Chiziqli differentsial tenglamalar va ularni yechishning Lagranj va Bernulli usullari.

Ta rif. Noma lum funktsiya va uning hosilasiga nisbatan ʼ ʼ chiziqli (birinchi darajali) bo lgan tenglamalar birinchi ʼ tartibli chiziqli tenglamalar deb ataladi. Chiziqli tenglamaning umumiy ko rinishi quyidagicha: ʼ Bu yerda , lar x ning ma lum uzliksiz ʼ funktsiyalari (yoki o zgarmaslardir). ʼ ) ( x P ) ( x Q ) ( ) ( ' x Q y x P y    (1) Chiziqli tenglamalarni yechishning eng keng tarqalgan usuli o rniga qo yish ʼ ʼ (Bernulli usuli ) usulidir. Shu usulni bayon qilamiz.

Birinchi tartibli chiziqli (1) tenglamaning umumiy yechimini ko rinishda ʼ izlaymiz. Bu bilan o rniga izlanayotgan yangi o zgaruvchi, ʼ ʼ masalan , ni kiritgan bo lamiz. Shu sababli ikkinchi ʼ o zgaruvchi ni yordamchi o zgaruvchi deb qarab uni o z ʼ ʼ ʼ hohishimizga ko ra tanlashimiz mumkin. Kelgusida ʼ shunday qilinadi ham. (2) ) ( ) ( x v x u y   ' ' ' v u v u y     (3)

) ( ) ( ' ' x Q v u x P v u v u        ) ( ) ) ( ( ' ' x Q v x P v u v u       0 ) ( '    v x P v dx x P v dv ) (  (4) ( 5 ) ) ( ' x Q v u   v x P dx dv    ) ( ( 9 )( 7 )( 6 ) ( 8 )

    dx x P e C v ) (    dx x P e v ) ((10) (11)       C dx e x Q u dx x P ) ( ) ( (12)                dx e x Q C e y dx x P dx x P ) ( ) ( ) ( (13)