logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2035.5 KB
Ko'chirib olish
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi M U N DA R I J A Kirish …………………………………………………………………………. 5 I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish……………………………………………………………………….. 8 2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar……………………………………………………………………. 14 3§. Taqqoslash teoremasi……………………………………………………... 16 II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari 1§. Valle-Pussen teoremasi…………………………………………………. 21 2§. Yechimning maksimumi, minimum va no’llari haqidagi teoremalar……. 24 3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet teoremasi……………………………………………………………………… 26 4§. Tebranish teoremalari…………………………………………………...... 33 5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari ………… 39 6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning ifodalanishi……………………………………………………………………. 44 Xulosa……………………………………………………………………… … 48 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 49 Kirish Ilm-fan, ta lim va ishlab chiqarish o‘rtasidagiʼ integratsiyalashgan hamkorlikni yo‘lga qo‘yish kerak. Sh. M. Mirziyoyev Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi . O’zbekistonda olib borilyatgan islohotlardan asosiy maqsad, yurtimizda sog’lom va barkamol, bilimli, yuksak ma’naviy-axloqiy fazilatlarga ega bo’lgan avlodni shakllantirishdan iborat. Barkamol insonni voyaga yetkazish uchun eng avvalo oila, mahalla, maktab, butkul jamiyat va davlatning uzviy hamkorligini yuqori pog’onaga ko’tarish lozim. O’zbekistonning buyuk kelajagini barpo etish asosan bugungi yosh avlod zimmasiga tushadi. Ularni kuchli, bilimli, madaniyatli, mehnatsevar, tashabbuskor, izlanuvchan etib shakllantirish, hayot tajribasiga ega, qiyinchiliklarga toblangan yoshi ulug’larimiz, faxriylarimizning, shu bilan birga, mazkur ishga da’vat etilgan muallimlar va ustozlarning bosh vazifasidir. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2021-yil 1-apreldagi PF-6198son Farmoniga ko’ra, so‘ngi yillarda Respublika iqtisodiyoti tarmoqlari va ijtimoiy sohani innovatsion rivojlantirish, ilm-fan va ilmiy faoliyatni har tomonlama qo‘llab-quvvatlash va natijadorligini oshirish bo‘yicha aniq maqsadga yo‘naltirilgan chora-tadbirlar amalga oshirildi. O’zbekiston Prizidentining 2017 yil 20 apreldagi “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida”gi PQ-2909-sonli qarori, O‘zbekiston Prezidentining 2020 yil 29 oktyabrdagi “Ilm fanni 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini tasdiqlash to‘g‘risida”gi PF-6097-sonli Farmoni, O’zbekiston Respublikasing 2020- yil 23-sentabrdagi O’RQ-637-sonli “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni, O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2021-yil 16 iyuldagi “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to’g’risida”gi №311-sonli buyrug’i va boshqa huquqiy-me’yoriy 2 hujjatlarda ta’lim tizimini zamonaviylashtirish va unda innovatsiyalarni joriy etish bo‘yicha tegishli chora-tadbirlar belgilab berilgan . Respublikani innovatsiyalar sohasidagi global reytingdagi ilg‘or 50 ta mamlakatlar ro‘yxatiga kiritishga qaratilgan strategik dastur tasdiqlandi, ilmiy loyihalarni moliyalashtirishning yangi mexanizmlari joriy etildi, ilm-fan sohasida yuqori malakali kadrlarni moliyaviy rag‘batlantirish uchun qo‘shimcha shartsharoitlar yaratildi. Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p fizik jarayonlar, masalan tor tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni yechish, fizikaning muhim hodisalaridan biri bo’lgan rezonans hodisalarini o’rganish ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni xossalari va yechimlariga bog’liq. Malakaviy bitiruv ishida asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamaalrning xossalari, hamda misollarda ularning tadbiqlari keltiriladi. Masalaning dolzarbligi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda bitta differensial tenglama tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil differensial tenglama bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari taqqoslanadi. Fan va texninkaning ko’p xodisalari rezonans bilan bog’liq. Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv ishida ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning asosiy xossalari to’liq keltirilgan bo’lib, taqqoslash teoremasi keltirilgan va isbotlangan. Ishning maqsadi ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni to’la o’rganish. Tebranuvchi va tebranmas yechimlarni no’llari va bu no’llarni orasidagi masofalar topilgan. Ilmiy tatqiqot metodlari. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar universitet kursida chuqur o’rganilmaydi, shuning uchun ushbu bitiruv ishda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar batafsil o’rganilgan. 3 Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv ishda bitta ikkinchi tartibli differensial tenglamani tebranuvchi yechimini holatlari o’rganilgan bo’lib uning nollari orasidagi masofalar qaralgan. Ishning amaliy ahamiyati. O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli ikkita differensial tenglamalarni qaraymiz: (A) (B) (A) tenglamaning har qanday yechimi oraliqda bittadan ortiq nolga ega emas. (B) tenglamaning har qanday yechimi formula bilan ifodalanadi va u cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib , ular orasidagi masofa ga teng. Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi mundarija, kirish, ikki bob, to’qqizta paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Olingan natijalar. Birinchi bobda ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar, ularning х ossalari va taqqoslash teoremasi o`rganilgan. Ikkinchi bob ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar yechimlari uchun t ebranish teoremalariga bag’ishlangan bo’lib, bunda Valle-Pusen teoremasi, Shpet teoremasi va tebranish teoremalari o’rganilgan. Ikkinchi bob ning beshinchi paragrafida bu teoremalar misollarga tatbiq etilgan. 4 I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish . Ikkinchi tartibli chiziqli o’zgaruvchi koeffisentli quyidagi differensial tenglamani qaraymiz: (1.1.1) yoki (1.1.1)` unda P, Q yoki , , koeffisentlarini biror intervalda x ning uzluksiz funksiyasi deb faraz qilamiz . Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ba’zi sodda hollarini qaraymiz. (1.1.2) (1.1.2) o’ziga qo’shma differensial tenglama deyiladi. Teorema 1.1.1 . Har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltirish mumkin. Isbot. (1.1.2) tenglamani ochib chiqsak tenglama hosil bo’ladi. Unda oldidagi koeffisent oldidagi koeffisentning hosilasi ekanligini ko’rsatamiz . Bu o’ziga qo’shma tenglamalarning oziga xos xossasidir. (1.1.1)’ tenglamani har ikki tomonini funksiyaga ko’paytiramiz. 5 ni shunday tanlaymizki quyidagi shart bajarilsin. , , (1.1.1)’ tenglamani ga ko’paytirsak yoki , , lar no’lga ga teng bo’lmagan oraliqda uzluksiz funksiyalar bo’lib, bu oraliqda . 1.1.1 Misol . Bessel tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltiring . 6 Bu yerda , , u holda Bu Bessel tenglamasiga qo’shma bo’lgan differensial tenglamalardir. Teorema 1.1.2 . Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt (1.1.3) ko’rinishga keltirish mumkin. Isbot. (1.1.3) tenglama (1.1.2) holga keltirilgan. Yangi o’zgaruvchini kiritamiz. Bunda x o’qidagi ixtiyoriy intervalda aniqlangan bo’lib, bunda . bo’lgani uchun x ham o’zgaruvchining funksiyasi sifatida aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lib . U holda ixtiyoriy funksiya uchun o’rinli bo’lib, uni (1.1.2) tenglamaga qo’ysak: yoki 7 U holda (1.1.3) ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz, bunda ni qo’ygandagi natijasi , bo’ladi. 1.1.2. Misol . Tenglamani har ikkala tomonini ga ko’paytirib o’ziga qo’shma holga keltiramiz: yoki o’zgaruvchini kiritamiz: , , tenglamani umumiy yechimi , x o’zgaruvchiga qaytsak . Teorema 1.1.3 . Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, no’malum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida ko’rinishga keltirish mumkin. Isboti. (1.1.4) tenglamada 8 (1.1.5) almashtirish olamiz. Bunda ni shunday tanlaymizki koeffisent oldidagi koeffisent 0 ga aylansin. (1.1.5) ni differensiallaymiz: , bularni (1.1.4) ga qo’ysak, u holda (1.1.6) ixtiyoriy bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizki bo’lsin. bunda bularni (1.1.6) ga qo’ysak bundan tenglamani hosil qilamiz. bu x ning funksiyasi bo’lib, (1.1.4) tenglamaning invarianti deyiladi. 9 Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega bo’lsa, u holda ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani hamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu holda (1.1.4) tenglama yo o’zgarmas koeffisentli tenglamaga, yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechimini elementar funksiyalar yordamida integrallash imkoni bo’lmasa, uni yechish transendent funksiyalarga keltiriladi. Masalan birinchi tur va ikkinchi tur Bessel funksiyalari Bessel tenglamasining ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimidir. Bu funksiyalarni aniqlash uchun ko’pincha differensial tenglama yechimini darajali qator ko’rinishda tasvirlash qo’llaniladi. 1.1.4. Misol. Quyidagi tenglamani umumiy yechimini toping: bu tenglamani yechimini x darajasi shaklida darajali qator ko’rinishda izlaymiz: Formal differensiallash yordamida quyidagiga ega bo’lamiz: Buni tenglamaga qo’yib va x ning darajalari oldidagi mos koeffisentlarni tenglashtirsak: , , , , Bu tenglamalardan : 10 , , , , va umuman: , va koeffisentlar bu tenglamalar bilan aniqlanmaydi, bular ixtiyoriy ikkita o’zgarmas. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha: 2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar . O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli ikkita differensial tenglamalarni qaraymiz: (1.2.1) 11 (1.2.2) Ma’lumki (1.2.1) tenglamaning xususiy yechimlari va dan iborat bo’lib, uning umumiy yechimi: dan iborat. Uning nollarini topamiz: , , , ya’ni (1.2.1) tenglama yechimini da bittadan ortiq nolga ega emas. (1.2.2) tenglamaning umumiy yechimi: ning nolini topamiz: , , ya’ni (1.2.2) tenglamaning yechimini oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib, ketma-ket ikkita noli oasidagi masofa ga teng. Uzunligi dan katta bo’lgan har bir oraliqda (1.2.2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining bitta noli yotadi, uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa ikkita noli yotadi. Ta’rif. Agar diferensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebramas yechim deyiladi. 12 Agar bu yechim yetarli katta oraliqda ikkitadan ortiq nolga ega bo’lsa, bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi. Shunday qilib ko’rinishdagi tenglama agar bo’lsa ixtiyoriy oraliqda tebranmas integralga, agar bo’lsa yetarli katta intervalda tebranuvchi integralga ega. Endi biz bu natijalarni ikkinchi tartibli o’zgaruvchi koeffisentli differensial tenglamalar uchun umumlshtiramiz. Buning uchun biz faqat (1.2.3) tenglama bilan chegaralanamiz, chunki har qanday ikkinchi tartibli tenglamani almashtirish yordamida (1.2.3) tenglamaga keltirish mumkin. Teorema 1.2.1 . Agar oraliqning barcha nuqtalarida bo’lsa, u holda (1.2.3) tenglamaning hamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi. Isbot. Faraz qilaylik (1.2.3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi ikkita nolga ega bo’lsin, bu nollarini bilan belgilaymiz. Aniqlik uchun va oraliqda yechim boshqa nolga ega bo’lmasin, u holda uzluksiz funksiya bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda deb olish mumkin (aks holda- yechimni olar edik). U holda chunki ning o’ng tomonida o’suvchi funksiya bo’lib, aks holda bo’lar edi. Agar bo’lsa, u holda (1.2.3) tenglamadan ekanligi oraliqda kelib chiqadi. Shunday qilib, oraliqda 13 kamayuvchi emas, yoki bo’ladi, ixtiyoriy da, u holda chekli orttirma haqidagi teormaga asosan : Bu tenglikning chap tomoni nolga teng , o’ng tomoni noldan farqli, bunday bo’lishi mumkin emas. Bu qarama-qarshilik ko’rsatdikim yechim ko’rilayotgan oraliqda tebranmas yechimdir. Bu zidlik teoremani isbotlaydi. 3§.Taqqoslash teoremasi Ma’lumki tenglama ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan va yechimlarga ega bo’lib, bu yechimlardan birini ketma-ket ikkita nollari orasida ikkinchi yechimning faqat bitta noli yotadi. Shturm teoremasi. Agar va ikkinchi tartibli differensial tenglama yechimining ketma-ket ikkita nollari bo’lsa, u holda shu tenglamaning har qanday chiziqli bog’liq bo’lmagan boshqa yechimning va orasida bitta noli yotadi . Isbot. tenglamani qaraymiz Faraz qilamiz, bizning oraliqda va uning oxirlarida 14 Vronskiy determinantini tuzamiz: (1.3.1) Faraz qilaylik oraliqda yechim nolga ega bo’lmasin, va yechimlarning chiziqli bog’liq bo’lmaganligi uchun va nuqtalarda nolga aylanmaydi, haqiqatdan ham agar misol uchun bo’lganda edi, u holda biz ega bo’ar edik , bu esa Vronskiy determinantining xossasiga zid. Demak, bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi aniqlik uchun bo’lsin. (1.3.1) ayniyatni har ikala tomonini ga bo’lib, quyidagiga ega bo’lamiz: yoki bo’lgani uchun oxirgi ifodani oraliqda integrallaymiz: 15 Tenglikning chap tomoni nolga teng, chunki o’ng tomoni esa musbat funksiyaning integralidan iborat, ya’ni o’zgarmas kattalikdir. Bu zidlik ko’rsatadiki yechimning ketma-ket ikkita nollari orasida hech bo’lmaganda ning bitta noli mavjud. Agar ular ikkita bo’lganda edi u holda bilan larni o’rinlarini almashtirsak, yechimning va orasida bitta noli bo’lar edi, bu va orasidagi yechimning noli yo’q degan shartga qarama-qarshidir. Shturm teoremasini quyidagicha ham aytish mumkin: I kkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning ikkita chiziqli bogliq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bir-birini o’zaro ajratadi. Shturm teoremasiga misol qilib tenglamani olish mumkin. Bu tenglamaning ikkita va chiziqli bogliq bo’lmagan yechimlarining nollari almashib keladi. Natija. Agar oraliqda chiziqli tenglamaning yechimi ikkitadan ortiq nolga ega bo’lsa, u holda barcha yechimlari tebranuvchidir. Taqqoslash teoremasi. (1.3.2) 16 tenglamalar berilgan bo’lsin va oraliqda va funksiyalar uchun shart bajarilsin. U holda birinchi tenglamaning ixtiyoriy yechimning ikkita ketma-ket , nollari orasida ikkinchi tenglamaning ixtiyoriy yechimning hech bo’lmaganda bitta noli yotadi. Isboti. Faraz qilaylik va yechimning ketma-ket ikkita noli bo’lsin. Isbot etamizki, shunday nuqta mavjudkim, uning uchun bo’ladi. Teskarisini faraz qilamiz oraliqda ning birorta ham noli bo’lmasin, ya’ni . Aniqlik uchun oraliqda , bo’lsin. U holda ning o’ng tomonida o’suvchi va ning chap tomonida kamayuvchi bo’ladi. Demak , va yechimlarni (1.3.2) tenglamaga olib borib qo’ysak: Bularni birinchisini ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, birinchisidan ikkinchisini hadlab ayirsak: . Tenglikni chap tomoni quyidagi ifodaning hosilasi: 17 . Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini dan oralig’ida integrallasak: (1.3.3) Lekin , , , bo’lgani uchun (1.3.3) ning chap tomoni manfiy bo’lib, o’ng tomoni esa musbatdir. Bu qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi. Teorema shartini saqlagan holda, qo’shimcha faraz qilaylik shart hech bo’lmaganda oraliqda x uchun bajarilsin va , u holda ning noli dan chaproqda bo’ladi. Haqiqatdan ham teskaridan faraz qilsak (1.3.3) ning chap tomoni manfiy , o’ng tomoni musbatdir. Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo’lamiz: Natija . Agar (1.2.3) tenglamaning ixtiyoriy ikkita va yechimlarining umumiy noli bo’lsin va agar va undan keyingi noli ning nuqtalari mavjud bo’ib, bunda va ulardan tashqari ayirma manfiy emas, u holda yechimning dan keyingi noli ning chap tomonida yotadi. 18 II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari 1§. Valle-Pussen teoremasi. ko’rinishdagi tenglamani sodda ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, ya’ni: (2.1.1) Agar va koeffisentlar uzluksiz bo’lsa, u holda fundamental teoremaga ko’ra tenglamaning yechimi karrali nolga ega bo’lmaydi va yechimning ketma-ket ikkita noli orasidagi masofa nolga teng bo’lmaydi. uchun quyi musbat chegarani topish mumkinligini ko ’ rsatamiz . Teorema 2.1.1. Agar ko ’ rilayotgan oraliqda (2.1.1) tenglamaning koeffisentlari quyidagi shartni qanoatlantirsin : , (2.1.2) U holda tenglamani yechimining ketma - ket ikkita noli orasidagi masofa bo ’ lganda quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi : 19 (2.1.3) va agar bo’lsa Isbot. Teoremani isbotini quyidagi eslatma bilan boshlaymiz, oraliqda aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya uchun quyidagi o’rinli: (2.1.4) Haqiqatdan ham, bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz: va bularni hadma-had ayirsak (2.1.4) kelib chiqadi. Endi (2.1.1) tenglamaning yechimi va nuqtalarda ketma-ket ikkita nolga ega bo’lsin va (2.1.4) ayniyatni funsiyaga tadbiq etamiz: shuning uchun 20 ni o’rniga (2.1.4) dan qiymatini keltirib qo’ysak: (2.1.5) Faraz qilaylik ning dagi maksimumi va bo’ladi, va , intervalda quyidagi tengsizlik o’rinli: , quyidagi va ko’paytmalarning har biri absolyut qiymati bo’yicha dan oshmaydi. (2.1.2) tengsizliklarni qo’llab (2.1.5) ni keltirib chiqaramiz: (2.1.6) va . (2.1.6) ni bo’lgan nuqta tatbiq qilib va ga bo’lsak quyidagi hosil bo’ladi: 21 ya’ni quyidagi tengsizlikni qanoatlantirish kerak: shuning uchun oraliqdan tashqarida yotishi kerak, oraliqning chekalari esa quyidagi tenglamaning ildizlari: aynan bulardan (2.1.3) kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bundan (2.1. ) tengsizlik kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda yanada aniqroq bahoni olish mumkin: u holda (2.1.6) quyidagilar bilan almashadi: (2.1.4) esa quyidagi bilan almashadi: 2§. Yechimning maksimumi, minimum va nollari haqidagi teoremalar. Teorema 2.2.1. 22 (2.2.1) tenglamaning hech bir yechimi bo’lgan oraliqda tebranuvchi bo’lmaydi. Isbot. Faraz qilaylik bo’lsin, u holda (2.2.1) quyidagicha: shuning uchun bo’lganda ixtiyoriy oraliqda quyidagiga ega bo’lamiz: demak, agar , yani ikkita nolga ega bo’ladi, u holda bu nollar orasidagi interval quyidagicha bo’ladi: Xuddi shunday isbotlash mumkinki, bittadan ortiq nolga ega bo’lmaydi va agar nolga ega bo’lsa, nolga ega bo’lmaydi va aksincha. Teorema 2.2.2. Agar oraliqda (2.2.1) tenglamaning va koeffisentlari birinchi tartibli hosilasi bilan uzluksiz, ko’paytma shu oraliqda x ning kamayuvchi (o’suvchi ) emas funksiyasi va no’lga aylanmaydi. U holda (2.2.1) tenglamaning yechimining maksimumi va minimumi oraliqning ichida shundayki qiymatlari o’suvchi bo’lmagan (kamayuvchi bo’lmagan ) ketma-ketlik hosil qiladi. Isbot. Quyidagi funksiyani qaraymiz: 23 bu funksiyaning hosilasi : (2.2.1) dan shunday qilib bu ko’rsatadiki oraliqning ichida hosila musbat emas, agar dan hosila manfiy bo’lmasa va aksincha. y ning va nuqtalari da bo’lib demak y ning maksimumi va minimumining kvadrati va shuning uchun o’suvchi bo’lmagan ketma- ketlik hosil qiladi agar kamayuvchi va aksincha. tenglik nafaqat nuqtalarda, balki bo’lgan nuqtalarda ham o’rinli bo’ladi. Demak qiymati shu nuqtalarda ham ketma-ketlik hosil qiladi. 3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet teoremasi. Faraz qilaylik bizga sodda shaklga keltirilgan: (2.3.1) 24 tenglama berigan bo’lsin va qaralayotgan oraliqda koeffisent musbat u holda shunday ikkita musbat va son topiladiki bo’lib: (2.3.2) Teorema 2.3.1. Agar (2.3.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimining ketma-ket ikkita noli orasidagi masofa bo’lsin, u holda: (2.3.3) o’rinli. Isboti. (2.3.2) ga ko’ra taqqoslash teoremasidan foydalanish mumkin va buning uchun oldin quyidagi o’zgarmas koeffisentli differensial tenglamalarni qaraymiz: , (2.3.4) bularning umumiy yechimlari mos ravishda quyidagi ko’rinishda , (2.3.4) tenglamaning birinchisi ga qo’shma bo’lgan nuqtasi ikkinchisining nuqtasi (n-butun son ). Taqqoslash teoremasiga ko’ra (2.3.4) tenglamaning birinchisining ixtiyoriy yechimining ketma-ket ikkita va nollari orasida , ikkinchisining hech bo’lmaganda bitta noli yotishi kerak, demak oraliqda nuqtaga o’ngdan qo’shma bo’lgan yotishi kerak , chunki nuqta dan o’ng tomonidagi birinchi nuqta bo’lib, bo’lganda yechim 25 , bunda xuddi shunday va nuqtalar orasida (2.3.4) tenglamaning birinchisini ketma-ket ikkita noli orasida yechimining dan farqli no’li bo’lishi kerak, shuning uchun shu oraliqda yotadi, bundan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi: , Bulardan va (2.3.3) ni hosil qilamiz. Valle-Pussen teoremasida , desak (2.3.3) ning o’rniga quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz: shuning uchun biz quyidagini ham isbotladik. Agar (2.3.3) shart uzunligi dan kichik bo’lgan intervalda o’rinli bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning barcha yechimi shu oraliqda tegranuvchi bo’ladi, ya’ni u yerda hech bo’lmaganda ikkita noli bo’lishi kerak. Endi berilgan tenglamaning (2.3.1) shartni qanoatlantiruvchi uzunlikdagi ochiq oraliqda yotuvchi yechimning nollarini bilan belgilaymiz, u holda: (2.3.5) Haqiqatdan ham nollar va bu oraliqning ikki chekkasi bilan aniqlanib ularning uzunliklari dan oshmaydi va ular yig’indisining 26 uzunligi dan oshmaydi. Bundan: bo’lib, (2.3.5) kelib chiqadi. Agar tenglamada bo’lsa , u holda uning fundamental yechimlar sistemasi 1,x . Shpet teoremasi shuni ko’rsadiki, agar da 0 ga juda tez intiladi, u holda ning ishorasidan qat’iy nazar berilgan tenglamaning fundamental sistemasi x ning yetarli katta qiymatlarida 1,x dan kam farq qiladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: agar da munosabat chegaralangan bo’ladi va uni kabi yozish mumki n. Teorema 2.3.2. Agar bunda u holda (2.3.1) tenglama shunday va fundamental sistemaga ega bo’lib u: agar agar bo’lsa. Isbot. Isbotlash uchun umumiyroq bo’lgan tenglamani qaraymiz: (2.3.6) 27 bunda parametr bo’lib da (2.3.1) tenglama hosil bo’ladi. Faraz qilaylik da aniqlangan. (2.3.6) tenglamani yechimini darajasi shaklida qator ko’rinishida izlaymiz: (2.3.7) oldin ni quramiz; deb olamiz. (2.3.7) ni (2.3.6) ga qo’yamiz va ni mos darajalari oldidagi koeffisentlarni tenglashtirib , ni aniqlash uchun rekurrent tenglama hosil qilamiz: , (2.3.8) funsiylarni ketma-ket ravishda quyidagi formulalar bilan kvadraturada aniqlanadi: (2.3.9) (2.3.9) formuladagi xosmas integrallarni yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz va ni baholaymiz. shartdan shunday o’zgarmas topiladiki bo’lganda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi: 28 bundan . To’la induksiya usuliga ko’ra: bundan ko’rinadiki daning istalgan qiymatida bo’lganda (2.3.8) qator absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’lib va (2.3.6) tenglamaning yechimi bo’ladi. Quyidagi tengsizlikdan: Bunda katta qavs ichida yaqinlashuvchi qator bo ’ lib , da qator yig ’ indisi 1 ga intiladi , bundan : uchun teorema isbot bo ' ldi . 29 Endi yechimni qaraymiz , (2.3.7) qatorda deb olamiz ; ni aniqlash uchun quyidag itenglamalarga egamiz : , (2.3.10) Agar bo’lsa quyidagi xosmas integrallarni olamiz: (2.3.11) Bu xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’lib va uchun da quyidagi bahoga egamiz: Bu qator tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo’lgani uchun quyidagiga egamiz: Bu hol uchun teorema to’la isbotlandi. 30 Agar bo’lganda shunday natural son topiladiki, , bo’lib quyidagi formulalarni kiritamiz: bo’lsa, quyidagi bahoga egamiz: (2.3.12) Agar bo’lsa (2.3.13) Bu ikki bahoni bitta qilib yozish mumkin. Shunday musbat son tanlaymizki bo’ladi, da, (2.3.12) va (2.3.13) lar o’rniga bitta tengsizlik yozish mumkin: , , 31 , bo’lganda bu qatorning tekis yaqinlashuvchiligi osongina isbotlanadi, ning tartibi handing tartibi bilan bir xil, ya’ni u bo’lganda va bo’lganda ga teng bo’ladi bo’lganda (2.3.13) bahoga ko’ra. 4§.Tebranish teoremalari. Pryufer almashtirishi. tenglamani sistema bilan almashtiramiz: , (2.4.1) va larni qutb koordinatalari bilan almashtiramiz: , (2.4.2) bundan , 32 shuning uchun (2.4.1) quyidagicha bo’ladi: ya’ni (2.4.3) trivial yechimni olmaymiz. Agar (2.4.3) ning birinchisidan ( qatnashmagan) ni topsak , u holda ni quyidagicha topamiz: bunda − ning ixtiyoriy nuqtasidagi qiymati. Agar koeffisent parametrga bog’liq bo’lsa u holda tenglama quyidagicha bo’ladi: (2.4.4) ni holatini o’rganadigan ikkita teoremani ko’rib chiqamiz, birorta (chekli yoki cheksiz) qiymatiga intilganda da intilgandagi. Teorema 2.4.1 Agar biror oraliqda: (2.4.5) ( x ga nisbatan tekis), u holda boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi 33 (2.4.6) tenglamaning yechimi uchun: (2.4.7) o’rinli bo’ladi. Isboti. Isbotni eslatmadan boshlaymiz ixtiyoriy kichik musbat son uchun ( va dan kichik) tekislikni yo’lagida bo’ladi. Faraz qilamiz ning oraliqdagi kichik atrofida yotsin, u holda (2.4.5) ga ko’ra: biz (2.4.6) shartdan, agar oraliqda funksiyaning eng katta qiymati bo’lsa, u holda (2.4.6) tenglamaning integral chiziqlari quyidagi tenglamaning integral chiziqlari bilan kesishadi. (2.4.8) (bu chiziqlarning burchak koeffisenti ) demak birinchi chiziq bilan ikkinchi chiziqning ordinatalari ayirmasi x ning o’sishi bilan musbat qiymatdan manfiyga o’tadi. Shuning uchun (2.4.6) tenglamaning integral chiziqlari x ning o’sishi bilan pastdan yuqoriga qarab ko’rsatilgan chiziqlarning birortasi bilan yo’lakni ichida kesishadi. Endi ni fiksirlab qo’yamizki, bilan to’gri 34 chiziqning burchak koeffisenti ustma-ust tushsin. Chizmadagi va nuqtalar uchun: bu yerdan Demak, o’rganilayotgan integral chiziq da nuqtadan pastdan boshlanadi (chunki shuning uchun ) shuning uchun u dan ga o’sganda kesmani kesib o’tolmaydi. Lekin ikinchi tomondan bunday integral chiziq hech qachon yarim tekislikda yotmaydi , shuning uchun (2.4.6) shartga ko’ra oraliqning nuqtalarida o’qi uchun : shuning uchun qaralayotgan integral chiziq 1-chizmadagi shtrixlangan sohada yotishi kerak va bo’lganda bu chiziqning ordinatasi manfiy bo’lishi mumkin emas va ning ordinatasidan katta emas demak ning ixtiyoriyligidan (2.4.7) kelib chiqadi. N B b A a 0 35 1-chizma Teorema 2.4.2. Agar oraliqda: (2.4.5`) o’rinli bo’lsa, u holda bunda boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi (2.4.6) tenglamaning yechimi uchun (2.4.7`) o’rinli bo’ladi. Isbot. Faraz qilaylik musbat son shundayki agar bo’lsa esa keyinroq aniqlanadigan musbat son, u holda ning oraliqning yetarli kichik atrofida yotsa u holda (2.4.5 1 ) sharga ko’ra: va larning bir vaqtda no’lga aylanmasligidan (2.4.6) shartdan (2.4.9) (2.4.9) tengsizlikdan quyidagi tenglamani tuzamiz: (2.4.10) 36 bu tenglamani almashtirish yordamida integrallash mumkin. Bu ga nisbatan tenglama: bundan bu yerda C -ixtiyoriy o’zgarmas son. Shuning uchun (2.4.10) tenglamaning umumiy yechimi; (2.4.11) Endi oraliqdagi yoyni (2.4.10) tenglamaning integral chizig’i deb dan chiqib ga boruvchini deb olamiz. Bu chiziq da (2.4.11) fo’rmula bilan aniqlanadi bunda bo’lib ni qiymati I-chorakda bo’ladi. ( ) dan keyin esa ikkinchi, uchinchi, to’rtinchi choraklarda bo’ladi, bu uzluksiz degan shardan kelib chiqadi: , , , qiymatlardan o’tsa uning ordintasi esa , , ,…….. qiymatlarni qabul qiladi, agar: , , , qiymatlarni qabul qilsa, da ordinatalar ( - butun son ) bo’ladi. ekanligidan bo’lsa 2-chizma hosil bo’ladi. 37 0 Biroq teoremada gap borayotgan integral chiziq ( dan) boshlanuvchi chiziqdan pastda yotmaydi, chunki bu nuqtalarning kesishishi nuqtasida (2.4.9) va (2.4.10) larga ko’ra: shuning uchun ayirma ning o’sishi bilan ishorasini - dan + ga almashtiradi. Shuning uchun oraliqda bundan ning ixtiyoriyligidan (2.4.7 1 ) munosabat kelib chiqadi. Tebranish teoremasi. Agar (2.4.4) tenglamaning koeffisenti dan olingan uchun chekli yoki cheksiz biror ga intilganda ga tekis intilsa, u holda ixtiyoriy musbat uchun nuqtaning biror atrofi ni o’zida saqlovchi nuqta topish mumkin bo’lsa u holda (2.4.4) tenglamaning yechimi da kamida marta 0 ga aylanadi . Isbot. Haqiqatan ham (2.4.4) tenglamaning ixtiyoriy yechimini qanoatlantiruvchi funksiya uchun (2.4.6) tenglamaning yechimi 38 bo’lganda oraliqdagi ni qabul qiladi. bo ’ lganda dan katta qiymatni qabul qiladi . Biroq bundan ning uzluksiz funsiyasi bo ’ lgani uchun quyidagi qiymatlarni hech bo ’ lmaganda bir necha marta qabul qiladi : , , , ……. ,. Agar dan ga o’tsa, yechim ni qabul qilganda 0ga aylanadi, demak (2.4.4) tenglamaning yechimi da hech bo’lmaganda marta 0ga aylanadi. 5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari Misol 1. , tenglamani ketma-ket ikkita noli orasidagi masofani toping. kesmada nechta noli bo’lishi mumkin. Yechish. , , , , , , bunda - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bu holda tenglamaning ixtiyoriy yechimining nollari bir-biridan masofada x o’qida joylashadi. kesmada ta noli yotadi . ([ ] butun qismi ). Misol 2. tenglamani kesmadagi ketma - ket ikkita no ’ li orasidagi masofani yuqoridan va quyidan baholang . Yechish. , da 39 da U holda , , Bundan kesmada tenglamaning ketma-ket ikkita no’li orasidagi masofa: Maple dasturi yordamida ikkinchi tartibli berilgan shartlarga nisbatan integral chiziqini aniqlash > restart; > a:=2; := a 2 > with(DEtools): DEplot(diff(y(x),x$2)+a*y(x)=0,y(x), x=-2.5..1.4,[[y(0)=1,D(y)(0)=2]],y=-4..5,stepsize=.05); > > > > 40 > > > > > > > > > 41 > > 42 6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning ifodalanishi Massasi m ga teng bo’lgan moddiy nuqtaning to’g’ri chiziq bo’ylab harakatini qaraymiz. Bu nuqtaga uch tipdagi kuchlar ta’sir etadi. 1. Koordinata boshiga o’tuvchi tortishish kuchi uning qiymati – ax ga teng. 2. Qarshilik kuchi tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo’lib, qiymati ga teng. 3. Tash qi kuch – uning qiymati F(t) ga teng. U holda Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan moddiy nuqtaning harakat tenglamasi quyidagi formula orqali ifodalanadi: Yoki bundan, , ga kelamiz, bunda . hosil bo’lgan tenglama ikkinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan tenglamadan iboratdir. Moddiy nuqtaning erkin tebranish tenglamasi qarshilik kuchi bo’lmagan holda quyidagicha ifodalanadi: 43 Buning xarakteristik tenglamasi quyidagicha bo’ladi: , uning yechimi , u holda uning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Agar, va ni , kabi tanlab olsak u holda tenglamaning yechimi quyidagicha bo’ladi: Bunday harakatga garmonik harakat deyiladi, uning davri , - uning chastotasi deyiladi. Agar moddiy nuqtaga qarshilik kuchi ta’sir etsa, u holda uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi: . Bu tenglamaning xarakteristik tenglmasini tuzamiz. Uning ildizlari . 1. Quyidagi holni ko’rib chiqamiz. , u holda tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi. Bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmas sonlar b o’lib, doim noldan farqlidir va bu yechimlar cheksizlikka intilganda doim nolga intiladi. Uning fizik ma’nosi qarshilik kuchi ta’siri natijasida tebranma harakat so’nib borar ekan. 44 2. Agar o’lsa, va u holda differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha ko’rinish oladi: Bu ndan ko ’rinadiki, yechim doim noldan farqli bo’lib, cheksizlikka intilganda yechim nolga intiladi. 3. Faraz qilaylik, , ya’ni , u holda xarakteristik tenglamaning yechimlari quyidagi formula orqali aniqlanadi. Umumiy yechim bo’lsa, Yoki Bundan ko’rinadiki, yechim garmonik yechimdan iborat bo’lib, cheksizlikka intilganda yechim nolga intilar ekan. Agar tashqi kuch ta’siri natijasida moddiy nuqta harakatlanayotgan bo’lsa, quyidagi holatlarni qarab chiqamiz. A) Agar tashqi kuch ta’siri natijasija moddiy nuqtaning harakatida qarshi kuch bo’lmasa va tashqi kuchning qiymati garmonik funksiya orqali ifodalansa, u holda uning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: . Avval bir jinsli tenglamaning yechimini aniqlaymiz. Uning yechimi yuqorida keltirilgan edi. Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimini ω≠k bo’lganda, quyidagicha izlaymiz. . 45 Bundan A va B larni aniqlasak xususiy yechimning ko’rinishi , bo’ladi va umumiy yechim B) Agar ω=k bo’lsa , u holda xususiy yechimning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi. . Bundan A va B larni aniqlasak xususiy yechimning ko’rinishi kabi b o’ladi, umumiy yechim esa , b o’ladi. V) Agar tashqi kuch ta’siri natijasida qarshilik kuchining cheksiz kichik bo’lgan holdagi qiymatlarni qarab o’tamiz. Unda moddiy nuqtaning tebranish tenglamasi bo’ladi. Bu holda xususiy yechimning ko’rinishi bo’ladi. Bundan A va B larni aniqlasak, , Xususiy yechimning k o’rinishi 46 bo’ladi . U holda umumiy yechim bo’ladi, cheksizlikka intilganda yechim ko’rinishda bo’ladi, bunda agar, h cheksiz kichik bo’lsa u holda , agar k=ω bo’lsa u holda rezonans hodisasi yuz beradi bu esa fizikaning asosiy hodisalaridan biridir. XULOSA Bu malakaviy bitiruv ishida (1.1.1) ko’rinishdagi ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama o’rganilgan. Bunda bu tenglamani sodda shaklga keltirish va uning tebranuvchi va tebranmas yechimlarini aniqlash qaralgan. Tenglamaning ixtiyoriy yechimining ketma-ket ikkita no’li orasidagi masofa aniqlangan. Taqqoslash 47 teoremasi va uning isboti keltirilgan. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarga doir misollar keltirilgan. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ishda bitta differensial tenglama tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil differensial tenglama bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari taqqoslanadi. Fan va texninkaning ko’p h odisalari rezonans bilan bog’liq. Rezonans hodisasi misollarda batafsil o’rganildi. Maple dasturi yordamida ikkinchi tartibli berilgan shartlarga nisbatan integral chiziqlari aniqlandi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI I. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari. 1. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Erkin va farovon, demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag’ishlangan Oliy Majlis 48 palatalarining qo‘shma majlisidagi nutqi Sh.M. Mirziyoyev. Toshkent: O’zbekiston, 2016. - 56 b. 2. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017 yilga mo’ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi ma’ruza, 2017 yil 14 yanvar / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent: O’zbekiston, 2017. 104 b. (.pdf 32,5 Mb) 3. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash – yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi. O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga bag’ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza. 2016 yil 7 dekabr Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent: “O’zbekiston”, 2017. – 48 b. 4 . Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom ettirib, yangi bosqichga ko’taramiz. / Sh. M. Mirziyoyev. – Toshkent: O’zbekiston, 2017. -592 b. II. Me’yoriy- huquqiy hujjatlar. 1. O’zbekiston Respublikasining Konstitusiyasi. -T., 2018. 2. O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni. 2020-yil 23sentabr.O’RQ-637-sonli “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni. 3. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2012 yil 28 dekabrdagi “Oliy o‘quv yurtidan keyingi ta’lim hamda oliy malakali ilmiy va ilmiy pedagogik kadrlarni attestasiyadan o’tkazish tizimini takomillashtirish chora- tadbirlari to‘g‘risida”gi № 365 sonli Qarori. 4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2009 yil 11 iyundagi 204-son buyrug’i bilan tasdiqlangan “Oliy ta’lim muassasalarida talabalar bilimini nazorat qilish va baholashning reyting tizimi 49 to’g’risida”gi Nizom. Ushbu Nizomga O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2010 yil 25 avgustdagi 333-son va 2013 yil 13 dekabrdagi 470-sonli buyrug’lari bilan o‘zgartirish va qo‘shimchalar kiritilgan hamda ‘zbekiston Respublikasi Adliya vazirligida 1981-2 - son bilan davlat ro‘yfatidan qayta o‘tkazilgan. (O’R QHT, 2013 y., 50-son, 659-modda). 5. O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2021 yil 31 martdagi “Oliy ta’lim muasasalari talabalarini me’yoriy-hujjatlar bilan ta’minlash to’g’risida”gi № 114 - sonli buyrug’i. 6. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil 10 yanvardagi “Vazirlar Mahkamasining “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to’g’risida” 2001 yil 16 avgustdagi 343-son qaroriga o’zgartirish va o’shimchalar kiritish haqida”gi № 3–sonli Qarori. 7. O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil 20 avgustdagi “Oliy ta’lim muassasalarining rahbar va pedagog kadrlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirishni tashkil etish chora-tadbirlari to’g’risida”gi № 242-sonli Qarori. III. Maxsus adabiyotlar. 1. A.B.Hasanov.Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish.Samarqand .2019yil.318 bet. 2. Muxtarov Ya. Soleyev A. Oddiy differensial tenglamalar. Misol va masalalar. Darslik,- Samarkand: SamDU nashri 2020.-390b. 3. Краснов М.Л., Кисилёв А.И., Макаренко Г.И. Oбыкновенныe дифференциальныe уравнения.Задачи и примеры с подробными решениями.Уч.пособие- М,: Едиториал УРСС,2002-256с. 4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.Минск:Высшая школа,1967.308 с. 5. Салохитдинов М.С., Насритдинов Г.Н. Оддий дифференциал тенгламалар. Ташкент: Ўқитувчи 1982, 446 б. 50 6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. Физматгиз. 1952. 468 с. 7. Филиппов A.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. Наука 2003, 128 с. 8. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н. С. Оддий дифференциал тенгламалар. Ташкент: Ўқитувчи. 1992, 310 б. 9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Москва. ЮНИТИДАНА. 2007. 479с. 10. Хўжаёров Б.Х., Шадманов И.Э., Жомонкулова Ф.Э. Дифференциал ҳисобнинг иқтисодий масалаларни ечишга қўлланиши. СамИСИ. Самарканд 2016. 32б. 11. Шодиев Д.С., Зулфиқорова К., Шодиева C . О регуляризации решение задачи коши для бигармонического уравнения на плоскости. A малий математика ва ахборот тенгламаларининг замонавий муаммолари. Халкаро илмий-амалий анжуман материаллари. 2022-йил.11-12 май. 233c. Бухоро. IV. SCOPUS ro’yxatidagi jurnallardan olingan adabiyotlar 1. Morris Tenebaum, Harry Pollard.Ordinary Differential equation. Birkhhauzer.Germany, 2010 2. Robinson J.C..An Introduction to Ordinary Differential equation. Cambridge University Press, 2013,399p. 3. Sytsaeter Kn., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. Pearson Education Limited. London, New York 2014. 745p. 4.Xin-She Yang.Engineering Mathematics with Examples and Applications.Middlesex University School of Sciense and Texnology London,United Kingdom,2016. 5.A.B.Khasanov,F.R.Tursunov,On the Cauchy problem for the Laplace equation,Ufa.Math J,11(2019),no.4,92-107.DOI:10.13108/2019-11-4-91 6.Dilshod S.Shodiev,On the Cauchy problem for the Biharmonic equation.Journal of Siberian Federal University.Mathematikis&Physics 2022,15(2)1-15 DOI:10.17516/1997-1397-2022 15-2-15. 51 Internet saytlar 1. www.eknigu.com/lib/Mathematics/ 2. www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC 3. www.lib.homelinex.org/math 4. www.ziyo.net 5. www.tuit.uz 6. www.bilim.uz 7. www.gov.uz 8. http://www.mcce.ru , http://lib.mexmat.ru 9. http:// www.a-geometry.narod.ru 10. http://allmath.ru/highermath/mathanalis / 11. http://www.el.tfi.us/pdf/enmcoq22.uzk.pdf/ 12. http://www.mаthnet.ru 52

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi M U N DA R I J A Kirish …………………………………………………………………………. 5 I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish……………………………………………………………………….. 8 2§. Tebranuvchi yechimga ega bo’lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar……………………………………………………………………. 14 3§. Taqqoslash teoremasi……………………………………………………... 16 II Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari 1§. Valle-Pussen teoremasi…………………………………………………. 21 2§. Yechimning maksimumi, minimum va no’llari haqidagi teoremalar……. 24 3§. Yechimning ikkita ketma-ket no’llari orasidagi masofa va Shpet teoremasi……………………………………………………………………… 26 4§. Tebranish teoremalari…………………………………………………...... 33 5§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning tadbiqlari ………… 39 6§. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar tebranma harakatlarning ifodalanishi……………………………………………………………………. 44 Xulosa……………………………………………………………………… … 48 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 49

Kirish Ilm-fan, ta lim va ishlab chiqarish o‘rtasidagiʼ integratsiyalashgan hamkorlikni yo‘lga qo‘yish kerak. Sh. M. Mirziyoyev Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi . O’zbekistonda olib borilyatgan islohotlardan asosiy maqsad, yurtimizda sog’lom va barkamol, bilimli, yuksak ma’naviy-axloqiy fazilatlarga ega bo’lgan avlodni shakllantirishdan iborat. Barkamol insonni voyaga yetkazish uchun eng avvalo oila, mahalla, maktab, butkul jamiyat va davlatning uzviy hamkorligini yuqori pog’onaga ko’tarish lozim. O’zbekistonning buyuk kelajagini barpo etish asosan bugungi yosh avlod zimmasiga tushadi. Ularni kuchli, bilimli, madaniyatli, mehnatsevar, tashabbuskor, izlanuvchan etib shakllantirish, hayot tajribasiga ega, qiyinchiliklarga toblangan yoshi ulug’larimiz, faxriylarimizning, shu bilan birga, mazkur ishga da’vat etilgan muallimlar va ustozlarning bosh vazifasidir. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2021-yil 1-apreldagi PF-6198son Farmoniga ko’ra, so‘ngi yillarda Respublika iqtisodiyoti tarmoqlari va ijtimoiy sohani innovatsion rivojlantirish, ilm-fan va ilmiy faoliyatni har tomonlama qo‘llab-quvvatlash va natijadorligini oshirish bo‘yicha aniq maqsadga yo‘naltirilgan chora-tadbirlar amalga oshirildi. O’zbekiston Prizidentining 2017 yil 20 apreldagi “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida”gi PQ-2909-sonli qarori, O‘zbekiston Prezidentining 2020 yil 29 oktyabrdagi “Ilm fanni 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini tasdiqlash to‘g‘risida”gi PF-6097-sonli Farmoni, O’zbekiston Respublikasing 2020- yil 23-sentabrdagi O’RQ-637-sonli “Ta’lim to’g’risida”gi Qonuni, O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligining 2021-yil 16 iyuldagi “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to’g’risida”gi №311-sonli buyrug’i va boshqa huquqiy-me’yoriy 2

hujjatlarda ta’lim tizimini zamonaviylashtirish va unda innovatsiyalarni joriy etish bo‘yicha tegishli chora-tadbirlar belgilab berilgan . Respublikani innovatsiyalar sohasidagi global reytingdagi ilg‘or 50 ta mamlakatlar ro‘yxatiga kiritishga qaratilgan strategik dastur tasdiqlandi, ilmiy loyihalarni moliyalashtirishning yangi mexanizmlari joriy etildi, ilm-fan sohasida yuqori malakali kadrlarni moliyaviy rag‘batlantirish uchun qo‘shimcha shartsharoitlar yaratildi. Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p fizik jarayonlar, masalan tor tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masalalarni yechish, fizikaning muhim hodisalaridan biri bo’lgan rezonans hodisalarini o’rganish ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni xossalari va yechimlariga bog’liq. Malakaviy bitiruv ishida asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamaalrning xossalari, hamda misollarda ularning tadbiqlari keltiriladi. Masalaning dolzarbligi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda bitta differensial tenglama tebranuvchi yechimini holatini va ikkita har xil differensial tenglama bo’lganda tebranuvchi yechimlari xossalari taqqoslanadi. Fan va texninkaning ko’p xodisalari rezonans bilan bog’liq. Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv ishida ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning asosiy xossalari to’liq keltirilgan bo’lib, taqqoslash teoremasi keltirilgan va isbotlangan. Ishning maqsadi ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni to’la o’rganish. Tebranuvchi va tebranmas yechimlarni no’llari va bu no’llarni orasidagi masofalar topilgan. Ilmiy tatqiqot metodlari. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar universitet kursida chuqur o’rganilmaydi, shuning uchun ushbu bitiruv ishda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar batafsil o’rganilgan. 3

Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv ishda bitta ikkinchi tartibli differensial tenglamani tebranuvchi yechimini holatlari o’rganilgan bo’lib uning nollari orasidagi masofalar qaralgan. Ishning amaliy ahamiyati. O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli ikkita differensial tenglamalarni qaraymiz: (A) (B) (A) tenglamaning har qanday yechimi oraliqda bittadan ortiq nolga ega emas. (B) tenglamaning har qanday yechimi formula bilan ifodalanadi va u cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib , ular orasidagi masofa ga teng. Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi mundarija, kirish, ikki bob, to’qqizta paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Olingan natijalar. Birinchi bobda ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar, ularning х ossalari va taqqoslash teoremasi o`rganilgan. Ikkinchi bob ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar yechimlari uchun t ebranish teoremalariga bag’ishlangan bo’lib, bunda Valle-Pusen teoremasi, Shpet teoremasi va tebranish teoremalari o’rganilgan. Ikkinchi bob ning beshinchi paragrafida bu teoremalar misollarga tatbiq etilgan. 4

I Bob. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni sodda holga keltirish . Ikkinchi tartibli chiziqli o’zgaruvchi koeffisentli quyidagi differensial tenglamani qaraymiz: (1.1.1) yoki (1.1.1)` unda P, Q yoki , , koeffisentlarini biror intervalda x ning uzluksiz funksiyasi deb faraz qilamiz . Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ba’zi sodda hollarini qaraymiz. (1.1.2) (1.1.2) o’ziga qo’shma differensial tenglama deyiladi. Teorema 1.1.1 . Har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltirish mumkin. Isbot. (1.1.2) tenglamani ochib chiqsak tenglama hosil bo’ladi. Unda oldidagi koeffisent oldidagi koeffisentning hosilasi ekanligini ko’rsatamiz . Bu o’ziga qo’shma tenglamalarning oziga xos xossasidir. (1.1.1)’ tenglamani har ikki tomonini funksiyaga ko’paytiramiz. 5

O'xshashlar

Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR HAQIDA MA’LUMOT
Ikkinchi tartibli chiziqlarga urinma maxsus yo’nalishlar
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini matritsaviy usulda yechish
ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI