O’lchov haqida tushuncha

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

250.9150390625 KB

Скачать

REJA:
1. O’lchov haqida tushuncha
2. O’lchovning umumiy ta’rifi
3. O’lchovni davomlashtirish
Xulosa
1

O’LCHOV HAQIDA TUSHUNCHA.
Tekislikdagi Lebeg o’lchovi.
Kelinglar tekislikdagi to’g’ri to’rtburchak, parallelogram, uchburchak,
trapetsiya, ko’pburchak, doira va hakazo figuralarning yuzi qanday hisoblanishini
eslaylik.
Dastlab, tomon uzunligi 1 birlikka teng bo’lgan kvadrat yuzini 1 ga (1
kv.birlik teng deb olib, so’ngra tomonlari uzunliklari a va b bo’lgan to’g’ri
to’rtburchak yuzi ab (kv.birlik) ga tengligini ko’rsatar edik. Qolgan figuralar yuzi
esa shular asosida hisoblanadi: Parallelogramm to’g’ri to’rtburchakka keltirilib,
uchburchak parallelogrammga to’ldirilib, trapetsiya va ko’pburchak
uchburchaklarga ajratilib.
Doira yuzini topishda esa uning ichiga va tashqarisiga muntazam
ko’pburchaklar chizib ular yuzlarining limiti topilar edi.
Tekislikda koordinatalar sistemasi
kiritilgan bo’lsa, u holda ushbu
а ¿ x ¿ b, c ¿ y ¿ d (1)
shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у ) nuqtalar
to’plami biror to’g’ri to’rtburchakni
tasvirlaydi.
Bu to’g’ri to’rtburchakning
tomonlari mos ravishda b-a va d-c
uzunliklarga ega bo’lgani uchun uning
yuzini
(b-a)(d-c)
ga teng deb olishimiz tabiiy (1-shaklga
qarang).
Xuddi shunikdek
а < x < b, c < y < d
(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у )
nuqtalar to’plami ham xuddi o’sha
to’g’ri to’rtburchakni tasvirlaydi, faqat
bu holda to’g’ri to’rtburchak tomonlari
2 1-шакл
2-шакл

qaralayotgan to’plamga tegishli bo’lmaydi.Uning yuzasini ham (b- a )(d-c) songa
teng deb olamiz.
Demak, to’g’ri to’rtburchak tomonlari koordinatalar o’qlariga parallel
bo’lsa, uning yuzini berilgan a, b, c, d sonlari orqali topilar ekan.
Shu to’g’ri to’rtburchakning 45 0
ga burilgan holatini qaraylik (2-shakl).
Ravshanki, bu to’g’ri to’rtburchakning yuzi ham (b-a)(d-c) ga teng. Ammo,
koordinatalar sistemasida berilgan munosabatlarga ko’ra, avvalo uning to’g’ri
to’rtburchak ekanligini aniqlash, keyin esa tomonlari b- а va d-c bo’lishini topish
kerak.Bizning vazifa esa, berilgan k, l, m, n v а s, t, u, v lar yordamida to’g’ri
to’rtburchak yuzini aniqlashdan iborat.
Agar parallelogrammning bir
tomoni koordinata o’qlaridan biriga
parallel bo’lsa, u holda uning yuzini
yuqoridagi kabi, to’g’ri to’rtburchak
yuzasi tushunchasiga asoslanib topish
mumkin (3-shakl):
S
E =(m-k)(d-c)=(n-l)(d-c) .
Ammo, har doim ham, ixtiyoriy
parallelogrammning biror tomoni
koordinata o'qlaridan biriga parallel
bo'lishi shart emas.
Demak, bu holda tekislikdagi ixtiyoriy
figura yuzini topish formulasini, xuddi
elementar geometriyadagidek keltirib chiqarish mumkin emas ekan.
Ushbu paragrafda, faqat maxsus to'g'ri to'rtburchaklar yordamida yuza yoki
umumiyroq qilib aytganda o'lchov tushunchasi qanday kiritilishini ko'rib chiqamiz.
Kelgusida biz to'g'ri to'rtburchak deganda, tomonlari koordinatalar o'qlariga
parallel bo'lgan to'g'ri to'rtburchaknigina tushunamiz.
Zaruriyat tug’ilganda bu to'g'ri to'rtburchaklarni ham turli
sinflarga ajratish mumkin. мумкин .
Yuqoridagi (1) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak yopiq to'g'ri
to'rtburchak deyiladi. Shuningdek, (2) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak
ochiq to'g'ri to'rtburchak deyiladi. Qolgan barcha hollarda, ya'ni bir tomonli
(masalan, а ¿ x < b, c < y < d bo'lganda faqat bir tomon to'g'ri to'rtburchakka
tegishli), ikki tomonli, uch tomonli to'g'ri to'rtburchaklar yarim ochiq to'g'ri
to'rtburchaklar deyiladi.
3 3- shakl

Tekislikdagi barcha to'g'ri to'rtburchaklar to'plamini P orqali belgilaymiz.
Har bir to'g'ri to'rtburchak uchun, elementar geometriyadagi yuza
tushunchasidan foydalanib uning o'lchovini aniqlaymiz.
- bo'sh to'plamning o'lchovi 0 ga teng;
- bo'sh bo'lmagan, shuningdek a, b, c va d sonlari bilan
aniqlangan(yopiq,ochiq yoki yarim ochiq) E to'g'ri to'rtburchakning
o'lchovi
(b-a)(d-c)
ga teng.
Shunday qilib, Р dan olingan har bir E to'g'ri to'rtburchak uchun m(E) –
uning o'lchovi mos qo'yildi. Bu o'lchov, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
a) m(E) o'lchov manfiy bo'lmagan haqiqiy son;
b) m(E) o'lchov additiv, ya'ni agar Е =¿i−1¿nEi va i  j bo’lganda Е
i ¿ Е
j = 
bo'lsa, u holda
m(E)=
∑
i − 1n
m ( E
i )

bo'ladi.

Oxirgi tenglik, bir nechta o'zaro
kesishmaydigan to'g'ri to'rtburchaklar
birlashmasining yuzasi, birlashmaga
kirgan har bir to'g'ri to'rtburchak
yuzalarini topib yig’ish kerakligini
bildiradi.Bunday bo'lishi esa tabiiy (4-
shakl).
Bizning endigi vazifamiz, faqat
to'g'ri to'rtburchaklar uchun aniqlangan
m(E)-o'lchov tushunchasini boshqa,
kengroq to'plamlar sinfi uchun, a) va b)
xossalarni saqlagan holda kiritishdan yoki
boshqacha aytganda, davom ettirishdan
iborat.
Dastlab, o'lchovni elementar to'plamlar deb nomlangan to'plamlar uchun
aniqlaymiz.
4 4- shakl

$1-ta'rif. Agar tekislikdagi to'plamni qandaydir usulda o'zaro kesishmaydigan, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar birlashmasi ko'rinishda tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda bunday to'plam elementar yoki sodda to'plam deyiladi. 5-shakldagi to'plam elementar to'plamdir. Bu shaklda u 4 ta to'g'ri to'rtburchaklarga ajratilgan. Ko'rinib turibdiki, bunday ajratish yagona emas. Quyidagi tasdiq bizga ko'p kerak bo'ladi. 1-teorema . Ixtiyoriy ikki elementar to'plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Boshqacha aytganda, elementar to'plamlar to'plami halqa tashkil qilar ekan. Isboti. Ikki to'g'ri to'rtburchakning kesishmasi yana to'g'ri to'rtburchak bo'lishi tushunarli. Aytaylik А va В to'plamlar elementar to'plamlar bo'lsin.U holda А = ¿ i E i va B =¿jQ j bo'ladi. Bu yerdagi E i va Q j lar, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar. Ularning kesishmasi А  В = ¿ i,j ( Е i  Q j ) ham elementar to'plam, chunki E i  Q j larning har biri to'g'ri to'rtburchak va ularning soni chekli. Ikki to'g'ri to'rtburchakning ayirmasi elementar to'plam bo'lishi ravshan. Shuning uchun, to'g'ri to'rtburchakdan biror elementar to'plamni ayirib, yana elementar to'plam hosil qilamiz. Chunki bu jarayon, xuddi ikki elementar to'plamning kesishmasi kabi qaralishi mumkin. Aytaylik А va В ikki elementar to'plam bo'lsin. U holda ularning har ikkisini ham o'z ichiga olgan Е to'g'ri to'rtburchak topiladi. Endi A  B = E \ [ (E \ A)  (E \ B) ] tenglikka va yuqorida aytilganlarga ko'ra А va В ning birlashmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Bundan va 5 5- shakl$ $A \ B = A (E \ B), A  B = (A  B) \ (A  B) tengliklardan elementar to'plamlar ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar to'plam bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi. Endi ixtiyoriy A elementar to'plamning m’(A) o'lchovini aniqlaymiz. Agar А = ¿ i Е i bo'lib, Е i lar o'zaro kesishmaydigan to'g'ri to'rtburchaklar bo'lsa, u holda A ning o'lchovini m’(A) = ∑ i m(E i ) kabi aniqlaymiz. O'lchovning bunday aniqlanishi, A to'plamni chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar orqali qanday tasvirlanishiga bog’liq emas. Haqiqatan, aytaylik A ikki xil yoyilmaga ega bo'lsin: A = ¿ i=1 n Е i = ¿ j=1 s Q j , bu yerda E i va Q j lar to'g'ri to'rtburchaklar, hamda i  k bo'lganda Е i  Е k =  va i  j bo'lganda Q i  Q j =  . Ma'lumki, ikki to'g'ri to'rtburchakning kesishmasi Е i  Q j yana to'g'ri to'rtburchak bo'ladi va A ning tasvirlanishiga ko'ra E i = ¿ j=1 s (E i  Q j ), Q j = ¿ i=1 n (E i  Q j ) U holda, to'g'ri to'rtburchak uchun o'lchovning additivlik xossasiga ko'ra ∑ i=1 n m(E i ) = ∑ i=1 n ∑ j=1 s m(E i  Q j ) = ∑ j=1 s m(Q j ). Xususan, to'g'ri to'rtburchaklar uchun m’ o'lchov berilgan m o'lchov bilan ustma- ust tushadi. 6$

Elementar to'plamlar uchun shu usulda kiritilgan o'lchov nomanfiy va
additiv ekanligini ko'rish qiyin emas.
Elementar to'plamlarda aniqlangan o'lchovning ba'zi xossalarini ko'rib
chiqamiz.
2-teorema. Agar A elementar to'plam va {An} – chekli yoki sanoqli sondagi
elementar to'plamlar berilgan bo'lib,
A 
¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda
m’(A)

∑
n m’(A
n )
munosabat o'rinli.
Bu xossadan elementar to'plamlar uchun aniqlangan o'lchovning sanoqli
additivligi kelib chiqadi.
3-teorema. Aytaylik A elementar to'plam sanoqli sondagi, o'zaro
kesishmaydigan {A
n } elementar to'plamlar birlashmasi ko'rinishda tasvirlangan
bo'lsin:
A =
¿
n=1
∞ А
n ,
u holda
m’(A) =
∑
n=1
∞ m’(A
n )
tenglik o'rinli.
Bu xossani «sanoqli sondagi, o'zaro kesishmaydigan to'plamlar
birlashmasining o'lchovi o'lchovlar yig'indisiga teng» deb o'qiladi.
Isboti. Ixtiyoriy chekli N soni uchun A

¿
n=1
N А
n va o'lchovning additivlik
xossasiga ko'ra
m’(A)
 m’(
¿
n=1
N А
n ) =
∑
n=1
N m’(A
n )
7

bo'lishini aniqlaymiz. Endi N   da limitga o'tib
m’(A) 
∑
n=1
∞ m’(A
n )
tengsizlikka kelamiz. Bu tengsizlik va 2-teoremadagi tengsizlik birgalikda bizga
kerakli natijani beradi. Demak, m’ o'lchov sanoqli additiv ekan. Teorema isbot
bo'ldi.
Ma'lumki, tekislikdagi barcha to'plamlar elementar to'plamlardan iborat
emas. Shuning uchun, o'lchov tushunchasini faqat tomonlari koordinata o'qlariga
parallel bo'lgan to'g'ri to'rtburchaklarning chekli sondagi birlashmasidan tashkil
topgan to'plamlardan ko'ra kengroq to'plamlar sinfi uchun kengaytirishga harakat
qilamiz.
2-ta'rif. Agar tekislikda qaralayotgan A to'plam biror to'g'ri to'rtburchak
ichida joylashgan bo'lsa, u holda A chegaralangan to'plam deyiladi.
Chegaralangan to'plamlar uchun tashqi o'lchov tushunchasini kiritamiz.
3-ta'rif. A to'plamning tashqi o'lchovi deb

*(A) =
inf
A⊂∪Pk
∑
k m(P
k )
songa aytiladi.
Bu yerda quyi chegara (infimum), A to'plamni qoplovchi barcha chekli yoki
sanoqli sondagi P
k to'g'ri to'rtburchaklar bo'yicha
olinadi.
Bu ta'rifdan ko'rinadiki, tekislikdagi ixtiyoriy to'plamning o'lchovi, uni
qoplovchi to'g'ri to'rtburchaklar o'lchovining limiti sifatida topilar ekan. Masalan,
doira o'lchovini(yuzini) topish uchun uni
iloji boricha kichik o'lchovli to'g'ri
to'rtburchaklar (kvadratchalar) bilan
qoplanadi (6-shakl).
Elementar geometriyada esa bunday
vazifani muntazam ko'pburchaklar bajarar
edi, ya'ni doira yuzini muntazam
ko'pburchaklar yuzalarining limiti sifatida
topiladi.
8
6- shakl

Ravshanki, agar A elementar to'plam bo'lsa, u holda  *( А )=m’(A) tenglik
o'rinli. Bu xossa elementar to'plamning ta'rifidan kelib chiqadi.
Tekislikdagi ixtiyoriy to'plamlar uchun quyidagi tasdiqni aytish mumkin.
4-teorema. Agar А v а {A
n } , tekislikdagi ixtiyoriy chekli yoki sanoqli
sondagi to'plamlar bo'lib, ular uchun
A

¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda

*(A) 
∑
n  *(A
n )
munosabat o'rinli bo'ladi. Xususan, agar А
 В bo'lsa, u holda  *( А ) 

*( В ) tengsizlik o'rinli.
Isboti. Tashqi o'lchovning ta'rifiga ko'ra har bir A
n va ixtiyoriy
 >0 son uchun
shunday bir, chekli yoki sanoqli {P
nk } to'g'ri to'rtburchaklar sistemasi topiladiki, ,
A
n

¿
k P
nk va
∑
k m(P
nk )   *(A
n ) +
ε
2n bo'ladi. U holda
A

¿
n
¿
k P
nk
va

*(A) 
∑
n
∑
k m(P
nk ) 
∑
n  *(A
n )+ 
bo'ladi. Olingan
 >0 son ixtiyoriyligidan kerakli tasdiq kelib chiqadi.
4-ta'rif. Tekislikda A to'plam berilgan. Agar ixtiyoriy kichik musbat
 son uchun,
shunday bir V elementar to'plam topilib

*(A  B) < 
shart bajarilsa, u holda A to'plam o'lchovli to'plam deyiladi.
Tekislikdagi o'lchovli to'plamlar Lebeg ma'nosidagi o'lchovli to'plamlar
deyiladi. Agar tekislikdagi biror Е to'plam berilgan bo'lsa, u holda Е ning barcha,
o'lchovli qism to'plamlari to'plami М
Е orqali belgilanadi.
Kelgusida o'lchovli to'plamlar to'plami М
Е dagi o'lchovni
 orqali
belgilaymiz. Umumiylikni chegaralama-gan holda
 ( Е ) =1 deb olishimiz mumkin.
9

$5-teorema. O'lchovli to'plamning to'ldiruvchisi ham o'lchovli bo'ladi. Isboti. To'plamlar ustidagi amallarga doir formulalardan biri ( Е \ А ) ( Е \ В ) = А  В tenglikdan va Е \ В to'plamning ham elementar to'plam bo'lishidan Е \ А ning o'lchovli ekani kelib chiqadi. 6-teorema. Chekli sondagi o'lchovli to'plamlarning birlashmasi va kesishmasi yana o'lchovli to'plam bo'ladi. Isboti. Isbotni ikkita to'plam uchun ko'rsatish yetarli. Chunki, ixtiyoriy, chekli n ta bo'lgan hol, indutsiya usuli bilan isbotlanadi. Aytaylik А 1 va А 2 ikki o'lchovli to'plam bo'lsin. Demak, ixtiyoriy  >0 son uchun shunday В 1 ва В 2 elementar to'plamlar topiladiki, ular uchun  *( А 1  В 1 ) <  /2,  *(A 2  B 2 ) <  /2 shartlar bajariladi. Ma'lumki, (A 1  A 2 )  (B 1  B 2 )  (A 1  B 1 )  (A 2  B 2 ) munosabat o'rinli, u holda bulardan  *[(A 1  A 2 )  (B 1  B 2 )]   *(A 1  B 1 ) +  *(A 2  B 2 ) <  kelib chiqadi. Ammo В 1  В 2 elementar to'plam, shuning uchun А 1  А 2 o'lchovli to'plam bo'ladi. Ikki o'lchovli to'plam kesishmasining o'lchovli bo'lishi 5-teoremadan va А 1  А 2 = Е \[(E\A 1 )  (E\A 2 )] munosabatdan kelib chiqadi. Natija. Ikki o'lchovli to'plamning ayirmasi va simmetrik ayirmasi o'lchovli to'plam bo'ladi. Bunday xulosaning o'rinliligi yuqoridagi 5-,6-teoremalardan va A 1 \A 2 = A 1  (E\A 2 ), A 1  A 2 = (A 1 \A 2 )  (A 2 \A 1 ) tengliklardan kelib chiqadi. 7-teorema. Agar A 1 , A 2 , . . . , A n o'zaro kesishmaydigan o'lchovli to'plamlar bo'lsa, u holda μ (∑ k= 1 n A k) = ∑ k= 1 n μ (A k) 10$ $tenglik o'rinli bo'ladi. Bu teoremaning isbotini, mustaqil ish sifatida o'quvchining o'ziga qoldiramiz. Xususan, bu teoremadan, ixtiyoriy A o'lchovli to'plam uchun  ( Е \ А ) = 1 -  ( А ) munosabat kelib chiqadi. Yuqoridagi 6-teoremaning tasdig’i, sanoqli sondagi to'plamlar uchun ham o'rinli. 8-teorema. Sanoqli sondagi o'lchovli to'plamlarning birlashmasi va kesishmasi yana o'lchovli to'plam bo'ladi. Isboti. Aytaylik A 1 , A 2 ,  , A n ,  sanoqli sondagi o'lchovli to'plamlar sistemasi va А = ¿ n=1 ∞ An bo'lsin. Ushbu A ’ n = A n \ ¿ k=1 n−1 Ak belgilash kiritamiz. U holda А = ¿ n=1 ∞ A'n bo'ladi va A ’ n to'plamlar o'zaro kesishmaydi. 6-teorema va uning natijasiga ko'ra barcha A ’ n lar o'lchovli bo'ladi. Endi 7-teoremaga va tashqi o'lchovning ta'rifiga asosan ∑ k= 1 n μ (A 'k)= μ ( ¿ k= 1 n A 'k)≤ μ∗ ( A ) munosabatlar ixtiyoriy chekli n uchun o'rinli. Shuning uchun ∑ k= 1 n μ (A 'k) qator yaqinlashuvchi, ya'ni ixtiyoriy  >0 son uchun shunday bir N nomer topiladiki, ∑ n> N μ (A 'k)< ε 2 bo'ladi, ya'ni qatorning qoldig’i, istalgan kichik sondan ham kichik bo'lishi ma'lum. 11$

O’lchovning umumiy ta’rifi.
Endi umumiy holda o'lchov tushunchasini beramiz.
5-Ta'rif. Berilgan G yarim halqada aniqlangan  haqiqiy to'plam funksiyasi uchun
ushbu ikkita
1. Har qanday A
 G  uchun  (A)  0;
2.
μ additiv funktsiya, ya'ni A  G
 uchun

A = ¿
k=1
n
A k,A kintersect A j= ∅ ,k≠ j,A k∈ G μ,k= 1,2 ,...,n
bo'lsa, u holda

μ (A )= ∑
k= 1
n
μ ( A k)
shartlar bajarilsa, bunday to'plam funktsiyasi o'lchov deyiladi.
Demak, o'lchov yarimhalqada berilar ekan. Agar ta'rifda G
μ halqa bo'lsin deb
o'zgartirsak, u holda o'lchov halqada berilgan bo'ladi.
Biz asosan yarim halqada berilgan o'lchovlarni o'rganamiz.
Davom ettirish masalasi.
12

Tekislikda aniqlangan o'lchovni, dastlab to'g'ri to'rtburchaklar uchun kiritib,
so'ngra uni elementar to'plamlarga davom ettirgan, ya'ni o'zaro kesishmaydigan
to'g'ri to'rtburchaklarning birlashmasi uchun aniqlagan edik. Endi shu g’oyani bu
yerda qo'llaymiz.
Faraz qilaylik, ikkita 
1 va 
2 o'lchov berilgan bo'lsin.
6-Ta'rif. Agar

1 va 
2 o'lchovlar uchun G μ1⊂G μ2 bo'lib, har bir A∈G μ uchun
μ1(A)= μ2(A)
bo'lsa, u holda 
2 o’lchov 
1 o'lchovning davomi deyiladi.
Demak, o'lchovni davom ettirish deganda, uni o'zi aniqlangan biror to'plamlar
to'plamidan yanada kengroq, to'plamlar to'plamida ham aniqlashni tushunish kerak.
Odatda o'lchov yarim halqada beriladi va uni, berilgan yarimhalqani o'z ichiga
oluvchi minimal halqagacha davom ettirish masalasi o'rganiladi.
4-Teorema. Biror G
 yarim halqada aniqlangan har bir  o'lchov uchun shunday
yagona
 ’ davomi mavjudki, uning aniqlanish sohasi G  yarim halqani o'z ichiga
olgan
 (G  ) minimal halqadan iborat.
Isboti. Minimal halqa ta'rifiga ko'ra
 (G  ) ning har bir A elementi uchun
А =
¿
k=1
n B
k (B
k
 G  , B
k  B
j =  agar k  j bo’lsa) (1)
munosabat o'rinli. Endi ta'rif bo'yicha

’(A)=
∑
k=1
n
 (B
k ) (2)
deb olamiz.
Ko'rinib turibdiki, bu (2) kabi aniqlangan
 ’( А ) miqdor A to'plamning (1)
ko'rinishdagi tanlanishiga bog’liq emas.
Haqiqatan, aytaylik ikki
А =
¿
k=1
n B
i =
¿
j=1
r C
j , B
i
 G  , C
j  G 
yoyilmaga ega bo'laylik. U holda har bir В
i
 С
j kesishma G  ga tegishli va demak,

o'lchovning additivligiga ko'ra

∑
k=1
n
 ( В
i ) =
∑
k=1
n
∑
j=1
r
 (B
i  C
j )=
∑
j=1
r
 (C
j )
13

o'rinli.

Shuningdek, (2) tenglik bilan aniqlangan  ’(A) funktsiyaning additivligi va manfiy
bo'lmagan qiymatlar qabul qilishi ravshan. Shunday qilib,
 o'lchovning  (G  )
halqaga davomi
 ’ ning mavjudligi isbotlandi.
Uning yagonaligini isbotlaymiz. Aytaylik
 ^ o'lchov  ning boshqa bir davomi
bo'lsin. Agar А =
¿
k=1
n B
k , B
k lar G
 dan olingan o'zaro kesishmaydigan to'plamlari
bo'lsa, u holda

^( А )=
∑
k  ^(B
k )=
∑
k  (B
k )=  ’(A)
bo'ladi. Demak,
 ^ o'lchov (2) tenglik bilan aniqlangan  ’ o'lchov bilan ustma-ust
tushar ekan. Teorema isbot bo'ldi.
Shunday qilib, agar yarim halqada aniqlangan o'lchov mavjud bo'lsa, shu yarim
halqa orqali hosil bo'lgan minimal halqada o'lchovni aniqlash imkoniyatiga ega
bo'ldik. Bu o'lchov quyidagi muhim xossalarga ega:
1 о
. Agar m o'lchov F halqada aniqlangan bo'lsa hamda shu halqadan olingan A, A,
A
1 , A
2 ,
 , A
n to'plamlar uchun ushbu

A ⊃ ∪
k=1
n
Ak,Akintersect A j= ∅ ,k≠ j
munosabatlar bajarilsa, u holda

m (A )≥ ∑
k=1
n
m (A k)
tengsizlik o'rinli bo'ladi;
2 о
. F halqadan olingan A, A
1 , A
2 ,
 , A
n to'plamlarning qanday bo'lishidan qat'iy
nazar ular uchun

A ⊂ ∪
k= 1
n
A k
munosabat bajarilsa, u holda
14

m (A )≤ ∑
k=1
n
m (Ak)
tengsizlik o ' rinli bo ' ladi .
Bu xossalarni isbotlaymiz .
Haqiqatan, A, A
1 , A
2 ,
 , A
n to'plamlar o'zaro kesishmasa va ularning har biri A
to'plamning qismi bo'lsa, u holda

A = ( ¿
k= 1
n
A k)∪ (A ¿
k= 1
n
A k)
tenglikdan m o'lchovning additivligiga asosan ushbu
m (A )= ∑
k=1
n
m (Ak)+ m (A ¿k=1
n
Ak)
tenglik o'rinli bo'ladi. Bundan
m (A ¿
k=1
n
A k)≥ 0 bo'lgani uchun
m (A )≥ ∑
k=1
n
m (Ak)

tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa 1 о
xossani isbotlaydi.
Endi 2 о
xossani isbotlaymiz. Har qanday A
1
 F va
A
2  F uchun ushbu

A 1∪ A 2= A 1∪ [ A 2¿ ¿ ¿ ¿ ¿ va
A 2= ( A 1intersect A 2)∪ [ A 2¿ ¿ ¿ ¿ ¿

munosabatlardan
m (A 1∪ A 2)= m (A 1)+ m (A 2)− m (A 1intersect A 2)≤

¿ m ( A 1)+ m ( A 2)
munosabat kelib chiqadi. Bundan ixtiyoriy n uchun
15

m ( ∪k=1
n
Ak)≤ ∑
k=1
n
m (Ak) (1)
tengsizlik induktsiya usuli bilan isbotlanadi. Endi
A ⊂ ∪
k=1
n
Ak munosabatdan
ushbu
¿
k= 1
n
A k= A ∪ [( ∪
k= 1
n
A k)¿ ]

tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan m o'lchovning additivligiga asosan
m ( ∪
k=1
n
Ak)= m (A )+ m [( ∪
k=1
n
Ak)¿]≥ m (A )
.
Bundan va (1) tengsizlikdan

m (A )≤ ∑
k= 1
n
m (A k)
tengsizlik kelib chiqadi. Shu bilan 2 o
xossa ham isbotlandi.
Matematik analizning ko'pchilik masalalarida ba'zi bir to'plamlarni soni chekli
to'plamlarning yig'indisi sifatida emas, balki soni cheksiz to'plamlarning yig'indisi
sifatida ifodalashga to'g'ri keladi. Masalan, doiraning yuzini hisoblashda uni soni
cheksiz bo'lgan to'g'ri to'rtburchaklarning yig'indisi shaklida ifodalanishidan
foydalaniladi. Bunday masalalarda o'lchovning additivlik xossasi yetarli bo'lmay
qoladi va shu sababli bu xossa umumiyroq bo'lgan va quyida ta'riflanadigan
sanoqli additivlik yoki
s - additivlik deb ataladigan xossa bilan almashtiriladi.
7-Ta'rif. Agar m o'lchovning G
m aniqlanish sohasidan olingan soni sanoqli o'zaro
kesishmaydigan A
1 , A
2 ,
 , A
n ,  to'plamlar uchun
¿
k=1
∞
Ak∈G m bo'lganda

m ( ∪
k=1
∞
A k)= ∑
k= 1
∞
m (A k)
tenglik o'rinli bo'lsa m o'lchov
 - additiv o'lchov deyiladi.
Tekislikda aniqlangan o'lchov (1-§ga qarang)  -additiv o'lchovga misol bo'ladi.
16

Misol. 1. Aytaylik X={x
1 , x
2 ,  } -biror sanoqli to'plam bo'lsin. Ushbu
∑
n=1
∞ p
n =1
shartni qanoatlantiruvchi {p
n } musbat sonlar ketma – ketligini olamiz. Ma'lumki, X
ning barcha to'plam ostilari to'plami halqa tashkil qiladi. Shu halqada o'lchovni
quyidagicha aniqlaymiz:
har bir А
 Х uchun m(A) =
∑
xn∈A
pn . Ko'rinib turibdiki, bu m(A) o'lchov
 -
additiv o'lchov bo'ladi. Shuningdek, m(X)=1 ekani ravshan.
2. Additiv, ammo
 -additiv bo'lmagan o'lchovga misol . Aytaylik X to'plam, [0,1]
kesmadagi barcha ratsional sonlar to'plami bo'lsin. Endi G
m orqali, X ning [0,1]
dagi ixtiyoriy (a,b) ochiq interval, [a,b] kesma yoki (a,b], [a,b) yarim ochiq
intervallar bilan kesishmasi ko'rinishidagi A
ab to'plamlar to'plamini belgilaymiz.
Osongina tekshirsa bo'ladi, G
m to'plamlar to'plami yarim halqa tashkil etadi.
Bunday kiritilgan A
ab
 G
m to'plamlar o'lchovini
m(A
ab )=b-a
kabi aniqlaymiz.
Bu o'lchov additiv, ammo
 -additiv emas. Chunki bir tomondan m(X)=1,
ikkinchi tomondan X ning o'lchovi, agar o'lchovni
 -additiv deb olsak 0 ga teng,
sanoqli sondagi o'lchovi 0 bo'lgan nuqtalar birlashmasi sifatida.
5-teorema. Agar G
m yarim halqada berilgan m o'lchov
 -additiv bo'lsa, u holda
uning
 (G
m ) halqagacha davomi bo'lgan  o'lchov ham  -additiv bo'ladi.
Isboti. Aytaylik А
 (G
m ), В  (G
m ), n=1,2,  va
A=
¿
n=1
∞ B
n , B
s
 B
k =  k  s
bo'lsin. U holda G
m yarim halqada shunday А
j va B
ni to'plamlar topiladiki,
A=
¿
j A
j , B
n =
¿
i B
ni , n=1, 2,  ,
bo'ladi. Shuningdek, bu tengliklarning o'ng tomonidagi to'plamlar o'zaro
kesishmaydi, birlashmalar esa chekli sondagi i va j lar bo'yicha olinadi.
Endi C
nij = B
ni
 A
j belgilash kiritaylik. U holda С
nij to'plamlar o'zaro kesishmaydi
va
17

A
j = ¿
n=1
∞
¿
i C
nij , B
ni =
¿
j C
nij
munosabatlar o'rinli bo'ladi.
Yarim halqa G
m da berilgan m o'lchovning
 -additivligidan
m(A) =
∑
n=1
∞
∑
i
m (C nij ) , m(B
ni )= ∑
j
m (C nij )
tengliklarni, shuningdek,
 ning  (G
m ) da aniqlanishiga ko'ra

(A) =
∑
j
m (A j) ,
 (B
n ) =
∑
i
m (B ni)
tengliklarni yozamiz. Bulardan
 (A)=
∑
i=1
∞
μ(B n) bo'lgan bizga kerakli
natijaga kelamiz. Teorema isbot bo'ldi.
Bu teoremadan ko'rinadiki, berilgan o'lchovning davomi uchun
 -additivlik xossasi
saqlanadi, demak o'lchovni boshidanoq biror halqada berilgan deb olsak bo'laverar
ekan.
18

O'lchovni Lebeg ma'nosida davom ettirish.
Aytaylik Е biror to'plam va G
m undagi ixtiyoriy yarim halqa, m esa G
m da berilgan
-additiv o'lchov bo'lsin. Е dagi har bir A to'plamni G
m ning elementlar yordamida
qoplash mumkin, ya'ni shunday bir {B
n }
 G
m lar borki,
А

¿
n B
n bo'ladi.
8-ta'rif. Ixtiyoriy А
 Е uchun

*( А ) = inf
∑
n m(B
n )
tenglik bilan aniqlangan
 *( А ) sonni A to'plamning tashqi o'lchovi deymiz. Bu
yerda infimum A to'plamni qoplovchi barcha chekli yoki sanoqli B
n
 G
m to'plamlar
sistemasi bo'yicha olingan.
6-teorema. Agar А
 Е va {A
n }  Е ixtiyoriy chekli yoki sanoqli sondagi
to'plamlar berilgan bo'lib, ular uchun
A

¿
n А
n
shart bajarilsa, u holda

*(A) 
∑
n  *(A
n )
munosabat o'rinli.
9-ta'rif. Agar ixtiyoriy kichik musbat
 son uchun, shunday bir В   (G
m )
to'plam topilib

*(A  B) < 
shart bajarilsa, u holda A to'plam o'lchovli (Lebeg bo'yicha o'lchovli) to'plam
deyiladi.
Bu yerda kiritilgan va faqat o'lchovli to'plamlar uchun aniqlangan
 *
funktsiya Lebeg o'lchovi deyiladi va qulaylik uchun uni
 orqali belgilanadi.
Mashqlar
1. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki to'plamning birlashmasi o'lchovli bo'lishini
ko'rsating.
19

2. Lebeg bo'yicha o'lchovli to'plamning to'ldiruvchisi o'lchovli bo'lishini
ko'rsating.
3. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki to'plamning kesishmasi o'lchovli bo'lishini
ko'rsating.
4. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki, chegaralangan to'plam-ning ayirmasi
o'lchovli bo'lishini ko'rsating.
5. Lebeg bo'yicha o'lchovli ikki A va B to'plamlar uchun 
(А  В) =  (А) +  (В) -  (А  В)
munosabat o ' rinli ekanini isbotlang .
20

Xulosa.
Ushbu mustaqil ishi O`lchovlar nazariyasi mavzusida yozilgan bo’lib asosiy
mazmuni quyidagilardan iborat.
Mustaqil ishimning kirish qismida matematikaning turli soha tarmoqlariga
bo’linishi va hozirgi kunda rivojlanish yo’li hamda mamlakatimizda bunga
yaratilgan imkoniyatlar haqida yozdim. Mustaqil ishining predmeti, ob’ekti va
asosiy vazifalarini keltirdim.
Mustaqil ishimning 1-bobida O’lchov haqida tushuncha va Lebeg o’lchovi
haqida ma’lumot berilgan bo’lib,o’lchovning umumiy ta’rifi haqida ham
to’xtaldim.
Mustaqil ishimning 2-bobida O’lchovni davom ettirish, o’lchovni Lebeg
ma’nosida ham davom ettirishni yoritib chiqdim.
Mustaqil ishimning foydalanilgan adabiyotlar qismida Mustaqil ishini
yozishda zarur bo’lgan adabiyotlar ro’yxatini keltirdim.
Turli xil adabiyotlar va ilmiy rahbarim xulosalari yordamida Mustaqil
ishimni yakunladim.
21

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati.
1. Mirziyoyev Sh.M. “ Milliy taraqqiyot yo‘limizni qat’iyat bilan davom ettirib,
yangi bosqichga ko‘taramiz ”, Toshkent- “O’zbekiston”-2017 yil.
2. Mirziyoyev Sh.M. Erkin va farovon, demokratik O‘zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz. Toshkent: “O‘zbekiston” NMIU, 2016 y.
3. Ayupov Sh.A., Berdiqulov M.A.,Turgunbayev R.M. “Funksiyalar nazariyasi”
Pedagogika universitetlari bakalavrlari uchun darslik.Toshkent-2003.
4. Ayupov Sh.A., Berdiqulov M.A.,Turgunbayev R.M. “Funksiyalar nazariyasi”
O’quv qo’llanma.Toshkent-2007.
5. Sarimsoqov T.A.Funksional analiz Mustaqili.,T.:O’qituvchi,-1986.400b.
6. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.:Наука,1989.-624с.
7. Алимов А.А.Бердикулов М.А. Решение задач по функциональному
анализу.Т.2005.
8. G’aymnazarov G.,G’aymnazarov O.G.Funksional analiz Mustaqilidan masalalar
yechish.T.: “Fan va texnologiya”,2006.114b.
9. www.ziyo.net .
22

REJA: 1. O’lchov haqida tushuncha 2. O’lchovning umumiy ta’rifi 3. O’lchovni davomlashtirish Xulosa 1

O’LCHOV HAQIDA TUSHUNCHA. Tekislikdagi Lebeg o’lchovi. Kelinglar tekislikdagi to’g’ri to’rtburchak, parallelogram, uchburchak, trapetsiya, ko’pburchak, doira va hakazo figuralarning yuzi qanday hisoblanishini eslaylik. Dastlab, tomon uzunligi 1 birlikka teng bo’lgan kvadrat yuzini 1 ga (1 kv.birlik teng deb olib, so’ngra tomonlari uzunliklari a va b bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yuzi ab (kv.birlik) ga tengligini ko’rsatar edik. Qolgan figuralar yuzi esa shular asosida hisoblanadi: Parallelogramm to’g’ri to’rtburchakka keltirilib, uchburchak parallelogrammga to’ldirilib, trapetsiya va ko’pburchak uchburchaklarga ajratilib. Doira yuzini topishda esa uning ichiga va tashqarisiga muntazam ko’pburchaklar chizib ular yuzlarining limiti topilar edi. Tekislikda koordinatalar sistemasi kiritilgan bo’lsa, u holda ushbu а ¿ x ¿ b, c ¿ y ¿ d (1) shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у ) nuqtalar to’plami biror to’g’ri to’rtburchakni tasvirlaydi. Bu to’g’ri to’rtburchakning tomonlari mos ravishda b-a va d-c uzunliklarga ega bo’lgani uchun uning yuzini (b-a)(d-c) ga teng deb olishimiz tabiiy (1-shaklga qarang). Xuddi shunikdek а < x < b, c < y < d (2) shartlarni qanoatlantiruvchi ( х ; у ) nuqtalar to’plami ham xuddi o’sha to’g’ri to’rtburchakni tasvirlaydi, faqat bu holda to’g’ri to’rtburchak tomonlari 2 1-шакл 2-шакл

qaralayotgan to’plamga tegishli bo’lmaydi.Uning yuzasini ham (b- a )(d-c) songa teng deb olamiz. Demak, to’g’ri to’rtburchak tomonlari koordinatalar o’qlariga parallel bo’lsa, uning yuzini berilgan a, b, c, d sonlari orqali topilar ekan. Shu to’g’ri to’rtburchakning 45 0 ga burilgan holatini qaraylik (2-shakl). Ravshanki, bu to’g’ri to’rtburchakning yuzi ham (b-a)(d-c) ga teng. Ammo, koordinatalar sistemasida berilgan munosabatlarga ko’ra, avvalo uning to’g’ri to’rtburchak ekanligini aniqlash, keyin esa tomonlari b- а va d-c bo’lishini topish kerak.Bizning vazifa esa, berilgan k, l, m, n v а s, t, u, v lar yordamida to’g’ri to’rtburchak yuzini aniqlashdan iborat. Agar parallelogrammning bir tomoni koordinata o’qlaridan biriga parallel bo’lsa, u holda uning yuzini yuqoridagi kabi, to’g’ri to’rtburchak yuzasi tushunchasiga asoslanib topish mumkin (3-shakl): S E =(m-k)(d-c)=(n-l)(d-c) . Ammo, har doim ham, ixtiyoriy parallelogrammning biror tomoni koordinata o'qlaridan biriga parallel bo'lishi shart emas. Demak, bu holda tekislikdagi ixtiyoriy figura yuzini topish formulasini, xuddi elementar geometriyadagidek keltirib chiqarish mumkin emas ekan. Ushbu paragrafda, faqat maxsus to'g'ri to'rtburchaklar yordamida yuza yoki umumiyroq qilib aytganda o'lchov tushunchasi qanday kiritilishini ko'rib chiqamiz. Kelgusida biz to'g'ri to'rtburchak deganda, tomonlari koordinatalar o'qlariga parallel bo'lgan to'g'ri to'rtburchaknigina tushunamiz. Zaruriyat tug’ilganda bu to'g'ri to'rtburchaklarni ham turli sinflarga ajratish mumkin. мумкин . Yuqoridagi (1) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak yopiq to'g'ri to'rtburchak deyiladi. Shuningdek, (2) formula bilan berilgan to'g'ri to'rtburchak ochiq to'g'ri to'rtburchak deyiladi. Qolgan barcha hollarda, ya'ni bir tomonli (masalan, а ¿ x < b, c < y < d bo'lganda faqat bir tomon to'g'ri to'rtburchakka tegishli), ikki tomonli, uch tomonli to'g'ri to'rtburchaklar yarim ochiq to'g'ri to'rtburchaklar deyiladi. 3 3- shakl

Tekislikdagi barcha to'g'ri to'rtburchaklar to'plamini P orqali belgilaymiz. Har bir to'g'ri to'rtburchak uchun, elementar geometriyadagi yuza tushunchasidan foydalanib uning o'lchovini aniqlaymiz. - bo'sh to'plamning o'lchovi 0 ga teng; - bo'sh bo'lmagan, shuningdek a, b, c va d sonlari bilan aniqlangan(yopiq,ochiq yoki yarim ochiq) E to'g'ri to'rtburchakning o'lchovi (b-a)(d-c) ga teng. Shunday qilib, Р dan olingan har bir E to'g'ri to'rtburchak uchun m(E) – uning o'lchovi mos qo'yildi. Bu o'lchov, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: a) m(E) o'lchov manfiy bo'lmagan haqiqiy son; b) m(E) o'lchov additiv, ya'ni agar Е =¿i−1¿nEi va i  j bo’lganda Е i ¿ Е j =  bo'lsa, u holda m(E)= ∑ i − 1n m ( E i ) bo'ladi. Oxirgi tenglik, bir nechta o'zaro kesishmaydigan to'g'ri to'rtburchaklar birlashmasining yuzasi, birlashmaga kirgan har bir to'g'ri to'rtburchak yuzalarini topib yig’ish kerakligini bildiradi.Bunday bo'lishi esa tabiiy (4- shakl). Bizning endigi vazifamiz, faqat to'g'ri to'rtburchaklar uchun aniqlangan m(E)-o'lchov tushunchasini boshqa, kengroq to'plamlar sinfi uchun, a) va b) xossalarni saqlagan holda kiritishdan yoki boshqacha aytganda, davom ettirishdan iborat. Dastlab, o'lchovni elementar to'plamlar deb nomlangan to'plamlar uchun aniqlaymiz. 4 4- shakl

1-ta'rif. Agar tekislikdagi to'plamni qandaydir usulda o'zaro kesishmaydigan, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar birlashmasi ko'rinishda tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda bunday to'plam elementar yoki sodda to'plam deyiladi. 5-shakldagi to'plam elementar to'plamdir. Bu shaklda u 4 ta to'g'ri to'rtburchaklarga ajratilgan. Ko'rinib turibdiki, bunday ajratish yagona emas. Quyidagi tasdiq bizga ko'p kerak bo'ladi. 1-teorema . Ixtiyoriy ikki elementar to'plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Boshqacha aytganda, elementar to'plamlar to'plami halqa tashkil qilar ekan. Isboti. Ikki to'g'ri to'rtburchakning kesishmasi yana to'g'ri to'rtburchak bo'lishi tushunarli. Aytaylik А va В to'plamlar elementar to'plamlar bo'lsin.U holda А = ¿ i E i va B =¿jQ j bo'ladi. Bu yerdagi E i va Q j lar, chekli sondagi to'g'ri to'rtburchaklar. Ularning kesishmasi А  В = ¿ i,j ( Е i  Q j ) ham elementar to'plam, chunki E i  Q j larning har biri to'g'ri to'rtburchak va ularning soni chekli. Ikki to'g'ri to'rtburchakning ayirmasi elementar to'plam bo'lishi ravshan. Shuning uchun, to'g'ri to'rtburchakdan biror elementar to'plamni ayirib, yana elementar to'plam hosil qilamiz. Chunki bu jarayon, xuddi ikki elementar to'plamning kesishmasi kabi qaralishi mumkin. Aytaylik А va В ikki elementar to'plam bo'lsin. U holda ularning har ikkisini ham o'z ichiga olgan Е to'g'ri to'rtburchak topiladi. Endi A  B = E \ [ (E \ A)  (E \ B) ] tenglikka va yuqorida aytilganlarga ko'ra А va В ning birlashmasi ham elementar to'plam bo'ladi. Bundan va 5 5- shakl

O’lchov haqida tushuncha

12.08.2023

0

250.9150390625 KB

Похожие