logo

ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI, MASALALARI VA TEOREMALARI

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

841 KB
MAVZU :   ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI,
MASALALARI VA TEOREMALARI
REJA:
1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari
2. Elastiklik   nazariyasining   asosiy   masalalari .
3. Lame tenglamalari.
4. Lame   tenglamalarini   qanoatlantiruvchi   ko‘chish   vektorini   Papkovich-
Neyber shaklida tasvirlash
5. Beltrami - Mitchell tenglamalari
6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar 
sistemasidagi ko‘rinishlari
7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi  va  Betti teoremasi 1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari
Elastiklik   nazariyasining   asosiy   tenglamalari   uch   turga   bo’linadilar:   geometrik,
statik (dinamik) va fizik tenglamalar.
1 0
.   Geometrik   tenglamalar.   Elastik   jismning   deformatsialangan   holati
deformatsia   tenzori     komponentalari,   yoki     ko‘chishlar   bilan
to‘lqin   aniqlanadi.   Deformatsia   tenzori   komponentalari   va   ko‘chishlar   o‘zaro
Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan:
                           (1)
hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan:
                               (2)
Ma’lumki,   bu   munosabatlar   deformatsialarning   uzviylik     tenglamasi   deb   ham
yuritiladi.
2 0
.   Statik   (dinamik)   tenglamalar.   Elastik   jismning   kuchlanganlik   holati
kuchlanish tenzorining   oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu
komponentalar  uchta muvozanat  differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak:
.                       (3)
Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi
uchta harakat  differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak:
.                        (4)
Ushbu   (3)   -   tenglamalar   statik,   (4)   -   tenglamalar   dinamik   tenglamalar   deb
yuritiladi.
3 0
. Fizik tenglamalar.  Kuchlanish tenzorining   komponentalari deformatsiya
tenzorining   komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan 
                                    (5) 
yoki   ko‘chish komponentalari bilan
                                       (6)
ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda .
Ba’zi   hollarda   Guk   qonunini   (5)   ga   teskari   shaklda,   ya’ni     larga   nisbatan
yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin:
,                             (7)
bu yerda:
Yuqorida sanab o‘tilgan (1) - (3), (5), (7) formulalar elastiklik nazariyasi   statik
masalalarining   asosiy   tenglamalari   deb   yuritiladi.   Elastiklik   nazariyasi   dinamik
masalalarining asosiy tenglamalari  deb (1)-(2), (4) (5) va (7) tenglamalarga aytiladi.
2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari
Chiziqli-elastik   jismning     sirtidagi   shartlar   chegaraviy   shartlar   deyiladi   va
ular tashqi berilgan     sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan  
ko‘chishlari bilan aniqlanadi.
Chegaraviy   shartlarning   berilishiga   qarab   elastiklik   nazariyasining   uch   asosiy
masalalarini bir-biridan farqlaydilar.
1 0
. Birinchi tur asosiy masala.  Birinchi tur asosiy masalada   massaviy va 
sirt   kuchlari   jismning   butun   sirtida   berilganda   jism   egallagan     hajmning   ichki
nuqtalarida   kuchlanish   tenzori   komponentalari     larni   hamda     -   hajmning
ichki   nuqtalari   va   jism     sirti   nuqtalarida   ko‘chish   vektorining  
komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: 
                                          (8)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda   - sirt kuchi   ning komponentalari;   sirtning
qaralayotgan nuqtasidagi tashqi normal   vektorning komponentalari.
Bu   holda   izlanayotgan   to‘qqiz   noma’lumlar   (oltita       kuchlanishlar   va   uchta
  ko‘chishlar)   (3)   yoki   (4),   (5)   tenglamalarni,   hamda   (8)   chegaraviy   shartlarni
qanoatlantirishlari kerak.
2 0
.   Ikkinchi   tur   asosiy   masala.   Ikkinchi   tur   asosiy   masalada     massaviy
kuchlar   va   jismning     sirtida     ko‘chishlar   ma’lum   bo‘lganda,   jism
egallangan     hajm   ichidagi   nuqtalarda     ko‘chishlarni   va   kuchlanish   tenzori komponentalari         larni   aniqlash   talab   etiladi.   Demak,   bu   holda   chegaraviy
shartlar 
                    (9) 
ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi   va  funksiyalar (3) yoki (4), (5) hamda
(9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak.
3 0
.   Uchinchi   tur   asosiy   masala.   Chegaraviy   shartlar   aralash   xarakterga   ega
bo‘lishlari   mumkin.   Birinchi   tur   asosiy   masalada   jismning   butun   sirtida
kuchlanishlar,   ikkinchi   tur   asosiy   masalada   jismning   butun   sirtida   ko‘chishlar
beriladi.   Shunday   masalalar   ham   uchrashi   mumkinki.   Bunda   jism   sirtining   ma’lum
qismida   kuchlanishlar,   qolgan   qismida   esa   ko‘chishlar   berilishi   mumkin.   Bunday
holda   masala aralash masala   deyiladi. Faraz qilaylik, jism     sirtining     qismida
kuchlanishlar,   qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin.
Izlanayotgan   to‘qqiz   noma’lum   funksiyalar   bu   holda   (3)   yoki   (4),   (5)
tenglamalarni hamda 
                           (10) 
chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak.
Yuqoridagi   uch   asosiy   masaladan   tashqari,   elastiklik   nazariyasining   to’g’ri   va
teskari masalalarini  ham farqlaydilar.
Elastiklik   nazariyasining   to’g’ri   masalasida   yuqorida   keltirilgan   uch   asosiy
masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan -
deformatsialangan  holatini  aniqlovchi     va     funksialarni  jism  egallagan
  sohaning   ichki   nuqtalari   uchun   aniqlash   talab   etiladi.   Ammo  ta’kidlash   lozimki,
elastiklik   nazariyasining   to‘g‘ri   masalasini   yechish   juda   katta   matematik
qiyinchiliklarga olib keladi.
Elastiklik   nazariyasining   teskari   masalasida     ko‘chishlar   yoki
  kuchlanishlar   uzluksiz   funksiyalar   sifatida   beriladi.   Asosiy   (1)   (2),   (3)
yoki (4) hamda (5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan      ko‘chishlarni
yoki  kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi.  Teskari   masalani   yechish   to‘g‘ri   masalani   yechishga   nisbatan   ancha   oson
kechadi.  Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi.
 kuchlanishlar  berilgan holda     ko‘chishlarni aniqlash uchun (1) tenglamalarni
integrallashga   to‘g‘ri   keladi   va       kuchlanishlarni   uzviylik   tenglamalari
qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish
to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson.
3. Lame tenglamalari
Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini, asosiy o‘zgarmaslar sifatida birinchi
navbatda, yoki   ko‘chishlarni yoki   larni qabul qilib yechish qulay. 
To‘g‘ri masalani  yechishning ana shu ikki yo‘li   ko‘chishlarga nisbatan yechim
yoki  kuchlanishlarga nisbatan yechim  deyiladi.  Bunday holatlarda asosiy tenglamalar
ham ko‘chishlarga nisbatan yoki kuchla-nishlarga nisbatan yozilishlari kerak.
Quyida   biz   asosiy   tenglamani   (muvozanat   tenglamalarini)   ko‘chishlarga
nisbatan   keltirib   chiqaramiz.   Buning   uchun   (6)   Guk   qonuni   yordamida   (3)
kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalaridan kuchlanish tenzorining   
komponentalarini chiqarib tashlash zarur bo‘ladi.
Guk qonunining (6) ifodasidan   koordinata bo‘yicha hosila olamiz:
                       (11)
lekin
                              (12)
hamda
                            (13)
bu   yerda     orqali   Laplas   operatori   belgilangan.   Endi   (12)   va   (13)ifodalardan
foydalanib (11)- Guk qonunini quyidagicha yozish mumkin: 
yoki                    (14)
Lekin
,
.
yoki nihoyat:
                       (15)
olingan (15)ifodani (4) muvozanat tenglamalariga qo‘ysak,
                         (16)
elastik   muvozanatning   ko‘chishlarga   nisbatan   tenglamalariga   ega   bo‘lamiz.   Bu
tenglamalar uchta differensial tenglamalar sistemasini aniqlaydi:
                             (17)
olingan   (16)   yoki   undan   kelib   chiquvchi   (17)   tenglamalar   Lame   tenglamalari
deyiladi.
Lame   tenglamalarini   bitta   vektor   tenglama   ko‘rinishida   ishlatish   ancha   qulay.
Buning uchun (16) tenglamani   bazis vektoriga ko‘paytirish yetarli.
lekin
hamda
bo‘lganliklari uchun
                    (18)
vektor tenglamaga ega bo‘lamiz. Ushbu tenglamani ekanligini hisobga olib
                             (19)
kabi   ba‘zida   ishlatish   qulay   bo‘lgan   shaklda   yozish   mumkin.   Ko‘p   masalalarda
massaviy   kuchlarni   hisobga   olmaslik   yoki   nolga   teng   deb   hisoblash   mumkin.   Bu
holda Lamening (16) tenglamalari
                                             (20)
ko‘rinishni oladi.  Bu tenglamani   koordinata bo‘yicha differensiallab,
tenglamaga ega bo‘lamiz. Lekin
 va 
bo‘lganliklari uchun bu tenglamadan 
yoki
                             (21)
ifodani  olamiz. Bu ifoda massaviy kuchlar nolga teng yoki o‘zgarmas bo‘lganlarida
  - hajmiy deformatsia Laplas tenglamasini qanoatlantirishini, va demak, garmonik
funksiya ekanligini ko‘rsatadi.
Endi (20) ga  - Laplas operatori bilan ta’sir etamiz
,
lekin
  
bo‘lganligidan
                              (22)
ya’ni ko‘chish vektorining   komponentalari bigarmonik funksiyasi ekan. Lekin bu
narsa     ko‘chishlar   ixtiyoriy   bigarmonik   funksiya   ekanligini   anglatmaydi,   chunki
ular avvalo tartibi past bo‘lgan Lame tenglamalarini ham qanoatlantirishlari kerak.  Agar   masala   ko‘chishlarga   nisbatan   yechilayotgan   bo‘lsa,   chegaraviy   shartlar
ham   ko‘chishlar   orqali   ifodalanishi   kerak.   Ikkinchi   tur   asosiy   masalada   bu   sohada
muammo   yo‘q.   Ammo   birinchi   tur   masalada   (8)   chegaraviy   shartlarni   ko‘chishlar
orqali yozish kerak.
Bu   ishni   uddalash   uchun   yana   (6)   Guk   qonunidan   foydalanamiz.   Uning   ikkala
tomonini ham   ga ko‘paytiramiz:
lekin
;
ya’ni     ko‘paytma     funksiyadan   jism   sirtining   shu   nuqtasidagi   normali
bo‘yicha hosilasidan iborat bo‘lganligi uchun yuqoridagi tenglik:
ko‘rinishni oladi. U holda (8) chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:
                    (23)
Shunday   qilib   (16)   Lame   tenglamalari,   birinchi   tur   asosiy   masalada   (23)
chegaraviy   shartlar   bilan   va   ikkinchi   tur   asosiy   masalada   (9)   chegaraviy   shartlar
bilan,   ko‘chish   vektorining   hamma   uchta     komponentalarini   to‘liq   aniqlaydi.
Ko‘chish komponentalari     lar ma’lum bo‘lgach, (1) formulalar bilan deformatsiya
tenzorining     komponentalari   va   (6)   Guk   qonuni   formulalari   bilan   kuchlanish
tenzorining   hamma     komponentalari   hisoblanadi.   Boshqacha   aytganda,   jism
istalgan nuqtasining kuchlangan-deformatsiyalangan holati to‘liq aniqlanadi.
Elastiklik   nazariyasining   uchinchi   asosiy   masalasi   ko‘chishlarga   nisbatan
yechilayotgan bo‘lsa, (10) chegaraviy shartlarni
                      (24) ko‘rinishda foydalanish zarur bo‘ladi. Agar jism muvozanatda emas balki harakatda
bo‘lsa,  uning  harakat  tenglamalari   (4)  ko‘rinishda   bo‘ladi.  Ko‘rinib turibdiki,  ushbu
harakat tenglamalari ko‘chishlarga nisbatan quyidagi uch shaklda yozilishi mumkin:
                             (25)
Keltirilgan   ushbu   tenglamalarda,   tabiiyki,     ko‘chishlar     koordinatalardan
tashqari,   vaqtning ham funksiyalari bo‘lishlari, ya‘ni
bo‘lishi kerak.
Elastik   jismning   harakati   (25)   tenglamalardan   biri   yordamida   yechilayotganda
(23),   (9)   yoki   (24)   chegaraviy   shartlardan   tashqari   vaqtning     payti   uchun
boshlang‘ich shartlar ham qo‘yilishi kerak. Boshqacha aytganda,     bo‘lganda  
ko‘chishlar   va   ularning   vaqt   bo‘yicha   birinchi   tartibli   hosilalari  
berilgan qiymatlarga ega bo‘lishlari kerak:
.                    (26)
4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich-Neyber
shaklida tasvirlash
Faraz qilaylik jismga ta’sir etuvchi massaviy kuchlar bo‘lmasin. U holda bu jism
muvozanati (20) tenglama bilan
kabi tavsiflanadi. Bu tenglamalarning yechimini
                                (27)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda  - garmonik funksiyalar, ya’ni
. va  - aniqlanishi kerak bo‘lgan biror skalyar funksiya. Ushbu (27) formulaga asosan
hajmiy deformatsia
                        (28)
 ko‘chish va   hajmiy deformatsiani (20) Lame tenglamalariga qo‘yamiz:
,                  (29)
lekin
bo‘lganliklaridan
yoki 
.                        (30)
Ko‘rinib   turibdiki,   bu   tenglama   aynan   qanoatlantiriladi,   agar     -   skalyar
funksiya
                    (31)
tenglamani qanoatlantirsa.
Yuqorida (27) yechim ko‘rinishini qabul qilishda     funksiyalarning garmonik
bo‘lishligini,   ya‘ni     ekanligini   talab   qildik.   U   holda     -   hosilalar   ham
garmonik funksiyalar bo‘ladi, chunki 
                         (32)
Ushbu   holni   hisobga   olgan   holda   (31)   ning   ikkala   tomoniga   ham     Lamlas
operatori bilan ta’sir etamiz. U holda
bundan
                             (33)
ya’ni   (27)   yechidagi     -   skalyar   funksiya   bigarmonik   funksiyadan   iborat   bo‘lishi
kerak ekan.
Istalgan garmonik funksiya bigarmonik funksiya ham bo‘ladi, chunki
                             (34) Agar     ya’ni     garmonik funksiya bo‘lsa,     funksiyalari bigarmonik
funksiyalar bo‘lishligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan ham, misol uchun  
funksiyani qaraylik.
                           (35)
,
hamda
bo‘lganligidan
ya’ni
.                                   (36)
U holda
                           (37)
shuni isbotlash talab etilgan edi. (32) yoki (37) tengliklardan garmonik funksiyaning
hosilasi   ham   yana   garmonik   funksiya   bo‘lishligi   kelib   chiqadi.   Keltirilgan
mulohazalarga asoslanib (31) tenglamaning xususiy yechimini
                                        (38)
ko‘rinishida   izlaymiz,   bu   yerda     -   o‘zgarmas.   Ushbu   tenglikni     koordinata
bo‘yicha ketma-ket differensiallaymiz:
                                        (39)
Endi (39) tenglamani  va   indekslari bo‘yicha  svertkalab, ya’ni   qilib olib,
ifodani olamiz. Lekin
bo‘lgani uchun bu yerdan
                                         (40)
Endi (40) va (31) larni solishtirsak                                 (41)
ya’ni (38) yechimdagi o‘zgarmasni aniqlaymiz.
Bir   jinsli   bo‘lmagan   (31)   tenglamaning   umumiy   yechimi   uning   (38)   xususiy
yechimi   bilan   ixtiyoriy       garmonik   funksiyalar   yig‘indisiga   teng   bo‘lishi   kerak,
ya’ni
                            (42)
U holda (20) Lame tenglamalarining umimiy yechimi (27) va (42) larga asosan
to‘rtta   ixtiyoriy,   o‘zaro   bog‘lanmagan   va   garmonik   funksiyalar   orqali   quyidagicha
tasvirlash mumkin:
                              (43)
Ma’lumki   ko‘chish vektori   kabi aniqlanadi. Shuning uchun ham (43)
ifoda bir jinsli izotrop jism nuqtasining (20)Lame tenglamasini qanoatlantiruvchi   
ko‘chish   vektorining   to‘rtta     garmonik   funksiyalar   bilan   tasviridan
iboratdir.   Ushbu   ifoda   birinchi   marta   P.F.Papkovich   (1932)   va   Neyber   (1934)   lar
tomonidan taklif etilganligi uchun ularning nomi bilan   Papkovich-Neyber tasviri  deb
yuritiladi.
Ko‘pincha   (43)   ifoda   (20)   Lame   tenglamalarining   umumiy   yechimi   deb   ham
yuritiladi.   Bu   ifodani     koordinata   bo‘yicha   differensiallab   hamda   (39)   ning
ikkinchi tengligini hisobga olib,
tenglikka   ega   bo‘lamiz.   Bu   ifodani     va     indekslar   bo‘yicha   svertkalab,
 va   ekanliklaridan
                         (44)
ifodani olamiz. Yuqoridagi   ning ifodasida umu-miylikni kamaytirmasdan 
deb hisoblash mumkin. U holda
                          (45) Olingan (44) va (45) formulalarni Guk qonunining (6) ifodasiga qo‘ysak, kuchlanish
tenzori   komponentalarining     garmonik   funksiyalar   orqali   ifodasiga   ega
bo‘lamiz:
                           (46)
Ushbu   ifoda   kuchlanishlarning       garmonik   funksiyalar   orqali
tasvirlanishidan iboratdir.
5. Beltrami - Mitchell tenglamalari
Bundan   oldingi   paragraflarda   elastik   jismning   muvozanat   tenglamalarini   Lame
tenglamalariga   keltirdik   va   ularning   yechimini   Papkovich-Neyber   ko‘rinishida
tasvirladik,   boshqacha   aytganda   ularning   umumiy   yechimlarini   keltirdik.   Bu
tenglamalar   uchun   elastiklik   nazariyasi   asosiy   masalalaridan   ikkinchi   turini   yechish
osonligini ta’kidladik. Chunki bu holda asosiy  tenglamalar ham, chegaraviy shartlar
ham   faqat   ko‘chishlarga   nisbatan   yoziladi,   ya’ni   ikkinchi   tur   asosiy   masalani
yechishda asosiy izlanuvchi noma’lum funksiyalar sifatida ko‘chishlarni qabul qilish
va ularga nisbatan Lame tenglamalarini yechish qulay.
Elastiklik   nazariyasining   birinchi   tur   asosiy   masalasini   yechishda   izlanuvchi
noma’lum   funksiyalar   sifatida   kuchlanish   tenzorining   komponentalarini   olish,   ya’ni
masalani kuchlanish-larda yechish qulay.
Elastik   muvozanatning   uchta   differensial   tenglamalari   (3)   lar   tarkibida   oltita
  noma’lumlar   qatnashadi   va   shuning   uchun   ularning   yechimi   bir   qiymatli
bo‘lmaydi.   Haqiqiy   kuchlanganlik   holatini   aniqlovchi       funksiyalar   (5)   Guk
qonuni   orqali     lar   bilan   bog‘langan   bo‘lganliklari   uchun,   xuddi     lar   kabi
ularning   uzviylik   shartini   ifodalovchi   tenglamalarga   bo‘ysunishlari   kerak.   Bunday
tenglamalar,   yoki   munosabatlarni   (5)   Guk   qonuni   yordamida   (2)   Sen-Venan
differensial   munosabatlaridan   keltirib   chiqarish   mumkin.   Lekin   ushbu
munosabatlarni   (16)Lame   tenglamalaridan   keltirib   chiqarish   bir   muncha   osonroq.
Quyida biz shu ishni bajaramiz.
Lamening (16)tenglamalarini   koordinata bo‘yicha differensiallab, 
                            (47) tenglamaga ega bo‘lamiz va uni   va   indekslar bo‘yicha svertkalab, 
,
hamda
ekanliklarini hisobga olib,
                        (48)
tenglamani olamiz. Bu yerda bizga   ma’lum bo‘lgan
tengliklarni hisobga olsak
yoki
                                    (49)
ifodani olamiz.
Lamening   (16)tenglamalarida     indeks   erkin   indeks   bo‘lgani   uchun   uni
ixtiyoriy, masalan,   harfi bilan belgilash mumkin, ya’ni
                                       (50)
Bu tenglamani   koordinata bo‘yicha differensiallab,
                          (51)
ni olamiz va uni (47) bilan qo‘shamiz:
                            (52)
Lekin
bo‘lganligi hamda   ekanligidan (52) ni yoki
                            (53)
ko‘rinishga keltiramiz. Endi (53) ga (49) ni qo‘yamiz. U holda:
                       (54)
Olingan (54) munosabatlar kuchlanish tenzorining     komponentalari orasidagi
differensial   bog‘lanishlarning   har   biri   uchta   tenglamadan   iborat   bo‘lgan   ikkita
quruhini ifodalaydi.
Birinchi guruh tenglamalaridan birinchisini   bo‘lgan holda olamiz:
                    (55)
Ikkinchi guruh tenglamalaridan birinchisini   bo‘lgan holda olamiz:
                                 (56)
Guruh larning   qolgan   munosabatlari   (55)   va   (56)   lardan   indekslarni   doiraviy
almashtirish yo‘li bilan olinadi. Amalda uchraydigan masalalarning ko‘pchiligida 
- massaviy kuchlar yo nolga teng, yoki o‘zgarmas bo‘ladi. U holda (54) tenglamani
quyidagicha yozish mumkin:
                          (57)
Bu   tengliklar   1892   -   yilda   Beltrami   tomonidan   o‘rnatilgan   quyidagi   oltita
differensial bog‘lanishlarni ifodalaydi:
                        (58)
Yuqoridagi   (55)   ko‘rinishidagi   uch   tenglama   va   (56)   ko‘rinishdagi   yana   uch
tenglama birinchi marta 1900-yilda L.Mitchell tomonidan aniqlangan. Shuning uchun ham   (54)   differensial   bog‘lanishlar   Beltrami-Mitchell   tenglamalari   deb   yuritiladi.
Xuddi   ana   shu   munosabatlar   kuchlanishlarga   nisbatan   ifodalangan   uzviylik
tenglamalaridan iboratdir.
Endi (57) ni   va   indekslar bo‘yicha svertkalaymiz
lekin,
 va   bo‘lganligi uchun
bundan,                                 (59)
ya’ni  massaviy   kuchlar  bo‘lmaganida  kuchlanish   tenzorining  birinchi,  yoki  chiziqli,
invariant   - garmonik funksiya-dan iboratdir.
Endi (57) Laplas operatorini qo‘llab   ligini hisobga olsak,
                           (60)
ya’ni   massaviy   kuchlar   bo‘lmagani   yoki   o‘zgarmas   bo‘lganlarida   kuchlanish
tenzorining   komponentalari bigarmonik funksiyalardan iboratdir.
6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar
sistemasidagi ko‘rinishlari
 silindrik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
1 0
.                                                                     (61)
Bunda koordinat chiziqlari bo‘lib,      va     to‘g‘ri chiziqlari xizmat
qiladi.
2 0
. Kochish vektori  ning komponentalari orasida
                                              (62)
munosabatlar o‘rinli.
3 0
. Deformatsia tenzori komponentalari:
                                  (63)
4 0
. Koshining differensial bog‘lanishlari: x
2               (64)
Bu yerdan hajmiy deformatsia:
                             (65)
5 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:
(66)
6 0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari:
                           (67)
7 0
. Kuchlanish tenzori komponentalari:
      (68)
8 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
                 (69)
9 0
.   Ko‘chishlarga   nisbatan   muvozanat   va   harakat   tenglamalari   (Lame
tenglamalari):                     (70)
10 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:
                    (71)
11 00
. Beltrami tenglamalari:
 
                       (72)
 sferik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
1 0
.    
   (73)
2 0
. Ko‘chish vektori komponentlari:
                     (74)
3 0
. Deformatsia tenzori komponentalari:
     (75)
4 0
. Ko‘chishlar va deformatsialar orasida Koshi-ning differensial munosabatlari:                                  (76)
5 0
. Hajmiy deformatsia quyidagicha aniqlanadi:
                     (77)
6 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:
                                   (78)
7 0
. Kuchlanish tenzori komponentalari:
                              (79)
8 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
                                         (80)
9 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari: 
           (81)
10 0
.   Deformatsialarning   uzviylik   tenglamalari   yoyib   yozilganda   juda   katta
ko‘rinishga   ega.   Shuning   uchun   bu   tenglamalarning   egri   chiziqli   koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishini keltiramiz va undan zarur tenglamalarni keltirib chiqarishni
o‘quvchiga havola qilamiz:
     (82)
bu yerda
                                        (83)
- egri chiziqli koordinata.
Sferik   koordinata   sistemasida   noldan   farqli   ikkinchi   jins   Kristoffel   simvollari
quyidagi qiymatlarga ega:
  (84)
11 0
. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari ham:
     (85)
bu yerda Kristoffel ikkinchi jins simvollari (84) formulalar bilan, sferik koordinatalar
sistemasida metrik tenzorning   kontravariant komponentalari:
                          (86)
formulalar   bilan   hisoblanadi.   Bundan   tashqari,   bu   yerda,   ya’ni   sferik   koordinatalar
sistemasida Laplas operatori, ixtiyoriy skalyar  -funksiya uchun, ushbu 
          (87)
ko‘rinishga ega ekanligini ham hisobga olish kerak.
Dekart koordinatalari sistemasida asosiy  tenglamalar.
Bundan oldingi boblarda keltirib chiqarilgan hamma tenglama va munosabatlar
 Dekart koordinatalari sistemasida tenzor usulida yozildi. Ko‘pincha ushbu
tenglamalar   odatdagi     belgilashlar   orqali   hamda   tenzor   usulida   emas,   balki
yoyilgan ko‘rinishda ishlatiladi.  Quyida biz tenglamalarning shunday  ko‘rinishlarini keltirishni   lozim   topdik.   Ushbu   tenglamalarni,     5.1-§   da   keltirilgan   tenglamalarni
yoyib yozib, keyin     almashtirib yozish yo‘li bilan osongina olish
mumkin.
1 0
.   Ko‘chish   vektori,   deformatsia   va   kuchlanish   tenzorlarining   komponentalari
quyidagicha belgilanadi:
       (88)
2 0
.   Deformatsiyalar   va   ko‘chishlar   orasidagi   Koshining   differensial
munisabatlari
      (89)
3 0
.  Hajmiy deformatsia
  (90)
4 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari
                 (91)
5 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
        (92)
6 0
.   Ko‘chishlarga   nisbatan   muvozanat   va   harakat   tenglamalari   (Lame
tenglamalari):         (93)
 - ixtiyoriy skalyar funksiya.
7 0
. Lamening vektor tenglamasi:
graddiv  - rot rot             (94)
bu yerda:
8 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:
   (95)
9 0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari (Sen-Venan tenglamalari):
; 
   (96)
10 0
. Kuchlanishlarning uzviylik tenglamalari (Beltrami tenglamalari):
  (97)
7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi  va  Betti teoremasi
Quyida   biz   elastiklik   nazariyasining   uchta   umumiy   teoremalarini   qarab
chiqamiz. Bulardan birinchisi deformatsianing ishi  haqidagi Klapeyron teoremasidan
iboratdir. Faraz   qilaylik,     hajmga   ega   va     sirt   bilan  chegaralangan   elastik   jism   -
massaviy   va   -sirt   kuchlari   ta‘siri   ostida   muvozanat   holatida   bo‘lsin.   Ushbu
kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda bajargan ishi
                                (98)
Ikkinchi integralni Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra
                               (99)
kabi   hajm   bo‘yicha   olingan   integralga   o‘tkazish   mumkin.   Oxirgi   integralni
quyidagicha almashtiramiz:
(100)
bu   yerda     [chunki   -simmetrik,   -antisimmetrik   tenzorlar
bo‘lganliklari uchun] ekanligi hisobga olingan.
(100) ni (98) ga qo‘ysak,
                          (101)
ifodaga   ega   bo‘lamiz.   Bu   yerda   muvozanat   tenglamalarini   va   Grin   formulasini
hisobga olsak,
                                                 (102)
formulani   olamiz.   Olingan   (102)   tenglik   ixtiyoriy   elastik   jism   uchun   Klapeyron
teoremasi ni   ifodalaydi.   Bu   yerda   -   elastik   potensial   va   u   deformatsialanish
izotermik   bo‘lganda,     erkin   energiya   bilan   aniqlanadi   deformatsiyaning
solishtirma ishidan iborat.
Xususiy holda agar jism Guk qonuniga bo‘ysunsa, u holda elastik potensial  
larning kvadratik funksiyasidan iborat bo‘ladi.  Bu holda Klapeyron formulasi
dan foydalanib (102) ni
                         (103) ko‘rinishga   keltiramiz.   Demak,   Klapeyron   tenglamasiga   ko‘ra   chiziqli-elastik   jism
uchun,  deformatsia ishi tashqi kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda
bajargan ishining yarmiga teng.
Klapeyron   teoremasining   aynan   (103)   ko‘rinishini   quyidagi   yechimning
yagonaligi haqidagi teoremani isbotlashda qo‘llaymiz.
Kirxgoff teoremasi
Kirxgoff teoremasi yechimning yagonaligini isbotlaydi. 
Demak,   elastik   jism   statikasi   asosiy   masalalarining   yechimlari   yagonadir.
Teskarisini   faraz   qilamiz,   ya’ni   elastik   jism   statikasining   asosiy   uch   tur
tenglamalaridan biri ikkita har xil yechimlarga ega bo‘lsin:
                                     (104)
Ushbu   yechimlar   bir   xil   massaviy   kuchlar   va   sirt   kuchlari   ta’sirida   asosiy
muvozanat   tenglamalarini   qanoatlantiradi.   Xususan,     va     funksiyalar
muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak, ya’ni:
                             (105)
va bunda quyidagi chegaraviy shartlar bajarilishi kerak:
1 0
. Birinchi tur asosiy masala holida:
     va                                         (106)
2 0
. Ikkinchi tur asosiy masala holida:
       va                                           (107)
3 0
. Uchinchi tur asosiy masala holida:
 va               (108)
Mavjudligi faraz qilinayotgan ikkita yechimning ayirmalarini qaraymiz:
                             (109)
Endi (98) ni (103) ga qo‘yib,
                        (110)
Yuqoridagi (105) va (109) ifodalardan ko‘rinadiki   funksiyalar
                                                   (111) bir   jinsli   muvozanat   tenglamalarini   qanoatlantiradi.   Ya’ni   (105)   muvozanat
tenglamalarida massaviy kuchlarni nolga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni  . U
holda (110) ifoda ancha soddalashadi:
                                       (112)
Birinchi, ikkinchi va uchinchi tur masalalarda (109) funksialar uchun chegaraviy
shartlar quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
                  (113)
U holda (112) ning o‘ng tomonidagi integral hamma uch holat uchun nolga aylanadi:
                         (114)
chunki   yoki   da  hamda bo‘lmasa   yoki   da    Demak, (109)
funksialar uchun (112)  dan (114) ga asosan
                                             (115)
Lekin   W   elastik   potensial   deformatsia   tenzori     komponentalarining   musbat
kvadratik   funksiyasi   bo‘lganligi   uchun   (115)   tenglik   jism   egallagan   sohaning
hamma nuqtalari uchun   bo‘lgan holdagina bajariladi. Bu esa jismning hamma
nuqtalari uchun
     va     
Bu  tengliklar   teoremaning   isbotidan  iboratdir.  Shunday  qilib,  uchala  tur   asosiy
masalalar   yechimlarining   yagonaligi   haqidagi   teorema   elastik   jism   statikasi   uchun
isbotlandi.
Betti teoremasi
Chiziqli-elastik   jismning   ikki   holatini   qaraymiz.   Birinchi   holatda   jism   -
massaviy  va   -  sirt  kuchlari   ta’siri   ostida,  ikkinchi  holatda   -  massaviy   va  
sirt   kuchlari   ta’siri   ostida   deformatsialansin.   Birinchi   holatda   jismning   kuchlangan-
deformatsialangan   holati     funksialar   bilan,   ikkinchi   holatda-
funksialar bilan xarakterlanadi. Betti   teoremasi:   birinchi   holat   kuchlarining   ikkinchi   holat   ko ‘ chishlarida
bajargan   ishi,   ikkinchi   holat   kuchlarining   birinchi   holat   ko‘chishlarida   bajargan
ishiga teng.
Birinchi  holat  kuchlari     va     larning ikkinchi  holat  ko‘chishlari     larda
bajargan ishi  A
12
                            (116)
ga teng. Bu yerda: 
                 (117)
tengliklarni hisobga olib, (116) ning o‘ng tomonidagi   sirt bo‘yicha integralni (99)
va (100) kabi almashtirib hamda muvozanat tenglamasi    asosida (5,116)
dan
                                                (118)             
ifodaga ega bo‘lamiz.
Ikkinchi   holat   ,   kuchlarining   birinchi   holat     ko‘chishlarida   bajargan
ishi ham xuddi  ga o‘xshash
                      (119)
ekanligini topamiz. Ammo Betti formulasi (IV-bob) ga ko‘ra
bo‘lganligi uchun (118) va (119) larni taqqoslab
                                                             (120)
degan xulosaga kelamiz. Bu esa teoremaning isbotidir.

MAVZU : ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI, MASALALARI VA TEOREMALARI REJA: 1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari 2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari . 3. Lame tenglamalari. 4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich- Neyber shaklida tasvirlash 5. Beltrami - Mitchell tenglamalari 6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi va Betti teoremasi

1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari uch turga bo’linadilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati deformatsia tenzori komponentalari, yoki ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: (1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: (2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuchlanish tenzorining oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: . (3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: . (4) Ushbu (3) - tenglamalar statik, (4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining komponentalari deformatsiya tenzorining komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan (5) yoki ko‘chish komponentalari bilan (6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda

. Ba’zi hollarda Guk qonunini (5) ga teskari shaklda, ya’ni larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: , (7) bu yerda: Yuqorida sanab o‘tilgan (1) - (3), (5), (7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (1)-(2), (4) (5) va (7) tenglamalarga aytiladi. 2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning sirtidagi shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada massaviy va sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari larni hamda - hajmning ichki nuqtalari va jism sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: (8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda - sirt kuchi ning komponentalari; sirtning qaralayotgan nuqtasidagi tashqi normal vektorning komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita kuchlanishlar va uchta ko‘chishlar) (3) yoki (4), (5) tenglamalarni, hamda (8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 2 0 . Ikkinchi tur asosiy masala. Ikkinchi tur asosiy masalada massaviy kuchlar va jismning sirtida ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism egallangan hajm ichidagi nuqtalarda ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori

komponentalari larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar (9) ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi va funksiyalar (3) yoki (4), (5) hamda (9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 3 0 . Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. Bunday holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism sirtining qismida kuchlanishlar, qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin. Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (3) yoki (4), (5) tenglamalarni hamda (10) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to’g’ri va teskari masalalarini ham farqlaydilar. Elastiklik nazariyasining to’g’ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan - deformatsialangan holatini aniqlovchi va funksialarni jism egallagan sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik qiyinchiliklarga olib keladi. Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ko‘chishlar yoki kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (1) (2), (3) yoki (4) hamda (5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi.

Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi. kuchlanishlar berilgan holda ko‘chishlarni aniqlash uchun (1) tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va kuchlanishlarni uzviylik tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson. 3. Lame tenglamalari Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini, asosiy o‘zgarmaslar sifatida birinchi navbatda, yoki ko‘chishlarni yoki larni qabul qilib yechish qulay. To‘g‘ri masalani yechishning ana shu ikki yo‘li ko‘chishlarga nisbatan yechim yoki kuchlanishlarga nisbatan yechim deyiladi. Bunday holatlarda asosiy tenglamalar ham ko‘chishlarga nisbatan yoki kuchla-nishlarga nisbatan yozilishlari kerak. Quyida biz asosiy tenglamani (muvozanat tenglamalarini) ko‘chishlarga nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning uchun (6) Guk qonuni yordamida (3) kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalaridan kuchlanish tenzorining komponentalarini chiqarib tashlash zarur bo‘ladi. Guk qonunining (6) ifodasidan koordinata bo‘yicha hosila olamiz: (11) lekin (12) hamda (13) bu yerda orqali Laplas operatori belgilangan. Endi (12) va (13)ifodalardan foydalanib (11)- Guk qonunini quyidagicha yozish mumkin: yoki