CHekli ayirmali usullar. Adamsning ekstropolyatsiya formulasi

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

496.1259765625 KB

Скачать

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA TA`LIM
VAZIRLIGI
Matematika fakulteti nazariy va amaliy mexanika kafedrasi hisoblash
mexanikasi va kompyuter injeneringi fanidan
KURS ISHI
Mavzu: CHekli ayirmali usullar. Adamsning
ekstropolyatsiya formulasi
Adamsning interpolyatsiya formulasi. Miln ,Runge-Kutta
qadamli usuli .

Mavzu : CHekli ayirmali usullar. Adamsning ekstropolyatsiya formulasi
Adamsning interpolyatsiya formulasi. Miln ,Runge-Kutta qadamli usuli .
Reja:
I. Kirish.
II. Asosiy qism.
1. CHekli usullar.
2.Adamsning ekstrapolyatsiya,interpolyatsiya formulasi.
3. Miln,Runge-Kutta qadamli usul.
IV.Foydanilgan adabiyotlar.

SO’Z BOSH I
Hisoblash mexanikasi tamoyillari bilan bos
assik analizda qanchalik katta ahamiyatga ega bo`lsa, chekli-ayirmali
tenglamalarning roli ham diskret analizda ana shundaydir. Bu paragrafni chekli-
ayirmali tenglamalarga baqishlaymiz.
Faraz qilaylik, у ( х ) funksiya biror oraliqda berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun
bu oraliq   x 0 yarim o`qdan iborat bo`lsin. Biror h > 0qadamli x + kh to`rni
olib, y(x) ning chekli ayirmalarini tuzamiz:
)(...,),(),( 2
xyxyxy p

Ushbu
0))(...,),(),(,(  xyxyxyxF p
(1.1)
ko`rinishdagi tenglama p-tartibli chekli-ayirmali tenglama deyiladi.
Bu yerda y(x) izlanayotgan funksiya bo`lib, F(h y
0 , ..., у
p ) o`z argumentlari
( х , у
0 , ..., у
p ) ning o`zgarish sohasida aniqlangan funksiyadir.
Agar chekli ayirmalarni funksiyaning qiymatlari orqali ifodalasak (1.1)
tenglama quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
Ф (х, у(х), у ( x + h ), ..., y ( x + ph )) = 0. (1.1)
Endixning х= nh (п=0, 1, 2, ...) ko ` rinishdagiqiymatlariniolib , y ( kh
= y
k debbelgilabolsak (1.2) tenglama
Q(n,y
n ,y
n+1 , ...y
n + p ) = 0 ( n = 0,1,2, ...) (1.2)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Biz ko`rinishdagitenglamaningengsoddako`rinishini,
ya`ni у
к larganisbatanchiziqlibo`lgan
) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 0 n f y n a y n a y n a y L n p pn pn       
(1.3)
tenglamani qaraymiz. Butenglaman - tartiblichiziqli - ayirmalitenglamadeyiladi .
Buyerda а
i ( п ) koeffisiyentlarvaf(n)ozodhadp

(butunsonlar)ningixtiyoriyfunksiyalari.
Ozodhadinolgatengbo`lganL(z)=0tenglamabirjinslideyiladi.
Agar с
i largakonkretqiymatlarberib,
Z=z(n, c
1 , с
2 , ..., с
п )
formuladanqaralayotgantenglamaningbarchayechimlarinitopishmumkinbo`lsa,
bundayformulaumumiyyechimdeyiladi. Agar v va у birjinslibo`lmagan L(v)=
h tenglamaningxususiyvaumumiyyechimibo`lsa, uholda z = у -
v birjinslitenglamaningyechimibo`ladi: L(u-  ) = L(u) - L(  ) = h- h = 0 .
Shundayqilib,
birjinslibo`lmagantenglamaningumumiyyechimibirjinslitenglamaningumumiyyechi
mibilanbirjinslibo`lmagantenglamaningxususiyyechiminingyig`indisigateng: у = z
+
 . Agarbarchasibirdaniganolgatengbo`lmagan с
1 , с
2 , ..., с
т larmavjudbo`lib,
0 ... )( )2( 2 )1( 1     m mu c uc uc
(1.4)
o`rinlibo`lsa, uholdabirjinslitenglama L(u) =0 ning i (1)
, i (2)
, ..., i ( т )
yechimlariargumentning с
i . = 0(i = 1,n) dabajarilsa,
buyechimlarchiziqlierklideyiladi. Agar z (i)
birjinslitenglama L(z) = 0 ningyechimi
i
i izc )(
bo`lsa,
uholdaularningchiziqlikombinatsiyacihambutenglamaningyechimibo`ladi, chunki
0)( )()(






i i
i
i i
i zLczcL
(1.5)
Qulaylikuchun (1.5) tenglamaning п
 0 qiymatlaruchunqaraymiz.
Teorema.Farazqilaylik,barcha п
 0 uchun а
0 ( п ) 
0 bo`lib,
а
i ( п ) larchegaralanganbo`lsin. Uholda L(z) = 0
birjinslitenglamaningumumiyyechimi


p
i
i izc z
1
)(
(1.6)

bo`lib)( )1(,..., pz z funksiyalarL(z) = 0 ningchiziqlierkliyechimlaridir.
Isbot. (1.) tenglamani quyidagi (f(n) = 0 bo`lganda)


  1
0
0 ) (
) (p
i ini
pn z n a
n a z
ko`rinishdayozibolamiz. Agar z
0 ,,z
1 ..., z
n berilganbo`lsa, (1.4) danketma-ket z
p ,
z
p+1 ,… larnitopibolamiz. Demak ixtiyoriy z
0 ,,z
1 ,…, z
p-1 uchun L(z) = 0 tenglama
yechimga ega. Bu yechim yagona, chunki qar qanday yechimning qiymati (1.7)
tenglamani qanoatlantiradi, bu tenglamadan esa эса z
p , z
p+1 ,… larning
qiymatlari yagona ravishda aniqlanadi.
Endi z
n (i)
orqali L(z) = 0 tenglamaning
ji ijz  )(1 (i,j =1,2, ...,p) shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik.
Bu yechimlar chiziqli erkli sistemani tashkil etadi. Haqiqatan ham


p
i
inizc
1
)( 0
(1.8)
bo`lsa, u holda j =1,2, ..., p uchun
i
p
i
jii
p
i
ij i c c zc        
1 1
)(1 0 
Demak (11.8) tenglik faqat si =0 (i = 1,p ) bo`lgandagina bajariladi va shuning
uchun ham
)( )1(,..., pz z funksiyalar chiziqli erklidir.
Endi L(z)=0 ning ixtiyoriy yechimini (1.6) ko`rinishda yozish mumkinligini
ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, у
п L(z) = 0 ning biror yechimi bo`lsin. U holda

  
p
i
in i n z z y
1
)( 1
funksiya bu tenglamaning
1 1 0 ,..., , pz z z dastlabki shartlarini qanoatlantiradigan
yechimi bo`ladi. L(z) tenglama yechimining yagonaligidan

 p
i i
nin z z z
1 )(
1
(1.9)
kelibchiqadi. Teorema isbot bo`ldi.
Endi o`zgarmas koeffisiyentli chiziqli-ayirmali tenglamani

0 , () ) (
0 1 p
p
i n i a n f y a y L    va unga mos keluvchi bir jinsli
L(z)=
  
p
i niza
0 1 0 (1.10)
tenglamani qaraymiz. Oxirgi tenglamaning xususiy yechimini
ni ko`rinishda
izlaymiz, u holda
0
0 





 np
i i
ia  
Demak,xarakteristik tenglama deb ataluvchi
0
0  p
i i
i a
tenglamaninghar bir yechimiga (1.10) tenglamaning

i " xususiy yechimi mos
keladi.
Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo`lsa, u holda p ta
har xil yechimga ega bo`lamiz. Xarakteristik tenglamaning har biri k karrali
ildiziga (1.10) tenglamaning k ta har xil
1 1 1 1 ,..., ,    kn kn n n n c c   
(1.11)
yechimlari to`g`ri kelishini ko`rsatamiz. Buni karrali ildizlar haqiqiy bo`lgan hol
uchun qarash bilan kifoyalanamiz, chunki aytilgan gaplar kompleks bo`lgan hol
uchun ham o`rinlidir.
Xarakteristik kop`hadni ko`paytuvchilarga ajratamiz:
   
 
p
i
p
ip ii a a
0 1 1) (   
Haqiqiy
0 ,0     parametrni olib, quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi
i
ni olamiz:
1) barcha i = 1,2,..., k uchun
i lar har xil;
2) barcha i
 к uchun ii
x    0 lim
Bu ildizlarga moc keladigan xarakteristik tenglamani tuzamiz:

   
  
p
i
p
i
i i i p a a
1 0
) ( 0     Ko`rinib turibdiki, ii
x
a a   0 lim
Bu xarakteristik tenglamaga
  
p
i n iz a
0 1 0 
(1.12)
ayirmali tenglama mos keladi. Endi faraz qilaylik
 > 0 uchun [1.12]
tenglamaning shunday
n z, yechimini ko`rsata olaylikki, ixtiyoriy п > 0uchun
n n z z   , 0 lim  
limit mavjud bo`lsin. Agar ii a a 
  0lim
ni hisobga olib, (1.12)
tenglamada limitga o`tsak u holda z
n limitdagi funksiya (1.10) tenglamaning
yechimi ekanligini ko`ramiz. Shunday ketma-ket-liklarni ko`ramizki, ular (1.10)
tenglamaning karrali ildiziga mos keladigan xususiy yechimiga yaqinlashsin.
Bunday qurishni amalga oshirish uchun bo`lingan ayirmalardan foydalanamiz.
Avval ildiz ikki karrali bo`lgan holni ko`ramiz, buning uchun
n   ) ( deb
belgilab,
 
      
    
22 12
21,2 ) , ( 
   nn
n z
birinchi tartibli bo`lingan ayirmani olamiz. Ko`rinib turibdiki, bu funksiya (1.10)
tenglamani qanoatlantiradi. Endi 12
01
0
lim lim          
ni hisobga olib, limitga
o`tamiz:
11 11 1 22 12 0 ,2 0 ) ... ( lim lim    
       n n n n n n z            
Shunday qilib, biz ikki karrali ildizga mos keladigan yana bir yechimga ega
bo`ldik. Endi ning karraligi ikkidan katta bo`lgan holni ko`rib chiqamiz. Buning
uchun 5-bobdagi bo`lingan ayirmalar nazariyasiga oid ikkita formuladan
foydalanamiz:
)14.1(
)!1( )(
),...,( )13.1(
)( )(
),...,(
)1(
1 1
11
 


 
qxxva xx x
xx
q
q q
j
j ij j
q
  
 

bu yerda ) ,..., max( ) ,..., min( 1 1 q q x x x x   Ixtiyoriy 1  q  к uchun nqz , orqali
n   ) (
ning q tartibli bo`lingan ayirmasini belgilaymiz, (1.13) ga ko`ra:
 
 
 
 q
j n
j n
jj
ji ij n
jp
qnq cz
1 11,
)(),...,(
         
   
Ko`rinib turibdiki,
nqz , (1.12) tenglamani qanoatlantiradi. So`ngra, (1.14) dan
foydalanib,
nqz , ni quyidagicha yozishimiz mumkin 1 1 ,    qn qn nq c z    .
Bu yerda
) ,..., max( ) ,..., min( 1 1           q q   bo`lgani uchun 0  holda
limitga o`tib,
1 11 , 0 lim  
   qn qn n nq c z z   
nihosilqilamiz. Shunday qilib, k karrali xarakteristik ildizga k ta har xil (1.11)
funksiyalar mos kelishini ko`rsatdik. Endi faraz qilaylik,
0 ... 1 0     p pa a a  
(1.15)
xarakteristik tenglama m ta, karraliklari mos ravishda к
х , к
2 , ..., к
т larga teng
bo`lgan har xil m
   ,..., ,21
ildizlarga ega bo`lsin. Bu ildizlarga (1.10)
tenglamaning quyidagi xususiy yechimlari to`g`rikeladi:




 
 

11
2211 1
21
2
221
21
2 1
11
2
121
11
1
,...,,, .................................................... ,,...,,, ,,...,,,
22 11
mm kn
mk
nn
mnn
mnn
m knk
nn
nn
nn knk
nn
nn
nn
CCC CCC CCC
   
   
   
(1.16)
Bu yerda к
х + к
2 + ... + к
т = р bo`lgani uchun (1.15) ning yechimlari sonip ga
teng.
Agar
)( )2( )1( ,..., , pn n n z z z o`zaro chiziqli erkli bo`lib L(z) = 0 ning )( )2( )1( ,..., , pn n n z z z har
qanday yechimini ularning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin
bo`lsa, u holda bir jinsli tenglamaning yechimi fundamental sistema tashkil etadi
deyiladi.
2-teorema.(1.15) xarakteristik tenglamaning ildizlariga mos keladigan
(11.16) yechimlar fundamental sistemani tashkil etadi.

Isbot. (1.16) funksiyalar sistemasini )( )2( )1( ,..., , pn n n z z z orqali belgilab olib,
ularning dastlabki qiymatlaridan tuzilgan quyidagi determinantni qaraymiz:
)(1 )2(1 )1(1
)(1 )2(2)1(1
)(0 )2(0)1(0
)( )1(
...
........ ..........
...
...
) ,..., (
pp p p
p
p
pn n p p
z z z
z z z
z z z
z z W W
  
 
Agar (1.15) xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo`lsa, u holda ularga
mos keluvchi (1.16) sistema
) ,..., ( 1 np n p W   bo`lib, Vandermonddeterminanti bo`ladi
va shuning uchun
0p W . Umumiy holda ham 0 ) ,..., ( 1  np n p W   ekanini ko`rsatish
mumkin. Bu prinsip jihatdan qiyin emas, lekin katta hisoblashlarni bajarishga
to`g`ri keladi. Biz bunga to`xtalib o`tirmaymiz. Endi
0p W deb hisoblab, z )1(n ,
…,Z (
n p)
ning fundamental sistema ekanini ko`rsatamiz. Aksincha , ya`ni bu
sistemani chiziqli bog`langan deb faraz qilaylik. U holda barchasi bir vaqtda
nolga teng bo`lmagan shunday с
1, ..., с
n topiladiki,


p
i
inizc
0
)( 0
barcha p lar, xususiy holda p = 0,1,...,r -I uchun o`rinli bo`ladi.
Lekin
0p W shartda sistema



  
 0... ............................................. 0... 0...
)(
1)2(
12)1(
11 )(
1)2(
12)1(
11 )(
0)2(
02)1(
01
p
pppp p
p p
p
zczczc zczczc zczczc
faqattrivial
0 ... 2 1     pc c c yechimgaegabo`ladi. Shundayqilib,
sistemachiziqlierkliekan. Endi (1.10)
sistemaningharbiryechimibusistemaningchiziqlikombinatsiyasiekaniniko`rsatamiz.
Haqiqatan ham,





   
   
    1 )(1 )2(1 2 )1(1 1
0 )(0 )2(0 2 )1(01
...
..... .......... .......... .......... ..........
...
p pp p p p
p p
z z c z c zc
z z c z c zc

sistema ixtiyoriy 1 0,..., pz z uchun yechimga ega. Demak ixtiyoriy yechim z
n uchun
shunday с
1 ,..., с
p larni ko`rsatish mumkin, bir jinsli tenglamaning yechimi


p
i
ini n zc u
1
)(
n = 0,1,...,p -1uchun z
n bilan ustma-ust tushadi. Ayirmali tenglamaning z
0 ,z
1 ,…
z
p-1 dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimining yagonaligidan barcha n
lar uchun z
n = i
п ligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
3-teorema. Karraliligi к ga teng bo`lgan

1 ildizga mos keluvchi (1.10)
tenglamaning xususiy yechimlaridan tuzilgan

  k
q
qn qn qC A
1
1 11
(1.17)chiziqli kombinatsiyalarningto`plami ixtiyoriy (k-1)
- darajali ko`phadlar uchun
n k n P 1 1 ) (  
(1.18)
funksiyalar to`plami
q qnC   111 funksiya n ga nisbatan q-1<k darajali ko`phad
bo`lgani uchun (1.17) ko`rinishdagi har bir funksiyani (1.18) ko`rinishda yozish
mumkin. Ikkinchi tomondan, Р
k-1 ( п ) ixtiyoriy (k-1)-darajali ko`phad bo`lsin.
Ixtiyoriy k tugun uchun (k - 1)-darajali har bir Р
k-1 ( п ) ko`phad o`zi uchun
interpolyatsion ko`phad bo`ladi. Shuning uchun ham Nyuton interpolyatsion
formulasida
11 111 1211
,, ))...()(,...,( ...))(,()()(
 
  
kkk nnn
PfPLkn xxxxxxf xxxxfxfxL
deb olish mumkin. Bundan tashqari, х
j =j-1 va x = n deb olsak, u holda
)2)...(1(...)1()(
12101 
 knnnBnnBnBBnP
kk
ga ega bo`lamiz, bu yerda В
j = P
k-1 (0,…j)_,(0, ..., у ). Bu tenglikni quyidagicha yozib
olish mumkin:

       
k
q
q q q q qn q k q B A C A n P
1
11 1 11 1 1 )!1 ( , ) (  

Demak, (1.18) ko`rinishdagi har bir funksiyani 1.17) ko`rinishda yozish mumkin.
Teorema isbot bo`ldi.
Shunday qilib, (1.16) fundamental sistema o`rniga ushbu,... , ,..., , 1 )1 ( 11 )( 1 )2( 1 )1(
1 1 1 1 nk kn n k kn n n n n z n z n z z           
fundamental sistemani olish mumkin.
1-misol.Quyidagi
054
11 
 nnn zzz
bir jinsli chiziqli-ayirmali tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik ko`phadi
0 5 4 2      bo`lib, uning
ildizlari

1 = 1va 
2 = -5 bo`lgani uchun umumiy yechim n n n c c z 5 )1 ( 2 1   
bo`ladi.
2-misol.Nol va birdan boshlanib, har bir keyingisi ikkita oldingilarining yig`in-
disiga teng bo`lgan Fibonachchi sonlarini qaraylik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Umumiy hadining ko`rinishi topilsin.
Yechish. Masala shartiga ko`ra
nnn
z z z    12
chekli-ayirmali tenglamani z
0 = 0, z
1 = 1dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimi topilishi kerak. Xarakteristik tenglama

2
-  -1= О
ning ildizlari
2
5 1 , 2
5 1 21      
bo`lgani uchun umumiy yechim
nn
n
c c z 




   




   2
5 1
2
5 1 21
bo`ladi. O`zgarmas с
1 va с
2 dastlabki shartlar, ya`ni
2 ) (5 ) (,0 2 1 2 1 2 1       c c c c c c
tenglamalardan topiladi:
5
1 ,
5
1
21   c c
demak,
nn
n
z 




   




   2
5 1
5
1
2
5 1
5
1

3-misol. Ushbu
0232
1234 
 nnnnn zzzzz
tenglamaning z
0 =z
1 =z
3 = 0, z
2 = -1 dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimi topilsin.
Yechish.Xarakteristik tenglamani
4
+ 2  3
+ З  2
+ 2  + 1 = 0
(
 1
+  + 1) 2
= 0kabi yozib olib, uning
32
4332
21
, ii e e
 
   
    
ildizlarini topamiz. Umumiy yechim esa:
3
2 sin) ( 3
2 cos) ( ) ( ) (
212132
4332
21 n n A A n n A A e c c e n c c z ii
n    
        
bu yerda 4321
, , , A A A A
yangi ixiyoriy o`zgarmaslik.
Bu o`zgarmaslarni topish uchun dastlabki shartlardan foydalanib, quyidagi
tenglamalarni tuzamiz:
0 1 0   A z
0 3
2 sin) ( 3
2 cos) (
43211        A A A A z
03
213  AAz
1 3
4 sin) 2 ( 3
4 cos) 2 (
43212        A A A A z
Bundan esa
32
3sin 1
,0
4321 
 AAAA
Shunday qilib,
3
2 sin
3
)1 (2 n n z
n   
2. Ekstrapolyasiyalash bir – ikki qadamgacha chegaralarda
bajariladi. Shu maqsadda jadval boshida formuladan, jadvalning
oxirida
  xN
il
formuladan foydalanish mumkin.

Ikki argumentli  y x f z ,  funksiyani  k iy x, nuqtalar to’plamida
interpolyasiyalash.Dastlab biror
const y m 
jadval qiymatida  my x f ,
funksiya
x bo’yicha interpolyasiyaladi. Natijada y ning ko’satilgan
qiymati bo’yicha z
ning
zi
chekli ayirmalar jadvali tuziladi. Shundan so’ng z
funksiya
y bo’yicha
interpolyasiya qilinadi. Uch va undan ortiq o’zgaruvchi funksiyalar xam
shunga o’xshash tartibda interpolyasiya qilinadi. Ma’lum bir
 y x P ,
interpolyasion ko’phad tuzilishi talab qilingan holda
x va y ga nisbatan
shu turdagi formulalar alohida-alohida tuzilib, biri ikkinchisiga
qo’yiladi.
Misol.
 y x f z ,  funksiyaning qo’sh jadvali berilgan.   03,0;5,0f z
hisoblansin.
Yechish: 1)
y ning har qaysi jadval qiymatiga mos ravishda z
ning chekli
ayirmalar jadvalini tuzamiz.
2)
4,0 0 x boshlang’ich tugun bo’lsin. U holda:
3
1
3,0
4,0 5,0
0      h
x x t
3) Qolgan hisoblashlarni
) (1x N bo’yicha bajaramiz:

 ,072,2642,0
3 32
31
071,1
31
500,200,0;5,0 




f
  , 069,2 642,0 9
1 068,1 3
1 487,2 05,0;5,0       f
  033,2 637,0 9
1 056,1 3
1 456,2 10,0;5,0       f
00,0 0 y
dan 03,0y gacha oraliq uchun .6,0 05,0/)0 03,0(   p U holda
074,2 ) 033,0 ( 21
)1 6,0(6,0 ) 003,0 ( 6,0 072,2 ) 03,0;5,0(        f
Teskari interpolyasiyalashda interasiya usuli qo’llanilishi mumkin.
Buning uchun, masalan,
       
1......1
!.......1
!2!1)( 002
0
01 


 nttt
n y
tty
ty
yxNxfy n
Ko’phad
t t  ko’rinishiga keltiriladi:
  ........ 1 !2 0
0 2
0
0   
  
  tt y
y
y
y y t bunda
 
 
0
0 0 y
y y t
boshlang’ich yaqinlashish.
Misol.Ushbu
x y lg funksiyaning quyidagi qiymatlar jadvali bo’yicha x
ning
35,1y ga mos qiymati topilsin.
Yechish:

, 3010,1 0 y    506,00969,0/3010,135,1/
000  yyyt
  483,0 023,0 506,0 1 506,0 506,0 969 2
177 506,0
1         t
  482,0 023,0 506,0 1 483,0 483,0 969 2
177 506,0
2         t
, 483,0t 42, 22 5 483,0 20
0       ih x x
Har xil uzoqlashgan tugunlar xolida
  xL
n
bo’lingan ayirmali  x N
va boshqaformulalar qo’llaniladi. Buning uchun formulardagi
x va y
joylari almashtiriladi.
Misol: Ushbu
  0 ln 2    x x x f
tenglamaning  1,5,0 oraliqda yotgan
ildizi topilsin.
Yechish:
  ,0 5,0  f  0 1  f Qachon 05.0h
    0 70,0 65,0  f f
bo’lmoqda ,65,0
0 x 70,0 1 x
deb olamiz.Shundan
0y
bo’sin.

Berilgan  x f funksiyani sonli differensiallash masalasi  x f silliq
o’zgaruvchi bo’gan chegaralarda
    n m x P x f mn m   tarkibiy tenglikdan
foydalanishga asoslanadi,
 x Pn -interpolyasion ko’phad.
Misol: Biror
 x f y funksiyaning ushbu
4 3 2 10 , ,      y y y
Qiymatlar jadvaliga asoslanib,
  50'f topilsin.
Yechish:
  ,....... 3
2 3
2
0323
022
00            y q q q y q q y q y x N
, 1 , 1 ,
0 dq
dy
h dx
dq
dq
dy
dx
dy dxh dq h
x x q     
  ,........ 6
2 6 3
2
1 2 1
0 3 2
0 2 0 '           y q q y q y h x y
    ,0 50 50 , 1
1 '
01    
   h q n
y
h x Rnn
n
      . 0087,0 0005,0 3
1 0036,0 2
1 0414,0 5
1 50' 
 
       y

Sonli differensiallashda interpolyasiya qadamini kichraytirish
formuladagi keying hadlarni tashlashdan vujudga keladigan xatoni
(kesim hatosini) kamaytiradi, lekin yaxlitlash xatosini oshiradi. Shunga
ko’ra umuman, differensiallashning sonli usullari formulalarning
yaqinlashishini taminlay olmaydi.
Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish. b a, oraliq  i i x x ,1
 
bxaxni
n  ,,;1
0
qismlarga ajratilgan bo’lsin. Biror uzluksiz
   b a C x f , 
funksiya uchun m-tartibli interpolyasion polinominal splayn
deb, ushbu shartlarni qanoatlantiruvchi
 x Sm funksiyaga aytiladi.
1)
 b a, oraliqning xar bir  i i x x ,1 qismida y m. –darajali
  m m m x a x a a x S    1 0
ko’phaddan iborat; 2)  b a, oraliq bo’yicha m-1-
tartibgacha uzluksiz xosilalarga ega; 3)
kx tugunlarda
  m m m x a x a a x S     .... 1 0
ko’phaddan iborat. Agar  n da max 0 1  i i x x
bo’lsa, u holda.
 x S1
splayn    b a C x f ,  funksiyaga tekis yaqinlashadi. Tekis yaqinlashish
xususiyati
 x S2 kvadratik splayn va   xS
3
kubik splaynlar uchun ham
o’rinli bo’lib, yaqinlashish tezligi splaynning tartibiga va
) (x f ning
silliqligiga muvofiq ravishda ortadi.
Splaynni tuzish uchun
na a ,....,0 koeffisientlar aniqlanishi kerak. Chiziqli
x a a x S
101 ) (  
splayinning 10 , aa
koeffisientlarini topish uchun  1ix f va
 1x f
qiymatlar yetarli. 3) shartga asoslanib ushbu
  


 
    
i i
i i
x f xa a
n i x f xa a
1 0
1 1 1 0 ), ;1 )( (
Sestemani tuzamiz va undan 10 , aa
larni aniqlaymiz.
2 m bo’lgan holda
 
xS
m
ning yagona bo’lishini taminlash uchun yana m-1 ta qo’shimcha
shart qo’yilishi kerak. Odatda bunday shartlar [( х ) ning yaqinlashish
х ususiyatlari, splayn ikki qo'shni bo'lagining tutashgan nuqtalarida
silliq bo'lishlari va boshqa talablarga ko'ra, shuningdek, chetki a va
b nuqtalarda turli chegaraviy shartlar bilan qo'yiladi.
1-masala. Ushbu
     1S xs xs  funksiyalar quyidagi
           dx x s s J n i x f xs i i
1
0
2 1 ) (' )( , ,0 ,

shartlarni qanoatlantirsin. Bu funksiyalar orasidan shunday ) (1x S
funksiyani topish talab qilinadiki, unga ko'ra
 x J1 inf
olinadigan bo'lsin. Bizdan х - nuqtalarda ) (1x S
oilaning biror manoda
) (x f bilan bir х il kiymatga ega
bo'lgan va nisbatan silliq funksiyalaridan birini, ya'ni
eng kichik normali funksiyani topish talab eti ь
ladi. Ma'lumki,  b
a dxxsxsFJ ))('),((
aniq integralni maksimum va
minimumga erishtiradigan har qanday
) (xs funksiya 0 '  

 



s
F
s
F
dx
d
Eyler tenglamasini lantirishi kerak. Bizda bu tenglama 5" (.*:) = 0
ko'rinishida.
Sh.unga ko'ra izlanayotgan ( х ) funksiya har bir [,s. _ ., l-]
oraliqda chiziqlidir. Demak, ( х ) birinchi tartibli DD- х )
splayndan iborat.
Masala.
 b x a x n i x x n i i     , , ,1 , 0 1 qismlarga ajratilgan  b a, oraliqda
jadval ko’rinishida berilgan
) (x f funksiyani interpolyasiyalovchi
shunday
  xS 2
kvadratik
splayn tuzilsinki, u uchun yukorida ko'rsatilgan 1) — 3)
shartlar va qo'shimcha 4) shart bajarilsin, ya'ni:
1) Har qaysi ii xx ,
1
oraliqda splayn bo’lagi
2 2 1 0 ) ( x a xa a xs   
ko’rinishidagi ko’phaddan iborat; 2)
   
axfxSbaCxS
kk 
022 )4;)3;,')(
da A a s ) (' har qaysi 1 ;1 (    n i xi )
nuqtada )0(')0('  xsxs
tenglik o’rinli bo’sin. Echish: Splaynning [ х ,
х ,] oraliqdagi bo'lagini topish
uchun ko'rsatilgan shartlardan foydalanib ushbu sestemani
tuzamiz:



 
  
  
A x a a
f x a xa a
f x a xa a
02 1
1 212 11 0
0 202 01 0
2
Sestemani yechib, topilgan 210
, a a a
koeffitsientlar bo’yicha
izlanayotgan
2 2 1 0 ) ( x a xa a xs    ni tuzamiz.

Turning qolgan har qaysi n i x x i i ;2 ( ,1   qismi uchun



  
  
  

)0 (' )0 ('
) (
) (
2
211 12
12110
ii ii iii
x s x s
x f x a xa a
x f x a xa a
Ko’rinishidagi sestema tuziladi va izlanayaotgan
  2 2 1 0 x a xa a xs   
ko’phad olinadi, bunda
x a a x s 2 1 2 ) ('  
Misol. Biroq
) (x f funksiya 5,2 ) 78,0('  f va
jadval bilan berilgan. Uni interpolyasiyalovchi ikkinchi
tartibli splayn tuzilsin.
Yechish:
  56,1; 78,0 oraliq uchun:



  
  
  
5,2 78,0 2
2,1 56,1 56,1
,5,2 78,0 78.0
21 22
10 22
10
a a
a a a
a a a
Sistemani yechib ,
1,5 , 168,4 , 069,1 0 1 2    a a a ni topamiz. Izlanayotgan
uchhad
  2 069,1 168,4 1,5 x x xs   
bo’ladi.
  34,2: 56,1
oraliq uchun: oldingi oraliq uchun topilgan munosabatdan
foydalanib, s’(1,56)=-4,168+2,136*1,56=-0,83 ni aniqlaymiz. So’ng
quidagi sistemani topamiz.



  
  
  
5,2 78,0 2
2,1 56,1 56,1
,5,2 78,0 78.0
21 22
10 22
10
a a
a a a
a a a
Bu sistemadan , 781,4,755,3,936,0
012  aaa
aniqlanadi.
  12,3: 34,2
oraliq uchun:
s’(2,34)=-3,755+2*0,936*2,34=0,625



  
   
  
28,4 81,3 81,3
25,2 12,3 12,3
833,0 12,3 2
22
10 22
10 21
a a a
a a a
a a
Bundan 614,4,787,3,971,0
012  aaa
va

s(x)=4,614-3,787x+0,971x2
Shunday qilib tuzilishi talab etilayotgan
 x S3 splayn ketma-ket
joylashgan ii xx ,
1
oraliqlar uchun topilgan s(x) uchhadlar majmuasidan
iborat.
3. 1.4. Runge-Kutta usullari Eylerning to‘g‘rilangan usulida ikkinchi tartibli hosila 2 2 ( ) dx d
y xi ni olish uchun (1.5) chekli ayirmali formuladan foydalaniladi, bunda birinchi hosilalar y'(xi)
va y'(xi+h) ning qadamning boshlang‘ich va oxirgi nuqtalaridagi giymatlaridan foydalaniladi.
Xuddi shu tartibda uchinchi tartibli hosila ham qadamning ikkita nuqtasidagi ikkinchi
hosilaning qiymatlaridan foydalanib hisoblansa, u holda (1.3) yordamida uchinchi tartibli
aniqlikdagi usulning hisob formulasini hosil qilishimiz mumkin. Buning uchun birinchi tartibli
hosila y'(x) ning xi va xi+1 nuqtalar orasidagi qo‘shimcha nuqtadagi qiymatini aniqlash zarur
bo‘ladi. Xuddi shunday, yechimning xatoligini keskin kamaytirish imkonini beruvchi yuqoriroq
tartibli usullarning hisob formulalarini chiqarish mumkin.Ammo bunday usullarning amaliy
tadbiqi har bir qadamda qo‘shimcha oraliq nuqtalarni kiritishni talab qiladi, bu esa
hisoblashlar hajmini oshirib boradi. Yuqori aniqlikka ega bo‘lgan sonli usullarni qurishning
bosqa uslublari ham mavjud. Ana shunday usullardan biri bu Runge-Kutta usullari guruhi
bo‘lib, ularda differensial tenglama yechimi quyidagi yig‘indi bilan approksimatsiyalanadi:

p n y xi h xi h y xi An kn h 1 ( )  ( , ) ( ) ( ) . (1.7) bu yerda An – yoyilma
koeffisiyentlari; kn – quyidagi funksiyalar ketma-ketligi: ( , ) 1 i i k
 hf x y , ( , ) 2 2 21 1 k hf x
h y k
 i  i  , ( , ) 3 3 31 1 32 2 k hf x h y k k  i  i  , (1.8) 20
…………………………………………. ( , ... ) p
 i  p i  p,1 1  p,p  1 p  1 k hf x  h y  k  k .
m n p
 m ,  n,m , 0  - biror parametrlar. Noma'lum An, m n,m  ,  parametrlarni
quyidagi shartlardan tanlab olish mumkin: ψ (0) = ψ '(0) = ψ ''(0) = … = ψ (k) (0) = 0 , (1.9) bu
yerda ψ (h) = y(xi+h) – ξ (xi ,h) funksiya ξ (xi ,h) – taqribiy yechimning y(xi+h) – nuqtadan
chetlanishini ko‘rsatadi va u bir qadamli usulning lokal xatoligi deb ataladi. (7) da p
parametrning kattalashishi aniq yechimni taqribiy yechimga almashtirishdagi xatolikni juda

ham kichiklashtirish imkonini beradi. Bir qadamli usullarning lokal xatoligini ushbu  p
n h y xi h y xi An kn h 1
 ( ) ( ) ( ) ( ) formuladan hisoblaymiz. Faraz qilaylik, p = 1. U holda
(1.7) ni (1.9) ga qo‘yib, ψ (0) = ψ '(0) = 0 shartlardan A1 = 1 va ψ ''(0) ≠ 0 ni hosil qilamiz, bu
yerda esa ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 1 i i i i p n i i n n y x
 h  y x  A k h  y  k  y  hf x y  . (1.10)
Bu (1.4) – Eyler formulasiga mos keladi.Xuddi shunday, Runge-Kutta usullari deb ataluvchi
yuqori tartibli aniqlikka ega usullar formulalarini keltirib chiqarish mumkin. Masalan, p = 3
bo‘lganda uchinchi tartibli aniqlikka ega Runge-Kutta usullari hisob formulalari quyidagilar: a)
( 4 ). 6 1 ( , 2 ), ), 2 1 , 2 ( ( , ), 1 1 2 3 3 1 2 2 1 1 y y k k k k hf x h y k k y k h k hf x k hf x y i i i i i
i i i
 b) ( 3 ). 4 1 ), 3 2 , 3 2 ( ), 3 1 , 3 ( ( , ), 1 1 3 3 2 2 1 1 y y k k k hf x h y k
y k h k hf x k hf x y i i i i i i i i
 Masalan, Runge-Kutta usulining p = 4
bo‘lganda to‘rinchi tartibli aniqlikka ega varianti va uning qadamdagi xatoligi h 5 bo‘lib, hisob
formulalari quyidagicha: 21 ( 2 2 ). 6 1 ( , ), ), 2 1 , 2 ( ), 2 1 , 2 ( ( , ), 1 1 2 3 4 4 3 3 2 2 1 1 y y
k k k k k hf x h y k y k h k hf x y k h k hf x k hf x y i i i i i i i i i i

Xususan, birinchi va ikkinchi tartibli Runge-Kutta usullari bu mos ravishda Eyler usuli va uning
modifikatsiyalangan usulidir. Yana bir variant, Koshi masalasini o‘zgarmas h qadamli 4-tartibli
aniqlikka ega bo‘lgan Runge-Kutta usuli bilan yechish formulalari quyidagicha: ( 3 3 ). 8 ( , ), ),
3 , 3 2 ( ), 3 , 3 ( ( , ), 1 1 2 3 4 4 1 2 3 3 1 2 2 1 1 k k k k h y y k f x h y hk hk hk k hk h y h k f x k
h y h k f x k f x y i i i i i i i i i i
 Bu 4-tartibli aniqlikka ega usullarda
hisoblashlar hajmi 1- va 2-tartiblisiga nisbatan ko‘paygani bilan hisoblashlarning lokal xatoligi
keskin kamayadi. Bu esa hisoblash qadamini oshirish va o‘z navbatida hisob vaqtini qisqartirish
imkonini beradi. 3-misol. Quyidagi Koshi masalasini Runge-Kutta usuli bilan yeching va
natijalarni taqqoslang.
 x  y, y(0)  1. dx dy Yechish. Ushbu masalaning analitik yechimi: y(x)

2e  x  1 x . Dastlabki qadamlardagi hisoblashlarni qo‘lda bajaramiz: 1-qadamda: h = 0.1;
x0 = 0; y0 = 1 , k1 = 0+1 = 1, 22 k2 = (0+0.25)+(1+(0.25)·(1)) = 1.5, k3 =
(0+0.25)+(1+(0.25)·(1.5)) = 1.625, k4 = (0.5)+(1+(0.5)·(1.625)) = 2.3125, y1 = 1+(0.5/6)
[1+2·(1.5)+2·(1.625)+2.3125] ≈ 1.7969. 2-qadamda: y2 ≈ 3.4347 va hokazo. Qolgan

hisoblashlar natijalartini jadvalda va 1.5-rasmda ko‘rish mumkin. Masalani sonli yechishning
MATLAB dasturi: function yp = f(x,y) yp = x + y function [X,Y] = rk(x,y,x1,n) h = (x1 – x)/n; X
= x; x Y = y; y For i = 1:n; k1 = f(x,y); k2 = f(x+h/2,y+h*k1/2); k3 = f(x+h/2,y+h*k2/2); k4 =
f(x+h,y+h*k3); k = (k1 + 2*k2+2*k3+k4)/6; x = x + h; y = y + h*k; X = [X;x]; Y = [Y;y]; end
Hisob natijalari va ularni taqqoslash jadvali x Eylerning takomillashtirilgan usuli (h=0.1)
Runge-Kutta usuli (h = 0.1) Aniq yechim 0.1 1.1100 1.110342 1.110342 0.2 1.2421 1.242805
1.242806 0.3 1.3985 1.399717 1.399718 0.4 1.5818 1.583648 1.583649 0.5 1.7949 1.797441
1.797443 0.6 2.0409 2.044236 2.044238 0.7 2.3231 2.327503 2.327505 0.8 2.6456 2.651079
2.651082 0.9 3.0124 3.019203 3.019206 1.0 3.4282 3.436559 3.436564 23 1.5-rasm. Runge-
Kutta usuli bilan olingan 2-misolning natijalari grafigi. Bu jadvaldan ko‘rinib turibdiki, Runge-
Kutta usuli ba'zi amaliy masalalarning integral egri chiziqlarini (Koshi masalasining yechimini)
qurishda Eylerning takomillashtirilgan usulidan ham ko‘ra juda ham samarali natija berar
4. Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o’zining juda ko’p ilmiy
ishlari bilan katta xissa qo’shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida
buyuk kashfiyotlaridan biri, o’zining 29 yoshida, ya’ni 1715 – yilda yaratgan
nazariyasi
Foydalanilgan adabiyotlar
1.G.P.Ismatullayev M.S.Kasbagenova
Tafakkur bustoni Toshkent-2014
2.A.U. Abdulhamidov, C.X. Xudaynazarov
Toshkent- O’zbekiston -1995.

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA TA`LIM VAZIRLIGI Matematika fakulteti nazariy va amaliy mexanika kafedrasi hisoblash mexanikasi va kompyuter injeneringi fanidan KURS ISHI Mavzu: CHekli ayirmali usullar. Adamsning ekstropolyatsiya formulasi Adamsning interpolyatsiya formulasi. Miln ,Runge-Kutta qadamli usuli .

Mavzu : CHekli ayirmali usullar. Adamsning ekstropolyatsiya formulasi Adamsning interpolyatsiya formulasi. Miln ,Runge-Kutta qadamli usuli . Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism. 1. CHekli usullar. 2.Adamsning ekstrapolyatsiya,interpolyatsiya formulasi. 3. Miln,Runge-Kutta qadamli usul. IV.Foydanilgan adabiyotlar.

SO’Z BOSH I Hisoblash mexanikasi tamoyillari bilan bos assik analizda qanchalik katta ahamiyatga ega bo`lsa, chekli-ayirmali tenglamalarning roli ham diskret analizda ana shundaydir. Bu paragrafni chekli- ayirmali tenglamalarga baqishlaymiz. Faraz qilaylik, у ( х ) funksiya biror oraliqda berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun bu oraliq   x 0 yarim o`qdan iborat bo`lsin. Biror h > 0qadamli x + kh to`rni olib, y(x) ning chekli ayirmalarini tuzamiz: )(...,),(),( 2 xyxyxy p  Ushbu 0))(...,),(),(,(  xyxyxyxF p (1.1) ko`rinishdagi tenglama p-tartibli chekli-ayirmali tenglama deyiladi. Bu yerda y(x) izlanayotgan funksiya bo`lib, F(h y 0 , ..., у p ) o`z argumentlari ( х , у 0 , ..., у p ) ning o`zgarish sohasida aniqlangan funksiyadir. Agar chekli ayirmalarni funksiyaning qiymatlari orqali ifodalasak (1.1) tenglama quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi: Ф (х, у(х), у ( x + h ), ..., y ( x + ph )) = 0. (1.1) Endixning х= nh (п=0, 1, 2, ...) ko ` rinishdagiqiymatlariniolib , y ( kh = y k debbelgilabolsak (1.2) tenglama Q(n,y n ,y n+1 , ...y n + p ) = 0 ( n = 0,1,2, ...) (1.2) ko`rinishga ega bo`ladi. Biz ko`rinishdagitenglamaningengsoddako`rinishini, ya`ni у к larganisbatanchiziqlibo`lgan ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 0 n f y n a y n a y n a y L n p pn pn        (1.3) tenglamani qaraymiz. Butenglaman - tartiblichiziqli - ayirmalitenglamadeyiladi . Buyerda а i ( п ) koeffisiyentlarvaf(n)ozodhadp

(butunsonlar)ningixtiyoriyfunksiyalari. Ozodhadinolgatengbo`lganL(z)=0tenglamabirjinslideyiladi. Agar с i largakonkretqiymatlarberib, Z=z(n, c 1 , с 2 , ..., с п ) formuladanqaralayotgantenglamaningbarchayechimlarinitopishmumkinbo`lsa, bundayformulaumumiyyechimdeyiladi. Agar v va у birjinslibo`lmagan L(v)= h tenglamaningxususiyvaumumiyyechimibo`lsa, uholda z = у - v birjinslitenglamaningyechimibo`ladi: L(u-  ) = L(u) - L(  ) = h- h = 0 . Shundayqilib, birjinslibo`lmagantenglamaningumumiyyechimibirjinslitenglamaningumumiyyechi mibilanbirjinslibo`lmagantenglamaningxususiyyechiminingyig`indisigateng: у = z +  . Agarbarchasibirdaniganolgatengbo`lmagan с 1 , с 2 , ..., с т larmavjudbo`lib, 0 ... )( )2( 2 )1( 1     m mu c uc uc (1.4) o`rinlibo`lsa, uholdabirjinslitenglama L(u) =0 ning i (1) , i (2) , ..., i ( т ) yechimlariargumentning с i . = 0(i = 1,n) dabajarilsa, buyechimlarchiziqlierklideyiladi. Agar z (i) birjinslitenglama L(z) = 0 ningyechimi i i izc )( bo`lsa, uholdaularningchiziqlikombinatsiyacihambutenglamaningyechimibo`ladi, chunki 0)( )()(       i i i i i i zLczcL (1.5) Qulaylikuchun (1.5) tenglamaning п  0 qiymatlaruchunqaraymiz. Teorema.Farazqilaylik,barcha п  0 uchun а 0 ( п )  0 bo`lib, а i ( п ) larchegaralanganbo`lsin. Uholda L(z) = 0 birjinslitenglamaningumumiyyechimi   p i i izc z 1 )( (1.6)

bo`lib)( )1(,..., pz z funksiyalarL(z) = 0 ningchiziqlierkliyechimlaridir. Isbot. (1.) tenglamani quyidagi (f(n) = 0 bo`lganda)     1 0 0 ) ( ) (p i ini pn z n a n a z ko`rinishdayozibolamiz. Agar z 0 ,,z 1 ..., z n berilganbo`lsa, (1.4) danketma-ket z p , z p+1 ,… larnitopibolamiz. Demak ixtiyoriy z 0 ,,z 1 ,…, z p-1 uchun L(z) = 0 tenglama yechimga ega. Bu yechim yagona, chunki qar qanday yechimning qiymati (1.7) tenglamani qanoatlantiradi, bu tenglamadan esa эса z p , z p+1 ,… larning qiymatlari yagona ravishda aniqlanadi. Endi z n (i) orqali L(z) = 0 tenglamaning ji ijz  )(1 (i,j =1,2, ...,p) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik. Bu yechimlar chiziqli erkli sistemani tashkil etadi. Haqiqatan ham   p i inizc 1 )( 0 (1.8) bo`lsa, u holda j =1,2, ..., p uchun i p i jii p i ij i c c zc         1 1 )(1 0  Demak (11.8) tenglik faqat si =0 (i = 1,p ) bo`lgandagina bajariladi va shuning uchun ham )( )1(,..., pz z funksiyalar chiziqli erklidir. Endi L(z)=0 ning ixtiyoriy yechimini (1.6) ko`rinishda yozish mumkinligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, у п L(z) = 0 ning biror yechimi bo`lsin. U holda     p i in i n z z y 1 )( 1 funksiya bu tenglamaning 1 1 0 ,..., , pz z z dastlabki shartlarini qanoatlantiradigan yechimi bo`ladi. L(z) tenglama yechimining yagonaligidan   p i i nin z z z 1 )( 1 (1.9) kelibchiqadi. Teorema isbot bo`ldi. Endi o`zgarmas koeffisiyentli chiziqli-ayirmali tenglamani

CHekli ayirmali usullar. Adamsning ekstropolyatsiya formulasi

08.08.2023

0

496.1259765625 KB

Похожие