KO’P O’ZGARUVCHILI TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOT FUNKSIYALARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

241.1220703125 KB

Ko'chirib olish

KO’P O’ZGARUVCHILI TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING
TAQSIMOT FUNKSIYALARI
M U N DA R I J A
Kirish …………………………………………………………………………. 3
I Bob. Ikki o’zgaruvchili diskret taqsimotlar
1§. Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid asosiy ta’rif va tushunchalar
2§. Ikki o’zgaruvchili Binomial taqsimoti…………………………………….. 4
10
3§. Ikki o’zgaruvchili Geometrik taqsimot 15
4§. Ikki o’zgaruvchili Puasson taqsimot……………………………….… … 18
II Bob . Ikki o ’ zgaruvchili uzluksiz taqsimotlar
1§ . Ikki o ’ zgaruvchili tekis taqsimot 20
2§ . Ikki o’zgaruvchili Koshi taqsimoti……. 27
3§. Ikki o’zgaruvchili Gamma taqsimoti ……………………………………………………………………… 29
4§ . Ikki o’zgaruvchili Normal taqsimot………… 31
Xulosa……………………………………………………………………… … 35
Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 36
Ilovalar……………………………………………………………………....... 48

1

KIRISH
1.Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p tasodifiy jarayonlarga oid
masalalar ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarga keltiriladi. Shuning uchun ikki
o’lchovli tasodifiy miqdorlarni tadqiq qilish hozirgi kunda muhim masalalardan
biri hisoblanadi.
2.Mavzuning dolzarbligi. Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni o’rganish
nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda diskret hamda uzluksiz ba’zi bir
muhim ikki o’lchovli taqsimotlar o’rganilgan.
3. Ishning maqsadi va vazifalari . Hozirgi kunda o’zbek tilidagi o’uv
adabiyotlarida ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid ma’lumotlar juda kam shu
sababli ushbu bitiruv ishida bazi bir muhim ikki o’lchovli taqsimotlarni o’rganish
maqsad qilib qo’yilgan.
4. Ishning ilmiy tadqiqot metodlari. Xarakteristik funksiyalar metodi,
Hosil qiluvchi funksiyalar metodi.
5. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati. Ehtimollar nazariyasidagi ba’zi bir
masalalarni yechishda foydalanilishi bilan izohlanadi.
6.Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi, mundarija, kirish, 2 ta bob, 7 ta
paragrafdan, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Ishning hajmi
36 betdan iborat
7.Ishning qisqacha mazmuni. I kki o’zgaruvchili diskret tasodifiy miqdorlar
nomli birinchi bobida ikki o’zgaruvchili Binomial taqsimot, ikki o’zgaruvchili
geometrik taqsimot, ikki o’zgaruvchili Puasson taqsimot va ularning ba’zi
xos s alari o’rganilgan. Ikki o’zgaruvchili uzluksiz tasodifiy miqdorlar nomli
ikkinchi bobida ikki o’zgaruvchili tekis taqsimot, ikki o’zgaruvchili Koshi
taqsimot, ikki o’zgaruvchili Gamma taqsimot, ikki o’zgaruvchili Normal taqsimot
va ularning ba’zi xossalari o’rganilgan.

2

I B OB . BA`ZI MAXSUS IKKI O`ZGARUVCHILI DISKRET
TAQSIMOTLAR
1 §. Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid asosiy ta’rif va tushunchalar.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor X=(X 1,X 2,… ,X n)−¿ bu bir xil Ω
ehtimollik fazosida berilgan X i ( i = 1,2 , … , n )
tasodifiy miqdorlar jamlanmasidir.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni uning
F
X
( x
1 , x
2 , … , x
n ) = F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) = ¿
¿ P
{ ( X
1 < x
1 ) ∩ ( X
2 < x
2 ) ∩ … ∩ ( X
n < x
n ) }
taqsimot funksiyasi bilan beriladi, u ko‘p o‘zgaruvchilarning sonli funksiyasi va
(ehtimol sifatida) [0;1] oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga
ega. Barcha
x1,x2,…,xn∈R lar uchun:
1) 0 ≤ F
X
1 , X
2 , … , X
n
( x
1 , x
2 , … , x
n ) ≤ 1 ; ( 3.57 )
2)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) har bir argument bo‘yicha kamaymaydi; (3 . 58)
3)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) har bir argument bo‘yicha chapdan uzluksiz; (3 . 59)
4)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 , − ∞ ) = 0 ; ( 3.60 )
5)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 , + ∞ ) = F
X
1 , X
2 , … , X
n − 1 ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 ) = 1 ;
(3.61)
Bir o‘lchovli holdan farqli o‘laroq, biror
F : R n
→ R funktsiya uchun
( 3.57 ) − ( 3.61 )
xossalarning bajarilishi bu funksiya biror ko‘p o‘lchovli tasodifiy
miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lishligini kafolatlamaydi.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar xuddi bir o‘lchovli kabi, diskret
(mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami chekli yoki sanoqli to‘plamni tashkil
qilganda) yoki uzluksiz (mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami sanoqsiz bo‘lsa)
bo‘lishi mumkin.
3

Quyida hamma joyda ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlar qaraladi.
Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning yarim ochiq to‘rtburchakka tushish ehtimoli
P{( a
1 ≤ X
1 ≤ b
1 ) ∩ ( a
2 ≤ X
2 ≤ b
2 )} = ¿
¿ F
X
1 , X
2
( b
1 , b
2 ) − F
X
1 , X
2 ( a
1 , b
2 ) − F
X
1 , X
2 ( b
1 , a
2 ) + F
X
1 , X
2 ( a
1 , a
2 ) ( 3.62 )
ga teng .
Agar
(3.57 )−(3.61 ) shartlarga qo‘shimcha ravishda
F:R2→ R
funksiyadan ixtiyoriy b
1 ≥ a
1 , b
2 ≥ a
2 lar uchun
F
X
1 , X
2
( b
1 , b
2 ) − F
X
1 , X
2 ( a
1 , b
2 ) − F
X
1 , X
2 ( b
1 , a
2 ) + F
X
1 , X
2 ( a
1 , a
2 )
miqdorning manfiy bo‘lmasligini talab qilinsa, u holda bu funksiya albatta biror
ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘ladi.
Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimot jadvallari (3.63)
yordamida berish qulay
X
Y x1 x2 … xn …
y 1
P11 P12 … P1n …
y2 P12 P22
… P2n …
⋮ ⋮ ⋮ ⋱
⋮ …
ym Pm1 Pm2 … Pnm …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
4

Bunday jadvalda ustun sarlavhalari xj birinchi X komponentning barcha
mumkin bo‘lgan qiymatlariga, satrlar sarlavhalari y
i ikkinchi Y
komponentning
barcha mumkin bo‘lgan qiymatlariga mos keladi. Bunda y holda
i -satr va j -
ustunda joylashgan xonaga p
ij = P
{( X = x
j ) ∩ ( Y = y
i ) }
ehtimollik qiymati yoziladi .
Tabiiyki,
∑
i ∑
j p
ij = 1
(3.64)
Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funk s iyasi
F
XY
( x , y ) =
∑
x
j < x ∑
y
1 < y p
ij
(3.65)
bunday ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor ning har bir komponentining taqsim ot
qonunlari (marginal taqsimot qonunlari deb ataladigan)

P{X= xj}=∑i
pi,P{Y= yi}=∑j
pj (3.66)
formulalar yordamida taqsimot jadvalidan
(3.63 ) tiklanadi.
Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz deyiladi, agar uning
taqsimot funk s iyasi
F
XY
( x , y ) =
∫
− ∞x (
∫
− ∞y
f
XY ( x , y ) dy ) dx ,
(3.67)
ko‘rinishda ifodalanishi mumkin bo‘lsa, bunda
fXY (x,y) funksiya ¿
) ikki o‘lchovli
tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi deyiladi.
Absolyut uzluksiz ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi
quyidagi xossalarga ega: barcha x , y ∈ R
lar uchun:
1) f
XY
( x , y ) ≥ 0.
(3.68)
2)
∫
−∞
+∞
(∫
−∞
+∞
fXY (x,y)dy )dx =1. (3.69)
5

bundan tashqari (3.68 ¿ – ( 3.69 )
xossalariga ega bo‘lgan har qanday funksiya biror
absolyut uzluksiz ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi bo‘ladi.
Agar absolyut uzluksiz ¿ ) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot
funksiyasi ❑ 2
x y F
XY
( x , y )
aralash xususiy hosilaga ega bo‘lsa, u holda ¿ ) ning
f
XY
( x , y )
taqsimot zichligi bu xususiy hosilaga teng:

fXY (x,y)=¿ ❑ 2
xyFXY (x,y) (3.70)
Agar absolyut uzluksiz ( X ; Y )
ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor f
XY
( x , y )
zichlikka ega bo‘lsa, u holda X
va Y
bir o‘lchovli tasodifiy miqdorlar ham
absolyut uzluksiz bo‘lib, ularning zichliklarini
f
X
( x ) =
∫
− ∞x
f
XY ( x , y ) dy =
∫
− ∞y
f
XY ( x , y ) dx
(3.71)
formulalar bo‘yicha hisoblash mumkin:
(3.71) xossa faqat ikki o‘lchovli absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun
o‘rinli.
n>2 holida, bu xossa sezilarli darajada farq qiladi.
Eslatib o‘tamiz, ikkita
X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqmas deyiladi, agar
barcha
x,y∈R lar uchun

P{(X<x)∩(Y<y)}= P{X <x}P{Y<y}, (3.72)
o‘rinli bo‘lsa, ya’ni, agar barcha
x,y∈R lar uchun {X <x}va {Y<y} hodisalar
bog‘liqmas bo‘lsa. X
va Y
diskret
(3.72 ) tasodifiy miqdorlar uchun
bog‘liqmaslik sharti
P
{( X = x ) ∩ ( Y = y )} = P { X = x } P { Y = y } , ( 3.73 )

k o‘rinishdagi shartga, absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun esa
f
XY
( x , y ) = f
X ( x ) f
Y ( y )
(3.74)
6

shartga aylanadi.
Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqligini o‘lchash uchun X
va Y
tasodifiy
miqdorlar kovariatsiyasi kiritiladi
cov( X , Y ) = M [( X − MX )( Y − MY )] .
(3.75)
Oxirgi formula osongina
cov ( X , Y ) = M ( X , Y ) − MX ∙ MY .
(3.76)
shaklga keltiriladi.
Tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi quyidagi xossalarga ega:
1)
cov (X ,Y)= cov (Y ,X ),cov (X ,X)= DX , (3.77) 2)
cov
( αX , Y ) = αcov ( X , X ) ;
cov ( X + Y , Z ) = cov ( X , Z ) + cov ( Y , Z ) ,
(3.78) 3)
B og‘liqm as
X va Y tasodifiy miqdorlar uch un cov ( X , Y ) = 0.
(3.79)
Bir vaqtning o‘zida bir xil yo‘nalishda o‘zgarish tendensiyasiga ega X
va
Y
tasodifiy miqdorlar uchun cov ( X , Y ) > 0 ,
bir vaqtning o‘zida turlicha yo‘na-
lishda o‘zgarish tendensiyasiga ega X
va Y
tasodifiy miqdorlar uchun
cov ( X , Y ) < 0.
Ixtiyoriy (bog‘liq va bog‘liqmas) tasodifiy miqdorlar yig‘indisining
dispersiyasi
D
( X + Y ) = DX + DY + cov ( X , Y )
(3.80)
formula bo‘yicha hisoblanadi.
Kovariatsiya ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin, shuning
uchun tasodifiy miqdorlarning bog‘lanish o‘lchovi sifatida foydalanish uchun mos
kelmaydi .
Buning uchun
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti
yaxshiroq mos keladi:
7

ρ( X , Y ) = cov ( X , Y )
σ
X σ
Y = M [ ( X − MX ) ( Y − MY ) ]
σ
X σ
Y = M ( XY ) − MX ∙ MY
σ
X σ
Y .
(3.81)
Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi xossalar ega:
1) Ixtiyoriy X
va Y
tasodifiy miqdorlar uchun : − 1 ≤ ρ
( X , Y ) ≤ 1
(3.82) 2)
Bog‘liqmas
X va Y tasodifiy miqdorlar uchun: ρ ( X , Y ) = 0
(3.83) 3)
Y=aX +b(a,b∈R,a≠0)
chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun va faqat ular
uchun:
| ρ ( X , Y )| = 1.
(3.84)
Agar korrelyatsiya koeffitsienti ρ ( X , Y ) = 0
bo‘lsa, bu albatta
X va Y
tasodifiy miqdorlar bog‘liqmas ekanligini anglatmaydi. Bunda berilgan tasodifiy
miqdorlar korrelyatsiyalanmagan deyiladi.Bog‘liqmaslikdan korrelyatsiyalan-
maganlik kelib chiqadi, , lekin aksincha - har doim ham emas.
f
( x
1 , x
2 ) = 1
2 π
√ 1 − ρ 2
σ
1 σ
2 exp { − 1
2 ( 1 − ρ 2
) [( x
1 − a
1
σ
1 ) 2
− 2 ρ x
1 − a
1
σ
1 ∙ x
2 − a
2
σ
2 + + ( x
2 − a
2
σ
2 ) 2]}
(3.85)
taqsimot zichligi bilan berilgan tasodifiy miqdor ikki o‘lchovli normal qonun
bo‘yicha taqsimlangan deb ataladi.
Bundan tashqari, uning komponentlari mos ravishda a
1 va a
2 - matematik
kutilishlar
σ1 v a σ2 o‘rtacha kvadratik chetlanishlarga ega X1 va X2 bir o‘lchovli
normal qonunlar bo‘yicha taqsimlanadi, r
parametr esa X
1 va
X2 tasodifiy
miqdorlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientiga teng.
2 § . Ikki o`zgaruvchili Binomial taqsimot.
8

1.Ikki o`zgaruvchili Bernulli taqsimoti. Ikki o`zgaruvchili tasodifiy
miqdorning Bernulli taqsimotini ehtimolning zichlik funksiyasi orqali ta`riflaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
diskret ( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Bernulli taqsimoti deyiladi:
f(x,y)=
{
1
x!y!(1− x− y)!p1xp2y(1− p1− p2)1−x−y,agar x,y=0,1
0,aks holda
bu yerda
0<p1,p2,p1+p2<1 va x + y ≤ 1
. Ikki o`zgaruvchili tasodifiy miqdorning
Bernulli taqsimotini
(X ,Y) BER (p1,p2) ko`rinishda belgilaymiz. Quyidagi
teoremada taqsimotning matematik kutilmasini, dispersiyasini, X va Y larning
kovariatsiya va xarakteristik funksiyasini keltiramiz.
Teorema.
(X ,Y) BER (p1,p2) bo`lsin, bunda p
1 , p
2 lar parametrlar. U holda,
E(X)= p1,E(Y)= p2,Var (X )= p1(1− p1),Var (Y)= p2(1− p2),
Cov (X ,Y)=− p1p2,M (s,t)=1− p1− p2+p1es+p2et.
Isbot. Dastlab
X va Y ning xarakteristik funksiyalarini topamiz:
M
( s , t ) = E ( e sX + tY )
=
∑
x = 01
∑
y = 01
f ( x , y ) e sx + ty
= ¿
¿f(0,0 )+f(1,0 )es+f(0,1 )et+ f(1,1 )et+s=1− p1− p2+p1es+p2et+0et+s=¿
¿ 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t
.
X
ning matematika kutilmasini topamiz:
E
( X ) = ∂ M
∂ s |(
0,0 ) = ∂
∂ s ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t )|(
0,0 ) = p
1 e s |(
0,0 ) = p
1 .
Xuddi shunday Y
taqsimotning ham matematik kutilmasi topiladi:
E
( Y ) = ∂ M
∂ t |(
0,0 ) = ∂
∂ t ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t )|(
0,0 ) = p
2 e t |(
0,0 ) = p
2 .
X
va Y
larning ko`paytmasining kutilmasi esa quyidagicha hisoblanadi:
9

E( XY ) = ∂ 2
M
∂ t ∂ s |(
0,0 ) = ∂ 2
∂ t ∂ s ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t )|(
0,0 ) = ∂
∂ t p
1 e s |(
0,0 ) = 0.
Demak,
X va Y taqsimotlarning kovariatsiyasi:
Cov (X ,Y)= E(XY )− E(X )E(Y)=− p1p2.
Yuqoridagidek, quyidagi tengliklarni ko`rsatish mumkin:
E
( X 2 )
= p
1 ; E ( Y 2 )
= p
2 .
Demak,
X va Y taqsimotlar dispersiyasi quyidagiga teng:
Var
( X ) = E ( X 2 )
− E ( X ) 2
= p
1 ( 1 − p
1 ) ;
Var (Y)= E(Y2)− E(Y)2= p2(1− p2).
Teorema isbotlandi.
2. Ikki o`zgaruvchili Binomial taqsimot.
Ikki o`zgaruvchili tasodifiy miqdorning Binomial taqsimotini ehtimolning
zichlik funksiyasi orqali ta`riflaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
diskret
( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili n,p1,p2 parametrlarga ega
Binomial taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) =
{ n !
x ! y ! ( n − x − y ) ! p
1 x
p
2 y (
1 − p
1 − p
2 ) n − x − y
, agar x , y = 0,1 , … , n
0 , aks holda
bu yerda 0 < p
1 , p
2 , p
1 + p
2 < 1
va x + y ≤ n
. Ikki o`zgaruvchili tasodifiy miqdorning
Binomial taqsimotini
( X , Y ) BIN ( n , p
1 , p
2 ) ko`rinishda belgilaymiz.
Ikki o`zgaruvchili Binomial taqsimot trinomial taqsimot deb ham yuritiladi.
Shuningdek,
X va Y lar marjinal taqsimotlar bo`lsa, mos holda BIN (n,p1) va
BIN
( n , p
2 ) lar ham marjinal taqsimot bo`lishi isbotlanadi.
10

Teorema. Aytaylik, ( X , Y ) BIN ( n , p
1 , p
2 ) bo`lsin, bunda n , p
1 , p
2 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E(X)=np1,E(Y)= np2,Var (X )= np1(1− p1),Var (Y)= np2(1− p2),
Cov
( X , Y ) = − n p
1 p
2 , M ( s , t ) = ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t ) n
.
Isbot. Dastlab
X va Y ning xarakteristik funksiyalarini topamiz:
M
( s , t ) = E ( e sX + tY )
=
∑
x = 0n
∑
y = 0n
f ( x , y ) e sx + ty
= ¿
¿
∑
x = 0n
∑
y = 0n
e sx + ty n !
x ! y !
( n − x − y ) ! p
1 x
p
2y (
1 − p
1 − p
2 ) n − x − y
= ¿
¿∑x=0
n
∑y=0
n n!
x!y!(n− x− y)!(esp1)x(etp2)y(1− p1− p2)n−x−y=¿
¿
( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t ) n
. ( trinomial teoremaga asosan ) .
X
ning matematika kutilmasini topamiz:
E
( X ) = ∂ M
∂ s |(
0,0 ) = ∂
∂ s ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t ) n|(
0,0 ) = ¿
¿ n
( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t ) n − 1
p
1 e s |(
0,0 ) = n p
1 .
Xuddi shunday Y
taqsimotning ham matematik kutilmasi topiladi:
E
( Y ) = ∂ M
∂ t |(
0,0 ) = ∂
∂ t ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t )|(
0,0 ) = ¿
¿ n
( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t ) n − 1
p
2 e t |(
0,0 ) = n p
2 .
X
va Y larning ko`paytmasining kutilmasi esa quyidagicha hisoblanadi:
E
( XY ) = ∂ 2
M
∂ t ∂ s |(
0,0 ) = ∂ 2
∂ t ∂ s ( 1 − p
1 − p
2 + p
1 e s
+ p
2 e t )|(
0,0 ) = ¿
¿ ∂
∂t(n(1− p1− p2+p1es+p2et)n−1p1es)|(0,0)
=n(n−1)p1p2.
11

Demak, X
va Y
taqsimotlarning kovariatsiyasi:Cov (X ,Y)= E(XY )− E(X )E(Y)=− np1p2.
Yuqoridagidek, quyidagi tengliklarni ko`rsatish mumkin:
E(X2)= n(n−1)p12+np1;E(Y2)= n(n−1)p22+np2.
Demak, X
va Y
taqsimotlar dispersiyasi quyidagiga teng:
Var (X)= E(X2)− E(X )2= np1(1− p1);
Var
( Y ) = E ( Y 2 )
− E ( Y ) 2
= n p
2 ( 1 − p
2 ) .
Teorema isbotlandi.
3. Ikki o`zgaruvchili manfiy binomial taqsimot.
Bir o`zgaruvchili manfiy binomial taqsimotni ikki o`zgaruvchili holiga
umumlashtirish mumkin. Dastlab Guldberg (1934) ikki o'zgaruvchili manfiy
binomial taqsimotni fanga kiritdi, undan so`ng Lundberg (1940) ushbu
taqsimotdan birinchi marta avariyaga moyillik muammolari bilan bog'liq holda
foydalandi. Arbous va Kerrix (1951) ushbu taqsimotga parametrlarni qo`shish
orqali Poisson taqsimotini yaratishdi.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili k,p1,p2 parametrlarga ega manfiy
Binomial taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) =
{
( x + y + k − 1 ) !
x ! y !
( k − 1 ) ! p
1x
p
2 y (
1 − p
1 − p
2 ) k
, agar x , y = 0,1 , … , ∞
0 , aks holda
bu yerda
0<p1,p2,p1+p2<1 va k − ¿
nomanfiy butun son. Ikki o`zgaruvchili tasodifiy
miqdorning Binomial taqsimotini
(X ,Y) NBIN (k,p1,p2) ko`rinishda belgilaymiz.
12

Teorema. Aytaylik, (X ,Y) NBIN (k,p1,p2) bo`lsin, bunda k,p1,p2 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E(X)= kp1
1− p1− p2
,E(Y)= kp2
1− p1− p2
,
Var
( X ) = k p
1 ( 1 − p
2 )
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 , Var
( Y ) = k p
2 ( 1 − p
1 )
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 ,
Cov
( X , Y ) = k p
1 p
2
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 , M
( s , t ) = ( 1 − p
1 − p
2 ) k
(
1 − p
1 e s
− p
2 e t ) .
Isbot. Dastlab
X va Y ning xarakteristik funksiyalarini topamiz:
M
( s , t ) = E ( e sX + tY )
=
∑
x = 0n
∑
y = 0n
f ( x , y ) e sx + ty
= ¿
¿∑x=0
n
∑y=0
n
esx+ty(x+y+k−1)!
x!y!(k−1)! p1xp2y(1− p1− p2)k= ¿
¿
( 1 − p
1 − p
2 ) k
∑
x = 0n
∑
y = 0n (
x + y + k − 1 ) !
x ! y !
( k − 1 ) ! ( e s
p
1 ) x(
e t
p
2 ) y
= ( 1 − p
1 − p
2 ) k
(
1 − p
1 e s
− p
2 e t ) .
3 § . Ikki o`zgaruvchili Geometrik taqsimot.
Agar
X birinchi urinishda muvaffaqiyatga erishgan urinishlar sonini anglatsa, u
holda X
bir o`zgaruvchili geometrik taqsimot bo`ladi.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan bir o`zgaruvchili
X
tasodifiy miqdorga bir o`zgaruvchili Geometrik taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) = p x − 1 (
1 − p ) , x = 1,2,3 , … , ∞ .
Bu yerda
p−¿ Bernulli sinovida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Ushbu bir
o'zgaruvchili geometrik taqsimotni ikki o'zgaruvchili holiga umumlashtirish
mumkin. Dastlab Guldberg (1934) ikki o'zgaruvchili geometrik taqsimotni fanga
kiritdi, undan so`ng Lundberg (1940) ushbu taqsimotdan birinchi marta avariyaga
13

moyillik muammolari bilan bog'liq holda foydalandi. Ushbu taqsimot turli statistik
usullarda ko'plab taqdbiqlariga ega.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili n , p
1 , p
2 parametrlarga ega Binomial
taqsimot deyiladi:
f(x,y)=
{
(x+y)!
x!y! p1xp2y(1− p1− p2),agar x,y= 0,1 ,… ,∞
0,aks holda
bu yerda
0<p1,p2,p1+p2<1 . Ikki o`zgaruvchili tasodifiy miqdorning Binomial
taqsimotini
(X ,Y)GEO (n,p1,p2) ko`rinishda belgilaymiz.
Teorema. Aytaylik,
(X ,Y)GEO (p1,p2) bo`lsin, bunda p1,p2 lar parametrlar. U
holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E(X)= p1
1− p1− p2
,E(Y)= p2
1− p1− p2
,
Var
( X ) = p
1 ( 1 − p
2 )
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 , Var
( Y ) = Var ( X ) = p
2 ( 1 − p
1 )
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 ,
Cov
( X , Y ) = p
1 p
2
(
1 − p
1 − p
2 ) 2 , M
( s , t ) = 1 − p
1 − p
2
1 − p
1 e s
− p
2 e t .
Isbot. Dastlab X va Y
ning xarakteristik funksiyalarini topamiz:
M
( s , t ) = E ( e sX + tY )
=
∑
x = 0n
∑
y = 0n
f ( x , y ) e sx + ty
= ¿
¿∑x=0
n
∑y=0
n
esx+ty(x+y)!
x!y! p1xp2y(1− p1− p2)= ¿
¿
( 1 − p
1 − p
2 ) ∑
x = 0n
∑
y = 0n (
x + y ) !
x ! y ! ( e s
p
1 ) x(
e t
p
2 ) y
= 1 − p
1 − p
2
1 − p
1 e s
− p
2 e t .
Quyidagi natija keyingi teorema uchun zarur. Faraz qilaylik,
0<p<1 bo`lsin, u
holda
14

∑
y = 0∞(
x + y ) !
x ! y ! a y
= 1
(
1 − a ) x + 1 ,
∑y=0
∞ (x+y)!
x!y! yay= a(1+x)
(1−a)x+2,
∑
y = 0∞
(
x + y ) !
x ! y ! y 2
a y
= a ( 1 + x )
(
1 − a ) x + 3 [ a ( x + 1 ) + 1 ] .
Ikki o`zgaruvchili Gipergeometrik taqsimot . Bir o`zgaruvchili
Gipergeometrik taqsimotni ikki o`zgaruvchili holiga umumlashtirish mumkin.
Dastlab Isserlis (1914) ikki o'zgaruvchili manfiy binomial taqsimotni fanga kiritdi,
undan so`ng Pirson (1924) ushbu taqsimotning bir qancha xossalarini keltiradi.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili r,n1,n2,n3 parametrlarga ega
Gipergeometrik taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) =
{
( n
1
x )( n
2
y )( n
3
r − x − y )
(
n
1 + n
2 + n
3
r ) , agar x , y = 0,1 , … , r
0 , aks holda
bu yerda x < n
1 , y < n
2 , r − x − y < n
3 va
0<r≤n1+n2+n3 butun son. Ikki o`zgaruvchili
tasodifiy miqdorning Gipergeometrik taqsimotini
( X , Y ) HYP ( k , p
1 , p
2 ) ko`rinishda
belgilaymiz.
Teorema. Aytaylik,
(X ,Y) HYP (r,n1,n2,n3) bo`lsin, bunda r,n1,n2,n3 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E
( X ) = r n
1
n
1 + n
2 + n
3 , E ( Y ) = r n
2
n
1 + n
2 + n
3 ,
Var (X)= rn1(n2+n3)
(n1+n2+n3)2(
n1+n2+n3− r
n1+n2+n3−1),
15

Var (Y)= rn2(n1+n3)
(n1+n2+n3)2(
n1+n2+n3− r
n1+n2+n3−1),Cov
( X , Y ) = − r n
1 n
2
(
n
1 + n
2 + n
3 ) 2( n
1 + n
2 + n
3 − r
n
1 + n
2 + n
3 − 1 ) .
Isbot. Biz faqat
X ning kutilmasi va dispersiyasini topamiz, Y taqsimotniki esa
xuddi shu usulda topiladi:
f1(x)=∑y=0
r−x
f(x,y)=∑y=0
r−x(
n1
x)(
n2
y)(
n3
r− x− y)
(
n1+n2+n3
r )
=¿
¿
(
n1
x)
(
n1+n2+n3
r )
∑y=0
r−x
(
n2
y)(
n3
r− x− y)=
(
n1
x)
(
n1+n2+n3
r )
(
n2+n3
r− x).
Ushbu tenglik
X HYP (n1,n2+n3,r) ekanligini ko`rsatadi. Bunda esa quyidagi
tengliklarga ega bo`lamiz:
E(X)= rn1
n1+n2+n3
,Var (X )= rn1(n2+n3)
(n1+n2+n3)2(
n1+n2+n3−r
n1+n2+n3−1).
Xuddi shu usulda,
Y HYP (n2,n1+n3,r) ekanligi ko`rsatiladi va bundan quyidagi
tengliklar kelib chiqadi:
E(Y)= rn2
n1+n2+n3
,Var (Y)= rn2(n1+n3)
(n1+n2+n3)2(
n1+n2+n3−r
n1+n2+n3− 1).
4 §. kki o`zgaruvchili Puasson taqsimot.
Bir o`zgaruvchili Puasson taqsimotni ikki o`zgaruvchili holiga
umumlashtirish mumkin. Dastlab 1934-yilda Kampbell ushbu taqsimot haqida
ma`lumotlar keltirgan. Lekin, birinchi bo`lib 1944-yilda Aitken ikki o`zgaruvchili
Puasson taqsimotining taqsimot funksiyasini aniqlagan. 1964-yilda Holgate ham
16

ikki o`zgaruvchili Puasson taqsimotini X= X1+X3 va Y= X2+X3 taqsimotlar
yordamida aniqlagan.
Oldingi ikki o'zgaruvchili taqsimotlardan farqli o'laroq, ikki o'zgaruvchili Puasson
taqsimotining shartli taqsimotlari Puasson bo`lmaydi. Aslida, Seshadri va Patil
(1964), chegara va shartli taqsimotlarga ega bo'lgan ikki o'zgaruvchili taqsimot
mavjud emasligini ta'kidlagan.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili λ
1 , λ
2 , λ
3 parametrlarga ega Puasson
taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) =
{ e − λ
1 − λ
2 + λ
3
x ! y ! ψ
( x , y ) , agar x , y = 0,1 , … , ∞
0 , aks holda
bu yerda
ψ(x,y)≔ ∑r=0
min (x,y) x(r)y(r)λ3r
(λ1− λ3)r(λ2− λ3)rr!
,x(r)≔x(x−1)… (x−r+1),
va λ
1 > λ
3 > 0 , λ
2 > λ
3 > 0
. Ikki o`zgaruvchili tasodifiy miqdorning Puasson taqsimotini
(X ,Y) POI (λ1,λ2,λ3)
ko`rinishda belgilaymiz.
Teorema. Aytaylik,
(X ,Y) POI (λ1,λ2,λ3) bo`lsin, bunda λ1,λ2,λ3 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E
( X ) = λ
1 , E ( Y ) = λ
2 ,
Var (X)= λ1,Var (Y)= λ2,
Cov
( X , Y ) = λ
3 , M ( s , t ) = e − λ
1 − λ
2 − λ
3 + λ
1 e s
+ λ
2 e t
+ λ
3 e s + t
.
Teorema. Aytaylik,
(X ,Y) POI (λ1,λ2,λ3) bo`lsin, bunda λ
1 , λ
2 , λ
3 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
17

E(Y/x)= λ2− λ3+λ3
λ1
x,E(X /y)= λ1− λ3+λ3
λ2
y,Var
( Y / x ) = λ
2 − λ
3 + λ
3 ( λ
1 − λ
3 )
λ
12 x , Var
( X
y ) = λ
1 − λ
3 + λ
3
( λ
2 − λ
3 )
λ
22 y .
18

2 Bob. BA`ZI MAXSUS IKKI O`ZGARUVCHILI UZLUKSIZ
TAQSIMOTLAR
1 § . Ikki o'zgaruvchili tekis taqsimot.
Ushbu bo'limda biz Morgenstern ikki o'zgaruvchili tekis taqsimotini batafsil
o'rganamiz. Morgenstern ikki o'zgaruvchili tekis taqsimotining marginallari tekis
bo`ladi. Shu ma'noda, bu bir o'zgaruvchili tekis taqsimotning umumlashmasidir.
1956-yilda Morgenstern ikki o'zgaruvchili taqsimotlarning bir parametrli holini
taqdim etdi, ularning bir o'zgaruvchili marginali quyidagicha:
f( x , y ) = f
1 ( x ) f
2 ( y )( 1 + α [ 2 F
1 ( x ) − 1 ][ 2 F
2 ( y ) − 1 ]) ,
bu yerda α ∈
[ − 1 ; 1 ]
parametr. Agar cdf F
i ( x ) = x
va pdf f
i ( x ) = 1 ( i = 1,2 )
deb faraz
qilsak, u holda biz birlik kvadratdagi Morgenshtern tekis taqsimotiga kelamiz.
Birlik kvadratdagi Morgenshtern tekis taqsimotining zichlik funksiyasi
quyidagicha keltiriladi:
f
( x , y ) = 1 + α ( 2 x − 1 )( 2 y − 1 ) , 0 < x , y < 1 , − 1 ≤ α ≤ 1.
Quyida Morgenshtern tekis taqimotini ixtiyoriy
[a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda
aniqlaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga
[a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda berilgan ikki o`zgaruvchili
tekis taqsimot deyiladi:
f(x,y)=
{
1+α(
2x−2a
b−a −1)(
2y−2c
d−c −1)
(b−a)(d− c)
0,aks holda
,agar x∈[a;b],y∈[c;d]
19

bu yerda α ∈[ − 1 ; 1 ]
parametr. Ikki o`zgaruvchili [a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda
aniqlangan uzluksiz Morgnshtern taqsimotini
(X ,Y)UNIF (a,b,c,d,α) ko`rinishda
belgilaymiz.
Quyidagi rasmlarda α = 0,5
bo`lganda birlik kvadratda joylashgan f
( x , y )
funksiyaning grafigi va teng-zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Faraz qilaylik,
( X , Y ) UNIFM ( a , b , c , d , α )
bo`lsin, bunda
a,b,c,d,α
lar parametrlar. U holda,
E(X)= b+a
2 ,E(Y)= d+c
2 ,Var (X )= (b− a)2
12 ,Var (Y)= (d−c)2
12 ,
Cov (X ,Y)= 1
36 α(b− a)(d− c).
Isbot. Dastlab,
X ning zichlik funksiyasini topamiz:
f
1
( x ) =
∫
cd
f ( x , y ) dy =
∫
cd 1 + α
( 2 x − 2 a
b − a − 1 )( 2 y − 2 c
d − c − 1 )
(
b − a )( d − c ) dy = 1
b − a .
Demak, X
ning zichlik funksiyasi
( a ; b )
intervalda tekis bo`ladi. Ya`ni
X UNIF
( a , b ) .
Quyidagi tengliklar mavjud:
20

E( X ) = b + a
2 va Var ( X ) = ( b − a ) 2
12 .
Xuddi shunday,
Y UNIF (c,d) ekanligi ko`rsatiladi. Bunda esa:
E
( Y ) = d + c
2 va Var (Y)= (d−c)2
12 .
X
va Y
ko`paytmasi kutilmasini topamiz:
E
( XY ) =
∫
ab
∫
cd
xyf ( x , y ) dxdy =
∫
ab
∫
cd
xy 1 + α
( 2 x − 2 a
b − a − 1 )( 2 y − 2 c
d − c − 1 )
(
b − a )( d − c ) dxdy = ¿
¿ 1
36 α(b−a)(d− c)+1
4(b+a)(d+c).
X
va Y ning kovariatsiyasi esa quyidagicha beriladi:
Cov (X ,Y)= E(XY )− E(X )E(Y)= 1
36 α(b−a)(d−c).
Bu tengliklar teoremani isbotlaydi.
Quyida yana bir umumlashgan ikki o`zgaruvchili tekis taqsimotning ta`rifini
keltiramiz:
Ta`rif. Aytaylik
S⊂ R2 soha R2 Yevklid fazosida berilgan A
yuzali soha
bo`lsin. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan taqsimotga,
X va Y
tasodifiy miqdorlarning ikki o`garuvchili S
sohadagi tekis taqsimoti deyiladi:
f(x,y)=
{
1
A ,(x,y)∈S
0,aks holda
1965-yilda Plakket quyidagi tenglikni qanoatlantiradigan F
1
( x )
va F2(x) marginallar
bilan berilgan F
( x , y )
ikki o`zgaruvchili taqsimotlar sinfini quradi:
(α− 1)F (x,y)2−{1+(α−1)[F1(x)+F2(y)]}F(x,y)+αF1(x)F2(y)=0
21

bu yerda 0<α<∞ . Quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
max
{ F
1 ( x ) + F
2 ( y ) − 1 , 0 } ≤ F ( x , y ) ≤ min { F
1 ( x ) , F
2 ( y )} .
Ushbu sinfning zichlik funksiyasi esa Plakket tomonidan quyidagicha aniqlangan:
f
( x , y ) = α f
1 ( x ) f
2 ( y )[( α − 1 ){ F
1 ( x ) + F
2 ( y ) − 2 F
1 ( x ) F
2 ( y )}] + 1
[
S ( x , y ) 2
− 4 α ( α − 1 ) F
1 ( x ) F
2 ( y )] 3
2 ,
bunda
S(x,y)=1+(α−1)(F1(x)+F2(y)).
Agar F
i
( x ) = x
va f
i ( x ) = 1 ( i = 1,2 )
deb olsak, u holda Plakket tomonidan aniqlangan
zichlik funksiyasi quyidagicha bo`ladi:
f
( x , y ) = α [( α − 1 ){ x + y − 2 xy } + 1 ]
[{
1 + ( α − 1 )( x + y )} 2
− 4 α ( α − 1 ) xy ] 3
2 ,
bu yerda
0≤x,y≤1 va α>0 . Lekin, ushbu funksiya integrallanuvchi emasligi uchun
ikki o`zgaruvchili zichlik funksiya bo`lmaydi. Ushbu tasdiq Plakket (1965) va
Mardiya(1967) lar tomonidan hisobga olinmagan.
Ikki o`zgaruvchili Betta taqsimoti.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Betta taqsimoti deyiladi:
f
( x , y ) =
{ Г
( θ
1 + θ
2 + θ
3 )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) x θ
1 − 1
y θ
2 − 1
(
1 − x − y ) θ
3 − 1
, agar 0 < x , y , x + y < 1
0 , aks holda
bu yerda
θ1,θ2,θ3 larmusbat parametrlar. ( X , Y )
tasodifiy miqdorning ikki
o`zgaruvchili
θ1,θ2,θ3 parametrlarga ega Betta taqsimotini ( X , Y ) Beta ( θ
1 , θ
2 , θ
3 )
ko`rinishda belgilaymiz.
22

Quyidagi shakllar f( x , y )
aniqlanish sohasidagi grafigi va teng-zichlik chiziqlarini
ifodalaydi:

Teorema. Faraz qilaylik,
(X ,Y) BETA (θ1,θ2,θ3) bo`lsin, bunda θ1,θ2,θ3 lar
tasodifiy tanlangan parametrlar. U holda,
X BETA (θ1,θ2+θ3) va Y (θ2,θ1+θ3) va
E
( X ) = θ
1
θ , E ( Y ) = θ
2
θ , Var ( X ) = θ
1 ( θ − θ
1 )
θ 2
(
θ + 1 ) , Var ( Y ) = θ
2 ( θ − θ
2 )
θ 2
(
θ + 1 ) ,
Cov
( X , Y ) = − θ
1 θ
2
θ 2 (
θ + 1 ) , θ = θ
1 + θ
2 + θ
3 .
tengliklar o`rinli bo`ladi.
Isbot. Dastlab
X BETA (θ1,θ2+θ3) va Y (θ2,θ1+θ3) ekanligini ko`rsatamiz.
(
X , Y ) BETA ( θ
1 , θ
2 , θ
3 ) ekanligidan ( X , Y )
ning zichlik funksiyasi quyidagi
ko`rinishda bo`ladi:
f
( x , y ) = Г ( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) x θ
1 − 1
y θ
2 − 1
(
1 − x − y ) θ
3 − 1
bunda
θ=θ1+θ2+θ3. Demak, X ning marginal zichligi quyidagicha keltiriladi:
f1(x)=∫0
1
f(x,y)dy = Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
xθ1−1∫0
1−x
yθ2−1(1− x− y)θ3−1dy =¿
¿ Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
xθ1−1(1− x)θ3−1∫0
1−x
yθ2−1
(1− y
1− x)
θ3−1
dy .
23

Ushbu integralni hisoblash uchun u = 1 − y
1 − x almashtirish olamiz. U holda
f
1( x ) = Г ( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) x θ
1 − 1
(
1 − x ) θ
2 + θ
3 − 1
∫
01 − x
u θ
2 − 1 (
1 − u ) θ
3 − 1
du = ¿
¿ Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
xθ1−1(1− x)θ2+θ3−1B(θ2,θ3)= Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2+θ3)
xθ1−1(1− x)θ2+θ3−1.
Yuqoridagi integralni hisoblashda quyidagi tenglikdan foydalandik:
∫0
1−x
uθ2−1(1− u)θ3−1du = B(θ2,θ3)= Г(θ2)Г(θ3)
Г(θ2+θ3)
.
Ushbu tenglik
X BETA (θ1,θ2+θ3) ekanligini ko`rsatadi. Xuddi shunday
Y BETA (θ1,θ2+θ3)
ekanligini ham ko`rsatish mumkin.
X BETA (θ1,θ2+θ3)
va Y BETA (θ1,θ2+θ3) ekanligidan quyidagi tengliklarni osongina
keltirish mumkin:
E(X)= θ1
θ ,E(Y)= θ2
θ ,Var (X )= θ1(θ−θ1)
θ2(θ+1),Var (Y)= θ2(θ−θ2)
θ2(θ+1).
bunda
θ=θ1+θ2+θ3.
Endi
X va Y larning ko`paytmasining kutilmasini hisoblaymiz:
E
( XY ) =
∫
01 [
∫
01 − x
xyf ( x , y ) dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01 [
∫
01 − x
xy x θ
1 − 1
y θ
2 − 1 (
1 − x − y ) θ
3 − 1
dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01 [
∫
01 − x
x θ
1
y θ
2 (
1 − x − y ) θ
3 − 1
dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01
x θ
1
(
1 − x ) θ
3 − 1 [
∫
01 − x
y θ
2 (
1 − y
1 − x ) θ
3 − 1
dy ] dx = [ u = y
1 − x ]
24

¿ Г( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01
x θ
1
(
1 − x ) θ
2 + θ
3 [
∫
01
u θ
2 (
1 − u ) θ
3 − 1
du ] dx = ¿
¿ Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
B(θ2+1,θ3)B(θ1+1,θ2+θ3+1)=¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∙ θ
1 Г
( θ
1 ) ∙( θ
2 + θ
3 ) ∙ Г ( θ
2 + θ
3 )
θ
( θ + 1 ) Г ( θ ) ∙ θ
2 Г
( θ
2 ) Г ( θ
3 )
(
θ
2 + θ
3 ) Г ( θ
2 + θ
3 ) = ¿
¿ θ
1 θ
2
θ
( θ + 1 ) .
Ushbu tenglikdan foydalanib X
va Y
ning kovariatsiyasini topish oson:
Cov
( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y ) = θ
1 θ
2
θ ( θ + 1 ) − θ
1
θ ∙ θ
2
θ = − θ
1 θ
2
θ 2 (
θ + 1 ) .
Teorema isbotlandi.
X
va Y ning korrelyatsiya koeffiysiyenti kovariatsiya yordamida osongina topiladi:
ρ= Cov (X ,Y)
√Var (X )Var (Y)=−
√
θ1θ2
(θ1+θ3)(θ2+θ3).
2 § . Ikki o'zgaruvchili Koshi taqsimoti.
Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan taqsimotga Koshi
ehtimollik taqsimoti deyiladi:
f
( x ) = θ
π
[ θ + ( x − a ) 2] , − ∞ < x < ∞ ,
bu yerda α > 0
va
θ lar haqiqiy parametrlar. α − ¿
parametr joylashuv parametri
deyiladi.
Koshi taqsimoti statistik tadbiqlaridan tashqari o'quv maqsadlarida ham keng
qo'llaniladi. Quyida keltiriladigan tushunchalarning asosiy maqsadi ikki
o'zgaruvchili holat uchun bir o'zgaruvchili Koshi taqsimotini umumlashtirish va
25

uning turli xil ichki xususiyatlarini o'rganishdir. Ikki o'zgaruvchili Koshi
taqsimotini ularning ehtimollik zichlik funksiyasi yordamida aniqlaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz ( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Koshi taqsimoti deyiladi:
f(x,y)= θ
2π[θ2+(x−a)2+(y− β)2]
32
,−∞<x,y<∞ ,
bu yerda θ − ¿
musbat parametr va α
va β
joylashuv parametrlari. Ikki o`zgaruvchili
Koshi taqsimotini quyidagicha belgilaymiz:
(X ,Y)CAU (θ,α,β).
Quyidagi rasmlarda α = 0 = β
va θ = 0,5
bo`lganda f
( x , y )
funksiyaning grafigi va
teng-zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Agar
(X ,Y)CAU (θ,α,β),θ>0,α,β lar parametrlar bo`lsa, u holda
E
( X ) , E ( Y ) , Var ( X ) , Var ( Y )
va Cov (X ,Y) lar mavjud emas.
Isbot. Dastlab X
ning marginalini topamiz:
f1(x)=∫−∞
+∞
f(x,y)dy =∫−∞
+∞ θ
2π[θ2+(x− a)2+(y− β)2]
32
dy .
Ushbu integralni hisoblash uchun
y = β +
√[ θ 2
+ ( x − a ) 2]
∙ tgψ .
Bundan
dy =√[θ2+(x− a)2]∙sec 2ψdψ va
[
θ 2
+ ( x − a ) 2
+ ( y − β ) 2] 3
2
= [ θ 2
+ ( x − a ) 2] 3
2(
1 + t g 2
ψ ) 3
2
= [ θ 2
+ ( x − a ) 2] 3
2
sec 3
ψ .
26

Ushbulardan foydalanib, yuqoridagi integralni hisoblaymiz: ∫−∞
+∞ θ
2π[θ2+(x− a)2+(y− β)2]
32
dy = θ
2π ∫−π2
π2 √[θ2+(x−a)2]∙sec 2ψdψ
[θ2+(x−a)2]
32∙sec 3ψdψ
=¿
¿ θ
2π[θ2+(x−a)2]∫−π2
π2
cos ψ dψ = θ
π[θ2+(x−a)2]
.
Demak, X
ning marginali θ
va
α parametrlarga ega Koshi taqsimoti bo`ladi.
Bundan esa
X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi E ( X )
va dispersiyasi
Var
( X )
mavjud bo`lmaydi. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, Y
tasodifiy miqdor
θ
va β parametrli Koshi taqsimoti bo`ladi va E ( Y )
va Var ( Y )
lar mavjud bo`lmaydi.
Quyidagi tenglikdan esa
Cov (X ,Y) ning mavjud emasligini ko`rsatish mumkin:
Cov
( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y )
Y
ning X= x bo`lgandagi shartli taqsimoti quyidagicha keltiriladi:
f
( y / x ) = f ( x , y )
f
1
( x ) = 1
2 θ 2
+
( x − a ) 2
[
θ 2
+ ( x − a ) 2
+ ( y − β ) 2] 3
2 .
Xuddi shunday, X
ning Y = y
shartli taqsimoti quyidagicha keltiriladi:
f(y/x)= 1
2
θ2+(y− β)2
[θ2+(x−a)2+(y− β)2]
32
.
3 § . Ikki o'zgaruvchili Gamma taqsimoti.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Gamma taqsimoti deyiladi:
f
( x , y ) =
{
( xy ) 1
2
( α − 1 )
(
1 − θ ) Г ( a ) θ 1
2
( α − 1 ) e − x + y
1 − θ
I
α − 1 ( 2
√ θxy
1 − θ
)
0 , aks holda , agar 0 ≤ x , y < ∞ ,
27

bu yerda θ ∈[ 0 ; 1 )
α>0 parametrlar
I
k
( z) ≔
∑
r = 0∞
( 1
2 z ) k + 2 r
r ! Г
( k + r + 1 ) .
Ikki o`zgaruvchili Gamma taqsimotini quyidagicha belgilaymiz:
(
X , Y ) GAMK ( θ , α ) .
Ik(z)− k
-tartibli Bessel funksiyasi. f ( x , y )
funksiyaning ko`rinishi quyidagicha
bo`ladi:
f
( x , y ) =
{ 1
θ α − 1
Г
( a ) e − x + y
1 − θ
¿
0 , aks holda ∑
k = 0∞ (
θxy ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k , 0 ≤ x < y < ∞
Quyidagi rasmlarda α = 1
va θ = 0,5
bo`lganda f
( x , y )
funksiyaning grafigi va teng-
zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Faraz qilaylik,
( X , Y ) GAMK ( θ , α )
bo`lsin, bunda 0<α<∞ ,0≤θ<1
lar parametrlar. U holda,
E
( X ) = α , E ( Y ) = α , Var ( X ) = α , Var ( Y ) = α ,
Cov (X ,Y)=αθ ,M (s,t)= 1
[(1− s)(1−t)−θst ]α.
28

Isbot. Dastlab X taqsimotning α− ¿ parametrli va θ=1 da bir o`zgaruvchili
gamma taqsimoti bo`lishini ko`rsatamiz:
f
1
( x ) =
∫
0∞
f ( x , y ) dy =
∫
0∞
1
θ α − 1
Г ( α ) e − x + y
1 − θ
∑
k = 0∞
(
θxy ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k dy = ¿
¿∑k=0
∞ 1
θα−1Г(α)e
−x1−θ (θx )α+k−1
k!Г(α+k)(1−θ)α+2k∫0
∞
yα+k−1e
−y1−θdy =¿
¿
∑
k = 0∞
1
θ α − 1
Г
( α ) e − x
1 − θ
( θx ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k
( 1 − θ ) α + k
Г ( α + k ) = ¿
¿∑k=0
∞
(
θ
1−θ)
k 1
k!Г(α)xα+k−1e
−x1−θ= 1
Г(α)xα−1e
−x1−θ∑k=0
∞ 1
k!(
xθ
1−θ)
k
=¿
¿ 1
Г(α)xα−1e
−x1−θe
xθ1−θ= 1
Г (α)xα−1e−x.
Demak, X
taqsimot α − ¿
parametrli va
θ=1 da gamma taqsimoti ekan. Bulardan esa
quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
E(X)=α,Var (X)=α.
Xuddi shunday Y
taqsimot ham α − ¿
parametrli va
θ=1 da gamma taqsimotiligini
ko`rsatish mumkin. Bulardan esa quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
E
( Y ) = α , Var ( Y ) = α .
4 § . Ikki o`zgaruvchili Normal taqsimot.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Normal taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) = 1
2 π σ
1 σ
2
√ 1 − ρ 2 e − 1
2 Q
( x , y )
, − ∞ < x , y < ∞ ,
bu yerda
Q (x,y)≔ 1
1− ρ2[(
x− μ1
σ1 )
2
− 2ρ(
x− μ1
σ1 )(
y− μ2
σ2 )+(
y− μ2
σ2 )
2
],
29

μ1,μ2∈R,σ1,σ2∈(0;∞),ρ∈(−1;1) parametrlar.
Odatda,
( X , Y )
tasodifiy miqdorning ikki o`zgaruvchili Normal taqsimotni
(X ,Y) N (μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
ko`rinishda belgilaymiz. f ( x , y )
ning grafigi “tog`”
ko`rinishda bo`lib,
( μ
1 , μ
2 ) juftlik XoY
tekislikda joylashgan tog`ning markazini, σ12
va
σ22 o`lchovlar esa mos holda x va y
yo`nalish bo`ylab tarqalishni anglatadi.
Quyidagi shakl ikki o`zgaruvchili normal taqsimotning ρ − ¿
korellatsiya
koeffitsiyentli turli qiymatlari bilan berilgan grafigini anglatadi. Dastlabki ikkita
shakl ρ = 0 , μ
1 = μ
2 = 0 , σ
1 = σ
2 = 1
parametrlar bilan berilgan taqsimot grafigini va
teng-zichlik tekisligini, keyingi ikkita shakl esa
ρ=0.5 ,μ1= μ2=0,σ1=σ2=0.5
parametrlar bilan berilgan taqsimot grafigini va teng-zichlik tekisligini, oxirgi
ikkita shakl esa
ρ=−0.5 ,μ1= μ2= 0,σ1=σ2=0.5 parametrlar bilan berilgan taqsimot
grafigini va teng-zichlik tekisligini ifodalaydi.
30

Ikki o'zgaruvchili normal taqsimotning ajoyib xususiyatlaridan biri shundaki,f(x,y)
grafigini istalgan yo‘nalish bo‘ylab vertikal ravishda kessak, natijada bir
o'zgaruvchili normal taqsimot hosil bo‘ladi. Xususan, agar f
( x , y )
grafigini vertikal
ravishda Ox
o`qi bo`ylab kessak, bir o'zgaruvchili normal taqsimotni olamiz.
Demak, f
( x , y )
ning marginali yana normal bo`ladi. Buni f(x,y) ning marginallari
bilan berilganda ko`rsatish mumkin:
f1(x)= 1
σ1√2πe
−12(x−μ1σ1)
2
,f2(y)= 1
σ2√2πe
−12(x−μ2σ2)
2
.

Yuqoridagilarning ko`rinishidan quyida keltirilgan teoremaning isbotini osongina
topish mumkin.
Teorema. Faraz qilaylik,
(X ,Y) N (μ1,μ2,σ1,σ2,ρ) bo`lsin, u holda
E(X)= μ1,E(Y)= μ2,Var (X )=σ12,Var (Y)=σ22,
Corr
( X , Y ) = ρ , M ( s , t ) = e μ
1 s + μ
2 t + 1
2 ( σ
12
s 2
+ 2 ρ σ
1 σ
2 st + σ
22
t 2 )
.
tengliklar o`rinli bo`ladi.
Isbot. E
( X ) , E ( Y ) , Var ( X ) , Var ( Y )
larning qiymatlarini topish sodda. Biz
faqatgina xarakteristik funksiyaning ko`rinishini aniqlaymiz.
(X ,Y) N (μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
ekanligidan, X N (μ1,σ12) va Y N (μ2,σ22) munosabatlarni
topish mumkin. Shuningdek, ixtiyoriy
s va t lar uchun W = sX +tY tasodifiy miqdor
31

μW= sμ1+tμ2 va σ
W2
= s 2
σ
1 2
+ 2 stρ σ
1 σ
2 + t 2
σ
22
parametrli normal taqsimot bo`ladi. W ning
normal taqsimot ekanligidan, uning xarakteristik funksiyasi quyidagi ko`rinishda
bo`ladi:
M
( τ) = e μ
W τ + 1
2 τ 2
σ
W2
.
(
X , Y )
tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi esa quyidagicha topiladi:
M
( s , t ) = E ( e sX + tY )
= e μ
w + 1
2 σ
W2
= e s μ
1 + t μ
2 + 1
2 ( s 2
σ
12
+ 2 stρ σ
1 σ
2 + t 2
σ
22 )
.
Teorema isbotlandi.
32

Xulosa
Bu malakaviy bitiruv ishida ikki o ’lchovli diskret va uzluksiz ba’zi bir
taqsimotlar o’rganilgan.Shuningdek ba’zi bir ikki o’lchovli taqsimotlar matematik
kutilmasi, dispersiyasi, kovariatsiyasi, korrelyatsiya koeffitsienti, xarakteristik
funksiyalari keltirilgan.
Ikki o’lchovli tekis, Koshi va Normal taqsimotlarning marginallari yana
tekis, Koshi va Normal bo’lishi ko’rsatilgan.
Ikki o’lhovli taqsimotlar birgalikdagi zichligi berilgan holda ularning tashkil
etuvchilarining taqsimot zichliklari topilgan.
33

Foydalanilgan adabiyotlar
1. P.Sahoo., Probability and mathematical statistics. USA. 2013
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.
3. Боровков, А.А. Теория вероятностей. Либроком, 2016. - 656 c.
4. Боровков А.А. Математическая статистика. Издательство "Лань", 4-е
изд., стер. 2010. - 704 c.
5. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.:
МЦНМО, 2017.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.
М.: Наука, 1977.
7. Ибрагимов И.А., Лииник Ю.В. Независимые и стационарно-связанные
величины. М. Наука. 1965.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М:
Мир, 1984.
9. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных
величин. М.: Физматлит, 1987.
10. Крамер Г . Математические методы статистики. М.Мир.1975.
11. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М. Высшая
34

KO’P O’ZGARUVCHILI TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOT FUNKSIYALARI M U N DA R I J A Kirish …………………………………………………………………………. 3 I Bob. Ikki o’zgaruvchili diskret taqsimotlar 1§. Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid asosiy ta’rif va tushunchalar 2§. Ikki o’zgaruvchili Binomial taqsimoti…………………………………….. 4 10 3§. Ikki o’zgaruvchili Geometrik taqsimot 15 4§. Ikki o’zgaruvchili Puasson taqsimot……………………………….… … 18 II Bob . Ikki o ’ zgaruvchili uzluksiz taqsimotlar 1§ . Ikki o ’ zgaruvchili tekis taqsimot 20 2§ . Ikki o’zgaruvchili Koshi taqsimoti……. 27 3§. Ikki o’zgaruvchili Gamma taqsimoti ……………………………………………………………………… 29 4§ . Ikki o’zgaruvchili Normal taqsimot………… 31 Xulosa……………………………………………………………………… … 35 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………… …. 36 Ilovalar……………………………………………………………………....... 48 1

KIRISH 1.Masalaning qo’yilishi. Ma’lumki ko’p tasodifiy jarayonlarga oid masalalar ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarga keltiriladi. Shuning uchun ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni tadqiq qilish hozirgi kunda muhim masalalardan biri hisoblanadi. 2.Mavzuning dolzarbligi. Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni o’rganish nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, bu ishda diskret hamda uzluksiz ba’zi bir muhim ikki o’lchovli taqsimotlar o’rganilgan. 3. Ishning maqsadi va vazifalari . Hozirgi kunda o’zbek tilidagi o’uv adabiyotlarida ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid ma’lumotlar juda kam shu sababli ushbu bitiruv ishida bazi bir muhim ikki o’lchovli taqsimotlarni o’rganish maqsad qilib qo’yilgan. 4. Ishning ilmiy tadqiqot metodlari. Xarakteristik funksiyalar metodi, Hosil qiluvchi funksiyalar metodi. 5. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati. Ehtimollar nazariyasidagi ba’zi bir masalalarni yechishda foydalanilishi bilan izohlanadi. 6.Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi, mundarija, kirish, 2 ta bob, 7 ta paragrafdan, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Ishning hajmi 36 betdan iborat 7.Ishning qisqacha mazmuni. I kki o’zgaruvchili diskret tasodifiy miqdorlar nomli birinchi bobida ikki o’zgaruvchili Binomial taqsimot, ikki o’zgaruvchili geometrik taqsimot, ikki o’zgaruvchili Puasson taqsimot va ularning ba’zi xos s alari o’rganilgan. Ikki o’zgaruvchili uzluksiz tasodifiy miqdorlar nomli ikkinchi bobida ikki o’zgaruvchili tekis taqsimot, ikki o’zgaruvchili Koshi taqsimot, ikki o’zgaruvchili Gamma taqsimot, ikki o’zgaruvchili Normal taqsimot va ularning ba’zi xossalari o’rganilgan. 2

I B OB . BA`ZI MAXSUS IKKI O`ZGARUVCHILI DISKRET TAQSIMOTLAR 1 §. Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid asosiy ta’rif va tushunchalar. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor X=(X 1,X 2,… ,X n)−¿ bu bir xil Ω ehtimollik fazosida berilgan X i ( i = 1,2 , … , n ) tasodifiy miqdorlar jamlanmasidir. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni uning F X ( x 1 , x 2 , … , x n ) = F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ¿ ¿ P { ( X 1 < x 1 ) ∩ ( X 2 < x 2 ) ∩ … ∩ ( X n < x n ) } taqsimot funksiyasi bilan beriladi, u ko‘p o‘zgaruvchilarning sonli funksiyasi va (ehtimol sifatida) [0;1] oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega. Barcha x1,x2,…,xn∈R lar uchun: 1) 0 ≤ F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≤ 1 ; ( 3.57 ) 2) F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n ) har bir argument bo‘yicha kamaymaydi; (3 . 58) 3) F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n ) har bir argument bo‘yicha chapdan uzluksiz; (3 . 59) 4) F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n − 1 , − ∞ ) = 0 ; ( 3.60 ) 5) F X 1 , X 2 , … , X n ( x 1 , x 2 , … , x n − 1 , + ∞ ) = F X 1 , X 2 , … , X n − 1 ( x 1 , x 2 , … , x n − 1 ) = 1 ; (3.61) Bir o‘lchovli holdan farqli o‘laroq, biror F : R n → R funktsiya uchun ( 3.57 ) − ( 3.61 ) xossalarning bajarilishi bu funksiya biror ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lishligini kafolatlamaydi. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar xuddi bir o‘lchovli kabi, diskret (mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami chekli yoki sanoqli to‘plamni tashkil qilganda) yoki uzluksiz (mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami sanoqsiz bo‘lsa) bo‘lishi mumkin. 3

Quyida hamma joyda ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlar qaraladi. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning yarim ochiq to‘rtburchakka tushish ehtimoli P{( a 1 ≤ X 1 ≤ b 1 ) ∩ ( a 2 ≤ X 2 ≤ b 2 )} = ¿ ¿ F X 1 , X 2 ( b 1 , b 2 ) − F X 1 , X 2 ( a 1 , b 2 ) − F X 1 , X 2 ( b 1 , a 2 ) + F X 1 , X 2 ( a 1 , a 2 ) ( 3.62 ) ga teng . Agar (3.57 )−(3.61 ) shartlarga qo‘shimcha ravishda F:R2→ R funksiyadan ixtiyoriy b 1 ≥ a 1 , b 2 ≥ a 2 lar uchun F X 1 , X 2 ( b 1 , b 2 ) − F X 1 , X 2 ( a 1 , b 2 ) − F X 1 , X 2 ( b 1 , a 2 ) + F X 1 , X 2 ( a 1 , a 2 ) miqdorning manfiy bo‘lmasligini talab qilinsa, u holda bu funksiya albatta biror ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘ladi. Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimot jadvallari (3.63) yordamida berish qulay X Y x1 x2 … xn … y 1 P11 P12 … P1n … y2 P12 P22 … P2n … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … ym Pm1 Pm2 … Pnm … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 4

Bunday jadvalda ustun sarlavhalari xj birinchi X komponentning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlariga, satrlar sarlavhalari y i ikkinchi Y komponentning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlariga mos keladi. Bunda y holda i -satr va j - ustunda joylashgan xonaga p ij = P {( X = x j ) ∩ ( Y = y i ) } ehtimollik qiymati yoziladi . Tabiiyki, ∑ i ∑ j p ij = 1 (3.64) Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funk s iyasi F XY ( x , y ) = ∑ x j < x ∑ y 1 < y p ij (3.65) bunday ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor ning har bir komponentining taqsim ot qonunlari (marginal taqsimot qonunlari deb ataladigan) P{X= xj}=∑i pi,P{Y= yi}=∑j pj (3.66) formulalar yordamida taqsimot jadvalidan (3.63 ) tiklanadi. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funk s iyasi F XY ( x , y ) = ∫ − ∞x ( ∫ − ∞y f XY ( x , y ) dy ) dx , (3.67) ko‘rinishda ifodalanishi mumkin bo‘lsa, bunda fXY (x,y) funksiya ¿ ) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi deyiladi. Absolyut uzluksiz ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi quyidagi xossalarga ega: barcha x , y ∈ R lar uchun: 1) f XY ( x , y ) ≥ 0. (3.68) 2) ∫ −∞ +∞ (∫ −∞ +∞ fXY (x,y)dy )dx =1. (3.69) 5

O'xshashlar

BOGʻLIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR FUNKSIYALARI

Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar

KOʻP OʻLCHOVLI TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN BA’ZI NATIJALAR

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning optimallashtirish masalalarini yechishga qo’llashning matematik modelini qurish.