logo

O’lchov haqida tushuncha

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

250.9150390625 KB
REJA:
1. O’lchov haqida tushuncha
2. O’lchovning umumiy ta’rifi
3. O’lchovni  davomlashtirish
Xulosa
1 O’LCHOV HAQIDA TUSHUNCHA.
Tekislikdagi Lebeg o’lchovi.
Kelinglar   tekislikdagi   to’g’ri   to’rtburchak,   parallelogram,   uchburchak,
trapetsiya, ko’pburchak, doira va hakazo figuralarning yuzi qanday hisoblanishini
eslaylik.
Dastlab,   tomon   uzunligi   1   birlikka   teng   bo’lgan   kvadrat   yuzini   1   ga   (1
kv.birlik   teng   deb   olib,   so’ngra   tomonlari   uzunliklari   a   va   b   bo’lgan   to’g’ri
to’rtburchak yuzi ab (kv.birlik) ga tengligini ko’rsatar edik. Qolgan figuralar yuzi
esa   shular   asosida   hisoblanadi:   Parallelogramm   to’g’ri   to’rtburchakka   keltirilib,
uchburchak   parallelogrammga   to’ldirilib,   trapetsiya   va   ko’pburchak
uchburchaklarga ajratilib. 
Doira   yuzini   topishda   esa   uning   ichiga   va   tashqarisiga   muntazam
ko’pburchaklar chizib ular yuzlarining limiti topilar edi.
Tekislikda   koordinatalar   sistemasi
kiritilgan bo’lsa, u holda ushbu 
а  ¿  x 	¿   b,  c 	¿   y 	¿  d       (1)
shartlarni qanoatlantiruvchi   ( х ; у )   nuqtalar
to’plami   biror   to’g’ri   to’rtburchakni
tasvirlaydi.
Bu   to’g’ri   to’rtburchakning
tomonlari   mos   ravishda   b-a   va   d-c
uzunliklarga   ega   bo’lgani   uchun   uning
yuzini 
(b-a)(d-c)
ga   teng   deb   olishimiz   tabiiy   (1-shaklga
qarang).
Xuddi shunikdek
а  < x  <  b,  c  <  y  <  d 
(2)
shartlarni   qanoatlantiruvchi   ( х ; у )
nuqtalar   to’plami   ham   xuddi   o’sha
to’g’ri   to’rtburchakni   tasvirlaydi,   faqat
bu   holda   to’g’ri   to’rtburchak   tomonlari
2 1-шакл
2-шакл qaralayotgan   to’plamga   tegishli   bo’lmaydi.Uning   yuzasini   ham   (b- a )(d-c)   songa
teng deb olamiz.
Demak,   to’g’ri   to’rtburchak   tomonlari   koordinatalar   o’qlariga   parallel
bo’lsa, uning yuzini berilgan  a, b, c, d  sonlari orqali topilar ekan.
Shu   to’g’ri   to’rtburchakning   45 0
  ga   burilgan   holatini   qaraylik   (2-shakl).
Ravshanki,   bu   to’g’ri   to’rtburchakning   yuzi   ham   (b-a)(d-c)   ga   teng.   Ammo,
koordinatalar   sistemasida   berilgan   munosabatlarga   ko’ra,   avvalo   uning   to’g’ri
to’rtburchak   ekanligini   aniqlash,   keyin   esa   tomonlari   b- а   va   d-c   bo’lishini   topish
kerak.Bizning   vazifa   esa,   berilgan   k,   l,   m,   n     v а     s,   t,   u,   v   lar   yordamida   to’g’ri
to’rtburchak yuzini aniqlashdan iborat.
Agar   parallelogrammning   bir
tomoni   koordinata   o’qlaridan   biriga
parallel   bo’lsa,   u   holda   uning   yuzini
yuqoridagi   kabi,   to’g’ri   to’rtburchak
yuzasi   tushunchasiga   asoslanib   topish
mumkin (3-shakl):
  S
E =(m-k)(d-c)=(n-l)(d-c) .
Ammo,   har   doim   ham,   ixtiyoriy
parallelogrammning   biror   tomoni
koordinata   o'qlaridan   biriga   parallel
bo'lishi  shart emas. 
Demak,   bu   holda   tekislikdagi   ixtiyoriy
figura   yuzini   topish   formulasini,   xuddi
elementar geometriyadagidek  keltirib chiqarish mumkin emas ekan.
Ushbu paragrafda, faqat maxsus to'g'ri to'rtburchaklar yordamida yuza yoki
umumiyroq qilib aytganda o'lchov tushunchasi qanday kiritilishini ko'rib chiqamiz.
Kelgusida biz to'g'ri to'rtburchak deganda, tomonlari koordinatalar o'qlariga
parallel bo'lgan to'g'ri to'rtburchaknigina tushunamiz.  
Zaruriyat   tug’ilganda   bu   to'g'ri   to'rtburchaklarni   ham   turli
sinflarga ajratish mumkin.   мумкин .
Yuqoridagi   (1)   formula   bilan   berilgan   to'g'ri   to'rtburchak   yopiq   to'g'ri
to'rtburchak   deyiladi. Shuningdek, (2) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak
ochiq   to'g'ri   to'rtburchak   deyiladi.   Qolgan   barcha   hollarda,   ya'ni   bir   tomonli
(masalan,   а  ¿   x   <   b,     c   <   y   <   d   bo'lganda   faqat   bir   tomon   to'g'ri   to'rtburchakka
tegishli),   ikki   tomonli,   uch   tomonli   to'g'ri   to'rtburchaklar   yarim   ochiq   to'g'ri
to'rtburchaklar  deyiladi. 
3 3- shakl Tekislikdagi barcha to'g'ri to'rtburchaklar to'plamini  P  orqali belgilaymiz.
Har   bir   to'g'ri   to'rtburchak   uchun,   elementar   geometriyadagi   yuza
tushunchasidan foydalanib uning o'lchovini aniqlaymiz.
- bo'sh to'plamning o'lchovi 0 ga teng;
- bo'sh   bo'lmagan,   shuningdek     a,   b,   c   va   d   sonlari   bilan
aniqlangan(yopiq,ochiq   yoki   yarim   ochiq)   E   to'g'ri   to'rtburchakning
o'lchovi
(b-a)(d-c)  
ga teng.
Shunday   qilib,   Р   dan   olingan   har   bir   E   to'g'ri   to'rtburchak   uchun   m(E)   –
uning o'lchovi mos qo'yildi. Bu o'lchov, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
a) m(E) o'lchov manfiy bo'lmagan haqiqiy son; 
b) m(E) o'lchov additiv, ya'ni agar  Е =¿i−1¿nEi   va  i	 j  bo’lganda  Е
i	¿ Е
j =	
bo'lsa, u holda
       m(E)=
∑
i − 1n
m ( E
i )
 
bo'ladi. 
 
Oxirgi   tenglik,   bir   nechta   o'zaro
kesishmaydigan   to'g'ri   to'rtburchaklar
birlashmasining   yuzasi,   birlashmaga
kirgan   har   bir   to'g'ri   to'rtburchak
yuzalarini   topib   yig’ish   kerakligini
bildiradi.Bunday   bo'lishi   esa   tabiiy   (4-
shakl).
Bizning   endigi   vazifamiz,   faqat
to'g'ri   to'rtburchaklar   uchun   aniqlangan
m(E)-o'lchov   tushunchasini   boshqa,
kengroq   to'plamlar   sinfi   uchun,   a)   va   b)
xossalarni saqlagan holda kiritishdan yoki
boshqacha   aytganda,   davom   ettirishdan
iborat.
Dastlab,   o'lchovni   elementar   to'plamlar   deb   nomlangan   to'plamlar   uchun
aniqlaymiz.
4 4- shakl 1-ta'rif. Agar tekislikdagi to'plamni qandaydir usulda o'zaro kesishmaydigan,
chekli   sondagi   to'g'ri   to'rtburchaklar
birlashmasi   ko'rinishda   tasvirlash
mumkin   bo'lsa,   u   holda   bunday   to'plam
elementar  yoki  sodda  to'plam deyiladi. 
5-shakldagi   to'plam   elementar
to'plamdir.   Bu   shaklda   u   4   ta   to'g'ri
to'rtburchaklarga   ajratilgan.   Ko'rinib
turibdiki, bunday ajratish yagona emas.
Quyidagi   tasdiq   bizga   ko'p   kerak
bo'ladi.
1-teorema .   Ixtiyoriy   ikki
elementar   to'plamlarning   birlashmasi,
kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ham elementar to'plam bo'ladi. 
Boshqacha aytganda, elementar to'plamlar to'plami halqa tashkil qilar ekan.
Isboti.   Ikki   to'g'ri   to'rtburchakning   kesishmasi   yana   to'g'ri   to'rtburchak
bo'lishi tushunarli. Aytaylik  А  va  В  to'plamlar elementar to'plamlar bo'lsin.U holda 
А  = ¿ i E
i va     B =¿jQ	j
bo'ladi.  Bu yerdagi   E
i      va    Q
j   lar, chekli  sondagi  to'g'ri   to'rtburchaklar. Ularning
kesishmasi
А	
 В  = 	
¿
i,j ( Е
i	 Q
j )
ham   elementar   to'plam,   chunki     E
i	
 Q
j   larning   har   biri   to'g'ri   to'rtburchak   va
ularning soni chekli.
Ikki   to'g'ri   to'rtburchakning   ayirmasi   elementar   to'plam   bo'lishi   ravshan.
Shuning   uchun,   to'g'ri   to'rtburchakdan   biror   elementar   to'plamni   ayirib,   yana
elementar     to'plam     hosil   qilamiz.   Chunki   bu   jarayon,   xuddi   ikki   elementar
to'plamning kesishmasi kabi qaralishi mumkin.
Aytaylik  А  va  В  ikki elementar to'plam bo'lsin. U holda ularning har ikkisini
ham o'z ichiga olgan  Е   to'g'ri to'rtburchak topiladi. Endi 
A	
 B = E \ [ (E \ A) 	  (E \ B) ]
tenglikka va yuqorida aytilganlarga ko'ra   А   va   В   ning birlashmasi  ham  elementar
to'plam bo'ladi. Bundan va 
5 5- shakl            A \ B = A (E \ B),   A	 B = (A	 B) \ (A	 B)
tengliklardan elementar to'plamlar ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar
to'plam bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi. 
Endi ixtiyoriy A elementar to'plamning m’(A) o'lchovini aniqlaymiz.
Agar
А  = 	
¿
i Е
i    
bo'lib,   Е
i     lar   o'zaro   kesishmaydigan   to'g'ri   to'rtburchaklar   bo'lsa,   u   holda   A   ning
o'lchovini
m’(A) = 	
∑
i m(E
i )
kabi aniqlaymiz.
O'lchovning   bunday   aniqlanishi,   A   to'plamni   chekli   sondagi   to'g'ri
to'rtburchaklar orqali qanday tasvirlanishiga bog’liq emas. 
Haqiqatan, aytaylik A ikki xil yoyilmaga ega bo'lsin:
A = 
¿
i=1
n Е
i  = 	
¿
j=1
s Q
j  ,
bu yerda   E
i    va    Q
j    lar to'g'ri to'rtburchaklar, hamda    i	
 k   bo'lganda   Е
i	 Е
k =	     va
i	
 j    bo'lganda   Q
i	 Q
j =	 .
Ma'lumki,   ikki   to'g'ri   to'rtburchakning   kesishmasi   Е
i	
 Q
j   yana   to'g'ri
to'rtburchak bo'ladi va A ning tasvirlanishiga ko'ra 
E
i =	
¿
j=1
s (E
i	
 Q
j ), Q
j = 	
¿
i=1
n (E
i	
 Q
j )
U holda, to'g'ri to'rtburchak uchun o'lchovning additivlik xossasiga ko'ra
 	
∑
i=1
n m(E
i ) = 	
∑
i=1
n	
∑
j=1
s m(E
i	
 Q
j ) = 	
∑
j=1
s m(Q
j ).
Xususan,  to'g'ri  to'rtburchaklar  uchun m’ o'lchov berilgan m  o'lchov bilan ustma-
ust tushadi.
6 Elementar   to'plamlar   uchun   shu   usulda   kiritilgan   o'lchov   nomanfiy   va
additiv ekanligini ko'rish qiyin emas.
Elementar   to'plamlarda   aniqlangan   o'lchovning   ba'zi   xossalarini   ko'rib
chiqamiz.
2-teorema.  Agar A elementar to'plam va {An} – chekli yoki sanoqli sondagi
elementar to'plamlar berilgan bo'lib,
A   	
¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda 
m’(A) 	
  	
∑
n m’(A
n )
munosabat o'rinli.
Bu   xossadan   elementar   to'plamlar   uchun   aniqlangan   o'lchovning   sanoqli
additivligi  kelib chiqadi.
  3-teorema.   Aytaylik   A   elementar   to'plam   sanoqli   sondagi,   o'zaro
kesishmaydigan   {A
n }     elementar   to'plamlar   birlashmasi   ko'rinishda   tasvirlangan
bo'lsin:
A  = 	
¿
n=1
∞ А
n ,
u holda
m’(A)  =  	
∑
n=1
∞ m’(A
n )
tenglik o'rinli.
Bu   xossani   «sanoqli   sondagi,   o'zaro   kesishmaydigan   to'plamlar
birlashmasining o'lchovi o'lchovlar yig'indisiga teng» deb o'qiladi.
Isboti.   Ixtiyoriy   chekli   N   soni   uchun   A  	
  	
¿
n=1
N А
n   va   o'lchovning   additivlik
xossasiga ko'ra
m’(A) 	
  m’(	
¿
n=1
N А
n ) = 	
∑
n=1
N m’(A
n )
7 bo'lishini aniqlaymiz. Endi   N          da limitga o'tib
m’(A)   	
∑
n=1
∞ m’(A
n )
tengsizlikka   kelamiz.   Bu   tengsizlik   va   2-teoremadagi   tengsizlik   birgalikda   bizga
kerakli   natijani   beradi.   Demak,   m’   o'lchov   sanoqli   additiv   ekan.   Teorema   isbot
bo'ldi.  
Ma'lumki,   tekislikdagi   barcha   to'plamlar   elementar   to'plamlardan   iborat
emas.   Shuning   uchun,   o'lchov   tushunchasini   faqat   tomonlari   koordinata   o'qlariga
parallel   bo'lgan   to'g'ri   to'rtburchaklarning   chekli   sondagi   birlashmasidan   tashkil
topgan   to'plamlardan   ko'ra   kengroq   to'plamlar   sinfi   uchun   kengaytirishga   harakat
qilamiz.
2-ta'rif.   Agar   tekislikda   qaralayotgan   A   to'plam     biror   to'g'ri   to'rtburchak
ichida joylashgan bo'lsa, u holda A chegaralangan to'plam deyiladi. 
Chegaralangan to'plamlar uchun tashqi o'lchov tushunchasini kiritamiz.
3-ta'rif. A to'plamning  tashqi o'lchovi  deb 	

*(A) = 	
inf
A⊂∪Pk	
∑
k m(P
k )
songa aytiladi.
Bu   yerda   quyi   chegara   (infimum),   A   to'plamni   qoplovchi   barcha   chekli   yoki
sanoqli sondagi P
k  to'g'ri to'rtburchaklar bo'yicha
olinadi.
Bu   ta'rifdan   ko'rinadiki,   tekislikdagi   ixtiyoriy   to'plamning   o'lchovi,   uni
qoplovchi   to'g'ri to'rtburchaklar o'lchovining limiti sifatida topilar ekan. Masalan,
doira   o'lchovini(yuzini)   topish   uchun   uni
iloji   boricha   kichik   o'lchovli   to'g'ri
to'rtburchaklar   (kvadratchalar)   bilan
qoplanadi (6-shakl).
Elementar   geometriyada   esa   bunday
vazifani muntazam ko'pburchaklar bajarar
edi,   ya'ni   doira   yuzini   muntazam
ko'pburchaklar yuzalarining limiti sifatida
topiladi.
8
6- shakl Ravshanki,   agar   A   elementar   to'plam   bo'lsa,   u   holda   *( А )=m’(A)   tenglik
o'rinli. Bu xossa elementar to'plamning ta'rifidan kelib chiqadi.  
Tekislikdagi ixtiyoriy to'plamlar uchun quyidagi tasdiqni aytish mumkin.
                    4-teorema.   Agar   А   v а   {A
n } ,   tekislikdagi   ixtiyoriy     chekli   yoki   sanoqli
sondagi to'plamlar bo'lib, ular uchun 
A 	
  	
¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda 

*(A) 	  	
∑
n	 *(A
n )
munosabat   o'rinli   bo'ladi.   Xususan,   agar     А  	
   В   bo'lsa,   u   holda  	 *( А )  		

*( В )       tengsizlik o'rinli.
Isboti.   Tashqi   o'lchovning   ta'rifiga   ko'ra   har   bir   A
n   va   ixtiyoriy  	
 >0     son   uchun
shunday bir, chekli yoki sanoqli   {P
nk }    to'g'ri to'rtburchaklar sistemasi topiladiki, ,
A
n  	
  	
¿
k P
nk    va   	
∑
k m(P
nk ) 	  	 *(A
n ) + 	
ε
2n     bo'ladi.  U holda
A 	
  	
¿
n	
¿
k P
nk
va	

*(A) 	  	
∑
n	
∑
k m(P
nk ) 	  	
∑
n	 *(A
n )+ 	
bo'ladi. Olingan 	
 >0  son ixtiyoriyligidan kerakli tasdiq kelib chiqadi.  
4-ta'rif. Tekislikda A to'plam berilgan. Agar ixtiyoriy kichik musbat  	
    son uchun,
shunday bir V elementar to'plam topilib	

*(A	 B) < 	
shart bajarilsa, u holda A to'plam  o'lchovli to'plam  deyiladi. 
Tekislikdagi   o'lchovli   to'plamlar   Lebeg   ma'nosidagi   o'lchovli   to'plamlar
deyiladi. Agar tekislikdagi biror   Е   to'plam berilgan bo'lsa, u holda   Е   ning barcha,
o'lchovli qism to'plamlari to'plami   М
Е   orqali belgilanadi.
Kelgusida   o'lchovli   to'plamlar   to'plami   М
Е   dagi   o'lchovni  	
 orqali
belgilaymiz. Umumiylikni chegaralama-gan holda 	
 ( Е ) =1  deb olishimiz mumkin.
9   5-teorema.  O'lchovli to'plamning to'ldiruvchisi ham o'lchovli bo'ladi. 
Isboti.  To'plamlar ustidagi amallarga doir formulalardan biri
( Е \ А ) ( Е \ В ) =  А	 В
tenglikdan   va   Е \ В   to'plamning   ham   elementar   to'plam   bo'lishidan   Е \ А   ning
o'lchovli ekani kelib chiqadi. 
6-teorema.   Chekli   sondagi   o'lchovli   to'plamlarning   birlashmasi   va
kesishmasi yana o'lchovli to'plam bo'ladi. 
Isboti.   Isbotni   ikkita   to'plam   uchun   ko'rsatish   yetarli.   Chunki,   ixtiyoriy,
chekli n ta bo'lgan hol, indutsiya usuli bilan isbotlanadi.
Aytaylik   А
1   va   А
2   ikki   o'lchovli   to'plam   bo'lsin.   Demak,  ixtiyoriy  	
 >0    son
uchun shunday  В
1   ва   В
2  elementar to'plamlar topiladiki, ular uchun 	

*( А
1	 В
1 ) < 	 /2,  	 *(A
2	 B
2 ) < 	 /2
shartlar bajariladi. Ma'lumki, 
(A
1	
 A
2 ) 	  (B
1	 B
2 ) 	  (A
1	 B
1 ) 	  (A
2	 B
2 )
munosabat o'rinli, u holda bulardan 	

*[(A
1	 A
2 ) 	  (B
1	 B
2 )] 	  	 *(A
1	 B
1 ) + 	 *(A
2	 B
2 ) < 	
kelib   chiqadi.   Ammo   В
1	
 В
2   elementar   to'plam,   shuning   uchun   А
1	 А
2 o'lchovli
to'plam bo'ladi.  
Ikki o'lchovli to'plam kesishmasining o'lchovli bo'lishi 5-teoremadan va 
А
1	
 А
2  =  Е \[(E\A
1 )	 (E\A
2 )]
munosabatdan kelib chiqadi. 
Natija.   Ikki  o'lchovli  to'plamning  ayirmasi  va simmetrik ayirmasi  o'lchovli
to'plam bo'ladi. 
Bunday xulosaning o'rinliligi yuqoridagi 5-,6-teoremalardan va 
A
1 \A
2  = A
1	
 (E\A
2 ),   A
1	 A
2  = (A
1 \A
2 )	 (A
2 \A
1 )
tengliklardan kelib chiqadi. 
7-teorema.  Agar   A
1 , A
2 , . . . , A
n     o'zaro kesishmaydigan o'lchovli to'plamlar
bo'lsa, u holda 
  	
μ	
(∑
k=	1
n	
A	k)
=	∑
k=	1
n	
μ	(A	k)
10 tenglik o'rinli bo'ladi. 
Bu   teoremaning   isbotini,   mustaqil   ish   sifatida   o'quvchining   o'ziga
qoldiramiz.
Xususan, bu teoremadan, ixtiyoriy A o'lchovli to'plam uchun 
( Е \ А ) = 1 - 	 ( А )
munosabat kelib chiqadi. 
Yuqoridagi   6-teoremaning   tasdig’i,   sanoqli   sondagi   to'plamlar   uchun   ham
o'rinli.
8-teorema.   Sanoqli   sondagi   o'lchovli   to'plamlarning   birlashmasi   va
kesishmasi yana o'lchovli to'plam bo'ladi.
Isboti.   Aytaylik   A
1 ,   A
2 ,  
 ,   A
n ,  	   sanoqli   sondagi   o'lchovli   to'plamlar
sistemasi   va   А =  	
¿
n=1
∞	
An bo'lsin.   Ushbu   A ’
n   =   A
n \	¿
k=1	
n−1
Ak     belgilash   kiritamiz.   U
holda   А =  	
¿
n=1
∞	
A'n         bo'ladi   va   A ’
n   to'plamlar   o'zaro   kesishmaydi.   6-teorema   va
uning natijasiga ko'ra barcha   A ’
n   lar  o'lchovli  bo'ladi. Endi  7-teoremaga va tashqi
o'lchovning ta'rifiga asosan	
∑
k=	1	
n	
μ	(A	'k)=	μ	(	¿
k=	1	
n	
A	'k)≤	μ∗	(	A	)
munosabatlar ixtiyoriy chekli n uchun o'rinli. Shuning uchun 	
∑
k=	1
n	
μ	(A	'k)
qator   yaqinlashuvchi,   ya'ni   ixtiyoriy    >0   son   uchun   shunday   bir   N   nomer
topiladiki,	
∑
n>	N	
μ	(A	'k)<	
ε
2
bo'ladi, ya'ni qatorning qoldig’i, istalgan kichik sondan ham kichik bo'lishi ma'lum.
11 O’lchovning umumiy ta’rifi.
Endi umumiy holda o'lchov tushunchasini beramiz.
5-Ta'rif. Berilgan  G  yarim halqada aniqlangan 	  haqiqiy to'plam funksiyasi uchun
ushbu ikkita 
1. Har qanday   A 	
  G	  uchun 	 (A)     0;
2.  	
μ   additiv funktsiya, ya'ni A    G
  uchun 
  
A	=	¿
k=1
n	
A	k,A	kintersect	A	j=	∅	,k≠	j,A	k∈	G	μ,k=	1,2	,...,n  
bo'lsa, u holda 
  	
μ	(A	)=	∑
k=	1
n	
μ	(	A	k)  
shartlar bajarilsa, bunday to'plam funktsiyasi  o'lchov  deyiladi.
Demak,   o'lchov   yarimhalqada   berilar   ekan.   Agar   ta'rifda   G	
μ     halqa   bo'lsin   deb
o'zgartirsak, u holda o'lchov halqada berilgan bo'ladi. 
Biz asosan yarim halqada berilgan o'lchovlarni o'rganamiz.
Davom ettirish masalasi.
12 Tekislikda   aniqlangan   o'lchovni,   dastlab   to'g'ri   to'rtburchaklar   uchun   kiritib,
so'ngra   uni   elementar   to'plamlarga   davom   ettirgan,   ya'ni   o'zaro   kesishmaydigan
to'g'ri   to'rtburchaklarning   birlashmasi   uchun   aniqlagan   edik.   Endi   shu   g’oyani   bu
yerda qo'llaymiz.
Faraz qilaylik,  ikkita 
1  va 	
2  o'lchov berilgan bo'lsin.
6-Ta'rif. Agar  	

1  va 	
2  o'lchovlar uchun   	G	μ1⊂G	μ2    bo'lib, har bir  	A∈G	μ     uchun	
μ1(A)=	μ2(A)
  bo'lsa, u holda 	
2  o’lchov 	
1  o'lchovning  davomi  deyiladi.
Demak,   o'lchovni   davom   ettirish   deganda,   uni   o'zi   aniqlangan   biror   to'plamlar
to'plamidan yanada kengroq, to'plamlar to'plamida ham aniqlashni tushunish kerak.
Odatda   o'lchov   yarim   halqada   beriladi   va   uni,   berilgan   yarimhalqani   o'z   ichiga
oluvchi minimal halqagacha davom ettirish masalasi o'rganiladi.
4-Teorema.   Biror   G	
   yarim  halqada  aniqlangan har  bir  	   o'lchov uchun shunday
yagona  	
 ’   davomi mavjudki, uning aniqlanish sohasi   G	     yarim halqani o'z ichiga
olgan 	
 (G	 )  minimal halqadan iborat.
Isboti.  Minimal halqa ta'rifiga ko'ra 	
 (G	 )  ning har bir A elementi uchun 
А =	
¿
k=1
n B
k  (B
k 	
 G	 , B
k  	  B
j =	   agar  k	 j  bo’lsa) (1)
munosabat o'rinli. Endi ta'rif bo'yicha 	

’(A)= 	
∑
k=1
n	
 (B
k ) (2)
deb olamiz.
Ko'rinib  turibdiki,  bu  (2)   kabi  aniqlangan  	
 ’( А )     miqdor  A  to'plamning  (1)
ko'rinishdagi tanlanishiga bog’liq emas.
Haqiqatan, aytaylik ikki 
А =	
¿
k=1
n B
i  =	
¿
j=1
r C
j  , B
i  	
 G	 , C
j	 G	
yoyilmaga ega bo'laylik. U holda har bir  В
i  	
   С
j  kesishma  G	  ga tegishli va demak,	

  o'lchovning additivligiga ko'ra 
 	
∑
k=1
n	
 ( В
i ) = 	
∑
k=1
n	
∑
j=1
r	
 (B
i	 C
j )= 	
∑
j=1
r	
 (C
j )
13 o'rinli. 
 
Shuningdek, (2) tenglik bilan aniqlangan  ’(A)  funktsiyaning additivligi va manfiy
bo'lmagan   qiymatlar   qabul   qilishi   ravshan.   Shunday   qilib,  	
   o'lchovning  	 (G	 )
halqaga davomi 	
 ’   ning mavjudligi isbotlandi.
Uning   yagonaligini   isbotlaymiz.   Aytaylik  	
 ^     o'lchov	   ning   boshqa   bir   davomi
bo'lsin.   Agar   А =	
¿
k=1
n B
k ,   B
k   lar   G	
   dan   olingan   o'zaro   kesishmaydigan   to'plamlari
bo'lsa, u holda 	

^( А )= 	
∑
k	 ^(B
k )= 	
∑
k	 (B
k )= 	 ’(A)
bo'ladi. Demak,  	
 ^   o'lchov (2) tenglik bilan aniqlangan  	 ’   o'lchov bilan ustma-ust
tushar ekan. Teorema isbot bo'ldi. 
     Shunday qilib, agar yarim halqada aniqlangan o'lchov mavjud bo'lsa, shu yarim
halqa   orqali   hosil   bo'lgan   minimal   halqada   o'lchovni   aniqlash   imkoniyatiga   ega
bo'ldik. Bu o'lchov quyidagi muhim xossalarga ega:
1 о
. Agar m o'lchov F  halqada aniqlangan bo'lsa hamda shu halqadan olingan  A,  A,
A
1 , A
2 , 	
  , A
n  to'plamlar uchun ushbu 
 
A	⊃	∪
k=1
n	
Ak,Akintersect	A	j=	∅	,k≠	j
munosabatlar bajarilsa, u holda
 	
m	(A	)≥	∑
k=1
n	
m	(A	k)
tengsizlik o'rinli bo'ladi;
2 о
.   F   halqadan   olingan   A,   A
1 ,   A
2 ,  	
 ,   A
n   to'plamlarning   qanday   bo'lishidan   qat'iy
nazar ular uchun
 	
A	⊂	∪
k=	1	
n	
A	k
munosabat bajarilsa, u holda 
14  m	(A	)≤	∑
k=1
n	
m	(Ak)
tengsizlik   o ' rinli   bo ' ladi .
Bu   xossalarni   isbotlaymiz .
Haqiqatan,   A,   A
1 ,   A
2 ,  	
 ,   A
n   to'plamlar   o'zaro   kesishmasa   va   ularning   har   biri   A
to'plamning qismi bo'lsa, u holda
 	
A	=	(	¿
k=	1
n	
A	k)∪	(A	¿
k=	1
n	
A	k)
tenglikdan m o'lchovning additivligiga asosan ushbu   	
m	(A	)=	∑
k=1
n	
m	(Ak)+	m	(A	¿k=1
n	
Ak)
tenglik   o'rinli   bo'ladi.   Bundan  	
m	(A	¿
k=1
n	
A	k)≥	0       bo'lgani   uchun	
m	(A	)≥	∑
k=1
n	
m	(Ak)
  
tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa 1 о
  xossani isbotlaydi.
Endi 2 о
 xossani isbotlaymiz. Har qanday  A
1  	
 F  va
A
2    F uchun ushbu 
 	
A	1∪	A	2=	A	1∪	[	A	2¿	¿	¿	¿	¿         va	
A	2=	(	A	1intersect	A	2)∪	[	A	2¿	¿	¿	¿	¿
 
munosabatlardan	
m	(A	1∪	A	2)=	m	(A	1)+	m	(A	2)−	m	(A	1intersect	A	2)≤
 	
¿	m	(	A	1)+	m	(	A	2)
munosabat kelib chiqadi. Bundan ixtiyoriy n uchun 
15              m	(	∪k=1
n	
Ak)≤	∑
k=1
n	
m	(Ak)    (1)
tengsizlik   induktsiya   usuli   bilan   isbotlanadi.   Endi    	
A	⊂	∪
k=1
n	
Ak   munosabatdan
ushbu 	
¿
k=	1
n	
A	k=	A	∪	[(	∪
k=	1
n	
A	k)¿	]
 
tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan m o'lchovning additivligiga asosan	
m	(	∪
k=1
n	
Ak)=	m	(A	)+	m	[(	∪
k=1
n	
Ak)¿]≥	m	(A	)
.
Bundan va (1) tengsizlikdan 
 	
m	(A	)≤	∑
k=	1
n	
m	(A	k)
tengsizlik kelib chiqadi. Shu bilan 2 o
 xossa ham isbotlandi.
Matematik   analizning   ko'pchilik   masalalarida   ba'zi   bir   to'plamlarni   soni   chekli
to'plamlarning yig'indisi sifatida emas, balki soni cheksiz to'plamlarning yig'indisi
sifatida   ifodalashga   to'g'ri   keladi.   Masalan,   doiraning   yuzini   hisoblashda   uni   soni
cheksiz   bo'lgan   to'g'ri   to'rtburchaklarning   yig'indisi   shaklida   ifodalanishidan
foydalaniladi.   Bunday   masalalarda   o'lchovning   additivlik   xossasi   yetarli   bo'lmay
qoladi   va   shu   sababli   bu   xossa   umumiyroq   bo'lgan   va   quyida   ta'riflanadigan
sanoqli additivlik yoki  	
s - additivlik deb ataladigan xossa bilan almashtiriladi.
7-Ta'rif.   Agar m o'lchovning   G
m   aniqlanish sohasidan olingan soni sanoqli o'zaro
kesishmaydigan  A
1 , A
2 , 
 , A
n ,    to'plamlar uchun  	
¿
k=1
∞	
Ak∈G	m   bo'lganda
  	
m	(	∪
k=1	
∞	
A	k)=	∑
k=	1	
∞	
m	(A	k)
tenglik o'rinli bo'lsa m o'lchov 	
 - additiv o'lchov  deyiladi.
Tekislikda aniqlangan o'lchov (1-§ga qarang)   -additiv o'lchovga misol bo'ladi. 
16 Misol.   1. Aytaylik    X={x
1 , x
2 ,     } -biror sanoqli to'plam bo'lsin. Ushbu   	
∑
n=1
∞ p
n =1
shartni qanoatlantiruvchi  {p
n }  musbat sonlar ketma – ketligini olamiz. Ma'lumki, X
ning   barcha   to'plam   ostilari   to'plami   halqa   tashkil   qiladi.   Shu   halqada   o'lchovni
quyidagicha aniqlaymiz:
har   bir   А  	
   Х   uchun       m(A) =  	
∑
xn∈A	
pn .   Ko'rinib   turibdiki,   bu   m(A)   o'lchov  	
 -
additiv o'lchov bo'ladi. Shuningdek, m(X)=1 ekani ravshan.
2.   Additiv, ammo  	
 -additiv bo'lmagan o'lchovga misol . Aytaylik X to'plam,   [0,1]
kesmadagi   barcha   ratsional   sonlar   to'plami   bo'lsin.   Endi   G
m   orqali,   X   ning   [0,1]
dagi   ixtiyoriy   (a,b)   ochiq   interval,   [a,b]   kesma   yoki     (a,b],   [a,b)   yarim   ochiq
intervallar   bilan   kesishmasi   ko'rinishidagi   A
ab   to'plamlar   to'plamini   belgilaymiz.
Osongina   tekshirsa   bo'ladi,   G
m   to'plamlar   to'plami   yarim   halqa   tashkil   etadi.
Bunday kiritilgan  A
ab  	
  G
m  to'plamlar o'lchovini
m(A
ab )=b-a
kabi aniqlaymiz.
Bu   o'lchov   additiv,   ammo  	
 -additiv   emas.   Chunki   bir   tomondan   m(X)=1,
ikkinchi tomondan X ning o'lchovi, agar o'lchovni  	
 -additiv deb olsak  0 ga teng,
sanoqli sondagi o'lchovi 0 bo'lgan nuqtalar birlashmasi sifatida.
5-teorema.   Agar   G
m   yarim  halqada   berilgan     m  o'lchov  	
 -additiv  bo'lsa,  u  holda
uning 	
 (G
m )   halqagacha davomi bo'lgan 	  o'lchov ham 	 -additiv bo'ladi. 
Isboti.   Aytaylik  А	
 (G
m ),  В	 (G
m ), n=1,2,	    va
A=	
¿
n=1
∞ B
n  , B
s	
 B
k =	   k	 s
bo'lsin. U holda    G
m   yarim halqada shunday  А
j   va  B
ni  to'plamlar topiladiki, 
A=	
¿
j A
j  , B
n =	
¿
i B
ni  , n=1, 2, 	  ,
bo'ladi.   Shuningdek,   bu   tengliklarning   o'ng   tomonidagi   to'plamlar   o'zaro
kesishmaydi, birlashmalar esa chekli sondagi i va j lar bo'yicha olinadi.
Endi  C
nij  = B
ni  	
  A
j   belgilash kiritaylik. U holda  С
nij   to'plamlar o'zaro kesishmaydi
va
17 A
j  = ¿
n=1
∞	
¿
i C
nij  ,  B
ni  =	
¿
j C
nij
munosabatlar o'rinli bo'ladi.
Yarim halqa  G
m  da berilgan m o'lchovning 	
 -additivligidan  
m(A) = 	
∑
n=1
∞	
∑
i	
m	(C	nij	) ,    m(B
ni )= 	∑
j	
m	(C	nij	)
tengliklarni, shuningdek, 	
  ning 	 (G
m )    da aniqlanishiga ko'ra	

(A) =  	
∑
j	
m	(A	j)  ,  	
 (B
n ) = 	
∑
i	
m	(B	ni)   
tengliklarni yozamiz. Bulardan	
 (A)=	
∑
i=1
∞	
μ(B	n) bo'lgan   bizga   kerakli
natijaga kelamiz. Teorema isbot bo'ldi.
Bu teoremadan ko'rinadiki, berilgan o'lchovning davomi uchun 	
 -additivlik xossasi
saqlanadi, demak o'lchovni boshidanoq biror halqada berilgan deb olsak bo'laverar
ekan.
18 O'lchovni Lebeg ma'nosida davom ettirish.
Aytaylik  Е  biror to'plam va  G
m  undagi ixtiyoriy  yarim halqa, m esa    G
m  da berilgan
-additiv o'lchov bo'lsin.   Е   dagi har bir A to'plamni   G
m   ning elementlar yordamida
qoplash mumkin, ya'ni shunday bir  {B
n }	
 G
m   lar borki, 
А  	
  	
¿
n B
n   bo'ladi. 
8-ta'rif.   Ixtiyoriy    А  	
   Е    uchun 	

*( А ) = inf 	
∑
n m(B
n )
tenglik   bilan   aniqlangan  	
 *( А )   sonni   A   to'plamning   tashqi   o'lchovi   deymiz.   Bu
yerda infimum A to'plamni qoplovchi barcha chekli yoki sanoqli   B
n	
 G
m   to'plamlar
sistemasi bo'yicha olingan.
  6-teorema.   Agar   А  	
   Е     va   {A
n }  	   Е   ixtiyoriy   chekli   yoki   sanoqli   sondagi
to'plamlar berilgan bo'lib, ular uchun 
A 	
  	
¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda 

*(A) 	  	
∑
n	 *(A
n )
munosabat o'rinli.
9-ta'rif.  Agar ixtiyoriy kichik musbat  	
    son uchun, shunday bir   В  	  	 (G
m )
to'plam topilib	

*(A	 B) < 	
shart   bajarilsa,   u   holda   A   to'plam   o'lchovli   (Lebeg   bo'yicha   o'lchovli)   to'plam
deyiladi. 
Bu   yerda   kiritilgan   va   faqat   o'lchovli   to'plamlar   uchun   aniqlangan  	
 *
funktsiya  Lebeg o'lchovi  deyiladi va qulaylik uchun uni 	
 orqali belgilanadi.
Mashqlar
1. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki  to'plamning birlashmasi  o'lchovli  bo'lishini
ko'rsating.
19 2.   Lebeg   bo'yicha   o'lchovli   to'plamning   to'ldiruvchisi   o'lchovli   bo'lishini
ko'rsating.
3. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki to'plamning kesishmasi    o'lchovli bo'lishini
ko'rsating.
4.   Lebeg   bo'yicha   o'lchovli   ikki,   chegaralangan   to'plam-ning   ayirmasi
o'lchovli bo'lishini ko'rsating.
5. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki A va B to'plamlar uchun 
(А	 В) = 	 (А) + 	 (В) - 	 (А	 В)
munosabat   o ' rinli   ekanini   isbotlang .
20 Xulosa.
Ushbu mustaqil ishi O`lchovlar nazariyasi mavzusida yozilgan bo’lib asosiy
mazmuni quyidagilardan iborat. 
  Mustaqil   ishimning kirish  qismida  matematikaning turli  soha  tarmoqlariga
bo’linishi   va   hozirgi   kunda   rivojlanish   yo’li   hamda   mamlakatimizda   bunga
yaratilgan   imkoniyatlar   haqida   yozdim.   Mustaqil   ishining   predmeti,   ob’ekti   va
asosiy vazifalarini keltirdim. 
Mustaqil   ishimning   1-bobida   O’lchov   haqida   tushuncha   va   Lebeg   o’lchovi
haqida   ma’lumot   berilgan   bo’lib,o’lchovning   umumiy   ta’rifi   haqida   ham
to’xtaldim.
Mustaqil   ishimning   2-bobida   O’lchovni   davom   ettirish,   o’lchovni   Lebeg
ma’nosida ham davom ettirishni yoritib chiqdim.
Mustaqil   ishimning   foydalanilgan   adabiyotlar   qismida     Mustaqil   ishini
yozishda zarur bo’lgan adabiyotlar ro’yxatini keltirdim. 
Turli   xil   adabiyotlar   va   ilmiy   rahbarim   xulosalari   yordamida   Mustaqil
ishimni yakunladim. 
21 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati.
1.   Mirziyoyev   Sh.M.   “ Milliy   taraqqiyot   yo‘limizni   qat’iyat   bilan   davom   ettirib,
yangi bosqichga ko‘taramiz ”, Toshkent- “O’zbekiston”-2017 yil. 
2.   Mirziyoyev   Sh.M.   Erkin   va   farovon,   demokratik   O‘zbekiston   davlatini
birgalikda barpo etamiz. Toshkent: “O‘zbekiston” NMIU, 2016 y.
3.   Ayupov   Sh.A.,   Berdiqulov   M.A.,Turgunbayev   R.M.   “Funksiyalar   nazariyasi”
Pedagogika universitetlari bakalavrlari uchun darslik.Toshkent-2003.
4.   Ayupov   Sh.A.,   Berdiqulov   M.A.,Turgunbayev   R.M.   “Funksiyalar   nazariyasi”
O’quv qo’llanma.Toshkent-2007.
5.  Sarimsoqov T.A.Funksional analiz Mustaqili.,T.:O’qituvchi,-1986.400b.
6.   Колмогоров   А.Н.,Фомин   С.В.   Элементы   теории   функций   и
функционального анализа. М.:Наука,1989.-624с.
7.   Алимов   А.А.Бердикулов   М.А.   Решение   задач   по   функциональному
анализу.Т.2005.
8. G’aymnazarov G.,G’aymnazarov O.G.Funksional analiz Mustaqilidan masalalar
yechish.T.: “Fan va texnologiya”,2006.114b.
9.  www.ziyo.net . 
22

REJA: 1. O’lchov haqida tushuncha 2. O’lchovning umumiy ta’rifi 3. O’lchovni davomlashtirish Xulosa 1

O’LCHOV HAQIDA TUSHUNCHA. Tekislikdagi Lebeg o’lchovi. Kelinglar tekislikdagi to’g’ri to’rtburchak, parallelogram, uchburchak, trapetsiya, ko’pburchak, doira va hakazo figuralarning yuzi qanday hisoblanishini eslaylik. Dastlab, tomon uzunligi 1 birlikka teng bo’lgan kvadrat yuzini 1 ga (1 kv.birlik teng deb olib, so’ngra tomonlari uzunliklari a va b bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yuzi ab (kv.birlik) ga tengligini ko’rsatar edik. Qolgan figuralar yuzi esa shular asosida hisoblanadi: Parallelogramm to’g’ri to’rtburchakka keltirilib, uchburchak parallelogrammga to’ldirilib, trapetsiya va ko’pburchak uchburchaklarga ajratilib. Doira yuzini topishda esa uning ichiga va tashqarisiga muntazam ko’pburchaklar chizib ular yuzlarining limiti topilar edi. Tekislikda koordinatalar sistemasi kiritilgan bo’lsa, u holda ushbu а ¿ x ¿ b, c ¿ y ¿ d (1) shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у ) nuqtalar to’plami biror to’g’ri to’rtburchakni tasvirlaydi. Bu to’g’ri to’rtburchakning tomonlari mos ravishda b-a va d-c uzunliklarga ega bo’lgani uchun uning yuzini (b-a)(d-c) ga teng deb olishimiz tabiiy (1-shaklga qarang). Xuddi shunikdek а < x < b, c < y < d (2) shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у ) nuqtalar to’plami ham xuddi o’sha to’g’ri to’rtburchakni tasvirlaydi, faqat bu holda to’g’ri to’rtburchak tomonlari 2 1-шакл 2-шакл

qaralayotgan to’plamga tegishli bo’lmaydi.Uning yuzasini ham (b- a )(d-c) songa teng deb olamiz. Demak, to’g’ri to’rtburchak tomonlari koordinatalar o’qlariga parallel bo’lsa, uning yuzini berilgan a, b, c, d sonlari orqali topilar ekan. Shu to’g’ri to’rtburchakning 45 0 ga burilgan holatini qaraylik (2-shakl). Ravshanki, bu to’g’ri to’rtburchakning yuzi ham (b-a)(d-c) ga teng. Ammo, koordinatalar sistemasida berilgan munosabatlarga ko’ra, avvalo uning to’g’ri to’rtburchak ekanligini aniqlash, keyin esa tomonlari b- а va d-c bo’lishini topish kerak.Bizning vazifa esa, berilgan k, l, m, n v а s, t, u, v lar yordamida to’g’ri to’rtburchak yuzini aniqlashdan iborat. Agar parallelogrammning bir tomoni koordinata o’qlaridan biriga parallel bo’lsa, u holda uning yuzini yuqoridagi kabi, to’g’ri to’rtburchak yuzasi tushunchasiga asoslanib topish mumkin (3-shakl): S E =(m-k)(d-c)=(n-l)(d-c) . Ammo, har doim ham, ixtiyoriy parallelogrammning biror tomoni koordinata o'qlaridan biriga parallel bo'lishi shart emas. Demak, bu holda tekislikdagi ixtiyoriy figura yuzini topish formulasini, xuddi elementar geometriyadagidek keltirib chiqarish mumkin emas ekan. Ushbu paragrafda, faqat maxsus to'g'ri to'rtburchaklar yordamida yuza yoki umumiyroq qilib aytganda o'lchov tushunchasi qanday kiritilishini ko'rib chiqamiz. Kelgusida biz to'g'ri to'rtburchak deganda, tomonlari koordinatalar o'qlariga parallel bo'lgan to'g'ri to'rtburchaknigina tushunamiz. Zaruriyat tug’ilganda bu to'g'ri to'rtburchaklarni ham turli sinflarga ajratish mumkin. мумкин . Yuqoridagi (1) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak yopiq to'g'ri to'rtburchak deyiladi. Shuningdek, (2) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak ochiq to'g'ri to'rtburchak deyiladi. Qolgan barcha hollarda, ya'ni bir tomonli (masalan, а ¿ x < b, c < y < d bo'lganda faqat bir tomon to'g'ri to'rtburchakka tegishli), ikki tomonli, uch tomonli to'g'ri to'rtburchaklar yarim ochiq to'g'ri to'rtburchaklar deyiladi. 3 3- shakl

Tekislikdagi barcha to'g'ri to'rtburchaklar to'plamini P orqali belgilaymiz. Har bir to'g'ri to'rtburchak uchun, elementar geometriyadagi yuza tushunchasidan foydalanib uning o'lchovini aniqlaymiz. - bo'sh to'plamning o'lchovi 0 ga teng; - bo'sh bo'lmagan, shuningdek a, b, c va d sonlari bilan aniqlangan(yopiq,ochiq yoki yarim ochiq) E to'g'ri to'rtburchakning o'lchovi (b-a)(d-c) ga teng. Shunday qilib, Р dan olingan har bir E to'g'ri to'rtburchak uchun m(E) – uning o'lchovi mos qo'yildi. Bu o'lchov, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: a) m(E) o'lchov manfiy bo'lmagan haqiqiy son; b) m(E) o'lchov additiv, ya'ni agar Е =¿i−1¿nEi va i  j bo’lganda Е i ¿ Е j =  bo'lsa, u holda m(E)= ∑ i − 1n m ( E i ) bo'ladi. Oxirgi tenglik, bir nechta o'zaro kesishmaydigan to'g'ri to'rtburchaklar birlashmasining yuzasi, birlashmaga kirgan har bir to'g'ri to'rtburchak yuzalarini topib yig’ish kerakligini bildiradi.Bunday bo'lishi esa tabiiy (4- shakl). Bizning endigi vazifamiz, faqat to'g'ri to'rtburchaklar uchun aniqlangan m(E)-o'lchov tushunchasini boshqa, kengroq to'plamlar sinfi uchun, a) va b) xossalarni saqlagan holda kiritishdan yoki boshqacha aytganda, davom ettirishdan iborat. Dastlab, o'lchovni elementar to'plamlar deb nomlangan to'plamlar uchun aniqlaymiz. 4 4- shakl

1-ta'rif. Agar tekislikdagi to'plamni qandaydir usulda o'zaro kesishmaydigan, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar birlashmasi ko'rinishda tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda bunday to'plam elementar yoki sodda to'plam deyiladi. 5-shakldagi to'plam elementar to'plamdir. Bu shaklda u 4 ta to'g'ri to'rtburchaklarga ajratilgan. Ko'rinib turibdiki, bunday ajratish yagona emas. Quyidagi tasdiq bizga ko'p kerak bo'ladi. 1-teorema . Ixtiyoriy ikki elementar to'plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Boshqacha aytganda, elementar to'plamlar to'plami halqa tashkil qilar ekan. Isboti. Ikki to'g'ri to'rtburchakning kesishmasi yana to'g'ri to'rtburchak bo'lishi tushunarli. Aytaylik А va В to'plamlar elementar to'plamlar bo'lsin.U holda А = ¿ i E i va B =¿jQ j bo'ladi. Bu yerdagi E i va Q j lar, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar. Ularning kesishmasi А  В = ¿ i,j ( Е i  Q j ) ham elementar to'plam, chunki E i  Q j larning har biri to'g'ri to'rtburchak va ularning soni chekli. Ikki to'g'ri to'rtburchakning ayirmasi elementar to'plam bo'lishi ravshan. Shuning uchun, to'g'ri to'rtburchakdan biror elementar to'plamni ayirib, yana elementar to'plam hosil qilamiz. Chunki bu jarayon, xuddi ikki elementar to'plamning kesishmasi kabi qaralishi mumkin. Aytaylik А va В ikki elementar to'plam bo'lsin. U holda ularning har ikkisini ham o'z ichiga olgan Е to'g'ri to'rtburchak topiladi. Endi A  B = E \ [ (E \ A)  (E \ B) ] tenglikka va yuqorida aytilganlarga ko'ra А va В ning birlashmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Bundan va 5 5- shakl