Qavariq funksiyalar va ularning xossalari. Funksiyalarning qavariqlik kriteriyalari. Qavariq funksiyalarning ekstremumlari.

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

263.015625 KB

Скачать

Qavariq funksiyalar va ularning xossalari. Funksiyalarning qavariqlik
kriteriyalari. Qavariq funksiyalarning ekstremumlari.
Reja:
1. Qavariq funksiyalar.
2. Qavariqlik kriteriylari.
3. Silliq funksiyalarning qavariqlik kriteriylari.
4. Qavariq funksiyalar ustida amallar.
5. Qavariq funksiyaning sath to’plami.
6. Qavariq funksiyaning uzluksizligi.
7. Qavariq funksiyaning yo’nalish bo’yicha hosilasi.
8. Qavariq funksiyaning minimumi.
9. Qavariq funksiyaning maksimumi.
Asosiy adabiyotlar
1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон,
1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.
Наука, 1988.
3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М: Изд МГУ. 1989.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998.
5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.
М. Наука 1988
6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш
усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд,
СамДУ нашри, 2001

.
1. Qav ariq funk siy aning t a’rifi . Qavariq nR Q  to’plamda
aniqlangan
) (x f funksiya berilgan bo’lsin.
1- t a’ r i f. Agar
 1,0 ,     x uchun
) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y f x f y x f         
(1)
munosabat bajarilsa,
) (x f funksiya Q to’plamda qavariq deyiladi.
Agar
y x Q y x    , , nuqtalar va  1,0   uchun
) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y f x f y x f         
(2)
qat’iy tengsizlik bajarilsa,
) (x f funksiya Q da qat’iy qavariq funksiya
deyiladi.
Agar
0  topilib, Q y x   , va  x a PQ )( uchun
2 ) 1( ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y x y f x f y x f              
(3)
bo’lsa,
) (x f ga Q to’plamda kuchli qavariq funksiya deyiladi.
Misollar . 1) Chiziqli funksiya
   n
i iiT xc x c x f
1 ) (
- nR da qavariq,
chunki ,)1())1(( ycxcyxc TTT
   

nR y x   , ,  1,0   , ya’ni (1)
munosabat bajariladi. xcxf T
)(
- qat’iy qavariq ham, kuchli qavariq
ham emas.
2)
xe x f ) ( - nR da qat’iy qavariq funksiyadir, chunki
, ) 1( ) 1( y x y x e e e        
nR y x   , , yx 
,  1,0   , ya’ni (2) tengsizlik
o’rinlidir.
3)
  n
i ixxxf
1 22
)(
- nR da kuchli qavariq funksiya bo’ladi. Bu
funksiya uchun (3) munosabat
1   o’zgarmasli quyidagi tenglikdan
iborat:

, ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 y x y x y x                .1,0 , ,     nR y x
2-t a’ r i f. Agar
) ( ) ( x f x g   funksiya qavariq n R Q 
to’plamda
qavariq (qat’iy, kuchli qavariq) bo’lsa,
) (x f funksiya Q
to’plamda botiq
(qat’iy, kuchli botiq) deyiladi.
Masalan,
x с x f T ) ( - chiziqli funksiya botiq funksiya ham bo’ladi;
xe x f  1 ) (
- qat’iy botiq funksiya, 2 1 ) ( x x f   - kuchli botiq funksiyadir.
Qavariq (botiq) funksiya ta’rifining geometrik ma’nosi 1-chizmada
berilgan.

a) qavariq funksiya b) botiq funksiya
1-chizma
Bundan keyin, asosan, qavariq funksiyalarning xossalarini
o’rganamiz. Ulardan botiq funksiyalarning mos xossalarini keltirib
chiqarish qiyin emas.
2. Qav ariqlik k rit eriy lari . Funksiyaning qavariqligi ta’rifiga
ekvivalent bo’lgan tasdiqlarni funksiyalar uchun qavariqlik kriteriylari
deb ataymiz. Quyida bir necha qavariqlik kriteriylarini keltiramiz.
1-t eorema. ) (x f funksiyaning qavariq n R Q 
to’plamda qavariq
bo’lishi
uchun ixtiyoriy
, ,...,2,1 Q x m i  m i ,1 nuqtalar va
1
1
 
m
i i ni
qanoatlantiruvchi barcha
0 i , m i ,1 sonlar uchun,

   


 

 m
i
i i
m
i
ii x f x f
1 1
) (   (4)
munosabatning bajarilishi zarur va yetarlidir.
I s b o t i. Yetarliligi.
2 m bo’lganda (4) dan qavariq funksiya
ta’rifidagi (1) munosabat kelib chiqadi.
Zaruriyligi.
) (x f - Q
da qavariq funksiya bo’lsin. Matematik
induksiya usulini qo’llaymiz.
1 m
uchun (4) ning bajarilishi ravshan. Faraz qilaylik, k m  uchun
(4) munosabat o’rinli bo’lsin. Uning
1 k m uchun bajarilishini
ko’rsatamiz.





1
1
k
i
i ix x  (5)

bo’lsin. 1 0 1  k deb olamiz (agar 0
1 
k 
bo’lsa, (5)da k -ta element,
1 1 k
bo’lganda esa, 0 ... 2 1     k   bo’lib, (5) da faqat bitta element
qatnashadi; bu hollarda tasdiqning to’g’riligi faraz qilinmoqda). U holda
, ) 1( 1 1 1 x x x k k k        


k
i
i ix x
1
 , ) 1/( 1   k i i    deb yozib olamiz va
Q x
(chunki x element ix , k i ,1 nuqtalarning qavariq
kombinasiyasidan iborat; Q
-qavariq to’plam) ekanligini hamda
) (x f
funksiyaning qavariqligini, keyin esa, (4) ning
k m  uchun to’g’riligi
haqidagi farazni hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz:
      







 



 ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( 1
1
1 1
1
1
1
1
x f x f x x f x f k
k
k k
k
k
k
i
i i     
. ( ) ( ) ( 1 ) 1(
1
1
) 1 1 1 1 1  


         
k
i
i i k k i k
i k
i k x f x f x f   
 
Demak, (4) munosabat,
1 k m uchun ham o’rinlidir. 
3-ta’rif . n
R Q 
to’plamda aniqlangan ) (x f funksiyaning
grafikusti(yoki epigrafi) deb quyidagi
 ) ( , : ) , ( 1 x f y Q x R y x epif n     
to’plamga aytiladi (2-chizma).
2-chizma

2-t eorema. Qavariq nR Q 
to’plamda aniqlangan ) (x f
funksiyaning shu to’plamda qavariq bo’lishi uchun, uning
epif
grafikustining
1nR da qavariq to’plam bo’lishi zarur va yetarlidir.
I s b o t i. Zaruriyligi.
) (x f funksiya Q
da qavariq bo’lsin. Ixtiyoriy
ikkita
, ) , ( 1 1 1 epif y x z   epif y x z   ) , ( 2 2 2 nuqtalarni olib ularning qavariq
kombinasiyasini tuzamiz:
), ) 1( ( ) 1( ) ( 2 1 2 1 x x z z z            ), ) 1( 2 1 y y    
1 0   
. Q
to’plamning qavariqligidan Qxxx  21
)1()(   
kelib
chiqadi.
) (x f funksiyaning qavariqligini va epif z z 2 1, ekanligini
hisobga olib,
2 1 2 1 ) 1( ) ( ) 1( ) ( )) ( ( y y x f x f x f            tengsizlikni olamiz.
Bu esa
, ) ( epif z    ,1,0   ya’ni epif qavariq demakdir.
Yetarliligi.
epif -qavariq to’plam bo’lsin. Ixtiyoriy Q x x 2 1,
nuqtalarni va
 1,0   sonni olamiz. U vaqtda , )) ( , ( 1 1 1 epif x f x z  
epif x f x z   )) ( , ( 2 2 2
, epif -qavariq to’plam bo’lganganligidan,
) ) 1( ( ) ( ) 1( ) ( 2 1 2 1 x x f x f z z           
munosabat bajarilishini bildiradi. Demak,
) (x f Q
da qavariq funksiya
bo’ladi. 
3-t eorema .
) (x f funksiyaning qavariq n R Q 
to’plamda qavariq
(qat’iy qavariq) bo’lishi uchun, ixtiyoriy
Q y x  , larda, skalar
) ( )( ty x f t   
funksiyaning  1,0 da qavariq (qat’iy qavariq) bo’lishi
zarur va yetarlidir.
I s b o t i. Zaruriyligi.
 ,1,0    1,0 ,2 1  t t bo’lsin. U holda
            ) )( 1( ) ( ( ) ) ) 1( ( ( ) ) 1( ( 2 1 2 1` 2 1 yt x yt x f y t t x f t t       

) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( 2 1 2 1 t t yt x f yt x f            , ya’ni  1,0 )(  t  da
qavariqdir.
Yetarliligi. Ixtiyoriy
Q x x 2 1, nuqtalarni va  1,0   sonni olamiz.
,2x x
2 1 x x y   deb belgilasak,
) ( ) ( )) ( ( ) ) 1( ( 2 1 2 2 1               y x f x x x f x x f
(6)
Shartga ko’ra
), (   1,0   , qavariq bo’lgani uchun
) ( ) 1( ) ( )0( ) 1( )1( )0 ) 1( 1 ( ) ( 2 1 x f x f                     
(7)
(6) va (7) dan
) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( 2 1 2 1 x f x f x x f          kelib chiqadi, ya’ni ) (x f -
Q
da qavariq funksiyadir. 
3. Silliq funk siy alarning qav ariqlik k rit eriy lari. Quyida diffe-
rensiallanuvchi funksiyalar uchun qavariqlik kriteriylaridan birini
keltiramiz.
4-t eorema.
) (x f - qavariq n R Q 
to’plamda differensiallanuvchi
bo’lsin. U vaqtda
) (x f funksiyaning Q
to’plamda 1) qavariq, 2) qat’iy
qavariq, 3)
0   o’zgarmasli kuchli qavariq bo’lishi uchun, barcha
Q y x  ,
larda, mos ravishda,
1)
x
y f y x y f x f T

) ( ) ( ) ( ) (

    ,
2)
, ,

) ( ) ( ) ( ) ( y x
x
y f y x y f x f T 

   
(8)
3)
2

) ( ) ( ) ( ) ( y x
x
y f y x y f x f T  

    
munosabatlarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

I s b o t i . Teoremani qavariq funksiyalar uchun isbotlaymiz (qat’iy
va kuchli qavariq funksiyalar uchun o’xshash isbotlanadi).
Zaruriyligi.) (x f qavariq funksiya bo’lsin. Ta’rifdan foydalanib,
, , Q y x    1,0  
uchun
)) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y f x f y f y f x f y x f             
yoki
 ) ( )) ( ( 1 ) ( ) ( y f y x y f y f x f      

(9)
tengsizlikni olamiz.
) (x f differensiallanuvchi bo’lgani uchun,

), (0

) ( ) ( ) ( )) ( (    

     
x
y f y x y f y x y f T (10)
buyerda
,0 /) (0      0  . (9) va (10) lardan, 0   da, talab qilingan,
(8) munosabatga ega bo’lamiz.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, (8) bajarilsin. Ixtiyoriy , ,
2 1 Qxx 
 1,0  
uchun
2 1 ) 1( x x y      deb, (8) ga asosan,
,

) ( ) ( ) ( ) ( 1 1
x
y f y x y f x f T

   

x
y f y x y f x f T

) ( ) ( ) ( ) ( 2 2

   
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklarning birini
 ga,
ikkinchisini
) 1(  ga ko’paytirib va ularni qo’shib, quyidagini olamiz:
,0
)(
))1(()()()1()(
2 1 2 1 


x yf
yxxyfxfxf T    
ya’ni, (1) munosabat bajariladi. Demak,
) (x f - qavariq funksiyadir. 
N a t i j a. Agar qavariq Q
to’plamda qavariq
) (x f funksiya Q x 
nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, barcha
Q x nuqtalar uchun
x
x f x x x f x f T

) ( ) ( ) ( ) (

   
  
(11)

tengsizlik bajariladi.
Skalar argumentli (1R x ) differensiallanuvchi qavariq ) (x f
funksiya uchun (11) munosabat, funksiyaning grafigi uning ixtiyoriy
)) ( , (   x f x
nuqtasiga o’tkazilgan urinmadan quyida yotmasligini
ko’rsatadi.
4.Qavariq funksiyalar ustida amallar . Quyida natijasi qavariq funksiya
bo’luvchi bir necha amallarni ko’rsatamiz.
1-teorema .
), (x fi m i ,1 - qavariq nR Q  to’plamda qavariq funksiyalar,
,
1

m i ,1 - manfiymas sonlar bo’lsin. U vaqtda



m
i
i i x f x f
1
) ( ) ( 
(1)
Funksiya Q
to’plamda qavariqdir.
I s b o t i .
,x  ,Q y  1,0   uchun quyidagiga ega bo’lamiz:
            
m
i i i i
m
i ii y f x f y x f y x f
1 1
)) ( ) 1( ) ( ( ) ) 1( ( ) ) 1( (        
.) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) (
1 1    
     
m
i i i
m
i i i y f x f y f x f      
Demak, ) (x f funksiya
qavariqdir. 
Quyidagi xossa ham qavariq funksiya ta’rifidan osongina kelib chiqadi.
2-teorema .
nR Q  - qavariq to’plam, ,m R P  ) , ( y x  funksiya har bir
P y
uchun x bo’yicha Q
da qavariq va har bir Q x uchun y bo’yicha Q
da
yuqoridan chegaralangan funksiya bo’lsin. U vaqtda
) , ( sup ) ( y x x f
P y


 funksiya
P
da qavariqdir.

Bu teoremadan, xususiy holda, agar ) (x f i
, m i ,1 funksiyalar to’plamda
qavariq bo’lsa,
) ( max ) ( ,1 x f x f i m i  funksiyaning ham Q
da qavariqligi kelib
chiqadi.
3-teorema .
) (x g - qavariq nR Q  tuplamda qavariq funksiya,  (u)-kavarik
1R P 
to’plamda monoton kamaymaydigan qavariq funksiya, , ) ( P x g  Q x 
bo’lsin. U vaqtda
)) ( ( ) ( x g x f  funksiya Q
da qavariq bo’ladi.
I s b o t i .
) (x g funksiyaning qavariqligidan va ) (y  funksiyaning
monotonligidan foydalanib ixtiyoriy
Q x x 2 1, ,  1,0   uchun quyidagi
munosabatni yozamiz:

          )) ( ( )) ( ) 1( ) ( ( )) ) 1( ( ( ) ) 1( ( 1 2 1 2 1 2 1 x g x g x g x x g x x f         
) ( ) 1( ) ( )) ( ( ) 1( 2 1 2 x f x f x g         
. Bu esa, ta’rifga ko’ra, ) (x f funksiyaning
qavariqligini ko’rsatadi. 
Xuddi shunga o’xshash quyidagi teorema ham o’rinlidir.
4-teorema .
) (y  - qavariq m R P  to’plamda qavariq funksiya, A- m  n
o’lchamli matrisa,
,m R b     PbAxRxQ n
:
bo’lsin. U vaqtda
) ( ) ( b Ax x f  
funksiya Q
da qavariq bo’ladi.
M i s o l l a r. 1)
) (x g - Q
da qavariq, ) (x g <0, Q x  bo’lsin. U holda
) (
1 ) (
x g
x f  
funksiya ham Q
da qavariq bo’ladi. Ќ aqiqatan ham
y
y 1 ) (   
funksiya
)0, (  P da monoton o’suvchi, qavariq funksiya va , ) ( P x g  Q x 
bo’lgani uchun
) (x f ning qavariqligi 3-teoremadan kelib chiqadi.
2) Ixtiyoriy
1 ,0 ,0    v b a sonlar uchun v b ax x f ) ( ) (   funksiya
    ,0 Q
da qavariqdir. Chunki 1 , ) (   v y y v 
funksiya     ,0 P da qavariq,
,0 bax

Q x  bo’lgani uchun ) (x f ning qavariqligi 4-teoremadan kelib
chiqadi.

3) ) ( , ... ), ( ), ( 2 1 x f x f x f m - Q
da qavariq funksiyalar bo’lsin. U
    

 
m
i
v v x f x f i 1
1 , ) ( ,0 max ) (
funksiya ham Q
da qavariq bo’ladi.
Haqiqatan ham, 2-teoremaga ko’ra,
 ) ( ,0 max ) ( x f x g i i  funksiyalar Q
da
qavariqdir. 1v
bo’lganda
vy y ) ( funksiya     ,0 P da qavariq va monoton
o’suvchidir. Shuning uchun, 3-teoremaga asosan,
 v
i i x g x g ) ( ) (  funksiyalar
qavariqdir. U vaqtda
) (x f funksiyaning qavariqligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
5. Qavariq funksiyaning sath to’plami .
nR Q  to’plamda aniqlangan
) (x f
funksiya berilgan bo’lsin.
1-t a’ r i f. Quyidagi
  1 , ) ( : R x f Q x Q f       
ko’rinishdagi to’plamga
) (x f funksiyaning sath (Lebeg) to’plami deyiladi.
Qavariq funksiya ta’rifidan va sath to’plamning aniqlanishidan quyidagi
xossaga ega bo’lamiz.
5-teorema.
) (x f funksiya nR Q  to’plamda qavariq bo’lsin. U vaqtda
ixtiyoriy
1R   uchun 
fQ sath to’plami qavariqdir.
5-teoremaning teskarisi o’rinli emas. Ya’ni ixtiyoriy
1R   uchun 
fQ
to’plamning qavariqligidan,
) (x f funksiyaning qavariqligi kelib chiqmasligi ham
mumkin. Masalan, ixtiyoriy
1R   uchun     331
, :    xRxQ
f

to’plam qavariq, ammo
3 ) ( x x f  , 1R x funksiya qavariq emas.
Qavariq funksiyalar uchun sath to’plamlarining yana bir xossasi ularning
chegaralanganligidir.

$6-teorema . Qavariq yopiq Q to’plamda uzluksiz kuchli qavariq  fQ ) (x f funksiyaning barcha  fQ , 1R   sath to’plamlari chegaralangan to’plamlardir. I s b o t i. fQ  bo’lsin (aks holda teoremaning o’rinliligi o’z-o’zidan ravshan). Ixtiyoriy  f Q x 0 uchun    1 : 1, 0 1 0     x x R x x K birlik sharni qaraymiz. ) (x f ning uzluksizligidan  fQ ning yopiqligi kelib chiqadi. U vaqtda  )1, ( 0x K Q P f  chegaralgan va yopiq (ya’ni kompakt) to’plam bo’ladi. Veyershtrass teoremasiga asosan, ) (x f funksiya P to’plamda quyidan chegaralangan, ya’ni shunday const  mavjudki,      .1, , 0x K Q x x f f     (2) Barcha  f Q x uchun,        1 0 x x (3) ekanligini ko’rsatamiz (bu yerda  - ) (x f funksiyaning kuchli qavariqliligi ta’rifidagi o’zgarmas). Agar    .1,0x K Q x f  bo’lsa, 1 0  x x ya’ni (3) tengsizlik bajariladi. )1,0 ( \ x К f Q x   bo’lsin. 0 0 ) 1( , \1 x x x x x          deb olamiz. ,10    f Q x ,  f Q x 0 bo’lgani uchun  f Q x (chunki  fQ -qavariq). ,1 ), ( 1 ) ( 0 0 0 0 0 0           x x x x x x x x x x x  ya’ni )1,0 (x К x . Shunday qilib, )1,0 (x К f Q x    . Endi (2) tengsizlikdan, f(x). funksiyaning kuchli qavariqligidan,      ) ( , ) ( 0 x f x f shartlardan va  ning aniqlanishidan ketma- ket foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:              1 111 0 000   xx xxxxxfxfxf          $

Bu yerdan (3) tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa 
fQ ning chegaranganligini
ko’rsatadi. 
Qavariq (kuchli qavariq bo’lmagan) funksiyalar uchun 6-teoremani
quyidagicha umumlashtirish mumkin.
7-teorema . Faraz qilaylik,
) (x f qavariq yopiq Q to’plamda quyidan yarim
uzluksiz qavariq funksiya bo’lsin. Agar biror
0  uchun 0
f Q sath to’plami bo’sh
bo’lmagan va chegaralangan bo’lsa, ixtiyoriy
1R  uchun ham 
fQ to’plam
chegaralangan bo’ladi.
Teoremaning isbotini [4,11] dan qarash mumkin.
6.Qavariq funksiyaning uzluksizligi. 8-teorema . Qavariq
n R Q 
to’plamda qavariq
) (x f funksiya Q to’plamning barcha ichki nuqtalarida
uzluksiz bo’ladi.
I s b o t i. Dastlab,
0 ) ( , int      f Q deb faraz qilib, teoremani x
nuqta uchun isbotlaymiz
   . 0 ,...,0,0  
Q int  
bo’lgani uchun, shunday kichik 0  r son topiladiki,
 n j r x r R x P j n ,1 , :       
giperkub ( x nuqtaning atrofi) Q da yotadi.
P m x x
nm   ) 2 ( ,...,1
ning uchlari, ya’ni ) ,..., ( r r   ko’rinishdagi nuqtalar bo’lsin.
), ( max ix f   , 1 m i 
deb olamiz. Qavariq to’plamlarning xossalariga ko’ra R
qavariq ko’pyoqlining ixtiyoriy x nuqtasini
mx x ,...,1 nuqtalarning qavariq
kombinasiyasi
1 ; ,1 1 ,0 ,
11        
 im
iii
im
i m x x   

deb yozish mumkin. U vaqtda ,
           i
m
i
i i
m
i
x f x f
1 1
) ( ) (

munosabatga kelamiz. Shunday qilib, ) (x f funksiya P da yuqoridan
chegaralangandir. Endi
 1,0   x son uchun x nuqtaning P S   
ko’rinishdagi atrofini qaraymiz.
S x   ~ nuqtani olamiz. ) (x f funksiyaning
qavariqligidan,
0 ) (   f shartdan va P x  

~ nuqtalar uchun (4) tengsizlikdan
foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

        , 1
~
1
~ ~          

 

 

 

    f x f x f x f
  . 1 )~( 1
1 ~
1 )~( 1
1 ~
1
~
1
1 0 

  

  

     

 

    




 

 

      x f x f x f x x f f
Bu yerdan,
   xf ~
bo ’ lishini olamiz. D emak, ) (x f funksiya x
nuqtada uzluksizdir.
Umumiy hol yuqoridagi qaralgan holga keltiriladi. Chunki
) (x f funksiya-
ning
ntQ x 1  nuqtadagi uzluksizligi            x f x y f y    0   funksi-
yaning
        x Q G G y int  nuqtadagi uzluksizligiga ekvivalentdir. 
7. Qavariq funksiyaning yo’nalish bo’yicha hosilasi.
2-t a’ r i f.
nR Q x x f   ), ( funksiya berilgan,      h R h Q x n, ,
bo’lsin. Agar

     



        
x f h x f h x f 0 lim ; (5)
chekli limit mavjud bo’lsa,
 h x f ;  ga ) (x f funksiyaning 
x
nuqtadagi h
yo’nalish bo’yicha hosilasi deyiladi.
Agar ixtiyoriy
n R h uchun, (5) formula bo’yicha  h x f ;  aniqlangan
bo’lsa,
 h x f h ;   funksiyaga ) (x f funksiyaning 
x
nuqtadagi h yo’nalishlar
bo’yicha hosilasi deyiladi.

Yo’nalishlar bo’yicha hosilaga ega funksiyani yo’nalishlar bo’yicha
differensiallanuvchi funksiya deb ham ataymiz.
(5) formulaga ko’ra, ixtiyoriy 0   uchun  h x f ;  =  h x f ;   , ya’ni
 h x f ; 
- h ga nisbatan musbat birjinsli funksiyadir.
Funksiyaning yo’nalish bo’yicha differensiallanuvchiligi talabi
differensiallanuvchilikka nisbatan ancha kuchsiz talabdir.
M i s o l .
 




      
   
 
булса x x агар
булса x агар
x x
x x
x x f
0 ,0 ,0
, 0 , ,
2 1
1 22 21
2 21
2 1
B u funksiya
   0,0 , 2 1     x x x nuqtada ixtiyoriy    , sin, cos   h
 
20 
, yo’nalish bo’yicha hosilaga ega. H aqiqatan ham,
   
.0,
sincos sincos
2 2
2

  

  
 

 xfhxf

Buyerdan,
 



 

булсаагар булсаагар
hxf
0sin,0 ,0sin,
sincos
, 2




Ammo
) (x f funksiya, x nuqtada hatto uzluksiz ham emas. Haqiqatan ham,
agar
 2 1,x x x  nuqtani 2
1 1 x x  parabola bo’yicha x nuqtaga intiltirsak,
      .0 0,0
2
1 , lim,2/1 , 21 1 0
21 1 1        f x x f x x f X
9-teorema. Agar
) (x f , n R x funksiya n R x  nuqtada
differensiallanuvchi bo’lsa, u shu nuqtada
nR h  yo’nalish bo’yicha
differensiallanuvchi bo’ladi va
   
x
x f h h x f T

 
 ,
tenglik bajariladi.

I s b o t i. n R h , .0   bo’lsin. ) (x f funksiyaning 
x
nuqtada
differnesiallanuvchiligiga asosan,
    ), (0 ) (    

   
  
x
x f h x f h x f T
. 0 ,0 /) (0       
U vaqtda, (5) formuladan,
   
 
   

 



    


 

 




 


  
) (0 lim
) (0
lim lim , 0 0 0 x
x f h x
x f h h x f h x f T
T
 
x
x f hT

 

, ya’ni (6) tenglikka ega bo’lamiz. 
10-teorema. Agar
) (x f funksiya qavariq n R Q  to’plamda qavariq
bo’lsa, ixtiyoriy
riQ x  va LinQh 
( affQ LinQ  ga parallel qism fazo) uchun
(5) formula bo’yicha chekli
 h x f ;  mavjud va

    
2 2 1 1 ; h h x f      2 2 1 1 ; ; h x f h x f        
,
2 1LinQhh 
,0 1  0 2  (7)
munosabat o’rinli.
I s b o t i. Ixtiyoriy
riQ x  , LinQh 
uchun
 Q h x A        :0
,  Q h x B        :0 (8)
to’plamlarni qaraymiz.
riQ x  bo’lgani uchun nisbiy ichki nuqta ta’rifiga ko’ra
biror
0   da Q affQ x K   ) , (  bo’ladi (bu yerda
         x x R x x K n: ) , (
). LinQh 
=   x affQ
bo ’ lgani uchun barcha
1R  
da LinQ h  , yoki affQ h x    bo ’ ladi . Natijada modul bo ’ yicha
yetarlicha kichik
1R   uchun   h x  Q affQ x K   ) , (  bajariladi .
Shunday qilib, (8) formula bo’yicha aniqlanuvchi A va V to’plamlar bo’sh emas.

Ixtiyoriy А 1  , А 2  , 2 1    sonlarni olamiz. ) (x f funksiyaning
qavariqligiga asosan
  










   
2
1 1 1 
  f h xf
Ixtiyoriy
В А   0 ,   uchun, yana f(x) funksiyaning qavariqligidan
foydalanib,
         h xf h xf h x h x f xf   
   
   
   
  
    




  
          0
0 0 0 0
0 0 0
tengsizlikni olamiz. Buyerdan:
 (  )   (  0
),  A , ya’ni  (  ) funksiya A
to’plamda quyidan chegaranlangandir. U vaqtda, monoton funksiyaning limiti
haqidagi analizdan ma’lum teoremaga asosan, chekli
           h x f 0 0 inf lim ,   
   
limit mavjud.
Endi, (7) munosabatni isbotlaymiz. Ixtiyoriy  0 uchun
   h x f h x f ; ;       
bo’lganligidan,

      LinQ h h h x f h x f h h x f          
2 1 2 1 2 1 , , ; ; ;
tengsizlikni isbotlasak yetarli.
Buning uchun, (5) formuladan va qavariq funksiya ta’rifidan foydalanamiz:

           
 
 




) ( lim ; 2 1
0 2 1
x f h h x f h h x f













 
 
2 )()2(
lim)(
2 2
2 2
lim 1
011
0 xfhxfxfhxhx
f
   . ; ;
2
) ( ) 2 (
2 1 2 h x f h x f x f h x f    
      


. 
1-n a t i j a. Agar intQ
  bo’lsa, qavariq f ( x ) funksiya qavariq Q
to’plamning har bir ichki x *
nuqtasida yo’nalishlar bo’yicha differensiallanuvchi
va yo’nalishlar bo’yicha hosila
 h x f h ;   R n
da qavariq funksiya bo’ladi.

2-n a t i j a. Qavariq f(x), x [a,b] , funksiya har bir x  (a,b) nuqtada
chekli chap
 0  x f va o’ng  0  x f hosilalarga ega.
Qav ariq funk siy alarning ek st remumlari.
8.Qav ariq funk siy aning minimumi. Qavariq Q
 R n
to’plamda
aniqlangan qavariq f(x) funksiya berilgan bo’lsin.
1-t eorema. Qavariq f(x), x
 Q funksiyaning qavariq Q to’plamdagi
har bir lokal minimum nuqtasi uning global minimum nuqtasi ham
bo’ladi.
I s b o t i. x 
 Q lokal minimum nuqtasi bo’lsin, ammo global
minimum nuqtasi bo’lmasin, deb faraz qilamiz. U vaqtda shunday
Q x
nuqta mavjudki, ) (x f < ) ( *x f bo’ladi. Ixtiyoriy  (0,1) uchun
)()1( ***
xxxxxz 
  
nuqtani qaraymiz. Q -qavariq to’plam
bo’lgani uchun, z
 Q . f(x) funksiyaning qavariqligidan foydalanib,
                     xf xf 1 xf xf 1 )x(f zf
,ya’ni
f(z)<f(x
 ) (1)
tengsizlikni olamiz.
x 
 lokal minimum nuqtasi bo’lgani uchun, shunday  
>0
mavjudki,
    xf xf ,       , x K Q x ,
(2)
bu yerda
            x x: R x , x K n .       x x/ ,1 min 0 bo’lsin. U holda
             , x K Q x x x z
va demak,(2) ga ko’ra, f(x)  f(x  ) . Bu esa, (1)
ga ziddir. Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.

2-t eorema. Qavariq f(x) funksiyaning qavariq Q R n
to’plamda
minimum nuqtalari to’plami Q
 (f) =
   

      xf min xf: R x Qx
n qavariq to’plam
bo’ladi. Agar f(x) – qatiy qavariq funksiya bo’lsa, uning qavariq Q
to’plamdagi minimum nuqtasi yagonadir.
I s b o t i. f(x) – Q da qavariq funksiya, Q
 (f)  bo’lsin. x  Q  (f),
y
 Q  (f) nuqtalarni olamiz. U vaqtda,
    xf min yf xf Qx     .       y 1 x x~
   1,0 
uchun f(x) funksiyaning qavariqligidan foydalanib,
                             xf yf 1 xf y 1 x f x~f xf
munosabatga ega
bo’lamiz. Demak,
    xf min xf x~f Qx    , ya’ni  xf Q x~   . Bu esa, ta’rifga ko’ra,
Q
 (f) to’plamning qavariqligini ko’rsatadi.
Endi f(x) – qat’iy qavariq bo’lsin, ammo uning minimum nuqtasig
yagona bo’lmasin, deb faraz qilaylik:
  xf min xf
Qx1
 
,    xfminxf
Qx2

, 2 1 x x  . (3)
  2 1 x 1 x x    
   1,0  nuqtani qaraymiz. f(x) funksiyaning qat’iy
qavariqligi ta’rifiga ko’ra,
           2 1 2 2 xf 1 xf x 1 x f xf         .
Bu yerdan, (3) ga ko’ra,
   xf min xf Qx   ga ega bo’lamiz. Ammo,
x(
 )  Q bo’lgani uchun,
   xf min xf Qx   . Olingan qarama-qarshilik
ko’rsatadiki, agar f(x) – qat’iy qavariq va Q
 (f)  bo’lsa, Q  (f) - faqat
yagona elementlidir.
Qavariq (hatto qat’iy qavariq) funksiyaning minimum nuqtalari
to’plami bo’sh bo’lishi ham mumkin. Masalan, f(x)=e -x
funksiya R 1
da
qat’iy qavariq, ammo minimumga ega emas.
Kuchli qavariq funksiyalar uchun esa, quyidagi teorema o’rinlidir.

3-t eorema . Qavariq yopiq Q R n
to’plamda quyidan yarim
uzluksiz, kuchli qavariq f(x) funksiyaning yagona minimum nuqtasi
mavjud.
I s b o t i. Kuchli qavariq funksiyalar sath to’plamlarining
chegaralanganligi haqidagi teoremaga asosan, ixtiyoriy y
 Q uchun,
   yf xf:Q x Qcf   
   yfc 
to’plam chegaralangandir. U vaqtda,
Veyershtrass teoramasining umumlashmasiga ko’ra, f(x) funksiyaning
Q to’plamda global minimum nuqtasining mavjudligi kelib chiqadi.
Minimum nuqtasining yagonaligi, 2-teoremadan kelib chiqadi.
9. Qav ariq funk siy aning mak simumi . Qavariq funksiyaning
qavariq to’plamdagi maksimumini topish masalasi minimumni topish
masalasidan muhim farq qiladi. Xususan, qavariq funksiya qavariq
to’plamda global maksimumdan tashqari, bir qancha lokal
maksimumlarga ham ega bo’lishi ham mumkin. Masalan,

2
2
2
1 4
1 x 2
1 x xf 
 
   
 
  
funksiyaning Q={x=(x
1 ,x
2 ):x
1 +x
2
 1, x
1  0, x
2  0}
to’plamdagi global maksimumi x 0
=(0,1) nuqtadadir. Shu bilan birga
x 1
=(0,0) va x 2
=(1,0) nuqtalar lokal maksimum nuqtalaridir.
4-t eorema. Agar qavariq Q
 R n
to’plamda qavariq f(x) funksiya
biror z
 riQ nuqtada global maksimumga erishsa, f(x) funksiya Q da
o’zgarmas bo’ladi ( f(x)=const, x
 Q ).
I s b o t i. z
 riQ-f(x) funksiyaning Q to’plamdagi global maksimum
nuqtasi bo’lsin. Ixtiyoriy x
 Q, x  z nuqtani qaraymiz. z  riQ bo’lgani
uchun, shunday  (0,1) va y
 Q mavjudki, z=(1-  )x+  y bo’ladi. U vaqtda
f(x) funksiyaning qavariqligiga asosan, f(z)
 (1-  )f(x)+  f(y) munosabat
bajariladi. z nuqtaning aniqlanishiga ko’ra esa,

f(x) f(z), f(y)  f(z).
Demak, agar f(x)<f(z) bo’lsa,
f(z)<(1-
 )f(z)+  f(z)=f(z)
qarama-qarshilikni olamiz. Shunday qilib, f(x)=f(z)=const, x
 Q . 
Isbotlangan teorema ko’rsatadiki, o’zgarmasdan farqli qavariq
funksiya qavariq to’plamning faqat nisbiy chegaraviy nuqtasidagina
global maksimumga erishishi mumkin.
N a t i j a. Agar f(x) – qavariq Q to’plamda qavariq funksiya bo’lib,
Q da global maksimumga erishsa,
  zf xf max xf max Qrx Qx    
, f Q z    (4)
bo’ladi. Agar intQ
  bo’lsa, (4) da rdQ ni dQ bilan almashtirish lozim.
5-t eorema . Quyidagi tasdiqlar o’rinli:
a) Agar f(x) funksiya qavariq P
nR  to’plamda qavariq bo’lsa,
ixtiyoriy Q
 P uchun

sup
convQx f(x)=
sup
Qx f(x), Q * (f)  (convQ) * (f) (5)
munosobatlar bajariladi, buyerda Q
* (f) va (convQ) * (f)- ) (x f
funksiyaning, mos ravishda, Q va convQ to’plamlardagi global
maksimum nuqtalari to’plamlaridir.
b) Agar n
RQ 
- qavariq kompakt, f(x)-Q da qavariq funksiya bo’lsa,
sup
Qx 
f(x)= sup
Q ччеx 
f(x)=
sup
Qт x ) (x f (6)
tenglik bajariladi, bu yerda
Q чет
-Q to’plamning chetki nuqtalari to’plami;
agar Q
* (f)  bo’lsa, Q * (f)  Q  bo’ladi.

d) Agar f(x) funksiya qavariq Q to’plamda qat’iy qavariq, yoki Q -
qat’iy qavariq to’plam, f(x) – Q to’plamda qavariq funksiya
bo’lsa, Q* (f)  bo’ladi.
I s b o t i. a )
)x(f sup
convQx
1

  , )x(f sup
Qx
1

  bo’lsin.
 2 deb faraz
qilamiz (
 2 bo’lsa,  1 bo’lib, 21  
tenglikning bajarilishi
ravshan). U vaqtda
 2 f )x(f:p x Q p 2     
. f(x) qavariq funksiya bo’lgani
uchun
p
2
f
 qavariq to’plamdir. Demak, f(x)
2 ,  x  convQ. Bundan
21
 
kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, Q  convQ bo’lgani uchun 12  
. Shunday qilib, 21
 
. Isbotlangan tenglikdan ko’rinib turibdiki, agar
) x(f а * 2
,  x  Q ya’ni x *  Q * (f) bo’lsa, )x(f 1  , convQ Q x  * , ya’ni
) () ( * * f convQ x 
bo’ladi. (5) munosabatlarning to’g’riligi isbotlandi.
b) (5) tenglik teoremaning a) tasdig’idan va qavariq kompakt
to’plamlarning Q=convQ
чет ko’rinishdagi xossasidan kelib chiqadi. Endi
Q
* (f)  bo’lsin.
Q чет
 ekanligi ravshan (chunki Q -qavariq kompakt).
 x
 Q * (f) nuqtani olamiz. Agar чет * Q x  bo’lsa, чет
* Q )f( Q 
 munosabat isbotlandi.
чет * Q x  bo’lsin. Q=convQ чет tenglikka
asosan, shunday четi Qx 
,i= к,1
, 0
i
,     k
1i i 1 mavjudki, i
k
1i
ix x 

   . f(x)
funksiyaning qavariqligiga asosan,
f(x
* )     k
1i *
i ) x(f )x(f
(7)

f(x
* )  f(x i ), i= k,1
,bo’lgani uchun, (7) dan

f(x* )     k
1i *
i ) x(f )x(f
munosabatni olamiz. Demak, f(x
* )=f(x i ), 1 f(x) 1= k,1
, ya’ni f(x i )=
sup
Qx (x),
1= k,1
. Shunday qilib x
i  Q * (f), 1= k,1
. Bu esa, чет
* Q )f( Q   ekanligini
ko’rsatadi.
d)Q-qat’iy qavariq to’plam bo’lsin. U vaqtda qavariq to’plamlarining
xossalariga ko’ra,
Q Q чет 
.(4) tenglikka asosan, Q
* (f)  Q. Demak, Q *
(f)
 Q чет .
Endi Q -qavariq to’plam , f(x)- qat’iy qavariq funksiya bo’lsin. x
* Q * ,
ammo x
* Q чет deb faraz qilamiz. U holda x * = x +(1-  ) x ,  (0,1), x Q .
f(x) ning qat’iy qavariqligidan va f(
x )  f(x * ), f( x )  f(x * ), munosabatlaridan
f(x
* )<  f( x )+(1-  )f( x )  f(x * )
kelib chiqadi. Olingan qarama- qarshilik, x
*  Q чет ekanligini ko’ rsatadi. Δ
M i s o l. f(x)= 2
22
1
x x e e  
max, ,1 2 1  x x x 1 , x 2 .
Q ={ x=(x
1 ,x 2 ): ,1 2 1  x x x 1 , x 2 } - qavariq kompakt bo’lib , A(0,1),
D (1,0),C(1,1)- uning chetki nuqtalaridir (1-chizma). f(x) funksiya Q da
uzluksiz. Demak, global maksimum mavjud. 5-teoremaga ko’ra,
)x(f max )x(f max
четQx Qx   
= max{(1,0),f(0,1),f(1,1)}=f(1,)=2e}, x * =(1,1) - global
maksimum nuqtasidir.

1-chizma.

Qavariq funksiyalar va ularning xossalari. Funksiyalarning qavariqlik kriteriyalari. Qavariq funksiyalarning ekstremumlari. Reja: 1. Qavariq funksiyalar. 2. Qavariqlik kriteriylari. 3. Silliq funksiyalarning qavariqlik kriteriylari. 4. Qavariq funksiyalar ustida amallar. 5. Qavariq funksiyaning sath to’plami. 6. Qavariq funksiyaning uzluksizligi. 7. Qavariq funksiyaning yo’nalish bo’yicha hosilasi. 8. Qavariq funksiyaning minimumi. 9. Qavariq funksiyaning maksimumi. Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

. 1. Qav ariq funk siy aning t a’rifi . Qavariq nR Q  to’plamda aniqlangan ) (x f funksiya berilgan bo’lsin. 1- t a’ r i f. Agar  1,0 ,     x uchun ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y f x f y x f          (1) munosabat bajarilsa, ) (x f funksiya Q to’plamda qavariq deyiladi. Agar y x Q y x    , , nuqtalar va  1,0   uchun ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y f x f y x f          (2) qat’iy tengsizlik bajarilsa, ) (x f funksiya Q da qat’iy qavariq funksiya deyiladi. Agar 0  topilib, Q y x   , va  x a PQ )( uchun 2 ) 1( ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( y x y f x f y x f               (3) bo’lsa, ) (x f ga Q to’plamda kuchli qavariq funksiya deyiladi. Misollar . 1) Chiziqli funksiya    n i iiT xc x c x f 1 ) ( - nR da qavariq, chunki ,)1())1(( ycxcyxc TTT      nR y x   , ,  1,0   , ya’ni (1) munosabat bajariladi. xcxf T )( - qat’iy qavariq ham, kuchli qavariq ham emas. 2) xe x f ) ( - nR da qat’iy qavariq funksiyadir, chunki , ) 1( ) 1( y x y x e e e         nR y x   , , yx  ,  1,0   , ya’ni (2) tengsizlik o’rinlidir. 3)   n i ixxxf 1 22 )( - nR da kuchli qavariq funksiya bo’ladi. Bu funksiya uchun (3) munosabat 1   o’zgarmasli quyidagi tenglikdan iborat:

, ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 y x y x y x                .1,0 , ,     nR y x 2-t a’ r i f. Agar ) ( ) ( x f x g   funksiya qavariq n R Q  to’plamda qavariq (qat’iy, kuchli qavariq) bo’lsa, ) (x f funksiya Q to’plamda botiq (qat’iy, kuchli botiq) deyiladi. Masalan, x с x f T ) ( - chiziqli funksiya botiq funksiya ham bo’ladi; xe x f  1 ) ( - qat’iy botiq funksiya, 2 1 ) ( x x f   - kuchli botiq funksiyadir. Qavariq (botiq) funksiya ta’rifining geometrik ma’nosi 1-chizmada berilgan.

a) qavariq funksiya b) botiq funksiya 1-chizma Bundan keyin, asosan, qavariq funksiyalarning xossalarini o’rganamiz. Ulardan botiq funksiyalarning mos xossalarini keltirib chiqarish qiyin emas. 2. Qav ariqlik k rit eriy lari . Funksiyaning qavariqligi ta’rifiga ekvivalent bo’lgan tasdiqlarni funksiyalar uchun qavariqlik kriteriylari deb ataymiz. Quyida bir necha qavariqlik kriteriylarini keltiramiz. 1-t eorema. ) (x f funksiyaning qavariq n R Q  to’plamda qavariq bo’lishi uchun ixtiyoriy , ,...,2,1 Q x m i  m i ,1 nuqtalar va 1 1   m i i ni qanoatlantiruvchi barcha 0 i , m i ,1 sonlar uchun,           m i i i m i ii x f x f 1 1 ) (   (4) munosabatning bajarilishi zarur va yetarlidir. I s b o t i. Yetarliligi. 2 m bo’lganda (4) dan qavariq funksiya ta’rifidagi (1) munosabat kelib chiqadi. Zaruriyligi. ) (x f - Q da qavariq funksiya bo’lsin. Matematik induksiya usulini qo’llaymiz. 1 m uchun (4) ning bajarilishi ravshan. Faraz qilaylik, k m  uchun (4) munosabat o’rinli bo’lsin. Uning 1 k m uchun bajarilishini ko’rsatamiz.     1 1 k i i ix x  (5)

bo’lsin. 1 0 1  k deb olamiz (agar 0 1  k  bo’lsa, (5)da k -ta element, 1 1 k bo’lganda esa, 0 ... 2 1     k   bo’lib, (5) da faqat bitta element qatnashadi; bu hollarda tasdiqning to’g’riligi faraz qilinmoqda). U holda , ) 1( 1 1 1 x x x k k k           k i i ix x 1  , ) 1/( 1   k i i    deb yozib olamiz va Q x (chunki x element ix , k i ,1 nuqtalarning qavariq kombinasiyasidan iborat; Q -qavariq to’plam) ekanligini hamda ) (x f funksiyaning qavariqligini, keyin esa, (4) ning k m  uchun to’g’riligi haqidagi farazni hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz:                     ) ( ) 1( ) ( ) ) 1( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 x f x f x x f x f k k k k k k k i i i      . ( ) ( ) ( 1 ) 1( 1 1 ) 1 1 1 1 1               k i i i k k i k i k i k x f x f x f      Demak, (4) munosabat, 1 k m uchun ham o’rinlidir.  3-ta’rif . n R Q  to’plamda aniqlangan ) (x f funksiyaning grafikusti(yoki epigrafi) deb quyidagi  ) ( , : ) , ( 1 x f y Q x R y x epif n      to’plamga aytiladi (2-chizma). 2-chizma

Qavariq funksiyalar va ularning xossalari. Funksiyalarning qavariqlik kriteriyalari. Qavariq funksiyalarning ekstremumlari.

08.08.2023

0

263.015625 KB

Похожие