Irratsional tenglama va tengsizliklarni o’rganish metodikasi

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

244.341796875 KB

Скачать

Irratsional tenglama va tengsizliklarni o’rganish
metodikasi
Reja :
1. Irratsional
tenglamalarni yechish usullari
2. Irratsional
tengsizliklarni yechish usullari

Irratsional tenglamalarni yechish usullari.
Irratsional
tenglamalarni yechish 9-sinf algebra kursida «Daraja katnashgan
tengsizlik
va tenglamalar» nomli mavzuda o’rgatiladi. Bunda faqatgina

kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechish
o’rgatiladi.
Shuning uchun xam bu mavzu materialini o’tish jarayonida
o’qituvchi
o’quvchilarga sonning kvadrat ildizi va uning arifmetik ildizi
degan
tushunchalarni takrorlab tushuntirishi lozim.
Irratsional
tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional tenglama
ko’rinishiga
keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng ko’p
ishlatiladigan
shakl almashtirish berilgan tenglikning xar ikkala tomonini bir
xil
darajaga kutarish va *=, kabi usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni
bajarish
jarayonida yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz xosil bulishi
mumkin,
chunki bu ayniy tengliklarning ung tomonlarining aniqlanish sohasi
chap
tomonlarining aniqlanish sohasiga qaraganda kengrokdir.
Matematik
ta'lim yilda olingan umumiy ta'lim maktabi, bir muhim
komponent
umumiy ta'lim va umumiy madaniyat zamonaviy odam.
Zamonaviy
odamni o'rab turgan deyarli hamma narsa u yoki bu tarzda
matematika
bilan bog'liq. LEKIN so'nggi yutuqlar fizika, muhandislik va
axborot
texnologiyalari bo'yicha kelajakda ishlarning holati bir xil bo'lib
qolishiga
shubha qoldirmaydi. Shuning uchun ko'plab amaliy muammolarni
hal
qilish hal qilish uchun qisqartiriladi har xil turlari yechishni o'rganish
uchun
tenglamalar. Bunday turlardan biri irratsional tenglamalardir.Irratsional
tenglamalar
Noma'lum
(yoki ratsional)ni o'z ichiga olgan tenglama algebraik ifoda
noma'lumdan)
radikal belgisi ostida, deyiladi irratsional tenglama. Elementar
matematikada
irratsional tenglamalar yechimlari to‘plamda topiladi haqiqiy
raqamlar.

Har qanday ir ratsional tenglama elementar algebraik amallar
(ko'paytirish,
bo'lish, tenglamaning ikkala qismini butun son darajaga ko'tarish)
yordamida
ratsional algebraik tenglamaga keltirish mumkin. Shu bilan birga,
natijada
oqilona ekanligini yodda tutish kerak algebraik tenglama dastlabki
irratsional
tenglamaga ekvivalent bo'lmasligi mumkin, ya'ni u asl irratsional
tenglamaning
ildizi bo'lmaydigan "qo'shimcha" ildizlarni o'z ichiga olishi
mumkin.
Shuning uchun, olingan ratsional algebraik tenglamaning ildizlarini
topib,
ratsional tenglamaning barcha ildizlari irratsional tenglamaning ildizlari
bo'lishini
tekshirish kerak.
Umuman
olganda, har qanday irratsional tenglamani yechishning universal
usulini
ko'rsatish qiyin, chunki ildizlar orasida faqat bir turdagi ratsional
algebraik
tenglamaning emas, balki dastlabki irratsional tenglamani
o'zgartirish
natijasida olinishi ma'qul. bu irratsional tenglamaning ildizlari
bo'ladi,
lekin imkon qadar kichik darajali ko'phadlardan tashkil topgan
ratsional
algebraik tenglama. Mumkin bo'lgan eng kichik darajadagi
polinomlardan
hosil bo'lgan ratsional algebraik tenglamani olish istagi
tabiiydir,
chunki ratsional algebraik tenglamaning barcha ildizlarini topish
o'z-o'zidan
juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin, biz buni faqat juda cheklangan
miqdordagi
to'liq hal qila olamiz. holatlardan.

Irratsional tenglamalar turlari Juft darajadagi irratsional tenglamalarni
yechish
har doim toq darajadagi irratsional tenglamalarni yechishdan ko‘ra
ko‘proq
muammolarni keltirib chiqaradi.
Maktab
matematika kursida irratsional tenglamalarning xar ikkala tomonini
bir
xil darajaga kutarib yechish usuli karaladi.
1.
                  Aniqlanish va o’zgarish sohasini (tekshirish) aniqlash bilan
tenglama
yechimining bor yoki yo’qligini aniqlash.
2.
                 Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga
kutarish
usuli quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi:
a)
berilgan irratsional tenglama     ko’rinishga keltiriladi;
b)
bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga kutariladi;
v)
natijada   f(x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi;
g)
hosil bo’lgan    f(x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali
chet
ildiz aniqlanadi.
3.
Yangi          o’zgaruvchi kiritish usuli bilan yechiladigan tenglamalar.
4.Radikallarni
yakkalash usuli yordamida yechiladigan tenglamalar.

    5.Tenglamaning ikkala tomonini uning bir tomonida turgan ifodaga
qo’shma
bo’lgan ifodaga ko’paytirish usuli bilan yechiladigan
tenglamalar.Algebraik
tenglamalarning turlaridan biri irratsional
tenglamalardir.

Ta’rif : Irratsional tenglamalar deb, noma’lum ildiz belgisi ostida bo’lgan
tenglamalarga
aytiladi.Ba’zi algebraik tenglamalarni yechishda uning
aniqlanish
sohasiga hech qanday cheklanishlar qo’yilmaydi. Kasr-ratsional
tenglamalarni
yechishda tenglamaning aniqlanish sohasi o’zgaruvchi
qatnashgan
maxrajlar nolga teng bo’lmasligi kerak degan talab bilan
aniqlanadi.
Irratsional tenglamalarni yechishda esa tenglamaning aniqlanish
sohasi
tenglamaga kiruvchi juft ko’rsatkichli ildizlar arifmetik bo’lishi kerak,
ya’ni
ildiz ostidagi ifodalar va ildizlarning qiymatlari manfiy bo’lmasligi kerak
degan
shartdan kelib chiqqan holda belgilanadi. Irratsional tenglamaslarni
yechishni,
uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash shart deb tushunmaslik
kerak,
chunki ba’zi hollarda buni amalga oshirish juda qiyin kechadi.
Irratsional
tenglamaning aniqlanish sohasi topilmagan hollarda
o’zgaruvchining
barcha topilgan qiymatlari berilgan tenglamaga qo’yib
tekshirib
ko’rilishi lozim. Agar aniqlanish sohasi topilgan bo’lsa , u holda bu
sohaga
tegishli bo’lgan qiymatlarfgina tekshiriladi. Irratsional tenglamalarni
yechishda
asosan irratsional ifodalar ustida ayniy shakl almashtirishlardan va
irratsional
ifodalarning xossalaridan foydalaniladi.
Irratsional
tenglamani yechishda ayniy shakl almashtirish natijasida berilgan
irratsional
tenglama o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga (yoki tenglama va
tengsizlik
lar sistemasiga ) keltiriladi.

        Noma’lum qatnashgan ifoda ildiz belgisi ostida qatnashgan tenglamalar
irratsional
tenglamalat deyiladi :   2√x− 7=1;√2x+5+√x− 1= 8

Irratsional tenglamalar xususuiy hollarda quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi
mumkin.
a) Bitta kvadrat ildiz qatnashganirratsional tenglama

Misol : 5√x−8= 2 tenglamani yeching.

Tenglamaning aniqlanish sohasi (q.q.q.s).

x= {x/x≥ 0} ; 5√x= 10 .√x= 2⇒ x= 4
b) Ikkita kvadrat ildiz qatnashgan tenglama.
Misol:
√3x+7− √x+1= 2 tenglamani yeching.
{3x+7≥0⇒
{
x≥−7¿
3¿
x≥−1¿
¿⇒ x≥−1
x+1≥0
  ;   X={x/x≻−1}
√3x+7− √x+1= 2x+2⇒ (3x+7)(x+1)= 4x3+8x+4;x2− 2x− 3= 0;x1= 3,x2=− 1
c) Bu xil tenglamalarni sun’iy usullar bilan ham yechish mumkin
Misol:
√
3x+2
x +√
x
3x+2= 5
2 tenglamani yeching.
Tenglamaning
aniqlanish sohasini, ya’ni D(T) ni   topamiz: q.q.q s
3x+2
x ≥0.x≠0.3x+2≠ 0


X = {x/x≺− 2
3∪ x≻ 0} yoki (−∞;− 2
3)∪(0;∞)
√
3x+2
x = y

almashtirish bajarilsa, u holda √
x
3x+2= 1
y bo’lib,
y+1
y= 5
2 tenglama
hosil
bo’ladi, buni yechilsa,
y1= 2;y2= 1
2 ekanligi kelib chiqadi.
Misol :
2(x− 1)≺ √(x+5)(4x+3) tengsizlikni yeching.
q.q.q.s

xε (−∞;−5)∪[− 3
4;+∞] .
Chet
ildiz hosil bo’lganligi uchun bunday hulosa yuritamiz :
a) x<1
da chap tomon manfiy; o’ng tomon manfiy emas.
Demak,

xε (−∞;−5)∪[− 3
4;+∞)
b) x
≥1 da chap va o’ng tomonlar musbat.

4x 2
-8x+4<4x 2
+23x+15;

xε (−∞;−11
31 ) . Bu holda yechim yo’q.
2. Irratsional tengsizlik va ularni yechish .
1-misol:
2(x-1)< √(x+5)(4x+3) tengsizlikni yeching.
Yechish:

Chet
ildiz hosil bo’lmasligi uchun bunday mulohaza yuritamiz:
a)
x<1 da chap tomon manfiy; o’ng tomon manfiy emas. Demak,
x∈(−∞;−5)∪[−3
4;1]
b)
x¿ 1 da chap va o’ng tomonlar musbat. 4x 2
-8x+4<4x 2
+23x+15;
x∈(−∞;−11
31 )
.
Bu holda yechim yo’q.
Javob:

x∈(−∞;−5)∪[−3
4;1)
2-misol:
x 3
+x 2
+2 √x >4 tengsizlikni yeching.

Yechish: f(x)= x 3
+x 2
+2 √x -4 funksiya [0; ∞ ) oraliqda o’suvchi va aniqlangan
bo’lib,
f(1)=0 bo’lganidan x>1 bo’ladi. Demak, yechim (1; ∞ ) oraliqdan iborat.
3-misol.
(x-4) √x2+x− 2≤ 0 tengsizlikni yeching.
Yechish:
Bu tengsizlikni yechish unga teng kuchli bo’lgan
{x− 4≤ 0¿¿¿¿
{x≤ 4 ¿¿¿¿
sistemani
yechish bilan bog’liq.
Demak,
yechim {(- ∞ ;4] ¿ (- ∞ ;-2] ¿ [1; ∞ )}=(- ∞ ;-2] ¿ [1;4]
Yuqoridagilardan
ba’zan irratsional tengsizliklarni yechish tengsizliklar
sistemasini
yechish bilan ekvivalent bo’lishi mumkinligi ko’rinadi.

IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda irratsional tengsizliklar ham irratsional tenglamalar
singari
o’ziga mos funksiya xossasini o’rganish prossesida o’rganiladi.
Demak,
irratsional tengsizliklar y= ∜ x   funksiyaning xossasini o’rganishga
asoslanadi.
Faqat ∜ x ≷ c   (c-ixtiyoriy son) ko’rinishdagi tengsizlik o’rganilib,
uning
yechimi irratsional tenglama yechimi bilan birga o’rganiladi. Masalan,
∛ x=2;
     ∛ x>2;       ∛ x<2
∜ x=3;
     ∜ x>3;       ∜ x<3
Topshiriqda
∛ x=2   da x=8 bo’ladi, y= ∛ 8 funksiyasi o’suvchi va x ning
har
qanday qiymatida aniqlanganligidan foydalanib ( ∛ x>2) dan x>8,   ( ∛ x<2)
dan
8>x kelib chiqadi.
Demak,
birinchi tengsizlik uchun (8,+∞)   oraliqdagi ikkinchisi uchun (-∞,8)
oraliqdagi
qiymatlar toplami javob bo’ladi.
Topshiriqda
∜ x=3 dan x=81 bo’ladi.
So’ngra
  y= ∜ x   funksiyani aniqlanish soxasi va o’suvchiligini hisobga olib,
quydagini
yozish mumkin

( ∜ x>3) dan x>81,

   ( ∜ x<3) dan x<81
Birinchi
tengsizlik uchun (81,+∞) , ikkinchisi uchun   (-∞,81)   oraliqdagi
qiymatlar
javob bo’ladi.
Кўпайтувчиларга
ажратиш усули тенглама ва тенгсизликларни
ечишнинг
умумий усулларидан биридир. Табиийки, у иррационал
тенглама
ва тенгсизликларни ечишда ҳам қўлланёкиши мумкин. Бу
усулни
қўллаш учун   барча ҳадларни бир томонга ўтказиш(кўпроқ чап

томонга) ,иккинчи томонини   эса нол қёкиб қолдириш лозим. Сўнгра
кўпайтувчиларга
ажратилади. Эслатиб ўтамиз, кўпайтувчиларга
ажратиш
учун умумий кўпатувчини қавсдан ташқарига чиқариш,
гуруҳлаш
усули, қисқа кўпайтирш формулалари қўлланилади. Кейин
қуйидаги
умумий хулосадан фойдаланилади
f1(x)⋅f2(x)⋅...fn(x)=0 ⇔
ОДЗ (f1(x),f2(x),...,fn(x))
¿
[f1(x)=0,
[f2(x)=0,
[...
[fn(x)=0.
[¿
Мисол: 10 .
Тенгламани ечинг 16 4√3− x= x24√3− x .
Ечиш:
Чап қисмидаги тенглама ҳадларини гуруҳлаймиз ва умумий
кўпайтувчини
қавсдан ташқарига чиқарамиз. У ҳолда   берилган
тенглама
(16 − x2)4√3− x=0 тенгламага тенг кучли , у ўз навбатида
{
[16−x2=0,
[3−x=0,
[¿¿¿¿
⇔ {
[x=±4,
[x=3,
[¿¿¿¿
⇔
[x=−4,
[x=3.
[
системага
тенг кучли. Системадаги 3− x≥0 шарт
4√3− x илдизнинг
мавжудлиги
шарти сифатида пайдо бўлди. .
Мисол: 1 1 .
Тенгсизликни ечинг (x+1)√x2− x−6≥6x+6 .
Ечиш: Барча
ҳадларни тенгсизликнинг чап қисмига ўтказамиз:
(x+1)√x2−x−6−(6x+6)≥0
. Кўпайтувчиларга ажратамиз (x+1)(√x2− x−6−6)≥ 0 .
Жамланмани
ечишга ўтамиз :
[
¿
{x+1≥ 0,¿¿¿¿¿
⇔
[
¿
{x≥− 1,¿¿¿¿¿
⇔
[
¿
{x≥− 1,¿¿¿¿¿
⇔

⇔ ¿
[
¿
{x≥ − 1,¿¿¿¿ ⇔ ¿
[
¿
{x≥−1,¿¿¿¿
⇔¿ [x≥7,
[−6≤x≤−2.
[¿Баъзида
иррационал тенгсизликнинг чап қисми иккита функци
кўпайтмаси
кўринишида берилган бўлади. Айниқса
2n√f(x)⋅g(x)≥0,n∈N .
кўринишга
эга бўлган ҳол қизиқарли. Бундай тенгсизликни системалар
жамланмаси
ёрдамида ечиш хатолар билан бажарилади. Шунинг учун
бунга
тўхталиб ўтамиз.
Берилган
тенгсизликдаги ноқатъий ишора тенгсизликни унга тенг
кучли:
[2n√f(x)⋅g(x)=0,
[2n√f(x)⋅g(x)>0.
[
(7)
(8)
жамланма
билан алмаштиришга имкон беради. (7) тенгламани ечишни
[
¿
{f(x)=0,¿¿¿¿¿
Ажратишлар
қоидаси билан амалга оширамиз.Биринчи кўпайтувчининг
барча
х ларда номанфийлигидан (8) тенгсизликни унга тенг кучли
{g(x)>0,¿¿¿¿
система билан алмаштирамиз

(7) тенглама ечимидаги иккинчи система ва (8) га тенг кучли
система
, {g(x)≥0,¿¿¿¿ битта системага бирлаштирёкиши мумкин.
Шунинг
учун берилган тенгсизлик қуйидаги

2n√f(x)⋅g(x)≥0 ⇔жамланмага
тенг кучли .
Мисол: 13 .
Тенгсизликни ечинг (x2−3x− 40 )⋅8√2x−3≥0 .
Ечиш:
Берилган тенгсизлик :
[2x−3=0,
[
¿
{x2−3x−40≥0,¿¿¿¿¿
⇔
[x=
3
2
,
[
¿
{(x−8)(x+5)≥0,¿¿¿¿¿
⇔
[x=
3
2
,
[
¿
{
[x≤−5,
[x≥8,
[¿¿¿¿¿
⇔
[x=3
2,
[x≥8.
[
жамланмага
тенг кучли .
Иррационал
тенгсизликларни кўпайтувчиларга ажратиш усули
билан
ечишда бир нечта кўпайтувчини нол билан такққослашга тўғри
келади.
Бу ҳолатда тенгсизликни ечишнинг рационал усули оралиқлар
усули
ҳисобланади. Уни турли хил тенгсизликларни ечишда қўллаш
қуйидаги
теоремага асосланади.
Теорема 1: Агар
бирор оралиқда узлуксиз функция бу оралиқнинг
бирорта
ҳам нуқтасида нолга айланмаса, у ҳолда у бу оралиқда
ишорасини
сақлайди .
Шундай
қёкиб, y= f(x) функция берилган бўлса, у ҳолда сон ўқи
тўртта
тўпламга ажралади:
А
– f(x)>0 бўлган нуқталар тўплами;В – f(x)=0 бўлган нуқталар
тўплами;С
– f(x)<0 бўлган нуқталар тўплами; D – f(x) аниқланмаган
нуқталар
тўплами.

Тенгсизликни
ечиш қуйидаги босқичларга бўлинади. Дастлаб А, В,
С
ва D тўпламларнинг чегара нуқталари топилади. Топилган нуқталар сон
ўқини
оралиқларга ажратади. Ҳар бир оралиқ учун қайси тўртта
тўпламдан
бирига тегишли бўлиши аниқланади. Ниҳоят, ечилаётган
тенгсизлик
маъносига мос тўпламлар танланади.
Иррационал
тенгсизликларнинг фарқли хусусияти уларнинг
аниқланиш
соҳаси чегараланганлигидир. Шунинг учун одатда
тенгсизликни
ечишни аниқланиш соҳасини топишдан бошланади, кейин
f(x)=0
тенглама ечимлари топилади ва ниҳоят функция аниқланган ҳар
бир
оралиқда функция ишораси аниқланади.
Мисол: 15.
Тенгсизликни ечинг
x2−1
√13 − x2≥ x−1 .
Ечиш:
Оралиқлар усулидан фойдаланамиз Тенгсизликни
x2−1
√13 − x2−(x−1)≥0⇔ (x−1)((x+1)−√13 − x2)
√13 − x2 ≥ 0
.
кўринишда
ёзиб оламиз. Тенгсизлик аниқланиш соҳасини топамиз:
13 − х2>0⇔ (−√13 ;√13 )
.
Топилган
аниқланиш соҳасига тегишли шакл алмаштирилган
тенгсизлик
чап қисмида турган функция нолларини топамиз. Бунинг учун
каср
суратининг нолларини топиш етарли, яъни
{− √ 13 < x < √ 13 , ¿ ¿ ¿ ¿
⇔ ¿{− √13 < x<√13 ,¿¿¿
системани
ечиш лозим. Функция ноллари

$1 2 13+_ x 13  +аниқланиш соҳасини учта оралиққа ажратади. Ҳар бир оралиқда функция ишорасини топамиз : Демак, каср −√13 <x≤1 ва 2≤ x<√13 ларда номанфий қийматлар қабул қилади. Жавоб: −√13 <x≤1 , 2≤ x<√13 . Мисол: 18. Тенгсизликни ечинг 3− х √15 − х <1 . Ечиш: янги t ўзгарувчини √15 − x= t,t>0 рационаллаштирувчи алмаштириш ёрдамида киритамиз У ҳолда x=15 −t2 . 3−(15 − t2) t <1 ⇔ t2− t− 12 t <0 ⇔ (t+3)(t− 4) t <0 ⇔ [t<−3, [0<t<4. [ тенгсизликни оламиз. t>0 эканлигини ҳисобга олиб , 0<t<4 ни оламиз . Кейин х ўзгарувчига нисбатан иррационал тенгсизликлар системасини ечамиз : {√15 −x>0,¿¿¿¿ 0<15 − x<16 ⇔ −15 <− x<1⇔ −1<x<15 . Янги ўзгарувчини киритиш усулидан ташқари тўлиқ квадрат ажратишда фойдаланиладиган тенгламаларни қараймиз. Одатда илдиз остидаги ифодаларда радикаллар бўлган тенгламалар ечилади,ички ва ташқи радикалларда турган тўлиқ квадратни ажратиш учун кўпҳадлар даражалари устма уст тушиши лозим. Мисол: 19. Тенгламани ечинг √x− 1− 2√x− 2+√x+7− 6√x− 2= 2 . Ечиш: y=√x− 2 , y≥0 янги ўзгарувчини киритамиз У ҳолда x= y2+2 ва берилган тенглама$

√y2− 2y+1+√y2− 6y+9= 2⇔ √(y− 1)2+√(y− 3)2= 2⇔ |y− 1|+|y− 3|= 2кўринишда
ёзилади(
2n
√a2n=|a|,n∈N ,a∈R айниятдан фойдаланилди). Модул
қатнашган
тенгламани ечиб, 0≤ y≤1;1<y≤3;y>3 оралиқларда модулларни
кетма-кет
очиб, 1≤ y≤ 3 ни топамиз.
Охирги
босқичда
{√x−2≥1,¿¿¿¿ 1≤ х− 2≤ 9⇔ 3≤ х≤11 иррационал
тенгсизликлар
системасини ечамиз. .
Ўзгарувчини
алмаштириш билан ечиладиган тенгламаларнинг
махсус
типи бўлиб бир жинсли тенгламалар ҳисобланади. Кўпроқ
иккинчи
даражали бир жинсли тенглама лар учрайди. Эслатиб ўтамиз
р(х)
ва q(x)ифодаларга нисбатан биржинсли иккинчи даражали
тенглама деб
aр 2+bpq +cq 2= 0,a≠ 0,c≠ 0 кўринишдаги тенгламага
айтилади.
Бир жинсли тенгламани ечиш икки босқичга ажралади
1)
{p(x)=0,¿¿¿¿ система ечимларга эга ёки эмаслигини текшириш (у ҳолда
топилган
ечим берилган тенглама илдизи бўлади
2)
p(x)≠0,q(x)≠0 чекловларда тенгламани   p(x) ёки   q(x) ифодалардан
бирининг
юқори даражасига   бўлишни бажариш ва тенгламани
у= p(x)
q(x)
ёки

у= q(x)
p(x) янги ўзгарувчини киритиш билан рационал тенгламага
олиб
келиш.
Ихтиёрий
бир жинсли иккинчи даражали   тенглама   квадрат
тенгламага
келтирилади.
Мисол: 20.
Тенгламани ечинг: 6x2+7x√1+x= 24 (1+x) .

Ечиш: 24 (1+x) ҳадни тенгламанинг чап қисмига ўтказамиз х ва √1+x
ифодаларга
нисбатан бир жинсли иккинчи даражали тенгламани
оламиз :
6x2+7x√1+x− 24 (√1+x)2=0 . х ва √1+x ифодалар бир вақтда нолга
тенг
эмас, шунинг учун тенгламани ифодалардан бирининг иккинчи
даражасига
бўлиш мумкин. Ҳадма –ҳад (1+ х ) га бўламиз
6 x2
1+x+7 x
√1+x
− 24 = 0
ни
ни оламиз.
y= x
√1+x янги ўзгарувчини киритамиз ,
унга
нисбатан 6у2+7у− 24 = 0 квадрат тенгламани оламиз, унинг
илдизлари,:

у1= 3
2;у2=− 8
3.
Иррационал
тенгламаларни ечамиз, бунда x≠ 0,√1+x≠0 :
1).

x
√1+x
= 3
2 ⇔ 3√1+x=2x ⇔ {2 x ≥ 0 , ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=3 .
2).

x
√1+x
=− 8
3 ⇔ 8√1+x=−3x ⇔ {− 3 x ≥ 0 , ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=− 8
9 .
2.3. Функциялар хоссаларидан фойдаланиш
Мисол: 21.
Тенгламани ечинг
6√5− x− 8√7− x+4√2x− 15 = 2 .
Ечиш: Тенгламанинг аниқланиш соҳасини топамиз
{5−х≥0,¿{7−х≥0,¿¿¿¿⇔¿{х≤5,¿¿¿
Охирги
система ечимга эга эмас.Демак, берилган тенглама ҳам
илдизларга
эга эмас.
Мисол: 22 .
Тенгсизликни ечинг
√9− x2
x2+5
≥ √x2− 9
6− x .

Ечиш: Берилган тенгсизликнинг аниқланиш :
{9−x
2
≥0,¿{x
2
+5≠0,¿{x
2
−9≥0,¿¿¿¿
⇔¿{−3≤x≤3,¿
{
[x≤−3,
[x≥3,
[¿¿¿
⇔¿[x=−3,
[x=3.
[¿

Irratsional tenglama va tengsizliklarni o’rganish metodikasi Reja : 1. Irratsional tenglamalarni yechish usullari 2. Irratsional tengsizliklarni yechish usullari Irratsional tenglamalarni yechish usullari. Irratsional tenglamalarni yechish 9-sinf algebra kursida «Daraja katnashgan tengsizlik va tenglamalar» nomli mavzuda o’rgatiladi. Bunda faqatgina

kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechish o’rgatiladi. Shuning uchun xam bu mavzu materialini o’tish jarayonida o’qituvchi o’quvchilarga sonning kvadrat ildizi va uning arifmetik ildizi degan tushunchalarni takrorlab tushuntirishi lozim. Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional tenglama ko’rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng ko’p ishlatiladigan shakl almashtirish berilgan tenglikning xar ikkala tomonini bir xil darajaga kutarish va *=, kabi usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz xosil bulishi mumkin, chunki bu ayniy tengliklarning ung tomonlarining aniqlanish sohasi chap tomonlarining aniqlanish sohasiga qaraganda kengrokdir. Matematik ta'lim yilda olingan umumiy ta'lim maktabi, bir muhim komponent umumiy ta'lim va umumiy madaniyat zamonaviy odam. Zamonaviy odamni o'rab turgan deyarli hamma narsa u yoki bu tarzda matematika bilan bog'liq. LEKIN so'nggi yutuqlar fizika, muhandislik va axborot texnologiyalari bo'yicha kelajakda ishlarning holati bir xil bo'lib qolishiga shubha qoldirmaydi. Shuning uchun ko'plab amaliy muammolarni hal qilish hal qilish uchun qisqartiriladi har xil turlari yechishni o'rganish uchun tenglamalar. Bunday turlardan biri irratsional tenglamalardir.Irratsional tenglamalar Noma'lum (yoki ratsional)ni o'z ichiga olgan tenglama algebraik ifoda noma'lumdan) radikal belgisi ostida, deyiladi irratsional tenglama. Elementar matematikada irratsional tenglamalar yechimlari to‘plamda topiladi haqiqiy raqamlar.

Har qanday ir ratsional tenglama elementar algebraik amallar (ko'paytirish, bo'lish, tenglamaning ikkala qismini butun son darajaga ko'tarish) yordamida ratsional algebraik tenglamaga keltirish mumkin. Shu bilan birga, natijada oqilona ekanligini yodda tutish kerak algebraik tenglama dastlabki irratsional tenglamaga ekvivalent bo'lmasligi mumkin, ya'ni u asl irratsional tenglamaning ildizi bo'lmaydigan "qo'shimcha" ildizlarni o'z ichiga olishi mumkin. Shuning uchun, olingan ratsional algebraik tenglamaning ildizlarini topib, ratsional tenglamaning barcha ildizlari irratsional tenglamaning ildizlari bo'lishini tekshirish kerak. Umuman olganda, har qanday irratsional tenglamani yechishning universal usulini ko'rsatish qiyin, chunki ildizlar orasida faqat bir turdagi ratsional algebraik tenglamaning emas, balki dastlabki irratsional tenglamani o'zgartirish natijasida olinishi ma'qul. bu irratsional tenglamaning ildizlari bo'ladi, lekin imkon qadar kichik darajali ko'phadlardan tashkil topgan ratsional algebraik tenglama. Mumkin bo'lgan eng kichik darajadagi polinomlardan hosil bo'lgan ratsional algebraik tenglamani olish istagi tabiiydir, chunki ratsional algebraik tenglamaning barcha ildizlarini topish o'z-o'zidan juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin, biz buni faqat juda cheklangan miqdordagi to'liq hal qila olamiz. holatlardan.

Irratsional tenglamalar turlari Juft darajadagi irratsional tenglamalarni yechish har doim toq darajadagi irratsional tenglamalarni yechishdan ko‘ra ko‘proq muammolarni keltirib chiqaradi. Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarning xar ikkala tomonini bir xil darajaga kutarib yechish usuli karaladi. 1. Aniqlanish va o’zgarish sohasini (tekshirish) aniqlash bilan tenglama yechimining bor yoki yo’qligini aniqlash. 2. Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga kutarish usuli quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi: a) berilgan irratsional tenglama ko’rinishga keltiriladi; b) bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga kutariladi; v) natijada f(x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi; g) hosil bo’lgan f(x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali chet ildiz aniqlanadi. 3. Yangi o’zgaruvchi kiritish usuli bilan yechiladigan tenglamalar. 4.Radikallarni yakkalash usuli yordamida yechiladigan tenglamalar. 5.Tenglamaning ikkala tomonini uning bir tomonida turgan ifodaga qo’shma bo’lgan ifodaga ko’paytirish usuli bilan yechiladigan tenglamalar.Algebraik tenglamalarning turlaridan biri irratsional tenglamalardir.

Ta’rif : Irratsional tenglamalar deb, noma’lum ildiz belgisi ostida bo’lgan tenglamalarga aytiladi.Ba’zi algebraik tenglamalarni yechishda uning aniqlanish sohasiga hech qanday cheklanishlar qo’yilmaydi. Kasr-ratsional tenglamalarni yechishda tenglamaning aniqlanish sohasi o’zgaruvchi qatnashgan maxrajlar nolga teng bo’lmasligi kerak degan talab bilan aniqlanadi. Irratsional tenglamalarni yechishda esa tenglamaning aniqlanish sohasi tenglamaga kiruvchi juft ko’rsatkichli ildizlar arifmetik bo’lishi kerak, ya’ni ildiz ostidagi ifodalar va ildizlarning qiymatlari manfiy bo’lmasligi kerak degan shartdan kelib chiqqan holda belgilanadi. Irratsional tenglamaslarni yechishni, uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash shart deb tushunmaslik kerak, chunki ba’zi hollarda buni amalga oshirish juda qiyin kechadi. Irratsional tenglamaning aniqlanish sohasi topilmagan hollarda o’zgaruvchining barcha topilgan qiymatlari berilgan tenglamaga qo’yib tekshirib ko’rilishi lozim. Agar aniqlanish sohasi topilgan bo’lsa , u holda bu sohaga tegishli bo’lgan qiymatlarfgina tekshiriladi. Irratsional tenglamalarni yechishda asosan irratsional ifodalar ustida ayniy shakl almashtirishlardan va irratsional ifodalarning xossalaridan foydalaniladi. Irratsional tenglamani yechishda ayniy shakl almashtirish natijasida berilgan irratsional tenglama o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga (yoki tenglama va tengsizlik lar sistemasiga ) keltiriladi. Noma’lum qatnashgan ifoda ildiz belgisi ostida qatnashgan tenglamalar irratsional tenglamalat deyiladi : 2√x− 7=1;√2x+5+√x− 1= 8 Irratsional tenglamalar xususuiy hollarda quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin. a) Bitta kvadrat ildiz qatnashganirratsional tenglama

Irratsional tenglama va tengsizliklarni o’rganish metodikasi

08.08.2023

0

244.341796875 KB

Похожие