logo

YIRIK MASSHTABLI METEOROLOGIK MAYDONLARNING STATISTIK STRUKTURASI

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

63.9609375 KB
YIRIK MASSHTABLI METEOROLOGIK MAYDONLARNING STATISTIK
STRUKTURASI
REJA :
1. Me t e orologik  may donlarning st at ist ik  st ruk t urasi t avsifi . 
2. Bir jinsli va izot ropik  t asodifi y  may donlar. 
3. K orrely at siy a, st ruk t urali va spe k t rial f unk siy alarni hisoblash. Meteorologik maydonlar  statistik tuzilishining  harakteristikalari.
Atmosfera turbulent muhit bo‘lib, meteorologik elementlar maydonlari fazo
va   vaqt   bo‘yicha   katta   o‘zgaruvchanlikka   ega.   Shuning   uchun   meteorologik
maydonlarni   tavsiflashda   ularni   tasodifiy   kattalik   (tasodifiy   kattalik   deb   ixtiyoriy
qiymatni   qabul   qiluvchi   o‘zgaruvchi   tushuniladi)   deb   qaralivuchi   statistik
yondoshuvdan   foydalanish   qulay  bo‘ladi.  Turli   hollarda   element   turli   qiymatlarni
qabul   qilishi   mumkin.   Bu   qiymatlarning   fazoning   qaralayotgan   hajmi   uchun
berilgan   vaqt   oralig‘idagi   yig‘indisi   tasodifiy   maydonning   realizatsiyasi   deyiladi.
Statistik   yondoshuvda   faqatgina   butun   realizatsiyalar   to‘plami   uchun   xos   bo‘lgan
umumiy xususiyatlarni aniqlashga imkon beruvchi statistik harakteristikalar ko‘rib
chiqiladi.   Bu   umumiy   xususiyatlarni   tasodifiy   maydonning   statistik   tuzilishi   deb
atash   qabul   qilingan.   Shu   bilan   birga   statistik   o‘rtachalash   maydonning   mumkin
bo‘lgan barcha realizatsiyalari bo‘yicha amalga oshiriladi.
Agar  fj(r)   tasodifiy   maydonning   j -realizatsiyasi   ( r   –   nuqtaning   radius-
vektori,   maydon   koordinatalari   orasida   esa   ham   fazoviy   koordinatalar,   ham   vaqt
bo‘lishi mumkin), jami bunday realizatsiyalar soni esa  N  ta bo‘lsa ,   u holda   statistik
o‘rtachalash   quyidagi   formula   bo‘yicha   bajariladi   (belgi   ustidagi   chiziqcha
o‘rtachalashni bildiradi): 	
¯f(r)=	1
N	∑
j=1
N	
fj(r)
.   (1)	
¯f
  kattalik   berilgan   nuqtada   berilgan   vaqt   momentida   mumkin   bo‘lgan
qiymatlarning   o‘rtachasini   ifodalaydi.   Shu   bilan   bir   qatorda   o‘rtachadan
chetlanishni   (anomaliya)   tavsiflovchi   kattaliklarni   ko‘rib   chiqish   ham   qiziqish
uyg‘otadi:	
f'(r)=	f(r)−	¯f(r)
.
Iqlimshunoslikda   qabul   qilingan   atamalardan   foydalangan   holda
elementning  	
⃗r   nuqtadagi  	¯f(⃗r)   o‘rtacha   qiymatini   uning   normasi,  	f'(⃗r)   kattalikni
esa elementning normadan chetlanishi yoki anomaliya deb ataymiz. 
Mumkin bo‘lgan sochilganlik darajasini baholash uchun o‘rtacha qiymatdan chetlanishning   o‘rtacha   kvadratini   ifodalovchi   f   kattalikning   dispersiyasidan
foydalaniladi:  σf
2=[f(r)−	¯f(r)]2
.   (2)	

f  kattalik  f  kattalikning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.
Tasodifiy   maydonning   har   bir   alohida   realizatsiyada   u   yoki   bu   nuqtadagi   f
kattaliklar muayyan qiymatlarni qabul qiladi. Shu bilan bog‘liq ravishda atrofdagi
nuqtalardagi   f   qiymatlar   bu   qiymatga   qanchalik   yaqin   degan   savol   tug‘iladi.
Tasodifiy   maydonning   turli   nuqtalarda   bir   vaqtdagi   o‘zini   tutishini   statistik
tavsiflash   ko‘p   o‘lchamli   taqsimot   funksiyalarining   berilishini   talab   qilib,
murakkab   masala   hisoblanadi.   Shunga   qaramay   ko‘pchilik   hollarda   statistik
tuzilishning soddaroq harakteristikalari bilan cheklanish mumkin bo‘ladi.
Buning   uchun   quyidagi   funksiyalarni   ko‘rib   chiqamiz:   korrelyatsion,
tarkibiy va spektral.
1.   f   kattalikning   kovariatsion   funksiyasi   statistik   bog‘lanishning   eng   sodda
harakteristikasi   hisoblanadi.   U   f   kattalikning   biror   r
i   va   r
k   nuqtalardagi
anomaliyalari   ko‘paytmasining   o‘rtachasi   sifatida   quyidagi   formula   bo‘yicha
aniqlanadi :	
mf(ri,rk)=[f(ri)−	¯f(ri)][f(rk)−	¯f(rk)]
  (3)
Shuningdek	
μf(ri,rk)=	
mf(ri,rk)	
σf(ri)σf(rk)
  (4)
ko‘rinishidagi   korrelyatsion   funksiyadan   ham   foydalanilib,   u   har   bir   r
i   va   r
k
nuqtalar   juftligi   uchun   f   kattalik   qiymatlarining   korrelyatsiya   koeffitsiyentlarini
beradi.
Aksariyat adabiyotlarda kovariatsion funksiya normalanmagan korrelyatsion
(yoki korrelyatsion) funksiya deb ataladi. Yuqorida ko‘rilgan holdagi korrelyatsion
funksiya esa normalangan korrelyatsion funksiya deb yuritiladi.
Bir  nechta  kattaliklarning maydonlari  bir  vaqtda  qaralayotgan  hollarda  ular
orasidagi   bog‘lanishni   ko‘rib   chiqish   maqsadga   muvofiq.   Bu   bog‘lanishni   o‘zaro kovariatsion va korrelyatsion funksiyalar yordamida tavsiflash mumkin.
f(r)  va  g(r)  tasodifiy kattaliklar maydonlarini ko‘rib chiqayotgan bo‘laylik. 
U holda  o‘zaro   kovariatsion funksiya :mfg(ri,rk)=[f(ri)−	¯f(ri)][g(rk)−¯g(rk)]
, (5)
o‘zaro  korrelyatsion funksiya :	
μfg(ri,rk)=	
mfg(ri,rk)	
σf(ri)σg(rk)
  (6)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Bu funksiya  krosskorrelyatsion funksiya  deb ham ataladi.
Ayni   bir   kattalik   qiymatlari   orasidagi   bog‘lanish   qaralayotganligini
ta’kidlash uchun bu funksiyalar   avtokovariatsion va avtokorrelyatsion funksiyalar
deb ataladi. 
m
f   va  	

f   funksiyalarning   ta’riflaridan   ularning   quyidagi   xossalari   kelib
chiqadi:
a)	
mf(ri,rk)=mf(rk,ri);	
μf(ri,rk)=μf(rk,ri), 7)
ya’ni   r
i   va   r
k   nuqtalarning   o‘rnini   almashtirsak,   bu   funksiyalar   o‘zgarmaydi.   Bu
xossa  simmetriklik xossasi  deb ataladi.
Yuqoridagi kabi
mfg(ri,rk)=mgf(rk,ri);	
μfg(ri,rk)=	μgf(rk,ri).
(8)
b)  Cheklanganlik xossasi :	
mf(ri,rk)≤σf(ri)σf(rk);	
mfg(ri,rk)≤σf(ri)σg(rk);	
|μf(ri,rk)|≤1;      	|μfg(ri,rk)|≤1.
(9)
Funksiyalar   argumentlari   mos   kelgan   chegaraviy   hollarda   quyidagi
tengliklar o‘rinli bo‘ladi:	
mf(ri,rk)=σf2(ri);	
μf(ri,ri)=1.
(10)
2.   Maydonlarning   statistik   tuzilishini   tavsiflash   uchun   berilgan   ikki nuqtadagi   f   qiymatlar   farqining   o‘rtacha   kvadratini   ifodalovchi   tarkibiy
funksiyadan  ham foydalanish mumkin:bf(ri,rk)=[f(ri)−	f(rk)]
2
  11)
Tarkibiy   funksiya   kovariatsion   va   korrelyatsion   funksiyalar   bilan   quyidagi
formula orqali bog‘langan:	
bf(ri,rk)=	σf2(ri)+σf2(rk)−2m	f(ri,rk)+[f(ri)−	f(rk)]
2=	
¿2σf(ri)σf(rk)[1−	μf(ri,rk)]+[σf(ri)−σf(rk)]
2+[f(ri)−	f(rk)]
2.
  (12)
Tarkibiy funksiyaning tarifidan uning manfiy emasligi kelib chiqadi. Bundan
tashqari, quyidagi munosabatlar ham o‘rinli bo‘ladi:	
bf(ri,rk)=bf(rk,ri)	
bf(ri,ri)=0	
bf(ri,rk)≤[σf(ri)−	σf(rk)]
2+[f(ri)−	f(rk)]
2.
  (13)
3.   Meteorologiyada   bir   jinsli   va   izotrop   maydonlar   katta   amaliy   qiziqish
uyog‘otadi.   Bunday   maydonlar   uchun   bir   nuqtali   statistik   harakteristikalar
(masalan, o‘rtacha qiymatlar va dispersiya) maydonning barcha nuqtalarida bir xil,
ikki nuqtali harakteristikalar (masalan, korrelyatsion funksiyalar) esa faqat nuqtalar
orasidagi  masofaga bog‘liq bo‘ladi. Demak, ular uchun quyidagi tengliklar o‘rinli
bo‘ladi:	
f(ri)=	f(rk)=...=	f;
(14a)	
σf2(ri)=	σf2(rk)=...=σf2;
(14b)	
mf(ri,rk)=mf(ρ);
(14v)	
μf(ri,rk)=μf(ρ);
(14g)	
b	f(ri,rk)=	b	f(ρ),
(14d)
bu yerda 	
ρ=|ri−rk|  –  r
i  va  r
k  nuqtalar orasidagi masofa.
Bir   jinsli   va   izotrop   maydonlarning   kovariatsion   funksiyasi  	
 =0   bo‘lganda
o‘zining  	
σf
2   dispersiyaga teng bo‘lgan maksimal  qiymatini qabul qiladi. Nuqtalar orasidagi   masofaning   ortishi   bilan   kovariatsion   va   korrelyatsion   funksiyalarning
qiymatlari   kamayib   boradi   va   bu   kamayish   monoton   bo‘lmasligi   ham   mumkin.
Nuqtalar   orasidagi   masofa   juda   katta   bo‘lganda   barcha   meteorologik   elementlar
qiymatlari   orasida   bog‘lanish   bo‘lmaydi   hamda   mos   ravishda   kovariatsion   va
korrelyatsion   funksiyalarning   qiymatlari   nolga   intiladi.   Kovariatsion
funksiyalarning masofaga bog‘lanishlari 3-rasmda keltirilgan.
Bir   jinsli   va   tasodifiy   izotrop   maydonlar   uchun   kovariatsion,   korrelyatsion
va tarkibiy funksiyalar quyidagi munosabatlar bilan o‘zaro bog‘langan:m	f(ρ)=	σ	f
2μ	f(ρ)	
b	f(ρ)=	2σ	f
2−	2m	f(ρ)=	2σ	f
2
[1−	μ	f(ρ)].
  (15)
(15) ifodadan 	
   masofaning ortishi bilan tarkibiy funksiya quyidagi qiymatga
intilish kelib chiqadi :	
b	f(∞	)=	2	σ	f
2.
  (16)
Shunday   qilib,   bir   jinsli   va   tasodifiy   izotrop   maydonlar   uchun   tarkibiy
funksiya  	
 =0   bo‘lganda   nolga   teng   va  	   ning   kichik   qiymatlarida   masofaning
ortishi bilan ortib boradi. Juda katta masofalarda u o‘zining to‘yinish qiymati   2	
σf
2
ni qabul qiladi. Oraliq sohada tasodifiy maydonning xususiyatlariga bog‘liq holda
tarkibiy   funksiyaning   o‘zini   tutishi   turlicha   bo‘lishi   mumkin.   3-rasmda   karab
chiqilgan kovariatsion  funksiyalarga  mos  keluvchi  tarkibiy funksiyalarning ayrim
o‘ziga xos ko‘rinishlari ham keltirilgan (2 egri chiziqlar). 
4.   Tasodifiy   funksiyalar   nazariyasida   kovariatsion   funksiyalardan   Fure
almashtirishlarini   ifodalovchi   spektral   funksiyalar   katta   ahamiyatga   ega.   Misol
uchun,   f(t)   statsionar tasodifiy funksiya uchun   m
f (	
 )   kovariatsion funksiya va   S
f (	 )
spektral funksiya   orasidagi bog‘lanish quyidagi formula orqali aniqlanadi:	
S	f(ω	)=	2
π∫
0
∞	
m	f(τ)cos	(ωτ	)dτ	.
(17)
Bu ifodadan m	f(τ)=	∫
0
∞	
S	f(ω	)cos	(ωτ	)dτ  (18)
ekanligi kelib chiqadi.
S
f (	
 )   funksiya   ko‘pincha   energetik   spektr   yoki   spektral   zichlik   deb   ataladi.
S
f (	
 )   spektral   funksiya  	   ning   ixtiyori   qiymatlarida   manfiy   bo‘lmasligi   kerak.
Spektrning   musbatligi   ixtiyoriy   statsionar   tasodifiy   funksiya   uchun   zaruriy   shart
hisoblanadi.
Yuqorida   keltirilgan   spektral   funksiyalarga   o‘xshash   statsionar   tasodifiy
jarayonlar uchun bir o‘lchamli bir jinsli funksiyalarning spektral funksiyalari ham
aniqlanadi. Bu holda (17) va (18) formulalarda  	
   vaqt chastotasi  va  	   vaqt siljishi
mos   ravishda   k   to‘lqin   soni   va  	
   masofa   bilan   almashtiriladi.   Bunda   energetik
spektr   dispersiyaning   to‘lqin   sonining   turli   oraliqlariga   mos   keluvchi   hissasini
tavsiflaydi. ADABIYOTLAR
1. Gandin   L.S.   Kogan   R.L.   Statisticheskiye   metodi   interpretatsii
meteorologicheskix dannix. -L.: GMI, 1976.
2. Gruza G.V., Reytenbax R.G. Statistika i analiz gidrometeorologicheskix
dannix. -L., GMI, 1982.
3. Grigorev   V.I.   Avtomatizirovannaya   obrabotka   gidrometeorologicheskoy
informatsii. –L. GMI, 1979. 
4. Frolov   A.V.   Avtomatizirovannaya   obrabotka   operativnoy
meteorologicheskoy   informatsii   v   MMS   Moskva   s   ispolzovaniyem     super   EVM
GRAY Trudi Gidrometsentra Rossiya.   Vip. 334., 2000.

YIRIK MASSHTABLI METEOROLOGIK MAYDONLARNING STATISTIK STRUKTURASI REJA : 1. Me t e orologik may donlarning st at ist ik st ruk t urasi t avsifi . 2. Bir jinsli va izot ropik t asodifi y may donlar. 3. K orrely at siy a, st ruk t urali va spe k t rial f unk siy alarni hisoblash.

Meteorologik maydonlar statistik tuzilishining harakteristikalari. Atmosfera turbulent muhit bo‘lib, meteorologik elementlar maydonlari fazo va vaqt bo‘yicha katta o‘zgaruvchanlikka ega. Shuning uchun meteorologik maydonlarni tavsiflashda ularni tasodifiy kattalik (tasodifiy kattalik deb ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi o‘zgaruvchi tushuniladi) deb qaralivuchi statistik yondoshuvdan foydalanish qulay bo‘ladi. Turli hollarda element turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu qiymatlarning fazoning qaralayotgan hajmi uchun berilgan vaqt oralig‘idagi yig‘indisi tasodifiy maydonning realizatsiyasi deyiladi. Statistik yondoshuvda faqatgina butun realizatsiyalar to‘plami uchun xos bo‘lgan umumiy xususiyatlarni aniqlashga imkon beruvchi statistik harakteristikalar ko‘rib chiqiladi. Bu umumiy xususiyatlarni tasodifiy maydonning statistik tuzilishi deb atash qabul qilingan. Shu bilan birga statistik o‘rtachalash maydonning mumkin bo‘lgan barcha realizatsiyalari bo‘yicha amalga oshiriladi. Agar fj(r) tasodifiy maydonning j -realizatsiyasi ( r – nuqtaning radius- vektori, maydon koordinatalari orasida esa ham fazoviy koordinatalar, ham vaqt bo‘lishi mumkin), jami bunday realizatsiyalar soni esa N ta bo‘lsa , u holda statistik o‘rtachalash quyidagi formula bo‘yicha bajariladi (belgi ustidagi chiziqcha o‘rtachalashni bildiradi): ¯f(r)= 1 N ∑ j=1 N fj(r) . (1) ¯f kattalik berilgan nuqtada berilgan vaqt momentida mumkin bo‘lgan qiymatlarning o‘rtachasini ifodalaydi. Shu bilan bir qatorda o‘rtachadan chetlanishni (anomaliya) tavsiflovchi kattaliklarni ko‘rib chiqish ham qiziqish uyg‘otadi: f'(r)= f(r)− ¯f(r) . Iqlimshunoslikda qabul qilingan atamalardan foydalangan holda elementning ⃗r nuqtadagi ¯f(⃗r) o‘rtacha qiymatini uning normasi, f'(⃗r) kattalikni esa elementning normadan chetlanishi yoki anomaliya deb ataymiz. Mumkin bo‘lgan sochilganlik darajasini baholash uchun o‘rtacha qiymatdan

chetlanishning o‘rtacha kvadratini ifodalovchi f kattalikning dispersiyasidan foydalaniladi: σf 2=[f(r)− ¯f(r)]2 . (2)  f kattalik f kattalikning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi. Tasodifiy maydonning har bir alohida realizatsiyada u yoki bu nuqtadagi f kattaliklar muayyan qiymatlarni qabul qiladi. Shu bilan bog‘liq ravishda atrofdagi nuqtalardagi f qiymatlar bu qiymatga qanchalik yaqin degan savol tug‘iladi. Tasodifiy maydonning turli nuqtalarda bir vaqtdagi o‘zini tutishini statistik tavsiflash ko‘p o‘lchamli taqsimot funksiyalarining berilishini talab qilib, murakkab masala hisoblanadi. Shunga qaramay ko‘pchilik hollarda statistik tuzilishning soddaroq harakteristikalari bilan cheklanish mumkin bo‘ladi. Buning uchun quyidagi funksiyalarni ko‘rib chiqamiz: korrelyatsion, tarkibiy va spektral. 1. f kattalikning kovariatsion funksiyasi statistik bog‘lanishning eng sodda harakteristikasi hisoblanadi. U f kattalikning biror r i va r k nuqtalardagi anomaliyalari ko‘paytmasining o‘rtachasi sifatida quyidagi formula bo‘yicha aniqlanadi : mf(ri,rk)=[f(ri)− ¯f(ri)][f(rk)− ¯f(rk)] (3) Shuningdek μf(ri,rk)= mf(ri,rk) σf(ri)σf(rk) (4) ko‘rinishidagi korrelyatsion funksiyadan ham foydalanilib, u har bir r i va r k nuqtalar juftligi uchun f kattalik qiymatlarining korrelyatsiya koeffitsiyentlarini beradi. Aksariyat adabiyotlarda kovariatsion funksiya normalanmagan korrelyatsion (yoki korrelyatsion) funksiya deb ataladi. Yuqorida ko‘rilgan holdagi korrelyatsion funksiya esa normalangan korrelyatsion funksiya deb yuritiladi. Bir nechta kattaliklarning maydonlari bir vaqtda qaralayotgan hollarda ular orasidagi bog‘lanishni ko‘rib chiqish maqsadga muvofiq. Bu bog‘lanishni o‘zaro

kovariatsion va korrelyatsion funksiyalar yordamida tavsiflash mumkin. f(r) va g(r) tasodifiy kattaliklar maydonlarini ko‘rib chiqayotgan bo‘laylik. U holda o‘zaro kovariatsion funksiya :mfg(ri,rk)=[f(ri)− ¯f(ri)][g(rk)−¯g(rk)] , (5) o‘zaro korrelyatsion funksiya : μfg(ri,rk)= mfg(ri,rk) σf(ri)σg(rk) (6) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu funksiya krosskorrelyatsion funksiya deb ham ataladi. Ayni bir kattalik qiymatlari orasidagi bog‘lanish qaralayotganligini ta’kidlash uchun bu funksiyalar avtokovariatsion va avtokorrelyatsion funksiyalar deb ataladi. m f va  f funksiyalarning ta’riflaridan ularning quyidagi xossalari kelib chiqadi: a) mf(ri,rk)=mf(rk,ri); μf(ri,rk)=μf(rk,ri), 7) ya’ni r i va r k nuqtalarning o‘rnini almashtirsak, bu funksiyalar o‘zgarmaydi. Bu xossa simmetriklik xossasi deb ataladi. Yuqoridagi kabi mfg(ri,rk)=mgf(rk,ri); μfg(ri,rk)= μgf(rk,ri). (8) b) Cheklanganlik xossasi : mf(ri,rk)≤σf(ri)σf(rk); mfg(ri,rk)≤σf(ri)σg(rk); |μf(ri,rk)|≤1; |μfg(ri,rk)|≤1. (9) Funksiyalar argumentlari mos kelgan chegaraviy hollarda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi: mf(ri,rk)=σf2(ri); μf(ri,ri)=1. (10) 2. Maydonlarning statistik tuzilishini tavsiflash uchun berilgan ikki

nuqtadagi f qiymatlar farqining o‘rtacha kvadratini ifodalovchi tarkibiy funksiyadan ham foydalanish mumkin:bf(ri,rk)=[f(ri)− f(rk)] 2 11) Tarkibiy funksiya kovariatsion va korrelyatsion funksiyalar bilan quyidagi formula orqali bog‘langan: bf(ri,rk)= σf2(ri)+σf2(rk)−2m f(ri,rk)+[f(ri)− f(rk)] 2= ¿2σf(ri)σf(rk)[1− μf(ri,rk)]+[σf(ri)−σf(rk)] 2+[f(ri)− f(rk)] 2. (12) Tarkibiy funksiyaning tarifidan uning manfiy emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, quyidagi munosabatlar ham o‘rinli bo‘ladi: bf(ri,rk)=bf(rk,ri) bf(ri,ri)=0 bf(ri,rk)≤[σf(ri)− σf(rk)] 2+[f(ri)− f(rk)] 2. (13) 3. Meteorologiyada bir jinsli va izotrop maydonlar katta amaliy qiziqish uyog‘otadi. Bunday maydonlar uchun bir nuqtali statistik harakteristikalar (masalan, o‘rtacha qiymatlar va dispersiya) maydonning barcha nuqtalarida bir xil, ikki nuqtali harakteristikalar (masalan, korrelyatsion funksiyalar) esa faqat nuqtalar orasidagi masofaga bog‘liq bo‘ladi. Demak, ular uchun quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi: f(ri)= f(rk)=...= f; (14a) σf2(ri)= σf2(rk)=...=σf2; (14b) mf(ri,rk)=mf(ρ); (14v) μf(ri,rk)=μf(ρ); (14g) b f(ri,rk)= b f(ρ), (14d) bu yerda ρ=|ri−rk| – r i va r k nuqtalar orasidagi masofa. Bir jinsli va izotrop maydonlarning kovariatsion funksiyasi  =0 bo‘lganda o‘zining σf 2 dispersiyaga teng bo‘lgan maksimal qiymatini qabul qiladi. Nuqtalar