logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning optimallashtirish masalalarini yechishga qo’llashning matematik modelini qurish.

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning optimallashtirish masalalarini yechishga qo’llashning matematik modelini qurish.

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

670.5302734375 KB
Ko'chirib olish
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning optimallashtirish masalalarini yechishga qo’llashning matematik modelini qurish. MUNDARIJA Kirish. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi. . . . . . . 2 Funksiyaning xususiy hosilalari Funksiyaning diffrensiali.. . . . . . . . . . . . . 3 Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari. . . . . . . . . . . . . . . 5 Differensial tenglamalarga keltiruluvchi masalalar. . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Birinchi tartibli differensial tenglamalar. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Koshi masalasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xulosa Foydalanilgan Adabiyotlar ro`yxati KIRISH. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimovning “Jahon moliyaviy-iqtisodiy inqirozi, O`zbekiston sharoitida uni bartaraf etishning yo`llari va choralari” asarida “… korxonalarni modernizatsiya qilish, texnik va texnologik qayta jihozlashni yanada jadallashtirish, zamonaviy, moslashuvchan texnologiyalarni keng joriy etish” inqirozga qarshi choralardan biri sifatida ko`rsatilgan. Birinchi Prezidentimizning 2002 yil 30 mayda qabul qilingan “Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborot- kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to`g`risidagi farmonida kompyuter texnologiyalaridan foydalanishning samaradorligini oshirish yo`nalishlari belgilab berilgan. Uning «Vatanimizning kelajagi, xalqimizning ertangi kuni, mamlakatimizning jahon hamjamiyatidagi obro`-e’tibori, avvalambor farzandlarimizning o`nib-o`sib, ulg`ayib, qanday inson bo`lib hayotga kirib borishiga bog`liqdir. Biz bunday o`tkir haqiqatni hech qachon unutmasligimiz kerak» degan oqilona gaplariga amal qilmog`imiz lozim. Bu vazifalarni zamonaviy kompyuter texnologiyalarining tadbiqisiz bajarish mumkin emas. Ilmiy asoslangan rejalar tuzish, ularni amaliyotga joriy etish eng ilg`or axborot- kommunikatsiya texnologiyalardan foydalanishni taqozo etadi. Xalq deputatlari Samarqand viloyat Kengashining 2010 yil 17 dekabrdagi navbatdan tashqari sessiyasida Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimovning qilgan ma’ruzasida oliy ta’lim muassasalarida ta’lim berish sifatini tubdan yaxshilash, kompyuter texnikasi va texnologiyasidan samarali foydalanish, shuningdek, internet tizimini o`quv va ilmiy ishlar jarayoniga tadbiq etish, o`zlashtirish hamda yanada rivojlantirish ustuvor vazifalardan biri ekanligi qayd etildi. Elektron hisoblash mashinalarining inson faoliyatining turli sohalariga tobora chuqurroq kirib borishi hozirgi zamon muhandislaridan hisoblash texnikasi va amaliy matematika usullarini yetarli darajada bilishlarini talab etmoqda. Oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari birinchi kursdayoq hisoblash usullari va algoritmik tillarni o`rganadilar, ulardan umummuhandislik va maxsus fanlar bo`yicha laboratoriya ishlari, kurs ishlari hamda diplom ishlarini bajarishda foydalanadilar. Hisoblash usullarini yuqori malakali mutaxassislar yaratadilar. Oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari va ilmiy xodimlari shu usullarning asosiy g`oyalarini tushunsalar va o`z masalalarini yechishda ulardan foydalana olsalar shuning o`zi yetarlidir. Hozirgi paytda amaliy matematikaning qator bo`limlari bo`yicha chuqur mazmunli darsliklar, ilmiy va o`quv qo`llanmalari mavjud. Ammo, ularning ko`pida muayyan matematik yo`nalishgina yoritilgan bo`lib, oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari ularni o`rganish uchun maxsus matematik tayyorgarlikka ega bo`lmaganliklari tufayli bu fanni o`zlashtirishda qiynaladilar. Ayniqsa hisoblash matematikasi usullari har tomonlama tushunarli qilib yozilgan qo`llanma va darsliklar o`zbek tilida yetarli emasligi talabalar uchun bir qancha qiyinchiliklar tug`dirmoqda. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasiR2 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif . Agar D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi z= f(x,y), z= z(x,y) ,… kabi belgilanadi. Bu yerda x va y argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar ), z ikki x va y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi ) deb ataladi. D to‘plamga f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi ) deyiladi. Masalan. Perimetri a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng. Uchburchakning yuzasini x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi tomoni z bo‘lsin deymiz. U holda a= x+ y+ z bo‘ladi. Bundan z= a− x− y. Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz: S= √p(p− x)(p− y)(p− z), bu yerda p= a 2 . p va z ni Geron formulasiga qo‘yamiz: S= √ a 2 ( a 2 − x)( a 2 − y)( a 2 − a+ x+ y)yoki S(x,y)= 1 4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a) . Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida haqiqiy sonlarning har bir (x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona P(x;y) nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y) nuqtaning funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi. Argumentlarning tayin x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0) n uqtada) ( z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati z0= z|x=x0 y=y0 yoki z0= f(x0,y0) (yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi. Misollar. 1. f(x,y)= y(y2− 1) x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1) nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun f(x,y) funksiy a ga bu nuqtalarning koordinatalarini qo‘yamiz: f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1) 3 =− 2; f(B)= 3⋅(32− 1) y = 24 y ; f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1) x+2 = x(x+1). z= f(x,y) funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin. z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga x o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining qiymatlari va qolgan kataklarga z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning x va y ning berilgan qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning 1- jadval kesishmasida joylashadi. Masalan. 1-jadvalda z= z| x=7 y=0,06 =6. Grafik usuldagi berilishida z= f(x,y) funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1-rasmda z= x2+ y2− 1 funksiyaning grafigi tasvirlangan. Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda z= f(x,y) formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda F(x,y,z)=0 tenglik bilan berilishi mumkin. Funksiya oskormas ko‘rinishda berilganda F(x,y,z)=0 tenglikdagi har bir (x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab etiladi. Analitik usulda berilganda funksiyaning aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Misollar. z= 3x2+ y2 y− x f unksiya y= x shartda aniqlanmagan. Demak, y≠ x . Geometrik nuqtai- nazardan y≠ x shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik y= x to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi (2-rasm). 2. z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda aniqlangan. Bu shart 7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo‘lgan x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar ham bu sohaga tegishli. 1-rasm Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, radiuslari mos ravishda √7 va 3 ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo‘ladi (3-rasm). Ikkidan ortiq o‘zgaruvchining funksiyasi R3 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 2-ta’rif . Agar D to‘plamning har bir (x,y,z) haqiqiy sonlar uchligiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy u soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi belgilanadi: u= f(x,y,z),u= u(x,y,z),F (x,y,z,u)= 0,.... Uch o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y;z) nuqtaning funksiyasi deb qarash va u= f(x,y,z) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxyz fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun fazodan iborat bo‘ladi. Misol. u= √3x− 2 y+z− 6 funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz. Bu funksiya 3x− 2y+z− 6≥ 0 yoki 3x− 2y+z≥ 6 shartda haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi Oxyz koordinatalar fazosining 3x− 2y+z− 6= 0 tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin. Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi. To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman n o‘zgaruvchining funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi. n o‘zgaruvchining y= f(x1,x2,...,xn) funksiyasi ko‘pincha Rn fazodagi P(x1;x2;...;xn) nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi va y= f(P) deb yoziladi. n o‘zgaruvchi funksiyasining3-rasm2-rasm aniqlanish sohasi (x1,x2,...,xn) haqiqiy sonlar sistemasining D to‘plamidan iborat bo‘ladi. Bunda t o‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib bo‘lmaydi. Funksiyaning limiti Ikki (va ikkidan ortq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksiligi bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga tushunchasiga asoslanadi. P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb √(x− x0) 2+(y− y0) 2< δ (yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm). 3-ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun |f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va lim ¿x→x0¿ y→y0¿ ¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y)= A yoki limP→P0 f(P)= A kabi belgilanadi. Quyida bu teoremalarni keltiramiz. 1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni 4-rasm . . limP→P0 (f(P)± g(P))= limP→P0 f(P)± limP→P0 g(P). 2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)⋅g(P))= limP→P0 f(P)⋅limP→P0 g(P) . 1-natija . Funksiya P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi. 2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni limP→P0 f(C )=C . 3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni limP→P0 (k⋅f(P))= k⋅limP→P0 f(P ),k∈R. 4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)n)=(limP→P0 f(P))n , n∈N . 3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim P→P0 f(P) g(P)= limP→P0 f(P) limP→P0 g(P ) , limP→P0 g(P)≠ 0 . 4-teorema . Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va lim P→P0 f(P )= lim P→P0 g(P)= A bo‘lsa, u holda lim P→P0 ϕ(P)= A bo‘ladi. Misollar . 1. lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz: lim (x,y)→(2,−1) x=2 va lim (x,y)→(2,−1) y=−1 . U holda lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy = lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2) lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )= lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2 lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2 22+3⋅2⋅(− 1)=− 2. 2. lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y = lim x→0 √kx 2+9− 3 (1− k)x = lim x→0 kx 2 (1− k)x(√kx 2+9+3) = = lim x→0 kx (1− k)(√kx 2+3+3) = 0 6(1− k) = 0. Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi limx→x0 (limy→y0 f(x,y)) va limy→y0 (limx→x0 f(x,y)) limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz. Funksiyaning xususiy hosilalari z= f(x,y) funksiya D ⊂ R2 to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, P0(x0;y0) , P1(x0+Δx ;y0) , P2(x0;y0+Δy ) va P3(x0+Δx ;y0+Δy ) nuqtalar D to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda Δx ,Δy − argumentlarning orttirmalari. Δxz= f(P1)− f(P)= f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) va Δyz= f(P2)− f(P)= f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmalarga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi. Δz = f(P3)− f(P)= f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmaga z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi. Misol. z= xy +x2− y2 funksiyaning M 0(1;−1) nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini Δx =0,1 va Δy =− 0,2 lar uchun topamiz: Δ xz= (x+ Δx )y+(x+ Δx )2− y2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1)+(1+0,1 )2− 1⋅(− 1)− 12= 0,01 ; Δyz= x(y+ Δy )+ x2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= =1⋅(−1−0,2 )−(−1−0,2 )2−1⋅(−1)+(−1)2=−0,64 ; Δz = (x+ Δx )⋅(y+ Δy )+(x+ Δx )2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1− 0,2 )+(1+0,1 )2− (− 1− 0,2 )2− 1⋅(− 1)− 12+(− 1)2= − 0,55 . 1-ta’rif . Agar Δxz Δx nisbatining Δx → 0 dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ( ∂z ∂x)P0 ,( ∂ f ∂x)P0 ,zx '(x0,y0),fx '(x0,y0) ko‘rinishlarda belgilanadi. Demak, fx '(x0,y0)= lim Δx→0 Δxz Δx =lim Δx→0 f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) Δx . z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi y o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi: fy '(x0,y0)=lim Δy→0 Δyz Δy =lim Δy→0 f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) Δy . n ( n≥ 2 ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham z= f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi. Misollar. 1. z= ln tg x y funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂z ∂x = 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)x′= 2 sin 2 x y ⋅1 y = 2 ysin 2x y , ∂ z ∂ y= 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)y′= 2 sin 2x y ⋅(− x y2)= − 2x y2sin 2x y . 2. u= xyz + x2− y3+ z funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂u ∂x = yz +2x, ∂u ∂y = xz − 3y2, ∂u ∂z = xy +1. z= f(x,y) funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz. Funksiyaning differensiallanuvchanligi z= f(P) funksiya P(x,y) nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin. 2-ta’rif . Agar z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasini Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy (1) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda A,B− Δx ,Δy ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, Δx → 0 ,Δy → 0 da α→ 0 ,β→ 0. 1-teorema . Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. 2-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada A= fx'(x,y) va B= fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shunday qilib, z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi. 3-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Funksiyaning to‘liq differensializ= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diferrensiallanuvchi bo’lsin. 3-ta’rif . Δz to‘liq orttirmaning Δx ,Δy larga nisbatan chiziqli bo‘lgan bosh qismi AΔx +BΔy ga z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali deyiladi va u dz bilan belgilanadi. Demak, ta’rifga ko‘ra dz = AΔx +BΔy yoki 2-teoremaga binoan dz = fx '(x,y)Δx + fy '(x,y)Δy . Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi Δx = dx ,Δy = dy ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin: dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy (2) yoki dz = dxz+dyz, bu yerda dxz= fx'(x,y)dx , dyz= fy '(x,y)dy − z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi xususiy differensiallari. Masalan. z= 3 x y funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz: ∂z ∂x= 3 x yln 3⋅1 y, ∂ z ∂ y= 3 x yln 3⋅(− x y2) . U holda dxz= 1 y3 x yln 3dx , dyz=− x y23 x yln 3⋅dy , dz = 1 y 3 x yln 3⋅(dx − x y dy ). Ko‘pchilik masalalarni yechishda z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga taqriban tenglashtiriladi, ya’ni Δy ≈ dy deb olinadi. Demak, f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0)≈ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy yoki f(x,y)≈ f(x0,y0)+ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy . (3) (3) taqribiy tenglikka z= f(x,y) funksiyani P0(x0;y0) nuqta atrofida chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir A kattalikning taqribiy qiymatini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi: 1o . A ni biror f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi qiymatiga tenglashtiriladi, ya’ni A= f(x,y) deb olinadi; 2o . P0(x0;y0) nuqta P(x;y) nuqtaga yaqin va f(x0,y0) ni hisoblash qulay qilib tanlanadi; 3o . f(x0,y0) hisoblanadi; 4o . fx '(x,y),fy '(x,y) lar topilib, fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) lar hisoblanadi; 5o . x,y,x0,y0,f(x0,y0),fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) qiymatlar (2.3) formulaga qo‘yiladi. Masalan. ni taqribiy hisoblaymiz. 1o . A= arctg ( 1,98 1,03 − 1) , f(x,y)= arctg ( x y − 1) deymiz. U holda f(x,y)= A , x=1,98 ,y=1,03 ; 2o . x0= 2,y0= 1 , ya’ni P0(2;1) deb olamiz; 3o . f(2,1 )= arctg ( 2 1 − 1)= π 4 = 0,785 ; 4o. fx '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅1 y , fy '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅(− x y2), fx '(2,1 )= 1 2 = 0,5 ,fy '(2,1 )=− 1 ; 5o . arctg ( 1,98 1,03 − 1)≈ 0,785 +0,5 ⋅(1,98 − 2)− 1⋅(1,03 − 1)= 0,745 . Yuqori tartibli xususiy hosilalar va differensiallar P(x;y) nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan z= f(x,y) funksiya shu atrofda ∂z ∂x = fx '(x,y), ∂z ∂y = fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi. Bu hosilalar x va y o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi: ∂ ∂x( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x2= zxx ''= fx2''(x,y); ∂ ∂x( ∂z ∂y)= ∂2z ∂y∂x = zxy ''= fxy ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x∂y = zyx ''= fyx ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂ y)= ∂2z ∂y2= zyy ''= fy2''(x,y). Uchinchi, to‘rtinchi va umuman n− tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi. fxy ''(x,y) va fyx ''(x,y) hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi. 7-teorema . Agar z= f(x,y) funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari P(x;y) nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni fxy ''(x,y)= fyx ''(x,y). Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun fxyx '''(x,y,z)= fx2y '''(x,y,z)= fyx2'''(x,y,z) tenglik bajariladi. z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi. P(x;y) nuqtada z= f(x,y) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial d2z= d(dz ) kabi aniqlanadi. Uni topamiz: d(dz )= d(fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy )= =(fx '(x,y)dx +fy '(x,y)dy { )x 'dx +¿ (fx '(x,y)dx +fy '(x,y)dy { )y 'dy = ¿ =(fx2''(x,y)dx + fxy''(x,y)dy { )'dx +¿ (fyx''(x,y)dx + fy2''(x,y)dy )dy . Bundan d2z= fx2''(x,y)dx 2+2 fxy''(x,y)dydx + fy2dy 2, (16) bu yerda dx 2= (dx )2,dy 2= (dy )2. (16) formula simvolik ko‘rinishda d2z= ( ∂ ∂ x dx + ∂ ∂ y dy ) 2 ⋅z kabi yoziladi. Ikki o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari z= f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va P0(x0;y0)∈ D bo‘lsin. 1-ta’rif . Agar P0(x0;y0) nuqtaning shundav δ− atrofi topilsaki, bu atrofning barcha P0(x0;y0) nuqtadan farqli P(x;y) nuqtalarida f(x,y)< f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)) tengsizlik bajarilsa, P0(x0;y0) nuqtaga f(x,y) funksiyaning maksimum ( minimum ) nuqtasi deyiladi. Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. 1-teorema ( ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada ∂z ∂x va ∂z ∂y xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladi yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmaydi. P0(x0,y0) nuqta ) , ( y x f z funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U holda fx '(x0,y0)= 0,fy '(x0,y0)= 0 bo‘ladi. Bu hosilalarni z= f(x,y) tenglama bilan berilgan sirtga P0(x0;y0) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikning z− z0= fx '(x0,y0)(x− x0)+ fy '(x0,y0)(y− y0) tenglamasiga qo‘ysak, z− z0= 0 yoki z= z0 kelib chiqadi. Bundan ekstrimum nuqtalarida sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o‘zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi. Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi. Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi. Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Masalan, z= xy funksiya uchun O(0;0) nuqta kritik nuqta bo‘ladi, chunki bu nuqtada har ikkala zx '= y,zy '= x xususiy hosila nolga teng va f(0,0 )=0. Bunda O(0;0) nuqtaning atrofida f(x,y)> f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( I va III chorak nuqtalari) f(x,y)<f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( II va IV chorak nuqtalari) mavjud bo‘ladi. Shu sababli O(0,0 ) nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Bunday O(0;0) nuqtaga minimaks nuqta deyiladi. 2-teorema ( ekstremum mavjud bo’lishining yetarli sharti ). z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda fx2''(x0,y0)= A, fxy ''(x0,y0)= B, fy2''(x0,y0)=C bo‘lsin. U holda a) agar Δ= AC − B2>0 bo‘lsa, z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, bunda A<0 (yoki C <0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta maksimum nuqta, A>0 (yoki C >0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta minimum nuqta bo‘ladi; b) agar Δ= AC − B2<0 bo‘lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo‘lmaydi; c) agar Δ= AC − B2= 0 bo’lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo‘lishi ham, mavjud bo‘lmasligi ham mumkin ( bu holda qo‘shimcha tekshirishlar o’tkaziladi). Teoremaga (hamda 1-teoremaga) asoslangan ikki o‘zgarubchi funksiyasini ekstremumga tekshirish tartibi bilan tanishamiz. z= f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi : 1o. ∂z ∂x , ∂z ∂y xususiy hosilalar topiladi; 2o. Statsionar nuqtalar aniqlanadi; 3o. ∂2z ∂x2,∂2z ∂ y2, ∂2z ∂x∂y xususiy hosilalar topiladi; 4o. A= ∂2z ∂x2,C = ∂2z ∂ y2, B= ∂2z ∂x∂y hususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi; 5o. Har bir statsionar nuqtada Δ= AC − B2 ning qiymati hisoblanadi va 2-teorema asosida xulosa chiqariladi. Misollar . 1 . z= x2+2 y2− 2x+4 y− 3 funksiyani ekstremumga tekshiramiz. 1o. ∂z ∂x = 2x−2, ∂z ∂y = 4y+4 . 2o. {2(x−1)=0,¿¿¿¿ sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz: P(1;−1). 3o. Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: ∂2z ∂x2=2, ∂2z ∂x∂y =0, ∂2z ∂y2= 4. 4o. Demak, barcha nuqtalarda, jumladan P(1;−1) nuqtada A= 2, B=0, C= 4. 5o. Δ= AC − B2= 2⋅4= 8>0, bunda A>0. Demak, P(1;−1) nuqta minimum nuqta va zmin = z(1;− 1)= 12+2⋅(− 1)2− 2⋅1+4⋅(− 1)− 3=− 6. 2. Kimyoviy reaksiyada x,y va z miqdordagi konsentratsiyalar bilan 3 xil modda ishlatiladi. Reaksiya v vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan ifodalanadi v=kx2yz x,y va z konsentratsiyalar maksimal v tezlikda reaksiya borishni toping. Yechish: x + y + z = 100 (%) . Shunda (1) Funksiya xosilasini topamiz v : Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib chiqadi: x=0 va y= 0 maksimum funksiya (1) mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko’rinishda tuzib olamiz: 200 −3x− 2y=0 , 100 − x− 2y=0 Aniqlangan bu sistemadan x=50 ,y= 25 natijani olamiz. M 0(50 ,25 ) nuqtani D>0 va A<0 shartlardan foydalanib, z=25 ekanligini osongina tekshiramiz. Differensial tenglamalarga olib keluvchi masalalar Matematika, fizika, kimyo va boshqa fanlarning turli masalalari erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini bog’lovchi tenglamalar ko’rinishidagi matematik modellarga keltiriladi. Shu kabi masalalarning ayrimlarini qarab chiqamiz. 1-masala . Massasi m ga teng moddiy nuqta v tezlikning kvadratiga proporsional bo’lgan muhit qarshilik kuchi ta’sirida harakatini sekinlatmoqda. Nuqta harakat qonunining tenglamasini tuzing. Erkli o’zgaruvchi sifatida moddiy nuqtaning sekinlashish boshlanishidan hisoblanuvchi t vaqtni olamiz. U holda nuqtaning v tezligi t vaqtning funksiyasi bo’ladi, ya’ni v= v(t) . Moddiy nuqtaning harakat qonunini topish uchun Nuytonning ikkinchi qonunidan foydalanamiz: m⋅a= F , bu yerda a= v'(t)− harakatlanuvchi jism tezlanishi, F− jismga harakat jarayonida ta’sir qiluvchi kuchlar yig’indisi. Bu masalada F=− kv 2, bu yerda k>0− proporsionallik koeffitsiyenti (minus ishora harakatning sikinlashishini bildiradi). Shunday qilib, moddiy nuqtaning harakat qonuni m v'+kv 2= 0 tenglama bilan aniqlanadi. 2-masala . Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga o’tkazilgan urinma, bu nuqtadan Oy o’qqa parallel o’tgan to’g’ri chiziq va koordinata o’qlari bilan chegaralangan OAMB trapetsiyaning yuzi S ga teng. M nuqta harakat qonuni tenglamasini tuzing. M (x;y) noma’lum (izlanayotgan) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. U holda OAMB trapetsiyaning yuzi S= 1 2 (OA +BM )⋅OB tenglik bilan ifodalanadi, bu yerda OB = AC = x,BM = y, OA = CB = BM − CM = BM − AC ⋅tg α= y− x⋅tg α (1-rasm). Birinchi tartibli hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra tg α= y'. Demak, M nuqta harakati S= 1 2 (y− xy')x yoki x2y'− xy +2S= 0 tenglama bilan aniqlanadi. Asosiy tushunchalar Erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog’lovchi tenglamaga differensial tenglama dey iladi. No’malum funksiyasi bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan differensial tenglama oddiy differensial tenglama deb ataladi. No’malum funksiyasi ikkita va undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi. Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Masalan. y''+3y'+ln x= 0 tenglama ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama, x∂z ∂x − y∂z ∂y +y3= 1 tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama 1-rasm bo’ladi. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko’rinishda F (x,y,y')= 0 (1) kabi yoziladi, bu yerda x− erkli o’zgaruvchi, y− noma’lum funksiya, y'− noma’lum funksiyaning hosilasi, F− ikki o’lchamli R2 sohada ikki o’zgaruvchili funksiya. Xususan, (1) tenglamada x va y oshkor ishtirok etmasligi mumkin. Agar (1) tenglamani y' ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa u y'= f(x,y) (2) ko’rinishda ifodalanadi, bu erda f− berilgan funksiya. Bu tenglamadan differensiallar ishtirok etuvchi simmetrik rasm deb ataluvchi M (x,y)dx +N (x,y)dy = 0 tenglamaga o’tish mumkin. (1) differensial tenglamaning yechimi ( integrali ) deb, tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi y= ϕ(x) funksiyaga aytiladi. Masalan. y'+ky = 0 tenglamaning yechimi y= Ce −kx (bu yerda C− ixtiyoriy o’zgarmas) funksiya bo’ladi. Haqiqatdan ham, y ning bu qiymatini tenglamaga qo’ysak, ayniyatga ega bo’lamiz: (Ce −kx)'+kCe −kx= C (− ke −kx)+kCe −kx≡ 0 . Demak, (1) differensial tenglamani bitta funksiya emas, balki funksiyalarning butun bir to’plami qanoatlantirishi mumkin. Bu funksiyalardan birini boshlang’ich shart deb ataluvchi y|x=x0= y0 ( x= x0 bo’lganda y= y0 bo’ladi) shart orqali ajratish mumkin. (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi y= ϕ(x,C ) (bu yerda C− ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyaga aytiladi: a) y ixtiyoriy o’zgarmasning istalgan qiymatida (2) differensial tenglamani qanoatlantiradi; b) boshlang’ich y|x=x0= y0 shart har qanday bo’lganda ham ixtiyoriy o’zgarmasning shunday ¯C qiymatini topish mumkinki, y= ϕ(x,¯C ) yechim boshlang’ich shartni qanoatlantiradi, ya’ni y0= ϕ(x0,¯C ) bo’ladi. (2) differensial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning tayin qiymatida hosil bo’ladigan har qanday yechimga xususiy yechim deyiladi. Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deb ataladi. Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deyiladi. Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlaydigan Φ (x,y,C)=0 bo’g’lanishga umumiy integral deyiladi. Umumiy integraldan ixtiyoriy o’zgarmasning biror mumkin bo’lgan qiymatida hosil bo’ladigan yechimga xususiy integral deb ataladi. Umumiy yechim (umumiy integral) geometrik jihatdan bitta C parametrga bog’liq egri chiziqlar oilasi ko’rinishida tasvirlanadi. Xususiy yechim (xususiy integral) bu oilaning integral chiziqlaridan biridan iborat bo’ladi. (2) tenglamada x va y o’zgaruvchilarni tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari sifatida qaraymiz. Bunda (1.2) tenglamaga y= ϕ(x) va y'= ϕ'(x) larni qo’ysak, ϕ'(x)= f(x,ϕ(x)) ayniyat hosil bo’ladi. y= ϕ(x) funksiya grafigining, ya’ni integral egri chiziqning ixtiyoriy M (x;y) nuqtasida urinma o’tkazamiz. Hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra tg α= ϕ'(x)= f(x,ϕ(x)), bu yerda α− urinmaning Ox o’qqa og’ish burchagi. Demak, (2) differensial tenglama integral egri chiziqning har bir M (x,y) nuqtasida bu egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’nalishini aniqlaydi. Tekislikning har bir nuqtasiga tg α= f(x,y) tenglik bajariladigan qilib kesma qo’yilgan qismi differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, (2) differensial tenglamaga uning yo’nalishlar maydoni mos keladi. Bu jumla (2) differensial tenglamaning geometrik ma’nosini bildiradi. Xulosa Men ushbu kur sihini tayorlash jarayonida quyidagi narsalarni bilib oldim Shunindek, (2) differensial tenglamani yechish masalasining geometrik talqini quyidagicha ifodalanishi mumkin: integral egri chiziq shunday o’tkazilsinki, uning har bir nuqtasidagi urinmaning yo’nalishi yo’nalishlar maydonining shu nuqtadagi kesmasi yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin . FOYDALNILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI 1. Бахвалов, Н.С. Численныеметоды / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобелков. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. 2. Василев, Н.Ф. Численные методы решения екстремалных задач [Текст] / Н.Ф.Василев – М.: Наука, 1980. 3. Турчак, Л.И. Основы численных методов [Текст] / Л.И.Турчак, П.В.Плотников – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 4. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс [Текст] / Б.Банди – М.: Радио и связь, 1988. 5. Метюз, Д. Численные методы. Исползование МАТЛАБ [Текст] / МетюзД., ФинкК. – М.: Издателский дом «Вилямс», 2001. 6. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руковод- ство / Т.Шуп – М.: Мир, 1982. 7. Зайцев В. В., Трещев В. М. Численные методы для физиков. Нелинеые уравнения и оптимизация. Учебное пособие. 8. Сухарев А. Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизатции. – М.:Наука, 1986. – 328 с. 9. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983. – 384 с. 10. Гилла Ф. и Мюррея.У. Численные методы условий оптимизации. Пер. с англ./Под. ред. – М.: Мир, 1977. – 290 с. 11. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование.Теория и алгоритмы: Пер. с англ. -М.: Мир,1982. – 583 с. 12. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ. -М.: Мир,1975. – 534 с. 13. Гуснин С. Ю., Омельянов Г. А., Резников Г. А., Сироткин В. С. Минимизация в инженерныж расчетах на ЭВМ. – М.: Машиностроение, 1981. – 121 с.

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning optimallashtirish masalalarini yechishga qo’llashning matematik modelini qurish. MUNDARIJA Kirish. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi. . . . . . . 2 Funksiyaning xususiy hosilalari Funksiyaning diffrensiali.. . . . . . . . . . . . . 3 Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari. . . . . . . . . . . . . . . 5 Differensial tenglamalarga keltiruluvchi masalalar. . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Birinchi tartibli differensial tenglamalar. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Koshi masalasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xulosa Foydalanilgan Adabiyotlar ro`yxati

KIRISH. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimovning “Jahon moliyaviy-iqtisodiy inqirozi, O`zbekiston sharoitida uni bartaraf etishning yo`llari va choralari” asarida “… korxonalarni modernizatsiya qilish, texnik va texnologik qayta jihozlashni yanada jadallashtirish, zamonaviy, moslashuvchan texnologiyalarni keng joriy etish” inqirozga qarshi choralardan biri sifatida ko`rsatilgan. Birinchi Prezidentimizning 2002 yil 30 mayda qabul qilingan “Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborot- kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to`g`risidagi farmonida kompyuter texnologiyalaridan foydalanishning samaradorligini oshirish yo`nalishlari belgilab berilgan. Uning «Vatanimizning kelajagi, xalqimizning ertangi kuni, mamlakatimizning jahon hamjamiyatidagi obro`-e’tibori, avvalambor farzandlarimizning o`nib-o`sib, ulg`ayib, qanday inson bo`lib hayotga kirib borishiga bog`liqdir. Biz bunday o`tkir haqiqatni hech qachon unutmasligimiz kerak» degan oqilona gaplariga amal qilmog`imiz lozim. Bu vazifalarni zamonaviy kompyuter texnologiyalarining tadbiqisiz bajarish mumkin emas. Ilmiy asoslangan rejalar tuzish, ularni amaliyotga joriy etish eng ilg`or axborot- kommunikatsiya texnologiyalardan foydalanishni taqozo etadi. Xalq deputatlari Samarqand viloyat Kengashining 2010 yil 17 dekabrdagi navbatdan tashqari sessiyasida Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimovning qilgan ma’ruzasida oliy ta’lim muassasalarida ta’lim berish sifatini tubdan yaxshilash, kompyuter texnikasi va texnologiyasidan samarali foydalanish, shuningdek, internet tizimini o`quv va ilmiy ishlar jarayoniga tadbiq etish, o`zlashtirish hamda yanada rivojlantirish ustuvor vazifalardan biri ekanligi qayd etildi. Elektron hisoblash mashinalarining inson faoliyatining turli sohalariga tobora chuqurroq kirib borishi hozirgi zamon muhandislaridan hisoblash texnikasi va amaliy matematika usullarini yetarli darajada bilishlarini talab etmoqda. Oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari birinchi kursdayoq hisoblash usullari va algoritmik tillarni o`rganadilar, ulardan umummuhandislik va maxsus fanlar bo`yicha laboratoriya ishlari, kurs ishlari hamda diplom ishlarini bajarishda foydalanadilar. Hisoblash usullarini yuqori malakali mutaxassislar yaratadilar. Oliy texnika o`quv

yurtlarining talabalari va ilmiy xodimlari shu usullarning asosiy g`oyalarini tushunsalar va o`z masalalarini yechishda ulardan foydalana olsalar shuning o`zi yetarlidir. Hozirgi paytda amaliy matematikaning qator bo`limlari bo`yicha chuqur mazmunli darsliklar, ilmiy va o`quv qo`llanmalari mavjud. Ammo, ularning ko`pida muayyan matematik yo`nalishgina yoritilgan bo`lib, oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari ularni o`rganish uchun maxsus matematik tayyorgarlikka ega bo`lmaganliklari tufayli bu fanni o`zlashtirishda qiynaladilar. Ayniqsa hisoblash matematikasi usullari har tomonlama tushunarli qilib yozilgan qo`llanma va darsliklar o`zbek tilida yetarli emasligi talabalar uchun bir qancha qiyinchiliklar tug`dirmoqda. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasiR2 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif . Agar D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi z= f(x,y), z= z(x,y) ,… kabi belgilanadi. Bu yerda x va y argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar ), z ikki x va y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi ) deb ataladi. D to‘plamga f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi ) deyiladi. Masalan. Perimetri a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng. Uchburchakning yuzasini x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi tomoni z bo‘lsin deymiz. U holda a= x+ y+ z bo‘ladi. Bundan z= a− x− y. Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz: S= √p(p− x)(p− y)(p− z), bu yerda p= a 2 . p va z ni Geron formulasiga qo‘yamiz:

S= √ a 2 ( a 2 − x)( a 2 − y)( a 2 − a+ x+ y)yoki S(x,y)= 1 4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a) . Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida haqiqiy sonlarning har bir (x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona P(x;y) nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y) nuqtaning funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi. Argumentlarning tayin x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0) n uqtada) ( z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati z0= z|x=x0 y=y0 yoki z0= f(x0,y0) (yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi. Misollar. 1. f(x,y)= y(y2− 1) x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1) nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun f(x,y) funksiy a ga bu nuqtalarning koordinatalarini qo‘yamiz: f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1) 3 =− 2; f(B)= 3⋅(32− 1) y = 24 y ; f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1) x+2 = x(x+1). z= f(x,y) funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin. z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga x o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining qiymatlari va qolgan kataklarga z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning x va y ning berilgan qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning 1- jadval

kesishmasida joylashadi. Masalan. 1-jadvalda z= z| x=7 y=0,06 =6. Grafik usuldagi berilishida z= f(x,y) funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1-rasmda z= x2+ y2− 1 funksiyaning grafigi tasvirlangan. Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda z= f(x,y) formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda F(x,y,z)=0 tenglik bilan berilishi mumkin. Funksiya oskormas ko‘rinishda berilganda F(x,y,z)=0 tenglikdagi har bir (x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab etiladi. Analitik usulda berilganda funksiyaning aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Misollar. z= 3x2+ y2 y− x f unksiya y= x shartda aniqlanmagan. Demak, y≠ x . Geometrik nuqtai- nazardan y≠ x shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik y= x to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi (2-rasm). 2. z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda aniqlangan. Bu shart 7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo‘lgan x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar ham bu sohaga tegishli. 1-rasm

O'xshashlar

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar
KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG‘I
KO’P O’ZGARUVCHILI TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOT FUNKSIYALARI
MASHINALI O’QITISHDA GRADIENTLI TUSHISH ALGORITMINI CHIZIQLI REGRESSIYA YORDAMIDA TADQIQ QILISH
C++ dasturlsh tilida standart matematik funksiyalarning birinchi hosilasini topish.