Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi
![Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi
M U N DA R I J A
Kirish …………………………………………………………………………. 5
I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga
keltirish……………………………………………………………………….. 8
2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial
tenglamalar……………………………………………………………………. 14
3§. Taqqoslash teoremasi……………………………………………………... 16
II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari
1§. Valle-Pussen teoremasi…………………………………………………. 21
2§. Yechimning maksimumi, minimum va no’llari haqidagi teoremalar……. 24
3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet
teoremasi……………………………………………………………………… 26
4§. Tebranish teoremalari…………………………………………………...... 33
5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari ………… 39
6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning
ifodalanishi……………………………………………………………………. 44
Xulosa……………………………………………………………………… … 48
Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 49](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_1.png)
![Kirish
Ilm-fan, ta lim va ishlab chiqarish o‘rtasidagiʼ
integratsiyalashgan hamkorlikni yo‘lga qo‘yish kerak.
Sh. M. Mirziyoyev
Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi . O’zbekistonda
olib borilyatgan islohotlardan asosiy maqsad, yurtimizda sog’lom va barkamol,
bilimli, yuksak ma’naviy-axloqiy fazilatlarga ega bo’lgan avlodni
shakllantirishdan iborat. Barkamol insonni voyaga yetkazish uchun eng avvalo
oila, mahalla, maktab, butkul jamiyat va davlatning uzviy hamkorligini yuqori
pog’onaga ko’tarish lozim. O’zbekistonning buyuk kelajagini barpo etish asosan
bugungi yosh avlod zimmasiga tushadi. Ularni kuchli, bilimli, madaniyatli,
mehnatsevar, tashabbuskor, izlanuvchan etib shakllantirish, hayot tajribasiga ega,
qiyinchiliklarga toblangan yoshi ulug’larimiz, faxriylarimizning, shu bilan birga,
mazkur ishga da’vat etilgan muallimlar va ustozlarning bosh vazifasidir.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2021-yil 1-apreldagi PF-6198son
Farmoniga ko’ra, so‘ngi yillarda Respublika iqtisodiyoti tarmoqlari va ijtimoiy
sohani innovatsion rivojlantirish, ilm-fan va ilmiy faoliyatni har tomonlama
qo‘llab-quvvatlash va natijadorligini oshirish bo‘yicha aniq maqsadga
yo‘naltirilgan chora-tadbirlar amalga oshirildi.
O’zbekiston Prizidentining 2017 yil 20 apreldagi “Oliy ta’lim tizimini
yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida”gi PQ-2909-sonli qarori,
O‘zbekiston Prezidentining 2020 yil 29 oktyabrdagi “Ilm fanni 2030 yilgacha
rivojlantirish konsepsiyasini tasdiqlash to‘g‘risida”gi PF-6097-sonli Farmoni,
O’zbekiston Respublikasing 2020- yil 23-sentabrdagi O’RQ-637-sonli “Ta’lim
to’g’risida”gi Qonuni, O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim
vazirligining 2021-yil 16 iyuldagi “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini
tasdiqlash to’g’risida”gi №311-sonli buyrug’i va boshqa huquqiy-me’yoriy
2](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_2.png)
![hujjatlarda ta’lim tizimini zamonaviylashtirish va unda innovatsiyalarni joriy etish
bo‘yicha tegishli chora-tadbirlar belgilab berilgan .
Respublikani innovatsiyalar sohasidagi global reytingdagi ilg‘or 50 ta
mamlakatlar ro‘yxatiga kiritishga qaratilgan strategik dastur tasdiqlandi, ilmiy
loyihalarni moliyalashtirishning yangi mexanizmlari joriy etildi, ilm-fan sohasida
yuqori malakali kadrlarni moliyaviy rag‘batlantirish uchun qo‘shimcha
shartsharoitlar yaratildi.
Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p fizik jarayonlar, masalan tor
tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni yechish, fizikaning
muhim hodisalaridan biri bo’lgan rezonans hodisalarini o’rganish ikkinchi tartibli
differensial tenglamalarni xossalari va yechimlariga bog’liq. Malakaviy bitiruv
ishida asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamaalrning xossalari, hamda
misollarda ularning tadbiqlari keltiriladi.
Masalaning dolzarbligi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni
o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda bitta
differensial tenglama tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil
differensial tenglama bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari
taqqoslanadi. Fan va texninkaning ko’p xodisalari rezonans bilan bog’liq.
Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv ishida ikkinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamalarning asosiy xossalari to’liq keltirilgan bo’lib, taqqoslash
teoremasi keltirilgan va isbotlangan. Ishning maqsadi ikkinchi tartibli
differensial tenglamalarni to’la o’rganish. Tebranuvchi va tebranmas
yechimlarni no’llari va bu no’llarni orasidagi masofalar topilgan.
Ilmiy tatqiqot metodlari. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial
tenglamalar universitet kursida chuqur o’rganilmaydi, shuning uchun ushbu
bitiruv ishda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar batafsil o’rganilgan.
3](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_3.png)
![Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv ishda bitta ikkinchi tartibli
differensial tenglamani tebranuvchi yechimini holatlari o’rganilgan bo’lib
uning nollari orasidagi masofalar qaralgan.
Ishning amaliy ahamiyati. O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli
ikkita differensial tenglamalarni qaraymiz:
(A)
(B)
(A) tenglamaning har qanday yechimi oraliqda bittadan ortiq nolga
ega emas. (B) tenglamaning har qanday yechimi
formula bilan
ifodalanadi va u cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib , ular orasidagi masofa
ga teng.
Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi mundarija, kirish, ikki bob, to’qqizta
paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
Olingan natijalar.
Birinchi bobda ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar, ularning х ossalari va
taqqoslash teoremasi o`rganilgan.
Ikkinchi bob ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar yechimlari uchun
t ebranish teoremalariga bag’ishlangan bo’lib, bunda Valle-Pusen teoremasi,
Shpet teoremasi va tebranish teoremalari o’rganilgan. Ikkinchi bob ning
beshinchi paragrafida bu teoremalar misollarga tatbiq etilgan.
4](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_4.png)
![I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va
ularni sodda holga keltirish .
Ikkinchi tartibli chiziqli o’zgaruvchi koeffisentli quyidagi differensial
tenglamani qaraymiz:
(1.1.1)
yoki
(1.1.1)`
unda P, Q yoki , , koeffisentlarini biror intervalda x ning uzluksiz
funksiyasi deb faraz qilamiz .
Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ba’zi sodda hollarini
qaraymiz.
(1.1.2)
(1.1.2) o’ziga qo’shma differensial tenglama deyiladi.
Teorema 1.1.1 . Har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani
o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Isbot. (1.1.2) tenglamani ochib chiqsak
tenglama hosil bo’ladi. Unda oldidagi koeffisent oldidagi koeffisentning
hosilasi ekanligini ko’rsatamiz . Bu o’ziga qo’shma tenglamalarning oziga xos
xossasidir.
(1.1.1)’ tenglamani har ikki tomonini funksiyaga ko’paytiramiz.
5](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_5.png)
![ni shunday tanlaymizki quyidagi shart bajarilsin.
, ,
(1.1.1)’ tenglamani ga ko’paytirsak
yoki
,
,
lar no’lga ga teng bo’lmagan oraliqda uzluksiz funksiyalar bo’lib,
bu oraliqda .
1.1.1 Misol . Bessel tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differensial
tenglamaga keltiring .
6](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_6.png)
![Bu yerda , ,
u holda
Bu Bessel tenglamasiga qo’shma bo’lgan differensial tenglamalardir.
Teorema 1.1.2 . Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli
o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt
(1.1.3)
ko’rinishga keltirish mumkin.
Isbot. (1.1.3) tenglama (1.1.2) holga keltirilgan. Yangi o’zgaruvchini
kiritamiz.
Bunda x o’qidagi ixtiyoriy intervalda aniqlangan bo’lib, bunda
.
bo’lgani uchun x ham o’zgaruvchining funksiyasi sifatida
aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lib .
U holda ixtiyoriy
funksiya uchun o’rinli bo’lib, uni
(1.1.2) tenglamaga qo’ysak:
yoki
7](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_7.png)
![U holda (1.1.3) ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz, bunda ni
qo’ygandagi natijasi
,
bo’ladi.
1.1.2. Misol .
Tenglamani har ikkala tomonini ga ko’paytirib o’ziga qo’shma
holga keltiramiz:
yoki
o’zgaruvchini kiritamiz: , , tenglamani
umumiy yechimi , x o’zgaruvchiga qaytsak
.
Teorema 1.1.3 . Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani,
no’malum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida ko’rinishga
keltirish mumkin.
Isboti.
(1.1.4)
tenglamada
8](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_8.png)
![(1.1.5)
almashtirish olamiz. Bunda ni shunday tanlaymizki
koeffisent oldidagi
koeffisent 0 ga aylansin. (1.1.5) ni differensiallaymiz:
,
bularni (1.1.4) ga qo’ysak, u holda
(1.1.6)
ixtiyoriy bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizki
bo’lsin.
bunda
bularni (1.1.6) ga qo’ysak
bundan tenglamani hosil qilamiz. bu x
ning funksiyasi bo’lib, (1.1.4) tenglamaning invarianti deyiladi.
9](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_9.png)
![Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega
bo’lsa, u holda ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani hamma vaqt
integrallash mumkin. Chunki bu holda (1.1.4) tenglama yo o’zgarmas
koeffisentli tenglamaga, yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechimini elementar
funksiyalar yordamida integrallash imkoni bo’lmasa, uni yechish transendent
funksiyalarga keltiriladi. Masalan birinchi tur va ikkinchi tur Bessel
funksiyalari Bessel tenglamasining ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan
yechimidir. Bu funksiyalarni aniqlash uchun ko’pincha differensial tenglama
yechimini darajali qator ko’rinishda tasvirlash qo’llaniladi.
1.1.4. Misol. Quyidagi tenglamani umumiy yechimini toping:
bu tenglamani yechimini x darajasi shaklida darajali qator
ko’rinishda izlaymiz:
Formal differensiallash yordamida quyidagiga ega bo’lamiz:
Buni tenglamaga qo’yib va x ning darajalari oldidagi mos koeffisentlarni
tenglashtirsak:
, ,
, ,
Bu tenglamalardan :
10](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_10.png)
![, , ,
,
va umuman:
,
va koeffisentlar bu tenglamalar bilan aniqlanmaydi, bular ixtiyoriy
ikkita o’zgarmas. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha:
2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamalar .
O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli ikkita differensial tenglamalarni
qaraymiz:
(1.2.1)
11](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_11.png)
![(1.2.2)
Ma’lumki (1.2.1) tenglamaning xususiy yechimlari va
dan iborat bo’lib, uning umumiy yechimi:
dan iborat.
Uning nollarini topamiz:
,
, ,
ya’ni (1.2.1) tenglama yechimini
da bittadan ortiq nolga ega emas.
(1.2.2) tenglamaning umumiy yechimi:
ning nolini topamiz:
, ,
ya’ni (1.2.2) tenglamaning yechimini
oraliqda cheksiz ko’p nollarga
ega bo’lib, ketma-ket ikkita noli oasidagi masofa ga teng. Uzunligi
dan katta bo’lgan har bir oraliqda (1.2.2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining
bitta noli yotadi, uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa
ikkita noli yotadi.
Ta’rif. Agar diferensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan
ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebramas yechim deyiladi.
12](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_12.png)
![Agar bu yechim yetarli katta oraliqda ikkitadan ortiq nolga ega bo’lsa,
bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi.
Shunday qilib
ko’rinishdagi tenglama agar
bo’lsa ixtiyoriy
oraliqda tebranmas integralga, agar bo’lsa yetarli katta intervalda
tebranuvchi integralga ega.
Endi biz bu natijalarni ikkinchi tartibli o’zgaruvchi koeffisentli
differensial tenglamalar uchun umumlshtiramiz. Buning uchun biz faqat
(1.2.3)
tenglama bilan chegaralanamiz, chunki har qanday ikkinchi tartibli tenglamani
almashtirish yordamida (1.2.3) tenglamaga keltirish mumkin.
Teorema 1.2.1 . Agar oraliqning barcha nuqtalarida
bo’lsa, u holda (1.2.3) tenglamaning hamma yechimlari bu oraliqda
tebranmas bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik (1.2.3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi
ikkita nolga ega bo’lsin, bu nollarini bilan belgilaymiz. Aniqlik
uchun
va oraliqda yechim boshqa nolga ega
bo’lmasin, u holda uzluksiz funksiya bu oraliqda o’z ishorasini
o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda deb olish mumkin
(aks holda- yechimni olar edik). U holda chunki
ning o’ng tomonida o’suvchi funksiya bo’lib, aks
holda bo’lar edi.
Agar bo’lsa, u holda (1.2.3) tenglamadan ekanligi
oraliqda kelib chiqadi. Shunday qilib, oraliqda
13](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_13.png)
![kamayuvchi emas, yoki bo’ladi, ixtiyoriy da, u
holda chekli orttirma haqidagi teormaga asosan :
Bu tenglikning chap tomoni nolga teng , o’ng tomoni
noldan farqli, bunday bo’lishi mumkin emas. Bu qarama-qarshilik
ko’rsatdikim yechim ko’rilayotgan oraliqda tebranmas yechimdir.
Bu zidlik teoremani isbotlaydi.
3§.Taqqoslash teoremasi
Ma’lumki tenglama ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan
va
yechimlarga ega bo’lib, bu
yechimlardan birini ketma-ket ikkita nollari orasida ikkinchi yechimning
faqat bitta noli yotadi.
Shturm teoremasi. Agar va
ikkinchi tartibli differensial
tenglama
yechimining ketma-ket ikkita nollari bo’lsa, u holda shu
tenglamaning har qanday chiziqli bog’liq bo’lmagan boshqa
yechimning va orasida bitta noli yotadi .
Isbot.
tenglamani qaraymiz
Faraz qilamiz, bizning oraliqda va uning oxirlarida
14](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_14.png)
![Vronskiy determinantini tuzamiz:
(1.3.1)
Faraz qilaylik oraliqda yechim nolga ega bo’lmasin,
va
yechimlarning chiziqli bog’liq bo’lmaganligi uchun
va
nuqtalarda nolga aylanmaydi, haqiqatdan
ham agar misol uchun
bo’lganda edi, u holda biz
ega bo’ar edik , bu esa Vronskiy determinantining xossasiga zid. Demak,
bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi aniqlik uchun bo’lsin.
(1.3.1) ayniyatni har ikala tomonini ga bo’lib, quyidagiga ega
bo’lamiz:
yoki
bo’lgani uchun oxirgi ifodani oraliqda
integrallaymiz:
15](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_15.png)
![Tenglikning chap tomoni nolga teng, chunki
o’ng tomoni esa musbat funksiyaning integralidan iborat, ya’ni o’zgarmas
kattalikdir.
Bu zidlik ko’rsatadiki yechimning ketma-ket ikkita nollari
orasida hech bo’lmaganda ning bitta noli mavjud. Agar ular ikkita
bo’lganda edi u holda
bilan larni o’rinlarini almashtirsak,
yechimning va orasida bitta noli bo’lar edi, bu va
orasidagi yechimning noli yo’q degan shartga qarama-qarshidir.
Shturm teoremasini quyidagicha ham aytish mumkin:
I kkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning ikkita chiziqli
bogliq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bir-birini o’zaro ajratadi.
Shturm teoremasiga misol qilib tenglamani olish mumkin.
Bu tenglamaning ikkita va chiziqli bogliq
bo’lmagan yechimlarining nollari almashib keladi.
Natija. Agar oraliqda chiziqli tenglamaning yechimi ikkitadan
ortiq nolga ega bo’lsa, u holda barcha yechimlari tebranuvchidir.
Taqqoslash teoremasi.
(1.3.2)
16](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_16.png)
![tenglamalar berilgan bo’lsin va oraliqda va funksiyalar
uchun shart bajarilsin. U holda birinchi tenglamaning
ixtiyoriy yechimning ikkita ketma-ket , nollari orasida ikkinchi
tenglamaning ixtiyoriy yechimning hech bo’lmaganda bitta noli yotadi.
Isboti. Faraz qilaylik
va
yechimning ketma-ket ikkita
noli bo’lsin. Isbot etamizki, shunday nuqta mavjudkim, uning uchun
bo’ladi. Teskarisini faraz qilamiz oraliqda
ning
birorta ham noli bo’lmasin, ya’ni . Aniqlik uchun
oraliqda
, bo’lsin. U holda ning o’ng tomonida o’suvchi va
ning chap tomonida kamayuvchi bo’ladi. Demak ,
va yechimlarni (1.3.2) tenglamaga olib borib qo’ysak:
Bularni birinchisini ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, birinchisidan
ikkinchisini hadlab ayirsak:
.
Tenglikni chap tomoni quyidagi ifodaning hosilasi:
17](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_17.png)
![.
Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini dan oralig’ida integrallasak:
(1.3.3)
Lekin , , , bo’lgani uchun
(1.3.3) ning chap tomoni manfiy bo’lib, o’ng tomoni esa musbatdir. Bu
qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.
Teorema shartini saqlagan holda, qo’shimcha faraz qilaylik
shart hech bo’lmaganda oraliqda x uchun
bajarilsin va , u holda ning noli dan chaproqda bo’ladi.
Haqiqatdan ham teskaridan faraz qilsak (1.3.3) ning chap tomoni manfiy ,
o’ng tomoni musbatdir. Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo’lamiz:
Natija . Agar (1.2.3) tenglamaning ixtiyoriy ikkita va
yechimlarining umumiy noli bo’lsin va agar va undan keyingi noli
ning nuqtalari mavjud bo’ib, bunda va ulardan
tashqari ayirma manfiy emas, u holda yechimning
dan keyingi noli ning chap tomonida yotadi.
18](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_18.png)
![II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari
1§. Valle-Pussen teoremasi.
ko’rinishdagi tenglamani sodda ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, ya’ni:
(2.1.1)
Agar va koeffisentlar uzluksiz bo’lsa, u holda fundamental
teoremaga ko’ra tenglamaning yechimi karrali nolga ega bo’lmaydi va
yechimning ketma-ket ikkita noli orasidagi masofa nolga teng
bo’lmaydi. uchun quyi musbat chegarani topish mumkinligini ko ’ rsatamiz .
Teorema 2.1.1. Agar ko ’ rilayotgan oraliqda (2.1.1) tenglamaning
koeffisentlari quyidagi shartni qanoatlantirsin :
,
(2.1.2)
U holda
tenglamani yechimining ketma - ket ikkita noli
orasidagi masofa bo ’ lganda quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi :
19](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_19.png)
![(2.1.3)
va agar bo’lsa
Isbot. Teoremani isbotini quyidagi eslatma bilan boshlaymiz,
oraliqda aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya uchun
quyidagi o’rinli:
(2.1.4)
Haqiqatdan ham, bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz:
va
bularni hadma-had ayirsak (2.1.4) kelib chiqadi.
Endi (2.1.1) tenglamaning yechimi va nuqtalarda
ketma-ket ikkita nolga ega bo’lsin va (2.1.4) ayniyatni
funsiyaga tadbiq etamiz:
shuning uchun
20](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_20.png)
![ni o’rniga (2.1.4) dan qiymatini keltirib qo’ysak:
(2.1.5)
Faraz qilaylik ning dagi maksimumi va bo’ladi,
va , intervalda quyidagi tengsizlik o’rinli:
,
quyidagi va ko’paytmalarning har biri absolyut qiymati
bo’yicha dan oshmaydi. (2.1.2) tengsizliklarni qo’llab (2.1.5) ni
keltirib chiqaramiz:
(2.1.6)
va
.
(2.1.6) ni bo’lgan nuqta tatbiq qilib va ga bo’lsak quyidagi hosil
bo’ladi:
21](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_21.png)
![ya’ni quyidagi tengsizlikni qanoatlantirish kerak:
shuning uchun oraliqdan tashqarida yotishi kerak, oraliqning chekalari esa
quyidagi tenglamaning ildizlari:
aynan
bulardan (2.1.3) kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda
bundan (2.1. ) tengsizlik kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u
holda yanada aniqroq bahoni olish mumkin:
u holda (2.1.6) quyidagilar bilan almashadi:
(2.1.4) esa quyidagi bilan almashadi:
2§. Yechimning maksimumi, minimum va nollari haqidagi teoremalar.
Teorema 2.2.1.
22](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_22.png)
![(2.2.1)
tenglamaning hech bir yechimi bo’lgan oraliqda tebranuvchi
bo’lmaydi.
Isbot. Faraz qilaylik bo’lsin, u holda (2.2.1)
quyidagicha:
shuning uchun bo’lganda ixtiyoriy oraliqda quyidagiga ega bo’lamiz:
demak, agar , yani ikkita nolga ega bo’ladi, u holda bu nollar
orasidagi interval quyidagicha bo’ladi:
Xuddi shunday isbotlash mumkinki, bittadan ortiq nolga ega
bo’lmaydi va agar nolga ega bo’lsa, nolga ega bo’lmaydi va
aksincha.
Teorema 2.2.2. Agar oraliqda (2.2.1) tenglamaning va
koeffisentlari birinchi tartibli hosilasi bilan uzluksiz, ko’paytma shu
oraliqda x ning kamayuvchi (o’suvchi ) emas funksiyasi va no’lga
aylanmaydi. U holda (2.2.1) tenglamaning yechimining maksimumi va
minimumi oraliqning ichida shundayki qiymatlari o’suvchi
bo’lmagan (kamayuvchi bo’lmagan ) ketma-ketlik hosil qiladi.
Isbot. Quyidagi funksiyani qaraymiz:
23](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_23.png)
![bu funksiyaning hosilasi :
(2.2.1) dan shunday qilib
bu ko’rsatadiki oraliqning ichida hosila musbat emas, agar
dan hosila manfiy bo’lmasa va aksincha. y ning va
nuqtalari da
bo’lib demak y ning maksimumi va
minimumining kvadrati va shuning uchun o’suvchi bo’lmagan ketma-
ketlik hosil qiladi agar kamayuvchi va aksincha.
tenglik
nafaqat nuqtalarda, balki bo’lgan nuqtalarda ham o’rinli
bo’ladi. Demak
qiymati shu nuqtalarda ham ketma-ketlik hosil qiladi.
3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet
teoremasi.
Faraz qilaylik bizga sodda shaklga keltirilgan:
(2.3.1)
24](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_24.png)
![tenglama berigan bo’lsin va qaralayotgan oraliqda koeffisent musbat
u holda shunday ikkita musbat va son topiladiki
bo’lib:
(2.3.2)
Teorema 2.3.1. Agar (2.3.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimining
ketma-ket ikkita noli orasidagi masofa bo’lsin, u holda:
(2.3.3)
o’rinli.
Isboti. (2.3.2) ga ko’ra taqqoslash teoremasidan foydalanish mumkin
va buning uchun oldin quyidagi o’zgarmas koeffisentli differensial
tenglamalarni qaraymiz:
, (2.3.4)
bularning umumiy yechimlari mos ravishda quyidagi ko’rinishda
,
(2.3.4) tenglamaning birinchisi
ga qo’shma bo’lgan nuqtasi
ikkinchisining nuqtasi (n-butun son ). Taqqoslash teoremasiga ko’ra
(2.3.4) tenglamaning birinchisining ixtiyoriy yechimining ketma-ket
ikkita va nollari orasida , ikkinchisining hech bo’lmaganda bitta
noli yotishi kerak, demak oraliqda nuqtaga o’ngdan qo’shma
bo’lgan yotishi kerak , chunki nuqta dan o’ng
tomonidagi birinchi nuqta bo’lib,
bo’lganda yechim
25](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_25.png)
![, bunda xuddi shunday va nuqtalar
orasida (2.3.4) tenglamaning birinchisini ketma-ket ikkita noli orasida
yechimining dan farqli no’li bo’lishi kerak, shuning uchun shu
oraliqda yotadi, bundan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
,
Bulardan
va (2.3.3) ni hosil qilamiz.
Valle-Pussen teoremasida , desak (2.3.3) ning o’rniga
quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:
shuning uchun biz quyidagini ham isbotladik. Agar (2.3.3) shart uzunligi
dan kichik bo’lgan intervalda o’rinli bo’lsa, u holda berilgan
tenglamaning barcha yechimi shu oraliqda tegranuvchi bo’ladi, ya’ni u yerda
hech bo’lmaganda ikkita noli bo’lishi kerak.
Endi berilgan tenglamaning (2.3.1) shartni qanoatlantiruvchi
uzunlikdagi ochiq oraliqda yotuvchi yechimning nollarini bilan
belgilaymiz, u holda:
(2.3.5)
Haqiqatdan ham
nollar va bu oraliqning ikki chekkasi bilan
aniqlanib ularning uzunliklari dan oshmaydi va ular yig’indisining
26](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_26.png)
![uzunligi dan oshmaydi. Bundan: bo’lib, (2.3.5) kelib
chiqadi.
Agar tenglamada bo’lsa , u holda uning
fundamental yechimlar sistemasi 1,x . Shpet teoremasi shuni ko’rsadiki, agar
da 0 ga juda tez intiladi, u holda ning ishorasidan qat’iy
nazar berilgan tenglamaning fundamental sistemasi x ning yetarli katta
qiymatlarida 1,x dan kam farq qiladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: agar da munosabat
chegaralangan bo’ladi va uni kabi yozish mumki n.
Teorema 2.3.2. Agar
bunda u holda
(2.3.1) tenglama shunday va fundamental sistemaga ega bo’lib u:
agar
agar
bo’lsa.
Isbot. Isbotlash uchun umumiyroq bo’lgan tenglamani qaraymiz:
(2.3.6)
27](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_27.png)
![bunda parametr bo’lib da (2.3.1) tenglama hosil bo’ladi. Faraz
qilaylik da aniqlangan. (2.3.6) tenglamani yechimini
darajasi shaklida qator ko’rinishida izlaymiz:
(2.3.7)
oldin ni quramiz; deb olamiz. (2.3.7) ni (2.3.6) ga qo’yamiz va
ni mos darajalari oldidagi koeffisentlarni tenglashtirib , ni aniqlash
uchun rekurrent tenglama hosil qilamiz:
,
(2.3.8)
funsiylarni ketma-ket ravishda quyidagi formulalar bilan kvadraturada
aniqlanadi:
(2.3.9)
(2.3.9) formuladagi xosmas integrallarni yaqinlashuvchi ekanligini
isbotlaymiz va ni baholaymiz.
shartdan shunday
o’zgarmas
topiladiki bo’lganda quyidagi tengsizlik o’rinli
bo’ladi:
28](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_28.png)
![bundan
.
To’la induksiya usuliga ko’ra:
bundan ko’rinadiki daning istalgan qiymatida bo’lganda (2.3.8)
qator absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’lib va (2.3.6) tenglamaning
yechimi bo’ladi.
Quyidagi tengsizlikdan:
Bunda katta qavs ichida yaqinlashuvchi qator bo ’ lib , da qator yig ’ indisi 1
ga intiladi , bundan :
uchun teorema isbot bo ' ldi .
29](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_29.png)
![Endi
yechimni qaraymiz , (2.3.7) qatorda
deb olamiz ;
ni aniqlash uchun quyidag itenglamalarga egamiz :
,
(2.3.10)
Agar bo’lsa quyidagi xosmas integrallarni olamiz:
(2.3.11)
Bu xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’lib va uchun da
quyidagi bahoga egamiz:
Bu qator tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo’lgani uchun quyidagiga
egamiz:
Bu hol uchun teorema to’la isbotlandi.
30](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_30.png)
![Agar bo’lganda shunday natural son topiladiki, ,
bo’lib quyidagi formulalarni kiritamiz:
bo’lsa, quyidagi bahoga egamiz:
(2.3.12)
Agar bo’lsa
(2.3.13)
Bu ikki bahoni bitta qilib yozish mumkin. Shunday musbat
son tanlaymizki bo’ladi, da, (2.3.12) va
(2.3.13) lar o’rniga bitta tengsizlik yozish mumkin:
, ,
31](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_31.png)
![,
bo’lganda bu qatorning tekis yaqinlashuvchiligi osongina
isbotlanadi, ning tartibi handing tartibi bilan bir xil, ya’ni
u bo’lganda va bo’lganda ga teng
bo’ladi bo’lganda (2.3.13) bahoga ko’ra.
4§.Tebranish teoremalari.
Pryufer almashtirishi.
tenglamani sistema bilan almashtiramiz:
,
(2.4.1)
va larni qutb koordinatalari bilan almashtiramiz:
,
(2.4.2)
bundan
,
32](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_32.png)
![shuning uchun (2.4.1) quyidagicha bo’ladi:
ya’ni
(2.4.3)
trivial yechimni olmaymiz.
Agar (2.4.3) ning birinchisidan ( qatnashmagan) ni topsak ,
u holda ni quyidagicha topamiz:
bunda − ning ixtiyoriy nuqtasidagi qiymati. Agar koeffisent
parametrga bog’liq bo’lsa u holda tenglama quyidagicha bo’ladi:
(2.4.4)
ni holatini o’rganadigan ikkita teoremani ko’rib chiqamiz, birorta
(chekli yoki cheksiz) qiymatiga intilganda da intilgandagi.
Teorema 2.4.1 Agar biror oraliqda:
(2.4.5)
( x ga nisbatan tekis), u holda boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi
33](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_33.png)
![(2.4.6)
tenglamaning yechimi uchun:
(2.4.7)
o’rinli bo’ladi.
Isboti. Isbotni eslatmadan boshlaymiz ixtiyoriy kichik musbat son
uchun ( va dan kichik) tekislikni
yo’lagida bo’ladi. Faraz qilamiz ning oraliqdagi
kichik atrofida yotsin, u holda (2.4.5) ga ko’ra:
biz (2.4.6) shartdan, agar oraliqda funksiyaning eng katta
qiymati bo’lsa, u holda
(2.4.6) tenglamaning integral chiziqlari quyidagi tenglamaning integral
chiziqlari bilan kesishadi.
(2.4.8)
(bu chiziqlarning burchak koeffisenti ) demak birinchi
chiziq bilan ikkinchi chiziqning ordinatalari ayirmasi x ning o’sishi
bilan musbat qiymatdan manfiyga o’tadi. Shuning uchun (2.4.6)
tenglamaning integral chiziqlari x ning o’sishi bilan pastdan yuqoriga
qarab ko’rsatilgan chiziqlarning birortasi bilan yo’lakni ichida
kesishadi. Endi ni fiksirlab qo’yamizki, bilan to’gri
34](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_34.png)
![chiziqning burchak koeffisenti ustma-ust tushsin. Chizmadagi
va nuqtalar uchun:
bu yerdan
Demak, o’rganilayotgan integral chiziq da nuqtadan pastdan
boshlanadi (chunki shuning uchun ) shuning uchun u
dan ga o’sganda kesmani kesib o’tolmaydi. Lekin ikinchi
tomondan bunday integral chiziq hech qachon yarim tekislikda
yotmaydi , shuning uchun (2.4.6) shartga ko’ra oraliqning nuqtalarida
o’qi uchun :
shuning uchun qaralayotgan integral chiziq 1-chizmadagi shtrixlangan sohada
yotishi kerak va bo’lganda bu chiziqning ordinatasi manfiy bo’lishi
mumkin emas va ning ordinatasidan katta emas demak
ning ixtiyoriyligidan (2.4.7) kelib chiqadi.
N
B b
A a
0
35](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_35.png)
![1-chizma
Teorema 2.4.2. Agar oraliqda:
(2.4.5`)
o’rinli bo’lsa, u holda bunda boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi (2.4.6) tenglamaning yechimi uchun
(2.4.7`)
o’rinli bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik musbat son shundayki agar bo’lsa
esa keyinroq aniqlanadigan musbat son, u holda ning
oraliqning yetarli kichik atrofida yotsa u holda (2.4.5 1
) sharga ko’ra:
va larning bir vaqtda no’lga aylanmasligidan (2.4.6) shartdan
(2.4.9)
(2.4.9) tengsizlikdan quyidagi tenglamani tuzamiz:
(2.4.10)
36](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_36.png)
![bu tenglamani almashtirish yordamida integrallash mumkin.
Bu
ga nisbatan tenglama:
bundan
bu yerda C -ixtiyoriy o’zgarmas son. Shuning uchun (2.4.10) tenglamaning
umumiy yechimi;
(2.4.11)
Endi oraliqdagi yoyni (2.4.10) tenglamaning integral chizig’i deb
dan chiqib ga boruvchini deb olamiz. Bu chiziq
da (2.4.11) fo’rmula bilan aniqlanadi bunda bo’lib ni qiymati
I-chorakda bo’ladi. ( ) dan keyin esa ikkinchi, uchinchi, to’rtinchi
choraklarda bo’ladi, bu uzluksiz degan shardan kelib chiqadi:
, , ,
qiymatlardan o’tsa uning ordintasi esa , , ,…….. qiymatlarni
qabul qiladi, agar:
, , ,
qiymatlarni qabul qilsa, da ordinatalar ( - butun son ) bo’ladi.
ekanligidan bo’lsa 2-chizma hosil bo’ladi.
37](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_37.png)
![0
Biroq teoremada gap borayotgan integral chiziq ( dan)
boshlanuvchi chiziqdan pastda yotmaydi, chunki bu nuqtalarning
kesishishi nuqtasida (2.4.9) va (2.4.10) larga ko’ra:
shuning uchun ayirma
ning o’sishi bilan ishorasini - dan + ga
almashtiradi. Shuning uchun oraliqda bundan
ning ixtiyoriyligidan (2.4.7 1
) munosabat kelib chiqadi.
Tebranish teoremasi. Agar (2.4.4) tenglamaning koeffisenti
dan olingan uchun chekli yoki cheksiz biror ga intilganda
ga tekis intilsa, u holda ixtiyoriy musbat uchun nuqtaning biror
atrofi
ni o’zida saqlovchi nuqta topish mumkin bo’lsa u holda (2.4.4)
tenglamaning yechimi da kamida marta 0 ga aylanadi .
Isbot. Haqiqatan ham (2.4.4) tenglamaning ixtiyoriy yechimini
qanoatlantiruvchi funksiya uchun (2.4.6) tenglamaning yechimi
38](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_38.png)
![bo’lganda oraliqdagi ni qabul qiladi. bo ’ lganda dan
katta qiymatni qabul qiladi . Biroq bundan ning uzluksiz
funsiyasi bo ’ lgani uchun quyidagi qiymatlarni hech bo ’ lmaganda bir necha
marta qabul qiladi : , , , ……. ,.
Agar dan ga o’tsa, yechim ni qabul qilganda
0ga aylanadi, demak (2.4.4) tenglamaning yechimi da hech
bo’lmaganda marta 0ga aylanadi.
5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari
Misol 1.
, tenglamani ketma-ket ikkita noli
orasidagi masofani toping.
kesmada nechta noli bo’lishi mumkin.
Yechish.
, , ,
,
, ,
bunda - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bu holda tenglamaning ixtiyoriy
yechimining nollari bir-biridan masofada x o’qida joylashadi.
kesmada ta noli yotadi . ([ ] butun qismi ).
Misol 2.
tenglamani kesmadagi ketma - ket ikkita
no ’ li orasidagi masofani yuqoridan va quyidan baholang .
Yechish. ,
da
39](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_39.png)
![da
U holda ,
,
Bundan kesmada tenglamaning ketma-ket ikkita no’li orasidagi
masofa:
Maple dasturi yordamida ikkinchi tartibli berilgan shartlarga nisbatan
integral chiziqini aniqlash
> restart;
> a:=2; := a 2
> with(DEtools):
DEplot(diff(y(x),x$2)+a*y(x)=0,y(x),
x=-2.5..1.4,[[y(0)=1,D(y)(0)=2]],y=-4..5,stepsize=.05);
>
>
>
>
40](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_40.png)
![>
>
>
>
>
>
>
>
>
41](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_41.png)
![>
>
42](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_42.png)
![6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning
ifodalanishi
Massasi m ga teng bo’lgan moddiy nuqtaning to’g’ri chiziq bo’ylab
harakatini qaraymiz. Bu nuqtaga uch tipdagi kuchlar ta’sir etadi.
1. Koordinata boshiga o’tuvchi tortishish kuchi uning qiymati – ax ga teng.
2. Qarshilik kuchi tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo’lib,
qiymati ga teng.
3. Tash qi kuch – uning qiymati F(t) ga teng.
U holda Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan moddiy nuqtaning harakat
tenglamasi quyidagi formula orqali ifodalanadi:
Yoki bundan, , ga kelamiz, bunda
.
hosil bo’lgan tenglama ikkinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan tenglamadan iboratdir.
Moddiy nuqtaning erkin tebranish tenglamasi qarshilik kuchi bo’lmagan holda
quyidagicha ifodalanadi:
43](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_43.png)
![Buning xarakteristik tenglamasi quyidagicha bo’ladi: , uning
yechimi , u holda uning umumiy yechimi ko’rinishga
ega bo’ladi. Bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.
Agar, va ni , kabi tanlab olsak u holda
tenglamaning yechimi quyidagicha bo’ladi:
Bunday harakatga garmonik harakat deyiladi, uning davri , - uning
chastotasi deyiladi.
Agar moddiy nuqtaga qarshilik kuchi ta’sir etsa, u holda uning tenglamasi
quyidagicha bo’ladi:
.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglmasini tuzamiz.
Uning ildizlari .
1. Quyidagi holni ko’rib chiqamiz. , u holda tenglamaning umumiy
yechimi quyidagicha bo’ladi.
Bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmas sonlar b o’lib, doim noldan farqlidir va bu
yechimlar cheksizlikka intilganda doim nolga intiladi. Uning fizik ma’nosi qarshilik
kuchi ta’siri natijasida tebranma harakat so’nib borar ekan.
44](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_44.png)
![2. Agar o’lsa, va u holda differensial tenglamaning
umumiy yechimi quyidagicha ko’rinish oladi:
Bu ndan ko ’rinadiki, yechim doim noldan farqli bo’lib, cheksizlikka intilganda
yechim nolga intiladi.
3. Faraz qilaylik, , ya’ni , u holda xarakteristik tenglamaning
yechimlari quyidagi formula orqali aniqlanadi.
Umumiy yechim bo’lsa,
Yoki
Bundan ko’rinadiki, yechim garmonik yechimdan iborat bo’lib,
cheksizlikka intilganda yechim nolga intilar ekan. Agar tashqi kuch ta’siri natijasida
moddiy nuqta harakatlanayotgan bo’lsa, quyidagi holatlarni qarab chiqamiz.
A) Agar tashqi kuch ta’siri natijasija moddiy nuqtaning harakatida qarshi
kuch bo’lmasa va tashqi kuchning qiymati garmonik funksiya orqali ifodalansa, u
holda uning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
.
Avval bir jinsli tenglamaning yechimini aniqlaymiz. Uning yechimi
yuqorida keltirilgan edi. Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimini ω≠k
bo’lganda, quyidagicha izlaymiz.
.
45](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_45.png)
![Bundan A va B larni aniqlasak xususiy yechimning ko’rinishi
, bo’ladi va umumiy yechim
B) Agar ω=k bo’lsa , u holda xususiy yechimning ko’rinishi quyidagicha
bo’ladi.
.
Bundan A va B larni aniqlasak xususiy yechimning ko’rinishi
kabi b o’ladi, umumiy yechim esa
,
b o’ladi.
V) Agar tashqi kuch ta’siri natijasida qarshilik kuchining cheksiz kichik
bo’lgan holdagi qiymatlarni qarab o’tamiz. Unda moddiy nuqtaning tebranish
tenglamasi
bo’ladi. Bu holda xususiy
yechimning ko’rinishi
bo’ladi. Bundan A va B larni aniqlasak,
,
Xususiy yechimning k o’rinishi
46](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_46.png)
![bo’ladi .
U holda umumiy yechim
bo’ladi, cheksizlikka intilganda yechim
ko’rinishda bo’ladi, bunda
agar, h cheksiz kichik bo’lsa u holda , agar k=ω
bo’lsa u holda rezonans hodisasi yuz beradi bu esa fizikaning asosiy hodisalaridan
biridir.
XULOSA
Bu malakaviy bitiruv ishida (1.1.1)
ko’rinishdagi ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama o’rganilgan.
Bunda bu tenglamani sodda shaklga keltirish va uning tebranuvchi va
tebranmas yechimlarini aniqlash qaralgan. Tenglamaning ixtiyoriy
yechimining ketma-ket ikkita no’li orasidagi masofa aniqlangan. Taqqoslash
47](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_47.png)
![teoremasi va uning isboti keltirilgan. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial
tenglamalarga doir misollar keltirilgan.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni o’rganish nazariy va
amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ishda bitta differensial tenglama
tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil differensial tenglama
bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari taqqoslanadi. Fan va
texninkaning ko’p h odisalari rezonans bilan bog’liq. Rezonans hodisasi
misollarda batafsil o’rganildi.
Maple dasturi yordamida ikkinchi tartibli berilgan shartlarga
nisbatan integral chiziqlari aniqlandi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
I. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari.
1. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Erkin va farovon, demokratik
O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz. O’zbekiston Respublikasi
Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag’ishlangan Oliy Majlis
48](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_48.png)
![palatalarining qo‘shma majlisidagi nutqi Sh.M. Mirziyoyev. Toshkent:
O’zbekiston, 2016. - 56 b.
2. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom
va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi
kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning asosiy
yakunlari va 2017 yilga mo’ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor
yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi
ma’ruza, 2017 yil 14 yanvar / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent: O’zbekiston, 2017.
104 b. (.pdf 32,5 Mb)
3. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. qonun ustuvorligi va inson
manfaatlarini ta’minlash – yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi.
O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga
bag’ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza. 2016 yil 7 dekabr Sh.M.
Mirziyoyev. – Toshkent:
“O’zbekiston”, 2017. – 48 b.
4 . Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan
davom ettirib, yangi bosqichga ko’taramiz. / Sh. M. Mirziyoyev. – Toshkent:
O’zbekiston, 2017. -592 b.
II. Me’yoriy- huquqiy hujjatlar.
1. O’zbekiston Respublikasining Konstitusiyasi. -T., 2018.
2. O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni. 2020-yil
23sentabr.O’RQ-637-sonli “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni.
3. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2012 yil 28 dekabrdagi
“Oliy o‘quv yurtidan keyingi ta’lim hamda oliy malakali ilmiy va ilmiy
pedagogik kadrlarni attestasiyadan o’tkazish tizimini takomillashtirish chora-
tadbirlari to‘g‘risida”gi № 365 sonli Qarori.
4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2009
yil 11 iyundagi 204-son buyrug’i bilan tasdiqlangan “Oliy ta’lim
muassasalarida talabalar bilimini nazorat qilish va baholashning reyting tizimi
49](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_49.png)
![to’g’risida”gi Nizom. Ushbu Nizomga O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta
maxsus ta’lim vazirligining 2010 yil 25 avgustdagi 333-son va 2013 yil 13
dekabrdagi 470-sonli buyrug’lari bilan o‘zgartirish va qo‘shimchalar kiritilgan
hamda ‘zbekiston Respublikasi Adliya vazirligida 1981-2 - son bilan davlat
ro‘yfatidan qayta o‘tkazilgan. (O’R QHT, 2013 y., 50-son, 659-modda).
5. O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2021
yil 31 martdagi “Oliy ta’lim muasasalari talabalarini me’yoriy-hujjatlar bilan
ta’minlash to’g’risida”gi № 114 - sonli buyrug’i.
6. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil 10 yanvardagi
“Vazirlar Mahkamasining “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini
tasdiqlash to’g’risida” 2001 yil 16 avgustdagi 343-son qaroriga o’zgartirish va
o’shimchalar kiritish haqida”gi № 3–sonli Qarori.
7. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil 20 avgustdagi
“Oliy ta’lim muassasalarining rahbar va pedagog kadrlarini qayta tayyorlash va
ularning malakasini oshirishni tashkil etish chora-tadbirlari to’g’risida”gi №
242-sonli Qarori.
III. Maxsus adabiyotlar.
1. A.B.Hasanov.Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish.Samarqand
.2019yil.318 bet.
2. Muxtarov Ya. Soleyev A. Oddiy differensial tenglamalar. Misol va
masalalar. Darslik,- Samarkand: SamDU nashri 2020.-390b.
3. Краснов М.Л., Кисилёв А.И., Макаренко Г.И. Oбыкновенныe
дифференциальныe уравнения.Задачи и примеры с подробными
решениями.Уч.пособие- М,: Едиториал УРСС,2002-256с.
4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным
дифференциальным уравнениям.Минск:Высшая школа,1967.308 с.
5. Салохитдинов М.С., Насритдинов Г.Н. Оддий дифференциал
тенгламалар. Ташкент: Ўқитувчи 1982, 446 б.
50](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_50.png)
![6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. Физматгиз.
1952. 468 с.
7. Филиппов A.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.
Наука 2003, 128 с.
8. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н. С. Оддий дифференциал тенгламалар.
Ташкент: Ўқитувчи. 1992, 310 б.
9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Москва.
ЮНИТИДАНА. 2007. 479с.
10. Хўжаёров Б.Х., Шадманов И.Э., Жомонкулова Ф.Э. Дифференциал
ҳисобнинг иқтисодий масалаларни ечишга қўлланиши. СамИСИ.
Самарканд 2016. 32б.
11. Шодиев Д.С., Зулфиқорова К., Шодиева C . О регуляризации решение
задачи коши для бигармонического уравнения на плоскости. A малий
математика ва ахборот тенгламаларининг замонавий муаммолари.
Халкаро илмий-амалий анжуман материаллари. 2022-йил.11-12 май.
233c. Бухоро.
IV. SCOPUS ro’yxatidagi jurnallardan olingan adabiyotlar
1. Morris Tenebaum, Harry Pollard.Ordinary Differential equation.
Birkhhauzer.Germany, 2010
2. Robinson J.C..An Introduction to Ordinary Differential equation.
Cambridge University Press, 2013,399p.
3. Sytsaeter Kn., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for
Economic Analysis. Pearson Education Limited. London, New York
2014. 745p. 4.Xin-She Yang.Engineering Mathematics with Examples
and Applications.Middlesex University School of Sciense and Texnology
London,United Kingdom,2016.
5.A.B.Khasanov,F.R.Tursunov,On the Cauchy problem for the Laplace
equation,Ufa.Math J,11(2019),no.4,92-107.DOI:10.13108/2019-11-4-91
6.Dilshod S.Shodiev,On the Cauchy problem for the Biharmonic
equation.Journal
of Siberian Federal University.Mathematikis&Physics 2022,15(2)1-15
DOI:10.17516/1997-1397-2022 15-2-15.
51](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_51.png)
![Internet saytlar
1. www.eknigu.com/lib/Mathematics/
2. www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC
3. www.lib.homelinex.org/math
4. www.ziyo.net
5. www.tuit.uz
6. www.bilim.uz
7. www.gov.uz
8. http://www.mcce.ru , http://lib.mexmat.ru
9. http:// www.a-geometry.narod.ru
10. http://allmath.ru/highermath/mathanalis /
11. http://www.el.tfi.us/pdf/enmcoq22.uzk.pdf/
12. http://www.mаthnet.ru
52](/data/documents/307388f8-88e5-4ad7-9940-12cf45c99b9b/page_52.png)
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi M U N DA R I J A Kirish …………………………………………………………………………. 5 I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish……………………………………………………………………….. 8 2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar……………………………………………………………………. 14 3§. Taqqoslash teoremasi……………………………………………………... 16 II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari 1§. Valle-Pussen teoremasi…………………………………………………. 21 2§. Yechimning maksimumi, minimum va no’llari haqidagi teoremalar……. 24 3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet teoremasi……………………………………………………………………… 26 4§. Tebranish teoremalari…………………………………………………...... 33 5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari ………… 39 6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning ifodalanishi……………………………………………………………………. 44 Xulosa……………………………………………………………………… … 48 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 49
Kirish Ilm-fan, ta lim va ishlab chiqarish o‘rtasidagiʼ integratsiyalashgan hamkorlikni yo‘lga qo‘yish kerak. Sh. M. Mirziyoyev Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi . O’zbekistonda olib borilyatgan islohotlardan asosiy maqsad, yurtimizda sog’lom va barkamol, bilimli, yuksak ma’naviy-axloqiy fazilatlarga ega bo’lgan avlodni shakllantirishdan iborat. Barkamol insonni voyaga yetkazish uchun eng avvalo oila, mahalla, maktab, butkul jamiyat va davlatning uzviy hamkorligini yuqori pog’onaga ko’tarish lozim. O’zbekistonning buyuk kelajagini barpo etish asosan bugungi yosh avlod zimmasiga tushadi. Ularni kuchli, bilimli, madaniyatli, mehnatsevar, tashabbuskor, izlanuvchan etib shakllantirish, hayot tajribasiga ega, qiyinchiliklarga toblangan yoshi ulug’larimiz, faxriylarimizning, shu bilan birga, mazkur ishga da’vat etilgan muallimlar va ustozlarning bosh vazifasidir. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2021-yil 1-apreldagi PF-6198son Farmoniga ko’ra, so‘ngi yillarda Respublika iqtisodiyoti tarmoqlari va ijtimoiy sohani innovatsion rivojlantirish, ilm-fan va ilmiy faoliyatni har tomonlama qo‘llab-quvvatlash va natijadorligini oshirish bo‘yicha aniq maqsadga yo‘naltirilgan chora-tadbirlar amalga oshirildi. O’zbekiston Prizidentining 2017 yil 20 apreldagi “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida”gi PQ-2909-sonli qarori, O‘zbekiston Prezidentining 2020 yil 29 oktyabrdagi “Ilm fanni 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini tasdiqlash to‘g‘risida”gi PF-6097-sonli Farmoni, O’zbekiston Respublikasing 2020- yil 23-sentabrdagi O’RQ-637-sonli “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni, O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2021-yil 16 iyuldagi “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to’g’risida”gi №311-sonli buyrug’i va boshqa huquqiy-me’yoriy 2
hujjatlarda ta’lim tizimini zamonaviylashtirish va unda innovatsiyalarni joriy etish bo‘yicha tegishli chora-tadbirlar belgilab berilgan . Respublikani innovatsiyalar sohasidagi global reytingdagi ilg‘or 50 ta mamlakatlar ro‘yxatiga kiritishga qaratilgan strategik dastur tasdiqlandi, ilmiy loyihalarni moliyalashtirishning yangi mexanizmlari joriy etildi, ilm-fan sohasida yuqori malakali kadrlarni moliyaviy rag‘batlantirish uchun qo‘shimcha shartsharoitlar yaratildi. Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p fizik jarayonlar, masalan tor tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni yechish, fizikaning muhim hodisalaridan biri bo’lgan rezonans hodisalarini o’rganish ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni xossalari va yechimlariga bog’liq. Malakaviy bitiruv ishida asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamaalrning xossalari, hamda misollarda ularning tadbiqlari keltiriladi. Masalaning dolzarbligi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda bitta differensial tenglama tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil differensial tenglama bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari taqqoslanadi. Fan va texninkaning ko’p xodisalari rezonans bilan bog’liq. Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv ishida ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning asosiy xossalari to’liq keltirilgan bo’lib, taqqoslash teoremasi keltirilgan va isbotlangan. Ishning maqsadi ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni to’la o’rganish. Tebranuvchi va tebranmas yechimlarni no’llari va bu no’llarni orasidagi masofalar topilgan. Ilmiy tatqiqot metodlari. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar universitet kursida chuqur o’rganilmaydi, shuning uchun ushbu bitiruv ishda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar batafsil o’rganilgan. 3
Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv ishda bitta ikkinchi tartibli differensial tenglamani tebranuvchi yechimini holatlari o’rganilgan bo’lib uning nollari orasidagi masofalar qaralgan. Ishning amaliy ahamiyati. O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli ikkita differensial tenglamalarni qaraymiz: (A) (B) (A) tenglamaning har qanday yechimi oraliqda bittadan ortiq nolga ega emas. (B) tenglamaning har qanday yechimi formula bilan ifodalanadi va u cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib , ular orasidagi masofa ga teng. Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi mundarija, kirish, ikki bob, to’qqizta paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Olingan natijalar. Birinchi bobda ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar, ularning х ossalari va taqqoslash teoremasi o`rganilgan. Ikkinchi bob ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar yechimlari uchun t ebranish teoremalariga bag’ishlangan bo’lib, bunda Valle-Pusen teoremasi, Shpet teoremasi va tebranish teoremalari o’rganilgan. Ikkinchi bob ning beshinchi paragrafida bu teoremalar misollarga tatbiq etilgan. 4
I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish . Ikkinchi tartibli chiziqli o’zgaruvchi koeffisentli quyidagi differensial tenglamani qaraymiz: (1.1.1) yoki (1.1.1)` unda P, Q yoki , , koeffisentlarini biror intervalda x ning uzluksiz funksiyasi deb faraz qilamiz . Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ba’zi sodda hollarini qaraymiz. (1.1.2) (1.1.2) o’ziga qo’shma differensial tenglama deyiladi. Teorema 1.1.1 . Har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltirish mumkin. Isbot. (1.1.2) tenglamani ochib chiqsak tenglama hosil bo’ladi. Unda oldidagi koeffisent oldidagi koeffisentning hosilasi ekanligini ko’rsatamiz . Bu o’ziga qo’shma tenglamalarning oziga xos xossasidir. (1.1.1)’ tenglamani har ikki tomonini funksiyaga ko’paytiramiz. 5