logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish

Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

13532.9765625 KB
Ko'chirib olish
Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitish da talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish 1 MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………………… 4 I- BOB “IKKINCHI TARTIBLI AYLANISH SIRTLARI VA ULARDAN TALAB QILINGAN QISMINI KESIB OLISH” MODULINI O’QITISH DA TALABALARNING AMALIY KO‘NIKMALARINI SHAKLLANTIRISH. 1. Asosiy ta’rif va tushunchalar . 5 2. Sirtlarni hosil qilish usullari. Kinematik sirtlar . 6 3. Sirt ustida yotuvchi nuqta va to’g’ri chiziqlar. Sirtning tashqi ko’rinishi. 7 II- BOB AYLANISH SIRTLARI. 4. Aylanish sirtlarining grafik berilishi va hosil qilinishi. 10 5 . Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari. 12 6. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari ustida masalalar yechish. 16 6.1. Konus kesimlari. Aylananing parallel proyeksiyasi . 18 III- BOB IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR, TEKIS KESIMLARINING MAXSUS HOLLAR . 22 7. Ikkinchi tartibli sirtlarning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesimlari. 22 7 . 1. Aylanish sirtlarning Arxitekturaviy shakllarni hosil qilishda qo’llanilishiga misollar 2 4 7 . 2 . “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish” 2 9 III- BOB EGRI CHIZIQLAR VA SIRTLAR. 3 5 8. Ba’zi egri sirtlar haqida ma’lumotlar, ularning epyurlarda berilishi va tasvirlanishi. 35 8.1 Yoyiladigan chiziqli sirtlar. 36 8 . 2. Yoyilmaydigan chiziqli sirtlar. 40 8 . 3 . Ikkinchi tartibli chiziqlimas sirtlar. 46 9 . Vint sirtlar va vintlar. 50 XULOSA VA TAVSIYALAR 63 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 6 7 2 K I R I SH Chizma geometriya muhandislik ta’limning asosini tashkil qiluvchi fanlarning tarkibiga kiradi. Fazoviy shakllarning tasvirlarini tekislikda yasash usullarini hamda shu shakllarning berilgan tasvirlari bo’yicha geometrik xarakterdagi masalalarni yechish usullarini asoslash va bayon qilish chizma geometriya fanini tashkil qiladi (Fazoviy shakllarni nafaqat tekis, balki qandaydir boshqa, masalan, silindrik yoki sferik sirtlarda ham tasvirlash mumkin. Bular chizma geometriyaning maxsus bo’limlarida o’rganiladi). Chizma geometriyada o’rganiladigan qoidalar bo’yicha yasalgan tasvirlar, buyumlarning shaklini va ularning fazoda o’zaro joylashuvini fikran tasovvur qilish, ularning o’lchamlarini aniqlash, tasvirlangan buyumga tegishli bo’lgan geometrik xossalarini tekshirish imkonini beradi. Chizma geometriya fazoviy tasovvurning kuchaytirilgan faoliyatini harakatga keltirib, uni rivojlantiradi. Bundan tashqari, chizma geometriya, texnik chizmalarni bajarish amaliyotiga ularning ifodaliligi va aniqligini, shuningdek, tasvirlangan buyumlarning amalga oshirilish imkoniyatini ta’minlab, o’zining qator xulosalarini chiqaradi. Chizma geometriyada bayon qilingan tasvirlarni yasash qoidalari proyeksiyalash metodi ga asoslangan (Bu so’zning asosida lotincha projectio – oldinga, uzoqga tashlash ( projicere – tashlash, oldinga qo’yish) so’zi yotadi). Proyeksiyalash metodini ko’rib chiqish nuqtaning proyeksiyasini yasashdan boshlanadi, chunki, har qanday fazoviy shaklning tasvirini yasashda, shu shaklga tegishli bo’lgan qator nuqtalar ko’rib chiqiladi. 3 I-BOB . “IKKINCHI TARTIBLI AYLANISH SIRTLARI VA ULARDAN TALAB QILINGAN QISMINI KESIB OLISH” MODULINI O’QITISHDA TALABALARNING AMALIY KO‘NIKMALARINI SHAKLLANTIRISH Egri sirtlar. Ularning hosil qilinishi va chizmada berilishi 1. Asosiy ta’rif va tushunchalar Quyida egri sirtlarning hosil kilinishi va chizmada berilishining o’ziga xos xususiyatlari ko’rib chiqiladi. Shunday sirtlar bo’lishi mumkinki, ularni duch kelgan nuqtalari va to’g’ri chiziqlarining qat’iy aniqlangan soni proyeksiyalari bilan berish mumkin emas. Shuning bilan birga, agar, hatto sirt o’zining nuqta va to’g’ri chiziqlarining chekli soni bilan aniqlansa ham, ushbu sirt ustida bajariladigan masalalarning murakkabligi tufayli, bunday berilish usuli yaroqsiz bo’lib qoladi. Shuning uchun egri sirtlarning berilishi uchun boshqa usullar qo’llaniladi. Sirtlar, shuningdek yana ham oddiyroq geometrik shakllar – nuqtalar, to’g’ri chiziqlar haqidagi dastlabki aniq tasavvurlarni, shu geometrik masalalarni formal ta’rifga olib keladigan kundalik tajribalardan hosil qilamiz. Chiziqni bir parametrli (bir o’lchamli) nuqtalar to’plami deb ta’riflaganimizdek, sirtga ham ta’rif berishimiz mumkin: sirt, bu ikki parametrli (ikki o’lchamli) uzluksiz nuqtalar to’plamidir . Dekart koordinalar sistemasidagi tekislikda nuqtaning holati ikkita parametrning – abssissalar va ordinatalarning berilishi bilan aniqlanadi. Sirt ustida yotgan ixtiyoriy nuqta ham ikkita parametr – u va v egri chiziqli koordinatalar bilan aniqlanadi. 1-rasm. 4 Yuqorida aytilganlardan, sirtni boshqacha ta’riflash imkoni tug’iladi: sirt, bu hosil bo’lishining yagona qonuniyati bo’lgan bir parametrli (bir o’lchamli) uzluksiz chiziqlar to’plamidir . Chiziqlarning turlari, ularning hosil bo’lish qonuniyati va fazoda joylashuviga qarab, turli sinfdagi sirtlar hosil qilamiz. Ba’zi sirtlarda kongruent chiziqlar to’plamini, boshqalarida esa faqat kongruyent bo’lmagan chiziqlarni ajratish mumkin. Masalan, tekislikni, o’ziga tegishli va o’ziga tegishli bo’lmagan chiziqlar dastasida yotuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami deb; aylanma silindr sirtni esa, to’g’ri chiziq yoki aylana yasovchilar to’plami deb qarash mumkin (1-rasm) va hokazo. Sirtni hosil qiluvchi nuqtalar yoki chiziqlar to’plamlari uning karkasi : birinchi holda nuqtali va ikkinchi holda chiziqli karkasi deyiladi. Agar sirtni hosil qiluvchi elementlari (nuqtalar, chiziqlar) to’plami uzluksiz bo’lsa, uzluksiz karkas deb, aks holda u diskret karkas deb ataladi. 2. Sirtlarni hosil qilish usullari. Kinematik sirtlar . Sirtlarni konstruksiyalashning turli xil usullari geometriyada, shuningdek, sirtlar muxandislik tadqiqotlarida mavzular bo’lib xizmat qiladigan texnikada keng qo’llaniladi. Bu usullar aksariyat hollarda alohida xususiyatga ega bo’ladi va muayyan sinfdagi amaliy masalalarni yechish uchun mo’ljallangan bo’ladi. Ulardan eng ko’p tarqalganlari: Muhandislik amaliyotida, sirtlarning kinematik hosil qilinish usuli kengroq qo’llaniladi. Bu usulda hosil qilingan sirtlar kinematik sirtlar deb nomlangan. Fazoda chiziqning ( yasovchining) aniq bir qonuniyat bo’yicha uzluksiz harakatidan hosil bo’lgan sirt kinematik sirt deb taladi. Ba’zi sirtlar o’zgarmas shakldagi chiziqning harakatidan hosil bo’ladi, boshqalari esa, yasovchisi fazoda holatini o’zgartirish bilan birga o’zining shaklini ham uzluksiz o’zgartirishi natijasida hosil bo’ladi (o’zgaruvchan yasovchili sirtlar) ( 2-rasm ) 1 . Bu hollarda sirt { l } yasovchilarning bir parametrli to’plami (oilasi) kabi ko’rib chiqiladi. Sirtni hosil qiluvchi egri chiziqni (yasovchini) fazoda harakatlanish qonuniyatini, shu yasovchi kesib o’tishi zarur bo’lgan ixtiyoriy qo’zg’almas egri chiziq (yo’naltiruvchi) orqali berish qulay bo’ladi. Yasovchining har bir nuqtasi o’zining harakati jarayonida qandaydir m chiziqni hosil qiladi, shuningdek, ularning to’plami bir parametrli { m } oilasini tashkil qiladi ( 2-rasm ). 1 Ba’zan, harakatlanuvchi yasovchi o’rnida chiziq emas, balki, o’zgaruvchi yoki o’zgarmas qiyofadagi sirtdan foydalaniladi. 5 Kinematik sirtning to’rsimon deb ataluvchi karkasi, ko’rsatilgan ikki chiziqlar oilasiga tegishli l 1 , l 2 , l 3 va m 1 , m 2 , m 3 egri chiziqlardan tashkil topgan. 2-rasm. Agar, yasovchining harakati uzluksizligini, demak sirtning o’zini ham uzluksizligini hisobga olsak, kinematik sirtlar nazariyasi uchun juda muhim xulosa qilishimiz mumkin. Sirtning har qanday M nuqtasidan sirt ustidagi { l i } va { m i } chiziqlar oilasiga tegishli bo’lgan ikkita l m va m m egri chiziqlar o’tkazish mumkin. Bu holda karkas uzluksiz deyiladi. Yasovchining ko’rinishiga qarab, sirtlar chiziqli (yasovchisi to’g’ri chiziq), siklik (yasovchisi – aylana) va boshqalarga, yasovchilarining harakati qonuniyatiga qarab esa aylanish, parallel siljish, vint va boshqa sirtlarga bo’linadi. Ravshanki, bunda ayrim sirtlarning bir vaqtning o’zida turli sinfdagi sirtlar turiga qo’shish mumkin. Masalan, silindr, ham aylanish, ham chiziqli sirtdir. Shuning uchun, turli tizimlashlarni ishlab chiqish murakkab muammolar keltirib chiqaradi. Bundan buyon materialni bayon qilishda biz, sirtlarni tizimlashning ularni loyihalash amaliyotida qabul qilingan tizimlash prinsipiga asoslanamiz. 3. Sirt ustida yotuvchi nuqta va to’g’ri chiziqlar. Sirtning tashqi ko’rinishi . Ifodalangan holatni oydinlashtirish uchun, ba’zi oddiy turdagi sirtlarning berilishi va hosil qilinish usullarini ko’rib chiqamiz. Masalan, tekislikninng aniqlovchisiga uning uchta nuqtasi - L[ A , B , C ] (2 bobga qarang) kiritilishi mumkin. 6 3-rasm. 4-rasm. 3-rasmda aynan shu yo’l bilan Θ ( i , l ) aylanma konus sirt berilgan va uning K , M , A , 1 nuqtalari qurilgan. Ω sfera proyeksiyalar tekisliklarida o’zining ye , s kontur chiziqlari orqali (4-rasm) berilgan. Sferaning aniqlovchisini, masalan, shunday berish mumkin: Ω ( i , c ) . Rasmda nuqtalari sfera karkasi aylanalariga insident bo’lgan, shu sirtning ustida yotuvchi ixtiyoriy ABCDEF chiziqning proyeksiyalarini yasash ko’rsatilgan : A  a ; B  b ; C  c ; D  a ; E  e ; F  m . Ko’rib o’tilgan sirtlarning aniqlovchilarini boshqacha berish ham mumkin, masalan, qiyofa parametrlari yordamida: Φ(R) aylanma silindrik sirt, Θ ( φ ) aylanma konus sirt, Ω ( r ) sfera (1-, 3-, 4-rasmlarga qarang) . Shunday qilib, yuqorida keltirilgan sirtlarning har biri bitta qiyofa parametri orqali beriladi. Sirt ko’rinishining konturi . Chizma geometriya va texnikaviy-muxandislik amaliyotida qo’llaniladigan chizmalarga qo’yiladigan asosiy talablar, chizmaning qayta tiklanishi va uning ko’rgazmaliligidir ( 1-bobga qarang ). Shu bilan birgalikda sirtning qayta tiklanadigan chizmada aniqlovchisi elementlarining proyeksiyalari bilan grafik berilishi, uning yetarli ko’rgazmaliligini ta’minlamaydi. Sirt chizmasini, uning proyeksiyalar tekisliklaridagi shakllari bilan to’ldirish zarur bo’ladi. Ixtiyoriy Φ sirtning V proyeksiyalar tekisligiga parallel yoki markaziy proyeksiyalashda ba’zi proyeksiyalovchi chiziqlar Φ sirtga urinadi va Θ proyeksiyalovchi sirtni hosil qiladi - parallel proyeksiyalashda silindrik (5-rasm) yoki markaziy proyeksiyalashda konus (6-rasm) sirtni hosil qiladi. Θ va F 7 sirtlarning tekis yoki fazoviy egri chiziq bo’lishi mumkin bo’lgan urinish l chizig’i kontur chiziq deb, uning V tekislikdagi l ′' proyeksiyasi esa berilgan F sirtning kontur chizig’i deb ataladi. Shunday qilib, sirtning V proyeksiyalar tekisligidagi sirt ko’rinishining konturi deb , l kontur chiziqning proyeksiyasi l '' chiziqqa aytiladi yoki boshqacha qilib aytganda, sirt nuqtalarining proyeksiyalari joylashgan haqiqiy sohani proyeksiyalar tekisligining qolgan qismidan ajratib turadigan chegaraga aytiladi (3-, 4- rasmlar) 2 . Sirtni kompleks chizmada tasvirlashda kontur chiziqning boshqa tekisliklardagi proyeksiyasi ko’rinadigan chiziq deb ataladi. Yuqorida kiritilgan tushunchalar sirt nuqtalarining chizmada ko’rinar - ko’rinmas shartlarini aniqlashda to’g’ridan to’g’ri ahamiyatga ega. S markazda kuzatuvchining ko’zi joylashgan deb faraz qilaylik (95-rasm) . 5-rasm. 6-rasm. Unda kontur chizig’i sirtni ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarga bo’ladi. Shuningdek, parallel proyeksiyalashda ham (94-rasm) shunday holat kuzatiladi. V proyeksiyalar tekisligida m  F egri chiziqning qaysi qismi ko’rinadigan bo’lishini aniqlaymiz (94-rasmga qarang) . l kontur chizig’i egri chiziq yoyini M = l ∩ m nuqtadan ikki qismga bo’ladi, ulardan biri M nuqtagacha qismi – F sirtning ko’rinar qismida yotadi, qolgan bo’lagi ko’rinmas qismida bo’ladi. Bu shuni anglatadiki, V tekislikdagi proyek-siyada m egri chiziqning M '' nuqtagacha qismi ( M nuqtaning proyeksiyasi) ko’rinadigan bo’ladi. Qolgan qismi ko’rinmas bo’ladi. II-BOB. AYLANISH SIRTLARI. 2 Hamma sirtlar ham chizmada kontur chizig’iga ega emas . Masalan, aylanma konus sirt ( 3- rasmga qarang ) nuqtalarining H tekislikdagi proyeksiyalari butun chizma sohasini qoplaydi. 8 Yuqorida, kinematik sirtlarni tizimlashni asos qilib, yasovchining turi va uning fazoda harakatlanish qonuniyati qabul qilinishi mumkin ekanligi ko’rsatilgan edi. Quyida yasovchilarining harakatlanish qonuniyatlari bilan farqlanadigan ayrim sirtlar i ko’rib chiqiladi. 4. Aylanish sirtlarining grafik berilishi va hosil qilinishi. Aylanish sirtlari texnikada kengroq tarqalgan. Bu, ko’plab texnikaviy qiyofalar sirtlari, stanoklarda kesuvchi asbob va buyumning bir-biriga nisbatan aylanma harakati evaziga ishlov berilishi bilan tushuntiriladi. Bunday sitrlarni konstruksiyalash jarayonida grafoanalitik usul qo’llaniladi. Sirt karkasi uzluksiz yoki fazoviy chiziqlar to’plamidan iborat bo’ladi. Ixtiyoriy chiziq – yasovchining, o’q deb ataluvchi qandaydir to’g’ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt aylanish sirti deb ataladi. Sirtni kompleks chizmada tasvirlash uchun, o’q proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar qilib olinadi . l yasovchida yotgan nuqtalarning o’q atrofida aylanishidan hosil bo’lgan aylanalar sirtning parallellari deyiladi. Agar sirtning o’qi vertikal to’g’ri chiziq bo’lsa, hamma parallellari H proyeksiyalar tekisligiga konsentrik aylanalar ko’rinishida, o’z kattaliklarini o’zgartirmasdan proyeksiyalanadi. V tekisligiga esa, i(i '' ) o’qning frontal proyeksiyasiga perpendikulyar bo’lgan kesmalar ko’rinishida proyeksiyalanadi ( 5- rasm ). 5-rasm . Sirtning o’qidan o’tuvchi tekisliklar bilan kesganda hosil bo’lgan egri chiziqlar meridianlar deb ataladi. 9 F sirt o’zining meridianidan o’tuvchi tekislikka nisbatan simmetrikdir, hamma meridianlari esa, raqobatlashuvchi (konkuriyent) va ularning har biri sirt o’qiga nisbatan yarim meridianlar deb ataluvchi ikkita simmetrik egri chiziqlarga bo’linadi. 5-rasmda q 0 ( q 0 ′ , q 0 ′′ ) yarim meridian yasovchi o’rnida qabul qilingan, biroq, har qanday yasovchi ham meridian bo’lavermaydi. Masalan, agar sirt o’zida yotuvchi ixtiyoriy fazoviy egri chiziqning aylanishidan hosil qilingan bo’lsa, unda bunday yasovchi meridian bo’la olmaydi. Agar i  H bo’lsa, unda bosh meridian deb ataluvchi q 0 || V meridian V ga haqiqiy kattalikda proyeksiyalanadi. Sirtning parallellari va meridianlari uning uzluksiz karkasini tashkil qiladi, shunday bo’lgach, sirtning har qanday nuqtasi orqali faqat bitta meridian va parallel o’tadi. Meridional egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga urinma t to’g’ri chiziq o’zining aylanishi natijasida F sirtning o’qida yotuvchi S uchga ega konus sirtni hosil qiladi. Aylanish o’qiga parallel urinmalar t E || t Γ || i o’tgan nuqtalardagi m E va m Γ parallellar, ya’ni, eng katta va eng kichik parallellar sirtning ekvatori va buyni deb ataladi. Bu aylanalar H ga sirt qiyofasini chegaralab turuvchi aylanalar ko’rinishida proyeksiyalanadi. Meridianni i o’q atrofida aylantirishda t 0 va t r urinma to’g’ri chiziqlar, sirtga tashqi va ichki uringan silindrlarni hosil qiladi. Gorizontal proyeksiyada sirtni yuqoridan va pastdan chegaralab turuvchi aylanalar ko’rinadi. Bu fikrlar, aylanish sirtlarining yasovchisi va o’qi proyeksiyalaridan tashkil topgan Φ ( i , q ) aniqlovchisining grafik berilish mezoni bilan chambarchas bog’lik. Qo’yidagi pozision masalaning yechish algoritmini keltiramiz. Φ ( i , q 0 ) aylanish sirti berilgan: M ( M ′′ )  Φ . M ′ ni yasaymiz . M ( M ′′ )  Φ  M ′′  m ′′  z ′′ , m ( m ′′ ) ,∩ q 0 ′′ = M 0 ′′ , M 0 ′′  q 0 , m ′ M 0 ′ , M ′  m ′ . Keltirilgan algoritmni har qanday turdagi aylanish sirti uchun qo’llaymiz. Shuningdek, yuqoridagi algoritm asosida hosil bo’ladigan aylanish sirtlarga tor sirti ham misol bo’la oladi. Bu sirt aylananing shu aylana tekisligida yotuvchi, lekin uning markazidan o’tmaydigan o’q atrofidan aylanishidan hosil bo’ladi ( 6- rasm ). Yasovchi aylana radiusining qiymati va aylana markazidan R radiusli aylana o’qigacha bo’lgan masofalar nisbatlariga qarab, uch xil turdagi sirt hosil bo’lishi mumkin : 10 6-rasm. 1 . r < R - aylana o’qni kesib o’tmaydi. Hosil bo’lgan sirt halqa deb ataladi. 2. r = R - aylana o’qga uringan – yopiq tor. 3. r > R - aylana o’qni kesib o’tadi – yopiq tor. Ixtiyoriy to’g’ri chiziq torni to’rtta nuqtalarda kesib o’tadi, demak, bu sirt to’rtinchi tartiblidir. 5. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari. Aylanish sirtining hosil qilingan umumiy ko’rinishdagi tenglamasini ikkinchi tartibli aylanish sirtlarining tenglamasini keltirib chiqarishda qo’llanilishi mumkin. Ikkinchi tartibli sirtlarni hosil qilish va tadqiq qilinishiga to’g’ridan to’g’ri munosabatga ega bo’lgan teoremaning ta’rifini oldindan tuzamiz. Teorema. l to’g’ri chiziqni o’q atrofida aylantirishdan ikkinchi tartibli F 2 aylanish sirti hosil bo’ladi. Isbot . Ixtiyoriy G  i tekislikni olamiz ( 7 -rasm ). Bu tekislik, l to’g’ri chiziqni i o’qi atrofida aylanishda markazi 0 nuqtada bo’lgan R parallelni hosil qiluvchi L = l ∩ G nuqtada kesadi, bu yerda 0 = i ∩ G . Ma’lumki, algebraik sirtning tartibi uning tekis egri chizig’i tartibi bilan aniqlanadi. Ko’rilayotgan misoldagi tekis egri chiziq o’rnida ikkinchi tartibli egri chiziq (parallel) bo’lgani uchun, hosil qilingan sirtning tartibi ikkiga teng bo’ladi. 11 Teorema. Ikkinchi tartibli l egri chiziqni, shu egri chiziqning Λ simmetriya tekisligida yotuvchi i o’qi atrofida aylantirilishidan ikkinchi tartibli F 2 aylanish sirti hosil bo’ladi. 7 -rasm. 8-rasm. Isbot. Ixtiyoriy G  i tekislikni olamiz ( 1 0 -rasm ). Bu tekislik l yasovchini Λ va G tekisliklarning kesishuv chizig’i OM to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’lgan ikkita L, L 1 nuqtalarda kesadi, chunki, Λ tekislik l egri chiziq tekisligiga perpendikulyar va uning m o’qidan o’tadi. Shuning uchun L va L 1 nuqtalar l yasovchini i o’q atrofida aylanishida bitta va faqat bitta, markazi O = i ∩ G nuqtada bo’lgan aylana (parallel) ni hosil qiladi. Shunday qilib, aylanish o’qiga perpendikulyar bo’lgan har qanday tekislik F 2 sirtni ikkinchi tartibli egri chiziq (parallellar ) bo’ylab kesadi. Bundan, F sirt ikkinchi tartibli aylanish sirti ekani kelib chiqadi. Xulosa . Ikkinchi tartibli egri chiziq o’z o’qi atrofida aylanishidan ikkinchi tartibli aylanish sirtini hosil qiladi. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlarini tadqiq qilishni tugallar ekanmiz, bir pallali giperboloidning xususiy xollari bo’lgan silindr va konuslar ham ikkita yasovchi to’g’ri chiziqlar oilasiga ega, lekin, ular ustma-ust tushgan to’g’ri chiziq yasovchilardir. Chiziqli aylanish sirtlari texnikada keng qo’llaniladi. Masalan, bir pallali giperboloidning ikkita yasovchi to’g’ri chiziqlar seriyalari borligi qurilish texnikasida qo’llaniladi. Bunday foydalanish birinchi bo’lib, rus injeneri V.G. Shuxov (1853 – 1939) tomonidan taklif qilingan. V.G. Shuxov tayanch va bashnyalar, radiomachtalar konstruksiyalarida metall karkaslarni bir pallali aylanish giperboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari bo’ylab joylashtirish evaziga amalga oshirgan. 1-jadval . Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari. 12 № Sirtning nomi Sirtning chizmasi va yaqqol tasviri 1. Aylanish ellipsoidi. 2. Silindrik aylanish sirti 3. Konus aylanish sirti 13 4. Bir pallali aylanish gipirboloidi 5. Ikki pallali aylanish giperboloidi 6. Aylanish paraboloidi 14 6. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari ustida masalalar yechish. Sirtlarning tekislik bilan kesishuv chiziqlarini yasash. Sirtlarni yoki ixtiyoriy geoyetrik shakllarni tekislik bilan kesganda, kesim deb ataluvchi tekis shakl hosil bo’ladi. Sirtlarning tekislik bilan kesimi, umumiy holda, kesuvchi tekslikka tegishli bo’lgan tekis egri chiziqni tashkil qiladi. Kesishuv chiziqlarning proyeksiyalarini aniqlashni odatda, ularning tayanch nuqtalari – sirtning qiyofasini belgilab turuvchi eng chetki yasavchilarda yotuvchi nuqtalarini(egri chiziqlar proyeksiyalarining ko’rinar-ko’rinmaslik chegarasini belgilavchi nuqtalar) va proyeksiyalar tekisliklaridan ekstrimal masofalarga uzoqlashib turuvchi(min va max) nuqtalarini yasashdan boshlanadi. Shundan keyin, kesimdagi egri chiziqning qolgan ixtiyoriy nuqtalari topiladi. Agar har qanday ixtiyoriy nuqtalarni qandaydir bir amal va faqat aynan shu amal yordamida qurilsa, tayanch nuqtalarni yasashda esa, qoida bo’yicha turli usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Aylanish sirtlarining tekislik bilan kesishuv chizig’ini yasash. Φ – aylanish sirti, P esa, tekislik bo’lsin, unda Φ ga, shuningdek, P ga tegishli bo’lgan umumiy L i nuqtalarni topish uchun, yordamchi kesuvchi S i V sirtlar qilib, aylanish sirtining o’qiga perpendiikulyar bo’lgan tekisliklarni olish maqsadga muvofiq bo’ladi. Bunday holda, S i V tekisliklar Φ sirtni aylana bo’yicha, P tekislikni esa, to’g’ri chiziq bo’yicha kesadi. Kesishuv chiziiqqa tegishli bo’lgan L i nuqtalarni topish, to’g’ri chiziqning aylana bilan kesishuv nuqtalarini topish masalasiga keltiriladi. Misol. Φ sfera sirtining umumiy vaziyatdagi P tekislik bilan kesishuv chizig’i topilsin ( 9-rasm ). Yechish. Sfera sirtining tekislik bilan kesishuv chizig’i aylana bo’ladi. Agar, berilgan kesuvchi tekislik umumiy vaziyatda bo’lsa, kesishuv chiziqdagi aylana proyeksiyalar tekisliklariga ellips ko’rinishida proyeksiyalanadi. Yasashlarni tayanch nuqtalarni topishdan boshlaym i z. Kesishuv egri chiziqning quyi A va yo’qori B nuqtalarini topamiz. Buning uchun, sferaning makazi O orqali yordamchi kesuvchi S 1  P H tekislikni o’tkazamiz. A va B nuqtalar S 1 va P tekisliklarning kesishuv chizig’iga tegishlidir. A va B nuqtalar (1, 2) = S 1 ∩ P to’g’ri chiziqning Φ sirt bilan kesishuvi natijasidan topiladi. A , B = (1, 2) ∩ Φ. Ularni topish uchun, proyeksiyalar tekisliklarini almashtirishdan foydalanaiz. xV H sistemadan x1 V1 H ga o’tamiz. x 1 o’qni P H ga perpendikulyar qilib o’tkazamiz. P tekislik V 1 ga nisbatan perpendikulyar holatni egallaydi, shuning uchun, frontal 15 P 1 H iz, sferaning yangi Φ 1 qiyofa chizig’ini kesib, hosil qilgan A  va B  nuqtalar izlangan nuqtalar bo’ladi. 9 -rasm. Teskari yasashlar yordamida izlanayotgan nuqtalarning gorizontal (A  , B  ) va frontal (A  , B  ) proyeksiyalarini topamiz. [A  B  ] to’g’ri chiziq, elleps gorizontal proyeksiyasining kichik o’qi(diametri) bo’ladi. Shu ellepsning katta o’qi [D  E  ] ni aniqlash uchun, sferaning yordamchi proyeksiyadagi O  1 makazidan [A  1 B  1 ] kesmaga perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazish kifoya. Perpendikulyarning [A  1 B  1 ] bilan kesishib hosil qilgan C(C  1 ) nuqtasi, ellipsning tutashgan (katta) diametri DE o’tadigan markazi bo’ladi. [DE] kesma P tekislikning gorizontaliga tegishlidir. D va E nuqtalarni topish uchun, yordamchi kesuvchi S 2 C tekislikni o’tkazamiz. Bu tekislik sfera sirtini H tekisligiga o’zgarishsiz proyeksiyalanuvchi, radiusi C 1  3 1  ga teng va C ΄ markazdan chiziladigan 3,4 aylana bo’ylab kesadi. Bu aylananing gorizontalning goizontal proyeksiyasi h  C  bilan kesishuv nuqtalari D  va C  nuqtalarning gorizontal proyeksiyalarini belgilaydi. Ellipsning frontal proyekiyasi uchun ko’rinar-ko’rinmasligini belgilavchi F va G nuqtalarni topish uchun, V ga parallel (S 3 O  ) tekislikdan foydalanamiz. Bu tekislik sferani, uning frontal proyeksiyasidagi qiyofa chizig’iga teng aylana bo’ylab, P tekislikni esa, uning 16 frontali bo’ylab kesadi. P tekislikning frontali bilan sfera qiyofa chizig’ining frontal proyeksiyasining kesishuv nuqtalari F va G  nuqtalarning o’rnini belgilaydi. Kesim chizig’i gorizontal proyeksiyasining ko’rinar-ko’rinmasligini belgilavchi M va N nuqtalarni topish uchun, H ga parallel S 4 O  tekislikni o’tkazamiz. Bu tekislik P tekislikni, uning gorizontali bo’ylab, sferani esa, uning gorizontal proyeksiyasidagi qiyofa chizig’iga teng aylana bo’ylab kesadi. Bu aylana bilan P tekislik gorizontalining kesishuv nuqtalari izlanayotgan M  va N  nuqtalarning o’rnini belgilaydi. Kesim chizig’iga tegishli qolgan ixtiyoriy L i nuqtalarni topish uchun, yordamchi tekisliklar sifatida, qoida bo’yicha, sath tekisliklaridan (gorizontal va frontal) foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi. 6.1. Konus kesimlari. Aylananing parallel proyeksiyasi . Ikkinchi tartibli egri chiziqlar konus kesimlari deb ataladi, chunki ular aylanma konus sirtini ixtiyoriy tekislik bilan kesganda hosil bo’ladi. Bunday chiziqlarga quyidagilar kiradi: ellips, parabola, giperbola, aylana, qo’shaloq to’g’ri chiziq, o’zaro kesishgan ikkita to’g’ri chiziqlar va nihoyat, nuqta. Agar kesuvchi F tekislik konus sirtining hamma yasovchisini kesib o’tsa, o’ziga tegishli emas nuqtalariga ega bo’lmagan ikkinchi tartibli egri chiziq, ya’ni ellips hosil bo’ladi ( 1 0 -rasm ). Agar F tekislik konus sirtining bitta yasovchisiga parallel bo’lsa, unda tekislik bu yasovchini o’ziga tegishli bo’lmagan nuqtada, qolgan yasovchilarni o’ziga tegishli bo’lgan nuqtalarda kesadi. 17 10-rasm. Demak, kesimda bitta o’ziga tegishli bo’lmagan nuqtaga ega bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq – parabola hosil bo’ladi ( 11-rasm ). Agar F tekislik konus sirtning ikkita yasovchisiga parallel bo’lsa, kesimda ikkita o’ziga tegishli bo’lmagan haqiqiy nuqtalari bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq – giperbola hosil bo’ladi ( 14-rasm ). Ravshanki, agar F tekislik konus sirtning i o’qiga perpendikulyar bo’lsa, kesimda aylana hosil bo’ladi ( 10-rasmga qarang ). Shuning uchun, aylana markaziy proyeksiyasining ko’rinishi, proyeksiyalar tekisligini tanlashga bog’lik holda, har qanday ikkinchi tartibli egri chiziq bo’lishi mumkin(proyeksiyalash markazi – konus sirtining uchi). 11-rasm. Agar kesuvchi tekislik konus sirtning uchidan o’tsa, unda ikkinchi tartibli egri chiziq yoki mavhum, yoki ustma - ust tushgan, yoki boshqa - boshqa haqiqiy ikkita to’g’ri chiziqlarga ajraladi. Agar tekislik konus sirt bilan aniqlanuvchi va unga oid burchakni kesib o’tsa, bu to’g’ri chiziqlar haqiqiy boshqa-boshqa to’g’ri chiziqlar bo’ladi (12-rasmga qarang) . Agar tekislik konus sirtga urinma bo’lsa, to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi ( 11-rasmga qarang ), agar kesuvchi tekislik konus sirtga oid burchakdan tashqari bo’lsa, to’g’ri chiziqlar mavhum bo’ladi. Yo’qorida ko’rib o’tilgan misollarda, konus sirtini kesuvchi tekisliklar xususiy vaziyatda olingan edi. Agar, kesuvchi tekislik umumiy vaziyatda bo’lsa, uni kopleks chizmani(epyuni) qayta tuzish yo’li bilan xususiy vaziyatga keltirib olish kerak bo’ladi. Yechimni boshqacha varyantda ham hal qilish mumkin, ya’ni, 18 to’g’ri chiziqning tekislik bilan uchrashuv nuqtasini topish masalasini bir necha marta takrorlash yo’li bilan. Buning uchun, konus sirtining bir nechta yasavchilari o’tkaziladi va bu to’g’ri chiziqlarning tekislik bilan uchrashuv nuqtalari topiladi. Sh undan so’ng, topilgan nuqtalar silliq qilib tutashtiriladi. 1 2 -rasm. Misol. Φ konus sirtining P tekislik bilan kesishuv chizig’i qurilsin ( 1 3 -rasm ) . Yechish. Kesim chizig’i proyeksiyalarini yasash uchun, uning xarakterli nuqtalarini topamiz. Konus sirtining o’qidan o’tuvchi va V proyeksiyalar tekisligiga parallel K tekisligini o’tkazamiz. Bu tekislik P tekislikni uning m(m ′ ,m ′′ ) frontali bo’yicha kesadi, konus sitni esa, uning frontal proyeksiyasidagi eng chetki yasavchilari bo’ylab kesadi. M frontal bilan konus yaavchilarining A va B uchrashuv nuqtalari izlanayotgan kesishuv chiziqqa tegishli nuqtalar bo’ladi. A va B nuqtalar chegara nuqtalari hisoblanadi. Ularning A ′′ va B ′′ frontal proyeksiyalari kesishuv chiziq– ellipsning frontal poyeksiyasini ko’rinar va kurinmas qismlarga ajratadi. So’nga, kesimning eng quyi C va D nuqtalarini topamiz. Buning uchun, P tekislikning gorizontal izi P H ga perpendikulyar va konuning o’qidan o’tadigan qilib, T tekislikni o’tkazamiz. T tekislik P tekislikni 12(1 ′ 2 ′ ,1 ′′ ,2 ′′ ) to’g’ri chiziq, konus sirtni esa, S5, S6 yasavchilari bo’ylab kesadi. 12 to’g’ri chiziq bilan S5, S6 yasavchilar o’zaro kesishib, izlanayotgan kesishuv chiziqqa tegishli bo’lgan hamda ellipsning katta o’qining uchlarini belgilavchi C va D nuqtalarni hosil qiladi. Qolgan oraliq 19 nuqtalar, konus sirtni H ga parallel kesuvchi tekisliklar o’tkazish yo’li bilan topilganligi chizmadan ko’rinib turibdi. 13-rasm. Agar konus sirtning uchini o’ziga tegishli bo’lmagan (cheksizda) deb qarasak, silindrik sirt hosil bo’ladi. Bu holda, agar kesuvchi tekislikni silindrik sirtning yasovchilariga parallel qilib olsak, unda u uning o’ziga tegishli bo’lmagan nuqtasidan o’tishini bildiradi. Demak, silindrik sirt bunday tekislik bilan ikki(parallel!) to’g’ri chiziq bo’ylab kesishadi. Bunda ular boshqa-boshqa haqiqiy, ustma-ust tushgan va mavhum bo’lishi mumkin. Shuning uchun aylanma silindrik sirt kesimida ajralib ketmagan ikkinchi tartibli egri chiziqlardan, faqat aylana va ellips hosil qilishimiz mumkin. 20 III-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR, TEKIS KESIMLARINING MAXSUS HOLLARI 7. Ikkinchi tartibli sirtlarning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesimlari 14-rasm Ikkinchi tartibli sirtlarning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesimlari, dastlabki yasovchi egri chiziqni yoki sirt konturini qaytalagandagi, yohud o’xshash egri chiziqlar ko’rinishida bo’lgandagi, kesim chiziqning xossalari ma’lum darajadagi qiziqishni yuzaga keltiradi. Buni, nuqtaning yetishmagan proyeksiyalarini yasash uchun yoki kombinasiyalangan sirtlarning kesishuv chiziqlarini yasash, ularni konstruksiyalash uchun qo’llash maqsadga muvofiqdir. Bu yerda kesishuv chiziq, hech qanday qo’shimcha yasashlarsiz, eng oddiy holda aniqlanadi. Silindrik sirtlarning yasovchilariga parallel tekislik bilan kesishuv chizig’i to’g’ri chiziqlar bo’ladi (14-rasm, a ). Konus sirtining uchidan o’tadigan tekislik bilan kesishuv chizig’i ham to’g’ri chiziqlar bo’ladi ( 14-rasm , b ). Ushbu ikkita holda, tekislik va sirtning bir nomli izlarining kesishuv nuqtalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir (ya’ni, aynan bitta proyeksiyalar tekisligida). Paraboloidning gorizontal tekisliklar bilan kesimlari o’xshash ellipslar bo’ladi, frontal va profil tekisliklar bilan kesimlari esa, qamrab turuvchi parabolaning shaklini qaytaradi ( 17 -rasmga qarang). Bir kovakli giperboloidning tekislik bilan kesimi ikkinchi tartibli egri chiziqlarning hamma turlarini va kesuvchi tekislikning vaziyatiga qarab, ularning o’zgargan chiziqlarini beradi ( 15 -rasm): hamma yasovchilarni kesib o’tadigan frontal proyeksiyalovchi tekislik, ellipsni beradi ( 15 -rasm, a ); asimptotik konusning yasovchilariga parallel bo’lgan frontal proyeksiyalovchi Q tekislik bilan kesimi, parabolani beradi ( 15 -rasm, b ); 21 bo’yin ellipsiga urinma bo’lgan gorizontal proyeksiyalovchi tekislik bilan kesimi ( 15 -rasm, i ) kabi, frontal proyeksiyalovchi R tekislik ham, ikkita o’zaro kesishuvchi to’g’ri chiziqlarni beradi ( 15 -rasm, c ); 15 -rasm. asimptotik konusga urinma bo’lgan frontal proyeksiyalovchi S tekislik bilan kesimi, ikkita o’zaro parallel to’g’ri chiziqlarni beradi ( 15 -rasm, d ); 22 o’rta va eng chetki ellipslar (yo’naltiruvchilar) orasida joylashgan gorizontal proyeksiyalovchi tekislikning kesimi, o’q orqali o’tuvchi tekisliklar bilan kesimi kabi, giperbolani beradi ( 15 -rasm, e ). Agar markazi sirtning markazi bilan ustma-ust tushgan va diametri fasaddagi qamrov chizig’i – giperbolaning o’qiga teng sferani olsak, unda u sirtni ikkita aylanalar bo’yicha kesadi ( 15 -rasm, f ). Giperbolik paraboloidning (qiyshiq tekislik) hosil qilinishi va kesimi ham, katta qiziqishni keltirib chiqaradi. Uning giperbolik asosi keyingi vaqtda fazoviy arxitekturaviy shakllarni hosil qilish uchun keng ko’lamda qo’llanilishiga olib keldi ( 16 -rasm). 16 -rasmda yo’naltiruvchilari ayqash AB va ED to’g’ri chiziqlar va P H parallelizm tekisligi ( P H – gorizontal iz) bo’lgan sirtning ortogonal proyesiyalari va aksonometriyasi (to’g’ri burchakli dimetriyasi) berilgan. Har ikkala yasovchilar oilasi, qamrov va kesim chizig’i ko’rsatilgan. Sirtning bitta rejasida ikkita fasadi, turli «ko’tarilish» kattaligi bilan berilgan. Aksonometriyada sirtning, «qiyshiq tekislikni» ko’rgazmali tasovvur hosil qiladigan alohida qirqib olingan qismi ko’rsatilgan. 7.1. Aylanish sirtlarning Arxitekturaviy shakllarni hosil qilishda qo’llanilishiga misollar 16 – 25-rasmlarda silindrik, konus va sferik sirtlar asosida gumbazlarni konstruksiyalashga misollar keltirilgan. 16 -rasmda, ikkita silindrlarning o’zaro kesishuvidan, xoj (krest) shaklidagi gumbazning (to’g’ri yoki qiyshiq) hosil bo’lishi ko’rsatilgan. Xoj shaklidagi gumbaz uzoq vaqtlar o’zining konstruktiv jihatdan tutgan o’rni tufayli keng qo’llanishga ega bo’ldi: o’rtaliq tirgaklarning yo’qligi va yopiladigan maydondagi bosimni to’rtta tirgakka uzatish imkoniyati. 16 -rasm. 17 -rasm. 23 18 -rasm. 19 -rasm. 20 -rasm. 21 -rasm. 22 -rasm. 18 -rasmda zichlashgan (yoki «monastirga oid») deb ataluvchi gumbaz, 19 - rasmda esa, – o’sha zichlangan gumbaz «kesib olingan» burchaklari bilan ko’rsatilgan. Xoj shaklidagi gumbazdagi kabi, bunday gumbazda ham, bosim to’rtta tayanchga uzatiladi. Silindrik va konus sirtlar asosida kombinatsiyalangan gumbazlar 20, 21 va 22-rasmlarda ko’rsatilgan. Kombinasiyalangan shaklni konstruksiyalash prinsipi, dastlabki sirtlarning qo’shni qismlarini bir-biriga ulanish joylaridagi chiziqlarning bir xil shakllarini hosil qilishdan iborat. 23-rasm. 23-rasmda aylanma ellipsodning sakkizta qismlaridan («ponalardan») konstruksiyalangan qoplama ko’rsatilgan. Bunda ellipsoidning katta o’qi gorizontal holatda joylashgan. Bitta qismi (pona) tekisliklar bilan 24 quyidagicha kesib hosil qilingan: oralaridagi burchak 45° bo’lgan ikkita vertikal R va Q tekisliklar h amda bitta frontal proyeksiyalovchi T tekislik bilan . Dastlab bitta qismni (rejasi, fasadi va yon ko’rinishi), so’ngra esa, qoplamaning hamma sirti yasalgan. 24 -rasmda, aylanma ellipsoiddan kesib olingan oltita qismdan iborat sirt tasvirlangan. (suv zaxirasiga mo’ljallangan minora). 24 -rasm. 25 -rasm. 25 26 -rasm. 27 -rasm. 26 Katta o‘qi gorizontal vaziyatda bo‘lgan aylanma ellipsoiddan kesib olingan oltita qismdan iborat sirt, 25 -rasmda tasvirlangan. 26 -rasmdagi sirt, aylanma sirtdan kesib olingan oltita qism (pona) dan iborat. 27 -rasmdagi sirt, yasovchisi parabola, yo‘naltiruvchisi esa, ellips bo‘lgan ko‘chma sirtdan kesib olingan oltita qismlardan (ponalardan) konstruksiyalangan. Misol: To‘g‘ri doiraviy silindr hamda vertikal tekisliklar bo‘laklari yordamida ko‘rinishi gumbaz shaklini eslatuvchi ajoyib qoplama hosil qilish mumkin (28-rasm). Buning uchun, silindrning o‘qidan o‘tuvchi tekislikka perpendikulyar va uning yasavchilari tekisligiga nisbatan ma’lum burchakda bo‘lgan bir necha tekisliklar bilan kesib, zarur bo‘lgan bo‘laklar hosil qilinadi (29-rasm). Ushbu holda yasovchilari V proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar bo’lgan R radiusli to’g’ri doiraviy silindr olingan. Undan 28- rasmda tasvirlangan gumbaz shaklidagi qoplamaning quyi yarusidagi bir bo’lagini ajratib olish talab etilsin. 29-rasmda ko’rsatilgandek, Ox o’qiga nisbatan 45º va  burchak hosil qiluvchi AC va BC tekisliklarni o’tkazib, bu tekisliklarning olingan silindr bilan kesishuv chizig’ini aniqlasak, qoplamaning birinchi yarusidagi silindr bo’laklaridan biriga ega bo’lamiz. 28-rasm. 27 29-rasm. 7.2. “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish” . mоduli bo’yicha mustaqil ta’lim mavzulari va ularni bajarish yuzasidan mеtоdik ko’rsatmalar. 28 29 30 “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish” mоdulidan taqdimоt. 31 32 33 III-BOB. EGRI CHIZIQLAR VA SIRTLAR. 8. Ba’zi egri sirtlar haqida ma’lumotlar, ularning epyurlarda berilishi va tasvirlanishi Sirtni epyurda berilishi degani, ushbu sirtning har bir nuqtasini yasash imkonini beruvchi shartlarning ko’rsatilishidir. Sirtning berilishi uchun, epyurda yo’naltiruvchi chiziqning proyeksiyasiga ega bo’lish va yo’naltiruvchining ixtiyoriy nuqtasidan o’tuvchi yasovchi chiziqning qanday ysalishi ko’rsatilgan bo’lishi yetarlidir (Yo’naltiruvchi chiziq o’rnida, ko’pincha, berilgan sirtning H tekislik bilan kesishuv chizig’i orqali beriladi). Ammo, agar epyurga yanada ko’proq ko’rimlilik (yaqqollik) va ifodalilik berish istalsa, unda bular bilan chegaralanib qolmay, yana sirtning qamrov chizig’i, yasovchining bir nechta holatlari, sirt ustidagi ko’proq diqqatga molik nuqtalar va chiziqlar va h.k. lar chizib ko’rsatiladi. 34 8.1. Yoyiladigan chiziqli sirtlar. 1) Silindrik va konussimon sirtlar hamda torslar. Silindrik sirt , o’zining hamma holatlarida, qandaydir to’g’ri chiziqga parallelligini saqlaydigan va qandaydir yo’naltiruvchi egri chiziqning ketma-ket hamma nuqtalari orqali o’tadigan, to’g’ri chiziq bilan hosil qilinadi (378-rasm, chapdagisiga qarang). Konussimon sirt , qandaydir qo’zg’almas nuqta orqali o’tuvchi va qandaydir yo’naltiruvchi egri chiziqning ketma-ket hamma nuqtalari orqali o’tadigan, to’g’ri chiziq bilan hosil qilinadi (380-rasm). Qo’zg’almas S nuqta konussimon sirtning uchi deyiladi. Agar S nuqtani cheksiz uzoqlikga olib ketilsa, unda konussimon sirt silindrik sirtga aylanadi. 35 Tors yoki boshqacha , qaytish qirrali sirt deb ataluvchi sirt , o ’ zining hamma holatlarida qandaydir fazoviy egri chiziqga urinib o ’ tadigan , to ’ g ’ ri chiziqli yasovchining uzluksiz harakatidan hosil bo ’ ladi . Tors ( fransuzcha ) – buralgan , eshilgan . Ushbu fazoviy egri chiziq , sirt uchun yo ’ naltiruvchi hisoblanadi ; u , sirtning qaytish qirrasi deyiladi . Bunday sirt 381-rasmda tasvirlangan; uning A 1 A 1 , A 2 A 2 va h. k. yasovchilari – fazoviy MN egri chiziqga urinmadir. Qaytish qirrasi sirtni ikki qismga bo’lib turadi. Agar, qaytish qirrasi nuqtaga aylansa, unda konus sirt hosil bo’ladi (380- rasmga qarang). Silindrik va konus sirtlarni batafsilroq ko’rib chiqamiz. Ular proyeksiyalar tekisligini kesib o’tishi mumkin; ushbu holda, hosil bo’ladigan chiziq, berilgan sirtning shu proyeksiyalar tekisligidagi izi deyiladi. 382-rasmda, yo’naltiruvchisi A 1 B 1 C 1 egri chiziq va yasovchi uchun ST yo’nalishi bilan berilgan silindrik sirt, shuningdek, K 1 M 1 N 1 yo’naltiruvchisi va S uchi bilan berilgan konus sirt ko’rsatilgan. Har ikkala holda, sirtlarning izlari H tekislikda yasalgan, ya’ni, ushbu sirtlar yasovchilarining gorizontal izlari orqali o’tuvchi chiziqlar – ( A′B′C′ , A″B″C ″ ) va ( K′M′N′ , K″M″N″ ) egri chiziqlardir. Silindrik sirt, uning H tekislikdagi izi va yasovchisining yo’nalishi bilan, konus sirt esa, H tekislikdagi izi va uning uchi bilan berilishi mumkin. Izdagi biror nuqtani tanlab olib, sirtning tegishli yasovchisini yasash mumkin. Silindrik yoki konus sirtining qamrov chizig’ini yasash uchun, quyidagi mulohazalarga amal qilinadi: har bir proyeksiyalar tekisligida, sirtning proyeksiyasi joylashadigan sohani o’z ichiga oladigan “chegara yasovchilarni” belgilab olinadi. Masalan, 383-rasmdagi silindrik sirtning izida, chegaralovchi yasovchilar o’tadigan nuqtalar A , B , C va D harflar bilan: A va B nuqtalar, frontal proyeksiya uchun, C va D nuqtalar esa, gorizontal proyeksiya uchun belgilangan. Ushbu nuqtalar bilan, konturlarning proyeksiyalari aniqlanadi, shuningdek, sirtning proyeksiyalardagi ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarga ajratish amalga oshiriladi (383-rasmdagi asosiy tutash va shtrix chiziqlarga qarang). 36 Umumiy ko’rsatmalarga binoan (shu paragrafning boshiga qarang) silindrik va konus sirtlardagi nuqtalar, ular orqali o’tuvchi yasovchilar yordamida yasalishi mumkin. Ba’zi masalalarning berilish hollarida, izlanayotgan elementning ko’rinadigan yoki ko’rinmaydigan ekanligini ko’rsatish kerak bo’ladi. Bunday ko’rsatma ba’zan, tegishli proyeksiyani qavs ichiga olish yo’li bilan amalga oshiriladi. Masalan, ( E″ ) belgi, izlanayotgan E nuqta sirtning V tekislikdagi ko’rinmaydigan qismida joylashgan deb hisoblanadi. 383-rasmda, silindrik sirtga tegishli va E″ proyeksiyasi bilan berilgan E nuqtaning gorizontal proyeksiyasini yasash ko’rsatilgan, bunda shart bo’yicha, E nuqta V tekislikda ko’rinmas bo’lishi kerak. Xuddi shu rasmning o’zida, konus sirtiga tegishli va F′ proyeksiyasi bilan berilgan E nuqtaning frontal proyeksiyasini yasash ko’rsatilgan, bunda shart bo’yicha, F nuqta H tekislikda ko’rinar bo’lishi kerak. Har ikkala holda yasashlar, tegishli yasovchilar yordamida bajarilgan; yasashlar yo’li strelkalar bilan ko’rsatilgan. Agar yo’naltiruvchi egri chiziq (fazoda joylashgan yoki sirtning proyeksiyalar tekisligidagi izi hisoblanuvchi), to’g’ri chiziqlar qismlaridan iborat bo’lgan ichki chizilgan siniq chiziq bilan almashtirilsa, unga, silindrik sirt prizmatik sirt bilan, konus sirt esa, piramida (ko’pyoqli burchakning yoqlari) sirt bilan almashadi. Ushbu sirtlarning orasidagi bunday bog’lanish, kelgusi yasashlarda qo’llaniladi 37 (masalan, silindrik va konus sirtlarning yoyilmalarini yasashda, 72-§, IX bobga qarang). Silindrlar, silindrik sirtning yasovchilariga perpendikulyar tekislik bilan kesishuvidan hosil bo’ladigan egri chiziqning ko’rinishiga qarab farqlanadi. Bunday egri chiziq normal kesim deb ataladi. Silindrik sirtning normal kesimi ikkinchi tartibli egri chiziqni ifodalaydigan holni tanlab olamiz. Bunday silindrik sirt, ikkinchi tartibli sirtlar qatoriga kiradi. Har qanday ikkinchi tartibli sirtning nuqtalari, fazoviy dekart koordinatalarida ikkinchi tartibli tenglamani qanoatlantiradi. Har qanday tekislik, bunday sirtni ikkinchi tartibli egri chiziq bo’ylab kesadi . To’g’ri chiziq bo’ylab kesishuv haqida, bundan keyinroq aytilgan. To’g’ri chiziq ikkinchi tartibli sirtni hamma vaqt ikkita nuqtada kesib o’tadi. Ikkinchi tartibli silindr, normal kesimning ko’rinishiga qarab, elliptik (xususiy holda doiraviy ), parabolik , giperbolik bo’lishi mumkin. 384-rasm, chapda, stereometriyadan taniqli bo’lgan to’g’ri doiraviy silindr tasvirlangan. Uning yon sirti ikkinchi tartibli sirt hisoblanadi. Agar konus sirt tekislik bilan ikkinchi tartibli egri chiziq bo’ylab kesilgan bo’lsa, unda bu sirt ikkinchi tartibli sirt hisoblanadi ( ikkinchi tartibli konus ). 384- rasm, o’ngda tasvirlangan, stereometriyadan taniqli bo’lgan to’g’ri doiraviy konus ikkinchi tartibli konusdir. 38 385-rasm, chapda, o’zaro o’xshash va o’xshash joylashgan ellipslar sistemasiga ega bo’lgan konus tasvirlangan (385-rasmda ular, H tekislikga parallel tekisliklarda yotadi). O’zaro o’xshash va o’xshash joylashgan ellipslar – proporsional va tegishli ravishda parallel o’qlarga ega ellipslardir. Shu tufayli bunday konusni elliptik konus deb atashadi. Albatta, har qanday ikkinchi tartibli konusdagi singari, undagi, uchidan o’tlaydigan tekisliklar bilan kesimlari ellipslar, parabolalar, giperbolalar bo’ladi va bu egri chiziqlarning har biri, yo’naltiruvchi sifatida olinishi mumkin. Shuning uchun, “ elliptik ” degan nomlanishni, yo’naltiruvchi chiziq sifatida har doim ellipsni tanlash kerak, deb tushunmaslik kerak. Elliptik konusni, uning o’q kesimi tekisligi bo’ylab, bir me’yorda siqish yo’li bilan, to’g’ri doiraviy konus deb tasavvur qilish mumkin. Bunda н konusning doiraviy kesimlari haqida III-Bob 7.1mavzuga qarang. 385-rasm, o’ngda tasvirlangan konusda, xuddi to’g’ri doiraviy konusdagi kabi, asosi doira hisoblanadi, ammo, uchining asos tekisligidagi proyeksiyasi uning markazi bilan ustms-ust tushmaydi. Bunday konusni qiya doiraviy deb atashadi. Uning yon sirtini, asos tekisligiga parallel tekisliklar bilan kesib, markazlari konusning uchi va asosining markazidan o’tuvchi to’g’ri chiziqda (385-rasm, o’ngda SC to’g’ri chiziq) joylashadigan aylanalarni hosil qilamiz. 8.2. Yoyilmaydigan chiziqli sirtlar. Ularni, shuningdek, qiyshiq deb ham atashadi. 39 1) Silindroidlar . Konoidlar . Qiyshiq tekislik . Silindroid deb ataluvchi sirt, o’zining hamma holatlarida, berilgan ixtiyoriy va ikkita egri chiziqni (silindoidning ikkita yo’naltiruvchisini) kesib o’tadigan tekislikga (“ parallelizm tekisligiga ”) parallelligini saqlaydigan to’g’ri chiziqning harakatidan hosil bo’ladi; agar yo’naltiruvchilar tekis egri chiziqlar bo’lsa, unda ular, albatta bitta tekislikda yotmasligi kerak. 386-rasmda, P parallelizm tekisligiga parallel bo’lgan AD to’g’ri chiziqning, ABC va DEF yo’naltiruvchilar bo’ylab harakatidan hosil bo’lgan, silindroid ko’rsatilgan. Yo’naltiruvchilaridan biri to’g’ri chiziq bo’lgan silindroid, konoid deyiladi. 387-rasmda, H tekislikga parallel va AFD egri chiziqni hamda ushbi holda H tekislikga pependikulyar qilib olingan CD to’g’ri chiziqni bir vaqtning o’zida kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqning harakatidan hosil bolgan, konoid tasvirlangan. 261- rasmdagi tasvirlangan, ASB va ABC uchburchaklar bilan ajratilib turgan jismdagi, masalan, SACDS va ABCDS sirtlar ham konoidlar hisoblanadi. “Parallelizm tekisligi”ga parallel bo’lgan har qanday tekislik, silindroid va konoidni to’g’ri chiziqlar bo’yicha kesadi. Bundan, agar parallelizm tekisligi va ikkita yo’naltiruvchilari bilan berilgan silindroid yoki konoidning biror yasovchisini yasash talab qilinsa, unda parallelizm tekisligiga parallel qilib olingan tegishli tekislik o’tkazish, yo’naltiruvchi chiziqlarning ushbu tekislik bilan 40 kesishuv nuqtalarini topish va bu nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazish (izlangan yasovchini) kerak. 387- rasmda tasvirlangan , bunday xususiy holda , konoidning yo ’ naltiruvchi to ’ g ’ ri chizig ’ idagi E nuqta orqali o ’ tuvchi , yasovchisini yasash uchun , yasovchining frontal proyeksiyasi X o ’ qiga parallel bo ’ lishi lozimligi tufayli , yordamchi kesuvchi tekisliksiz ham yechimga ega bo ’ lish mumkin . F ″ nuqta orqali E ″ F ″ || X to ’ g ’ ri chiziq o ’ tkazib , F ′ nuqtani va E ′ F ′ gorizontal proyeksiyani topish , yetarli bo ’ ladi . 388- rasmda , qiyshiq tekislik yoki giperbolik paraboloid , shuningdek , chiziqli paraboloid deb ataluvchi sirtning epyuri va rasmi berilgan . Bu sirtning hosil bo ’ lishini , qandaydir parallelizm tekisligiga parallel to ’ g ’ ri chiziq yasovchuning , ikkita ayqash yo ’ naltiruvchi to ’ g ’ ri chiziqlar bo ’ ylab harakatidan , deb qarash mumkin . 388- rasmda , parallelizm tekisligi o ’ rnida , H proyeksiyalar tekisligi , yo ’ naltiruvchilar o ’ rnida esa , AB va CD to ’ g ’ ri chiziqlar xizmat qiladi . 41 Analitik geometriyada, qiyshiq tekislik yoki giperbolik paraboloid, shuningdek, BOB 1 parabolaning xuddi shunday harakatidan ham hosil qilinishi mumkinligi isbot qilinadi (389-rasm), bunda uning simmetriya o’qi Z o’qiga parallel holda qoladi, uchi AOA 1 parabola bo’ylab harakatlanadi va BOB 1 parabolaning tekisligi XOZ tekisligiga parallel holda saqlanadi. Giperbolik paraboloidning XOY tekisligiga parallel tekislik bilan kesimi, parabola bo’ladi (agar bunday tekislik O uch orqali o’tsa, unda giperbolik paraboloid, O nuqta orqali o’tuvchi ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqlar orqali kesiladi). XOY va XOZ tekisliklarga parallel tekisliklar, giperbolik paraboloidni parabolalar bo’ylan kesadi. Shunday qilib, ko’rib chiqilgan silindroid , konoid va qiyshiq tekislik sirtlari uchun, yasovchi o’rnida, bir vaqtning o’zida ikkita yo’naltiruvchi chiziqlarni kesib o’tadigan va qandaydir tekislikga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq xizmat qiladi. Bunda, bu yo’naltiruvchilar va parallelizm tekisligi o’zaro o’zgarmas vaziyatda qolishi lozim . 2) Bir pallali giperboloid . Uchta o’zaro ayqash to’g’ri chiziqlarni ( yo’naltiruvchilarni ) kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqning harakatidan hosil bo’ladigan sirt, bir pallali giperboloid deyiladi. Agar berilgan uchta o’zaro ayqash to’g’ri (391-rasm) chiziqlardan biri – I to’g’ri chiziqda A 1 nuqtani olsak va bu nuqta hamda qolgan ikki to’g’ri chiziqlar ( II va III ) orqali Q va P tekisliklarni o’tkazsak, unda bu tekisliklar, A 1 nuqta orqali o’tadigan to’g’ri chiziq bo’ylab kesadi. Bu to’g’ri chiziq II to’g’ri chiziqni K 2 42 nuqtada va III to’g’ri chiziqni K 3 nuqtada kesib o’tadi. Agar dastlabki nuqtalar o’rnida I to’g’ri chiziqning hamma nuqtalarini olsak va har biri uchun, ko’rsatilgan usul bilan A 1 K 2 , …, kabi, shunday to’g’ri chiziqlarni yasasak, unda ular bir pallali giperboloid deb nomlanuvchi sirt hosil qiladi. Analitik geometriyada, bir pallali giprboloid, shuningdek, tekisligi XOY tekisligiga parallel va o’qlarining oxirgi nuqtalari XOZ va YOZ tekisliklarda yotgan giperbola bo’ylab sirpanib, shaklini o’zgartirib boruvchi (deformatsiyalanuvchi) ellipsning harakatidan ham hosil bo’lishi mumkinligi isbotlanadi (390-rasm, b ). Agar ellipsni deformatsiyalanuvchi aylana bilan almashtirsak, unda ikkala giperbola yo’naltiruvchilar bir xil bo’ladi. Ushbu holda sirt, bir pallali aylanish giperboloid deb ataladi (bundan keyinroqga qarang). 43 3) Uch yo’naltiruvchili qiyshiq silindr . Uch yo’naltiruvchili qiyshiq silindr deb ataluvchi sirt, bir tekislikda yotmagan uchta yo’naltiruvchi chiziqni (ulardan kamida birittasi egri chiziq bo’lishi lozim) bir vaqtda kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqning harakatidan hosil bo’ladi. 292-rasmda, bunday sirtga misol qilib – yo’naltiruvchilari ikkita o’zaro perpendikulyar ayqash AB va CD to’g’ri chiziqlar hamda S tekislikda yotuvchi ellipsdan iborat bo’lgan, qiyshiq silindr keltirilgan. Ushbu sirtning qandaydir, masalan, KMN yasovchisining proyeksiyasini yasash uchun, A′ nuqta orqali ixtiyoriy K′M′N′ to’g’ri chiziq o’tkazish va uning CD to’g’ri chiziq va ellipsning gorizontal proyeksiyalari bilan kesishuv nuqtalarini ( M′ 44 va N′ nuqtalar) belgilash, kifoya. So’ngra, ular bo’yicha frontal M″ va N″ proyeksiyalari topiladi. Uchta yo’naltiruvchili qiyshiq silindrning, qiyshiq gelikoid deb ataluvchi boshqa bir misoli, 58-§ da berilgan. Shunday qilib, ko’rib chiqilgan uchta yo’naltiruvchili bir pallali gipeboloid va qiyshiq silindr uchun yasovchi, bir vaqtning o’zida uchta qo’zg’almas yo’naltiruvchilarni kesib o’tadigan, to’g’ri chiziqdir . 8 .3. Ikkinchi tartibli chiziqlimas sirtlar. Yuqorida ikkinchi tartibli chiziqli sirtlar – silindr, konus, giprbolik paraboloid va bir pallali giperboloid ko’rib chiqilgan edi. Endi, qolgan – ikkinchi tartibli chiziqlimas sirtlarni : ellipsoid, elliptik paraboloid va ikki pallali giprboloidni ko’rib chiqamiz. 1) Ellipsoid . Ellipsoid , tekisligi XOY tekisligiga paralleligini saqlagan holda va o’qlarining chetki nuqtalari AEBF va CEDF ellipslarga sirpanib o’tadigan, deformatsiyalanuvchi ABCD ellipsning harakatidan (393-rasm) hosil qilinishi mumkin. Agar bu ellipsoiddagi har uchchala AB , CD va EF diametrlar o’zaro teng bo’lsa, unda ellipsoid uch o’qli deb ataladi; agar ulardan ikkitasi o’zaro teng, lekin uchinchisiga tengmas bo’lsa, unda siqilgan yoki cho’zilgan aylanish ellipsoid hosil bo’ladi (kelgusi paragrafga qarang); agarda, AB=CD=EF bo’lsa, unda sharga oid sirt hosil bo’ladi. Ellipsoidning istalgan tekislik bilan kesishuvida ellips, xususiy hollarda aylana hosil bo’ladi. 45 2) Elliptik paraboloid . Elliptik paraboloid , tekisligi XOY tekisligiga paralleligini saqlagan holda va o’qlarining chetki nuqtalari AOB va COD parabolalar boylab sirpanib o’tadigan, deformatsiyalanuvchi ABCD ellipsning harakatidan (394-rasm) hosil qilinishi mumkin. Elliptik paraboloidning turli-tuman tekisliklar bilan kesganda, faqat ellipslar (ba’zi hollarda – aylanalar), parabolalar (elliptik paraboloidning o’qiga parallrl tekislik bilan kesganda) hosil boladi. Agar ABCD ellipsni deformatsiyalanuvchi aylana bilan almashtirilsa, unda har ikkala AOB va COD parabolalar bir xil bo’ladi. Ushbu holda sirt, doiraviy paraboloid yoki aylanish paraboloid deb ataladi (kelgusi paragrafga qarang). 3) Ikki pallali giperboloid . Ikki pallali giperboloid (395-rasm) ikkita, cheksizga cho’zilib turuvchi qismlardan (“pallalardan”) iborat. Pallalarning har 46 biri, tekisliklari sirtning O 1 O 2 o’qiga perpendikulyar va o’qlarining uchlari ikkita giperbola bo’ylan sirpanib o’tuvchi deformatsiyalanuvchi ellipsning ( A 1 B 1 C 1 D 1 va A 2 B 2 C 2 D 2 ) harakatidan hosil bo’lishi mumkin. Agar ellipsni, deformatsiyalanuvchi aylana bilan almashtirilsa, unda har ikkala A 1 O 1 B 1 va C 1 O 1 D 1 giperbolalar o’zaro teng bo’ladi. Ushbu holda sirt, ikki pallali aylanish gipeboloid deb ataladi (kelgusi paragrafga qarang). Ikki pallali gipeboloidning turli-tuman takisliklar bilan kesishuvidan ellipslar (xususiy hollarda – aylanalar), giperpolalar va parabolalar hosil bo;ishi mumkin. 4). Siklik sirtlar. Kýklos (grekcha) – doira. Siklik deb ataluvchi sirtlar, chiziqlimas sirtlar qatoriga kiradi. Siklik sirt, markazi qandaydir egri chiziq bo’ylab harakatlanadigan, o’zgaruvchi tadiusli aylana bilan hosil qilinadi. Yasovchi aylananing tekisligi, aylana markazi harakatlanadigan berilgan yo’naltiruvchi egri chiziqga perpendikulyarligini saqlashidan siklik sirt hosil bo’ladigan holni ta’kidlash lozim. Bunday sirt uchun kanalli sirt degan nomlanish ham uchraydi. Kanalli sirtni, shuningdek, markazlari qandaydir yo’naltiruvchi egri chiziqda yotadigan o’zgarib turuvchi dametrli, buralub harakatlanadigan sharlar oilasi, deb qarash mumkin. Yasovchi aylananing yoki yasovchi sharning radiusi o’zgarmas bo’lishi ham mumkin. Shunday aylananing qandaydir yasovchi egri chiziq bo’ylab yoki yasovchi sharning buralib harakatlanadigan hamma holatlarida, ularning markazlari xuddi shunday garakatidan hosil bo’ladigan sirt, quvur sirt deyiladi. Texnikada qo’llanishiga misol qilib, quvur tarmoqlaridagi kompensatorlarni (Haroratning sezilarli o’zgarishidan quvur tarmog’i uzunligining o’zgarishini yutish uchun qurilma) olish mumkin. Quvur sirt uchun, yo’naltiruvchi egri chiziq o’rnida, silindrik vint chiziqni olish mumkin; bunday holda, quvurli vint sirtga ega bo’lamiz. 425-rasmdagi, quvurga o’ralgan yumoloq kesimli simning sirti, bunga misol bo’ladi. Shuningdek, yumoloq kesimli silindrik prujina o’ramining sirti ham, quvur vint sirtdir. 47 Turli ko’rinishdagi siklik sirtlar, masalan, gaz tarmoqlarida, gidroturbinalarda, markazdan qochma nasoslarda qo’llanilishini ko’rishimiz mumkin. Kanal sirtrning yo’naltiruvchi chizigi o’rnida, egri chiziq emas, balki, to’g’ri chiziq olinsa, u aylanish sirtiga, xususan, konus sirtga aylanadi (57-§ ga qarang), quvur sirtning yo’naltiruvchisini to’g’ri chiziq qilib olganda esa, u aylanish silindrik sirtga aylanadi. 5). Karkasi bilan beriladigan sirtlar. Karkasi bilan beriladigan sirt (frans. carcasse – sinch, skelet) deb, shunday sirtga tegishli bo’lgan, bir nechta chiziqlar bilan beriladigan sirtga aytiladi. Xususiy holda, o’zaro parallel tekisliklarda joylashgan qandaydir tekis egri chiziqlarning bir guruhuni va birinchi guruhdagi chiziqlarni kesib utuvchi, boshqa chiziqlar guruhini tasavvur qilish mumkin; ularning kesishuvidan sirtning karkasi hosil bo’ladi. Karkasi bilan beriladigan sirtni, to’liq aniqlangan deb bo’lmaydi: Sirtlar, bitta shu va aynan shu karkaslar bilan, lekin bir-biridan bir qancha farq qiladigan sirtlar hosil bo’lishi mumkin. Karkasli sirtlarga, kemalar korpusining, samolyotlarning, avtomobillarning sirtlarini misol qilib keltirish mumkin. Har qanday sirt grafik yo’l bilan (grek. grapho – yozaman) berilishi mumkin. Lekin, sirtlarning birlari uchun yasovchilari va yo’naltiruvchilari geometrik jihatdan aniqlangan, sirtning hosil qilinishi biror qonuniyatga bo’ysunadi, boshqa sirtlar uchun esa, bu shartlar mavjud bo’lmaydi. Bunday hollarda sirtlar faqat grafik yo’l bilan, fikran (loyihalashdagi fikr bo’yicha) shunday sirtlarda yoki mavjud bo’lgan sirtlarda yotishi lozim bo’lgan, qandaydir bir nechta chiziqlar yordamida beriladi. Bunday sirtlar uchun, grafik sirtlar degan nomlanish uchraydi. Ularning qatoriga topografik sirt (grek. topos – joy, yer) deb nomlanuvchi, ya’ni, tasvirlanishi nuqtai nazardan yer sathining sirti ham kiradi. Yer sathining relyefi, ushbu sirtning gorizontal tekisliklar bilan kesganda hosil bo’ladigan chiziqlar – gorizontallar bilan ifodalanadi. 48 9.Vint sirtlar va vintlar. 405-rasmda, ( A'B' , A"B" ) kesmaning harakatidan hosil bo’lgan vint sirtning yasalishi balarilgan. Ushbu kesma vint sirtning yasovchisi deyiladi; uning bir uchi aylanish silindrning sirti bo’ylab sirpanib harakatlanadi va berilgan kesma bilan aniqlanadigan to’g’ri chiziq esa, o’ziniung har bir holatida, silindrning o’qini bir xil burchk ostida kesib o’tadi (405-rasmda bu burchak 60° qqilib olingan). Kesma uchining silindr o’qi bo’ylab harakati, kesmaning burchak harakatiga proporsionaldir. ( B' , B" ) nuqtaning silindr sirti bo’ylab harakatidan hosil bo’ladigan vint chiziqni yasash (405-rasm), 369-rasmda bajarilganlarga aynan o’xshash. Bu ham vint chiziqni hosil qiluvchi ( A' , A" ) nuqtaga kelsak, bu nuqta ham asosining diametri O6* kesmaga teng deb tasavvur qilinadigan silindr sirti bo’ylab haratidan hosil bo’ladi, deb faraz qilish mumkin. AB kesmaning hamma nuqtalari vint chiziqlarni hosil qiladi , demak , V tekislikda , vint sirtining qamrab turuvshi kontur chizigini yanada aniqroq tasvirlash 49 uchun , AB kesmaning turli nuqtalari yasaydigan ko ’ proq vint chiziqlarning proyeksiyalarini o ’ tkazish va keyin bu proyeksiyalarni qamrab turuvchi egri chiziqlarni o ’ tkazish kerak bo ’ lar edi . Amalda, bunday murakkab yasashlarning o’rniga, odatda vint chiziqlarning proyeksiyalariga bir vaqtda urinib o’tadigan to’g’ri chiziqlar o’tkaziladi (417-rasmga qarang). Agar vint sirtning yasovchisi, silindrning o’qiga nisbatan 90° ga teng bo’lmasa (405-rasmda tasvirlangan holdagidek), unda hosil bo’ladiga vint sirt qiyshiq degan nomga ega bo’ladi, agar bu burchak 90° ga teng bo’lsa, to’g’ri vint sirt hosil bo’ladi. To’g’ri vint sirtni yasash 406-rasmda bajarilgan. 407-rasmda, silindrning sirtiga urinib o’tadigan kesmaning harakatidan hisil bo’ladigan yana bir vint sirtni yasash amalga oshirilgan. Yasashlar yana, ikkita nuqtalardan yasalgan vint chiziqlarning proyeksiyalarini topishga keltiriladi: kesmaning ( A' , A" ) uchi va ( B' , B" ) urinish nuqtasi. Kesma, o’qga nisbatan to’g’ri burchak yohud o’tkir burchak ostida yo’nalgan bo’lishi mumkin (407-rasmda jlinganidek). 50 406-rasmda tasvirlangan sirt konoiddir (56-§ ga qarang). Haqiqatdan ham, yasovchi to’g’ri chiziq o’zining hamma holatlarida, qandaydir tekislikga parallelligini saqlaydi (ushbu holda, tekislik silindrning o’qiga perpendikulyar); yasovchi ikkita – egri va to’g’ri (silindrning o’qi) yo’naltiruvchi chiziqlarni kesib o’tadi. Yo’naltiruvchi egri chiziq, ushbu holda silibdrik vint chiziq bo’lganligi tufayli, ushbu konoid vintsimon konoid yoki to’g’ri gelikoid (fransuzcha helicoida – vintsimon; fransuzcha helice – spiral, vint chiziq. Yana gelisoid deb ham atashadi. Ushbu sirt yoyilmaydigan chiziqli sirtdir) degan nom olgan. 406-rasmdagi vintsimon konoidning ichiga, u bilan umumiy o’qga ega bo’lgan to’g’ri doiraviy silindr kirib turibdi; natijada, qadami yo’naltiruvchi vint chiziqning qadami bilan bir xil bo’lgan silindrik vint chiziq hosil bo’ladi. Har ikkala vint chiziqlar qamrovidagi sirt halqasimon vintsimon konoid deb ataladi. 405-rasmda tasvirlangan sirt, shuningdek, qiyshiq gelikoid degan nomga ham ega. Ushbu sirt yasovchisi harakatining o’ziga xosligi shundaki, yasovchi aylanish silindri o’qini hamma vaqt, 90° ga teng bo’lmagan bir xil burchak ostida va shu vaqtning o’zida, silindrik vint chiziqni ham kesib o’tadi. Yasovchi, o’zining harakatlanishi davrida, vint chiziq bilan umumiy o’qga ega bo’lgan qandaydir aylanma konus yasovchilariga parallelligini saqlaydi (408-rasm). 407-rasmda tasvirlangan sirt, silindroiddir (56-§, II-punktga qarang). Haqiqatdan ham, yasovchi o’zining hamma holatlarida qabdaydir bir tekislikga parallelligini saqlaydi va bir tyekislikda yotmagan ikkita yasovchi egri chiziqlar bo’ylab siljiydi; parallelizm tekisligi silindrning o’qiga perpendikulyar, yasovchisi silindr sirtiga urinadi (urinish nnuqtalari silindrik vint chiziqni hosil qiladi) va shu vaqtning o’zida, o’qi silindrning o’qi bilan ustma-ust tushuvchi vint chiziqni kesib o’tadi. 407-rasmda tasvirlangan sirt, vintsimon silindroid deb ataladi. Agar bunday sirtning yasovchisi, silindrning o’qi bilan ayqash bo’lsa va bu oqga nisbatan 90° ga teng bo’lmagan burchakni tashkil qilsa, unda sirt silindroidlar qatoriga kirmaydi; u qiyshiq halqasimon gelikoid degan nomga ega bo’ladi. 409-rasmdagi qiyshiq gelikoidning sirti, shu sirtning o’qiga perpendikulyar bo’lgan T tekislik bilan 51 kesilgan; T || H bo’ganligi uchun, kesishuv egri chizig’i H tekislikda o’zgarmasdan tasvirlangan. Arximed spirali hosil bo’ladi; bu quyidagi mulohazadan kelib chiqadi. Aylanayotgan AB kesma o’n ikkita holatda ko’rsatilgan: C 0 " , C 1 " , C 2 " va hokazolar kesishuv egri chiziq nuqtalarining frontal proyeksiyalaridir. Kesishuv egri chiziqning gorizontal proyeksiyasi uchun, C 1 " , C 2 " va hokazo nuqtalarga mos bo’lgan C 1 ' , C 2 ' va hokazo nuqtalar belgilangan. C 0 'C 1 ' , C 0 'C 2 ' va hokazo kesmalar, AB kesmadan T tekislik bilan kesib olingan qismlarining gorizontal proyeksiyalaridir. Bu B 1 C 1 , B 2 C 2 , …, B 6 C 6 qismlarning haqiqiy kattaliklarini aylantirish usuli bilan yasab, tomonlari o’zaro parallel to’g’ri chiziqlar bilan kesilgan B 6 C 0 C 6 burchakga ega bo’lamiz. B 1 C 0 , B 2 B 1 va hokazo kesmalardan har biri h 12 ga teng bo’lgani uchun (bu yerda h , vint chiziqning qadami), unda B 2 B 0 =2 B 1 C 0 , B 2 C 0 =3 B 1 C 0 , …, B 6 C 0 =6 B 1 C 0 , va demak, C 2 C 0 =2 C 1 C 0 , C 2 C 0 =3 C 1 C 0 , …, C 6 C 0 =6 C 1 C 0 bo’ladi. Ammo, C 1 C 0 , C 2 C 0 va hokazo kesmalar, mos ravishda C 0 'C 1 , C 0 'C 2 va hokazo gorizontal proyeksiyalarga teng, ya’ni, C 0 'C 2 =2 C 0 'C 1 , C 0 'C 2 =3 C 0 'C 1 , …, C 0 'C 6 =2 C 0 'C 1 , yasashlar bo’yicha, yoy A 0 'A 2 =2 A 0 'A 1 , A 0 'A 2 =3 A 0 'A 1 va hokazo bo’lgani uchun, unda gorizontal proyeksiyada hosil bo’lgan egri chiziq, haqiqatdan ham Arximed spiralidir. 52 Ushbu egri chiziqni yasash quyidagiga keltiriladi. A' 6 C' 0 C' 6 burchakni (=180°) bir necha (ushbu holda oltiga) bir xil bo’laklarga bo’lib, C' 0 C' 6 kesmani ham shuncha teng bo’laklarga bo’lamiz. C' 0 nuqtadan C' 0 A' 1 radiusda C' 0 C' 1 =C0'C6' 6 ni, C' 0 A' 2 radiusda C' 0 C' 2 = 2 C' 0 A' 1 ni o’lchab qo’yamiz va hokazo. 405 – 408-rasmlarda ko’rsatilgan vint sirtlar, tekislikga aniq yoyib bo’lmaydi. 406-rasmda tasvirlangan to’g’ri vint sirt uchun, uning har bir alohida aylanishini, 410-rasmda ko’rsatilgandek, taxminiy yoyish mumkin. Bir aylanishning yoyilmasini, to’liq halqaning (taxminiy) yoyilmasi deb qarash mumkin. Halqaning bunday qismini yasash uchun, E 1 va r 1 radiuslarning va α burchakning kattaliklarini topish kerak bo’ladi. Agar vit sirtning (406-rasm) qadamini h bilan, yasovchi kesmaning uchlari vint sirt bo’ylab harakatlanadidan, silindrlarning diametrlarini D va d orqali belgilasak, unda 54-§ da ko’rsatilgan L=√h2+(πd )2 tenglamaga ko’ra, vint chiziqlarning uzunliklari quyidagicha ifodalanadi: С= √π2D 2+h2 , С= √π2d2+h2 . Vint chiziqlar ushbu holda, bitta va faqat shu markaziy burchakli, konsentrik yoylarga yoyilishi tufayli, С' С = r1 R1 ; demak, r1= C' C R1 bo’ladi. Vint sirtning enini, ya’ni, R1−r1= D−d 2 farqni a orqali belgilab, biz R 1 = r 1 +a ga ega bo’lamiz, bundan, r1= C' C r1+aC' C yoki r1= aC' C−C' ; bundan, α burchak α= 2πR 1−C 2πR 1 360 ∘ tenglama bilan aniqlanishi mumkinligi kelib chiqadi. Misol. D= 100 mm , d= 60 mm , h= 50 mm . Yechim . a= 20 mm , C ≈ 318 mm , C' ≈ 195 mm , r 1 ≈32 mm , R 1 ≈52 mm , α =10° larni topamiz. Yasashlarga o’tamiz. R 1 ≈52 mm va r 1 ≈32 mm radiuslar bilan ikkita 53 konsentrik aylanalar o’tkazamiz, α =10° markaziy burchakni yasaymiz va shunday qilib, vint sirtning bir aylanish yoyilmasini ifodalovchi halqaning qismini ajratamiz. Bir nechta shunday aylanish yoyilmalariga ega bo’lib, har bir aylanishni d diametrli silindrik sterjen bilan qo’shish (413-rasmda ko’rsatilgandek) va sterjenga o’ralgan aylanmalarni birin-ketin biriktirish mumkin. Bunday sirtning modelini yasashda, har bir aylanishda uni sterjenga biriktirish va aylanishlarni o’zaro qo’shib chiqishni ko’zda tutish lazim. Agar qandaydir vint sirtning yoyilmasini (taxminiy) yasash talab qilinsa, unda uchburchaklar usulini qo’llash mumkin: vint sirtdagi ikki yondosh yasovchilarning holatlaridan trapetsiya hosil boladi, deb qabul qilinadi; uni diagonal bilan ikkita uchburchakga bo’linadi, uchburchakning tomonlari proyeksiyalari bo’yicha, tomonlarining haqiqiy kattaliklari aniqlanadi va tomonlarining topilgan haqiqiy kattaliklari bo’yicha, ulardan qator trapetsiyalar tuzib, ketma-ket uchburchaklar yasaladi. Shunday trapetsiyalar yig’indisi, berilgan vint sirtning taxminiy yoyilmasi bo’ladi. Nuqtaning binsimon harakatidan vint chiziq hosil bo’lishiga o’vshab, to’g’ri chiziqning vintsimon harakatidan vintsimon sirt hosil bo’ladi, agar qandaydir tekis shaklni (masalan, kvadrat, uchburchak, trapetsiya) silindr sirt bo’ylab, bu shaklning ushlari vint chiziq bo’ylab, shaklning tekisligi esa, hamma vaqt silindrnin o’qi orqali o’tib harakatlanishga majbur qilinsa, vintsimon jism hosil qilish mumkin. Silindrik va vintsimon sirtlar bilan chegaralangan vintsimon bo’rtik to’la jinsli shakl hosil bo’ladi. Bunday vintsimon bo’rtik to’la jinsli jismning proyeksiyalarini yasash, tanlangan yasovchi shaklning nechta uchi bo’lsa, shuncha vint chiziqlarni ysashga keltiriladi. 411-rasmda kvadratning harakatidan hosil bo’lgan, vintsimon bo’rtik to’la jinsli jismni yasash ko’rsatilgan. Kvadrat hamma vaqt o’zining bitta tomoni bilan silindrning yasovchisiga yopishib turadi; kvadratning uchlari, yasalash odatiy usul bilan bajariladigan vint chiziq bo’ylab harakatlanadi. 54 Silindrik sterjenda rezba o’yishda, materialning kesuvchi asbob yordamida olib tashlanadigan bir qismi, vintsimon (o’rama) bo’rtik to’la jinsli jismni hosil qiladi. Hosil bo’lgan vintsimon bo’rtik to’la jinsli jism, to’g’ri vintsimon sirtlar va ikkita, tashqi va silindrning o’ziga urinib turgan ichki silindrik sirtlar bilan chegaralanib turadi. Silindr va undagi vintsimon bo’rtik to’la jinsli jism, birgalikda vint deb ataladi. 411-rasmda tasvirlangan holda, o’ng rezbali vint berilgan, chunki, vintsimon bo’rtik to’la jinsli jismning ko’tarilishi, silindrning oldingi (ko’rinadigan) tomonida chapdan o’ngga yo’nalgan. Agarda, vintsimon bo’rtik to’la jinsli jismning ko’tarilishi, silindrning oldingi (ko’rinadigan) tomonida o’ngdan chapga (412-rasm) yo’nalgan bo’lganda edi, unda vint chap rezbali bo’lar edi (o’ng va chap vintsimon chiziqlarni 372-rasmdan qarang). 413-rasmda, silindrning yasovchisiga o’zining kichik tomoni bilan yopishib turadigan to’g’ri to’rtburchakning harakatidan hosil bo’lgan vintsimon bo’rtik to’la jinsli jism ko’rsatilgan. Bunday ko’rinishdagi vintlar, vintsimon transportyorlarda qo’llaniladi (vintsimon tranportyor (shnek), boshqachasiga, vintsimon konveyer, 55 bug’doy va shu kabi mayda bo’lakli materiallarni u yoki bu yoqga ko’chirish uchun qo’llaniladi). 414-rasmda o’zgaruvchan qadamli silindrik vint va 415-rasmda o’zgaruvchan diametrli vint ko’rsatilgan. 411- va 412-rasmlarda tasvirlangan vint, kvadrat rezb aga (o’yilgan rezbaga) ega. Agarda, kvadratning o’rniga uchburchak olsak va uni silindr bo’ylab, kvadrat bilan bajarilgandek amallarni bajarsak, unda uchburchak rezbali vintga ega bo’lamiz. Bunday vintni yasash 416-rasmda ko’rsatilgan. Yasovchi uchburchak asosiy silindrga o’zining bir tomoni bilan yopishib turadi; uchburchakning uchlari vint chiziqlarni hosil qiladi, ularni yasash uchun ikkita aylana olingan. Bu aylanalar 12 ta qismlarga bo’lingan; bo’linish nuqtalari vint qadamidagi 12 ta bo’linmalar orqali o’tkazilgan gorizontal chiziqlarga proyeksiyalangan. Uchburchal rezbali vintning yon sirti, ikkita qiyshiq vint sirtlardan tashkil topgan. V tekislikdagi ko’rinar kontur, 416-rasmda, katta va kichik vint chiziqlarning proyeksiyalariga urinma to’g’ri chiziqlar o’tkazish yo’li bilan olingan (417-rasm). Odatda ham shunday yo’l tutiladi, lekin aslida V tekislikdagi qiyshiq vintsimon sirtning proyeksiyalaridagi kontur, egri chiziqdir. 56 418-rasmda uchburchak rezbali vintning R tekislik bilan ko’ndalang kesimi ko’rsatilgan. Vintning o’qi orqali o’tadigan, yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi P tekislikni o’tkazamiz. P tekislik vintsimon bo’rtik to’la jinsli jism bilan kesishib, gorizontal proyeksiyasi P tekislikning P H izida joylashadigan uchburchak yasovchi shaklini ajratadi ( P tekislik, yasovchi uchburchakni, uning ikki holatida: vintning oldingi (ko’rinadigan) va orqadagi (ko’rinmaydigan) tomonlarida ajratadi. 418-rasmda vintning oldingi (ko’rinadigan) tomoni uchun yasashlar bajarilgan); ushbu uchburchakdagi AB tomonning frontal proyeksiyasi R V iz bilan, vint sirtning R tekislik bilan kesishuv chizig’iga tegishli bo’lgan nuqtalardan birining frontal proyeksiyasini ifodalovchi K" nuqtada kesishadi. A'B' kesmada, vint sirtning R tekislik bilan izlangan kesishuv chizig’ining gorizontal proyeksiyasiga tegishli bo’lgan K nuqtaning gorizontal proyeksiyasini hosil qilamiz. Shundan keyin, bu kesimning yana bitta M(M' , M") nuqtasi topilgan; bu holda, radiuslardan birini o’tkazib, yasovchi uchburchakning gorizontal proyeksiyasi holatini belgilashning o’zi yetarli bo’lishini ko’rsatish maqsadida, gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o’tkazilmagan. Shuningdek, yasovchi uchburchakning to’liq frontal proyeksiyasining o’rniga, 57 418-rasmda ko’rsatilgandek, uning bitta tomonining proyeksiyasi bilan kifoyalanish yetarlidir. Bir nechta shunday radiuslarni o’tkazib va ularga tegishli bo’lgan yasovchi uchburchaklarni yasab, kesim konturining gorizontal proyeksiyasini o’tkazish uchun bir qator nuqtalarga ega bo’lamiz. Ko’rinib turibdiki, kesim shakli simmetriya o’qiga ega bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan; demak, yasash jarayonida, egri chiziqning faqat bitta yrim qismini yasash, ikkinchi qismini esa, simmetrik palladek yasash mumkin. Bu egri chiziqning har bir yarmtaligi, yasalishi haqida 218-rasmda ko’rsatilgan Arximed spiralidir. 416-rasmda keltirilgan vintda, yasovchi uchburchak asosiy silindrning o’qi atrofida har bir aylanishida, vint chiziqning qadami kattaligidagi qo’shni holatga ko’tariladi. Vint bitta profilning harakatidan hosil bo’ladi. Bunday vint bir yurishli deb ataladi (Bir yurishli vintni bazan, bir aylanuvchi, bir kirimli, bir tizmali vint deb ham atashadi). Agar ikkita profilni olib va ularni o’zaro bag’langan deb hisoblab, ularni vint chiziq bo’ylab, har bir profil bir aylanishdan keyin 2 h balandlikga ko’tariladigan qilib harakatlanishga majbur qilinsa (419-rasm), unda ikki yurishli vint hosil bo’ladi (Boshqacha nomlanishlari: ikki aylanuvchi, ikki kirimli, ikki tizmali vint ). 58 419-rasmda, ikki kirimli vintning ko’ndalang kesimi berilgan; vint R tekislik bilan kesilgan, gorizontal proyeksiyadagi kesim shaklining proyeksiyasi egri chiziq bilan chegaralangan. Egri chiziqning yasalishi, 418-rasmdagidek usulda nuqtalar bo’yicha amalga oshirilishi mumkin. 416-, 418- va 419- rasmlarda tasvirlangan vintlar , o ’ ng rezbaga ega . 420- rasmda , trappetsoidal o ’ ng rezbali , uch kirimli vint berilgan ( bunday profilli rezbani , “ tirak rezba ” deb atashadi ). Bosh ko ’ rinishdan tashqari , gorizontal qirqimi ( R tekislik ) ham berilgan . Vintdan tashqari , unga burab kiritiladigan gayka (421- rasm ) ham , ya ’ ni , vintdagi rezbaga mos keladigan rezbali teshigi bor bo ’ lan jism berilgan ; rezbaning profili va qadamlarining tengligi , bunda , vintdagi rezba chqiqining profili , gaykadagi rezba o ’ yigining profiliga va aksincha mos kelishi zarur (420- va 421- rasmlarda , vint va giykani yasashda , rezbaning tashqi diametri vint uchun ham , gayka uchun ham bir xil qilib olingan ; rezbaning ichki diametri esa , vintdagidan ko ’ ra gaykada kattaroq ). Profil proyeksiyada gayka, o’zining o’qi bo’y;ab qirqilgan holda ko’rsatilgan. Qirqimda biz, silindr sirtining va rezbaning aynan, vint sirtining kuzatuvchiga ko’rinmaydigan qismida joylashgan rezbasining o’ramiga tegib turadigan qismini ko’ramiz. 59 Gaykaning bo’ylama qirqimini chizish vaqtida (421-rasm) vint chiziqlarning proyeksiyalarini to’g’ri o’tkazilishiga e’tiborni qaratish zarur bo’ladi. Bo’ylama qirqimda rezbaning profili aniq ko’zga tashlanadi; ushbu qirqimni yasashni, aynan profilni chizishdan boshlash lozim. Shundan keyin (421- rasm ), A " va B " nuqtalardan chiqadigan vint chiziqlarning proyeksiyalarini yasash kerak ; bu chiziqlar ( gaykaning qirqimida ) boshidan oxirigacha ko ’ rinadigan bo ’ ladi . Vint chiziqning C " K " proyeksiyasi ham , chiziq trapetsiya bilan yopilib qolish hollaridagi uncha katta bo ’ lmagan qismlarini inobatga olmaganda , ko ’ rinadigan bo ’ ladi . D " nuqtadan chiqadigan chiziqga kelsak , pallaning chizilayotgan uchastkasining yarmi , o ’ ram bo ’ rtmasi bilan yopilgan , profilning botiqlaridan biriga kirganligi tufayli , ikkinchi yarmi ochiq . Gaykaning gorizontal proyeksiyada joylashgan ko’ndalang qirqimiga e’tiborni qaratamiz. Gaykaning qirqimi sterjenning va vintning rezbasiga mos keladi, lekin, agar gaykadagi rezba o’ramining bir qismi kesilgan bo’lsa, kesuvchi tekislikning tagiga tushganligi tufayli, vintdagi tegishli qismi kesilmaganligi bilan farqlanadi. 420- va 421-rasmlarda, 418-rasmda vintning ko’ndalang kesimini yasash uchun bajarilganga o’xshash holda, profilni hosil qiluvchi trapetsiya qiya tomonining bir nechta holati berilgan. 418-rasmni 420-rasm bilan taqqoslab, vintning kesim shakli, qiyshiq vint sirt mavjud bo’lgan holdagina egri chiziqlar 60 bilan chegaralanishi mumkin ekanligini sezish mumkin; bu egri chiziqlar, Arximed spiralllaridir. To’g’ri vint sirtlar bo’lgan hollarda, kesim shakli aylana yoylari va to’g’ri chiziq kesmalari bilan chegaralanadi. Bunday kesmalarni 420- va 421-rasmlarda, shuningdek, kvadrat shakldagi profilli va ong rezbali bir kirimli vint ko’rsatilgan 422-rasmda ham ko’rish mumkin. 423-rasmda, trapetsoidal uch kirimli va o’ng rezbali vint tasvirlangan. Bunday vint, uchta profillarning vint chiziq bo’ylab harakatidan hosil qilingan deb hisoblash mumkin, bunda har bir aylanishdan keyin, profil 3 h balandlikga ko’tariladi. Trapetsoidal rezbali silindrik vintlar, chervyakli uzatmalarda keng qo’llaniladi (424-rasm). 425- rasmda , yumoloq kesimli po ’ lat simni po ’ lat quvurga o ’ rash bilan hosil qilingan , ikki vintli transportyorning ikki kirimli vinti ko ’ rsatilgan ( Ikki vintli 61 transportyor donabay , masalan qoplar , paxta toylari va hokazo kabi yuklarni ko ’ chirishda xizmat qiladi ); simni po ’ lat quvurga odatda , payvandlash yo ’ li bilan biriktiriladi . Diametri simning diametriga teng bo’lgan va markazlari vint chiziqda (simning o’qida) joylashadigan bir qator sharlarni ko’z oldimizga keltiramiz. O’ram proyeksiyasining konturini, sharlar proyeksiyalari – aylanalarni o’rab turuvchi chiziq kabi chizib chiqiladi. Gorizontal proyeksiyada ikkita pallaning kesimlari ko’rsatilgan (kesim proyeksiyasining konturi, yuqorida ko’rsatilgan sharlarning tekislik bilan kesishuvidan hosil bo’ladigan aylanalarni o’rab turuvchi chiziq kabi yasalgan). XULOSA VA TAVSIYALAR Zamonaviy ishlab chiqarish talablariga javob bera oladigan mutaxassislarni tayyorlashda, bo’lajak muhandis bo’lmish - talabalarda chizmalar bilan ishlay olish qobiliyatlarini rivojlantirish, malakalarini shakllantirish va ko’nikmalarini hosil qilish muhim ahamiyatga ega. Bu mas’uliyatli vazifani esa “Chizma geometriya va muhandislik grafikasi” fani amalga oshiradi. M uhandislik geometriyasining minimal bilimlarini berib, shu asosda turli muhandislik, kompyuter grafikasi va geometrik modellashtirish sohasidagi bilimlarga ega bo’lish mumkin. Fanning asosiy maqsadi undan olgan bilimlarga tayanib kelgusi faoliyatda qo’yilgan masalalarni yechishda geometrik modellashtirishdan foydalanish hisoblanadi. Shuning uchun ushbu kurs ishida geometrik modellashtirish elementlaridan foydalanishga harakat qilingan. Har bir mavzu bo’yicha geometrik modellashtirishga oid materiallar berilgan. Kurs ishini tayyorshda amaliy geometriya sohasida mamlakatimiz va xorijlik yetuk olimlarning ishlaridan foydalanilgan. Chizma geometriya umumiy geometriyaning bir yo’nalishi bo‘lib, u narsalarni tasvirlash usullari yordamida ularning shakllari, o‘lchamlari va o‘zaro joylashishlariga tegishli pozision va metrik masalalarni yechishni o‘rganadi. Chizma geometriya boshqa geometriyalardan o‘zining asosiy - tasvirlash usuli bilan farq qiladi va u matematika fanlari bilan uzviy bog‘liq bo‘lib, umumtexnika 62 fanlaridan hisoblanadi. U o‘zining tasvirlash usullari yordamida o‘quvchining fazoviy tasavvurini kengaytiradi. Tasvirlarni yasash va oldindan yasalgan tasvirlarni o‘qish, hamda amaliyotdagi turli muhandislik masalalarini yechishga yordam beradi. Chizma geometriya yordamida nafaqat mavjud narsalarni, balki tasavvur qilinadigan narsalarni ham tasvirlashi mumkin. Keyingi yillarda buyumlarning chizmalarini kompyuter grafikasi vositalari yordamida tayyorlashda avtomatlashtirilgan loyihalash tizimlarining kirib kelishi chizma geometriya fanining rivojlantirishda yangicha mazmun kasb etmoqda. Toshkent arxitektura-qurilish in s tituti huzuridagi pedagog kadrlarni qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tarmoq markazi “Kasbiy qayta tayyorlash” kursi tinglovchisi Gaffarova Rayhona Abdurafikovna ning “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitish da talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish mavzusidagi kursni tugatish ishiga rahbar XULOSASI Kadrlar tayyorlashning milliy dasturlarida ko’rsatilishicha ta’lim tizimi davlatimizda amalga oshirilayotgan iqtisodiy islohatlarni amalga oshirish jarayonida prinsipial ahamiyat kasb etadi. Ta’lim sohasidagi islohatlarni asosiy bo’laklaridan biri o’quvchi talabalarning bilim va ko’nikmalarini o’zlashtirilganlik darajalarini nazorat qilishdan iborat. Ta’lim tizimida innovatsion texnologiyalar, interaktiv metodlar, pedagogik va axborot texnologiyalarini o‘quv jarayonida qo‘llashga bo‘lgan qiziqish, e’tibor kundan-kunga kuchayib bormoqda, bunday bo‘lishining sabablaridan biri, shu vaqtgacha an’anaviy ta’limda talabalarni faqat tayyor bilimlarni egallashga o‘rgatilgan bo‘lsa, zamonaviy texnologiyalarda esa, ularni egallayotgan bilimlarni o‘zlari qidirib topishlariga, mustaqil o‘rganib tahlil qilishlariga, xatto xulosalarni o‘zlari keltirib chiqarishlariga o‘rgatadi. Pedagog bu jarayonga shaxsning rivojlanishi, shakllanishi, bilim olish va tarbiyalanishiga sharoit yaratadi va shu bilan bir qatorda boshqaruvchilik, yo‘naltiruvchilik funksiyasini bajaradi. Ta’lim jarayonida talaba asosiy bo‘g‘inga aylanadi. Shu bois, Gaffarova Rayhona Abdurafikovnaning kursni tugatish ishidan shuni xulosa qilish mumkinki, ta’limni pedagogik va axborot-kommunikatsion texnologiyalar asosida tashkil etish va amalga oshirish ta’lim sifatini, uning 63 samaradorligini oshirishda ham nazariy ham amaliy ahamiyat kasb etadi. Bu esa, o‘z navbatida mavzuning dolzarbligini bildiradi. Gaffarova Rayhona Abdurafikovnaning kursni tugatish ishi kirish, ikki bob, xulosalar va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Kursni tugatish ishining mazmuni rasmlar va grafiklar, jadval lar va xulosalar bilan ochib berilgan. Qolaversa keltirilgan ilmiy g’oyalar, uslubiy yondashuvlar shubhasiz talabalarda chizmachilik asbob, ashyo jihozlar va ulardan foydalanishdan boshlab, to chizmaning asosiy yozuvigacha bo’lgan qonun-qoidalar ya’ni chizmalarni davlat standartlariga asosan bajarish va rasmiylashtirish qoidalariga batafsil bayon etilgan bo’lib takomillashtirishda muhim ahamiyat kasb etadi. Kursni tugatish ishining kirish qismida: o‘qitishda modulli yondashuvlar, uning dolzarbligi, ishning maqsad va vazifalari, kursni tugatish ishining predmeti va ob’ekti, kursni tugatish ishining amaliy ahamiyati yoritilgan. Kursni tugatish ishining birinchi bobida chizma geometriya fanini o‘qitishning nazariy masalalari yoritilgan bo’lib, bugungi kunda jahon ta’lim tizimida interaktiv ta’limning shakllari keng yoritilgan. Kursni tugatish ishi ning ikkinchi bobida “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” moduli yuzasidan o‘quv-metodik ishlanmalar ishlab chiqilgan. “Chizma geometriya va muhandislik grafikasi” fanidan yozilgan mazkur kurs ishi fanni o’qitishda talabalarga mo’ljallangan mavzu yoki mavzuga tegishli tushunchalarni to’la va aniq tasavvur etishida qulay didaktik sharoit yaratishidadir. Zero, bu yo’nalishdagi ta’limning asosiy vazifasi esa ana shu amliy bilimlarni shakillantirish va uni rivojlantirishning intensiv yo’llari, usullari va uslublarini ishlab chiqishdan iborat. Ushbu masalalarni yechishda mazkur kurs ishi ilmiy- nazariy jihatdan asoslab berilgan. Kursni tugatish ishi Gaffarova Rayhona Abdurafikovna tomonidan mustaqil bajarilgan va tugallangan ish hisoblanadi. Shularni inobatga olib, mazkur kursni tugatish ishini himoyaga tavsiya etaman. Ilmiy rahbar: Kat.o’q. N.Axmatov. 64 TAQI huzuridagi pedagog kadrlarni qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tarmoq markazi “Kasbiy qayta tayyorlash” kursi tinglovchisi Gaffarova Rayhona Abdurafikovna ning “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o‘qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish mavzusidagi kursni tugatish ishiga TAQRIZ Gaffarova Rayhona Abdurafikovnaning “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o‘qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish mavzusidagi kursni tugatish ishi oliy ta’limda chizma geometriyani o‘qitishda pedagogik texnologiyalar va interaktiv metodlardan foydalanib dars mashg’ulotlarini tashkil qilish va o’qitish orqali talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish masalalariga ilmiy asosda to’g’ri yondoshgan. Kursni tugatish ishida kirish, ikki bob, xulosalar talab darajasida yoritilgan. foydalanilgan adabiyotlar ishning mavzusi va uning mazmunini ochishga xizmat qiladi. Kurs ishining e’tiborli tomonlaridan yana biri shundan iboratki, unda chizmachilik fanini o’qitishning zamonaviy texnik vositalaridan foydalanish to’g’risida tushunchalarni shakllantirish mantiqiy fikrlash asosida yoritilgan. Ananaviy innovatsion metodlar asosida har bir mavzudan keyin savollarning ma’lum ketma-ketlikda qo’yilishi bu fanni “online” tizimda ham o’qitish va oqish imkoniyatini yaratib, modul tizimida talabalarning ish olib borishiga zamin yaratadi. Mavzusining dolzarbligi, maqsad va vazifalari, predmeti va ob’ekti, amaliy ahamiyati va fanini o‘qitishning nazariy masalalari, mazmun-mohiyati chizma geometriya fanini o‘qitishda foydalaniladigan interaktiv metodlar to‘g‘risida nazariy ma’lumotlar to’g’ri va talabga javob beradi. 65 Gaffarova Rayhona Abdurafikovnaning modul bo‘yicha talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish uchun bergan tavsiyalari va yaratgan keyslari, nazorat topshiriqlari va mustaqil ta ’lim yuzasidan ko‘rsatmalari maqsadga muvofiq. Kursni tugatish ishi Gaffarova Rayhona Abdurafikovna tomonidan mustaqil bajarilgan va tugallangan ish hisoblanadi hamda noananaviy tizimni amalga oshirishda dadil qo’yilgan ijobiy qadam deb hisoblayman. Shularni inobatga ol gan holda mazkur kursni tugatish ishini himoyaga tavsiya etaman. Taqriz chi dotsent v.b. M. Abdumannonov FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ADABIYOTLAR. 1. Murodov S h .K. va boshqalar. Chizma geometriya.–T.: I q tisod-moliya, 2008. 2. Yodgorov J.Y. va boshqalar. Geometrik va proektsion chizmachilik. – T.: Yangi asr avlodi, 2008. 3. N.D.Bhatt. Engineering Drawing. Plane end solid geometry. 51- edition. Anand 388001 Gujarat, India. 2012. 4. Shah M.B., Rana B.C. Engineering Drawing. India. 2009. 5. Hawk M.C. Theory and problems of Descriptive Geometry. USA. New York. McGraw Hill Book Company. 1962. 6. Yu.Kirgizboev, Z.Inogomova , T.Rixsiboev "Texnik chizmachilik kursi". 7. B.C. Лeвитцкий "Maшинoстрoитeльнoe чeрчeниe". 8. Yodgorov J. Y . Chizma geometriya. – T.: 2006. 9. Чекмарев A.A. Начертательная геометрия и черчение. Учебник для ВУЗов – M.: Владос, 2002. 10. Simmons C.H. (Colin H.), Maguire D.E. (Dennis E.). Manual of engineering drawing. UK. 2009. 66

Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitish da talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish 1

MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………………… 4 I- BOB “IKKINCHI TARTIBLI AYLANISH SIRTLARI VA ULARDAN TALAB QILINGAN QISMINI KESIB OLISH” MODULINI O’QITISH DA TALABALARNING AMALIY KO‘NIKMALARINI SHAKLLANTIRISH. 1. Asosiy ta’rif va tushunchalar . 5 2. Sirtlarni hosil qilish usullari. Kinematik sirtlar . 6 3. Sirt ustida yotuvchi nuqta va to’g’ri chiziqlar. Sirtning tashqi ko’rinishi. 7 II- BOB AYLANISH SIRTLARI. 4. Aylanish sirtlarining grafik berilishi va hosil qilinishi. 10 5 . Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari. 12 6. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari ustida masalalar yechish. 16 6.1. Konus kesimlari. Aylananing parallel proyeksiyasi . 18 III- BOB IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR, TEKIS KESIMLARINING MAXSUS HOLLAR . 22 7. Ikkinchi tartibli sirtlarning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesimlari. 22 7 . 1. Aylanish sirtlarning Arxitekturaviy shakllarni hosil qilishda qo’llanilishiga misollar 2 4 7 . 2 . “Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari va ulardan talab qilingan qismini kesib olish” modulini o’qitishda talabalarning amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish” 2 9 III- BOB EGRI CHIZIQLAR VA SIRTLAR. 3 5 8. Ba’zi egri sirtlar haqida ma’lumotlar, ularning epyurlarda berilishi va tasvirlanishi. 35 8.1 Yoyiladigan chiziqli sirtlar. 36 8 . 2. Yoyilmaydigan chiziqli sirtlar. 40 8 . 3 . Ikkinchi tartibli chiziqlimas sirtlar. 46 9 . Vint sirtlar va vintlar. 50 XULOSA VA TAVSIYALAR 63 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 6 7 2

K I R I SH Chizma geometriya muhandislik ta’limning asosini tashkil qiluvchi fanlarning tarkibiga kiradi. Fazoviy shakllarning tasvirlarini tekislikda yasash usullarini hamda shu shakllarning berilgan tasvirlari bo’yicha geometrik xarakterdagi masalalarni yechish usullarini asoslash va bayon qilish chizma geometriya fanini tashkil qiladi (Fazoviy shakllarni nafaqat tekis, balki qandaydir boshqa, masalan, silindrik yoki sferik sirtlarda ham tasvirlash mumkin. Bular chizma geometriyaning maxsus bo’limlarida o’rganiladi). Chizma geometriyada o’rganiladigan qoidalar bo’yicha yasalgan tasvirlar, buyumlarning shaklini va ularning fazoda o’zaro joylashuvini fikran tasovvur qilish, ularning o’lchamlarini aniqlash, tasvirlangan buyumga tegishli bo’lgan geometrik xossalarini tekshirish imkonini beradi. Chizma geometriya fazoviy tasovvurning kuchaytirilgan faoliyatini harakatga keltirib, uni rivojlantiradi. Bundan tashqari, chizma geometriya, texnik chizmalarni bajarish amaliyotiga ularning ifodaliligi va aniqligini, shuningdek, tasvirlangan buyumlarning amalga oshirilish imkoniyatini ta’minlab, o’zining qator xulosalarini chiqaradi. Chizma geometriyada bayon qilingan tasvirlarni yasash qoidalari proyeksiyalash metodi ga asoslangan (Bu so’zning asosida lotincha projectio – oldinga, uzoqga tashlash ( projicere – tashlash, oldinga qo’yish) so’zi yotadi). Proyeksiyalash metodini ko’rib chiqish nuqtaning proyeksiyasini yasashdan boshlanadi, chunki, har qanday fazoviy shaklning tasvirini yasashda, shu shaklga tegishli bo’lgan qator nuqtalar ko’rib chiqiladi. 3

I-BOB . “IKKINCHI TARTIBLI AYLANISH SIRTLARI VA ULARDAN TALAB QILINGAN QISMINI KESIB OLISH” MODULINI O’QITISHDA TALABALARNING AMALIY KO‘NIKMALARINI SHAKLLANTIRISH Egri sirtlar. Ularning hosil qilinishi va chizmada berilishi 1. Asosiy ta’rif va tushunchalar Quyida egri sirtlarning hosil kilinishi va chizmada berilishining o’ziga xos xususiyatlari ko’rib chiqiladi. Shunday sirtlar bo’lishi mumkinki, ularni duch kelgan nuqtalari va to’g’ri chiziqlarining qat’iy aniqlangan soni proyeksiyalari bilan berish mumkin emas. Shuning bilan birga, agar, hatto sirt o’zining nuqta va to’g’ri chiziqlarining chekli soni bilan aniqlansa ham, ushbu sirt ustida bajariladigan masalalarning murakkabligi tufayli, bunday berilish usuli yaroqsiz bo’lib qoladi. Shuning uchun egri sirtlarning berilishi uchun boshqa usullar qo’llaniladi. Sirtlar, shuningdek yana ham oddiyroq geometrik shakllar – nuqtalar, to’g’ri chiziqlar haqidagi dastlabki aniq tasavvurlarni, shu geometrik masalalarni formal ta’rifga olib keladigan kundalik tajribalardan hosil qilamiz. Chiziqni bir parametrli (bir o’lchamli) nuqtalar to’plami deb ta’riflaganimizdek, sirtga ham ta’rif berishimiz mumkin: sirt, bu ikki parametrli (ikki o’lchamli) uzluksiz nuqtalar to’plamidir . Dekart koordinalar sistemasidagi tekislikda nuqtaning holati ikkita parametrning – abssissalar va ordinatalarning berilishi bilan aniqlanadi. Sirt ustida yotgan ixtiyoriy nuqta ham ikkita parametr – u va v egri chiziqli koordinatalar bilan aniqlanadi. 1-rasm. 4

Yuqorida aytilganlardan, sirtni boshqacha ta’riflash imkoni tug’iladi: sirt, bu hosil bo’lishining yagona qonuniyati bo’lgan bir parametrli (bir o’lchamli) uzluksiz chiziqlar to’plamidir . Chiziqlarning turlari, ularning hosil bo’lish qonuniyati va fazoda joylashuviga qarab, turli sinfdagi sirtlar hosil qilamiz. Ba’zi sirtlarda kongruent chiziqlar to’plamini, boshqalarida esa faqat kongruyent bo’lmagan chiziqlarni ajratish mumkin. Masalan, tekislikni, o’ziga tegishli va o’ziga tegishli bo’lmagan chiziqlar dastasida yotuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami deb; aylanma silindr sirtni esa, to’g’ri chiziq yoki aylana yasovchilar to’plami deb qarash mumkin (1-rasm) va hokazo. Sirtni hosil qiluvchi nuqtalar yoki chiziqlar to’plamlari uning karkasi : birinchi holda nuqtali va ikkinchi holda chiziqli karkasi deyiladi. Agar sirtni hosil qiluvchi elementlari (nuqtalar, chiziqlar) to’plami uzluksiz bo’lsa, uzluksiz karkas deb, aks holda u diskret karkas deb ataladi. 2. Sirtlarni hosil qilish usullari. Kinematik sirtlar . Sirtlarni konstruksiyalashning turli xil usullari geometriyada, shuningdek, sirtlar muxandislik tadqiqotlarida mavzular bo’lib xizmat qiladigan texnikada keng qo’llaniladi. Bu usullar aksariyat hollarda alohida xususiyatga ega bo’ladi va muayyan sinfdagi amaliy masalalarni yechish uchun mo’ljallangan bo’ladi. Ulardan eng ko’p tarqalganlari: Muhandislik amaliyotida, sirtlarning kinematik hosil qilinish usuli kengroq qo’llaniladi. Bu usulda hosil qilingan sirtlar kinematik sirtlar deb nomlangan. Fazoda chiziqning ( yasovchining) aniq bir qonuniyat bo’yicha uzluksiz harakatidan hosil bo’lgan sirt kinematik sirt deb taladi. Ba’zi sirtlar o’zgarmas shakldagi chiziqning harakatidan hosil bo’ladi, boshqalari esa, yasovchisi fazoda holatini o’zgartirish bilan birga o’zining shaklini ham uzluksiz o’zgartirishi natijasida hosil bo’ladi (o’zgaruvchan yasovchili sirtlar) ( 2-rasm ) 1 . Bu hollarda sirt { l } yasovchilarning bir parametrli to’plami (oilasi) kabi ko’rib chiqiladi. Sirtni hosil qiluvchi egri chiziqni (yasovchini) fazoda harakatlanish qonuniyatini, shu yasovchi kesib o’tishi zarur bo’lgan ixtiyoriy qo’zg’almas egri chiziq (yo’naltiruvchi) orqali berish qulay bo’ladi. Yasovchining har bir nuqtasi o’zining harakati jarayonida qandaydir m chiziqni hosil qiladi, shuningdek, ularning to’plami bir parametrli { m } oilasini tashkil qiladi ( 2-rasm ). 1 Ba’zan, harakatlanuvchi yasovchi o’rnida chiziq emas, balki, o’zgaruvchi yoki o’zgarmas qiyofadagi sirtdan foydalaniladi. 5

O'xshashlar

IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR HAQIDA MA’LUMOT
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi
Fizikani o’qitishda tanqidiy fikrlashni shakllantirish
Ikkinchi tartibli chiziqlarga urinma maxsus yo’nalishlar
MAKTABGACHA YOSHDAGI BOLALARNI GEOMETRIK FIGURALARNI O‘RGANISH KO‘NIKMALARINI SHAKLLANTIRISH