Vektor va tenzor algebrasi. Indeksli belgilashlar Reja : 1. Vektorning uzunligi tushunchasi. 2. Kontravariant va kovariant bazis vektorlari. 3. Fundamental metrik tenzor. 4. Evklid fazosining umumiy ta’rifi. 5. Diad ko’paytmalarning xususiyatlari. 6. Vektorning kontravariant va kovariant komponentalari. 7. Tenzorning kontravariant, kovariant va aralash komponentalari haqida tushunchalar. Tayanch iboralar : fiksirlangan nuqta, metrika, vektor, tenzor, vektorning uzunligi, kontravariant va kovariant bazis vektorlari, fundamental metrik tenzor, vektor va tenzorning kovariant va kontravariant komponentalari, indeksni tushirish va ko’tarish, tenzorning aralash komponentalari. 1. F undamental metrik tenzor Bundan oldingi ma’ruzada keltirilgan mulohazalar fazoning bitta ixtiyoriy, ammo fiksirlangan nuqtasiga oid edi. Bunday mulohazalarni butun fazoga yoyish uchun nuqtaning ixtiyoriyligidan tashqari qaralayotgan fazo uchun metrika (o’lchov) tushunchasini ham kiritish zarur bo’ladi. Ma’lumki fazoning metrikasi deganda odatda shu fazoda uzunlikni aniqlash usuli tushuniladi. Biror vektorning uzunligini aniqlash uchun uning o’zini-o’ziga skalyar ko’paytirish yetarli, ya’ni|d ⃗r|2=ds 2= d⃗r⋅d⃗r= dζ i⃗эidζ j⃗эj=dζ idζ j⃗эi⃗эj Bu yerdagi ⃗эi bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasini g ij lar orqali belgilaymiz, yani gij=⃗эi⃗эj U holda d⃗r vektorning uzunligi uchun |d⃗r|2=dζ idζ jgij (3.1)

formulaga ega bo’lamiz. Kiritilgan yangi g ij kattaliklar yordamida ixtiyoriy A → vektorning uzunligini quyidagicha yozish mumkin: |⃗A|2=AiAjgij Ushbu ifoda istalgan vektorning uzunligini uning komponentalari va bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasi orqali ifodalashga imkon beradi. Vektorning |d⃗r| uzunligi koordinat sistemasini tanlashga nisbatan invariantdir. Ushbu faktni o’tgan ma’ruzada ham ta’kidlagan edik va bunday invariantlik ifodasi (2.21) dan iborat edi. Ana shu ifodaga asosan vektorning uzunligi |d ⃗r|2= gijdζ idζ j= gpq ' dη pdη q= ⃗эp '⃗эq '⋅dη pdη q= ap iaq j⃗эi⃗эjdη pdη q= gijap iaq jdη pdη q ko’rinishni oladi. Bundan gpq '= gijap iaq j (3.2) ya’ni kiritilgan g pq - kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. Ko’rinib turibdiki g ij kattaliklar uchinchi tartibli matrisani tashkil qiladilar. Bu matrisaning determinanti noldan farqli bo’lishini talab qilamiz, yа’ni Δ= Det ‖gij‖≠0 bo’lsin. U holda ‖gij‖ ga teskari ‖gij‖ matrisa mavjud bo’ladi va algebra kursidan malumki uning elementlari g ij = k ij /  (3.3) formuladan topiladi, bu yerda k ij - ‖gij‖ matrisaning to’ldiruvchi minorlari, g ij kattaliklar (3.2) formulaga asosan kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. U holda g ij kattaliklar xuddi ikkinchi rang tenzorning T ij komponentalari singari (2.24) formulaga ko’ra kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar, ya’ni g'ij= bp ibq jg pq (3.4) Hosil qilingan g ij kattaliklari va ⃗эi bazis vektorlari yordamida

g= gij⃗эi⃗эjikkinchi rang tenzorga ega bo’lamiz, hamda biror  i koordinatalari sistemasida ⃗эi= gij⃗эj (3.5) obyektlarni kiritamiz. Bu yerda masalan ixtiyoriy g 1i ⃗эi vektor quyidagiga teng g1j⃗эj= g11 ⃗э1+ g12 ⃗э2+ g13 ⃗э3= ⃗э1 ya’ni g 1j larga ko’paytirilgan uchta ⃗э1,⃗э2va ⃗э3 bazis vektorlarining yig’indisidan iborat. Shunga o’xshash boshqa  1 ,  2 ,  3 koordinatalari sistemasida ham ⃗э'p= g'pq ⃗эq ' kabi ifodani qabul qilish mumkin. Oxirgi (3.4), (3.5) va (2.19) formulalarga asosan ⃗эi bazis vektorlarini almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz ⃗э'p= g'pq ⃗эq '= bi pbj qgij⋅aq k⋅⃗эk= bi p(bj q⋅aq k)gij⋅⃗эk= = bi p⋅gij⃗эj= bi p⃗эi chunki bj q⋅aq k= δj k, demak ⃗э'p= bi p⃗эi (3.6) Ko’rinib turibdiki ⃗эi bazis vektorlari kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar va shuning uchun ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladilar. Mos ravishda ⃗эi bazis vektorlari kovariant bazis vektorlari deb yuritiladi. Yuqorida aytilganlardan ma’lumki ‖gij‖ matrisa ‖gij‖ matrisaga teskari matrisadir. Shuni hisobga olgan holda (3.5) ifodani ⃗эi larga nisbatan yechib ⃗эj= gij⃗эi (3.7)

ifodaga ega bo’lamiz. Xuddi shunga o’xshash, ixtiyoriy boshqa  1 ,  2 ,  3 koordinatalari sisietmasida ham ⃗эj '= gij '⃗э'i formula o’rinli bo’ladi va bu yerdagi gij ' kattaliklar (3.2) formula yordamida almashtiriladilar. Ko’rinib turibdiki g ij ⃗эi⃗эj ifoda koordinat sistemasiga bog’liq bo’lmagan invariant obyekt bo’ladi, chunki bu yerdagi ⃗эi⃗эj ko’paytma ⃗эi kontravariant bazis vektorlarining diad ko’paytmalari va shuning uchun ham (3.6) formulaga asosan ⃗э'i⃗э'j= bk ibl j⋅⃗эk⃗эl (3.8) kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar. Bundan tashqari g= gij⃗эi⃗эj= gijgip⃗эpg jq⃗эq= gip g jq gij⃗эp⃗эq= g pq ⃗эp⃗эq bo’ladi, ya’ni qaralayotgan obyekt ikkinchi rang tenzorni tashkil etadi. g= gpq ⃗эp⃗эq Shunday qilib, g= gij⃗эi⃗эj= g pq ⃗эp⃗эq (3.9) Hosil qilingan g- tenzor fundamental metrik tenzor deb ataladi, g ij kattaliklar- fundamental metrik tenzorning ⃗эi kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, g ij kattaliklar esa fundamental metrik tenzorning ⃗эi kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi. Joyi kelganda biz o’quvchini Evklid fazosining chuqurroq ta’rifi bilan tanishtirib o’tishni lozim deb hisoblaymiz. Yuqoridagi mulohazalarni fazoning fiksirlangan nuqtasi uchun olib bordik. Bu holda (3.1) kvadratik shaklning koeffisiyentlari o’zgarmas bo’ladi. Algebra kursidan ma’lumki, har qanday o’zgarmas koeffisiyentli kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish mumkin, ya’ni fazoning har bir tanlangan nuqtasi uchun shunday  1 ,  2 ,  3 koordinatalarni topish mumkinki, bunda (3.1) kvadratik shakl

ds 2= (dζ 1)2+(dζ 2)2+(dζ 3)2(3.10) ko’rinishga, fundamental metrik tenzorning matrisasi esa quyidagi ko’rinishga keltiriladi ‖ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ‖ Umuman olganda bunday ishni fazoning har bir nuqtasi uchun bajarib bo’lmaydi, ya’ni (3.10) ko’rinishga keltiradigan  1 ,  2 ,  3 lar topilmasligi mumkin. Lekin agar, biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo’lsa bu fazo Evklid fazosi, aks holda Evklidmas fazo deyiladi. Demak, Evklid fazosi uchun fundamental metrik tenzorning matrisasi elementlari 1 lardan iborat bo’lgan diagonal matrisadir. Bundan tashqari ‖gij‖ ва ‖gkp‖ matrisalar o’zaro teskari matrisalardir. Aytilganlarni hisobga olgan holda ⃗эi⃗эp aralash diad ko’paytmalarning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Yuqorida keltirilgan (3.5) formulaga asosan ⃗э j ⃗эp= g ij ⃗эi⃗эp= g ij gip= δp j = ¿{1,p= j;¿¿¿¿ (3.11) bu yerdan ⃗э1⋅⃗э1= 1, ⃗э1⋅⃗э2= 0 ,⃗э1⋅⃗э3= 0 , ⃗э2⋅⃗э1= 0 ,⃗э2⋅⃗э2= 1 , va h.k. Bu tengliklar ⃗э1 vektorining ⃗э2 va ⃗э3 vektorlari tekisligiga, ⃗э2 vektorning ⃗э1 va ⃗э3 vektorlari tekisligiga va h.k. ortogonalligini ko’rsatadi. Ana shu faktlar asosida quyidagi munosabatlarni isbot qilish qiyin emas: a) kontravariant bazis vektorlari uchun ⃗э1= ⃗э2× ⃗э3 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ; ⃗э2= ⃗э3× ⃗э1 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ; ⃗э3= ⃗э1× ⃗э2 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ; b) kovariant bazis vektorlari uchun ⃗э1= ⃗э2× ⃗э3 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ; ⃗э2= ⃗э3× ⃗э1 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ; ⃗э3= ⃗э1× ⃗э2 ⃗э1(⃗э2× ⃗э3) ;