rin amashtirishdan boshlash mumkin,chunki bu aslida n-1 ta simvoldan iborat barcha o‘rin almashtirishlarni tartiblashtirishga keltiriladi. Bu teoremadan n simovldan iborat ixtiyoriy o‘rin almashtirishdan o‘sha simvollardan tuzilgan boshqa o‘rin almashtirishga bir nechta transpozisiya yordamida o‘tish mumkinligini kelib chiqadi. Darhaqiqat ilgari aytilganlar asosida n ga simovldan iborat hamma o‘rin almashtirishlarni shunday tartiblashtiramizki ularning har qaysisi oldingisidan birgina transpozisiya orqali xosil bo‘ladi. Qo‘shni o‘rin almashtirishlar qarama-qarshi juft-toqlikka ega bo‘ladi,yani ular shunday joylashganki juft va toq o‘rin almashtirishlar navbatlashib keladi.Endi bizning tasdig’imiz n≥2 da n! son juftdir degan ko‘rinib turgan izoxdan kelib chiqadi. 5