logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash

Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2272.5 KB
Ko'chirib olish
Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash M UNDARIJA Kirish………………………………………………………………4 I BOB DAVRIY KOEFFITSIYENTLI DIRAK OPERATORI UCHUN ZARURIY MA’LUMOTLAR 1-§. Dirak differensial tenglamalar sistemasi. Lyapunov funksiyasi……11 2-§. Siljigan argumentli Dirak differensial tenglamalar sistemasi……...16 3-§. Floke yechimlari va ularning xossalari…………………………….17 4-§. Davriy koeffitsiyentli Dirak sistemasi uchun teskari masala. Dubrovin tenglamalar sistemasi………………………………………………20 II BOB NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASIGA QO’YILGAN KOSHI MASALASINI DAVRIY FUNKSIYALAR SINFIDA YECHISH ALGORITIMI 1-§ Masalaning qo’yilishi………………………………………………25 2-§. Spektral berilganlarning evolyutsiyasi……………………………..26 3-§. Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimga egaligi..30 III BOB . YUKLANGAN HADLI NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASINI DAVRIY СНEKSIZ ZONALI FUNKSIYALAR SINFIDA INTEGRALLASH 1-§. Yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamasini cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida integrallash……………………………..36 2-§. Misollar yechish na'munalari……………………………………...49 Xulosa…………………………….………………………………..60 1 Adabiyotlar ro‘yxati…………..……………………………………61 KIRISH Masalaning qo’yilishi: Mazkur magistrlik dissertatsiya ishida quyidagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo’yilgan , Koshi masalasi yechimga egaligi o ‘ rganilgan. Shu bilan bir qatorda yuklangan hadli ushbu ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasining yechimga egaligi o ‘ rganiladi va , yechimni topish algoritmi taklif etiladi. Mavzuning dolzarbligi: Quyidagi Dirak operatori reletavistik kvant fizikasida va zamonaviy matematik fizikaning ko ‘ plab sohalarida qo ‘ llanilib keladi. Berilgan , koeffitsiyentlar bo’yicha Dirak operatori ning spektral xarakteristikalarini topish masalasiga spektral analizning to ‘ g ‘ ri masalasi deb ataladi. Spektral xarakteristikalar bo ‘ yicha Dirak 2 operatori ning va koeffitsiyentlarini tiklash masalasiga spektral analizning teskari masalasi deb ataladi. Turli xil chegaraviy shartlar holidagi spektrlar, spektral funksiya, sochilish nazariyasining berilganlari va shunga o ‘ xshash xarakteristikalar spektral xarakteristikalar bo’ladi. 1971 yilda V.E. Zakharov va A.B. Shabat zamonaviy matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasining yechimini Dirak operatoriga qo ‘ yilgan to ‘ g ‘ ri va teskari spektral masalalardan foydalanib topishga muvaffaq bo’ldilar. Bu maqolada qo ‘ llanilgan usulning asosiy g ‘ oyasidan foydalanib 1972 yilda Vadati matematik fizikaning navbatdagi modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamasini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida integrallashga muaffaq bo’ldi. 1973 yilda Xirota nochiziqli Shredinger tenglamasi va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamasining kombinatsiyasidan tuzilgan ushbu ko’rinishdagi Xirota tenglamasini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida integrallashga muaffaq bo’ldi. Zakharov, Takhtadjyan, Faddeyev hamda Ablowitz, Kaup, Newel va Sigur , Dirak operatoriga qo ‘ yilgan teskari spektral masalalar usulidan foydalanib, matematik fizikaning yana bir tenglamasini, jumladan 3 Sinus-Gordon tenglamasining yechimini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muaffaq bo’ldi. Ushbu ko ‘ rinishdagi o ‘ z-o ‘ ziga qo ‘ shma bo ‘ lmagan Dirak operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi yordamida nochiziqli Shredinger tenglamasi (NSh), modifissirlangan Korteveg-de Friz (mKdF), Xirota va sinus-Gordon tenglamalari integrallanadi. Nochiziqli Shredinger (NSh), modifissirlangan Korteveg-de Friz (mKdF), Xirota va sinus-Gordon tenglamariga qo’yilgan Koshi masalasi yechimini davriy funksiyalar sinfida topish masalasi Dirak operatorining uzluksiz spektrida joylashgan chekli lakunalar soniga bog’liq. Dirak operatorining uzluksiz spektrida joylashgan lakunalar soni cheklita bo ‘ lgan holda A.R. Its, V.P. Katlyarov va A.O. Smirnov teskari spektral masala usulidan foydalanib nochiziqli Shredinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalarini chekli zonali funksiyalar sinfida integrallanuvchi ekanligini ko ‘ rsatib berdilar. Bundan nochiziqli Shredinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalarining yechimi uchun oshkor formulani topdilar. Bu formulani Rimanning teta funksiyasi orqali ifodalanishini ham ko ‘ rsatib berdilar. Bunday formula Korteveg-de Friz tenglamasini chekli zonali yechimi uchun ilk bor Its-Matveyev va Dubrovin-Novikovlar tomonidan olingan edi. Shunday qilib Its, Matveyev, Dubrovin, Novikov, Katlyarov, Smirnov va boshqa olimlar tomonidan nochiziqli evolyutsion (KdF, NSh, mKdF) tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasi istalgan chekli zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi isbotlandi. Boshqacha aytganda bu Koshi masalasining 4 yechimi chekli zonali funksiyalar sinfida mavjud, yagona va uning uchun oshkor formula o’rinli ekanligi ko’rsatilgan. Agar funksiyani olib, ushbu Xill operatorining spektri o ‘ rganilganda uning spektridagi barcha chekli lakunalarning ochiq bo’lishi 1922 yilda Ayns tomonidan isbotlangan. Shuning uchun davriy cheksiz zonali funksiyalarga misol bo’la oladi. Bunday turdagi misollar Dirak operatori holida Djakov va Mityaginlar tomonidan batafsil o’rganilgan. Nochiziqli evolyutsion tenglamalarga qo ‘ yilgan Koshi masalasi istalgan davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi o’rinlimi degan savolning tug’ilishi tabiiy holdir. Su maqsadda magistrlik dissertatsiyasida nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasining davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi masalasi o ‘ rganildi hamda yechimni qurish algoritmi bayon etildi. Tadqiqotning ob y ekti va predmeti. Davriy koeffitsiyentli Dirak differnsial tenglamalar sistemasi. Davriy, yarimdavriy va Dirixle chegaraviy masalalari. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalarini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida integrallash. Tadqiqotning yangiligi. Quyidagi 1) 2) 5 ko’rinishdagi nochiziqli differensial teglamalarga qo ‘ yilgan Koshi masalalari yechimi davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida topilgan. Tadqiqotning asosiy masalasi. Nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida o ‘ rganish hisoblanadi. Tadqiqotning mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharhi (tahlili). Mazkur magistrlik dissertatsiya mavzusi bo’yicha quyidagi adabiyotlar o ‘ rganildi va tahlil qilindi. Birinchi bobda , , , adabiyotlardan foydalanildi. Ikkinchi bobda , , , adabiyotlardan foydalanildi. Uchinchi bobda , , , adabiyotlardan foydalanildi. Tadqiqotda qo’llanilgan metodikaning tavsifi: Magistrlik dissertatsiya ishida matematik analiz, chiziqli algebra, oddiy differensial tenglamalar, kompleks o ‘ zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, funksional analiz va matematik fizika tenglamalari fanlaridagi usullardan foydalanilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Mazkur magistrlik dissertatsiya ishida o ‘ rganilgan “nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalari”ga qo’yilgan Koshi masalasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligini o’rganish bo’yicha olingan natijalar zamonaviy matematik fizikada, kvant mehanikasida va davriy to ‘ lqinlarning nochiziqli muhitdagi tarqalish jarayonlarida qo’llaniladi. Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Magistrlik dissertatsiya ishi uch bob, 9 paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Teorema va natijalar hamda formulalar bob, paragraf va tartib raqami bo’yicha nomerlangan. 6 Birinchi bob zaruriy ma’lumotlar qismi bo’lib, undan qo’yilgan masalani yechishda qo’llaniladigan teorema va tasdiqlarni o ‘ z ichiga olgan quyidagi 4 paragraflardan iborat. 1-§. Dirak differensial tenglamalar sistemasi. Lyapunov funksiyasi. 2-§. Siljigan argumentli Dirak differensial tenglamalar sistemasi. 3-§. Floke yechimlari va ularning xossalari. 4-§. Davriy koeffitsiyentli Dirak sistemasi uchun teskari masala. Dubrovin tenglamalar sistemasi. Ikkinchi bobda teskari masalalar usuli yordamida nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechish algoritmi bayon qilingan. Ikkinchi bob quyidagi paragraflardan iborat: 1-§. Masalaning qo ‘ yilishi 2-§. Spektral berilganlarning evolyutsiyasi 3-§. Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimga egaligi Uchinchi bobda teskari masalalar usuli yordamida yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechish algoritmi bayon qilingan. Uchinchi bob quyidagi paragraflardan iborat: 1-§. Yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamasini cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida integrallash. 2-§. Misollar yechish na’munalari. 7 I BOB. DAVRIY KOEFFITSIYENTLI DIRAK OPERATORI UCHUN ZARURIY MA’LUMOTLAR 1-§. Dirak differensial tenglamalar sistemasi. Lyapunov funksiyasi Ushbu (1.1.1) ko ‘ rinishdagi Dirak differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda va haqiqiy uzluksiz davrli berilgan funksiyalar, esa kompleks parametr. Yuqoridagi (1.1.1) tenglamaning quyidagi (1.1.2) boshlang ‘ ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda orqali belgilaymiz. Ma’lumki, (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasining (1.1.2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi va yechimlari mavjud va yagona bo ‘ lib, x o ‘ zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida λ bo ‘ yicha butun funksiyadir. Bu yechimlardan tuzilgan ushbu Vronskiy determinanti uchun Tenglik o ‘ rinli. Bundan tashqari va yechimlar mos ravishda quyidagi integral tenglamalar sistemasini qanoatlantirad. 8 1.1.1-ta’rif. Ushbu tenglik bilan aniqlangan funksiya (1.1.1) Dirak differensial tenglamalar sistemasining Lyapunov funksiyasi deb ataladi. 1.1.2-ta’rif. a) Agar (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasi ushbu (1.1.5) chegaraviy shart bilan birga qaralsa, unga davriy chegaraviy masala deyiladi. b) Agar (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasi ushbu (1.1.6) chegaraviy shart bilan birga qaralsa, unga yarim davriy chegaraviy masala deyiladi. 1.1-teorema. (1.1.1), (1.1.5) davriy ((1.1.1), (1.1.6) yarim davriy) chegaraviy masalaning xos qiymatlari haqiqiy bo’lib, ular ushbu (1.1.7) tenglama ildizlari bilan ustma-ust tushadi. Yuqoridagi (1.1.3), (1.1.4) integral tenglamalar sistemasidan foydalanib, va yechimlarning yetarli katta larda assimptotikalarini topish mumkin. Ushbu 9 asimptotikalar o ‘ rinli. Bu yerda . Bundan foydalanib, haqiqiy lar uchun quyidagi asimptotikani olish mumkin. 1.1-lemma. Agar va funksiyalar davrli bo’lib, sinfga qarashli bo ‘ lsa, u holda (1.1.1) tenglamaning va yechimlari uchun quyidagi asimptotikalar o’rinli: Bunda . Bu baholardan quyidagi asimptotik baho kelib chiqadi. 10 1.2-teorema. (1.1.1) tenglamalar sistemasining Lyapunov funksiyasi quyidagi formula orqali ifodalanadi: 1.3-teorema. Agar haqiqiy lar uchun tengsizlik o ‘ rinli bolsa, u holda ushbu munosabat bajariladi. 1.4-teorema . a) soni tenglikning ikki karrali ildizi bo ‘ lishi uchun ushbu tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli. b) soni tenglikning ikki karrali ildizi bo ‘ lishi uchun ushbu tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli. 1.5-teorema . a) Agar soni tenglamaning ikki karrali ildizi bo ‘ lsa, u holda quyidagi munosabat o ‘ rinli bo’ladi. Hususan bu nuqtada funksiya lokal maksimumga erishadi. b) Agar soni tenglamaning ikki karrali ildizi bo ‘ lsa, u holda quyidagi munosabat bajariladi. Xususan bu nuqtada funksiya lokal minimumga erishadi. 11 Yuqoridagi olingan natijalardan foydalanib, - funksiyaning taxminiy grafigini chizish mumkin: Ushbu tengsizlikning yechimlaridan tuzilgan to’plamni E harfi bilan belgilasak, u holda tasvir o ‘ rinli bo ‘ ladi. Bunda oraliqlarga lakunalar yoki taqiqlangan zonalar deyiladi. 1.6-teorema. Istalgan lakunada tenglamaning bittadan ildizlari yotadi, bundan tashqari kompleks tekisligining qolgan joylarida, xususan E to ‘ plamda ildizlarga ega emas. 1.7-teorema. Quyidagi yoyilmalar o’rinli: Bu yerda bo’lsa. 1.2-lemma. (1.1.1) tenglamaning va yechimlari uchun quyidagi 12 tengliklar o’rinli. Bu yerda munosabatlarni e ‘ tiborga olish lozim. 2-§. Siljigan argumentli Dirak differensial tenglamalar sistemasi Ushbu , (1.2.1) ko’rinishdagi Dirak differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda haqiqiy parametr. (1.2.1) tenglamaning quyidagi boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda va orqali belgilaymiz. Endi (1.2.1) tenglamaning Lyapunov funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz: . 1.3-lemma. Quyidagi tengliklar o’rinli: 1.4-lemma. Quyidagi ayniyatlar bajariladi: 13 1.8-teorema. (1.2.1) tenglamaning - Lyapunov funksiyasi parametrga bog ‘ liq bo’lmaydi, ya’ni . 1.5-lemma. Quyidagi tengliklar bajariladi: Bu teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi. Faraz qilaylik, (1.2.1) siljigan argumentli Dirak tenglamalar sistemasiga qo ‘ yilgan davriy va yarim davriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari, ya’ni operator spektri chetki nuqtalari bo’lsa, u holda ular tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi va bo’lgani uchun o’rinli, ya’ni operator spektrining chetki nuqtalari parametrga bog ‘ liq bo ‘ lmas ekan. 3-§. Floke yechimlari va ularning xossalari 1.9-teorema. a) Agar shart bajarilsa, u holda (1.1.1) Dirak tenglamalar sistemasining ikkita chiziqli erkli 14 yechimlari mavjud. Bunda davrli vektor funksiyalar. Bundan tashqari quyidagicha aniqlanadi: b) Agar shart bajarilsa, u holda (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasi davrli yechimga ega bo’ladi. c) Agar shart bajarilsa, u holda (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasi yarim davrli yechimga ega bo’ladi. Bu yerda ildizni analitik ma’noda tushinish lozim: . Shuning uchun sohada analitik funksiyaga ega bo’lamiz. E to ‘ plamning har bir kesmasida funksiya uzilishga ega bo’ladi. funksiyalarga (1.1.1) Dirak differensial tenglamalar sistemasining Floke yechimlari deb ataladi. 1.10-teorema. a) Agar shart bajarilsa, u holda munosabat bajariladi. b) Agar shart bajarilsa, u holda munosabat bajariladi. 1.11-teorema. (1.1.1) Dirak differensial tenglamalar sistemasining Floke yechimlari, uning Veyil yechimlariga proporsional bo’ladi va Veyil-Titchmarsh funksiyasi quyidagi 15 formula yordamida topiladi. 1.4-natija. (1.1.1) tenglamaning chap tomoni orqali aniqlangan davriy koeffisiyentli Dirak operatorining diskret spektri bo’ladi. Ammo L operator sof uzluksiz spektrga ega: ya’ni . Ushbu intervallarga L operatorning lakunlari deyiladi. Ushbu tenglamaning ildizlarini orqali belgilaymiz. Bu haqiqiy sonlar (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasiga qo ‘ yilgan Dirixle chegaraviy masalaning xos qiymatlari bilan ustma-ust tushadi va munosabat bajariladi. 1.3-ta’rif. Ushbu sonlar va ishoralar ketma-ketligi (1.1.1) Dirak differensial tenglamalar sistemasining spektral parametrlari deyiladi. 1.1-izoh . Agar yoki bo’lsa, u holda bo’ladi. Shuning uchun bu holda deb olamiz. 1.4-ta’rif. spektral parametrlar va spektrining chetki nuqtalari birgalikda (1.1.1) Dirak differensial tenglamalar sistemasining spektral berilganlari deyiladi. (1.1.1) differensial tenglamalar sistemasining spektral berilgalarini topishga spektral analizning to ‘ g ‘ ri masalasi deb ataladi. Spektral berilganlar yordamida (1.1.1) tenglamalar sistemasining p(x) va q(x) koeffisiyentlarini topishga, spektral analizning teskari masalasi deyiladi. 1.12-teorema. Davriy koeffisiyentli (1.2.1) ko’rinishidagi Dirak operatori uchun quyidagi izlar formulalari o’rinli: 16 Bu yerda 1.3-izoh. (1.1.1) Dirak tenglamalar sistemasining yechimi uchun quyidagi formula o’rinli: 4-§. Davriy koeffitsiyentli Dirak sistemasi uchun teskari masala. Dubrovin tenglamalar sistemasi Mazkur paragrafda oldingi bo’limlarda o ‘ rganilgan fikrlarga tayanib davriy koeffitsiyentli (1.1.1) Dirak operatorining spektral berilganlarini ma ‘ lum deb qaraymiz. 1.13-teorema . (1.1.1) tenglamalar sistemasining p(x) va q(x) koeffitsiyentlari o’zining spektral berilganlari orqali bir qiymatli (yagona) aniqlanadi. Teskari masalani yechishda siljigan argumentli (1.2.1) ko ‘ rinishdagi L( ) Dirak operatori muhim o ‘ rin egallaydi. Siljigan argumentli (1.2.1) Dirak 17 operatorining spektral berilganlarini orqali belgilab olamiz. U holda ushbu ayniyatlarga ko ‘ ra munosabatlar kelib chiqadi ya’ni spektral parametrlar davrli funksiyalardan iborat bo ‘ lar ekan. Hususan, bo’lsa, u holda bo’ladi. Bu formuladan esa, , va kelib chiqadi. Bundan tashqari, Bu holda (1.1.1) Dirak operatorining spektral berilganlarini aniq topish mumkin ekan. Agar parametr siljitilsa, nuqta ham kesmada siljiydi. Chunki nuqta harakatlanib, lakunaning chetiga kelganda harakat yo ‘ nalishini o ‘ zgartiradi. 1.14-teorema. Agar shartlarni qanoatlantirsa, u holda (1.2.1) Dirak operatorining spektral berilganlari quyidagi Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining analogini qanoatlantiradi: 1) (1.4.1) 2) (1.4.2) - ishora nuqta o’z lakunasining chetiga kelganda qarama-qarshi ishoraga o ‘ zgartiradi. 18 Agar ushbu almashtirishdan foydalansak, u holda (1.4.2) Dubrovin sistemasi quyidagi ko‘rinishni oladi: (1.4.3) Bu yerda (1.4.3) ko ‘ rinishdagi Koshi masalasining yechimga egaligini o ‘ rganish uchun quyidagi Banax fazosini kiritamiz. Endi (1.4.3) masalani Banax fazosida bitta tenglama ko’rinishda yozish mumkin: , (1.4.4) Ushbu [47] maqolada, ixtiyoriy lar uchun baho olingan. Bunda (1.4.5) 19 Agar 1.14 - teoremaning shartlari bajarilsa, u holda (1.4.5) qator yaqinlashuvchi bo’ladi va funksiya Lipshist shartini qanoatlantirishi kelib chiqadi. Shuning uchun Dubrovinning cheksiz noma’lumli cheksiz differensial tenglamalar sistemasi istalgan boshlang ‘ ich shartda yagona yechimga ega bo’ladi. Bundan va izlar formulalaridan teskari spektral masalaning yechimga egaligi kelib chiqadi. Ko ‘ rinib turibdiki (1.4.5) sonli qatorning yaqinlashishi (1.1.1) ko’rinishdagi L operator lakunlari uzunliklaridan tuzilgan ketma-ketlikning dagi nolga yaqinlashish tartibiga bo’liq. Bu masala ilk bor Misyuraning ([45], 98-bet) maqolasida ijobiy hal qilingan. Agar shartlar bajarilsa, u holda (1.1.1) tenglamaga qo ‘ yilgan davriy va yarim davriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari ketma-ketliklari uchun quyidagi asimptotikalar o ‘ rinli: (1.4.6) (1.4.7) Yuqoridagi mulohazalardan ko ‘ rinadiki, shartlar bajarilganda (1.4.5) sonli qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi (1.4.7) bahodan kelib chiqadi. Demak, davriy koeffitsiyentli Dirak operatoriga qo ‘ yilgan teskari masalaning fazodagi davriy funksiyalar sinfida yechimi mavjud va yagona bo’lar ekan. 20 II BOB. NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASIGA QO’YILGAN KOSHI MASALASINI DAVRIY CHEKSIZ ZONALI FUNKSIYALAR SINFIDA YECHISH ALGORITIMI 1-§. Masalaning qo ‘ yilishi Nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasini, ya’ni ushbu (2.1.1) tenglamaning (2.1.2) boshlang ‘ ich shartlarni hamda (2.1.3) silliqlik shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida topish masalasini qaraymiz. Mazkur paragrafda davriy koeffissiyentli Dirak operatori (2.1.4) uchun teskari spektral masalalar usulidan foydalanib, (2.1.1) - (2.1.3) masalaning yechimini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida topish algoritmi taklif etiladi. Avvalo, (2.1.4) tenglamaning quyidagi va (2.1.5) boshlang ‘ ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda 21 va orqali belgilaylik. Ma’lumki bu yerda va vektor funksiyalar (2.1.4) tenglamanng chiziqli erkli yechimlaridan iborat bo’lib ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti uchun tenglik bajariladi. Ushbu ifodaga Lyapunov funksiyasi deyiladi. Agar ushbu tenglamaning ildizlarini orqali belgilasak, u holda ular (2.1.4) tenglamaga qo’yilgan davriy va yarim davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari bilan ustma-ust tushadi. Endi (2.1.4) tenglamaga qo ‘ yilgan Dirixle chegaraviy masalasini qaraylik. U holda yechimning birinchi komponentasi Dirixle chegaraviy shartlarning birinchisini, ya’ni qanoatlantiradi, uni ikkinchi chegaraviy shartga qo’yib, xaraktristik tenglamani hosil qilamiz. Xaraktristik tenglamani ga nisbatan yechib, Dirixle masalasining xos qiymatlarini topib olamiz. Ushbu ishoralar ketma-ketligini qaraymiz. Quyidagi to’plamga Dirak operatorining spektral parametrlari deb ataladi. Ushbu 22 to’plamga esa operatorning spektral berilganlari deyiladi. Ma’lumki spektral berilganlar orqali operatorning koeffitsiyentlari yagona aniqlanadi. Berilgan (2.1.1) - (2.1.3) masalada da boshlang ‘ ich shartlar ma’lum. Endi , berilgan funksiyalar yordamida ushbu Dirak operatorni tuzib olamiz va uning spektral berilganlarini topib olamiz. Agar Dirak operatorining , koeffitsiyentlari (2.1.1) ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredenger tenglamasini qanoatlantirsa, u holda operatorning spektral berilganlari qanday tenglamani qanoatlantiradi degan tabiiy savol tug ‘ iladi. Bu savolga keyingi paragraflarda batafsil javob beramiz. 2- § . Sp ekt ra l be ri l g anl ar ni ng e vo l y ut s i y as i Mazkur paragrafning asosiy natijalari quyidagi teoremalarda mujassamlashgan. 2.1-teorema . Aytaylik , funksiyalar (2.1.1)- (2.1.3) masalaning yechimi bo’lsin. U holda operatorning spektral berilganlari quyidagi Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining analogini qanoatlantiradi: 1). 2) 23 Bu yerda to ‘ plam operatorning spektral berilganlaridan iborat. Isbot . Aytaylik vektor funksiya (2.1.4) tenglamaga qo ‘ yilgan ushbu Dirixle masalasining xos qiymatiga mos keluvchi ortonormal xos vektor funksiyasi bo’lsin. U holda tenglik bajariladi. Bu tenglikning ikki tomonini ortonormal vektorga skalyar ko ‘ paytirib, quyidagi ayniyatni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikning ikki tomononi t bo’yicha differensiallasak va operatorning simmetrikligidan foydalansak quyidagi munosabat hosil bo’ladi. Endi kvadrati bilan integrallanuvchi ikki kompanentali vektor funksiyalarning fazosidagi skalyar ko’paytmasi, ya’ni , ko’rinishdan foydalanib, ushbu 24 tenglikni topamiz. Bu tenglikni (2.1.1) tenglamalardan foydalanib quyidagicha yozish mumkin: Bu yerda Ushbu ayniyatdan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz: Bu munosabatni o’rinli bo’lishini tekshirish qiyinchilik tug’dirmaydi. Oxirgi formuladan foydalanib integralning qiymatini topamiz: Natijada asosiy tenglikka ega bo’lamiz. Ma’lumki (2.1.4) tenglamaga qo’yilgan Dirixle chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy bo’lgani uchun, ushbu tenglik bajariladi. Bu yerda 25 Bu tengliklardan foydalanib munosabatni topamiz. oxirgi tenglikni ushbu formuladan foydalanib quyidagicha yozish mumkin: Ushbu yoyilmalardan foydalanamiz. Bu yerda agar bo’lsa. Ushbu formulaga ega bo’lamiz. Bundan va asosiy tenglikdan Dubrovin differensial tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. 26 Agar Dirixle chegaraviy shartlari o’rniga davriy yoki yarim davriy chegaraviy masalani qarasak, u holda uning xos qiymatlari uchun munosabat kelib chiqadi. Bundan esa ekanligini osongina keltirib chiqarish mumkin. Teorema isbotlandi. 1-natija. Ushbu izlar formulalaridan foydalanib Dubrovin differensial tenglamalar sistemasini yopiq ko’rinishda yozish mumkin . 3-§. Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimga egaligi. Ushbu paragrafda cheksiz noma’lumli cheksizta Dubrovin differensial tenglamalar sistemasiga qo’yilgan Koshi masalasining yechimga egaligini ko’rsatamiz. Buning uchun oldingi paragrafda olingan Dubrovin differensial tenglamar sistemasini ushbu 27 (2.3.1) ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda (2.3.2) (2.3.3) ushbu to’plam esa operatorning spektral berilganlaridan iborat. Yuqoridagi (2.3.1) Koshi masalasini yechimga egaligini ko’rsatish maqsadida, avvalo ushbu almashtirishdan foydalanib uni quyidagicha yozib olamiz: (2.3.4) Bu yerda Endi K Banax fazosini kiritamiz: 28 Nihoyat (2.3.4) Koshi masalasini K Banax fazosida bitta differensial tenglama ko’rinishida yozish mumkin: (2.3.5) Ushbu shartlardan va Misyuraning ([45], 98-bet) maqolasida olingan baholardan quyidagi asimptotikalar kelib chiqadi: (2.3.6) (2.3.7) . Ushbu munosabatni e’tiborga olsak, u holda (2.3.6) asimptotikadan foydalanib quyidagi tengsizlikni olish mumkin. Endi yuqoridagi mulohazalardan foydalanib ushbu funksiyalarni baholaymiz. 3.1-Lemma. Quyidagi baholar o’rinli: 29 1) (2.3.8) 2) (2.3.9) Bu yerda , o’zgarmaslar n va m ga bog’liq emas. Endi bu lemmadan foydalanib ushbu Funksiyaning hosilasini baholaymiz: Bunda 3.2-Lemma. Agar bo’lsa, u holda vektor funksiya fazoda Lipshits shartini qanoatlantiradi, ya’ni lar uchun shunday soni mavjud bo’lib, tengsizlik bajariladi. Isbot . Chekli ayirmalar haqidagi Lagranj teoremasini ushbu funksiyaga qo’llaymiz. U holda tenglikka, ya’ni 30 tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda . Bundan foydalanib quyidagi ayirmani baholaymiz: Bunda ushbu munosabatlardan foydalaniladi. Endi normani baholaymiz: Bu yerda Shunday qilib, Lipshits shartining bajarilishi ko’rsatildi. Demak, chaksiz noma’lumli cheksizta Dubrovin differensial tenglamalar sistemasiga qo’yilgan Koshi masalasining ixtiyoriy larda yechimi mavjud va yagona bo’lar ekan. 2-natija. 2.1-teorema va 3.2-lemma (1) - (3) masalani yechimini topish algoritmini beradi. 31 Buning uchun avvalo operatorning spektral berilganlarini belgilab olmiz va ularga nisbatan 2.1-teoremadagi Dubrovin differensial tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistema 3.2 - lemmaga ko’ra, yechimga ega. Bu topilgan larni izlar formulalariga qo’yib va , ya’ni (1) - (3) masalaning yechimini topib olamiz. Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotlashga muvaffaq bo’ldik. 3.2-teorema . Agar funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantirsa, u holda (1) - (3) masalaning yagona va yechimi mavjud bo’lib, u ushbu izlar formulalari orqali topiladi va uzluksiz funksiyalardan iborat bo’ladi. 3-BOB. YUKLANGAN HADLI NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASINI INTEGRALLASH. 1-§. Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash. Quyidagi (3.1.1) tenglamaning , (3.1.2) 32 boshlang ‘ ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasini qaraymiz. (3.1.1) tenglamadagi funksiyalar o ‘ zgaruvchi bo ‘ yicha davrli cheksiz zonali funksiyalar bo ‘ lib, quyidagi sinfga tegishli: , . (3.1.3) (3.1.1) - (3.1.2) masalani Dirak operatoriga qo ‘ yilgan teskari spektral masala usuli yordamida yechamiz. 3.1-teorema. Agar funksiyalar (3.1.1) - (3.1.2) masalanng yechimlari bo’lsa, u holda spektr chegaralari o ‘ zgaruvchilarga bog ‘ liq bo ‘ lmaydi, ya’ni spektral parametrlar esa quyidagi Dubrovin differensial tenglamalar sistemasi analogini qanoatlantiradi: (3.1.4) ishora nuqta lakunaning chetiga kelganda ishorasini qarama-qarshiga o ‘ zgartiradi. Bundan tashqari ular, quyidagi boshlang ‘ ich shartlarni qanoatlantiradi: , . Isbot. , tenglamalar sistemasiga qo’yilgan Dirixle chegaraviy masalasining xos 33 qiymatlari va ularga mos ortonormal xos vektor funksiyalar bo’lsin. U holda tenglikdan foydalanib (3.1.5) tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda lar koeffitsentli Dirak operatorining spektral berilganlari. (3.1.5) tenglikning ikki tomonini t bo’yicha differensiallaymiz va operatorining simmetrikligidan foydlanamiz, natijada (3.1.6) munosabatga ega bo ‘ lamiz. Skalyar ko ‘ paytmaning ta’rifidan foydalanib quyidagi (3.1.7) tenglikni hosil qilamiz. (3.1.1) tenglamadagi larni (3.1.7) ga qo ‘ yamiz: Endi quyidagi belgilashlarni kiritib olamiz. (3.1.8) 34 , (3.1.9) natijada , (3.1.10) tenglikka ega bo’lamiz. integrallarni hisoblaymiz. Buning uchun integral ostidagi ifodani boshlang ‘ ich funksiyasini , , kvadratik formasining hosilasi ko ‘ rinishida izlaymiz va quyidagi tengliklardan foydalanamiz: Ма ’lumki, (3.1.11) o ‘ rinli. Bundan . ekanliklarini ko ‘ rsatish qiyin emas. U holda, ( 3.1. 10) formulaning o ‘ ng tomonidagi integrallarni quyidagicha hisoblash mumkin: 35 (3.1. 1 2) ( 3.1. 10) va ( 3.1. 12) tengliklardan foydalanib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: (3.1. 1 3) Quyidagi bizga ma’lum, ya’ni II – bobning 2– § dagi ushbu formulani (3.1. 1 4) formulani (3.1. 1 3) ga qo ‘ llab, (3.1.6) ni hosil qilamiz. Agar Dirixle masalasining chegaraviy shartlarini davriy yoki yarimdavriy chegaraviy shartlar bilan almashtirsak, u holda (3.1.13) tenglamani quyidagicha yozish mumkin: Endi tenglamaga ni qo ‘ yamiz. U holda ga ega bo’lamiz. Bundan davriy yoki yarimdavriy masalaning xos qiymatlari parametrga bog ‘ liq emasligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. Natija 1 . Quyidagi (3.1.15) (3.1.16) (3.1.17) 36 izlar formulalarini hisobga olib (3.1.6) sistemani yopiq ko ‘ rinishda quyidagicha yozish mumkin: (3.1.18) Izoh 1 . (3.1.6) Cheksiz noma’lumli cheksizta Dubrovin tenglamalar sistemasi, (3.1.7) boshlang ‘ ich shartlarning ixtiyoriy qiymatida yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun (3.1.18) sistemaga qo ‘ yilgan Koshi masalasi quyidagi , (3.1.19) (3.1. 2 0) Ko ‘ rinishda yozib olamiz. Bunda to ‘ plam koeffitsiyentli Dirak operatorining spektral berilganlari. Bu yerda 37 (3.1.19) - (3.1.20) Dubrovin tenglamalar sistemasini yechimga egaligini o ‘ rganish uchun quyidagi almashtirish foydalanamiz: . (3.1.21) U holda u quyidagi ko ‘ rinishga ega bo’ladi: (3.1.22) (3.1.23) Bunda (3.1.22) - ( 3.1.23) Koshi masalasini yechish uchun Banax fazosida yagona yechimga ega bo ‘ lishi uchun kiritamiz: Banax fazosida (3.1.22)-(3.1.23) sistemani bitta tenglama ko’rinishida yozamiz: , (3.1.24) Ma'lumki, (3.1.24) Koshi masalasi K Banax fazosida yagona yechimga ega bo'lishi uchun funksiya Lipshits shartini qanoatlantirishi yetarli, ya'ni . Ushbu shartlar bajarilganda va Dirak sistemasiga qo ‘ yilgan davriy va yarimdavriy masalaning xos qiymatlari asimptotikasidan ([45], 98-betga qarang) quyidagi baholarni olamiz: 38 , (3.1. 2 5) , (3.1. 2 6) (3.1. 2 7) Bu tengliklardan va munosabatni hisobga olgan holda, tengsizlikni hosil qilamiz. Endi bu tengsizlik va (3.1.25) asimptotikalardan foydalanib, va funksiyalarni baholaymiz. Lemma 1 . Quyidagi baholar o’rinli 1. (3.1.28) 2. . (3.1.29) bunda, n va m ga bog ‘ liq emas. Isbot . Ushbu ketma-ketlikni ko ‘ rib chiqamiz va uni yuqoridan baholaymiz: 39 Bu yerda o ‘ zgarmas son n ga bog ‘ liq emas. Endi ni quyidan baholaymiz. Buning uchun quyidagi indekslar to ‘ plamini kiritamiz . Bu to ‘ plamda cheklita sondagi elementlar mavjud. Quyidagi cheksiz ko ‘ paytmani qaraymiz . Ma’lumki . Endi ni quyidagi ko ‘ rinishda yozamiz Bu yerda Agar va bo'lsa, quyidagiga ega bo ‘ lamiz , Demak, Agar va , bo ‘ lsa, u holda . 40 Endi va holni ko ‘ rib chiqamiz. qiymatni olamiz va ikkita holni qaraymiz. 1-hol. Aytaylik bo’lsin. U holda . Bu erda , esa shartni qanoatlantiruvchi son. 2-hol. Aytaylik bo’lsin . U holda tengsizliklardan , baholarni hosil qilamiz, bu yerda . Yuqoridagi tengsizliklardan quyidagi baholash o ‘ rinli bo’ladi: Xuddi shunday, quyidagi baholashning o ‘ rinli bo ‘ lishini ko ‘ rsatish mumkin: 41 Ushbu baholarni ko’paytirib, ulardan kvadrat idiz olib, tengsizlikni hosil qilamiz. Bunda . Endi (3.1.28) dan ikkinchi tengsizligini isbotlaymiz. Agar , bo’lsa, u holda ya'ni Bundan kelib chiqadiki, bo ‘ lganda quyidagi baholash o ‘ rinli bo’ladi: Endi funksiyani baholaylik. Buning uchun biz tenglikdan foydalanamiz, bunda Quyidagi tenglikni differensiallab, 42 tenglikni hosil qilamiz. Ushbu tenglikdan tengsizlikni hisobga olgan holda ushbu baholashni hosil qilamiz: Xuddi shunday, tengsizlikdan foydalansak tengsizlik o ‘ rinli bo’ladi. Hosil qilingan tengsizliklarni baholaymiz Bundan baholash kelib chiqadi. baholashdan foydalansak, ushbu tengsizliklar o’rinli bo’ladi: ya’ni Xuddi shunday hisob - kitoblar orqali ( 3.1. 29) tengsizlikni ham isbotlash mumkin. 43 Lemma1, dan foydalanib, funksiyaning hosilasini baholaymiz: bunda Lemma2 . Agar va bo lsa, u holda ʻ vektor funksiya K Banax fazosida Lipshits shartini qanoatlantiradi, ya ni shunday ʼ o’zgarmas soni mavjudki, ixtiyoriy elementlar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi Isbot . Avvalo, ushbu tenglik yordamida munosabatni hosil qilamiz. Endi Lagranjning chekli orttirmalar haqidagi teoremasini kesmada funksiyaga qo'llaymiz. U holda tenglikni hosil qilamiz, ya'ni Bunda . Demak, bundan kelib chiqadiki 44 bu yerda Endi normani baholaymiz: bunda ya’ni vektor-funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi. Shuning uchun ( 3.1. 19) - ( 3.1. 20) Koshi masalasining yechimi barcha va lar uchun mavjud va yagonadir. Natija 2 . 3.1- teorema va 3.2-lemma ( 3.1. 1) - ( 3.1. 3) masalani yechish usulini beradi. Buning uchun dastlab koeffitsiyentlarga mos keluvchi Dirak operatorining spektral berilganlarni aniqlaymiz. operatorning spektral berilganlarni orqali belgilaymiz. Keyin ( 3.1. 18) tenglamalar sistemasi va ( 3.1. 7) boshlang ‘ ich shartlar ketma-ketligiga ni qo ‘ yamiz. Hosil bo’lgan Koshi masalasini 45 yechib, larni topamiz. Keyin ( 3.1. 16), ( 3.1. 17) izlar formulasidan funksiyalarni aniqlaymiz. Shundan so ‘ ng, bularni ( 3.1. 6) tenglamalar sistemasiga qo ‘ yamiz va ning ixtiyoriy qiymatida ( 3.1. 6) - ( 3.1. 7) Koshi masalasini yechib larni aniqlaymiz. Nihoyat ( 3.1. 16) va ( 3.1. 17) izlar formulalaridan va funksiyalarni topamiz, ya’ni ( 3.1. 1) - ( 3.1. 3) masalaning yechimini aniqlaymiz. 3.2-teorema . Agar funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantirsa, u holda (1) - (3) masalaning yagona va yechimi mavjud bo’lib, u ushbu izlar formulalari orqali topiladi va uzluksiz funksiyalardan iborat bo’ladi. Natija 3. [47], [50] ishlardagi natijalaridan foydalanib, quyidagi natijani olamiz. Agar boshlang ‘ ich shartdagi va funksiyalar - davrli haqiqiy analitik funksiyalar bo'lsa, u holda yechimlar ham o ‘ zgaruvchiga nisbatan haqiqiy analitik funksiya bo ‘ lishini xulosa qilamiz. Natija4. ( Borg teoremasining analogi [46], [48]) Agar soni va funksiyalarning davri (yarim davri) bo ‘ lsa, u holda tenglamaning barcha ildizlari ikki karrali bo'ladi. Izoh 2 . Yuqoridagi (3.1.25) - (3.1.27) formulalardagi qatorlarning tekis yaqinlashuvchilgidan (3.1.28) va (3.1.29) baholar kelib chiqadi. 2-§. Misollar yechish na’munalari. 46 Yuqoridagi algoritm yordamida yechiladigan misollar qaraymiz. 1-misol. Spektri va spektral parametrlari ushbu elementlar iborat Dirak operatorining bir zonali potensiani topamiz. Bunday holda Dubrovin tenglamalar sistemasi bitta tenglamadan iborat bo’ladi. Quyidagi , almashtirishdan so’ng , sodda differensial tenglamani hosil qilamiz. Bundan ni funksiyani topamiz. Quyidagi izlar formulalaridan biz izlagan Dirak operatorining koeffitsiyentlarni topib olamiz. 47 2-misol. Quyidagi nochiziqli Shredinger tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: (3.2.1) (3.2.2) Bu holda Dubrovin differensial tenglamalar sitemasinning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: , (3.2.3) (3.2.4) quyidagi (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) izlar formulalaridan foydalanib (3.2.3) tenglamani formulani quyidacha yozish mumkin: (3.2.8) tenglamada (3.2.9) almashtirishdan va (3.2.4) boshlang ‘ ich shartdan foydalanib, quyidagini olamiz: 48 Buni (3.2.6), (3.2.7) izlar formulasiga qo ‘ yib (3.2.1) - (3.2.2) Koshi masalasining yechimini olamiz , , (3.2.10) 3-misol. Quyidagi Koshi masalasining yechimini toping. (3.2.11) , . (3.2.2) Yechish: Qaralayotgan holda faqat bitta lakuna bo’lib, Dubrovin sistemasi quyidagi ko ‘ rinishda bo’ladi: (3.2.3) (3.2.3) Dubrovin sistemasini (3.1.4) va (3.1.5) lardan foydalansak , ushbu (3.2.7) 49 tenglama kelib chiqadi. Boshlang ‘ ich shartlar quyidagi ko ‘ rinishda bo’ladi: (3.2.8) Oldingi paragrafda keltirilgan algoritm bo ‘ yicha (3.2.7) va (3.2.8)da desak, u holda Koshi masalasi hosil bo’ladi. Buni yechish uchun ushbu almashtirishdan foydalanamiz. (3.2.9) Bu yerda monoton funksiya bo’lib, . Bunga ko’ra ya’ni spektral parametr o’z lakunasining chetiga kelganda ham ham qarama-qarshi ishoraga almashadi. Demak, 50 natijada ushbu O’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamaaga kelamiz. Uni quyidagicha yozib olamiz: (3.2.10) 1-hol. Agar bu yerda bo ‘ lsa, ya’ni lakuna nol nuqtaga nisbatan simmetrik bo’lsa, bu tenglama osongina yechiladi. Bu holda , (3.2.11) bundan C o’zgarmas (3.2.8) boshlang ‘ ich shartdan foydalanib topiladi: (3.2.12) endi (3.2.11) ifodani (3.2.7) tenglamaga qo ‘ yamiz: (3.2.13) bu tenglamani yechsh uchun xuddi oldingidek ushbu (3.2.14) almashtirishdan foydalanamiz. Bu yerda funksiya har bir argumenti bo ‘ yicha monoton funksiya. Bunga ko ‘ ra ya’ni spektral parametr o ‘ z lakunasining chetiga kelganda ham ham qarama-qarshi ishoraga almashadi. 51 Demak, natijada ushbu tenglik hosil bo’ladi. Unga ko ‘ ra (3.2.15) Oxirgi ifodani (3.2.14) almashtirishga qo ‘ yamiz: Bu yerda funksiya (3.2.8) boshlang ‘ ich shartlardan foydalanib topiladi: (3.2.16) Agar (3.2.15) ifodani (3.2.5) izlar formulasiga qo ‘ ysak, quyidagi funksiya kelib chiqadi: (3.2.17) Agar (3.2.14) ni (3.2.6) izlar formulasiga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishga keladi: (3.2.18) bu formulaga funksiyaning aniq ifodasini qo ‘ yib, quyidagi funksiyani topamiz: 52 (3.2.19) Demak, bu holda (3.2.1)- (3.2.2) Koshi masalasining yechimini (3.2.17) va (3.2.19) formulalar bo’yicha topilar ekan. 2-hol. bo’lsin. Bu holda (3.2.10) tenglamada almashtirish bajaramiz. Ushbu tenglikka ko ‘ ra, (3.2.10) tenglama quyidagi ko ‘ rinishga keladi: ya’ni (3.2.20) Bu yerda Agar (3.2.20) tenglamani integrallasak, ushbu (3.2.21) Tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikka asosan (3.2.22) Endi ushbu tenglikka asosan 53 (3.2.23) Agar (3.2.9) almashtirishdan foydalansak, quyidagi funksiyani topamiz: (3.2.24) Bu yerda o ‘ zgarmas (3.2.8) boshlang ‘ ich shartlardan foydalanib topiladi: (3.2.25) Endi (3.2.24) ifodani (3.2.7) tenglikka qo ‘ yamiz (3.2.26) Buni yechish uchun xuddi oldingidek ushbu (3.2.27) almashtirishdan foydalanamiz. Bu yerda funksiya har bir argumenti bo’yicha monoton funksiya. Bunga ko ‘ ra ya’ni 54 spektral parametr o ‘ z lakunasining chetiga kelganda ham, ham qarama-qarshi ishoraga almashadi. Demak, natijada ushbu tenglik hosil bo ‘ ladi. Unga ko ‘ ra bunda quyidagi belgilashdan foydalanamiz: va oxirgi integralni hisoblaymiz. Bu yerda va . Natijada quyidagini olamiz 55 (3.2.28) (3.2.27) va (3.2.28) tengliklardan ni (3.2.8) boshlang ‘ ich shartlardan foydalanib topamiz: (3.2.30) (3.2.30) ni (3.2.29) ga qo ‘ yamiz. (3.2.31) izlar formulalaridan quyidagi yechimlarni topamiz: (3.2.32) (3.2.33) 56 XULOSA 1971 yilda V.E. Zakharov va A.B. Shabat zamonaviy matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo ‘ lgan ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasining tez kamayuvchi funksiyalar sinfida yechimini Dirak operatoriga qo ‘ yilgan to ‘ g ‘ ri va teskari spektral masalalardan foydalanib topishga muvaffaq bo’ldilar. Natijada Dirak operatori uchun to ‘ g ‘ ri va teskari spektral masalalarga bo ‘ lgan qiziqish ortib bordi. Bu yo ‘ nalishdagi teskari spektral masalalar adabiyotlarda batafsil bayon qilingan. 1976 yilda A.R. Its , A.R. Its, V.P. Katlyarov va 1996 yilda A.O. Smirnov tomonidan nochiziqli Shrendinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalarini chekli zonali kvazi davriy funksiyalar sinfida integrallashga muaffaq bo ‘ lindi. Boshqach aytganda ular nochiziqli Shrendinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasi istalgan chekli zonali boshlang ‘ ich shartlarda yechimga ega bo’lishini 57 ko’rsatdilar va yechim uchun oshkor formulani topishga muaffaq bo’ldilar. Bu formula Rimanning teta funksiyasi orqali ifodalanishini ham ko’rsatib berdilar. Mazkur magistrlik dissertatsiya ishida nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasining yechimga egaligi to ‘ rt marta uzluksiz differensiallanuvchi davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida, (ya’ni ) ko’rsatilgan. Yuqoridagi Koshi masalasining , sinfda yechimga egaligi masalasiga javob topilmadi. Magistrlik dissertatsiya ishida olingan barcha natijalar yangi bo ‘ lib, shubhasiz u ilmiy harakterga ega. 58 ADABIYOTLAR RO ‘ YXATI 1. Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteveg-de Vries equation. Phys . Rev . Lett ., (1967). New York , 19, р. 1095-1098. 2. Фаддеев Л.Д. Свойства S - матрицы одномерного уравнения Шредингера. Тр. МИ АН СССР, 73(1964), 314-336. 3. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения, Наукова думка, Киев, 1977. 4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля, Наука, М.: 1984. 5. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure and Appl. Math, (1968) .v. 21. 467-490. 6. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 61:1, 118-134, (1971) . 7. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Japn., 32: 6, 44-47, (1972). 8. Hirota R. Exact envelop-soliton solutions of a nonlinear wave equation, J.Math Phys. 14(1973), p. 805-809. 9. Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений “ Sin - Gordon ” уравнения. Докл. АН СССР, 219: 6, (1974), с.1334-1337. 10. Ablowitz M.J., Kaup D.J., Newell A.C., Sugur H. Method for solving the sine – Gordon equation. Phys. Rev. Lett., 30: 25 (1973), p.1262-1264. 11. Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси Докл. АН СССР, 207: 1, (1973),с. 44-47. 12. Нижник Л.П., Фам Ло й Ву. Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной матрицей, УМЖ. т.26, No 4 (1974), c . 469-485. 13. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 59 14. Хасанов А.Б. Обратная задача теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка, Докл. АНСССР, 1984, т.277, No3, с.559-562. 15. Tao Y. Multisolitons, Breathers and Rogue waves for the Hirota equation generated by the Darboux Transformation, Phys. Rev. 2012., vol.85, Iss.2, - p.02660(1-7). 16. Shaikhova G.N. Kalykbay Y.S. Exact solutions of the Hirota equation using the sine-cosine method, Bullutin of the south Ural State University ser. Math., Mechan., Physics, 2021, vol.13, No3, pp. 47-52. 17. X асанов А.Б., Хоитметов У.А. Об интегрировании уравнения Кортевега-де Фриза в классе быстроубывающих комплекснозначных функций, Изв. вузов. Матем., 2018, No3, с.79-90. 18. X асанов А.Б., Хоитметов У.А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций, Изв. вузов. Матем., 2021, No7, с.55-66. 19. Khasanov A.B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions, Известия Иркутского государственного университета. Сер. «Математика». 2021, т.38, с.19-35. 20. X асанов А.Б., Уразбоев Г. У. Об интегрировании уравнения sine- Гардон с самосогласованным источником интегрального типа в случае кратных собственных значений, Изв. вузов. Матем., 2009, No3, с.55-66. 21. Khasanov A.B., Urazboyev G.U., On the sine-Gardon equation with a self- consistent source of the integral type, Журн . матем . физ ., анал ., геом . 2006, 2:3, с.287-298. 22. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Оператор ы Шредингера с конечнозонным спектром и N – солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза. ТМФ, 23: 1 (1975), 51-68. 60 23. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. ЖЭТФ, 67:6 (1974), 2131-2144. 24. Итс А.Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. Вест. Ленинг р . ун-та. Сер. Матем. Мех а н. Астрон., 7:2 (1976), 39-46. 25. Итс А.Р., Котляров В.П. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шредингера. Докл. АН УССР., Сер. А., 1976, №11, 965-968. 26. Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. Матем. сб., 185: 8 (1994), 103-114. 27. Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Решения типа «волнубийц» уравнений иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сигура: единый подход, ТМФ, 2016, т.186, No2, с.191-220. 28. Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Двухфазные периодические решения уравнений из АКНС иерархии, Зап.научн.сем. ПОМИ, 2018, т.473, с.205-227. 29. Matveev V.B., Smirnov A.O. Multiphase salutions of nonlocal symmetric reductions of equations of the AKNS hierarchy: general analysis and simplest examples, Math. Phys. 204(2): 1154-1165 (2020). 30. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н.(мл) Прикорпатский А.К., Самойленко В.Г., Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты, Киев: Науково думка, 1987. 31. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи, М:, Наука, 1980. 32. Замонов М.З., Хасанов А.Б. Разрешимость обратной задачи для системы Дирака на оси, Вестник МГУ. Сер.матем. и мех. 1985, No6, с.3-7. 61 33. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в класса кнечнозонных потенциалов, Функ.анализ и его прил. 1975, т.9., вып. 3, с.41-51. 34. Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory, Phil. Trans. R Soc. A.(2018), 366, p.837-875. 35. Grenivich P.G., Taimanov I.A., “Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type”, Geometry, Topology, and Mathematical Physics. S.P.Novikov,s seminar: 2006-2007, American Mathematical Society Translations. Ser.2, 224, eds.V.M.Buchstaber, I.M.Krichever, AMS, Providence, RI, 2008, 125-138. 36. Хасанов А.Б., Хасанов М.М. «Интегрирование нелинейного уравнения Шредингера с дополнительным членом в классе периодических функций», ТМФ, т.199,№1(2019), 60-68. 37. Хасанов А.Б., Матякубов М.М. «Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным членом», ТМФ, т.203, №2(2020), 192-204. 38. Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г., Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций, Записки науч. семин. ПОМИ, т.506, 2021, с.258-279. 39. Хасанов А.Б., Алланазарова Т.Ж. О модифицированном уравнении Кортевега-де Фриза с нагруженным членом, Укр.Мат.Журн. 2021, т.73, No11, с.1541-1563. 40. Yakhshimuratov A.B. “The nonlinear Schr dinger equation with a self-ӧ consistent source in the class of periodic functions”, Math.Phys.Anal.Geom., 14:2(2011), 153-169. 41. Ince E.L. Ordinary differential equations. New York: Dover. 1956 42. Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака. УМН, 61: 4 (370), (2006), 77-182. 62 43. А.В. Домрин., О вещественно – аналитических решениях нелинейного уравнения Шрёдингера , Тр. ММО, 2014, т.75, вып.2, 205-218. 44. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма – Лиувилля и Дирака. Наука, М.:, 1988. 45. Мисюра Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической кравых задач, порождаемых операцией Дирака I . Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 30, ред. В.А. Марченко, Вища школа. Харьков, 1978, 90-101; Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцей Дирака II , 31, 1979, 102-109; Конечнозонные оператор Дирака, 33, 1980, 107-111; Аппроксимация периодического потенциала оператора Дирака конечнозонными, 36, 1981, 55-65. 46. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака. Узб. матем. журн., 2000, № 3-4, 40-46. 47. Хасанов А.Б., Ибрагимов А.М. Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом.Узб. матем. журн. 2001, № 3-4, c. 48-55. 48. Currie S., Roth T., Watson B. Borg‘s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials. Proc. Edinb. Math. Soc., 60:3 (2017), 615-633. 49. C танкеевич И.В. Ободной задаче спектральнога анализа для уравнения Хилла. ДАН СССР, 192 (1), 34-37 (1970). 50. Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials. Comm. Pure. Appl. Math., - New York, 30, 321-337 (1977). 51. Khasanov A.B., Yakhshimuratov A.B. Inverse problem on the half-line for the Sturm-Liouville operator with periodic potential. Differential equations, 2015, v.51, No. 1, pp.1-10. 52. Borg G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe. Acta. Math. – Berlin, 78, 1-96 (1946). 63 53. Ахиезр Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов, Докл. АНСССР . 1961, т .144, No2, с .262-266. 54. Flashka H. On the inverse problem for Hill's operator, Arch. Rational Mech . Anal ., 1975, v .59, No 4, p .293-309. 55. Яхшимуратов А. Б. Интегрирование нелинейной системы Шредингера высшего порядка с самосогласованным источником в классе периодических функции, ТМФ, т.202, No 2 (2020), c . 157-169.1. 56. Battig D., Grebert B., Guillot J.C. and kappeler T. Folation of phase spase for the cubic non-linear Schrodinger eqation, Composito mathematica , 1993, 85(2), pp. 163-199. 57. Grebert B. and Gulliot J. C. Kappeler T. Gap of one estimates for periodic AKNS systems, Forum Math., 1993, 5(5), pp. 459-504. 58. Korotayev E. Inverse problem and estimates for periodic Zakharov-Shabat systems, J.Reine Angew. Math., 2005, 583(2005), pp. 87-115. 59. Djakov P. and Mityagin B. Instabiliy zones of a periodic 1 D Dirac operator and smoothness of its potential, Communications in mathematical physics, 2005, 259(1), pp. 139-183. 60. Korotayev E. and Mokeev D. Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half-line, Applicable Analysis, 2020, 101(1), pp.1-29. 61. Ибрагимов А.М. Некоторые вапросы теория обратных спектральных задач для оператора Дирака с периодическими потенциалом, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 01.01.02- дифференциальные уравнения , Самарканд -2001. 62. McKean H. and Trubowitz E. Hill’s operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branchpoints, Commun. Pure Appl. Math., 197, 29, 143-226. 63. McKean H. and Trubowitz E. Hill’s surfaces and their theta functions, Bull. Amer. Math. Soc., 1978, 84, 1052-1085. 64 64. Schmidt M.U. Integrable systems and Riemann surfaces of infinite genus, Mem. AMS, vol 122, No. 581, Amer.Math. Soc. Providence, T.I (1996); arxiv: solv-int/9412006v1(1994). 65. Хасанов А.Б., Муминов У.Б., Данияров С.М. Задача Коши для дефокусирующего нелинейного уравнения Шредингера с нагруженными членами, Межд. кон. Уфимиская осенняя мат. школа 2021, Уфа, 2021, c . 106-110. 65

Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash M UNDARIJA Kirish………………………………………………………………4 I BOB DAVRIY KOEFFITSIYENTLI DIRAK OPERATORI UCHUN ZARURIY MA’LUMOTLAR 1-§. Dirak differensial tenglamalar sistemasi. Lyapunov funksiyasi……11 2-§. Siljigan argumentli Dirak differensial tenglamalar sistemasi……...16 3-§. Floke yechimlari va ularning xossalari…………………………….17 4-§. Davriy koeffitsiyentli Dirak sistemasi uchun teskari masala. Dubrovin tenglamalar sistemasi………………………………………………20 II BOB NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASIGA QO’YILGAN KOSHI MASALASINI DAVRIY FUNKSIYALAR SINFIDA YECHISH ALGORITIMI 1-§ Masalaning qo’yilishi………………………………………………25 2-§. Spektral berilganlarning evolyutsiyasi……………………………..26 3-§. Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimga egaligi..30 III BOB . YUKLANGAN HADLI NOCHIZIQLI SHREDINGER TENGLAMASINI DAVRIY СНEKSIZ ZONALI FUNKSIYALAR SINFIDA INTEGRALLASH 1-§. Yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamasini cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida integrallash……………………………..36 2-§. Misollar yechish na'munalari……………………………………...49 Xulosa…………………………….………………………………..60 1

Adabiyotlar ro‘yxati…………..……………………………………61 KIRISH Masalaning qo’yilishi: Mazkur magistrlik dissertatsiya ishida quyidagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo’yilgan , Koshi masalasi yechimga egaligi o ‘ rganilgan. Shu bilan bir qatorda yuklangan hadli ushbu ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasining yechimga egaligi o ‘ rganiladi va , yechimni topish algoritmi taklif etiladi. Mavzuning dolzarbligi: Quyidagi Dirak operatori reletavistik kvant fizikasida va zamonaviy matematik fizikaning ko ‘ plab sohalarida qo ‘ llanilib keladi. Berilgan , koeffitsiyentlar bo’yicha Dirak operatori ning spektral xarakteristikalarini topish masalasiga spektral analizning to ‘ g ‘ ri masalasi deb ataladi. Spektral xarakteristikalar bo ‘ yicha Dirak 2

operatori ning va koeffitsiyentlarini tiklash masalasiga spektral analizning teskari masalasi deb ataladi. Turli xil chegaraviy shartlar holidagi spektrlar, spektral funksiya, sochilish nazariyasining berilganlari va shunga o ‘ xshash xarakteristikalar spektral xarakteristikalar bo’ladi. 1971 yilda V.E. Zakharov va A.B. Shabat zamonaviy matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri ko ‘ rinishdagi nochiziqli Shredinger tenglamasiga qo ‘ yilgan Koshi masalasining yechimini Dirak operatoriga qo ‘ yilgan to ‘ g ‘ ri va teskari spektral masalalardan foydalanib topishga muvaffaq bo’ldilar. Bu maqolada qo ‘ llanilgan usulning asosiy g ‘ oyasidan foydalanib 1972 yilda Vadati matematik fizikaning navbatdagi modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamasini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida integrallashga muaffaq bo’ldi. 1973 yilda Xirota nochiziqli Shredinger tenglamasi va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamasining kombinatsiyasidan tuzilgan ushbu ko’rinishdagi Xirota tenglamasini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida integrallashga muaffaq bo’ldi. Zakharov, Takhtadjyan, Faddeyev hamda Ablowitz, Kaup, Newel va Sigur , Dirak operatoriga qo ‘ yilgan teskari spektral masalalar usulidan foydalanib, matematik fizikaning yana bir tenglamasini, jumladan 3

Sinus-Gordon tenglamasining yechimini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muaffaq bo’ldi. Ushbu ko ‘ rinishdagi o ‘ z-o ‘ ziga qo ‘ shma bo ‘ lmagan Dirak operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi yordamida nochiziqli Shredinger tenglamasi (NSh), modifissirlangan Korteveg-de Friz (mKdF), Xirota va sinus-Gordon tenglamalari integrallanadi. Nochiziqli Shredinger (NSh), modifissirlangan Korteveg-de Friz (mKdF), Xirota va sinus-Gordon tenglamariga qo’yilgan Koshi masalasi yechimini davriy funksiyalar sinfida topish masalasi Dirak operatorining uzluksiz spektrida joylashgan chekli lakunalar soniga bog’liq. Dirak operatorining uzluksiz spektrida joylashgan lakunalar soni cheklita bo ‘ lgan holda A.R. Its, V.P. Katlyarov va A.O. Smirnov teskari spektral masala usulidan foydalanib nochiziqli Shredinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalarini chekli zonali funksiyalar sinfida integrallanuvchi ekanligini ko ‘ rsatib berdilar. Bundan nochiziqli Shredinger va modifissirlangan Korteveg-de Friz tenglamalarining yechimi uchun oshkor formulani topdilar. Bu formulani Rimanning teta funksiyasi orqali ifodalanishini ham ko ‘ rsatib berdilar. Bunday formula Korteveg-de Friz tenglamasini chekli zonali yechimi uchun ilk bor Its-Matveyev va Dubrovin-Novikovlar tomonidan olingan edi. Shunday qilib Its, Matveyev, Dubrovin, Novikov, Katlyarov, Smirnov va boshqa olimlar tomonidan nochiziqli evolyutsion (KdF, NSh, mKdF) tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasi istalgan chekli zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi isbotlandi. Boshqacha aytganda bu Koshi masalasining 4

yechimi chekli zonali funksiyalar sinfida mavjud, yagona va uning uchun oshkor formula o’rinli ekanligi ko’rsatilgan. Agar funksiyani olib, ushbu Xill operatorining spektri o ‘ rganilganda uning spektridagi barcha chekli lakunalarning ochiq bo’lishi 1922 yilda Ayns tomonidan isbotlangan. Shuning uchun davriy cheksiz zonali funksiyalarga misol bo’la oladi. Bunday turdagi misollar Dirak operatori holida Djakov va Mityaginlar tomonidan batafsil o’rganilgan. Nochiziqli evolyutsion tenglamalarga qo ‘ yilgan Koshi masalasi istalgan davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi o’rinlimi degan savolning tug’ilishi tabiiy holdir. Su maqsadda magistrlik dissertatsiyasida nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalariga qo ‘ yilgan Koshi masalasining davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida yechimga egaligi masalasi o ‘ rganildi hamda yechimni qurish algoritmi bayon etildi. Tadqiqotning ob y ekti va predmeti. Davriy koeffitsiyentli Dirak differnsial tenglamalar sistemasi. Davriy, yarimdavriy va Dirixle chegaraviy masalalari. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Nochiziqli Shredinger va yuklangan hadli nochiziqli Shredinger tenglamalarini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida integrallash. Tadqiqotning yangiligi. Quyidagi 1) 2) 5

O'xshashlar

ICHIDA SIQILMAYDIGAN QOVUSHOQ SUYUQLIGI BOR CHEKSIZ UZUNLIKDAGI NOCHIZIQLI QOVUSHOQ-ELASTIK SILINDRIK QOBIQDA NOCHIZIQLI BO’YLAMA DEFORMATSIYA TO’LQINLARI TARQALISHINING SONLI TAHLILLARI
FUNKSIONAL TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI O‘RGANISH METODIKASI
GRUNTLAR MEXANIKASINING NOCHIZIQLI MASALASI
Uzluksiz signallarni Fure qatoriga yoyish. Fure to‘g‘ri va teskari almashtirishlari.
IKKI O’LCHAMLI UCHBURCHAKLI PANJARALARIDA DISKRIT SHREDINGER OPERATORI SREKTRI