IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING MAXSUSLIGINI YECHISH

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

229.791015625 KB

Ko'chirib olish

IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING
MAXSUSLIGINI YECHISH
Mundarija
Kirish……………………...……………………………………………………....3I
BOB. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusligini yechish algoritmlari
haqida…………………………………………………………………………….7
1.1-§. Nyuton ko’pyoqliklari va darajali almashtirishlar haqida tushunchalar………….7
1.2-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalar uchun maxsuslikni yechish
algoritmlari….10
I bob bo’yicha xulosa….……………………………………………………...…20
II BOB. Darajali almashtirishlar yordamida ikki o’zgaruvchili funksiyalarning
maxsusliklarini
yechish………………………………………………………..21
2.1-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar
yordamida yechish…………………………………………………….…………21
2.2-§. Ba’zi ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini darajali almashtirishlar
yordamida yechish…………………………….…………………………………28
II Bob bo’yicha xulosa………………………………………….,……………...45
III Bob. Ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini yechish masalasining giper
sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarga tadbiqlari………………..46
3.1-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlar….……………………46
3.2-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarni chegaralanganlik
masalasiga ikki o’zgaruvchili funksiyalarning maxsusliklarini yechishning
qo’llanilishi……………………………………………………………………..53
III Bob bo’yicha xulosa…………………………...……………………………72
XULOSA……………………………………………………………………………….…….73
0

ADABIYOTLAR………………………………………………………………………….…74
Kirish
Dissertatsiya mavzusining asoslanishi va dolzarbligi. Nol nuqtada qiymati
nolga teng bo’lgan ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning nol nuqtaning
atrofida xarakterini o’rganish muammosi matematikaning muhim masalalaridan
biridir. Bu masala algebra, geometriya, matematik analiz va xususiy hosilali
differensial tenglamalarda tez-tez uchrab turadi. Bu masalaning yechimi shu
fanlarning ayrim masalalarini yechishda keng qo’laniladi. Ko’p o’zgaruvchili
analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish muammosi dastlab
S.S.Abhyankar, H.E.W.Jung, H.Hironaka [1]-[6] ishlarida o’rganilgan.
Shuningdek, bu masala M.Greenblatt [7]-[11] ishlarida ham ko’p o’zgaruvchili
analitik funksiyalarning Nyuton ko’pyoqliklari vositasida yechilgan va
matematik analizning masalalariga tadbiq etilgan. Tebranuvchan integrallarning
baholarini, gipersirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning
chegaralanganlik masalalarini o’rganishda ham ushbu masala muhim ahamiyat
kasb etadi.
Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlar ko p olimlarningʼ ʼ
ishlarida o rganilgan. Dastlab 1976 yilda E.M.Stein [13] markazi koordinatalar
ʼ
boshida bo’lgan sfera bilan bog langan maksimal operatorlarning hamma
ʼ
p > n + 1
n lar uchun
LP(Rn+1)(n≥2) fazoda chegaralanganligini va barcha 1≤ p≤n+1
n
lar uchun chegaralanmaganligini isbotlagan. Keyinchalik tekislikdagi hol uchun
bu usul o tmaydigan holda E.M.Stein teoremasining analogi J. Burgen [13]
ʼ
tomonidan, sirt qat’iy qavariq holda A.Greenleaf [14] tomonidan isbotlandi. Bu
natijalar Evklid fazosining gipersirtlari bilan bog langan turli xil maksimal
ʼ
operatorlarning chegaralanganlik masalasini o rganish uchun boshlang ich
ʼ ʼ
qadamlar bo ldi. Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning
ʼ ʼ
1

chegaralanganligi haqidagi umumiy natija K.D.Sogge va I.M.Steynga tegishli
[15]-[16]. Ular gipersirtning gauss egriligi cheksiz tartibli nollarga ega
bo lmagan holda, S gipersirt bilan bog langan maksimal operatorlarningʼ ʼ
chegaralanganlik ko rsatkichi deb ataluvchi shunday
ʼ p(S) son topiladiki, p
ning
p > p ( S )
bo lgan qiymatlari uchun maksimal operatorlarning
ʼ LP(Rn+1) fazoda
chegaralanganligini isbotladilar. Ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning
maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish va uni maksimal
operatorlarning chegaralanganlik masalasiga tadbiq etish А .Iosevich,
I. А .Ikromov, M.Kempe, D.Myuller, M.Greenblatt va S.Usmanov [17]-[24]
ishlarida o’rganilgan.
Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganligi
ʼ
garmonik analiz va matematik fizikaning ko pgina masalalarini yechishda
ʼ
nazariy asos sifatida xizmat qiladi. Shu sababli ko p o lchovli Evklid
ʼ ʼ
fazolaridagi gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning jamlanuvchi
ʼ
funksiyalar fazosi
L p
da chegaralanganlik masalasini o rganishga oid
ʼ
tadqiqotlarni rivojlantirish muhim vazifalardan biri bo lib qolmoqda.
ʼ
Hozirgi kunda garmonik analiz masalalarini tadqiq qilish, xususan, ko’p
o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar
yordamida yechishga oid muammolarni hal etish muhim ahamiyatga ega.
Jumladan, ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali
almashtirishlar yordamida yechish matematik fizikaning ba zi masalalarining
ʼ
yechimlarini o rganishda muhim rol o ynaydi. Shuningdek, ba’zi parametrga
ʼ ʼ
bog’liq ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish
masalasidan uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar bilan berilgan
singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning jamlanuvchi
funksiyalar fazosi
Lp da chegaralanganligini isbotlashda va maksimal
operatorlarning chegaralanganlik ko rsatkichini aniqlashda foydalanish juda
ʼ
muhim hisoblanadi.
2

Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalar,
darajali almashtirishlar, uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar
orqali aniqlangan singulyar sirtlar va ular bilan bog’langan maksimal
operatorlar.
Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechishni singulyar
sirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganlikʼ
ko’rsatkichini
aniqlashda qo’llash.
Tadqiqotning maqsadi va vazifalari: ikki o’zgaruvchili analitik
funksiyalarning va ba’zi ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning
maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish. Bu masalaning
yechimi yordamida uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali
aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning
chegaralanganlik ko rsatkichini aniqlashdan iborat.
ʼ
Tadqiqotning ilmiy yangiligi quyidagilardan iborat :
- darajali almashtirishlar yordamida ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik
funksiyalarning maxsusliklari yechilgan;
- darajali almashtirishlar yordamida ba’zi ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik
funksiyalarning maxsusliklari yechilgan;
-ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklari yechish yordamida
uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan
singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning
Lp fazoda
chegaralanganlgi isbotlangan;
-maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko rsatkichi aniqlangan.
ʼ
Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari ba’zi ikki o’zgaruvchili analitik
funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish.
Maxsuslikni yechish masalasini qo’llab
R 3
da parametrik tenglamalar orqali
3

aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning
chegaralanganlik masalasini yechishdan iborat.
Tadqiqotda qo’llanilgan metodikaning tavsifi. Tadqiqot ishida darajali
geometriya, analitik funksiyalar nazariyasi, differensial geometriya, matematik
analiz va garmonik analiz usullaridan foydalanilgan.
Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Ba’zi ikki
o’zgaruvchili haqiqiy analitik funksiyalarning maxsusliklari yechilganligi va
singulyar sirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganlik ʼ
ko rsatkichi aniqlanganligidan iboratdir.
ʼ
Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharhi: Ko’p o’zgaruvchili analitik
funksiyalarning maxsusliklarini yechish muammosi dastlab S.S.Abhyankar,
H.E.W.Jung, H.Hironaka, T.C.Collins, A. Greenleaf and M. Pramanik [1]-[6]
ishlarida o’rganilgan. Shuningdek, bu masala M.Greenblatt [7]-[11] ishlarida
ham Nyuton ko’pyoqliklari va darajali almashtirishlar vositasida yechilgan va
matematik analizning masalalariga tadbiq etilgan. Tadqiqot ishida M.Greenblatt
[7]-[11], I. А .Ikromov [21]-[23], S.E. Usmanovlarning [24] turli ilmiy ishlari
hamda maqolalaridan foydalanildi. K.D.Sogge [15]-[16] va E.M.Stein [12]
larning ham maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko’rsatkichi to’g’risida
olgan natijalaridan foydalanilgan.
Ish tuzilmasining tavfsifi. Dissertatsiya kirish qismi, uchta bob, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan tashkil topgan. Dissertatsiyaning hajmi 78
ʼ
betni tashkil etgan. Tadqiqot mavzusi bo yicha konferensiya materiallarida jami
ʼ
3 ta tezis nashr etilgan.
4

IBob. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalar uchun maxsuslikni yechish
algoritmlari haqida
1.1-§. Nyuton ko’pyoqliklari va darajali almashtirishlar haqida
tushunchalar
Biz
N ,R+¿,R¿ bilan mos ravishda natural sonlar to’plamini, musbat
haqiqiy sonlar to’plamini va haqiqiy sonlar to’plamini belgilaylik. Faraz qilamiz
K ⊂ N k
bo’lib, bu yerda
K={n:n=(n1,n2,… ,nk)∈Nk}
, N0={0,1,2,3 ,… n,… },ni∈N0
i=1,2 ,… ,k.
1.1-tarif.
K to’plamning Nyuton ko’pyoqligi deb
¿ n ∈ K ¿ ¿
to’plamning
R+¿k¿ dagi qavariq qobig’iga aytiladi [8].
1.2-tarif.
K to’plamning Nyuton diagrammasi deb, K to’plamning Nyuton
ko’pyoqligining barcha kompakt yoqlarining birlashmasiga aytiladi.
К
to’plamning Nyuton ko’pyoqligi odatda Г
+ ¿ ( К ) ¿ orqali, К to’plamning Nyuton
diagrammasi esa Г ( К )
orqali belgilanadi [8].
Ikki o’zgaruvchili f
( x )
funksiyaning Teylor qatorini qaraymiz:
f
( x ) =
∑
n ∈ N
02 a
n x n
,
bu yerda a
n = a
n
1 n
2 ∈ C , n =
( n
1 , n
2 ) bo’lib, n
1 , n
2 ∈ N
0 daraja ko’rsatkichlari, x = ( x
1 , x
2 )
noma’lum.
xn monom x n
= x
1n
1
x
2n
2
kabi aniqlanadi. Bu qator uchun suppf bilan f
funksiyaning tashuvchisini belgilaylik.
suppf quyidagicha aniqlaniladi:
suppf =
{( n
1 , n
2 ) ∈ N
0 2
: a
n
1 n
2 ≠ 0 , n
1 , n
2 ∈ N
0 }
yoki qisqaroq
5

suppf ={n∈N02:an≠0}.kabi aniqlanadi.
1.3-tarif. f
qatorning Nyuton ko’pyoqligi deb
suppf to’plamning
Nyuton ko’pyoqligiga aytiladi va
Г+¿(f)¿ kabi belgilanadi.
1.4-tarif. f
qatorning Nyuton diagrammasi deb
suppf to’plamning
Nyuton diagrammasiga aytiladi va
Г(f) yoki N ( f )
kabi belgilanadi.
1.5-tarif.
f qatorning asosiy qismi deb
f(Г)= ∑n∈Г(f)
anxn
ko’phadga aytiladi [8].
1-misol. Ushbu ikki o’zgaruvchili funksiyaning Nyuton ko’pyoqligini
topamiz:
f(x1,x2)= x13+3x12x2+4x22+5x12x22+0x15+0x213+… .
Bu funksiyaning Nyuton ko’pyoqligi suppf =
{ n ∈ N 2
: a
n ≠ 0 } = {( 3,0 ) ,( 2,1 ) ,( 0,2 ) ,( 2,2 )}
to’plamning Nyuton ko’pyoqligiga teng.
2-misol. Quyida keltirilgan misolning Nyuton diagrammasini toping:
f
( x
1 , x
2 ) = 5 x
1 2
+ 1 3 x
1 3
x
2 + 4 x
2 4
+ 6 x
1 3
x
2 2
+ x
1 15
+ 0 x
2 100
+ … .
Endi biz tashuvchining ta’rifiga ko’ra
suppf =
{ n ∈ N 2
: a
n ≠ 0 } = {( 2,0 ) ,( 3,1 ) ,( 0,4 ) ,( 3,2 ) ,( 15,0 )}
to’plamga ega bo’lamiz. Ushbu to’plamning Nyuton diagrammasi
f(x1,x2)
funksiyaning Nyuton diagrammasini beradi.
Quyidagi shakldagi almashtirishga darajali almashtirish deyiladi:
{
w
1 = v
1 a
1
v
2 a
2
w
2 = v
1 b
1
v
2 b
2 ,

bu yerda,
v1,v2,w1,w2−¿ musbat haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. a1,a2,b1,b2 -
daraja ko’rsatkichlari haqiqiy qiymatlar qabul qiladi.
6

Ushbu { w
1 = v
1 a
1
v
2 a
2
w
2 = v
1 b
1
v
2 b
2 sistema a
1 b
2 − a
2 b
1 ≠ 0
bo’lsa, quyidagi ko’rinishdagi
yagona yechimga ega bo’ladi:
{
v1= w1
b2Bw2
−a2B
v2=w1
−b1B w2
a1B

Haqiqatan ham,
{ w
1 = v
1 a
1
v
2 a
2
w
2 = v
1 b
1
v
2 b
2 sistemani o’rniga qo’yish usuli yordamida
yechaylik. Sistemaning birinchi ifodasidan v
1 ni topib ikkinchi ifodaga
qo’yamiz:
v
1 = w
1 1
a
1
v
2 − a
2
a
1
,

w2=(w1
1a1v2
−a2a1)
b1
∙v2b2= w1
b1a1v2
−a2b1 a1 v2b2= w1
b1a1v2
−a2b1+a1b2 a1 .
Bu ifodadan
v2 ni topsak
v
2 =
( w
2 w
1 − b
1
a
1 ) a
1
− a
2 b
1 + a
1 b
2
= w
2 a
1
− a
2 b
1 + a
1 b
2
w
1 − b
1
− a
2 b
1 + a
1 b
2
= w
1 − b
1
B
w
2 a
1
B
tenglikka ega bo’lamiz.
Shu metodni yana bir bor qo’llab
v1 ni ham topamiz: v2=w1
1a2v1
−a1a2 ,
w2= v1b1∙(w1
1a2v1
−a1a2)
b2
= v1b1w1
b2a2v1
−a1b2 a2=w1
b2a2v1
a2b1−a1b2 a2 .
Bu ifodadan
v1 ni topsak
v
1 =
( w
2 w
1 − b
2
a
2 ) a
2
a
2 b
1 − a
1 b
2
= w
2 a
2
a
2 b
1 − a
1 b
2
w
1 − b
2
a
2 b
1 − a
1 b
2
= w
1 − b
2
B
w
2 − a
2
B
tenglikka ega bo’lamiz.
7

1.2-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusligini yechish
algoritmlari
Biz koordinata boshi atrofida aniqlangan, haqiqiy analitik ikki
o’zgaruvchili f ( x , y )
funksiyani qaraylik, bunda f( 0,0 ) = 0
bo’lsin. Biz dastlab
(0,0) nuqtani o’z ichiga oluvchi yetarli kichik U atrofni qaraylik. Bu U atrofni
{(x,y)∊U :h1(x)<y<h2(x)}
ko’rinishdagi egri chiziqli uchburchaklarga ajratamiz,
bu yerda h
1
( 0 ) = h
2 ( 0 )
. Har bir egri uchburchakda f(x,y) funksiyaning xarakterini
o’rganamiz. Biz dastlab f
funksiyaning Teylor qatorini quyidagicha yozaylik:
f(x,y)=∑m,n
fm,nxmyn.(1)
Faraz qilaylik,
(x,y)∈U ,0<x<1,0<y<1, bo’lsin ya’ni yuqori o’ng kvadratni
qaraylik. Biz y = ¿

xd belgilash olib, berilgan d>0 son uchun va ba’zi bir kichik
tayinlangan
x0 ( 0<x0<1¿ lar uchun Cd egri chiziqni ko’rib chiqamiz:
C
d = { ¿

xd¿:0<x¿x0}.
Cd
egri chiziqda f(x,y) funksiyani quyidagicha yozish mumkin:
f
( x , x d )
=
∑
m , n f
m , n x m + nd
. ( 2 )
Agar biz nolga teng bo’lmagan f
m , n koeffitsientlar uchun m + nd
ning minimal
qiymatini
e desak, u holda (2) tenglikdan quyidagi munosabatni olamiz:
f(x,xd)=∑m,n
fm,nxe+o(¿xe).(3)¿
Faraz qilaylik
(a,b) nuqta qiyaliklari −1
mi , − 1
m
i + 1 bo’lgan Nyuton
diagrammasining ikki qirrasining kesishgan uchi bo’lsin, bu yerda
0 ≤ m
i < m
i + 1 ≤ ∞
.
Agar
mi<d<mi+1 bo’lsa, (3) dagi e soni a+db ga teng va m+nd = e bo’ladigan
(a,b)
dan tashqari ( m , n )
mavjud emas.
Shunday qilib, C
d egri chiziqda (3) tenglik quyidagi tenglikka aylanadi.
f(x,y)= fa,bxa+db+o(xa+db).(4)
8

Cd egri chiziq ustida f ( x , y )
funksiyasi f
a , b x a + db
monomial bilan yaxshi
yaqinlashadi. Quyidagi lemma o’rinli [7]. Bu lemmaning isboti batafsil ko’rib
chiqamiz.
1.1-Lemma. Faraz qilaylik, ( a,b ) nuqta qiyaliklari mos ravishda
−1
mi va
−1
mi+1
bo’lgan Nyuton diagrammasi
N ( f ) ning ikki qirralari kesishgan uchi
bo’lsin, bu yerda m
i < m
i + 1 .
Agar
mi>0 va mi+1<∞ bo’lsa, shunday δi>0,M i>0 va
C , C '
o’zgarmaslar
mavjud bo’lib, V
i to’plamlar quyidagicha aniqlangan bo’lsin:
Vi={(x,y)∊U :M i|x|mi+1<|y|<δi|x|mi}.(5)
U holda ( x , y ) ∊ V
i lar uchun quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
C
| f
a , b x a
y b |
<| f ( x , y )| < C ' |
f
a , b x a
y b |
. ( 6. a )
Bundan tashqari, agar
α,β≤2 holda biz quyidagiga ega bo’lamiz:
| ∂ α
x ∂ β
y f
( x , y ) ∨ ¿ C ' ' |
f
a , b x a − α
y b − β |
. ( 6. b )
Agar
mi=0 bo’lgan holda, V
i ni quyidagicha aniqlasak (6.a)-(6.b) lar o’rinli
bo’ladi:
V
i =
{( x , y ) ∊ U : M
i | x | m
i + 1
< | y |} .
Agar
mi+1=∞ bo’lgan holda esa, Vi ni
V
i =
{( x , y ) ∊ U : | y | < δ
i | x| m
i }
.
kabi aniqlasak, (6.a)-(6.b) lar o’rinli bo’ladi.
Agar
mi=0 va mi+1=∞ bo’lsa , u holda V
i lar sifatida barchasini U ni
olamiz [8].
Isbot. Faraz qilaylik x > 0
bo’lsin, x < 0
bo’lganda ham shunga o’xshash
isbot qilinadi. Biz (1) ni f
( x , y ) = S
1 + S
2 + S
3 kabi yozib olaylik, bu yerda
9

S1= 1
2 fa,bxayb+ ∑m≤a,n>b
fm,nxmyn,S
2 = 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
m > a , n ≤ b f
m , n x m
y n
,
S
3 =
∑
m > a , n > b f
m , n x m
y n
.
S
1 yig’indida biz
{ x = x
y = x m
i
y ' darajali almashtirishni bajaramiz. Bundan esa
|y|<δi|x|mi
shartidan |
y ' |
< δ
i kelib chiqadi.
Dastlab S
1 ni quyidagicha yozamiz:
S
1 = 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
m ≤ a , n > b f
m , n x m
y n
= ¿
¿1
2 fa,bxayb+ fa,b+1xayb+1+fa,b+2xayb+2+… + fa,b+lxayb+l+… +¿

+ fa−1,b+1xa−1yb+1+ fa−1,b+2xa−1yb+2+… + fa−1,b+lxa−1yb+l+… +¿
+ f
2 , b + 1 x 2
y b + 1
+ f
2 , b + 2 x 2
y b + 2
+ … + f
2 , b + l x 2
y b + l
+ … + f
1 , b + 1 x y b + 1
+ ¿
+ f1,b+2xyb+2+… ++ f1,b+lxyb+l+… + f0,b+1yb+1+f0,b+2yb+2+… +¿
+ f0,b+lyb+l+… = ¿
¿ 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
j f
a , b + j x a
y b + j
+
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
,
bu yerda
j,l sonlari N
to’plamdan, k
soni esa {1,2,3…, a
} to’plamdan qiymatlar
qabul qiladi.
Endi biz
S
1 '
=
∑
j f
a , b + j x a
y b + j
,
S
1 ' '
=
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
.
deb olaylik hamda quyidagi hollarni qaraylik.
a) Faraz qilaylik
mi≥1 bo’lsin.
10

Endi {
x= x
y= xmiy'almashtirishni olamiz .U holda S1'yi g'indi quyidagicha ko’rinishda
bo’ladi:
S
1 '
=
∑
j f
a , b + j x a
y b + j
= ¿
¿
∑
j f
a , b + j x a
( x m
i
y '
) b + j
=
∑
j f
a , b + j x a + m
i b + m
i j
( y '
) b + j
.
Bizdagi
mi≥1,mij≥1 munosabatlarga ko’ra
S
1'
=
∑
j f
a , b + j x a + m
i b + j m
i
¿ ¿
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu munosabatdan esa quyidagi tenglikni yozishimiz
mumkin:
S
1 ' = O ¿
b) Endi 0< m
i < 1
bo’lsin. U holda:
{ x = x
y = x m
i
y ' almashtirish bajarsak
S1'=∑j
fa,b+jxayb+j=∑j
fa,b+jxa+mib+mij¿¿¿
munosabatni olamiz. m
i ning aniqlanishiga va
mij≥mi munosabatga ko’ra
quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz:
S
1'
≤
∑
j f
a , b + j x a + m
i b + m
i
¿ ¿
Bundan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
S
1 ' = O ¿
Endi
η=min (1,mi) desak, u holda
S
1 ' = O ¿

munosabatga ega bo’lamiz.
Endi
S
1 ' ' =
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
11

yig’indini qaraylik. Yuqoridagidek { x = x
y = x m
i
y ' almashtirish bajarib quyidagi
tenglikni olamiz:
S
1 ' ' =
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
=
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
( x m
i
y '
) b + j
= ¿
∑k,j
fa−k,b+jxa−k+mi(b+j)(y')b+j≤xa+mib∑k,j
fa−k,b+j(y')b+j
Bundan esa m
i ≥ k
j ekanligidan
mij− k≥0 munosabatdan:
S
1' '
= x a + m
i b
O
(( y ' ) b + 1 )
.
natijani olamiz.
Va nihoyat quyidagi munosabatni olamiz:

S1= 1
2 fa,bxayb+S1'+S1''=¿

¿1
2 fa,bxa+mib¿ ¿xa+mib¿
Endi
S2 yig’indini qaraymiz. Bunda
x va y o '
qlarining rolini almashtiramiz . Bunda
δ
i'
¿ y ∨ ¿ 1
m
i
<
| x| < M
i'
¿ y ∨ ¿ 1
m
i + 1
¿ ¿
bo’lib, bu yerda M
i'
= 1
M
i → 0 va δ
i'
= 1
δ
i → ∞
bo’lib, end biz quyidagi almashtirishni
olamiz.
x= y1/mi+1x'
desak, bundan |x'|<M i' uchun quyidagi natijalarni olamiz:
S2= 1
2 fa,bxayb+ ∑m>a,n≤b
fm,nxmyn= ¿
¿ 1
2 f
a , b ¿
¿ y b + a 1
m
i + 1
(
x ' ) a( 1
2 f
a , b + O ( x ' )) + O (( x ' ) a + 1
y b + a 1
m
i + 1 + ξ )
.
Ushbu tenglik yuqoridagi kabi keltirib chiqariladi.
12

Bu yerda ξ=min ⁡(1,1
mi+1
) .
Endi
{ x = x
y = x m
i
y ' , ∨ y ' ∨ ¿ δ
i
almashtirish bajarib, S
3 uchun quyidagini hosil
qilamiz.
S
3 =
∑
m > a , n > b f
m , n x m
y n
= ¿
x a + 1
y b + 1
(
f
a + 1 , b + 1 + f
a + 1 , b + 2 y + … + f
a + 1 , b + k + … + f
a + c , b + 1 x c − 1
+ + f
a + c , b + 2 x c − 1
y + … + f
a + c , b + k x c − 1
y k − 1
+ … ) = ¿
¿xmi(b+1)+a+1(y')b+1(fa+1,b+1+ fa+1,b+2xmiy'+… + fa+1,b+k(xmiy')k−1+… + fa+c,b+1xc−1++ fa+c,b+2xmi+c−1y'+… + fa+c,b+kxmi(k−1)+c−1(y')k−1+… )
≤xa+mib+ζ(y')b+1(c1+o(xγyϑ)).
Bundan esa
S3=O (xa+mib+ζ(y')b+1) natijaga ega bo’lamiz.
Bu yerda
γ≥0;ϑ≥0 , hamda ζ= min (mi+1,2 ) 1-lemma isbot bo’ldi.
Yuqoridagi 1-lemmadagi har bir V
i sohaga har bir chorakda
bittadan egri chiziqli uchburchak mos keladi. Endi biz
U −¿iVi ni egri
uchburchaklarga ajratamiz.
Ushbu
U −¿iVi sohadagi har bir ( x , y )
nuqta δi¿x∨¿mi<|y|<M i¿x∨¿mi¿¿
tengsizlikni qanoatlantirishi lozim. Shunday qilib,
f(x,y)ning Dic egri chizig’idagi
holatini tekshirish mantiqan o’rinli bo’ladi.
Bunda ba’zi bir kichik x
0 lar uchun
D
i c
=
{( x , c x m
i )
: 0 < x < x
0 }
bo’ladi.
Tasdiq.
Dic egri chizig’ida agar e
i barcha ( m , n ) lar
uchun m + n m
i ning minimal
qiymatini bildirsa, f
m , n ≠ 0 da f
quyidagini qanoatlantiradi:
f
( x , y ) = f ( x , c x m
i )
=
∑
m + n m
i = e
i ¿ ¿
Isbot. Kichik ¿ x
0 ∨ ¿
lar uchun e
i = min
( m + m
i n ) , x ∈ ( 0 , x
0 ) ,
bo’lib,
13

f(x,cxmi)= ∑m>0,n>0
fm,nxm+mincn= ¿
∑m+min=ei
¿¿¿
∑m+min=ei
¿¿¿ Demak, c
g
i =
∑
m + n m
i = e
i f
m , n c n
ko’phadning ildizi bo’lmasa, u holda
f(x,y) ni x
ning kichik qiymatlari uchun
D
i c
egri chizig’idagi
x e
i
bilan taqqoslash mumkin. Bunday holda
f(x,y) ni D
i c

egri chizig’idagi nollardan uzoqda ko’rishimiz mumkin.
Biz quyidagi to’plamni kiritaylik:
T
i =
{( x , y ) ∈ U − ¿ i V
i : δ
i | x| m
i
< | y | < M
i − 1 | x | m
i }
.
Ravshanki,
¿iTi=U −¿iVi
tenglik o’rinli. Endi biz berilgan
Ti qismini x>0 bo’lganda egri chiziqli
uchburchaklarga ajratamiz. x < 0
qismida esa
f(x,y) ni o’rniga f ( − x , y )
va g
i ( c )
ni
o’rniga esa
∑m+nmi=ei
fm,n(−1)mcn ni qo’yib shu usulni qo’llash mumkin. Agarda gi
ning ildizi bo’lmasa, biz
Ti ni umuman bo’lmaymiz. Shuningdek, Ti ni W
i1
bilan
belgilaymiz.
Aks holda esa
ci0,ci1,… ,cil lar bilan g
i ( c )
ning ildizlarini belgilaylik. Har bir j
uchun [ r
j , r
j ]
ichida
cij bo’lgan segment bo’lsin. Shunday qilib g
i va uning
hosilalari [ r
j , r
j ]
da
cij dan boshqa birorta ham nolga ega emas. Biz Xij ni
quyidagicha aniqlab olaylik:
Xij= {(x,y):rjxmi<|y|<rjxmi}.
U holda,
x>0da Ti−¿ ¿iXij ning qismi W ij sohalar birlashmasi sifatida qaraladi bu
yerda,
14

W
i j
={( x , y ) : s
j x m
i
< | y | < s
j x m
i }
.
Quyidagi lemma o’rinli [7].
1.2-lemma. Faraz qilaylik
(a,b) Nyuton ko’pburchagining qiyaligi − 1
m
i
bo’lgan yopiq qirrasidagi ixtiyoriy nuqta bo’lsin. U holda C
va C '
konstantalar
mavjud bo’lib,
∀ jda W ij dagi va har bir ( x , y )
lar uchun,
C ¿ x a
y b
|
¿| f ( x , y )| < C ' ¿ x a
y b |
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Bundan tashqari, agar
| α| < 2 , | β | < 2
bo’lsa, u holda
¿ ∂
xα
∂
yβ
f
( x , y ) ∨ ¿ C ' ∨ x a − α
y b − β
|.
tengliklari o’rinli bo’ladi [7].
Isbot .
Ushbu W
i j
sohada o’zgaruvchilarni
y = x m
i
y ' kabi o’zgartiraylik.
W ij={(x,y):sjxmi<|y|<s'jxmi}
ekanligidan y ni o’rniga olib borib qo’yishimiz
natijasida

sjxmi<xmiy'<s'jxmi ,

sj<y'<s'j
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Teylor qatori uchun
min
( m + m
i n ) = e , ¿ x
0 ∨ ¿ δ , x ∈ ( 0 , x
0 ) va
f(x,y)= ∑m>0,n>0
fm,nxmyn=¿¿
f(x,xmiy')= ∑m>0,n>0
fm,nxm+min(y')n= ¿
∑m+min=e
fm,n(y')nxe+xe ∑m+min>e
fm,n(y')nxm+min−e.(¿)
munosabat o’rinli.
15

Agarda biz ∑m+min=e
fm,n(y')n= gi(y')
desak, hamda
xe ∑m+min>e
fm,n(y')nxm+min−e=o(xe)
ekanidan, ( ¿ ¿
tenglik quyidagi ko’rinishga keladi.
f
( x , y ) = f ( x , x m
i
y ' ) = g
i ( y ' ) x e
+ o ( x e
) ni hosil qilamiz.
Bizda Teylor qatori uchun f
( x , y ) = f ( x , x m
i
y ' ) = g
i ( y ' ) x e
+ o ( x e
)
tenglik
mavjud.
W ij sohaning ta’rifi bo’yicha g
i ( y ' )
ning ∀ y'∈[sj,s'j] bo’lganda hech
qanday nollari yo’q. Shuning uchun xususan, qandaydir
ϑ>0 soni uchun
[s¿¿j,s'j]¿
da | g
i ( y ' ) ∨ ¿ ϑ
deyishimiz mumkin.
Shunday qilib,
f(x,y)= f(x,xmiy')= gi(y')xe+o(xe) tenglik |x| yetarlicha kichik
bo’lganda
C
1 x e
< f
( x , y ) ∨ ¿ C
2 x e
tengsizlikga aylanadi, bu yerda
C1,C2lar ¿gi(y')∨¿ ga bog’liqli o’zgarmaslar.
W
i j
ning ta’rifiga ko’ra
a+mib=e bo’lgan har qanday (a,b) uchun
x a
y b
W ijdagi
xe
ning doimiy omili ichida bo’ladi . Bu esa lemmadagi
C ¿ x a
y b
|
¿| f ( x , y )| < C ' ¿ x a
y b |
tenglikni bildiradi. Lemmadagi ikkinchi tengsizlik esa,
∂
xα
∂
yβ
f
( x , y ) ga qo’llanadigan yuqoridagi bilan bir xil tarzda isbotlanadi. Yagona
farq shundan iboratki,
gi(y')xe ning analogi nolga teng bo’lishi mumkin. Ammo
ushbu
¿ ∂
xα
∂
yβ
f
( x , y )| ¿ C ' |
x a − α
y b − β
∨ ¿
tengsizlik faqat yuqori chegarani talab qiladi. Bu bolat esa hech bir muammo
tug’dirmaydi. Shunday qilib 2-lemma isbot bo’ldi.
16

I Bob bo’yicha xulosa
Dissertasiya I bobining 1-paragrafida haqiqiy analitik funksiyalarning
Nyuton ko’pyoqligi, Nyuton diagrammalari tushunchalari keltirilgan. Qatorning
Nyuton ko’pyoqligi, qatorning Nyuton diagrammasi ta’riflari berilgan. Darajali
almashtirishlarning ta’riflari va ularning ayrim xossalari keltirib o’tilgan.
Shuningdek, Nyuton ko’pyoqliklariga doir misollar ham qaralgan.
I bobining 2-paragrafida koordinatalar boshi atrofida aniqlangan ikki
o’zgaruvchili haqiqiy analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish uchun
algoritmlar bayon qilingan. Bu maxsuslikni yechish (0,0) nuqtaning yetarlicha
kichik atrofida bajarilgan. Maxsusliklarini yechishda darajali almashtirishlar
qo’llanilgan.
II Bob. Darajali almashtirishlar yordamida ikki o’zgaruvchili
funksiyalarning maxsusliklarini yechish.
2.1-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali
almashtirishlar yordamida yechish
17

Bizga berilgan funksiya ikki o’zgaruvchili, koordinata boshining yetarli
kichik atrofida aniqlangan, haqiqiy analitik funksiya bo’lib f(0,0)=0 bo’lsin. Bu
funksiyaning Teylor qatori ko’rinishi
f( x , y ) =
∑
j = 1n
f
α
j , β
j x α
j
y β
j
+ Ψ ¿
bo’lib, bu yerda
∑j=1
n
fαj,βjxαjyβj−¿ funksiyaning asosiy qismi bo’lib, bu
yig’indining Nyuton diagrammasi
n ta uchga ega bo’lsin. Bu uchlar
(α¿¿1,β1),(α¿¿2,β2),… ,(α¿¿n−1,βn−1),(α¿¿n,βn)¿¿¿¿
bo’lsin. Bu yerda

α1<α2<… <αn−1<αn va β1>β2>… >βn−1>βn bo’lsin deb faraz qilamiz.

Ψ (x,y)−¿ qoldiq had bo’lib, ushbu funksiyaning Nyuton diagrammasi asosiy
qismning Nyuton diagrammasida joylashgan.
α1,α2,… ,αn−1,αn∈N
va β1,β2,… ,βn−1,βn∈N
bo’lsin. Bu yerda: U = {
( x , y ) ∈ R 2
: 0 < x < 1,0 < y < 1 }
, bo’lib
biz
f(x,y) ni U da qaraymiz, fm,n∈R koefitsient.
2.1.1-lemma. Agar
f(x,y) funksiya U to’plamda aniqlangan haqiqiy analitik
funksiya bo’lsa,u holda
U to’plamni shunday
V
i =
{( x , y ) ∊ U : M
i x m
i + 1
< y < δ
i x m
i }
,
Ti={(x,y)∈U − ¿iVi:δixmi<y<M i−1xmi}.
to’plamlarga ajratish mumkinki, har bir V
i va
Ti to’plamlarda f ( x , y )
funksiyasi
f
( x , y ) = x k
1
y k
2 ~
f ( x , y ) . ( 2 )
ko’rinishda tasvirlanadi. Bu yerda
~f(x,y)−¿ kasr darajali qator bo’lib,
~f(0,0 )≠0,k1,k1∊R≥0.

Isbot. Faraz qilaylik, f
( x , y )
funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsin:
18

f( x , y ) =
∑
j = 1n
f
α
j , β
j x α
j
y β
j
+ Ψ ( x , y )
bo’lib, bu yerda
∑j=1
n
fαj,βjxαjyβj−¿ funksiyaning asosiy qismi bo’lib, bu
yig’indining Nyuton diagrammasi n
ta uchga ega bo’lsin. Bu uchlar
( α
¿ ¿ 1 , β
1 ) , ( α
¿ ¿ 2 , β
2 ) , … , ( α
¿ ¿ n − 1 , β
n − 1 ) , ( α
¿ ¿ n , β
n ) ¿ ¿ ¿ ¿
bo’lsin. Bu yerda
α
1 < α
2 < … < α
n − 1 < α
n va β
1 > β
2 > … > β
n − 1 > β
n bo’lsin deb faraz qilamiz.
Ψ
( x , y ) − ¿
qoldiq had bo’lib, barcha darajalari funksiyaning asosiy qismining
Nyuton diagrammasining ichida joylashgan.
γi=¿
Nyuton diagrammasining qirrasi, bu yerda

i=1,2,3 ,… n−1;α1,α2,… ,αn−1,αn∈N va β1,β2,… ,βn−1,βn∈N
Endi γ
i qirraning qiyaligini − 1
s
i deylik va uni hisoblaylik. Bu kattalik
− 1
s
i = − β
i − β
i + 1
α
i + 1 − α
i
ga teng. Bundan esa
si= αi+1− αi
βi− βi+1
tenglikni olamiz, bu yerda − 1
s
i son ( α
¿ ¿ i , β
i ) va ( α
¿ ¿ i + 1 , β
i + 1 ) ¿ ¿
nuqtalardan
o’tuvchi to’g’ri chiziqning burchak koeftsientini ifodalaydi. Biz
U orqali ochiq
kvadratni belgilaylik, ya’ni
U = {(x,y)∈R2:0<x,y<ε}.
ε − yetarlicha kichik musbat son .
Endi biz U
ni quyidagi
Vi,Ti sohalarga bo’lamiz:
Vi={(x,y)∈U :M ixsi+1<y<δixsi},Ti={(x,y)∈U − ¿iVi:δixmi<y<M i−1xmi}.
19

M i,δi−lar musbat sonlar . Bu Vi sohalar egri chiziqli uchburchaklarni ifodalaydi.
Biz f
( x , y )
funksiyani nollariga ega bo’lmasin deb faraz qilgan edik. Bizni shu
hol qiziqtiradi. Demak biz faqat
Vi sohalar bilan ish ko’ramiz. Endi
(a,b)=(α¿¿i+1,βi+1)¿
deylik, bu yerda i=1,… ,n−1. Endi f(x,y) funksiyani
f(x,y)= S1+S2+S3
ko’rinishda yozib olaylik, bu yerda
S1= 1
2 fa,bxayb+ ∑m≤a,n>b
fm,nxmyn,
S
2 = 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
m > a , n ≤ b f
m , n x m
y n
, S
3 =
∑
m > a , n > b f
m , n x m
y n
.
S1
yig’indida o’zgaruvchilarni { x = x
y = x s
i
y ' shaklida o’zgartirsak, y'<δi ga ega
bo’lamiz.
U holda quyidagi tenglikni olamiz,
S
1 = x a + s
i b
( 1
2 f
a , b ( y '
) b
+ O ( ( y '
) b + 1 ))
+ O ¿
Haqiqatan ham ba’zi hisoblashlardan so’ng quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
S
1 = 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
m ≤ a , n > b f
m , n x m
y n
= ¿
¿ 1
2 f
a , b x a
y b
+ f
a , b + 1 x a
y b + 1
+ f
a , b + 2 x a
y b + 2
+ … + f
a , b + l x a
y b + l
+ … + ¿

+ fa−1,b+1xa−1yb+1+ fa−1,b+2xa−1yb+2+… + fa−1,b+lxa−1yb+l+… +¿
+ f
2 , b + 1 x 2
y b + 1
+ f
2 , b + 2 x 2
y b + 2
+ … + f
2 , b + l x 2
y b + l
+ … + f
1 , b + 1 x y b + 1
+ ¿
+ f1,b+2xyb+2+… ++ f1,b+lxyb+l+… =¿
¿ 1
2 f
a , b x a
y b
+
∑
j f
a , b + j x a
y b + j
+
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
.
bu yerda,
l∈N , k∈ {1,2,3…, a−1 }.
Endi biz
20

S1¿=∑j
fa,b+jxayb+j,S
1 ¿ ∗ ¿ =
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
¿
deb belgilaymiz.
Quyidagi hollarni qaraylik:
1)
si≥1 bo’lsin. U holda
y = x s
i
y ' almashtirish olib S
1 ¿
ni Vi sohada
qaraylik,belgilashga ko’ra y ' < δ
i bo’ladi.
Bundan :
S1¿=∑j
fa,b+jxayb+j=¿
∑
j f
a , b + j x a
( x s
i
y '
) b + j
=
∑
j f
a , b + j x a + s
i b + s
i j
( y '
) b + j
≤
x a + s
i b + 1
∑
j f
a , b + j ( y '
) b + j
⇒ S
1 ¿
= O ¿
2) 0 < s
i < 1
bo’lsin. U holda
S1¿=∑j
fa,b+jxayb+j=¿
∑j
fa,b+jxa+sib+sij(y')b+j≤xa+sib+si∑j
fa,b+j(y')b+j
⇒ S1¿=O ¿
munosabatni olamiz.
Endi η = min
( 1 , s
i ) desak, u holda:
S1¿=O ¿

natijaga ega bo’lamiz.
Endi S
1 ¿ ∗ ¿ ¿
ni qaraylik. Yuqoridagidek almashtirish olamiz. Hamda
si ning
aniqlanishiga ko’ra m + s
i ( b + j ) ≥ 0
ekanligidan
S
1 ¿ ∗ ¿ =
∑
k , j f
a − k , b + j x a − k
y b + j
= ¿ ¿
21

∑m<a,j
fm,b+jxm(xsiy')b+j= ∑m<a,j
fm,b+jxm+sib+sij(y')b+j≤x a + s
i b
∑
m < a , j f
m , b + j ( y '
) b + j
munosabatga ega bo’lamiz.
Bundan esa
S1¿∗¿=xa+sibO((y')b+1)¿ natijani olamiz. Va nihoyat,quyidagi munosabatni
olamiz.
S
1 = 1
2
fa,bxayb+S1¿+S1
¿∗¿=12¿
f
a , b x a + s
i b
¿ ¿
S2
uchun esa o’qlarni rolini almashtiramiz. Natijada
Vi'= {(x,y)∈U :δi−1/siy1/si<x<M i−1/si+1y1/si+1
}.
sohani hosil qilamiz.
Agar o’zgaruvchilarni ¿
kabi almashtirsak, V
i '
da S
2 yig’indini quyidagicha
yozishimiz mumkin:
S2=(x')ay
asi+1+b
η'(x',y).
Bu yerda, η '
( x '
, y )
= 1
2 f
a , b + O ( x ' )
+ O ( x '
y ζ )
,
ζ= min (
1
si+1
,1),
η'(0,0 )= 1
2 fa,b≠0,M i− yetarlicha katta son .
O’qlar rolini almashtirsak, yuqoridagi formulaga simmetrik formulaga ega
bo’lamiz.
U holda ushbu tenglik o’rinli:
x < M
i− 1 / s
i + 1
y 1 / s
i + 1
shart
{ x = x ' y 1
s
i + 1
y = y darajali almashtirishga ko’ra,
x < M
i− 1 / s
i + 1
ga aylanadi. Bu yerda
M i− yetarlicha katta son .
22

Natijada ushbu tengliklar o’rinli:S2= 1
2 fa,bxayb+ ∑m>a,n≤b
fm,nxmyn= ¿
¿ 1
2 f
a , b ( x ' y 1
s
i + 1
) a
y b
+
∑
m > a , n ≤ b f
m , n ( x ' y 1
s
i + 1
) m
y n
= 1
2 f
a , b ( x ' ) a
y a
s
i + 1 + b
+ ¿
+
∑
m > a , n ≤ b f
m , n ( x ' ) m
y m
s
i + 1 + n
=
( x ' ) a
y a
s
i + 1 + b
η ' (
x '
, y ) .
η '
( x ' , y ) = 1
2 f
a , b + O ( x ' ) + O ( x ' y ζ )
.
ζ = min
( 1
s
i + 1 , 1 )
.
Endi
S3 yig’indida o’zgaruvchilarni { x = x
y = x s
i
y ' kabi darajali almashtirib olib,
quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
S
3 =
∑
m > a , n > b f
m , n x m
y n
=
∑
m > a , n > b f
m , n x m
( x s
i
y ' ) n
= ¿
∑
m > a , n > b f
m , n x m + s
i n
( y ' ) n
≤ x a + s
i b + θ
¿
¿O ¿
bu yerda,
θ= min ⁡(si,1) .
Shunday qilib,
f(x,y) funksiya uchun quyidagi munosabatni yoza olamiz:
f
( x , y ) = S
1 + S
2 + S
3 = ¿
xa+sib¿
x a
y b
( 1
2 f
a , b + O ( x ' )
+ O ( x '
y ζ ))
+ O ¿
xa+sib¿
x k
1
y k
2
ˇ
f
( x , y ) .
munosabatni olamiz. Bu yerda, k
1 , k
2 − ¿
biror musbat son.
23

2.2-§. Ba’zi ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini darajali
almashtirishlar yordamida yechish
Bizga berilgan funksiya ikki noma’lumli, koordinata boshining yetarli kichik
atrofida aniqlangan bo’lib, ushbu ko’rinishda bo’lsin.
f( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3

Biz bu funksiyani birinchi chorakda qaraylik. Bu yerda
ai,bi∈N daraja
ko’rsatkichi,
i=1,2,3 ;(x,y)∊U , U − ( 0,0 )
nuqtaning yetarlicha kichik atrofi. Biz
ushbu funksiyaning maxsusligini yechish ustida ishlaylik.
2.2.1-lemma. Agar
f(x,y) funksiya U to’plamda aniqlangan haqiqiy analitik
funksiya bo’lsa,u holda U
to’plamni shunday
V1= {(x,y)∊U :M 1xm1<y<δ1xm1},
V
2 =
{( x , y ) ∊ U : M
2 x m
2
< y < δ
2 x m
2 }
,
V
3 =
{( x , y ) ∊ U : δ
2 x m
2
< y < M
1 x m
1 }
,
V
4 =
{( x , y ) ∊ U : y < M
2 x m
2 }
,
V
5 =
{( x , y ) ∊ U : y > δ
1 x m
1 }
,
to’plamlarga ajratish mumkinki, har bir
Vi to’plamlarda f(x,y) funksiyasi
f
( x , y ) = x k
1
y k
2 ~
f ( x , y ) .
ko’rinishda tasvirlanadi. Bu yerda
~f(x,y)−¿ kasr darajali qator bo’lib,
~f(0,0 )≠0,k1,k1∊R≥0.
Isbot. Buning uchun dastlab darajalar ustida ish olib boraylik. Buning uchun
Nyuton diagrammasidan foydalanamiz. Lemmaga ko’ra,
V1= {(x,y)∊U :M 1xm1<y<δ1xm1},
V
2 =
{( x , y ) ∊ U : M
2 x m
2
< y < δ
2 x m
2 }
,
24

V
3 ={( x , y ) ∊ U : δ
2 x m
2
< y < M
1 x m
1 }
,
V
4 =
{( x , y ) ∊ U : y < M
2 x m
2 }
,
V
5 =
{( x , y ) ∊ U : y > δ
1 x m
1 }
,
bo’lib, bu yerda m
1 = α
2 − α
1
β
1 − β
2 , m
2 = α
3 − α
2
β
2 − β
3 .
Bu yerda − 1
m
1
(α1,β1)va (α2,β2) ning − 1
m
2 esa (α2,β2)va (α3,β3) uchlarni
tutashtiruvchi chiziqning absissa
o’qining musbat yunalishi bilan hosil qilgan
burchagining tangensiga teng bo’ladi. Endi biz ushbu sohalarda maxsuslikni
yechamiz. Bu yerda
M 1,M 2− yetarlicha katta sonlar ,δ1,δ2− yetarlicha kichik musbat sonlar .
Agar bizda
(a1,b1),(a2,b2)va (a3,b3) lar Nyuton ko’pburchagi uchlari bo’lsa, bunda
quyidagi hollardan biri bo’lishi mumkin.
1) Nyuton diagrammasi uchta uchga ega bo’lsin.
Aniqlik uchun Nyuton diagrammasi uchlari mos ravishda
(α1,β1), (α2,β2), (α3,β3)
bo’lsin. Biz
α
1 = min
( a
1 , a
2 , a
3 ) , β
1 = max ( b
1 , b
2 , b
3 )
α3= max (a1,a2,a3),β3=min (b1,b2,b3),
α
2 = a
1 + a
2 + a
3 − α
1 − α
2 , β
2 = b
1 + b
2 + b
3 − β
1 − β
2
belgilashlarni olamiz.
Bu yerda quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi.
α
1 < α
2 < α
3 va β
3 < β
2 < β
1 .
Agar biz
f(x,y)= xα1yβ1+xα2yβ2+xα3yβ3= S1+S2 deb olsak,
bu yerda
25

S
1 = x α
1
y β
1
+ 1
2 x α
2
y β
2
,
S
2 = 1
2 x α
2
y β
2
+ x α
3
y β
3
,
S
1 − ¿
da biz koordinatalarni { y = x m
1
y '
x = x deb o’zgartirsak,
V2
sohada y'<δ2 shart o’rinli bo’ladi. Hamda
S
1 = x α
1
y β
1
+ 1
2 x α
2
y β
2
= x α
1 + m
1 β
1
¿
{m1− ning aniqlanishiga ko'ra :α1+m1β1=α2+m1β2= pdesak }
S1= xα1+m2β1¿
natijani olamiz.
Endi biz S
2 ustida ishlaymiz. Buning uchun biz
xva y o’qlari rolini
almashtiramiz. Hamda quyidagicha almashtirish olamiz:
{
x = x ' y 1
m
2
y = y deb almashtirish olsak natijada V2 sohada x ' < 1
M
2 shart o’rinli bo’ladi
S
2 ni soddalashtirsak esa,
S
2 = 1
2 x α
2
y β
2
+ x α
3
y β
3
= 1
2 ¿
{
m2−ning aniqlanishiga ko'ra β2+α2
m2
= β3+ α3
m2
= qdesak }
S2=¿
natijaga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, Nyuton diagrammasini uchi uchta bo’lgan holda maxsuslikni
yechdik.
2) Endi Nyuton diagrammasi uchi ikkita bo’lgan holni ushbu misol uchun
ko’rib chiqaylik.
26

Bunda :α1= min (a1,a2,a3),β1esa α1
ga mos ai ning jufti bi ga teng.
β2= min (b1,b2,b3)
, α2esa β2 ga mos bi ning jufti ai ga teng bo’lsin, bu yerda agar, α1
yoki β
2 lar ikkita bo’lsa ya’ni ikki hadda teng bo’lsa,u holda, α
1 ga mos a
i ning
jufti
bi larning kichigi, α2esa β2 ga mos bi ning jufti ai larning kichigi olinadi.
α3= a1+a2+a3−α1−α2;
va β3=b1+b2+b3− β1− β2; kabi topib olamiz.
Bu yerda
i=1,2,3 qiymatlardan birini qabul qiladi .
Bizda
α1¿α2 ,β2<β1 shart o’rinli.
Endi biz,
s1= α2−α1
β1− β2 ni hisoblaymiz. Hamda
s1 ga ko’ra V1,V2,V3 sohalarni
topamiz.
V
1 = {
( x , y ) ∈ U : M
1 x s
1
< y }
,
V
2 =
{( x , y ) ∈ U : y < δ
1 x s
1 }
,
V3={(x,y)∈U :M 1xs1<y<δ1xs1}
bo’ladi. Biz
V2 da o’zgaruvchilarni
{
y= xs1y'
x= x
deb o’zgartirsak V2 da y'<δ1 hosil bo’ladi.
f
( x , y ) = x α
1
y β
1
+ x α
2
y β
2
+ x α
3
y β
3
= ¿
¿ x α
1 + s
1 β
1
¿
Bu yerda , x
ning darajalari hech bo’lmaganda ikkita hadda teng bo’ladi, biz bu
daraja ko’rsatkichini
φdesak ,
f(x,y)= xφ(y')β2¿
).
tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda,
ξ=a1+a2+a3−α1− α2+s2(b1+b2+b3− β1− β2)− φ;
27

ζ = b
1 + b
2 + b
3 − β
1 − 2 β
2 .
ga teng bo’ladi.
Shunday qilib biz V
2 da maxsuslikdan qutildik.
3) Endi biz yuqorida qarayotgan funksiyamiz uchun Nyuton diagrammasi uchi
bitta bo’lgan holni qaraylik. Bunday holda maxsuslikdan qutilish masalasi
oson bo’ladi. Bunday holda bizda dastlab,
a) Bizda dastlab,
a
1 = min ⁡ ( a
1 , a
2 , a
3 )
,b1=min ⁡(b1,b2,b3)
.
bo’lsin.
Natijada V
soha,quyidagicha aniqlanadi.
V={(x,y):x,y>0}− ya'∋birinchi chorak
bo’lib bunda,
f(x,y)= xa1yb1+xa2yb2+xa3yb3= xa1yb1(1+xφ0yϕ0+xφ1yϕ1).
bu yerda
φ0,φ1≥0,ϕ0,ϕ1≥0 ekanligi ravshan.
Bu holda maxsuslik bartaraf etildi.
b) Endi
a2= min ⁡(a1,a2,a3)
,
b2= min ⁡(b1,b2,b3)
.
bo’lsin.
Natijada
V soha yuqoridagi kabi aniqlanadi.
f(x,y)= xa1yb1+xa2yb2+xa3yb3= xa2yb2(1+xφ'0yϕ'0+xφ'1yϕ'1).
bu yerda, φ '
0 , φ '
1 ≥ 0 ; ϕ '
0 , ϕ '
1 ≥ 0
ekanligi ravshan.
Bu holda ham maxsuslik bartaraf etildi. Va nihoyat 3-qadam,
28

c) Bizda,a3= min ⁡(a1,a2,a3)
,
b3=min ⁡(b1,b2,b3)
.
bo’lsin. Bu holda maxsuslik,
f
( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= ¿
x a
3
y b
3
(
1 + x φ ' '
0
y ϕ ' '
0
+ x φ ' '
1
y ϕ ' '
1 )
.
bu yerda ham,
φ''0,φ''1≥0,ϕ''0,ϕ''1≥0 ekanligi ravshan.
Bu yerda ham agarda a
i larning minimum ikkita bo’lib qolsa, ularning mos
juftlari
bi larning qaysi kichik bo’lsa, shunga mos juftlikni olamiz va
aksincha. Bu holda ham maxsuslik bartaraf etildi.
Shunday qilib Nyuton diagrammasi uch bitta bo’lgan holda ham
maxsuslik masalasini yechdik.
Nyuton diagrammasi uchga ega bo’lmagan holatda ham maxsuslik huddi
shu kabi bartaraf etiladi. Bunda quyidagi ikki holdan biri bo’lishi mumkin.
1) Nyuton diogrammasi absissa o’qiga parallel holda:
a1=a2= a3
= a desak,
b1=min ⁡(b1,b2,b3)
.
bo’lsa, berilgan funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f
( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= x a
y b
1 (
1 + y b
2 − b
1
+ y b
3 − b
1 )
.
Endi b
2 = min ⁡ ( b
1 , b
2 , b
3 )
bo’lgan holda esa,ushbu tenglik o’rinli bo’ladi.
f
( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= x a
y b
2 (
1 + y b
1 − b
2
+ y b
3 − b
2 )
.
Endi esa,
b3=min ⁡(b1,b2,b3) tenglik o’rinli bo’lsa,quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f
( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= x a
y b
3 (
1 + y b
1 − b
3
+ y b
2 − b
3 )
.
Ushbu holatda ham maxsuslik masalasi yechildi.
29

Nyuton diogrammasi ordinata o’qiga parallel holda ham xuddi yuqoridagiga
o’xshash algoritmni davom ettiramiz. Natijada,
b = b
1 = b
2 = b
3 desak,
a
1 = min ⁡ ( a
1 , a
2 , a
3 )
.
bo’lsa,berilgan funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= x a
1
y b (
1 + x a
2 − a
1
+ x a
3 − a
1 )
.
Endi
a2= min ⁡(a1,a2,a3) bo’lgan holda,ushbu tenglik kelib chiqadi.
f(x,y)= xa1yb1+xa2yb2+xa3yb3= xa2yb(1+xa1−a2+xa3−a2).
a
3 = min
( a
1 , a
2 , a
3 ) ⇒ f ( x , y ) = x a
1
y b
1
+ x a
2
y b
2
+ x a
3
y b
3
= ¿
x a
3
y b
(
1 + x a
1 − a
3
+ x a
2 − a
3 )
.
Shunday qilib 1-lemma isbotlandi.
Biz qarayotgan funksiya ikki noma’lumli,koordinata boshining yetarli kichik
atrofida aniqlangan bo’lib, quyidagi ko’rinishga keltirilishi mumkin bo’lgan
funksiya bo’lsin.
f
( x , y ) = g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
;
Bu yerda, α
i , β
i ∈ N
daraja ko’rsatkichi,
gi(0,0 )≠0,i=1,2,3 ; x,y−¿ noma’lumlar
Biz bu funksiyani birinchi chorakda qaraylik. Bu funksiya uchun birinchi
chorakda
gi(x,y)>0 (gi(x,y)<0) bir vaqtda barcha gi(x,y) funksiyalari uchun
yuqoridagi shart bajarilsin,bu yerda
i=1,2,3 holat uchun maxsuslik masalasini
qaraylik.
Quyidagi lemma o’rinli.
2.2.2-lemma. Agar
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3 funksiya
U
to’plamda aniqlangan haqiqiy analitik funksiya bo’lsa,u holda U to’plamni
shunday
30

V1= {(x,y)∊U :M 1xm1<y<δ1xm1},V
2 =
{( x , y ) ∊ U : M
2 x m
2
< y < δ
2 x m
2 }
,
V
3 =
{( x , y ) ∊ U : δ
2 x m
2
< y < M
1 x m
1 }
,
V
4 =
{( x , y ) ∊ U : y < M
2 x m
2 }
,
V
5 =
{( x , y ) ∊ U : y > δ
1 x m
1 }
,
to’plamlarga ajratish mumkinki, har bir
Vi to’plamlarda f(x,y) funksiyasi
f
( x , y ) = x k
1
y k
2 ~
f ( x , y ) .
ko’rinishda tasvirlanadi. Bu yerda
~f(x,y)−¿ kasr darajali qator bo’lib,
~f(0,0 )≠0,k1,k1∊R≥0.
Isbot. Buning uchun dastlab darajalar ustida ish olib boraylik. Bunda biz
Nyuton diagrammasidan foydalanamiz. Agar bizda
( α
1 , β
1 ) ,
( α
2 , β
2 ) ,
( α
3 , β
3 ) lar
Nyuton ko’pburchagi uchlari bo’lsa, bunda quyidagi hollardan birortasi bo’lishi
mumkin.
2.1-hol. Nyuton diagrammasi uchta uchga ega bo’lsin.
Aniqlik uchun dastlab
a) Nyuton diagrammasi uchlari mos ravishda
( α
1 , β
1 ) ,
( α
2 , β
2 ) ,
( α
3 , β
3 )
bo’lib,quyidagi tengsizlik o’rinli bo’lsin.
α1<α2<α3
va β3<β2<β1.
Endi biz yuqoridagi funksiyani maxsuslik masalasini yechish uchun V
i egri
uchburchaklarni qaraylik, buning uchun Nyuton ko’pburchagini qiyaliklari
kerak bo’ladi, biz bu qiyaliklarni − 1
m
i deb belgilaylik. Bu yerda − 1
m
i
(αi,βi)va
(αi+1,βi+1)
uchlarni tutashtiruvchi chiziqning absissa o’qining musbat yo’nalishi
bilan hosil qilgan burchagining tangensiga teng bo’ladi. Shunga ko’ra m
i larni
aniqlasak,
31

m1= α2− α1
β1− β2
,m2= α3−α2
β2− β3
;munosabatlarni olamiz.
Bunga ko’ra,
Vi egri uchburchaklar
V1= {(x,y)∈U :M 1xm1<y}.
V
2 =
{( x , y ) ∈ U : M
2 x m
2
< y < δ
2 x m
1 }
.
V
3 =
{( x , y ) ∈ U : y < δ
3 x m
2 }
.
Yuqoridagi singari topiladi.
Endi biz ushbu sohalarda maxsuslikni yechamiz. Bu yerda
M 1,M 2− yetarlicha katta sonlar ,
δ2,δ3− yetarlicha kichik musbat sonlar .
Agar biz, f
( x , y )
funksiyani ikkita funksiya yig’indisi ko’rinishida
quyidagicha yozib olsak,
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3;
¿S1+S2;
bu yerda ,
S
1 = g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ 1
2 g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
;
S
2 = 1
2 g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
;
desak,
S1−¿
da biz koordinatalarni { y = x m
1
y '
x = x deb o’zgartirsak,
V
2 sohada y ' < δ
2 shart o’rinli bo’ladi. Hamda
S
1 = g
1
( x , y ) x α
1
y β
1
+ 1
2 g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
= ¿
32

g
1 ( x , y ' ) x α
1 + m
1 β
1
¿{m1− ning aniqlanishiga ko'ra :α1+m1β1=α2+m1β2= pdesak }
S1= g1(x,y')xα1+m1β1¿
x p
(
y ' ) β
2 ( 1
2 g
2 ( x , y ' ) + g
1 ( x , y ' ) ( y ' ) β
1 − β
2 )
.
natijani olamiz. Bizda (0,0) nuqtada 1
2 g
2 ( x , y ' ) + g
1 ( x , y ' )
( y ' ) β
1 − β
2
≠ 0
ekanligi
ravshan.
Endi biz
S2 ustida ishlaymiz. Buning uchun biz xva y o’qlari rolini
almashtiramiz. Hamda quyidagicha almashtirish olamiz:
{
x = x ' y 1
m
2
y = y deb almashtirish olsak natijada V
2 sohada x ' < 1
M
2 shart o’rinli bo’ladi
S2
ni soddalashtirsak esa,
S
2 = 1
2 g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
= ¿
1
2 g
2 ( x ' , y ) ¿
{
m2−ning aniqlanishiga ko'ra β2+α2
m2
= β3+ α3
m2
= qdesak }
S2=¿
natijaga ega bo’lamiz. Bizda,
gi(x,y) funksiyalarning aniqlanishiga ko’ra:
(
1
2 g
2 ( x ' , y ) + g
3 ( x ' , y ) ( x ' ) α
3 − α
2 )
≠ 0
b) Endi α
2 < α
1 < α
3 va β
3 < β
1 < β
2 bo’lsin, bu holda:
m
1 = α
1 − α
2
β
2 − β
1 , m
2 = α
3 − α
1
β
1 − β
3 ;
kabi topilib,sohalar ham yuqoridagi singari topib olinadi.
33

Hamda maxsuslik quyidagicha bartaraf etiladi.f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3;
¿S1+S2;
bu yerda ,
S
1 = 1
2 g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
;
S2= 1
2g1(x,y)xα1yβ1+g3(x,y)xα3yβ3;
S
1 − ¿
da biz koordinatalarni
{ y = x m
1
y '
x = x deb o’zgartirsak, V
2 sohada y ' < δ
2 shart
o’rinli bo’ladi. Hamda:
S
1 = 1
2 g
1
( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
= ¿
1
2 g
1 ( x , y ' ) x α
1 + m
1 β
1
¿
¿ x p
(
y ' ) β
1 ( 1
2 g
1 ( x , y ' ) + g
2 ( x , y ' ) ( y ' ) β
2 − β
1 )
.
p= α1+m1β1=α2+m1β2
Endi biz
S2−¿ da { x = x ' y 1
m
2
y = y deb almashtirish olsak, hamda S
2 ni soddalashtirsak
S
2 = 1
2 g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
= ¿
1
2g1(x',y)¿
{
m2−ning aniqlanishiga ko'ra β1+ α1
m2
= β3+α3
m2
=qdesak }
S2=¿
natijaga ega bo’lamiz. Bizda,
gi(x,y) funksiyalarning aniqlanishiga ko’ra:
34

(1
2 g
1 ( x ' , y ) + g
3 ( x ' , y ) ( x ' ) α
3 − α
1 )
≠ 0
Shunday qilib bu holatda ham maxsuslik masalasi hal etildi.
d) Endi α
2 < α
3 < α
1 va
β1<β3<β2 bo’lsin, bu holda:
m1= α3−α2
β2− β3
,m2= α1−α3
β3− β1
;
kabi topilib,sohalar ham a) holdagi singari topib olinadi.
Hamda maxsuslik quyidagicha bartaraf etiladi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3;
¿S1+S2;
bu yerda ,
S1= 1
2g3(x,y)xα3yβ3+g2(x,y)xα2yβ2;
S2= 1
2g3(x,y)xα3yβ3+g1(x,y)xα1yβ1;
S
1 − ¿
da biz koordinatalarni
{ y = x m
1
y '
x = x deb o’zgartirsak, V
2 sohada y ' < δ
2 shart
o’rinli bo’ladi. Hamda:
S
1 = 1
2 g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
1
2 g
3 ( x , y ' ) x α
3 + m
1 β
3
¿
x p
(
y ' ) β
3 ( 1
2 g
3 ( x , y ' ) + g
2 ( x , y ' ) ( y ' ) β
2 − β
3 )
.
p= α3+m1β3=α2+m1β2
Endi biz
S2−¿ da { x = x ' y 1
m
2
y = y deb almashtirish olsak, hamda S
2 ni soddalashtirsak
S
2 = 1
2 g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
+ g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
= ¿
35

1
2 g
3 ( x ' , y ) ¿
{ m
2 − ning aniqlanishiga k o '
ra β
1 + α
1
m
2 = β
3 + α
3
m
2 = q desak
}S2=¿
natijaga ega bo’lamiz. Bizda, g
i ( x , y )
funksiyalarning aniqlanishiga ko’ra:
(
1
2 g
1 ( x ' , y ) + g
3 ( x ' , y ) ( x ' ) α
3 − α
1 )
≠ 0
Shunday qilib bu holatda ham maxsuslik masalasi hal etildi.
Qolgan uchta holda ham maxsuslik masalasi huddi shu kabi bartaraf etiladi.
Shunday qilib, Nyuton diagrammasini uchi uchta bo’lgan holda maxsuslikni
yechdik.
2.2-hol. Endi Nyuton diagrammasi uchi ikkita bo’lgan holni ushbu misol uchun
ko’rib chiqaylik.
Bizda bu uchlar uchun
α1¿α2 ,β2<β1 shart o’rinli bo’lsin.
Endi biz,
s2= α2−α1
β1− β2 ni hisoblaymiz. Hamda
s2 ga ko’ra V1,V2 sohalarni topamiz.

V1= {(x,y)∈U :M 1xs2<y} ,
V
2 =
{( x , y ) ∈ U : y < δ
2 x s
2 }
.
bo’ladi. Biz
V2 da o’zgaruvchilarni
{
y = x s
2
y '
x = x deb o’zgartirsak V2 da y'<δ2 hosil bo’ladi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
g1(x,y')xα1+s2β1¿
36

Bu yerda , x ning darajalari, s2 ning aniqlanishga va Nyuton diagrammasi uchi
ikkitaligi uchun hech bo’lmaganda ikkita hadda teng bo’ladi, biz bu daraja
ko’rsatkichini
φdesak ,
f(x,y)= xφ(y')β2¿
).
tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda,
ξ=α3+s2β3−φ;
ζ= β3− β2
.
ga teng bo’ladi. Bunda,
ξ soni (α¿¿3,β3)¿ Nyuton diagrammasi qirrasida
joylashsa 0 aks holda musbat qiymat qabul qiladi. ζ > 0
ekanligi esa ravshan.
Shunday qilib biz
V2 da maxsuslikdan qutildik.
2.3-hol. Endi biz yuqorida qarayotgan funksiyamiz uchun Nyuton diagrammasi
uchi bitta bo’lgan holni qaraylik. Bunday holda maxsuslikdan qutilish masalasi
oson bo’ladi. Bunday holda bizda dastlab,
a)
α1= min ⁡(α1,α2,α3) ,β1=min ⁡(β1,β2,β3) bo’lsin.
Natijada V
soha,quyidagicha aniqlanadi.
V={(x,y):x,y>0}− ya'∋birinchi chorak
bo’lib bunda,
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
x α
1
y β
1
(
g
1 ( x , y ) + g
2 ( x , y ) x φ
1
y ϕ
1
+ g
3 ( x , y ) x φ
2
y ϕ
2 )
.
bu yerda,
φ1,φ2≥0;ϕ1,ϕ2≥0 ekanligi ravshan.
Bu holda ham maxsuslik bartaraf etildi.
b) Endi
α2=min ⁡(α1,α2,α3)
,
β
2 = min ⁡ ( β
1 , β
2 , β
3 )
.
bo’lsin.
37

Natijada V soha yuqoridagi kabi aniqlanadi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
xα2yβ2(g2(x,y)+g1(x,y)xφ1yϕ1+g3(x,y)xφ2yϕ2).
bu yerda, φ
1 , φ
2 ≥ 0 ; ϕ
1 , ϕ
2 ≥ 0
ekanligi ravshan.
Bu holda ham maxsuslik bartaraf etildi. Va nihoyat 3-qadam,
c) α
3 = min ⁡ ( α
1 , α
2 , α
3 )
,
β
3 = min ⁡ ( β
1 , β
2 , β
3 )
.
bo’lsin. Bu holda maxsuslik,
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
x α
3
y β
3
(
g
3 ( x , y ) + g
1 ( x , y ) x φ
1
y ϕ
1
+ g
2 ( x , y ) x φ
2
y ϕ
2 )
.
bu yerda ham,
φ1,φ2≥0;ϕ1,ϕ2≥0 ekanligi ravshan.
Bu yerda ham agarda α
i larning minimum ikkita bo’lib qolsa, ularning mos
juftlari
βi larning qaysi kichik bo’lsa, shunga mos juftlikni olamiz va
aksincha. Bu holda ham maxsuslik bartaraf etildi.
Shunday qilib Nyuton diagrammasi uch bitta bo’lgan holda ham
maxsuslik masalasini yechdik.
2.4-hol. Nyuton diagrammasi uchga ega bo’lmagan holatda ham
maxsuslik huddi shu kabi bartaraf etiladi. Bunda quyidagi ikki holdan biri
bo’lishi mumkin.
1) Nyuton diogrammasi absissa o’qiga parallel holda:
α1= α2=α3= α
desak,
β
1 = min ⁡ ( β
1 , β
2 , β
3 )
.
bo’lsa, berilgan funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
38

¿xαyβ1(g1(x,y)+g2(x,y)yβ2−β1+g3(x,y)yβ3−β1)Endi β
2 = min ⁡ ( β
1 , β
2 , β
3 )
bo’lgan holda esa,ushbu tenglik o’rinli bo’ladi.
f
( x , y ) = g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
= ¿
¿xαyβ2(g2(x,y)+g1(x,y)yβ1−β2+g3(x,y)yβ3−β2).
Endi esa,
β3= min ⁡(β1,β2,β3) tenglik o’rinli bo’lsa,quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
¿xαyβ3(g3(x,y)+g1(x,y)yβ1−β3+g2(x,y)yβ2−β3).
Ushbu holatda ham maxsuslik masalasi yechildi.
2) Nyuton diogrammasi ordinata o’qiga parallel holda ham xuddi
yuqoridagiga o’xshash algoritmni davom ettiramiz. Natijada,
β= β1= β2= β3
.
desak,
α1= min ⁡(α1,α2,α3)
.
bo’lsa,berilgan funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
xα1yβ(g1(x,y)+g2(x,y)xα2−α1+g3(x,y)xα3−α1).
Endi α
2 = min ⁡ ( α
1 , α
2 , α
3 )
bo’lgan holda,ushbu tenglik kelib chiqadi.
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
x α
2
y β
(
g
2 ( x , y ) + g
1 ( x , y ) x α
1 − α
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3 − α
2 )
α
3 = min
( α
1 , α
2 , α
3 ) ⇒
f(x,y)= g1(x,y)xα1yβ1+g2(x,y)xα2yβ2+g3(x,y)xα3yβ3=¿
xα3yβ(g3(x,y)+g1(x,y)xα1−α3+g2(x,y)xα2−α3)
Shunday qilib biz bu holda ham maxsuslik masalasini yechdik.
39

f( x , y ) = g
1 ( x , y ) x α
1
y β
1
+ g
2 ( x , y ) x α
2
y β
2
+ g
3 ( x , y ) x α
3
y β
3
funksiya uchun maxsuslik masalasi hal etildi.
II Bob bo’yicha xulosa
Dissertasiyaning II bobining 1-paragrafida koordinatalar boshining
yetarlicha kichik atrofida aniqlangan ixtiyoriy ikki o’zgaruvchili analitik
funksiyalarning maxsusliklari darajali almashtirishlar yordamida yechilgan.
Bunda Nyuton ko’pyoqliklaridan foydalanilgan.
II bobining 2-paragrafida ba’zi ikki o’zgaruvchili funksiyalarni
maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechilgan. Bunda Nyuton
ko’pyoqliklaridan foydalanilgan.
40

III Bob. Ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini yechish
masalasining gipersirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarga
tadbiqlari
3.1-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlar haqida
Dastlab gipersirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlar haqida asosiy
tushunchalarni keltiramiz.
Sodda sirt deganda deformatsiya(cho’zilish, qisilish, egilish)ga uchragan
oddiy tekislik bo’lagini tasavvur etish mumkin. Muntazam sirt deganda esa, har
bir nuqtasining yetarlicha kichik atrofi sodda sirt bo’lgan sirtni tushunamiz.
3.1.1-ta’rif. Rk dagi k o‘lchamli sirt ( k
o‘lchovli sirt yoki k o‘lchovli
xilma-xillik) shunday
S ⊂ R n + 1
to‘plam bo‘lib,uning har bir nuqtasi
S da
R k
ga
gomeomorf bo’lgan atrofiga ega bo’ladi [25]-[26].
Gomeomorf-o’zaro bir qiymatli akslantirishdir.
S
to’plamning
x∈S⊂ Rn+1 nuqtasining atrofi deganda biz U S(x)=U (x)∩ S ni
tushunamiz, bu yerda,
U (x)
R n + 1
dagi x ning atrofi. Bundan tashqari,yozuvni
soddalashtirish uchun
U S(x) o’rniga U ( x )
ni yozamiz.
3.1.2-ta’rif. Sirt ta’rifida ko’rsatilgan gomeomorfizmni amalga
oshiradigan
φ:Rk→ U ⊂S akslantirish S
sirtning aksi yoki lokal aksi; Rk -
parametrlar sohasi,
U - akslantirishning S sirtda harakatlanish [25]-[26].
3.1.3-ta’rif. Harakat sohalari butun S
sirtni qoplaydigan ya’ni
(S=¿iU i)
A
( S ) ≔ { φ
i : I
i k
→ U
i , i ∊ N }
lokal akslari to’plamiga, S sirtning atlasi deyiladi. I
ik
-
Rk
da ochiq kublar deb ataladi [25]-[26].
Bir sirtning ikki atlasining birlashmasi shu sirtning yana atlasi hisoblanadi.
41

3.1.4-ta’rif.
R n
da k o ’lchamli (1-ta’rif bo’yicha kiritilgan) sirt silliq
deyiladi, agar uning lokal akslari silliq (
C ( m )
, m ≥ 1 sinf) bo’lsa va o’zlarining
aniqlanish sohalaridagi har bir nuqtada rangi
k ga teng bo’lgan atlasga ega
bo’lsa. Bu yerda
C ( m )

m marta uzluksiz differensiallanuvch funksiyalar fazosi
[26]-[27].
3.1.5-ta’rif.
Rn+1 fazoda n
o’lchamli sirt ( n
o’lchovli sirt yoki n
o’lchovli
xilma-xillik),
R n + 1
dagi gipersirt deyiladi, agar sirtning o’lchami fazoning
o’lchamidan bitta kam bo’lsa, biz bunday sirtni gipersirt deb ataymiz. Shu
o’rinda bizga kelgusida isbotlanadigan teorema va lemma uchun birinchi
kvadratik forma ham muhim hisoblanadi. Endi biz ushbu birinchi kvadratik
forma tushunchasi bilan tanishaylik.
Faraz qilaylik,
B ikki o’lchovli soha bo’lib, S
soda sirt r:B→ R3 silliq akslantirish
bilan aniqlangan bo’lsin.
Radus vektori esa
r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
ko’rinishda aniqlangan bo’lsin. Bunda har bir x , y , z
komponentalar ikki
o’zgaruvchi
( u , v ) ∊ B
ning silliq funksiyasidan iborat.
Endi biz r
( u , v )
funksiyasining differesialini qaraylik:
dr
( u , v ) = r
u du + r
v dv .
Birinchi differensial du
va
dv erksiz o’zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi
bo’lganligi sababli, u chiziqli
⁡forma deb ataladi.
Birinchi differensialning skalyar kvadratini hisoblaylilk:
d r 2
= dr ∗ dr = r
u 2
d u 2
+ 2 r
u r
v dudv + r
v 2
d v 2
.
ifoda kvadratik formadan iborat bo’lib, u
S sirtning birinchi ⁡kvadratik ⁡formasi
deb ataladi.
Odatda bu formaning koeffitsientlari quyidagicha belgilab olinadi.
42

E( u , v ) = r
u 2
, F ( u , v ) = r
u r
v , G ( u , v ) = r
v 2
.
Ushbu belgilashdan foydalanib, birinchi kvadratik formani quyidagicha standard
ko’rinishda yozish mumkin.
d r 2
= E
( u , v ) d u 2
+ 2 F ( u , v ) dudv + G ( u , v ) d v 2
.
Tasdiq. Birinchi kvadratik formasi
d r 2
= E
( u , v ) d u 2
+ 2 F ( u , v ) dudv + G ( u , v ) d v 2

ga teng bo’lgan S
sirtning yuzi
|
S | =
∬
B❑ √
E ( u , v ) G ( u , v ) − F 2
( u , v ) dudv .
formula yordamida hisoblaniladi.
3.1.6-ta’rif. Agar
S⊂ Rn+1 silliq gipersirt bo’lsa, f ( x , x
n + 1 )
S da aniqlangan
uzluksiz chekli funksiyadir, ya’ni
f∊C0(S) keyingi integral
∫S
f(x,xn+1)dS (x)
birinchi turdagi sirt integrali deyiladi.
Maxsus holatda, agar
S gipersirt tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda tenglik
∫
S f ( x , x
n + 1 ) dS ( x ) =
∫
D f
( x , 1 + ϕ ( x ))√ 1 + | ▽ ϕ | 2
dx ,
kabi bo’ladi, bu yerda
D - S ning
R n
ga proyeksiyasi.
Bizga n
o’lchovli D
–parallelipiped berilgan bo’lsin.
D=[a1,b1]×[a2,b2]×… ×[an,bn],
bu yerda,
ai,bii=(1,2 ,… ,n) –haqiqiy sonlar bo’lib, (1) sirt integralini
n
-karrali integral orqali
∫S
f(x,xn+1)dS (x)=∫a1
b1
∫a2
b2
… ∫an
bn
f(x,1+ϕ(x))√1+|▽ϕ|2dx1dx2… dx n
43

Agar R3 da x
1 = x
1 ( u
1 , u
2 ) , x
2 = x
2 ( u
1 , u
2 ) , x
3 = x
3 ( u
1 , u
2 ) parametrik tenglamalar
bilan berilgan bo’lsa quyidagi tariff o’rinli.
3.1.7-ta’rif. P =
( x
1 , x
2 , x
3 ) = ( x
1 ( u
1 , u
2 ) , x
2 ( u
1 , u
2 ) , x
3 ( u
1 , u
2 )) nuqta sirtning
r egulyar nuqtasi deyiladi, agar
C=
(
∂x1
∂u1
∂x2
∂u1
∂x3
∂u1
∂x1
∂u2
∂x2
∂u2
∂x3
∂u2
)
matritsaning rangi 2 ga teng bo’lsa. [28]
Regulyar bo’lmagan nuqta singulyar nuqta deyiladi.
3.1.8-ta’rif.
F(x1,x2,x3)=0 tenglama bilan berilgan sirtda P(x1,0 ,x2,0 ,x3,0)
nuqtasi sirtning oddiy (regulyar) nuqtasi deyiladi, agar shu nuqtada F

funksiyasining gradiyenti noldan farqli bo’lsa, ya’ni
grad F≠0 yoki
( ∂ F
∂ x
1 , ∂ F
∂ x
2 , ∂ F
∂ x
3 ) ≠ 0
yoki
∂ F
∂ x
1 e + ∂ F
∂ x
2 g + ∂ F
∂ x
3 f ≠ 0 .
bu yerda, e , g , f
lar birlik vektorlar.
Bizda
S ⊂ R n + 1
giper sirt bo’lsin va biror tayinlangan
ψ nomanfiy, kompakt
tashuvchili silliq funksiya bo’lsin,ya’ni
0≤ψ∊C0∞(Rn+1) va f ∊ C
0∞ (
R n + 1 )
.
3.1.9-ta’rif.
S giper sirt bilan bog’langan maksimal operator deb
Mf (y)≔¿t>0|Atf(y)|(1)
munosabat bilan aniqangan operatorga aytiladi, bu yerda
A
t f
( y ) ≔
∫
S f ( y − tx ) ψ ( x ) dS ( x ) ( 2 )
o’rtalashtirish operatori deb ataladigan operator va
dS (x) esa sirt o’lchovidir.[12]
44

Mf( y )
operator chegaralangan deyiladi, agar har qanday f∊C0∞(Rn+1)
funksiya uchun
∃C p musbat soni mavjud bo’lib, quyidagi tengsizlik bajarilsa,
¿ ∨ Mf
( y ) ∨ ¿
L P ≤ C
p ¿ | f | ∨ ¿
L P ¿
bu yerda, ¿
| ¿| ∨ ¿
L P ¿
belgisi LP fazoning tabiiy normasi.
Berilgan
S giper sirt va berilgan 0≤ψ∊C0∞(Rn+1) zichlik funksiyasi uchun mos
keladigan maksimal operatorning chegaralanganlik ko’rsatkichi tabiiy ravishda
ushbu munosabat bilan belgilanadi:
p(S)≔ pψ(S)≔inf {p:(1)operator LPda chegaralangan }.
Maksimal operatorlarning chegaralanganlik masalasini o’rganishda ushbu
teorema ham muhim ahamiyat kasb etadi. Quyida keltiriladigan teorema
I.A.Ikromov, M.Kempe va D.Myuller lar tomonidan isbotlangan.
1-teorema.
ε>0 yetarlicha kichik son C
ε ∊ R n + 1
silliq gipersirt va ϕ
funksiya ϕ
( 0) = 0 , ▽ ϕ ( 0 ) = 0 , d m
ϕ ( 0 ) ≠ 0 , m ≥ 2
shartlarni qanoatlantirsin. U holda
koordinata boshining shunday U
atrofi topiladiki,tayinlangan
ψ∊C0∞(U ) funksiya
uchun shunday o’zgarmas C
p > 0
son topilib barcha p > m
larda barcha
f∊C0∞(Rn+1)
funksiyalar uchun quyidagi baholar o’rinli bo’ladi.
¿ ∨ M ε
f ∨ ¿
L p ≤ C
p ε − 1
p
||
f ||
L P ,
bu yerda
C p son ε ga bog’liq emas. [21]
Ushbu bobda biz quyidagi parametrik tenglama bilan aniqlangan
S⊂ R3
singular sirtlarni ko’rib chiqamiz:
x1(u1,u2)=u1a1u2a2g1(u1,u2),
x2(u1,u2)=u1b1u2b2g2(u1,u2),(3)
x
3
( u
1 , u
2 ) = r + u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 ( u
1 , u
2 ) .
bu yerda, a
1 , a
2 , b
1 , b
2 , c
1 , c
2 - natural sonlar, 0 ≠ r ∊ R
45

u1≥0,u2≥0 va gi(u1,u2)−¿ haqiqiy analitik funksiyalar va
g
1
( 0,0 ) g
2 ( 0,0 ) g
3 ( 0,0 ) ≠ 0
shart o’rinli.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
A =
( a
1 b
1
a
2 b
2 )
va
B=det A deylik.
c =
( c
1 , c
2 ) , B
1 = | b
1 c
1
b
2 c
2 | , B
2 = | a
1 c
1
a
2 c
2 | ,
3.1.1-lemma.
B2+B12+B22 ≠0 va u1u1≠0 da (3) sirtning koordinata tekisliklaridan
tashqarida va ( 0,0,r ) nuqtaning yetarlicha kichik atrofida yotuvchi barcha
nuqtalari regulyar bo’ladi. (3) sirtning koordinatalar tekisligida joylashgan
barcha nuqtalari singulyar.
Isbot. Haqiqatdan ham,
C matrissaning ikkinchi tartiblili minorlaridan kamida
bittasi koordinatalar tekisligidan tasqarida va ( 0,0,r ) nuqtaning yetarlicha
kichik atrofida noldan farqli bo’ladi. Xususan, birinchi minorni hisoblaylik:
D =
| ∂ x
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1 ∂ x
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
∂ x
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2 ∂ x
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2 | = ¿
¿
|
∂u1a1u2a2g1(u1,u2)
∂u1
∂u1b1u2b2g2(u1,u2)
∂u1
∂u1a1u2a2g1(u1,u2)
∂u2
∂u1b1u2b2g2(u1,u2)
∂u2
|
= ¿
∂u1a1u2a2g1(u1,u2)
∂u1
∗∂u1b1u2b2g2(u1,u2)
∂u2
− ∂u1b1u2b2g2(u1,u2)
∂u1
∂ u
1 a
1
u
2 a
2
g
1
( u
1 , u
2 )
∂ u
2 =
( a
1 u
1 a
1 − 1
u
2 a
2
g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
1 a
1
u
2 a
2
g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ))
46

(b2u1b1u2b2−1g2(u1,u2)+u1b1u2b2g2u2
'(u1,u2))− ¿ − ( b
1 u
1 b
1 − 1
u
2 b
2
g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
1' (
u
1 , u
2 ))
(a2u1a1u2a2−1g1(u1,u2)+u1a1u2a2g1u2
'(u1,u2))
¿ u
1 a
1 + b
1 − 1
u
2 a
2 + b
2 − 1
{ a
1 b
2 g
1
( u
1 , u
2 ) g
2 ( u
1 , u
2 ) + b
2 u
1 g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
2 ( u
1 , u
2 ) + ¿
a
1 u
2 g
1
( u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) + u
1 u
2 g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) − ¿
b
1 a
2 g
1
( u
1 , u
2 ) g
2 ( u
1 , u
2 ) − a
2 u
1 g
1 ( u
1 , u
2 ) g
2 u
1' (
u
1 , u
2 ) − ¿
b1u2g2(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)−u1u2g2u1
'(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)}=¿
u
1 a
1 + b
1 − 1
u
2 a
2 + b
2 − 1
{ g
1
( u
1 , u
2 ) g
2 ( u
1 , u
2 )( a
1 b
2 − b
1 a
2 ) + ¿
u1(b2g1u1
'(u1,u2)g2(u1,u2)− a2g1(u1,u2)g2u1
'(u1,u2))+¿
u2(a1g2u2
'(u1,u2)g1(u1,u2)−b1g2(u1,u2)g1u2
'(u1,u2))+¿
u1u2(g1u1
'(u1,u2)g2u2
'(u1,u2)− g2u1
'(u1,u2)g1u2
'(u1,u2))}.
Shunday qilib, quyidagi munosabatni olamiz:
D=u1a1+b1−1u2a2+b2−1{Bg1(u1,u2)g2(u1,u2)+¿
u
1
( b
2 g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
2 ( u
1 , u
2 ) − a
2 g
1 ( u
1 , u
2 ) g
2 u
1' (
u
1 , u
2 )) + ¿
u2(a1g2u2
'(u1,u2)g1(u1,u2)−b1g2(u1,u2)g1u2
'(u1,u2))+¿
u
1 u
2
( g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) − g
2 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
1 u
2' (
u
1 , u
2 )) } .
B ≠ 0 , u
1 u
2 ≠ 0
shartlarda
D detirminanti atrofida noldan farqli ekanligini

g1(0,0 )≠0, g
2 ( 0,0 ) ≠ 0
ekanligidan ko’rish mumkin. Binobarin, bu atrofda rang
C = 2
.
Shunday qilib
B≠0,B1≠0,B2≠0 shartlar mos ravishda C matritsaning
birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli minorlarining noldan farqliligini
ta’minlaydi. Shunday qilib, (3) sirtning koordinata tekisliklaridan tashqarida va
47

( 0,0,r ) nuqtaning yetarlicha kichik atrofida yotuvchi barcha nuqtalari regulyar
(nosingular) bo’ladi.
3.2-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarni
chegaralanganlik masalasiga ikki o’zgaruvchili funksiyalarning
maxsusliklarini yechishni qo’llash
Endi A
t μ
f ( y )
o’rtalashtirish operatorini (2) formula yordamida
quyidagicha aniqlaymiz:Atμ=∫
R¿02f(y1−tx1(u1,u2),y2−tx2(u1,u2),y3− x3(u1,u2))
ψ
( x
1 ( u
1 , u
2 ) , x
2 ( u
1 , u
2 ) , x
3 ( u
1 , u
2 )) dS ( x )
bundan
Atμf(y)=∫
R¿02f(y1−tu1a1u2a2g1(u1,u2),y2− tu1b1u2b2g2(u1,u2),y3−t(r+u1c1u2c2g3(u1,u2)))ψ1(u1,u2)u1d1u2d2μ(u1,u2)du1du2
.
ni olamiz, bu yerda
ψ1(u1,u2)=ψ(u1a1u2a2g1(u1,u2),u1b1u2b2g2(u1,u2),r+u1c1u2c2g3(u1,u2)).
Atμf(y)
o’rtalashtirish operatoriga mos keluvchi maksimal operator (1) formula
yordamida quyidagi munosabat bilan aniqlanadi:
M μf(y)≔¿t>0|Atμf(y)|,y∊R3.
Quyidagi teorema [24] maqolada isbotlangan.
3.2.1-teorema. Faraz qilaylik,
{gi(u1,u2)}i=13 kasr darajali qatorlar bo’lib, R2
da koordinatalar boshida quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: g
i ¿
)≠0, μ
( 0,0 ) ≠ 0
va
d1>−1,d2>−1,B
≠0, B
1 ≠0, B
2 ≠0. R2 da koordinatalar boshi atrofida shunday U
to’plam mavjud bo’lib, har qanday ψ
1 ∊ C
0∞
( U )
funksiya uchun
M μf maksimal
operator
48

p > max ⁡ { c
1
d
1 + 1 , c
2
d
2 + 1 , 2 }
bo’lganda L p
( R 3
)
da chegaralangan bo’ladi.
Bundan tashqari, agar ψ
1( 0,0 ) > 0
va max { c
1
d
1 + 1 , c
2
d
2 + 1 } > 2 b o '
lib ,
2 < p ≤ max
{ c
1
d
1 + 1 , c
2
d
2 + 1 }
bo’lganda,
M μf maksimal operator L p
( R 3
)
da chegaralanmagan bo’ladi.
Endi biz (3) parametrik tenglamalarga bo’ysunuvchi
S singular sirt bilan
bog’langan (1) maksimal operatorlar bilan shug’ullanamiz. Aniqroq aytganda,
biz
p > 2
bo’lgan holatda bu operatorning chegaralanganlik masalasini singulyar
(0,0, r ) nuqtaning yetarlicha kichik atrofida o’rganamiz.
Bu o’rganishlarimiz natijasida p ' ( S )
uchun ba’zi baholashlarni olamiz.
p '
(
S ) = max ⁡ { c
1 + c
2 s
1
a
1 + b
1 + ( a
2 + b
2 ) s
1 , c
1 + c
2 s
a
1 + b
1 + ( a
2 + b
2 ) s ,
c
1 + c
2 s
2
a
1 + b
1 +
( a
2 + b
2 ) s
2 , c
1
a
1 + b
1 , c
2
a
2 + b
2 , c
1 , c
2 }
kabi aniqlanadi.

Atϕf(y) o’rtalashtirish uchun (2) va (3) munosabatlardan quyidagi formulani
olamiz:
Atϕf(y)=∫
R¿02f(y1−tu1a1u2a2g1(u1,u2),y2−tu1b1u2b2g2(u1,u2),y3−t(r+u1c1u2c2g3(u1,u2)))
ψ1(u1,u2)√ϕ(u1,u2)du1du2,
Bu yerda
ϕ(u1,u2)= EG − F2 va E ,G ,F sirtning birinchi kvadratik formasining
koeffisentlari.
49

Atϕf(y) o’rtalashtirish operatoriga mos keluvchi maksimal operator (1) formula
yordamida quyidagi munosabat bilan aniqlanadi:
M ϕ
f
( y ) ≔ ¿
t > 0 | A
tϕ
f ( y )| , y ∊ R 3
.
Endi quyidagi lemmani isbotlaymiz.
3.2.1-lemma.
ϕ(u1,u2)= EG − F2 funksiya uchun quyidagi formula o’rinli.
ϕ(u1,u2)≔u1m1u2m2h12(u1,u2)+u1n1u2n2h22(u1,u2)+u1l1u2l2h32(u1,u2).
bu yerda :
m
1 = 2
( a
1 + b
1 − 1 ) , m
2 = 2 ( a
2 + b
2 − 1 ) , n
1 = 2 ( a
1 + c
1 − 1 )
,
n2= 2(a2+c2−1),l1= 2(b1+c1−1)
, l2= 2(b2+c2−1) .
h
1
( u
1 , u
2 ) = ( a
1 g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
)
(b2g2(u1,u2)+u2
∂g2(u1,u2)
∂u2 )
−
( a
2 g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)( b
1 g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
) ,
h2(u1,u2)=(a1g1(u1,u2)+u1
∂g1(u1,u2)
∂u1 )
(
c
2 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)
−(a2g1(u1,u2)+u2
∂g1(u1,u2)
∂u2 )(c1g3(u1,u2)+u1
∂g3(u1,u2)
∂u1 ),
h3(u1,u2)=(b1g2(u1,u2)+u1
∂g2(u1,u2)
∂u1 )
(
c
2 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)
50

(b2g2(u1,u2)+u2
∂g2(u1,u2)
∂u2 )(c1g3(u1,u2)+u1
∂g3(u1,u2)
∂u1 ).Isbot.
E= ¿
F = x
1 u
1'
x
1 u
2'
+ x
2 u
1'
x
2 u
2'
+ x
3 u
1'
x
3 u
2'
G = ¿
formulalarga ko’ra quyidagi natijalarni olamiz.
E= ¿
¿
( a
1 u
1 a
1 − 1
u
2 a
2
g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
1 a
1
u
2 a
2
g
1 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(
b
1 u
1 b
1 − 1
u
2 b
2
g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(c1u1c1−1u2c2g3(u1,u2)+u1c1u2c2g3u1
'(u1,u2))2=¿
(a1u1a1−1u2a2g1(u1,u2))2+(b1u1b1−1u2b2g2(u1,u2))2+¿
(c1u1c1−1u2c2g3(u1,u2))2+(u1a1u2a2g1u1
'(u1,u2))2+¿
(
u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
2a1u12a1−1u22a2g1(u1,u2)g1u1
'(u1,u2)+¿
2 b
1 u
1 2 b
1 − 1
u
2 2 b
2
g
2
( u
1 , u
2 ) g
2 u
1' (
u
1 , u
2 ) + ¿
2 c
1 u
1 2 c
1 − 1
u
2 2 c
2
g
3
( u
1 , u
2 ) g
3 u
1' (
u
1 , u
2 ) .
F = x
1 u
1'
x
1 u
2'
+ x
2 u
1'
x
2 u
2'
+ x
3 u
1'
x
3 u
2'
= ¿
(a1u1a1−1u2a2g1(u1,u2)+u1a1u2a2g1u1
'(u1,u2))
(a2u1a1u2a2−1g1(u1,u2)+u1a1u2a2g1u2
'(u1,u2))+¿
(b1u1b1−1u2b2g2(u1,u2)+u1b1u2b2g2u1
'(u1,u2))
(b2u1b1u2b2−1g2(u1,u2)+u1b1u2b2g2u2
'(u1,u2))+¿
51

(c1u1c1−1u2c2g3(u1,u2)+u1c1u2c2g3u1
'(u1,u2))
(c
2 u
1 c
1
u
2 c
2 − 1
g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 u
2' (
u
1 , u
2 )) = ¿
a1a2u12a1−1u22a2−1g12(u1,u2)+b1b2u12b1−1u22b2−1g22(u1,u2)+¿
c
1 c
2 u
1 2 c
1 − 1
u
2 2 c
2 − 1
g
3 2
(
u
1 , u
2 ) + a
2 u
1 2 a
1
u
2 2 a
2 − 1
g
1 ( u
1 , u
2 ) g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) + ¿
b2u12b1u22b2−1g2(u1,u2)g2u1
'(u1,u2)+¿
c2u12c1u22c2−1g3(u1,u2)g3u1
'(u1,u2)+¿
a1u12a1−1u22a2g1(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)+¿
b1u12b1−1u22b2g2(u1,u2)g2u2
'(u1,u2)+¿
c1u12c1−1u22c2g3(u1,u2)g3u2
'(u1,u2)+u12a1u22a2g1u1
'(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)
+ u
1 2 b
1
u
2 2 b
2
g
2 u
1'
(
u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) + u
1 2 c
1
u
2 2 c
2
g
3 u
1' (
u
1 , u
2 ) g
3 u
2' (
u
1 , u
2 ) .
kabi topib omiz. Endi esa,
G=¿
(
a
2 u
1 a
1
u
2 a
2 − 1
g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
1 a
1
u
2 a
2
g
1 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(
b
2 u
1 b
1
u
2 b
2 − 1
g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(c2u1c1u2c2g3(u1,u2)+u1c1u2c2g3u2
'(u1,u2))2=¿
(
a
2 u
1 a
1
u
2 a
2 − 1
g
1 ( u
1 , u
2 )) 2
+ ( b
2 u
1 b
1
u
2 b
2 − 1
g
2 ( u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(
c
2 u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 ( u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 a
1
u
2 a
2
g
1 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(
u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
2a2u12a1u22a2−1g1(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)+¿
2 b
2 u
1 2 b
1
u
2 2 b
2 − 1
g
2
( u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) + ¿
2 c
2 u
1 2 c
1
u
2 2 c
2 − 1
g
3
( u
1 , u
2 ) g
3 u
2' (
u
1 , u
2 ) .
Endi biz quyidagi ifodani hisoblaylik,
52

EG − F 2
= ¿(c1u1c1−1u2c2g3(u1,u2))2+(u1a1u2a2g1u1
'(u1,u2))2+¿
(
u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 u
1' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
2 ¿ ¿
2 b
1 u
1 2 b
1 − 1
u
2 2 b
2
g
2
( u
1 , u
2 ) g
2 u
1' (
u
1 , u
2 ) + ¿
2 c
1 u
1 2 c
1 − 1
u
2 2 c
2
g
3
( u
1 , u
2 ) g
3 u
1' (
u
1 , u
2 ) ¿ ∗ ¿
¿
(
c
2 u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 ( u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 a
1
u
2 a
2
g
1 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
(
u
1 b
1
u
2 b
2
g
2 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ( u
1 c
1
u
2 c
2
g
3 u
2' (
u
1 , u
2 )) 2
+ ¿
2a2u12a1u22a2−1g1(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)+¿
2 b
2 u
1 2 b
1
u
2 2 b
2 − 1
g
2
( u
1 , u
2 ) g
2 u
2' (
u
1 , u
2 ) + ¿
2 c
2 u
1 2 c
1
u
2 2 c
2 − 1
g
3
( u
1 , u
2 ) g
3 u
2' (
u
1 , u
2 ) ¿
− { a
1 a
2 u
1 2 a
1 − 1
u
2 2 a
2 − 1
g
1 2
(
u
1 , u
2 ) + b
1 b
2 u
1 2 b
1 − 1
u
2 2 b
2 − 1
g
2 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
c
1 c
2 u
1 2 c
1 − 1
u
2 2 c
2 − 1
g
3 2
(
u
1 , u
2 ) + a
2 u
1 2 a
1
u
2 2 a
2 − 1
g
1 ( u
1 , u
2 ) g
1 u
1' (
u
1 , u
2 ) + ¿
b2u12b1u22b2−1g2(u1,u2)g2u1
'(u1,u2)+¿
c2u12c1u22c2−1g3(u1,u2)g3u1
'(u1,u2)+¿
a1u12a1−1u22a2g1(u1,u2)g1u2
'(u1,u2)+¿
b1u12b1−1u22b2g2(u1,u2)g2u2
'(u1,u2)+¿
c
1 u
1 2 c
1 − 1
u
2 2 c
2
g
3
( u
1 , u
2 ) g
3 u
2' (
u
1 , u
2 ) + ¿
u
1 2 a
1
u
2 2 a
2
g
1 u
1'
(
u
1 , u
2 ) g
1 u
2' (
u
1 , u
2 ) + ¿
u12b1u22b2g2u1
'(u1,u2)g2u2
'(u1,u2)+¿
u
1 2 c
1
u
2 2 c
2
g
3 u
1'
(
u
1 , u
2 ) g
3 u
2' (
u
1 , u
2 ) } 2
= ¿
u
1 2
( a
1 + b
1 − 1 )
u
2 2 ( a
2 + b
2 − 1 )
h
1 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
+ u
1 2
( a
1 + c
1 − 1 )
u
2 2 ( a
2 + c
2 − 1 )
h
2 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
+ u
1 2
( b
1 + c
1 − 1 )
u
2 2 ( b
2 + c
2 − 1 )
h
3 2 (
u
1 , u
2 ) .
bo’lib, bu yerda
h1(u1,u2)=(a1g1(u1,u2)+u1
∂g1(u1,u2)
∂u1 )
53

(b2g2(u1,u2)+u2
∂g2(u1,u2)
∂u2 )−
( a
2 g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)( b
1 g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
) ,
h2(u1,u2)=(a1g1(u1,u2)+u1
∂g1(u1,u2)
∂u1 )
(
c
2 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)
−(a2g1(u1,u2)+u2
∂g1(u1,u2)
∂u2 )(c1g3(u1,u2)+u1
∂g3(u1,u2)
∂u1 ),
h3(u1,u2)=(b1g2(u1,u2)+u1
∂g2(u1,u2)
∂u1 )
(
c
2 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)
(
b
2 g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)( c
1 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
)
bo’lib topiladi. Shu bilan lemma isbot bo’ldi.
3.2.2-teorema. Faraz qilaylik,
{gi(u1,u2)}i=13 ,ϕ(u1,u2) lar R2 da koordinatalar
boshining yetarlicha kichik atrofida aniqlangan haqiqiy analitik funksiyalar
bo’lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
gi¿ )≠0 va
B≠0,B1≠0,B2≠0.

R 2
da koordinatalar boshi atrofida shunday
V to’plam mavjud bo’lib, har
qanday
ψ1∊C0∞(V) funksiya uchun M ϕf maksimal operator p > max ⁡ { p ' ( S ) , 2 }
bo’lganda L p
( R 3
)
da chegaralangan. Bundan tashqari, agar
ψ1(0,0 )>0 va
p ' ( S ) > ¿
2 bo’lsa,
M ϕ
f maksimal operator
2<p<p'(S) bo’lganda L p
( R 3
)
da
chegaralanmagan.
54

Isbot.
M ϕ
f maksimal operatorini (0,0 ,r)∊R3 nuqtaning yetarlicha kichik
atrofida ko’rib chiqaylik. Ya’ni (3) sirtning singular bo’lmagan nuqtalarida.
Yuqoridagi lemmadan ushbu tenglik o’rinli:
EG − F 2
= ϕ
( u
1 , u
2 )
ϕ
( u
1 , u
2 ) ≔ u
1 m
1
u
2 m
2
h
1 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
+ u
1 n
1
u
2 n
2
h
2 2
(
u
1 , u
2 ) + u
1 l
1
u
2 l
2
h
3 2 (
u
1 , u
2 ) .
Bunda yuqoridagi shartlardan B ≠ 0
shart h
1 ( 0,0 ) ≠ 0
ni B
1 ≠ 0
sharti h
2 ( 0,0 ) ≠ 0
ni,
B2≠0
sharti esa h
3 ( 0,0 ) ≠ 0
tenglikni ta’minlaydi.
Biz bir nechta hollarni ko’rib chiqaylik.
1-hol.
min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = m
1 ,
min { m
2 , n
2 , l
2 } = m
2 yoki min { m
1 , n
1 , l
1 } = n
1 ,
min { m
2 , n
2 , l
2 } = n
2 yoki
min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = l
1 ,
min { m
2 , n
2 , l
2 } = l
2 bo’lsa,
u holda
Atϕf(y) va ϕ(u1,u2) lar 1-teoremaning nuqtai nazaridan M ϕf maksimal
operator
p>max {p'(S),2} bo’lganda L p
( R 3
)
da chegaralangan va p'(S)>2 bo’lib,
2 < p < p ( S )
da chegaralanmaganini isbotlash mumkin.
2-hol.
Agar min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = m
1 ,
min {m2,n2,l2}= n2 bo’lsa,
ϕ
( u
1 , u
2 ) ≔ u
1 m
1
u
2 m
2
h
1 2 (
u
1 , u
2 ) + u
1 n
1
u
2 n
2
h
2 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
u
1 l
1
u
2 l
2
h
3 2
(
u
1 , u
2 ) .
Quyidagi ko’rinishni oladi.
ϕ
( u
1 , u
2 ) ≔ u
1 m
1
u
2 n
2
q ( u
1 , u
2 ) .
bu yerda,
q
( u
1 , u
2 ) : = u
2 m
2 − n
2
h
1 2 (
u
1 , u
2 ) + u
1 n
1 − m
1
h
2 2 (
u
1 , u
2 ) + ¿
u
1 l
1 − m
1
u
2 l
2 − n
2
h
3 2
(
u
1 , u
2 ) = u
2 2 ( b
2 − c
2 )
¿
55

−(a2g1(u1,u2)+u2
∂g1(u1,u2)
∂u2 )(b1g2(u1,u2)+u1
∂g2(u1,u2)
∂u1 )¿¿2+¿u
1 2 ( c
1 − b
1 )
¿
−
( a
2 g
1 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
1 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)( c
1 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
) ¿ ¿ 2
+u12(c1−a1)u22(b2−a2)¿
(c2g3(u1,u2)+u2
∂g3(u1,u2)
∂u2 )−¿
(
b
2 g
2 ( u
1 , u
2 ) + u
2 ∂ g
2 ( u
1 , u
2 )
∂ u
2
)( c
1 g
3 ( u
1 , u
2 ) + u
1 ∂ g
3 ( u
1 , u
2 )
∂ u
1
) ¿ ¿ 2
tenglikka ega bo’lamiz.
q
( u
1 , u
2 ) -analitik funksiya. Ko’rinib turibdiki, q ( u
1 , u
2 ) funksiyaning Nyuton
diagrammasi
( n
1 − m
1 , 0 )
va (0,m2− n2) nuqtalarini tutashtiruvchi segment.
T
belgisi bilan {(u1,u2)∊R2:0<u1,u2<C2−1} ochiq kvadratni belgilaylik. Bunda C2
yetarlicha katta musbat son. Bu kvadratni egri uchburchaklarga ajratamiz.
D
1 =
{( u
1 , u
2 ) ∊ T : C
1 − 1
m
2 − n
2
u
1 s
≤ u
2 ≤ C
1 1
m
2 − n
2
u
1 s }
.
(n1− m1,0)
va ( 0 , m
2 − n
2 ) lar qiyaliklarni bog’laydigan uchlarga mos keladi va
D
2 =
{( u
1 , u
2 ) ∊ T : u
2 < C
1 − 1
m
2 − n
2
u
1 s }
.
D
3 =
{( u
1 , u
2 ) ∊ T : u
2 > C
1 1
m
2 − n
2
u
1 s }
.
Mos ravishda,
( n
1 − m
1 , 0 )
va (0,m2− n2) uchlarga mos keladi. Bu yerda C1 yetarlicha
katta musbat son.
−1
s qaralayotgan chetning qiyaligi. Shunga ko’ra,
−1
s = m2−n2
m1−n1
ga teng. Bundan esa,
56

s= n1−m1
m2− n2
.
n1−m1>0 va m2−n2>0 deb faraz qilaylik.
Endi biz
D1 da quyidagi almashtirishni bajaramiz,
{
u1= v1m2−n2
u2=v1n1−m1v2
1m2−n2
Natijada,
0 < v
1 < C
1 − 1
m
2 − n
2
,
C1−1≤v2≤C1, tengsizliklarga ega bo’lamiz hamda
o’rtalashtirish operatori uchun yuqoridagi almashtirishni qo’yib quyidagi
tenglikni olamiz.
A
t ϕ
1
f
( y ) =
∫
R
¿ 02 f ¿
y
1 − t v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) a
1 + ( n
1 − m
1 ) a
2 v
2 a
2
m
2 − n
2
g
1
( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
2 1
m
2 − n
2 )
, ¿
y
2 − t v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) b
1 + ( n
¿ ¿ 1 − m
1 ) b
2 v
2 b
2
m
2 − n
2
g
2
( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
2 1
m
2 − n
2 )
, ¿ ¿
y3−t¿
ψ1(v1m2−n2,v1n1−m1v2
1m2−n2)
v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) ( 1 + 0,5 n
1 ) + ( n
¿ ¿ 1 − m
1 ) ( 1 + 0,5 n
2 ) − 1 v
2 1 − m
2 + 1,5 n
2
m
2 − n
2
¿ ¿
√
ϕ
1 ( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
2 1
m
2 − n
2 )
dv
1 d v
2 .
O’rtalashtirish operatoriga ega bo’lamiz. Bu o’rtalashtirish operatoriga mos
maksimal operatorni yozadigan bo’lsak,
M ϕ
1
f
( y ) = ¿
t > 0 ∨ A
tϕ
1
f ( y ) ∨ ¿
∫
R¿02f¿¿
y
2 − t v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) b
1 + ( n
¿ ¿ 1 − m
1 ) b
2 v
2 b
2
m
2 − n
2
g
2
( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
2 1
m
2 − n
2 )
, ¿ ¿
57

y
3 − t ¿ψ1(v1m2−n2,v1n1−m1v2
1m2−n2)
v1(m¿¿2−n2)(1+0,5n1)+(n¿¿1−m1)(1+0,5 n2)−1v2
1−m2+1,5n2 m2−n2¿¿
√ϕ1(v1m2−n2,v1n1−m1v2
1m2−n2)dv 1dv2
ga teng.
Endi biz
D
2 =
{( u
1 , u
2 ) ∊ T : u
2 < C
1 − 1
m
2 − n
2
u
1 s }
da quyidagicha almashtirishni bajaramiz.
u1=w1,u2=w1sw2,
Bu almashtirish natijasida
u
2 < C
1 − 1
m
2 − n
2
u
1s
tengsizlikka almashtirishni olib borib qo’ysak,
w
1 s
w
2 < C
1 − 1
m
2 − n
2
w
1 s

⇒
w
2 < C
1 − 1
m
2 − n
2
Bundan esa, 0
¿w1<C1−1 va 0
¿w2<C1
−1 m2−n2 to’rtburchakka ega bo’lamiz.
Natijada o’rtalashtirish operatori uchun quyidagi tenglikni olamiz.
Atϕ2f(y)=¿
∫
R¿02f(y1−tw1a1+sa2w2a2g1(w1,w1sw2),y2− tw1b1+sb2w2b2g2(w1,w1sw2),y3−t(r+w1c1+sc2w2c2g3(w1,w1sw2)))
ψ1(w1,w1sw2)w10,5n1+(1+0,5n2)sw20,5n2√ϕ2(w1,w1sw2)dw 1dw2.

Ushbu tenglik orqali ushbu o’rtalashtirish operatoriga mos maksimal operatorni
yozadigan bo’lsak,
M ϕ2f(y)=¿t>0∨∫
R¿02f(y1−tw1a1+sa2w2a2g1(w1,w1sw2),y2−tw1b1+sb2w2b2g2(w1,w1sw2),y3− t(r+w1c1+sc2w2c2g3(w1,w1sw2)))
ψ
1 ( w
1 , w
1 s
w
2 ) w
1 0,5 n
1 + ( 1 + 0,5 n
2 ) s
w
2 0,5 n
2
√
ϕ
2 ( w
1 , w
1 s
w
2 ) dw
1 d w
2 ∨ ¿

ga teng.
58

Endi esa quyidagicha almashtirishni D3={(u1,u2)∊T:u2>C1
1m2−n2u1s} soha uchun
bajaramiz.
{
u
1 = z
1 z
2 1
s
u
2 = z
2
Bu almashtirish natijasida quyidagi sohaga ega bo’lamiz.
0 < z
1 < C
1 − 1
m
2 − n
2
0<z2<C2−1
O’rtalashtirish operatori esa quyidagicha ko’rinishga keladi.
Atϕ3f(y)=¿
∫
R¿02f(y1−tz1a1z2
a1s+a2g1(z1z2
1s,z2),y2−tz1b1z2
b1s+b2g2(z1z2
1s,z2),y3−t(r+z1c1w2
c1s+c2g3(z1z2
1s,z2)))
ψ1(z1z2
1s,z2)z10,5m1z2
1+0,5m1 s +0,5m2
√ϕ2(z1z2
1s,z2)dz 1dz2.

ushbu o’rtalashtirishtirishtirish operatoriga mos maksimal operator quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
M ϕ
2
f
( y ) = ¿
t > 0 | A
t ϕ
3
f ( y )|
Formulani o’rniga qo’ysak,
M ϕ
3
f
( y ) = ¿
t > 0 ∨
∫
R
¿ 02 f ( y
1 − t z
1 a
1
z
2 a
1
s + a
2
g
1 ( z
1 z
2 1
s
, z
2 ) , y
2 − t z
1 b
1
z
2 b
1
s + b
2
g
2 ( z
1 z
2 1
s
, z
2 ) , y
3 − t ( r + z
1 c
1
w
2 c
1
s + c
2
g
3 ( z
1 z
2 1
s
, z
2 )))
*
ψ1(z1z2
1s,z2)z10,5m1z2
1+0,5m1 s +0,5m2
√ϕ2(z1z2
1s,z2)dz 1dz2.

M ϕ
1
f
( y ) , M ϕ
2
f ( y ) va
M ϕ
3
f ( y ) maksimal operatorlarining barchasi 1-teoremaning
shartlarini qanoatlantiradi.
59

Haqiqatan ham, 1-teoremaning shartlarini qaraydigan bo’lsak,gi(0,0 )≠0 , μ ( 0,0 ) ≠ 0
va
d1>−1,d2>−1,B ≠0, B
1 ≠0, B
2 ≠0 . Bizda aniqlanishiga ko’ra ushbu tengliklar
mavjud:
A=(
a1 b1
a2 b2),B=det A,B1=|
b1 c1
b2 c2|,B2=|
a1 c1
a2 c2|,
Endi biz quyidagi operator uchun qaraylik,
M ϕ1f(y)=¿t>0∨ Atϕ1f(y)∨ ¿
∫
R
¿ 02 f ¿ ¿
y
2 − t v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) b
1 + ( n
¿ ¿ 1 − m
1 ) b
2 v
2 b
2
m
2 − n
2
g
2
( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
2 1
m
2 − n
2 )
, ¿ ¿
y3−t¿
ψ1(v1m2−n2,v1n1−m1v2
1m2−n2)
v
1 ( m
¿ ¿ 2 − n
2 ) ( 1 + 0,5 n
1 ) + ( n
¿ ¿ 1 − m
1 ) ( 1 + 0,5 n
2 ) − 1 v
2 1 − m
2 + 1,5 n
2
m
2 − n
2
¿ ¿
√
ϕ
1 ( v
1 m
2 − n
2
, v
1 n
1 − m
1
v
1 1
m
2 − n
2 )
dv
1 d v
2 .
B'=¿
B'= a1b2−a2b1= B≠0.
B '
1 = ¿
B'1= b1c2−b2c1= B1≠0.
B '
2 = ¿
B'2= a1c2− a2c1= B2≠0.
d'1=(m¿¿2− n2)(1+0,5 n1)+(n¿¿1−m1)(1+0,5 n2)−1= ε−1>−1¿¿
d'2= 1− m2+1,5 n2
m2− n2
= 1+n2− m2+0,5 n2
m2−n2
=−1+ε'>−1.
Demak, 1-teoremaga ko’ra M ϕ
1
f
( y ) ,
maksimal operatorlari p>2 bo’lganda L p
( R 3
)
da chegaralangan. M ϕ
2
f
( y )
ham shu kabi isbotlanadi.
60

M ϕ
3
f( y ) ⁡ maksimal operatori esa
L p
( R 3
) da
p > p '
= max ⁡ { c
1
a
1 + b
1 , c
1 + s c
2
a
1 + b
1 + s
( a
2 + b
2 ) }
bo’lganda chegaralangan,
p'>2 bo’lib, 2<p≤ p' bo’lganda chegaralanmagan.
Demak,agar
p1(S)= p' bo’lsa u holda
M ϕ
f maksimal operatori L p
( R 3
)
da

p>{p1(S),2} bo’lganda chegaralangan, agar p1(S)>2 bo’lib 2<p≤ p1(S) bo’lsa
chegaralanmagan.
Agar,
n1−m1 , m
2 − n
2 sonlaridan biri nolga teng bo’lsa, M ϕf maksimal
operatori uchun chegaralanganlik ko’rsatkichi
p1(S) o’zgarishsiz qoladi.
n1−m1
va m2−n2 sonlari bir vaqtda yo’qolmaydi,chunki bu holatda biz B1≠0
Shartga zid bo’lgan
B1=0 tenglikka ega bo’lamiz bu esa mumkin emas.
Agar,
n1−m1 ,l1−m1 ,n1−l1 ,m2−l2 ,l2− n2 ,m2−n2 raqamlaridan kamida bittasi nolga
teng bo’lsa, bunday holda mumkin emas, qolgan hollarda
M ϕf maksimal
operatorning chegaralanganlik ko’rsatkichi o’zgarishsiz qoladi.
Xuddi shunday
M ϕf maksimal operatori uchun chegaralanganlik ko’rsatkichi
mavjud.
3-hol.
Agar,
min {m1,n1,l1}= m1 , min { m
2 , n
2 , l
2 } = l
2 bo’lsa u holda:
p2(S)= max {
c1
a1+b1
, c1+s1c2
a1+b1+s1(a2+b2)},
bu yerda,
s
1 = l
1 − m
1
m
2 − l
2 .
4-hol.
Agar, min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = n
1 , min { m
2 , n
2 , l
2 } = m
2 bo’lsa u holda:
61

p
3( S ) = max { c
2
a
2 + b
2 , c
1 + s c
2
a
1 + b
1 + s ( a
2 + b
2 )} ,
bu yerda,
s= m1− n1
n2−m2
.
5-hol.
Agar, min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = n
1 , min { m
2 , n
2 , l
2 } = l
2 bo’lsa u holda:
p
4
( S ) = 2.
6-hol.
Agar, min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = l
1 , min { m
2 , n
2 , l
2 } = m
2 bo’lsa u holda:
p
5
( S ) = max { c
2
a
2 + b
2 , c
1 + s
2 c
2
a
1 + b
1 + s
2 ( a
2 + b
2 )} ,
bu yerda,
s
2 = m
1 − l
1
l
2 − m
2 .
7-hol.
Agar, min
{ m
1 , n
1 , l
1 } = l
1 , min {m2,n2,l2}= n2 bo’lsa u holda:
p6(S)= 2.
Shunday qilib,
p(S)= max ⁡{p1(S),p2(S),p3(S),p5(S)}
kabi aniqlaniladi.
Biz bu teoremani Nyuton diagrammasi bitta kompakt qirraga ega
bo’lgan hol uchun isbotladik, bu teorema Nyuton diagrammasi ikkita
kompakt qirraga ega bo’lgan hol uchun yuqoridagi kabi isbotlanadi va
62

p '(
S ) = max ⁡ { c
1 + c
2 s
1
a
1 + b
1 + ( a
2 + b
2 ) s
1 , c
1 + c
2 s
a
1 + b
1 + ( a
2 + b
2 ) s ,
c
1 + c
2 s
2
a
1 + b
1 +
( a
2 + b
2 ) s
2 , c
1
a
1 + b
1 , c
2
a
2 + b
2 , c
1 , c
2 }
ga ega bo’lamiz..
Eslatma. B
≠0,
F ≠0 bilan almashtirsak ham (3) tenglamaga bo’ysinuvchi S sirt
uchun birinchi teoremaning tasdiqlari o’z kuchida qoladi. Bu yerda,

F= B A−1cT
Haqiqatdan ham,
A−1 ni hisoblaylik, belgilanishiga ko’ra
A =
( a
1 b
1
a
2 b
2 ) , B = detA ≠ 0
ekanligidan,
A − 1
= 1
B
( b
2 − b
1
− a
2 a
1 )
hamda C =
( c
1 c
2 ) ekanligidan quyidagi ko’paytmani hisoblaymiz.
A−1CT=
(
b2
a1b2−a2b1
−b1
a1b2− a2b1
− a2
a1b2−a2b1
a1
a1b2− a2b1
)(
c1
c2)=¿
(
b
2 c
1 − b
1 c
2
a
1 b
2 − a
2 b
1
− a
2 c
1 + a
1 c
2
a
1 b
2 − a
2 b
1 ) = ( B
1
B
B
2
B ) = 1
B ( B
1
B
2 )
Endi biz
F= B A−1CT desak hamda F ≠0 shartni oladigan bo’lsak,
F =
( B
1
B
2 ) ≠ 0
bundan esa B
1 ≠ 0
va
B2≠0 shartlar o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
63

III Bob bo’yicha xulosa
Dissertasiyaning III bobi uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik
tenglamalar orqali aniqlangan ba’zi sing ulyar sirtlar bilan bog’langan
maksimal operatorlarga bag’ishlangan. Bobning 1-paragrafida gipersirtlar bilan
bog’langan o’rtalashtirish va maksimal operatorlarning ta’riflari keltirilgan.
Singulyar sirtlarning regulyar va singulyar nuqtalari aniqlangan.
III bobning 2-paragrafida uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik
tenglamalar orqali aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal
operatorlarning yig’iluvchi funksiyalar fazosida chegaralanganlik masalasi
tadqiq qilingan. Ikki o’zgaruvchili funksiyalarning maxsusliklarini yechish
yordamida bu singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning
yig’iluvchi funksiyalar fazosida chegaralanganligi isbotlangan. Maksimal
operatorlarning chegaralanganlik ko’rsatkichi uchun aniq baholar olingan.
64

Xulosa
Haqiqiy analitik funksiyalarning Nyuton ko’pyoqligi, Nyuton
diagrammalari tushunchalari keltirilgan. Qatorning Nyuton ko’pyoqligi,
qatorning Nyuton diagrammasi ta’riflari berilgan. Darajali almashtirishlarning
ta’riflari va ularning ayrim xossalari keltirib o’tilgan. Shuningdek, Nyuton
ko’pyoqliklariga doir misollar ham qaralgan.
Koordinatalar boshi atrofida aniqlangan ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik
funksiyalarning maxsusliklarini yechish uchun algoritmlar bayon qilingan. Bu
maxsuslikni yechish (0,0) nuqtaning yetarlicha kichik atrofida bajarilgan,
Maxsusliklarini yechishda darajali almashtirishlar qo’llanilgan.
Koordinatalar boshining yetarlicha kichik atrofida aniqlangan ixtiyoriy
ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklari darajali almashtirishlar
yordamida yechilgan. Bunda Nyuton ko’pyoqliklaridan foydalanilgan.
Nyuton ko’pyoqliklari yordamida ba’zi ikki o’zgaruvchili funksiyalarni
maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechilgan.
Uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan
ba’zi singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlar qaralgan.
Gipersirtlar bilan bog’langan o’rtalashtirish va maksimal operatorlarning
ta’riflari keltirilgan. Singulyar sirtlarning regulyar va singulyar nuqtalari
aniqlangan.
Uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan
singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning yig’iluvchi
funksiyalar fazosida chegaralanganlik masalasi tadqiq qilingan. Ikki
65

o’zgaruvchili funksiyalarning maxsusliklarini yechish yordamida bu singulyar
sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning yig’iluvchi funksiyalar
fazosida chegaralanganligi isbotlangan. Maksimal operatorlarning
chegaralanganlik ko’rsatkichi uchun aniq baholar olingan.
Adabiyotlar
[1] S. S. Abhyankar, On the ramification of algebraic functions, Amer. J.
Math. 77 (1955), 575–592.
[2] S. S. Abhyankar, Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics
Vol XIV, Academic Press, New York-London, 1964.
[3] H. E. W. Jung, Darstellung der Funktionen eines algebraischen K¨orpers
zweier unabh¨angiger Ver¨anderlichen x, y in der Umgebung einer Stelle x = a,
y = b, J. Reine Angew. Math 133 (1908), 289–314.
[4] H. Hironaka, Introduction to real-analytic sets and real-analytic maps,
Inst. Mat. L. Tonelli, Pisa (1973).
[5] H. Hironaka, Introduction to the theory of infinitely near singular
points , Memorias de Matem´aticas del Instituto Jorge Juan, Vol. 28, CSIC
Madrid (1974).
[6] Tristan C.Collins, Allan Greenleaf and Malabika Pramanik. A multi-
dimensional resolution of singularities with applications to analysis. arXiv:
1007.0519v2 [math.CA] 5 Aug 2011.
[7] M.Greenblatt. A direct resolution of singularities for functions of two
variables with applications to analysis, J. Anal. Math.,92 (2004) 233-257.
[8] M.Greenblatt. Resolution of Singularities and Sharp Estimates for
Oscillatory Integrals. Preprint Massachusetts Institute of Technology. 2000, p.
21.
[9] M.Greenblat. Sharp estimates for oscillatory integral operators with
phase, Amer.J.Math. - 2005.- V.127. no. 3. p.659-695.
66

[10] M.Greenblatt. The asymptotic behavior of degenerate oscillatory
integrals in two dimensions, J.Funct.Anal. - 2009.- V.257. no. 6. p.1759-1798.
[11] M.Greenblatt. Oscillatory integral decay, sublevel set growth and the
Newton polyhedron, Math. Annalen - 2010.- V.346. no. 4. p.857-890.
[12] E.M.Stein. Maximal functions. Spherical means. Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 73(7):2174-2175, 1976.
[13] J.Bourgain. Averages in the plane convex curves and maximal
operators. J.Anal. Math. 1986. V. 47. P. 69-85.
[14] A.Greenleaf. Principal curvature and harmonic analysis. Indiana
Univ. Math. J. 30(4): 519-537, 1981.
[15] C.D.Sogge. Maximal operators associated to hypersurfaces with one
nonvanishing principal curvature. In Fourier analysis and partial differential
equations, Stud. Adv. Math., pages 317-323.CRC, Boca Raton, FL, 1995.
[16] C.D.Sogge and E.M.Stein. Averages of functions over hypersurfaces
in
R n
. Inventiones mathematicae 1985. V. 82. P. 543-556.
[17] A.Iosevich. Maximal operators, associated to families of flat curves
in the plane. Duke Math. J., 76(2): 633-644, 1994.
[18] A.Iosevich and E.Sawyer. Oscillatory integrals and maximal
averages over homogeneous surfaces. Duke Math. J., 82(1):103-141, 1996.
[19] A.Iosevich, E.Sawyer. Maximal Averages over surfaces//Adv. in
Math., 1997, 132. 1, 46-119.
[20] A.Iosevich, E.Sawyer, and A.Seeger. On averaging operators
associated with convex hypersurfaces of finite type. J. Anal. Math., 79: 159-187,
1999.
[21] I.A.Ikromov, M.Kempe, D.Müller. Damped oscillatory integrals and
boundedness of maximal operators associated to mixed homogeneous
hypersurfaces. Duke Math. J., 126(3): 471-490, 2005.
[22] I.A.Ikromov, M.Kempe, D.Müller. Estimates for maximal functions
associated to hypersurfaces in 3  and related problems of harmonic analysis.
Acta Math. 204 (2010), 151-271.
67

[23] И.А.Икромов. Демпфированные осцилляторные интегралы и
максимальные операторы. Математические заметки . Том 78, вып . 6, 2005.
стр . 833-852.
[24] Usmanov S.E. The Boundedness of Maximal Operators Associated
with Singular Surfaces. Russian Mathematics. 65, (6), 73–83 (2021).
[25] В . А . Зорич . Математический анализ . Часть II. МЦНМО , Москва ,
2002.
[26] В.А.Зорич. Математический анализ. Часть I. МЦНМО, Москва,
2002.
[27] П.К.Рашевский. Курс дифференциальнt геометрии. Москва,
1938.
[28] Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная
геометрия. Москва "Наука". 1979.
[29] А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа. Москва "Наука", 1981.
[30] Xasanov Gafurjan Aknazarovich , Xazratova Gulshoda Abdulatif
qizi , Abduraxmonova Maftuna Abdusalomovna . " Silliq funksiyalar uchun
muvofiqlashgan koordinatalar sistemasining mavjudligi ". Abdulla Qodiriy
nomidagi Jizzax Davlat Pedagogika Instituti “ Matematikani o ’ qitishning dolzarb
muammolari va yechimlari ” mavzusidagi respublika ilmiy onlayn anjumani
[31] Усманов С.Э., Кувондиков Б.Б., Хазратова Г.А. Максимальные
операторы, связанные с поверхностями. M атериалы международнt
конференции “Современные проблемы теории чисел и математического
анализа”, посвященнt 80-летию со дня рождения доктора физико-
математических наук, профессора Дододжона Исмоилова (Душанбе,
Таджикистан, 29-30 апреля 2022 г.)
[32] Усманов Салим Эшимович, Хазратова Гулшода Абдулатиф
кизи, Кувондиков Бобуржон Бахтиерович. Применение разрешения
особенностей к максимальным операторам. Международная научно-
практическая конференция. A ктуальные задачи математического
68

моделирования и информационных технологий. Hукусский филиал
Tашкентского Yниверситета информационных технологий имени
Mухаммада A л-Xоразмий нукус, 2-3 мая 2023 г.
69

IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING MAXSUSLIGINI YECHISH Mundarija Kirish……………………...……………………………………………………....3I BOB. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusligini yechish algoritmlari haqida…………………………………………………………………………….7 1.1-§. Nyuton ko’pyoqliklari va darajali almashtirishlar haqida tushunchalar………….7 1.2-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalar uchun maxsuslikni yechish algoritmlari….10 I bob bo’yicha xulosa….……………………………………………………...…20 II BOB. Darajali almashtirishlar yordamida ikki o’zgaruvchili funksiyalarning maxsusliklarini yechish………………………………………………………..21 2.1-§. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish…………………………………………………….…………21 2.2-§. Ba’zi ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish…………………………….…………………………………28 II Bob bo’yicha xulosa………………………………………….,……………...45 III Bob. Ikki o’zgaruvchili funksiyalarni maxsusliklarini yechish masalasining giper sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarga tadbiqlari………………..46 3.1-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlar….……………………46 3.2-§. Singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarni chegaralanganlik masalasiga ikki o’zgaruvchili funksiyalarning maxsusliklarini yechishning qo’llanilishi……………………………………………………………………..53 III Bob bo’yicha xulosa…………………………...……………………………72 XULOSA……………………………………………………………………………….…….73 0

ADABIYOTLAR………………………………………………………………………….…74 Kirish Dissertatsiya mavzusining asoslanishi va dolzarbligi. Nol nuqtada qiymati nolga teng bo’lgan ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning nol nuqtaning atrofida xarakterini o’rganish muammosi matematikaning muhim masalalaridan biridir. Bu masala algebra, geometriya, matematik analiz va xususiy hosilali differensial tenglamalarda tez-tez uchrab turadi. Bu masalaning yechimi shu fanlarning ayrim masalalarini yechishda keng qo’laniladi. Ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish muammosi dastlab S.S.Abhyankar, H.E.W.Jung, H.Hironaka [1]-[6] ishlarida o’rganilgan. Shuningdek, bu masala M.Greenblatt [7]-[11] ishlarida ham ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning Nyuton ko’pyoqliklari vositasida yechilgan va matematik analizning masalalariga tadbiq etilgan. Tebranuvchan integrallarning baholarini, gipersirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning chegaralanganlik masalalarini o’rganishda ham ushbu masala muhim ahamiyat kasb etadi. Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlar ko p olimlarningʼ ʼ ishlarida o rganilgan. Dastlab 1976 yilda E.M.Stein [13] markazi koordinatalar ʼ boshida bo’lgan sfera bilan bog langan maksimal operatorlarning hamma ʼ p > n + 1 n lar uchun LP(Rn+1)(n≥2) fazoda chegaralanganligini va barcha 1≤ p≤n+1 n lar uchun chegaralanmaganligini isbotlagan. Keyinchalik tekislikdagi hol uchun bu usul o tmaydigan holda E.M.Stein teoremasining analogi J. Burgen [13] ʼ tomonidan, sirt qat’iy qavariq holda A.Greenleaf [14] tomonidan isbotlandi. Bu natijalar Evklid fazosining gipersirtlari bilan bog langan turli xil maksimal ʼ operatorlarning chegaralanganlik masalasini o rganish uchun boshlang ich ʼ ʼ qadamlar bo ldi. Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning ʼ ʼ 1

chegaralanganligi haqidagi umumiy natija K.D.Sogge va I.M.Steynga tegishli [15]-[16]. Ular gipersirtning gauss egriligi cheksiz tartibli nollarga ega bo lmagan holda, S gipersirt bilan bog langan maksimal operatorlarningʼ ʼ chegaralanganlik ko rsatkichi deb ataluvchi shunday ʼ p(S) son topiladiki, p ning p > p ( S ) bo lgan qiymatlari uchun maksimal operatorlarning ʼ LP(Rn+1) fazoda chegaralanganligini isbotladilar. Ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish va uni maksimal operatorlarning chegaralanganlik masalasiga tadbiq etish А .Iosevich, I. А .Ikromov, M.Kempe, D.Myuller, M.Greenblatt va S.Usmanov [17]-[24] ishlarida o’rganilgan. Gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganligi ʼ garmonik analiz va matematik fizikaning ko pgina masalalarini yechishda ʼ nazariy asos sifatida xizmat qiladi. Shu sababli ko p o lchovli Evklid ʼ ʼ fazolaridagi gipersirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning jamlanuvchi ʼ funksiyalar fazosi L p da chegaralanganlik masalasini o rganishga oid ʼ tadqiqotlarni rivojlantirish muhim vazifalardan biri bo lib qolmoqda. ʼ Hozirgi kunda garmonik analiz masalalarini tadqiq qilish, xususan, ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechishga oid muammolarni hal etish muhim ahamiyatga ega. Jumladan, ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish matematik fizikaning ba zi masalalarining ʼ yechimlarini o rganishda muhim rol o ynaydi. Shuningdek, ba’zi parametrga ʼ ʼ bog’liq ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish masalasidan uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar bilan berilgan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning jamlanuvchi funksiyalar fazosi Lp da chegaralanganligini isbotlashda va maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko rsatkichini aniqlashda foydalanish juda ʼ muhim hisoblanadi. 2

Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalar, darajali almashtirishlar, uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan singulyar sirtlar va ular bilan bog’langan maksimal operatorlar. Ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechishni singulyar sirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganlikʼ ko’rsatkichini aniqlashda qo’llash. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari: ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning va ba’zi ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish. Bu masalaning yechimi yordamida uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko rsatkichini aniqlashdan iborat. ʼ Tadqiqotning ilmiy yangiligi quyidagilardan iborat : - darajali almashtirishlar yordamida ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik funksiyalarning maxsusliklari yechilgan; - darajali almashtirishlar yordamida ba’zi ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik funksiyalarning maxsusliklari yechilgan; -ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklari yechish yordamida uch o’lchovli Evklid fazosida parametrik tenglamalar orqali aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning Lp fazoda chegaralanganlgi isbotlangan; -maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko rsatkichi aniqlangan. ʼ Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari ba’zi ikki o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini darajali almashtirishlar yordamida yechish. Maxsuslikni yechish masalasini qo’llab R 3 da parametrik tenglamalar orqali 3

aniqlangan singulyar sirtlar bilan bog’langan maksimal operatorlarning chegaralanganlik masalasini yechishdan iborat. Tadqiqotda qo’llanilgan metodikaning tavsifi. Tadqiqot ishida darajali geometriya, analitik funksiyalar nazariyasi, differensial geometriya, matematik analiz va garmonik analiz usullaridan foydalanilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Ba’zi ikki o’zgaruvchili haqiqiy analitik funksiyalarning maxsusliklari yechilganligi va singulyar sirtlar bilan bog langan maksimal operatorlarning chegaralanganlik ʼ ko rsatkichi aniqlanganligidan iboratdir. ʼ Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharhi: Ko’p o’zgaruvchili analitik funksiyalarning maxsusliklarini yechish muammosi dastlab S.S.Abhyankar, H.E.W.Jung, H.Hironaka, T.C.Collins, A. Greenleaf and M. Pramanik [1]-[6] ishlarida o’rganilgan. Shuningdek, bu masala M.Greenblatt [7]-[11] ishlarida ham Nyuton ko’pyoqliklari va darajali almashtirishlar vositasida yechilgan va matematik analizning masalalariga tadbiq etilgan. Tadqiqot ishida M.Greenblatt [7]-[11], I. А .Ikromov [21]-[23], S.E. Usmanovlarning [24] turli ilmiy ishlari hamda maqolalaridan foydalanildi. K.D.Sogge [15]-[16] va E.M.Stein [12] larning ham maksimal operatorlarning chegaralanganlik ko’rsatkichi to’g’risida olgan natijalaridan foydalanilgan. Ish tuzilmasining tavfsifi. Dissertatsiya kirish qismi, uchta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan tashkil topgan. Dissertatsiyaning hajmi 78 ʼ betni tashkil etgan. Tadqiqot mavzusi bo yicha konferensiya materiallarida jami ʼ 3 ta tezis nashr etilgan. 4

O'xshashlar

IKKI O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI

ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar

Xesh-funksiyalarning umumiy oilasi

10-SINF MATEMATIK ANALIZ ASOSLARI MAZMUNI VA UNING ELEMENTLARINI O‘QITISH MATODIKASI

IKKI O’LCHAMLI OLMOS PANJARADAGI SHREDINGER