logo

Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshirish

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

632.1787109375 KB
 	1 	
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA 	 	
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI	 	
 	
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI	 	
 
 	
MEXANIKA	-MATEMATIKA FAKULTETI	 	
 	
“NAZARIY VA AMALIY M	EXANIKA”	 KAFEDRASI	 	
 	
 T	ebranishlar nazariyasi	 fanidan 	 	
 	
MUSTAQIL ISH	 	
 	
Mavzu: 	M	oddi	y 	nuqtaning tebranma harakatini 	tekshirish	 	
                                                                                        	  	 	 	 	
 	 	 	
 
 
 	 	 	 	Bajardi: ____ 	-guruh talabasi _____________	____	 	
              	 	
                        	 ___	_______________	 	
 	 	 	 	 	 	 	 	
                                                  	Qabul qildi: 	________________________	 	
                	           	  	
                                            	 
 Mustaqil ish topshir	ilgan vaqt    _________	 	
                                            	Mustaqil ish qabul qilingan vaqt_________	 	
 	
 
 	
Samarqand  2022	   	2 	
Mustaqil  ishni  bajarish  tartibi:	 Xar  bir  talaba  avval  namunaviy  yechib  ko’rsatilgan 	
masalalar  bilan  tanishib  chiqadi  so’ngra  o	’zining  jurnaldagi  nomeri  bo’yicha  o’ziga 	
tegishli  bo’lgan  masalaning  qiymatlarini  oladi.  Mustaqil  ishni  bajarayotgan  vaqti 	avval 	
mavzuga  tegishli  asosiy  tushunchalarni  yozib  so’ngra  masala  yechiladi.  Namunaviy 
masalalarni yozish shart emas. Xar bir talaba	 chizmalarni chizishda	 koordinata o’qlarini 	
kiritishga,  kuchlarning  yo’nalishini  qo’yishga	 alohida  e’tibor  berishi,  mustaqil  ish  yuzi 	
namunadagidek  bo’lishi    va    mustaqil  ish  oxirida  foydalanilgan  adabiyotlar  ro’yxati 
keltirilishi talab etiladi.	 	
 	
Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshirish	 	
 	Qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranishlar	 	
To‘g‘ri  chiziq  bo‘ylab  harakatlanuvchi 	 nuqtaga,  faqat  bitta 	–muvozanatlovchi	 	 	
kuch  qo‘yilgan 	bo‘lsin	. 	-kuchning  s	hu  to‘g‘ri  chiziq  bo‘ylab  o‘tkazilgan  koordinata 	
o‘qiga 	 proyeksiyasi quyidagicha bo‘ladi,	 	
                    	     	         	  	          	 (2.	1)	 	
 	 nuqtaning harakat qonunini aniqlaymiz. Harakatning differensial tenglamasini Ox 	
o‘qidagi proyeksiyasini yozamiz:	 	
    	yoki    	  	 	 	(2.	2)	 	
 	Tenglikning  ikka	la  tomonini 	-ga  bo‘lib  yuborib  va 	 belgilash  kiritib, 	
yuqoridagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:	 	
                                  	 	         	 (2.	3)	 	
 	(2.	3)  tenglama, 	qarshiliksiz 	muhitdagi  erkin  tebranma  harakat  differensial 	
tenglamasi	 deb ataladi. Ushbu 	differensial 	tenglamaning umumiy yechimi	: 	
,            	 	                	 	        	(2.	4)	 	
bu  yerdagi 	 va   	 – lar  i	ntegral	lash	 o‘zgarmas	lari.  Agar 	, 	deb	 	
kiritsak, u holda (	2.	4) tenglamaning ko‘rinishi 	quyidagicha bo‘ladi	 	
 yoki 	,   	 	     	(2.	5)	 	
 	(2.	5) qonuniyat bilan tebranuvchi n	uqtaning harakati 	garmonik tebranma harakat	 deb 	
ataladi. 	Tebranma harakatdagi nuqtaning  tezligi	 	
,                                          (	2.	6)	 	
 	A, 	tebranish amplitudasi	, 	 tebranish fazasi	 deb ataladi. 	 	
 	Nuqt	aning    to‘la  bir  marta  tebranishi  uchun  sarflangan	 vaqt  oralig‘i  T	, tebranish 	
davri	 deb  ataladi.  Davr  o‘tishi  bilan  faza  2	-ga  o‘zgaradi.  Shu  sababli  kT=2	  	bo‘lish 	
sharti	dan tebranish davri aniqlanadi	 	
    	                      	 	    	         	(2.	7)	 	
 	Tebranish 	davriga teskari kattalikga	 tebranish chastotasi deb ataladi	 	
       	 	              	 	 	   	(2.	8)	 	
 	 da 	 ekanligidan  foydalanib,  (	2.	5)  va  (	2.	6)  formulalar  orqali 	
x0=As	in	,   v	0/k=A	cos	 -ni aniqlaymiz. Bu tengliklarni kvadratga ko‘tarib, ularni hadma	-M F F cx	Fx	 M xF	xm	 cx	xm	 m 2k	m
c 0	2			x	k	x kt	C	kt	C	x	cos	sin	2	1		 1C 1C 	cos	1	A	C	 	sin	2	A	C	 			sin	cos	cos	sin					kt	kt	A	x 			kt	A	x	sin 						kt	Ak	x	x	cos	 			kt k	T	2	 T	
k	1	
2				 0t 0	0,	v	v	x	x		   	3 	
had  qo‘shsak,  so‘ngra  ularning  birini  ikinchisiga  nisbatini  olsak,  A  va 	 larning 	
qiymatlarini aniqlaymiz	 	
A=	,    tg	=kx	0/v	0                                  	(2.	9)	 	
Shunday  q	ilib,  boshlang‘ich  shartlarsiz,  ya’ni  chegaraviy  shartlar  berilgan  masalalar 	
bir necha yechimga yoki, umuman, yechimga ega bo‘lmasliklari mumkin ekan. 	 	
Qarshilikligi muhitdagi erkin tebranishlar	 	
 	Qarshili	kl	i  muhitlardagi  erkin  tebranma  harakatni 	tekshirib  ko‘ramiz.  Qarshili	kl	i 	
muhitlar	ning  qarshiliklari  nuqtaning  tezligiga  to‘g‘ri 	
proportsional  ravishda  o‘zgaruvchan  funksiyadan  iborat 
bo‘ladi,  masalan   	=-	. 	Nuqtaning	 	harakatida	 	
muvozanatlovchi	 	 kuch	 va	 muhit	 qarshiligi	 kuchi	 	, 	
ta	’sir	 	etsin	 	(1	-rasm	). 	U	 	holda	 	Fx=-cx	, 	Rx=-vx=-	 	
bo	‘lganligi	 uchun	, shu	 nuqtaning	 harakat	 differensial	 tenglamasi	 quyidagicha	 yoziladi	 	
m	=-cx	-	 	
 	Tenglamaning	 ikkala	 tomonini	 m	-ga	 bo	‘lib	 yuborib	, tegishli	 belgilashlar	 kiritsak	, 	
+2b	+k	2x=0 	                              	            	(2.	10	) 	
bu 	yerda	 	
 k2=c/m;   2b=	/m                                                (	2.	11	) 	
 	(2.	10	)  tenglama 	qarshilikli  muhitdagi  erkin  tebranma  harakatning  differensial  	
tenglamasi 	deb ataladi. Uning yechim	i quyidagi ko’rinishda bo’ladi:	  	
x=e	-bt (C	1sink	1t+C	2cosk	1t)    	 	                          	(2.	12	) 	
yoki 	 	
x=A e	-bt sin(k	1t+	) bo‘ladi,	 	 	    	 	      	(2.	13	) 	
 	(2.	13	)  tenglama  bo‘yicha  sodir  bo‘ladigan  harakat,  so‘nuvchi  harakat  bo‘ladi, 	
chunki  tenglamada  e	-bt dan  iborat  ko‘paytma  bo‘lganligi 	
sababli, 	x=OM  (	2-rasm	) qiymat vaqt o‘tishi bilan kamayib 	
borib nolga intiladi.	 	
 	Ushbu  tebranma  harakatning  grafigi	 	2-rasm	da 	
tasvirlangan  (grafik  ikki  tarafdan  x=A  e	-bt va  x=	-A  e	-bt 	
punktir egri chiziqlar ichiga olingan, chunki sin(kt+	) ning 	
son qiymati 1	-dan oshm	aydi).  	 	
 	T1 	vaqt	 oralig	‘ini	 so	‘nuvchi	 tebranishlar	 davri	 deb	 	
ataladi	 va	 u sin	(kt	+) 	ning	 davriga	 teng	 bo	‘lib	, 	uning	 	
qiymati	 	
T1=	=	    	    	                	                  	(2.	14	) 	
Agar	 (2.	7) 	tenglikni	 e’tiborga	 olsak	 (2.	14) formula	 quyidagi	 ko	‘rinishga	 kel	adi	, 	
T1=	=	T(1+	)  	 	   	   	(2.	15	) 	
 	 	
Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli majburiy tebranm	a harakati.	  	
 	
1-rasm	. 	
2-rasm	 x	v	k	02	02	2		/ R v F R x x x x x 2
1

k 2
2	2	
	
k	b 2	
1	2	2	
	
k	b	k		/ T
b	k	1	2	2		/ 1
2 b
k
2
2   	4 	
Nuqtaga  muvozanatlovchi 	 -kuchdan  tashqari  vaqt  mobaynida  davriy  ravishda 	
o‘zgarib turuvchi 	-kuch	 ham ta’sir et	sin	. 	-kuchining	 Ox	 o‘qidagi	 proektsiyasi	: 	
Q	x=Q	0sinrt	                                                      	(2.	16	) 	
Bunday	 kuch	 qo	‘zg	‘atuvchi	 kuch	 deb	 ataladi	 va	 shu	 kuch	 ta	’siridagi	 tebranma	 harakatni	 	
majburiy	 tebranishlar	 deb	 ataladi	. (2.	16	) formuladagi	 r -qiymatni	 qo	‘zg	‘atuvchi	 kuchning	 	
chastotasi	 deb	 ataladi	.  	
 	Ushbu	 (2.	16	) ko	‘rinishdagi	 kuchga	 garmonik	 qo	‘zg	‘atuvchi	 kuch	 deb	 ataladi	.  	
 	1. 	M u h i t	 	q a r s h i l i g i	 	bo	‘l m a g a n	 	h o l d a g i	 	m a j b u r i y	 	t e b r a n i s h l a r	1.  	
Harakatlanuvchi	 nuqtaga	 muvozanatlovchi	 	kuchdan	 tashqari	 faqat	 qo	‘zg	‘atuvchi	 kuch	 -	
 ta	’sir	 etsin	. U	 holda	 nuqtaning	 harakat	 differensial	 tenglamasi	 quyidagi	 ko	‘rinishda	 	
yoziladi	 	
m	=-cx	+ 	Q	0sinrt	 	
 	Bu	 	tenglamaning	 	ikkala	 tomonini	 	m	-ga	 bo	‘lamiz	 	va	 quyidagi	 belgilashlarni	 	
kiritamiz	 	
c/m	=k2,   	Q	0/m	=R0   	 	          	(2.	17	) 	
R0-ning	 o‘lchov	 birligi	 tezlanish	 kabi	 bo	‘ladi	. U	 holda	 yuqoridagi	 differensial	 tenglama	 	
quyidagi	 ko	‘rinishga	 keladi	 	
+ 	k2x= 	R0sinrt	       	 	               	      	 (2.	18	) 	
 	(2.	18	) tenglama	 muhit	 qarshiligi	 bo	‘lmagan	 holdagi	 nuqtaning	 majburiy	 tebranma	 	
harakatining	 differensial	 tenglamasi	 deb	 atal	adi	 va	 bu	 tenglamaning	 yechimi	 x=x1+x2 	
ko	‘rinishda	 bo	‘ladi	. Bu	nda	  	
 	
 	(2.	18	) tenglamaning umumiy yechimi	 	
 	    	                   	   	(2.	19	) 	
(2.	19	)  yechimdan  ko‘rinib  turibdiki,  teb	ranma  harakat  ikkita,  ya’ni: 	cha	stotasi 	-k  va 	
amplitudasi  A	, 	chastotasi 	-r  va  amplitudasi  V	 bo‘lgan 	majburiy  tebranishlar	ning 	
yig‘indisidan iborat bo‘lar ekan.	 	
 	Majburiy  tebranishlarning  chastotasi 	-r,  qo‘zg‘atuvchi  kuchning  chastotasiga  teng 	
bo‘ladi. 	 	
 	2*. 	M u h i t   q a r s h i l i g i       t a ’ s i r i d a g i	 m a j b u r i y   t e b r a n i s h l a r	.  Harakatdagi 	
nuqtaga,  muvozanatlovchi  kuch 	,  tezlikka  proportsional  ravishda  o‘zgaruvchi  qarshilik 	
kuchi 	 va 	qo‘zg‘atuvchi  kuch  Q  ta’sir  etsin.  Bunday  kuchlar  ta’siridagi  nuqtaning 	
harakat differensial tenglamasi, quyidagicha bo‘la	di	 	
m	=-cx	-	+ Q	0sinrt                      (	2.	20) 	
 	Tenglamaning ikkala 	tarafini m	-ga bo‘lib, 	yuqoridagi 	belgilashlarni e’tiborga olsak, 	
yuqoridagi tenglama 	 	
+2b	+k	2x= R	0sinrt     	 	             	(2.	21) 	
                                        	        	 	
 F Q Q F Q x x 		rt	p	k	
P	x	kt	A	x	sin	;	sin	2	2	0	2	1					 		rt	p	k	
P	kt	A	x	sin	sin	2	2	0
				 F R x x x x   	5 	
 	(2.	21)  tenglama, 	yopishqoq  muhit  qarshiligi  ta’siridag	i  majburiy  tebranma 	
harakatning  differensial  tenglamasi	 deb  ataladi.  Uning  umumiy  yechimi 	quyidagi 	
ko‘rinishda bo‘ladi.	 	
x=Ae	-btsin(k	1t+	)+Bsin(rt	-)                    (	2.	22	) 	
 	Ushbu  tebranma  harakat	 	murakkab  bo‘lib,  xususiy  va  majburiy	 	tebranma 	
harakatlarn	ing  yig‘indilaridan  iborat  bo‘ladi.  Ta’kidlanganidek,  bunday  tebranishlar  tez 	
�R�U�D�G�D���V�R�µ�Q�D�G�L���Y�D���E�X���V�R�µ�Q�L�V�K���G�D�Y�U�L���W	u -ni 	o‘rnashish (o‘tish jarayoni) vaqti	 deb ataladi, lekin 	
ko‘p hollarda u e’tiborga olinmaydi.	 	
 	 	
Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshir	ish	 	
 massali 	 yukning (2 va 4	-variantlar) yoki massalari 	 va 	 bo’lgan 	 va 	 	
yuklar sistemasining (1,3,5 	– variantlar) x	 o’qi bo’yicha harakat tenglamasi topilsin. Sanoq 	
boshi 	 yukning  yoki  mos  ravishda 	 va 	 yuklar  sistemas	ining  tinch  vaziyatida 	
(prujinaning  statik  deformatsiyasi  holatida)  olinsin.  Yuklarn	i  birlashtirib  turuvchi  sterjen 	
og’irliksiz va deformatsiyalanmaydi, deb hisoblansin.	 	
 	 yuk  (	)  har  birining  bikirlik  koeffitsiyenti 	bo’lgan  ikkita  bir  hil 	
parallel  prujinaga  osilgan 	 taxtachaga  mahkamlangan, 	 yuk  mahkamlangan  nuqta 	
prujinalarning o’qlaridan teng masofalarda joylashgan.	 	
 	1-variant.	 Biror  vaqt  onida 	 yukka 	 yuk  (	)  osib  qo’yiladi.  Yuklar 	
sistemasining  harakatiga  qarshilik  kuchi  tezlikka  proporsional: 	,  bu  yerda 	- 	
tezlik (m/s).	 	
 	Mutlaq  bikir 	 taxtachaning  va  unga  mahkamlangan  dempfer  qismining  mas	sasi 	
hisobga olinmasin.	 	
 	2-variant.	 	(	)  va	(	)  yuklarni  birlashtirib  turuvchi  sterjen  kesib 	
yuborilgan  ondan  boshlab 	 nuqtaga  (ketma 	– ket  ulang	an  prujinalarning  yuqori  uchi) 	
 qonun  bo’yicha  harakat  qila  boshlaydi(	 o’qi  vertical  bo’ylab  pastga 	
�\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q�������3�U�X�M�L�Q�D�O�D�U�Q�L�Q�J���E�L�N�L�U�O�L�N���N�R�H�I�I�L�W�V�L�\�H�Q�W�O�D�U�L��	, 	. 	
 	3-var	iant.	 	(	) 	 taxtachaning 	 nuqtasiga  mahkamlangan  va  bikirlik 	
koeffitsiyenti 	 bo’lgan  prujinaga  osilgan.  Taxtacha  bikirlik  koeffitsiyentlari 	
, 	bo’lgan  ikkita  parallel  prujinaga  osib  qo’yilgan. 	 nuqta  bu 	
prujinalarning o’qlaridan 	 va 	 masofalarda joylashgan: 	 	
 	Bi	ror  vaqt  onida 	 yukka 	 yuk 	 osib  qo’yiladi.  Xuddi  shu  vaqt  onida 	
�\�X�N�O�D�U�� �V�L�V�W�H�P�D�V�L�J�D�� �S�D�V�W�J�D�� �\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q��	 tezlik  beriladi.  Mutloq  bikir  taxtachaning 	
massasi hisobga oli	nmasin.	 	
 	4-variant. 	Ikkita  bir  xil  parallel  prujinaning 	(	)  va 	(	)  yuklar 	
ta’siridagi  statik  deformatsiyasi 	.  yuklar  prujinalarga  mutlaq  bikir 	 taxtacha 	
yordamida osilgan. Biror vaqt onida yuklarni birlashtirib turuvchi sterjen kesib yuboriladi. 	
 yukning  harakatiga  qarshilik  tezlikka  proporsional, 	 bu  yerda 	-tezlik 	. 	
Taxtachaning va unga mahkamlangan dempfer qismining massasi hisobga olinmasin.	 	
 	5-variant. 	Bikirlik  koeffitsiyenti 	 bo’lgan  prujinaga  osig’liq 	 yukka 	
(	)	 yuk 	 osilgan  ondan  boshlab 	 nuqta  (prujinaning  yuqori  uchi) Dm D Dm Em D E D D E D kg	mD	4 sm	N	с	/	6 AB D D E kg	mE	2 	H	R	6  AB D kg	mD	2 E kg	mE	3 B 		smt10	sin  sm	N	с	/	24	1 sm	N	с	/	34	2 D kg	mD	8,1 AB F sm	N	с	/	8	1 sm	N	с	/	4,2	2 sm	N	с	/	6,4	3 F a b 2	3/	/	c	c	b	a	 D E kg	mE	8,1 s	m/	5,0	0	 D kg	mD	2 E kg	mE	5 sm	fst	6,4 AB D 	N	R	8  s	m/ sm	N	C	/	6,4 D kg	mD	2 E kg	mE	3 B   	6 	
 qonun  bo’yicha  harakatlana  boshlaydi  (	 o’qi  vertikal  bo’ylab  pastga 	
�\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q����	 	
 	Eslatma.	 Sanoq  boshining 	 o’qidagi  vaziyati 	 nuqtaning  o’rta  vaziyatiga  (	) 	
mos keladi.	 	
 	6-10	-variantlar  (1	-chizma).	 	 massali 	 yukning  goriz	ont  bilan 	 burchak  tashkil 	
qiluvchi qiya tekislik bo’ylab harakat tenglamasi uni prujinaga yoki prujinalar sistemasiga 
kelib  tegish  onidan  boshlab  topilsin;  bunda  yuk  keyingi  harakati  davomida  prujinalardan 
ajralmaydi,  deb  faraz  qili	nsin.  Sanoq  boshi  uchun  yukning  tinch  vaziyati  (prujinalarning 	
statik deformatsiyasi holati) qabul qilinib, uning harakati 	 o’qiga keltirilsin.	 	
 	6-variant. 	 yuk 	 qiya tekislik bo’ylab (	) boshlang’ich tezliksiz 	 	
masofani  o’tib,  bikirlik  koeffitsiyentlari 	, 	 	bo’lgan 	
deformatsiyalanmagan, ketma	-ket ulangan prujinalarga borib uriladi.	 	
 	7-variant. 	Biror 	vaqt  onida 	 	yuk  (	) 	, 	 bikirlik 	
koeffitsiyentlariga  ega  bo’lgan  deformatsiyalanmagan,  ketma	-ket  ulangan  prujinalarning 	
 	uchiga  boshlang’ich  te	zliksiz  ulab  qo’yiladi.  Xuddi  shu  ondan  boshlab  (	) 	
prujinalarning ikkinchi 	 uchi qiya tekislik bo’ylab (	) 	 qonun bo’yicha 	
harakat qila boshlaydi (	 o’qi qiya tekislik bo’ylab pastga yo’nalgan).	 	
 	Eslatma.	 Sanoq  boshining 	 o’qidagi  vaziyati 	 nuqtaning  o’rta  vaziyatiga  (	) 	
mos keladi.	 	
 	8-variant.	 	, 	 bikirlik  koeffitsiyentlariga  ega  bo’lgan  1  va  2 	
parallel prujinalar mutlaq bikir 	 taxtacha bilan birlashtirilgan bo’lib, uning 	 nuqtasiga 	
bikirlik  koeffitsiyenti 	 bo’lgan  3 	prujina  mahkamlangan. 	 nuqta  1  va  2 	
prujinalarning  o’qlaridan 	 va 	 masofalarda  joylashgan: 	.  1,  2  va  3  pruj	inalar 	
deformatsiyalanmagan,  1,	8 kg  massali 	 yuk  3  prujinaning 	 uchiga  ulanadi.  Xuddi  shu 	
onda 	 yukka  qiya  tekislikka  (	)  parallel  ravishda  pastga  yo’nalgan 	 tezlik 	
beriladi. 	 taxtachaning massasi hisobga olinmasin.	 	
 	9-variant.	 	 yuk  (	)  qiya  tekislik  bo’ylab  (	���� �E�R�V�K�O�D�Q�J�¶�L�F�K�� �W�H�]�O�L�N�V�L�]��	
 masofani  o’tib,  bikirlik  koeffitsiyenti 	 bo’lgan  deformatsiyalanmagan 	
prujinaga borib uriladi. Xuddi shu ondan  boshlab (	) 	 nuqta (prujinaning pastki uchi) 	
qiya  tekislik  bo’ylab 	 qonun  bo’yicha  harakat  qila  boshlaydi(	 o’qi  qiya 	
�W�H�N�L�V�O�L�N���E�R�¶�\�O�D�E���S�D�V�W�J�D���\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q������	-variantga berilgan eslatmaga qarang). 	 	
 	10	-variant.	 	 	yuk  (	)  ikkita  bir  xil  parallel  prujinalarning  uchlarini 	
birlashtiruvchi  mutlaq  bikir 	 taxtachaning  o’rtasiga  boshlang’ich  tezliksiz  mahkamlab 	
�T�R�¶�\�L�O�D�G�L���� �3�U�X�M�L�Q�D�O�D�U�� �G�H�I�R�U�P�D�W�V�L�\�D�O�D�Q�P�D�J�D�Q���� �3�U�X�M�L�Q�D�O�D�U�Q�L�Q�J�� �N�D�H�I�L�V�L�\�H�Q�W�O�D�U�L��	. 	
Yukning  harakatiga  qarshilik  tezlikka  proporsionar	,  bu  y	erda 	-tezlik  (m/s), 	
.  AB  taxtachaning  unga  maxkamlangan  dempfer  qismining  massasi  hisobga 	
olinmasin.	 	
 		smt4	sin2,3  x B 0 m D  x D kg	m	5 0	30	 m	S	4,0 sm	N	с	/	42	1 sm	N	с	/	18	2 D kg	m	4,2 sm	N	с	/	16	1 sm	N	с	/	8	2 A 0t B 0	45	 	mt	10	sin2,0  x B 0 sm	N	с	/	14	1 sm	N	с	/	8	2 AB K sm	N	с	/	12	3 K a b 1	2/	/	c	c	b	a	 D N D 0	45	 s	m/	2	0	 AB D kg	m	2 0	30	 m	S	2,2 sm	N	с	/	4,2 0t B 	mt10	sin	23,0  D kg	m	2 AB sm	N	c	/	2 	N	R	6  )	60	(	o	a   	7 	
 	
 	
 	 	
 	
 	
 	
   	8 	
 	
 	
1-chizma	 	
11 	– 15	-variantlar	 (2	-chizma	). 	 massali	 	 yuk	 gorizontal	 tekislikda	 	 o’q atrofida	 	
aylana	 oluvchi	 vaznsiz	 sterjenning	 uchiga	 mah	kamlangan	. 	Yuk	 prujina	 bilan	 yoki	 	
prujinalar	 sistemasi	 bilan	 biriktirilgan	. 	Sterjenning  chizmada  ko’rsatilgan  tinch  turgan 	
holati  defor	matsiyalanmagan  prujinalarga  mos  keladi.  Moddiy  nuqta,  sifatida  qabul 	
qilinadigan	 	 yuk  to’g	ri  chiziq  bo’ylab  xarakatlanadi	,  deb  hisoblab,  bu  yukning  harakat 	
tenglamasi aniqlansin (yukning tekislik bo’ylab sirpanish ishqalani	shi h	isob	ga olinmasin).	 	
 	Harakat 	x o’qiga  keltirilsin,  sanoq  boshi  qilib  yukning  tinch	-turgan  holatiga  mos 	
keluvchi nuqta olinsin.	 Harakat 	 o’qiga keltirilsin, sanoq boshi qilib yukning tinch turgan 	
holatiga mos keluvchi nuqta olinsin.	 	
 	11	-va	riant.	 	 yuk  (	)  bikirlik  kaefisiyentlari   	 va 	 	
bo’lgan  ikkita  parallel  prujinaning  uchlarini  bog’lovchi 	 taxtachaning 	 nuqtasiga 	
biriktirilgan. 	 nuqta  prujinalarning  o’qlaridan 	 va 	 	masofalarda  joylashgan:  	
. 	
 	 yuk chizmada ko’rsatilgan vaziyatdan chap tomonga	 	 qiymatga og’diriladi 	
va  boshlang’ich  tezliksiz  qoyib  yuboriladi.  Yukning	 harakatiga 	 qarshilik  tezlikka 	
proporsional 	,  bu  yerda 	-tezlik  (	), Mutlaq  bikir	taxtachaning  va 	
dempferning massasi hisobga olinmasin. 	 	
 	12	-variant.	 Biror  vaqt  onida  prujinaning   	 qiymatgacha  siqib  ushlab  turilgan	  	
 	 	yuk  (	) 	boshlang’ich  tezliksiz  qo’yib 	yuboriladi.  Prujinaning  bikirlik 	
kaefisiyenti 	. 	Shu  ondan  boshlab  (	) 	 nuqta  (prujinaning  o’ng  uchi) 	
 qonun bo’yicha harakat qila boshlaydi (	 o’qi chapga yo’nalgan).	 	
 	Eslatma.	 Sanoq  boshining 	x o’qidagi  vaziyati 	 nuqtaning  o’rta  vaziyatiga 	 	
mos keladi.	 	
 	13	-variant.	 	 	yuk  (	)    bikirlik  kaefisiyentlari   	 	bo’lgan 	
prujinaning  uchiga  maxkamlangan  bo’lib,  bu  prujinaning  ikkinchi  uchi 	 taxtachaning 	
 nuqtasi  bilan  biriktirilgan. 	 taxtacha  xar  birining  bikirlik  kaefisiyentlari	  	  	
bo’lgan  ikkita  parallel  prujinaning  uchlarini  bog’laydi. 	 nuqta  parallel  prujinalarning 	
o’qlaridan  teng  masofalarda  joylshgan.  Yukka 	 sterjenning  chizmada  ko’rsatilgan 	
vaziyatidan o’n	g tomonga yo’nalgan 	 tezlik beriladi. 	 	
 	Yukning  harakatiga  qarshilik  tezlikka  proporsional 	,  bu  yerda 	-tezlik 	
(	).  Dempfer  surilgichi  vaznsiz 	 taxtachadagi  teshik  orqali  o’tkazilib, 	 yuk  bilan 	
biriktirilgan.	 	
 	14	-variant.	 	 yuk  (	)  bir  tomoni  bilan 	 bikirlik  kaefisiyentiga 	
ega  bo’lgan  prujinaning  uchiga,  ikk	inchi  tomoni  bilan  esa  bikirlik  kaefisiyentlari  	
, 	 bo’lgan ikkita ketma	-ket prujinaning uchiga maxkamlangan. 	 m D E D x D kg	m	4,1 sm	N	c	/	2	1 sm	N	c	/	4,2	2 AB F F a b 1	2/	/	c	c	b	a	 D sm6 	N	R	5  s	m/ AB sm4 D kg	m	5 sm	N	c	/	6 0t B )	(	10	sin2,3	smt	  B )0	(		 D kg	m	2 sm	N	c	/	8 AB F AB sm	N	c	/	8 F ED s	m/	5,1 	N	R	8  s	m/ AB D D kg	m	5,2 sm	N	c	/	4,2	1 sm	N	c	/	3	2 sm	N	c	/	6	3   	9 	
 	Yuk  chizmada  ko’rsatilgan  vazityatidan  chap  tomonda 	 qiymatga  og’dirilib, 	
qo’yib yuboriladi va shu Bilan bir vaqtda o’ng tomonga yo’nalgan 	 boshlang’ich 	
tezlik beriladi. 	 	
15	-variant.	 	 	yuk  (	) 	ketma	-ket  ulangan  prujinaning 	A 	uchiga 	
mah	kamlangan.  Prujinalarning  ikk	inchi 	 	uchi 	 	qonun  bo’yicha 	
harakatlanadi  (	 o’qi  chapga  yo’nalgan).prujinaning    bikirlik  kaefisiyentlari   	va 	
.   	 da  yu	k  deformatsiyalanmagan  prujinalarga  mos  keluvchi  tinchlik 	
vaziyatida turadi (12	-variantdagi eslatmaga qarang). 	 	
 	16 	– 20	-variantlar.	 	  	massali 	 yukning  (17	-va  19	-variantlar)    yoki 	 va 	
massali 	 va 	 yuklar sistemasining (16,18,20	-variantlar) harakat tenglamasi topilsin 	
(bu  harakat 	x o’qiga  keltirilsin).  Sanoq  boshi 	D	 yukning  yoki  mos  ravishda 	 va 	 	
yuklar  sistemasining  tinch  vaziyatida  (prujinalarning  statik  deformatsiyasi  vaziyatida) 
olinsin. 	 va 	 yuklar birgalikdagi harakatlarida ajralib ketmaydi, deb faraz qilinadi. 	 	
 	16	-variant.	 Us	tida 	 yukni (	) ushlab turuvchi 	1 prujina 	 nuqtada ikkita 	
2 va 	3 parallel prujinalarning uchlarini birlashtirib turuvchi 	 taxtaga tayanadi. 	1, 2	 va 	3 	
prujinalarning 	bikirlik kaefisiyentlari (	) 	. 	
 	 nuqta 	2 va 	3 prujinalarning  o’qlaridan 	 va 	 masofalarda  joylashgan: 	
. 	
 	 Vaqtning biror	 onida 	 yukning ustiga 	 yuk (	) qo’yiladi va shu bilan bir 	
vaqtda  yuklar  sistemasi  pastga  yio’nalgan 	 tezlik  beriladi.  Mutlaq  bikir 	 	
taxtachan	ing massasi hisobga olinmasin. 	 	
 	17	-variant.	 Biror	 vaqt  onida 	 yuk 	 yukning  ustidan  olinadi  (ikka	la  yuk  ham 	
prujinaning  statik	 deformatsiyasiga  mos  keluvchi  tinch  holatda  turibdi). 	 va 	 yuklar 	
sistemasining    prujina  ustidagi  xususiy  tebranishlarining  siklik  chastotasi 	, 	
massalar nisbati 	. 	
 	18	-variant.	 Ikkita  bir  xil  parallel  prujinalardan  xar  birining 	 yuk  (	) 	
tasiridagi  statik	 deformatsiyasi 	.  Biror  vaqt  onida 	 yukning  ustiga 	 yuk 	
 qo’yiladi.  Yuklarning  harakatiga  qarshilik  tezlikka  prop	orsional 	,  bu 	
yerda  v	-tezlik  (m/s).  Mutlaq  bikir  taxtachaning  va  u  bilan  bog’langan  dempfer  qismining 	
massasi hisobga olinmasin.	 	
 	19	-variant.	 Ikkita 	 va 	 yuk 	(	 	) 	 va 	 	
bikirlik 	kae	ffitsiyentlariga  ega  bo’lgan  ketma	-ket  ulangan  prujinalarning  ustida  tinch 	
turibdi. 	 yuk  olingan  ondan  boshlab  prujinalarning  tayanch  nuqtasi 	 	 	
qonun bo’yicha harakat qila boshlaydi (	 o’qi vertik	al bo’ylab pastga yo’nalgan). 	 	
 	Eslatma.	 Sanoq  boshining 	x o’qidagi  vaziyati 	 nuqtaning  o’rta  vaziyatiga  (	) 	
mos keladi. 	 	
 	20	-variant.	  Prujinaning  statik	 deformatsiyaga  mos  keluvchi  tinch  holatda  bo’lgan 	
 yukning  ustiga  vaqtning  biror  onida 	 yuk  qo’yiladi.  Huddi  shu  onda  yuklar 	
sistemasiga  pastga  yo’nalg	an 	 tezlik  beriladi. 	 yukning  prujina  ustidagi 	
xususiy tebranishlarining siklik chastotasi 	  massalar nisbati 	.  sm5,1 s	m	v	/	4,1	0 D kg	m	2 B )	(	8	sin8,2	smt	  sm	N	c	/	6	1 sm	N	c	/	8	2 0t Dm D Dm Em D E D E D E D kg	mD	12 F AB sm	N/ 110	,	140	,	100	3	2	1				c	c	c F a b 2	3/	/	c	c	b	a	 D E kg	mE	14 s	m	v	/	8,0	0 AB E D D E s	rad	k	/	16 5/3	/	E	D	m	m D kg	mD	17 sm	fCD	3 D E kg	mE	10 )	(	2	45	Nv	R D E ,	12	kg	mD kg	mE	18 sm	N	c	/	180	1 sm	N	c	/	250	2 E B 		sm	t20	sin5,1  B 0	 D E s	m	v	/	4,1	0 D ,/	18	s	rad	kD 5	/	E	D	m	m   	10	 	
 	
 	
 	 	
 	 	
 	
 	
 	
 	
2-chizma	   	11	 	
 	  21 	– 25	-varian	tlar  (	3-chizma)	. 	 massali 	D	 yukning  garizont  bilan 	α burchak 	
tashkil qiluvchi silliq qiya tekislik bo’ylab harakat tenglamasi, harakat 	x o’qiga keltirilgan 	
holda  topilsin.  Sanoq  boshi  qilib  yukning  tinch  turgan  holati  prujinalarning 	static 	
deformatsiya xolati qabul qilinsin. 	 	
 	21	-variant.  Biror  vaqt  onida 	D	 yuk  (	m=	3kg	)   	 va 	 bikirlik 	
kaefisiyentlariga  ega  bo’lgan  deformatsiyalangan  uchlariga  mahkamlanadi.  Shu  bilan  bir 
vaqtda yukka qiya te	kislik 	 bo’ylab pastga yo’nalgan 	 tezlik beriladi.	 	
 	22	-variant. 	D	 yuk qiya tekislikning 	 ustida prujinaning static deformatsiyasi 	
 ga  mos  keluvchi  tinch  vaziyatda  t	uradi.  Biror  vaqt  onida  (	t=0	) 	K nuqta 	
(prujinaning  yuqori  uchi) 	 (m	)  qonun  bo’yicha  harakat  qila  boshlaydi  (	 o’qi 	
tekislik bo’ylab pastga yo’nalgan). 	 	
 	Eslatma.	 Sanoq  boshining  x  o’qidagi  vaziyati 	B nuqtaning  o	’rta  vaziyatiga  (	) 	
mos keladi.	 	
 	23	-variant. 	D	 yuk  (	m=	4kg	)  ikkita  deformatsiyalanmagan  parallel  prujinalarning 	
uchlarini  birlshtiruvchi 	AB	 taxtachaning 	F nuqtasiga  maxkamlanadi  va  boshlang’ich 	
tezliksiz qo’yib yuboriladi. Prujinalarni	ng  bikirlik kaefisiyentlari  	va 	. 	
F nuqta prujinalarning o’qlaridan 	a va 	b masofalarda joylashgan.: 	. 	
 	Yukning harakatiga qarshilik tezlikka proporsional 	, bu yerd	a v-tezlik (m/s). 	
AB	 taxtachaning va dempferning massasi hisobga olinmasin.	 	
 	24	-variant.  Biror  vaqt  onida 	D	 yuk  (	m=	4kg	)   	 va 	 bikirlik 	
kaefisiyentlariga  ega  bo’lgan  deformatsiyalangan  ketma	-ket  ulangan  prujinal	arning  A 	
uchiga maxkamlanadi va boshlang’ich tezliksiz qo’yib yuboriladi. 	 	
 	Shu  bilan  bir  vaqtda  (	t=0	)  prijinalarning  ikkinchi  B  uchi 	 (sm	)  qonun 	
bo’yicha  harakat  qila  boshlaydi. 	 o’qi  qiya  tekislik  (	)  bo’ylab  pastga  yo’nalgan 	
(22	-variantga, eslatmaga qarang). 	 	
 	25	-variant.  Ikkita  bir  xil  parallel  prujinalarning  uchlari 	AB	 	taxtacha  bilan 	
birlashtirilgan. Xar bir prujinaning  qiya tekislik (	) ustida yotgan 	D	 yuk (m=	2,4 kg) 	
ta’siridagi  static  bo’ylab  yuqoriga  yo’nalgan 	 boshlang’ich  tezlik  beriladi. 	
Yukning harakatiga qarshilik tezlikka proporsional 	, bu yerda 	v-tezlik (m/s).	 	
 	Mutlaq  bikir 	AB	 taxtachaning  va  u  bilan  bog’lang	an  dempfer  qismining  massasi 	
hisobga olinmasin.	 	
 	
 m m	N	c	/	9	1 m	N	c	/	5	2 )	45	(	o		 s	m	v	/	2,1	0 )	30	(			 sm	fCT	4 t6	sin	21,0  0	 sm	N	c	/	5	1 sm	N	c	/	7	2 	60	,	/	/	2	1				c	c	b	a )	(	8	Nv	R m	N	c	/	8	1 m	N	c	/	5	2 t5	sin3  	30	 	30	 s	m	v	/	5,0	0 )	(	8	N	v	R   	12	 	
 	 	
 	
 	
3-chizma	 	
 	Topshiririqni bajarish na’munasi (1	-rasm)	 	
 	Massasi  	  va  	 bo’lgan 	  va 	 yuklar 	gorizontga nisbatan 	 	
burchak  ostida  qiyalangan  silliq  tekislikning  ustida  bikirlik  koeffitsiyenti 	 	
bo’lgan prujinaga tiralib turibdi.	 	
 	Biror  vaqt  onida 	 yuk  olib  tashlanadi.  Shu	 bilan  bir  vaqtda 	prujinaning 	
pastki  uchi    B    qiya  tekislik  bo’ylab   	 qonun  bo’yicha  harakat  bqila 	
boshlaydi. 	 	yukning  harakat 	
tenglamasi topilsin.	 	
 	Yechish.  Masalani  yechish 	
uch	unnuqtaning  harakat  differensial 	
tenglamalaridan  foydalanamiz. 
Koordinata  sistemasining  boshini  yuk  	
  	ning   	 nuqta  o’zining  o’rta 	
vaziyatini 	 olganda  prujinaning 	
statik  deformat	siyasiga  mos  keluvchi 	
tinchlik vaziyatida olamiz.	 	
 	 o’qini  qiya  tekislik  bo’ylab 	
tepaga  (	 yukning 	 yuk  olingandan 	
keying  harakati  tomonga) 
yo’naltiramiz. 	 	yukning  harakati 	
quyidagi  differensial  tenglama  bilan 
ifodalanadi:	 	
, 2	Dm kg	 3	Em kg	 D E 0	30		 6N	c	sm	 E ( 0)t 0, 02 sin 10 ( )	tm		 D D B ( 0)	 x D E D ..
Dim x X	   	13	 	
bu yerda 	- 	 yukka ta’sir qiluvchi kuchlar(1	-rasm, 	); 	 - og’irlik kuchi, 	- qiya 	
tekislikning normal reaksiya kuchi va 	- prujina bikirlik kuchining 	 o’qiga 	
proyeksiyalarining yig’indisi.	 	
 	Shunday qilib,	 	
. 	
Bun	da 	 	
, 	
bu yerda 	- prujinaning 	 yuk ta’siridagi statik deformatsiyasi, 	 - prujinaning pastki 	
uchi mahkamlangan nuqtaning 	 qonun 	bo’yicha 	
ko’chishi.	 	
 	Prujinaning statik deformatsiyasi 	 ni 	 yukning qiya tekislik ustidagi tinch 	
holati tenglamasidan topamiz(1	-rasm, 	) :	 	
,      	 , 	
ya’ni	 	
 , 	
bu yerdan 	 	
 	Bu tenglikka asosan 	 yukning harakat differensial tenglamasi	 	
 , 	
quyidagi ko’rinishni oladi:	     	 	 	
 	Tenglamaning barcha hadlarini 	 ga bo’lib,quyidagi	 	
 	 	
belgilashlarni kiritib,differensial tenglamani quyidagi ko’rinishga keltiramiz:	 	 	
 	
Bu	 bir  jinsli  bo’lmagan  tenglamaning  yechimi  bir  jinsli  tenglamaning  umumiy 	
yechimi 	 va mazkur bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimi 	 dan tashkil 	
topadi:	 	
 	. 	
 	Bir jinsli	 tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishga ega:	 	
 	 	
 	Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimi:	 	
 	 	
Umumiy integral 	 	 	
 va 	 integrallash  doimiylarining  qiymatlarini  aniqlash  uchun  quyidagi  qo’shimcha 	
tenglamani tuzamiz:	 	 	
 	
va masalaning boshlang’ich shartlaridan foydalanamiz.	 	
Tekshirilayotgan  harakat  prujinaning 	 va 	 yuklar  ta’siridagi  deformatsiyasi 	
statik deformatsiyadan iborat bo’lgan ondan 	 boshlanadi. Sanoq boshi 	 ning qabul iX	 D a D	G N P x ..	
sin	DDm x G P		   ()	stD	P c x f		   stDf D  sin ( 0, 02 , 10 )	rad	d pt d m p	s		   stDf D b 0	iX		 sin 0DGP		   sin 0D stDG cf		   sin / .	stD Df G c		 D ..	
sin ( )	D D stDm x G c x f		     ..	
sin ( )	D D stDm x G c x f		      Dm 2	/ , /	DD	c m k cd m h	 ..	2	sin .	x k x h pt *x **x * **	x x x 12	* cos sin .x C kt C kt	 22	** [ / ( )]sin .x h k p pt	 22	12cos sin [ / ( )] sin .	x C kt C kt h k p pt    1C 2C .	22	12	sin cos [ / ( )] cos	x C k kt C k kt hp k p pt     D E ( 0)t O   	14	 	
qilingan  vaziyatida 	 yukning  boshlang’i	ch  koordinatasi 	,  bunda 	 	
- prujinaning 	 yuk ta’siridagi statik deformatsiyasi.	 	
Shunday qilib, 	 da 	 	
 	 	
 	 tenglamalarini 	 uchun tuzamiz :	 
 	
bu yerdan        	 	
 	Endi  	 yukning harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:	 	
 	
Te	nglamaga kiruvchi kattaliklarning son qiymatlarini topamiz:	 	
 	 	
 	 	
 	 	
 	 	
Demak, 	 yukning harakat tenglamasi	 	
 	
 	
Adabiyotlar	 	
  	
1.	 Aziz	-Qoriyev  S.Q.,  Yangurazov  Sh.X.  Nazariy  mexanikadan  masalalar  yechish 	
metodikasi. I	-qism. 	– T.: «O’qituvchi», 1974.	 	
2.	 Meshcherskiy I.V. Nazariy mexanikadan masalalar to’plami. 	- T.: O’qituvchi, 1989.	 	
3.	 Rashidov  T.,  Shoziyotov  Sh.,  Mo’minov  Q.B.  Nazariy  mexanika  asoslari. 	- T.: 	
«O’qituvchi», 1990.	 	
4.	 O’rozboyev M.T. Nazariy mexanika asosiy kursi, 	- T.: «O’qituvchi», 1966.	 	
5.	 Yablonskiy  A.A.Sbornik  zadaniy  dlya  kursovix  rabot  po  teoreticheskoy  mexanike.  M.: 	
Viss	haya shkola, 1972.	 	
6.	 Targ S.M. Kratkiy Kurs teoreticheskoy mexaniki. 	- M.: «Nauka», 1974.	 D 0	stE	xf	 sin /	stE Ef G c		 E 0	t .	
0 , 0	0.	stE	x f x	   ..	
( ) ( )	x x t va x x t 0	t .	22	0 1 0 2	, / ( ),	x C x C k hp k p	    22	12	, / [ ( )].	stE	C f C hp k k p	     D 2 2 2 2	cos sin sin .	()	stE	
hp h	x f kt kt pt	k k p k p	   	 1	6 100	17, 3	2	D
c	kc	m	
		   sin	3 9, 81 0, 5	0, 0245	6 100	
E	stE	
G	fm	c	
		  	 2 2 2 2	
600 0, 02	0, 03	( ) 2(300 200)D	
h cd	m	k p m k p	
	  	   22	
0, 03 10	0, 0173 .	( ) 17, 3	
hp	m	k k p	
		 D 2, 45 cos17, 3 1, 73 sin 17, 3 3 sin 10 ( ).	x t t t sm   

1 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MEXANIKA -MATEMATIKA FAKULTETI “NAZARIY VA AMALIY M EXANIKA” KAFEDRASI T ebranishlar nazariyasi fanidan MUSTAQIL ISH Mavzu: M oddi y nuqtaning tebranma harakatini tekshirish Bajardi: ____ -guruh talabasi _____________ ____ ___ _______________ Qabul qildi: ________________________ Mustaqil ish topshir ilgan vaqt _________ Mustaqil ish qabul qilingan vaqt_________ Samarqand 2022

2 Mustaqil ishni bajarish tartibi: Xar bir talaba avval namunaviy yechib ko’rsatilgan masalalar bilan tanishib chiqadi so’ngra o ’zining jurnaldagi nomeri bo’yicha o’ziga tegishli bo’lgan masalaning qiymatlarini oladi. Mustaqil ishni bajarayotgan vaqti avval mavzuga tegishli asosiy tushunchalarni yozib so’ngra masala yechiladi. Namunaviy masalalarni yozish shart emas. Xar bir talaba chizmalarni chizishda koordinata o’qlarini kiritishga, kuchlarning yo’nalishini qo’yishga alohida e’tibor berishi, mustaqil ish yuzi namunadagidek bo’lishi va mustaqil ish oxirida foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati keltirilishi talab etiladi. Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshirish Qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranishlar To‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanuvchi nuqtaga, faqat bitta –muvozanatlovchi kuch qo‘yilgan bo‘lsin . -kuchning s hu to‘g‘ri chiziq bo‘ylab o‘tkazilgan koordinata o‘qiga proyeksiyasi quyidagicha bo‘ladi, (2. 1) nuqtaning harakat qonunini aniqlaymiz. Harakatning differensial tenglamasini Ox o‘qidagi proyeksiyasini yozamiz: yoki (2. 2) Tenglikning ikka la tomonini -ga bo‘lib yuborib va belgilash kiritib, yuqoridagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz: (2. 3) (2. 3) tenglama, qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranma harakat differensial tenglamasi deb ataladi. Ushbu differensial tenglamaning umumiy yechimi : , (2. 4) bu yerdagi va – lar i ntegral lash o‘zgarmas lari. Agar , deb kiritsak, u holda ( 2. 4) tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi yoki , (2. 5) (2. 5) qonuniyat bilan tebranuvchi n uqtaning harakati garmonik tebranma harakat deb ataladi. Tebranma harakatdagi nuqtaning tezligi , ( 2. 6) A, tebranish amplitudasi , tebranish fazasi deb ataladi. Nuqt aning to‘la bir marta tebranishi uchun sarflangan vaqt oralig‘i T , tebranish davri deb ataladi. Davr o‘tishi bilan faza 2 -ga o‘zgaradi. Shu sababli kT=2  bo‘lish sharti dan tebranish davri aniqlanadi (2. 7) Tebranish davriga teskari kattalikga tebranish chastotasi deb ataladi (2. 8) da ekanligidan foydalanib, ( 2. 5) va ( 2. 6) formulalar orqali x0=As in , v 0/k=A cos  -ni aniqlaymiz. Bu tengliklarni kvadratga ko‘tarib, ularni hadma -M F F cx Fx  M xF xm  cx xm  m 2k m c 0 2   x k x kt C kt C x cos sin 2 1   1C 1C  cos 1 A C   sin 2 A C     sin cos cos sin     kt kt A x    kt A x sin       kt Ak x x cos     kt k T 2  T k 1 2     0t 0 0, v v x x  

3 had qo‘shsak, so‘ngra ularning birini ikinchisiga nisbatini olsak, A va  larning qiymatlarini aniqlaymiz A= , tg =kx 0/v 0 (2. 9) Shunday q ilib, boshlang‘ich shartlarsiz, ya’ni chegaraviy shartlar berilgan masalalar bir necha yechimga yoki, umuman, yechimga ega bo‘lmasliklari mumkin ekan. Qarshilikligi muhitdagi erkin tebranishlar Qarshili kl i muhitlardagi erkin tebranma harakatni tekshirib ko‘ramiz. Qarshili kl i muhitlar ning qarshiliklari nuqtaning tezligiga to‘g‘ri proportsional ravishda o‘zgaruvchan funksiyadan iborat bo‘ladi, masalan =- . Nuqtaning harakatida muvozanatlovchi kuch va muhit qarshiligi kuchi , ta ’sir etsin (1 -rasm ). U holda Fx=-cx , Rx=-vx=- bo ‘lganligi uchun , shu nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi m =-cx - Tenglamaning ikkala tomonini m -ga bo ‘lib yuborib , tegishli belgilashlar kiritsak , +2b +k 2x=0 (2. 10 ) bu yerda k2=c/m; 2b= /m ( 2. 11 ) (2. 10 ) tenglama qarshilikli muhitdagi erkin tebranma harakatning differensial tenglamasi deb ataladi. Uning yechim i quyidagi ko’rinishda bo’ladi: x=e -bt (C 1sink 1t+C 2cosk 1t) (2. 12 ) yoki x=A e -bt sin(k 1t+ ) bo‘ladi, (2. 13 ) (2. 13 ) tenglama bo‘yicha sodir bo‘ladigan harakat, so‘nuvchi harakat bo‘ladi, chunki tenglamada e -bt dan iborat ko‘paytma bo‘lganligi sababli, x=OM ( 2-rasm ) qiymat vaqt o‘tishi bilan kamayib borib nolga intiladi. Ushbu tebranma harakatning grafigi 2-rasm da tasvirlangan (grafik ikki tarafdan x=A e -bt va x= -A e -bt punktir egri chiziqlar ichiga olingan, chunki sin(kt+ ) ning son qiymati 1 -dan oshm aydi). T1 vaqt oralig ‘ini so ‘nuvchi tebranishlar davri deb ataladi va u sin (kt +) ning davriga teng bo ‘lib , uning qiymati T1= = (2. 14 ) Agar (2. 7) tenglikni e’tiborga olsak (2. 14) formula quyidagi ko ‘rinishga kel adi , T1= = T(1+ ) (2. 15 ) Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli majburiy tebranm a harakati. 1-rasm . 2-rasm x v k 02 02 2  / R v F R x x x x x 2 1  k 2 2 2  k b 2 1 2 2  k b k  / T b k 1 2 2  / 1 2 b k 2 2

4 Nuqtaga muvozanatlovchi -kuchdan tashqari vaqt mobaynida davriy ravishda o‘zgarib turuvchi -kuch ham ta’sir et sin . -kuchining Ox o‘qidagi proektsiyasi : Q x=Q 0sinrt (2. 16 ) Bunday kuch qo ‘zg ‘atuvchi kuch deb ataladi va shu kuch ta ’siridagi tebranma harakatni majburiy tebranishlar deb ataladi . (2. 16 ) formuladagi r -qiymatni qo ‘zg ‘atuvchi kuchning chastotasi deb ataladi . Ushbu (2. 16 ) ko ‘rinishdagi kuchga garmonik qo ‘zg ‘atuvchi kuch deb ataladi . 1. M u h i t q a r s h i l i g i bo ‘l m a g a n h o l d a g i m a j b u r i y t e b r a n i s h l a r 1. Harakatlanuvchi nuqtaga muvozanatlovchi kuchdan tashqari faqat qo ‘zg ‘atuvchi kuch - ta ’sir etsin . U holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagi ko ‘rinishda yoziladi m =-cx + Q 0sinrt Bu tenglamaning ikkala tomonini m -ga bo ‘lamiz va quyidagi belgilashlarni kiritamiz c/m =k2, Q 0/m =R0 (2. 17 ) R0-ning o‘lchov birligi tezlanish kabi bo ‘ladi . U holda yuqoridagi differensial tenglama quyidagi ko ‘rinishga keladi + k2x= R0sinrt (2. 18 ) (2. 18 ) tenglama muhit qarshiligi bo ‘lmagan holdagi nuqtaning majburiy tebranma harakatining differensial tenglamasi deb atal adi va bu tenglamaning yechimi x=x1+x2 ko ‘rinishda bo ‘ladi . Bu nda (2. 18 ) tenglamaning umumiy yechimi (2. 19 ) (2. 19 ) yechimdan ko‘rinib turibdiki, teb ranma harakat ikkita, ya’ni: cha stotasi -k va amplitudasi A , chastotasi -r va amplitudasi V bo‘lgan majburiy tebranishlar ning yig‘indisidan iborat bo‘lar ekan. Majburiy tebranishlarning chastotasi -r, qo‘zg‘atuvchi kuchning chastotasiga teng bo‘ladi. 2*. M u h i t q a r s h i l i g i t a ’ s i r i d a g i m a j b u r i y t e b r a n i s h l a r . Harakatdagi nuqtaga, muvozanatlovchi kuch , tezlikka proportsional ravishda o‘zgaruvchi qarshilik kuchi va qo‘zg‘atuvchi kuch Q ta’sir etsin. Bunday kuchlar ta’siridagi nuqtaning harakat differensial tenglamasi, quyidagicha bo‘la di m =-cx - + Q 0sinrt ( 2. 20) Tenglamaning ikkala tarafini m -ga bo‘lib, yuqoridagi belgilashlarni e’tiborga olsak, yuqoridagi tenglama +2b +k 2x= R 0sinrt (2. 21) F Q Q F Q x x   rt p k P x kt A x sin ; sin 2 2 0 2 1        rt p k P kt A x sin sin 2 2 0      F R x x x x

5 (2. 21) tenglama, yopishqoq muhit qarshiligi ta’siridag i majburiy tebranma harakatning differensial tenglamasi deb ataladi. Uning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. x=Ae -btsin(k 1t+ )+Bsin(rt -) ( 2. 22 ) Ushbu tebranma harakat murakkab bo‘lib, xususiy va majburiy tebranma harakatlarn ing yig‘indilaridan iborat bo‘ladi. Ta’kidlanganidek, bunday tebranishlar tez �R�U�D�G�D���V�R�µ�Q�D�G�L���Y�D���E�X���V�R�µ�Q�L�V�K���G�D�Y�U�L���W u -ni o‘rnashish (o‘tish jarayoni) vaqti deb ataladi, lekin ko‘p hollarda u e’tiborga olinmaydi. Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshir ish massali yukning (2 va 4 -variantlar) yoki massalari va bo’lgan va yuklar sistemasining (1,3,5 – variantlar) x o’qi bo’yicha harakat tenglamasi topilsin. Sanoq boshi yukning yoki mos ravishda va yuklar sistemas ining tinch vaziyatida (prujinaning statik deformatsiyasi holatida) olinsin. Yuklarn i birlashtirib turuvchi sterjen og’irliksiz va deformatsiyalanmaydi, deb hisoblansin. yuk ( ) har birining bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan ikkita bir hil parallel prujinaga osilgan taxtachaga mahkamlangan, yuk mahkamlangan nuqta prujinalarning o’qlaridan teng masofalarda joylashgan. 1-variant. Biror vaqt onida yukka yuk ( ) osib qo’yiladi. Yuklar sistemasining harakatiga qarshilik kuchi tezlikka proporsional: , bu yerda - tezlik (m/s). Mutlaq bikir taxtachaning va unga mahkamlangan dempfer qismining mas sasi hisobga olinmasin. 2-variant. ( ) va ( ) yuklarni birlashtirib turuvchi sterjen kesib yuborilgan ondan boshlab nuqtaga (ketma – ket ulang an prujinalarning yuqori uchi) qonun bo’yicha harakat qila boshlaydi( o’qi vertical bo’ylab pastga �\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q�������3�U�X�M�L�Q�D�O�D�U�Q�L�Q�J���E�L�N�L�U�O�L�N���N�R�H�I�I�L�W�V�L�\�H�Q�W�O�D�U�L�� , . 3-var iant. ( ) taxtachaning nuqtasiga mahkamlangan va bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan prujinaga osilgan. Taxtacha bikirlik koeffitsiyentlari , bo’lgan ikkita parallel prujinaga osib qo’yilgan. nuqta bu prujinalarning o’qlaridan va masofalarda joylashgan: Bi ror vaqt onida yukka yuk osib qo’yiladi. Xuddi shu vaqt onida �\�X�N�O�D�U�� �V�L�V�W�H�P�D�V�L�J�D�� �S�D�V�W�J�D�� �\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q�� tezlik beriladi. Mutloq bikir taxtachaning massasi hisobga oli nmasin. 4-variant. Ikkita bir xil parallel prujinaning ( ) va ( ) yuklar ta’siridagi statik deformatsiyasi . yuklar prujinalarga mutlaq bikir taxtacha yordamida osilgan. Biror vaqt onida yuklarni birlashtirib turuvchi sterjen kesib yuboriladi. yukning harakatiga qarshilik tezlikka proporsional, bu yerda -tezlik . Taxtachaning va unga mahkamlangan dempfer qismining massasi hisobga olinmasin. 5-variant. Bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan prujinaga osig’liq yukka ( ) yuk osilgan ondan boshlab nuqta (prujinaning yuqori uchi) Dm D Dm Em D E D D E D kg mD 4 sm N с / 6 AB D D E kg mE 2  H R 6  AB D kg mD 2 E kg mE 3 B   smt10 sin  sm N с / 24 1 sm N с / 34 2 D kg mD 8,1 AB F sm N с / 8 1 sm N с / 4,2 2 sm N с / 6,4 3 F a b 2 3/ / c c b a  D E kg mE 8,1 s m/ 5,0 0  D kg mD 2 E kg mE 5 sm fst 6,4 AB D  N R 8  s m/ sm N C / 6,4 D kg mD 2 E kg mE 3 B