logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. G’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlari

G’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlari

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2395.4423828125 KB
Ko'chirib olish
G’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlari Mundarija Kirish ………………………………………………………………………………3 1-bob. Matematik fizikaning teskari masalalari va ularni yechish usullari ……6 1.1. Koeffisiyentli teskari masalalar ……………………………… …..…………… 6 1.2. G’ovak muhitlarda modda suspenziya sizishi jarayoni uchun teskari masalalarning qo’yilishi …………………………………………………...............15 1.3. Teskari masalalarni yechishning asosiy yondashuvlari ………… …...............20 1.4 Parallel hisoblash algoritmlari va ularning hisoblash matematikasida qo’llanilishi……………...………………………………………………...............28 2-bob. G’ovak muhitlarda modda ko'chishi modellari parametrlarini identifikatsiya qilish ……………………………………………………………..35 2.1. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida kinetika koeffitsientni aniqlash.. 35 2.2. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida ikkita kinetik koeffitsientini identifikatsiya qilish......…... ….………………………………………………….44 2.3. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida 4 ta parametrni aniqlash bo’yicha teskari masalasi ………………………………………….……………………....52 3-bob. G’ovak muhitlarda ko’p bosqichli kinetika asosida suspenziya sizishi modeli parametrlarini aniqlashda parallel hisoblash algoritmlari ………….. 59 3.1. V.Gitis modeli parametrlarni identifikatsiya qilishda parallel hisoblash algoritmlari …………………………………………. …………………………...59 3.2. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalash …………………...…65 3.3. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalashda parallel hisoblash algoritmi ………………………..…………..........................................................74 Xulosa …………………………………………………………………………….80 Adabiyotlar ………………………………………………………………………81 KIRISH Dunyodagi qazib olinayotgan neftning katta qismi ba'zi quduqlarga suv haydash va boshqa quduqlarda neftni tortib olish yo'li bilan ishlab chiqariladi. Shu bilan birga, tarkibida turli organik va mineral qo'shimchalarni o'z ichiga olgan tozalanmagan suvni haydash amaliyoti muhitning suv qabul qilish qobiliyatini pasayishiga olib keladi. Quduqqa sifatsiz suv haydash uning o’tkazuvchanlik qobiliyatini hasaytiradi, chunki suyuqlikda mavjud muallaq zarrachalar g'ovak muhitda o'tayotganda ushlanib qoladi va cho’kma hosil qiladi. Biz mazkur dissertatsiyada g’ovak muhitda modda ko’chishining to’g’ri va teskari masalalarini qaraymiz, bu jumladan quduqlarga suv haydash jarayonini progmozlashtirish uchun ham zarurdir. Filtrlash jarayonlarining matematik modellari oqim sodir bo'layotgan g'ovak muhit yoki suyuqlik xususiyatlarini tavsiflovchi funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Oqim tajribalarida suyuqliklarning bosimi yoki oqim tezligi kabi miqdorlarni laboratoriya o'lchovlaridan bilvosita tiklash usullari bir nechta mualliflar tomonidan ishlab chiqilgan. Bunday usullar parametrlarni baholash nazariyasida matematik fizikaning teskari masalalarga olib keladi, bular yomon shartlangan chiziqli va chiziqli bo'lmagan optimallashtirish masalalaridir. Regularizatsiya usullari bu muammolarni hal qilish uchun foydalidir, chunki ular taqribiy yechimlarning barqarorligini ta'minlaydi. G’ovak muhitlarda modda ko’chishining to’g’ri masallari qaysidir darajada yaxshi tadqiq etilgan bo’lsada, teskari masalalar eng sodda modellar uchun ham 2 juda kam o’rganilgan. Yuqorida aytilganlardan kelib chiqib aytish mumkinki, g`ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi va modda ko`chishining yangi modellari parametrlarini parallel hisoblash algoritmlari vositasida tadqiq etishga bag`ishlangan ushbu dissertatsiya mavzusi dolzarb hisoblanadi. Tadqiqot ob ` yekti va predmeti. Tadqiqot ob ` yekti – g’ovak muhit va un da sizuvchi suspenziya modellari . Tadqiqot predmeti – g`ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi jarayonining matematik modelini tuzish va model parametrlarini identifikatsiya qilish uchun parallel hisoblash algoritmlarini tuzishdandan iborat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari: Tadqiqot maqsadi – g’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlarini yaratishdan iborat. Shu maqsadda quyidagi vazifalar qo’yilgan: - g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi matematik modelini tuzish va masalani sonli yechish; - g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi matematik model lar i parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish; - ko’p bosqichli kinetika tenglamalarini hisobga olib suspenziyalarning g’ovak muhitlarda sizishi modeli parametrlarini identifikatsiya qilish uchun parallel hisoblash algoritmlari ishlab chiqish; - eksperiment natijalari asosida model parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish uchun parallel hisoblash algoritmlari ishlab chiqish . Tadqiqot usullari – Mexanikaning fundamental qonunlariga asoslanib birjinslimas suyuqliklarning g’ovak muhitlarda sizishi modellarini tahlil qilish, model parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish. Tadqiqotning ilmiy va amaliy ahamiyati – Ish asosan birjinslimas suyuqliklarning g’ovak muhitda sizishini nazariy tahlil qilishga bag’ishlangan. Ammo, olingan natijalar suspenziyalar sizishi kuzatiladigan turli jarayonlar: neft va gaz qazib olish, gidrogeologiya, gidrotexnika va turli kimyoviy jarayonlarda foydalaniladigan modellar parametrlarini topishda qo’llanilishi mumkin. 3 Tadqiqotning ilmiy yangiligi – Dissertatsiyada birinchi marotaba g`ovak muhitlarda modda ko’chishining ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida tuzilgan matematik modeli parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar parallel hisoblash algoritmlari asosida ishlangan. Dissertatsiyaning tarkibi. Mazkur dissertasiya ish i kirish, uch ta bo b , xulosa va foydalan il gan adabiyotlar r o’ yhatidan iborat. Kirish qismida qo’yilgan masalaning dolzarbligi, tadqiqot obyekti va predmeti, tadqiqot maqsadi va vazifalari, tadqiqotning ilmiy yangiligi, dissertatsiya tarkibining qisqacha tavsifi berilgan. Asosiy qismning 1-bobida g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishining matematik modellari, ular uchun qo’yiladigan boshlang’ich-chegaraviy, teskari masalalar va ularni yechish usullari tahlil qilingan. Bu modellar parametrlarini tiklash bo’yicha masalalar yechilgan 2-bobda V.Gitis modeli asosida ko’p bosqichli kinetikani hisobga olib suspenziya sizishi modeli aosida qo’yilgan teskari masalalarni sonli usullardan foydalanib yechish algoritmlari ishlab chiqilgan . 3-bobda ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida suspenziyalarning g’ovak muhitlarda sizishi bo’yicha o’tkazilgan laboratoriya eksperimentlari asosida model parametrlarini tiklash masalalari yechilgan. Dissertatsiya oxirida adabiyotlar ro`yhati va masalalarni yechish uchun tuzilgan dasturlar ilova sifatida berilgan. Dissertatsiya materiallari asosida quyidagi ishlar chop etilgan: 1. Файзиев Б.М., Бегматов Т.И., Санаев М.Э. Обратная задача по определению кинетического коэффициента в модели фильтрации суспензии в пористой среде. // “Zamonaviy axborot, kommunikatsiya texnologiyalari va at- ta’lim tatbiqi muammolari” mavzusidagi respublika ilmiy-amaliy anjumani ma’ruzalar to‘plami, 9 aprel 2022-yil, 11-13 б. 2. Файзиев Б.М., Бегматов Т.И., Санаев М.Э. Идентификация коэффициента кинетики в модели фильтрации суспензии в пористой среде среде “ Amaliy matematika va axborot texnologiyalarining zamonaviy 4 muammolari »” mavzusidagi xalqaro miqyosidagi ilmiy - amaliy anjuman materiallari . Бухоро – 2022, 93-94 б. 5 1 BOB. MATEMATIK FIZIKANING TESKARI MASALALARI VA ULARNI YECHISH USULLARI Matematik fizikaning teskari masalalari, odatda , klassik ma’noda nokorrekt masalalar sinfiga kiradi. Xususan, nokorrektlik kiruvchi ma’lumotlar o’zgina o’zgarishi bilan teskari masala yechimining keskin o’zgarishi namoyon bo’ladigan noturg’unligi bilan xarakterlanadi. Matematik fizika teskari masalalarining mumkin bo’lgan yechimlari sinfini toraytirish bilan ular korrekt masalaga aylanadi (shartli korrekt, A.N.Tixonov bo’yichaa korrektlik). Ushbu bobda teskari masalalar va ularni yechish usullari haqida umumiy tushunchalarni qisqacha shaklda beramiz. Ko'pgina amaliy masalalar xususiy hosilali differentsial tenglamalar uchun chegara viy masalalarni y echishga keltiriladi [1, 2 ] . Chegaraviy masalaning yechimi tenglama va ba'zi qo'shimcha shartlardan aniqlanadi [ 3 ] . Bunday masalalar matematik fizikaning to’g’ri masalalari sinfiga kiradi. Teskari masalalarga misol sifatida tenglamalardagi noma’lum koiffitsiyentlarni qandaydir qo’shimcha ma’lumotlar asosida topish masalasini keltirishimiz mumkin, bunday holatda masalalar koeffitsiyentli teskari masalalar deyiladi [1, 2]. Chegaraviy teskari masalalarda esa noma’lum chegaraviy shartlar tiklanadi va hakazo [1, 2]. 1.1 Koeffisiyentli teskari masalalar Model masala Matematik fizikaning teskari masalalari ichida eng keng o’rganilganlaridan biri bu issiqlik almashinuvi teskari masalalarining muhim sinfi bo’lgan koeffisiyentli teskari masalalaridir. Odatiy masalalardan biri bu – noma’lum issiqlik sig’imi va issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyentlarini sohaning ichki qismlarida haroratni qo’shimcha o’lchash yordamida aniqlash masalasidir. Bunday identifikatsiya masalasi chiziqlimas bo’lib, yechim yagonaligi masalasini hal qilishga to’g’ri keladi. Xususan, issiqlik o’lchashlarni bajarishda issiqlik yuklanishlarini maxsus tashkil etishga to’g’ri keladi. Bu savolni batafsil o’rganmasdan, faqat soda mulohazalar bilan cheklanamiz. 6 Noma’lum c(u) va k(u) bog’liklarni topishda, o’z-o’zidan o’lchashlarni shunday tashkil etish kerakki, soha ichida harorat qandaydir boshlang’ich qiymatdan boshlab monoton o’sishi (yoki kamayishi) lozim. Bu holda u funksiyaning qiymatlar sohasi o’sadi, shu bilan birga vaqtning har bir keyingi momentida c(u) va k(u) noma’lum funksional bog’liqliklarni tiklashga ham umid qilish mumkin. Model koeffisiyentli teskari masalani quyidagicha qo’yamiz. To’g’ri to’rtburchakli Ω sohada qattiq jismning haroratdan bog’liq bo’lgan issiqlik xossalari quyidagi tenglama bilan ifodalanadi c(u)∂u ∂t +L(k)u= 0, x∈Ω , 0<t≤ T , (1.1) bu yerda (izotrop muhit) L(k)υ=∑ β=1 2 Lβ(k)υ, Lβ(k)υ=− ∂ ∂xβ(k(u)∂υ ∂xβ). (1.2) (1.1), (1.2) tenglamalar uchun ikkinchi jinsli chegaraviy shartlarni qaraymiz: k(u)∂u ∂n = q(x,t), x∈Ω , 0<t≤ T , (1.3) bunda q(x,t)=0. Boshlang’ich shartni quyidagicha olamiz u(x,0)=0, x∈Ω . (1.4) Chegaraviy va boshlang’ich shartlarni shunday berilsa jism ichida harorat monoton o’sadi. (1.1)-(1.3) da c(u) issiqlik sig’imi va k(u) issilik o’tkazuvchanlik koeffitsiyentlari noma’lum. Ularni aniqlash uchun jism ichida tanlangan bir qancha xm , m=1,2 ,...,M nuqtalarda olingan qo’shimcha o’lchash natijalaridan foydalaniladi u(xm,t)= gm(t) , m=1,2 ,...,M . (1.5) {c(u),k(u),u(x,t)} funksiyalarni (1.1)-(1.5) shartlar bo’yicha tiklash masalasi qo’yiladi (issiqlik almashinuvining koeffisiyentli teskari masalasi). 7 (1.1)-(1.5) teskari masalaning o’ziga xosligi shundaki, vaqtga bog’liq funksiya gm(t), m=1,2 ,...M (haroratni qo’shimcha o’lchash) yordamida c(u),k(u) funsional bog’lanishlarni tiklash lozim. Bundan tashqari bu masala, retrospektiv va chegaraviy teskari masalalardan farqli ravishda chiziqlimasdir. Parametrli identifikatsiyalash Masalaning yuqori darajada qiyinligini hisobga olgan holda teskari masalalarning asosiy yondashuvlarini faqat issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti noma’lum bo’lgan hol uchun qaraymiz, ya’ni (1.1)-(1.5) da c(u) issiqlik sig’imi koeffitsiyenti berilgan deb hisoblaymiz. Umumiy holda c(u) va k(u) lar noma’lum bo’lgan holga o’tish faqat texnik qiyinchiliklar tug’diradi. (1.1)-(1.5) koeffitsiyentli teskari masalaning yechimiga yaqinlashishning an’anaviy yonfashuvi parametrli identifikatsiyalashdir. Chekli ηβ(u), β=1,2 ,...,K bazis tanlanadi va issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti quyidagi ko’rinishda izlanadi k(u)= ∑ β=1 K kβηβ(u) . (1.6) Shuning uchun masala yoyilma koeffitsiyentlari kβ , β=1,2 ,...,K larni topishga keltiriladi. Shunga mos chekli o’lchamdagi optimizatsiya masalasini qo’yamiz. Quyidagi funksionalni qaraymiz Jα= ∑ m=1 N ∫ 0 T (u(xm,t)− gm(t)) 2dt +α∑ β=1 K kβ 2 . (1.7) kβ, β=1,2 ,...,K larni aniqlash (1.7) funksional minimumidan (1.1)-(1.4), (1.6) larni hisobga olgan holda toppish masalasi qo’yiladi. (1.6) yoyilma koeffitsiyentlari M funksiyaning Jα= Jα(k1,k2,...,kK) o’zgaruvchilarga nisbatan minimum shartidan topiladi: ∂Jα ∂kβ =0, β=1,2 ,...,K. (1.8) 8 (1.7) dan ∂Jα ∂kβ =2∑ m=1 M ∫ 0 T (u(xm,t)− gm(t))∂u ∂kβ (xm,t)dt +2kβ (1.9) Bu hosilani hisoblash uchun dastlab υ(x,t)= ∂u/∂kβ funksional uchun masala qo’yiladi. Bunda quyidagini hisobga olamiz ∂k ∂kβ = ηβ(u), bevosita (1.1) tenglamadan quyidagiga ega bo’lamiz c(u)∂u ∂t + ∂c ∂u ∂u ∂t υ+ L(k)υ+L( dk du υ+ηβ(u))u= 0 x∈Ω ,0<t≤ T , (1.10) bunda dk /du hosila berilgan kβ , β=1,2 ,...,K parametrlar bo’yicha hisoblanadi. (1.3) chegaraviy shartdan k(u)∂υ du +( dk du υ+ηβ(u)) ∂u ∂n = 0 , x∈∂Ω , 0<t≤ T , (1.11) (1.4) boshlang’ich shartdan esa υ(x,0)= 0 , x∈Ω . (1.12) Qo’shma holat masalasini olish uchun, har doimgiday, (1.10) tenglamani qandaydir ρ(x,t) funksiyaga ko’paytiramiz va Ω sohada, vaqt bo’yicha 0 dan T gacha integrallaymiz. Faraz qilaylik ρ(x,T)= 0 , x∈Ω , (1.13) u holda integrallab quyidagiga ega bo’lamiz ¿ ¿−∫ Ω ∫ 0 T υc (u)∂ ρ ∂tdxdt +∫ Ω ∫ 0 T ρ[L(k)υ+L( ∂k ∂uυ)u]dxdt = =−∫ Ω ∫ 0 T ρL (ηβ(u))udxdt . (1.14) 9 ρ(x,t) uchun quyidagi chegaraviy shart bajariladi deb hisoblaymiz k(u)∂ ρ ∂n = 0 , x∈∂Ω , 0<t≤ T . (1.15) U holda (1.14) da (1.2) va (1.11) hisobga olib quyidagiga ega bo’lamiz −∫ Ω ∫ 0 T υc (u)∂ρ ∂tdxdt +∫ Ω ∫ 0 T υkL (1)ρdxdt = =− ∑ γ=1 2 ∫ Ω ∫ 0 T ηβ(u)∂u ∂xγ ∂ρ ∂xγ dxdt , ( 1. 16) ( 1. 2) belgilashni ham hisobga olsak L(1)υ=− ∑ β=1 2 ∂2υ ∂xβ 2 bu esa Laplas operatorining o’zi. (1.9) ni e’tiborga olgan holda, tenglamadan qo’shma holatni aniqlaymiz − c(u)∂ρ ∂t+kL (1)ρ+∑ m=1 M δ(x− xm)(u(x,t)− gm(t)) x∈Ω ,0<t≤ T , (1.17) bu yerda δ(x) — δ -funksiya. U holda (1.17) dan quyidagiga ega bo’lamiz ∑ m=1 M ∫ 0 T (u(xm,t)− gm(t))υ(xm,t)dt = ∑ γ=1 2 ∫ Ω ∫ 0 T ηβ(u)∂u ∂xγ ∂ρ ∂xγ dxdt . (1.9) dan izlanayotgan hosila uchun quyidagiga ega bo’lamiz ∂Jα ∂kβ =2∑ γ=1 2 ∫ Ω ∫ 0 T ηβ(u)∂u ∂xγ ∂ρ ∂xγ dxdt +2kβ., (1.18) Xuddi shunday, hosilani kβ,β=1,2 ,...,K koeffitsiyentlar bo’yicha alohida hisoblash uchun dastlab (1.1)-(1.4) masala u(x,t), ga nisbatan yechiladi, keyin ρ(x,t) qo’shma holat (1.13), (1.15), (1.17) masala yechimi sifatida aniqlanadi, keyin alohida hosila (1.18) bo’yicha hisoblanadi. Iteratsion jarayonni keying qadamlari ham odatiy ko’rinishda tashkil etiladi. Endi, issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyent berilgan hol uchun issiqlik sigimi koeffitsiyentini aniqlash aniqlash masalasini qaraqmiz. Faraz qilaylik, endi 10 c(u)= ∑ β=1 K χβηβ(u).(1.19) bo’lsin. Tabiiyki quyidagi funksionalni qaraymiz Jα= ∑ m=1 M ∫ 0 T (u(xm,t)− gm(t)) 2dt +α∑ β=1 K χβ 2 . (1.20) χβ,β=1,2 ,...,K koeffitsiyentlarni toppish uchun quyidagi tenglama ichlatiladi ∂Jα ∂χβ =0, β=1,2 ,...,K . ( 1. 7) dan ∂Jα ∂χβ = 2∑ m=1 M ∫ 0 T (u(xm,t)− gm(t))∂u ∂χβ (xm,t)dt +2χβ . ( 1. 21) Quyidagini hisobga olsak ∂c ∂χβ =ηβ(u), (1.1) tenglamadan υ(x,t)= ∂u/∂χβ uchun quyidagiga ega bo’lamiz c(u)∂υ ∂t+ηβ(u)∂u ∂t+ L(k)υ+L( d(k) du υ)u= 0, x∈Ω ,0<t≤ T . (1.22) (1.3) dan k(u)∂υ ∂n + dk du ∂u ∂n υ= 0 , x∈∂Ω , 0<t≤ T , (1.23) (1.4) boshlang’ich shart esa (12) ni beradi. (1.13) va (1.15) bajarilsa (1.22), (1.23) dan quyidagiga ega bo’lamiz −∫ Ω ∫ 0 T υ ∂ ∂t (c(u)p)dxdt − ∑ γ=1 2 ∫ Ω ∫ 0 T υk (u)∂2p ∂xγ 2dxdt =−∫ Ω ∫ 0 T ηβ(u)∂u ∂t pdxdt . (1.24) (1.24) ga asosan ρ(x,t) ni quyidagi tenglamadan aniqlaymiz 11 − ∂ ∂t(c(u)p)− ∑ γ=1 2 k(u)∂2p ∂xγ 2+∑ m=1 M δ(x− xm)(u(x,t)− gm(t))= 0, x∈Ω , 0<t≤ T . (1.25) U holda hosila uchun quyidagiga ega bo’lamiz ∂Jα ∂χβ = 2∫ Ω ∫ 0 T ηβ(u)∂u ∂t dxdt +2χβ . Bu yerda ham hosilani hisoblash uchun (1.25) tenglama va (1.13), (1.15) shartlar yechimidan qo’shma holatni aniqlash yetarli. Umumiy holda ikkala c(u) , k(u) koeffitsiyentlarni (1.6), (1.19) ga asosan parametrli identikikatsiya qilish uchun ikkita qo’shma masalani yechish talab etiladi. Ayirmali masalaga o’tishda minimizatsialanayotgan funsional approksimatsiyasini tanlashda aosiy va qo’shma msala uchun tuzilgan ayirmali sxemalarni moslashtirishga to’g’ri keladi. Qadamli identifikatsiyalash Yuqorida issiqlik sig’imi va issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyentlarini vaqtning barcha momentlarida berilgan barcha qo’shimcha ma’lumotlardan foydalangan holda aniqlash masalasini qisqacha ko’rib chiqdik. Bu global identifikatsiyalash deyiladi. Nostatsionar masalalarning u yechimdan bog’liq bo’lgan chiziqlimas koeffitsiyentlarini idendifikatsiya qilishda tabiiy ravishda koeffitsiyent ketma-ket aniqlanadigan yondashuvdan foydalaniladi. Bu holda vqatning t' dan t'' gacha bo’lgan momentidagi qo’shimcha shartlar u' va u'' yechimlarning yangi o’zgarish oralig’I uchun ishlatiladi. Bunday algortim tabiiyki ketma-ket deb nomlanadi. Uni amalga oshirish uchun vaqt bo’yicha diskretizatsiyadan foydalaniladi, shuning uchun bu yondashuvda koeffitsiyentni aniqlash bilan bog’liq hisoblashlarni tashkil etish vaqtning bir qatlamidan ikkinchi qatlamiga o’tish orqali amalga oshiriladi (qadamli identifikatsiyalash). (1.1)-(1.5) masalada issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyentini aniqlashga batafsil to’xtalamiz (issiqlik sig’imi koeffitsiyenti c(u) ma’um deb faraz qilamiz). 12 Vaqt bo’yicha o’zgarmas τ>0 qadam bilan to’r kiritamiz va (1.1)-(1.5) ga mos differensial-ayirmali masalani hosil qilamiz. (1.1) tenglama approksimatsiyasida taqribiy yn(x) yechimni toppish uchun oddiy oshkormas sxemadan foydalanamiz: c(yn+1) yn+1− yn τ x∈Ω ,n= 0,1 ,,... +L(k(yn+1))yn+1= 0, (1.26) Bu tenglamaga chegaraviy va boshlang’ich shartlar qo’shiladi k(yn+1 ) ∂ yn+1 ∂n y0(x)= 0, x∈Ω . = q(x,t), x∈∂Ω , n= 0,1 ,..., (1.27) Faraz qilaylik 0<~y1<~y2<...<~yn−1<~yn<~yn+1<..., bu yerda ~yn= max yn(x) x∈Ω , ya’ni, har bir vaqt oralig’ida yechim maksimal qiymatining monotonligi faraz qilinayapti. Bunga mos chegaraviy shart yuqorida qaralgan edi. Noma’lum issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti k(u) ni qadamli toppish algotritmlaridan biri (issiqlik sig’imi koeffitsiyenti c(u) ni toppish ham xuddi shunday) quyidagicha. y<~yn da k(y) koeffitsiyenti aniqlangan va kn(y) ga deb hisoblaymiz. Xususan, (1)-(5) masalani yechishda ko’pincha k(0) ma’lum deb hisoblanadi. Yechimning yangi ~yn≤ y≤~yn+1 ( ~yn+1 qiymatning o’zi ham noma’lum) o’zgarish oralig’ida k(y) koeffitsiyentni r - tartibli splayn ko’rinishida izlaymiz. Aytilganlarni hisobga olsak quyidagiga ega bo’lamiz kn+1(y)= kn+1(~yn)+ d dy kn+1(~yn)(y− ~yn)+...+ dr−1 dy r−1kn+1(~yn) 1 (r− 1)! (y−~y)r−1+ an+1 r! (y−~yn)r, ~yn≤ y≤~yn+1. (1.29) ( 1. 29) da an+1 — noma’lum koeffitsiyent 13 ds dy skn+1(~yn)= ds dy skn(~yn)esa 0≤ s≤ r− 1 da berilgan. Hisoblashlarni boshlash uchun n=0 da bu qiymatlarni berish lozim. Soddalik uchun bo’lakli-chiziqli identifikatsiya (birinchi tatibli splayn) holi bilan cheklanamiz, u holda (29) quyidagicha bo’ladi kn+1(y)= kn+1(~yn)+an+1(y− ~yn), ~yn≤ y≤ ~yn+1. (1.30) Bunday taqribiy yechimni topishda qo’shimcha ma’lumot ((1.5) shart) har bir vaqt qatlami n=1,2 ,... da faqat bitta an+1 shartni aniqlasjha foydalaniladi. Bu maqsadda tabiiyki quyidagi funksionaldan foydalaniladi Jα(an+1)= ∑ m=1 M (yn+1(xm)− gm(tn+1))2+αa n+1 2 . (1.31) (1.29) shartdan aniqlanadigan k(y)= kn+1(y) koeffitsiyentli (1.26)-(1.28) ektremal masala oddiy gradiyent usuli bilan yechilishi mumkin. Quyidagi belgilash kiritamiz υn+1= dy n+1 da n+1 bevosita (1.30) dan quiydagini hosil qilamiz dJ α(an+1) da n+1 = 2∑ m=1 M (yn+1(xm)− gm(tn+1))υn+1+2αa n+1. (1.32) (1.26) dan υn+1 uchun oddiy bo’lakli-chiziqli approksimatsiya holi (1.30) dan quyidagi tenglmani hosil qilamiz c(yn+1) υn+1 τ + dc du (yn+1) yn+1 τ υn+1+L(kn+1(yn+1))υn+1+ +L(yn+1−~yn+an+1υn+1)yn+1= 0, x∈Ω , n= 0,1 ,.... (1.33) (1.27) dan chegaraviy shartlarni olamiz k(yn+1) ∂υn+1 ∂n +(yn+1−~yn+an+1υn+1) ∂yn+1 ∂n = 0, x∈∂Ω , n= 0,1 ,..... (1.33) 14 (1.33), (1.34) dan (1.32) ni hisobga olgan holda pn+1(x) qo’shma holat uchun quyidai masalani hosil qilamiz c(yn+1) pn+1 τ + dc du (yn+1) yn+1 τ pn+1+kn+1(yn+1)L(1)pn+1− ∑ m=1 M δ(x− xm)(yn+1(x)− gm(tn+1))= 0, x∈Ω , (1.35) k(yn+1) ∂ pn+1 ∂n = 0, x∈∂Ω , n= 0,1 ,... (1.36) (1.32) ni hisobga olsak quyidagiga ega bo ’ lamiz dJ α(an+1) da n+1 = 2∑ γ ∫ Ω (yn+1−~yn) ∂yn+1 ∂xγ ∂ pn+1 ∂xγ dx +2αa n+1. Shunday qilib, har bir vaqt qatlamida (1.26), (1.27) va (1.35), (1.36) elleptik chegaraviy masala yechiladi. Noma’lum an+1 parametrni aniqlash uchun gradiyent protseduralardan foydalaniladi. Xuddi shuday usulda umumiyroq bo’lgan hol: issiqlik sig’imi va issiqlik o’tkazuvchanliki koeffitsiyentlarini qadamli tiklash holi ham qaraladi. (1.26)- (1.28) differensial-ayirmali masalani diskretizatsiya qilishda ham prinsipial o’zgarishlar bo’lmaydi. (1.26) sxema o’rnida tejamkor sxemalardan ham foydalanish mumkin. 1.2. G’ovak muhitlarda modda suspenziya sizishi jarayoni uchun teskari masalalarning qo’yilishi G’ovak muhitlarda tarkibida muallaq zarrachalari mavjud bo’lgan suyuqlik harakati davomida zarrachalar g’ovak devorlariga o’tirib qoladi. Natijada g’ovaklik va o’tkazuvchanlik kamayadi. Boshqacha aytganda, g’ovak fazoda kolmatatsiya hodisasi sodir bo’ladi. Xorijiy adabiyotlarda bu – “deep bed filtration” deb yuritiladi. Bunday birjinslimas suyuqliklarning sizishi matematik modellari diffuziya hodisasini hisobga olmagan holda zarrachalar uchun massa balans 15 tenglamasi va ularning g’ovak devorlarida o’tirib qolishi kinetika tenglamasidan iborat bo’ladi. Suyuqlik va uning tarkibidagi muallaq zarrachalar zichliklari teng deb qaralganda suyuqlik ham, zarrachalar ham siqilmaydigan deb hisoblanadi, ya’ni , bu yerda u – g’ovak muhitda suyuqlikning sizish tezligi. G’ovak muhitdagi qattiq zarrachalar uchun massa balansi tenglanmasi quyidagicha bo’ladi ∂ ∂t ( cϕ + ρ)+u ∂c ∂x = 0 , (1.37) bu yerda ϕ – g’ovalik, с – hajmiy konsentratsiya, ρ – o’tirib qolgan zarrachalar konsentratsiyasi, t – vaqt, x –koordinata. Zarrachalarning o’tirib qolish kinetikasi eng sodda holda quyidagicha yoziladi ∂ρ ∂t = λ(ρ)uc , (1.38) bu yerda λ(ρ) sizish funksiyasi deyiladi. Zarrachalarning o’tirib qolish kinetikasi murakkab jarayon hisoblanadi. O’tirib qolish turlari har xil bo’lishi mumkin. Masalan, g’ovak muhit devoriga o’tirib qolish kinetikasi bilan hosil bo’lgan cho’kma ustiga o’tirib qolish kinetikasi butunlay farq qilishi mumkin. Shuning uchun (1.38) eng sodda holga to’g’ri keladi. Tushunarliki, zarrachalarning o’tirib qolishi natijasida muhitning o’tkazuvchanligi kamayadi. Bunda cho’kma qanchalik ko’p bo’lsa kamayish ham shunchalik ortadi. Shuning uchun Darsi qonuni ρ ga bog’liq bo’lgan o’tkazuvchanlik uchun yoziladi u=− k0k(ρ) μ ∂P ∂x , (1.39) bu yerda k0 – absolyut o’tkazuvchanlik , k(ρ) – o’tkazuvchanlik kamayishining ρ ga bog’liqligini ifodalovchi funksiya. Ko’rinib turibdiki, k(0)=1 . ning kichik qiymatlarida, suyuqlik qovishoqligi μ doimiy deb qaraladi. Bir jinsli g’ovak muhitlar uchun k0= const , birjinslimas muhitlar uchun х ning funksiyasi bo’ladi. 16 (1.37), (1.38) uchun masala juda oson qo’yiladi. Ikkita boshlang’ich shart beriladi c(0,x)=0,ρ(0,x)=0 (1.40) va c uchun bitta chegaraviy shart beriladi c(t,0)=ci(t) , (1.41) bu yerda ci(t) - muhitga kirish nutasi, ya’ni х= 0 nuqtadagi konsentratsiya. Sizish tezligi doimiy ekanligi va (1.39) dan muhitning L uzunligi bo’yicha bosim farqini quyidagicha aniqlash mumkin Δp = uμ k0 ∫ 0 L dx k(ρ(t,x)) (1.42) bu yerda - bosim farqi, . Quyidagi o’lchamsiz parametrlani kiritamiz x= x L ,t= ut φL , c= c, ρ= 1 φ ρ, λ(ρ)= Lλ (ρ), p= k0 μuL ρ (1.37), (1.38), (1.39) tenlamalar quyidagicha yozilishi mumkin [ 7 , 8 ] ∂ ∂t (¯c+ ρ)+ ∂¯c ∂¯x = 0 , (1.43) ∂ρ ∂t = λ(¯c)¯c , (1.44) Δ p=∫ 0 1 dx kρ (1.45) (1.43), (1.44), (1.45) masala oddiy yarim sonli xarakteristikalar usuli bilan yechiladi. (1.43)-( 1.45) uchun teskari masala odatda, λ(ρ) sizish funksiyasini topish bo’yicha qo’yiladi. Bunda muhitga kirishdagi сi(t) konsentratsiya va chiqishdagi сe(t) konsentratsiya berilgan bo’ladi [ 8 -10]. Bunda λ(ρ) o’smaydigan funksiya sifatida qaraladi. 17 Teskari masalani yechish uchun funksional tenglama tuziladi, uning yechimi asosida λ(ρ) topiladi. Teskari masalani yechimi mavjud bo’lsa, uning yagonaligi haqidagi teorema isbotlangan. Shuningdek yechimning o’zgaruvchan kiruvchi konsentratsiyaga nisbatan turg’unligi ham tadqiq etilgan. Yechimning A.Tixonov ma’nosidagi turg’unligining yetarli sharti ham topilgan. [7] da shuningdek “buzilish” funksiyasi (damage function) ni tiklash bo’yicha teskari masalalar keltirilgan. Bunda birinchi tur Volterra integral tenglamalari hosil qilingan. Turg’un masalalar hosil qilish uchun A.Tixonovning regulyarlashtirish usullaridan foydalanilgan. D=[0,1 ]×[0,A] soha ikki qismga bo’linadi D= D+∪ D0 , bunda D+={(t,x)∈D ,x>t} D0={(t,x)∈D ,x≤t}. ρ(t,x)= 0 funksiya D0 da va ρ(t,x)>0 D+ da. k(ρ) ni topish uchun quyidagi tenglama hosil qilinadi ∫ 0 1 f(ρ(t,x))dx = g(t), ∀ t∈[0,A] , (1.46) bu yerda ρ(t,x) noma’lum uzluksiz funksiya, g(t) – esa berilgan nomanfiy funksiya. (1.42) ni hisobga olib (1.46) tenglamani quyidagicha yozish mumkin ∫ 0 1 dx k(ρ(t,x)) = Δp (t) . (1.47) (1.46) ni (1.47) bilan taqqolab, quyidagiga ega bo’lamiz g(t)= Δp (t), f(ρ(t,x))= 1 k(ρ(t,x)) . Quyidagicha operator kiritamiz K ρf=∫ 0 1 f(ρ(t,x))dx ,0≤ t≤ A , 18 (1.46) tenglamani operator ko’rinishda yozish mumkinK ρf= g(t), t∈[0,A]. (1.48) (1.48) da Kρ uzuksiz chiziqli operator bo’lib L2[0,M ] gilbert fazosini L2[0,А] ga akslantiradi . Teskari masalani yechish Kρ ga teskari bo’lgan Kρ −1 operatorni yechishga keltiriladi . Buning uchun (1. 48 ) yechimning mavjudligi, yagonaligi va turg’unligini tadqiq etish lozim. (1.20) tenglamani integrellash quyidagiga keltiriladi ∫ 0 M K ρ(t,y)f(y)dy = h(t),t∈[0,A] , (1.49) bu yerda K ρ(t,y) va h(t) lar masaladagi ma’lum funksiyalar orqali ifodalanadi. (1.49) da K ρ(t,y) funksiya chegaralanga va L2([0,M ]×[0,A]) ga tegishli . Ma’lumkin, Kρ kompakt operator. Bundan kelib chiqadiki (1. 49 ) masala nokorrekt . (1.49) ning yechimi A.Tixonov regulyarizatsiyasi usuli bilan, ya’ni quyidagi funksionalni minimallashtirish orqali topiladi Фα(f)=‖Kαf−h‖2+α‖f‖2 , (1.50) bu yerda f∈L2[0,M ],α>0 . Agar K gilbert fazosiga o’tkazuvchi chiziqli chegaralangan operator bo’lsa, ya’ni K :X → Y , u holda Фα funksional fα∈X yagona minimumga ega. Bu minimum quyidagi tenglama yechimi hisoblanadi αf α+K ¿Kf α= K ¿h , (1.51) bu yerda K¿ – K ga qo’shma operator. Kρ operatorga nisbatan (1.51) tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi αf α+K ρ ¿K ρfα= K ρ ¿h . (1.52) 19 (1.52) tenglama yechimi fα= Rαh ko’rinishda yoziladi, bu yerda Rα regulyarlashtiruvchi operator quyidagicha aniqlanadi Rα= (αI +K ρ ¿K ρ) −1K ρ ¿,Rα:Y → X , bu yerda I – birlik operator . [6] da shuningdek , muhitdan chiqishdagi konsentratsiya o ’ zgarishi va muhit bo ’ ylab bosim o ’ zgarishini o ’ lchash dan olingan natijalar asosida sizish funksiyasi va o ’ tkazuvchanlikning kamayishini topish bo ’ yicha teskari masalalar yechilgan . Nochiziqli nokorrekt masalalarning yechimi mavjudligi , yagonaligi va turg ’ unligi masalalari ham tahlil qilingan .. Sizish funksiyasi va o ’ tkazuvchanlikning kamayishi funksiyasini topsihga shuningdek [10-13] ishlar ham bag ’ ishlagan . Bu funksiyalar odatda eksperimentdan topilmaydi , shuning uchun ularni topish bo ’ yicha teskari masalalar yechish lozim . Bu masalani yechish uchun yuqorida keltirilgan ( 1. 37) – ( 1. 39) model va quyidagi shartdan foydalaniladi ∂ρ(t,0) ∂t = λ(ρ(t,0))u ci(t), c(0,0)=0 . ( 1. 53) Sizish funksiyasi quyidagi funksionalni minimallashtirish yo’li bilan topiladi F c(θ,α)=∫ B A (c(t,L,θ)− cexp (t))2dt +α2‖θ− θ¿‖2 , ( 1. 54) bu yerda cexp (t) - tajribada o’lchanuvchi funksiya bo’lib – qatlamning chiqishidagi konsentratsiyani ifodalaydi, c(t,L,θ) - tenglamani yechish natijasida topiladigan hisoblangan konsentratsiya, θ - λ(ρ) ni approksimatsiya qilishda foydalaniladigan parameter, B= uϕ /L - qatlamning chiqishida konsentratsiya yorib o’tadigan vaqt, А - konsentratsiyani o’lchash tugaydigan vaqt. ρ(t,x) ni aniqlash uchun (1.45) tenglama o’lchamli ko’rinishda ishlatiladi (1.55) 20 k(t,x) funksiya quyidagi funksionalni minimallashtirish yo’li bilan topiladi (1. 56 ) Funksiyaning quyidagi ko’rinishidan foydalanilgan λ(ρ)= θ1− θ2ρ, k(ρ)= 1 1+ βρ Ta’kidlash lozimki, bu funksiyalar boshqa usullar bilan ham approksimatsiya qilish mumkin [14, 15, 16]. [17, 18] da teskari masalani yechish usuli tajriba natijalarini izohlash uchun ishlatilgan. 1.3. Teskari masalalarni yechishning asosiy yondashuvlari Hozirgi kunda nokorrekt masalalar nazariyasi katta rivojlanishga erishdi. Nokorrekt masalalarni yechishning turg’un usullarining bir qancha umumiy rivojlanish yo’nalishlari haqida to’xtalamiz. Nokorrekt masalalar, odatda, birinchi jinsli chiziqli operator tenglamalarga nisbatan qo’llaniladi Au = f, (1.29) Masalan, χ gilbert fazosida (soddalik uchun, u∈ χ,f∈ χ, ya’ni A :χ→ χ . Faraz qilaylik, (1.29) tenglamaning o’ng tomoni quyidagi xatolik bilan berilgan bo’lsin: ‖fb− f‖≤δ (1.30) Unga qandaydir taqribiy yechim mos keladi, uni uα bilan belgilaymiz, bunda α= α(∂) . (1.29), (1.30) masala nokorrektligi, masalan, operator χ fazoning ayrim joyida aniqlanmagan bo’lgan holda bo’lishi mumkin. 21 (1.29), (1.30) masalani taqribiy yechish uchun ko’proq variatsion usullardan foydalaniladi. A.N.Tixonovning regulyarizatsiya usulida quyidagi silliqlovchi funksional kiritiladi [20-25]:Jα(v)=‖Av − fb‖2+α‖v‖2 (1.31) (1.29), (1.30) masalaning taqribiy yechimi bu funksionalning ekstremalidan iborat, ya’ni Jα(uα)= min v∈χ Jα(v) (1.32) (1.31) da α>0 - regulyarizatsiya parametri, uning qiymati o’ng tomon xatoligi δ bilan mos keladi. (1.30), (1.31) ektremal masala o’rniga unga mos Eyler tenglamasini yechish mumkin. Bu holda taqribiy yechim quyidagi simmetriklashtirilgan tenglamani yechish orqali topiladi A¿Au α+αu α= A¿fδ. (1.33) (1.29) nokorrekt masaladan, (1.33) korrekt masalaga o’tish o’z-o’ziga qo’shma A¿A operator hisobidan amalga oshiriladi. (1.29) ni chapdan A¿ ga ko’paytirib va uning natijasida αE qo’zg’alish operatori, bu yerda E - ayniy operator. A¿= A≥ 0 bo’lganda operator o’zining qo’zg’alishi bilan cheklanish mumkin: Au α+αu α= fδ (1.34) (1.34) masala soddalashgan regulyarizatsiya algoritmdan foydalanishga mos keladi. Shunday qilib, notug’un maslalarni yechishning ikkinchi turdagi taqribiy yechish usullari berilgan yoki o’zgartirilgan operatorga qo’zg’alish berish bilan xarakterlanadi. Oxirgi vaqtlarda nokorrekt masalalarni yechishning iteratsion usullariga katta e’tibor qaratilmoqda. (1.29) tenglama uchun ikki qatlamli iteratsion usul quyidagi ko’rinishda: B uk+1− uk τk+1 +Au k= fδ, k=0,1 ,...,n(δ). (1.35) 22 Bu yerda B :χ→ χ va B−1 lar mavjud, masalan oddiy holda B= E . (1.29), (1.30) masalani taqribiy yechish uchun (1.35) tipdagi iteratsion usullarda regulyarizatsiya effekti o’ng tomon xatoligi δ va iteratsiyalar soni n(δ) ning mosligi hisobidan kuzatiladi. Bu yerda regulyarizatsiya parametric sifatida iteratsiyalar soni keladi. Iteratsion usullar simmetriklashtirilgan masalalarga ham qo’llanilishi mumkin, ya’ni taqribiy yechim uchun (1.35) o’rniga quyidagi ishlatiladi B uk+1− uk τk+1 + A¿Au k= A¿fδ, k= 0,1 ,...,n(δ). (1.36) Kontekstga bog’liq ravishda (1.36) iteratsion usul quyidagi funksionalni minimizatsiyalash variatsion masalasining iteratsion usuli sifatida ham talqin etilishi mumkin J(v)=‖A− fα‖2. Matematik fizika tenglamalari uchun nokorrekt masala taqribiy yechimining o’ziga xos xususiyatlarini qarashdan oldin regulyarizatsiya parametrini tanlash juda muhim masala ekanligini ta’kidlab o’tamiz. Regulyarizatsiya parametrini tanlash Nokorrekt masala taqribiy yechish usullari nazariyasida regulyarizatsiya parametrini tanlash masalasiga katta e’tibor qaratiladi [26-35]. Eng keng tarqalganlar: regulyarizatsiya parametrini tafovut bo’yicha tanlash, umumlashgan tafovut, kvazioptimal tanlash va h.k. (1.29), (1.30) masalada (1.31), (1.32) variatsion usullarni yoki (1.33) qo’zg’alish tenglamasiga mos α= α(δ) . α regulyarizatsiya parametri kiruvchi ma’lumotlar xatoligidan bog’liq bo’lib, xatolik qanchalik kichik bo’lsa parametr shunchalik kichkina olinadi. Tafovut bo’yicha regulyarizatsiya parametrini tanlashda aniqlovchi tenglama sifatida quyidagi tenglikdan foydalaniladi ‖Au α− fb‖= δ. (1.37) 23 Regulyarizatsiya parametrini bunday tanlanishining isboti, ya’ni uα , α= α(δ) taqribiy yechimning δ→ 0 da (1.29) tenglamaning aniq yechimiga yaqinlashishi juda ko’plab sinfdagi masalalar uchun berilgan. Biz faqat regulyarizatsiya parametri bunday tanlanganda hisoblash jarayonini tashkil qilishning o’ziga xos tomonlariga to’xtalib otamiz. Tafovut regulyarizatsiya parametri α dan qandaydir bog’liq, bu bog’liqlikni quyidagicha belgilaymiz ϕ(α)=‖Au α− fδ‖, u holda, regulyarizatsiya parametrini toppish (1.37) tafovut prinsipiga mos keladi va quyidagi tenglama yechimidan iborat ϕ(α)= δ. (1.38) Yetarlicha umumiy shartlarda ϕ(α) kamaymaydigan funksiya va (1.38) tenglama yechimga ega. (1.38) tenglamani taqribiy yechish uchun turli hisoblash protseduralaridan foydalaniladi. Masalan, quyidagi ketma-ketlik beriladi αk= α0qk, q>0 , (1.39) Bu yerda hisoblash k= 0 dan boshlanadi va (1.38) tenglik yetarli aniqlikda bajariladigan qandaydir k= K gacha davom etadi. Bunday aniqlashda regulyarizatsiya parametri K+1 marta tafovutni hisoblashni talab etadi ((1.31), (1.32) tipdagi variatsion masala yoki (1.33) Eyler tenglamasini yechish). (1.38) tenglamaning taqribiy yechimini toppish uchun nisbatan tezroq yaqinlashadigan iteratsion usullardan ham foydalanish mumkin. ~ϕ(β)= ϕ(1/β) funksiyaning kamayuvchi va qavariq funksiya ekanligi aniqlangan. Shuning uchun ~ϕ(β)=δ tenglamani yechishda Nyuton iteratsion usulidan foydalanish mumkin, u holda βk+1= βk− ~ϕ(βk) ~ϕ'(βk) . 24 Bu usul dastlabki yaqinlashishning ixtiyoriy β0>0 qiymatida yaqinlashadi. ~ϕ(β) funksiya hosilasini hisoblamaslik uchun kesuvchilariteratsion usulidan foydalanish mumkin, u xolda βk+1= βk− βk− βk−1 ~ϕ(βk)−~ϕ(βk−1) ~ϕ(βk). Bunday iteratsion protseduralardan foydalanish α regulyarizatsiya parametrini topish uchun ishlatiladigan hisoblashlarni kamaytiradi. Kiruvchi ma’lumotlar xatoligi ma’lum bo’lmaganligi, boshqarish qiyinligi tufayli yaxshi aprobiratsiyalangan va nazariy jihatdan ishlab jiqilgan tafovut usulini ishlatish qiyin. Shuning uchun, hisoblash amaliyotida regulyarizatsiya parametrini topishning ikkinchi usuli – regulyarizatsiya paramtrini kvazioptimal qiymati usulidan foydalaniladi. Bunday tanlov δ xatolik darajasidan to’g’ridan- to’g’ri bog’lanmagan. Quyidagini minimizatsiyalovchi α>0 qiymat tanlanadi ψ(α)=‖α du α dα ‖. Kvazioptimal qiymatni toppish uchun ko’pincha (1.39) ketma-ketlik ishlatiladi. Regulyarizatsiya parametrining bunday qiymatlarida ψ(α) ning minimumini toppish lozim ~ϕ(αk+1)=‖uαk+1− uαk‖. Bunda ikkitaqo’shni iteratsiyalardagi taqribiy yechimlar farqi normasini baholash yetarli. Regulyarizatsiya parametrini tanlashning boshqa usullari ham mavjud. Matematik fizika teskari masalalarini yechishning variatsion usullari Xususiy hosilali tenglamalar uchun teskari masalalrni taqribiy yechish usullarining o’ziga xosliklariga to’xtalamiz, bunday masalalarga issiqlik almashinuvining teskari masalalari ham kiradi. Bunday masalalrni yechishning birinchi umumiy yondashuvi (1.29), (1.30) masalani yechish uchun ishlatilgan (1.31), (1.32) variatsion usulga o’xshash. 25 Tabiiyki, tafovut funksionali qo’shimcha o’lchovlar bilan to’ldiriladi. Masalan, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun koeffisiyentli teskari masalani quyidagicha qo’yamiz. To’g’ri to’rtburchakli Ω sohada qattiq jismning haroratdan bog’liq bo’lgan issiqlik xossalari quyidagi tenglama bilan ifodalanadi c(x)∂u ∂t +Lu = f(x,t), x∈Ω , 0<t≤ T , (1.40) bu yerda Lu =− ∑ α=1 2 ∂ ∂xα(k(x)∂u ∂xα), x∈Ω . (1.41) (1.40), (1.41) tenglamalar uchun ikkinchi jinsli chegaraviy shartlarni qaraymiz: u(x,t)= g(x,t), (1.42) k∂u ∂n = q(x,t), x∈Ω , 0<t≤ T , (1.43) Boshlang’ich shartni quyidagicha olamiz u(x,0)=u0(x) x∈Ω . (1.44) (1.40)-( 1.44) masala issiqlik o’tkazuvchanlikning to’g’ri masalasi. Agar bu yerda (1.44) boshlang’ich shart berilmagan bo’lsa, teskari masala hosil bo’ladi. Masalan, rerospektiv teskari masalani keltiramiz. Bunda boshlang’ich holat o’rniga oxirgi vaqt momentidagi holat ma’lum bo’ladi u(x,T)=uT(x) x∈Ω . (1.45) Bu yerda t=T vaqt momentida o’lchab topilgan harorat maydonlari yordamida avvalgi vaqt momentlaridagi harorat maydonlarini toppish lozim (1.40)-(1.43) issiqlik o’tkazuvchanlikning retrospektiv teskari masalalarida, (1.45) vaqtning oxirgi qiymatida haroratni qo’shimcha o’lchashdir. Shuning uchun tafovut funksionali quyidagi ifoda bilan aniqlanadi ‖u(x,T)−u T (x)‖ 2 , 26 bu yerda ‖¿‖ — χ= L2(Ω ) fazodagi norma. Bu yerda haroratning dastlabki taqsimlanishi izlanmoqda, ya’ni u(x,0)=v(x), x∈Ω (1.46) A.N.Tixonov funksionalini ((1.31) ga qarang) quyidagi ko’rinishda tuzamiz Jα(v)=‖u(x,T ;v)− uT(x)‖2+α‖v‖2. (1.47) Teskari masala yechimi deganda w(x) funksiyani tusinamiz, bunda Jα(w)= min v∈H Jα(v) (1.48) α regulyarizatsiya parametri tafovut prinsipi asosida quyidagi shartdan topilishi mumkin ‖u(x,T ;wα)− uT(x)‖= δ bu yerda δ — vaqtning oxirgi momentida berilgan tempetratura xatoligi. (1.46)-(1.48) variatsion masalani berilgan δ regulyarizatsiya parametri aosida yechish uchun boshqaruv masalalarida ishlatiladigan sonly usullardan foydalaniladi. Xususan, gradiyentli usullardan ham foydalanish mumkin. Kvazimurozaat usuli Kvazimurozaat usulida dastlabki tenglama qo’zg’atiladi. Taqribiy yechimni uα(x,t) bilan belgilaymiz va uni quyidagi to’rtinchi tartibli parabolic tenglamadan topamiz c(x) ∂uα ∂t − Lu α+αL 2uα= 0, x∈Ω , 0<t≤ T , (1.65) bu yerda α>0 — regulyarizatsiya parametri (qo’zg’alish). Bu tenglamani quyidagi chegaraviy shartlar bilan to’ldiramiz uα(x,t)= 0, Lu α(x,t)=0, x∈∂Ω , x∈∂Ω , 0<t≤ T , 0<t≤ T , 0<t≤ T , 0<t≤ T , (1.66 ) (1.67 ) Boshlang’ich shart ham berilgan uα(x,0)=u0(x), x∈Ω . (1.68) 27 (1.65)-(1.68) qo’zg’atilgan masala yechimi turg’unligini ko’rsatamiz. Hosil qilingan oddiy aprior baholash uchun (1.65) tenglamani uα(x,t) ga ko’paytiramiz va Ω sohada integrallaymiz. Bu quyidagi tenglikka olib keladi 1 2 d dt ‖uα‖c 2+α‖Lu α‖2= (Lu α,uα), (1.69) O’ng tomonni baholash uchun quyidagi baholashda foydalanamiz (Lu α,uα)≤ α‖Lu α‖2+ 1 4α ‖u‖2. Bundan tashqari, ‖uα‖c 2≥ c0‖uα‖2, c0= min c(x) x∈Ω Bu (1.69) dan quyidagi baholashni hosil qiladi d dt ‖uα‖c 2≤ 1 2αc 0 ‖uα‖c 2 (1.70) Gronuolla lemmasiga asosan (1.70) dan (1.65)-(1.68) masala yechimining boshlang’ich ma’lulotlardan turg’unligini hosil qilamiz: ‖uα(x,t)‖c≤ c t (4αc0)‖u0(x)‖c . (1.71) Kvazimurijjat usulini ko’rishning ikkinchi usuli psevdoparabolik tenglamaga o’tish bilan bog’liq. (1.50)-(1.53) retrospektiv teskari masala taqribiy yechimini quyidagi tenglamadan aniqlaymiz c(x) ∂uα ∂t − Lu α+αL ∂uα ∂t = 0, x∈Ω , 0<t≤ T (1.72) va (1.66), (1.68) shartlar. Unga mos turg’unlik bahosini hosil qilamiz. L ning o’z-o’ziga qo’shmaligi va musbat aniqlanganligini hisobga olgan holda ‖¿‖α normani quyidagicha aniqlaymiz ‖u‖α 2=(cu ,u)+α(Lu ,u). (1.72) tengalamani uα ga ko’paytiramiz va Ω bo’yicha integrallaymiz. Bundan quyidagi tenglikni hosil qilamiz 28 ‖uα‖¿ d dt ‖uα‖¿= (Lu α,uα).(1.73) (1.73) ning o’ng tomoni uchun quyidagi baholash o’rinli (Lu α,uα)≤ α−1‖uα‖¿ (1.74) (1.74) ni hisobga olsak (1.73) dan quyidagini hosil qilamiz d dt ‖uα‖¿=α−1‖uα‖¿ Bundan quyidagi baholashga kelamiz ‖uα(x,t)‖α≤et/α‖u0(x)‖¿, (1.75) bu esa (1.66), (1.68), (1.72) qo’zg’atilgan masalaning boshlang’ich shartlar bo’yicha turg’unligini ifodalaydi. 1.4 Parallel hisoblash algoritmlari va ularning hisoblash matematikasida qo’llanilishi Parallel hisoblash tizimlaridan (PHT) foydalanish hisoblash texnikasini rivojlantirishning strategik yo'nalishlaridan biri hisoblanadi. Bu holat nafaqat an'anaviy seriyali kompyuterlarning maksimal mumkin bo'lgan tezligini cheklanganligi, balki mavjud kompyuter texnologiyalarining imkoniyatlari yetarli bo'lmagan hisoblash vazifalarining deyarli doimiy mavjudligi bilan bog'liq. Shunday qilib, zamonaviy ilm-fan va texnologiyalaridan global muammolar: iqlimni modellashtirish, genetik muhandislik, integral mikrosxemalarni loyihalash, atrof-muhit ifloslanishini tahlil qilish, dori vositalarini yaratish va boshqalar ularni tahlil qilishni kabilar doim mavjud. Yuqori unumli hisoblash tizimlarini yaratish muammosi hozirgi zamonning eng murakkab ilmiy-texnik muammolaridan biridir. Uni hal qilish ko'plab iqtidorli olimlar va dizaynerlarning sa'y-harakatlarini maksimal darajada jamlagan holda, fan va texnikaning barcha eng so'nggi yutuqlaridan foydalanishni o'z ichiga oladi va katta moliyaviy investitsiyalar talab qiladi. Shunga qaramay, 29 so'nggi paytlarda bu sohada erishilgan yutuqlar hayratlanarli. Ko'p protsessorli tizimlar uchun erishilgan ishlash ko'rsatkichlari ancha yuqori. Bir vaqtning o'zida bir nechta ma'lumotlarni qayta ishlash operatsiyalari bajarilganda parallel hisoblashni tashkil etish, asosan, funktsional birliklarning (ko'p protsessor) ko’pligini joriy etish hisobiga amalga oshiriladi. Bunday holda, agar biz masalani bo'lallar bo’lishni bajarsak, hisoblash muammosini hal qilish jarayonining tezlashishiga erishish mumkin. Bunda qo'llaniladigan algoritmni axborot jihatidan mustaqil qismlarga bo'lish va hisob- kitoblarning har bir qismini turli protsessorlarda bajarilishini tashkil etish mumkin. Ushbu yondashuv zarur hisob-kitoblarni kamroq vaqt bilan bajarishga imkon beradi va maksimal mumkin bo'lgan tezlashtirishni olish imkoniyati faqat mavjud protsessorlar soni va amalga oshirilgan hisob-kitoblardagi "mustaqil" qismlar soni bilan cheklanadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, hozirgacha parallelizmdan foydalanish ko'plab tadqiqotchilar kutganidek keng tarqalmagan. Yaqin vaqtgacha bunday holatning mumkin bo'lgan sabablaridan biri yuqori unumdor tizimlarning yuqori narxi edi (faqat yirik kompaniyalar va tashkilotlar superkompyuterlarni sotib olish imkoniyatiga ega edi). Ommaviy ishlab chiqarish sanoat tomonidan o'zlashtirilgan tipik strukturaviy elementlardan (mikroprotsessorlar, xotira chiplari, aloqa qurilmalari) parallel hisoblash tizimlarini qurishning hozirgi tendentsiyasi ushbu omilning ta'sirini kamaytirdi va hozirgi vaqtda deyarli har bir iste'molchi. uning ixtiyorida ko'p protsessorli hisoblash tizimlari (KPHT - Multiprocessor Computing Systems - MCS) yetarli darajada yuqori ishlashga ega bo'lishi mumkin. Vaziyat 2006 yilda kompyuter tizimlarining 70% dan ortig'ida ishlatilgan ko'p yadroli protsessorlarning paydo bo'lishi bilan parallel hisoblash yo'nalishi bo'yicha tubdan o'zgardi. Yana bir va, ehtimol, endi parallelizmning ommaviy tarqalishini cheklashning asosiy sababi shundaki, parallel hisoblash kompyuterda muammolarni hal qilish uchun an'anaviy - ketma-ket texnologiyani "parallel" umumlashtirishni talab qiladi. Shunday qilib, ko'p protsessorli tizimlar holatida 30 sonli usullar mustaqil protsessorlarda bajarilishi mumkin bo'lgan parallel va o'zaro ta'sir qiluvchi jarayonlar tizimlari sifatida ishlab chiqilishi kerak. Qo'llaniladigan algoritmik tillar va tizim dasturiy ta'minoti parallel dasturlarni yaratishni ta'minlashi, sinxronizatsiyani tashkil etishi va asinxron jarayonlarni o'zaro istisno qilishi kerak va hokazo. Boshqalar qatorida parallel hisoblash tizimlaridan foydalanishda yuzaga keladigan quyidagi umumiy muammolarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin [22]: 1) Parallelizmni tashkil qilish uchun samaradorlikni yo'qotish - Minsky gipotezasiga ko'ra ( Minski ), parallel tizimdan foydalanganda erishilgan tezlik protsessorlar sonining ikkilik logarifmiga mutanosibdir (ya'ni, 1000 protsessor bilan mumkin bo'lgan tezlashish 10 ga teng). 2) Ketma-ket hisoblashlarning mavjudligi - Amdal qonuniga ko'ra ( Amdahl) foydalanishda hisoblash jarayonini tezlashtirish protsessorlar bilan cheklangan, bunda foydalanilgan ma'lumotlarni qayta ishlash algoritmida ketma-ket hisob-kitoblarning nisbati mavjud (ya'ni, masalan, bajarilgan hisob-kitoblarda ketma-ket buyruqlarning atigi 10% bo'lsa, parallelizmdan foydalanish ta'siri ma'lumotlarni qayta ishlash tezlashuvining 10 barobaridan oshmasligi kerak). 3) Parallellik samaradorligining parallel tizimlarning xarakterli xususiyatlarini hisobga olishga bog'liqligi - ketma-ket kompyuterlarning klassik fon Neyman sxemasining o'ziga xosligidan farqli o'laroq, parallel tizimlar qurilishning arxitektura tamoyillarining sezilarli xilma-xilligi bilan tavsiflanadi va maksimal parallelizm ta'siri faqat uskunaning barcha xususiyatlaridan to'liq foydalanish bilan olinishi mumkin; natijada har xil turdagi tizimlar o‘rtasida parallel algoritmlar va dasturlarni uzatish qiyinlashadi (agar iloji bo‘lsa). 4) Mavjud dasturiy ta'minot asosan ketma-ket kompyuterlarga mo'ljallangan - bu shuni anglatadiki, ko'p sonli vazifalar uchun allaqachon tayyorlangan dasturiy ta'minot mavjud dasturiy ta'minot va bu dasturlarning barchasi 31 asosan ketma-ket kompyuterlarga qaratilgan; natijada, parallel tizimlar uchun bunday katta miqdordagi dasturlarni qayta ishlash mumkin emas. Parallel hisoblash tizimlarini qurish Umuman olganda, parallel hisoblash kompyuter tizimining bir nechta operatsiyalari bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni qayta ishlash jarayonlarini anglatadi. Parallelizmga erishish faqat hisoblash muhitini qurishning arxitektura tamoyillari uchun quyidagi talablar bajarilgan taqdirdagina mumkin: - kompyuter alohida qurilmalari ishlashining mustaqilligi - bu talab kompyuter tizimining barcha asosiy tarkibiy qismlariga bir xil darajada qo'llaniladi: kiritish-chiqarish qurilmalari, ishlov berish protsessorlari va xotira qurilmalariga; - hisoblash tizimi elementlarining ortiqchaligi - ortiqchalikni tashkil etish quyidagi asosiy shakllarda amalga oshirilishi mumkin: ixtisoslashtirilgan qurilmalardan foydalanish, masalan, butun va real arifmetik uchun alohida protsessorlar, ko'p darajali xotira qurilmalari (registrlar, kesh); bir xil turdagi bir nechta protsessorlar yoki bir nechta operativ xotira qurilmalari yordamida kompyuter qurilmalarini takrorlash. Parallellikni ta'minlashning qo'shimcha shakli ishlov berishning konveyr amalga oshirilishi bo'lishi mumkin, bunda qurilmalarda operatsiyalarning bajarilishi operatsiyani tashkil etuvchi kichik buyruqlar ketma-ketligini bajarish sifatida ifodalanadi. Natijada, bunday qurilmalarda hisoblashda bir nechta turli ma'lumotlar elementlari bir vaqtning o'zida qayta ishlashning turli bosqichlarida bo'lishi mumkin. Parallelizmga erishishning mumkin bo'lgan usullari [2, 11, 14, 28, 45, 59] da batafsil ko'rib chiqiladi; xuddi shu asarlarda parallel hisoblashning rivojlanish tarixi tasvirlangan va aniq parallel kompyuterlarga misollar keltirilgan (shuningdek qarang: [24, 76]). 32 Parallel hisoblashni tashkil qilish muammosini ko'rib chiqishda, mustaqil dastur qismlarini bajarishning quyidagi mumkin bo'lgan usullarini ajratib ko'rsatish kerak: - ko'p vazifa rejimi (vaqtni almashish rejimi), bunda bir nechta jarayonlarni bajarish uchun bitta protsessor ishlatiladi. Bu rejim psevdoparallel bo'lib, faqat bitta jarayon faol bo'lishi mumkin (bajarilishi mumkin) va qolgan barcha jarayonlar o'z navbatini kutmoqda; vaqtni taqsimlash rejimidan foydalanish hisob-kitoblarni tashkil etish samaradorligini oshirishi mumkin (masalan, agar kiritilgan ma'lumotlarni kutish tufayli jarayonlardan biri bajarilmasa, protsessor bajarishga tayyor bo'lgan boshqa jarayonni bajarish uchun ishlatilishi mumkin). - qarang [73]). Bundan tashqari, ushbu rejimda parallel hisoblashning ko'plab effektlari paydo bo'ladi (jarayonlarni o'zaro istisno qilish va sinxronlashtirish zarurati va boshqalar) va natijada bu rejim parallel dasturlarni dastlabki tayyorlashda qo'llanilishi mumkin; - parallel bajarish, bir vaqtning o'zida bir nechta ma'lumotlarni qayta ishlash ko'rsatmalari bajarilishi mumkin bo'lganda. Bunday hisoblash rejimi nafaqat bir nechta protsessorlar mavjudligida, balki konveyr liniyasi va vektorli qayta ishlash qurilmalari yordamida ham ta'minlanishi mumkin; - taqsimlangan hisoblash - bu atama odatda parallel ravishda ma'lumotlarni qayta ishlashni ko'rsatish uchun ishlatiladi, bunda bir-biridan yetarlicha uzoqda joylashgan bir nechta ishlov berish moslamalari qo'llaniladi, bunda aloqa liniyalari orqali ma'lumotlarni uzatish sezilarli vaqt kechikishlariga olib keladi. Natijada, hisob-kitoblarni tashkil etishning ushbu usuli bilan ma'lumotlarni samarali qayta ishlash faqat protsessorlararo ma'lumotlarni uzatish oqimlarining past intensivligi bo'lgan parallel algoritmlar uchun mumkin. -ma'ruza Dissertatsiyada parallel dasturlashdan foydalanish uchun eng mashhur dasturlash tillaridan biri Python tanlandi. Pythonning mashhurligi qisman uning moslashuvchanligi bilan bog'liq. Uning psevdo-tarjima qilinganligi Python-ni 33 portativ tilga aylantiradi. Dastur yozilgandan so'ng, u Apple (macOS X) yoki shaxsiy kompyuter (Microsoft Windows va GNU/Linux) dan bo'ladimi, hozirda foydalanilayotgan ko'pgina platformalarda talqin qilinishi va bajarilishi mumkin. Python-ning yana bir kuchli tomoni - o'rganish qulayligi. Har kim uni bir necha kun ichida ishlatishni o'rganishi va birinchi dasturini yozishi mumkin. Shu nuqtai nazardan, tilning ochiq tuzilishi ortiqcha bayonotlarsiz asosiy rol o'ynaydi va chunki inson so'zlashuv tilga juda o'xshaydi. Nihoyat, Python bepul dasturiy ta'minotdir: nafaqat Python interpritatori va Python'dan bizning ilovalarimizda foydalanish bepul, balki Python ham erkin tarzda o'zgartirilishi va to'liq ochiq kodli litsenziya qoidalariga muvofiq qayta taqsimlanishi mumkin. Tilning standart kutubxonasining bir qismi bo'lgan Python multiprocessing moduli umumiy xotira dasturlash paradigmasini, ya'ni umumiy xotiraga kirish huquqiga ega bo'lgan bir yoki bir nechta protsessorlardan iborat tizimni dasturlashni amalga oshiradi. Masalan, 1 dan 40000000 gacha bo’lgan sonlar yig’indisini hisoblash uchun 4 ta shohga parallellashtirilgan algoritm Pythonda quyidagicha yoziladi from datetime import datetime from multiprocessing import Process print(datetime.now()) time1 = datetime.now() def f1(start, end): s = 0 for i in range(start, end): s += i print("Yig'indi1: ", s) def f2(start, end): s = 0 for i in range(start, end): s += i print("Yig'indi2: ", s) 34 def f3(start, end): s = 0 for i in range(start, end): s += i print("Yig'indi3: ", s) def f4(start, end): s = 0 for i in range(start, end): s += i print("Yig'indi4: ", s) if name == 'main': p1 = Process(target=f1, args=(4000000,5000000)) p4 = Process(target=f4, args=(1000000,2000000)) p3 = Process(target=f3, args=(2000000,3000000)) p2 = Process(target=f2, args=(3000000,4000000)) p1.start() p2.start() p3.start() p4.start() p1.join() p2.join() p3.join() p4.join() print(datetime.now()) time2 = datetime.now() print("Dasturning ishlash vaqti: ", time2-time1) Hisoblash natijalari ushbu dastur 4 yadroli Intel Corei3 protsessorli kompyuterda oddiy dasturga nisbatan 1.85 marta tezroq bajarilganligini ko’rsatdi. 35 2-bob. G’ovak muhitlarda modda ko'chishi modellari parametrlarini identifikatsiya qilish 2.1. G'ovak muhitlarda suspenziya sizishi modelida kinetika koeffitsientni aniqlash Bu paragrafda ko p bosqichli cho kma hosil bo lishini hisobga olgan holdaʼ ʼ ʼ g ovak muhitlarda suspenziyalar sizishi kinetika koeffitsientini aniqlashning ʼ teskari masalasi qaralgan. Bu yerda cho kma hosil bo lishi kinetikasi modeli quyidagi ko rinishda ʼ ʼ ʼ ifodalanadi [30, 32, 33, 68]. (2.1) bu yerda – suspenziya konsentratsiya, – sizish tezligi, – g’ovaklik koeffitsienti, – cho kma kontsentratsiyasi, ʼ – filtrning umumiy sig imi, ʼ – ning chegarasi, yuklanish ta’sirini xarekterlovchi parametr, – "yuklanish" ta’siri bilan bog'liq kinetik koeffitsient, – qattiq zarrachalarning o'tirib qolishini harakterlovchi koeffitsient, – qattiq zarrachalarning qayta qo'shilishni harakterlovchi koeffitsient. Suspenziya oqimidagi muallaq zarrachalarning balans tenglamasi va Darsi qonuni bir o'lchamli hol uchun quyidagicha , (2.2) bu yerda –diffuziya koeffitsienti, Vaqtning dastlabki qiymatida g`ovakligi bo`lgan va birjinsli suyuqlik (ya`ni, tarkibida muallaq zarrachalar bo`lmagan suyuqlik) bilan to`ldirilgan yarim cheksiz 36 qatlamni qaraymiz. nuqtada, dan boshlab qatlamga takibida konsentratsiyali qattiq zarrachalar bo`lgan birjinlimas suyuqlik sizish tezligi bilan kira boshlaydi. Boshlang'ich va chegaraviy shartlar quyidagi ko'rinishda bo'ladi (2.3) (2.1)-(2.3) to'g'ri masala qo'yilishiga mos keladi. (2.1), (2.2) ning ma’lum koeffitsientlarida, hamda (2.3) dagi dan y echimlar aniqlanadi. Teskari masalani yechishda (2.1), (2.2) dagi ba’zi koeffitsientlar noma’lum va aniqlanishi lozim. Buninguchun sizga to'g'ri masalani yechish haqida qo'shimcha ma’lumotlar kerak. Bunday qo'shimcha ma’lumotlardan bu erda berilgan ba’zi nuqtalardagi konsentratsiya qiymatlari olinib , uni deb belgilaymiz. (2.1), (2.2) tenglamalar sistemasidagi to'g'ri masalani yechishdagi qo'shimcha ma’lumotlardan koeffitsientni aniqlashdan iborat bo'lgan suspenziyalar sizishining teskari masalasi qaralgan. Qo'yilgan masalani yechish uchun identifikatsiya usulini qo'llaymiz. Teskari masalani quyidagi ko'rinishda qo'yamiz: koeffitsientni quyidagi funktsional minimumi shartidan aniqlaymiz (2.4) bu yerda - dastlabki ma’lumotlar , . (2. 4 ) funktsionalning statsionarlik sharti quyidagi ko'rinishda bo'ladi . 37 (2 .5 ) bu yerda - bo’yicha funksiya sezgirligi . funktsiya qatoridagi (buerda va keyinchalik iteratsiya nomerini ifodalaydi) ni aniqligini ikkinchi tartibli hadgacha yozamiz. . (2.6) (2.6) ni (2.5) ga qo'yib, quyidagiga ega bo'lamiz: Bu ifodadan ni topamiz (2.7) (2.1) - (2.3) dan bo'yicha differentsiallab quyidagiga ega bo'lamiz: , (2.8) (2.10) (2.11) (2.12) b u yerda - funktsiya sezgirligi [69,70]. 38 koeffitsientni topishning sonli algoritmini quyidagi ko'rinishda qurish mumkin: 1) boshlang'ich yaqinlashishni tanlaymiz (dastlab ); 2) (2.1) – (2.3) masalani dan gacha yechamiz va funktsiyalarni aniqlaymiz. (2.4) funktsional qiymatini topamiz. (2.8) – (2.11) masalani dan gacha yechamiz va , funktsiyalarni aniqlaymiz; 3) (22) dan hisoblaymiz; 4) shart bajarilguncha 2), 3) qadamlarni takrorlaymiz , (2.12) bu yerda – echim aniqligini ifodalovchi kichik qiymatlar. Aks holda, 2-qadamga o'tiladi. Kvazireal eksperimentda dastlab (2.1) – (2.3) to'g'ri masala ning ma'lum qiymatida qaraladi. Bu masala chekli ayirmalar usuli yordamida echiladi. Sonli hisob kitoblar natijasida to'r funktsiya kiritiladi. funktsiyaning turli xatoliklarida qo'zg'alish qaraladi: (2.13) bu yerda – tasodifiy funktsiya. Masalani sonli yechish uchun (2.1) - (2.3), hisob-kitoblar uchun dastlabki parametrlarning qiymatlari sifatida biz quyidagi miqdorlarni olamiz. : , , , , , , . grafigi 2.1-rasmda ko'rsatilgan. ( 2.1 )-( 2.3 ) ва ( 2.8 )-( 2.11 ) masalalarini echishda chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. 39 sohada to`r kiritamiz, bu yerda – jarayon o`rganiladigan vaqtning eng katta qiymati. Buning uchun, intervalni h qadam bilan bo`lamiz, kesmani qadam bilan bo`lamiz. Natijada quyidagi to`rga ega bo`lamiz: ρa(t,x),ρp(t,x) , c(t,x) , funktsiyalari tugunlardagi qiymatlari mos ravishda , , bilan belgilanadigan to’r funksiyalari bilan almashtiriladi . 40    J T J j j t i ih x t x j i j i h           , ,...,1,0 , ,...,1,0 , , , 0 1 2 3 4 5 6 7 800.0020.0040.0060.008 0.010.012 t, часzl (t), кг/м3 (l=1,2,3) а x 1 =0.04,  =0.0 x 2 =0.20,  =0.0 x 3 =0.50,  =0.0 x 1 =0.04,  =0.05 x 2 =0.20,  =0.05 x 3 =0.50,  =0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 800.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009 0.01 t, час zl (t), кг/м3 (l=1,2,3) б x 1 =0.04,  =0.0 x 2 =0.20,  =0.0 x 3 =0.50,  =0.0 x 1 =0.04,  =0.1 x 2 =0.20,  =0.1 x 3 =0.50,  =0.1 2.1-rasm. Funktsiya grafiklari zδ(t), a)δ= 0 ,05 ⋅c0,б ) δ= 0,1 ⋅c0. (2.1) – (2.2) tenglamalar sistemasini to`rda quyidagicha approksimatsiya qilinadi. 41(1) (2) (3) (4) (5) (6) , (2.15) . (2.16) (2.3) boshlang`ich va chegaraviy shartlar ham to`r ko`rinishida ifodalanadi , , , , , , , (2.17) , , . Hisoblash ketma-ketligi quyidagicha. (2.6) shartlardan va larning nolinchi qatlamdagi qiymatlari aniqlanadi. (2.5) dan ning pastgi qatlamadagi ma`lum qiymatlari qo`yilib topiladi  (2.15) yordamida topiladi, progonka usulida yechiladi[39]. (2.9) – (2.12) tenglamalar sistemasini to`rda quyidagicha approksimatsiya qilinadi. (2.18) (2.19) 42 (2.20) ( 2.18 )-( 2.20 ) masalani yechish uchun progonka usuli qo'llaniladi. - “o’lchash natijalari” shu yechim asosida “vaqt”ning 20 ta nuqtasida olingan. koeffitsiyentni aniqlash bo’yicha turli nolinchi yaqinlashishlar uchun qo’zg’atilmagan boshlang’ich ma’lumotlar asosida olingan ayrim natijalar 2.2- rasmda keltirilgan. Rasmdan ko’rish mumkinki koeffitsiyent turli nolinchi yaqinlashishlar uchun amalda besh-yetti iteratsiya qadamida tiklanayapti. 2.3- rasmda qo’zg’atilgan boshlang’ich ma’lumotlar asosida olingan natijalar tasvirlangan. Keltirilgan ma’lumotlardan ko’rish mumkinku, ni tiklashdagi xatolik tartibi boshlang’ich ma’lumotlar qo’zg’alishi tartibiga teng.0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 s a s, м-1 2.2 -rasm . koeffitsientni tiklash ( . ) 43 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 s  a s, м-1 =0.0 =0.05 =0.10 =0.202. 3-rasm. koeffitsientni tiklash . Dastlabki yaqinlashish muvozanat nuqtasidan sezilarli darajada uzoqlashganda, muvozanat qiymatiga yaqinlashmaydi. Buni hisobga olib, ushbu masalani o'zgartirilgan birinchi tartibli usuli bilan yechamiz [69]. Har bir iteratsiyada (2.8) funksional bilan almashtiriladi. , (2.21) bu yerda α - regulyarizatsiya parametri. parametrning qiymatiga qarab koeffitsientni tiklash 3.7-rasmda ko’rsatilgan. 3.7-rasmda ning yetarlicha kichik qiymatlari bilan koeffitsientining tiklanishini ko’rish mumkin. 44 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 32557.5 1012.5 1517.5 2022.5 25s a s, м-1  =0.0  =1.0  10 -6  =0.8  10 -6 a0 =17.25 2.4-rasm. ni tiklash ning turli qiymatlarida. 2.2. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida ikkita kinetik koeffitsientini identifikatsiya qilish 2.2 paragrafda g’ovak muhitlarda ko’p bosqichli cho’kma hosil bo’lishini hisobga olgan holda suspenziyalar sizishi uchun ikkita kinetik koyeffisiyentni aniqlashning teskari masalasi ko’rib chiqiladi . (2.1)-(2.3) to'g'ri masala qo'yilishiga mos keladi. (2.1), (2.2) ning ma’lum koeffitsientlarida, hamda (2.3) dagi dan y echimlar aniqlanadi. Teskari masalani yechishda (2.1), (2.2) dagi ba’zi koeffitsientlar noma’lum va aniqlanishi lozim. Buning uchun sizga to'g'ri masalani yechish haqida qo'shimcha ma’lumotlar kerak. Bunday qo'shimcha ma’lumotlardan bu erda berilgan ba’zi nuqtalardagi konsentratsiya qiymatlari olinib , uni deb 45 belgilaymiz. 2.1 paragrafdagidek bu yerda ham huddi shunday kvazireal eksperiment o’tkazamiz, buning uchun (2. 1 ) – (2. 3 ) to’g’ri masalani 1/m, 1/m ma’lum qiymatlarda qaraymiz. Sonli hisob kitoblar natijasida to’r funksiya kiritiladi. funksiyaning turli xatoliklarida qo’zg’alish qaraladi: grafigi 2.5-rasmda ko'rsatilgan.0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 t, час zl(t), кг/м3 (l=1,2,3) а x1=0.04, =0.0 x2=0.20, =0.0 x3=0.50, =0.0 x1=0.04, =0.05 x2=0.20, =0.05 x3=0.50, =0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 t, час zl (t), кг/м3 (l=1,2,3) б x1=0.04, =0.0 x2=0.20, =0.0 x3=0.50, =0.0 x1=0.04, =0.1 x2=0.20, =0.1 x3=0.50, =0.1 2.5-rasm. Funktsiya grafiklari 46 To’g’ri masalani yechimdagi boshlang’ich ma’lumotlarni hisobga olgan holda (16), (18) tenglamalar sistemasidagi va koeffisiyentlarni topishdan iborat bo’lgan suspenziyalar sizishining teskari masalasini qaraymiz. Qo’yilgan masalani yechish uchun identifikasiya usulini qo’llaymiz. Teskari masalani quyidagi ko’rinishda qo’yamiz: koeffisiyentlarni quyidagi funksional minimumi shartidan aniqlaymiz ( 2.23 ) b u yerda - dastlabki ma’lumotlar, (29) funksionalning stasionarlik sharti quyidagi ko’rinishda bo’ladi (2.24) buyerda vektor - ustun , vektor - satr , . (2.25) funksiya qatoridagi ni aniqligini ikkinchi tartili hadgacha yoyamiz. . (2.26) (2.26) qatorni (2.17) munosabatga almashtirib, biz quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. : ( 2 . 27 ) bu yerda ( 2 . 28 ) 47 Quyidagi yaqinlashishlarni Kramer usulini qo’llab (3.36) tenglamalar sistemasini quyidagicha yozish mumkin , . (2.29) (2.1) - (2.3) dan bo'yicha differentsiallab quyidagiga ega bo'lamiz: (2.30) (2.31) (2.32) bu yerda - koeffitsient bo’yicha funksiya sezgirligi (2.1) - (2.3) dan bo'yicha differentsiallab quyidagiga ega bo'lamiz: (2.33) 48 (2.34) (2.35) , (2.36) bu yerda - koeffitsient bo’yicha funksiya sezgirligi va koeffitsient lar ni topishning sonli algoritmini quyidagi ko'rinishda qurish mumkin: 1 va boshlang'ich yaqinlashishni tanlaymiz ( dastlab ); 2. ( 2 . 3 )-( 2 . 5 ), ( 2 . 30 )-( 2 . 32 ), ( 2 . 33 )-( 2 . 35 ) masalalarni yechamiz, dan gacha , , , , , funksiyalarni hisoblaymiz ; 3. (3.36)-(3.38) tenglamalar sistemasini yechamiz va hisoblaymiz. 4. va 5-punktga o’tamiz. 5. , (2.37) , (2.38) , (2.39) shartlar bajarilgancha davom etadi. Bu yerda – y echim aniqligini ifodalovchi kichik qiymatlar . Aks holda, 2-qadamga o'tiladi 49 va koeffitsiyentlarni aniqlash bo’yicha turli , nolinchi yaqinlashishlar uchun qo’zg’atilmagan boshlang’ich ma’lumotlar asosida olingan ayrim natijalar 3.9-rasmda keltirilgan. Rasm 3.9 da turli boshlan g’ich yaqinlashishlarda va koeffisiyentlarni aniqlashdagi hisoblash natijalari keltirilgan. Grafiklardan ko’rinib turibdiki, muvozanat nuqtasi yaqinida ham yaqinlashishlar bir biridan farq qiladi (so’nmaydigan tebranishlar sodir bo’ladi) (2.6. rasm). Shuning uchun masalani yechishda birinchi tartibli modifikasialangan usulni qo’llaymiz. Buning uchun funksionalni quyidagi ko’rinishda almashtiramiz ( 2 . 40 ) bu yerda – vektor qator, – vektor-ustun bu yerda - regulyarizasiya parametri . 2.7-rasmda turli yaqinlashishlarda , regulyarizasiya parametrlaridan bog’liq holda , koeffisiyentlarni tiklashning hisoblash natijalari keltirilgan. Hisoblash natijalari shuni ko’rsatadiki, boshlang’ich yaqinlashishlarni muvozanat nuqtasidan uzoqroq olganda iterasiyalar soni ortadi (2.7-rasm. a , b , v , g ). Boshlang’ich yaqinlashishlarga bog’liq holda iterasiyalar soni yigirmadan yuzgacha farqlanadi. (2.7- Rasm a - g ) da , regulyarizasiya parametrlari qiymatiga bog’liq holda iterasiyalar sonini o’zgarishi ko’rsatilgan. 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 а s rs/rexact as/aexact r0=0.6 a0=9.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.6 0.8 1 1.2 1.4 б s rs/rexac t as/aexac t r0=1.1 a0=5.52. 6 -rasm. . va koeffisiyentlarni tiklash ( ). 51 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9000.20.40.60.8 11.21.41.61.8 2 а s  rs /  rexac t ,  1 =1  10 -5  as /  aexac t ,  2 =1  10 -7  rs /  rexac t ,  1 =5  10 -6  as /  aexac t ,  2 =5  10 -8  rs /  rexac t ,  1 =2  10 -6  as /  aexac t ,  2 =2  10 -8 r0 =1.6,  a0 =0.750 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 sб  rs/ rexact ,  1=110 -5  as/ aexact ,  2=110 -7  rs/ rexact ,  1=510 -6  as/ aexact ,  2=510 -8  rs/ rexact ,  1=210 -6  as/ aexact ,  2=210 -8 r0=1.6,  a0=15.0 0 20 40 60 80 1000.5 11.5 22.5 в s  rs /  rexact ,  1 =1  10 -5  as /  aexact ,  2 =1  10 -7  rs /  rexact ,  1 =5  10 -6  as /  aexact ,  2 =5  10 -8  rs /  rexact ,  1 =2  10 -6  as /  aexact ,  2 =2  10 -8 r0 =2.0,  a0 =15.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.40.60.8 11.21.41.61.8 22.2 г s  rs /  rexact ,  1 =1  10 -5  as /  aexact ,  2 =1  10 -7  rs /  rexact ,  1 =5  10 -6  as /  aexact ,  2 =5  10 -8  rs /  rexact ,  1 =2  10 -6  as /  aexact ,  2 =2  10 -8 r0 =1.6,  a0 =16.5 Umuman olganda, regulyarizasi ya parametri qiymatlari dastlabki ma'lumotlarning xatolik darajasiga qarab belgilanadi [47]. Yuqorida keltirilgan algoritmdan foydalanib, laboratoriya tajribalarining dastlabki ma’lumotlari bilan teskari masalani ham yechildi [24]. Natijalar 2.8-rasmda keltirilgan. Natijalar qoniqarli ekanini ko'rish mumkin. 52 2.8-rasm: [24] dan olingan tajribalar natijasi ma'lumotlar (nuqtalar) va model asosida topilgan natijalar(egri chiziqlar) 2.3. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida bir yo’la 4 ta parametrni aniqlash bo’yicha teskari masalasi 2.3 paragrafda g’ovak muhitlarda suspenziya sizishi ning nisbatan soddaroq, bir bosqichli kinetika tenglamalari uchun uchun bir yo’la 4 ta parametrni aniqlashning teskari masalasi ko’rib chiqiladi . Model quyidagicha olinadi (2.41) (2.42) (2.43) Boshlang’ich va chegaraviy shartlar 53 . (2.44) (2.45) Teskari masalani yechish uchun berilgan qo’shimcha ma’lumot (2.46) Topilishi kerak: , , , . Funksionalni quyidagicha tuzib olamiz: (2.47) bu yerda - dastlabki ma’lumotlar , . (2. 4 4) funktsionalning statsionarlik sharti quyidagi ko'rinishda bo'ladi (2.48) bu yerda vector ustun, вектор строке . (2.49) funktsiya qatoridagi (buerda va keyinchalik iteratsiya nomerini ifodalaydi) ni aniqligini ikkinchi tartibli hadgacha yozamiz. (2.50) (2.50) ni (2.47) ga qo'yib, larga nisbatan quyidagiga ega bo'lamiz ( 2.5 1) 54 bu yerda ( 2.5 2) larning keying yaqinlashishlarini sistemani yechib topish mumkin, unga Kramer usulini qo’llaymiz (2.53) bu yerda 55 (2.41)-(2.45) ni bo’yicha differeniallaymiz (2.54) (2.55) (2.56) . (2.57) (2.58) bu yerda – quyidagi koeffitsiyend bo’yicha sezgirlik funksiyasi . (2.41)-(2.45) masalani bo’yicha differensiallaymiz, va quyidagiga ega bo’lamiz (2.59) (2.60) (2.61) . (2.62) (2.63) bu yerda – quyidagi koeffitsiyent bo’yicha sezgirlik funksiyasi . 56 (2.41)-(2.45) masalani bo’yicha differensiallaymiz, va quyidagiga ega (2.64) (2.65) (2.66) . (2.67) (2.68) bu yerda – quyidagi koeffitsiyend bo’yicha sezgirlik funksiyasi . 2.41)-(2.45) masalani bo’yicha differensiallaymiz, va quyidagiga ega bo’lamiz (2.69) (2.70) (2.71) . (2.72) (2.73) , , va koeffitsient lar ni topishning sonli algoritmini quyidagi ko'rinishda qurish mumkin : 57 1. , , и boshlang'ich yaqinlashishni tanlaymiz (dastlab ). 2. (2.41)-(2.45), (2.54)-(2.58), (2.59)-(2.63), (2.644)-(2.68) va (2.69)-(2.73) masala lar ni дан gacha yechamiz va , , , , , , , , , , , , , , funktsiyalarni aniqlaymiz . 3. (2.51)-(2.53) sistemani yechamiz va yaqinlashishlarni topamiz 4. , , , , . 5. 4) shart bajarilguncha 2), 3) qadamlarni takrorlaymiz , , , , . bu yerda – echim aniqligini ifodalovchi kichik qiymatlar . Model parametrlari quyidagicha olinganD L= 0.033 cm 2/s= 3.3⋅10 −6m 2/s , βp=5.19 h−1= 5.19 3600 s−1≈ 1.4417 ⋅10 −3s−1 , βa=9.48 h−1= 9.48 3600 s−1≈ 2.6333 ⋅10 −3s−1 , L=32 cm =0.32 m βd= 29 .2 h−1= 29 .2 3600 s−1≈ 8.1111 ⋅10 −3s−1 , , c0= 6 g/l= 6 kg /m3 , t1=3.83 s≈ 4 s , T=5200 s . Keltirilgan barcha tenglamalar chekli ayirmalar usuli bilan yechildi. Hisoblash natijalari shuni ko’rsatadiki, barcha parametrlar yetarlicha aniqlikda tiklangan. 58 2.8-rasm. . va koeffisiyentlarni tiklash ( ). 2.9-rasm. . va koeffisiyentlarni tiklash ( ) 59 3-bob. G’ovak muhitlarda ko’p bosqichli kinetika asosida suspenziya sizishi modeli parametrlarini aniqlashda parallel hisoblash algoritmlari Bu bobda g’ovak muhitlarda ko’p bosqichli kinetika asosida suspenziya sizishi modeli parametrlarini aniqlashda parallel hisoblash algoritmlaridan foydalanish imkoniyatlarini qarab chiqamiz. Shuni ta’kidlashimiz lozimki, parallel hisoblash - bir yoki bir nechta vazifalarni [bitta loyihani] hal qilish jarayonida hosil bo'ladigan ko'plab harakatlarni bir vaqtning o'zida bajarish qobiliyatidan foydalangan holda ko'p protsessorli tizimlarda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan hisoblar. Parallel hisoblashning asosiy maqsadi muammoni hal qilish vaqtini qisqartirishdir. Parallel hisoblashning vazifasi - ko'p protsessorli hisob -kitoblardan eng samarali foydalanishga erishish uchun muammolarni hal qilish jarayonlarida parallellik manbasini yaratish (parallel algoritmni olish). Parallel ish - bu bir vaqtning o'zida (mustaqil bo'lishi shart emas) bajarishga imkon beradigan ishlar. Parallel algoritm - bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkin bo'lgan algoritm (mustaqil bo’lishi shart emas); bir vaqtning o'zida bajariladigan operatsiyalar yoki operatsiyalar to'plami aniq yoki bilvosita ko'rsatilishi kerak. Parallel algoritmning qat'iy tushunchasi kiritilmagan. Parallel dastur - bu parallel arxitekturaning hisoblash tizimlariga yo'naltirilgan ma'lum dasturlash tizimida yozilgan parallel algoritm. 3.1. V.Gitis modeli parametrlarni identifikatsiya qilishda parallel hisoblash algoritmlari 2.3. paragrafa keltirilgan , , va koeffitsient lar ni topishning quyidagi sonli algoritmini batafsil tahlil qilamiz va undan parallellashtirish mumkin bo’lgan qismlarni ajratamiz. 1. , , va boshlang'ich yaqinlashishni tanlaymiz (dastlab ). 60 Bu qadamda juda sodda amallar bajarilayapti, demak uni parallellashtirishga ehtiyoj yo’q. 2. (2.41)-(2.45), (2.54)-(2.58), (2.59)-(2.63), (2.64)-(2.68) va (2.69)-(2.73) masala lar ni дан gacha yechamiz va , , , , , , , , , , , , , , funktsiyalarni aniqlaymiz . Bu bosqichda 5 ta differensial tenglamalar yechilayapti va muhimi bu 5 ta sistama yechimlari bir-biriga bog’liq emas, demakki ularni kamida 5 ta alohida topshiriqlarga ajratish va parallel ravishda hisoblashlarni olib boorish mumkin. 3. (2.51)-(2.53) sistemani yechamiz va yaqinlashishlarni topamiz (2.51)-(2.53) sistema bu 4 noma’lumli, 4 ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat va u Kramer usuli bilan yechilmoqda. Bu sistemani yechish uchun 5 ta 4x4 o’lchamli determinantlar hisoblanayapti va ularning hisoblanishi bir-biriga bog’liq emas, demak bu qadamni ham 5 ta qism masalalarga ajratish mumkin. Shuni alohida ta’kidlash lozimki, 4x4 o’lchamli determinantlar hisoblash ham anchagina resurs talab qiladi, aslida uni ham parallellashtirib hisoblash imkoniyati mavjud. Lekin biz determinantlarni hisobalshni Pythonning ichki imkoniyatlaridan kelib chiqqan holda tezlashtirdik. Bu haqda pastroqda ma’lumot keltirib o’tamiz. 4. , , , , . Bu qadamda ham juda sodda amallar bajarilayapti, demak uni parallellashtirishga ehtiyoj yo’q. 5. 4) shart bajarilguncha 2), 3) qadamlarni takrorlaymiz , , , , . bu yerda – echim aniqligini ifodalovchi kichik qiymatlar . 61 Bu qadamda ham juda sodda amallar bajarilayapti, demak uni parallellashtirishga ehtiyoj yo’q. Endi ushbu algoritm yanada tushunarliroq bo’lishi uchun uni blok ssema ko’rinishida tasvirlaymiz. 62 3.1 rasm. Parallellashtirish hisobga olinmagan holda masalani yechish algoritmi 63 3.2 rasm. Parallellashtirish hisobga olingan holda masalani yechish algoritmi 64 Eslatib o'tamiz, NumPy-ning N o’lchamli massivlari bir jinsli: massiv faqat bitta turdagi ma'lumotlarni o'z ichiga olishi mumkin. Masalan, massivda 8 bitli butun sonlar yoki 32 bitli suzuvchi nuqta sonlar bo'lishi mumkin, lekin ikkalasining aralashmasi emas. Bu Python ro'yxatlari va kortejlaridan keskin farq qiladi, ular ega bo'lishi mumkin bo'lgan turli xil tarkibda mutlaqo cheklanmagan; berilgan ro'yxatda bir vaqtning o'zida qatorlar, butun sonlar va boshqa ob'ektlar bo'lishi mumkin. Massiv tarkibidagi bu cheklov katta foyda keltiradi; massiv mazmuni ma’lumotlar turi bo‘yicha bir hil ekanligini “bilib”, NumPy massiv tarkibidagi matematik amallarni bajarish vazifasini optimallashtirilgan, kompilyatsiya qilingan C kodiga topshirishi mumkin. Bu vektorizatsiya deb ataladigan jarayon. Buning natijasi Python-da bajarilgan o'xshash hisob-kitoblarga nisbatan juda katta tezlik bo'lishi mumkin, bu massivlar bo'ylab takrorlanganda har bir elementning ma'lumotlar turini sinchkovlik bilan tekshirishi kerak, chunki Python odatda cheklanmagan tarkibga ega ro'yxatlar bilan ishlaydi. Ta'rif: Python, Matlab va R kabi yuqori darajali tillar kontekstida vektorizatsiya atamasi ma'lumotlar ketma-ketligi ustida matematik operatsiyalarni bajarish uchun past darajadagi tilda (masalan, C) yozilgan optimallashtirilgan, oldindan kompilyatsiya qilingan koddan foydalanishni tavsiflaydi. Bu o’z tili kodida yozilgan aniq iteratsiya o'rniga amalga oshiriladi (masalan, Pythonda yozilgan "for-loop"). Masalan, massivda saqlangan 0 dan 9 999 gacha butun sonlarni yig'ish vazifasini ko'rib chiqaylik. NumPy-ning sum funktsiyasini chaqirish massivdagi butun sonlarni takrorlash va yig'indini hisoblash uchun optimallashtirilgan C kodini ko'rsatadi. Shuning uchun np.sum " vektorlashtirilgan " funktsiyadir. Keling, ushbu summani hisoblash uchun qancha vaqt ketishini ko'rib chiqaylik: >>>import numpy as np # NumPy ning vektorlashtirilgan "sum" funktsiyasidan foydalanib, massiv yig'indisini hisoblash >>>np.sum(np.arange(10000)) # mening kompyuterimda 21 mikrosekund vaq ketdi 49995000 Keling, buni Pythonda massivni aniqlashni aylanib o'tish va yig'indini hisoblash uchun zarur bo'lgan vaqt bilan taqqoslaylik. Python massivning barcha elementlari bitta ma'lumot turiga ega 65 ekanligidan foydalana olmaydi - u har bir iteratsiya uchun butun son, satr, suzuvchi nuqta raqami va boshqalar bilan ishlayotganligini tekshirishi kerak. Bu ro'yxatni takrorlashda amalga oshiriladi. Bu hisoblashni sezilarli darajada sekinlashtiradi. # massivni Python-da massivni aniqlashni aylanish orqali yig'ish # bu mening kompyuterimda 822 mikrosekundni oladi >>> total = 0 >>> for i in np.arange(10000): ... total = i + total >>> total 49995000 Mening kompyuterimda o’tkazilgan tajriba, NumPy vektorlashtirilgan funksiyasidan foydalanganda yig'indi 40 baravar tezroq ishladi. Bu shuni ko'rsatishi kerakki, har doim hisoblash samaradorligi muhim bo'lsa, Python-da ma'lumotlarning uzoq ketma-ketligi, ular ro'yxatlari yoki NumPy massivlari bo'lishidan qat'iy nazar, aniq for-looplarni bajarishdan qochish kerak. NumPy vektorlashtirilgan funktsiyalarning butun to'plamini taqdim etadi. Darhaqiqat, sonli massivlari bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun NumPy-dan foydalanish haqida gap ketganda, uni faqat vektorlashtirilgan funktsiyalaridan foydalanish samaralidir. Shuningdek yuqoridagi algoritmning 2-qadamida parallelashtirish vositasida yechilayotgan xususiy hosilali differensial tenglamalarning 2- va 3- lari to’g’ridan- to’g’ri bir-biriga bog’liq emas, ya’ni ular sistemaning 1-tenglamasi orqali bir- biriga bog’langan, demak ularni ham yechishda parallellashtirishdan foydalanish mumkin. Xuddi, shuningdek chekli ayirmalar usuli bilanyechishda ham foydalanish mumkin bo’lgan ma’lum parallellashtirish usullari mavjud lekin biz hisoblashlarni faqat 4 va 8 yadroli noutbuklarda bajarganligimiz tufayli ushbu masalani yechishda yuqoridagi parallellashtirish algortitmi bilan cheklandik. Ushbu algoritmning ishlatilishi bizga vaqt 4 yadroli noutbuklardan foydalanganda 1.7 barobar, 8 yadroli kompyuterdan foydalanganda esa 2.6 barobar yutish imkonini berdi. 66 3.2. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalash Ushbu bobda g’ovak muhitlarda ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida suspenziya sizishining takomillashtirilgan modelining parametrlarini topish bo’yicha teskari masalalar yechiladi. Chuqur qatlamli filtrlarda hosil bo`ladigan cho`kmalar ikki xil bo`ladi: yuvilmaydigan va yuvilib ketadigan. Filtrning bunday zonalari mos ravishda passiv va aktiv zonalar deyiladi [32]. Aktiv zonada hosil bo`layotgan yuvilib ketadigan cho`kma konsentratsiyasini ρa bilan, passiv zonada hosil bo`ladigan yuvilmaydigan cho`kma konsentratsiyasini ρp bilan belgilaymiz. Filtrning to`liq sig`imini ρ0 bilan belgilaymiz. Yuqorida aytilganlarga ko`ra ρ0= ρa0+ ρp0 bu yerda ρa0 va ρp0 mos ravishda aktiv va passiv zonlarning sig`imlari. Vaqtning dastlabki qiymatida g`ovakligi m0 bo`lgan va birjinsli suyuqlik (ya`ni, tarkibida muallaq zarrachalar bo`lmagan suyuqlik) bilan to`ldirilgan yarim cheksiz qatlamni qaraymiz. x= 0 nuqtada, t>0 dan boshlab qatlamga takibida c0 konsentratsiyali qattiq zarrachalar bo`lgan birjinlimas suyuqlik v(t)= v0= const sizish tezligi bilan kira boshlaydi. O`zgarmas tezlik rejimida suspenziya sizish tenglamalar sistemasi balans va kinetika tenglamalaridan iborat bo`ladi. Bir o`lchamli holda uni quyidagicha olish mumkin [47, 55-60]: m0 ∂c ∂t+v∂c ∂x+ ∂ ρa ∂t + ∂ρp ∂t = D ∂2c ∂x2 (3.1) ∂ρa ∂t =¿{βrνc, 0<ρa≤ρar,¿{βaνc−βdρa(1+ω∇p), ρar<ρa≤ρa0,¿¿¿¿ (3.2) 67 ∂ρp ∂t =¿{βp0νc, 0<ρp≤ρp1,¿{βp0νρp1/ρpc, ρp1<ρp≤ρp0,¿¿¿¿(3.3) bu yerda D – diffuziya koeffitsiyenti, βr – "yuklanish" ta'siri bilan bog'liq kinetika koeffitsienti, βa , βd – aktiv zonada o'tirib qolish va qayta qo'shilish koeffitsiyentlari, ρalignl¿ar¿¿¿ – ρa “yuklanish” ning to’xtash qiymati, ρp1 – ρp “eskirish” ning boshlanish qiymati, ω – o’zgarmas koeffitsiyent. Sizish qonuni quyidagi ko’rinishda v= K(m)|∇ p| , m = m 0− (ρa+ ρp) (3.4) bu yerda K (m) - sizish koeffitsienti, - bosim gradienti. K (m) ni ifodalash uchun biz Karman-Kozeni qonunidan foydalanamiz. K (m)=k0m3/(1− m)2 k0=const (3.5) (3.1) - (3.5) sistemani quyidagi boshlang'ich va chegaraviy shartlar bilan yechamiz c(x,0)= 0, ρa(x,0)= ρp(x,0)= 0, c(0,t)= c0= const (3.6) (3.1) - (3.6) masalani yechish uchun chekli ayirmalar usulini qo'llaymiz [50]. Ushbu modelda topilishi qiyin, lekin muhim bo’lgan parametrlardan va parametrlarning qiymatlari quyidagi funksionalning minimallik shartidan kelib chiqadi Φ (ρar ,ρa0)= ∑ j=0 J ∑ i=1 I [(cip(tj)− ciG(tj))2+(ρaip(tj)− ρaiG(tj))2+(ρpip(tj)− ρpiG(tj))2 ] (3.7) , ni aniqlashning sonli algoritmini quyidagicha tuzilishi mumkin: a) qandaydir dastlabki yaqinlashishlar, , n = 0 berilgan bo’lsin. b) (3.4) shartlar bilan (3.1) - (3.3) ni yechamiz va , , funksiyalarni aniqlaymiz; 68 c) , nining qiymatlarini (3.7) funksionalning minimumidan tushish usuli (koordinatali tushish, gradiyent tushish va boshqalar) yordamida topamiz; d) va deb faraz qilib, kerakli aniqlikka erishguncha b, c bosqichlarini takrorlaymiz. Iteratsiya jarayonini yakunlash uchun quyidagi kriteriyalarni tanlash mumkin (3.8) bu yerda ε1 va ε2 mumkin bo’lgan xatoliklar. 3.3-rasm. f unksional . Bu yerda va larni (3.7) funksionalni minimallashtirish orqali aniqlash uchun avval koordinatali tushish usulini (KTU) qo'llaymiz. Faraz qilaylik, ( , ) tekisligida funktsionalning minimumi joylashgan to'rtburchaklar soha ma`lum bo`lsin. Ushbu sohada koordinatani fiksirlaymiz, natijada funksional faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'ladi. Oltin kesma usili yordamida koordinatani 69 o'zgartirib funksionalning minimumini topamiz va bu nuqtani deb belgilaymiz. Keyin argumentini fiksirlaymiz va funktsiyasining ikkinchi argumentiga nisbatan oltin kema usulini qo’llaymiz, ya'ni nuqtasini topamiz. Xuddi shu usul bilan ketma-ket , va boshqa nuqtalarga o'tamiz. Yaqinlashish jarayonida funktsional minimumi yaqinlashganda bir koordinatali minimalning ketma-ket A , B , C , D ,… nuqtalari orasidagi masofalar nolga yaqinlashadi. Endi va larni (3.7) funksionalning minimumidan aniqlash uchun gradient tushish usulini (GTU) qo’llash tartibini ko'rib chiqamiz. Agar minimallashtiriladigan funktsional differensiallanuvchi va quyidan chegaralangan bo'lsa, shuningdek uning gradiyenti Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda quyidagi iteratsion jarayon (3.9) koordinatalarning ixtiyoriy boshlang'ich nuqtasidam funktsiya minimumigacha yaqinlashadi. Bu yerda qadamlarning uzunligi bo'linish usuli bilan tanlanadi. Bo'linish usuli (3.9) formulaga muvofiq dastlabki qadamlari bilan funktsional kamayishdan to’xtaguncha, ya’ni quyidagi shart bajarilguncha davom etadi . (3.10) Agar bu shart bajarilmasa, qadamlari ikki marta kamatiriladi, koordinatalar yangi qadamlar bilan hisoblanadi va (3.10) shart qayta tekshiriladi. Qadam bo'linishi (3.10) shart bajarilguncha davom etadi. (3.7) 70 funktsionalning gradientii quyidagi sonli differensiyalash formulalaridan foydalanib hisoblanadi: (3.11) bu yerda h1,h2 - hosilalarni sonli qiymatini hisoblash uchun qadamlar. Boshlang’ich ma'lumotlarni berishdagi xatoliklar quyidagi tarzda modellashtirilgan ci G (tj)= ci G (tj)+δi(tj), ρai G (tj)= ρai G (tj)+ωi(tj), ( 3. 1 2 ) ρpi G (tj)= ρpi G (tj)+ξi(tj), bu yerda ci G (tj) , ρai G (tj) , ρpi G (tj) - qo ’ zg ’ atilgan qiymatlar , ci G(tj) , ρai G(tj) , ρpi G(tj) , δi(tj) , ωi(tj) , ξi(tj), – (0,1) oraliqda tekis yoki normal taqsimlangan tasodifiy o ' zgaruvchi orqali berilgan xatoliklar . Sonli tahlil natijalari 3.1-3.3 jadvallarda keltirilgan. Funksionalni minimallashtirish uchun ikkita KTU va GTU usullarini taqqoslash shuni ko'rsatadiki, GTU funksiyalarni nisbatan kam sonli takrorlashda minimallashtirishga imkon beradi. Dastlabki ma'lumotlarga xatoliklarni kiritish talab qilingan aniqlikda yechish uchun takrorlanishlar sonini ko'paytiradi. Bunday holda, dastlabki iteratsiyani tanlash takrorlanish soniga ozgina ta'sir qiladi. Ba'zi natijalar 3.4-3.7-rasmlarda keltirilgan. Shakllardan ko'rinib turibdiki, dastlabki ma'lumotlarning qo’zg’alishi qaytarish muammosining yechimini aniqlashda xatolikka olib keladi. Dastlabki ma'lumotlardagi xatolik bilan , teskari masalaning yechimi holatidan bir oz farq qiladi. uchun teskari masalaning yechimi holatidan ancha farq qiladi. Taqdim etilgan materialdan ko'rinib 71 turibdiki, KTU va GTU usullari dastlabki ma'lumotlarda xatolik bo'lmasa yaxshi natijalar beradi. Xatolikning ko'payishi bilan teskari masalani yechishdagi xatolik ham o'zgaradi. 3.1-jadval. , parametrlarini KTU va GTU bo ' yicha ularning har xil boshlang ' ich qiymatlari bo ' yicha aniqlash . , . Usul Takrorlanishlar soni N Boshlang’ich qiymat Boshlang’ich qiymat Hisoblangan qiymat Hisoblangan qiymat KTU 23 0,0005 0,017 0,001004 7824 0.7195 9074 GTU 11 9 0,0015 0,0035 0,017 0,037 0.0010278 0.0008819660 0.0294606898 0.0293606797 3.2-jadval. , parametrlarini KTU va GTU bo'yicha ularning har xil boshlang'ich qiymatlari bo'yicha aniqlash. , . Usul Takrorlash -lar soni N Boshlan- g’ich qiymat Boshlan - g’ich qiymat Hisoblangan qiymat , Hisoblangan qiymat % % KTU 23 0,005 0,017 0.001004782 4 0.02961086783 4,05 3,9 GTU 11 9 0,0015 0,0035 0,017 0,037 0.0010278 0.000881966 0 0.0293604217 0.0293606797 2,7 2,2 2,3 2,33 3.3-jadval. , parametrlarini KTU va GTU bo'yicha ularning har xil boshlang'ich qiymatlari bo'yicha aniqlash. Usul Takrorlanishla r soni n Boshlang’ic h qiymat Boshlang’ic h qiymat Hisoblanga n qiymat Hisoblanga n qiymat % % 72 KT U 23 0,0005 0,017 0.00109578 0.0 27 1956 9,5 9.4 GT U 11 11 0,0015 0,0035 0,017 0,037 0.0010878 0.0010781 0.0278067 0.02756797 8,1 7 8,3 9,3 73 3.4-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar. Aniq qiymat: , . Hisoblangan qiymat: : , , . 74 3.5-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar. Aniq qiymat: , . Hisoblangan qiymat: : , , . 75 3.6-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. 76 Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar. Aniq qiymat: , . Hisoblangan qiymat: , , . 3. 3. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalashda parallel hisoblash algoritmi 3.2 – paragrafda taklif qilingan algortimlarni tahlil qilar ekanmiz koeffitsientlarni topishning ushbu usullarida parallellashtirish mumkin bo’lgan qismlarni juda kam ekanligini payqashimiz mumkin. L ekin adabiyotlarda mana shu ikki usulning umulashmasi sifatida yana bir usul mavjudki, unda parallel hisoblashlarni tashkil etish oson. Bu paragrafda shu usulni bayon qilamiz. Faraz qilaylik, va larni (3.7) funksionalni minimallashtirish orqali aniqlash uchun ( , ) tekisligida funktsionalning minimumi joylashgan to'rtburchaklar soha ma`lum bo`lsin. Bu sohani dastlab qadamlar bilan bilam to’rlarga bo’lib chiqamiz. 3.7- rasm . sohada kiritilgan to ’ r 77 Berilgan dastlabki yaqinlashishlar , , to ’ rning biror nuqtasiga tushsin . , nining qiymatlarini topamish uchun bo ’ lgan nuqta orqali o ’ tamiz , ya ’ ni nuqta atrofida joylashgan barcha 8 ta nuqtada funksional qiymatini topamiz va funksional eng kichik bo ’ lgan tomonga qarab yo ’ nalamiz . Bu jarayonni biz topgan nuqtada funksional qiymati o ’ z atrofidagi 8 ta nuqtadan ham kichik bo ’ lgunga qadar davom ettiramiz . 3.8-rasm. sohada dastlabki qadamlar bilan local minimumga erishish holati Shu holatga erishganimizdan so’ng, shu local minimum atrofini endi avvalgiga nisbatan kichikroq qadamlar bilan (maslan 2 baravar kichik, yoki oltin kesma qoidasi bo’yicha) bo’lamiz va yangi to’rda funksional minimumini qidirishni boshlaymiz. 78 3.9-rasm. sohada yangi to’rda kichikroq qadam bilan funksional minimumini qidirish Bu jarayonni (3.8) shart bajarilginga qadar davom ettiramiz Ko’rinib turibdiki bu usulda iteratsiyaning har bir siklida (3.7) funksional qiymati 8 marta hisoblanadi va ular bir-biriga bog’liq emas. Bu esa marta (3.1) - (3.6) masalani yechish demakdir. Shuning uchun bu jarayonni parallellashtirish, ya’ni funksional qiymatini 8 marta hisoblashni ta protsessorga bo’lish ishni sezilarli tezlashtiradi. 3.10-3.12-rasmlarda keltirilgan natijalardan ko’rish mumkinki, bu usul ham yaxshi natija beradi. Dastlabki ma'lumotlarning qo’zg’alishi tiklash muammosining yechimini aniqlashda shu tartibdagi xatolikka olib keladi. Dastlabki ma'lumotlardagi xatolik bilan , teskari masalaning yechimi holatidan bir oz farq qiladi. uchun teskari masalaning yechimi holatidan ancha farq qiladi. Ushbu algoritmning ishlatilishi bizga vaqt 4 yadroli noutbuklardan foydalanganda 1.6 barobar, 8 yadroli kompyuterdan foydalanganda esa 2.8 barobar yutish imkonini berdi. 79 3.10-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar , . 80 3.11-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar, . 81 3.12-rasm. Turli nuqtalarda c/c0 (a), ρа (b), ρp (c) larning o’zgarish dinamikalari. Nuqtalar - dastlabki ma'lumotlar, chiziqlar - hisoblangan ma'lumotlar, . 82 Xulosalar 1. Bitta kinetika koeffitsiyentni aniqlash qo’zg’atilmagan boshlang’ich ma’lumotlar turli nolinchi yaqinlashishlar uchun amalda besh-yetti iteratsiya qadamida tiklandi. Qo’zg’atilgan boshlang’ich ma’lumotlar asosida olingan natijalar asosida tiklashdagi xatolik tartibi boshlang’ich ma’lumotlar qo’zg’alishi tartibiga teng bo’ldi. 2. Ikkita kinitekika koeffitsiyentlarni aniqlash bo’yicha identifikatsion usuldan foydalanilganda boshlang’ich yaqinlashishlarning muvozanat nuqtasi yaqinida ham yaqinlashishlar bir biridan farq qiladi so’nmaydigan tebranishlar sodir bo’ladi, buni bartaraf etish uchun masalani yechishda birinchi tartibli modifikasialangan usuli qo’llandi va regulyarizasiya parametrlaridan bog’liq holda koeffisiyentlarni tiklash mumkinligi ko’rsatildi 3. Hisoblash natijalari shuni ko’rsatadiki, boshlang’ich yaqinlashishlarni muvozanat nuqtasidan uzoqroq olganda iterasiyalar soni ortadi. Boshlang’ich yaqinlashishlarga bog’liq holda iterasiyalar soni yigirmadan yuzgacha farqlanadi. 4. Umuman olganda, regulyarizasiya parametri qiymatlari dastlabki ma'lumotlarning xatolik darajasiga qarab belgilanishi aniqlandi. 5. Laboratoriya tajribalarining natijalarini dastlabki ma’lumotlar sifatida olib ishlangan teskari masala ham qoniqarli natijalar berishi ko'rsatildi. 6. Dissertatsiyada keltirilgan masalalarni yechish uchun bir nechta parallel hisoblash algoritmlari ham ishlab chiqildi. Ushbu algoritmning ishlatilishi 1.6 barobar dan 2.7 barobargacha vaqtni tejash imkonini berishi ko’rsatildi. 83 Adabiyotlar 1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 784 с. 2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М.: ЛКИ, 2007. – 480 с. 3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1999. 4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. -288 с. 5. Туголуков Е.Н., Карпук В.А., Рухов А.В. Решение обратных задач теплопроводности для многослойных тел канонической формы // Вестн. Тамбовск. гос. техн. ун-та. 2013. Т. 19. № 3. С. 577.. 6. Дилигенская А.Н., Плешивцева Ю.Э., Самокиш А.В. Параметрическая идентификация процессов нестационарной теплопроводности в условиях ограниченной неопределенности // Международная научная конференция по проблемам управления в технических системах. 2021 (1): 16-19. 7. Amaury Alvarez Cruz, Inverse problems for deep bed filtration in porous media // Rio de Janeiro, Brasil, February, 2005. 8. Bedrikovetsky P., Marchesin D., Souza A.G., Shecaira F. S., & Resende E., Well impairment during Sea/Produced water flooding: Treatment of Laboratory Data. SPE 69546 presented at the 2001. SPE Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference, Buenos Aires. 2001. 9. Burger M., Capasso V. & Engl H.W., Inverse Problems related to Cristallization of Polymers. Johannes Kepler Universitat Linz. Industrial Mathematics. Institute, Technical report 11, 1998. 10. Sun N., Sun N. Z., Elimelech M. & Ryan N., Sensitivity analysis and parameter identifiability for colloid transport in geochemically hererogeneous porous media // Water Resources Research, Vol. 37, No. 2, 209-22, 2001. 84 11. Ascher U. & Haber E., Grid refinement and scaling for distributed parameter estimation problem // Inverse Problem, 17, 571-590, 2001. 12. Engl H. W. & Kugler P ., The influence of the equation type on the iterative parameter identification problems which are elliptic or hyperbolic in the parameter, Euro Jn. of Applied Mathematics, 14, 2, 129-164, 2003. 13. Amaury C. Alvarez, Gustavo Hime, Dan Marchesin,·Pavel G. Bedrikovetsky, The inverse problem of determining the filtration function and permeability reduction in flow of water with particles in porous media, Received: 5 April 2006 / Accepted: 7 November 2006 / Published online: 26 May 2007, ©Springer Science + Business Media B.V. 2007. 14. Alvarez A.C., Bedrikovetsky P.G., Hime G., Marchesin A.O., Marchesin D., Rodriguez, J.R.: A fast inverse solver for the filtration function for flow of water with particles in porous media // Inverse Probl.22, 69–88 (2006). 15. Bedrikovetsky P.G., Marchesin D., Shecaira F., Serra, A. L., Resende E.: Characterization of deep bed filtration system from laboratory pressure drop measurements. J. Petrol. Sci. Eng. 64(3), 167–177 (2001). 16. Bedrikovetsky P.G., Tran K., Broek, W.M.G.T. Van den, Marchesin D., Rezende E., Siqueira A., Serra, A.L., Shecaira, F.: Damage characterization of deep bed filtration from pressure measurements. J. SPE PF3, 119–128 (2003). 17. Li G., Yao D., Yongz ai Wang and Jia X. A nonlinear solute transport model and data reconstruction with parameter determination in an undisturbed soil- column experiment // Hindawi Publishing Corporation, Mathematical Problems in Engineering, Volume 2011, Article ID 679531, 14 pages, doi:10.1155/2011/679531 18. Soma J., Papadopoulos, K.D.: Flow of dilute, sub-micron emulsions in granular porous media: effects of ph and ionic strength. J. Colloids Surf. Series A: Physicochem. Eng. Asp.101, 51–61 (1995). 19. McDowell-Boyer, L.M., Hunt, J.R., Sitar, N.: Particle transport through porous media // Water Resour. Res. 22(13), 1901–1921 (1986). 85 20. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ. 1965. T .5, № 4. С. 718-722 21. Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В.В., Ягола А. Г., Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наукаб 1983, 200 с 22. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах. // Вычислительные методы и программирование. Вып. YIII . М.: Изд-во МГУ. 1967. С. 3-33. 23. Хайруллин М.Х. О решении обратных идач подземной гидромеханики с помощью регуляризующих по А.Н. Тихонову алгоритмов // ЖВМ и МФ. 1986. Т. 26. X : 5. С. 780-783 24. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации// Докл.АН СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 1108- 1111. 25. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: Автореферат дисе. ... доктора техн. наук. М.. 1993. 20 с. 26. А. Б. Бакушинский. Замечания о выборе параметра регуляризации по критерию квазиоптимальности и отношения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, том 24, №8, 1258–1259 c . 27. Тихонов А. Е., Гласко В. Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т. 4, № 3, с, 564—571 c . 28. Леонов А. С. О критериях выбора параметра регуляризации при решении некорректных задач. - В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения.Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 77-84. 29. Заикин П. И., Меченое А. С. Некоторые вопросы численного решения интегральных уравнений первого рода методом регуляризации. -Отчет ВЦ МГУ. М., 1971г.№ 144 – Т 3 . 86 30. Леонов Л. С. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношения. - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 6, с. 1363-1376. 31. Винокуров В. А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений. - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11, № 5, с. 1097-1112. 32. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вести. МГУ Сер 15 1993 № 1.С. 13- 18. 33. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина//Вести. МГУ. Сер. 15. 1992. № 4. С. 22-27. 34. Хромова Г. В. О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тезисы докл. конф. Москва. 1998. М: Изд-во МГУ. С. 87. 35. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 36. Bertsekas D.P., Tsitsiklis J.N. Parallel and Distributed Computation. Numerical Methods. — Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989. 37. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб. БХВ- Петербург, 2002. 38. Корнеев В.В. Параллельные вычислительные системы. М.: Нолидж, 1999. 39. Таненбаум Э. Архитектура компьютера. СПб.: Питер, 2002. 40. Chandra R., Dagum L., Kohr D., Maydan D., McDonald J., and Melon R. Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann Publishers,2000 41. Hockney R.W., Jesshope C.R. Parallel Computers 2. Architecture, Programming and Algorithms. — Adam Hilger, Bristol and Philadelphia, 1988 42. Patterson D.A., Hennessy J.L. Computer Architecture: A Quantitative Approach. 2d ed. — San Francisco: Morgan Kaufmann, 1996. 87 43. Buyya R. (Ed.) High Performance Cluster Computing. Volume 1: Architectures and Systems. Volume 2: Programming and Applications. — Prentice Hall PTR, Prentice-Hall Inc., 1999. 44. Головашкин Д.Л. Методы параллельных вычислений. Ч. Самар, гос. аэрокосм, ун-т, 2002.1. Самара 45. Tanenbaum A. Modern Operating System. 2nd edn. – Prentice Hall, 2001. 46. Gitis V., Rubinstein I., Livshits M., Ziskind M. Deep-bed filtration model with multistage deposition kinetics // Chemical Engeneering Journal. – 2010. No. 163. Pp. 78-85. 47. Веницианов Е.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. – М.: Наука, 1983. – 237 с. 48. Веницианов Е.В., Сенявин М.М. Математическое описание фильтрационного осветления суспензий. – Теорет. основы хим. технологии, 1976, 10, № 4, с. 584-591. 49. Elimelech M., Gregory X.J., and Williams R. A. Particle Deposition and Aggregation: Measurement, Modeling, and Simulation, Butterworth- Heinemann, Oxford, 1995. 50. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. – 616 с. 51. Fayziev B., Ibragimov G., Khuzhayorov B., Alias I.A., Numerical study of suspension filtration model in porous medium with modified deposition kinetics, Symmetry, 12 No 5 (2020), 696 52. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980. -- 161 с 53. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. -288 с. 54. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. -- 288 с. 55. Венецианов Е.В., Сенявин М.М. Математическое описание фильтрационного осветления суспензий. – Теорет. основы хим. технологии, 1976, 10, № 4, с. 584-595. 88 56. Khuzhayorov B., Fayziev B., Ibragimov G., Md Arifin N. A deep bed filtration model of two-component suspension in dual-zone porous medium // Applied Sciences (Switzerland), 2020. 10(8), 2793. DOI:10.3390/app10082793. 57. Fayziev B., Ibragimov G., Khuzhayorov B., Alias I.A. Numerical study of suspension filtration model in porous medium with modified deposition kinetics // Symmetry, 2020. 12(5), 696. DOI:10.3390/sym12050696. 58. Khuzhayorov, B.K., Makhmudov, J.M., Fayziev, B.M., Begmatov, T.I.,Some Model of a Suspension Filtration in a Porous Media That Accounts for the Two- Zone and Multistage Character of Deposition Kinetics, Journal of Applied and Industrial Mathematics, Vol. 14, No.3, 2020, pp .513–523. 47.Fayziev, B. A phenomenological model of suspension filtration in porous medium// International Journal of Applied Mathematics, 2020, 33(3), pp. 511–521. DOI: 10.12732/ijam.v33i3.10. 59. Fayziev B.M. Mathematical model of suspension filtration in a porous medium with modified sedimentation kinetics // Information technologies for modeling and control, 2018, No. 2 (110), S.126-134. 60. Khuzhayorov B., M., Fayziev B. A model of suspension filtration in porous media with multistage accumulation kinetics, International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, Vol. 4, Issue 10, 2017, 4643- 4648 89

G’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlari Mundarija Kirish ………………………………………………………………………………3 1-bob. Matematik fizikaning teskari masalalari va ularni yechish usullari ……6 1.1. Koeffisiyentli teskari masalalar ……………………………… …..…………… 6 1.2. G’ovak muhitlarda modda suspenziya sizishi jarayoni uchun teskari masalalarning qo’yilishi …………………………………………………...............15 1.3. Teskari masalalarni yechishning asosiy yondashuvlari ………… …...............20 1.4 Parallel hisoblash algoritmlari va ularning hisoblash matematikasida qo’llanilishi……………...………………………………………………...............28 2-bob. G’ovak muhitlarda modda ko'chishi modellari parametrlarini identifikatsiya qilish ……………………………………………………………..35 2.1. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida kinetika koeffitsientni aniqlash.. 35 2.2. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida ikkita kinetik koeffitsientini identifikatsiya qilish......…... ….………………………………………………….44 2.3. G'ovak muhitda suspenziya sizishi modelida 4 ta parametrni aniqlash bo’yicha teskari masalasi ………………………………………….……………………....52 3-bob. G’ovak muhitlarda ko’p bosqichli kinetika asosida suspenziya sizishi modeli parametrlarini aniqlashda parallel hisoblash algoritmlari ………….. 59 3.1. V.Gitis modeli parametrlarni identifikatsiya qilishda parallel hisoblash algoritmlari …………………………………………. …………………………...59 3.2. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalash …………………...…65

3.3. Ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida takomillashtirilgan modelda bosqichlarni belgilovchi parametrlarni identifikatsiyalashda parallel hisoblash algoritmi ………………………..…………..........................................................74 Xulosa …………………………………………………………………………….80 Adabiyotlar ………………………………………………………………………81 KIRISH Dunyodagi qazib olinayotgan neftning katta qismi ba'zi quduqlarga suv haydash va boshqa quduqlarda neftni tortib olish yo'li bilan ishlab chiqariladi. Shu bilan birga, tarkibida turli organik va mineral qo'shimchalarni o'z ichiga olgan tozalanmagan suvni haydash amaliyoti muhitning suv qabul qilish qobiliyatini pasayishiga olib keladi. Quduqqa sifatsiz suv haydash uning o’tkazuvchanlik qobiliyatini hasaytiradi, chunki suyuqlikda mavjud muallaq zarrachalar g'ovak muhitda o'tayotganda ushlanib qoladi va cho’kma hosil qiladi. Biz mazkur dissertatsiyada g’ovak muhitda modda ko’chishining to’g’ri va teskari masalalarini qaraymiz, bu jumladan quduqlarga suv haydash jarayonini progmozlashtirish uchun ham zarurdir. Filtrlash jarayonlarining matematik modellari oqim sodir bo'layotgan g'ovak muhit yoki suyuqlik xususiyatlarini tavsiflovchi funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Oqim tajribalarida suyuqliklarning bosimi yoki oqim tezligi kabi miqdorlarni laboratoriya o'lchovlaridan bilvosita tiklash usullari bir nechta mualliflar tomonidan ishlab chiqilgan. Bunday usullar parametrlarni baholash nazariyasida matematik fizikaning teskari masalalarga olib keladi, bular yomon shartlangan chiziqli va chiziqli bo'lmagan optimallashtirish masalalaridir. Regularizatsiya usullari bu muammolarni hal qilish uchun foydalidir, chunki ular taqribiy yechimlarning barqarorligini ta'minlaydi. G’ovak muhitlarda modda ko’chishining to’g’ri masallari qaysidir darajada yaxshi tadqiq etilgan bo’lsada, teskari masalalar eng sodda modellar uchun ham 2

juda kam o’rganilgan. Yuqorida aytilganlardan kelib chiqib aytish mumkinki, g`ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi va modda ko`chishining yangi modellari parametrlarini parallel hisoblash algoritmlari vositasida tadqiq etishga bag`ishlangan ushbu dissertatsiya mavzusi dolzarb hisoblanadi. Tadqiqot ob ` yekti va predmeti. Tadqiqot ob ` yekti – g’ovak muhit va un da sizuvchi suspenziya modellari . Tadqiqot predmeti – g`ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi jarayonining matematik modelini tuzish va model parametrlarini identifikatsiya qilish uchun parallel hisoblash algoritmlarini tuzishdandan iborat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari: Tadqiqot maqsadi – g’ovak muhitlarda modda ko’chishi teskari masalalarini sonli yechishda parallel hisoblash algoritmlarini yaratishdan iborat. Shu maqsadda quyidagi vazifalar qo’yilgan: - g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi matematik modelini tuzish va masalani sonli yechish; - g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishi matematik model lar i parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish; - ko’p bosqichli kinetika tenglamalarini hisobga olib suspenziyalarning g’ovak muhitlarda sizishi modeli parametrlarini identifikatsiya qilish uchun parallel hisoblash algoritmlari ishlab chiqish; - eksperiment natijalari asosida model parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish uchun parallel hisoblash algoritmlari ishlab chiqish . Tadqiqot usullari – Mexanikaning fundamental qonunlariga asoslanib birjinslimas suyuqliklarning g’ovak muhitlarda sizishi modellarini tahlil qilish, model parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar yechish. Tadqiqotning ilmiy va amaliy ahamiyati – Ish asosan birjinslimas suyuqliklarning g’ovak muhitda sizishini nazariy tahlil qilishga bag’ishlangan. Ammo, olingan natijalar suspenziyalar sizishi kuzatiladigan turli jarayonlar: neft va gaz qazib olish, gidrogeologiya, gidrotexnika va turli kimyoviy jarayonlarda foydalaniladigan modellar parametrlarini topishda qo’llanilishi mumkin. 3

Tadqiqotning ilmiy yangiligi – Dissertatsiyada birinchi marotaba g`ovak muhitlarda modda ko’chishining ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida tuzilgan matematik modeli parametrlarini tiklash bo’yicha teskari masalalar parallel hisoblash algoritmlari asosida ishlangan. Dissertatsiyaning tarkibi. Mazkur dissertasiya ish i kirish, uch ta bo b , xulosa va foydalan il gan adabiyotlar r o’ yhatidan iborat. Kirish qismida qo’yilgan masalaning dolzarbligi, tadqiqot obyekti va predmeti, tadqiqot maqsadi va vazifalari, tadqiqotning ilmiy yangiligi, dissertatsiya tarkibining qisqacha tavsifi berilgan. Asosiy qismning 1-bobida g’ovak muhitlarda birjinslimas suyuqliklar sizishining matematik modellari, ular uchun qo’yiladigan boshlang’ich-chegaraviy, teskari masalalar va ularni yechish usullari tahlil qilingan. Bu modellar parametrlarini tiklash bo’yicha masalalar yechilgan 2-bobda V.Gitis modeli asosida ko’p bosqichli kinetikani hisobga olib suspenziya sizishi modeli aosida qo’yilgan teskari masalalarni sonli usullardan foydalanib yechish algoritmlari ishlab chiqilgan . 3-bobda ko’p bosqichli kinetika tenglamasi asosida suspenziyalarning g’ovak muhitlarda sizishi bo’yicha o’tkazilgan laboratoriya eksperimentlari asosida model parametrlarini tiklash masalalari yechilgan. Dissertatsiya oxirida adabiyotlar ro`yhati va masalalarni yechish uchun tuzilgan dasturlar ilova sifatida berilgan. Dissertatsiya materiallari asosida quyidagi ishlar chop etilgan: 1. Файзиев Б.М., Бегматов Т.И., Санаев М.Э. Обратная задача по определению кинетического коэффициента в модели фильтрации суспензии в пористой среде. // “Zamonaviy axborot, kommunikatsiya texnologiyalari va at- ta’lim tatbiqi muammolari” mavzusidagi respublika ilmiy-amaliy anjumani ma’ruzalar to‘plami, 9 aprel 2022-yil, 11-13 б. 2. Файзиев Б.М., Бегматов Т.И., Санаев М.Э. Идентификация коэффициента кинетики в модели фильтрации суспензии в пористой среде среде “ Amaliy matematika va axborot texnologiyalarining zamonaviy 4

muammolari »” mavzusidagi xalqaro miqyosidagi ilmiy - amaliy anjuman materiallari . Бухоро – 2022, 93-94 б. 5

O'xshashlar

YORIQ-G’OVAK MUHITLARDA ANOMAL MODDA KO’CHISHI TESKARI MASALASINI SONLI YECHISH
Bir jinslimas g’ovak muhitlarda anomal modda ko’chishi masalasini sonli tadqiq etish
Adsorbsiyani hisobga olib fraktal tuzilishli g`ovak muhitlarda modda ko`chishi jarayonlarini matematik modellashtirish
ELASTIK-PLASTIK SIZISH MASALALARI UCHUN TO’G’RI VA TESKARI MASALALARNI SONLI MODELLASHTIRISH
XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN TARQALISHI