Mavzu: Elastik sterjenning erkin uchiga berilgan zarba ta’siridagi bo’ylama tebranishi

KIRISH Hozirgi zamon texnikasining juda tez sur’atlar bilan rivojlanishi deformatsiyalanuvchi jismlar mexanikasi oldiga yangidan-yangi, vaqt o’tgan sari tobora murakkablashib borayotgan masalalarni qo’ymoqda. Shu paytgacha materiallar yuqori bosimli va yuqori haroratli o’ta murakkab sharoitlarda ishlatilmoqda, yangi-yangi materiallar har xil yuqori haroratlarga chidamli qotishmalar, o’ta mustahkam va yaroqli modulli tolalar amaliyotda qo’llanilmoqda. Bunday o’zgarishlar jismning elastik modeli bilan bir qatorda, deformatsiyalanuvchi qattiq jismning boshqa, mukammaliroq modellarini ham yaratishga, muhandislik qurilmalari hisobida ishlab chiqilganiga ancha bo’lgan. Lekin shu vaqtgacha foydalanilmagan usullardan, xususan plastiklik, qovushoq-elastiklik, polzuchest nazariyalari usullaridan foydalanishga olib kelmoqda. Bu masalalar ayniqsa jism nuqtalarida yuzaga keladigan kuchlanishlar statistik va ehtimollar nazariyalari usullaridan foydalanishga to’g’ri kelganida yaqqol namoyon bo’ladi. Keyingi bir necha o’n yillar davomida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining “yemirilish mexanikasi”, “kompozit materiallar mexanikasi”, “Nanomexanika” va shu kabi qator yangi yo’nalishlar paydo bo’lishiga ham ana shu yangi talablar taqozo qildi. Ushbu yo’nalishlar rivoji ham, eng avvalo elastik jism modeliga tayanadi. 1.1. Sterjenlarning tebranishlari haqidagi tadqiqotlar tahlili Deformatsiyalanuvchi sterjenlar haqidagi tadqiqotlar Bernulli statik egilishning differensial munosabatlarini olguniga qadar nashr etilmagan. Bu tadqiqotlarni undan keyin L.Eyler (1744) davom ettirdi. Ushbu tenglama inersiya kuchini hisobga oluvchi dinamik had bilan to’ldirildi. Shunday qilib balkaning ko’ndalang tebranish differensial tenglamasi hosil qilindi va u klassik yoki Eyler-Bernulli tenglamasi deb atala boshladi. Aksaryat materiallar uchun Puasson koeffisiyenti (v>0) nolga teng emas va uning ta’siri bo’ylama cho’zilishda yon tomondan siqilishga, bo’ylama siqilishda yon tomondan kengayishga olib keladi. Bundan ko’rinadiki tekis kesimlar gipotezasi egilish vaqtida ko’ndalang kesimdagi nuqtalarning ko’chishini cheklamaydi. Keltirilgan (1.1) tenglamadan sterjenning tebranish tadqiqotlarida J.Fure (1818) J.Bussinesk (1883) va boshqalar foydalanganlar. Sterjenning tebranishlari klassik nazariyasi , sterjen elementlarida aylanish inersiyasi ta’siri hisobga olinganda va ko’ndalang siljish deformatsiyalarining ifodasi S.P.Timoshenko tomonidan taklif etilgan [24]. Keltirilgan yechimlar sterjen statik egilganda ko’ndalang siljish deformatsiyasi muhim ekanligini ko’rsatadi. Statik holatda ko’ndalang siljish deformatsiyasini rezinali sterjenlarda yaqqol ko’rishimiz mumkin [25].

Siljish deformasiyasi kuchlanish konsentratorlar yaqinidagi biror atrofida bilinadigan yassi ko’ndalang kesimning buzilishiga olib keladi (jamlangan kuchlar, chetlar, jamlangan massalar, qattiqlik yoki zichlik sakrashlari va h.k.) konsentratorlarini bevosita uch o’lchovli elastiklik nazariyasi doirasida muhokama etish zarur. Dinamik masalalarda bundan tashqari tebranish modellari bilan bog’liq ko’ndalang kesimlarining tuzilishi mumkinligini ta’kidlaymiz; vaqt bo’yicha o’zgaruvchilar, maydonlar katta gradiyentlar zonalarida elastiklik nazariyasi klassik modeli to’g’ri kelmasligi mumkin. Yaxlit sterjen tebranishlari haqidagi masalani qarab S.P.Timoshenko past chastotalarda ko’ndalang kesimi deformasiyasining kichik ta’siri chastotaning oshishi bilan o’sadi degan xulosaga kelgan. O’qi yo’nalishida garmonik qonuniyat bo’yicha harakatlanuvchi qovushoq-elastik sterjenning tebranishlari turli chegaraviy shartlar va turli chiziqlimas modellar uchun [18,19] da o’rganilgan, ularda chegaraviy shartlar va chiziqlimas modellarning ta’siri baholangan. Shuningdek o’zgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi sterjenning chiziqlimas tebranishlari va ustivorligi Kelvin va Maksvell modellari yordamida [20] da o’rganilgan. Unda chiziqlimas va chiziqlashtirilgan tenglamalarning sonli yechimlari olinib, taqqoslangan. Sterjenlar nazariyasining asosiy mohiyati shundan iboratki, unda fazoviy koordinatalar bo’yicha uch o’lchovli masalalar ikki yoki bir o’lchovliga keltiriladi. Bunday hollarda tadqiqotchilar tebranishlarning fizik, mexanik yoki geometrik xarakterdagi u yoki bu effektlarni hisobga olishga harakat qiladi. Xuddi yuqorida ta’kidlangandek sterjenlarning aniqlashtirilgan tebranish tenglamalari I.G. Filippov va X.X. Xudoynazarov tomonidan keltirib chiqarilgan [13,15]. 1 .2. Sterjenda to’lqin tarqalish tezligi Yarim cheksiz uzunlikdagi sterjen uchiga to’satdan o’zgarmas kuch qo’yilgan bo’lsin. Bu kuch ta’sirida sterjenda σ kuchlanish va e deformasiya hosil bo’ladi. Kuchlanganlik holati sterjen bo’ylab o’zgarmas c tezlik bilan tarqaladi [9]. Kuch qo’yilgan momentdan boshlab t vaqt davomida qo’yidagi hodisa sodir bo’ladi. Sterjenning ct uzunlikdagi uchastkasi qo’yilgan kuch yo’nalishidan bog’liq holda bir xilda siqiladi yoki cho’ziladi. Sterjenning qolgan qismi esa kuchlanishsiz qoladi. mn kesim sterjenning kuchlangan va kuchlanmagan qismlari orasidagi chegaraP p q m n ctx 1 2 1 dx 2 1.1-chizma 1.2-chizma

vazifasini bajaradi va elastik to’lqin fronti deb ataladi. Bu front c tezlik bilan harakatlanadi. Sterjenning biror x koordinatali pq kesimini olaylik. Berilgan t momentda u va to’lqin fronti orasidagi masofa ct-x ga teng bo’ladi. ct-x uzunlikdagi uchastka σ kuchlanish bilan tekis siqiladi, uning nisbiy deformasiyasi e≡ σ E bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki pq kesim o’zining boshlang’ich holatidan u=e(ct− x)= σ E (ct− x) (1.1) masofaga siljiydi. ( 1.1 ) ni vaqt bo’yicha differensiallab kesimning tezligini topamiz ϑ= du dt = σс E (1.2) ( 1. 2) formuladan aniqlanuvchi tezlik x<ct bo’lganda x dan bog’liq emas. x>ct da esa ϑ=0 bo’lishi kerak. Bunday hollarda sterjen uchiga qo’yilgan kuch o’zgarmas bo’lsa, to’lqin frontidagi tezlik va kuchlanishlarda uzilish sodir bo’ladi. Agar to’lqin frontidagi kuchlanish va tezlikda uzilish sodir bo’lsa, bunday to’lqin zarbali to’lqin deb ataladi. Topilgan (1.2) formuladan teskari xulosa ham chiqarish mumkin. Ya’ni sterjen uchiga o’zgarmas tezlik berilsa, to’lqin fronti orqasidagi kuchlanish o’zgarmas bo’ladi. Masalan, sterjen uchiga katta massali o’zgarmas v tezlik bilan harakatlanuvchi jism bilan zarba berilsin. U holda to’lqin fronti sterjen uchidan c tezlik bilan tarqaladi, zarralarning moddiy tezligi esa v ga teng bo’ladi. (1.2) formulaga ko’ra σ= Eϑ c . Biz to’lqin fronti tarqalish tezligini topishimiz kerak. Buning uchun sterjenning 1-1 va 2-2 kesimlari orasidagi dx uchastkasini olamiz 1.2 chizma. Vaqtning t momentida elastik to’lqin 1-1 kesimdan t+ Δ t momentida esa 2-2 kesimdan o’tsin. Buning uchun dx=cdt bo’lishi kerak. Sterjenning ajratilgan qismiga Nyutonning 2-qonunini qo’llaymiz. dt vaqt davomida 1-1 kesimga σ F kuch ta’sir qiladi, 2-2 kesim esa kuchlanishsiz qoladi. Kuch impulsi esa σ Fdt ga teng bo’ladi. Boshlang’ich t momentda ajratilgan bo’lak tinch holatda turadi. t+ Δ t da esa u v tezlik bilan harakatlanadi. Harakat miqdorining o’zgarishi ρϑ F dx =ϑFcdt , (1.3) bu yerda ρ - sterjen materiali zichligi, F – ko’ndalang kesim yuzasi. Kuch impulsini harakat miqdori o’zgarishiga tenglab

σ=ϑ ρc (1.4) ga ega bo’lamiz. (1.4) ning umumiyroq ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: [σ]= [ϑ]ρc (1.5) Kvadrat qavslar mos kattaliklarning front chegarasidan o’tishdagi sakrashni (farqni) bildiradi. Masalan, to’lqin fronti oldi va orqasidag i kuchlanish [ σ ]. Bu agar biz yukni tinch turgan sterjenga emas, balki harakatlanuvchi va oldindan kuchlangan sterjenga qo’ysak juda tushunarli bo’ladi. Masalan, pog’onali o’zgaruvchi yuk boshlang’ich holatda σ= σ− kuchlanish bilan sterjen uchiga qo’yilgan bo’lsin, bundan so’ng kuchlanish sterjen uchida σ= σ+ gacha tushsin. Natijada bir xil tezlik bilan ikkita to’lqin fronti tarqaladi va ikkinchi front uchuni (5) o’rinli bo’ladi. [σ]= σ+− σ−,[v]= ϑ+− ϑ− . Bunda σ+ va ϑ+ , σ− va ϑ− (1.4) tenglamadan bog’liq. (1.4) va (1.5) tenglamalar harakat miqdori tenglamasidan hosil qilingan bo’lib, ixtiyoriy tutash muhitda tarqaluvchi to’lqin fronti uchun o’rinli. Bu tenglamalarda tezlikni (1.2) formula bo’yicha kuchlanish orqali ifodalab, elastik sterjen uchun quyidagini topamiz с=√ E ρ (1.6) Endi sterjen uchiga o’zgarmas kuch biror τ vaqt davomida ta’sir etsin. Kuchning vaqtdan bog’liq grafigi 1. 3 a -chizmada keltirilgan bo’lib. t<0 da σ=0 , 0<t<τ da σ=const , t>τ da σ=0 . 1. 3 b -chizmada σ kuchlanishning sterjen uzunligi bo’ylab taqsimlanishi tasvirlangan: t<τ bo’lganda to’lqin fronti c t masofagacha kelishga ulguradi. To’lqin fronti orqasida kuchlanish o’zgarmas va σ ga teng. t>τ bo’lganda esa sterjen uchiga kuch ta’sir qilmaydi va bu yerda kuchlanish nolga teng bo’ladi. Kuchlanishsiz soha ham sterjen bo’ylab c tezlik bilan harakatlanadi, uning chegarasi to’lqin orqa frontidir. 1. 3 c -chizmada kuchlanishning sterjen uzunligi bo’ylab tarqalishi keltirilgan va u c tezlik bilan shaklini o’zgartirmasdan o’ngga harakat qiladi. Bu grafik sterjen uchiga qo’yilgan kuchning vaqt bo’yicha o’zgarishini takrorlaydi va t o’ringa ct uzunlik olingan. 1.3-chizma tσ 0 τ ct x ct x cτa ) b ) c )