ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК ПЛАСТИНКА ЭГИЛИШИ МОДЕЛИНИ СОНЛИ ТАДҚИҚ ЭТИШ

Загружено в:

23.11.2024

Скачано:

0

Размер:

691.896484375 KB

$ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК ПЛАСТИНКА ЭГИЛИШИ МОДЕЛИНИ СОНЛИ ТАДҚИҚ ЭТИШ \ МУНДАРИЖА КИРИШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I БОБ Эластик тўғри бурчакли пластинка эгилишини турли чегаравий шартларда ҳисоблаш математик моделини тузиш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Пластинка ўрта юзасини эгилишининг дифференциал тенгламаси . . . . 7- 10 1.2. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури мустаҳкамланган ҳолда унинг эгилишини Бубнова-Галеркин усули билан ҳисоблаш математик моделини тузиш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14 1.3. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури шарнирли боғланишда бўлган ҳолда унинг эгилишини Ритц-Тимошенко усули билан ҳисоблаш математик моделини тузиш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-20 II БОБ Қовушқоқ эластик материалдан қилинган пластинка эгилиши- ни ҳисоблаш математик моделини тузиш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Қовушқоқ эластик материалдан қилинган тўғри бурчакли пластинка эгилишини ҳисоблаш математик модели ва уни ечиш усуллари . . . . . . . . . 21-24 2.2. Тенг тарқалган юклама остида бўлган ва контури шарнирли боғланган пластинка эгилиши масаласини ечиш усули . . . . . . . . . . . . . . . . .24-28 2.3. Контури мустаҳкам ва аралаш боғланган тўғри бурчакли пластинка эгилишини ҳисоблаш алгоритми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29-32 III БОБ Қовушқоқ эластик материалдан қилган пластинка эгилишидан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини оптимал ечиш математик модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1. Чизиқли бўлмаган алгебраик тенгламаларни ечиш муаммолари ва уни ечиш учун тавсиялар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33-36 3.2. Чизиқли бўлмаган 1-та тенгламани ечиш учун Вегстейн усули алгоритми ва унинг сонли яқинлашиши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-39 3.3. Чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш учун Вегстейн усули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-41 Хулоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42- 44 Дастурлар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45- 84$ Адабиётлар руйхати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2

Адабиётлар руйхати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2

КИРИШ
Масаланинг қўйилиши.
Табиий жараёнларнинг математик моделини қуриш ва уни тақрибий
усуллар билан ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасини ечишнинг айрим усулларининг оптимал алгоритмларини
яратишдан иборат.
Масаланинг долзарблиги.
Ҳисоблаш математикасининг чизиқли бўлмаган тенгламаларини ечиш
учун ҳозиргача унумли усул яратилмаганлигини таҳлил қилиб, қўйилган
масалаларни ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасини ечиш ва олинган натижаларни амалий масалаларни ечишга
қўллаш асосий мақсад қилиб олинган.
Адабиётлар шархи ва таҳлили.
Чизиқли бўлмаган тенглама ва тенгламалар системасини ечишга
бағишланган жуда кўп адабиётлар яратилишида И.С.Берёзин, Н.П.Жидков,
Б.П.Демидович, И.А.Марон, М.И.Исроилов, В.Кабулов [ 10 ]
китобларида
чизиқли бўлмаган тенгламаларни ечиш чуқур таҳлил қилинган ва
компютерда ҳисоблаш учун энг қулай алгоритмлар берилган, лекин
юқоридаги адабиётларда барча тенгламалар учун яроқли усул яратилмаган ва
ҳар бир мисол учун алоҳида ёндашиш кераклиги ва кўп ҳолларда ижобий
натижа ололмасликни таъкидлаш керак. Шу йўлда тадқиқот олиб бораётган
магистрант К.Халимов адабиётда кенг тарқалган ва битта тенглама учун
келтирилган Вегстейн усулини таҳлил қилиб уни қўйилган масаладан келиб
чиққан системани ечишга умумлаштиргани ижобий илмий иш ҳисобланади.
Қўйилган масалалар ечилганидан кейин яқинлашишни таҳлил қилиш ва
тегишли хулосалар чиқариш. Берилган тавсиялар Қовушқоқ-эластик
материалдан қилинган пластинка эгилишини ҳисоблашда қўлланилган.
3

Ишнинг мақсади ва вазифалари.
Амалий масалаларни ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган
тенгламалар системасини тақрибий ечишнинг оптимал усулини яратиш ва
унга алгоритм, блок-схема ва дастур тузиб, сонли натижалар олиш ва бу
натижаларни Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган пластинка эгилиши
дифференциал тенгламасини ечишдан ҳосил бўлган тенгламага қўллашдан
иборат.
Тадқиқот объекти.
Ёпишқоқ материалдан тайёрланган тўғри бурчакли пластинкани ҳар хил
боғланишда бўлган ҳолатлардаги эгилишини ҳисоблаш.
Тадқиқот усуллари.
Магистрлик диссертатсиядаги қаралаётган масала ҳозирги замоннинг
долзарб масалаларидан бўлиб, кўп амалий масалаларни ечишга қўлланилади.
Ҳозирги замон фан ва техниканинг ривожланишини ишлаб чиқаришда,
қурилиш, авиатсия соҳасида композит материалларни кенг қўлланилиши
мураккаб масалаларни, яъни чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини
ечишга олиб келинадики, буни ечиш ҳам кўп муаммолар билан боғлиқ.
Биринчидан, бу системаларни ечиш учун яхши дастлабки яқинлашишни
топиш бўлса, иккинчидан ўша дастлабки яқинлашишдан фойдаланиб, ҳосил
бўлган системани берилган аниқликда ечиб аниқ натижа ҳосил қилиш.
Ҳозиргача чизиқли бўлмаган системаларни ечишнинг универсал
методлари мавжуд эмас. Бизга қўйилган масалани ечишдан ҳосил бўлган
системани ечиш учун 1-чи марта Вегстейн усули қўлланилди. Адабиётларда
1 та тенглама учун бу усул ёритилган. Биз буни n-та тенгламалар системасига
қўллаш алгоритмини яратдик.
Магистрлик диссертатсиясида бу усул 2N та чизиқли бўлмаган
тенгламалар системаси учун умумлаштирилган усул яратилган. Бу яратилган
усул жуда содда бўлиб , компютерда амалга ошириш энг қулай
4

алгоритмлардан ҳисобланади ва олинган натижалар ҳам қониқарли
аниқликка эга.
Тадқиқотнинг илмий аҳамияти.
Магистрлик диссертатсиясида келитирган Вегстейн усули ва уни
система учун келтирилганлиги бу шу соҳа учун янгилик бўлиб, уни кўп
масалаларни берилган тавсияларни амалий масалалрни ечиш учун қўллаш
мумкин.
Ишнинг амалий аҳамияти.
Магистрлик диссертатсиясида қўйилган масаланинг ўзи композит
материалдан қилинган жисмларни мустаҳкамлашни ёки юкламага бардош
берилиши қобилятини текширишдан иборат. Берилган чизиқли бўлмаган
тенгламалар системасини ечиш ёпишқоқ материалдан қилинган пластинка
ёки қобиқни ечилишини аниқлаш интегро-дифференциал тенгламаларни
ечишдан ҳосил бўлади.
Янги жорий этилаётган Вегстейн усулини шу соҳадаги барча ҳосил
бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечишга қўлланиши
мумкин.
Тадқиқотнинг илмий янгилиги.
Магистрлик диссертасиянинг асосий мазмуни ва моҳияти ёпишқоқ
материалдан қилинган пластинкани ҳар хил чегаравий шартларида ҳосил
бўлган интегро-дифференциал тенгламаларни чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасига олиб келиб, янги яратилган Вегстейн усули билан ечишдан
иборат. Яратилган алгоритм, блок-схема ва дастур қаралаётган соҳа
масалаларни ечишга қўлланилади.
5

АНОТАТЦИЯ :
Магистрлик диссертатсиясида ёпишқоқ материалдан қилинган ҳар хил
боғланишда бўлган пластинкани эгилишидан ҳосил бўлган интегро-
дифференциал тенгламаларни чизиқли тенгламалар системасига олиб келиб
янги яратилган Вегстейн усули билан ечилади.
Яратилган алгоритм, блок-схема ва дастурларни бошқа соҳа
масалаларини ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасини ечишга қўллаш мумкин.
АНОТАТЦИЯ :
В магистерской диссертации интегро-дифференциальные уравнения,
возникающие при изгибе пластины из вязкого материала, решаются вновь
созданным методом Вегштейна путем приведения их в систему линейных
уравнений.
Созданные алгоритм, структурная схема и программы могут быть
использованы для решения системы нелинейных уравнений, образующейся
при решении задач других областей.
Annotation :
In the master's thesis, integro-differential equations arising when a plate of
viscous material is bent are solved using the newly created Wegstein method by
reducing them to a system of linear equations.
The created algorithm, block diagram and programs can be used to solve a
system of nonlinear equations formed when solving problems in other areas.
6

I БОБ
Эластик тўғри бурчакли пластинка эгилишини турли чегаравий
шартларда ҳисоблаш математик моделини тузиш
Пластинка қурилиш, самолётсозлик ва саноатнинг турли соҳаларида
кенг қўлланилади. Унинг мустаҳкамлигини ўрганиш ва қайси материалдан
ташкил топганлигини аниқлаш асосий вазифалардан ҳисобланади.
Пластинка эгилиши дифференциал тенгламасини турли боғланишда
бўлган ҳолда унга мос ечиш усулларини тадқиқ қилиш ва унинг аниқлигини
ҳисоблаш ҳозирги замонда асосий масалалардан ҳисобланади.
Юқоридаги масалаларни оптимал алгоритмини тузиш ва уни ечиш
усулларини танлаш 1-бобнинг асосий вазифасидан ҳисобланади.
1.1. Пластинка ўрта юзасини эгилишининг дифференциал тенгламаси
Пластинкада ҳосил бўладиган кучланиш ва зўрикишларни
ҳисоблашдан олдин ўрта текисликнинг эгилиш функциясини аниқлаш зарур.
Шу мақсадда пластинка ўрта текислигидан чексиз кичик элементни кесиб
олиб, унинг таъсир этадиган барча кучларини белгилаб оламиз.[5]
Расм 1.1.1.
Пластинка ўрта текисликнинг ОС ён қиррасида Q, буйланма куч таъсир
этади. Бу буйланма кучни ўқдаги проекциясини топиш учун уни таъсир
этаётган қирранинг узунлиги dy га кўпайтириб олиш керак. ОС қиррадан
7

чексиз кичик миқдор dx масофада турган қиррада буйланма куч чексиз кичик
миқдорда ортирма олади. Qx+∂Qx
∂x dx
О а қиррадан чексиз кичик миқдор dy масофада турган оа ва вс
қирраларда буйланма куч чексиз кичик ортирма олади.
Q
y + ∂ Q
y
∂ y dy
Ўрта текисликда нормал йўналишда тенг тарқалган q – юклама таъсир
этади. Демак, юқоридаги расмда кўрсатилган кучлар таъсири остида ўрта
текислик элементининг мувозанатда бўлиши учун 6 та мувозанат тенгламаси
қаноатлантириши керак. 3 та проекция тенгламаси ва 3 та момент
тенгламаси. Z ўқидаги юқоридаги кучларнинг проекцияси қуйидагича
бўлади:
(
Q
x + ∂ Q
x
∂ x dx ) dy − Q
x dy + ( Q
y + ∂ Q
y
∂ y dy ) dx − Q
y dx + qdxdy = 0
Ўхшаш ҳадлар қисқартириб қуйидагича эга бўламиз:
∂ Q
x
∂ x + ∂ Q
y
∂ y = − q
У ўқига нисбатан бу кучларнинг моменти қуйидагича бўлади:
(
M
x + ∂ M
x
∂ x dx ) dy − M
x dy + ( H + ∂ H
∂ y dy ) dx − Hdx − ( Q
x + ∂ Q
x
∂ x dx ) dydx + Q
y dx ∙ dx
2 − ( Q
y + ∂ Q
y
∂ y dy ) dx ∙ dx
2 − qdxdy ∙ dx
2 = 0
Ўхшаш ҳадларни йиғиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
∂ M
x
∂ x + ∂ H
∂ y = Q
x
Худди юқоридагидек x ўқига нисбатан момент тенгламасини ҳосил қиламиз:
∂ H
∂ x + ∂ M
y
∂ y = Q
y
Момент ва проекция тенгламалардан буйланма кучларни йўқотиш
қуйидагига эга бўламиз.
∂ 2
M
x
∂ x 2 + 2 ∂ 2
H
∂ x ∂ y + ∂ 2
M
y
∂ y 2 = − q
8

Энди М
х ,М
xy ,Н нинг қийматларини қўйиб ўхшаш ҳадларни бир жойга
йиғиб қисқартиргандан кейин қуйидагига эга бўламиз:
− D[ ∂ 4
W
∂ x 4 + v ∂ 4
W
∂ x 2
∂ y 2 + ( 1 − v ) ∂ 2
W
∂ x 2
∂ y 2 + ∂ 4
W
∂ y 4 + v ∂ 4
W
∂ x 2
∂ y 2 ] = − q
Бу тенгламани соддалаштиргандан кейин қуйидаги тенгламага эга бўламиз.
D(
∂4w
∂x4+ ∂4w
∂x2∂y2+∂4w
∂y4)= q
ёки
D ∇4w− q= 0
D – цилиндрик қаттиқлик коэффициенти,
D= Eh3
12 (1−v2);
E – эластиклик коэффициенти
h – қалинлик
V – Пуассон коэффициенти
W – эгилиш
(1) v тенгламани ечиш учун пластинка контуридаги шартлар берилиши керак.
Шунинг учун биз пластинка контуридаги шартларни келтирамиз. Бунинг
учун тўғри бурчакли пластинкани қараймиз:
1. Пластинканинг ОА томони қаттиқ мустаҳкамланган. Бу деган сўз ОА
томонида эгилишнинг қиймати
ва эгилиш моменти нолга тенг
ъни ўша қаттиқ мустаҳкамланган
томонда эгилиш бўлмайди.
w =0 ва ox ўқи атрофида айланиш нолга
тенг. y =0 ва w =0,
∂w
∂y=0
Расм 1.1.2 .
2 . Пластинканинг ОС ва АВ томонлари шарнирли боғланган. Бу деган сўз
ўша томонларда эгилишнинг қиймати ва эгилиш моменти нолга тенг бўлади:
W =0,M x=− D(
∂2w
∂x2+γ∂2w
∂y2)=0
9

яъни x=0,x=a да W =0 ва ∂ 2
w
∂ x 2 + ∂ 2
w
∂ y 2 = 0
Расм 1.1.3
3. Аралаш шарт: иккита қарама қарши томонлари қаттиқ мустаҳкамланган ва
2 та қолган томонлари эса шарнирли боғланган. Бу шарт қуйидагича ёзилади.

y = 0 , y = b
да
w= 0,∂w
∂y=0
x=0,x=a
да w = 0 ∂ 2
w
∂ x 2 + V ∂ 2
w
∂ y 2 = 0
Эгилиш моменти қуйидагича
ҳисобланади:
M x=− D(
∂2w
∂x2+∂2w
∂y2)
Расм 1.1.4.
M y=− D(
∂2w
∂y2+∂2w
∂x2)
D= Eh3
12 (1−v2);
1.2. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури мустаҳкамланган ҳолда
унинг эгилишини Бубнова-Галеркин усули билан ҳисоблаш математик
моделини тузиш
10

Биз Галеркин усулини тенг тарқалган юклама ва контури
мустаҳкамланган тўғри бурчакли пластинка эгилишини ҳисоблаш мисолида
кўрамиз. Координат ўқлари расмда кўрсатилгандай йўналтириган.
Пластинка контурининг мустаҳкамланиши шартидан қуйидаги чегаравий
шартлар келиб чиқади. ОВ ва АС пластинканинг томонлари учун [ 5]
x=0,x= a,учун w=0,∂W
∂x= 0
OA ва BC
y=0,y=b,учун w=0,∂W
∂y=0}
(1.2 .1)
Бу шартларни қаноатлантириш учун эгилиш функцияси фойдасини қуйидаги
шаклда танл аймиз
W
mn =
∑
k = 1m
∑
l = 1n
a
kl ( 1 − cos 2 kπx
a ¿ ) ( 1 − cos 2 lπx
b ) ¿
φkl=(1− cos 2kπx
a )(1−cos 2lπx
b )
Бу ерда
φkl функцияни (1) шартларни қаноатлантиради . Шундай қилиб
OB , томонга cos 2 kπx
a ¿
x = 0 = cos 0 = 1 , W
mn
AC , томонга cos 2 kπx
a ¿
x = 0 = cos 2 kπ = 1 , ва W
mn = 0
Худди шундай (1) шарт ОА ва ВС томонлар учун ҳам бажарилади. Чегаравий
шартларни текшириш учун пластинка контуридаги бурилиш бурчаги О
тенглик шартидан.
∂ W
nm
∂ x = 2 π
a ∑
k = 1m
∑
l = 1n
a
kl ksin 2 kπx
a ( 1 − cos 2 lπx
b ) ∂ W
nm
∂ y = 2 π
b ∑
k = 1m
∑
l = 1n
a
kl l ( 1 − cos 2 kπx
b ) ( sin 2 lπy
b )
келиб чиқади.
Пластинка ОВ томонига
sin 2 lπy
b ¿
x = 0 = sin 0 = 0
Шундай қилиб ∂ W
nm
∂ x = 0
худди шундай АС томонга
sin 2 lπy
b ¿
x = a sin 2 kπ = 0
11

ва∂W nm
∂x =0
Худди шундай ОА ва ВС томонларда хам
∂W nm
∂y =0
Шундай қилиб эгилиш функцияси барча (1)чегаравий шартларни
қаноатлантирар экан.

akl - номаълум параметрларни топиш учун Галеркин тенгламалар
системасини тузиш керак. 1 - чи яқинлашишда қаторни биринчи
чегаралаймиз.
W
11 = a
11
( 1 − cos 2 πx
a )( 1 − cos 2 πy
b ) ( 1.2 .2 )
Бу ва қ тда W
mn функция
W
nm =
( 1 − cos 2
πxm
a )( 1 − cos 2
πyn
b ) ,
к ўрини ш ни олади.
Бу ифодаларни пластинка эгилиши учун Галеркин тенгламаси.
∬S
❑
(D Δ4W mn− q)φkldxdy = 0
∫
0a
∫
0b
{
− 16 π 2
a
11 D [ 1
a 4 cos 2 πx
a ( 1 − cos 2 πy
b ) − 1
a 2
b 2 cos 2 πx
a cos 2 πx
b + 1
b 4 ( 1 − cos 2 πx
a ) cos 2 πy
y ] − q }( 1 − cos 2 πx
a )( 1 − cos 2 πy
b ) dxdy = 0
Бу ифодаларни ўзгартириб интеграллар кўпайтмаси йиғиндисига келамиз.
− 16 π 2
a
11 D ¿
Интегралла р гандан кейин ҳ осил қ иламиз.
−16 π2a11D[
1
a4−(
−a
2 )(b+b
2)− b
a2b2(
−a
2 )(
−b
2 )+ 1
b4(a+a
2)(
− b
2 )]−qab =0
ёки бу ифодани ихчам қ илиб
− 16 π 2
a
11 D
( 3 b
4 a 3 + 1
2 ab + 3 a
4 b 3 ) − qab = 0
12

га эга б ў ламиз.
Бу ерданa11= qa4
4π4D
1
3+2a2
b2+3a4
b4
Топилган коэффициентларни (1) га қўйсак. 1 — чи яқинлашишда ечимни
топамиз.
W
11 = q a 4
4 π 4
D
( 1 − cos 2 πx
a )( 1 − cos 2 πy
b )
3 + 2 a 2
b 2 + 3 a 4
b 4
Максимал эгилиш x = a
2 , y = b
2 б ў лганда, яъни пластинка ўртасида ҳ осил
бўлади. Квадрат пластинка учун
a
2=1 ва υ = 0.3 ни ҳисобга олиб
maxW
11 = q a 4
8 π 4
D = q a 4
8 π 4
Eh 3 12
( 1 + υ 2 )
= 0.0140 q a 4
Eh 3
га эга бўламиз.
Аниқ ечим эса max W = 0.0138 q a 4
Eh 3 га тенг бўлади.
1.3. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури шарнирли боғланишда
бўлган ҳолда унинг эгилишини Ритц-Тимошенко усули билан ҳисоблаш
математик моделини тузиш
Ритц-Тимошенко усулини тавсифлаш учун тўғри бурчакли
пластинкани эгилишини кўрамиз
[ 8]
. Бу пластинканинг контури шарнирли
боғланишда бўлиб тенг тар қ алган юклама таъсири остида туради. Томонлари
шарнирли боғланган пластинка учун қуйидаги чегаравий шартларга эга
бўламиз
13

x = 0 , x = a учун W = 0 , ∂ 2
w
∂ x 2 + v ∂ 2
w
∂ y 2 = 0
y = 0 , y = b учун W = 0 , ∂ 2
w
∂ y 2 + v ∂ 2
w
∂ x 2 = 0
Эгилиш функцияси ифодасини қатор шаклида танлаймиз.
W
mn =
∑
k = 1n
∑
l = 1m
a
kl sin kπx
a sin lπy
b ( 1.3 .1 )
бу ердаφkl=sin kπx
a sin lπy
b (1.3 .2)
Расм 1.3.1
.
Функция статик ва геометрик чегаравий шартларни қ аноатлан тиради .
Қаторнинг а,с коэффициентлари н и аниқлаш учун системанинг потенциал
энергиясини ҳ исоблаймиз. Контури шарнирли боғланган тўғри бур чакли
пластинка эгилиши натижасида йиғиладиган потенциал энергияни куйидаги
формула билан хисоблаймиз.
U = D
2 ∬
s❑
¿ ¿
Лаплас операторини ҳисоблаймиз
∆2W mn= ∂2W mn
∂x2 +∂2W mn
∂y2 =¿
14

¿− π2∑k=1
m
∑l=1
n
akl(
K2
a2+L2
b2)sin kπx
a sin lπy
b (1.3 .4)Буни (1.3.3) формулага кўйиб куйидагини ҳосил қиламиз
U = π 4
D
2 ∫
0a
∫
0b
[
∑
k = 1m
∑
l = 1n
a
kl ( k 2
a 2 + l 2
b 2 ) sin kπx
a sin lπy
b ] 2
dxdy ( 1.3 .5 )
Интеграл остидаги қавс ичида турган иккиламчи қаторни квадра тга
кўтариш иккита кўпхадни к ў пайтиришга, яъни биринчи қаторни ҳар бир
ҳадини, иккинчи қаторни ҳар бир ҳадига кўпайтиришга тенг кучли
ҳисобланади. Битта қаторнинг ҳадларини иккинчи қаторнинг ҳадларидан
фарқ қилиш учун уларни индексларини c ва d деб белгилаймиз. Бу вақтда
(1.3.5) интеграл остидаги квадратларни қавс ичидаги ифода қуйидаги қаторга
[∑k=1
m
∑l=1
n
akl(
k2
a2+l2
b2)sin kπx
a sin lπy
b ]
2
=[∑k=1
m
∑l=1
n
akl(
k2
a2+l2
b2)sin kπx
a sin lπy
b ]ͯ�
келади .
ͯ�
[∑k=1
m
∑l=1
n
akl(
k2
a2+ l2
b2)sin kπx
a sin lπy
b ]
ͯ�
[∑k=1
m
∑l=1
n
∑c=1
m
∑d=1
n
aklacd(
k2
a2+l2
b2)ͯ�(
k2
a2+ l2
b2)sin kπx
a sin lπy
b sin cπx
a sin dπy
b ](1.3 .6)

Бу ифодани (1.3.5) қўямиз. Интеграллаш тартибини ва йиғиндини
тартибини ўзгартириб, ўзгармас миқдорларни интеграл ташқарисига
чиқарсак қуйидагиларга эга бўламиз:
U = π4D
2 ∑k=1
m
∑l=1
n
∑c=1
m
∑d=1
n
aklacd(
k2
a2+ l2
b2)ͯ�(
k2
a2+l2
b2)∫0
a
sin kπx
a sin cπy
b dx ∫0
b
sin lπx
a sin dπy
b dy (1.3 .7)
(1.3.7) ифодадаги интегралларни ҳисоблаймиз. Улардан биринчиси
қуйидагича ҳисобланади:
15

∫0
a
sin kπx
a sin cπy
b dx {
¿0,агар k≠0
≠0,агар k= ck=c бўлгандагина интеграл нолдан фарқли бўлади ва қуйидаги кўринишга эга
бўлади:
∫
0a
sin kπx
a dx = a
2 ( 1.3 .8 )
(1.3.7) чидаги 2-интегрални ҳисоблаймиз.
∫
0a
sin lπx
b sin dπy
b dy = ¿
{ 0 , агар l ≠ 0
b
2 , агар l = d ( 1.3 .9 ) ¿

(1.3.8) билан (1.3.9) чи, (1.3.7) чига олиб бориб кўйиб уларни c=k ва d=l
бўлгандагина нолдан фарқли эканлигини ҳисобга олсак.
U = π 4
D
2 ∑
k = 1m
∑
l = 1n
a
kl
( k 2
a 2 + l 2
b 2 ) 2
( 1.3 .10 )
Пластинка эгилишдаги бўйланма куч таъсири кучларнинг иши қуйидагича
ҳисобланади;
A=∬s
❑
qWdxdy
Бу формулада q = const ни ҳисобга олиб эгилиш функцияси W
mn қийматини
қўйсак қуйидагига эга бўламиз.
A=∑k=1
m
∑l=1
n
akl∫0
a
sin kπx
a dx ∫0
b
sin lπy
b dy
Буни инт е граллаб қ уйидагиларга эга б ў ламиз:
A = Aqab
π 2 ∑
k ∑
l a
kl
kl
( k = 1,3,5 , … , m
l = 1,3,5 , … , n ) ( 1.3 .11 )
16

(1.3.11) билан (1.3.10) ни Э=U − A га қўйсак ва бу қаторларда факат тоқ
индексли хадларни сақлаб (жуфт индексли ҳадлар О тенг бўлади)
қуйидагини ҳосил қиламиз.
Э=∑k ∑l [
π4Dab
8 akl(
k2
a2+ l2
b2)
2
− 4qab
π2
akl
kl ](
k=1,3,5 ,… ,m
l=1,3,5 ,… ,n)
a
kl -коэффициентларни шундай танлаш керакки, система потенциал
энергияси min қийматга эга бўлсин. Бу эса қуйидаги шартнииг бажариши
билан тенг кучли бўлади.
∂ Э
∂ a
kl = π 4
Dab
8 2 a
kl
( k 2
a 2 + l 2
b 2 ) 2
− − 4 qab
π 2 l
kl = 0 ( k = 1,3,5 , … , m
l = 1,3,5 , … , n )
Бу тенгламани 2 томонини ab га бўлиб a
kl ни аниқлаш учун қуйидаги
тенгламалар системасига эга бўламиз:
π4
4 akl(
k2
a2+l2
b2)
2
− − 4q
π2kl = 0(
k=1,3,5 ,… ,m
l=1,3,5 ,… ,n)(1.3 .12 )
Бу ердан қаторни номаълум коэффициентларни қийматини топамиз .
akl= 16 q
π6Dkl (
k2
a2+l2
b2)
2(
k=1,3,5 ,… ,m
l=1,3,5 ,… ,n)
б уни ( 1.3.12 )га олиб бориб қўйсак
W
mn = 16 q a 4
π 6
D ∑
k ∑
l sin kπx
a sin lπy
b
kl
( k + a 2
b 2 l 2 ) 2
( 1.3 .13 )
ни ҳосил қила миз.
Агар юқоридаги (1.3.13)чи ифодага чексиз ҳадларни олсак, масаланинг аниқ
ечимини топиш мумкин, қўлда ҳисоблаш осон бўлиши учун масаланинг
ечимини қаторнииг битта хади билан чегараланиб (1.3.14) дан ҳосил қиламиз
17

W
11 = 16 q a 4
π 6
D sin πx
a sin πy
b(
1 + a 2
b 2 ) 2 ( 1.3 .14 )
максимум эгилиш, пластинканинг ўртасида , яъни x = a
2 , y = b
2 бўлганда ҳ осил
б ў лади .
maxW 11= 16 qa4
π6D
1
(1+a2
b2)
2(1.3 .15 )
Агар пластинка квадрат, яъни
a
b=1 бўлса максимум эгилиш
maxW 11= 4qa4
π6D (1.3 .16 )
га тенг бўлган.
( 1.3. 1 6 ) чига цилиндрик қат т иқлик коэффициент ини ва Пуассон
коэффициентини қўйсак, куйидагига эга бўламиз:
maxW 11= 4qa4
π6Eh 312 (1−υ2)= 0.0455 qa4
Eh 3
Аниқ ечим
maxW 11=0.433 4qa4
EH 3 га тенг
Топилган қ ийматларни э г илиш моменти формуласига қў йиб ҳ оси л қиламиз.
M x= 16 qa2
π4
1+υa2
b2
(1+a2
b2)
2sin πx
a sin πy
b
M
y = 16 q a 2
π 4 a 2
b 2 + υ
(
1 + a 2
b 2 ) 2 sin πx
a sin πy
b
Қатордан қ анча к ў п ҳад олсак ечим шунча ани қ бўлади . Максимал эгил и ш
моменти пластинка ўртасига, яъни x = a
2 y = b
2 ҳ олатдагина пайдо б ў лади
ва
18

max M
x = 16 q a 2
π 4 1 + υ a 2
b 2(
1 + a 2
b 2 ) 2
maxM
y = 16 q a 2
π 4 a 2
b 2 + υ
(
1 + a 2
b 2 ) 2
Пластинка квадрат бўлган ҳ олатда эгилиш моменти қ уйидагича бўлади
max M x= maxM y= 4qa2
π4 (1+υ)=0.0535 qa2,
аниқ ечим
max M = .0479 q a 2
га тенг бўлади
19

II БОБ
Қовушқоқ эластик материалдан қилинган пластинка эгилишини
ҳисоблаш математик моделини тузиш
Ёпишқоқ эластик, яъни композит материалдан қилинган пластинкалар
қурилиш ва саноатни турли соҳаларида кенг фойдаланилади. Бу масалаларни
ечиш учун турли мураккаблигидаги интегро-дифференциал тенгламаларни
ечишни тақозо этади. Бу масалаларни ечиш учун энг унумли усул Даражали
қатор усули ҳисобланади.
Бу бобда тўғри бурчакли пластинка турли чегаравий шартларда бўлгандаҳам
юқоридаги усулни қўлланилиши қўйилган мақсадга тезроқ эришиш йўллари
мисоллар билан тадқиқ қилинган.
2.1. Қовушқоқ эластик материалдан қилинган тўғри бурчакли
пластинка эгилиши математик модели ва уни ечиш усуллари
Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган томонлари α и в
, ва
қалинлиги h бўлган тўғри бурчакли пластинкани тенг тарқалган q юклама
остида бўлган ҳолатдаги эгилиши дифференциал тенгламасини ечиш
усулларидан бирини кўрамиз . Қўйилган масалани эластик ҳолатдаги
тенгламасини қараймиз. Буерда зўриқиш функциясини ϕ
ва эгилиш
функциясини ŵ деб белгилаймиз [ 1]
:
∆4ϕ=− E(W xx−W yy−W xy2)
D
h ∆ 4
W = W
x x ϕ
y y + W
y y ϕ
x x − 2 W
x y ϕ
x y + q
h ( 2.1. 1)
Вольтерра шартига кўра E ва D -ни тегишли интеграл операторлар билан
алмаштириб
[ 5]
D = D ( 1 − R ¿
)
,
E= E(1− R¿) , D = D ( 1 − R ¿
)
, R¿w(x,t)=∫0
t
R(t,τ)∙w(y,τ)dτ
20

ва ўлчовсиз параметрларини киритиб : x=ax , y= by , w= hw ,

ϕ = E h 2
ϕ , λ = b
a , ν = 1 / 12 ( 1 − μ 2
)
,
q= fE (h
b)
4
қуйидагини ҳосил қиламиз
λ4ϕxxxx +2λ2ϕxxyy +ϕyyyy =− λ2(1− R¿)(w¿¿xx wyyw2xy)¿
υ
( 1 − R ¿ )
[ λ 4
w ¿ ¿ xxx + 2 λ 2
w
xxyy + w
yyyy ] = λ 2 [
w
xx ϕ
yy + w
yy ϕ
xx − 2 w
xy ϕ
xy ] + + f ( x , y , t ) ¿

(2.1.2)
(2 .1.2 ) системани Бубнова-Галеркина в а даражали қатор усули
уйғунлашувидан ҳосил бўлган усули
[ 1]
билан ечиб қуйидаги рекуррент
алгебраик тенгламалар системасига эга бўламиз.
¿
қуйидаги белгилашлар киритиб
f
1
( i)(
a
0 ( 1)
, a
0 ( 2)
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, b
0 ( 2)
, … , b
0 ( N))
=
∑
j = 1N (
A
j (i)
b
0( j)
+ B
j (i)
a
0( j))
+ ¿
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
a
0 ( e)
a
0( j)
¿
f
2
( i)(
a
0 ( 1)
, a
0 ( 2)
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, b
0 ( 2)
, … , b
0 ( N))
=
∑
j = 1N (
D
j (i)
a
0( j)
+ E
j ( i)
b
0( j))
+ ¿
∑
e , j = 1N
F
e , j (i)
a
0 ( e)
b
0( j)
− g
0 ( i)
¿
ҳосил қиламиз
{
f1(i)(a0(1),a0(2),… ,a0(N);b0(1),b0(2),… ,b0(N))=0
f2(i)(a0(1),a0(2),… ,a0(N);b0(1),b0(2),… ,b0(N))=0
(2.1.4)
К ваз и линеаризаци я усулига кўра
[3] ҳосил қиламиз.
∑
e , j = 1N
C
e , j
(i)
a
0 ( e)
a
0( j)
= 2
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
a
0 ( e)
a
n( j)
−
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
a
0 ( e)
a
0( j)
∑
e , j = 1N
F
e , j
(i)
a
0 ( e)
b
0( j)
= 2
∑
e , j = 1N
F
e , j (i)
a
0 ( e)
b
n( j)
−
∑
e , j = 1N
F
e , j (i)
a
0 ( e)
b
0( j)
( 2.1 .5 )
натижада чизиқли системани ҳосил қиламиз
21

∑
j = 1N(
A
j ( i)
b
n( j)
+ B
j (i)
a
n( j))
+ ¿ 2
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
a
0 ( e)
a
n( j)
=
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
a
0 ( e)
a
0( j)
¿
∑
j = 1N
(
D
j ( i)
a
0( j)
− E
j (i)
b
n( j))
+ ¿ 2
∑
e , j = 1N
F
e , j (i)
a
0 ( e)
b
n( j)
= ¿
∑
e , j = 1N
F
e , j (i)
a
0 ( e)
b
0( j)
( 2.1 .6 ) ¿
(7) системани ечиш учун ( 5 ) система чизиқли қисми ечимини оламиз
ва бу чизиқли система Гаусснинг номаълумларни кетма-кет юқотиш усули
орқали ечилади
[2] .
Агар
| a
0 ( i , n )
− a
0 ( i , n + 1 )|
≤ ε
, |b0(i,n)−b0(i,n+1)|≤ε
Шарт бажарилса ечим сифатида a
0
( i , n + 1 )
, b
0 ( i , n + 1 )
олинади. Тескари ҳолатда
бошланғич яқинлашиш сифатида a
0
( i , n + 1 )
, b
0 ( i , n + 1 )
олиниб итерация то берилган
аниқлик
ε -га эришгунча давом эттирилади.
2.2. Тенг тарқалган юклама остида бўлган ва контури шарнирли
боғланган пластинка эгилиши масаласини ечиш усули
Текис тарқалган юклама остида бўлган шарнирли боғланган пластинка
эгилишини ҳисоблаш оптимал алгоритмини келтирамиз.
Бошланғич маълумотлар сифатида қуйидаларни оламиз
[1] :
γ = 1 ; μ = 0,316 ; x = 0,0032 ; β = − 0,96 ; f = 100
Бу масала учун чегаравий шартлар қуйидагича ифодаланади.
x = 0,1 да w = w
xx = 0 ; ϕ
yy = ϕ
yy = 0
y= 0,1 да w=wyy=0;ϕxx=ϕxy=0

22

Расм 2.2.1
Шартларни қаноатлантирувчи координат функцияларни қуйидагича
қабул қиламиз [11 ]
W j(x,y)=W j1,j2(x,y)=sin j1πx sin j2πy ;
ϕ
j
( x , y ) = ϕ
j
1 , j
2 ( x , y ) = ( 1 − cos 2 j
1 πx ) ( 1 − cos 2 j
2 πy )
Релаксация ядроси сифатида Ю.Н.Работновнинг каср экспоненциал
функциясини оламиз
[7] :
R
( t , τ ) = χ ∋
α ( β , t − τ ) =
∑
k = 0∞
x β k (
t − τ ) rk + α
Г
[ r ( k + 1 ) ] ( 2.2 .3 )
буерда β < 0 , 0 < r < 1 + α < 1
Бу ҳолатда кўрилаётган масаланинг тенгламалар системаси қуйидагича
бўлади:
∑j=1
N
Aj(i)bo(j)+ ∑l,j=1
N
Cl,j(i)ao(l)ao(j)=0
∑j=1
N
D j(i)ao(j)− ∑l,j=1
N
Fl,j(i)ao(l)bo(j)= qo(i)}
(2.2 .4)
∑
j = 1N
A
j
(i)
b
k( j)
+
∑
l , j = 1N
C
l , j (i)(
a
k( l)
a
0( j)
+ a
o ( l)
a
k( j))
= ¿ ¿ =
∑
l , j = 1N
C
l , j (i)
[
∑
s = 1k (
∑
μ = 0s − 1
a
μ
( l)
a
s − μ − 1(j)
)
M
k − s −
∑
s = 1k − 1
a
s
( l)
a
k − s(j)
]
∑
j = 1N
D
j
(i)
a
k( j)
−
∑
l , j = 1N
F
l , j (i)(
a
k ( l)
b
o( j)
+ a
o ( l)
b
k( j))
= ¿ ¿ =
∑
j = 1N
D
j( i )
∑
s = 1k
a
s − 1( j )
M
k − s −
∑
l , j = 1N
F
l , j( i ) (
∑
s = 1k − 1
a
s( l )
b
k − s − 1( j ) )} ( 2.2 .5 )
Буерда:
Aj(i)=∬00
''
¿¿
23

Cl,j(i)= λ2∬00
''
(W jxxW lyy−W jxyW lxy)ϕi(x,y)dxdyD
j( i )
=
∬
00 ' '
( γ λ 4
¿ W
jxxxx + 2 λ 2
W
jxxyy + W
jyyyy ) W
i ( x , y ) dxdy ¿
Fl,j(i)= λ2∬00
''
W lxlϕjyy+W lyy ϕjxx− 2W lxyϕjxy¿W i(x,y)dxdy
(4) ва ( 5 ) тенгламалар системасини ечими қуйидаги жадвалда келтирамиз
( N = 2):
K
a
k( 1,1 )
a
k( 1,2 ) ak(2,2)
b
k( 1,1 )
b
k( 1,2 )
b
k( 2,2 )
0
1
3 0,2660
0,5884
0,1804 0,1541
0,6766
0,2068 0,2120
0,1419
0,4316 -0,7689
-0,6313
-0,2041 -0,1353
-0,1414
-0,4351 0,6283
0,4215
0,1306
Эгилиш моменти қуйидаги формула билан ҳисобланади:
M xb2
hD = M x=−∑i∑j(λ2∂2W i,j
∂x2 +γ∂2W ij
∂y2)+∑k=0
∞
(ak(i,j)−∑s=1
k
as−1(i,j)M k−s)trk
M
y b 2
hD = M
y = −
∑
i ∑
j
( ∂ 2
W
i , j
∂ y 2 + λ 2
γ ∂ 2
W
ij
∂ x 2 ) +
∑
k = 0∞ (
a
k( i , j )
−
∑
s = 1k
a
s − 1( i , j )
M
k − s ) t rk
Чизиқли ва чизиқли бўлмаган назарияси асосида 2.2.2 - 2.2.5. расмларда
эгилиш функцияси ва эгилиш моментнинг вақт бўйича ўзгариши келтирган.

24

Расм. 2.2. 2

Расм.2.2. 3
2.2.4. расмда пластинка ўрта текислигида эгилиш функцияси ва эгилиш
моментнинг ўзгариши келтирган

Расм.2.2.4
25

2.2.5 . расмда эгилиш функциясининг пластинка ўртасида чизиқли ва чизиқли
бўлмаган назарияси бўйича юклама параметрига боғлиқ бўлган холдаги
ўзгариши келтирган.

Расм.2.2. 5
2.3. Контури мустаҳкам ва аралаш боғланган тўғри бурчакли пластинка
эгилишини ҳисоблаш алгоритми
Ўтган параграфдаги Қовушқоқ эластик материалдан қилинган
томонлари α ва b
ва қалинлиги h
ва тенг тарқалган юклама остида бўлган
тўғри бурчакли пластинка эгилишини 2 та ҳолатга, яъни мустаҳкам ва
аралаш боғланишда бўлган ҳолатлардаги ҳисоблаш алгоритмини келтирамиз.
Қўйилган масаланинг эластик ҳолатидаги тенгламаси
[ 12 ]
∆ 4
ϕ = − E
( W
xx − W
yy − W
xy2 ) D
h ∆ 4
W = W
xx φ
yy + W
yy − φ
xx − 2 W
xy φ
xy + q
h
D
h ∆ 4
W = W
xx ϕ
yy + W
yy ϕ
22 − 2 W
xy ϕ
xy + q
h ;
(2.3.1)
26

Вольтерра принципига кўра E ва D интеграл операторлар билан
алмаштириб қуйидаги тенгламага эга бўламиз
[6] .
λ4ϕxxxx +2λ2ϕxxyy +ϕyyyy = λ2(1−Ѵ 2)(W xxW yy−W xy2)
(2.3.2)
Ѵ
( 1 − R ¿ )(
λ 4
W
xxxx + 2 λ 2
W
xxyy + W
yyyy ) = λ 2 (
W
xx ϕ
yy + W
yy ϕ
xx − − 2 W
xy ϕ
xy ) + f ¿
Худди §2-параграфидаги усулни қўллаб реккурент алгебраик
тенгламалар системасига эга бўламиз.
Ҳосил бўлган системани 1-чи навбатда пластинка томонлари
мустаҳкамланган ҳолатдаги эгилишини кўрамиз.

Расм 2.3.1.
Бу ҳолатда чегаравий шартлар қуйидагича бўлади.
x=0,1
да ϕ
yy = W = 0 , ∂ w
∂ x = ∂ 2
ϕ
∂ x ∂ y = 0
y = 0,1
да
ϕxx=W = 0,∂w
∂y= ∂2ϕ
∂x∂y=0 (2.3.3)
(2.3.3) чегаравий шартларни қаноатлантирадиган координат функциялар
қуйидаги кўринишда бўлади.
(2.3.4)
{
W j(x,y)=W j1,j2(x,y)=(1−cos 2j1πx )x(1−cos 2j2πy )
ϕj(x,y)=ϕj1,j2(x,y)=(1−cos 2j1πx )x(1− cos 2j2πy )
27

Ҳисоблашда бошланғич шартлар қуйидагича олинди: λ¿1;μ= 0,316 ;
xa=0,0032 ;β=− 0,56 ;f=50
.
Ана шу шартларда
{
∑
j = 1N
A
j
(i)
b
o( j )
+
∑
e , j = 1N
C
e , j( i )
α
o( e )
α
o( j )
= 0
∑
j = 1N
D
j( i )
α
o( j )
−
∑
e , j = 1N
F
e , j
(i)
α
o ( e)
b
o( j)
= q
o( i ) ( 2.3 .5 )
∑
j = 1N
A
j
(i)
b
k( j)
+
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)(
a
k( e)
α
o( j)
+ a
o ( e)
a
k( j))
= ¿
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
[
∑
s = 1k (
∑
μ = 0s − 1
a
μ( e )
a
s − μ − 1( j ) )
M
k − s −
∑
s = 1k − s
a
s( e )
a
k − s( j ) ]
( 2.3 .6 ) ¿
∑
j = 1N
D
j( i )
a
k( j )
−
∑
e , j = 1N
F
e , j( j )
(
a
k( e )
b
o( j )
+ a
o( e )
b
k( j ) )
=
∑
j = 1N
D
j( i )
∑
s = 1k
a
s − 1( j )
M
k − s −
∑
e , j = 1N
F
e , j( i ) (
∑
s − 1k − 1
a
s( e )
b
k − s − 1( j ) )
Релаксация ядроси сифатида Ю.Н.Работновнинг каср-экспотенциал
функциясини
[13 ] олсак қўйилган масалани тавсиф этувчи тенгламалар
системаси (2.3.5) ва (2.3.6) кўринишни олади. (2.3.5) ва (2.3.6) системаларни
ечими қуйидаги таблицада келтирилган.
Жадвал 1
k
a
k( 1,1 ) ak(1,2)=ak(2,1) ak(2,2)
b
k( 1,1 )
b
k( 1,2 )
= b
k( 2,1 )
b
k( 2,2 )
0 0,26609418 0,15416439 0,021207727 -0,0768930 -0,00135318 0,000
628305
1 0,00588 0,000676 0,0001419 -0,00000636 -0,00000
141496 0,000000
421578
2 0,00436 0,000544 0,0001318 -
0,000000414 -0,00000
1316 0,000000
41423
28

Расм 2.3.2
2.3.2 расмда пластинка эгилишини чизиқли ва чизиқлимас назарияси бўйича
W эгилиш функциясидан ўзгариши келтирилган. Худди шундай эгилиш
моментини чизиқли ва чизиқлимас назарияси бўйича ўзгаришни келтириш
мумкин.
Бундан ташқари эгилиш ва эгилиш моментини вақт бўйича ўзгаришини
пластинка ўрта текислигидаҳам ҳисоблаш мумкин ва график ҳолатда
тасвирлаш имконияти бор.
29

III БОБ
Қовушқоқ эластик материалдан қилган пластинка эгилишидан ҳосил
бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини оптимал ечиш
математик модели
Ҳозирги замон тараққиёти қўйган масалаларни ечиш учун биз билган
усуллар яхши натижа бермаслигини таъкидлаш керак. Айниқса композит
материалларни ишлатилиши масалани яна мураккаблаштиради. Қўйилган
мураккаб масалаларни ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламани
ёки тенгламалар системасини ечиш ва унинг дастлабки яқинлашишини
аниқлаш муаммо бўлиб келмоқда. 3 боб ана шундай муаммони имкон
даражада енгиллаштиришга қаратилган.
3.1. Чизиқли бўлмаган алгебраик тенгламаларни ечиш муаммолари ва
уни ечиш учун тавсиялар
Фараз қиламиз n - та x1,x2,… ,xn номаълумли тенгламалар системаси
берилган бўлсин
f
1
( x
1 , x
2 , … , x
n ) = 0
f
2
( x
1 , x
2 , … , x
n ) = 0
… … … … … … … … … .
f
n
( x
1 , x
2 , … , x
n ) = 0 } 3.1.1
(3.1.1)-ни қисқароқ ёзиш учун қуйидаги белгилашлар киритамиз
x =
( x
1 , x
2 , … , x
n ) ; f ( x ) = ( f
1 ( x
1 , x
2 , … x
n ) , … , f
n , x
1 , x
2 … , f
n )
Шундан кейин (3.1.1) системасини қуйидаги векторли кўринишда ёзасиз
f
( x ) = 0
Ньютон методининг асосий ғояси (3.1.1) чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасини кетма-кет чизиқли тенгламалар системасига келтиргандан
30

иборатдир. Агар аниқ ечим билан тақрибий ечим орасидаги фарқ етарлича
кичик бўлса ажратиб олинган чизиқли қисм бош қисм бўлади.
Фараз қилайлик, (3.1.1) системанинг тақрибий ечими x(0)=(x1(0),x2(0),… ,xn(0))
маълум бўлсин, ϵ
орқали £ − x
0 =
( £
1 − x
1 ( 0)
, £
2 − x
2 ( 0)
, … , £
n − x
n ( 0))
− ¿
вектор хатони
белгилаймиз. (3.1.1) системада
x(0)+ϵ ни қўйиб, ҳосил бўлган системанинг чап
томонини ∈
1 ,
∈
2 , … , ∈
n ларнинг даражаларига нисбатан Тейлор қаторида ёйиб,
∈
1 ,
∈
2 , … , ∈
n ларга нисбатан чизиқли қисмини сақлаб, қуйидаги тақрибий
системага эга бўламиз.
∂ f1(x(o))
∂x1
ε1+… +∂f1(x(o))
∂xn
εn≈− f1(x(o))
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−¿∂ fn(x(o))
∂x1
ε1+… +∂ fn(x(o))
∂xn
εn≈− fn(x(o))}
(3.1 .2)
(3.1.2) системани ечиб, хатонинг тақрибий қиймати ε ( o )
=
( ε
1( o )
, ε
2( o )
, … , ε
n( o ) )
ни
топамиз.
Ē(o) ни x(0) га қўшиб, навбатдаги яқинлашишни векторини ҳосил
қиламиз:
x ( 1 )
= x ( 0 )
+ Ē ( o )
=
( x
1( 0 )
+ ε
1( 0 )
, x
2( 0 )
+ ε
2( 0 )
, … , x
n ( 0)
+ ε
n( 0 ) )
Ўз навбатида
x(1) ни қийматини текислашимиз мумкин, бунинг учун x(0) ни
ўрнига
x(1) ни қўйиб (3.1.2) кўринишдаги системани тузиш керак.
Шундай қилиб, агар (3.1.2) кўринишдаги системалар ечимга эга бўлса,
биз кетма-кет яқинлашишлар векторини топамиз:
Қулайлик учун Якоби матрицасини киритамиз:
f
x( x )
=
( ∂ f
1
( x)
∂ x
1 − ∂ f
1 ( x
1 )
∂ x
2 , … , ∂ f (
x)
∂ x
n
− − − − − − − − − − − − − ¿ ∂ f
n( x )
∂ x
1 ∂ f
n ( x )
∂ x
2 … ∂ f
( x )
∂ x
n
) ( 3.1 .3 )
31

Ёйиб, ε1,ε2,… ,εn ларга нисбатан чизиқли қисмини сақлаб, қуйидаги тақрибий
системага эга бўламиз:
∂ f1(x(o))
∂x1
ε1+∂ f1(x(o))
∂x2
ε2+… +∂ f1(x(o))
∂xn
εn=− f1(x(o))
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ¿∂ fn(x(o))
∂x1
ε1+… +∂ fn(x(o))
∂xn
εn=− fn(x(o))}
(3.1 .4)
(3.1.4) системани ечиб, хатонинг тақрибий қийматини ε ( o )
=
( ε
1( o )
, £
2( o )
, … , ε
n( o ) )
ни топамиз.
ε(o) ни x(o) га қўшиб навбатдаги яқинлашиш векторини топамиз.
x ( 1 )
= x ( o )
+ ε ( o )
=
( x
1( o )
+ ε
1( o )
, x
2( o )
+ ε
2( o )
, … , x
n ( o)
+ ε
n( o ) )
Ўз навбатида
x ( 1 )
-ни яқинлаштиришимиз мумкин, бунинг учун
x ( o )
ни
ўрнига
x(1) ни қўйиб, (3.1.4) кўринишидаги системани тузиш керак.
Қулайлик учун Якоби матрицасини киритамиз.
fx(x)=
(
∂f1(x)
∂x1
… ∂ f1(x)
∂xn
−−−−−−−−¿∂ fn(x)
∂x1
… ∂ fn(x)
∂xn
)
(3.1 .5)
(3.1.5) матрица ёрдамида (3.1.4) системани қуйидаги битта вектор система
шаклида ёзишимиз мумкин.
f
x
( x ( o))
E ( o )
= − f ( x( o))
( 3.1 .6 )
Фараз қиламиз, x = ξ
нуқтада
fx(ξ) матрица махсусмас матрица бўлсин.
Детерминант ўз элементларининг узлуксиз функцияси бўлганлиги учун
x=ξ
нуқтанинг бирор G
атрофида (3.1.4) махсусмас матрица бўлиб, унинг
тескариси f
x− 1
(
x )
мавжуд бўлади.
Шунинг учун (1.6) ни ҳар иккала томонини
fx−1(xo) га кўпайтириб.
32

E( o)
= f
x− 1 (
x( o))
f ( x ( o))
ёки
x ( 1 )
− x
( o)
= − f
x− 1 (
x ( o ) )
f ( x ( o ) )
ҳосил қиламиз.
Жараённи давом эттириб Ньютон формуласини ҳосил қиламиз.
x ( k + 1 )
= x ( k )
− f
x− 1
(
x ( k))
f ( x ( k))
( 3.1 .7 )
Бу
x ( k )
кетма-кет яқинлашишларни топиш учун Ньютон қоидасидир. Бу
қоиданинг амалга ошиши учун
x(k) лар f ( x )
нинг аниқланиш соҳасида ётиши
ва
fx(x(k)) матрицалар махсусмас бўлиши керак.
3.2. Чизиқли бўлмаган 1-та тенгламани ечиш учун Вегстейн усули
алгоритми ва унинг сонли яқинлашиши
Итерация методининг яқинлашиши ёки узоқлашиши
ξ илдизнинг
кичик атрофида
φ'(x) ҳосиланинг қийматига боғлиқ.
Вегстейн 1458-йилда итерация методини шундай ўзгартиришни танлаш
таклиф қилган эдики, буни қўллаганда
φ'(x) нинг қиймати ҳар қандай
бўлганда ҳам итерация жараёни яқинлашади.
Агар
| φ '
( x ) | < 1
шарт бажарилса, у вақтда оддий итерация жараёнида
нисбатан Вегстейн жараёни тезроқ яқинлашади.
Вегстейн усули
x = φ ( x )
( 3. 2.1) дан топилган x
n + 1 ни
zn+1qzn+(1− q)xn+1
( 3. 2.2)
Формула ёрдамида z
n + 1 билан алмаштиришдан иборат. q − ¿
керакли
равишда танлаб олинган миқдор.
33

Фараз қилайлик xn+1 (1)дан z
n орқали топилган бўлсин яъни xn+1=φ(zn) у вақтда
A
ва B
нуқталарнинг координаталари мос равишда
(zn,φ(zn)) ва ( x
n + 1 , φ ( x
n + 1 ) )
бўлади.
Бундай ҳолда
zn+1 учун энг қулай қиймат M нуқтанинг абсиcсасидир.
Уни топиш учун
AB кесма устида C (zn+1,xn+1) нуқтани оламиз.
Энди (3.2.2) нинг ҳар иккала томонида
−qzn−(1− q)zn+1 ни қўшиб
q(zn− zn+1)=(1− q)(zn+1− xn+1)(3.2 .3)
ни ҳосил қиламиз.
Расм 3.2.1
Чизмадан фойдаланиб (3.2.4) ни
qAC = ( 1 − q ) BC
(3.2.4)
кўринишида ёзишимиз ва
BC = MC =− AC ∙φ'(~xn),(φ'(xn)<0)(3.2 .5)
тенгламанинг ўринли эканлигини кўришимиз мумкин, бу ерда
x
n + 1 <
~ x
n < z
n
34

Q-нинг тақрибий қийматини топиш учун φ'(~xn) ни тақрибий равишда
қуйидагича алмаштирамиз:
φ '
(~ x
n)
= φ ( z
n ) − φ ( z
n − 1 )
z
n − z
n − 1 = z
n + 1 − x
n
z
n − z
n − 1 ( 3.2 .6 )
(3.2.4) ва (3.2.6) лардан
q
q − 1 = BC
AC = − φ '
(~ x
n)
= − x
n + 1 − x
n
z
n − z
n − 1
ни ҳосил қиламиз ва q
нинг тақрибий қийматини топамиз:
q = x
n + 1 − x
n
x
n + 1 − x
n + z
n − 1 − z
n ( 3.2 .7 )
(3.2.7) ва (3.2.2) формулалардан кўринадики,
z
n + 1 = x
n + 1 −
( x
n + 1 − x
n )( x
n + 1 − z
n )
x
n + 1 − z
n + z
n − 1 − x
n ( 3.2 .8 )
Бу формула
xn+1 ўрнига ишлатиладиган zn+1 қийматини беради.
Вегстейн усулини амалда қўллаш учун илдизнинг нолинчи
яқинлашиши
x0 -га бир марта оддий итерацияни қўллаш керак. 1-қадамдан
сўнг
xn+1 –ни топиш учун (3.2.1) формулани xn+1=φ(zn) кўринишда қўллаймиз.
Мисол: Ушбу
f
( x ) = x 3
+ x − 1000 = 0
тенгламанинг ечимини
10 −10 берилган аниқликда ҳисобланг.
Нолинчи яқинлашиш сифатида
x0=10 олишимиз мумкин.
(3.2.1) Тенгламани қуйидагича алмаштириш мумкин.
x=1000 − x3
φ(x)=100 − x3,φ'(x)=−3x3,φ'(10 )=−300 ;
Бу ҳолатда итерация усулидан фойдаланиб бўлмайди ва Вегстейн усули жуда
қўл келади.
35

nXn+1= φ(Zn) Z
n
0 10 10
1 0 0
2 1000 9.9
3 29.7 10.1
4 -30.3010 9.9658
5 10.2310 9.966655
6 3.97016 9.966655
7 9.966666 9.966666790
8 9.9666667906 9.9666667906
9 9.9666667906 9.9666667906
3.3. Чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш учун Вегстейн
усули
Усулнинг яқинлашиши ёки узоқлашиши илдиз ҳосиласига боғлиқ
φ'(x) .
1958 йилда Ж.Х.Вегстейн итерация усулига ўзгартириш киритишни таклиф
қилди. φ ' ( x )
ҳосилага боғлиқ бўлмаган ҳолда усул яқинлашиши кўрсатилган.
Агар
[φ'(x)]<1 бўлса, Вегстейн усули итерация усулига нисбатан тезроқ
яқинлашади. Топилган тенглама кўриниши x
n + 1
.
∑
j = 1N
(
A
j ( i)
b
o( j)
+ B
j (i)
α
o( j))
+
∑
e , j = 1N
C
e , j (i)
α
o ( e)
a
o( j)
= 0
∑
j = 1N
(
D
j( o )
α
o( j )
− E
j( i )
b
o( j ) )
+
∑
e , j = 1N
F
e , j( i )
α
o( e )
b
o( j )
= g
o( i ) } ( 3.3 .1 )
Дастлабки яқинлашиш яхши бўлган система олдинги параграфларда
кўрсатилган Ньютон, Итерация усуллари билан ечилиши мумкин.
36

Аммо дастлабки яқинлашишни танлаш (3.3.1) система учун жуда
мураккаб бўлиши мумкин. a
0( i , 0 )
, b
0( i , 0 )
.
Дастлабки яқинлашишнинг қулай усуллари берилиши мумкин эмас,
албатта баъзи бир ҳолларда Вегстейн усули билан (3.1) системани
осонлашиши мумкин (3.3.1) системани қуйидаги кўринишда ёзсак:
f
1( b)[
a
0( 1)
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, … , b
0 ( N)]
=
∑
j = 1N (
A
j (i)
b
0( j)
+ B
j (i)
a
0( i))
+
∑
e , j = 1N
c
e , j (i)
a
0 ( e)
a
0( j)
f
2( b )
[
a
0( 1 )
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, … , b
0( N ) ]
=
∑
j = 1N (
D
j( i )
a
0( j )
+ E
j( i )
b
0( i ) )
+
∑
e , j = 1N
F
e , j( i )
a
0( e )
b
0( j )
− g
0( i ) }
( 3. 3.2) система қуйидаги кўринишда ёзамиз.
f
1
( i)[
a
0( 1)
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, … , b
0 ( N)]
= 0
f
2
( i)[
a
0( 1 )
, … , a
0 ( N)
; b
0 ( 1)
, … , b
0( N ) ]
= 0 } ( 3.3 .3 )
I=1,2,…,N
(3.3.3) системанинг ечими
c
e , j( i )
= F
e , j( i )
= 0
a
0( i , 0 )
, b
0( i , 0 )
ёзсак:
Қуйидагини
a
0( i , 0 )
= a
0( i , 0 )
, b
0( i , 0 )
= b
0( i , 0 )
ҳисобласак:
a
0
( i , 1 )
= a
0 ( i , 1 )
= a
0 ( i , 0 )
+ Q f
1 ( i)[
a
0( i , 0 )
+ a ( i , 0 )
; b
0 ( i , 0 )
+ … + b ( i , 0 )]
b
0( i , 1 )
= b
0( i , 1 )
= b
0( i , 0 )
+ Q f
2( 1 )
[
a
0( i , 0 )
, … , a ( i , 0 )
; b
0 ( i , 0 )
+ … + b ( i , 0 ) ]}
Q -танланган const .
Итерация жараёнини кўрамиз:
a
0
( i , n + 1 )
= a
0 ( i , n )
+ Q f
1 ( i)[
a
0( 1 , n )
, … a ( N , n )
; b
0 ( 1 , n )
, … , b ( N , n )]
a
0( i , n + 1 )
= a
0( i , n + 1 )
−
[ a
0( i , n + 1 )
− a
0( i , n ) ][
a
0( i , n + 1 )
− a
0( i , n ) ]
a
0( i , n + 1 )
− a
0
( i , n )
− a
0i , n
+ a
0( i , n − 1 )
37

b
0( i , n + 1 )
= b
0 ( i , n )
+ Q f
2 ( 1)[
a
0( 1 , n )
, … a ( N , n )
; b
0 ( 1 , n )
, … , b ( N , n )]
( 3.3 .4 )
b
0( i , n + 1 )
= b
0( i , n + 1 )
−
[ b
0( i , n + 1 )
− b
0 ( i , n )]|
b
0 ( i , n + 1 )
− b
0 ( i , n )|
[
b
0( i , n + 1 )
− a
0 ( i , n )
− a
0i , n
+ a
0 ( i , n − 1 )] ( 3.3 .5 )
ҳисоблаймиз:
|a0(i,n)−a0(i,n+1)||a0(i,n)|,|b0(i,n)− b0(i,n+1)||b0(i,n)|(3.3 .6)
i=1,2,…N, n=1,2,…
Агар (3.3.6) миқдор ε
дан кичик бўлса, у ҳолда жараён тўхтатилади ва (3.3.6)
ечими соҳасида
a
0( i , n + 1 )
, b
0( i , n + 1 )
,
( i = 1 , N )
қабул қилинади, акс ҳолда жараён такрорланади.
38

Хулоса
Магистрлик диссертациясида ҳозирги замон ишлаб чиқаришда кенг
қўлланилаётган композит материаллардан қилинган маҳсулотлар тўғрисида
тадқиқот олиб борилади. Хусусан қурилишда ишлатилаётган композит
материалдан қилинган пластинкалар тўғрисида изланишлар олиб борилади.
Бундан ташқари Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган тўғри
бурчакли пластинкани ҳар хил боғланишда ва тенг тарқалган юклама остида
бўлган ҳолатлари ўрганилади.
Диссертация кириш қисми, асосий вазифалар, тадқиқот усуллари ва
уни солиштириш усуллари, адабиётлар таҳлили ва амалий аҳамияти
келтирган. Энг муҳим масалалардан чизиқли бўлмаган тенгламалар
системасини оптимал ечиш усуллари келтирилган. Илмий тадқиқот иши 3
боб, 9 параграф, хулоса, дастурлар ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан
иборат.
I - бобда эластик тўғри бурчакли пластинка эгилиши дифференциал
тенгламаси чиқарилади. I-бобнинг 1-чи параграфида тўғри бурчакли
пластинка ўрта текислигининг эгилиши дифференциал тенгламаси, яъне
Софе-Жермен тенгламаси чиқарилади.
I - бобнинг 2-чи параграфида 1-чи параграфда чиқарилган пластинка
ўрта юзаси дифференциал тенгламани Бубнова-Галеркина усули билан турли
чегаравий шартларда ечилган.
I-бобнинг 3-чи параграфида қўйилган масала Ритц-Тимошенко усули
билан ечилган ва олинган натижалар таққосланиб тегишли хулосалар
чиқарилган. Юқорида келтирилган масалалар Самуль рисоласида рус тилида
баён этилган.
II –бобда I-бобда ишлаб чиқилган масала, яъни эластик материал
ўрнига Қовушқоқ материалдан қилинган пластинка эгилиши қаралади. II –
бобнинг 1-чи параграфида Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган тўғри
бурчакли пластинка эгилиши. Кентегро дифференциал тенгламани янги
39

усули яъни Бубнова-Галеркина усулининг даражали қатор билан
уйғунлашувидан ҳосил бўлган усул билан ечиш алгоритми келтирилган.
II –бобнинг 2-чи параграфида Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган
тўғри бурчакли пластинкани шарнирли боғланишда бўлган ҳолатга қамраб
олувчи амалий масала ечилади ва сонли натижалар олинади. Пластинкани
бошланғич шартларда эгилиши, эгилиш моменти ҳисобланади ва вақт бўйича
ўзгаришини ҳисобга оладиган диаграммалари келтирилади.
II –бобнинг 3-чи параграфида Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган
тўғри бурчакли пластинкани мустаҳкам боғланишда бўлган ҳолати тадқиқ
қилинади. Бу ҳолатдаҳам пластинка эгилиши, эгилиш моменти ва уларнинг
вақт бўйича ўзгартириш келтирилади.
II –бобда келтирилган усул топилган янги усул бўлиб бу усулни 1-
чилардан бўлиб проф.Ф.Бадалов ва унинг шогирди доц.С.Амридинов
томонидан илмий изланишларда қўлланилган ва бу усулнинг назарий ва
амалий яқинлашишини қатор мисоллар билан таҳлил қилинган.
III-бобда 2-чи бобда чиқарилган, яъни Қовушқоқ материалдан қилинган
пластинка эгилиши интегро-дифференциал тенгламани ечишдан ҳосил
бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш оптимал
усулларини яратиш муаммолари қаралади.
III-бобнинг 1-чи параграфида чизиқли бўлмаган тенгламани ва
системасини ечиш муаммолари таҳлил қилинади. III-бобнинг 2-чи
параграфида чизиқли бўлмаган 1-та тенглама ечиш оптимал Вегстейн усули
баён этилади. Бу усул амалиётда жуда кам ишлатилади. III-бобнинг 3-чи
параграфида Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган пластинка эгилиши
интегро-дифференциал тенгламасини ечилишидан ҳосил бўлган чизиқли
тенгламалар системасини ечиш оптимал усулининг алгоритми келтирилади
ва мисоллар билан таҳлил қилинади.
Магистрлик диссертациясида қўйилган масалалар ечиш жараёнида
ҳосил бўлган чизиқли тенгламалар системасини ечиш, интегралларни
40

тақрибий ечиш усуллари, чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш
усулларини ўрганиш ва мисоллар ечишга тўғри келди.
Юқорида келтирилган усулларга оптимал алгоритм, дастурлар
магистрлик диссертацияси иловасига келтирилган.
Илмий-тадқиқот усулларидан ҳосил бўлган натижалар 2 та илмий
мақолада чоп этилган ва 3-чи илмий мақола тайёрланиб нашрга берилган.
41

Дастурлар
3 unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, Buttons, ExtCtrls, OleCtnrs;
type
TForm1 = class(TForm)
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Edit1: TEdit;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
RadioGroup1: TRadioGroup;
BitBtn1: TBitBtn;
BitBtn2: TBitBtn;
BitBtn3: TBitBtn;
Memo1: TMemo;
OleContainer1: TOleContainer;
procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);
procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);
42

private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
var min,h,a,b:Extended;
i,n:integer;
y,x:array[1..10]of real;
F41,F2,F4,x5,x8,a1,b1,x1,x3:real;
k:integer;
x2,x4,a11,b11,Fb:array[0..100]of real;
x9,x21,x31,x41:real;
f11,f411,z11,y11,a111,b111,c11:array[1..10]of real;
implementation
{$R *.dfm}
Function F(x:real):real;
begin

F:=exp(x)-(1/3)*x*x*x+2*x;
43

end;
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
begin
a:=StrTofloat(edit1.Text);
b:=StrTofloat(edit2.Text);
n:=StrToInt(edit3.Text);
case RadioGroup1.ItemIndex of
0: begin
h:=(b-a)/n;
i:=1;
x[i]:=a;
while i<=n do
begin
Y[i]:=F(x[i]);
inc(i);
x[i]:=a+i*h;
end;
min:=Y[1];
for i:=1 to n do
if min>y[i] then
min:=y[i];
memo1.Lines.Add('Tanlash metodi:');
44

memo1.Lines.Add('Funksiyaning eng kichik qiymati F(x) -> min = '+
floatToStrf(min,ffgeneral,6,4));
memo1.Lines.Add(' ');
end;
1: begin
a1:=a;
b1:=b;
k:=1;
a11[k]:=a1; b11[k]:=b1;
while k<=n do
begin
x2[k]:=a11[k]+(b11[k]-a11[k])*0.382;
x4[k]:=a11[k]+(b11[k]-a11[k])*0.618;
if F(x2[k])<=F(x4[k]) then
begin
a11[k+1]:=a11[k];
b11[k+1]:=x4[k];
x4[k]:=x2[k];
end
else
begin
a11[k+1]:=x2[k];
45

b11[k+1]:=b11[k];
x2[k+1]:=x4[k];
end;
inc(k);
end;
memo1.Lines.Add('Oltin kesim usuli:');
if F(x2[10])<=F(x4[10]) then
memo1.Lines.Add('Funksiyaning eng kichik qiymati F(x) -> min =
'+FloatToStrf(F(x4[10]),ffgeneral,6,4))
else
memo1.Lines.Add('Funksiyaning eng kichik qiymati F(x) -> min =
'+FloatToStrf(F(x4[10]),ffgeneral,6,4));
memo1.Lines.Add(' ');
end;
2:begin
Fb[0]:=1;
Fb[1]:=1;
For i:=2 to n do
Fb[i]:=Fb[i-1]+Fb[i-2];
x1:=a; x31:=b;
x21:=a+(b-a)*Fb[n-1]/Fb[n];
x9:=x21;
46

F2:=F(x9);
k:=1;
while k<n do
begin
x41:=x1-x21+x31;
x9:=x41;
F41:=F(x9);
if x41<x21 then
if F41<F2 then
begin
x31:=x21;
x21:=x41;
F2:=F41;
end
else
begin
x1:=x41;
end;
if x41>x21 then
if F41<F2 then
begin
x1:=x21;
47

x21:=x41;
F2:=F41;
End else
begin
x31:=x41;
end;
inc(k);
end;
memo1.Lines.Add('Fibonachi metodi: ');
memo1.Lines.Add('Funksiyaning eng kichik qiymati F(x) -> min = '
+FloatToStrf(F2,ffGeneral,6,4));
memo1.Lines.Add(' ');
end;
3:begin
i:=1;
a11[i]:=a;
b11[i]:=b;
c11[i]:=(a+b)/2;
f11[i]:=F(c11[i]);
while i<=n do
begin
Y11[i]:=(a111[i]+c11[i])/2;
48

f411[i]:=F(y11[i]);
if f411[i]<=f11[i] then
begin
a111[i+1]:=y11[i];
b111[i+1]:=c11[i];
c11[i+1]:=y11[i];
end;
if F(y11[i])>F(c11[i]) then
z11[i]:=(c11[i]+b111[i])/2;
if F(c11[i])<=F(z11[i]) then
begin
a111[i+1]:=y11[i];
b111[i+1]:=z11[i];
c11[i+1]:=c11[i];
end else
begin
a111[i+1]:=c11[i];
b111[i+1]:=b111[i];
c11[i+1]:=z11[i];
end;
inc(i);
end;
49

memo1.Lines.Add('Dixatomiya metodi: ');
memo1.Lines.Add('Funksiyaning eng kichik qiymati F(x) -> min = '
+FloatToStrf(F(y11[n]),ffGeneral,6,4));
memo1.Lines.Add(' ');
end;
end;
end;
procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);
begin
edit1.Clear;
edit2.Clear;
edit3.Clear;
memo1.Clear;
end;
end.
50

Olingan natijalar:Masalani ikkiga bo`lish, iteratsiya, Nyuton usullari bilan yechishning dasturi:
CLS -
a = 2: b = 3: E = .0001
DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8
F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)
IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "UTOChNIT KORNI": END
GOSUB 1
x0 = a
51

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "NE
SXODITSYa"
DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35
GOSUB 2
x0 = b
F = FNZ(x0)
DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _
IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x *
SQR(x))) < then print “ne sxoditsya”:end
GOSUB 3
END
'=========Ikkiga bo’lish usuli========
1 x = (a + b) / 2: T = T + 1
F3 = FNZ(x)
IF ABS(F3) < E THEN 5
IF F1 * F3 < 0 THEN b = x ELSE a = x
IF ABS(b - a) > E THEN 1 -
5 PRINT "X="; x, "T="; T
RETURN
'=========Iterattsiya usuli==========
2 x0 = a
12 X2 = FNF(x0): S = S + 1
IF ABS(X2 - x0) > E THEN x0 = X2: GOTO 12
PRINT "X="; X2, "S="; S
RETURN
'========Urinmalar usuli=======
3 x0 = b
23 D = D + 1
F = FNZ(x0): F1 = FND(x0)
X3 = x0 - F / F1
52

IF ABS(X3 - x0) < E THEN 100
IF ABS(F) > E THEN x0 = X3: GOTO 23
100 PRINT "X="; X3, "D="; D
RETURN
Natija:
x= 2,29834 T=11
x=2,29566 S=2
x=2,29754 D=2
bu yerda T, S, D – ikkiga bo`lish, iteratsiya, urinma usullarining mos iteratsiyalari
soni.

Masalani yechishning Maple dasturi
> restart:
d[0]:=1:d[1]:=2:d[2]:=tau:d[3]:=5:d[4]:=nu:d[5]:=a:
> n :=5:
for i from 1 to n do
for j from 1 to n do
c:=2*j-i:
if(c<0) or(c>(2*n)) or (c>n) then m[i,j]:=0 else
m[i,j]:=d[c] end if:
od:
od:
> gurm:=Matrix(m,1..n,1..n);
53

:= gurm 










 










2 5 a 0 0
1   0 0
0 2 5 a 0
0 1   0
0 0 2 5 a
> #with(LinearAlgebra):
with(linalg):
> vv:=tau: ss:=nu:
tau1:=0:tauh:=0.2:taun:=1:
nu1:=1:nuh:=0.5:nun:=3:
tc1:=round((taun-tau1)/tauh)+1;
tc2:=round((nun-nu1)/nuh)+1;
HT:=0:
for i from 5 by -1 to 0 do
HT:=HT+d[5-i]*p^i;
od: := tc1 6
:= tc2 5
> rez[tc1+1,1]:=x:
for a from 1 to 4 do
print("absissa-",ss,"ordinata-",vv);
ts1:=0:
for tau from 0 by 0.2 to 1 do
ts1:=ts1+1:ts2:=0:
rez[ts1,1]:=1-tau:
for nu from 1 by 0.5 to 3 do
ts2:=ts2+1:s:=0:
rez[ts1+1,ts2+1]:=nu-1:
for i from 1 to n do
mr[i]:=submatrix(gurm,1..i,1..i):
54

od:
for i from 1 to n do
mr[i]:=det(mr[i]):
#print(mr[i]);
od:
for i from 1 to n do
if (mr[i]<0) then s:=s+1; end if;
od:
if (s=0) then rez[ts1,ts2+1]:="+" else rez[ts1,ts2+1]:="-" end if;
od:
od:
print("a=",a);
Matrix(rez,1..ts1+1,1..ts2+1):
plot(HT,p=0..Pi);
od;, , , "àáöèññà-" 3.5 "îðäèíàòà-" 1.2
:= ts1 0
, "a=" 1
















 















1 "-" "-" "-" "-" "-"
0.8 "-" "-" "-" "-" "-"
0.6 "-" "-" "-" "-" "-"
0.4 "-" "-" "-" "-" "-"
0.2 "-" "-" "-" "-" "-"
0. "-" "-" "-" "-" "-"
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
55

, , , "àáöèññà-" 3.5 "îðäèíàòà-" 1.2
:= ts1 0
, "a=" 2















 















1 "-" "-" "-" "-" "-"
0.8 "-" "-" "-" "-" "-"
0.6 "-" "-" "-" "-" "-"
0.4 "-" "-" "-" "-" "-"
0.2 "-" "-" "-" "-" "-"
0. "-" "-" "-" "-" "-"
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
, , , "àáöèññà-" 3.5 "îðäèíàòà-" 1.2
56

:= ts1 0
, "a=" 3















 















1 "-" "-" "-" "-" "-"
0.8 "-" "-" "-" "-" "-"
0.6 "-" "-" "-" "-" "-"
0.4 "-" "-" "-" "-" "-"
0.2 "-" "-" "-" "-" "-"
0. "-" "-" "-" "-" "-"
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
, , , "àáöèññà-" 3.5 "îðäèíàòà-" 1.2
:= ts1 0
, "a=" 4
















 















1 "-" "-" "-" "-" "-"
0.8 "-" "-" "-" "-" "-"
0.6 "-" "-" "-" "-" "-"
0.4 "-" "-" "-" "-" "-"
0.2 "-" "-" "-" "-" "-"
0. "-" "-" "-" "-" "-"
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
57

Masalaning berilishi:
Eyler usuli bilan h -qadam bilan [ a , b ] oraliqda berilagan differensial
tenglamaning yechim natijalaridan iborat jadvalni tuzish maqsadida hisoblash
formulalari yozib olinsin. Tuzilgan algoritm bo`yicha dastur yozilsin. x
argumentning qiymati va aniq yechimning chop etilishi hisobga olinsin.
Hisoblash natijalari massivda ifodalansin.
Tenglama: y''−2y'+y= 0
Boshlan g` ich shartlar: u(0)=1 u !
(0)=2
Berilgan oraliq: [0;0.5]
Qadam: h=0.05
Aniq yechim: (l+x)e x+
x 3
e x
/6
Berilgan 2-chi tartibli hosilani o`zgartiramiz, ya'ni quyidagi belgilashni kiritamiz:

z'= y', z'= y''
Bu holda berilgan tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: Dastur kodi:
58

z'= − y+ 2 z
Dastur kodi:
Program differensial;
uses crt;
type mas=array[0..1000] of real;
var x,y,z:mas;
a,b,h,p:real;
i,n:integer;
function f(x,y,z:real):real;
begin
f:=-y+2*z;
end;
procedure Eyler(n:integer;h:real;var z:mas;var x:mas;var y:mas);
var zl2,yl2,f2,t:mas;
begin
for i:=l to n do begin
f2[i]:=f(x[i-l],y[i-l],z[i-l]);
zl2[i]:=z[i-l]+f2[i]*h/2;
yl2[i]:=y[i-l]+z[i-l]*h/2;
y[i]:=y[i-l]+zl2[i]*h;
t[i]:=f(x[i-l]+h/2,yl2[i],zl2[i]);
59

z[i]:=z[i-l]+t[i]*h;
x[i]:=x[i-l]+h;
end;
end;
procedure print(n:integer;h:real;x:mas;y:mas);
begin
writelnC NATIJA');
for i:=l to n do
begin
p:=(l+x[i]+x[i]*x[i]*x[i]/6)*exp(*x[i]);
writelnC (‘ ',x[i]:6:4,' ',y[i]:6:4,' ',p:6:4);
end;
end;
begin
clrscr;
writeln(‘ Ikkinchi tartibli differensial tenglamani yechish’);
a:=0;
b:=0.5;
h:=0.05;
n : =round((b-a)/h) ;
x[0]:=a;
y[0]:=l;
60

z[0]:=2;
Eyler(n,h,z,x,y);
Print(n,h,x,y);
readln;
end.
Natija:
Ikkinchi tartibli differensial tenglamani yechish Parametrlarni kiriting
NATIJA
0.0500 0.9525 0, 9548
0.1000 0.9060 0, 9097
0.1500 0.8618 0, 8648
0.2000 0.8198 0, 8206
0.2500 0.7799 0, 7774
0.3000 0.7418 0, 7352
0.3500 0.7057 0, 6943
0.4000 0.6713 0, 6547
0.4500 0.6385 0, 6167
0.5000 0.6074 0, 5801
1. Markaziy ayirmali jadval
61

Nyuton interpolyatsion formulalarini chiqarishda bu tanlangan boshlang’ich
yaqinlashishdan bir tomonda joylashgan funktsiyalar qiymati bilan foydalanamiz.
Shuning uchun bu formulalar bir tomonli formulalar bo’lib xisoblanadi.
Ko’p xollarda shu boshlangich qiymatni xar ikkala tomonida joylashgan
funktsiyaning qiymatlaridan foydalanishga to’g’ri keladi.
Bulardan eng kup foydalanadigani x0, y0 ga to’g’ri keladigan diogonal
jadvalning gorizontal chizig’ida joylashgan chekli ayirmalarni o’z ichiga oladigani
bulib xisoblanadi.
Ya’ni Δy −1, Δy 0, Δ2y−1,...
Bular markaziy ayirmalar deb aytiladi.
x y Δy Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y Δ6y
x−4 y−4
Δy −4
Δy −3
Δy −2
Δy −1
Δy 0
Δy 1
Δy 2
Δy 3
x−3 y−3 Δ2y−4 Δ3y−4
Δ3y−3
Δ3y−2
Δ3y−1
Δ3y0
Δ3y1
x−2 y−2 Δ2y−3 Δ4y−4 Δ5y−4
Δ5y−3
Δ5y−2
Δ5y−1
Δ6y−4
x−1 y−1 Δ2y−2 Δ4y−3 Δ6y−3
x0 y0 Δ2y−1 Δ4y−2 Δ6y−2
x1 y1 Δ2y−0 Δ4y−1
x2 y2 Δ2y1 Δ4y0
x3 y3 Δ2y2
x4 y4
xi= x0+ ih (i= 0 , ± 1 ; ± 2 ;...), yi= f (xi)
Δy i= yi+1− yi Δ 2 yi= Δy i+1− Δy i
2. Gaussning birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulasi
Faraz qilamiz 2n+1 ga teng uzoklikga joylashagan tugunlar berilgan bo’lsin.
62

x−n, x−(n−1), ..., x−1, x0,x1, ..., xn−1, xn
Δx i= xi+1− xi= h= const (i= − n ,− (n− 1 ), ..., n− 1)Bu nuqtalarda
y= f(x) funktsiyaning qiymatlari berilgan

yi= f(xi)
Darajasi
2h - dan katta bulmagan shunday p(x) ko’pxadni qurish kerakki
P (xi)= yi i= 0,± 1,± 2, ...,± n
bo’lsin.
Bu yerdan (1)
ΔkP(yi)= Δkyi kelib chiqadi.
Bu ko'pxadni quyidagi ko'rinishga axtaramiz.
P (x)= a0+ a1(x− x0)+ a2(x− x0)(x− x1)+
+ a3(x− x−1)(x− x0)(x− x1)+ a4(x− x−1)(x− x0)(x− x1)(x− x2)+
+ a5(x− x2)(x− x−1)(x− x0)(x− x1)(x− x2)+ ...+ a2n−1 (x− x−n+n) ...
...(x− x−1)(x− x0)(x− x1)...(x− xn−1) (2 )
a2n(x− x−(n−1))...(x− x−1)(x− x0)(x− x1)... (x− xn−1)(x− xn)
Umumlashgan daraja ta rifidan foydalanib
ʼ
P (x)= a0+a1(x− x0)[1]+ a2(x− x0)[2]+a3(x− x−1)[3]+ a4(x− x−1)[4]+...+
+a2n−1(x− x−(n−1))[2n−1]+a2n(x− x−(n−1))[2n]: (3)
ai(i=0,1,2,...,n)
koeffitsientlarni topish uchun Nyuton interpolyatsion formulalarni chiqarish uchun
qo’llangan metodlarni qo’llab va (1)- ni xisobga olib
a0= y0; a1=
Δy 0
1! h
; a2=
Δ2y−1
2! h2 ; a3=
Δ3y−1
3! h3 ;
63

a4=
Δ4y−2
4! h4;...,a2n−1=
Δ2n−1y−(n−1)
(2n− 1)! h2n−1, a2n=
Δ2ny−n
(2n)!h2n; q=
x− x0
hni kiritib
1-chi Gauss interpolyatsion formulasini xosil qilamiz.
P(x)=y0+qΔy 0+
q(q−1)
2!
Δ2y−1+
(q+1)q(q−1)
3!
Δ3y−1+
(q+1)q(q−1)(q−2)
4!
Δ4y−2+
+
(q+2)(q+1)q(q−1)(q−2)
5!
Δ5y−2+...
(q+n−1)...(q−n+1)
(2n−1)!
Δ2n−1y−(n−1)+
(q+n−1)...(q−n)
(2n)!
Δ2nyn (4)
yoki
P (x)= y0+qΔy 0+q[2]
2!
Δ2y−1+(q+1)[5]
3!
Δ3y−1+(q+1)[4]
4!
Δ4y−2+ ...+
+(q+n− 1)[2n−1]
(2n− 1)!
Δ2n−1y−(n−1)+(q+n− 1)[2n]
(2n)!
Δ2ny−n
(4')
x= x0+ qh ; q
[m ]
= q (q − 1 ) ... [q− (m − 1 )]
Gaussning 1-chi interpolyatsion formulasi
Δy 0, Δ2y−1, Δ3y−1, Δ4y−2, Δ5y−2, Δ6y−3,...
markaziy ayirmalarni o’z ichiga oladi.
Xuddiy shunday
Δy −1, Δ2y−1, Δ3y−2, Δ4 y−2, Δ5y−3, Δ6y−3, ...
64

markaziy ayirmalarni o’z ichiga oladigan Gaussning 2 – chi interpolyatsion
formulasini chiqarish mumkin.P(x)= y0+qΔy −1+q(q+1)
2! Δ2y−1+(q+1)q(q− 1)
3! Δ3y−2+(q+2)(q+1)(q− 1)
4! Δ4y−2+
+(q+n− 1)...(q− n+1)
(2n− 1)!
Δ2n−1y−n+(q+n)(q+n− 1)...(q− n+1)
(2n)!
Δ2ny−n
yoki
P (x)= y0+ qΔy −1+(q+1)[2]
2!
Δ2y−1+(q+1)[3]
3!
Δ3y−2+(q+ 2)[4]
4!
Δ4y−2+ ...
+(q+ n− 1)[2n−1]
(2n− 1)!
Δ2n−1y−n+(q+ n)[2n]
(2n)!
Δ2ny−n
Masala: Gaussning birinchi interpolyatsion formulasi yordamida e 1.17
ni
hisoblang.
x 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
e x
2.7183 2.8577 3.0042 3.1582 3.3201 3.4903 3.6693
Yechish:
Bizda bor
y
p = y
0 + p Δ y
0 + (p(p-1)/2!). Δ y 2
0 + ((p+1)p(p-1)/3!). Δ y 3
0 + …
bu erda p = (x1.17 - x1.15) / h
va h = x1 - x0 = 0.05
Shunday qilib, p = 0,04
Endi Δy
0 , Δy
0 2
, y
0 3
... va boshqalarni hisoblashimiz kerak.
65

Va jadvalni tuzgandan so'ng biz qiymatni quyidagi formula asosida hisoblaymiz:
66

Kerakli qiymatlarni formulaga qo’yib, hisoblaymiz -
yx = 1.17 = 3.158 + (2/5) (0.162) + (2/5) (2/5 - 1) / 2. (0.008)…
yx = 1.17 = 3.2246
Endi ushbu masala yechimini kompyuter yordamida yechilishini ko’rib chiqamiz:
Buning uchun biz python dasturlash tilidan foydalanamiz.
Kod: Gaussning birinchi interpolyatsion formulasini amalga oshirish uchun
Python kodi:
# kutubxonalarni chaqirish
import numpy as np
# Y koeffitsientini hisoblash funktsiyasi
def p_cal(p, n):
67

temp = p;
for i in range(1, n):
if(i%2==1):
temp * (p - i)
else:
temp * (p + i)
return temp;
# faktorial funktsiya
def fact(n):
f = 1
for i in range(2, n + 1):
f *= i
return f
# mavjud ma'lumotlarni saqlash
n = 7;
x = [ 1, 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, 1.25, 1.30 ];
y = [[0 for i in range(n)]
for j in range(n)];
y[0][0] = 2.7183;
y[1][0] = 2.8577;
y[2][0] = 3.0042;
y[3][0] = 3.1582;
y[4][0] = 3.3201;
y[5][0] = 3.4903;
y[6][0] = 3.6693;
# Gauss uchburchagini hosil qilish
for i in range(1, n):
68

$for j in range(n - i): y[j][i] = np.round((y[j + 1][i - 1] - y[j][i - 1]),4); # Uchburchakni ekranga chiqarish for i in range(n): print(x[i], end = "\t"); for j in range(n - i): print(y[i][j], end = "\t"); print(""); # Y qiymatini oldindan taxmin qilish kerak value = 1.17; # Formula dasturini amalga oshirish sum = y[int(n/2)][0]; p = (value - x[int(n/2)]) / (x[1] - x[0]) for i in range(1,n): # print(y[int((n-i)/2)][i]) sum = sum + (p_cal(p, i) * y[int((n-i)/2)][i]) / fact(i) print("\nValue at", value, "is", round(sum, 4)); Natija: 1 2.7183 0.1394 0.0071 0.0004 0.0 0.0 0.0001 1.05 2.8577 0.1465 0.0075 0.0004 0.0 0.0001 1.1 3.0042 0.154 0.0079 0.0004 0.0001 1.15 3.1582 0.1619 0.0083 0.0005 1.2 3.3201 0.1702 0.0088 1.25 3.4903 0.179 1.3 3.6693 69$

Value at 1.17 is 3.2246
Masala: Gauss ikkinchi interpolyatsion formulasi yordamida echimni toping
x f(x)
1940 17
1950 20
1960 27
1970 32
1980 36
1990 38
x = 1976
Yechish:
X va y uchun jadval qiymati
x 1940 1950 1960 1970 1980 1990
y 17 20 27 32 36 38
Yechimni topish uchun Gaussning farqli interpolatsiya usuli
h=1950-1940=10
X0 = 1970 ni olsak, u holda p = (x-x0 )/h =( x-1970)/10
Endi markaziy ayirmalar jadvali
x p = x -197010 y Δ y Δ2 y Δ3 y Δ4 y Δ5 y
1940 -3 17
3
1950 -2 20 4
70

7 -6
1960 -1 27 -2 7
5 1 -9
1970 0 32 -1 -2
4 -1
1980 1 36 -2
2
1990 2 38
71

Симпсон методи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31 #include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main ()
{
double x,y,a,b,h,n,s1,s2,m;
cout<< "Kesmaning chap uchini kiriting ---> " ; cin>>a;
cout<< "Kesmaning o'ng uchini kiriting ---> " ; cin>>b;
cout<< "Nuqtalar sonini toping ---> " ; cin>>n;
cout<<endl;
freopen( "Chiqarish.txt" , "w" ,stdout);
cout<< "y[" <<n<< "] = " << 1 /(sqrt( 1.8 * 1.8 + 4 ))<<endl;
cout<< "y[" << 0 << "] = " << 1 /(sqrt( 0.8 * 0.8 + 4 ))<<endl;
h=(b-a)/n; x=a; y=a; m=b;
for ( int i= 1 ; i<n; i++)
{
if (i% 2 == 0 )
{
s1+= 1 /(sqrt(x*x+ 4 ));
cout<< "y[" <<i<< "] = " << 1 /(sqrt(x*x+ 4 ));
}
else { s2+= 1 /(sqrt(x*x+ 4 ));
cout<< " y[" <<i<< "] =
" << 1 /(sqrt(x*x+ 4 ))<<endl;
}
x=a+i*h;
}
y=(h/ 3 )*(y+b+ 2 *s1+ 4 *s2);
cout<<endl<<endl<< "Yig'indi = " <<y<<endl;
} Симпсон методи
Double x,y,a,h,n
cin>>x>>y>>a>>h>>n;;
if(i%2==0){
sqrt(x*x+4)
}
X=a+i*h ;
cout<<y/3*2*y;
73

Нютон методи
Double a1,a2,a3,a4,eps;
cin>>a1>>a2>>a3>>eps;
freopen(“kirish.txt”,”r”,stdin)
for(int i=1;i<n;i++)
{
cout<<“tenglamaning
ildizi”<<printf(“%121”)
74

$Нютон методи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double funk1 ( double a1, double a2, double a3, double a4, double x) { double f=a1*x*x*x+a2*x*x+a3*x+a4; return f; } double funk2 ( double a1, double a2, double a3, double x) { double f= 3 *a1*x*x+ 2 *a2*x+a3; return f; } int main () { bool t; double a1,a2,a3,a4,eps,k,xn,xn_1,a,b; freopen( "kiritish.txt" , "r" ,stdin); freopen( "chiqarish.txt" , "w" ,stdout); cin>>a1>>a2>>a3>>a4>>a>>b>>eps; xn=b; // if(a1*funk1(a1,a2,a3,a4,a)>0) xn_1=a; // else // xn_1=b; while (fabs(xn_1-xn)>= 0.00001 ) { xn=xn_1; xn_1=xn-funk1(a1,a2,a3,a4,xn)/funk2(a1,a2,a3,xn); printf( "%.12lf \n " ,xn_1); } cout<<endl<< "Tenglamaning ildizi = " ; printf( "%.12lf \n " ,xn_1); return 0 ; } 75$ $Трапетсия методи Double a,b,y,h,o; cin>>a>>b>>y>>h; for(int i=0;i<n;i++) y=1.0/sqrt(x*x+3) cout<<“\nintegral”<<a<<b 76$ $Трапетсия методи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int main () { double a,b,h,y0,y,x,r,S= 0 ; int i,n; cout<< "Kesmaning chap uchini kiriting --> " ;cin>>a; cout<< "Kesmaning o'ng uchini kiriting --> " ;cin>>b; cout<< "Tugun nuqtalar sonini kiriting --> " ;cin>>n; freopen( "Chiqarish.txt" , "w" ,stdout); h=(b-a)/n; x=a; y0= 1.0 /(sqrt(x*x+ 4 )); for ( int i= 0 ; i<n; i++) { y= 1.0 /(sqrt(x*x+ 3 )); S+=y; cout<< " i = " <<i<< " " << " x[" <<i<< "]= " ; printf( "%.1lf" ,x); cout<< " y[" <<i<< "] = " ; printf( "%.4lf \n " ,y); x+=h; } cout<< " \n\n Yig'indi(y[i]) = " <<S<<endl; y=h*(( 1.0 / 2.0 )*(y0+y)+S); cout<<endl<< " \n integral(" <<a<< ";" <<b<< ")" << "f(x) = " <<y<<endl; return 0 ; } 77$ Рунге-Кутта методи
Double x0,y0,h,k,xn
bool t
cin>>x0>>y0>>h>>k ;
freopen(“chiqarish.txt”,”w”,stdout)
for(int i=1;i<n;i++)
{
cout<<“dy[“<<x-1<<“]”;
78

Рунге-Кутта методи
Double x0,y0,h,k,xn
bool t
cin>>x0>>y0>>h>>k ;
freopen(“chiqarish.txt”,”w”,stdout)
for(int i=1;i<n;i++)
{
cout<<“dy[“<<x-1<<“]”;
78

Рунге-Кутта методи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29 #include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std ;
int main ()
{
double h , x0 , xn , y0 , dy , y , k1 , k2 , k3 , k4 ; int i , n ;
cout << "x[0] ni kiriting -----> " ; cin >> x0 ;
cout << "x[n] ni kiriting -----> " ; cin >> xn ;
cout << "y[0] ni kiriting -----> " ; cin >> y0 ;
cout << "n ni kiriting -----> " ; cin >> n ;
h = ( xn - x0 ) / n ;
freopen ( "Chiqarish.txt" , "w" , stdout );
for ( i = 1 ; i < n ; i ++ )
{
k1 = h * ( x0 + sin ( y0 / sqrt ( 2 )));
k2 = h * ( x0 + h / 2.0 + sin (( y0 + k1 / 2.0 ) / sqrt ( 2 )));
k3 = h * ( x0 + h / 2.0 + sin (( y0 + k2 / 2.0 ) / sqrt ( 2 )));
k4 = h * ( x0 + h + sin (( y0 + k3 ) / sqrt ( 2 )));
dy = ( 1.0 / 6.0 ) * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 );
y = y0 + dy ;
y0 = y ;
x0 += h ;
cout << endl ;
cout << " dy[" << i - 1 << "]= " ; printf ( "%.3lf" , dy ); cout << " y[" << i << "]=
" ; printf ( "%.3lf" , y );
cout << " " << endl ;
}
return 0 ;
}
79

Гаус методи
Double a1,a2,a3,eps;
cin>>a1>>a2>>a3>>eps;
k=funk(a1,a2,a3,k,xn=100)
While(fabs(xn_1))
cout<<“tenglamaning
ildizi”<<xn_1;
80

Гаус методи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41 #include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
int n;
cin>>n;
float x[n];
float a[n][n],b[n];
for ( int i= 0 ; i<n; i++)
{
for ( int j= 0 ; j<n; j++)
cin>>a[i][j];
cin>>b[i];
}
for ( int k= 0 ; k<n- 1 ; k++)
{
for ( int i=k+ 1 ; i<n; i++)
{
float c;
c=a[i][k]* 1.0 /a[k][k];
a[i][k]= 0 ;
for ( int j=k+ 1 ; j<n; j++)
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]* 1.0 *c;
b[i]=b[i]-b[k]* 1.0 *c;
}
}
x[n- 1 ]=b[n- 1 ]* 1.0 /a[n- 1 ][n- 1 ];
for ( int i=n- 2 ; i>= 0 ; i--)
{
float s= 0 ;
for ( int j=i+ 1 ; j<n; j++)
s+=(a[i][j]*x[j]);
x[i]=(b[i]-s)* 1.0 /a[i][i];
}
for ( int i= 0 ; i<n; i++)
cout<<x[i]<<endl;
return 0 ;
}
82

АДАБИЁТЛАР
1. Бадалов Ф., Амридинов С. “К решению задачи об изгибе гибких
прямоугольных пластин” Тезисы докладов конференции “Применение ЭВМ
в механике деформируемых тел”, Ташкент 1975 г.
2. Исроилов М. « Ҳ исоблаш методлари» 1-қисм Тошкент « Ўқ итувчи» 1988
й.
3. Беллман Р., Калаба. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи
М., “Мир”, 1968 г.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы. Москва – 1970 г.
5. Самуль С. “Теория упругости и пластичности”. Москва изд-во “Наука”
6. Бленд Д. «Теория линейной вязкоупругости» М.: «Мир», Москва 1965
г.
7. Бадалов Ф. «О построении точных решения некоторых систем,
линейных интегральных уравнений Вольтерра при помощи степенного
ряда». Изд-во АН.Уз.ССР, теория техн. Наук, 1972 г. № 5.
8. Березин И.С., Жидков Н.П. “Методы вычислений” Т 1,2. Гостех., 1960
г.
9. Колтунов М.А. “О рассчётах гибких пластин и оболочки”. Вестник
МГУ, №5. 1965 г.
10. Кабулов В.К. “Алгоритмизации в теории упругости и деформационной
теории пластичности” Изд-во “Фан”, 1966 г.
11. Амридинов С. “Большие прочасты гибких прямоугоьных пластин из
вязкоупругого материала”. “Вопросы вячислительной и прикладной
математики”. Вып.37. Ташкент. 1975 г.
12. Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Звонов Е.Н. “Таблицы дробно-
экспоненциальных функций отрицательных параметров и интеграла от неё”.
М.: “Наука”, 1969 г.
83

13. Иср o илов М . И . Ҳ исоблаш методлари . 2- қисм . – Тошкент :
Ўқитувчи , 2008 г .
14. Копченова, Марон. «Вычислительная математика в примерах и
задачах».
15. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа,
2009 г .
16. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
М.: Наука, 1966 г .
17. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2. Методы
математической физики.- М.: Издательский центр «Академия», 2013 г .
18. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во
Лань, 2010 г .
19. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань,
2009 г .
20. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной
математики в пакетах Mathcad , Mathlab , Maple (Самоучитель). – М.: НТ
Пресс, 2006 г .
21. Амридинов С., Халимов К. “Математическая модель решения задач об
изгибе гибких вязкоупругих пластин”// “ Euroasian Journal of Mathematical
Theory and Computer Sciences ” халқаро илмий журнал,2022 г.
22. Амридинов С., Халимов К. “Ёпишқоқ эластик материалдан қилинган
тўғри бурчакли шарнирли боғланган пластинка эгилишини ҳисоблаш
математик модели”// “ Modern Sciense and Research ”, хал қ аро илмий
журнал ,2023 г.
Internet saytlari
1. https://www.udemy.com/course/combinatorics/
2. https://users.math.msu.edu/users/bsagan/Books/Aoc/final.pdf
84

3. https://onlinecourses.nptel.ac.in/noc21_ma68/preview
4. https://www.coursera.org/learn/combinatorics
5. https://www.futurelearn.com/courses/combinatorics-strategies-and-
methods-for-counting
6. https://www.geogebra.org/m/t3cseNsD
7. https://ericmjl.github.io/Network-Analysis-Made-Simple/01-introduction/
03-viz/
8. https://www.tutorialspoint.com/cplusplus-program-to-represent-graph-
using-incidence-matrix
9. https://www.quantumstudy.com/mathematics/binomial-theorem-3/
10. https://www.classcentral.com/subject/combinatorics
85

ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК ПЛАСТИНКА ЭГИЛИШИ МОДЕЛИНИ СОНЛИ ТАДҚИҚ ЭТИШ \ МУНДАРИЖА КИРИШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I БОБ Эластик тўғри бурчакли пластинка эгилишини турли чегаравий шартларда ҳисоблаш математик моделини тузиш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Пластинка ўрта юзасини эгилишининг дифференциал тенгламаси . . . . 7- 10 1.2. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури мустаҳкамланган ҳолда унинг эгилишини Бубнова-Галеркин усули билан ҳисоблаш математик моделини тузиш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14 1.3. Эластик тўғри бурчакли пластинка контури шарнирли боғланишда бўлган ҳолда унинг эгилишини Ритц-Тимошенко усули билан ҳисоблаш математик моделини тузиш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-20 II БОБ Қовушқоқ эластик материалдан қилинган пластинка эгилиши- ни ҳисоблаш математик моделини тузиш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Қовушқоқ эластик материалдан қилинган тўғри бурчакли пластинка эгилишини ҳисоблаш математик модели ва уни ечиш усуллари . . . . . . . . . 21-24 2.2. Тенг тарқалган юклама остида бўлган ва контури шарнирли боғланган пластинка эгилиши масаласини ечиш усули . . . . . . . . . . . . . . . . .24-28 2.3. Контури мустаҳкам ва аралаш боғланган тўғри бурчакли пластинка эгилишини ҳисоблаш алгоритми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29-32 III БОБ Қовушқоқ эластик материалдан қилган пластинка эгилишидан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини оптимал ечиш математик модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1. Чизиқли бўлмаган алгебраик тенгламаларни ечиш муаммолари ва уни ечиш учун тавсиялар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33-36 3.2. Чизиқли бўлмаган 1-та тенгламани ечиш учун Вегстейн усули алгоритми ва унинг сонли яқинлашиши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-39 3.3. Чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш учун Вегстейн усули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-41 Хулоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42- 44 Дастурлар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45- 84

Адабиётлар руйхати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2

КИРИШ Масаланинг қўйилиши. Табиий жараёнларнинг математик моделини қуриш ва уни тақрибий усуллар билан ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечишнинг айрим усулларининг оптимал алгоритмларини яратишдан иборат. Масаланинг долзарблиги. Ҳисоблаш математикасининг чизиқли бўлмаган тенгламаларини ечиш учун ҳозиргача унумли усул яратилмаганлигини таҳлил қилиб, қўйилган масалаларни ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш ва олинган натижаларни амалий масалаларни ечишга қўллаш асосий мақсад қилиб олинган. Адабиётлар шархи ва таҳлили. Чизиқли бўлмаган тенглама ва тенгламалар системасини ечишга бағишланган жуда кўп адабиётлар яратилишида И.С.Берёзин, Н.П.Жидков, Б.П.Демидович, И.А.Марон, М.И.Исроилов, В.Кабулов [ 10 ] китобларида чизиқли бўлмаган тенгламаларни ечиш чуқур таҳлил қилинган ва компютерда ҳисоблаш учун энг қулай алгоритмлар берилган, лекин юқоридаги адабиётларда барча тенгламалар учун яроқли усул яратилмаган ва ҳар бир мисол учун алоҳида ёндашиш кераклиги ва кўп ҳолларда ижобий натижа ололмасликни таъкидлаш керак. Шу йўлда тадқиқот олиб бораётган магистрант К.Халимов адабиётда кенг тарқалган ва битта тенглама учун келтирилган Вегстейн усулини таҳлил қилиб уни қўйилган масаладан келиб чиққан системани ечишга умумлаштиргани ижобий илмий иш ҳисобланади. Қўйилган масалалар ечилганидан кейин яқинлашишни таҳлил қилиш ва тегишли хулосалар чиқариш. Берилган тавсиялар Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган пластинка эгилишини ҳисоблашда қўлланилган. 3

Ишнинг мақсади ва вазифалари. Амалий масалаларни ечишдан ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини тақрибий ечишнинг оптимал усулини яратиш ва унга алгоритм, блок-схема ва дастур тузиб, сонли натижалар олиш ва бу натижаларни Қовушқоқ-эластик материалдан қилинган пластинка эгилиши дифференциал тенгламасини ечишдан ҳосил бўлган тенгламага қўллашдан иборат. Тадқиқот объекти. Ёпишқоқ материалдан тайёрланган тўғри бурчакли пластинкани ҳар хил боғланишда бўлган ҳолатлардаги эгилишини ҳисоблаш. Тадқиқот усуллари. Магистрлик диссертатсиядаги қаралаётган масала ҳозирги замоннинг долзарб масалаларидан бўлиб, кўп амалий масалаларни ечишга қўлланилади. Ҳозирги замон фан ва техниканинг ривожланишини ишлаб чиқаришда, қурилиш, авиатсия соҳасида композит материалларни кенг қўлланилиши мураккаб масалаларни, яъни чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечишга олиб келинадики, буни ечиш ҳам кўп муаммолар билан боғлиқ. Биринчидан, бу системаларни ечиш учун яхши дастлабки яқинлашишни топиш бўлса, иккинчидан ўша дастлабки яқинлашишдан фойдаланиб, ҳосил бўлган системани берилган аниқликда ечиб аниқ натижа ҳосил қилиш. Ҳозиргача чизиқли бўлмаган системаларни ечишнинг универсал методлари мавжуд эмас. Бизга қўйилган масалани ечишдан ҳосил бўлган системани ечиш учун 1-чи марта Вегстейн усули қўлланилди. Адабиётларда 1 та тенглама учун бу усул ёритилган. Биз буни n-та тенгламалар системасига қўллаш алгоритмини яратдик. Магистрлик диссертатсиясида бу усул 2N та чизиқли бўлмаган тенгламалар системаси учун умумлаштирилган усул яратилган. Бу яратилган усул жуда содда бўлиб , компютерда амалга ошириш энг қулай 4

алгоритмлардан ҳисобланади ва олинган натижалар ҳам қониқарли аниқликка эга. Тадқиқотнинг илмий аҳамияти. Магистрлик диссертатсиясида келитирган Вегстейн усули ва уни система учун келтирилганлиги бу шу соҳа учун янгилик бўлиб, уни кўп масалаларни берилган тавсияларни амалий масалалрни ечиш учун қўллаш мумкин. Ишнинг амалий аҳамияти. Магистрлик диссертатсиясида қўйилган масаланинг ўзи композит материалдан қилинган жисмларни мустаҳкамлашни ёки юкламага бардош берилиши қобилятини текширишдан иборат. Берилган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечиш ёпишқоқ материалдан қилинган пластинка ёки қобиқни ечилишини аниқлаш интегро-дифференциал тенгламаларни ечишдан ҳосил бўлади. Янги жорий этилаётган Вегстейн усулини шу соҳадаги барча ҳосил бўлган чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини ечишга қўлланиши мумкин. Тадқиқотнинг илмий янгилиги. Магистрлик диссертасиянинг асосий мазмуни ва моҳияти ёпишқоқ материалдан қилинган пластинкани ҳар хил чегаравий шартларида ҳосил бўлган интегро-дифференциал тенгламаларни чизиқли бўлмаган тенгламалар системасига олиб келиб, янги яратилган Вегстейн усули билан ечишдан иборат. Яратилган алгоритм, блок-схема ва дастур қаралаётган соҳа масалаларни ечишга қўлланилади. 5

ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК ПЛАСТИНКА ЭГИЛИШИ МОДЕЛИНИ СОНЛИ ТАДҚИҚ ЭТИШ

23.11.2024

0

691.896484375 KB

Похожие