logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. BOGʻLIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR FUNKSIYALARI

BOGʻLIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR FUNKSIYALARI

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

142.35546875 KB
Ko'chirib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI “ Ehtimollar nazariyasi va amaliy matematika” kafedrasi NURMURADOVA CHAROSXON SAMADOVNA BOG LIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR FUNKSIYALARIʻ “ 5130100-Matematika’’ ta’lim yo‘nalishi bo‘yicha bakalavr darajasini olish uchun BITIRUV MALAKAVIY ISHI Ilmiy rahbar: ____________ dots A. T. Absalamov 2024-yil “ _______ ” _______________ Bitiruv malakaviy ish “ Ehtimollar nazariyasi va amaliy matematika” kafedrasida bajarildi. Kafedraning 2024-yil 15-maydagi majlisida muhokama qilindi va himoyaga tavsiya etildi (10-bayonnoma) Fakultet dekani:_______ dots. S. S. Ulashov Kafedra mudiri:_______ dots. O‘.N. Quljanov Ilmiy rahbar:_______ dots A. T. Absalamov Bitiruv malakaviy ishi YaDAKning 2024-yil “ ___ ” iyundagi majlisida himoya qilindi va _____ ball bilan baholandi (___bayonno ma) YaDAK raisi: ________________ A’zolar: ________________ SAMARQAND-2024 1 MUNDARIJA KIRISH.................................................................................................................3 I.BOB. BIR VA IKKI ARGUMENTNING FUNKSIYALARI 1.1- §. Tasodifiy miqdorlar va ularning bog liqsizligi ..............................7ʻ 1.2- §. Bir argumentning funksiyasi …………………….…….……..… 15 1.3- §. Ikki argumentning funksiyasi….…………………………….. ….23 II.BOB. BOG LIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR ʻ FUNKSIYALARI TADBIQLARI 2.1- §. Normal taqsimot bilan bog liq taqsimotlar ………………..……34 ʻ 2.2- §. Normal taqsimot bilan bog liq taqsimotlarning sonli ʻ xarakteristikalari……………………………………………………….….….40 2.3 -§. Statistik baholarni siljimaganlik va effektivlikka tekshirishda bog liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalarining qo llanishi..……………..….44 ʻ ʻ XULOSA………………………………………………...…………….53 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………….……54 2 KIRISH Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir. 1-Ta`rif: Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek alifbosining kichik harflari ξ(ksi), η(eta), ζ (dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar x1,x2,… ,y1,y2,… ,z1z2,… bilan belgilanadi. Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z -asbobning beto‘xtov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k.. 2-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. 3-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdorqabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. Demak, diskret tasodifiy miqdorbir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz tasodifiy miqdor esa biror oraliqdagi ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y tasodifiy miqdorlar diskret, Z esa uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘ladi. Endi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz. 4-Ta`rif : Ω elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir ω elementar hodisaga X (ω) sonni mos qo‘ysa, yani X = X (ω), Ω ∈ ω. Agar Ω chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda ω da aniqlangan ixtiyoriy funksiya 3 tasodifiy miqdor bo‘ladi. Umuman, X (ω) funksiya shunday bo‘lishi kerakki: ∀ x ∈ R da A ={ ω : ξ ( ω ) < x } hodisa S σ - algebrasiga tegishli bo‘lishi kerak. Mavzuning dolzarbligi . Bog liqsiz tasodifiy miqdorlar yig indisi, ayirmasi, ko paytmasi va ʻ ʻ ʻ nisbatining zichlik funksiyalari ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F ( x ) va zichlik funksiyasi f ( x ) , hamda η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G ( y ) va zichlik funksiyasi g ( y ) berilgan bo`lsin. 1. ζ = ξ + η 2. ζ= ξ∙η 3. ζ = ξ η ζ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyalarini topish masalasini ko rib ʻ chiqilganda. 1. ζ = ξ + η tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h(z)= H ´(z)= ∫−∞ +∞ f(x)g(x− z)dx 2. ζ= ξ∙η tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi h(z)= ∫−∞ +∞ 1 ∣x∣ f(x)g(z x)dx 3. ζ = ξ η tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi h ( z ) = ∫ − ∞+ ∞ | y | g ( y ) f ( yz ) dy ko rinishda bo`ladi. ʻ Normal taqsimotlar bilan bog liq taqsimotlarning zichlik funksiyalar ʻ Zichlik funksiyasi f(x)= { 0,∧ x<0 αλxλ−1 Г(λ)e−αx,∧ x≥0 4 bo lgan tasodifiy miqdor ʻ ( α , λ ) parametrli Gamma taqsimot qonuni bo yicha ʻ taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi va Г ( α , λ ) kabi yoziladi. Bog liqsiz ʻ ξ 1 , ξ 2 … , ξ n tasodifiy miqdorlar N ( 0,1 ) normal taqsimotga bo ysunsin . ʻ X i kvadrat taqsimot ξn2=ξ12+ξ22… +ξn2 qonuniga bo ysun uvchi ʻ tasodifiy miqdor deyiladi va X i kvadrat taqsimotning zichlik funksiyasi fXn2(x)= { 0,agar x<0 ( 1 2) n2x n2−1 Г( n 2) e −x2,agar x≥0 ko rinishda bo’ladi. ʻ ξ n2 n ξ m2 m taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Fisher taqsimot qonuniga bo ʻ ysunadi deyiladi . Fisher taqsimoti zichlik funksiyasi quyidagi ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ h ( z ) = { 0 , agar z < 0 Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∙ m m 2 n n 2 z n 2 ‐ 1 ( m + nz ) m + n 2 , agar z ≥ 0 S n = ξ √ ξ n2 n taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Styudent taqsimot qonuniga bo ysunadi deyiladi ʻ va zichlik funksiyasi quyidagicha bo ʻ ladi . h ( z ) = Г ( n + 1 2 ) Г ( n 2 ) ∙ 1 ( 1 + z 2 n ) n + 1 2 Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi 5 Bog liqsiz tasodifiy miqdorlar funsiyalari haqida tushunchalar bilan uzviyʻ bog liq. ʻ Ilmiy tadqiqot usullari . Bog liqsiz tasodifiy miqdorlar tushunchasiga ʻ ega bo‘lish. Bog liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalarini o‘rganish, ta’riflarni ʻ va teoremalarni bilish, masalalar yechishda foydalanish. Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishidan olingan natijalar talabalarga ikki va undan ortiq tasodifiy miqdorlarning yig indisi, ayirmasi, ʻ ko paytmasi va nisbatining zichlik funksiyalarini topish qoidasini keltirib ʻ chiqarish va tadbiqi sifatida ba’zi statistik baholarni siljimaganlikka va effektivlikka tekshirishni o‘rgatish. Ishning amaliy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o‘rganilayotgan ma’lumotlar ikki va undan ortiq tasodifiy miqdorlarning yig indisi, ayirmasi, ʻ ko paytmasi va nisbatining zichlik funksiyalarini topishda, ehtimollar ʻ nazariyasining muhim taqsimotlaridan Xi-kvadrat, Student va Fisher taqsimotlarining zichlik funksiyalarini keltirib chiqarishda va ba’zi matematik statistika masalalarini yechishda muhim ahamiyatga ega Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob , xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ushbu ish matnli sahifalardan tashkil topgan har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o‘zining nomerlanish hamda belgilanishiga ega. 6 I.BOB. BIR VA IKKI ARGUMENTNING FUNKSIYALARI 1.1-§. Tasodifiy miqdorlar va ularning bog liqsizligi.ʻ Ω elementar hodisalar fazosi bo’lib, A esa Ω to‘plamning qism to‘plamlaridan tashkil topgan bo sh bo lmagan sistema (oila) bo‘lsin. ʻ ʻ 1.1-Ta’rif. Agar A sistema to ldiruvchi va sanoqli birlashmaga nisbatan ʻ yopiq bo lsa, ya’ni ʻ 1. A ∈ A munosabatdan A∈A ekani kelib chiqsa; 2. An∈A;n=1,2 ,… dan ¿n=1¿∞ An∈A ekani kelib chiqsa; u holda A sistemaga σ − ¿ algebra (sanoqli algebra) deb ataladi. 1.2-Ta’rif. Agar P : A → [ 0.1 ] akslantirish uchun 1. P ( Ω ) = 1 2. juft -jufti bilan birgalikda bo ʻ lmagan An∈A;n=1,2 ,… hodisalar uchun P(¿n=1¿∞ An)=∑n=1 ∞ P(An) shartlar bajarilsa, u holda A σ − ¿ algebrada ehtimol aniqlangan deyiladi va ( Ω , A , P ) - ehtimollar fazosi deb ataladi. 1.3-Ta’rif. (Ω ,A,P) - ehtimollar fazosi, ξ = ξ ( ω ) - Ω da aniqlangan sonli funksiya bo‘lsin. Agar har qanday haqiqiy x uchun { ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x } ∈ A munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda ξ = ξ ( ω ) funksiyaga tasodifiy miqdor deyiladi. 1.4-Ta’rif. ( Ω , A , P ) ehtimolliklar fazosi va ξ : Ω → R tasodifiy miqdor bo‘lsin. Har bir haqiqiy x ga P ({ ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x }) = F ξ ( x ) sonni mos qo‘yuvchi akslantirishga ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi. Demak ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi Fξ(x) yoki qisqacha F(x) ko‘rinishida belgilanadi. 7 Amaliyotda ko‘p uchraydigan tasodifiy miqdorlardan ushbu ikki xilini ajratish mumkin: diskret tasodifiy miqdorlar va uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Diskret tasodifiy miqdorlar Tasodifiy miqdorning eng sodda misoli sifatida A ∈ A hodisaning indikatori I A( ω ) = { 0 , ω ∈ A 1 , ω ∉ A ni qarash mumkin. Faraz qilaylik, A 1 , A 2 , … , A n … lar juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarni to‘la guruhini tashkil qilsin, ya’ni Ai∈A , Ai∩ Aj=∅,i≠ j, ∑ i = 1∞ A i = Ω bo lsin. ʻ 1.5-Ta’rif . Agar ξ tasodifiy miqdor uchun shunday hodisalar to‘la guruhini tashkil qiluvchi Ai hodisalar mavjud bo‘lib, uni ξ(ω)=∑i=1 ∞ xiIAi(ω);xi∈R(1.1 ) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda ξ ga diskret tasodifiy miqdor deyiladi. Agar (1.1) yig‘indi chekli bo‘lsa, u holda bunday tasodifiy miqdorga sodda tasodifiy miqdor deyiladi. Izoh: Agar elementar hodisalar fazosi chekli yoki sanoqli to‘plam bo‘lsa, u holda Ω da aniqlangan har qanday sonli funksiya diskret tasodifiy miqdor bo‘ladi. Izoh: Agar elementar hodisalar fazosi Ω chekli to‘plam bo‘lsa, u holda Ω da aniqlangan har qanday sonli funksiya sodda tasodifiy miqdor bo‘ladi. 1.6-Ta’rif. Diskret tasodifiy miqdorning qiymatlari bilan ularning ehtimolliklari orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi jadvalga tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladi. ξ diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilishining eng sodda shakli jadval bo‘lib, bu miqdorning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari x1,x2,… ,xn… 8 yozilgan va ularga mos p k = P({ ω ∈ Ω : ξ ( ω ) = x k }) ehtimolliklar ko‘rsatilgan bo‘ladi: ξ x 1 … x n … P p 1 … p n … A i = { ω : ξ ( ω ) = x i } : hodisalarning istalgan Ai va A j jufti birgalikda emasligi sababli p1+p2+… +pn+… = 1 tenglik o‘rinli bo‘ladi. 1.1-misol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‘lsa, tavakkaliga olingan 3 ta lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. ξ tasodifiy miqdorni qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari x1= 0,x2=1,x3= 2. Bu p 1 = P { ξ = 0 } = C 20 ∙ C 83 C 10 3 = 56 120 = 7 15 ; p2= P{ξ=1}= C21∙C82 C103 = 56 120 = 7 15 ; p 3 = P { ξ = 2 } = C 22 ∙ C 81 C 103 = 8 120 = 1 15 ξ 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 ∑i pi= 7 15 + 7 15 + 1 15 =1 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi. 9 F ( x ) funksiya ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ∀ x∈R son uchun quyidagicha aniqlanadi: F ( x ) = P { ξ < x } = P { ω : ξ ( ω ) < x } . Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. F ( x ) chegaralangan: 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 2. F ( x ) kamaymaydigan funksiya: agar x1<x2 bo lsa, u holda ʻ F(x1)≤F(x1) . 3. F ( − ∞ ) = lim x → − ∞ F ( x ) = 0 , F(+∞)= limx→+∞F (x)=1. 4. F ( x ) funksiya chapdan uzluksiz: lim x → x 0 − 0 F ( x ) = F ( x 0 ) Diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi: F ( x ) = ∑ x i < x p i . 1.2-misol. 1-misoldagi ξ tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topamiz. 1. Agar x≤0 bo lsa, ʻ F ( x ) = P { ξ < 0 } = 0 ; 2. Agar 0 < x ≤ 1 bo lsa, ʻ F ( x ) = P { ξ < 1 } = P { ξ = 0 } = 7 15 ; 3. Agar 1<x≤2 bo lsa, ʻ F ( x ) = P { ξ = 0 } + P { ξ = 1 } = 7 15 + 7 15 = 14 15 ; 4. Agar x > 2 bo lsa, ʻ F ( x ) = P { ξ = 0 } + P { ξ = 1 } + P { ξ = 2 } = 7 15 + 7 15 + 7 15 = 1. Demak, F ( x ) = { 0 , agar x ≤ 0 7 15 , agar 0 < x ≤ 1 14 15 , agar 1 < x ≤ 2 1 , agar x > 2 Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot va zichlik funksiyasi Ta’rif. Agar ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi Fξ(x) uzluksiz bo‘lsa, u holda ξ ga uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi 10ξ 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bo‘lsa, taqsimot funksiyaning xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish mimkin: 1. ξ tasodifiy miqdorning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng: P{ ω ∈ Ω : a ≤ ξ < b } = F ( b ) − F ( a ) 2. ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga teng: P { ξ = x i } = 0 Zichlik funksiyasi va uning xossalari Uzluksiz tasodifiy miqdorni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi deb, shu tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi. Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi f ( x ) orqali belgilanadi. Demak, f(x)= F'(x). Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. f ( x ) funksiya manfiy emas, ya’ni f(x)≥0 2. ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning [ a,b ] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng, ya’ni P { a ≤ ξ ≤ b } = ∫ ab f ( x ) dx . 3. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha ifodalanadi: 11 F(x)=∫−∞ x f(t)dt . 4. Zichlik funksiyasidan −∞ dan +∞ gacha olingan xosmas integral birga tengdir ∫ − ∞+ ∞ f ( x ) dx = 1 1.3.-misol. ξ tasodifiy miqdorzichlik funksiyasi f ( x ) = a x 2 + 1 tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas a parametrni toping. Yechish: Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra ∫−∞ +∞ a x2+1dx =1 , ya’ni a ∙ lim d → + ∞ c → − ∞ ∫ − ∞+ ∞ a x 2 + 1 dx = a ∙ lim d → + ∞ c → − ∞ arctgx ∕ Cd = a ∙ ( π 2 − ( − π 2 )) = a ∙ π = 1 Demak, a = 1 π . Tasodifiy miqdorlarning bog liqsizligi ʻ 1.7-Ta`rif: Agar ∀ x,y∈R uchun P { ω : ξ ( ω ) < ξ , η ( ω ) < y } = P { ω : ξ ( ω ) < ξ }× P { ω : η ( ω ) < y } tenglik bajarilsa, u holda ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsiz ʻ deyiladi, Endi tasodifiy miqdorlar bog liqsizligining zarur va yetarli shartini ʻ keltiramiz. 1.1-Teorema. ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsiz bo‘lishi uchun ʻ F ( x , y ) = F ξ ( x ) ∙ F η ( y ) tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir. Isboti. Zarurligi. Agar ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsiz bo‘lsa, { ʻ ξ < x } va { η < y } hodisalar ham bog liqsiz bo‘ladi. U holda ʻ P { ξ < x , η < y } = P { ξ < x }× P { η < y } , ya’ni F(x,y)= Fξ(x)∙Fη(y) Yetarliligi. F ( x , y ) = F ξ ( x ) ∙ F η ( y ) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda P { ξ < x , Y < y } = P { ξ < x }× P { η < y } bo‘ladi. Bu tenglikdan ξ va η tasodifiy 12 miqdorlar bog liqsizligi kelib chiqadi. ■ʻ 1.1-natija. ξ va η uzluksiz tasodifiy miqdorlar bog liqsiz bo‘lishi uchun ʻ f(x,y)= fξ(x)∙fη(y) tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir. Isboti. Zarurligi. Agar ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsiz bo‘lsa, u ʻ holda F(x,y)= Fξ(x)∙Fη(y) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni x bo‘yicha, keyin esa y bo‘yicha differensiyallab, f(x,y)= d dx Fξ(x)∙d dy Fη(y) tengliklarni, ya’ni f(x,y)= fξ(x)∙fη(y) hosil qilamiz. Yetarliligi. f ( x , y ) = f ξ ( x ) ∙ f η ( y ) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni x bo‘yicha va y bo‘yicha integrallaymiz: ∫−∞ x ∫−∞ y f(u,v)dudv = ∫−∞ x fξ(u)du ∙∫−∞ y fη(v)dv . Bu esa F(x,y)= Fξ(x)∙Fη(y) tenglikning o‘zidir. Teoremaga ko‘ra ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsizligi kelib chiqadi. ■ ʻ 1.8-Ta’rif. Agar ixtiyoriy i = 1, 2,... n , j = 1, 2,... m larda P { ξ = x i , η = y j } = P { ξ = x i } ∙ P { η = y j } tenglik bajarilsa, u holda ξ va η diskret tasodifiy miqdorlar bog liqsiz ʻ deyiladi. 1.4-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni ξ tasodifiy miqdor va ko‘k rangdagi sharlar soni η tasodifiy miqdor bo‘lsin. ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsizmi? ʻ Yechish: ξ tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1; η tasodifiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: p 11 = P { ξ = 0 , η = 0 } = C 22 C 42 = 1 6 ; P { ξ = 0 } = 1 2 ; P { η = 0 } = 1 2 P { ξ = 0 , η = 0 } ≠ P { ξ = 0 } ∙ P { η = 0 } 13 Demak, ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liq. ʻ 1.5-misol: ( ξ , η ) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan f(x,y)={ e−x−y,x>0,y>0 0,aks holda ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsizmi? ʻ Yechish: F ( x , y ) = ∫ 0x ∫ 0 y e − u − v dudv = ∫ 0x e − u du ∙ ∫ 0 y e − v dv = ( 1 − e − x ) ( 1 − e − y ) , x > 0 , y > 0 ya’ni F ( x , y ) = { ( 1 − e − x ) ( 1 − e − y ) , x > 0 , y > 0 0 , aks holda Fξ(x)= F(x)=∫0 x ¿¿ demak, F ξ ( x ) = { ( 1 − e − x ) , x > 0 , 0 , aks holda Aynan shunday Fη(y)={ (1−e−y),y>0, 0,aks holda fξ(x)= Fξ´(x)={ e−x,x>0, 0,aks holda va shu kabi f η ( y ) = F η ´ ( y ) = { e − y , y > 0 , 0 , aks holda Bundan ko rinadiki ʻ f(x,y)= fξ(x)∙fη(y) tenglik o rinli, ʻ ξ va η tasodifiy miqdorlar bog liqsiz. ʻ 1.2-§. Bir argumentning funksiyasi Bir argumentli diskret tasodifiy miqdorlar ustida amallar ξ taqsimot qonuni ma’lum bo‘lgan tasodifiy miqdor bo‘lsin: ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 14 y = f(x) esa ξ tasodifiy miqdorning qiymatlar sohasida aniqlangan qat’iy monoton funksiya bo‘lsin. U holda η = f( ξ ) ham diskret tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu tasodifiy miqdor yi = f( xi ) qiymatlarni qabul qiladi. f funksiyaning monotonligidan (aniqrog‘i f(xi)≠ f(xj),i≠ j ekanligidan) { ω ∈ Ω : η ( ω ) = y i } = P { ω ∈ Ω : ξ ( ω ) = x i } = p i tenglik kelib chiqadi. Shunday qilib, η= f( ξ ) tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo‘ladi: η=f( ξ ): ξ f(x¿¿1)= y1¿ f(x¿¿2)= y2¿ … f(x¿¿n)= yn¿ … P p 1 p 2 … p n … 1.6-misol . Agar ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ξ -1 0 1 3 5 P 0.1 0.2 0.3 0.15 0.25 bo‘lsa, η= 4 ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozing. Yechish. η = f(ξ) = 4ξ funksiya monoton funksiya bo‘lganligi uchun yuqoridagi jadvalga ko‘ra η= 4 ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini quyidagicha bo‘ladi: η= 4 ξ -4 0 4 12 20 P 0.1 0.2 0.3 0.15 0.25 Agar η= 4 ξ monoton funksiya bo‘lmasa, u holda u ξ ning turli qiymatlarida bir xil qiymatlar qabul qilishi mumkin. Bu holda oldin yordamchi jadval tuzib olinadi, keyin esa η tasodifiy miqdorning bir xil qiymatlari ustunlari birlashtiriladi, bunda mos ehtimolliklar qo‘shiladi. 1.7-misol. Agar ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni 15 ξ -3 -2 1 3 P 0.2 0.1 0.3 0.4 bo‘lsa, η=ξ2 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozing. Yechish. η = ξ 2 uchun yordamchi jadval quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: Y 9 4 1 9 P 0.2 0.1 0.3 0.4 Demak, η=ξ2 9 4 1 P 0.6 0.1 0.3 Bir argumentli uzluksiz tasodifiy miqdorlar ustida amallar Zichlik funksiyasi f(ξ) bo'lgan ξ uzluksiz tasodifiy miqdor va η tasodifiy miqdorlarning funksiyasi η = φ ( ξ ) bo lsin. η ʻ tasodifiy miqdorning taqsimotini aniqlaymiz. η=φ(ξ) funksiya ξ tasodifiy miqdorning barcha qiymatlarida uzluksiz, (a, b) intervalda qat’iy o suvchi va differensiallanuvchi bo lsin, u ʻ ʻ holda y = φ ( ξ ) funksiyaga teskari x = ψ ( y ) funksiya mavjud. η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G ( y ) = P { η < y } formula orqali aniqlanadi. { η < y } hodisa { ξ < ψ ( y ) } hodisaga ekvivalent. Yuqoridagilarni e’tiborga olsak, G ( y ) = P { η < y } = P { ξ > ψ ( y ) } = 1 − P { ξ < ψ ( y )} = 1 − F ξ ( ψ ( y )) = 1 − ∫ aψ ( y) f ( x ) dx bu tenglikni y bo yicha differensiallaymiz va η tasodifiy miqdorning zichlik ʻ funksiyasini topamiz: g ( y ) = dG ( y ) dy = f ( ψ ( y )) d dy ( ψ ( y )) = f ( ψ ( y )) ψ ( y ) . Demak, . g ( y ) = f ( ψ ( y )) ψ ( y ) . Agar y = φ ( x ) funksiya (a,b) intervalda 16 qat’iy kamayuvchi bo'lsa, u holda { η < y } hodisa {ξ<ψ(y)} hodisaga ekvivalent. Shuning uchun, G (y)= ∫ ψ(y) b f(x)dx =¿− ∫b ψ(y) f(x)dx ¿ Bu yerdan, g ( y ) = − f ( ψ ( y )) ψ ( y ) Zichlik funksiya manfiy bo lmasligini hisobga ʻ olib, bu formulalarni umumlashtirish mumkin: g ( y ) = f ( ψ ( y ))| ψ ( y )| Misollar 1.8-misol ξ ~ R(-4,4) bo lsin, u holda ʻ η = ξ + 4 8 tasodofiy miqdotning zichlik funksiyasini toping. f ξ ( x ) = { 1 8 , x ∈ ( − 4,4 ) 0 , x ∉ ( − 4,4 ) Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. F η ( x ) = P ( η < x ) = P ( ξ + 4 8 < x ) = P ( ξ < 8 x − 4 ) = F ξ ( 8 x − 4 ) fη(x)=(Fη(x))´= Fξ(8x− 4)¿´=¿ 8fξ(8x− 4)=8 { 1 8,8x−4∈(− 4,4 ) 0,8x− 4∉(−4,4 ) ={ 1,x∈(0,1 ) 0,x∉(0,1 ) Demak, f η ( x ) = { 1 , x ∈ ( 0,1 ) 0 , x ∉ ( 0,1 ) , η R(0,1 ) ekan. 1.9-misol . ξ E(λ) bo lsin, u holda ʻ η= 1 ξ+1 tasodofiy miqdotning zichlik funksiyasini toping. f ξ ( x ) = { λ e − λx , x > 0 0 , x ≤ 0 17 Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. F η( x ) = P ( η < x ) = P ( 1 ξ + 1 < x ) = P ( 1 − x ( ξ + 1 ) ξ + 1 ) = P ( x ( 1 x − 1 − ξ ) 1 + ξ < 0 ) = ¿ ¿ { P ( ξ > 1 x − 1 ) , x > 0 P ( ξ < 1 x − 1 ) , x ≤ 0 = { 1 − F ξ ( 1 x − 1 ) , x > 0 F ξ ( 1 x − 1 ) , x ≤ 0 fη(x)=(Fη(x))´= { 1 x2fξ( 1 x−1),x>0 −1 x2 fξ( 1 x−1),x≤0 (1) Bu tenglikni topish uchun avvalo, f ξ ( 1 x − 1 ) ni qiymatini topishimiz zarur. f ξ ( 1 x − 1 ) = { λ e − λ ( 1 x − 1 ) , ( 1 x − 1 ) > 0 0 , ( 1 x − 1 ) ≤ 0 = { λ e − λ ( 1 x − 1 ) , x ∈ ( 0,1 ) 0 , x ∉ ( 0,1 ) Bu tenglikni (1) ga olib borib qo ʻ ysak, fη(x)= { λ x2e −λ(1x−1) ,x∈(0,1 ) 0,x∉(0,1 ) 1.10-misol ξ N ( a , σ 2 ) bo lsin, u holda ʻ η=2ξ+1 tasodofiy miqdotning zichlik funksiyasini toping. fξ(x)= 1 √2πσe −(x−a)2 2σ2 Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. F η ( x ) = P ( η < x ) = P ( 2 ξ + 1 < x ) = P ( ξ < x − 1 2 ) = F ξ ( x − 1 2 ) 18 fη(x)=(Fη(x))´=(Fξ( x−1 2 )) ' = 1 2 fξ( x−1 2 )Endi esa ξ tasodifiy miqdorzichlik funksiyasidan foydalanib fξ( x−1 2 ) ning qiymatini hisoblaymiz. fξ( x−1 2 )= 1 √2πσe −(x−12−a)2 2σ2 = 1 √2πσe −(x−1−2a)2 2∙4σ2 f η ( x ) = 1 √ 2 π ∙ 2 σ e − ( x − 1 − 2 a ) 2 2 ∙ 4 σ 2 . Demak, η N ( 2 a + 1 , 4 σ 2 ) ekan. 1.11-misol ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiya F ξ ( x ) = { 0 , x ≤ 0 , x , 0 < x < 1 , 1 , x ≥ 1. bo lsin, u holda ʻ η=ξ2+1 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. fξ(x)= Fξ'(x)={ 1,x∈(0,1 ) 0,x∉(0,1 ) Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. Fη(x)= P(η<x)= P(ξ2+1<ξ)= P(ξ2<x−1)=¿ ¿P(−√x−1<ξ<√x−1)= Fξ(√x−1)− Fξ(−√x−1) f η ( x ) = ( F η ( x )) ´ = ( F ξ (√ x − 1 ) − F ξ ( − √ x − 1 ) ) ' = ¿ 1 2 √ x − 1 f ξ (√ x − 1 ) + 1 2 √ x − 1 f ξ ( − √ x − 1 ) Endi esa ξ tasodifiy miqdorzichlik funksiyasidan foydalanib fξ(√x−1) ning qiymatini hisoblaymiz f ξ (√ x − 1 ) = { 1 , √ x − 1 ∈ ( 0,1 ) 0 , √ x − 1 ∉ ( 0,1 ) = { 1 , x ∈ ( 1,2 ) 0 , x ∉ ( 1,2 ) , f ξ ( − √ x − 1 ) = 0 Demak, f η ( x ) = { 1 2 √ x − 1 , x ∈ ( 1,2 ) 0 , x ∉ ( 1,2 ) 19 1.12-misol ξ tasodifiy miqdor ξ R(−1,1 ) bo lsin, u holda ʻ η=| ξ−1 2 | tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. f ξ ( x ) = { 1 2 , x ∈ ( − 1,1 ) 0 , x ∉ ( − 1,1 ) Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. Fη(x)= P(η<x)= P( |ξ−1| 2 <x)= P(− 2x<ξ−1<2x)=¿P(1−2x<ξ<2x+1)= Fξ(2x+1)− Fξ(1−2x). f η ( x ) = ( F η ( x )) ´ = ( F ξ ( 2 x + 1 ) − F ξ ( 1 − 2 x ) ) ' = ¿ 2 f ξ ( 2 x + 1 ) + 2 f ξ ( 1 − 2 x ) . Endi esa ξ tasodifiy miqdorzichlik funksiyasidan foydalanib f ξ ( 2 x + 1 ) va f ξ ( 1 − 2 x ) ning qiymatini hisoblaymiz f ξ ( 2 x + 1 ) = { 1 2 , 2 x + 1 ∈ ( − 1,1 ) 0 , 2 x + 1 ∉ ( − 1,1 ) = { 1 2 , x ∈ ( − 1,0 ) 0 , x ∉ ( − 1,0 ) fξ(2x+1)= { 1 2,1−2x∈(−1,1 ) 0,1−2x∉(−1,1 ) = { 1 2,x∈(0,1 ) 0,x∉(0,1 ) Demak f η ( x ) = { 1 , x ∈ ( − 1,1 ) 0 , x ∉ ( − 1,1 ) ekan. 1.13-misol ξ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi f ξ ( x ) = 1 π 1 1 + x 2 bo lsin, ʻ u holda η = arctgξ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. Fη(x)= P(η<x)= P(arctgξ <x)= P(ξ<tgx )= Fξ(tgx ) arctgξ ∈ ( − π 2 , π 2 ) va arctgξ <x ekanligi sababli x∈(− π 2 ,π 2) bo ladi. ʻ f η ( x ) = ( F η ( x )) ´ = ( F ξ ( tgx )) ' = 1 cos 2 x f ξ ( tgx ) Endi esa ξ tasodifiy miqdor zichlik funksiyasidan foydalanib f ξ ( tgx ) ning qiymatini hisoblaymiz 20 f ξ( tgx ) = { cos 2 x π , x ∈ ( − π 2 , π 2 ) 0 , x ∉ ( − π 2 , π 2 ) , fη(x)= 1 cos 2x fξ(tgx )= { 1 π ,x∈(− π 2 ,π 2) 0,x∉(− π 2 ,π 2) , Demak η R ( − π 2 , π 2 ) ekan. 1.14-misol ξ N (0,1 ) bo lsin, u holda ʻ η=ξ3 tasodofiy miqdotning zichlik funksiyasini toping. f ξ ( x ) = 1 √ 2 π e − x 2 2 Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz: Fη(x)= P(η<x)= P(ξ3<x)= P(ξ<3√x)= Fξ(3√x) f η ( x ) = ( F η ( x )) ´ = ( F ξ ( 3√ x )) ' = 1 3 3 √ x 2 f ξ ( 3√ x ) Endi esa ξ tasodifiy miqdorzichlik funksiyasidan foydalanib f ξ ( 3√ x ) ning qiymatini hisoblaymiz fξ(3√x)= 1 √2πe −(3√x)2 2 Demak, fη(x)= 1 √2π 1 33√x2e −(3√x)2 2 ekan. 1.15-misol ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiya F ξ ( x ) = { 0 , x ≤ − 1 , a ( x + 1 ) 2 , − 1 < x ≤ 2 , 1 , x > 2. bo lsin, u holda ʻ η = ξ 2 + 1 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. 21 Yechish: Avval η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. F η( x ) = P ( η < x ) = P ( ξ 2 + 1 < ξ ) = P ( ξ 2 < x − 1 ) = ¿ P ( − √ x − 1 < ξ < √ x − 1 ) = F ξ (√ x − 1 ) − F ξ ( − √ x − 1 ) Endi esa ξ tasodifiy miqdortaqsimot funksiyasidan foydalanib F ξ (√ x − 1 ) va Fξ(−√x−1) ning qiymatini hisoblaymiz: F ξ (√ x − 1 ) = { 0 , √ x − 1 ≤ − 1 a ( √ x + 1 + 1 ) 2 , − 1 < √ x − 1 ≤ 2 1 , √ x − 1 > 2 = { 0 , x ≤ 1 a ( √ x + 1 + 1 ) 2 , 1 < x ≤ 5 1 , x > 5 , F ξ ( − √ x − 1 ) = { 0 , x ≤ 1 a ( − √ x + 1 + 1 ) 2 , 1 < x ≤ 5 1 , x > 5 , F η ( x ) = F ξ (√ x − 1 ) − F ξ ( − √ x − 1 ) = { 0 , x ≤ 1 4 a √ x − 1 , 1 < x ≤ 5 1 , x > 5 , Demak, fη(x)= { 2a √x−1,x∈(1,5 ) 0,x∉(1,5 ) 1.3-§. Ikki argumentning funksiyasi Ikki argumentli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni Ushbu ikkita tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin: X x1 x2 xn P p1 p2 pn Y y1 y 2 y n P p 1 p 2 p n 22 1.9-Ta’rif. X va Y diskret tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi deb, zij= xi+yj ko‘rinishdagi qiymatni p ij = P ( ω : X ( ω ) = x i , Y ( ω ) = y i ) ehtimollik bilan qabul qiladigan Z tasodifiy miqdorga aytiladi. Agar barcha mumkin bo‘lgan qiymatlar turlicha bo‘lsa, u holda Z = X+Y tasodifiy miqdor ushbu ko‘rinishdagi taqsimotga ega bo‘ladi: Z = X+Y Z = X+Y x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 1 x2+y2 x 1 + y 3 … P p11 p12 p21 p22 p13 … 1.10-Ta’rif. X va Y diskret tasodifiy miqdorlarning ko paytmasi deb, ʻ z ij = x i y j ko‘rinishdagi qiymatlarni p ij = P ( ω : X ( ω ) = x i , Y ( ω ) = y i ) ehtimollik bilan qabul qiladigan Z tasodifiy miqdorga aytiladi. 1.16-Misol. A va unga qarama-qarshi bo‘lgan A hodisalar indikatorlarining yig‘indisini va ko paytmasini toping, ya’ni ʻ X ( ω ) = I A ( ω ) va Y ( ω ) = I A ( ω ) tasodifiy miqdorlar yig‘indisi va ko paytmasini toping. ʻ Yechish: Dastlab X va Y tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi Z(ω) = X(ω)+Y (ω) uchun analitik formulani topamiz. Agar ω ∈ A bo‘lsa, u holda hodisa indikatori ta’rifiga ko‘ra X (ω)= IA(ω)=1,Y(ω)= IA(ω)= 0 hamda ω∈A bo‘lsa, u holda X (ω)= IA(ω)=0,Y(ω)= IA(ω)=1 bo‘ladi. Bu munosabatlardan istalgan ω∈Ω uchun Z(ω) = X(ω)+Y (ω) = 1 ekanligi kelib chiqadi. Endi Xva Y tasodifiy miqdorlarning ko paytmasi Z(ω) = X(ω)Y (ω) ʻ uchun analitik formulani topamiz. Agar ω ∈ A bo‘lsa, u holda hodisa indikatori ta’rifiga ko‘ra X ( ω ) = I A ( ω ) = 1 , Y ( ω ) = I A ( ω ) = 0 hamda ω ∈ A bo‘lsa, u holda X ( ω ) = I A ( ω ) = 0 , Y ( ω ) = I A ( ω ) = 1 23 bo‘ladi. Bu munosabatlardan istalgan ω∈Ω uchun Z(ω) = X(ω)Y (ω) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Ikki argumentli uzluksiz tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni Agar X va Y tasodifiy miqdorlar qabul qiladigan qiymatlarining har bir juftligiga biror qoidaga ko ra ʻ Z tasodifiy miqdormos qo yilsa, u holda ʻ Z tasodifiy miqdoriki X va Y tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va Z = φ ( X , Y ) kabi belgilanadi. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog liqsiz bo'lsa, u holda ʻ X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F ( x ) va zichlik funksiyasi f(x), hamda Y tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G ( y ) va zichlik funksiyasi g ( y ) berilgan bo`lsin. 1. Z= X +Y 2. Z = X ∙ Y 3. Z = X Y Z tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi H ( z) va zichlik funksiyasi h(z) topish masalasini ko ʻ rib chiqamiz . Z = φ ( X , Y ) f ( x , y ) 1 , Z = X + Y tasodifiy miqdor uchun ko radigan bo lsak: ʻ ʻ h(z)= H ´(z)= ∫−∞ +∞ f(x)g(z− x)dx (1) Demak, Z= X+Y tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi (1) ko rinishda bo lar ʻ ʻ 24 ekan va bundan Z= X−Y tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h(z)= H ´(z)= ∫−∞ +∞ f(x)g(x− z)dx dan topilishini ko rish qiyin emas. ʻ 2. Z = X ∙ Y tasodifiy miqdor zichlik funksiyasini topish uchun h(z)= H ´(z)=−∫−∞ 0 1 x f(x)g( z x)dx +∫0 +∞1 x f(x)g( z x)dx = ¿∫−∞ +∞ 1 ∣x∣ f(x)g(z x)dx (2) Demak, Z= X ∙Y tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi (2) ko rinishda bo lar ʻ ʻ ekan. Endi 3. Z= X Y tasodifiy miqdor zichlik funksiyasini topamiz h ( z ) = H ´ ( z ) = − ∫ − ∞0 yg ( y ) f ( zy ) dy + ∫ 0+ ∞ yg ( y ) f ( zy ) dy 25 h(z)= ∫−∞ +∞ |y|g(y)f(yz )dy (3)Demak, Z= X Y tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi (3) ko rinishda bo`lar ʻ ekan. Misollar 1.17-misol ξ1,ξ2,… ,ξn – t.m lar bog liqsiz va ʻ ξi R(1,b) bo lsa, ʻ η = min { ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n } tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. F ξ i ( x ) = { 0 , x ≤ 1 x − 1 b − 1 , 1 < x ≤ b 1 , x > b , f ξ i ( x ) = { 1 b − 1 , x ∈ ( 1 , b ) 0 , x ∉ ( 1 , b ) Yechish: Avvalo η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. F η ( x ) = P ( η < x ) = P ( min { ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n } < x ) = 1 − P ( min { ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n } > x ) = 1 − P ( ξ 1 > x , ξ 2 > x , … , ξ n > x ) = 1 − P ( ξ 1 > x ) ∙ P ( ξ 2 > x ) ∙ … ∙ P ( ξ n > x ) = 1 − ( 1 − F ξ 1 ( x )) ∙( 1 − F ξ 2 ( x )) ∙ … ∙ ( 1 − F ξ n ( x )) ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimotdan olinganligi sababli Fη(x)=1−(1− Fξi(x))n fη(x)= F'η(x)=(1−(1− Fξi(x))n) '=nF'ξi(x)(1− Fξi(x))n−1= nfξi(x)(1− Fξi(x))n−1=n∙ { 1 b−1,x∈(1,b) 0,x∉(1,b) ∙¿ = Demak, fmin {ξ1,ξ2,…,ξn}(x)= { n(b− x)n−1 (b−1)n ,x∈(1,b) 0,x∉(1,b) bo lar ekan. ʻ 1.18-misol ξ ~N(a 1 ;1) va η ~ N(a 2 ;1) bog liqsiz tasodofiy ʻ miqdotlar berilgan bo lsa, ʻ ζ= ξ+η tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. ξ : f ξ ( x ) = 1 √ 2 π e − ( x − a 1 ) 2 2 , η : g η ( y ) = 1 √ 2 π e − ( y − a 2 ) 2 2 Yechish: ζ= ξ+η t,m, ning zichlik funksiyasi h(z) uchun quyidagi formula o rinli bo ladi: ʻ ʻ 26 h(z)= ∫−∞ +∞ f(x)∙g(z− x)dx =∫−∞ +∞ 1 √2πe −(x−a1)2 2 ∙ 1 √2πe −(z−x−a2)2 2 dx =¿¿ ¿ 1 2π∫−∞ +∞ e −(x−a1)2 2 ∙e −(z−x−a2)2 2 dx = 1 2π∫−∞ +∞ e −(x−a1)2 2 ∙e −(z−x−a2)2 2 dx = 1 2π∫−∞ +∞ e −x2−2xa1+a12+z2+x2+a22+2xa2−2xz−2za2 2 dx = ¿ 1 2π∫−∞ +∞ e −2x2−2x(z+a1−a2) 2 ∙e −a12+z2+a22−2za2 2 dx =¿ 1 2πe −a12+z2+a22−2za2 2 +¿¿¿¿¿¿t = x − z + a 1 − a 2 2 almashtirish olsak, dx= dt bo lib chegarasi ham ʻ o zgarishsiz qoladi. shunda tenglamamiz quyidagi ko rinishni oladi: ʻ ʻ h ( z ) = 1 2 π e − ¿ ¿ Bundan I= ∫−∞ +∞ e−t2dt ni hisoblaymiz: I2= ∫−∞ +∞ e−x2dx ∙∫−∞ +∞ e−y2dy = ∫−∞ +∞ ∫−∞ +∞ e−(x2+y2)dxdy =¿¿ [ x = ρsinφ y = ρcosφ ] ∫ 02 π ∫ 0+ ∞ ( e ¿ ¿ − ρ 2 ρ ¿ dρ ) dφ = ∫ 02 π ( − 1 2 e − ρ 2 ) | + ∞ 0 dφ = 1 2 ∫ 02 π 1 dφ = π ¿ ¿ I2= π ekanligidan I=√π topamiz. Demak, h ( z ) = 1 2 √ π e − ¿ ¿ va ζ N (a1+a2;2) ekan. 1.19-misol Bizga ξ E ( 1 ) va η E( 1 2) bog liqsiz tasodifiy miqdorlar ʻ berilgan bo lsa, ʻ ζ = min { ξ , 2 η } tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. F ξ ( x ) = { 1 − e − x , x > 0 0 , x ≤ 0 , F η ( x ) = { 1 − e − 1 2 x , x > 0 0 , x ≤ 0 Yechish: Avvalo η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. Fς(x)= P(ς<x)= P(min {ξ,2η}<x)=1− P(min {ξ,2η}>x)=1− P(ξ>x,2η>x)=1− P(ξ>x)∙P(η>x 2)=1−(1− Fξ(x))(1− Fη( x 2))= {1− e −54x,x>0 0,x≤0 bundan ko rinadiki ʻ 27 f ς( x ) = { 5 4 e − 5 4 x , x > 0 0 , x ≤ 0 ekan. 1.20-misol ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n – t.m lar bog liqsiz va ʻ ξ i N ( a i , σ i ) , i=1,2,…,n bo lsa, ʻ η=∑i=1 n ξi tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. ξ i : f ξ i ( x ) = 1 √ 2 π σ i e − ( x − a i ) 2 2 σ i Yechish: Avvalo τ 1 = ξ 1 + ξ 2 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topib olamiz h1(z)=∫ −∞ +∞ 1 √2πσ1 e −(x−a1)2 2σ1 ∙ 1 √2πσ2 e −(z−x−a2)2 2σ2 dx =¿ ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 ∫ − ∞+ ∞ e − ( x − a 1 ) 2 2 σ 1 ∙ e − ( z − x − a 2 ) 2 2 σ 2 dx = ¿ ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 ∫ − ∞+ ∞ e − ( x − a 1 ) 2 2 σ 1 – ( z − x − a 2 ) 2 2 σ 2 dx = ¿ ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 ∫ − ∞+ ∞ e − ( x 2 + a 1 2 − 2 x a 1 2 σ 1 + x 2 + z 2 + a 2 2 − 2 xz − 2 z a 2 + 2 x a 2 2 σ 2 ) dx = ¿ ¿ 1 2π√σ1σ2 e −σ2a12+σ1(z2+a22−2za2) 2σ1σ2 ∫−∞ +∞ e −(σ2(x2−2xa1)+σ1(x2−2xz+2xa2) 2σ1σ2 )dx =¿ ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 e − σ 2 a 1 2 + σ 1 ( z 2 + a 2 2 − 2 z a 2 ) 2 σ 1 σ 2 ∫ − ∞+ ∞ e − ¿ ¿ ¿ ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 e − σ 2 a 1 2 + σ 1 ( z 2 + a 2 2 − 2 z a 2 ) 2 σ 1 σ 2 e ( a 1 σ 2 + σ 1 z − σ 1 a 2 ) 2 2 σ 1 σ 2 ( σ 1 + σ 2 ) ∫ − ∞+ ∞ e − ( x − a 1 σ 2 + σ 1 z − σ 1 a 2 σ 1 + σ 2 ) 2 2 σ 1 σ 2 σ 1 + σ 2 dx ¿ 1 2 π √ σ 1 σ 2 e − σ 1 σ 2 ¿ ¿ ¿ 28 Agar t= x− a1σ2+σ1z−σ1a2 σ1+σ2 almashtirish olsak dt = dx va chegarasi ham o zgarishsiz qoladi. ʻ Tenglamamiz quyidagi ko rinishga keladi: ʻ h1(z)= 1 2π√σ1σ2 e−¿¿¿ Bundan I= ∫−∞ +∞ e −t2 2σ1σ2 σ1+σ2dt = ∫−∞ +∞ e −t2 kdt ni hisoblaymiz, bu yerda k= 2σ1σ2 σ1+σ2 I 2 = ∫ − ∞+ ∞ e − x 2 k dx ∙ ∫ − ∞+ ∞ e − y 2 k dy = ∫ − ∞+ ∞ ∫ − ∞+ ∞ e − x 2 + y 2 k dxdy = ¿ ¿ [ x = ρsinφ y = ρcosφ ] ∫ 02 π ∫ 0+ ∞ ( e ¿ ¿ − ρ 2 k ρ ¿ dρ ) dφ = ∫ 02 π ( − k 2 e − ρ 2 ) | + ∞ 0 dφ = k 2 ∫ 02 π 1 dφ = kπ ¿ ¿ I2= kπ ekanligidan I=√ 2σ1σ2 σ1+σ2 π topamiz. h 1 ( z ) = 1 2 π √ σ 1 σ 2 √ 2 σ 1 σ 2 σ 1 + σ 2 π e − ¿ ¿ ¿ bundan ko ʻ rinadiki τ1=ξ1+ξ2 tasodifiy miqdor τ1 N ¿ taqsimotga bo ʻ ysunar ekan . Agar xuddi shunday τ2= ξ1+ξ2+ξ3=τ1+ξ3 ni hisoblasak τ2 N (a1+a2+a3;σ1+σ2+σ3) taqsimotga bo ʻ ysunishni ko ʻ rishimiz mumkin Bundan shunday xulosaga kelish mumkinki , η = ∑ i = 1n ξ i tasodifiy miqdorning taqsimoti η N ¿ ko rinishda bo lar ekan. ʻ ʻ 1.21-misol ξ1,ξ2 – t.m lar bog liqsiz va ʻ ξi E(λi) bo lsa, ʻ η = max { ξ 1 , ξ 2 } tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. F ξ i ( x ) = { 1 − e − λ i x , x > 0 0 , x ≤ 0 , f ξ i ( x ) = { λ i e − λ i x , x > 0 0 , x ≤ 0 , 29 Yechish: Avvalo η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz. Fη(x)= P(η<x)= P(max {ξ1,ξ2}<x)= P(ξ1<x,ξ2<x)= ¿ ¿ P ( ξ 1 < x ) ∙ P ( ξ 2 < x ) = F ξ 1 ( x ) F ξ 2 ( x ) . f η ( x ) = F η' ( x ) = F ξ 1 ( x ) F ξ 2 ( x ) ¿ ' = f ξ 1 ( x ) F ξ 2 ( x ) + F ξ 1 ( x ) f ξ 2 ( x ) = ¿ ¿{ λ1e−λ1x(1− e−λ2x)+λ2e−λ2x(1−e−λ1x),x>0 0,x≤0 ¿ { λ 1 e − λ 1 x + λ 2 e − λ 2 x − ( λ 1 + λ ¿ ¿ 2 ) e − ( λ 1 + λ 2 ) x , x > 0 ¿ 0 , x ≤ 0 Demak, η = max { ξ 1 , ξ 2 } tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi f η ( x ) = { λ 1 e − λ 1 x + λ 2 e − λ 2 x − ( λ 1 + λ ¿ ¿ 2 ) e − ( λ 1 + λ 2 ) x , x > 0 ¿ 0 , x ≤ 0 ko rinishda bo lar ekan. ʻ ʻ 1.22-misol ξ Γ ( α , λ ) va η Γ(α,λ) bog liqsiz tasodifiy miqdorlar berilgan ʻ bo lsin. ʻ ζ= ξ+η t , m , ning taqsimotini toping . f Γ ( α , λ )( x ) = { 0 , ∧ x < 0 α λ x λ − 1 Г ( λ) e − αx , ∧ x ≥ 0 Yechish: ζ= ξ+η t,m, ning zichlik funksiyasi h(z) uchun quyidagi formula o rinli bo ladi: ʻ ʻ h(z)= ∫−∞ +∞ fξ(x)fη(z− x)dx h ( z ) = ∫ 0 z α λ x λ − 1 Г ( λ ) e − αx α λ ( z − x ) λ − 1 Г ( λ ) e − α ( z − x ) dx ¿e−αx α2λ (Г(λ))2∫0 z xλ−1(z− x)λ−1dx =¿e−αxα2λz2λ−1 (Г (λ))2∫0 1 tλ−1(1−t)λ−1dt =¿e−αx α2λ (Г(λ))2B(λ,λ)= e−αxα2λz2λ−1 Γ(2λ).¿ Demak, ζ Γ(α,2λ) taqsimotga bo ysunar ekan. ʻ II.BOB. BOG LIQSIZ TASODIFIY MOQDORLARNING ʻ FUNKSIYALARI TAQDBIQLARI 30 2.1-§. Normal taqsimot bilan bog liq tasodifiy miqdorlarning ʻ funksiyalari Gamma va normal taqsimot bilan bog liq taqsimotlar. ʻ Zichlik funksiyasi f(x)= { 0,∧ x<0 αλxλ−1 Г(λ)e−αx,∧ x≥0 bo lgan tasodifiy miqdor ʻ ( α , λ ) parametrli Gamma taqsimot qonuni bo yicha ʻ taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi va Г ( α , λ ) kabi yoziladi. 2.1- lemma . Bog ʻ liqsiz ξ1,ξ2… ,ξn tasodifiy miqdorlar Г(α,λi) taqsimotga bo ʻ ysunsin . U holda bu tasodifiy miqdorlarnng yig ʻ indisi Sn=ξ1+ξ2… +ξn ham gamma taqsimot qonuniga bo ʻ ysunadi va uning birinchi parametri α o ʻ zgarishsiz qoladi , ikkinchi parametri esa λ = λ 1 + λ 2 + … + λ n ga teng bo ʻ ladi . Isbot : Bu lemmani isbotlashda matematik induksiya usulidan foydalanamiz buning uchun bu lemmani ikkita bog ʻ liqsiz tasodifiy miqdorlar uchun o ʻ rinli ekanligini ko ʻ rsatamiz . Yuqorida ko ʻ rsatdikki agar f 1 ( x ) va f 2 ( x ) lar mos ravishda ( gamma taqsimot qonuniga bo ʻ ysunuvchi ) ξ 1 va ξ 2 tasodifiy miqdorlarnng zichlik funksiyalari bo ʻ lsa u holda bu tasodifiy miqdorlar yig ʻ indisinng zichlik funksiyasi h(z)= ∫−∞ +∞ f1(x)f2(z− x)dx ko rinishda bo ʻ ʻ ladi, bundan h(z)= ∫−∞ +∞ f1(x)f2(z− x)dx =∫0 zαλ1xλ1−1 Г(λ1) e−αxαλ2(z− x)λ2−1 Г(λ2) e−α(z−x)dx ¿ α λ 1 + λ 2 Г ( λ 1 ) Г ( λ 2 ) e − αz ∫ 0 z x λ 1 − 1 ( z − x ) λ 2 − 1 dx ¿αλ1+λ2zλ1+λ2−1 Г (λ1)Г(λ2) e−αz∫0 1 tλ1−1(1−t)λ2−1dt ¿αλ1+λ2zλ1+λ2−1 B(λ1,λ2) Г(λ1)Г(λ2) e−αz= αλ1+λ2zλ1+λ2−1 Г(λ1+λ2) e−αz(4) 31 Demak, ξ 1 va ξ 2 tasodifiy miqdorlarnng yig indisi ʻ Г ( α , λ 1 + λ 2 ) qonuniga bo ysun ʻ ar ekan. Endi ξ 1 , ξ 2 … , ξ n tasodifiy miqdorlar yig indisi ʻ Г ( α , λ 1 + λ 2 + … + λ n ) qonuniga bo ysun adi deb faraz qilib ʻ ξ1,ξ2… ,ξn,ξn+1 tasodifiy miqdorlar yig indisi ʻ Г(α,λ1+λ2+… +λn+λn+1) qonuniga bo ysunishini ko rsatamiz. Buning ʻ ʻ uchun Г(α,λ1+λ2+… +λn) qonuniga bo ysunuvchi ʻ ξ1+ξ2+… +ξn ni bitta tasodifiy miqdor deb olib, ξ1+ξ2+… +ξn va ξn+1 tasodifiy miqdorlar uchun (4) dan ularning yig indisining zichlik funksiyasi ʻ h(z) ni topamiz. h ( z ) = ∫ − ∞+ ∞ g 1 ( x ) g 2 ( z − x ) dx ¿∫0 zαλ1+λ2+…+λnxλ1+λ2+…+λn−1 Г(λ1+λ2+… +λn) e−αxαλn+1(z− x)λn+1−1 Г(λn+1) e−α(z−x)dx ¿ αλ1+λ2+…+λn+λn+1 Г(λ1+λ2+… +λn)Г(λn+1) e−αz∫0 z xλ1+λ2+…+λn−1(z− x)λn+1−1dx ¿αλ1+λ2+…+λn+λn+1zλ1+λ2+…+λn+λn+1−1 Г(λ1+λ2+… +λn)Г(λn+1) e−αz∫0 1 tλ1+λ2+…+λn−1(1−t)λn+1−1dt ¿αλ1+λ2+…+λn+λn+1zλ1+λ2+…+λn+λn+1−1 B(λ1+λ2+… +λn,λn+1) Г(λ1+λ2+… +λn)Г(λn+1) e−αz ¿ α λ 1 + λ 2 + … + λ n + λ n + 1 z λ 1 + λ 2 + … + λ n + λ n + 1 − 1 Г ( λ 1 + λ 2 + … + λ n + λ n + 1 ) e − αz Bundan ξ1,ξ2… ,ξn,ξn+1 tasodifiy miqdorlar yig indisi ʻ Г(α,λ1+λ2+… +λn+λn+1) qonuniga bo ysunishi kelib chiqadi. Lemma isbotlandi. ʻ 2.2-lemma. Agar ξ tasodifiy miqdor standart normal taqsimot N ( 0,1 ) qonuniga bo ʻ ysun sa , u holda ξ2 tasodifiy miqdor Г ( 1 2 , 1 2 ) taqsimot qonuniga bo ʻ ysun adi . Isbot: Lemma shartiga ko ra ʻ ξ tasodifiy miqdor standart normal taqsimot N ( 0,1 ) qonuniga bo ysunadi, demak uning zichlik funksiyasi ʻ f ξ ( x ) = 1 √ 2 π e − x 2 2 ko rinishida bo ladi. ʻ ʻ ξ2 tasodifiy miqdor zichlik funksiyasini topish uchun, uni n g taqsimot funksiyasini topamiz va 32 F ξ 2( x ) = P ( ξ 2 ≤ x ) = { 0 , agar x < 0 P ( − √ x ≤ ξ ≤ √ x ) , agar x ≥ 0 ¿ { 0 , agar x < 0 F ξ ( √ x ) − F ξ ( − √ x ) , agar x ≥ 0 bundan f ξ 2 ( x ) = F ξ 2 ( x ) ¿ ' = { 0 , agar x < 0 F ξ' (√ x )(√ x ) ' − F ξ ' ( − √ x ) ( − √ x ) ' , agar x ≥ 0 ¿ { 0 , agar x < 0 1 2 √ x f ξ ( √ x ) + 1 2 √ x f ξ ( − √ x ) , agar x ≥ 0 ¿ { 0 , agar x < 0 1√ x f ξ ( √ x ) , agar x ≥ 0 = { 0 , agar x < 0 1√ 2 πx e − x 2 , agar x ≥ 0 ¿ { 0,agar x<0 ( 1 2) 12x 12−1 Г( 1 2) e −x2,agar x≥0 kelib chiqadi , Demak ξ 2 tasodifiy miqdor Г ( 1 2 , 1 2 ) taqsimot qonuniga bo ʻ ysunadi . Lemma isbotlandi. 2.1-Natija. 1-lemmaga ko ra ya’ni ʻ Bog liqsiz ʻ ξ21,ξ22… ,ξ2n tasodifiy miqdorlar Г ( 1 2 , 1 2 ) taqsimot qonuniga bo ysunishidan, bu tasodifiy ʻ miqdorlarnng yig indisi ʻ Sn=ξ12+ξ22… +ξn2 ham Г ( 1 2 , n 2 ) taqsimot qonuniga bo ysunishi kelib chiqadi. Bu esa ʻ Xi kvadrat taqsimotni kiritishimizga qulaylik tug diradi. ʻ Xi kvadrat taqsimot Г( 1 2,n 2) taqsimot qonuniga bo ysunuvchi tasodifiy miqdor ʻ Xi kvadrat 33 taqsimot ( X n2 ) qonuniga bo ysunuvchi tasodifiy miqdor deyiladi va ʻ Xi kvadrat taqsimotning zichlik funksiyasi f X n2 ( x ) = { 0 , agar x < 0 ( 1 2 ) n 2 x n 2 − 1 Г ( n 2 ) e − x 2 , agar x ≥ 0 ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ Fisher taqsimot ξ n2 n ξ m2 m taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Fisher taqsimot qonuniga bo ysunadi deyiladi. Fisher taqsimotining zichlik funksiyasini ʻ keltirib chiqaramiz. Buning uchun avvalo ξ n2 n va ξ m2 m tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyalarini topamiz. F ξ n2 n ( x ) = P ( ξ n2 n ≤ x ) = P ( ξ n2 ≤ nx ) = F ξ n2 ( nx ) g 1 ( x ) = f ξ n2 n ( x ) = F ' ξ n2 n ( x ) = n F ' ξ n2 ( nx ) = n f ξ n2 ( nx ) ¿ { 0 , agar x < 0 ( n 2 ) n 2 x n 2 − 1 Г ( n 2 ) e − nx 2 , agar x ≥ 0 xuddi shunday ξ m2 m tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun g 2 ( x ) = { 0 , agar x < 0 ( m 2 ) m 2 x m 2 − 1 Г ( m 2 ) e − mx 2 , agar x ≥ 0 34 ni hosil qilamiz. Endi bu tasodifiy miqdorlarning nisbatining zichlik funksiyasini topish uchun (3) tenglikdan foydalanamiz. h ( z ) = ∫ − ∞+ ∞| y | g 1 ( y ) g 2 ( yz ) dy = ¿ { 0 , agar z < 0 ∫ − ∞+ ∞ | y | g 1 ( y ) g 2 ( yz ) dy , agar z ≥ 0 ¿ z ≥ 0 da h(z)= ∫−∞ +∞ |y|g1(y)g2(yz )dy =¿¿ ¿ ∫ 0+ ∞ y 1 2 m 2 Γ ( m 2 ) m m 2 ( y ) m 2 ‐ 1 e − my 2 ∙ 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) n n 2 ( zy ) n 2 ‐ 1 e − nzy 2 dy ¿ m m 2 n n 2 z n 2 ‐ 1 2 m + n 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ y m + n 2 − 1 e − m + nz 2 y dy agar quyidagicha belgilash kiritsak ( m + nz ) 2 y = t , u holda h ( z ) = m m 2 n n 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∙ z n 2 ‐ 1 ( m + nz ) m + n 2 ∫ 0+ ∞ t m + n 2 − 1 e − t dt = Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∙ m m 2 n n 2 z n 2 ‐ 1 ( m + nz ) m + n 2 Demak, Fisher taqsimoti zichlik funksiyasi quyidagi ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ h ( z ) = { 0 , agar z < 0 Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∙ m m 2 n n 2 z n 2 ‐ 1 ( m + nz ) m + n 2 , agar z ≥ 0 Styudent taqsimot ξ tasodifiy miqdor standart normal taqsimot N ( 0,1 ) qonuniga bo ysunsa, ʻ Sn= ξ √ ξn2 n taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Styudent taqsimot qonuniga bo ysunadi deyiladi. Styudent taqsimotining zichlik ʻ 35 funksiyasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun avvalo √ ξ n2 n tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topamiz. F √ ξn2 n (x)= P(√ ξn2 n ≤x)= { 0,agar x<0 P( ξn2 n ≤x2 ),agar x≥0 = Fξn2 n (x2) g3(x)= f √ ξn2 n (x)= F' √ ξn2 n (x)=2xF'ξn2 n (x2)=2xfξn2 n (x2) ¿ { 0,agar x<0 2( n 2) n2xn−1 Г( n 2) e −nx2 2 ,agar x≥0 Endi standart normal taqsimot N ( 0,1 ) qonuniga bo ysunuvchi ʻ ξ va √ ξn2 n tasodifiy miqdorlarning nisbatining zichlik funksiyasini topish uchun (3) tenglikdan foydalanamiz. h(z)= ∫−∞ +∞ |y|g3(y)fξ(yz )dy =¿¿ ¿ ∫ 0+ ∞ y e − ny 2 2 ∙ 2 ( n 2 ) n 2 y n − 1 Г ( n 2 ) ∙ 1 √ 2 π e − ( yz) 2 2 dy = 2 ( n 2 ) n 2 √ 2 π Г ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ y n e − ( n + z 2 ) y 2 2 dy agar quyidagicha belgilash kiritsak ( n + z 2 ) y 2 2 = t , u holda z∈R uchun h(z)= ( n 2) n2 √2πГ( n 2) ∙( 2 n+z2) n+12∫0 +∞ t n+12−1 e−tdy = 1 √nπ ∙ Г( n+1 2 ) Г( n 2) ∙ 1 (1+z2 n) n+12 ni hosil qilamiz. 36 2.2-§. Normal taqsimot bilan bog liq tasodifiy miqdorlarningʻ funksiyalarini sonli xaraktrestikalari X i kvadrat taqsimotning matematik kutilmasi Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u tasodofiy miqdorning o‘rta qiymatini ifodalaydi. 2.1-Ta’rif: Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, ∑i=1 xipi. qator yig‘indisiga aytiladi va Mξ = ∑ i = 1 x i p i . orqali belgilanadi. 2.2-Ta’rif: Uzluksiz matematik kutilmasi deb Mξ = ∫ − ∞+ ∞ x ∙ f ξ ( x ) dx integralga aytiladi. Integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni ∫−∞ +∞ |x|∙fξ(x)dx <∞ bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi. Matematik kutilmaning xossalari: 1. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni MC = C. 2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, M ( C ξ )= CM ξ . 3. Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng, M ( ξ +Y )= M ξ +Mη. 4. Agar ξ ∙ η bo‘lsa, 37 M (ξ ∙ η )= M ξ ∙ Mη. Matematik kutilmaning xossalari deskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun birdek o rinli ʻ Bizga ξn N (0;1),k=1,… ,n tasodifiy miqdorlar berilgan bo lib ʻ ξn=∑k=1 n xk 2 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi f ( ξ , n ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 ‐ 1 e − x 2 , x > 0 0 , x ≤ 0 ko rinishda bo ladi. Bu yerda ʻ ʻ ?????? ( α )- gamma funksiya Endi X i kvadrat taqsimotning matematik kutilmasini topamiz: M ( ξ n ) = ∫ − ∞+ ∞ x ∙ f ( x ) dx = ∫ − ∞0 x ∙ 0 dx + ∫ 0+ ∞ x ∙ 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 ‐ 1 e − x 2 dx = 1 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ x n 2 2 n 2 e − x 2 dx = 2 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ ( x 2 ) n 2 ‐ e − x 2 d x 2 = 2 Γ ( n 2 ) Γ ( n 2 + 1 ) = 2 Γ ( n 2 ) n 2 Γ ( n 2 ) = n Demak, ξ n = ∑ k = 1n x k2 - X i kvadrat taqsimotning matematik kutilmasi M ( ξ n ) = n ekan. X i kvadrat taqsimotning dispersiyasi Tasodifiy miqdorning uning o rtacha qiymatidan chetlanishini xarakterlash, ʻ ya’ni bu miqdor qiymatini tarqoqligini xarakterlash uchun uning boshqa sonli xaraktrestikasi – despersiyasi kiritildi. 2.3-Ta’rif: Tasodifiy miqdorning despersiyasi deb, shu tasodifiy miqdor va uning matematik kutilmasi orasidagi ayirma kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi. Dξ = M (ξ− Mξ )2 ξ tasodifiy miqdor deskret bo lganda uning despersiyasi ʻ Dξ =∑i=1 ∞ (xi− Mξ )2∙pi, 38 formula yordamida, ξ tasodifiy miqdor uzluksiz bo lganda esaʻ Dξ =∫−∞ +∞ (x− Mξ )2∙f(x)dx formula yordamida topiladi. Dispersiyaning xossalari: 1. O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC =0. 2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratga ko‘tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, D ( C ξ )= C 2 D ξ 3. Agar ξ ± η bo‘lsa, D ( ξ ±η )= D ξ +Dη. Dispersiya topish formulasi Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 ekanligi va M ξ =n ligini hisobga olsak, dispersiyani hisoblash uchun bizdan Mξ 2 ni topish talab qilinadi Mξ 2 = ∫ − ∞+ ∞ x 2 ∙ f ( x ) dx = ∫ 0+ ∞ x 2 ∙ 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 dx = 1 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ 2 ∙ x n 2 + 1 2 n 2 + 1 e − x 2 dx = 4 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ ( x 2 ) n 2 + 1 e − x 2 d x 2 = 4 Γ ( n 2 ) Γ ( n 2 + 1 ) = 4 n 2 ( n 2 + 1 ) = n ( n + 2 ) Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 = n ( n + 2 ) − n 2 = 2 n Demak, ξ n = ∑ k = 1n x k2 - X i kvadrat taqsimotning dispersiyasi D (ξn)=2n ekan. X i kvadrat taqsimotning xaraktristik funksiyasi 2.4-Ta’rif. Haqiqiy ξ ( ω ) tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb ushbu kompleks qiymatli funksiyaga aytiladi: 39 φ(t)= M eξ=∫Ω ❑ eitξ(ω)dP (ω)= ∫−∞ +∞ eitxdFξ(x), bu yerda t−haqiqiy son, −∞ < t < ∞, F ξ ( x ) esa ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. X i kvadrat taqsimotning xaraktristik funksiyasini hisoblasak φ ( t , n ) = ∫ − ∞0 e itx ∙ 0 dx + ∫ 0+ ∞ e itx ∙ 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 ‐ 1 e − x 2 dx = 1 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ e ( 2 − 1 ) x 2 ∙ x n 2 − 1 2 n 2 dx = 1 Γ ( n 2 ) ∫ 0+ ∞ e ( 2 − 1 ) x 2 ∙ ¿ ¿ ¿ Agar s = ( 2 − 1 ) x 2 deb oladigan bo lsak, ʻ ds = ( 2 − 1 ) 2 dx bo ladi. Bundan ʻ dx = 2 ¿¿ ekanligini inobatga olsak, tenglamamiz quyidagi ko rinishga keladi: ʻ φ ( t , n ) = 1 Γ ( n 2 ) ¿ ¿ ¿ Demak, ξ n = ∑ k = 1n x k2 - X i kvadrat taqsimotning xaraktristik funksiyasi φ ( t , n ) = ¿ ¿ ekan. 2.3-§. Statistik baholarni siljimaganlik va effektivlikka tekshirishda bog liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalarining qo llanishi ʻ ʻ Siljimagan baho Nazariy taqsimot noma’lum parametrning statistikasi deb kuzatish natijalarining (tanlanma elementlarining ) θ=θ(x1,x2,… ,xn) ixtiyoriy funksiyasiga aytiladi. 2.5-Ta’rif Agarda Tn=T(X1,… ,Xn) statistik bahoning matematik kutilmasi noma’lum parametrga teng, ya’ni M Tn= MT (X1,… ,Xn)=θ bo’lsa, statistik baho siljimagan baho deyiladi. 40 Asosli baho Agarda n cheksizlikka intilgandaTn=T(X1,… ,Xn) statistika ehtimol bo yicha ʻ noma’lum parametr θ ga yaqinlashsa, ya’ni ixtiyoriy kichik ε>0 son uchun limn→∞P{|T(X1,… ,Xn)− θ|<ε}=1 munosabat o‘rinli bo`lsa, u holda T(X1,… ,Xn) statistik baho asosli baho deyiladi. Rao- Kramer tengsizligi. Effiktiv baholash ( X ( n) , B ( n) ,{ P θ ( n) , θ ∈ Θ }) , Θ ⊆ R - parametrik statistik modelni qaraylik. Har bir Xi kuzatilmaning f ( x , θ ) umumlashgan zichlik funksiyasi uchun Rao-Kramer regulyarlik shartlarini kiritamiz: 1. N f={x:f(x,θ)>0} to'plam θ ga bog liq emas; ʻ 2. Θ = R yoki Θ - to'plam R dagi biror interval; 3. d dθ f ( x , θ ) xususiy hosila mavjud va P θ ( n) , θ ∈ Θ ga nisbatan deyarli hamma yerda ∀ θ∈Θ uchun chekli; 4. ∀ θ∈Θ va i = 1,2 uchun ∫| ∂i ∂θif(x,θ)|μ(dx )<∞ ; 5. ∀ θ∈Θ : 0 < M θ [ ∂ ∂ θ ln f ( ξ , θ )] 2 < ∞ Biz x(n) tanlanmaning f n ( X ( n) , θ ) = ∏ i = 1n f ( x i , θ ) – zichlik funksiyasini qarayotganimizda 1 - 5 shartlarni f o rnida ʻ fn ni ishlatamiz va integrallar X ( n) to plam bo yicha tushuniladi. ʻ ʻ I ( θ ) funksiya ξ tasodifiy miqdordagi θ parametr haqidagi Fisher informatsiyasi deyiladi. X ( n) tanlanmaga mos Fisher informatsiyasini I n ( θ ) orqali belgilaymiz. Ushbu I n ( x ( n) , θ ) = ∂ ∂ x ln f n ( x( n) , θ ) = ∑ i = 1n I ( x i , θ ) , I(xi,θ)= ∂ ∂xln fn(xi,θ),i=1,… ,n 41 - funksiyalar informantlar deb ataladi.{fn(x(n),θ),θ∈Θ } uchun 1- 5 shartlar bajarilsin. U holda In(θ)=¿(θ),θ∈Θ Agar {fn(x(n),θ),θ∈Θ } oila uchlun 1 – 5 shartlar bajarilsa va differensiallanuvchi g ( θ ) funksiyaga siljimagan ^gn(X(n)) baho uchun barcha . ∀ θ∈Θ larda ∫ |^ g n ( X ( n)) ∂ ∂ θ f n ( x( n) , θ )| μ ( dx ) < ∞ va D θ ^ g n < ∞ bo lsa. U holda ʻ ∀ θ ∈ Θ uchun D θ ^ g n ( X ( n)) ≥ [ g ' ( θ ) ] 2 ¿ ( θ ) tengsizlik o rinli bo ladigan ʻ ʻ ^gn baho g ( θ ) uchun effektiv baho deyiladi Misollar 2.1-misol. Agar ξ1,ξ2,… ,ξn tanlanma E(λ) eksponensial taqsimotdan olingan bo lsa, ʻ λ noma’lum parameter uchun θ= 1 x bahoni effektivlikka tekshiring. Yechish: Bahoni effektivlikka tekshirishdan oldin bu bahoni siljimaganlikka tekshirishimiz zarur, chunki siljigan baho effektiv bo la olmaydi. ʻ Agar M λ θ = λ tenglik bajarilsa, θ bahoni siljimagan baho deb ataymiz. Buning uchun avvalo, θ = 1 x ni zichlik funksiyasini topib olishimiz zarur. x= 1 n∑i=1 n xiva fxi(x)={ λe−λx,x>0 0,x≤0 ekanligini hisobga olib, η2=ξ1+ξ2 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h2(z) ni quyidagi formula yordamida hisoblaymiz: h2(z)= ∫−∞ +∞ fx1(x)∙fx2(z− x)dx =∫0 z λe−λxλe−λ(z−x)dx =∫0 z λ2e−λzdx =¿λ2e−λzx| z 0= λ2ze−λz¿ η2:h2(x)={ λ2xe−λx,x>0 0,x≤0 η2=ξ1+ξ2+ξ3 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h3(z) ni hisoblaymiz: 42 h2(z)= ∫−∞ +∞ fx3(x)∙fη(z− x)dx =∫0 z λe−λxλ2(z− x)e−λ(z−x)dx =∫0 z λ3(z− x)e−λzdx = ¿λ3e−λz(zx − x2 2)| z 0= λ3z2 2 e−λz¿η 3 : h 3 ( x ) = { λ 3 x 2 2 e − λx , x > 0 0 , x ≤ 0 Bundan ko rinadiki ʻ η=ξ1+ξ2+… +ξn tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi hη(x) ni quyidagi formula yordamida ifodalashimiz mumkin: η : h η ( x ) = { λ n x n − 1 ( n − 1 ) ! e − λx , x > 0 0 , x ≤ 0 H θ(x)= P(θ<x)= P( n η<x)= P( n− ηx η <0)= P( x( n x− η) η <0)=¿ hθ(x)= H θ'(x)= { n x2h η( n x),x>0 − n x2h η( n x),x≤0 = { n x2 λn ( n x) n−1 (n−1)! e −λ(nx),x>0 0,x≤0 = { λn(n)n xn+1(n−1)!e −λnx ,x>0 0,x≤0 Demak, h θ ( x ) = { λ n ( n ) n x n + 1 ( n − 1 ) ! e − λn x , x > 0 0 , x ≤ 0 ekan. Endi esa θ bahoni λ parametr uchun siljimaganlika tekshiramiz: M λθ=∫0 +∞ x∙ λn(n)n xn+1(n−1)!e −λnxdx = (λn )n (n−1)!∫0 +∞e −λnx xn dx =¿− (λn )n (n−1)!∫0 +∞e −λnx xn−2d1 x= − λn (n−1)!∫0 +∞ (λn x) (n−1)−1 e −λnxd λn x= λn (n−1)!∙Γ(n−1)= λn (n−1)!(n−2)!= λn n−1≠λ¿ Bundan ko rinadiki ʻ M λ θ = λn n − 1 ≠ λ , θ baho λ parametr uchun siljigan baho ekan va o z navbatida ʻ θ = 1 x baho λ parametr uchun effektiv ham bo la ʻ olmaydi. 2.2-misol . Agar ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n tanlanma E(λ) eksponensial taqsimotdan olingan bo lsa, ʻ λ noma’lum parameter uchun θ = n − 1 n x bahoni effektivlikka tekshiring. 43 Yechish: Buning uchun avvalo, θ = n − 1 n x ni zichlik funksiyasini topib olishimiz zarur. Bizga yuqoridagi 1- masaladan ma’lumki η=ξ1+ξ2+… +ξn tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi hη(x) quyidagicha ifodalanadi η : h η ( x ) = { λ n x n − 1 ( n − 1 ) ! e − λx , x > 0 0 , x ≤ 0 η tasodifiy miqdorni quyidagicha ham ifodalashimiz mumkin: η=∑i=1 n xi=n∙x H θ ( x ) = P ( θ < x ) = P ( n − 1 η < x ) = P ( n − 1 − ηx η < 0 ) = P ( x ( n − 1 x − η ) η < 0 ) = ¿ hθ(x)= H θ'(x)= { n−1 x2 h η( n−1 x ),x>0 − n−1 x2 h η( n−1 x ),x≤0 = { n−1 x2 λn ( n−1 x ) n−1 (n−1)! e −λ(n−1x),x>0 0,x≤0 = { λn(n−1)n xn+1(n−1)!e −λ(n−1) x ,x>0 0,x≤0 Demak, hθ(x)= { λn(n− 1)n xn+1(n−1)! e −λ(n−1) x ,x>0 0,x≤0 ekan. Endi esa θ bahoni λ parametr uchun siljimaganlika tekshiramiz: M λθ=∫0 +∞ x∙ λn(n−1)n xn+1(n−1)!e −λ(n−1) x dx = (λ)n(n−1)n (n− 1)! ∫0 +∞e −λ(n−1) x xn dx =¿− λn(n−1)n (n−1)! ∫0 +∞e −λ(n−1) x xn−2 d1 x=− λ(n−1) (n−1)! ∫0 +∞ (λ(n−1) x ) (n−1)−1 e −λ(n−1) x d λ(n−1) x = λ(n−1) (n−1)!∙Γ(n−1)= λ(n−1) (n−1)!(n− 2)!= λ(n− 1) n−1 = λ¿ Bundan ko rinadiki ʻ M λθ= λ , θ = n − 1 n x baho λ parametr uchun siljimagan baho ekan va o z navbatida ʻ θ= n−1 nx bahoni λ parametr uchun effektivlikka tekshirishimiz mumkin. ξ E ( λ) : fξ(x,λ)={ λe−λx,x>0 0,x≤0 , Mξ = 1 λ,Dξ = 1 λ2 fξ(x,λ)={ λe−λx,x>0 0,x≤0 funksiya uchun regulyarlik shartlari o rinli. ʻ Fisher informatsiyasini hisoblaymiz: 44 ln f( x , λ ) = ln λ − λx , ∂ ln f ( x , λ ) ∂ λ = 1 λ − x , I ( λ ) = M ( ∂ ln f ( x , λ ) ∂ λ ) 2 = M ( 1 λ − x ) 2 = M ( Mξ − x ) 2 = Dξ = 1 λ 2 Demak, I ( λ ) = 1 λ 2 ekan. Endi θ= n−1 nx ning despersiyasini hisoblaymiz: Dλθ= M λθ2−(M λθ)2 M λ θ 2 = ∫ 0+ ∞ x 2 ∙ λ n ( n − 1 ) n x n + 1 ( n − 1 ) ! e − λ ( n − 1 ) x dx = ( λ ) n( n − 1 ) n ( n − 1 ) ! ∫ 0+ ∞ e − λ ( n − 1 ) x x n − 1 dx = ¿ − λ n ( n − 1 ) n ( n − 1 ) ! ∫ 0+ ∞ e − λ ( n − 1 ) x x n − 3 d 1 x = − λ ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! ∫ 0+ ∞ ( λ ( n − 1 ) x ) ( n − 2 ) − 1 e − λ ( n − 1 ) x d λ ( n − 1 ) x = λ ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! ∙ Γ ( n − 2 ) = λ ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! ( n − 3 ) ! = λ n − 2 ¿ Dλθ= M λθ2−(M λθ)2= λ n−2− λ2 Dλθ≥ 1 ¿(λ) Tengsizlikni tekshirish uchun D λ θ n I ( λ ) ≥ 1 topishimiz yetarli, chunki bu tengsizlikda n >0, I(λ)>0. D λ θ n I ( λ ) = ( λ n − 2 − λ 2 ) n λ 2 = n λ 2 λ 2 n − 2 ( 1 λ − n + 2 ) = n n − 2 ( 1 λ − n + 2 ) Bu tengsizlik n≠2 larda doim manfiy qiymat qabul qilar ekan. Demak, D λ θ < 1 n I ( λ ) , ya’ni θ = n − 1 n x baho λ parametr uchun effektiv baho bo lmas ʻ ekan. 45 Xulosa Ushbu bitiruv malakaviy ishda bog liqsiz tasodifiy miqdorlarniʻ taqsimot va zichlik funksiyalarini topish masalasi qaralgan. Tasodifiy miqdorlar, ularning turlari , bog liqsizligi o rganildi. Hamda bog liqsiz ʻ ʻ ʻ tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyalari, jumladan N(0,1) normal taqsimotdan olingan Xi kvadrat taqimot, Fisher va Styudent taqsimotlari zichlik funksiyalari va Xi kvadrat taqsimotning sonli xarakteristikalari keltirildi. Bog liqsiz tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyalari statistik ʻ baholarni siljimaganlik va effektivlikka tekshirishda qo llanildi. Masalani ʻ yechishda ikki o zgaruvchili bog liqsiz tasodifiy miqdorlarni yig indisi, ʻ ʻ ʻ ayirmasi, ko paytmasi va bo linmasi formulalaridan foydalanilgan. ʻ ʻ Bog liqsiz tasodifiy miqdorlarni funksiyalarini topish va ushbu bitiruv ʻ malakaviy ishi natijalari matematik statistika sohasida statistik bahoni asosli va siljimaganlikka tekshirishda qo llaniladi. ʻ 46 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. A. A. Abdushukurov, N. S. Nurmuhammedova, K. S. Sagdullayev Matematik statistika . Toshkent “Universitet” 2013 2. A.A.Abdushukurov. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika”. Toshkent “Universitet” 2010 3. Крупкина, Т. В. Мате матическая статистика. Сибирский федеральный университет, 2009 4. Чернова Н. И. Математическая статистика: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. INTERNETDAN FOYDALANILGAN SAYTLAR 1. www.ziyonet.uz 2. www.mathnet.ru 3. www.edu.uz 4. www.referat.ru 5. Absalomov A.T. , Nurmurodova Ch. S. “Bog liqsiz tasodifiy ʻ miqdorlarning funksiyalari” https://mudarrisziyo.uz/index.php/amaliy/article/view/921 47

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI “ Ehtimollar nazariyasi va amaliy matematika” kafedrasi NURMURADOVA CHAROSXON SAMADOVNA BOG LIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR FUNKSIYALARIʻ “ 5130100-Matematika’’ ta’lim yo‘nalishi bo‘yicha bakalavr darajasini olish uchun BITIRUV MALAKAVIY ISHI Ilmiy rahbar: ____________ dots A. T. Absalamov 2024-yil “ _______ ” _______________ Bitiruv malakaviy ish “ Ehtimollar nazariyasi va amaliy matematika” kafedrasida bajarildi. Kafedraning 2024-yil 15-maydagi majlisida muhokama qilindi va himoyaga tavsiya etildi (10-bayonnoma) Fakultet dekani:_______ dots. S. S. Ulashov Kafedra mudiri:_______ dots. O‘.N. Quljanov Ilmiy rahbar:_______ dots A. T. Absalamov Bitiruv malakaviy ishi YaDAKning 2024-yil “ ___ ” iyundagi majlisida himoya qilindi va _____ ball bilan baholandi (___bayonno ma) YaDAK raisi: ________________ A’zolar: ________________ SAMARQAND-2024 1

MUNDARIJA KIRISH.................................................................................................................3 I.BOB. BIR VA IKKI ARGUMENTNING FUNKSIYALARI 1.1- §. Tasodifiy miqdorlar va ularning bog liqsizligi ..............................7ʻ 1.2- §. Bir argumentning funksiyasi …………………….…….……..… 15 1.3- §. Ikki argumentning funksiyasi….…………………………….. ….23 II.BOB. BOG LIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR ʻ FUNKSIYALARI TADBIQLARI 2.1- §. Normal taqsimot bilan bog liq taqsimotlar ………………..……34 ʻ 2.2- §. Normal taqsimot bilan bog liq taqsimotlarning sonli ʻ xarakteristikalari……………………………………………………….….….40 2.3 -§. Statistik baholarni siljimaganlik va effektivlikka tekshirishda bog liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalarining qo llanishi..……………..….44 ʻ ʻ XULOSA………………………………………………...…………….53 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………….……54 2

KIRISH Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir. 1-Ta`rif: Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek alifbosining kichik harflari ξ(ksi), η(eta), ζ (dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar x1,x2,… ,y1,y2,… ,z1z2,… bilan belgilanadi. Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z -asbobning beto‘xtov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k.. 2-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. 3-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdorqabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. Demak, diskret tasodifiy miqdorbir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz tasodifiy miqdor esa biror oraliqdagi ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y tasodifiy miqdorlar diskret, Z esa uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘ladi. Endi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz. 4-Ta`rif : Ω elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir ω elementar hodisaga X (ω) sonni mos qo‘ysa, yani X = X (ω), Ω ∈ ω. Agar Ω chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda ω da aniqlangan ixtiyoriy funksiya 3

tasodifiy miqdor bo‘ladi. Umuman, X (ω) funksiya shunday bo‘lishi kerakki: ∀ x ∈ R da A ={ ω : ξ ( ω ) < x } hodisa S σ - algebrasiga tegishli bo‘lishi kerak. Mavzuning dolzarbligi . Bog liqsiz tasodifiy miqdorlar yig indisi, ayirmasi, ko paytmasi va ʻ ʻ ʻ nisbatining zichlik funksiyalari ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F ( x ) va zichlik funksiyasi f ( x ) , hamda η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G ( y ) va zichlik funksiyasi g ( y ) berilgan bo`lsin. 1. ζ = ξ + η 2. ζ= ξ∙η 3. ζ = ξ η ζ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyalarini topish masalasini ko rib ʻ chiqilganda. 1. ζ = ξ + η tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h(z)= H ´(z)= ∫−∞ +∞ f(x)g(x− z)dx 2. ζ= ξ∙η tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi h(z)= ∫−∞ +∞ 1 ∣x∣ f(x)g(z x)dx 3. ζ = ξ η tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi h ( z ) = ∫ − ∞+ ∞ | y | g ( y ) f ( yz ) dy ko rinishda bo`ladi. ʻ Normal taqsimotlar bilan bog liq taqsimotlarning zichlik funksiyalar ʻ Zichlik funksiyasi f(x)= { 0,∧ x<0 αλxλ−1 Г(λ)e−αx,∧ x≥0 4

bo lgan tasodifiy miqdor ʻ ( α , λ ) parametrli Gamma taqsimot qonuni bo yicha ʻ taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi va Г ( α , λ ) kabi yoziladi. Bog liqsiz ʻ ξ 1 , ξ 2 … , ξ n tasodifiy miqdorlar N ( 0,1 ) normal taqsimotga bo ysunsin . ʻ X i kvadrat taqsimot ξn2=ξ12+ξ22… +ξn2 qonuniga bo ysun uvchi ʻ tasodifiy miqdor deyiladi va X i kvadrat taqsimotning zichlik funksiyasi fXn2(x)= { 0,agar x<0 ( 1 2) n2x n2−1 Г( n 2) e −x2,agar x≥0 ko rinishda bo’ladi. ʻ ξ n2 n ξ m2 m taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Fisher taqsimot qonuniga bo ʻ ysunadi deyiladi . Fisher taqsimoti zichlik funksiyasi quyidagi ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ h ( z ) = { 0 , agar z < 0 Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∙ m m 2 n n 2 z n 2 ‐ 1 ( m + nz ) m + n 2 , agar z ≥ 0 S n = ξ √ ξ n2 n taqsimot qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor Styudent taqsimot qonuniga bo ysunadi deyiladi ʻ va zichlik funksiyasi quyidagicha bo ʻ ladi . h ( z ) = Г ( n + 1 2 ) Г ( n 2 ) ∙ 1 ( 1 + z 2 n ) n + 1 2 Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi 5

O'xshashlar

KO’P O’ZGARUVCHILI TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOT FUNKSIYALARI
Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari
KOʻP OʻLCHOVLI TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN BA’ZI NATIJALAR
C++ NING STANDART RUKKURSIV VA FOYDALANUVCHI FUNKSIYALARI
YUQORI TARTIBLI MOMENTLAR