. Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi: chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik . Eyri kuchlanish funksiyasi Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari O‘tgan boblarda elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari chiqarildi. Bu tenglamalar yopiq sistemani tashkil etadi va jismga ta’sir etgan tashqi kuchlarni hisobga olgan holda uning kuchlangan-deformatsialangan holatini aniqlashga imkon beradi. Bu tenglamalarni uch turga bo‘ladilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati deformatsia tenzori εij= εij(xk) komponentalari, yoki ui= ui(xk) ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: εij= 1 2(ui,j+uj,i) (5.1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: εik,jℓ+εjℓ,ik− εiℓ,jk− εjk,iℓ= 0. (5.2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuchlanish tenzorining σij= σij(xk) oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ρ fi= 0 . (5.3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ ρf i= ρд2ui дt 2 . (5.4) Ushbu (5.3) - tenglamalar statik, (5.4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining σij komponentalari deformatsiya tenzorining εij komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan σij= λθδ ij+2με ij (5.5) yoki ui ko‘chish komponentalari bilan

σij= λθδ ij+μ(ui,j+uj,i) (5.6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda θ= εii= ui,i= div ⃗u . Ba’zi hollarda Guk qonunini (5.5) ga teskari shaklda, ya’ni εij larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: εij= 1 E [(1+v)σij− vδ ij∑ ] , (5.7) bu yerda: ∑ = σii= σ11+σ22+σ33 . Yuqorida sanab o‘tilgan (5.1) - (5.3), (5.5), (5.7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (5.1) - (5.2), (5.4) (5.5) va (5.7) tenglamalarga aytiladi. § 5.2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning holatini uning V hajmining ichki nuqtalarida aniqlovchi asosiy tenglamalarga uning S sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan Fi sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan ui|S ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada fi massaviy va Fi sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan V hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni hamda V - hajmning ichki nuqtalari va jism S sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining ui(xk) komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: σijnj|s= Fi (5.8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda Fi - sirt kuchi ⃗F ning komponentalari; nj−S sirtning qaralayotgan nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik ⃗n vektori komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita σij kuchlanishlar va uchta ui ko‘chishlar) (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 2 0 . Ikkinchi tur asosiy masala.

Ikkinchi tur asosiy masalada fi massaviy kuchlar va jismning S sirtida ui(xk)|s ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism egallangan V hajm ichidagi nuqtalarda ui(xk) ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar ui= ui|s (5.9) ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi ui(xk) va σij(xk) funksiyalar (5.3) yoki (5.4), (5.5) hamda (5.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 3 0 . Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. bunday holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism S sirtining Sσ qismida kuchlanishlar, Su qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin. Tabiiyki, s= sσ+ su . Uchinchi tur asosiy masalada jism sirtining Sσ qismida berilgan tashqi sirt kuchlari - Fi, va qolgan su qismida berilgan ui(xk)|su ko‘chishlar, hamda umumiy holda, berilgan fi massaviy kuchlar bo‘yicha jism egallagan V sohaning ichki nuqtalarida ui(xj) ko‘chishlarni hamda σij(xj) kuchlanishlarni aniqlash talab etiladi. Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni hamda σijnj|Sσ= F i ui|Su= ui (5.10) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri va teskari masalalarini ham farqlaydilar. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan - deformatsialangan holatini aniqlovchi ui(xk) va σij(xk) funksialarni jism egallagan V sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik qiyinchiliklarga olib keladi.

Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ui=ui(xk) ko‘chishlar yoki σij= σij(xk) kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (5.1) (5.2), (5.3) yoki (5.4) hamda (5.5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ui ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi. Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi. σij kuchlanishlar berilgan holda ui ko‘chishlarni aniqlash uchun (5.1) tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va σij kuchlanishlarni (4.2) uzviylik tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson. Sodda masalalar. O‘tgan IV va V boblar doirasida kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi statik aniqmas masala ekanligi ta’kidlangan edi. Boshqacha aytganda, berilgan tashqi kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi σij kuchlanishlarni aniqlash uchun σij,j+ρf i= 0. (6.1) muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning (5.2) uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda (5.2) tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni (5.7) tenglamalar bo‘yicha qo‘yib almashtiramiz. Endi σij kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi koordinatalarining birinchi darajali funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi (5.7) formulalar asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin emas, masalan: д2ε11 дx 22 =1 E [ д2σ11 дx 22 −v( д2σ22 дx 22 +д2σ33 дx 32 )]; д2σ23 дx 1дx 3 =1 μ д2σ23 дx 1дx 3 va h.k. Biz qarayotgan holda hamma σij kuchlanishlar xi koordinatalarning chiziqli funksiyalari bo‘lganliklari uchun, deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli hosilalari nolga aylanadi. Demak, (5.97) ning hamma shartlari bu holda aynan qanoatlantiriladi. Faqat (6.1) muvozanat tenglamalarini va jism sirtida pnj= σijnj (6.2)

Загрузите документ, чтобы увидеть его полностью.

Похожие