Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish.

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

454.2490234375 KB

Скачать

Mavzu : Bir o’lchamli nost at sionar issiqlik
o’t k azuv chanlik t englamasini chek li ay irmalar
usuli bilan y echish.
Mundarija
Kirish.
I. Nazariy qism
1.1 Umumiy mulohazalar .
II. Loyiha qismi
2.1 Koʼp o’lchamli nost at si onar issiqlik o’t k azuv chanlik
t englamasi
2.2 Chekli ayirmalar usuli
2.3 Puankare va Perron teoremalari.
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Endi biz differensial tenglamalarni yechishga doir aniq misolni ko`rib chiqamiz. Bizga
misol sifatida oldindan ma’lum bo`lgan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi berilgan
bo`lsin.
(1)
Bu tenglamani manbalari bor hol uchun quyidagicha yozishimiz mumkin
(2)
Bu yerda f(x,t)funksiyalar issiqlik manbaining kuchini ifodalaydi.
Boshlang`ich va chegaraviy shartlar
(3)
(4)
ko`rinishda beriladi. Bunda funksiyalar berilgan funksiyalardir. Bu
funksiyalar ma’lum silliqlik shartlarini (o`zlarining va turli tartibdagi hosilalarining
uzluksizligi) bajarilganda (2)-(4) masalaning T(x,t) yechimi mavjud va yagona bo`ladi.
Shu bilan birga T(x,t) yechimning o’zi ham x va t oz’garuvchilar bo’yicha yetarli tartibli
hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Boshlang`ich va chegaraviy funksiyalar o`zaro
muvofiqlashgan bo`lishi kerak, ya’ni
shartlar bajarilishi kerak. Umuman olganda, bu shartlar bajarilmaganda ham (2) tenglama
yechimga ega.

Agar devor va boshqa to`siqlar har xil materiallar qorishmasidan iborat bo`lsa, issiqlik
o`tkazuvchanlik koeffitsiyenti x va t qiymatlarga bog`liq o`zgaruvchi miqdor bo`ladi. Shu
bilan jism zichligi ham x va t bo’yicha o`zgaruvchi miqdor bo`lishi mumkin. Bu holda
issiqlik o`zgaruvchanlik tenglamasi
(5)
ko`rinishida yoziladi. Bunda
lar
shartlarni qanoatlantiruvchi ma’lum silliqlikka ega funksiyalardir.
Boshlang`ich va chegaraviy shartlar odatdagidek yoziladi:
(6)
bu yerda ham lar berilgan funksiyalar
(5) tenglamadagi differinsial operatorni qaraymiz.
Vaqt bo`yicha o`zgaruvchi t o’zgarmas deb qaraylik Unda ixtiyoriy t uchun qaralayotgan
sohada to`r kiritib L T operatorni
(7)

ko`rinishda appoksimatsiyalaymiz Bunda b=b(x,t) deb funksiya kiritilgan to`rda
aniqlangan funksiya va T i
deb ixtiyoriy j lar uchun aniqlangan T
j i
to`r funksiyalari
tushuniladi. Endi (3.3) approksimatsiya (7) h bo`yicha ikkinchi tartibga ega bo`lishi uchun
b(x,t) funksiya qanday tanlanishi kerakligini aniqlaymiz. Quyidagi
Yoyilmalarni x=xi nuqtada aniqlab, (7) ga qo`ysak (shtrixlar x bo`yicha hosilalarni
bildiradi)
ni topamiz. Yana ekanligini hisobga olsak
(8)
formulaga ega bo`lamiz. Bunda
belgilashlar ishlatilgan. (8) tafovut
O (h 2
)aniqlikka ega bo`lishi uchun

(9)
shartlarining bajarilishi yetarli.
Quyidagi
funksiyalar uchun (5) shartlarining bajarilishini tekshirish qiyin emas. (1)
tenglamani chekli ayirmali tenglama bilan almashtiramiz. Bunda har xil chekli ayirmali
sxemalarni qo`llash mumkin
(10)
to`r tenglamasini va (11)
boshlang`ich va chegaraviy shartlarni hosil qilamiz.
(10) tenglamaning turg`unligini tekshiramiz. Buning uchun o`zgaruvchi koeffitsiyentli
tenglamalarning turg`unligini tekshirishda ishlatiladigan “qotirilgan koeffitsiyentlar”
prinsipini ishlatamiz. Bu prinsip o`zgaruvchi koeffitsiyentlarning
x va t argumentlariga o`zgarmas qiymatlar berib masalani o`zgarmas koeffitsiyentli
masalaga keltirishga asoslangan. Masalan
bo`lsa, (10) tenglamadan

(12)
ni hosil qilamiz. Biz bu tenglama bilan ilgari ishlagan edik. Uning turg`unlik sharti
(13)
tengsizlik bilan aniqlanar edi.
Qotirilgan koeffitsiyentlar prinsipida (13) tengsizlik barcha (x
i t) nuqtalarda bajarilsa, ya’ni
)
(14)
bo`lsa, (14) tenglama turg`un deb qaraladi.
Agar tengsizliklar bajarilsa, (14)
shartni
(15)
ko`rinishda ham yozishimiz mumkin
Agar approksimattsiya uchun yuqorida ko`rsatilgan T-shablon ishlatilsa, (1)
tenglamaning o`rniga
(15)

tenglamaga ega bo`lamiz. Bu sxema (6) sxemadan farqli ravishda oshkormas
sxemadir. U shartsiz turg`undir, ya’ni turg`unlik (12)-(14) shartlarning bajarilishiga
bog`liq bo`lmagan holda bajariladi.
Ayrim hollarda oshkor va oshkormas sxemalar (1) tenglamani approksimatsiya
qilish uchun birgalikda ishlatiladi:
Bu sxema bo`lsa (5) va bo`lsa, (7) sxemaga mos tushadi. Sxema
bo`lganda absolyut turg`un bo`ladi
Issiqlik tarqalayotgan soha ikki o`lchamli bo`lsa, temperatura funksiyasi vaqtdan tashqari
ikkita fazoviy koordinatalarga bog`liq funksiya bo`ladi. Eng sodda ko`rinishda bu soha
to`g`ri to`rtburchakdan iborat bo`ladi.
Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi qaralayotgan hol uchun
(1a)
ko`rinishda bo`ladi.
Boshlang`ich shart
shaklda olinadi
Chegaraviy shartlarni esa to`rtburchakning
tomonlarida berish kerak
Masalan

Yuqoridagi shartlarda
lar berilgan funksiyalardir. Ular
o`zaro moslangan bo`lishlari kerak, ya’ni
Uchala o`zgaruvchilar, ya’ni
x,y,t larning o`zgarish sohasi to`g`ri burchakli parallelopipedchalarga bo`lib, to`r
kiritamiz tugun nuqtalarda aniqlangan to`r funksiyaning qiymatini
deb belgilaymiz Bu qiymatlardan foydalanib, (1a) tenglama uchun har xil
chekli ayirmali sxemalar tuzishimiz mumkin.
Masalan, approksimatsiya uchun 1-a rasmda ko`rsatilgan shablon ishlatilsa
(2a)
to`r tenglamaga ega bo`lamiz. Bunda (2a) tenglamaning
approksimatsiya aniqligi ekanligini ko`rish qiyin emas

Sxemaning turg`unligini tekshirish uchun (1a) tenglamada tenglamada
deb, xuddi bir o`lchamli masaladagi kabi
ifodani ishlatamiz. Bunda
ixtiyoriy haqiqiy sonlar mavhum birlik (yuqoridagidan farqli ravishda).
Bu ifodani (1a) tenglamaga qo`yib ekanligini hisobga olgan holda
ifodani topamiz. Bunda
desak
Neyman shartidan bo`lishi kerakligini topamiz. Bu shart bajarilsa, (2a)
sxema turg`un bo`ladi (2a) sxemada R+1 qatlamdagi yechimni r-qatlamdagi

yechimlar orqali oshkor ko`rinishda topish mumkin:
(3a)
Agar bo`lsa, (3a) formuladan
(4a)
ko`rinishdagi sodda formulani topamiz.
Xuddi bir o`lchamli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasiga bo`lgani kabi, (1a)
tenglamani oshkormas sxemalar bilan ham approksimatsiya qilish mumkin. Natijada
(4a)
chekli ayirmali tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani
(5a)
ko`rinishda yozamiz.
Bu tengalamalar izlanuvchi yechimlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar
bo`lib, sistema tashkil qiladi. Yetishmayotgan tenglamalar chegaraviy shartlardan
keltirilib chiqariladi. Tenglamalardan ko`rinib turibdiki, ular bir o`lchamli
tenglamalar uchun oshkormas sxemalarda hosil bo`lgan tenglamalarga nisbatan
murakkabroqdir. Shu tufayli hisoblash ishlari ham ancha ortadi. Lekin bu sxema
(2a) sxemadan farqli ravishda shartsiz turg`undir. Oshkormas sxemalarning bu
xususiyati ularning oshkor sxemalarga nisbatan keng ishlatilishining asosiy
sababidir

(1)
tenglamaning koeffitsienlari
shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1) tenglamaning ixtiyoriy netrivial yechimi uchun f(x)
bo’ladi.
Bu teoremaning Perron tomonidan aniqlangan ko’rinishini quyidagicha.
Agar Puankarening (P) shartlari bajarilganda (1) tenglama
yechimlarga ega bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Isbot: Bir qator sodda lemmalarga asoslangan.
Kelgusida
(2)
tenglama (1) tenglamaning (P) Puankare shartlari bajarilgandagi xarakteristik (aniqlovchi )
tenglamasi deyiladi

1-lemma. Agar bo’lganda bo’lib
tenglamaning yechimi bo’lsin. U holda
Ifoda
tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda

XULOSA
Ikki o`lchamli masalalarni yechishda local bir o`lchamli sxemalar ham ishlatiladi.
Ularni hosil qilishda vaqt bo`yicha har bir kasr qadamda tenglama bir o`lchamli deb
qaraladi va natijada ko`p o`lchamli masala bir o`lchamli masalalar ketma-ketligiga
keltiriladi. Shuning uchun bu sxemalarga koordinatalar bo`yicha parchalash
sxemalari deyiladi. Har bir kasr qatlamdagi to`r tenglamalar berilgan tenglamani
alohida approksimatsiyalaydi. Ularning hammasini jamlaganda berilgan ko`p
o`lchamli tenglamani approksimatsiyalovchi to`r hosil bo`ladi.

Foy dalanilgan Adabiy ot lar
1. Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston,
USA, 2011. – 895 p.
2. L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p.
3. Абдухамидов А . У ., Худойназаров С . Ҳисоблаш усуларидан амалиёт ва
лаборатория машғулотлари . – Тошкент : Ўқитувчи , 1995. – 240 б .
4. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислитеrной математики в
пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитеr). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
5. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислитеrные мето-ды. - М.:
Издатеrский дом МЭИ, 2008. - 672 с.
6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобеrков Г. М. Численные методы. – М.: Изд-во
Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
7. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и
упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
8. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848
с.
9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислитеrной математики. М.: Наука,
1966. – 566 б.
10. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. – М.: СОЛОН-
Пресс, 2006. – 720 с.
11. Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. — М.: ДМК-
Пресс, 2011.
12. Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003. – 440
б.
13. Калиткин Н.Н., Аrшина Е.А. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1. Численные
анализ. - М. : Издатеrский центр «Академия», 2013. - 304 с.
14. Кирянов Д.В. Mathcad 13. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 608 с.
15. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислитеrная математика в примерах и задачах.
– М.: Наука, 2009. – 368 с.
16. Марчук Г.И. Методы вычислитеrной математики. – М.: Изд-во Лань, 2010. –
608 с.
17. Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2001.
18. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Испоrзование Matlab. 3-
издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Виrямс», 2001. - 720 с.
19. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.

20. Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:
www.exponenta.ru
www.lochelp.ru
www.math.msu.su
www.colibri.ru

Mavzu : Bir o’lchamli nost at sionar issiqlik o’t k azuv chanlik t englamasini chek li ay irmalar usuli bilan y echish. Mundarija Kirish. I. Nazariy qism 1.1 Umumiy mulohazalar . II. Loyiha qismi 2.1 Koʼp o’lchamli nost at si onar issiqlik o’t k azuv chanlik t englamasi 2.2 Chekli ayirmalar usuli 2.3 Puankare va Perron teoremalari. III. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Endi biz differensial tenglamalarni yechishga doir aniq misolni ko`rib chiqamiz. Bizga misol sifatida oldindan ma’lum bo`lgan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi berilgan bo`lsin. (1) Bu tenglamani manbalari bor hol uchun quyidagicha yozishimiz mumkin (2) Bu yerda f(x,t)funksiyalar issiqlik manbaining kuchini ifodalaydi. Boshlang`ich va chegaraviy shartlar (3) (4) ko`rinishda beriladi. Bunda funksiyalar berilgan funksiyalardir. Bu funksiyalar ma’lum silliqlik shartlarini (o`zlarining va turli tartibdagi hosilalarining uzluksizligi) bajarilganda (2)-(4) masalaning T(x,t) yechimi mavjud va yagona bo`ladi. Shu bilan birga T(x,t) yechimning o’zi ham x va t oz’garuvchilar bo’yicha yetarli tartibli hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Boshlang`ich va chegaraviy funksiyalar o`zaro muvofiqlashgan bo`lishi kerak, ya’ni shartlar bajarilishi kerak. Umuman olganda, bu shartlar bajarilmaganda ham (2) tenglama yechimga ega.

Agar devor va boshqa to`siqlar har xil materiallar qorishmasidan iborat bo`lsa, issiqlik o`tkazuvchanlik koeffitsiyenti x va t qiymatlarga bog`liq o`zgaruvchi miqdor bo`ladi. Shu bilan jism zichligi ham x va t bo’yicha o`zgaruvchi miqdor bo`lishi mumkin. Bu holda issiqlik o`zgaruvchanlik tenglamasi (5) ko`rinishida yoziladi. Bunda lar shartlarni qanoatlantiruvchi ma’lum silliqlikka ega funksiyalardir. Boshlang`ich va chegaraviy shartlar odatdagidek yoziladi: (6) bu yerda ham lar berilgan funksiyalar (5) tenglamadagi differinsial operatorni qaraymiz. Vaqt bo`yicha o`zgaruvchi t o’zgarmas deb qaraylik Unda ixtiyoriy t uchun qaralayotgan sohada to`r kiritib L T operatorni (7)

ko`rinishda appoksimatsiyalaymiz Bunda b=b(x,t) deb funksiya kiritilgan to`rda aniqlangan funksiya va T i deb ixtiyoriy j lar uchun aniqlangan T j i to`r funksiyalari tushuniladi. Endi (3.3) approksimatsiya (7) h bo`yicha ikkinchi tartibga ega bo`lishi uchun b(x,t) funksiya qanday tanlanishi kerakligini aniqlaymiz. Quyidagi Yoyilmalarni x=xi nuqtada aniqlab, (7) ga qo`ysak (shtrixlar x bo`yicha hosilalarni bildiradi) ni topamiz. Yana ekanligini hisobga olsak (8) formulaga ega bo`lamiz. Bunda belgilashlar ishlatilgan. (8) tafovut O (h 2 )aniqlikka ega bo`lishi uchun

(9) shartlarining bajarilishi yetarli. Quyidagi funksiyalar uchun (5) shartlarining bajarilishini tekshirish qiyin emas. (1) tenglamani chekli ayirmali tenglama bilan almashtiramiz. Bunda har xil chekli ayirmali sxemalarni qo`llash mumkin (10) to`r tenglamasini va (11) boshlang`ich va chegaraviy shartlarni hosil qilamiz. (10) tenglamaning turg`unligini tekshiramiz. Buning uchun o`zgaruvchi koeffitsiyentli tenglamalarning turg`unligini tekshirishda ishlatiladigan “qotirilgan koeffitsiyentlar” prinsipini ishlatamiz. Bu prinsip o`zgaruvchi koeffitsiyentlarning x va t argumentlariga o`zgarmas qiymatlar berib masalani o`zgarmas koeffitsiyentli masalaga keltirishga asoslangan. Masalan bo`lsa, (10) tenglamadan

Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish.

08.08.2023

0

454.2490234375 KB

Похожие