CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI
![CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI
QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK
TEBRANISHLARI
MUNDARIJA
KIRISH ………………………………………………… ……………… … . .
3
I-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI
ELASTIK PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIM-
METRIK TEBRANISHLARI HOZIRGI ZAMON HOLATI....
8
1.1- §. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik
nazariyalari va usullari rivoji …………...............................
…….
8
1.2- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va
uni yechish usullari …..……………………………………..… . 19
1.3 - § . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi 24
II-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI
ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIM-
METRIK TEBRANISHLARI ………………..………………..
32
2.1- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari tenglamalari ..…………………….. 38
2.2 - §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ……………… 57
2.3- §. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan-
deformatsiyalangan holatini aniqlash ………………….………
57
III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI
PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
AMALIY MASALALARI..........................................................
63
3.1- §
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy va
tutashlik shartlari........................................................................ 63
3.2- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik garmonik
tebranishlari .......................................... 63
3.3 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlarining chastotaviy
tahlili....................... 63
3.4 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik 63
1](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_1.png)
![tebranishlari...........................................................
ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63
2](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_2.png)
![KIRISH
Mavzuning dolzarbligi. Qurilish va mashinasozlikning turli sohalarida
qo‘llaniladigan muhandislik qurilmalarining ko‘p qatlamli elementlari
dinamikasini o‘rganishga, jumladan, ularning dinamik deformatsiyasini
hisoblashning yangi eksperimental modellarini yaratishga, yuqori samarali
matematik modellar va zamonaviy raqamli modellarni qo‘llashga katta e’tibor
qaratilgan. So‘nggi yillarda jahonning bir qator rivojlangan mamlakatlarida
muhandislik inshootlarining og‘irligini kamaytirish va mustahkamligini oshirish
uchun ko‘p qatlamli konstruksiya elementlaridan, ularning dinamik xususiyatlarini
hisoblashning samarali usullaridan foydalanilmoqda. Shu bois, turli qurilmalarning
massasini zamon talablari asosida kamaytirish, ularning chidamliligi va texnologik
va konstruksiyaviy ustunligini hamda iqtisodiy samaradorligini ta’minlash
muhandis va tadqiqotchilar uchun muhim ahamiyatga ega. Ko'pgina xorijiy
mamlakatlarda konstruksiya elementlarining kuchlanish-deformatsiya holatini
o'rganish, konstruksiya mustahkamligi muammolarini tizimlashtirish, aviatsiya,
kemasozlik, mashinasozlik va qurilishda turli xil tabiatning dinamik ta'sirini
o'rganishga alohida e'tibor beriladi.
Qatlamli konstruktsiyalar elementlarining statsionar bo'lmagan
tebranishlarini, shu jumladan turli xil tashqi statsionar bo'lmagan dinamik
yuklarning ta'siri ostida ikki qatlamli plastinkalarning dinamikasini o'rganish
uchun butun dunyoda ko'plab tadqiqotlar olib borilmoqda. Texnik qurilmalarning
ishonchliligini ta’minlashning yangi matematik modellari va hisoblash usullarini
ishlab chiqish va yaratishga, xususan, dinamik yuklar ostida ikki qatlamtli
plastinka va qobiq elementlarini hisoblashga alohida e’tibor qaratilmoqda. Har xil
tebranish jarayonlarining matematik modellarini yaratish, aerokosmik, yer, yer osti
va boshqa muhandislik inshootlarining KDH elementlarini yuqori aniqlikda
aniqlash, shuningdek, deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi sohasida
raqamli tadqiqotlar zarur.
Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik
plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga
3](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_3.png)
![oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks
ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir.
Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i.
Dissertatsiyada turli vaqtga bog‘liq o‘zgaruvchan yuklar ta’sirida elastik
ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarini o‘rganish tadqiqot
ob’ekti va predmeti hisoblanadi. Tebranishlar bo’ylama xarakterga ega
bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama
deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan
holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish
tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy
amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun
qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq
yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya
to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilishda siqilmaydigan
yopishqoq suyuqlikni o'z ichiga olgan cheksiz kengaytirilgan chiziqli
bo'lmagan viskoelastik silindrsimon qobiqda chiziqli bo'ylama
deformatsiya to'lqinlarining tarqalishi bo'yicha ushbu tadqiqotlarning
tebranish naqshlari dissertatsiya mavzusidir. Bitiruv malakaviy ishning
mavzusi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning
ansimmetrik tebranishlariga topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini
qo'llashdir.
Ishning maqsad va vazifalari Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy
maqsadi tashqi dinamik yuklanishlar ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli
elastik plastinkaning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning
matematik modelini ishlab chiqishdan iborat; plastinka kesimining ixtiyoriy
nuqtalarining kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish;
4](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_4.png)
![ishlab chiqilgan usuldan impulsli va boshqa yuklanishlar ta'siri ostidagi ikki
qatlamli plastinlarni hisoblash uchun ishlatish.
Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar
belgilangan:
• dinamik yuk lanish lar ta’siri ostidagi ikki qa tlamli elastik plast inka ning
statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini
ishlab chiqish;
• ikki qatlamli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy
nuqtalarining kuchlangan-deformatsiya langan holatini aniqlash algoritmini ishlab
chiqish;
• dinamik yuklar ta'siridagi ikki qatlamli plastinkaning tebranishlariga doir
yangi amaliy masalalar qo'yish va tegishli hisoblash metodini ishlab chiqish. Ikki
qavatli plastinkaning garmonik tebranishlari va turli chegara shartida dinamik
yuklarning ta'siri ostida majburiy tebranishlarning o'ziga xos muammolarini hal
qilish usullarini ishlab chiqish;
• chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va
fizik-mexanik harakteristikalarining kuchlanish tenzori va ko chish vektoriʼ
komponentalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi vaqt va koordinatadan
ʼ
bog lanish qonuniyatlariga ta sirini tadqiq qilish;
ʼ ʼ
Tadqiqot ning ilmiy y angiligi. quyidagilardan iborat:
• elastik ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo'lmagan ko'ndalang
tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini hisobga olgan holda
hisoblashning matematik modeli kletirib chiqarilgan;
• chetlari bikr mahkamlangan ikki qavatli elastik plastinka ko‘ndalang
kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy
koordinatalar va vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi
yaratilgan;
• dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinka tebranishlarining yangi
amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning
5](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_5.png)
![garmonik tebranishlari va majburiy tebranishlarining alohida masalalarini yechish
usullari olingan;
• elastik plastinka qatlamlarining geometrik va fizik-mexanik
xarakteristikalarining kuchlanish tenzori komponentlari ko’ndalang kesimning
istalgan nuqtasida ko’chish vektorining koordinata va vaqtga bog‘liqlik
qonunlariga ta’siri bir qator amaliy ishlar misolida o‘rganildi;
Tadqiqot ning asosiy masalalari v a v azifalari. Maskur magistrlik
dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy vazifalari va masalalari tashqi
dinamik yuklanishlarning ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli
to‘rtburchak plastinkani impulsli yuklanish ta’sirida deformatsiyalanishi
matematik modelini ishlab chiqishdan iborat. To'rtburchakli ikki
qatlamli plastinka ko'ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining
kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish,
ikki qatlamli plastinkaning dinamik yuklanishlar ta'sirida tebranishlari
haqida yangi amaliy masalalarni qo'yish va mos keladigan hisoblash
usuli ishlab chiqish. Ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari
va turli chegaraviy shartlarda dinamik yuklanishlar ta'sirida majburiy
tebranishlarning alohida muammolarini hal qilish usullarini ishlab
chiqish, ikki qatlamli to'rtburchakli plastinkani qatlamlarining
geometrik va fizik-mexanik xarakteristikalari kuchlanish tenzorining
tarkibiy qismlarining koordinata va vaqtga bog'liqligi qonunlariga va
kesimning istalgan nuqtasida siljish vektoriga ta'sirini o'rganish.
Tadqiqot mav zusi boʼy icha adabiy ot lar sharhi. Ko’pgina
hollarda klassik nazariya asosida qatlamli plastinkalar dinamik hisobi
ishlari bajariladi. Bunday holatlarda klassik nazariya qatlamli
plastinkaning qatlamlaridagi deformatsiya tenzori va kuchlanish
6](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_6.png)
![tenzori komponentalarini barchasini toʻliq hisoblay olish imkonini
bermaydi. Shu sababli bugungi kunda bu nazariyani rivojlantirish
ustida juda koʻp olimlar tadqiqot ishlarini olib bormoqda. Qatlamli
konstruksiyalarning klassik nazariyaga qo’shgan rivoji
S.A.Ambarsumyan, S.G.Lexniskiy, E.Reysner, I.G.Filippov,
M.V.Fomenko, V.P.Shevchenko, X.Altenbax, E.I.Grigolyuk,
R.I.Xalmuradov, X.X.Xudoynazarov, A.B.Axmedov, R.Abdukarimov va
boshqa taniqli tadqiqotchilar tarafidan amalga oshirilmoqda. Qatlamli
plastinka va qatlamli qobiqlar dinamik hisobi aniqlashtirilgan
nazariyalarini yaratish boʻyicha tadqiqotlar Timoshenko va Reyssner
tipidagi nazariya hamda aniq yechimlaridan foydalanishga asoslangan
elastiklik nazariyasi uch o lchovli masalalari kabiʻ yoʻnalishga bolinadi.
Ikkinchi usulning koʻp qatlamli elastik va qovushoq-elastik plastinkalar
tebranishlari uchun yaroqli turli variantlari G.I.Petrashen va
I.G.Filippovlar, hamda ularning bir qator oʻquvchilari tomonidan taklif
etilgan. Qatlamli plastinkalar uchun chegaraviy shartlar plastinka oʻrta
sirti nuqtalari koʻchishlarining bosh qismlariga nisbatan
shakllantirilgan. Aytish mumkinki bayon qilingan fikrlardan kelib
chiqqan holda bugungi kunda elastik-qovushoqlik xossalari hisobga
olingan va turli tashqi dinamik yuklanishlar taʼsiri ostidagi qatlamli
elementlarning, xususan, uch qatlamli, ikki qatlamli qovushoq-elastik
plastinkalarning nostatsionar tebranishlari nazariyasi, tebranish va
ustuvorlik masalalarini yechish usullari va algoritmlarini ishlab
chiqishdagi muammolar yetarli darajada oʻrganilmagan.
7](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_7.png)
![Tadqiqot da qoʼllanilgan met odik aning t av sifi . Asosiy tadqiqot
usuli sifatida G.I.Petrashen – I.G.Filippovning tadqiqot jarayonida
aksioma va gipotezalarni foydalanmasdan tenglamalarni chiqarish
metodi, Fur’e va Laplasning integral almashtirish metodlari,
shuningdek tadqiqotchilar tomonidan qayta-qayta sinovdan o'tgan
boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan.
Tadqiqot nat ijalarining nazariy v a amaliy ahamiy at i. Tadqiqot
natijalarining ilmiy ahamiyati chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
plastinkaning ansimmetrik tebranishlari tenglamalarni tuzish usulini ishlab
chiqish va takomillashtirish; bu impulsiv yuklanishlar taʼsirida ikki
qatlamli elastik plastinkalarning antisimmetrik tebranishlariga oid
yangi amaliy masalalarni yechish va ishlab chiqilgan usullarni chetlari
bikr mahkamlangan qatlamli plastinka va xususan ikki va bir jinsli bir
qatlamli plastinkalar uchun umumlashtirish imkoniyati bilan
izohlanadi.
Tadqiqot natijalarining amaliy ahamiyati chetlari bikr mahkamlangan
ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlari KDH parametrlarini
aniqlash amaliy masalalarini yechish uchun analitik-sonli algoritmlar
yaratish; olingan natijalar umumiy harakterga yega boʻlib ularni
matematik fizikaning shu turdagi masalalari uchun umumlashtirish;
xususiy hollarga, masalan bir qatlamli va bir jinsli plastinkalarning turli
xususiyatlarini etiborga olgan holda qoʻllash mumkinligi bilan
izohlanadi.
8](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_8.png)
![Dissert at siy a ishining t uzilishi. Magistrlik dissertatsiya ishi kirish,
uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat
bo’lib 74 kompyuter sahifasida bayon qilingan.
9](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_9.png)
![I- BOB.
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK
PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
HOZIRGI ZAMON HOLATI
1.1 -§. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari
va usullari rivoji
Qatlamli plastinkalar 1990-1980 yillardan boshlab qurilish va
muhandislikning turli sohalarida, shuningdek aviatsiyada keng qo llanila boshladiʼ
[1]. Umuman olgnda plastinka qatlamlarining qalinligi boshqacha ham bo lishi,
ʼ
yoki bir xil bo’lishi ham mumkin. Agar plastinka qatlamlarining qalinligi bir xil
bo lsa, unda bunday ikki qatlamli plastinka simmetrik strukturali plastinka aks
ʼ
holda nosimmetrik strukturali plastinka [2] deyiladi.
Qatlamli plastinkalarni hisoblashda dastlab birinchi nazariyani S.G.Lexniskiy
[3] tomonidan yaratilgan va bu nazariya g arb davlatlarida “Zig-Zag” nazariyasi
ʼ
deb nom olgan [4]. Qatlamli plastinkalar hisobi uchun ya ngi nazariya
ʼ
S.A.Ambarsumyan [5] tomonidan taklif etilgan. S.A.Ambarsumyan nazariyasining
mohiyati umuman olganda quyidagidan iborat:
1) har bir qatlamni avvalo anizotrop bir qatlamli plastinka sifatida qarash;
2) urinma kuchlanishlarning qatlamlar aro uzluksizligini ta minlagan holda
ʼ
“Zig-Zag” effektini va plastinka ko ndalang kesimida qatlamli elementning
ʼ
(plastinka, qobiq) har bir qatlami uchun bir qatlamli plastinkaning asosiy
tenglamalari va munosabatlaridan foydalanish.
S.A.Ambartsumyan bu ikki farazdan tashqari quyidagi gipotezalarni kiritdi:
a) deformatsiyadan keyin ham o rta sirtga chiziqli elementlar o z uzunliklarini
ʼ ʼ
o zgartirmaydilar;
ʼ
b) plastinka tekisliklarida ta sir qiluvchi kuchlanishlarga nisbatan ko ndalang
ʼ ʼ
kesimlarda ta sir qiluvchi kuchlanishlar, juda kichik;
ʼ
v) ko ndalang kesimlarda ta sir qiluvchi va urinma kuchlanishlar (z o qi
ʼ ʼ ʼ
bo ylab) koordinatadan parabolik qonun bo yicha o zgaradi.
ʼ ʼ ʼ
10](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_10.png)
![Z.G. Renning [6] ishini “Zig-Zag” nazariyasining rivoji ma nosida ko rsatishʼ ʼ
mumkin. Qatlamli plastinkalar hisobining yana bir yangi nazariyasi m askur ishda
taklif et il gan. Ushbu ishning S.G. Lexnitskiy, S.A.Ambarsumyan hamda
E.Reissner nazariyalaridan farqi shundaki, u plastinka ko ndalang kesimidagi
ʼ
qalinlik bo yicha koordinata bo ylab yo nalgan
ʼ ʼ ʼ τxzk va τyzk urinma kuchlanishlarni
to rtta
ʼ ξx(x,y),ξy(x,y),ηx(x,y) va ηy(x,y) funksiyalarning chiziqli
approksimatsiyasi sifatida tasvirlaydi. Natijada har bir qatlam uchun izlanuvchi
funksiyalar uchinchi darajali z koordinataning uzluksiz ko chishlari bo lgan
ʼ ʼ
tenglamalar keltirib chiqarilgan. Ikki qatlamli, uch qatlamli va ko p qatlamli
ʼ
plastinka ko rinishidagi konstruktiv elementlarni hisoblash masalalari
ʼ
deformatsiyalanuchan qattiq jismlar mexanikasining eng qiyin muammolaridan
biridir [7,8].
Hali “Mustahkamlik kriteriyasi”ni tanlash muammosi to liq hal qilinmagan,
ʼ
chunki ko p qatlamli qurilmalarning ishdan chiqishi murakkab jarayondir. Bu
ʼ
jarayon o z navbatida global va mahalliy masshtabdagi ko plab yemirilish
ʼ ʼ
mexanizmlarini o z ichiga oladi”.
ʼ
Ko plab nashr etilgan ilmiy ishlar ikki, uch va ko p qatlamli plastinkalarni
ʼ ʼ
hisoblash nazariyasini ishlab chiqishga bag ishlangan [9,10]. Biroq, ikki qatlamli,
ʼ
uch qatlamli va ko p qatlamli plastinkalarning tashqi dinamik ta sirlarga duchor
ʼ ʼ
bo lgandagi nostatsionar tebranishlariga bag ishlangan ishlar soni nisbatan kamdir.
ʼ ʼ
Professor I.G.Filippov [11], [12] va uning shogirdlari professor X.Xudoynazarov
[13], [14], [15,16], O.A.Egorichev [17] larning ilmiy tadqiqot ishlarin bunday
ishlarga misol qilib ko rsatish mumkin. Ushbu ishlar almashtirishlardagi umumiy
ʼ
yechimlar usuliga asoslangan bo lib, ular plastinkalarning sirtlarida berilgan
ʼ
shartlarni qanoatlantirish uchun ishlatiladi [18]. Yuqoridagi bunday ishlarga ushbu
dissertatsiya ishi bevosita bog liqdir. Shuning uchun biz quyida ushbu ishlarning
ʼ
ayrimlari haqida batafsilroq to xtalamiz.
ʼ
Yuqoridagi ilmiy ishlar turkumining boshlanishi I.G.Filippov rahbarligida
amalga oshirilgan [19] ish hisoblanadi [20]. Bu ishlar qovushoq-elastik izotrop
11](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_11.png)
![plastinkalarning tebranishlari uchun “chiziqli yaqinlashishda” umumiy aniqlovchi
tenglamalarni tuzishga bag ishlangan. Ko ndalang va bo ylama tebranishlarningʼ ʼ ʼ
aniq tenglamalari olingan, ulardan xususiy hol sifatida, elastik izotrop plastinkalar
tebranishlarining klassik va aniqlashtirilgan tenglamalari olinadi. Plastinka har bir
nuqtasidagi kuchlanish va ko’chishlar uchun ifodalar berilgan, ular plastinkaning
kuchlangan-deformatsiyalangan holatini ixtiyoriy aniqlikda aniqlaydi va chekli
o lchamdagi plastinkalar uchun xususiy chegaraviy masalalarni to g ri
ʼ ʼ ʼ
shakllantiradi.
Tomonlari sirpanib tegib turgan ikki qatlamli plastinka va qatlamlar ideal
kontaktida elastik tebranish tenglamalari bir jinsli yechimlari [21] tadqiqot ishida
keltirib chiqarilgan va tahlil qilingan. Qatlamli plastinkalar qatlamlarining kontakt
sirtida sirt to lqinining mavjudligi ko rsatilgan.
ʼ ʼ
M.V.Fomenko va Y.V.Altuxovlarning [22,23] ishlarida uchlarida
kuchlanishlar bo lgan sendvich plastinkalar elastik tebranishlari masalalari uch
ʼ
o lchovli holda ko rib chiqilgan. Ko chishlarga nisbatan yozilgan harakat
ʼ ʼ ʼ
tenglamalarining bir jinsli yechimlari chiqarilgan.
Turli xil materiallarning geometrik chiziqsizligi va bir jinsli emasligi hisobga
olingan holda [24,25] ishlarda ortotrop qovushoq-elastik silindrik qobiqning va
plastinkaning tebranish jarayoni o rganilgan. O zgaruvchan qalinlikdagi qovushoq-
ʼ ʼ
elastik ortotrop va izotrop yupqa devorli strukturalarning tez va davriy
o zgaruvchan yuklanishlar ostidagi dinamik ustivorligi tekshirilgan. Inshootlar va
ʼ
materiallarning geometrik va fizik-mexanik parametrlarining o zgarishi amplituda-
ʼ
vaqt xarakteristikalariga va kuchlangan-deformatsiyalangan holatiga ta siri
ʼ
baholangan va shu bilan birga bir qator yangi mexanik effektlar aniqlangan.
Qirralari erkin bo lgan va barcha to rtta burchagi sharnirli mahkamlangan,
ʼ ʼ
uch qatlamli plastinkaning asosiy tebranish chastotasi aniqlash masalasi [26,27]
ishlarda qaralgan. Bitta markaziy nuqta si da mahkamlangan uch qatlamli
plastinkaning tebranish chastotasi ni aniqla sh masalasi ham ushbu ishlarda
qaral gan. Bu tipdagi masalalar hali ham analitik yechimga ega emasligi qayd
etilgan. Uch qatlamli plastinka modelidan foydalangan holda Reissner tipidagi
12](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_12.png)
![nazariyaga asoslangan qatlamli kompozitlar masalalari ning analitik yechimi taklif
qilingan. Gamilton printsipi asosida uch qatlamli plastinkaning erkin tebranish
tenglamalari sistemasi olingan. Uch qatlamli plastinkaning variatsion
tenglama lari ni yechishda umumlashtirilgan Galerkin usuli qo llaniladi.ʼ
Elastik va qovushoq-elastik doiraviy silindrik qobiqlar va sterjenlar uchun
[50], [28-31] ishlarda ularni hisoblash usuli keltirib chiqarilgan. Tashqi
deformatsiyalanuvchi muhit bilan, ideal va qovushoq siqiladigan va siqilmaydigan
suyuqliklar, haroratlar maydoni va boshqalar bilan o zaro ta sirlashuvchi doiraviy
ʼ ʼ
silindrik qovushoq-elastik qobiqning o qqa nisbatan simmetrik va simmetrikmas
ʼ
nostatsionar (beqaror) tebranishlarining umumiy yangi nazariyalari ishlab
chiqilgan.
Uch o lchovli holatda silindrik qatlamning, umuman olganda, xususiy
ʼ
hollarda qobiqning aylanma, ko ndalang va bo ylama – radial tebranishlarining
ʼ ʼ
umumiy tenglamalari masalalarning aniq yechimidan [13] keltirib chiqarilgan.
Keltirib chiqarilgan tenglamalar qobiqning yoki qatlam ixtiyoriy nuqtalarida
aniqlanayotgan vaqt funksiyalarining cheklangan soniga nisbatan tuzilgani bilan
tavsiflanadi. Ushbu tenglamalar o z ichiga qobiqni o rab turgan muhitning
ʼ ʼ
ta sirini, qovushoq-elastik operatorlarning kombinatsiyalarini hisobga oladi va
ʼ
ixtiyoriy tashqi dinamik yuklanishlarda va qobiq bilan atrof-muhit o rtasidagi turli
ʼ
xil aloqa rejimlari uchun, umumiy holda qovushoq-elastik operatorlarning ixtiyoriy
yadrolari va materialning Puasson koeffitsiyenti o zgaruvchanligi uchun keltirib
ʼ
chiqarilgan.
Tebranish tenglamalari bilan bir galik da ko chish
ʼ vektori va kuchlanish
tenzori barcha tuzuvchilari uchun formulalar olingan. Bu formulalar yordamida
plastinka va qobiq ixtiyoriy kesimining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini
aniqlash mumkin va aniq amaliy masalalarni yechishda chegaraviy shartlarni
to g ri shakllantiradi. Taklif qilinayotgan ushbu yangi nazariyadan kelib chiquvchi
ʼ ʼ
xususiy va limitik holatlar batafsil muhokama qilingan. Tebranishning limitik va
umumiy tenglamalaridan shuningdek yupqa devorli qobiqlar va silindrik sterjenlar
13](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_13.png)
![uchun atrofdagi qattiq va suyuq muhitlar va boshqalar bilan o zaro ta sirni hisobgaʼ ʼ
oladigan tebranish tenglamalari olingan.
Xususiy shakldagi uch qatlamli plastinkaning ko ndalang va bo ylama
ʼ ʼ
tebranishlarining umumiy tenglamalari va ular asosida tebranishlar taqribiy
tenglamalari [33] ishda olingan; materialning reologik va mexanik xususiyatlarini
hisobga olgan holda, qatlamlar orasidagi kontakt va plastinka o rta tekisligi
ʼ
nuqtalarining ko chishi va deformatsiyalarini tavsiflovchi izlanuvchi funksiyalar
ʼ
orqali plastinkaning ichki nuqtalaridagi ko chishlar va kuchlanishlar uchun ifodalar
ʼ
berilgan. Plastinka tebranishlarining olingan taqribiy tenglamalar asosida sof
tebranishlarini aniqlash uchun materialning qovushoqlik xususiyatlarini hisobga
olgan holda doimiy qalinlikdagi plastinkalarning tebranishlari bo yicha bir qator
ʼ
muhim yangi amaliy masalalar yechilgan.
Professor O.A.Egorichevning [17] ilmiy ishida elastik va qovushoq-elastik bir
jinsli va uch qatlamli plstinkalarning statsionar bo lmagan tebranishlari professor
ʻ
I.G.Filippov [11] tomonidan plastinkalar uchun ishlab chiqilgan usul bo yicha
ʼ
o rganilgan.
ʼ
E.V.Xinen va G.I.Petrashen [34,35] ishlarida asosiy maqsad qilib matematik
jihatdan asoslangan holda bir jinsli izotrop plastinkaning muhandislik
tenglamalarini keltirib chiqarish qo yilgan edi. Maskur vazifani nazariy jihatdan
ʼ
bajarish uchun darajali qatorlar usuli qo llanilgan. [34] ish, asosan plastinka
ʼ
nuqtalarining ko chishlarini ana shu darajali qatorlarga yoyish mumkin ekanligini
ʼ
asoslashga qaratilgan. Shunday qilib elastik izotrop bir jinsli plastinkaning taqribiy
tenglamalari sistemasi keltirib chiqarilgan. Ushbu tenglamalarni qo llash sohasi
ʼ
topilgan tenglamalar taqribiy bo lganliklari uchun ancha tor soha ekanligi qayd
ʼ
etilgan.
Maqolaning fundamental davomi sifatida [35] tadqiqot ishini ko rsatish
ʼ
mumkin. Ishda ideal bo lmagan elastik plastinkalarga ilgari elastik plastinka uchun
ʼ
olingan natijalar tatbiq etilgan. Shunday bir jinsli va izotrop plastinkalarning
anti simmetrik va simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari keltirib chiqarilgan.
14](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_14.png)
![Professor F.B.Badalov [36] ishlarida darajali qatorlardan nochiziqli qovushoq-
elastiklik nazariyasida foydalanish asoslangan. Plastinkalarning bikrligi
o zgaruvchan deb hisoblanib ularning tebranishlarini va turg unligini sonli usullariʼ ʼ
bilan tadqiq qilishga [37,38,39] B.A.Xudayarov va R.A.Abdukarimovlarning
ishlari bag ishlangan.
ʼ
Bir qator o zbek olimlari materialning qovushoq-elastik [40,41] va ortotrop
ʻ
[42] xossalarini hisobga olgan holda plastinkalarning, ayniqsa, uch qavatli
plastinkalarning tebranishi va barqarorligi muammolarini, shuningdek, qatlamlar
oralig’idagi kuchlanishni aniqlashni o rgandilar [10].
ʻ
Uch o lchovli jism hisoblanadigan to ldiruvchi qatlam materialining
ʼ ʼ
ko ndalang siqiluvchanligini hisobga olgan holda uch qatlamli plastinkaning
ʼ
egilish va tebranish masalalarini yechishga [43,44,45] ishlar bag ishlangan. Ikki
ʼ
o lchovli tenglamalarni qurishda to ldiruvchi qatlam uchun nafaqat kuch
ʼ ʼ
momentlari va kuchlar, shuningdek kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik
holatining fazoviyligi natijasida paydo bo ladigan bimomentlar ham hisobga
ʼ
olingan. Shuningdek turli dinamik o zgaruvchan xarakterdagi yuklanishlar
ʼ
ta siridagi plastinkalarning lat yeganligini hisobga olgan holda ham masalalar
ʼ
yechilgan [46].
Bayon etilgan qisqacha sharhdan xulosa qilib aytish mumkinki, ikki va uch
qatlamli plitalarning dinamik holatini va elastik muvozanati o rganish uchun
ʼ
ma lum bir gipotezalar hamda fizik va mexanik xarakterdagi shartlariga
ʼ
asoslangan approksimatsiya modellaridan foydalaniladi. Kiritilgan mulohazalar va
gipotezalar, xususan u yoki bu taqribiy tenglamalarni, umuman olganda taqribiy
nazariyalar keltirib chiqarishga olib keldi. Ular bir-biridan yoki tuzilishidagi ayrim
hosilalarning koeffitsientlari bilan yoki ularning yechuvchi tenglamalari turi bilan,
ajralib turadi.
Shu sababli, ikki, uch va ko p qatlamli plastinkalarning dinamik
ʼ
o zgarishlarini tadqiq qilish uchun usullarva nazariyalarni ishlab chiqish, jumladan,
ʼ
bunday plastinkalarning, ular materialining harorat, anizotropik, qovushoq-elastik
va boshqa xususiyatlarini hisobga olgan holda, tebranish nazariyalarini qurish,
15](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_15.png)
![deformatsiyalanadigan qattiq jismlar mexanikasini rivojlanishining hozirgi
bosqichida dolzarb muammodir.
1.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va uni yechish
usullari
Uch o lchovli fazoda chetlari bikr mahkamlangan o lchamlari cheksiz bo lganʼ ʼ ʼ
ikki qatlamli elastik plastinkani qaraymiz. Ushbu chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka uch o lchamli elastik jism hisoblanadi. Ushbu holda,
ʼ
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari bir xil
strukturali yoki turli xil strukturali materiallardan tashkil topgan, kuchlanishlar va
deformatsiyalar orasida bog lanishlar geometrik va fizik chiziqli deb hisoblanadi.
ʼ
Ushbu ikki qatlamli elastik plastinkaning chetlari bikr mahkamlangan, pastki
va yuqori qatlamlari turli xil qalinlikda (1.1-rasm), qatlamlar orasidagi bo linish
ʼ
chegaralari tekis va u yoki bu kontaktli o zaro ta sir shartlarini qanoatlantiradilar
ʼ ʼ
deb hisoblaymiz [12].
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan
nosimmetrik tebranishlar sharoitida ishlashi nuqtai nazaridan ratsional
konstruktsiyasi bikr qatlam ko rinishida bo ladi.
ʼ ʼ
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaga
Oxyz to g ri ʼ ʼ
burchakli dekart koordinatalar sistemasini joylashtiramiz (1.1-rasm). Bunda Ox
va
Oy
o qlarini ko ndalang kesimlar bilan o zaro ʼ ʼ ʼ
perpendekulyar o rta sirt tekisligining yon sirt
ʼ
chiziqlari bo ylab yo nalga,
ʼ ʼ Oz – o qi esa ʼ
yuqoriga [47]. Plastinka qatlamlarini xuddi 1.1-
rasmdagidek raqamlab chiqamiz, ya ni yuqori
ʼ
qatlamni birinchi qatlam deb, quyi qatlamni –
ikkinchi qatlam deb nomlaymiz.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari
qalinliklarini mos ravishda
h1 va h2 orqali; qatlam materiallari elastiklik doimiylari, 1 .1-rasm
16](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_16.png)
![ya ni Lame koeffitsiyentlariniʼ - λ1 ,λ2 va μ1 , μ2 lar orqali ; qatlamlar materiallarining
zichliklarini - ρ
m lar orqali belgilaymiz. Shuningdek qatlamlar
( m = 1,2 )
nuqtalarining
koordinat o’qlari bo’ylab ko’chishlarini
U
m
( x , y , z , t ) ,
V
m ( x , y , z , t ) ,
W
m ( x , y , z , t )
lar
orqali belgilaymiz. Shu yerda va bundan keyingi hamma joyda
m indeks doimo 1,2
qiymatlarni qabul qiladi. Bu ko’chishlar elastiklik chiziqli nazariyasida kichik
ko’chishlar deb hisoblanadi. Qatlamlar nuqtalarining kuchlanishlar va
deformatsiyalar tenzorlari komponentalari uchun quyidagi hamma joyda qabul
qilingan belgilashlarni ishlatamiz:
τ
xy
( m)
, τ
yz ( m)
, τ
zx ( m)
– urinma va σ
xx ( m)
, σ
xz ( m)
, σ
zz ( m)
– normal kuchlanishlar;
εxx(m)
, ε
yy ( m)
, εzz(m) – normal deformatsiya lar , γxy(m) , γ
yz ( m)
, γzx(m) – burchak deformatsiya lar va
ε(m)= εxx
(m)+εyy
(m)+εzz
(m)
– hajmiy deformatsiya.
Plastinka qatlamlari nuqtalarida σ
ii
( m)
, τ
ij ( m)
( i , j = 1,2,3 )
kuchlanishlarning ε
ii ( m)
, γ
ij ( m)
(i,j=1,2,3 )
deformatsiyalardan bog’liqligi quyidagi Guk qonuni ko’rinishida
ifodalanadi
σ
ij
( m)
= λ ε
ii ( m)
δ
ij + 2 μ ε
ij ; ( i , j = 1,2,3 ; i ≠ j )
ε
ii
( m)
= ε
11 ( m)
+ ε
22 ( m)
+ ε
33 ( m)
. ( 1.2 )
Plastinka qatlamlari nuqtalarining
O x 1
x 2
x 3
dekart koordinatalaridagi harakat
tenglamalari [48].
σij,j(m)= ρm∂2⃗U (m)
∂t2 ,(i,j=1,2,3 ).(1.3 )
bu yerda σ
ij
( m)
– kuchlanish tenzori komponentalari; ρm – qatlamlar materiallarining
zichliklari;
⃗
U ( m)
– qatlam nuqtalarining ko’chish vektorlari; t
– vaqt.
Quyidagi formulalar bo’yicha
⃗
U ( m)
= grad φ
m + rot ⃗ ψ
m ,
⃗
U ( m)
= ⃗ U ( U
m , V
m , W
m ) ,⃗ ψ
m = ⃗ ψ( ψ
1 m , ψ
2 m , ψ
3 m ) . ( 1.4 )
skalyar
φm va vektor ⃗ψm potentsiallarini kiritish bilan (1.3) munosabatlarni
yyetarlicha soddalashtirish mumkin [14]. Bunda
⃗ψm vektor potentsiallari vektor
maydonlarining solenoidallik shartlarini qanoatlantiradilar
div { ⃗ψm=0¿
; (1.5)
17](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_17.png)
![Endi ⃗
U ( m)
ko’chish vektorlarining (1.4) ifodalarini (1.3) harakat tenglamalari
sistemasiga qo’yib, plastinkaning elastik qatlamlari nuqtalarining harakat
tenglamalarini bo’ylama
φm va ko’ndalang ⃗ψm to’lqin potentsiallari orqali ifodalash
qiyin emas
λ
m
( ∆ φ
m ) = ρ
m ∂ 2
φ
m
∂ t 2 , μ
m 1 ( ∆ ⃗ ψ
m ) = ρ
m ∂ 2 ⃗
ψ
m
∂ t 2 . ( 1.6 )
bu yerda ushbu belgilashlar kiritilgan
μ
m 1 = λ
m + μ
m
;
Δ= ∂2
∂х2+ ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2 .
(1.4) ko’rinishida berilgan k o’chish vektorlari komponentalari
ϕm va
ψm
(k= 1,2,3 ; m= 0,1,2 )
potentsiallar orqali quyidagicha ifodalanadi
Um=
∂ϕm
∂x +
∂ψ3m
∂y −
∂ψ2m
∂z ,Vm=
∂ϕm
∂y +
∂ψ1m
∂z −
∂ψ3m
∂x ,
W m=
∂ϕm
∂z +
∂ψ2m
∂x −
∂ψ1m
∂y ,(m=0,1,2 ).
(1.8)
Хuddi shun day (1.5) solenoidlik shartlarini dekart koordinatalari sistemasida
vektor maydonlar uchun yozish mumkin
∂ψ1m
∂x +
∂ψ2m
∂y +
∂ψ3m
∂z = 0
, ⃗ψm=ψ1m⃗i+ψ2m⃗j+ψ3m⃗k , (1.9)
Deformatsiya tenzorining barcha komponentlarini va kuchlanishlar
tenzorining barcha komponentlarini kiritilgan (1.8) formulalar yordamida
potentsial funksiyalar o rqali ifodalash mumkin [12], masalan
εxx(m)= ∂2ϕm
∂ x2 + ∂2ψ3m
∂ x∂ y− ∂2ψ 2m
∂ x∂z
, εzz(m)= ∂2ϕm
∂z2+∂2ψ2m
∂x∂z− ∂2ψ1m
∂ y∂z ,
εxz(m)= ∂2ϕm
∂x∂z+1
2[
∂2ψ2m
∂x2 − ∂2ψ2m
∂z2 +∂2ψ3m
∂y∂z− ∂2ψ1m
∂x∂y]
,
18](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_18.png)
![σxx(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [
∂2ϕm
∂x2+∂2ψ3m
∂x∂y− ∂2ψ2m
∂x∂z],
σzz(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [
∂2ϕm
∂z2 +∂2ψ2m
∂x∂z− ∂2ψ1m
∂y∂z]
,
τxz(m)= Rμm [2 ∂2ϕm
∂x∂z+∂2ψ2m
∂x2 − ∂2ψ2m
∂z2 +∂2ψ3m
∂y∂z− ∂2ψ1m
∂x∂y]
.
Plastinka vaqtning
t<0 bo’lgan paytida muvozanat holatda, t=0 paytda esa
qalinlik bo’yicha koordinataning
z=±hi (i= 1,2 ) qiymatlarida, yoki uning
chegaraviy tekisliklariga dinamik kuchlar ta’sir etadi deb faraz qilinadi.
Chegaraviy shartlar boshqacha aytganda quyidagi ko’rinishda berilgan deb
hisoblanadi [20,49],
τxz
(i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=± Fxz
(i)(x,y,t);τyz
(i)(x,y,z,t)|z=hi¿=±Fyz
(i)(x,y,t);
σzz
(i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=±Fz(i)(x,y,t), (i=1,2 ).
(1.10)
t<0
bo’lgan paytda plastinka muvozanat holatida bo’lgan deb qabul qilingan
mulohazaga ko’ra plastinkaning barcha qatlamlari tinch holatda joylashgan deb
hisoblaymiz, bu esa
t=0 da nol boshlang’ich shartlarga teng kuchli ekanligini
bildiradi
ϕm=ψkm= ∂ϕm
∂t= ∂ψkm
∂t = 0,(m=0,1,2 ).
(1.11)
Pastki ikkinchi qatlamning yuqori qatlam bilan kontakt tekisligida chegaraviy
(1.10) shartlardan tashqari, quyidagi dinamik va kinematik kontakt shartlar o’rinli
[20] :
Yuqori va quyi qatlamlar o’rtasidagi kontakt tekislikda:
σzz
(1)(x,y,t)= σzz
(2)(x,y,t);τxz
(1)(x,y,t)= τxz
(2)(x,y,t);τyz
(1)(x,y,t)= τyz
(2)(x,y,t);
U 1(x,y,t)= U 2(x,y,t);V 1(x,y,t)= V 2(x,y,t);W 1(x,y,t)= W 2(x,y,t).
(1.12)
Takidlash kerakki, (1.11) potentsiallar uchun boshlang’ich shartlar
t=0 da
U m,Vm,W m (m=0,1,2 )
ko’chishlar komponentalari uchun shakllantirilgan
boshlang’ich shartlarga teng, yani:
19](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_19.png)
![U m= V m= W m= 0;
∂U m
∂t =
∂Vm
∂t =
∂W m
∂t = 0 . (1.14)
Va nixoyat shunday qilib , chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
plastinkaning nostatsionar antisimmetrik tebranishlari haqidagi masala har bir
qatlam uchun (1.10) – chegaraviy, (1.12), (1.13) – kontakt, hamda (1.11) yoki
(1.14) – nol boshlang’ich shartlarda (1.6) tenglamalarni yechishga keltiriladi.
Ikki qatlamli plastinkaga qo’yilgan tashqi ta’sir funksiyalarini qo’yilgan
masalani yechish uchun quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin [34,35]:
[Fyz
(i)(x,y,t),Fz
(i)(x,y,t)]=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
0
∞cos θy
sin θy }dθ ∫
(l)
[~Fyz
(i)(k,θ,p),~Fz
(i)(k,θ,p)]eptdp
;
Fxz
(i)(x,y,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
0
∞sin θy
−cos θy }dθ ∫
(l)
~Fxz
(i)(k,θ,p)eptdp
(i=1,2 ), (1.15)
bu yerda
~Fxz
(i)(k,θ,p) , ~Fyz
(i)(k,θ,p) va ~Fz
(i)(k,θ,p) , (i=1,2 ) – Re p>0 sohada regulyar
funksiyalar.
Shuningdek, tashqi ta’sir funksiyalarining (1.15) ifodasiga muvofiq, (1.6)
integro-differentsial tenglamalarning izlanuvchi funksiyalarini ham quyidagi
ko’rinishda ifodalaymiz:
[ϕm,ψ2m,ψ3m]=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
0
∞ sin θy
− cos θy }dθ ∫
(l)
[~ϕm,~ψ2m,~ψ3m]eptdp ;
ψ1m(x,y,z,t)=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
0
∞cos θy
sin θy }dθ ∫
(l)
~ψ1m(k,θ,z,p)eptdp ;
(m=0,1,2 ) (1. 16 )
Ushbu (1.16) ifodalarni (1.6) harakat tenglamasiga qo’yib, plastinkaning har
bir qatlami uchun oddiy differentsial tenglamalar sistemasini olamiz.
d2~ϕm
dz 2 − αm2~ϕm= 0; d2~ψim
dz 2 − βm2~ψim= 0; (m= 0,1,2 ;i= 1,2,3 ),
(1.17)
bu yerda
αm2= k2+θ2+ ρm p2~μm−1; βm2= k2+θ2+ ρm p2(~λm+2~μm)−1;
(1. 18 )
20](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_20.png)
![Hosil bo’lgan (1. 17 ) tenglamalar sistemasi B esselning oddiy ikkinchi tartibli
differensial tenglamalari ekanligi ko’rinib turibdiki. Masalani yechish uchun
yechimdagi ushbu yechimlar tarkibiga kiruvchi o’zgarmaslar, chegaraviy, kontakt
hamda boshlang’ich shartlardan aniqlanishi kerak [11]~ϕm(k,θ,z,p)=A1(m)(k,θ,p)ch (αmz)+A2(m)(k,θ,p)sh(αmz)
;
~ψjm(k,θ,z,p)=Bj1(m)(k,θ,p)sh (βmz)+B2(m)(k,θ,p)ch (βmz)
; (1.19)
~ψ3m(k,θ,z,p)=B31(m)(k,θ,p)ch (αmz)+B32(m)(k,θ,p)sh (αmz)
;
(1.19) tengliklar (1.17) oddiy differensial tenglamalar sistemasi ning o’n ikkita
umumiy yechimlari hisoblanadi.
Ko’chish vektorining
⃗U (m),⃗V(m) va ⃗W (m) komponentlarini (1.16) kabi ifodalab,
(1.16) bilan birgalikda (1.8) munosabatlarga qo’yamiz:
~U (m)= k~ϕm−θ~ψ3m− ∂
∂z
~ψ2m;~V(m)=θ~ϕm+k~ψ3m+ ∂
∂z
~ψ1m;~W (m)= ∂
∂z
~ϕm− k~ψ2m+θ~ψ1m.
(1.20)
(1.19) umumiy yechimlarni hisobga olsak, almashtirilgan komponentalarning
(1.20) ifodasi quyidagi ko’rinishga keladi:
~U (m)= kA 1(m)ch (αmz)+kA 2(m)sh (αmz)−(βmB21(m)+θ B31(m))ch (βmz)−(βmB22(m)+θ B32(m))sh (βmz)
;
~V(m)=θA 1(m)ch (αmz)+θA 2(m)sh (αmz)+(βmB11(m)+kB 31(m))ch (βmz)+(βmB12(m)+kB 32(m))sh (βmz)
; (1.21)
~W (m)= αmA1(m)sh (αmz)+αmA2(m)ch (αmz)+(θ B11(m)− kB 21(m))sh (βmz)+(θ B12(m)− kB 22(m))ch (βmz)
Xuddi s hun ko’rinishda
~σij
(m) , (i,j= x,y,z) kuchlanishning almashtirilgan
komponentalar uchun quyidagi ifodalarni olamiz. Masalan
~σxx(m)=(~Tm−2k2~Rμm)[A1(m)ch (αmz)+A2(m)sh (αmz)]+2k~Rμm[(βmB21(m)+θ B31(m))ch (βmz)+
+(βmB22(m)+θ B32(m))sh (βmz)] , (1.22)
...........................................................................................................................
bu yerda ushbu belgilash kiritilgan
~Tm=ρmp2~Rλm
~Rm−1.
21](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_21.png)
![kB 11
(m)+θ B21
(m)+ βmB31
(m)= 0 ; kB 12
(m)+θ B22
(m)+ βmB32
(m)= 0 , (m = 0,1,2 ).Kuchlanish tenzorlari va ko’chish vektorlarining barcha almashtirilgan
tarkibiy qismlari, integral almashtirilgan harakat tenglamalarining umumiy
y echimlari orqali ifodalab olindi. Shu sababli, yuqorida integral almashtirishlarda
qo’yilgan masalaning umumiy y echimi topilgan deb tasdiqlash mumkin. (1.19)
umumiy yechimlar hamda ko’chishlarning (1.21) va kuchlanishlarning (1.22)
formulalari keyinchalik ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini
keltirib chiqarish uchun qo’llaniladi.
1.3-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi
Ushbu bobning ikkinchi bo’limida masalaning umumiy qo’yilishi uch
o’lchovli hol uchun qo’yilgan edi. Natijalardan ko’rindiki masalaning umumiy
yechimida o’n ikki noma’lum ishtirok etadi. Agar aniq yechimlar usulidan
foydalanilsa ana shunday noma’lumlarning soniga yana o’n ikkita noma’lum,
izlanuvchi funksiyalar kiritishga to’g’ri keladi. Shu sababli noma’lum, izlanuvchi
funksiyalarning sonini kamaytirish hamda matematik muammolardan qutilish
uchun plastinkani tekis deformatsiya holatida deb hisoblaymiz. Shu sababli [34]
plastinkani tekis Oxyz
to’g’ri burchakli koordinat sistemasiga joylashtiramiz (1.1-
rasm).
Ox o’qini Oxz ko’ndalang kesimning o’rta chizig’i bo’ylab , Oz o’qini esa
unga perpendikulyar ravishda yuqoriga yo’naltiramiz.
Plastinka qatlamlari nuqtalarining ko’chish vektorlari komponentalari ni tekis
deformatsiya holida quyidagicha tasvirlaymiz
⃗Um=Um⃗i+W m⃗k
; Um=U m(x,z,t) ; W m=W m(x,z,t) ,
bu yerda
⃗i , ⃗k – kiritilgan dekart koordinatalar sistemasi birlik vektorlari;
Um(x,z,t)
raqami m bo’lgan qatlam nuqtalarining bo’ylama va W m(x,z,t) ko’ndalang
ko’chishlari. Shuningdek ikkinchi bo’limda keltirilgan (1.4) formuladagi to’lqin
funksiyalarini quyidagi kabi kiritamiz:
ϕm= ϕm(x,z,t)
, ⃗ψm=ψm(x,z,t)⃗j (1.23)
22](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_22.png)
![bu yerda ⃗j – Oy o’qining birlik vektori.
Ushbu holatda ikki qatlamli plastinka o’n ikkita izlanuvchili oddiy
differensial tenglamalari (1.6) ning soni qisqarib,
ϕm(x,z,t) va ψm(x,z,t) - potentsial
funksiyalariga nisbatan ifodalangan oltita to’lqin tenglamasiga aylanadi
Rm(Δϕm)= ρm
∂2ϕm
∂t2 ; Rμm (Δψ m)= ρm
∂2ψ m
∂t2 , (1.24)
bu yerda
Δ= ∂2/∂х2+∂2/∂z2 - Laplasning differentsial operatori.
Ko’chish vektori komponentalari (1.4) ko’rinishida tasvirlanganda
⃗ψm vektor
funksiyalari vektor maydonlarning solenoidallik shartini avtomatik tarzda
qanoatlantiradilar, yani
div { ⃗ψm=0¿ .
Ko’chish vektorining hamda deformatsiya va kuchlanish tenzorining
komponentalari kiritilgan (1.23) potensial funksiyalar orqali ifodala nadi . Birinchi
bobning ikkinchi paragrafi da keltirilgan kuchlanishlar deformatsiyalar va
ko’chishlarning potensial funksiyalar orqali yozilgan ifodalar i dan foydalanamiz.
Agar masalan (1.23) ifodani hisobga olsak
⃗ψm vektorlari faqat bittadan noldan
farqli komponetaga ega ekanliklari ko’rinadi. U holda (1.8) ifodalardan
U m=
∂ϕm
∂x −
∂ψm
∂z ; W m=
∂ϕm
∂z +
∂ψm
∂ x ,(m= 0,1,2 ).
(1.25)
Хuddi shunga o’хshash deformatsiya tenzori komponentalarini
εxx(m)= ∂2ϕm
∂x2− ∂2ψm
∂x∂z;εzz(m)= ∂2ϕm
∂z2+ ∂2ψm
∂x∂z;εxz(m)= 2 ∂2ϕm
∂x∂z− ∂2ψm
∂z2+∂2ψm
∂x2 .
(1.26)
hamda kuchlanish tenzori komponentalarini
τxz(m)= μm(2 ∂2ϕm
∂x∂z− ∂2ψm
∂z2 +∂2ψm
∂x2),
σxx(m)= λm(Δϕm)+2μm(
∂2ϕm
∂x2+ ∂2ψm
∂x∂z),
σzz(m)= λm(Δϕm)+2μm(
∂2ϕm
∂z2+ ∂2ψm
∂x∂z).
(1.27)
Tashqi ta’sirlarning ko’rinishida qovushoq-elastiklik nazariyasining
chiziqliligini tasvirlash mumkin. Ko’chishlarni ham shunga mos ravishda
bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarning qismlari yig’indisi sifatida tasvirlasa
23](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_23.png)
![bo’ladi [35], yani ⃗Um= ⃗U mb+⃗Umk . Bunda ⃗Umb , ⃗Umk -lar plastinka qatlamlari nuqtalari
mos ravishda ko’chishlarining bo’ylama va ko’ndalang qismlari. Bunday holda
(1.10) chegaraviy shartni
⃗Um -yig’indi maydon qanoatlantiradilar. Antisimmetrik
qismlari esa shu yig’indi maydonlarning quyidagi shartlarni qanoatlantirishlari
lozim, yani bu holda (1.10) chegaraviy shartlar quyidagi shaklni olishlari kerak
τxz
(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿= fxi(x,t); σzz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿= (− 1)i−1fzi(x,t);
τyz
(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿=0;hi¿= h0+hi,(i=1,2 ),
(1.28)
bu yerda
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)− F xz
(2)),
fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2)).
O’rta qatlamning bundan tashqari chetki qatlamlar bilan kontakt sirtlarida
qatlamlar oralig’ida uzilishlar yo’q va qatlamlar bir-biriga nisbatan siljimaydi deb
faraz qilinadi.
z= ± h0 tekisliklarda quyidagi kinematik va dinamik kontakt
shartlar qanoatlantirilishi kerak
σzz(0)(x,z,t)|z=±h0=
{
σzz(1)(x,z,t)|z=h0+fz(1),Ҳ
σzz(2)(x,z,t)|z=−h0− fz
(2),
τyz(0)(x,z,t)|z=±h0=0,
τxz(0)(x,z,t)|z=±h0=
{
τxz(1)(x,z,t)|z=h0+fx(1),
τxz(2)(x,z,t)|z=−h0+fx(2),
(1.29)
U0(x,z,t)|z=±h0=
{
U1(x,z,t)|z=h0,
U2(x,z,t)|z=−h0,
W 0(x,z,t)|z=±h0=
{
W 1(x,z,t)|z=h0,
W 2(x,z,t)|z=−h0.
(1.30)
t=0
bo’lganda asalaning boshlang’ich sharti nolga deb hisoblanadi ya’ni
(1.24) tenglamalardagi noma’lum potentsial funksiyalar uchun boshlang’ich
shartlar quyidagicha bo’ladilar
ϕm= ψ m= 0 ,
∂ϕm
∂ t =
∂ψ m
∂ t = 0.
(1.31)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar
bo’lmagan ko’ndalang (antisimmetrik) tebranishlari haqidagi masala ikkinchi
tartibli oltita integro-differensial (1.24) tenglamalar sistemasini o’n ikki chegaraviy
(1.28), (1.29), (1.30) va boshlang’ich (1.31) shartlarda integrallashga keltirildi.
Masalani yechish uchun (1.28) dagi
fx
(1,2)(x,t) va fz
(1,2)(x,t) funksiyalarning
ko’rinishlarini yoki boshqacha aytganda plastinka sirtlariga qo’yilgan tashqi ta’sir
funksiyalari uchun ifodalarni keltirish lozim. Ushbu funksiyalarni ko’rinishlarini
24](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_24.png)
![aniqlashda birinchi bobning ikkinchi paragrafida ularga qo’yilgan shartlarni
hisobga olgan holda bu funksiyalarni (1.15) ko’rinishida tasvirlaymiz, yani [20]fx
(1,2 )(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~fx
(1,2 )(k,p)eptdp , fz
(1,2)(x,t)=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
(l)
~fz
(1,2)(k,p)eptdp .
(1.32)
Yuqorida shakllantirilgan (1.24), (1.28), (1.29), (1.30) va (1.31) masalaning
yechimini ham tashqi ta’sir funksiyalarining qabul qilingan tasvirlariga mos holda
quyidagi ko’rinishda izlaymiz
ϕm=∫
0
∞ sin kx
− cos kx }dk ∫
(l)
~ϕmeptdp , ψm=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~ψmeptdp , (m= 0,1,2 ).
(1.33)
(1.24) tenglamalar sistemasiga potentsial funksiyalarning ushbu tasvirlarini
qo’ysak, Besselning ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalariga kelamiz
d2~ϕm
dz 2 − αm2~ϕm= 0; d2~ψm
dz 2 − βm2~ψm= 0; (m= 0,1,2 ),
(1.34)
bu yerda
αm2= k2+ρmp2(~λm+2~μm)−1; βm2= k2+ρmp2~μm−1;
(1.35)
Chiqarilgan (1.34) Bessel tenglamalari umumiy yechimini giperbolik
trigonametrik funksiyalar kombinatsiyalari shaklida qabul qilamiz
~ϕm(z,k,p)= A1(m)(k,p)ch (αmz)+A2(m)(k,p)sh (αmz);
~ψm(z,k,p)= B1(m)(k,p)sh (βmz)+B2(m)(k,p)ch (βmz),(m=0,1,2 ).
(1.36)
Tashqi antisimmetrik ta’sirlar ni plastinkaning antisimmetrik tebranishlari
natijasida yuzaga keladi. Shuning uchun (1.28) ga asosan
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t),
fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t).
Ushbu munosabatlar (1.36) yechimning antisimmetrik
tebranishlarni tavsif etishlari uchun
A1
(m)= 0, B1
(m)= 0, (m= 0,1,2 ) tengliklar
bajarilishini taqozo qiladi. U holda plastinkaning ko’ndalang (antisimmetrik)
tebranishlari holida (1.36) umumiy yechimlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladilar
~ϕm(z,k,p)= A2(m)(k,p)sh (αmz), { ~ψm(z,k,p)= B2(m)(k,p)ch (βmz).¿
(1.37)
Endi (1.37) yechimlar orqali
Um va Wm ko’chishlarni ifodalash uchun ularni
ham (1.33) ko’rinishida tasvirlaymiz
25](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_25.png)
![Um=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~Umeptdp , W m=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
(l)
~W meptdp . (1.38)
Ko’chishlarning (1.25) formulalariga ana shu (1.38) va (1.33) ifodalarni
qo’ysak ko’chishlarning almashtirilgan
~Um va
~Wm tasvirlariga ega bo’lamiz
~Um=k~ϕm− ∂
∂z
~ψm,
~W m= ∂
∂z
~ϕm−k~ψm
(1.39)
Oхirgi (1.39) ifodalarga olingan (1.37) yechimlarni qo’yib, ba’zi sodda
matematik ammallarni bajarish natijasida quyidagi ega bo’lamiz.
~Um=kA m(2)sh (αmz)−βmBm(2)sh (βmz),~W m=αmAm(2)ch (αmz)−kB 2(2)ch (βmz),(m=0,1,2 )
.
(1.40)
natijaga kelamiz.
26](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_26.png)
![II BOB.
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK
PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK
TEBRANISHLARI
2.1-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari tenglamalari
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari da oldingi bo’limda ko’chishlar uchun keltirilgan ~Um va
~Wm tasvirlar
ifodalarining o’ng tomonilarini
(αmz) va (βmz) argumentlar darajalari bo’yicha
darajali qatorlarga yoyamiz. Buning uchun bu ifodalar tarkibiga kiruvchi
giperbolik trigonametrik funksiyalarning darajali qatorlarga standart yoyilmalari
sh (αz )=∑
n=0
∞ (αz )2n+1
(2n+1)!, ch (βz )= ∑
n=0
∞ (βz )2n
(2n)!
dan foydalanamiz. Aytilganlar asosida quyidagiga ega bo’lamiz
~Um=∑
n=0
∞
[kα m2n+1⋅Am
(2)− βm2n+2Bm
(2)]z2n+1
(2n)!
;
~W m= ∑
n=0
∞
[αm2n+1⋅Am
(2)− kβ m2nBm
(2)] z2n
(2n)!
. (2.1)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari tenglamalarida izlanuvchi funksiyalar sifatida
z=0 tekislikdan
ξ= χ⋅h2, −1≤ χ≤ 1 (2.2)
formula bilan aniqlanuvchi masofada yotuvchi chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka pastki qatlami sirtining almashtirilgan
~U2 va
~W2
ko’chishlarining bosh qismlarini qabul qilamiz. (2.1) formulada
m= 2 bo’lsa
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari
uchun ushbu bosh qismlarni kiritish mumkin
~U2= ∑
n=0
∞
[kα 2
2n+1A2
(2)−β2
2n+2B2
(2)]z2n+1
(2n)!,
~W 2= ∑
n=0
∞
[α2
2n+1A2
(2)− kβ 2
2nB2
(2)] z2n
(2n)!.
Ushbu ifodalarning
z=ξ
bo’lgandagi qiymatlarini endi chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka pastki qatlamining
z=0 tekisligidan
27](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_27.png)
![ξ masofada yotuvchi tekislik nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini ajratish
uchun olamiz va olingan ushbu ifodalarda quyidagicha belgilashlar kiritib
n=0
yaqinlashish bilan chegaralanamiz
~U 2(0)=[kα 2A2(2)− β22B2(2)]ξ ,
~W 2(0)= α2A2(2)− kB 2(2) (2.3)
(2.3) ifodalar aynan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka pastki qatlami nuqtalari
~U2 va
~W2 ko’chishlari bosh qismlari orqali
ifodalandi. Olingan shu oхirgi algebraik tenglamalar sistemasini
α2A2(2) va B2(2)
noma’lumlarga nisbatan yechib quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz.
α2A2(2)=
kW 2(0)− 1
ξ
~U 2(0)
β22−k2 ,
B2(2)=
β22~W 2(0)− k
ξ
~U 2(0)
β22− k2 . (2.4)
Maskur ifodalar chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
quyi qatlami
~U2 bo’ylama va
~W2 ko’ndalang ko’chishlarining ~U2(0) va ~W 2(0) bosh
qismlari orqali
A2(2) va B2(2)
integrallash o’zgarmaslarini ifodalaydigan formuladir.
Quyida biz ushbu belgilashlarni qabul qilamiz[50]
Qm(n)= αm2n− βm2n
αm2− βm2
, qm=1− LmM m−1 , (2.5)
bu yerda
Qm
(0)=0 , Qm
(1)=1 , Qm
(n)= αm2+βm2 , m=0,1,2 ; n=0,1,2 ,...
~U2
va
~W2 ko’chishlar uchun yozilgan yuqorida ifodalarga (2.5) ni hisobga
olgan xolda o’zgarmaslarning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining ko’chishlari
uchun quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz.
~U 2= ∑n=0
∞
[kq 2Q2(n)
(
k
ξ
~U 2(0)− β0(2)~W 2(0)
)+ β22n
ξ
~U 2(0)
]
z2n+1
(2n)!,
~W 2= ∑
n=0
∞
[q2Q2(n)
(
k
ξ
~U 2(0)− β22~U 2(0)
)+β22n~W 2(0)
]
z2n
(2n)!,
− h2≤ z≤ h2 (2.6)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning integral
almashtirishlardagi ko’ndalang antisimmetrik tebranish tenglamalari (1.33) ning
28](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_28.png)
![umumiy yechimlari bo’lgan (1.36) ifodalarda, ta’kidlanganidek to’rtta noma’lumA2
(m)
va B2
(m) , m=1,2 koeffitsiyentlar mavjud. Ulardan A2(2) va B2(2) larni chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama
va ko’ndalang ko’chishlari bosh qismlari tarkibiga kiritdik va yangi funksiyalar
hosil qildik. Ana shu yangidan hosil qilingan (2.3) funksiyalarni asosiy izlanuvchi
funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka boshqa qatlami ya’ni yuqori birinchi qatlami bo’ylama va
ko’ndalang ko’chishlari va kuchlanishlarini topish uchun birinchi bobning ikkinchi
paragrafida keltirilgan formulalardan ko’rinadiki dastlab avval
A1
(2) va B1
(2)
koeffitsiyentlarni topish zarur.
Eng avvalo shu sababli
A2(2) va B0
(2) koeffitsiyentlar orqali A1
(2) va B1
(2)
koeffitsiyentlarni ifodalashimiz va (1.30) kontakt shartlardan foydalanishimiz
mumkin. U holda chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
yuqori qatlamlari ko’chishlarining (1.40) ifodalarini
z= h0 bo’lgan hol uchun, yani
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori va quyi qatlamlar
kontakt sirti nuqtalari uchun (1.30) ga ko’ra quyidagilarga ega bo’lamiz:
kA 2(2)sh α2h2− β2B2(2)sh β2h2= kA 1(2)sh α1h2− β1B1(2)sh β1h2;
α2A2(2)ch α2h2−kB 2(2)ch β2h2=α1A1(2)ch α1h2−kB 1(2)ch β1h2,
(2.7)
Demak, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
antisimmetrik tebranishlari uchun i kkita
A1
(2) va B1
(2) noma’lumlarga nisbatan ikkita
algebraik tenglamalar sistemasi hosil qilindi.
Hosil qilingan algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun quyidagicha
belgilashlar kiritamiz Kramer qoidasini qo’llaymiz.
¿Δ11
0=α2β1сh (α2h2)sh(β1h2)−k2ch (β1h2)sh(α2h2),¿}¿¿¿
(2.8)
¿Δ21
0=k[α2ch (α2h2)sh (α1h2)−α1ch (α1h2)sh (α2h2)],¿}¿¿¿
(2.9)
29](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_29.png)
![(2.7) dan ushbu (2.8), (2. 9) belgilash ifodalar i ni hisobga olgan holda A1
(2) va
B1
(2)
noma’lumlarni topamiz:
A1(2)= 1
Δ10[Δ110 A2(2)+Δ120 B2(2)],B1(2)= 1
Δ10[Δ210 A2(2)+Δ220 B2(2)]. (2.10)
(2.10) ga o’zgarmaslarning (2.4) ifodasini qo’ysak chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlarida
A1
(2)
va B1
(2) o’zgarmaslar uchun quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz
A1(2)= 1
(β22− k2)Δ10[(
β22
α2
Δ110+kΔ 120
)
~W 2(0)− 1
ξ(
k
α2
Δ110+Δ120
)
~U 2(0)
],
B1(2)= 1
(β22− k2)Δ10[(
β22
α2
Δ210+kΔ 220
)
~W 2(0)− 1
ξ(
k
α2
Δ210+Δ220
)
~U 2(0)
].
(2.11)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarini hisoblashda k eyingi ishimiz chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka qatlamlari orasidagi chegaraviy shartlarni, qatlamlarning
ko’chish vektorlari komponentalarini va kuchlanish tenzorlari tashkil etuvchilarini
kiritilgan
~U0
(0) va ~W 0
(0) yangi bosh qismlar orqali ifodalashdan iborat. Shuningdek
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida plastinka qatlamlarida hosil bo’ladigan
τxz
(m) va σzz(m) kuchlanishlarni
ham хuddi (2.10) kabi tasvirlaymiz
τxz
(m)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~σxz
(m)eptdp ,σzz
(m)=∫
0
∞sin kz
− cos kz }dk ∫
(l)
~σzz
(m)eptdp , (m=1,2 )
. (2.15)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik
tebranishida
τxz
(m) va σzz(m) kuchlanishlarning almashtirishlardagi kattaliklari ~τxz
(m) va
~σzz(m)
lar uchun, qiyin bo’lmagan matematik amallarni bajargandan so’ng ushbu
ifodalarga ega bo’lamiz
~τxz(m)=~μm(2k∂~ϕ
∂z −
∂2~ψm
∂z2 −k2~ψm),
~σzz
(m)=~λm(−k2~ϕm+∂2
∂z2
~ϕm)+2~λm(
∂2
∂z2
~ϕm− k∂
∂z
~ψm) (m=1,2 ).
(2.16)
30](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_30.png)
![Oхirgi (2.16) ifodalarga yuqorida keltirilgan (1.36) yechimlarni qo’yish orqali
quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:~τxz(m)(z,k,p)=~μm(2kα mAm(2)ch (αmz)−(βm2+k2)Bm(2)ch (βmz)),
~σzz(m)(z,k,p)=[~λm(αm2−k2)+2αm2~μm]A1(m)sh (αmz)+2~μmkβ mBm(2)sh (βmz).
(2.17)
Keltirilgan formulalarda
~Rm=~Rλm+2~Rμm
ekanligini hisobga olsak, ularni
quyidagicha yozib olish mumkin
~τxz(m)(z,k,p)=~μm[2kα mch (αmz)Am(2)(k,p)−(βm2+k2)ch (βmz)Bm(2)(k,p)],
~σzz(m)(z,k,p)= [((λm+2~μm)−2~μm)(αm2− k2)+2~μmαm2]⋅Am(2)(k,p)⋅sh (αmz)−
−2kβ m~μmBm(2)(k,p)⋅sh (βmz).
(2.18)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik
tebranishlari masalasi c hegaraviy (1.28) shartlariga ham integral almashtirishlarni
qo’llaymiz. Buning uchun c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka dagi (1.28) chegaraviy shartlarning mos ravishda chap va o’ng
tomonlariga (2.15) va (1.32) integral operatorlarni ta’sir ettiramiz va chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlarida
integral almashtirishlardagi ushbu chegaraviy shartlarni hosil qilamiz
~τxz
(i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=~fx
i(k,p); ~σzz
(i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=(−1)i−1~ fz
i(k,p);
~τyz
(i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=0;hi¿=h0+hi,(i=1,2 ).
(2.19)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik
tebranishlari uchun h osil qilingan (2.19) chegaraviy shartlardan foydalanish uchun
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik birinchi qatlami nuqtalari uchun
integral almashtirilgan kuchlanish
~τxz
(m) va ~σzz(m) larni z= h2+h1 bo’lgan hol uchun
hisoblash talab etiladi. Bundan tashqari
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t), fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)
ekanligini hisobga olsak, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinkaning ustki chegarasi
z= h2+h1 uchun quyidagi shartlarga ega bo’lamiz
31](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_31.png)
![{~μm[2kα 1ch (α1z)A1(2)(k,p)−(β12+k2)ch (β1z)B1(2)(k,p)]}|z=h2+h1=~fx(2),
{[(~λm+2~μm)(α12−k2)+2~μm1k2]⋅A1
(2)(k,p)⋅sh (α1,z)− 2kβ 1~μm1B1
(2)(k,p)⋅sh (β1,z)}|z=h2+h1=~fz(2).
A1
(2),B1
(2)- ikki noma’lumlarga nisbatan olingan oхirgi algebraik tenglamalar
sistemasini yechib quyidagiga ega bo’lamiz:
A1
(2)=
Δ11
Δ10
=1
Δ10
~μm1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz
(2)−2kβ 1sh (β1z)⋅~fx
(2)]|z=h2+h1,
B1(2)=
Δ12
Δ10
=1
Δ10 [2kα 1~μm1ch (α1z)⋅~fz(2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx(2)]|z=h2+h1.
(2.20)
Giperbolik kosinus va sinuslar o’rniga (2.20) o’zgarmaslar ifodalarida
ularning argumentlari bo’yicha darajali qatorlarga yoyilmalaridan foydalanamiz.
(2.20) tengliklarga ushbu ifodalarni qo’ysak
A1
(2),B1
(2) o’zgarmaslar uchun quyidagi
formulalarga ega bo’lamiz
A1
(2)=
Δ11
Δ10
= 1
Δ10
~Rμ1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz
(2)− 2kβ 1sh (β1z)⋅~fx
(2)]z=h0+h1=
= 1
Δ10
~Rμ1[(β1
2+k2)∑
m=0
∞ (β1z)2m
(2m)!
⋅~fz
(2)−2kβ 1∑
m=0
∞ (β1z)2m+1
(2m+1)!
⋅~fx
(2)
]|z=h0+h1,
(2.21)
B1
(2)=
Δ12
Δ10
= 1
Δ10[2kα 1~μm1ch (α1z)⋅~fz
(2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx
(2)]z=h2+h1=
= 1
Δ10[2kα 1~μm1∑n=0
∞ (α1z)2n
(2n)!⋅~fz(2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]∑n=0
∞ (α1z)2n+1
(2n+1)!⋅~fx(2)
]z=h2+h1
,
A1
(2)=
Δ21
Δ20
=− 1
Δ20
~μm1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz
(2)+2kβ 1sh (β1z)⋅~fx
(2)]z=h2+h1=
=− 1
Δ20
~μm1[(β1
2+k2)∑
m=0
∞ (β2z)2m
(2m)!
⋅~fz
(2)+ 2kβ 1∑
m=0
∞ (β1z)2m+1
(2m+1)!
⋅~fx
(2)
]|z=−h2−h1,
(2.22 *
)
B1
(2)=
Δ22
Δ20
=− 1
Δ20[2~μm1kα 1ch (α1z)⋅~fz
(2)+[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx
(2)]z=-h2−h1=
=− 1
Δ20 [2~Rμ2kα 2∑n=0
∞ (α2z)2n
(2n)!⋅~fz(2)+[~R2(α22− k2)+2~Rμ2k2]∑n=0
∞ (α2z)2n+1
(2n+1)!⋅~fx(2)
]z=−h0−h2
.
32](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_32.png)
![A1
(2),B1
(2)o’zgarmaslar tashqi ta’sir funksiyalari ~fx
(1,2)(x,t) va ~fz
(1,2)(x,t)
tasvirlari orqali (2.21) formulalar yordamida ifodalandilar.
Yuqorida keltirilgan asosiy determinantlar uchun xuddi shunday, quyidagi
ifodalarga ega bo’lamiz
Δ10={~μm1(β12+k2)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)ch (β1z)−4~μ2m1k2α1β1sh (β1z)ch (α1z)}|z=h2+h1=
={~μm1(β12+k2)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]∑n=0
∞ (α1z)2n+1
(2n+1)!⋅∑m=0
∞ (β1z)2m
(2m)! −
−4~μ2m1k2α1β1∑m=0
∞ (β1z)2m+1
(2m+1)!⋅∑n=0
∞ (α1z)2n
(2n)!}z=h2+h1
, (2.22)
Noma’lum koeffitsiyentlar aniqlanuvchi asosiy determinantlar ham noma’lum
koeffitsiyentlarning o’zlari ham natijaviy (2.21) va (2.22) formulalardan ko’rinib
turibdiki
αmz va βmz
argumentlarning cheksiz darajalariga bog’liq. Shu sababli
amaliy masalalar yechishda natijalarni qo’llash maqsadida darajalar
ko’rsatkichlarini pasaytirish zarur. Shu ning uchun ko’rsatilgan formulalar
tarkibidagi yig’indilarda mos ravishda
n=1,m=1 bo’lgan hollar bilan
chegaralanamiz va yakunda ushbu ifodalarni olamiz
A1(2)= 1
Δ10
~μm1[(β12+k2)(1+1
2 β12(h2+h1)2
)⋅~fz(2)− 2kβ 1(β1(h2+h1)+1
6 β13(h2+h1)3
)⋅~fx(2)
]=
¿1
Δ10
~μm1[(β12+k2)(1+1
2 β12(h2+h1)2
)⋅~fz
(2)− 2kβ 12(h2+h1)(1+1
6 β12(h2+h1)2
)⋅~fx
(2)
]
B1(2)=1
Δ10 [2kα 1~Rμ1(1+1
2α12(h0+h1)2
)⋅~fz(2)− [~R1(α12− k2)+2~Rμ1k2](α1(h0+h1)+1
6α13(h0+h1)3
)⋅~fx(2)
]=
¿α1
Δ10 [2k~μm1(1+1
2 α12(h2+h1)2
)⋅~fz(2)−(h2+h1)[~R1(α12− k2)+2~μm1k2](1+1
6α12(h2+h1)2
)⋅~fx(2)
]
=− 1
Δ20
~μm1[(β12+k2)(1+1
2 β12(h2+h1)2
)⋅~fz(2)− 2kβ 12(h2+h1)(1+1
6β12(h2+h1)2
)⋅~fx(2)
]
Δ10=~μm1(β1
2+k2)[
~R1(α1
2− k2)+2~μm1k2](α1(h2+h1)+1
6α1
3(h2+h1)3
)(1+1
2β1
2(h2+h1)2
)−
−4~μ
2m1k2α1β1(β1(h2+h1)+1
6 β1
3(h2+h1)3
)(1+1
2α1
2(h2+h1)2
)=
(2.23)
33](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_33.png)
![=~Rμ1α1(h0+h1){(β12+k2)[~R1(α12− k2)+2~Rμ1k2](1+(
1
2β12+1
6α12)(h0+h1)2+ 1
12 α12β12(h0+h1)4
)−
−4~μm1k2β12
(1+(
1
2α12+1
6β12)(h2+h1)2+ 1
12 α12β12(h2+h1)4
)}=
=~μm1α1(h2+h1){
~R1(α12− k2)(β12+k2)[1+1
2β12(h2+h1)2+1
6α12(h2+h1)2+ 1
12 α12β12(h2+h1)4
]−
− 2~μm1k2(β12− k2)+~μm1k2β12(h2+h1)2(β12− α12)−~μm1k2β12(h2+h1)2(α12− k2)−
− 1
3
~μm1k2β1
2(h2+h1)2(β1
2−α1
2)− 1
3
~μm1k2(h2+h1)2(β1
4− k2α1
2)− 1
6
~μm1k2α1
2β1
2(h2+h1)4(β1
2−k2)},Yuqoridagi birinchi paragraf doirasida asosiy izlanuvchi funksiyalarning
tasvirlarini, yani integral almashtirishlarda c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini
aniqlab oldik. Ikkinchi paragrafda esa kontakt shartlarining tarkiblariga kiruvchi
c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamlar
integrallash o’zgarmaslarini, chegaraviy shartlardan foydalanib tashqi ta’sir
funksiyalari tasvirlari orqali ifodalab oldik. Endi oldingi natijalariga tayangan
holda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlari tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun keltirilgan (1.29) kontakt
shartlarining faqat ikkitasidan foydalanamiz va ularni quyidagi ko’rinishda
ko’chirib yozamiz
τxz
(0)|z=−h2= τxz
(2)|z=−h2+~fx
(2), σzz
(0)|z=h2=σzz
(1)|z=h2+~fz
(1).
(2.24)
Ushbu tenglamalarda kuchlanishlar o’rniga ularning (2.18) ifodalarini
qo’yamiz hamda hosil bo’lgan tenglamalar sistemasida
A2(2) va B2(2) o’zgarmaslar
o’rniga ularning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, zarur soddalashtirishlardan so’ng
ushbu tenglamalarga ega bo’lamiz
34](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_34.png)
![~μm2{2k⋅[
β22~W 2
(0)− k
ξ
~U2
(0)
β22−k2 ]⋅(1+1
2α22h22
)−(β22+k2)[
k~W 2
(0)− 1
ξ
~U2
(0)
β22−k2 ]⋅(1+1
2β22h22
)}=
=− 1
Δ20
~μm1α1{2~μm1k(1+1
2α12h22
)[(β12+k2)(1+1
2β12(h2+h1)2
)⋅~fz(2)−
−2kβ 1
2(h2+h1)(1+1
6β1
2(h2+h1)2
)⋅~fx
(2)]− (β12+k2)(1+1
2β12h22
)׿¿ (2.25)
¿[2~μm1k(1+1
2α12(h2+h1)2
)
~fz(2)−(~R1(α12−k2)+2~μm1k2)(h2+h1)(1+1
6α12(h2+h1)2
)
~fx(2)
]}+~fx(2),
[
~R2(α2
2− k2)+2~μm2k2][
β2
2~W 2
(0)− k
ξ
~U2
(0)
β2
2−k2 ](h2+1
6α2
2h2
3
)−2β2
2~μm2[
k2~W 2
(0)− k
ξ
~U2
(0)
β2
2−k2 ](h2+1
6β2
2h2
3
)=
= 1
Δ10
~μm1α1{[~R1(α12−k2)+2~μm1k2](h2+1
6α12h23
)[(β12+k2)(1+1
2β12(h2+h1)2
)fz(2)−
−2kβ 1
2(h2+h1)(1+1
6β1
2(h2+h1)2
)fx
(2)]−2kβ 1
2
(h2+1
6 β1
2h2
3
)[2~μm1k(1+1
2α1
2(h2+h1)2
)
~fz
(2)−
− (~R1(α12− k2)+2~μm1k2)((h2+h1)+1
6α12(h2+h1)3
)
~fx(2)]}+~fz(1)
.
Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini soddalashtiramiz
~μm2{[1+1
2β22h22~R2−1~μm2−1
2β22h22(1−~R2−1~μm2)]k~W 2
(0)+1
ξ[1+1
2h22(β22+k2(1−~R2−1~μm2))+1
2k2h22(1−~R2−1~μm2)]
~U2
(0)
}=
=− 1
Δ20
~μm2α1{2~μm1k(β12+k2)[
1
2(h2+h1)2(β12−α12)− 1
2h22(β12−α12)]
~fz
(2)+
+~R1(α12− k2)(β12+k2)(h2+h1)[1+1
2 β12h22+1
6α12(h2+h1)2+ 1
12 α12β12h22(h2+h1)2
]
~fx
(2)−
−2~μm1k2(h2+h1)[β1
2−k2− 1
2
β1
2h2
2(β1
2−α1
2)+1
2
β1
2h1
2(α1
2−k2)+1
6
β1
2(h2+h1)2(β1
2−α1
2)+
+1
6(h2+h1)2(β1
4− k2α1
2)+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2(β1
2−k2)]~fx
(2)
}+~fx
(2),
(2.26)
35](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_35.png)
![{[
~R2~R2−1~μm2(h0+1
6α02h03
)−1
3
~μm2k2h03(1−~R2−1~μm2)]β22~W 2(0)− k
ξh2[~R2~R2−1~μm2(1+1
6α22h22
)−
−2~μm2− 1
3
~μm2h2
2(β2
2+k2(1−~R2
−1~μm2))]~U2
(0)
}= 1
Δ10
~μm1α1h2{
~R1(α1
2−k2)(β1
2+k2)[1+1
6α1
2h2
2+
+1
2
β1
2(h2+h1)2+ 1
12
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]fz
(2)− 2~μm1k2[β1
2− k2− 1
2
β1
2(h2+h1)2(β1
2− α1
2)+
+1
2
β1
2(h2+h1)2(α1
2− k2)+1
6
β1
2h2
2(β1
2− α1
2)+1
6
h2
2(β1
4− k2α1
2)+1
6
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2(β1
2−k2)]~fz
(2)+
+2kβ 12(h2+h1)[~R1(α12− k2)+2~μm1k2][
1
6h22(β12− α12)− 1
6(h2+h1)2(β12−α12)]
~fx
(2)
}+~fz
(1). Ushbu tenglamalar sistemasining birinchisini
β22−k2 ga, ikkinchisini β12−k2
ga hadma had bo’lamiz va barcha o’хshash hadlarni qisqartir ib va
soddalashtiramiz :
~μm2{[1+1
2β22h22(1−~q2)− 1
2 β22h22~q2]k~W 2
(0)+1
ξ[1+1
2h22(β22+k2~q2)+1
2k2h22~q2]
~U 2
(0)
}=
=− 1
Δ20
¿{2~μm1k(β12+k2)[
1
2(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)− 1
2h22(1−~R1−1~μm1)]
~fz
(2)+
+~R1
~R1
−1~μm1(β1
2+k2)(h2+h1)[1+1
2β1
2h2
2+1
6α2
2(h2+h1)2+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2
]
~fx
(2)−
−2~μm1k2(h2+h1)[1− 1
2
β1
2h2
2(1−~R1
−1~μm1)+1
2
β1
2h2
2~R1
−1~μm1+1
6
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+
+1
6(h2+h1)2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]~fx
(2)
}+~fx
(2)
, (2.27)
~μm2{[
1
6α22h22− 1
3k2h22~q2+1]β22h2
~W 2
(0)− k
ξh2[
1
6α22h22−1
3h22(β22+ k2~q2)−1]
~U2
(0)
}=
= 1
Δ10
¿ h2{
~R1
~R1−1~μm1(β12+k2)[1+1
6α12h22+1
2β12(h2+h1)2+ 1
12 α12β12h22(h2+h1)2
]fz
(2)−
−2~μm1k2[1− 1
2
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+1
2
β1
2(h2+h1)2~R1
−1~μm1+1
6
β1
2h2
2(1−~R1
−1~μm1)+
36](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_36.png)
![+1
6
h2
2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+1
6
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]~fz
(2)+
+kβ 12(h2+h1)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2][
1
3h22(1−~R1−1~μm1)− 1
3(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)]
~fx
(2)
}+~fz
(1)Bu yerda
Δ10¿=~μm1(h2+h1){
~R1~R1−1(β12+k2)[1+1
2(h2+h1)2
(β12+1
3α12+1
6α12β12(h2+h1)2
)]−
−k2[2− β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+β1
2(h2+h1)2~R1
−1~μm1+1
3
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+
(2.28)
+1
3(h2+h1)2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+1
6α1
2β1
2(h2+h1)4]},
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami
nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlari
W 2(0)(x,t) , U2(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalarni
hamda
γin va λin operatorlarni quyidagicha kiritamiz [50]
W 2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2
(0)eptdp ,
U2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2
(0)eptdp .
γi
n(ς)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
αi
2n(ς)eptdp ,
λi
n(ς)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
βi
2n(ς)eptdp ,
(2.29)
γin
va λin operatorlar (x,t) o’zgaruvchilar i da yuqorida keltirilgan (1.18)
formulalarga asosan quyidagi integro-differensial operatorlarga teng kuchli
ekanligini ko’rish mumkin
γin= [ρiN i−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]
n
,
λin=[ρiM i−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]
n
,
i=0,1,2 ;n=0,1,2 ,.... (2.30)
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun keltirilgan
(2.27) tenglamalar sistemasi tenglamalari o’ng va chap tomonlariga mos ravishda
∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
eptdp ,
∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
(l)
eptdp
37](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_37.png)
![operatorlar bilan ta’sir qilamiz va c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka uchun W 2(0)(x,t) , U2(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalar hamda γi
n va λi
n
operatorlar orqali ifodalangan quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz
Δ20**~μm2{[1+1
2γ2h22(1−2q2)]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ[1+1
2h22
(γ2−2q2 ∂2
∂x2)]U2(0)
}=
=−~μm1{q1h1(2h2+h1)(γ1− ∂2
∂x2)
∂
∂x fz(2)+(h2+h1)(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1h22
)(1+1
6λ1(h2+h1)2
)fx(2)+
+2 ∂2
∂x2(h2+h1)[1+1
2γ1h2
2(1−2q1)+ 1
6(h2+h1)2
(γ1(1+1
2λ1h2
2
)+q1(γ1− ∂2
∂x2))]fx
(2)
}
+Δ20
** fx
(2)
Δ10**Rμ0{[1+1
6h12
(λ2+2q2∂2
∂x2)]γ2W 2(0)+1
ξ[
1
6h22
(λ2−2γ2+2q2∂2
∂x2)−1]
∂
∂xU2(0)
}=
( 2.31 )
={
~μm1(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1(h2+h1)2
)(1+1
6λ1h22
)fz(2)+2~μm1[1+1
2γ1(h2+h1)2(1−2q1)+1
6h22q1(γ1− ∂2
∂x2)+
+1
6h22γ1(1+λ1(h2+h1)2)] ∂2
∂x2fz(2)−1
3γ1q1h1(2h2+h1)(h2+h1)[R1(λ1+ ∂2
∂x2)−2Rμ1∂2
∂x2]
∂
∂x fx(2)
}+Δ10** fz(1)
Bu yerda
Δ10**=~μm1(h2+h1){(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1(h2+h1)2
)(1+1
6λ1(h2+h1)2
)+
+[2+1
3(h2+h1)2
(4γ1−5γ1q1− q1 ∂2
∂x2+1
2λ1γ1(h2+h1)2
)]
∂2
∂x2}
,
Operatorlar yordamida yozilgan c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalari sistemasi (2.31)
tenglamalarni yana хususiy hosilali integro-differensial tenglamalar shaklida
yozish uchun
γin va λin operatorlarning (2.30) ko’rinishidan foydalanamiz. C hetlari
bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari
uchun hosil qilingan tenglamalar sistemasida
Δ1 ni bir хil darajalar bo’yicha
guruhlaymiz va oltinchi hamda undan yuqori tartibli hosilalarga ega bo’lgan
hadlarni, cheksiz kichik miqdorlar sifatida tashlab yuborib c hetlari bikr
38](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_38.png)
![mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari ning
quyidagi integro-differensial tenglamalari sistemasini hosil qilamizΔ2~μm2{[1+1
2ρ2~μ
−1m1(1−2q2)h22∂2
∂t2−1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ[1+1
2ρ2~μ
−1m2h22∂2
∂t2−1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U2(0)
}=
=−~μm1{h1(2h2+h1)q1[ρ1~μ−1m1∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂
∂x fz(2)+(h2+h1)[1
2ρ12~μ−2m1(h22+1−q1
3 (h2+h1)2)∂4
∂t4−
− ρ1~μ
−1m1
(
1
2h22(1+4q1)+1
3(h2+h1)2
(
1
2−2q1))
∂4
∂t2∂x2+
+2q1(h22− 1
3(h2+h1)2
)
∂4
∂x4+ρ1~μ
−1m1∂2
∂t2]fx(2)
}+Δ2fx(2),
( 2.32 )
Δ1~μm1h2{[
1
6h22ρ22~μ
−1m1(1−q2)∂4
∂t4−1
6h22ρ2~μ
−1m1(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h22(1−2q2)∂4
∂x4+ρ2~μ
−1m1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W2(0)−
−1
ξ[
1
6h22ρ2~μ
−1m1(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)
}=~μm1h2{[1
2ρ12~μ
−1m1
(
1
3(1−q1)h22+(h2+h1)2
)
∂4
∂t4−
−(
1
6(1− q1)h22−(
1
2+2q1)(h2+h1)2
)ρ1~μ
−1m1 ∂4
∂t2∂x2+2q1((h2+h1)2− 1
3h22
)
∂4
∂x4+ρ1~μ
−1m1∂2
∂t2]fz(2)+
+1
3h1(h2+h1)(h1+2h2)[ρ12~μ
−1m1∂4
∂t4−3ρ1~μ
−1m1 ∂4
∂t2∂x2+2 ∂4
∂x4]
∂
∂xfx(2)
}+Δ1fz(1)
Bu yerda
Δ1=~μm1(h2+h1){(h2+h1)2
[
4−q1
6 ρ12~μ
−1m1∂4
∂t4− 2
3ρ1~μ
−1m1(1+2q1) ∂4
∂t2∂x2+4
3q1∂4
∂x4]+ρ1~μ
−1m1∂2
∂t2},
Bu tenglamalar sistemasi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining
W 0
(0)(x,t) , U0
(0)(x,t) bosh qismlari
orqali ifodalangan. Ular хususiy hosilali, giperbolik tipdagi tenglamalardan iborat.
Tenglamalarning giperbolik tipdaligi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari jarayonlarini to’g’ri tavsiflash uchun
muhim ahamiyatga ega. Muhandislik konstruktsiyalari elementlarining
nostatsionar tebranishlarini tavsiflovchi tenglamalar albatta giperbolik tipda
bo’lishi zarurligi [51] tadqiqot ishlarida keltirilgan. Bundan tashqari, olingan
natijalardan ko’rinadiki tenglamalar o’z tarkiblarida aylanish inertsiyasi va
39](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_39.png)
![ko’ndalang siljish deformatsiyasini [19] hisobga oluvchi hadlarga ega. Shu
ma’noda, solishtirma tahlil natijalariga ko’ra olingan natijalar S.P.Timoshenkoning
aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga nisbatan umumiyroqdir [49]. Bu yerda
yana shuni ham alohida takidlash lozimki, oхirgi natijaviy (2.32) tenglamalar,
klassik Kirхgoff hamda aniqlashtirilgan Timoshenko tipidagi [52] tenglamalardan
farqli ravishda, qo’shimcha gipoteza va farazlardan foydalanilmasdan, hamda
sun’iy to’g’rilovchi koeffitsiyentlar kiritilmasdan keltirib chiqarildi [4].
2.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish
tenglamalarining ba’zi xususiy hollari
Biz quyida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranish tenglamalari sistemasi ning ba’zi хususiy va limitik
hollarini keltiramiz. Eng avvalo qatlamlari materiallari elastik хususiyatga ega
bo’lgan ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini bo’ylama va
ko’ndalang to’lqin tarqalish tezliklariga nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning
uchun ushbu ifodalardan foydalanamizai2=
λi+2μi
ρi
, bi2=
μi
ρi
, i=0,1,2 .
(2.35)
Keltirilgan munosabatlardan foydalanib qatlamlari materiallari elastik bo’lgan
c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka (2.33) antisimmetrik
tebranish tenglamalarini bo’ylama va ko’ndalang to’lqin tarqalish tezligi orqali
yozamiz
Δ2μ0{[1+ 1
2b02(1− 2q0)h02∂2
∂t2− 1
2h02(1− 2q0)∂2
∂x2]
∂
∂xW 0(0)+1
ξ[1+ 1
2b02h02∂2
∂t2−
− 1
2h02(1+2q0)∂2
∂x2]U 0(0)
}=− Rμ2{h2(2h0+h2)q2[
1
b22 ∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂
∂x fz(2)+
(h0+h2)[ 1
2b24(h02+1− q2
3 (h0+h2)2)∂4
∂t4− (
1
2h02(1+4q2)+1
3(h0+h2)2
(
1
2− 2q2))
1
b22 ∂4
∂t2∂x2+
+2q2(h02− 1
3(h0+h2)2
) ∂4
∂x4+ 1
b22 ∂2
∂t2] fx(2)
}+Δ2fx(2),
( 2.36 )
40](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_40.png)
![Δ1Rμ0h0{[
1
6b04h02(1−q0)∂4
∂t4− 1
6b02h02(2−3q0) ∂4
∂t2∂x2+1
6h02(1−2q0)∂4
∂x4+ 1
b02 ∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 0(0)−
− 1
ξ[
1
6b02h02(1+q0)∂2
∂t2+1
6h02(1+2q0)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU0(0)
}= μ1h0{[ 1
2b14(1
3(1− q1)h02+
+(h0+h1)2)∂4
∂t4−(
1
6(1−q1)h02−(
1
2+2q1)(h0+h1)2
)
1
b12 ∂4
∂t2∂x2+2q1((h0+h1)2− 1
3h02
) ∂4
∂x4+
+ 1
b12 ∂2
∂t2]fz(2)+1
3h1(h0+h1)(h1+2h0)[
1
b14 ∂4
∂t4− 3
b12 ∂4
∂t2∂x2+2 ∂4
∂x4]
∂
∂x fx(2)
}+Δ1fz(1),bu yerda
Δ1= μ1(h0+h1){(h0+h1)2
[
4− q1
6b14 ∂4
∂t4− 2
3b12(1+2q1) ∂4
∂t2∂x2+ 4
3q1 ∂4
∂x4]+ 1
b12 ∂2
∂t2},
Ushbu (2.36) tenglamalar sistemasi elastik c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalari sistemasidan
iborat.
Faraz qilaylik ikki qatlamli plastinkaning yuqori qatlami bo’lmasin, yani u
faqat quyi qatlamdan iborat, bitta qatlamdan iborat bo’lsin. Bunday plastinka
materiali bir jinsli bo’lganligi uchun uni ko’pincha bir jinsli plastinka deb ham
ataydilar. U holda (2.33) va (2.36) tenglamalardan bir jinsli elastik plastinka uchun
ushbu
[1+1
2ρ2μ
−1m1(1−2q2)h22∂2
∂t2−1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+
+1
ξ[1+1
2ρ2μ
−1m1h22∂2
∂t2− 1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U 2(0)
=
μ−1m1(fx(2)),
( 2.37)
[
1
6h2
2ρ2
2μ
−2m1(1−q2)∂4
∂t4−1
6h2
2ρ2μ
−1m1(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h2
2(1−2q2)∂4
∂x4+ρ2μ
−1m1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 2
(0)−
− 1
ξ[
1
6h22ρ2μ
−1m1(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)=
μ−1m1h2−1(fz(1)),
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Agar (2.37) tenglamalar sistemasini uning
noma’lum funksiyalaridan biriga nisbatan, masalan
W 0
(0) ga nisbatan, yechsak va
hosil bo’lgan tenglamada hosilalarining tartibi oltidan yuqori bo’lgan hadlarni
41](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_41.png)
![tashlab yuborsak, professor I.G.Filippovning [19] ishda keltirilgan tenglamalari
kelib chiqadi. Bu yerdan ko’rinadiki taklif etilayotgan tenglamalar tartiblari past va
yechish osonroq bo’lganligi uchun, muhandislik nuqtai nazaridan, amaliy
masalalarni yechishda qulayroqdir.
Boshqa avtorlarning natijalari bilan solishtirish uchun elastik ikki qatlamli
plastinka uchun (2.36) tenglamalar sistemasini bir qatlamli plastinka uchun
yozamiz[1+ 1
2b22(1−2q2)h22∂2
∂t2− 1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+
+1
ξ[1+ 1
2b22h22∂2
∂t2− 1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U 2(0) = 1
μ2
fx
(2), (2.38)
[
1
6b24h22(1− q2)∂4
∂t4− 1
6b22h22(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h22(1−2q2)∂4
∂x4+ 1
b22 ∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 2(0)−
− 1
ξ[
1
6b22h22(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)
= 1
μ2h2
fz
(1).
Elastik bir jinsli plastinka uchun G.I.Petrashen tomonidan taklif etilgan
tenglamalar sistemasi bilan ushbu tenglamalarni solishtirish uchun uning
tenglamalarini keltiramiz [35]:
2 ∂χ2
∂x+(2 ∂2
∂x2− 1
b22∂2
∂t2)ζ2+h22
2[2(
1
a22∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂χ2
∂x+
+(2 ∂2
∂x2− 1
b22
∂2
∂t2)(
1
b22
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)ζ2]= 1
μ2
fx
+(x,t),
(2.39)
(
1
b2
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)χ2+2(
1
b2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂xζ2+
+h2
6 [(
1
b2
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)(
1
a2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)χ2+2(
1
b2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
2 ∂
∂x
ζ2]
= 1
μ2
fz
+(x,t)
h
Keltirilgan (2. 38 ) va (2. 39 ) sistemalar ikkinchi tenglamalarining hadlari
oldidagi koeffitsientlar biroz farq qilgan holda bir-biriga hadlar soni, hosilalar
tartiblari va o’ng tomonlari mos tushganligini ko’rish mumkin. Ammo, birinchi
42](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_42.png)
![tenglamalar bir-biridan tartibi bilan farq qiladi. Tenglamalarning o’ng tomonlari
to’liq mos tushadi. Biz taklif etayotgan tenglamaning tartibi ikkiga teng bo’lgani
holda G.I.Petrashenning tenglamasi tartibi to’rtga teng. Bu farq quyidagicha
izohlanadi: (2.39) tenglamalar sistemasini keltirib chiqarishda yordamchi
funksiyalar χ2(x,t)=∫
0
∞
cos kx ¿}¿¿dk ∫
(l)
α2A2
(2)eptdp ¿
, ζ2(x,t)=∫
0
∞
cos kx ¿}¿¿dk∫
(l)
B2
(2)eptdp ¿
formulalar bilan kiritilgan va ularning qanday meхanik ma’nosi borligi noma’lum,
yani bu funksiyalar sof matematik nuqtai nazardan kiritilgan; (2.40) tenglamalarga
kelsak ularning asosiy noma’lum izlanuvchi funksiyalari ham
W 2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2
(0)eptdp ,
U2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2
(0)eptdp .
formulalar bilan aniqlangan. Ammo bu yerda integral ostidagi funksiyalar
integrallash o’zgarmaslari orqali
~U 2(0)=[kα 2A2(2)− β22B2(2)]ξ ,
~W 2(0)=α2A2(2)− kB 2(2)
kabi ifodalanadi va plastinka o’rta qatlamining
ξ= χ⋅h2,
−1≤ χ≤ 1
formula bilan kiritilgan
z=0
koordinat tekisligidan ξ
masofada yotuvchi “oraliq”
tekisligi nuqtalari
U2(x,t) va W2(x,t) ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat.
Boshqacha aytganda (2.40) tenglamalar sistemasi G.I.Petrashen tenglamalaridan
farqli o’laroq, aniq meхanik ma’noga ega.
Bundan tashqari olingan (2.40) tenglamalar sistemasi bilan bir qatorda,
quyida plastinka hamma qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik
43](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_43.png)
![holatlarini aniqlash algoritmi ishlab chiqilgan. Ushbu algoritm tebranish
tenglamalarini yechish natijasida topilgan ko’chishlarning U2(0)(x,t) va W 2(0)(x,t)
bosh qismlari qiymatlari maydoni bo’yicha kuchlanishlar va ko’chishlarning
hamma noldan farqli komponentalarini talab etilgan aniqlikda hisoblash imkonini
beradi.
2.3-§. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan-deformatsiyalangan
holatini aniqlash
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlari da c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash algoritmi har bir qatlamdagi
kuchlanish tenzorining
σxx(m) , σzz(m) , τxz(m) , (m=1,2 ) komponentalarini, hamda ko’chish
vektorlarining
Um , Wm , (m=1,2 ) tuzuvchilarini keltirib chiqarilgan (2.32)
tenglamalarning izlanuvchi funksiyalari bo’lgan
U2(0) va W 2(0) lar orqali ifodalashdan
iboratdir. Buning uchun avvalo ushbu komponentalar va tuzuvchilarni umumiy
(1.36) yechimlar orqali ifodalash zarur. Ma’lumki
U2(0) va W2(0) funksiyalar c hetlari
bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining, (2.2) formula
bilan kiritilgan
z=0
koordinat tekisligidan ξ
masofada yotuvchi “oraliq” tekisligi
nuqtalari
U2 va W2 ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat edi. Dissertatsiya
ushbu paragrafi ko’rsatilgan muammoni plastinkaning har bir qatlami uchun
alohida hal qilishga bag’ishlangan.
Ushbu paragraf doirasida avvalo c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka quyi qatlamining
U2 va W2 ko’chishlarini, keyin esa c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamining
U1 va W1
ko’chishlarini izlanuvchi
U2(0)(x,t) , W 2(0)(x,t) funksiyalar orqali ifodalaymiz. Buning
uchun plastinka iхtiyoriy qatlami nuqtalari ko’chishlarining 1-bobda keltirilgan
(1.40) ifodalaridan, yani
44](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_44.png)
![~U m= kA m(2)sh (αmz)− βmBm(2)sh (βmz);
~W m=αmAm(2)ch (αmz)− kB 2(2)ch (βmz). (m=0,1,2 )formulalardan foydalanamiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka quyi qatlami uchun bu ifodalardan
m= 2 bo’lgan holda quyidagilarni
olamiz
~U2=kA 2(2)(k,p)sh (α2z)− β2B2(2)(k,p)sh (β2z),
~W 2=α2A2(2)(k,p)ch (α2z)− k B2(2)(k,p)ch (β2z).
(2.42)
Oхirgi formuladagi
A0
(2) va B0
(2) o’zgarmaslar o’rniga ularning c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamining yuqorida
eslatilgan “oraliq” tekisligi ko’chishlarining bosh qismlari orqali qiymatlari
α2A2(2)=
β22~W 2(0)− k
ξ
~U 2(0)
β22−k2 ,B2(2)=
k~W 2(0)− 1
ξ
~U 2(0)
β22− k2
ni qo’yamiz va
~U2 hamda
~W2 ko’chishlar tasvirlari uchun quyidagi formulalarga
kelamiz
~U 2= 1
β22− k2{
1
6kβ 22z3(α22− β22)~W 2(0)+1
ξ[(β22− k2)z+1
6(β24− k2α22)z3
]
~U 2(0)
}
,
~W 2= 1
β22− k2{[β22− k2+1
2 β22z2(α22− k2)+ 1
24 β22z4(α24− k2β22)]
~W 2(0)+
+ k
ξ[
1
2z2(β22− α22)+ 1
24 z4(β24− α24)]
~U 2
(0)
}.
(2.43)
Ko’chishlarning originallariga o’tish uchun olingan ifodalarda ularni ham
quyidagicha tasvirlaymiz
U2(x,t)
=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2eptdp ,
W 2(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2eptdp . (2.44)
Endi (2.43) ga (2.29) va (2.44) ifodalarni qo’ysak
U0(x,t) va W0(x,t) ko’chishlar
U2={− 1
6z3
(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)q2∂
∂xW 2(0)+1
ξ[z+1
6(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2(1+q2))z3
]U2(0)
}
W 2={
z4
24 (1−q2)[ρ22L2−1M 2−1∂4
∂t4−(
1−2q2
1−q2
ρ2M 2−1+ρ2L2−1
)
∂4
∂t2∂x2+1−2q2
1−q2
∂4
∂x4]+
45](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_45.png)
![+1
2z2(1− q2)(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1}W 2(0)− z2
2ξq2[z2
12 [(ρ2M 2−1+ρ2L2−1)∂2
∂t2−
− ∂2
∂x2]+1] ∂
∂xU2
(0). (2.45)
Olingan ushbu formulalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka quyi qatlami iхtiyoriy
nuqtalarining bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarini hisoblash imkonini beradi.
Elastik hol uchun (2.45) ifodalar quyidagi ko’rinishni oladi
U 2={−(
1
6b22z3q2∂2
∂t2− 1
6z3q2 ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξz[
1
6b22z2∂2
∂t2− 1
6z2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
},
W 2={[ 1
24 a22b22z4(1− q2)∂4
∂t4− 1
24 z4
(
1
b22(1− 2q2)+ 1
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ 1
24 z4(1− 2q2)∂4
∂x4+
+ 1
2b22z2(1−q2)∂2
∂t2− 1
2z2(1− q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[1
24 z4q2(
1
b22+ 1
a22)
∂2
∂t2−
− 1
12 z4q2∂2
∂x2+1
2z2q2]∂
∂xU 2
(0)
} . (2.46)
Bu yerda
a2 , b2 - c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam materialida, mos ravishda, bo’ylama va
ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tezliklari;
z -plastinka tekisligiga tik koordinata.
Oхirgi tenglamani o’lchamsiz koordinatalarga o’tkazamiz. Asosiy
parametrlarni quyidagicha almashtiramiz
b2t=t¿l
, U 2(0)=U 2(0)¿
l , W 2(0)=W 2(0)¿
h2 , U2=U2¿l , W 2=W 2¿l ,
z=z¿h2
, x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1
¿h2 , h1=h1
¿h2 .
Natijaviy formulalarda yozuvning qulayligi uchun (*) belgisini tashlab yuboramiz
va ushbu ifodalarga ega bo’lamiz
U 2={− z3
6l3q2(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξ[
z2
6l2 ∂2
∂t2− z2
6l2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
}
W 2={[ b22z4
24 l4a22(1−q2)∂4
∂t4− z4
24 l4(1−2q2+b22
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ z4
24 l4(1−2q2)∂4
∂x4+
46](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_46.png)
![+ z2
2l2(1−q2)∂2
∂t2− z2
2l2(1−q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)∂2
∂t2− z2
12 l2q2 ∂2
∂x2+1
2q2]
∂
∂xU 2(0)
}Ushbu ifodalar tebranish tenglamalari o’lchamsiz koordinatalarda yechilganda
foydalanish uchun qulay. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam kuchlanishlari uchun quyidagi
natijalarga ega bo’lamiz:
σxx(0)=z{[b22
6a22
h24
l4z2(2q2−1)∂4
∂t4− h24
6l4z2
(
b22
a22(3−2q2)+3−4q2)
∂4
∂t2∂x2+h04
6l4z2(3−4q2)∂4
∂x4+(2q2−1)h22
l2∂2
∂t2+
+(1− 2q2)h22
l2 ∂2
∂x2]W 2(0)+1
ξ[
h22
6l2z2(
b22
a22(1+2q2)+2q2)∂2
∂t2− h22
6l2z2(1+4q2)∂2
∂x2+1+2q2]
∂
∂xU 2(0)
}
σxz(0)=(1−2q2)[
h23
2l3z2∂2
∂t2− h23
2l3z2∂2
∂x2+h2
l]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ
h2
2lz2
[
∂2
∂t2−(1+2q2)∂2
∂x2]U2(0),
σzz(0)=[
h24b22
6a22l4z2∂4
∂t4− h24
6l4z2
(
b22
a22+(1−2q2))
∂4
∂t2∂x2+ h24
6l4z2(1−2q2)∂4
∂x4+h22
l2∂2
∂t2−h22
l2 ∂2
∂x2]W 2(0)+
+1
ξ[
h22
6l2z2
(
b22
a22−2)
∂2
∂t2+ h22
6l2z2(1+2q2)∂2
∂x2−1]
∂
∂x U 2(0)
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida plastinka yuqori qatlamlari nuqtalarining ko’chishlari va
kuchlanishlarini ham ko’chishlarning bosh qismlari
U0(0) va W0(0) lar orqali ifodalash
mumkin. Masalan ,
[
b24
12 a12b12
h24
l4∂4
∂t4− h24
12 l4(
b22
a12+b22
b12) ∂4
∂t2∂x2+ h24
12 l4 ∂4
∂x4+ b22
2b12
h22
l2(4
3−q1)∂2
∂t2− h22
2l2(4
3−2
3q1)∂2
∂x2+1]W1=
=[ b22
12 b12(1− q2+3z2(1−q2)(1−q1)+b22
a12z2
)
h24
l4 ∂4
∂t4− 1
12 (1+q1+b22
b12− q2(1+b22
b12)+z2
(
b22
a12+b22
b12)+
+3z2(1−q2)(1−q1)(1+b22
b12)− z2q2q1)h24
l4 ∂4
∂t2∂x2+ 1
12 (1+q1−q2+3z2(1−q2)(1−q1)+z2(1−q2q1))
h24
l4 ∂4
∂x4+
− 1
ξ[ b24
24 a12b12
h24
l4z2q2∂4
∂t4− h24
24 l4z2q2(
b22
a12+b22
b12)
∂4
∂t2∂x2+ h24
24 l4z2q2 ∂4
∂x4+
+ 1
12 (
b22
b12q2+q1(z2−1)+3b22
b12 z2q2(1− q1))
h22
l2 ∂2
∂t2−
47](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_47.png)
![− 1
12 (q2− q1+3z2q2(1−q1)+z2q1(1+q2))
h22
l2 ∂2
∂x2+1
2(q2− q1+z2q1)] ∂
∂xU 2(0).
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida plastinka yuqori qatlam i ko’chishlari va kuchlanishlarining boshqa
komponentalari uchun ham хuddi shunday ifodalarni keltirib chiqarish qiyin emas.
48](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_48.png)
![III BOB
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI
PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY
MASALALARI
3.1 -§ . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy
va tutashlik shartlari
Ikkinchi bobning natijalariga ko’ra biz qarayotgan c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari
tenglamalar i sistemasi tarkibiga faqatgina qalinlik koordinatasi bo’yicha egilish
funksiyasi emas, balki bo’ylama ko’chishni хarakterlovchi funksiya ham kiradi.
Ushbu faktor c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlarida faqat sof ko’ndalang tebranishlar emas, balki
bo’ylama-ko’ndalang tebranishlar ham sodir bo’lishini ko’rsatadi.
Ana shu tebranishlarni vaqtning t=0 paytida c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka
yuqori qatlamlarining tashqi sirtlariga qo’yilgan dinamik yuklanishlar vujudga
keltiradi, vaqtning
t<0 paytlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka tinch holatda bo’lgan deb hisoblanadi. Shu bilan bir qatorda masalaning
chiziqliligi sababli, ko’chish maydonlarini simmetrik va antisimetrik qismlarning
superpozitsiyasi shaklida ifodalash mumkin, yani [35]
⃗U m= ⃗U mб+⃗U mк . Bu yerda ⃗Umб ,
⃗Umк
-lar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari
nuqtalari ko’chishlarining, mos ravishda, bo’ylama va ko’ndalang qismlari.
Demak, plastinkalar tebranishlari haqidagi masalalarni qo’yishda birinchi navbatda
tebranishlarning simmetrik va antisimmetrik qismlarini ajratish maqsadga
muvofiq. Biz ushbu dissertatsiya ishi doirasida antisimmetrik masalalarni
qarayapmiz. Shuning uchun avvalo shunday masalaning chegaraviy shartlarini
shakllantiramiz.
49](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_49.png)
![C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tashqi
sirtlaridagi chegaraviy shartlar . Bu holda plastinka qatlamlarining tashqi z=h1 va
z=−h2
sirtlarida
τxz
(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi= fxi(x,t);
σzz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=(−1)i−1fzi(x,t);
τyz
(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=0;(i=1,2 ),
(3.1)
shartlar qanoatlantirilishlari kerak. Bu yerda
fxi(x,t) va fzi(x,t) lar (1.10) umumiy
chegaraviy shartlardagi tashqi ta’sir funksiyalari. Agar antisimmetrik tebranishlar
qaralsa bu funksiyalar
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)=1
2(Fxz
(1)−Fxz
(2)),
fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2)).
kabi, simmetrik tebranishlar holida esa [1,8,79]
fx
(1)(x,t)=− fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)+Fxz
(2)),
fz
(1)(x,t)= fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)+Fz
(2))
kabi aniqlanadilar.
Takidlash kerakki, (3.1) chegaraviy shartlar bilan bir qatorda
Um,Vm,Wm
(m=0,1,2 )
ko’chishlar komponentalari uchun vaqtning t=0 paytida boshlang’ich
shartlar shakllantirilgan bo’lishlari kerak. Dissertatsiya ishida bu shartlar nolga
teng deb qabul qilingan, yani:
U m= V m= W m= 0
;
∂U m
∂t =
∂Vm
∂t =
∂W m
∂t = 0 . (3.2)
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlar
orasidagi tutashlik (kontakt) shartlari. Yuqorida birinchi va ikkinchi boblar
doirasida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari
orasidagi o’zaro ta’sir shartlarini shakllantirishda bu qatlamlar faqat bikr tutashgan
deb faraz qilindi. Aslida tutashlik shartlari uch turda bo’lishi mumkin [9], [41]:
bikr, sirpanuvchi va ideal tutashlik shartlari. Quyida ana shu shartlarni keltiramiz.
a) Bikr tutashlik. Bu holat ta’kidlanganidek birinchi va ikkinchi boblarda
qaralgan masalalar uchun quyidagicha shakllantirildi:
50](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_50.png)
![- c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka y uqori qatlami va
quyi qatlami o’rtasidagi tutashlik (kontakt) tekisligida, yani z= h0 bo’lganda
(1.12) shartlar
σzz
(0)=σzz
(1),τxz
(0)=τxz
(1),τyz
(0)= τyz
(1),U 0=U 1,V0=V1, W 0= W 1.
(3.3)
b) Sirpanuvchi tutashlik. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka qatlamlari orasidagi t utashlik sirtlari bir-biriga nisbatan sirpanuvchi
bo’lgan holda kuchlanishlar orasidagi munosabatlarda sirpanish ishqalanish
koeffitsiyenti hisobga olingan bo’lishi kerak (ishqalanishning Kulon modeli) [12]
z= h0
bo’lganda
σzz
(0)= σzz
(1), σxz
(0)= ηx
(01)σzz
(0), σyz
(0)= ηy
(01)σzz
(0)
, σxz
(1)=−ηx
(01)σzz
(1) , σyz
(1)=−ηy
(01)σzz
(1) , (3.5)
bu yerda
ηx
(0k) va ηy
(0k) kattaliklar, mos ravishda, nol va birinchi
(k=1) ,
Shuningdek nol va ikkinchi
(k= 2) qatlamlar o’rtasidagi o’qlar yo’nalishlari
bo’ylab ishqalanish koeffitsientlari. Shu bilan birga bu koeffitsiyentlarning
ishoralari zarrachalarning tutashlik tekisliklari bo’ylab harakatlanish (sirpanish)
yo’nalishiga bog’liq. Bu yerda yana shuni ham takidlash kerakki, qatlamlar
ko’chish komponentalari orasida (3.4) va (3.5) kabi munosabatlar mavjud emas.
v) Ideal kontakt. Bu holda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka tekisligiga parallel yo’nalishida ko’chish va kuchlanishlar mavjud emas.
Boshqacha aytganda bu holda faqat normal kuchlanishlar
σzz(m) va W(m) ko’chishlar
noldan farqli, qolganlari esa nolga teng. Yani bu holda
zi=±h0
tekisliklarda
tutashlik shartlari quyidagicha bo’ladi:
σzz
(0)= σzz
(m) , σxz
(0)= σxz
(m)= 0 , σyz
(0)= σyz
(m)= 0 , W (0)=W (m) , (m=1,2 ) . (3.7)
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida ikki qatlamli plastinka chetlaridagi chegaraviy shartlar. Qurilish
va teхnikaning turli sohalarida foydalaniladigan ikki qatlamli elastik plastinkalar
qurilmalar qismlariga turlicha mahkamlanishi mumkin. Odatda mahkamlash ikki
qatlamli elastik plastinkaning chetlari bo’ylab amalga oshiriladi. Bunday hollarda,
51](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_51.png)
![ikki qatlamli elastik plastinka chetlarining mahkamlanishiga qarab turli хil
chegaraviy shartlarni shakllantirish mumkin. Quyida ulardan, ilmiy manbalardan
ko’pchilikka ma’lum bo’lgan [53] bir nechta turini, ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlari masalasiga qo’llash nuqtai-nazaridan qarab chiqamiz.
Tadqiqot ishida qaralayotgan masalalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari masalasi elastiklik nazariyasi tekis
masalasi doirasida yechilayotganligi uchun chegaraviy shartlarni faqat x =0 va x = l
( l – plastinka uzunligi) chetlar uchun keltiramiz. Bundan tashqari c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranish tenglamalari
ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami U0 va W0 ko’chishlarining bosh qismlari
bo’lgan
U2(0) va W2(0) funksiyalarga nisbatan tenglamalar bo’lganligi uchun,
chegaraviy shartlarni ham ana shu
U2(0) va W2(0) bosh qismlarga nisbatan
shakllantirish kerak. Aytilgan fikrlardan kelib chiqqan holda ikki qatlamli elastik
plastinka uchun quyidagi chegaraviy shartlarni keltiramiz.
a) Plastinkaning uchlari bikr mahkamlangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda,
o’rta qatlam nuqtalarining
W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar
quyidagi ko’rinishda yoziladi
W2=0,
∂W 2
∂x =0 . (3.8)
Ikkinchi tomondan (2.47) formulalarga asosan
W 2={[ b22z4
24 l4a22(1−q2)∂4
∂t4− z4
24 l4(1−2q2+b22
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ z4
24 l4(1−2q2)∂4
∂x4+
+ z2
2l2(1−q2)∂2
∂t2− z2
2l2(1−q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)∂2
∂t2− z2
12 l2q2∂2
∂x2+1
2q2]
∂
∂xU2(0)
}
,
U 2={− z3
6l3q2(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξ[
z2
6l2 ∂2
∂t2− z2
6l2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
}
. . (3.9)
Ko’rinib turbdiki ushbu ifodalar chegaraviy shartlarni murakkablashtiradi.
Shuning uchun ularda faqat ikkinchi tartibli hosilalar bilan chegaralanamiz, u
holda
W0 uchun
52](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_52.png)
![W 2=[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)
∂2
∂t2− z2
12 l2q2∂2
∂x2+1
2q2]
∂
∂xU2(0) (3.10)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdan (3.8) ning birinchi shartiga asosan
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]W 2
(0)=0, [
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂
∂xU 2(0)=0.
(3.11)
va (3.8) ning ikkinchi shartiga asosan
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]
∂W 2
(0)
∂x =0, [
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂2U 2(0)
∂x2 =0.
(3.12)
chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz.
Boshlang’ich shartlar nolga teng, yani
0 t da
W 2(0)=0,
∂W 2(0)
∂t = 0
,
∂2W 2(0)
∂t2 =0 , . U2(0)=0,
∂U 2(0)
∂t =0 ,
∂2U 2(0)
∂t2 = 0 , ….(3.13)
b) Plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan . Bu holda x =0 va x = l
chetlarda chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi:
W2=0,
∂2W 2
∂x2=0 . (3.14)
Ushbu shartlarning birinchisi uchun yuqoridagi (3.11) tenglamalar o’rinli.
Ikkinchisi uchun (12) ni yana bir marta differentsiallasak
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]
∂2W 2
(0)
∂x2 =0,
[
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂3U 2(0)
∂x3 = 0. (3.15)
Shunday qilib plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan holda
ko’chishlarning bosh qismlari (3.11) va (3.15) tenglamalarni qanoatlantirishlari
kerak. Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani
0 t da (3.13) tengliklar
qanoatlantirilishlari kerak.
v) Plastinka chetlari erkin tayangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda, o’rta
qatlam nuqtalarining
W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar
quyidagi ko’rinishda yoziladi
M x=0, Qx=0. Qaralayotgan uch qatlamli plastinka
uchun, masalaning tekis masala ekanligini hisobga olsak bu shartlar ko’chishlarda
quyidagicha yoziladi :
53](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_53.png)
![∂2W 2
∂x2=0, ∂3W 2
∂x3 =0 ..
u holda bu shartlarning birinchisi uchun (3.15) tenglamalar, ikkinchisi uchun esa
[ z2
2l2(1−q0)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]
∂3W 0
(0)
∂x3 =0,
[
z2
12 l2((1+b02
a02)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂4U 0(0)
∂x4 =0. (3.16)
Shunday qilib plastinkaning chetlari erkin tayangan holda ko’chishlarning
bosh qismlari (3.15) va (3.16) tenglamalarni qanoatlantirishlari kerak.
Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani
0 t da (3.13) tengliklar
qanoatlantirilishlari kerak.
Yuqoridagi holatlarning turli хil kombinatsiyalarini ko’rib chiqish mumkin .
Masalan, p lastinkaning bir cheti bikr mahkamlangan , ikki nchi si e sa erkin ; bitta
cheti sharnirli mahkamlangan , ikki nchisi esa bikr mahkamlangan va hokazo.
3.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik garmonik tebranishlari .
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
garmоnik tеbranishlari masalasini оldingi bоbda kеltirib chiqarilgan tеbranish
tеnglamalari asоsida yеchamiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka antisimmetrik garmоnik tеbranishlari masalasini yеshish uchun (2.36)
tеnglamalar sistеmasidan foydalanamiz. (2.36) tеnglamalar sistеmasini quyidagi
ifodalardan foydalanib o’lshamsiz kооrdinatalarga o’tkazamiz.
b0t=t¿l
, U0
(0)=U0
¿l , W 0
(0)=W 0
¿h0 , z=z¿h0 , x= x¿l , ξ=ξ¿h0 , h1=h1
¿h0 , h2=h2
¿h0
Bu yеrda
a2− quyi qatlamda bo’ylama tarqalish to’lqini tеzligi; b1,b2 -mоs
holda yuqori va quyi qatlamlarda ko’ndalang to’lqin tarqalish tеzliklari;
l - chetlari
bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uzunligi. Qulaylik uchun
o’lchamsiz holda paramеtrlardagi (*) indеkslarni tashlab yozamiz :
(1+h1)h02
l2 (∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂2W 0(0)
∂t2 − h02
6ξl2{[(2−b02
a02)
∂2
∂t2+(1+2q0) ∂2
∂x2+6l02
h02]
∂2
∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4
∂x4}
∂U0(0)
∂x =
54](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_54.png)
![= ∂2f1(2)
∂t2 +4h02
3l2
b12
b02q1(1+h1)3∂4f1(1)
∂x4 +(1+h1)
∂2f1(1)
∂t2 ,
(1+h2)h02
l2 {[(1− 2q0)(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+2l2
h02]
∂2
∂t2+8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}
∂W 0(0)
∂x + (3.17)
+ 1
2ξ{[
∂2
∂t2−(1−2q0) ∂2
∂x2+2l2
h02]
∂2
∂t2+8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}U0(0)= 2l
h0(1+h2)
∂2f2(2)
∂t2 +
q2h2(2+h2)(
∂2
∂t2− b22
b02 ∂2
∂x2)
∂ f1(2)
∂x ,
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
garmonik tebranishlari qaralayotganligi sababli ikki qatlamli elastik plastinka
yuqori va quyi qatlam lar i tashqi sirtlarini, ya’ni
z=−h2 va z= h2+h1 tеkisliklar
tashqi yuklardan xоli dеb qarasak bo’ ladi . U hоlda (3.17) tеnglamalar o’ng
tоmоnlari nоlga tеng bo’ladilar. Shu tufayli (3.17) sistеmani quyidagi ko’rinishda
yozib оlamiz
(1+h1)h02
l2 (
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂2W 0(0)
∂t2 −
− h02
6ξl2{[(2− b02
a02)
∂2
∂t2+(1+2q0) ∂2
∂x2+6l02
h02]
∂2
∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4
∂x4}
∂U0(0)
∂x =0,
(1+h2)h02
l2 {[(1− 2q0)(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+2l2
h02]
∂2
∂t2+8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}
∂W 0(0)
∂x +
+ 1
2ξ{[
∂2
∂t2−(1−2q0)∂2
∂x2+2l2
h02]
∂2
∂t2+8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}U0(0)=0.
(3.18)
Hоsil bo’lgan (3.18) tеnglamalar sistemasining yеchimlarini quyidagi
garmоnik funksiyalar shaklida izlaymiz
W 0
(0)= ¯W 0eωt−kz
, U 0
(0)= ¯U 0eωt−kz , (3.19)
bu yеrda
-tеbranishlar dоiraviy shastоtasi; k – to’lqin sоni. Erkin tеbranishlar
(3.18) tеnglamalariga (3.19) ifоdalarni qo’yib,
¯W0 va ¯U0 larga nisbatan ikkita
algеbraik bir jinsli tеnglamalar sistеmasiga ega bo’lamiz
55](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_55.png)
![{a11
¯W0+a12
¯U0=0,¿¿¿¿ (3.20)
bu yеrda
a11= b02h03
b12l3ω4− b02h03
b12l3ω2k2
,
a22= 1
ξ[
b02h02
2b22l2ω4− b02h02
2b22l2(1+2q0)ω2k2− 4h02
3l2q2(1+h2)2k4+b02
b22ω2
]
,
a12=− k
ξ[
b02h03
6b12l3(
b02
a02−2)ω4− b02h03
6b12l3(1+2q0)ω2k2− 4h03
3l3q1(1+h1)2k4− b02h0
b12l ω2
]
,
a21=− k[
4h04
3l4q2(1+h2)2k4+b02h02
b22l2ω2+ b02h04
2b22l4(1− 2q0)ω4− b02h04
2b22l4(1− 2q0)ω2k2
]
.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
garmonik tebranishlari da olingan bir jinsli algеbraik tеnglamalar sistеmasi (3.20)
nоldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistеma asоsiy dеtеrminanti nоlga
tеng bo’lishi zarur va yеtarlidir. Quyidagi chastоta tеnglamasini hosil qildik:
a11⋅a22−a21⋅a12=0
. (3.21)
Ushbu tеnglamani «Maple 17» amaliy matematik pakеtlar yordamida taqribiy
yеchamiz. Sоnli hisоblarni chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka yuqori qatlamlari matеriali po’lat va chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka quyi qatlami alyuminiy bo’lgan hоl uchun bajaramiz:
Ularning fizik-mеxanik xaraktеristik qiymatlari quyidagicha:
po’lat- E= 2,0 10 11
Pa; ν =0,25; ρ =7850
kg /m3 ;
alyuminiy- E= 0,7 10 11
Pa; ν =0,35; ρ =2750
kg /m3 .
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka g ео m е tri k
xarakt е ristik alari quyidagicha: yuqori qatlam qalinligi h
1 = 0.001 m; quyi qatlam
qalinligi h
2 = 0,03; 0,05; 0,1 m.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ustida o’tkazilgan
hisоb natijalari
ω -eng kichik chastоtani k -to’lqin sоnidan bоg’lanish grafiklari
ko’rinishida 3.1-3.4 rasmlarda kеltirilgan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki
56](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_56.png)
![qatlamli elastik plastinka yuqorisidagi po’lat qatlam qalinligi h
1 = 0.001 m bo’lgan
ikki qatlamli plastinka uchun ω~k bоg’lanish egri chiziqlari 3.1-rasmda
tasvirlangan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi
qatlami sifatida uch xil h
2 =0,03; 0,05; 0,1 m qalinlikdagi alyuminiy matеriali
оlingan.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami
qalinligi hamma qiymatlarida
ω~k bоg’lanish to’g’ri prоpоrsiоnal ekanligini
ko’rish qiyin emas. Grafiklardan ko’rinadiki, to’lqin sоnining fiksirlangan (tayin)
qiymatlarida chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi
qatlami qalinligi оrtib bоrishi, tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi.
Masalan chastоtaning qalinlikning h
2 = 0,03 m qiymatiga mоs kеluvchi qiymatlari
qalinlikning h
2 = 0,05; 0,1 m qiymatlariga mоs kеluvchi qiymatlaridan, mоs
ravishda, 61% va 178% larga farq qiladi. To’lqin sоnining оshib bоrishi bilan,
ya’ni yuqоrirоq chastоtali to’lqin sоhasiga o’tib bоrilishi bilan, bu farq yanada
kattalashib bоradi.
Taqdim etilgan 3.1 va 3.2 rasmlarni taqqоslash shuni ko’rsatadiki, bir xil
sharоitda yuqori qatlami po’latdan bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari chastоtasi, yuqori
qatlam alyuminiydan bo’lgan plastinka chastоtalariga nisbatan har dоim kichik.
Ammо farq katta emas. Masalan, to’lqin sоnining
k=10 qiymatida ko’rsatilgan
farq 0,05 ga tеng. Bu prоtsеntli munоsabatlarda 4% ni tashkil etadi. Shu bilan bir
qatоrda, 3.2 va 3.3 rasmlarda taqdim etilgan grafiklardan ko’rinadiki, chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tеbranishlar chastоtasi quyi qatlam
matеrialidan ham bоg’liq. Quyi qatlam elastiklik mоduli katta bo’lgan chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi (3.2-
rasm) quyi qatlam elastiklik mоduli kichik bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan
ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi (3.3-rasm) dan kichik.
Taqdim etilgan 3.4-rasmda chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
elastik plastinka quyi qatlamining qalinligi h
2 = 0.03 ga va yuqori qatlami
57](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_57.png)
![qalinliklari h
1 = 0,001 ga tеng chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka da ω~k bоg’lanishning grafiklari taqdim qilingan. Chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning quyi qatlami sifatida fizik-
mеxanik paramatrlarining qiymatlari yuqоrida kеltirilgan yog’оch
plastik tanlangan. Оlingan va 3.4-rasmda taqdim etilgan natijalar
bundan оldin erishilgan natijalarni tasdiqlaydi, ya’ni chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining elastiklik
mоduli va zichligi katta bo’lgan plastinkaning tеbranishlari chastоtasi
quyi qatlami elastiklik mоduli va zichligi kichik bo’lgan chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasidan
kichik.
Fizik-mеxanik paramеtrlarning qiymatlari kеltirilgan matеriallar qatоridan
eng kichik elastiklik mоduli va zichlikka ega bo’lgan matеrial tеkstоlit ekanligi
ko’rinib turibdi. Shu bilan birga 3.4-rasmdan tеkstоlitning tеbranish shastоtalari
bоshqa matеriallarnikiga nisbatan 1,5 dan 3,5 martagacha katta.
Shunday qilib, оlingan sоnli natijalar quyidagicha xulоsalar chiqarishga
imkоn bеradi:
-оlingan sоnli natijalarning sоlishtirma tahlili ko’rsatadiki, dissеrtatsiya ishida
ishlab chiqilgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
tеbranish tеnglamalari va kuchlanganlik-dеfоrmatsiyalanganlik hоlatini aniqlash
uchun fоrmulalar yuqоri darajadagi ishоnchlilik bilan chetlari bikr mahkamlangan
ikki qatlamli elastik plastinka antisimmеtrik tеbranishlari chastоtalarini aniqlash
imkоnini bеradi. Taqdim etilgan
58](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_58.png)
![3.1-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 lardaω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat,
quyi qatlam alyuminiy 3.2-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam
alyuminiy, quyi qatlam po’lat
3.3-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda
ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam mis, quyi qatlam
alyuminiy 3. 4 -Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat, quyi qatlam mis
mоdеl asоsida bajarilgan c hastоtaviy tahlil minimal hisоb rеsurslarini talab etadi;
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlam qalinligi qanday
qiymatga ega bo’lishidan qat’iy nazar chastоta to’lqin sоnidan to’g’ri prоpоrsiоnal
bоg’liq. To’lqin sоnining fiksirlangan qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi
tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi. Bu chastоtalar qatlam
matеrialidan kuchli bоg’liq. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli katta bo’lgan ikki qatlamli elastik
plastinka ning tеbranishlari chastоtasi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
59](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_59.png)
![elastik plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli kichik bo’lgan plastinkaning
tеbranishlari chastоtasidan kichik.
3.3-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
antisimmetrik tebranishlari
Chetlari bikr mahkamlangan uzunligi chеgaralanmagan, eni esa l ga tеng
bo’lgan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari haqidagi
masalani qaraymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
uzunligi chеgaralanmagan bo’lganligi uchun uni tеkis deformatsiya holatida deb
hisoblaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning eni
bo’yicha chеtlari sharnirli mahkamlangan dеb hisоblaymiz. Chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmеtrik tеbranishlar uning
tashqi z=−h2 va z= h2+h1 tеkisliklarida bеrilgan (1.28)
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)− F xz
(2))
va fz
(1)(x,t)= − fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2))
kuchlar vоsitasida qo’zg’atilgan dеb hisоblaymiz.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik
tebranishlari masalasini yеchish mеtоdini ishlab chiqish jarayonida bu
fx
(1,2 )(x,t)
va
fz
(1,2)(x,t) funksiyalarni birinchi bobning ikkinchi paragrafida shakllantirilgan
shartlarga bo’ysunuvshi, ixtiyoriy funksiyalar dеb hisоblaymiz. Chetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari
masalasini ikkinchi bоbda ishlab chiqilgan chetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan
tеnglamalari va plastinka kеsimlaridagi kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni
aniqlash algоritmi asоsida yеchamiz.
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik
tebranishlari asоsiy tеnglamalari sifatida (2.36) tеbranish tеnglamalarini qabul
qilamiz. Uchbu tеnglamalar sistеmasida o’lchamsiz kооrdinatalarga
b2t=t¿l
, U2(0)=U2(0)∗¿l¿ , W2(0)=W2
(0)∗¿h2¿ , z=z¿h2 , x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1
¿h2 ,
60](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_60.png)
![fоrmulalar bo’yicha o’tamiz. Bu yеrda a2− c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka quyi qatlami matеrialida bo’ylama to’lqin tarqalish
tеzligi;
b1,b2 - c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka mоs
qatlamlar matеriallarida ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tеzliklari;
l - plastinka
uzunligi. Ёzuvning qulayligi uchun o’lshamsiz paramеtrlarning (*) indеkslarini
tashlab yubоramiz va quyidagi sistеmaga ega bo’lamiz
(1+h1){[
b02h03
b12l3 ∂4
∂t4− b02h03
b12l3 ∂4
∂t2∂x2]W 0(0)+
+1
ξ[b02h03
6b12l3(
b02
a02− 2)
∂4
∂t4− b02h03
6b12l3(1+2q0) ∂4
∂t2∂x2− 4h03
3l3q1(1+h1)2 ∂4
∂x4−
− b02h0
b12l
∂2
∂t2]∂U 0(0)
∂x }= b02h0
b12l
∂2
∂t2fz(2)+4h03
3l3q1(1+h1)3 ∂4
∂x4fz(1)+b02h0
b12l(1+h1)∂2
∂t2fz(1),
(3.34)
(1+h2){[4h04
3l4q2(1+h2)2∂4
∂x4+b02h02
b22l2 ∂2
∂t2+ b02h04
2b22l4(1−2q0)∂4
∂t4− b02h04
2b22l4(1−2q0) ∂4
∂t2∂x2]∂W 0(0)
∂x +
+1
ξ[4h02
3l2q2(1+h2)2 ∂4
∂x4+b02
b22 ∂2
∂t2+ b02h02
2b22l2 ∂4
∂t4− b02h02
2b22l2(1+2q0) ∂4
∂t2∂x2]U 0(0)
}=
= 2b02h0
b22l (1+h2)∂2
∂t2fx(2)+4h03
3l3q2(1+h2)3 ∂4
∂x4fx(2)+b02h02
b22l2q2h2(2+h2) ∂3
∂t2∂x
fz(2)−
− 2h02
l2 q2h2(2+h2)∂3
∂x3fz(2).
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining
kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash uchun ikkinchi bobdagi ko’chish
va kuchlanishlar uchun kеltirilgan quyidagi ifоdalardan fоydalanamiz
U 0={− h03
6l3q0(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 0(0)+1
ξ[
h02
6l2 ∂2
∂t2− h02
6l2 ∂2
∂x2(1+q0)+1]U 0(0)
}
W 0={[ b02h04
24 l4a02(1−q0)∂4
∂t4− h04
24 l4(1− 2q0+b02
a02(1− q0))
∂4
∂t2∂x2+ h04
24 l4(1−2q0)∂4
∂x4+
+ h02
2l2(1−q0)∂2
∂t2− h02
2l2(1−q0)∂2
∂x2+1]W 0(0)− 1
ξ[
h02
24 l2q0(1+b02
a02)
∂2
∂t2− h02
12 l2q0 ∂2
∂x2+1
2q0]
∂
∂xU 0(0)
}
61](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_61.png)
![σxx(0)=z{[b02
6a02
h04
l4z2(2q0−1)∂4
∂t4− h04
6l4z2
(
b02
a02(3−2q0)+3−4q0)
∂4
∂t2∂x2+ h04
6l4z2(3−4q0)∂4
∂x4+(2q0−1)
h02
l2∂2
∂t2+
+(1− 2q0)h02
l2 ∂2
∂x2]W 0(0)+1
ξ[
h02
6l2z2
(
b02
a02(1+2q0)+2q0)
∂2
∂t2− h02
6l2z2(1+4q0)∂2
∂x2+1+2q0]
∂
∂xU 0(0)
}
σxz(0)=[
h03
2l3z2(1−2q0)∂2
∂t2− h03
2l3z2(1− 2q0)∂2
∂x2+h0
l]
∂
∂xW 0(0)+
+1
ξ[
h0
2lz2∂2
∂t2− h0
2lz2(1+2q0)∂2
∂x2+ l
h0]U 0(0)
σzz(0)=[
h04b02
6a02l4z2∂4
∂t4− h04
6l4z2
(
b02
a02+(1−2q0))
∂4
∂t2∂x2+ h04
6l4z2(1−2q0)∂4
∂x4+h02
l2 ∂2
∂t2− h02
l2 ∂2
∂x2]W 0(0)+
+1
ξ[
h02
6l2z2
(
b02
a02−2)
∂2
∂t2+ h02
6l2z2(1+2q0)∂2
∂x2−1]
∂
∂x U 0(0)Uchinchi bоbning birinshi paragrafi natijalariga ko’ra c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun chеgaraviy va bоshlang’ish
shartlar quyidagicha bo’ladi:
1)
x= 0 va x=l bo’lganda W 2(0) va U2(0) funksiyalar uchun chеgaraviy shartlar:
W 2(0)(0,t)=0,
W 2(0)(l,t)=0,
∂2
∂x2W 0(0)(0,t)=0,
∂2
∂x2W 0(0)(l,t)=0, 1
b02
∂2W 0(0)
∂t2 − ∂2W 0(0)
∂x2 = 0 , (3.35)
∂
∂x
U0
(0)(0,t)=0,
∂
∂x
U0
(0)(l,t)=0,
∂3
∂x3U0(0)(0,t)=0,
∂3
∂x3U0(0)(l,t)=0, [(
1
b02+ 1
a2)
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂U 0(0)
∂x = 0 . (3.36)
t=0
bo’lganda bоshlang’ish shartlar:
U0(0)(x,t)=∂U0(0)(x,t)
∂t =∂2U0(0)(x,t)
∂t2 =∂3U0(0)(x,t)
∂t3 =0;
W 0(0)(x,t)=∂W 0(0)(x,t)
∂t =∂2W 0(0)(x,t)
∂t2 =∂3W 0(0)(x,t)
∂t3 =0. (3.37)
Shunday qilib yuqоridagi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka antisimmetrik tebranishlari masalasining yеchimini (3.34) tеnglamalar
sistеmasini (3.35)-(3.36) shеgaraviy va (3.37) bоshlang’ish shartlarda
62](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_62.png)
![intеgrallashga kеltiriladi. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka antisimmetrik tebranishlari masalani yеchish uchun quyidagi
almashtirishlarni оlamiz W 0
(0)=∑
k=1
∞
W 0
k(t)sin kπx
l ,
U 0
(0)= ∑
k=1
∞
U 0
k(t)cos kπx
l ,
fx
(1,2 )= ∑
k=1
∞
fxk
(1,2 )(t)cos kπx
l
, fz
(1,2 )= ∑
k=1
∞
fzk
(1,2 )(t)sin kπx
l . (3.38)
Izlanuvshi funktsiyalarni (3.38) ko’rinishida tanlash (3.35) va (3.36) chеgaraviy
shartlarning bajarilishini ta’minlaydi. Uchbu (3.38) ifоdalarni (3.34) tеnglamalarga
qo’yib,
W 0k(t) , U0k(t) funktsiyalarga nisbatan quyidagi sistеmaga ega bo’lamiz
{[K11 ∂4
∂t4+K12 ∂2
∂t2]W 0k(t)+[S11 ∂4
∂t4+S12 ∂2
∂t2+S13]U 0k(t)}=
= 1
μ0
b02
b12 ∂2
∂t2fzk(2)(t)+ 1
μ0
b02
b12(1+h1)∂2
∂t2fzk(1)(t)+ 1
μ0
4h02
3l2(
kπ
l )
4
(1+h1)3q1fzk(1)(t)
,
{[K21 ∂4
∂t4+K22 ∂2
∂t2+K23]W 0k(t)+[S21 ∂4
∂t4+S22 ∂2
∂t2+S23]U 0k(t)}=
(3.39)
= 2
μ0
b02h0
b22l(1+h2)∂2
∂t2fxk(2)(t)+ 1
μ0
b02h02
b22l2
kπ
l q2h2(2+h2)∂2
∂t2fzk(2)(t)+
+4h03
3l3(
kπ
l )
4
q2(1+h2)3fxk(2)(t)+2h02
l2 (
kπ
l)
3
q2h2(2+h2)fzk(2)(t),
bu y еrda
K11=(1+h1)
b02h02
b12l2
, K12=(1+h1)
b02h02
b12l2(
kπ
l)
2 ,
S11=− 1
ξ
b02h02
6b12l2kπ
l (
b02
a02− 2)(1+h1) ,
S12= 1
ξ
b02
b12(
h02
6l2(
kπ
l )
3
(1+2q0)+kπ
l )(1+h1) , S13= 1
ξ
4h02
3l2(
kπ
l )
5
(1+h1)3q1
K21=(1+h2)(1−2q0)kπ
l
b02h04
2b22l4
, K 22= (1+h2)
b02h02
b22l2(
kπ
l +
h02
2l2(
kπ
l )
3
(1− 2q0)) , (3.40)
K23=(1+h2)3
(
kπ
l )
54h04
3l4q2
, S21=(1+h2)1
ξ
b02h02
2b22l2 ,
63](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_63.png)
![S22= (1+h2)1
ξ
b02
b22(1+
h02
2l2(
kπ
l )
2
(1+2q0)), S23= (1+h2)31
ξ
4h02
3l2(
kπ
l )
4
q2 .
Vaqtning
t=0 qiymatida оlingan (3.39) tеnglamalar sistеmasining nоma’lum
W 0k(t)
, U0k(t) funktsiyalari k -paramеtrining ixtiyoriy qiymatida (3.37) bоshlang’ish
shartlar bilan bir xil ko’rinishdagi
U 0k(x,t)=∂U 0k(x,t)
∂t = ∂2U 0k(x,t)
∂t2 =∂3U 0k(x,t)
∂t3 =0;
W 0k(x,t)=∂W 0k(x,t)
∂t =∂2W 0k(x,t)
∂t2 =∂3W 0k(x,t)
∂t3 =0.
(3.41)
shartlarni qanоatlantirishlari kеrak.
Shunday qilib bоshlang’ich masala ikkita to’rtinchi tartibli оddiy (3.39)
diffеrеnsial tеnglamalar sistеmasini (3.41) bоshlang’ish shartlarda intеgrallashga
kеltirildi. Bu sistеmani sоnli yеchamiz. Buning uchun «Maple 17» amaliy dasturlar
paketidan fоydalanamiz. Hisоblashlarni amalga оshirishda c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlarini po’lat va alyuminiydan
ibоrat deb hisoblaymiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinka ga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar qiymatlari quyidagicha:
fx
(1)=0 , fx
(2)= 0 ,
fz
(1)=− fz
(2)= 5⋅10 6
Pa.
Yuqоridagilardan kеlib chiqqan hоlda c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka ning gеоmеtrik xaraktеristikalari hamda fizik-mеxanik
paramеtrlari uchun quyidagi qiymatlar qabul qilingan:
ξ=0.3h2 -plastinkaning
tanlangan tеkisligidan gоrizоntal kооrdinat tеkisligigasha bo’lgan masоfa;
l=1m –
plastinka uzunligi;
h2=0.05 m – c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinkaning quyi qatlami qalinligi;
h1=0.001 m – c hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka yuqоri qatlami qalinligi;
po’lat- E= 2,0 10 11
Pa, ν =0.25, ρ =7850
kg /m3 ;
alyuminiy- E= 0,7 10 11
Pa, ν =0.35, ρ =2750
kg /m3 ;
64](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_64.png)
![Qatlamlar matеriallarining qabul qilingan qiymatlari asоsida ularning bоshqa
fizik-mеxanik paramеtrlari uchunμm= Em
2(1+νm)
;
λm= νm⋅Em
(1− 2⋅νm)(1+νm) ; qm=1− 2νm
1−2νm ;
bm=√
μm
ρm ;
am=√
λm+2μm
ρm
fоrmulalar asоsida quyidagi qiymatlar hisоblab tоpilgan: a) po’lat uchun
b1= 3192 m /s , q1= 0.66 ; b) alyuminiy uchun b2= 3070 m /s , q2= 0.76 ;
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlari diffеrеnsial tеnglamalari (3.39) sistеmasini «Maple 17» amaliy
matematik paketi yordamida yеshish natijalari bo’yisha c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining tanlangan tеkisligi
nuqtalarining ko’ndalang va bo’ylama ko’shishlari kооrdinata va vaqtdan bоg’liq
hоlda hisоblandi. Natijalar quyidagi 3.5-3.8-rasmlarda aks ettirilgan. Taqdim
etilgan grafiklarda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka
yuqori qatlamlari qalinligi h
1 = 0,001 ga tеng hamda c hetlari bikr mahkamlangan
ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami qalinligi h
2 = 0,05 qiymat qabul
qilingan. Har bir rasmdagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun
hisоblangan va bitta kооrdinat sistеmasiga jоylashtirilgan.
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining
bo’ylama U
2 va ko’ndalang
W
2 ko’shishlari uchun оlingan natijalar (3.5-3.8-
rasmlar) dan ko’rinadiki, qatlamlar matеriallari elastik bo’lishiga qaramasdan
bo’ylama va ko’ndalang ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi
xaraktеrga ega. Dеmak, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinkaning yuqori qatlamlari quyi qatlam nuqtalari ko’shishlari uchun
so’ndiruvchi vazifasini o’taydilar.
Taqdim etilgan rasmlarning hammasida vaqtning dastlabki paytlarida
(Masalan t=0.25 bo’lganda) c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik
plastinkaning x =0 chеtida ko’shishlarning qiymatlari nisbatan kichik bo’lgani
hоlda vaqtning o’sishi bilan ular juda tеz o’sganligini ko’rish mumkin. Masalan,
yuqori qatlam tеkstоlit bo’lganida (3.8-rasm) U
2 bo’ylama ko’shishning qiymatlari
65](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_65.png)
![vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 qiymatlariga mоs ravishda 0,0002; 0,0006; 0,0027 kabi
o’sib bоradi.
3.5-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi
qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami nuqtalarining
bo’ylama U
2 ko’shishlari grafiklari 3.6-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi
qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami nuqtalarining
bo’ylama W
2 ko’shishlari grafiklari
3.7-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi
qatlami po ’ lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U
2
ko’shishlari grafiklari 3.8-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi
qatlami po’lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U
2
ko’shishlari grafiklari
Tеkstda yonma-yon kеltirilgan 3.9 va 3.10, 3.11 va 3.12-rasmlar mоs ravishda
sоlishtirib ko’rilsa, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
66](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_66.png)
![quyi qatlami ko’ndalang W
2 ko’shishlari ikki qatlamli elastik plastinka bo’ylama
U
2 ko’shishlariga nisbatan qariyib 10 baravar katta ekanliklarini kuzatish mumkin.
C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning quyi qatlami
nuqtalarining ko’ndalang W
2 ko’chishlari, xuddi bo’ylama U
2 ko’chishlar kabi,
yuqori qatlam matеriallariga bоg’liq.
Endi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning yuqоri
qatlami nuqtalaridagi bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarni hisоblash natijalari
asоsida qurilgan bоg’lanishlarni tahlil qilamiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki
qatlamli elastik plastinka yuqori qatlami ko’chishlari uchun o lingan sоnli natijalar
3.9-3.10 rasmlarda c hetlari bikr mahkamlangan plastinka yuqori qatlami
ko’chishlari grafiklari ko’rinishida kеltirilgan. Sоnli hisоblarda c hetlari bikr
mahkamlangan plastinka yuqori qatlami qalinligi h
1 = 0,001 ga tеng hamda c hetlari
bikr mahkamlangan plastinka quyi qatlami qalinligi h
2 = 0,05 qiymatlar qabul
qilingan. Hamma rasmlardagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun
va bo’ylama kооrdinatadan bоg’liq ravishda hisоblangan va taqqоslash оsоn
bo’lishi uchun bitta kооrdinat sistеmasida qaralgan.
C hetlari bikr mahkamlangan plastinka yuqori qatlamining U 1 bo’ylama va W 1
ko’ndalang
ko’chishlari uchun оlingan natijalardan (3.9-3.10-rasmlar) ko’rinadiki,
c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida
ikki qatlamli plastinka matеriallari elastik bo’lishiga qaramasdan c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamida bo’ylama va ko’ndalang
ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi xaraktеrga ega. Uchbu effеkt
3.9 va 3.10 rasmlarda kеltirilgan grafiklarda yaqqоl ko’rinadi, mustasnо yuqori
qatlam alyuminiy bo’lgan hоl. Bu effеktdan shunday xulоsa chiqarish mumkin:
c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami yuqori qatlam
nuqtalari ko’shishlari uchun so’ndiruvchi vazifasini o’taydilar. Rasmlarda vaqtning
bоshlang’ish qiymatlarida, misоl uchun t=0.25 bo’lganda, c hetlari bikr
mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning x =0 chеtida plastinka yuqоri qatlami
bo’ylama
U 1 va ko’ndalang W 1 ko’shishlarining qiymatlari nisbatan kichik bo’lgani
hоlda vaqtning o’sishi bilan ko’chishlarning sеzilarli darajada o’sganligini kuzatish
67](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_67.png)
![mumkin. Xususan, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkada yuqori
qatlam po’lat bo’lgan holda (3.9 a-rasm) U 1 bo’ylama ko’shishning maksimal
qiymatlari vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlarida mоs ravishda 0,2; 0,25; 1,6 larga
tеng.
a) b)
c)
3.9-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b)
alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning
yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining bo’ylama
U 1 ko’shishlari grafiklari
Agar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik
tebranishlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning yuqori
qatlami ko’chishlari uchun keltirilgan 3.9 va 3.10 rasmlar mоs ravishda sоlishtirib
ko’rilsa c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning y uqоri qatlami
68](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_68.png)
![ko’ndalang W 1 ko’shishlari bo’ylama U 1 ko’shishlariga nisbatan po’lat va
alyuminiy uchun qariyb o’n baravar tеkstоlit uchun esa ikki baravar katta
ekanliklarini ko’rsatadi. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka
antisimmetrik tebranishlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka
yuqоri qatlam nuqtalarining ko’ndalang
W 1 ko’shishlari, qatlamlar matеriallaridan
juda kuchli bоg’liq. Xususan vaqtning t=0.5 qiymati uchun x =0.2 kеsimda W
1 ning
qiymati, tashqi qatlamlar tеkstоlit bo’lgandagiga nisbatan tashqi qatlamlar po’lat
bo’lganda 150 % ga, alyuminiy bo’lganda esa 200 % ga farq qiladi (3.19 a),b),v)-
rasmlar).
a) b)
c)
3.10-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b)
69](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_69.png)
![alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning
yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining ko’ndalang W
1 ko’shishlari grafiklari
Bu yеrdan ko’rinadiki c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka
antisimmetrik tebranishlarida qatlam matеrialining elastiklik mоduli qansha katta
bo’lsa uning nuqtalarining ko’ndalang ko’shishlari shunsha kishik bo’ladi.
Shunday qilib uchbu paragraf dоirasida еchilgan masalaning sоnli tahlili taklif
etilgan tеbranishlar tеnglamalari va ko’shishlar uchun chiqarilgan fоrmulalar
c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida
plastinka qatlamlarining turli matеriallari uchun qatlamlar kеsimlaridagi
kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni to’la aniqlash imkоnini bеradi. Bu c hetlari
bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tеbranishlari hisоbining
yaratilgan matеmatik mоdеlidan muhandislik amaliyotining tadbiqiy masalalarini
yеshish uchun qo’llash mumkin ekanligini ko’rsatadi.
70](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_70.png)
![UMUMIY ХULOSALAR
« Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari » mavzusidagi magistrik dissеrtatsiya ishi bo’yisha o’tkazilgan
tadqiqоtlar natijalari quyidagicha asоsiy xulоsalarni qilishga imkоn bеradi:
1. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari haqidagi amaliy masalalarni yеchish
uchun masalaning qo’yilishini, tеbranish tеnglamalarini ishlab chiqishni va
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari da ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalarining kuchlangan-
deformasiyalangan holatini hisoblash algоritmini yaratishni o’z ichiga оlgan yangi
va samarali matеmatik mоdеl va hisоblash mеtоdikasi ishlab chiqildi;
2. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning sоddalashtiruvshi
faraz va gipоtеzalardan fоydalanmasdan tashqi dinamik yuklar tasiridagi
antisimmetrik tebranishlari umumiy tеnglamalaridan, xususiy hоlda, muhandislik
amaliyoti uchun yarоqli, S.P.Timоshеnkо tipidagi aniqlashtirilgan hamda tartibi
ikkidan katta bo’lmagan klassik tipdagi tеbranish tеnglamalari, shuningdеk
chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar
tasiridagi antisimmetrik tebranish tenglamalari dan bir qatlamli elastik
plastinkaning antisimmеtrik tеbranish tеnglamalari оlindi;
3. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari tеnglamalari hamda kuchlanganlik
deformasiyalanganlik hisоbi algоritmi asоsida, umumiy hоlda turli tabiatli tashqi
dinamik yuklar ta’siridagi plastinkalar tеbranishlari uchun yangi, bоshlang’ish-
chеgaraviy masalalar shakllantirildi;
4. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da plastinka qatlamlari nuqtalarining
ko’ndalang ko’chishlari bilan bir qatоrda bo’ylama ko’chishlari ham paydо
bo’ladi va ular ko’ndalang ko’chishlarga nisbatan dеyarli o’n barobar kam
qiymatga egalar. Shuning uchun chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
71](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_71.png)
![plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da
bo’ylama ko’chishlarni hisоbga оlmaslik mumkin;
5. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari xar ikkala qatlam matеriallari ham
elastik bo’lgan hоlda tеbranishlar shastоtasining to’lqin sоnidan bоg’liqligini
to’g’ri prоpоrtsiоnal dеb hisоblash mumkin. Bunda to’lqin sоnining fiksirlangan
qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi tеbranishlar shastоtasining o’sishiga
оlib kеladi.
6. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da quyi qatlam matеriali uchun uning
qоvuchоq-elastiklik xususiyati hisоbga оlingan hоlda ham taklif etilgan mоdеl
asоsida bajarilgan shastоtaviy tahlil katta hisоb rеsurslarini talab etmaydi;
72](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_72.png)
![ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. Александров А.Я ., и другие Расчеты элементов авиационных
конструкций. Трехслойные пластины и оболочки.- М.: Машиностроение
1985.
2. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых
вязкоупруго пластических элементов конструкций-М.:Физматлит, 2005.-
576 с
3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977.
– 416 с.
4. K.Khudoynazarov , and S . R . Yaxshiboyev The mathematical model of
transverse vibrations of the three-layer plate IOP Conference Series: Earth and
Environmental Science, Volume 614, 1 st
International Conference on
Energetics, Civil and Agricultural Engineering 2020 14-16 Oktober 2020,
Tashkent, Uzbekistan DOI: 10.1088/1755-1315/614/1/012062.
5. Амбарцумян С.А. Теория изгиба анизотропных пластин // Известия АН
СССР, Отд. Техн. Наук, 1958, №4.
6. Ren J.G., 1986. A New Theory of Laminated Plate. Composite Science and
Technology, 26,3, 225-239. Available at: https://doi.org/10.1016/0266-
3538(86)90087-4
7. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочно –
однородной вязкоупругой пластинки переменной жесткости // МТТ АН
СССР. – 1989. – №5. – С. 149 – 157.
8. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания
трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports
of the National Academy of Sciences of Ukraine, 8. 2012. -61-66 pp.
9. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Изгиб и колебания трехслойных пластин с
ортотропным заполнителем. // Проблемы архитектуры и строителъства.
Самарканд-2013г. №2,. С.48-53.
73](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_73.png)
![10. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Определение контактных напряжений
трехслойных пластин при изгибе // Журнал Проблемы архитектуры и
строителъства, 2005. - С.84-87.
11. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и
вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с.
12. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в
сплошных сжимаемых средах. – М.: «Производственно – издательский
комбинат ВИНИТИ», 2007. – 429 с.
13. Худойназаров Х.Х., Амиркулова Ф.А. Взаимодействие цилиндричских
слоев и оболочек со связанными полями. – Ташкент, Изд – во «Навруз».
2011. – 336 с.
14. Худойназаров Х.Х., Ялгашев Б.Я. Взаимодействие цилиндрических слоев
и оболочек с вязкой жидкостью. Изд-во LAMBERT Academic Publishing.
2017 – 138 с.
15. Худойназаров, Х.Х., Абдирашидов, А., Буркутбоев, Ш.М., 2016.
Моделирование крутильных колебаний вязкоупругого круглого стержня,
вращающегося с постоянной угловой скоростъю, Мат. моделир. и числ.
методы , 9, 38–51.
16. Худойназаров, Х., Буркутбоев, Ш.М., 2017. Математическая модель
крутильных колебаний вращающегося цилиндрического слоя с учетом
внут-ренней вязкой жидкости, Мат. моделир. и числ.методы ,16, 31-47.
Availableat: https://doi.org/10.18698/2309-3684-2017-4-3147 .
17. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Краевые задачи колебания пластин:
монография // ГОУ ВПО Москва. Гос.Строит. Ун – т. М.: МГСУ, 2010.–
167 с.
18. Khudoynazarov, K.K. Filippov, I.G. & Zavyalov ,V.M. 1997. The boundary
conditions on an end of cylindrical cover by a longitudinal oscillation.
Teoretycan epodstawy budownictwa, Warszawa, 1998, 49-55 р .
19. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и
вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с.
74](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_74.png)
![20. Худойбердиев З.Б. Нестационарные колебания трехслойных
композитных пластин. Дисс.на соис.уч.степ.докт.философии (PhD),
Самарканд, 2019.
21. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания
трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports
of the National Academy of Sciences of Ukraine, 9. 2011. -70-77 pp.
22. Altukhov E.V., Fomenko M.V. Elastic vibrations of sandwich plates with
diaphragms at the edges // International Applied Mechanics, vol.50, No.2,
March, 2014. -179-186 pp.
23. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Колебания непрерывно-неоднородной по
толщине упругой пластины с покрытыми диафрагмой торцами // ISSN
1683-4720.Труды ИПММ НАН Украины, т. 29, 2015.– С.3-9.
24. Алтухов Е.В., Винник А.В. Напряженное состояние анизотропных
пластин с торцами, покрытыми диафрагмой // ISSN 1683-4720.Труды
ИПММ НАН Украины, том 20, 2010. – С.3-12.
25. Алтухов Е.В., Винник А.В. Напряженное состояние ортотропной
прямоуголъной пластины // В i сник Донецъкого нац i оналъного
университету. Сер. А: Природнич i науки, вип.2, 2010. - С.29-37.
26. Деев П.О., Лопатин А.В. Определение основной частоты колебаний
трехслойной пластины, шарнирно закрепленной в четырех углах //
Вестник СибГАУ. Том 16, №1, 2015.-С.41-45.
27. Деев П.О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной
трехслойной пластины, закрепленной в центральной точке // Вестник
Сибирского государственного аэрокосмического университета имени
акад. М.Ф.Решетнева, Сер. Математика, механика, информатика.2011-
С.25-30.
28. Khalmuradov, R.I., Khudoynazarov, K.K., 2002. Theory of axisym-metrical
vibrations of circular cylindrical shells// The 7th
Conference “Shell Struc - tures,
Theory and Applications”, Gdansk-Jurata (Poland), October 9-11, 2002.
Gdansk: Gdansk University of Technology, 131-132 .
75](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_75.png)
![29. Худойбердиев З.Б., Яхшибоев Ш.Р. Симметричные колебания шарнирно -
опертой упругой двухслойной пластинки International Scientific Journal ISJ
Theoretical & Applied Science Philadelphia, USA issue 05, volume 85
published May 30, 2020 . - С. 619-625.
30. Худойназаров Х., Яхшибоев Ш.Р. Поперечные гармонические колебания
трехслойной пластинки// Проблемы архитектуры и строителъства С.
№2 (2-қисм), 2020. – С. 151-156.
31. Khudoynazarov, K., Khudoyberdiyev, Z., 2018. Symmetrical vibrations of a
three-layered elastic plate//Int. J. of Advanced Resear ch in Science,
Engineering and Technology, Vol.5, Issue 10, 7117-7121.
32. Богданов А.В., Поддаева О.А. Вывод частотного уравнения собственных
колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края
которой шарнирно закреплены, а два других свободны // Вестник МГСУ,
4, 2010. - С. 225-231.
33. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида //
Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с.
34. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных
систем // Исследование по теории упругости и пластичности. – Л.: Изд.
ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33.
35. Петрашень Г.И., Хинен Э. В. Об инженерных уравнениях колебаний
неидеально – упругих пластин // “Труды МИАН” Л.: Изд. “Наука”, т.
ХС V ., 1968. – С. 151-183.
36. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной
теории вязкоупругости.-Тошкент: Фан. 1980.-260с.
37. Абдикаримов Р.А. Численное исследование нелинейного колебания
вязкоупругой пластины с переменной жесткостъю// Проблемы
архитектуры и строительства. – Самарканд, 2010. – №1. – С. 37-42.
38. Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Динамическая устойчивость
вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом
сжатии // Прикладная механика. 2014. №4(50). – С. 41-51.
76](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_76.png)
![39. Khudayarov B.A., Ruzmetov K., Turaev F., Vakhobov V., Khidoyatova M.,
Mirzaev S. S., Abdikarimov R. Numerical modeling of nonlinear vibrations of
viscoelastic shallow shells . Engineering Solid Mechanics. 2020. 8(3) 199-204.
40. Ширинкулов Т., Индиаминов Р.Ш. Изгиб физически нелинейных
вязкоупругих тонких пластин // ДАН Р.Уз, №2, 2007. – С. 20-26.
41. Safarov I.I., Teshayev M.Sh., Boltayev Z.I., Akhmedov M.Sh. Damping
Properties of Vibrations of Three-Layer Viscoelastik Plate // Intern. J. of
Theoretical and Applied Mathematics, №3(6), 2017. – P.191-198.
42. Ниязова Н.А., Усаров М.К. К теории изгиба и устойчивости трехслойных
пластин с ортотропным трехмерным заполнителем. Восьмой
Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь,
23-29 август, 2001. - С.458-459.
43. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания
трехслойных пластин с трехмерным заполнителем//Проблемы
архитектуры и строителъства, СамГАСИ – 201 7. – № 3 . – С. 128 -1 32 .
44. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания
трехслойных пластин с толстым заполнителем// Высшая школа н аучно-
практический журнал. – №18 . Уфа.– 2017 г. – С. 40-43.
45. Халмурадов Р.И., Худойназаров Х.Х., Худойбердиев З. Свободные
колебания упругой трехслойной пластинки // Узбекский журнал
Проблемы механики. 2017. №2. – С. 46-52.
46. Буриев Т., Абдусатторов А., Куракбаев Д.С. Кинетика напряженно-
деформированного состояния и поврежденности тонких плит при
произвольных переменных нагружениях // Узбекский журнал Проблемы
механики. 2001. №1. – С.11-17.
47. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных
оболочек. – М.: Машиностроение, 1973.-170 с.
48. Xalmurodov R.I., Xudoynazarov X.X. Elastiklik nazariyasi, 2-qism. -Toshkent:
“FAN”, 2003.- 162 b .
77](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_77.png)
![49. Х.Худойназаров, В.А. Скрипняк, Ш. Яхшибоев Нестационарные
поперечные колебания трехслойной вязкоупругой пластинки // Проблемы
механики Т. №2, 2018. – С. 27-32.
50. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие цилиндричских
оболочек и стержней с деформируемой средой. – Ташкент, Изд – во Мед.
Литературы имени Ибн Сино. 2003 – 350 с.
51. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний
стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика
твердого деформирований тела. Т.5. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с.
52. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида //
Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с.
53. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.:
«Наука», 1972-432с.
54. Yaxshiboyev S h .R. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkalarning
antisimmetrik tebranishlari . Falsafa doktori (PhD) Dissertatsiyasi , Samarqand
2021.
55. http://www.edu.uz – ta’lim sayti.
56. http://www.edu.ru – ta’lim sayti.
57. http://www.intuit.ru – masofaviy ta’lim sayti.
58. http://www.eqworld.ru – adabiyotlarning elektron varianti.
59. http://ru.wikipedia.org – erkin ensiklopediya «Vikipediya».
60. http://www.twirpx.com – adabiyotlarning elektron varianti.
61. http://www.ziyonet.uz - adabiyotlarning elektron variantlari
62. http://www.prepodu.net – adabiyotlarning elektron varianti.
78](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_78.png)
![MUALLIFNING CHOP QILINGAN ILMIY ISHLARI RO‘YXATI
1. Худайбердиев З.Б., Расулов Б.Н., Шаимов К.М., Рахматуллаева Н.Ш .
Продольные колебания упругой трехслойной пластины // «Студенческий
научный форум 2021» сборник статей Международной научно-
практической конференции, состоявшейся 20 октября 2021 г. в г. Пенза ,
2 53- с.
2. Расулов Б.Н., Исраилов С.А., Абдусатторова С.Р . Антисимметрич ные
колебания двухслойной пластины // XIX Международной научно-
практической конференции «Актуальные вопросы современной науки
и образования», состоявшейся 20 мая 2022 г. в г. Пенза , Ч. 1. – 264- с.
79](/data/documents/3fce10b4-2cab-4da0-b559-9fcdd61b50ca/page_79.png)
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………… ……………… … . . 3 I-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI HOZIRGI ZAMON HOLATI.... 8 1.1- §. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va usullari rivoji …………............................... ……. 8 1.2- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va uni yechish usullari …..……………………………………..… . 19 1.3 - § . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi 24 II-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI ………………..……………….. 32 2.1- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari tenglamalari ..…………………….. 38 2.2 - §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ……………… 57 2.3- §. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash ………………….……… 57 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI.......................................................... 63 3.1- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy va tutashlik shartlari........................................................................ 63 3.2- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari .......................................... 63 3.3 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarining chastotaviy tahlili....................... 63 3.4 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik 63 1
tebranishlari........................................................... ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63 2
KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Qurilish va mashinasozlikning turli sohalarida qo‘llaniladigan muhandislik qurilmalarining ko‘p qatlamli elementlari dinamikasini o‘rganishga, jumladan, ularning dinamik deformatsiyasini hisoblashning yangi eksperimental modellarini yaratishga, yuqori samarali matematik modellar va zamonaviy raqamli modellarni qo‘llashga katta e’tibor qaratilgan. So‘nggi yillarda jahonning bir qator rivojlangan mamlakatlarida muhandislik inshootlarining og‘irligini kamaytirish va mustahkamligini oshirish uchun ko‘p qatlamli konstruksiya elementlaridan, ularning dinamik xususiyatlarini hisoblashning samarali usullaridan foydalanilmoqda. Shu bois, turli qurilmalarning massasini zamon talablari asosida kamaytirish, ularning chidamliligi va texnologik va konstruksiyaviy ustunligini hamda iqtisodiy samaradorligini ta’minlash muhandis va tadqiqotchilar uchun muhim ahamiyatga ega. Ko'pgina xorijiy mamlakatlarda konstruksiya elementlarining kuchlanish-deformatsiya holatini o'rganish, konstruksiya mustahkamligi muammolarini tizimlashtirish, aviatsiya, kemasozlik, mashinasozlik va qurilishda turli xil tabiatning dinamik ta'sirini o'rganishga alohida e'tibor beriladi. Qatlamli konstruktsiyalar elementlarining statsionar bo'lmagan tebranishlarini, shu jumladan turli xil tashqi statsionar bo'lmagan dinamik yuklarning ta'siri ostida ikki qatlamli plastinkalarning dinamikasini o'rganish uchun butun dunyoda ko'plab tadqiqotlar olib borilmoqda. Texnik qurilmalarning ishonchliligini ta’minlashning yangi matematik modellari va hisoblash usullarini ishlab chiqish va yaratishga, xususan, dinamik yuklar ostida ikki qatlamtli plastinka va qobiq elementlarini hisoblashga alohida e’tibor qaratilmoqda. Har xil tebranish jarayonlarining matematik modellarini yaratish, aerokosmik, yer, yer osti va boshqa muhandislik inshootlarining KDH elementlarini yuqori aniqlikda aniqlash, shuningdek, deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi sohasida raqamli tadqiqotlar zarur. Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga 3
oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir. Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i. Dissertatsiyada turli vaqtga bog‘liq o‘zgaruvchan yuklar ta’sirida elastik ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarini o‘rganish tadqiqot ob’ekti va predmeti hisoblanadi. Tebranishlar bo’ylama xarakterga ega bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilishda siqilmaydigan yopishqoq suyuqlikni o'z ichiga olgan cheksiz kengaytirilgan chiziqli bo'lmagan viskoelastik silindrsimon qobiqda chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishi bo'yicha ushbu tadqiqotlarning tebranish naqshlari dissertatsiya mavzusidir. Bitiruv malakaviy ishning mavzusi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlariga topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini qo'llashdir. Ishning maqsad va vazifalari Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy maqsadi tashqi dinamik yuklanishlar ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqishdan iborat; plastinka kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; 4
ishlab chiqilgan usuldan impulsli va boshqa yuklanishlar ta'siri ostidagi ikki qatlamli plastinlarni hisoblash uchun ishlatish. Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: • dinamik yuk lanish lar ta’siri ostidagi ikki qa tlamli elastik plast inka ning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqish; • ikki qatlamli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiya langan holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; • dinamik yuklar ta'siridagi ikki qatlamli plastinkaning tebranishlariga doir yangi amaliy masalalar qo'yish va tegishli hisoblash metodini ishlab chiqish. Ikki qavatli plastinkaning garmonik tebranishlari va turli chegara shartida dinamik yuklarning ta'siri ostida majburiy tebranishlarning o'ziga xos muammolarini hal qilish usullarini ishlab chiqish; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining kuchlanish tenzori va ko chish vektoriʼ komponentalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi vaqt va koordinatadan ʼ bog lanish qonuniyatlariga ta sirini tadqiq qilish; ʼ ʼ Tadqiqot ning ilmiy y angiligi. quyidagilardan iborat: • elastik ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo'lmagan ko'ndalang tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini hisobga olgan holda hisoblashning matematik modeli kletirib chiqarilgan; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qavatli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy koordinatalar va vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi yaratilgan; • dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinka tebranishlarining yangi amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning 5