Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi. Reja: 1. Chekli o’lchovli ekstremal masalaning qo’yilishi va uning asosiy tiplari. 2. Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning ba’zi umumiy xossalari 3. Ekstremal masala yechimining mavjudligi.

1.Chek li o’lchov li ek st remal masalaning qo’y ilishi v a uning asosiy t iplari . nR - n - o’lchovli haqiqiy Evklid fazosi bo’lsin. nR fazo ),...,( 1 nxxx  va ) ,..., ( 1 n y y y elementlarining skalyar ko’paytmasi   n i ii yxyx 1),( tenglik bilan, n Rx  vektorning normasi esa   n i ix x 1 2 ko’rinishda aniqlanadi. Ko’pincha (vektor – matrisali yozuvdan foydalanilganda) nR fazoning elementlarini n - o’lchovli vektor – ustunlar deb qaraladi va nR y x  , elementlarning skalyar ko’paytmasi y xT ko’rinishda belgilanadi, bu yerda T – transponirlash belgisi. nR fazoning biror Q to’plamida aniqlangan ) (x f funksiya berilgan bo’lsin. 1-t a ’ r i f. Q x 0 bo’lsin. Agar barcha Q x lar uchun ) ( ) ( 0 x f x f  )) ( ) ( ( 0 x f x f  munosabat bajarilsa, 0x ga ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi deyiladi. Agar 0x - ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi bo’lsa, ) ( 0x f ga - ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi eng kichik (eng katta) yoki minimal (maksimal) qiymati deyiladi va ) ( ) ( min 0 x f x f Qx   )) ( ) ( ( max 0 x f x f Qx  kabi belgilanadi. 1- m i s o l. ) (x f = ) , ( 0, x,0 ;0 , sin 1 2          R x x x 

funksiyani qaraymiz. a)   2 1:1     x R x Q to’plamda ) (x f funksiyaning global minimum nuqtasi 1 0 x , chunki , ; ), ( sin 0 sin )1( 22 Q x x f x f         ;0 )1( ) ( min ) ( inf      f x f x f Qx Qx ) (x f funksiyaning shu to’plamdagi global maksimum nuqtasi 20 x , chunki ;,sin12sin)2( 22 Qxxf    1 )2( ) ( max ) ( sup      f x f x f Qx Qx . b) Agar   1 31:1     x R x Q bo’lsa, qaralayotgan funksiyaning global minimum nuqtalari uchta : 1; ,2 1 ,31 03 02 01    x x x global maksimum nuqtasi esa bitta : 3 2 0 x . v) Qaralayotgan funksiyaning   1 0:1     x R x Q to’plamda global minimum va maksimum nuqtalari sanoqli: ,...2,1 ,1 0   n n x n - global minimum nuqtalari, ,...2,1 ,1 2 2 0    n n x n - global maksimum nuqtalaridir. g)       x R x Q 2:1 bo’lganda, ) (x f funksiya bu to’plamda o’zining aniq va quyi chegarasiga erishmaydi, ya’ni bu holda funksiyaning global minimum nuqtasi yo’q. Haqiqatan ham, ;0 sin inf ) ( inf 2 2     x x f x Qx  ammo Q x  uchun ) (x f >0. 2- m i s o l. ) (x f nR x x    , 1 funksiya berilgan. a)   1 :    x R x Q n bo’lsa, ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global maksimum nuqtasi n Rx  )0,...,0,0( bo’ladi, chunki Q x x f       , 1 1 ) ( ; global minimum nuqtalari esa, 1 x shartni

qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat, chunki, ) (x f =0, 1 x ; ) (x f 0 , 1 x ; demak, global minimum nuqtalari to’plami kontinium quvvatlidir. b)   1 :    x R x Q n to’plamda esa, ) (x f funksiya 1 x shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda aniq yuqori chegarasiga erishadi, chunki, ) (x f =0, 1 x ; ) (x f 0 , 1 x ; bu to’plamda ) (x f funksiyaning global minimum nuqtalari yo’q:   ) ( inf x fQx . 2- t a’ r i f.          0 0 0 : ) , ( , x x R x x K Q x n bo’lsin. Agar biror 0 son topilib, barcha ) , ( 0  x K Q x   uchun )) ( ) ( ( ) ( ) ( 00 x f x f x f x f   munosabat bajarilsa, 0x ga ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi deyiladi. ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi minimum (maksimum) nuqtari va minimal (maksimal) qiymatini topish haqidagi masalaga minimallashtirish (maksimallashtirish) masalasi deyiladi va u ) (x f nR Q Q x   , min(max), (1) ko’rinishda belgilanadi. ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi minimum va maksimum nuqtalari ekstremum nuqtalari deb, (1) ko’rinishdagi masalalarni esa chekli o’lchovli ekstremal masalalar deb atamiz. Qaralayotgan ekstremal masala uchun ) (x f  nR Q Q x extr   , , belgilashdan ham foydalaniladi. (1) ekstremal masalaning global (lokal) yechimi deb, ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global (lokal) ekstremum nuqtalarini tushunamiz.

3- m i s o l. )1()( 22 xxxf  1 ]3,3 [ min, R Q x     (2) 0 0 x - (2) masalaning lokal yechimi bo’ladi, chunki, agar 1 0   bo’lsa, ) , ( ) , ( 0         x K Q x uchun, ) (x f ) ( 0 0 x f   bo’ladi. Lekin, 0 0 x nuqta (2) masalaning global yechimi bo’la olmaydi, chunki agar 1 3   x bo’lsa, ) (x f )( 0 xf bo’ladi. 3x va 3x - masalaning global yechimlaridir: 72 )3 ( ) ( min ]3,3[     f x f x . Matematikaning chekli o’lchovli ekstremal masalalar bilan shug’ullanadigan bo’limi matematik programmalashtirish deb ataladi. Matematik programmalashtirishda ko’pincha quyidagi atamalardan foydalaniladi: (1) masala – optimallashtirish masalasi; ) (x f - maqsad funksiyasi; Q - rejalar (joiz nuqtalar) to’plami; Q x - ixtiyoriy reja (joiz nuqta); (1) masalaning global (lokal) yechimi – optimal (lokal optimal) reja. Maqsad funksiyasi va rejalar to’plamining berilishiga qarab, chekli o’lchovli optimallashtirish masalalarini quyidagicha sinflarga (tiplarga) ajratish mumkin. a) Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi : ) (x f R Q Q x extr   , , (3) Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi matematik programmalashtirishning klassik masalasi bo’lib, bu masala haqida dastlabki ma’lumotlar bizga matematik analiz kursidan ma’lum. b) Shartsiz ekstremum masalasi : ) (x f n R x extr  , (4)