logo

MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1000.3095703125 KB
MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA  PISA
DASTURI ASOSIDA  FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH
METODIKASI
MUNDARIJA
KIRISH  …………………………………………………………………….
3
I BOB UMUMTA’LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA 
CHUQURLASHTIRIB O‘QITILADIGAN KURSLARIDA 
FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING 
NAZARIY ASOSLARI  
……………………………………………………………………. 7
1.1. Matematikada   funksiya   tushunchasining   paydo   bo‘lishi   va
rivojlanishi tarixi ………………………………………………… 7
1.2. Umum   ta’lim   maktablarida   funksiya   tushunchasini
shakllantirishdagi turli yondoshuvlar …………………….............
14
1.3 Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos 
masalalar tizimini yaratish………………………………………..
I BOB BO‘YICHA XULOSA  ………………………….………
27
II BOB UMUMTA ’ LIM   MAKTABLARINING   MATEMATIKA
CHUQURLASHTIRIB   O ‘ QITILADIGAN   KURSLARIDA
FUNKSIYA   TUSHUNCHASINI   SHAKLLANTIRISHNING
METODIK   ASOSLARI  …………………………………….….
2.1.   Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning 
ma z muni va o‘qitish metodikasi  ……………………. 29
2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning
metodik loyihasi  ………………………………………………….
38
2.3. Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir 
savollar, masalalar va testlar……………………………………... 48
II BOB BO‘YICHA XULOSA  ……………………………….
57
III   BOB TAJRIBA-SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA 
UNING NATIJALARI   59
3.1. Tajriba-sinov ishlarini tashkil etish……………………………. 
59
3.2. Tajriba-sinov ishlarining natijalari tahlili……………………… 
66
III BOB BO‘YICHA XULOSA ……………………………… 
79
XULOSA   VA TAKLIFLAR   ……………………………………………….
81
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI  ……………………
84
1 K I R I SH
Dolzarblik.   O‘quvchilarning   o‘zlashtirish   darajalarini   xalqaro   darajada
o‘lchab,   qiyoslab   baholaydigan   tashkilotlar   (PISA,   TIMSS)   tomonidan
tayyorlangan nazorat o‘lchov materiallariga kiruvchi savollar va testlar tarkibida
funksional bog‘lanishlarga doirlari salmoqli qismni tashkil etadi.   Mashur nemis
matematigi   F.Kleyn   (1849-1925)   funksiya   tushunchasi   haqida   shunday   degan
edi:   “Zamonaviy   matematikaning   qaysi   tushunchasi   eng   asosiysiysi   bo‘lib
hisoblanadi?   So‘zsiz,   bu   funksiya   haqidagi   tushunchadir.   Funksiya   haqidagi
tushuncha o‘rta maktab matematika kursida eng asosiy va boshqaruvchi vazifani
bajarishi   kerak.   Bu   tushuncha   o‘quvchilarga   juda   erta   tushuntirilishi   kerak
hamda undan algebra va geometriyani o‘qitishda ham unumli foydalanish zarur”.
Bugungi   kunga   kelib   funksiya   tushunchasini   shakllantirish   metodikasiga   oid
ijobiy   tajribalar   to‘plangan   bo‘lishiga   qaramasdan   matematika   o‘qituvchilari
funksiya   tushunchasini   amaliyotga   tadbiq   etish   borasida   bir   qancha
qiyinchiliklarga   duch   kelmoqdalar.   Oliy   o‘quv   yurtlariga   kirish   testlarini
topshirgan   abituriyentlarning   natijalari   taxlillari   ham   ularda   funksional
bog‘lanishlarni   to‘liq   tushunmaganliklarini   ko‘rsatmoqda.   Bularning   barchasi,
funksiya   tushunchasini   sifatli   o‘zlashtirish   zarurligi   bilan   bu   tushunchani
shakllantirish   metodikasining   etarli   darajada   ishlab   chiqilmaganligi   o‘rtasidagi
ziddiyatlarning mavjudligini ko‘rsatadi.
Tadqiqot   obyekti.   Matematika   chuqurlashtirilib   o‘qitiladigan
makrablarda  matematikani o‘qitish jarayoni.
Tadqiqod   predmeti.   Matematika   chuqurlashtirilib   o‘qitiladigan
makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi.
Tadqiqot   maqsadi.   Matematika   chuqurlashtirilib   o‘qitiladigan
makrablarda   funksiya   tushunchasini   shakllantirishning   maxsus   o‘ziga   xos
jihatlarini aniqlash va shakllanish metodikasini tajriba-sinovlarda tekshirish.
Tadqiqot   vazifalari:   1.   Funksiya   tushunchasining   paydo   bo‘lishi   va
rivojlanish tarixini o‘rganish.
2 2.   Maktab   matematikasi   mazmunida   funksional   bog‘lanishlar   mavzular
tizimining   maqsadi,   vazifalari   va   o‘quvchilarning   matematik   tayyorgarligiga
qo‘yilgan talablarni aniqlashrirish. 
3.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirishdagi   turlicha   yondashuvlarni
qiyosiy o‘rganish. 
4.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   bo‘yicha   masalalar   tizimini
ishlab chiqish.
5. Amaldagi maktab matematika darsliklarini tadqiqot predmeti bo‘yicha
qiyosiy tahlil qilish.
6.   Bir   nechta   formulalar   bilan   berilgan   funksiyalarni   o‘rganishning
metodik loyihasini tayyorlash.
Pedagogik tajriba-sinov ishlarini o‘tkazish. 
Tadqiqod   farazi.   Agar   quyidagi   shartlar   bajarilsa,   u   holda   o‘quvchilar
tomonidan funksiya tushunchasini o‘zlashtirish sifati oshadi:
1)   funksiya   tushunchasini   shakllantirishdagi   o‘ziga   xos   maxsusliklari
aniqlansa; 
2)   aniqlangan   maxsusliklarni   inobatga   olib,   funksiya   tushunchasini
shakllantirish metodikasi ishlab chiqilsa.
Tadqiqod metodlari:  
-   muammolarga   bag‘ishlangan   nazariy   va   ilmiy-uslubiy   adabiyotlarning
DTM sinovlarida tushgan masalalarning nazariy taxlili;
- pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish;
- so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 
1.   Funksiya   tushunchasining   paydo   bo‘lishi   va   rivojlanish   tarixining
yoritilishi.
2.   Darsliklarda   funksiya   tushunchasini   shakllantirish   bo‘yicha   bayon
qilingan yondashuvlar qiyosiy tahlil etib berilgan. 
3.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   jarayonidagi   maxsus   jihatlari
aniqlangan.
3 4.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   bo‘yicha   PISA   ko‘rsatkichlariga
mos masalalar tizimi ishlab chiqilgan. 
5.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   jarayonidagi   maxsus   jihatlarini
inobatga olib yangi metodik tizim tavsiya etilgan.
Tadqiqot natijalarining nazariy va amaiy ahamiyati.
1.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   uchun   ilmiy-uslubiy
adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasidan amaliyotda foydalaniladi.
2.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirish   bo‘yicha   masalalarning   mazmuni
va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi.
3. O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish
mumkin.
4 I BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib
o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning nazariy
asoslari
1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi
tarixi.
Funk s ional   yo‘nalish   –   arifmetikadan   oliy   matematik a nin g   barcha
bo‘limlari ni   qamrab   olgan   asosiy   tayanch   bo‘lib,   uning   atrofida   barcha   maktab
algebrasi,   boshlang‘ich   matematik   analiz   va   ma ’ lum   darajada   geometriya   ham
birlashtirilgan.
Mavjud namunaviy dastur XX asrning 70-yillarida olib borilgan matematik
ta’limni   isloh   qilishdan   so‘ng   funksional   mazmundagi   ma’lumotlarning   sezilarli
darajada   ko‘paytirilgan   hajmini   o‘z   ichiga   oladi.   Matematik   tahlil   elementlarini
kiritishgacha   bo‘lgan   kontseptual   apparatning   kengayishi   o‘quvchilarning
funksional   tasavvurlarini   yangi   sifat   darajasiga   ko‘tardi.   Bunday   hal   qiluvchi
qadamga   pedago-matematiklar   F.Klein,   A.Ya.Xinchin,   A.N.Kolmogorov,
A.I.Markushevich,   A.G.Mordkovich   va   boshqalarning   funksiya   tushunchasining
bevosita   real   borliq   bilan   bog‘liq   matematika   fanida   va   matematika   o‘qitishdgi
etakchi roliga amin bo‘lgan g‘oyalari sezilarli ta’sir ko‘rsatdi. Unda real olamning
o‘zgaruvchanligi va dinamikligi, real narsa va hodisalarning sababiy bog‘liqligi va
shartliligi,   zamonaviy   matematik   tafakkurning   dialektik   xususiyatlari   aniq
ifodalangan.   Ko‘pgina   real   vaziyatlarning   matematik   modeli   bo‘lgan   funksiya
miqdorlar orasidagi turli munosabatlarni tavsiflash va o‘rganish, atrofdagi dunyoni
bilish   imkonini   beradi.   Shu   sababli,   o‘quvchilarni   funksional   material   bilan
tanishtirish   juda   muhim,   chunki   bu   ham   predmetlar   ichidagi,   ham   fanlararo
aloqalarni   (ko‘plab   tushunchalar   va   qonunlar   funksional   asosga   ega),   maktab
matematikasining amaliy yo‘nalishini amalga oshirishga imkon beradi.
Matematikada   funksiya   tushunchasi   turli   xil   amaliy   masalalardan   kelib
chiqqan holda, ularni yechishning umumiy usullari topilganda (masalaning konkret
mazmunidan abstraktatsiya qilish orqali) asta-sekin rivojlandi.
5 Bu erda boshlang‘ich nuqta bo‘lib o‘zgaruvchi miqdor tushunchasi  bo‘lgan
edi. Funksiya tushunchasining mazmuni matematika rivojlanishi jarayonida ishlab
chiqilgan   va   boyitilgan,   qayta   kiritilgan   ta’riflar   bo‘yicha   ko‘plab   bahs-
munozaralar   mavjud   bo‘lgan.   Va   hozir   ham   matematika   tushunchaning   yakuniy,
oxirgi ta’rifini topdi, deb aytish mumkin emas.
Funksiya   tushunchasi   uzoq   rivojlanish   yo‘lini   bosib   o‘tgan   va   o‘z   tarixiga
ega. Miqdorlarning funksional bog‘lanishi g‘oyasi qadimgi davrlarga borib taqalsa
ham, funksiyaning umumiy tushunchasiga ehtiyoj faqat XVII-asrda o‘zgaruvchilar
g‘oyasining   paydo   bo‘lishi   munosabati   bilan   paydo   bo‘lgan,   shu   bilan
matematikaga   vaqt   o‘tishi   bilan   kuzatiladigan   harakat,   o‘zgarish,   jarayonlar   kirib
keldi. Dastlabki talqini geometrik yoki mexanik ko‘rinishda edi: butunlay ixtiyoriy
egri   chiziqlar   nuqtalarining   ordinatalari–abscissalarning   funksiyalari,   yo‘l   va
tezlik-vaqtning funksiyalari (P.Ferma, R.Dekart, I.Nyuton, G.Leybnits). Bu davrda
G.Leybnis   “funksiya”   (1673),   “o‘zgaruvchan”,   “o‘zgarmas”   (1698)   atamalarini
kiritdi.   “Funksiya”   atamasi   lotincha   “amalga   oshirish”,   “bajarish”   degan   ma’noni
anglatadi. Asta-sekin funksiyani talqini dastlabki g‘oyalardan xalos bo‘la boshladi
va analitik usul-funksiyani   formula   bilan aynanlashtirish hukmronlik qila boshladi
(I.Bernulli,   L.Eyler).   1718-yilda   I.Bernulli   funksiyaning   birinchi   aniq   ta’rifini
bergan   bo‘lsa   ,   L.Eyler   1734-yilda   y=f(x)   belgilashni   kiritgan .   Taxminan   XIX-
asrning o‘rtalarida funksiya tushunchasi  formulaning yakka hukmronligidan xalos
bo‘ldi va yangi ta’rif klassik, zamonaviyga yaqin deb ataladigan   moslik   g‘oyasiga
(N.I.Lobachevskiy,   L.Dirixle)   qaratilgan.   To‘plamlarning   umumiy   nazariyasi
yaratilgandan so‘ng, moslik g‘oyasi  to‘plam g‘oyasi  bilan to‘ldirildi, bu funksiyani
nafaqat   sonli   to‘plamlar   uchun,   balki   ixtiyoriy   tabiatdagi   obyektlarda   ham   ko‘rib
chiqish   imkonini   berdi.   XIX   asr   oxirida   funksiya   tushunchasini   rivojlantirilib,
akslantirish   tushunchasi   shakllandi.   XX   asrda   fizikaning   ehtiyojlari   bilan   bog‘liq
holda,   funksiya   haqidagi   dastlabki   g‘oyalardan   tashqi   ko‘rinishi   bilan   juda   farq
qiladigan   "umumlashgan   funksiyalar"   (L.Shvars,   S.L.Sobolev)   paydo   bo‘ldi.
Funksiya   tushunchasi   rivojlanish   misolidan   foydalanib   o‘quvchilarni   muhim
falsafiy   kategoriyalar-sabab   va   oqibatning   namoyon   bo‘lish   bilan   tanishtirish
6 mumkin.Funksiya tushunchasi bilan umumiy funksional tushunchalarning ma’lum
bir   tizimi     bilan  bog‘liq  (sonli  funksiya,  aniqlanish  va  o‘zgarish  sohalari,  berilish
usullari, grafik, o‘sish va kamayish, juft va toqlik, funksiyaning nollari (ildizlari),
ishorasining   o‘zgarmasligi,   monotonlik,   ekstremumlar,   davriylik,   teskari   va
murakkab   funksiyalar,   uzluksizlik   yoki   uzilish,   argument   va   funksiyaning
orttirmasi,   differensialanuvchanlik,   integrallanuvchanlik   va   boshqalar).   Sanab
o‘tilgan tushunchalarning   ko‘pchiligi funksiya xossasi ham, funksiyaning alohida
turi   nomi   deb   ham   ataladi.   Masalan,   trigonometrik   funksiyalardan   birining
davriylik   xossasi   ayni   paytda   uning   shu   xossa   bilan   ajralib   turuvchi   davriy
funksiyalar turiga mansubligini ko‘rsatadi.
Funksional   yo‘nalishda   muhim   o‘rin   elementar   (oddiy   degani   emas)   deb
ataladigan,   keng   qo‘llanlishi   sohasiga   ega   bo‘lgan   funksiyalar   sinfini   chuqur
o‘rganishga   beriladi.   XVII-asrgacha   yaxshi   o‘rganilib   bo‘lgan   elementar
funksiyalar   ko‘phadlar,   ratsional   va   irratsional   funksiyalar,   ko‘rsatkichli,
logarifmik,   trigonometrik   va   teskari   trigonometrik   funksiyalarni   o‘z   ichiga   oladi.
Ushbu   funksiyalar   to‘plami   asosiy   arifmetik   amallar   (qo‘shish,   ayirish,
ko‘paytirish,   bo‘lish),   algebraik   amallar   (butun   darajaga   ko‘tarish,   ildizdan
chiqarish)   va   transendent   amallar   (irrasional   darajaga   ko‘tarish,   logarifmlash,
trigonometrik, modul), uzluksizlik  tushunchasi  va geometrik almashtirishlar  bilan
chambarchas   bog‘liq   bu   o‘z   navbatida   funksional   yo‘nalishni   boshqa   mazmunli-
uslubiy yo‘nalishlar o‘rtasida bog‘lanishlarni o‘rnatishga imkon beradi. Elementar
funksiyalarning tasnifi quyidagicha ifodalanishi mumkin: Ketirilgan tasnif   u yoki
bu   funksiyani   “tashqi   belgisi”   bo‘yicha,   ya’ni   amalga   oshirilayotgan   amallarga
bog‘liq   ravishda   ma’lum   bir   sinfga   kiritadi.   Biroq,   transsendent   amallarni   o‘z
ichiga   olgan   formula   bilan   berilgan   har   qanday   funksiya   transsendent   emas.
Demak,   masalan,   funksiya   transsendent   bo‘lmasa,   uning  moslik   qonuni   algebraik
amallar   yordamida   ifodalanishi   mumkin:   y = 2 + x 2
.   "Transendent"   so‘zi   lotincha
transendens   so‘zidan   olingan   bo‘lib,   biror   narsa   chegrasidan   chiqib   ketish,   oshib
ketish   ma’nosini   bildiradi.   Transsendent   funksiyalar   algebraik   funksiyalar
to‘plamidan   tashqariga   chiqadi.   Elementar   funksiyalar   sinfiga   ularning   arifmetik
7 amallar   yordamida   olingan   turli   kombinatsiyalari   ham   kiradi.   Biroq,   maktab
kursida   funksiyalar   bilan   bunday   amallarning   ta’riflari   yo‘q.   Sonli   funksiyalar
bilan   arifmetik   amallar   hali   ham   bilvosita   kuzatilmoqda   (grafiklarni   yasashda,
ba’zi ta’riflarda, masalan, yig‘indining hosilasi va boshqalarda).
Funksiyadan   funksiyani   hosil   qilish   (murakkab   funksiya)   amali   yordamida
asosiy elementar funksiyalar ham o‘zaro bog‘lanishi mumkin. Bunda biz murakkab
funksiya   yoki   funksiyalar   kompozisiyasi   tushunchasiga   kelamiz.   Ikkita   y=f ( z )   va
z=g ( x ) ,   funksiyalar   berilgan   bo‘lsin   u   holda   y=f ( g ( x ))   funksiya   berilgan   ikkita
funksiyaning   kompozitsiyasi   yoki   ulardan   tuzilgan   murakkab   funksiya   deyiladi.
z=g ( x )   funksiya oraliq argument,  x – asosiy argument  deyiladi.
Funksiyalar   kompozisiyasi   bu   funksiyalarni   ma’lum   bir   tartibda   ketma-ket
qo‘llash   natijasidir.   Funksiyalar   kompozisiyasini   yozish   uchun   ko‘pincha   "o"
belgisi   ishlatiladi   va   ular   h=f o   g   deb   yozadilar   g,   ya’ni   h   funksiyasi   f   va   g
funksiyalar   kompozisiyasi   sifatida   olingan   (   avval   g   ,   keyin   f   ni   qo‘llaniladi   ).
Ma’lumki,   agar   z   –   x   ning,   y   –   z   ning   funksiyasi   bo‘lsa,   u   holda   y   ni   –   x   ning
murakkab  funksiyasi  sifatida  qarash  mumkin. Masalan,  √1−	x2   funksiyani  	z=1−	x2
va  	
y=	√z   funksiyalar   kompozisiyasi   sifatida   qaralishi   mumkin   Murakkab
funksiyaning   bunday   berilishi   zanjirli   berilishi   deb   ham   ataladi.   Bunday   holda,
funksiyalar   zanjiri   ularning   istalgan   sonidan   iborat   bo‘lishi   mumkin.  
z = x 2
+ 2   va	
y=	√1−	z
  funksiyalaridan   murakkab funksiya hosil qilish mumkin emas, ya’ni 	√ 1 − z
haqiqiy   sonlar   to‘plamida   mavjud   emas,   chunki   hech   qanday   x   soniga   mos
keladigan   y   soni   mavjud   emas.   Shuning   uchun,   murakkab   funksiyalarni   ko‘rib
chiqishda, tarkibiy funksiyalarning aniqlash sohalarinihisobga olish lozim. 
Funksiya   tushunchasi   bilan   teskari   funksiya   tushunchasi   va   berilgan
funksiyaning   teskari   funksiyasi   bor-yo‘qligini   aniqlash,   agar   mavjud   bo‘lsa,   uni
qanday   topish   ko‘nikmalari   chambarchas   bog‘liq.   Matematikada   "teskari"   so‘zi
ko‘p   qo‘llaniladi:   teskari   son,   teskari   kasr,   teskari   amal,   teskari   teorema,   o‘zaro
teskari   sonlar   (teoremalar),   o‘zaro   teskari   nisbatlar   (2:3   va   3:2)   va   boshqalar.
"Teskari   funksiya"   tushunchasining   ma’nosi   nima.   M.I.Bashmakovning   (9-sinf)
darsligida quyidagi ta’rif berilgan  f  funksiyasi uchun teskari funksiya deb shunday
8 g  funksiyaga aytiladiki, u har bir  y   soniga  ( f  funksiya qiymatlar sohasidan) shunday
x   sonni   mos   qo‘yadiki,   uning   uchun   f ( x ) =y   tenglik   bajariladi".   Agar   y=f ( x )
funksiya   teskari   funksiyaga   ega   bo‘lsa   (ba’zan   u   x=f − 1
( y )   bilan   belgilanadi) ,   u
holda   f ( x )   teskarilanuvchi deyiladi,   y=f ( x )   va   x=f−1 ( y )   funksiyalar   – o‘zaro teskari
funksiyalar  deyiladi.   Masalan,   y=kx   va   x= y
k   ( k ≠   0) ,  
y = x 3
  va  	
x=	3√y o‘zaro teskari
funksiyalar.
Mavjud   algebra   darsliklarida   bo‘lakli   funksiyalarga,   ya’ni   aniqlanish
sohasining   turli   oraliqlarida   turli   formulalar   bilan   berilgan   funksiyalarga   misollar
keltirilgan.   Bunday   funksiyalarning   grafiklari   o‘quvchilarga   ma’lum   bo‘lgan
funksiyalarning alohida "bo‘laklari" dan iborat bo‘lib, yaxlit tasvirni yaratadi va bu
ularning   nomlanishga   asos   bo‘lib   xizmat   qilgan.   Ko‘pgina   hollarda,   bo‘lakli
funksiyalar   haqiqiy   vaziyatlarning   matematik   modellari   hisoblanadi.   Bunday
funksiyalar   faqat   XIX-asrning   o‘rtalarida,   ya’ni   funksiyaning   ta’rifi
aniqlashtirilgandan   boshlab   qarala   boshlandi.   Ulardan   ba’zilari   o‘z   nomlari   va
belgilanishlariga   ega:   modul   ( │x│ ),   ishora   (sign   x ),   butun   qism   ([ x ]),   kasr   qism
({ x }),   Dirixle   funksiyasi   ( D ( x ) ).   Ushbu   turdagi   funksiyalar   elementar   funksiyalar
deb hisoblanmaydi 
Nazariya   bilan   bog‘liq   oxirgi   muhim   savol:   qanday   funksiyalar   teng
deyiladi?  Ikki  y=f ( x )  va   y=g ( x )  funksiyalar berilgan bo‘lsin , ular teng bo‘ladi, agar
ular   bir   xil   aniqlanish   sohasiga   ega   bo‘lsa   va   aniqlanish   sohasidagi   istalgan   x=a
uchun f ( a ) =g ( a )   tenglik o‘rinli bo‘lsa. B unday funksiyalar aynan teng, bir xil deb
ham ataladi.
Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari, qo‘llanilishini tizimli o‘rganish
7-9-sinflar   algebra   kursida   boshlanib,   so‘ngra   10-11-sinflar   algebra   va   analiz
asoslari   kursida   davom   ettiriladi,   asosan   sonli   funksiyalar,   ya’ni   sonli   to‘plamda
berilgan   va   shu   sonli   to‘plamdan   qiymatlarni   qabul   qiladigan   funksiyalar
o‘rganiladi. Sonli funksiyalar ham o‘rganish obyekti, ham "matematik analiz" ning
barcha asosiy   tushunchalari   quriadigan  bevosita  muhitdir.  Maktabda  ular,  asosan,
elementar   funksiyalarni   o‘rganish   va   qo‘shni   fanlarda   differentsial   va   integral
9 hisob   asoslarini   qo‘llash   uchun   apparat   sifatida   analiz   asoslarini   o‘rganish   bilan
cheklaniladi. O‘quvchilar funksiyaning aniqlanish sohasida (global yondashuv) va
konkret   nuqta   yaqinidagi   (lokal   yondashuv)   o‘zgarishini   tahlil   qilish   bilan
tanishadilar.   Funksional   materialning   zamonaviy   mazmuni   o‘quvchilarga
funksiyalarni algebra (elementar vositalar) vositalari ham, matematik tahlil (hosila
tushunchasini kiritish yordamida) vositalari orqali ham tekshirish bilan tanishishga;
ikkinchisining   afzalliklariga,   ya’ni   funksiyalarning   keng   sinfini   o‘rganishga   va
natija olish jarayonini soddalashtirishga ishonch hosil qilishga imkon beradi.
Analizning   asoslari   XVII-XVIII   asrlarda   I.Nyuton   va   G.Leybnislar
tomonidan   ishlab   chiqilgan,   L.Eyler   funksiyani   uning   markaziy   tushunchasi   deb
e’lon   qilgan.   I.Nyuton   uzluksiz   harakatda   ikkita   kattalik   o‘rtasidagi   bog‘lanishni
tasvirlashning   umumiy   usulini   kashf   etdi:   tezlik   yo‘lning   hosilasi,   yo‘l   esa
tezlikning integralidir. Klassik masala bo‘lib G.Leybnis tomonidan yechilgan egri
chiziqqa   urinma   o‘tkazish   haqidagi   masalasi   hisoblanadi.   XIX   asrning   birinchi
uchdan   birida   O.Koshi   analiz lni   qurish   uchun   qat’iy   mantiqiy   asosni   yaratdi.
Funksiyaning   uzluksizligi,   hosila   va   integralning   zamonaviy   ta’riflarida   limit
tushunchasidan  foydalaniladi. Ikkinchi  avlod standartlarida butun funksional  blok
L.Eylerning   taniqli   g‘oyasini   ta’kidlab,   "Matematik   tahlil"   yoki   "Funksiya"
mazmunli   bo‘limlariga   kiritilgan.   An’anaga   ko‘ra,   dastlab   u   "algebra"   faniga
kiritilgan. Shunday qilib, funksiya matematik obyekt sifatida algebra va matematik
analiz   vositalari   yordamida   o‘rganiladi.   “Progressiya”   (9-sinf)   mavzusini   ketma-
ketlikni   natural   argument   funksiyasi   sifatida   hisobga   olgan   holda   funksional
yo‘nalishga kiritish zarur. Funksional g‘oyadan kombinatorikani  o‘rganishda ham
foydalanish mumkin. Amaldagi 7–9-sinflar uchun algebra, 10–11-sinflarda algebra
va   anaiz   asoslari   bo‘yicha   darsliklarida   funksional   material   taqdimotining
tuzilishini   quyidagi   sxema   orqali   ko‘rsatish   mumkin:   Funksional   materialni
muvaffaqiyatli   o‘rganishga   boshlang‘ich   maktabda   va   5-6-sinflarda   o‘tkazilishi
kerak bo‘lgan tegishli propedevtika ham yordam beradi. Bu sinflarda matematikani
o‘rganish   faktlarning   miqdoriy   to‘planishini   va   faoliyatning   o‘ziga   xos   usullarini
10 ta’minlashi  kerak, buning asosida funksiya tushunchasi  va uning konkret turlarini
o‘rganishda keskin sifat o‘zgarish (sakrash) mumkin bo‘ladi.
1.2. Maktab ta’limida funksiyaning umumiy tushunchasini aniqlashga turli
yondashuvlar
Matematika o‘qitish   metodikasi funksiya tushunchasini talqin qilishda uning
rivojlanishidagi   alohida   tarixiy   bosqichlarni   aks   ettiruvchi   ikkita   asosiy   yo‘nalish
mavjud:   klassik   (an’anaviy)   va   zamonaviy   (nazariy-to‘plam   tushunchasiga
asoslangan). Har bir yo‘nalish doirasida aniqlovchi (turdosh) tushuncha va tegishli
atamalarni   tanlashda   farq   qiluvchi   bir   nechta   yondashuvlar   mavjud.
Yo‘nalishlardagi   funksiyani   ta’riflashga   turli   yondashuvlarini     sxemada
quyidagicha   ko‘rsatish   mumkin:   Zamonaviy   yo‘nalishda   yana   bir   yondashuv
mavjud   bo‘lib,   unga   ko‘ra   ta’rif   funksiya   tushunchasiga   emas,   balki   faqat
funksional   holatga   beriladi.   Bunday   ta’rif   uchun"   u   holda   to‘plamda   funksiya
berilgan"   iborasi   xarakterli   hisoblanadi,   A.N.Kolmogorov   o‘z   vaqtida   funksiya
tushunchasini   ta’riflanmaydigan   tushunchalarga   kiritishni   tavsiya   qilgan   (uning
Kvant   jurnalidagi   maqolasiga   qarang,   1970,   №1,2).   M.I.Bashmakov   «ma’lum
ma’noda   funksiya   tushunchasi   aniqlanmagan   boshlang‘ich   tushunchalarga   yaqin
bo‘lgan   asosiy   tushunchalardan   biridir»   deb   hisoblaydi   [2,   b.   133].
A.G.Mordkovich   "funksiyaning   birinchi   paydo   bo‘lishidagi   rasmiy   ta’rifni"   rad
etadi va "funksional vaziyatning tushuntirish tavsifi" bilan cheklanadi.
Yuqorida aytilganlarning barchasi o‘rta maktab uchun funksiyaning optimal
ta’rifi masalasi hali ham dolzarb ekanligi haqidagi fikrni tasdiqlaydi. Muammoning
murakkabligi   allaqachon   algebra   bo‘yicha   mavjud   bo‘lgan   barcha   darsliklarda
funksiyalarning ta’riflari mualliflarning yondashuvlari va uslubiy mulohazalaridan
birini aks ettiruvchi turli formulalar bilan berilganligidan dalolat beradi. Funksiya
yoki funksional vaziyatning ta’riflari o‘rta maktabda ham farqlanadi. Ikkita algebra
darsligida   (M.I.Bashmakova;   G.V.Dorofeyeva   va   boshqalar)   o‘quvchilarga
matematikada funksiyaning ta’rifi bir necha usulda berilishi mumkinligi to‘g‘risida
aniq   ma’lumot   beriladi   va   atama   (so‘z)   ga   turli   xil   izohlar   beriladi.   Ushbu   ijobiy
11 jihat   o‘quvchilar   o‘rtasida   u   yoki   bu   ma’no   variantni   afzal   ko‘radigan   turli   xil
kitoblarni o‘qishda yuzaga keladigan tushunmovchiliklarni bartaraf etishi mumkin.
Funksiya   ta’riflarining   turlicha   ifodalanishiga   qaramay,   ulardagi   umumiy
fikrlarni ajratib ko‘rsatish mumkin:
1)   "funksiya"   atamasi   bo‘yicha   sonli   funksiyalarni   tushuniladi   (ular
maktabda o‘rganish obyekti hisoblanadi);
2)   "o‘zgaruvchan"   atamasi   turli   xil   o‘zgaruvchan   miqdorlarni   umumiy
belgilash uchun ishlatiladi (funksiyaning o‘zgaruvchanligi belgisi); 
3) ikkita teng bo‘lmagan o‘zgaruvchilarning bir vaqtning o‘zida mavjudligi
ta’kidlanadi( x va   y );
4)   funksiyaning   asosiy   xarakterli   belgisi   -   bir   qiymatlilik   aniq   ajratilgan
(maktabda faqat bir qiymatli funksiyalar o‘rganiladi); 
5)   funksiyani   berilishining   hech   qanday   usuli   haqida   gapirilmaydi   (bu
o‘rganish uchun alohida masala hisoblanadi). 
Shuni   ta’kidlaymizki,   x   va   y   larni   aniqroq   leksik   qarama-qarshi   qo‘yish
uchun   ular   mos   ravishda   erkli   va   erksiz   o‘zgaruvchilar   deb   ataladi;   funksiyaning
ta’rifi   x   o‘zgaruvchining   barcha   qiymatlariga     faqat   va   faqt   bitta   son   mos
qo‘yiladigan   holatni   istisno   qilmaydi   (bu   holda   funksiya   doimiy   yoki   konstanta
deb   ataladi).   Yana   shuni   ta’kidlaymizki,   hozirda   asosiy   maktabda   qabul   qilingan
ta’riflar   klassik   yo‘nalishning   zamonaviylashtirilgan   variantidir.   Ular   funksiyalar
bilan   birlamchi   tanishish   uchun   pedagogik   jihatdan   mos   keladi:   o‘quuvchilarning
odatdagi tasavvurlariga yaqinroq, mavjud propedevtikani hisobga olgan holda, ular
fan tarixida bo‘lgani kabi, o‘zgaruvchan jarayonlarni tavsiflash va o‘rganish uchun
kuchli vositani taqdim etadi.
O‘tgan asr 70-yillarida algebra darsliklarida qo‘llanilgan moslik (munosabat,
akslantirish tushunchasi  orqali funksiyaning sof to‘plam-nazariy ta’rifini (ko‘proq
rasmiy) rad etish, uning bir qator psixologik va pedagogik kamchiliklarini hisobga
olgan   holda   oqlangan   deb   hisoblanadi   (G.V.Dorofeyevning   "Математика   в
школе"   jurnali,   1978-yil,   2-son   maqolasiga   qarang).   Biroq,   yuqori   sinflarda
(ayniqsa, ixtisoslashtirilgan sinflarda) funksiya tushunchasini qayta o‘rganish, agar
12 o‘quvchilar   uning   mazmun   darajasida   tushunchaga   ega   bo‘lgan   bo‘lsalar   va
ularning   umumiy   mantiqiy   rivojlanishi   ancha   yuqori   bo‘lsa,   to‘plamlarni   ko‘rib
chiqishga imkon beruvchi umumiyroq zamonaviy ta’rif bilan tanishtirish maqsadga
muvofiqdir.
Funksiya tushunchasini kiritish
Funksiya   tushunchasi   –   funksional-grafik   yo‘nalishda   markaziy   o‘rinni
egallaydi.   Algebra   kursi   tarkibiga   ta’rifning   kiritilish   o‘rni   haqida   turlicha   fikrlar
mavjud.   Ba’zilar   tushunchaning   birinchi   paydo   bo‘lishida   darhol   ta’rif   berish
mantiqiyroq deb hisoblashadi, chunki asosiy belgilarini ajratadigan aniq formulasiz
funksiya   tushunchasi   haqida   aniq   tasvvurni   shakllantirish   qiyin.   Boshqalar   esa,
formal   ta’rifni   faqat   o‘quvchilar   konkret   funksiyalar   bilan   ishlash   bo‘yicha   etarli
tajribaga ega bo‘lganlarida va birinchi navbatda yodlashni talab qilmaydigan tavsif
bilan cheklangan holda   kiritishni taklif qilishadi. Ammo hamma asosiy maktabda
funksiyani   yoki   funksional   vaziyatni   ta’riflash   zarurligiga   ishonch   hosil   qiladilar.
Biroq   ta’riflar   bir-biridan   farq   qiladi.   Funksiyani   ta’riflashda   ishlatiladigan
umumiy tushuncha va tegishli atamalar o‘quvchilar uchun tushunarli bo‘lishi kerak
va o‘rganishning ushbu bosqichida dastlabki noqulay mulohazalarni talab qilmaydi
deb     hisoblanadi.   Ta’rifda   keltirilgan   ma’lumotlar   nafaqat   ilmiy,   balki
o‘quvchilarning   yosh   xususiyatlariga   ham   mos   kelishi   kerak.   Ikkinchisi
Yu.N.Makarichev va boshqalar (1970) darsligida 6-sinfda (hozir u 7-sinf) funksiya
tushunchasining   nazariy-to‘plam   talqinida   buzilgan   ta’riflanadigan   (tayanch)
tushuncha   va   atamalarning   ma’nosi   propedevtik   bosqichda   oldingi   tajribaga
asoslanib, formal ta’riflarsiz, aniq misollar yordamida ochib beriladi.
O‘qituvchi   mualliflarning   darslikda   qabul   qilingan   belgilashlarga   nisbatan
nuqtai nazariga amal qilishi kerak, chunki belgilashlarda nomuvofiqliklar mavjud.
Funksiya   yoki   funksional   vaziyatning   ta’rifi   matnini   diqqat   bilan   o‘qib   chiqish,
so‘ngra o‘quvchilarning asosiy tushunchalarni, atamalarni, so‘ngra funksiya haqida
umumiy tushunchalarni o‘zlashtirishdagi faoliyatini tashkil etish zarur. Matematik
atamalarning   kundalik   ma’nosiga,   kelib   chiqishi   va   lotin   yoki   yunon   tilidan
13 tarjimasiga e’tibor berish lozim. Yu.N.Makarichev va boshqalarning 7-sinf algebra
darsligi   bo‘yicha   funksiyaning   umumiy   tushunchasini   kiritish   usuliga   to‘xtalib
o‘tamiz,   bunda   funksiya   bir   o‘zgaruvchining   ikkinchisiga   bog‘liqligining   maxsus
turi   sifatida   qaraladi.   "Bog‘lanish"   atamasi   o‘zgaruvchilar   o‘rtasidagi   munosabat
sifatida   qaraladi.   Bu   nuqtai   nazar   boy   tarixiy   ildizlarga   ega,   ilovalar   bilan
chambarchas bog‘liq bo‘lib, grafiklar tilidan to‘liqroq foydalanish imkonini beradi.
Bundan   tashqari,   o‘quvchilar   miqdorlar   orasidagi   bog‘lanish   tushunchasini
qo‘llashda   yetarlicha   tajribaga   ega.   Shuning   uchun   funksiya   tushunchasi   bilan
tanishishda   o‘zgaruvchilar   o‘rtasidagi   ilgari     uchragan   uch-to‘rtta   bog‘lanishni
ko‘rib   chiqqan   va   tahlil   qilgan,   formula,   grafik   va   jadval   bilan   berilgan,   "erkli
o‘zgaruvchi",   "erksiz   o‘zgaruvchi"   atamalari   mazmunini   ochib   beradigan   evristik
suhbat   bilan   induktiv   usulni   tanlash   tavsiya   etiladi.   (Darslikda   miqdorlar
o‘zgaruvchi   sifatida   qaraladigan   harakatga,   kvadratning   yuzi,   yo‘l   haqi,   harorat
grafigiga doir to‘rtta masala taklif qilinadi). Shu bilan birga, erkli o‘zgaruvchining
har   bir   qiymatiga   erksiz   o‘zgaruvchining   bitta   qiymatiga   mos   kelishini
ta’kidlanadi.   Bir   o‘zgaruvchining   boshqasiga   bunday   bog‘lanishi   funksional
bog‘lanishi yoki funksiya deb ataladi deb ma’lumot beriladi. Bunday tayyorgarlik
ishlaridan   so‘ng   ta’rifni,   so‘ngra   "argument",   "funksiya   aniqlanish   sohasi”,
"argument va funksiya qiymatlari" atamalarini kiritish mumkin.
Shuni   ta’kidlash   kerakki,   darslikdagi   "funksiya"   atamasi   ikki   ma’noda
qo‘llaniladi:  ikkita  o‘zgaruvchi   o‘rtasidagi  munosabatlarning   maxsus   turi  va  erkli
o‘zgaruvchining   o‘zi.   O‘quvchilar   "kvadratning   yuzi   uning   tomoni   uzunligi
funksiyasi",   "kvadrat   yuzasining   uning   tomoni   uzunligiga   bog‘lanishi   funksional
bog‘lanishdir"   kabi   iboralar   bilan   tanish   bo‘lishi   kerak.   Shu   kabilarga   alohida
e’tibor  qaratish  lozimki   ta’rif   matnida "mos  keladi"  so‘zi   funksional   bog‘lanishni
(funksiyani)   ifodalash   shakli   haqida   emas,   shuning   uchun   o‘quvchilarga   kirish
masalalarida   ko‘rsatilgan   (lekin   nomlanmagan)   funksiya   berilishining   -   formula,
jadval,   grafik   turli   xil   usullar   haqida   tushuncha   berish   kerak.   Keyin   funksiya
grafigining   ta’rifi   koordinata   tekisligining   barcha   nuqtalari   to‘plami   sifatida
shakllantiriladi,   ularning   abscissalari   argument   qiymatlariga,   ordinatalari   esa   mos
14 funksiyaning   qiymatlarga   teng   bo‘ladi.   O‘quvchilar     istalgan   berilishi   usulida
argument   qiymati   bo‘yicha   funksiya   qiymatini   topishgava   teskari   masalani
yechishga,   funksiyani   berilishining   bir   usulidan   boshqasiga   o‘tishni   (agar   iloji
bo‘lsa)   o‘rganadilar.   Funksiyani   berilishining   yuqoridagi   usullarining   har   biri
ma’lum   kamchiliklarga   ega   (qaysi   biri?),   shuning   uchun   amalda   ularning   bir
nechtasi   bir   vaqtning   o‘zida   qo‘llaniladi.   O‘quvchilar   nutqida   “ y= 2 x+ 5   formula
bilan   berilgan   funksiya ”   to‘g‘ri   iborasi   o‘riniga   y= 2 x+ 5   funksiya”   iborasi
ishlatilishiga   o‘rniga   yo‘l   qo‘ymaslik   lozim,   chunki   bu   funksiyani   formula   bilan
noto‘g‘ri   aynanlashtirishiga   olib   keladi.   O‘qituvchi   bu   tushunchalar   orasidagi
farqni   doimo   ta’kidlab   turishi   kerak.   O‘quvchilar   funksiyani   formula   bo‘yicha
aniqlashda erkli o‘zgaruvchining qiymatlari sohasini ko‘rsatish kerakligiga e’tibor
berishlari kerak. Bu bosqichda real bog‘lanishlarning grafiklarini qurish va o‘qish,
nuqtaning   grafikga   tegishli   yoki   tegishli   emasligini   aniqlash,   konkret
bog‘lanishlarni   tushuncha   keltirish   bo‘yicha   topshiriqlarni   bajarish   ko‘nikmasini
shakllantirish   bo‘yicha   ishlar   davom   ettiriladi.   Masalan,   tekis   harakatda   yo‘lning
vaqtga   bog‘liqligi   nima   uchun   unktsiya   bo‘ladi   degan   savolni   muhokama   qilish
mumkin.   Bu   bir   vaqtning   o‘zida   jismning   bosib   o‘tgan   yo‘li   ikkita   qiymatga   ega
bo‘lmasligi ma’nosida funksiyadir.
Darslikning so‘nggi nashrlarida mualliflar ko‘proq bilishni istaganlar uchun
"Funksiyani   bir   nechta   formulalar   bilan   berish"   qo‘shimcha   bandini
kiritganlar.Funksiyaning umumiy tushunchasi  va funksiya  grafigini  o‘rganishning
ushbu   bosqichida   tegishli   belgilashlar   kiritilmaydi.   U   9-sinf   darsligining   ikkinchi
bobida, o‘quvchilar eng oddiy funksiyalar bilan tanishib chiqqan paytda kiritiladi.
O‘zgaruvchilar   uchun   standart   belgilashlar   qo‘llaniladi:   x   va   y   (ular   koordinata
o‘qlarini ham bildiradi);  y = f ( x )   yozuvi qandaydir funksiyani bildiradi;  f ( x )   belgisi
–   x   ga   teng   argument   qiymatiga   mos   keladigan   o‘zgaruvchi   yoki   funksiya
qiymatiga ega bo‘lgan ifoda;   f   harfi   ( lotincha functio   so‘zining birinchi harfi )   f ( x )
ni   x   bo‘yicha     hisoblash   qoidasini   tavsiflaydi.   Shunga   o‘xshash   juft
o‘zgaruvchilardan biri sifatida ( y   x   ning funksiyasi  –   y ( x )) funksiya tushunchasini
erta   kiritishga   yondashuv   Sh.A.Alimov   va   boshqalar;   K.S.Muravin   va
15 boshqalarning   7-sinf   algebra   darsliklarida   ham   qabul   qilingan;   K.S.Muravin   va
boshqalarga   ko‘ra   funksiyaning   ta’rifida   x   o‘zgaruvchi   uchun   "ruxsat   etilgan
qiymat" so‘zlari kiritilgan,   bu so‘zlarning paydo bo‘lishi o‘quvchilarga funksiyalar
beriladigan harfiy ifodalar har doim ham ma’noga ega emasligi bilan tushuntiriladi.
Boshqa federal ro‘yxatdagi  darsliklarida funksiyaning formalmantiqiy ta’rifi
keyinroq   (8   yoki   9-sinf)   berilgan.   Bu   vaqtga   kelib,   o‘quvchilarhaqiqiy   sonlar
to‘plami bilan allaqachon tanish bo‘lganlar va shuning uchun funksiya aniqlanish
sohasi   haqida   gapirish   va   uzluksiz   chiziq   shaklida   grafiklarni   qurish   haqida
gapirish   joiz   bo‘ladi.   Bundan   tashqari,   talabalar   shunday   algebraik   materiallarga
ega  bo‘ladilarki, ular  funksiyalarning  xossalarini,  ya’ni  ifodalarni,  tenglamalar  va
tengsizliklarni   ayniy   shakl   almashtirishlar   bilan   asoslashda   qat’iylik   darajasini
oshirishga imkon beradi. Ushbu yondashuv bilan funksiya va uning grafigi haqida
umumiy   tushuncha   turli   xil   funksional   bog‘lanishlar   va   ularning   grafiklari,
funksiyalarning   ba’zi   xususiyatlari   bilan   ishlash   bo‘yicha   to‘plangan   tajribani
umumlashtirish   sifatida   paydo   bo‘ladi.   A.G.Mordkovich   9-sinf   algebra   darsligida
matematikaning rivojlanish tarixiga murojaat qilgan holda, o‘quvchilarni funksiya ,
grafik   va   funksiyalar   xossalarining   ning   formal   ta’rifi   zarurligiga   olib   keladi.
A.G.Mordkovich, S.M.Nikolskiy va boshqalar; G.V.Dorofeyeva va boshqalarning
ta’riflarida;   funksiya   aniqlanishi   sohasi   deb   e’lon   qilingan   ma’lum   bir   sonli
to‘plamda qaralishini ta’kidlaydilar, A.G.Mordkovich, boshqa mualliflardan farqli
o‘laroq,   u   o‘zgaruvchini funksiya deya atamaydi; uning ta’rifidan kelib chiqadiki,
funksiya   y   =   f ( x )   bilan   belgilanadi ,   bu   erda   x    ϵ X   ( X –   aniqlanish   sohasi),   asosiy
e’tibor funksiya ta’rifining tabiiy sohasiga emas, balki berilganiga qaratilgan ( f ( x )
ifodasining   ruxsat   etilgan   qiymatlari   sohasiga).   A.G.Mordkovich   va
M.I.Bashmakovning darsliklarida funksiyani  beriishda nimani ko‘rsatish kerakligi
haqida savol tug‘iladi. O‘quvchilar bilishlari kerakki, javob ta’rifning o‘zida, ya’ni
aniqlanish sohasi  va   moslik   qoidasi  (qonunida). Funksiya argument uchun belgini
tanlashga va uning qiymatlarini hisoblash uchun qoida tavsifiga bog‘liq emasligini
ta’kidlanadi;bir   xil   qoidaga   ega   bo‘lgan,   lekin   aniqlanish   sohalari   har   xil   bo‘lgan
funksiyalar har xil deb hisoblanadi (masalan,   y = x 2
  va  y = x,   x ≥   0 da funksiyalar
16 farq qiladi).  A.G.Mordkovichning darsligida aytilishicha, matematikada funksiyani
aniqlashning   bir   qancha   usullari   mavjud.   Eng   ommabop   (analitik,   grafik,   jadval)
bilan   bir   qatorda,   mos   keladigan   qoida   ona   tilidagi   so‘zlar   bilan   tasvirlanganda,
o‘quvchilarni funksiyani  berilishining  og‘zaki (tavsif) usuli bilan tanishtiradi .
M.I.Bashmakov   o‘zgaruvchilar   orasidagi   funksional   bog‘lanish   tenglamasi
tushunchasini   kiritadi   (funksiyaning   oshkormas   berilishi);   masalan,   x   va   y
o‘zgaruvchilar   orasidagi   munosabat   3 x- 5 y= 7   tenglama   ko‘rinishida   bo‘lsa,
funksiya oshkormas berilishi bo‘ladi, chunki   y   ga nisbatan yechilmaganligi ruxsat
berilmaganligi sababli, oshkormas funksiyadir. 
Funksiyani kiritishda ushbu tushunchani  funksiyaga o‘xshash, ammo undan
farq   qiladigan   boshqa   tushunchalar   bilan   solishtirishning   iloji   yo‘q.   Shuning
uchun,   berilgan   bog‘lanishning   funksiya   ekanligini   aniqlashtirishni   talab   qiluvchi
maxsus   mashqlardan   foydalanish   muhimdir.   O‘quvchilarning   turli   maktab   fanlari
(fizika,   kimyo,   tarix,   biologiya,   geografiya)   va   kundalik   hayotdan   olingan
bilimlaridan   foydalangan   holda   bunday   mashqlar   matematika   o‘qitish   metodikasi
kitobida keltirilgan. 
Funksiya   tushunchasini   o‘quvchilar   tomonidan   ongli   ravishda
o‘zlashtirishning zaruriy sharti funksiya bo‘lgan va bo‘lmagan bog‘lanishlarga o‘z
misollarini   keltira   olishlari   hisoblanadi.   Funksiyaning   umumiy   tushunchasi   juda
murakkab, shuning uchun o‘quvchilar uni faqat asosiy, keyin esa yuqori sinflarda
o‘rta   maktabning   algebra   kursidagi   aniq   tasavvurlar   va   faktlarning   uzoq   vaqt
to‘planishi natijasida muvaffaqiyatli o‘zlashtira oladilar.  
Funksiyaning   ta’rifi.  X
  va  	Y   haqiqiy   sonlar   to‘plamlari   berilgan   bo‘lib,
ular  	
R   ning   bo‘sh   bo‘lmagan   qism   to‘plamlari  	X	⊂R,Y⊂R  	xva	y   lar   esa,   mos
ravishda, ularning elementlari 	
X	⊂R,Y⊂R  bo‘lsin.
T a’rif.  Agar 	
X  to‘plamdagi har bir 	x  songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra	
Y
  to‘plamdan   bitta  	y   son   mos   qo‘yilsa,  	X
  to‘plamda  	y   funksiya   berilgan
( aniqlangan )   deb   ataladi   va   u   simvolik   ravishda  	
f:x→	y	yoki	y=	f(x)   kabi
belgilanadi.
17 Bunda  x -argument   yoki   erkli   o‘zgaruvchi,  	y -funksiya   yoki   erksiz
o‘zgaruvchi,  	
f -xarakteristika   (qonun   yoki   qoida);  	X -to‘plam   funksiyaning
aniqlanish   sohasi ,  	
Y={y:y=	f(x),x∈X	}   to‘plam   esa,   uning   qiymatlari   to‘plami
(o‘zgarish sohasi)  deyiladi. Bundan keyin biz funksiyaning  aniqlanish sohasini 	
D(f)
, qiymatlar to‘plamini esa,	E(f)   orqali belgilaymiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi.
Ta’rif.   Argumentning   funksiya   ma’nosini   yo‘qotmaydigan   (ya’ni   cheksiz
yoki   mavhumlikka   aylantirmaydigan)   hamma   qiymatlari   to‘plami,   shu
funksiyaning aniqlanish sohasi  deyiladi.
1-misol.  	
f(x)=	√4−x	
lg(x−2) funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Yechilishi .   Berilgan   funksiyaning   ko‘rinishini   e’tiborga   olganda,   uning
mavjud bo‘lishi uchun, birinchidan,  	
4−x≥0   yoki  	x≤4   ikkinchidan,  	x−	2>0   yoki	
x>2
  uchinchidan,  	lg(x−2)≠0   yoki  	x≠3   shartlar   bajarilishi   kerak.   Bu   shartlarni
e’tiborga olsak, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi 	
D(f)=(2;3)∪(3;4]  bo‘ladi.
Funksiyaning o‘zgarish sohasi.
 	
y=	f(x)  funksiya 	x∈X  to‘plamda berilgan bo‘lsin.
Funksiyaning   o‘zgarish   sohasi   diskret   nuqtalardan,   nuqtadan,   oraliq,
segment, bir necha oraliqlardan va h.k. iborat bo‘lishi mumkin. Jadval yoki grafik
usulda   berilgan   funksiyalarning   o‘zgarish   sohalari   o‘z-o‘zidan   ma’lum.   Analitik
usulda,   ya’ni  	
y=	f(x)   shaklda   berilganda   funksiyaning   o‘zgarish   sohasini   topish
uchun  	
y   ning	f(x)=	y   tenglama   haqiqi   yechimga   ega   bo‘ladigan   barcha
qiymatlarini toppish talab qilinadi.
Funksiyaning   o‘zgarish   sohasini   topishda   quyidagi   tasdiqlarni   e’tiborga
olish   lozim:   Agar   berilgan   funksiya   (bu   erda   uzluksiz   funksiya   nazarda   tutiladi)
qaralgan   sohada   eng   kichik   va   eng   kata   qiymatga   erishsa,  	
f(x)
  funksiyaning
o‘zgarish sohasi, uning eng kichik va eng kata qiymati hamda ular orasidagi barcha
sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
18 2-misol.  [0;√2]   kesmada  	f(x)=	x4+9   funksiyaning   o‘zgarish   sohasini
toping. 
Yechilishi.  	
[0;√2]   kesmada   berilgan   funksiyaning   eng   kichik   qiymati	
f(0)=9
,   eng   katta   qiymati  	f(√2)=13   bo‘lgani   uchun,   uning   o‘zgarish   sohasi	
E(f)=[9;13	]
 dan iborat.
Tekislikda   to‘g‘ri   burchakli   koordinatalar   sistemasi.   Tekislikda   ikkita
o‘zaro perpendikuliyar bo‘lgan 	
OX  va 	OY o‘qlardan tashkil topgan sistema to‘g‘ri
burchakli   koordinatalar   sistemasi   deyiladi.  	
OX -o‘qi   abssisalar   o‘qi,  	OY -
ordinatalar o‘qi deyiladi.
Tekislikda har qanday nuqtaning ikkita koordinatasi bo‘ladi. 	
A(x;y)
Masalan: 	
A(2;3),B(−3;2),C(4;0),D(0;−3),O(0;0) - koordinatalar boshi deyiladi.
Agar   nuqta   abssisalar   o‘qida   yotsa   u   holda   uning   ordinatasi   nolga   teng
bo‘ladi.
Agar   nuqta   ordinatalar   o‘qida   yotsa   u   holda   uning   abssisasi   nolga   teng
bo‘ladi.
Koordinatalar boshining abssisasi va ordinatalari nolga teng.	
O(0;0) .
Ta’rif .   Tekislikning  	
(x,f(x))   kabi   aniqlangan   nuqtalaridan   iborat   ushbu	
{(x,f(x))}={(x,f(x)):x∈X	,y=	f(x)∈Y}
 to‘plam funksiyaning grafigi deb ataladi.
Funksiyaning berilish usullari.
Funksiya   umumiy   holda   analitik,   jadval,   grafik   va   so‘z   usullari   bilan
berilishi mumkin.
Analitik   usul.   Ko‘pincha  
x   va  	y   o‘zgaruvchilar   orasidagi   bog‘lanish
formulalar  yordamida ifodalanadi. Bunda  argument  	
x ning har  bir  qiymatiga mos
keladigan  	
y   funksiyaning   qiymati,  	x   ustida   analitik   amallar   -   qo‘shish,   ayirish,
ko‘paytirish,   bo‘lish,   darajaga   ko‘tarish,   ildizdan   chiqarish,   logarifmlash   va   h.k.
amallarni   bajarish   natijasida   topiladi.   Odatda   bunday   usul   -   funksiyaning   analitik
usulda berilishi deyiladi.
Masalan, 
x	x	y	x	y	ln	,2	6	2			 funksiyalar oshkor shaklda berilgan.
19 Jadval   usul .   Ba’zi   hollarda  Y	y	X	x			ва o‘zgaruvchilar   orasidagi
bog‘lanish formulalar yordamida berilmasdan, jadval orqali berilgan bo‘lishi  ham
mumkin. Masalan, 	
t - yanvar oyining birinchi dekadasi (10 kunligi) kunlari nomeri
bo‘lsa,    	
T -   shu   nomerli   kuni   soat   16 00
  da   Samarqand   shahrida   kuzatilgan   havo
haroratini bildirsin, natijada quyidagi jadvalga kelamiz:
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
-3 0
-5 0
Q2 0
Q5 0
Q1 0
0 0
-2 0
-5 0
-3 0
-1 0
bunda 
t - argument, 	T - funksiya bo‘ladi. Bog‘lanishning bunday berilishi, 
funksiyaning jadval usulda berilishi deb ataladi. Bu usuldan, ko‘pincha, miqdorlar
orasida tajribalar o‘tkazish jarayonida foydalaniladi.
Jadval   usulining   qulayligi   shundan   iboratki,   argumentning   u   yoki   bu   aniq
qiymatlarida   funksiyani   hisoblamasdan,   uning   qiymatlarini   aniqlash   mumkin.
Jadval   usulining   qulay   bo‘lmagan   tomoni   shundan   iboratki,   argumentning
o‘zgarishi bilan funksiyaning o‘zgarish xarakterini to‘liq aniqlab bo‘lmaydi.
Grafik   usul .  	
xOy   koordinatalar
tekisligida	
x ning 	X  to‘plam 				 fDX 
 dan
olingan   har   bir   qiymati   uchun  	
	 yxM ,
  nuqta
yasaladi,   bunda   nuqtaning   abssissasi  	
x ,
ordinatasi esa  	
y   bo‘lib u ,  	y funksiyaning  	x
ga   mos   kelgan   qiymatiga   teng.   Yasalgan
nuqtalarni birlashtirsak, natijada biror chiziq hosil bo‘ladi, hosil bo‘lgan bu chiziq
berilgan funksiyaning grafigi deb qaraladi ( 1 -chizma).
Ta’rif .   Tekislikning  	
				x	f	x,   kabi   aniqlangan   nuqtalaridan   iborat   ushbu	
										}	,	:	,	{	}	,	{	Y	x	f	y	X	x	x	f	x	x	f	x				
to‘plam, funksiyaning grafigi deb ataladi.
Funksiyaning   grafik   usulda   berilishining   kamchiligi   shundan   iboratki,
argumentning sonli  qiymatida berilgan funksiyaning aniq shaklini  har  doim topib
20 bo‘lmaydi,   lekin   bu   usulning   boshqa   usullardan   afzalligi   uning   tasviri   yaqqol
ko‘zga ko‘rinib turishidadir.
So‘zlar   orqali   ifodalanadigan   usul.   Bu   usulda  		Y	y	X	x			,
o‘zgaruvchilar   o‘rtasidagi   funksional   bo g‘ lanish   faqat   so‘zlar   orqali   ifodalanadi.
Masalan:
Har   bir   ratsional   songa   1   ni,   har   bir   irratsional   songa   0   ni   mos   qo‘yish
natijasida   ham   funksiya   hosil   bo‘ladi.   Bu   funksiya,   odatda,   Dirixle   funksiyasi
deyiladi va 	
	x	D  kabi belgilanadi: 	
D(x)=¿{1,agar	x	ratsianal	son	bo	‘lsa	¿¿¿¿
keyin uni koordinata boshiga nisbatan simmetrik ko‘chirish yetarli.
1.2.   Umumta’lim   maktablarida   funksiya   tushunchasini   shakllantirishdagi
turli yondoshuvlar davrlar boyicha tahlil etilgan
1.3.   Funksiya   tushunchasini   shakllantirishda   PISA   dasturiga   mos
masalalarning mazmuni va turlari keltirilgan.
1.3. Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos masalalar
tizimini yaratish.
PISA-FUNKSINAL BILIMLAR SAVODXONLIGINI
ANIQLOVCHI DASTUR
PISA dasturining maqsadi, u qanday zaruriyat tufayli paydo bo ldi?	
ʻ
XXI asr – informatsion texnologiyalar asri. Bu asr o z mutaxassislaridan	
ʻ
avvalgilaridan butunlay farq qiluvchi kompetensiyalarni talab qiladi. XX-asrda va
undan oldin kuchli xotira, ensiklopedik bilim, o z sohasida  iloji boricha ko proq	
ʻ ʻ
ma lumotni bilgan mutaxassislar qadrlangan bo lsa, endi bu bilimlar hal qiluvchi	
ʻ ʻ
ahamiyatga ega bo lmay qoldi. Qidiruv tizimlari, onlayn ensiklopediyalar, sohalar	
ʻ
bo yicha   mukammal   onlayn   ma lumotlar   bazalari   yaratildiki,   endi   bu	
ʻ ʻ
ma lumotlarni eslab qolish zaruriyati ikkinchi darajali bo‘lib qoldi. 
ʻ
21 Endilikda ta’lim muassasalari bitiruvchilarining olingan axborotlarni tahlil
qilish,   ulardan   yangi   ma lumotlarni   hosil   qila   olish,   kreativ   fikrlash   kabiʻ
kompetensiyalari birinchi o ringa ko tarilayapti. 
ʻ ʻ
PISA   dasturi   maqsadi   o‘quvchilarning   fundamental   (fanni   o‘zlashtirish)
bilimlarini   aniqlash   emas,   ularda   XXI-asr   ko nikmalarini   shakllantirish,	
ʻ
raqobatbardosh kadrlarni yaratish uchun mustahkam  zamin yaratish hisoblanadi.
Ya`ni, haqiqiy hayotda kerak bo ladigan hodisalarni  tahlil  qilish, ulardan xulosa	
ʻ
chiqarish   va   muloqotga   kirishish   ko nikmalarini   qay   darajada   egallayotganini,	
ʻ
ta lim   tizimining   bu   o zgarishlarga   qanchalik   moslashayotganini   aniqlash	
ʻ ʻ
maqsadida o tkaziladi.	
ʻ
Kimlar ishtirok etadi?
Ishtirokchilarning   natijalarini   yaxshiroq   taqqoslash   uchun   PISA   ma'lum
bir yoshdagi o‘quvchilarning ta'limiy yutuqlarini baholaydi. Tadqiqotda 15 yoshu
3   oy,   16   yoshu   2   oydan   kichik   bo‘lmagan   oquvchilar   ishtirok   etishadi.   Ko‘p
mamlakatlarda   15   yoshli   bolalar   majburiy   ta`limni   bitirish   yoshidabo‘lganligi
sabab  aynan  shu  yosh  belgilangan.  Rivojlanishining  ushbu  bosqichida  kelajakda
ular   uchun   foydali   bo‘lishi   mumkin   bo‘lgan   kompetensiyalarni   aniqlash   muhim
ahamiyatga ega.
PISA   ishtirokchilari   Westat   (AQSh)   statistika   kompaniyasi   tomonidan
xalqaro tadqiqotlar milliy koordinatorlari bilan birgalikda tanlanadi. 
O‘tkazilish davri
Dastur 3 yilda birmarta o‘tkaziladi. Dastlab 1997-yilda ishlab chiqilgan va
2000-yilda  birinchi   marta   qo‘llanilgan.  Har  uch  yillikda  ma`lum   bir  yo‘nalishga
e`tibor qaratiladi. 
1-Jadval. Tadqiqot yo‘nalishlari
PISA 2000 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   200 3 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   2006 O‘qish Matematik Tabiiy fanlar
22 savodxonligi savodxonlik savodxonligi
PISA   2009 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   2012 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   2015 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   2018 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA   2021 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA testlari tarkibi
PISA   testlari   5   ta   yo nalish   bo yicha   o tkaziladi:   o qish,   matematikʻ ʻ ʻ ʻ
savodxonlik,   tabiiy-ilmiy   fanlar,   hamkorlikda   muammolarni   hal   qilish   va
moliyaviy   savodxonlik   yo nalishlari.   O zbekiston   2021-yilda   uch   yo nalish:	
ʻ ʻ ʻ
o qish,   matematik   savodxonlik   va   tabiiy-ilmiy   fanlar   yo nalishlari   bo yicha	
ʻ ʻ ʻ
testlarda qatnashishni rejalashtirgan edi. 
Bu   testlarda   o quvchilarning  	
ʻ dars   davomida   aniq   mavzular   bo yicha	ʻ
o rgangan   bilimlarini   sinovdan   o tkazish   nazarda   tutilmagan!   Asosiy   e tibor	
ʻ ʻ ʻ
o quvchilarning   mazkur   yo nalishlar   bo yicha   eng   asosiy   tushunchalarni   bilishi,
ʻ ʻ ʻ
sohaviy   bilim   va   ko nikmalarni   egallagani,   ulardan   hayotiy   vaziyatlarda	
ʻ
foydalana olishiga qaratiladi!  
PISA sinovlarida to rt xil usuldan foydalaniladi:	
ʻ
a) bir javobli testlar;
b) bir nechta javobli testlar; 
c) qisqa yoki batafsil javob yoziladigan savollar; 
d)   biror   muammoning   yechimi   bo yicha   o quvchi   fikri   (odatda   bunday	
ʻ ʻ
savollarda   tekshiruvchida   umumiy   javoblar   bo ladi,   o quvchi   javobi   test   tuzivchi	
ʻ ʻ
javobiga   aynan   mos   kelishi   talab   qilinmaydi,   o quvchi   ijodkorligi   qo llab-	
ʻ ʻ
quvvatlanadi)
23 Bundan tashqari testlar bilan bir vaqtda o quvchilardan anketalar ham olishʻ
nazarda tutilgan.
PISA: asosiy yo nalishlar
ʻ
O qish   savodxonligi	
ʻ .   Insonning   matn   shaklida   berilgan   ma lumotlarni	ʻ
tushuna olish va qayta bog‘lana olish ko nikmasi, jamiyat hayotida faol qatnashish	
ʻ
jarayonida o qigan ma lumotlaridan o z maqsadlari  yo lida foydalana olish, bilim	
ʻ ʻ ʻ ʻ
va imkoniyatlarini amalga oshira olish layoqati. 
Bu   yerda,   o qish   savodxonligi   tushunchasi   keng   ma no   kasb   etadi.   Bu	
ʻ ʻ
yo nalishning   maqsadi   o quvchining   berilgan   badiiy   asardan   parcha,   biografik	
ʻ ʻ
ma’lumot, xat, hujjat, gazeta va jurnallardan olingan maqolalar, turli qo llanmalar,	
ʻ
geografik kartalar kabi rang-barang mavzulardagi, tarkibida matnni ochib berishga
mo ljallangan diagrammalar, rasmlar, kartalar, turli chizma va jadvallarda berilgan	
ʻ
matnni tushunish, mazmuni haqida fikr yurita olish, matn mazmuniga baho berish
va   o qiganlari   haqida   o z   fikrini   bera   olish   kabi   kompetensiyalarini   aniqlash	
ʻ ʻ
hisoblanadi. 
Matematik   savodxonlik .   Bu   insonning   u   yashayotgan   dunyoda
matematikaning o‘rnini aniqlash va tushunish, asoslangan matematik mulohazalar
yuritish   hamda   fikrlaydigan,   qiziquvchan   va   ijodkor   fuqaro   sifatida   hozirgi   va
kelajakdagi   ehtiyojlarini   qondirish   maqsadida   matematikadan   foydalanish
qobiliyatidir.   Savodxonliksinovlarida   odatda   hayotning   turli   sohalarida   (tibbiyot,
turar   joy,   sport   va   h.)   duch   kelishi   mumkin   bo lgan   matematikaga   oid   vaziyatlar	
ʻ
taklif qilinadi.
Tabiiy-ilmiy   fanlar   savodxonligi .   Hayotiy   hodisalarda   ilmiy   usulda   hal
qilinishi   mumkin   bo lgan   muammolarni   aniqlash,   kuzatuv   va   tajribalar   asosida	
ʻ
xulosalar   chiqarish   kompetensiyasi.   Bu   xulosalar   atrofimizdagi   olamni   tushunish
va   inson   faoliyati   natijasida   unda   sodir   bo layotgan   o zgarishlarni   anglab   yetish,	
ʻ ʻ
shunga   ko ra,   kerakli   qarorlar   qabul   qila   olish   ko nikmasini   rivojlantirish   ushbu	
ʻ ʻ
sinov yo‘nalishining asosiy maqsadidir.
24 Bu   savodxonlik   asosi   bizning   maktablarimizda   fizika   (astronomiya
elamentlari   bilan   birga),   biologiya,   kimyo   va   geografiya   fanlari   o qitilishʻ
jarayonida berilishi ko zda tutilgan.	
ʻ
MATEMATIK SAVODXONLIK
Ikk olamning o‘zaro ta’siri
Real olam                                                                   Matematik olam
Matematika   fanidan  turli   xil   hayotiy  sharoitlarda   maktab  o‘quvchilarining
amaliy   ko‘nikmalarini   shakllantirish   o‘quv   jarayoni   samaradorligining   asosiy
prinsiplari va maqsadlaridan biridir
15 yoshli o‘quvchilarning matematik savodxonligi PISA-2003, PISA-2012,
PISA-2021 xalqaro tadqiqotining asosiy yo‘nalishlaridan biriga aylandi. 
Matematik   savodxonlik   deganda   o‘quvchilarning   quyidagi   qobiliyatlari
tushuniladi: 
-   yuzaga   keladigan   atrofdagi   muammolarni   aniqlash   va   matematikadan
foydalanib hal qilish; 
- bu muammolarni matematika tilida ifodalash; 
-   matematik   faktlar   va   usullarni   qo‘llash   orqali   ushbu   muammolarni   hal
qilish;
- ishlatilgan usullarni tahlil qilish;
25 MATEMATIK
MUAMMO
KONTEKSTDAGI
NATIJALAR MATEMATIK
NATIJALAR Qo‘llashBaholash
SharhlashIfodalashKONTEKSTDAGI
MUAMMO         - qo‘yilgan muammoni hisobga olgan holda olingan natijalarni tushuntirish,
talqin qilish; 
- natijalarni, yechimlarni shakllantirish, ularni ifodalash va qayd etish.
TOPSHIRIQLAR TASNIFLASHI
Uchta asosiy toifa:
1. Mazmun yo‘nalishi - 4 ta yo‘nalish. 
2. Matematik kompetentlik -3 xil. 
3.Qo‘llash sohasi(kontekst) - 4 ta toifa. 
Mazmun yo‘nalishi
Test   savollari   mazmunini   tanlashda   matematika   an'anaviy   maktab
daturining   asosiy   mavzulari,   xususan,   raqamlar,   o‘lchovlar,   baholash,   algebra,
funksiyalar,   geometriya,   ehtimollik,   statistika,   raqamlar   nazariyasi   elementlari
hisobga olinadi. Ushbu mavzular doirasida yuqori amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan
bir qator masalalar (geometrik o‘lchamlarni o‘lchash, baholash, foizlar, o‘lchovlar,
real   chizmalarning   diagramma   va   grafikalar   talqini,   ehtimollik,   statistik
ko‘rsatkichlar   va   boshqalar)ga   katta   e’tibor   qaratiladi.   Topshiriqlar   tanlangan
to‘rtta matematik sohadan biriga to‘g‘ri keladi: 
- miqdorlar; 
- fazo va shakl;
- o‘zgarishlar va munosabatlar;
- noaniqliklar.
Matematik sohalar bo‘yicha topshiriqlar:
Yo‘nalishlar Izoh
O‘zgarish va
munosabatlar - O‘zgaruvchilar o‘rtasidagi bog‘liqlik; 
-   Ob’yektlar   o‘rtasidagi   doimiy   va   qisqa   muddatli
munosabatlar; 
- O‘zgarish va munosabatlarning turlari va kelib chiqish
sabablarini aniqlash;
- Matematik modelini qurish.
26 Fazo va shakl -Fazoviy   jismlar,   geometrik   shakllar   o‘rtasidagi
munosabatlar; 
- Ob’yekt xususiyatlari, joylashuvi va chizmalari
- Abstrakt tasavvur;
Noaniqlik - Bugungi jamiyatda ehtimollik va statistik hodisalarning
bevosita bog‘liqligi; 
- berilgan axborotlarni aniqlash va umumlashtirish; 
- o‘zgarishlar, sodir bo‘lish ehtimolligini aniqlashtirish;
- iqtisodiy munosabatlarni oldindan ayta olish qilish.
Miqdor -   Obyektlar,   munosabatlar,   vaziyatlarning   miqdoriy
ko‘rsatkichlari,
- Turli miqdoriy munosabatlarni anglash, tahlil qilish va
izohlash, 
-   O‘lchov   birliklari,   hisob-kitob,   mutlaq   qiymatlar   va
ko‘rsatkichlar, nisbiy o‘lchamlar, raqamli diagramma va
sxemalarni tushunish, 
-   Arifmetik   hisobni   og`zaki,   yozma   va   kalkulyator
asosida bajarish, asoslash.
Manba: "PISA-2012 natijalari" ning OECD Xalqaro hisoboti.
Matematik kompetentlik
O‘quvchilarning   matematik   savodxonligi   holati   tanlangan   mazmun
yo‘nalishi   bo‘yicha   axborotlarga   ega   bo‘lishdan   tashqari,   matematik
kompetentligining   rivojlanish   darajasi   bilan   ham   tavsiflanadi.   O‘quvchilarning
matematika   bo‘yicha   bilimi,   ko‘nikmasi,tajribasi   hamda   qobiliyatlari   ularga   turli
muammoli vaziyatlarni muvaffaqiyatli hal etish imkonini beradi.
Tadqiqotlarda matematik kompetentlikning uch darajasi nazorat qilinadi:
- qayta tiklash;
- aloqalar o‘rnatish;
- mulohaza yuritish.
27 Kompetentlikning birinchi darajasi : qayta tiklash (takrorlash), ta’riflash va
hisoblash. Birinchi darajadagi kompetensiyalar ko‘plab standartlashtirilgan testlar,
javoblarni   tanlab   olish   vazifalar   shaklidagi   faoliyatlarni   o‘z   ichiga   oladi.   Bu
kompetentlik   darajasi   turli   faktlarni   bilish,   xossalarni   qayta   tiklash,   o‘xshash
matematik obyektlarni taniy olish, standart algoritm va tartiblarni amalga oshirish,
standart usullar va algoritmik ko‘nikmalardan foydalanish.
Kompetentlikning   ikkinchi   darajasi :   muammoni   hal   qilish   uchun   zarur
bo‘lgan aloqalar va integratsiya. Ikkinchi darajali kompetensiyalar qo‘yilgan oddiy
muammolarini   hal   qilish   uchun   matematikaning   turli   sohalari,   bo‘limlari   va
mavzulari   orasida   bog‘lanishlarni   aniqlashni   o‘z   ichiga   oladi.   Bu   vazifalarni
standart vazifalarga kiritib bo‘lmaydi, lekin ularda ko‘rilayotgan vaziyat chuqurroq
matematik   bilimlarni   talab   qiladi.   Ushbu   kompetensiya   darajasida   o‘quvchilar
topshiriq   shartiga   ko‘ra   berilgan   ma’lumotlarni   taqdim   etish   va   bu   vaziyatga
muvofiq   muammoni   qo‘yish   ko‘nikmalariga   ega   bo‘lishlari   kerak   bo‘ladi.
Matematikaning   turli   bo‘limlari   materiallari   orasidagi   aloqalarni   o‘rnatishda
o‘quvchilardan   mavjud   tushunchalar,   shartlar,   isbotlar,   tasdiqlar   va   misollarni
farqlash   hamda   ularni   o‘zaro   bog‘lash   qobiliyatiga   ega   bo‘lishlari   talab   etiladi.
Ushbu kompetensiya darajasi, shuningdek, turli belgilar asosida yozilgan mantning
mazmunini   tushuntirish   va   sharhlash,   ularni   matematik   tilga   tarjima   qilish
qobiliyatini ham o‘z ichiga oladi. Ushbu kompetensiya darajasiga bog‘liq bo‘lgan
vazifalar   nuqtayi   nazaridan,   o‘quvchilar   vaziyatning   o‘ziga   xos   xususiyatlariga
bog‘liq qaror qabul qilishni talab qiladigan muayyan holatni taklif qilishadi. 
Kompetentlikning   uchinchi   darajasi :   matematik   modellashtirish,   mantiqiy
fikrlash,   umumlashtirish   va   intuitsiya.   Kompetentlikning   uchinchi   darajasida
o‘quvchilardan vaziyatni matematik modellashtirish talab qilinadi: masala shartida
berilgan   ma’lumotlarni   tahlil   qilish,   o‘rganish   va   mustaqil   ravishda   matematik
modelini   talqin   qilish,   muammoni   hal   qilish   uchun   matematikadan   foydalanish,
matematik   mulohazalar   yordamida   hal   qilish   yo‘lini   topish,   zaruriy   matematik
dalillar,   isbot   va   umumlashtirishlarni   amalga   oshirish.   Ushbu   faoliyat   tanqidiy
fikrlash, tahlil va mushohada yuritishni o‘z ichiga oladi. O‘quvchilar nafaqat taklif
28 etilayotgan   muammolarni   hal   qila   olishlari,   balki   uni   masaladagi   vaziyatga   mos
ravishda shakllantirishlari, shuningdek, matematikaning ilm-fan sifatidagi mazmun
va mohiyatini chuqur tushunishlari kerak. Ushbu kompetentlik darajasi matematik
savodxonlikning   eng   yuqori   cho‘qqisi   bo‘lib,   baholash   va   sinov   jarayonida   katta
qiyinchiliklar   tug‘diradi.   Bunda   erishilgan   natijalarni   baholash   uchun   javoblari
tanlanadigan testlardan foydalanish maqsadga muvofiq emas. Ushbu daraja uchun
javobi   ochiq   bo‘lgan   topshiriqlar   mos   keladi.   Kompetentlik  uchinchi   darajasidagi
topshiriqlarni ishlab chiqish va baholash juda qiyin vazifa hisoblanadi.
Qo‘llash sohasi (kontekst)
-   Shaxsiy   hayot   (kundalik   yumushlar:   xaridlar,   taom   tayyorlash,   o‘yinlar,
sog‘lik va h.k.); 
- Ta’limiy-kasbiy faoliyat (maktab hayoti va mehnat faoliyati quyidagilarni
o‘z ichiga oladi: o‘lchovlar, harajatli hisob-kitoblar, materiallarni buyurtma qilish,
masalan, matematika kabinetiga kitob javoni uchun to‘lovlarni amalga oshirish va
h.k.); 
-   Ijtimoiy   hayot   (valyuta   ayirboshlash,   banklarga   sarmoya   kiritish,   saylov
natijalarini tashxis qilish, demografiya); 
-   Ilmiy   faoliyat   (nazariy   masalalarni   ko‘rib   chiqish,   masalan,   aholining
balog‘atga   yetish   ko‘rsatkichini   tahlil   qilish   yoki   sof   matematik   masalalarni
yechish (masalan, uchburchak tengsizliklarining qo‘llanilishiga doir).
Iqtisodiy   hamkorlik   va   rivojlanish   tashkilotining   (Organisation   for
Economic   Cooperation   and   Development   (OECD))   Xalqaro   o‘quvchilarni
baholash Dasturi (Programme for International Student Assessment (PISA)) – turli
davlatlarda15 yoshu 3 oy 16 yoshu 2 oylik o‘quvchilarning savodxonligini (o‘qish,
matematika,   tabiiy   fanlar,   hamkorlikda   muammolarni   hal   qilish,   moliyaviy
asoslar)hamda bilimlarini amaliyotda qo‘llash qobiliyatlarini baholaydi. Shu bilan
birga, ushbu dasturlar ta`limdagi bo‘shliqlarni aniqlashga yordam beradi. 
O zbekiston   Respublikasi   Vazirlar   Mahkamasining“   Xalq   ta limi   tizimidaʼ ʼ
ta lim   sifatini   baholash   sohasidagi   xalqaro   tadqiqotlarni   tashkil   etish   chora	
ʼ
29 tadbirlari   to g risida”gi   2018-yil   8-dekabrdagi   997-sonli   qaroriga   ko‘ra,ʼ ʼ
umumta`lim maktab o‘qituvchilarining o‘zlashtirish ko‘rsatkichlarini nazorat qilish
va   baholashni   xalqaro   dasturlar   asosida   amalga   oshirish   hamda   ta’lim   sifatini
baholash bo‘yicha xalqaro tadqiqotlarda ishtirok etish vazifalari belgilandi. 
2021-yilda   PISA   va   PIRLS   xalqaro   dasturlarida   mamlakatimizning   ham
ishtirok   etdi.   Dastur   3   yilda   bir   marta   o‘tkaziladi   va   har   uch   yillikda   ma`lum   bir
yo‘nalishga   e`tibor   qaratiladi.   Quyida   matematik   savodxonlikni   baholash
me`zonlari,   2003-yil   va   2012-yilda   taqdim   etilgan   PISA   topshiriqlari   hamda
ularning tahlillari keltirilgan.
I BOB bo‘yicha xulosa.
Matematikada   funktsiya   tushunchasining   paydo   bo‘lishi   va   rivojlanish   tarixi
o‘rganildi. Asosiy maktab matematika kursida funktsional yo‘nalishni o‘qitishning
asosiy   maqsad   va   vazifalari,   o‘quvchilarning   matematik   tayyorgarligiga
qo‘yiladigan talablar aniqlandi.
PISA dasturi maqsadi va vazifalari o‘rganildi.
30 II  BOB.  Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib
o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning metodik
asoslari
2.1.   Funksiyalarning   asoasiy   xossalari   va   sinflari   hamda   ularning
ma z muni va o‘qitish metodikasi
Funksiyalar va ularning asosiy sinflari
1. Funksiyalar ustida amallar
2. Aniqlanish sohasini topishga doir tipik misollar.
3.  Juft va toq funksiyalar
4. Davriy funksiyalar
5.  Chegaralangan funksiyalar
6.  Monoton funksiyalar
7.  Funksiyaning ekstremumlari, eng katta va eng kichik qiymatlari.
8. Akslantirishlarning turlari
Funksiya tushunchasi.
1-ta’rif:   Agar  X   to‘plamdan olingan har bir  	x   elementga  	(x∈X	)   biror  	f
qoida   yoki   qonunga   ko‘ra  	
Y   to‘plamda   bitta  	y   element  	(y∈Y)   mos   qo‘yilgan
bo‘lsa,   u   holda  	
X   to‘plamda  	f   funksiya   berilgan   deyiladi   va   quyidagicha
belgilanadi.	
f:X	→	Y
  yoki  	x→
f
y,y=	f(x)  	X   to‘plam funksiyaning   aniqlanish sohasi ,	
f(x)
  lar   to‘plami   esa   funksiyaning   qiymatlar  to‘plami   deyiladi   va   mos   ravishda	
D(f)
  va  	E(f)  kabi belgilanadi.
Tabiy   aniqlanish   sohasi   bilan   sun’iy   aniqlanish   sohalarini   farqlash   kerak	
y=	f(x)
  yozuvda  	x   funrsiyaning   argumenti  	y   esa   uning  	x   nuqtadagi   qiymati
deyiladi.
 
Asosiy elementar funksiyalar:
31 1. To‘plamlar sifatida D(f)  va 	E(f)  lar  o‘rtasida quyidagi munosabatlar
bo‘lishi mumkin:
1. 	
D	(f)=	E(f)  2. 	D	(f)⊂E(f)   3. 	D	(f)⊂E(f)     (Misollar)
2. Funksiyalar  	
D(f)   va  	E(f)   larning   quvvatlari   ( elementlar   soni )
bo‘yicha quyidagi  6  turda bo‘lishi mumkin; (Misollar)
1 2 3 4 5 6
(f) chekli sanoqli sanoqli sanoqsiz sanoqsiz sanoqsiz
E(f) chekli chekli sanoqli chekli sanoqli sanoqsiz
Misollar: 
1) 	
			2;1	,5;1	1	,1	
5	,2	)	(				


	
		
		E	D	x
x	x	y
2) 	
	2;2	,	1	2	,2	
2	,2				


	
			
		E	N	D	k	n	
k	n	y
3) 	
N	E	N	D	N	n	n	n	y						,	;	,1	3	)	(	2 ; 
 
4) 	
	1;1;0	,	;	,						E	R	D	R	x	signx	y
5) 	
	Z	E	R	D	R	x	x	y					,	, ;
   6) 						0	2	,	,	,	R	E	R	D	R	x	x	y
Ta’rif ( Funksiyalarning tengligi ).  Agar 
D	(f)=	E(f)  bo‘lib, 	x∈D	(f)=	D	(g)  
uchun	
f(x)=g(x)  shart bajarilsa, 	f  funksiya 	g  funksiyaga  teng  deyiladi.
  
Funksiyalar bilan arifmetik amallarning aniqlanilishi:	
(f+g)(x)=	f(x)+g(x),x∈D	(f)∩	D	(g)	
(f⋅g)(x)=	f(x)⋅g(x),	x∈	D	(f)∩	D	(g)	
(
f
g)(x)=	f(x)	
g(x)
,	x∈D	(f)∩	D	(g),g(x)≠0	
(∑i=1
n	
fi)(x)=	∑i=1
m	
fi(x);	(∏i=1
n	
fi)(x)=	∏i=1
n	
fi(x)
To‘plamning: a) xarakteristik funksiyasi: 	
xf=¿{0,x∉D(f)¿¿¿¿
32 b) Tegishlilik funksiyasi: 
Funksiyalarning formulalari haqida. 
1) Maxsus belgilardan iborat:			,...	,	,	,
2) O‘zgaruvchili bitta ifoda 	
y=	ax	2+bx	+c
3) Bir nechta funksiyalarning kombinatsiyalari: 	
y=c1f1+c2f2+...+cnfn  
4) Bir yoki bir nechta funksiyalarning superpozitsiyalari:	
y=	f(f(f(f(x....)))),y=	fn(x),y=	f(xn),y=	fn(xn),n∈N	,n∈Z,n∈Q
5) Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalar
5.   Funksiyaning     grafigi:  	
	)	(	),	(	:)	,	(	),	(	x	f	y	f	D	x	y	x	x	f	y					   to‘plam
funksiyaning  grafigi deyiladi. Grafiklar ustida amallar. Grafiklarni siljitishlar.
6. 	
)	(	),	(	f	D	x	x	f	y		
  funksiya orqali maxsus to‘plamlar  qurish:
a) 	
	c	x	f	y	x	)	(	:)	,	(
   b) 		c	x	f	y	x	)	(	:)	,	(
   c) 		B	x	f	A	y	x			)	(	:)	,	(
7. O‘zi bilan teskarisi teng bo‘lgan funksiyalar,  teskarilanuvchilik.
8. Funksiyalaning berilish usullari o‘rtasida bog‘lanish:
1) Jadval ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
2) Grafik ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
3) Jadvaldan grafik va grafikdan jadvalga o‘tish
Tabiiy aniqlanish sohasi yagona: 	
R	D	x	y			,	sin
Sun’iy  aniqlanish sohasi cheksiz ko‘p: 	
]....	2;0[	
]	;	[	
2
1	

		
	
		
D
D
Grafikning 	
Ox  o‘qidagi proyeksiyasi 	)	(f	D
Grafikning 	
Oy  o‘qidagi proyeksiyasi  	)	(f	E
Aniqlanish sohasini topishga doir tipik misollar .
1. 	
)....	(	ln	)	(	),	(	),	(	ln	,)	(	,
)	(	
)	(	2	x	P	x	Q	y	x	arctgQ	y	x	Q	y	x	Q	y	
x	Q	
x	P	y	n	n						
2. Qiymatlar sohasini topishning ayrim usullari.
33 )	(x	f	y	tenglamani 	x  ga nisbatan yechish 
3.Maxsus funksiyalar: 	
		]	[	,	|,	|	x	y	x	y	x	y			
Dirixle funksiyasi, Riman funksiyasi,	
x	
y	1	sin	
 ,   	x	
x	
y	sin1	  , 	
x	
x	y	1	sin	
  	
x	
x	y	1	sin	 ,    	
x	
x	y	1		 ,   
 	
)	(	
)	(
x	f	
x	f	y
 ,
 	


	
		
			
	

			
2	,1	
2	,2	,1	
2
2	
x	x	
x	x	x	
x
x	x	y    
4. Funksiyani aniqlanmaydigan formulalarga doir misollar:	
x	x	
y	x	y	x	x	y	
	
							
3	
1	
2
1	;5	cos	);	(	log	log
22
Har qanday chiziq ham biror funksiyaning grafigi bo‘lavermaydi.
5. Funksional tenglamalar orqali funksiyani aniqlash. 	
)	(x	f	y	
 ning grafigi asosida 	

	


			
f	
f	f	f	1,	,	;	1	2 ,   larning grafigi.
  6.  	
)	(x	f	y	
  funksiyaning   aniqlanish   sohasidagi   chekli   (cheksiz)   nuqtalarda
qiymatlarini o‘zgartirib yangi funksiya qurish:
Masalan: 	
D	x	x	f	y			),	(	


	
		
	
	
0	1	
0	
1	);	(	)	(	
\)	(	),	(	
)	(	
X	x	x	f	x	f	
X	f	D	x	x	f	
x	f
           01 01
\)(),()( ),()(
XfDxxfxf Xxxfxf
 
7. Faqat bitta (ikkita) nuqtada aniqlangan funksiyalarga misollar	
2	2					x	x	y
,   				0	)	(	,	2;1	)	(			f	E	f	D
8. Funksiyani davom ettirish (Davriy davom ettirish)
Juft va toq funksiyalar
34 Ta’rif.  Sonlar o‘qidagi  X  to‘plamining ixtiyoriy  x  soni uchun – x  son ham  X
to‘plamga   qarashli   bo‘lsa,   u   holda   X   to‘plam   koordinatalar   boshiga   nisbatan
simmetrik to‘plam deyiladi.
Masalan: a) sonlar o‘qi; b) (-a;a)  interval; c) (-3,-2,-1; 1,2,3)
Y a rim interval va (-3; 2) interval simmetrik to‘plam emas.
Ta’rif . Agar  X   to‘plamda   f   funksiya uchun quyidagi shartlar  
1. X   to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik  bo‘lsa.
2.   Ixtiyoriy  x∈X   element uchun  	f(x)=	f(−x)   tenglik bajarilsa, u   h olda	
f
   funksiya  juft  deyiladi.
Ta’rif . Agar 	
X   to‘plamda 	f   funksiya uchun quyidagi shartlar 
1.	
X    to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lsa.
2.  Ixtiyoriy 	
x∈X element uchun  	−	f(x)=	f(−x)  tenglik bajarilsa, u  h olda	
f
funksiya  toq  deyiladi.
Juft funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Agar   0  soni  toq  funksiyaning  aniqlanish   sohasiga   tegishli  bo‘lsa,    u    holda
f(x)=0
  bo‘ladi.
3. Juft   ham   toq   ham   bo‘lmagan   funksiyalar   ham   mavjud.   Masalan:
ko‘rsatkichli funksiya.
Koordinatalar   boshiga   nisbatan   simmetrik   bo‘lgan   M   to‘plamda   ham   juft
ham toq bo‘lgan 	
y=0   funksiya yagonadir.
Koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan 	
M  to‘plamda  aniqlangan
har   qanday  	
u=	f(x)   funksiyani   quyidagicha   aniqlangan   juft  	ϕ(x)=	f(x)+	f(−	x)	
2   va
toq  	
g(x)=	f(x)−	f(−x)	
2   funksiyalarning   yig‘indisi  	f(x)=ϕ(x)+g(x)   shaklida
ifodalash mumkin.
Juft va toq funksiyalar ustida arifmetik  amallar
35 1. Bitta   to‘plamda   aniqlangan   juft   funksiyalarning   yig‘indisi,   ayirmasi,
ko‘paytmasi   va   nisbati   ham   juft   funksiya   bo‘ladi(nisbatda   maxraj   noldan   farqli
bo‘lganda).
2. Bitta to‘plamda aniqlangan toq funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi
toq   funksiya   bo‘ladi,   ko‘paytmasi   va   nisbati   esa   juft   funksiya   bo‘ladi(nisbatda
maxraj noldan farqli bo‘lganda).
Davriy funksiyalar
 Ta’rif.  Agar shunday noldan farqli T  son topilib, 	∀	x∈D(f)  uchun: 1)	x+T∈D(f) . 
1)	
f(x+T)=	f(x)   shartlar   bajarilsa,   u   holda  	f   davriy   funksiya,  	T   uning   davri
deyiladi.
Ta’rif.  Agar  	
R  da aniqlangan 	2l  davrli 	F(x)  funksiya uchun 	[−l;l]  kesmada	
F(x)=	f(x)
 shart bajarilsa, u holda 	F(x)  funksiya  	f(x)  funksiyaning davriy davomi
deyiladi.
Davriy funksiyalarning xossalari:
1. Davriy funksiya ixtiyoriy qiymatini cheksiz marta qabul qiladi.
2. Agar 	
T  va 	P  sonlar 	f  ning davrlari bo‘lsa, 	T+P   ham davri bo‘ladi.
3.   Agar  	
T   son  	f   ning   davri   bo‘lsa,  	nT ,  	n∈Z   ham     davri   bo‘ladi,   va  	T
uning eng kichik davri deyiladi.
4. Agar musbat  	
T1   va  	T2   sonlar mos ravishda  	f   va  	g   funksiyalarning eng
kichik   davrlari   bo‘lsa,   u   holda   ular   umumiy   davrga   ega   bo‘lishi   uchun  	
T1:T2
nisbatning   ratsional   son   bo‘lishi   zarur   va   yetarlidir   hamda   ularning   yig‘indisi   va
ko‘paytmasi ham davriy bo‘ladi.
5.   Agar  	
f   davriy   funksiya   bo‘lsa,   u   holda   ixtiyoriy  	F   funksiya   uchun	
F(f(x))
 murakkab funksiya ham davriy bo‘ladi.
6.   Agar  	
f   funksiyaning   eng   kichik   davri  	T   ga   teng   bo‘lsa,   u   holda	
kf	(ax	+b)+l
  (a noldan farqli) funksiya ham davriy bo‘lib, uning davri  	
T
a    ga teng
bo‘ladi. 
36 Ixtiyoriy haqiqiy son o‘zgarmas funksiyaning davri bo‘ladi. Ixtiyoriy qat’iy
monoton funksiya davriymasdir.
Chegaralangan  funksiyalar
Ta’rif.   Agar  X   to‘plamda  aniqlangan  	f   funksiya   uchun  shunday  	A   soni  topilib
barcha  	
x∈X   lar   uchun  	f(x)≥A   tengsizlik  bajarilsa,   u holda  	f   funksiya  quyidan
chegaralangan deyiladi. 	
A  soni esa 	f  funksiyaning quyi chegarasi deyiladi.
Ta’rif.   Agar  	
X   to‘plamda   aniqlangan  	f   funksiya   uchun   shunday  	A   soni
topilib   barcha  	
x∈X   lar   uchun  	f(x)≤A   tengsizlik   bajarilsa,   u   holda  	f   funksiya
yuqoridan   chegaralangan   deyiladi.  	
A   soni   esa  	f   funksiyaning   yuqori   chegarasi
deyiladi.	
A
  soni   funksiya   qiymatlar   to‘plamining   quyi(yuqori)   chegarasi   bo‘lib
yagona ravishda aniqlanmaydi.
Ta’rif.  	
X   to‘plamda   aniqlangan  	f   funksiya   uchun   shunday  	S
o‘zgarmas     musbat   son   topilib,   barcha  	
x∈X   lar   uchun  	f(x)≤	S   tengsizligi
bajarilsa, 	
f   funksiya 	X  to‘plamda chegaralangan deyiladi.
C h egaralangan funksiyalar xossalari :
1. Bitta   to‘plamda   aniqlangan   chegaralangan   funksiyalarning   yig‘indisi,
ayirmasi , ko‘paytmasi va moduli ham shu to‘plamda chegaralangan bo‘ladi.
2. Bitta to‘plamda aniqlangan  	
f   funksiya chegaralangan va  	g   funksiya
quyidan chegaralangan bo‘lsa,   ularning nisbati ham shu to‘plamda chegaralangan
bo‘ladi.
3. Agar  	
f(x)   funksiya  	X   to‘plamda   chegaralangan   bo‘lsa,   u   holda
quyidagi   funksiyalar   ham  
X   to‘plamda   chegaralangan   bo‘ladi:	
n√f(x),gf(x),gf(x),sin	f(x),cos	f(x),sin	−1f(x),cos	−1f(x),tg−1f(x),ctg	−1f(x)
.
Monoton funksiyalar	
y=	f(x)
 funksiya 	X  to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
37 Ta’rif .   Agar  X   to‘plamga   tegishli   ixtiyoriy  	x1   va  	x2   lar   uchun  	x1<x2
bo‘lganda  	
f(x1)<f(x2),(f(x1)≤	f(x2))   tengsizlik   o‘rinli   bo‘lsa,  	f   funksiya  	X
to‘plamda o‘suvchi (kamaymovchi) deyiladi.
Ta’rif.   Agar  	
X   to‘plamga   tegishli   ixtiyoriy   x
1
va   x
2
  lar   uchun  	x1<x2
bo‘lganda  	
f(x1)>	f(x2),(f(x1)≥	f(x2))   tengsizlik   o‘rinli   bo‘lsa,  	f   funksiya  	X
to‘plamda kamayuchi (o‘smavchi) deyiladi.
To‘plamda   o‘suvchi   (kamaymovchi)   kamayuchi   (o‘smavchi)   funksiyalar
umumiy nom bilan qat’iy monoton ( monoton) funksiyalar deyiladi.
Monoton funksiyalarning xossalari:
1.   Agar  	
f   va  	g   funksiyalar  	X   to‘plamda   o‘suvchi(kamayuchi)bo‘lsa,
ularning yig‘indisi ham 	
X  to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi) bo‘ladi.
2.   Agar  	
f   va  	g   funksiyalar  	X   to‘plamda   manfiy   bo‘lmasdan   o‘suvchi
(kamayuchi) bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi ham 	
X  to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi)
bo‘ladi.
3.   Agar  	
f   va  	g   funksiyalar  	X   to‘plamda   manfiy   bo‘lib   o‘suvchi
(kamayuchi)   bo‘lsa,   ularning   ko‘paytmasi    	
X   to‘plamda   kamayuchi   (o‘suvchi)
bo‘ladi.
4.  Agar 	
f  funksiya 	X  to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi) va 	C  o‘zgarmas son
bo‘lsa, u holda:
a) 	
f(x)+C   funksiya    	X   to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi)   bo‘ladi.
b)  	
Cf	(x),C>0  funksiya 	X  to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi)   bo‘ladi.
v) 	
Cf	(x),C<0   funksiya 	X  to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi)   bo‘ladi.
5.   Agar   f   funksiya   X   to‘plamda   o‘suvchi   (kamayuchi)   va f ( x )
  >0   bo‘lsa,   u
holda 	
1
f(x)  funksiya X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi) bo‘ladi.
6.   Agar   f   funksiya   X   to‘plamda   o‘suvchi   (kamayuchi)   va	
f(x)≥ 0   bo‘lsa,   u
holda 	
√f(x)  funksiya ham X to‘plamda o‘suvchi(kamayuchi) bo‘ladi.
38 7.  Agar f funksiya X to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi)   bo‘lsa, u holda:
a)
a f ( x )
 funksiya  a >1  bo‘lganda X to‘plamda o‘suvchi   (kamayuchi) bo‘ladi.
b)af(x)   funksiya   0 < a <1   bo‘lganda   X   to‘plamda   kamayuchi   (o‘suvchi)
bo‘ladi.
v) log
a f ( x )
  funksiya,   f ( x )
>0   va   a >1   bo‘lganda   X   to‘plamda
o‘suvchi(kamayuchi) bo‘ladi.
g)	
log	af(x)   funksiya,   	f(x) >0 va 0 < a <1   bo‘lganda X to‘plamda kamayuchi
(o‘suvchi)bo‘ladi.
Ta’rif :   ( nuqtada   o‘sish   va   kamayish   tushunchalari (Alimov   1-qism   222-
bet).
Funksiyaning ekstremumlari , eng katta va eng kichik qiymatlari.
Faraz qilaylik  f  funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
Ta’rif .   Agar  	
x0∈X   nuqtaning     shunday  	δ>0 ,     ( x
0 − δ , x
0 Qδ
) ∈ X
  ,   atrofi
mavjud   bo‘lib,   bu   atrofdagi   barcha(ixtiyoriy)   x   lar   uchun   f(	
x )	≤   f(	x0 )   tengsizligi
bajarilsa, u holda  x
0  nuqta f funksiyaning  lokal maksimum nuqtasi  deyiladi.
Agar 	
x0∈X  nuqtaning shunday 	δ>0  , (	x0−δ,x0Qδ )	∈X , atrofi mavjud bo‘lib,
bu atrofdagi barcha (ixtiyoriy ) x lar uchun 
f(	
x )	≥   f(	x0 )   tengsizligi   bajarilsa,   u   holda  	x0   nuqta   f   funksiyaning   lokal
minimum nuqtasi  deyiladi.
Funksiyaning   lokal   maksimum   va   lokal   minimum   nuqtalari   uning   lokal
ekstremum   nuqtalari   deyiladi. Funksiyaning   lokal   ekstremum   nuqtalaridagi
qiymatlari uning  ekstremal qiymatlari yoki ekstremumlari  deyiladi.
Agar   f( x
) ¿
  f( x
0 ) (f( x
)	
¿   f( x
0 )) x   ≠ x
0   qat’iy tengsizliklar  bajarilsa, u holda   x
0
nuqta f  funksiyaning qat’iy lokal maksimum(minimum) nuqtasi deyiladi.
Teorema :   ( Lokal   ekstremumning   etarli   sharti ).   Agar     y=   f( x
), x ∈ X
funksiya  qandaydir    	
δ>0 ,    (	x0−δ,x0]∈X     oraliqda  o‘suvchi   (kamayuvchi)   va  	δ>0 ,
¿ ¿
) ∈ X
  oraliqda   kamayuvchi(o‘suvchi)   bo‘lsa,   u   holda   x
0   nuqta   f   funksiyaning
qat’iy lokal maksimum (minimum) nuqtasi bo‘ladi.
39 Ta’rif.   Agar   M  ⊆	X   to‘plamga   qarashli   bo‘lgan  	x0   nuqta   mavjud   bo‘lib,
ixtiyoriy x  ∈
 M lar uchun  f( x
) ≥
 f( x
0 )( f( x
) ≤
 f( x
0 )) tengsizlik bajarilsa , u xolda f( x
0 )
son f funksiya M to‘plamdagi eng kichik(eng katta)  qiymati  deyiladi .
Bunday   qiymatlar   mavjud   bo‘lmasligi,cheklita   yoki   cheksiz   ko‘p   bo‘lishi
mumkin.
Agar   funksiya   segmentda   monoton   bo‘lsa,   u   holda   eng   katta   yoki   eng
kichik qiymatlarini kesmaning chetlarida qabul qiladi.
Agar funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, eng katta qiymatiga ega
bo‘lmaydi.  
Agar funksiya quyidan chegaralanmagan bo‘lsa, eng kichik qiymatiga ega
bo‘lmaydi. 
C h egaralangan   funksiyalar   ham   eng   katta   va   eng   kichik   qiymatlarga   ega
bo‘lmasligi mumkin.
Faraz   qilaylik   f   funksiya   M   to‘plamning   x
0   ∈
  M   nuqtasida   eng   katta
qiymatini qabul qilsin, u holda quyidagi xossalar o‘rinli bo‘ladi:
1) Agar   C>0   bo‘lsa,   u   holda   C   f   funksiya   ham   M   to‘plamda   eng   katta
qiymatini qabul qiladi. C < 0 bo‘lsa, u holda  C  f  funksiya M to‘plamda eng kichik
qiymatini qabul qiladi.
2) Ixtiyoriy   o‘zgarmas   C   uchun   f   +C   funksiya   ham   M   to‘plamda   eng
katta qiymatini qabul qiladi.
3) Agar   M   to‘plamda     f(	
x )	≠ 0   bo‘lsa,     u   holda    	x0   nuqtada   1
f ( x )
funksiya ( M  to‘plamda) eng kichik qiymatini qabul qiladi.
4) Agar   f   va   g   funksiyalar   M   to‘plamda   eng   katta   qiymatlarini   qabul
qilsa, u holda   f +g  funksiya ham M to‘plamda eng katta qiymatini qabul qiladi.
5) Agar   M   to‘plamda   f( x
) ≥
0   va   p ∈
  N   ,   a>1   bo‘lsa,   u   holda   x
0   nuqtada
quyidagi   funksiyalar   ham   (M   to‘plamda)   eng   katta   qiymatlarini   qabul   qiladilar:	
f(x)n
 ,  	n√f(x) , 	af(x) ,log	a¿¿
Y u qoridagi xossalar eng kichik qiymatlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
40 Asosiy elementar funksiyalar va ularning asosiy xossalari
1.  Chiziqli funksiya va uning xossalari, grafigi. 
2.  Kvadrat funksiya va uning xossalari, grafigi. 
3. Kasr chiziqli va ratsional funksiyalarning xossalari, grafigi.  
1. Chiziqli funksiya va uning xossalari, grafigi.
Ta’rif:   y= kx+b  ko`rinishidagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi.
Bunda   k   va   b   –sonlar,   x   -o`zgaruvchi,   k   –burchak koeffitsiyent     k=tga     ga
teng.
Chiziqli   funksiya   grafigi   to`g`ri   chiziqdan   iborat.   Chiziqli   funksiyaning
aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to`plamidir.
k	
 0   da   qiymatlar   sohasi   ham   barcha   haqiqiy   sonlar   to`g`ri   chizig`idan
iborat.
k
 0  da funksiya ( 	¥; + ¥	  oraliqda o`sadi.  k	   da funksiya  	¥; + ¥	  oraliqda
kamayadi.
Umuman,   y=kx+b   funssiyaning grafigi   y=kx   funksiya grafigini ordinatalar
o‘qi   bo‘ylab   b   birlikka   siljitish   yo‘li   bilan   hosil   qilinadi.   y=kx   va   y=kx+b
funksiyalarning grafiklari parallel to‘g‘ri chiziqlar bo‘ladi.
y=k
1 x+b
1  va  y=k
2 x+b
2  to‘g‘ri chiziqlar  k
1 =k
2   bo‘lganda parallel bo‘ladi.
Bu   to‘g‘ri   chiziqlar   k
1∙ k
2 =-1   bo‘lganda   to‘g‘ri   chiziqlar   perpendikulyar
bo‘ladi.
  Agar   y=kx+b   chiziqli   funksiyada   b=0   bo‘lsa   funksiya   y=kx   funksiyadan
iborat bo‘ladi. Bu funksiyaga to‘g‘ri proporsionallik deyiladi. Grafigi koordinatalar
boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdan iborat. 
41	
0	,			k	kx	y	yy=kx, k>0
х
0 Mavzuga oid misollar.
Misol-1 :  y=3x-2  funksiya grafigini chizing.
Yechish: 1  Qiymatlar jadvalini tuzamiz:
X 0 1 2 3 -1 -2 -3
y -2 1 4 7 -5 -8 -11
2) D(y)=(-∞,+∞)
y
                    0                                x
                              -2
1-misol.  M	(2;−3)   nuqtadan   o‘tuvchi   va  	y=5x−6   chiziqqa   parallel   bo‘lgan
to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz.
Yechilishi.   Izlanayotgan   to‘g‘ri   chiziq  	
y=5x−6   to‘g‘ri   chiziqqga   parallel,
demak,  uning  burchak koeffitsiyenti  ham    	
k=5 . To‘g‘ri   chiziq  	M(2;−3)   nuqtadan
o‘tadi. Demak, uning tenglamasi 	
y=5(x−2)−3	yoki	y=5x−13	.
42	
у=3х-	
2 2-misol.  M	(−2;−3)va	N(4;−1)   nuqtalardan   o‘tuvchi   to‘g‘ri   chiziqning
tenglamasini tuzamiz.
Yechilishi.     (2)   formuladan   foydalanamiz:  	
y−(−3)	
−1−(−3)=	x−(−2)	
4−(−2) ,   bundan	
y=	1
3x−21
3
.
Talabalarga topshiriqlar
1-misol.   Koordinata   boshi   va   M   nuqtadan   o‘tivchi   to‘g;ri   chiziq
tenglamasini tuzing.
a)M	(3;−4);b)M	(0;−3);d)M	(3;0);e)M	(2;5)
2 - misol.  Funksiyaning grafigini yasang: 	
a)y=	x−2;b)y=−x+3;d)y=4x−2;e)y=−2x−5
3-misol.  Funksiyaning grafigini yasang: 	
a)y=2x+1;b)y=−2x+1;c)y=3x−4;d)y=0,5	x−1;e)y=	1
4x−2
   4-misol.	
y(x)=3x−1  chiziqli funksiya berilgan. 
1) 	
y(0),y(1),y(2)  ni toping; 
2) agar 	
y(x)=−4,y(x)=8,y(x)=0  bo‘lsa,	x   ning qiymatini
toping.
5-misol.   Funksiyaning   grafigini   uning   koordinata   o‘qlari   bilan   kesishish
nuqtalarini topib, yasang:	
1)y=2x+2;2)y=−1
2x−1;3)y=4x+8;4)y=−3x+6;5)y=−6x−2
 
Kvadrat funksiya va uning xossalari, grafigi.
Ta’rif : 	
y=	ax	2+bx	+c   ko`rinishidagi funksiyaga kvadrat funksiya deyiladi.
Bunda  a,b,c-  sonlar  x,y -  o`zgaruvchilar.
Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladan iborat.
Kvadrat   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar   to`plamidir.   a    da
parabola   tarmoqlari   yuqoriga   yo`nalgan   bo`ladi,   a    da   esa   parabola   tarmoqlari
pastga yo`nalgan bo`ladi.
43 Kvadrat funksiyani grafigini chizish uchun:
1.Funksiyani aniqlanish soxasi topiladi.
2.Parabola uchi koordinatalari topiladi.
3.Qiymatlar jadvalini to‘ldiramiz.
4.   Qiymatlar   jadvalidan   foydalanib   koordinatalar   sistemasida   nuqtalarni
belgilaymiz va shu nuqtalarni tutashtirsak grafik hosil bo`ladi.
y=x 2  
funksiya   bizga   quyi   sinflardan   tanish.   Uning   grafigi,   uchi
koordinatalar   boshi   O(0;0)   da   va   tarmoqlari   yuqoriga   yo‘nalgan   parabola
(1-rasm).   y   =ax 2  
funksiya   grafigi   esa   x 2  
parabolani   abssissalar   o‘qidan   a
koeffitsiyent   bilan   cho‘zish   (|a|>1   da)   yoki   qisish   (|a|<1   da)   orqali   hosil   qilinadi.
a<0   da   y=ax 2  
parabola   Ox   o‘qiga   nisbatan   simmetrik  akslanadi.   Ixtiyoriy   a≠0   da
y=ax 2 
funksiya grafigi paraboladan iborat.
y=ax 2
+bx+c,   a≠0   funksiya   grafigini   yasash   maqsadida   ifodaniy=a(x+	b
2a)
2
+4ac	−b2	
4a	yoki	y=a(xa	)2+b
  ko‘rinishga   keltiramiz,   bunda	
−α=	b
2a,β=	4ac	−b	
4a	.
  bundan   ko‘rinadiki  	y=	ax	2+bx	+c   funksiyaning   grafigi	
y=ax	2
  parabolani  	Oy o‘qqa   nisbatan  	α   qadar   va  	Ox o‘qqa   nisbatan  	β   qadar
parallel   ko‘chirish   orqali   hosil   qilinadi,   bunda   parabolaning  	
O(0;0)   uchun  	L(α;β)
nuqtaga o‘tadi.
Mavzuga oid misollar
Misol-2: 	
u=	x2−	2x+1  funksiya
grafigini chizamiz.
Yechish: 	
D(y)=(−∞;+∞)
Parabola   uchi   koordinatalarini
topamiz:	
x0=	−	b
2a=	−	(−	2)	
2	=	2
2=	1;	y0=	12−	2⋅1+1=	1−	2+1=	0
44 x         y
0 1
 -1   4
 -2   9
2 1
3 4
4   9 0 1
Mustaqil yechish uchun misollar:
1-misol. Funksiyalarning grafiklarini yasang:
a) y=x 2
+6x-20; b) y=-x 2
-6x+20;
d) y=3x 2
-6x+4; e) y=2x–x 2
;
f) y=6-4x–x 2
; g) y=2x 2
+8x-1.
2-misol . A, B, C nuqtalardan o‘tuvchi parabolani yasang va tenglamasini 
tuzing:
a) A(2;-1),        B(1;3),    C(0;2);
b) A(1;1),         B(2;3),    C(0;2);
d) A(-2;1),       B(5;-1),   C(4;2);
e) A(2;0),         B(3;-6),   C(4;1).
3-misol. x
0  abssissali nuqtada  y=	ax	2+b   parabolaga urinuvchi to‘g‘ri
chiziqning tenglamasinit uzing, bunda :
a) a=-1, b=1, x
0 =3; b) a=4, b=2, x
0 =2.
4-misol.  Quyidagi funksiyalarning grafiklari chizilsin:
1. y=2x+1, y= 2-3x, y=-2-x, y=x-4.
2. y=x 2
-4x+2, y=x 2
-6x+3, y=2x 2
-4x+5, y=x 2
-3x+4
3.Kasr chiziqli va ratsional funksiyalarning va uning xossalari ,grafigi.
Ikki chiziqli funksiyaning nisbatidan iborat
kasr - chiziqli   funksiyani   qaraymiz .  Uning   grafigi   to ‘ g ‘ ri   chiziq   yoki   giperbola  
bo ‘ lishi   mumkin :
45у у=х 2
-2х+1
x 1) Agar  c=0,d≠0   bo‘lsa,(1)     munosabat  	
y=(
a
b)x+b
d   chiziqli
funksiyaga aylanadi uning grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat;
2)	
c≠0,a
c=	b
d=m   bo‘lsa,  	y=	mcx	+md	
cx	+d	=	m   ga ega bo‘lamiz. Bu holda (1)
funksiya   grafigi  	
Ox o‘qqa   parallel   bo‘lgan   va  	
M	(−	d
c;m)   nuqtasi   chiqarib
tashlangan 	
y=m  to‘g‘ri chiziq bo‘ladi;
3)
a≠0,a
c≠	b
d. Oldin 	ax	+b	
cx	+d  kasrdan butun qism ajratamiz:	
ax	+b	
cx	+d=	a
c+
b−	ad
c	
cx	+d	=	a
c+	
bc	−	ad	
c2	
x+d
c	
=	β+	k
x−	γ
, bundan	β=	a
c,k=	bc	−	ad
c2	,γ=−	d
c . (2) 
Bundan ko‘rinadiki, 	
y=	x+b	
cx	+d  funksiya grafigi 	y=	k
x  funksiya grafigi (giperbola)ni
parallel ko‘chirishlar bilan hosil qilinadi, bunda koordinatalar boshi 	
L(γ;β)  nuqtaga
o‘tadi. 	
γ,β	va	k lar (2) formulalar bo‘yicha topiladi.
Mavzuga oid misollar.	
5
14	2	

		x
x	y
 funksiya grafigini yasang
Yechilishi .   Kasrdan   butun   qismini   ajratamiz :
2x+14	
x+5	=2+	4
x+5,unda	k=4,γ=−5,β=2.O'(−5;2)
  nuqtadan   yordamchi  	O'x',O'y'
46 koordinatalar   o ‘ qlarini   o ‘ tkazamiz .   Ularda  y=	1
x   funksiya   grafigini,   so‘ng  	y=	k
x
funksiya girafigini yasaymiz. Bu grafik  	
xOy   koordinatalar sistemasida  	y=	2x+14	
x+5
ning grafigi bo‘ladi.
O‘quvchilarga topshiriqlar
1-misol. Funksiyalarning grafiklarini yasang:	
a)y=	2x−5	
x+1	;	b)y=−3x+2	
2x−3	;d)y=	4x+1	
2x−3	
e)a)y=	3x+4	
2x−	1;	f)	y=	x+9	
−3x+1;	g)y=	6x+1	
4x−2
2-misol .  A, B, C nuqtalarustidan o‘tuvchi 	
d	cx	
b	ax	y	
	  funksiya
Grafigini yasang:
a) A(-2;0),        B(1;4), C(0;2);
b) A(1;-3),        B(3;2), C(-1;3);
d) A(4;-3),        B(2;1), C(3;-4);
e) A(-5;1),        B(-2;3), C(-1;5).
3-misol.  Funksiyaga teskari funksiyani toping:
1. 	
y=ax	2  funksiya va uning xossalari, grafigi.
2. 	
y=ax  funksiya va uning xossalari, grafigi.
47 3.y=log	ax
  funksiya va uning xossalari, grafigi.
4. Mustaqil yechish uchun masalalar 
1. y= x n 
 funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=x n  
formula   bilan   berilgan   funksiyani   ko‘rib   chiqamiz.   Bunda
x-erkli o‘zgaruvchi n-esa natural son. Bunday formula natural ko‘rsatkichli darajali
funksiya deyiladi.
y=x, y=x 2 
va y=x 3 
darajali funksiyalarni ko‘rib chiqqan edik. 
x n  
ifoda   istalgan   x   da   ma`noga   ega.   Shuning   uchun   natural   ko‘rsatkichli
darajali   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   hamma   haqiqiy   sonlar   to‘plami   bo‘ladi.
Darajali   funksiya   xossalarini   keltirish   uchun   daraja   ko‘rsatkichi   juft   son   bo‘lgan
holda xossalarni ko‘rib chiqamiz.
n juft bo‘lganda y=x n 
funksiyaning xossalari:
1.Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi.
2.Funksiyaning grafigi koordinatalar boshidan o‘tadi.
3. Agar x  0 bo‘lsa, y>0 bo‘ladi. (Funksiyaning grafigi). Bu musbat sonnig
ham   manfiy   sonning   ham   juft   darajali   musbatligi   kelib   chiqadi.   Funksiyaning
grafigi birinchi va ikkinchi koordinata choraklarida joylashgan.
4.   Funksiya   juft   bo‘ladi.   Bu   n   juft   bo‘lganda   (-x) n
=x n  
tenglik   istalgan   x
uchun   to‘g`riligi   kelib   chiqadi.   Funksiyaning   grafigi   ordinatalar   o‘qiga   nisbatan
simmetrik.
5. Funksiya [0;+ ¥ ) oraliqda o‘sadi va (- ¥ ;0] oraliqda kamayadi
5. Funksiyaning qiymatlari sohasi nomanfiy sonlar to‘plamidir.
y=x 2 
va y=x 4 
funksiyalarni grafiklari.
48Y
X Y
X Endi darajali funksiyani daraja ko`rsatkichi toq bo`lgandagi xossalarni ko`rib
chiqamiz. 
1. Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi
2. Agar x>0 bo‘lsa, y>0 bo‘ladi.
Agar   x<0   bo‘lsa   y<0   bo‘ladi.   Funksiyaning   grafigi   birinchi   va   uchinchi
choraklarda joylashgan.
3. Funksiya toq bo`ladi. Bu hol n toq bo`lganda istalgan x uchun (-x) n
=-
x n 
tenglik to`g`ri bo`lishidan kelib chiqadi.
4. Funksiya butun aniqlanish sohasida o`sadi.
5. Funksiya qiymatlari sohasi hamma haqiqiy sonlar to`plamidir.
Misol: y=х va y=	3	х  funksiyalar haqida ma’lumot.
1) y=	
х   funksiya va grafigi.
y=	
3	х funksiya va grafigi.
1) Teskari funksiyalar haqida ma`lumot.
y=
х  funksiya darajali funksiyaning n=	2
1  bo‘lgandagi ifodasidir.
Bu funksiyaning xossalari quyidagicha:
A).y=	
х   funksiyaning   aniqlanish  sohasi   barcha   nomanfiy  sonlar  to‘plami
bo‘ladi.
B).y=
х funksiyalar x ³ 0 oraliqda o‘sadi.
49х хуу
у=х 3
у=х 5 S). y=х  funksiyaning grafigi 0  x  1 oraliqda y=x funksiyaning grafigidan
yuqorida, x  1 oraliqda esa y=x funksiyaning grafigidan pastda yotadi.
Umuman olganda y=	
х   funksiyaning grafigi:
y y=	
х
0 x
d)   y=	
х   funksiyaning   qiymatlar   sohasi   barcha   nomanfiy   sonlar   to‘plami
bo‘ladi.
y=	
3	х  funksiyaning quyidagi xossalari bor.
A) y=
3	х  funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonalar to‘plami.
V) y=	
3	х  funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami.
S) y=	
3	х  funksiyaning grafigi..
y=	
3	х
    0                                      x
50 D). y=3	х  funksiya har doim o`suvchi funksiya.
2. y= a x  
funksiya va uning xossalari, grafigi
y = a x 
funksiyaga ko‘rsatkichli  funksiya deyiladi. Bunda 	
0	,1	a	a  bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli funksiya xossalarini keltiramiz:
1.   Ko‘rsatkichli   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar
to‘plami: 	
)	;	(	)	(	¥	¥		y	D
2.   Ko‘rsatkichli   funksiyaning   qiymatlar   sohasi   barcha   musbat   sonlar
to‘plami: 	
);	0(	)	(	¥		y	E
3.   y= a x  
ko‘rsatkichli   funksiya   a>1   bo‘lganda   barcha   haqiqiy   sonlar
to‘plamida o‘suvchi bo‘ladi, 0<a<1 bo‘lganda esa kamayuvchi bo‘ladi.
a)   a >1 va x
2 >x
1   bo‘lsin. U holda  	
1	2	x	x	a	a	   dan x
2 >x
1   bo‘lganligi  sababli  x
2 -
x
1 >0 va	
1	1	2	x	xa	  yoki 	1	1
2
	x
x
a
a  munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bundan 	
1	2	x	x	a	a	  ekani kelib
chiqadi.
b)   0< a <1   va   x
2 >x
1   bo‘lsin.   U   holda  	
1	2	x	x	a	a	   bo‘ladi,   chunki     0<a<1
bo‘lganligi uchun	
1	1a  va  12	
1	1 xx	
a	a	
	
	
	
	
 yoki 	1	2	x	x	a	a	  bo‘ladi.
4.   y= a x    
funksiyaning   grafigi   a   ning   har   qanday   qiymatida   ham   (0;1)
nuqtadan o‘tib, Ox o‘qidan yuqorida joylashgan bo‘ladi.
51 1 – misol:  y=2 x 
funksiya grafigini yasang:
Yechish:   Bu   funksiya   grafigini   yasash   uchun   ushbu   jadvalni   to‘ldiramiz:
Jadval asosida funksiya grafigini chizamiz:
x -2 -1 0 1 2x	y	2	25.0	41		5.0	21	
1 2 4
2-misol.	
x	
y	
	
	5
1  funksiya grafigini yasang:
Yechish:	
x	
y	
	
	5
1 uchun ushbuj advalni to‘ldiramiz:
x -2 -1 0 1 2	
x	
y	
	
	5
1
25 5 1	2.0	51		04.0	251	
52 Jadval asosida funksiya grafigini chizamiz.
3. y=log	ax   funksiya va uning xossalari, grafigi. 
y=log
a x (a>0, 	
1a ) ko‘rinishdagi funksiyaga logarifmik funksiya deyiladi. 
logarifmik funksiya quyidagi xossalarga ega:
1. Logarifmik   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   musbat   sonlar
to‘plamidan iborat, chunki log
a x ifoda x>0 bo‘lgandagina ma’noga ega.
2. Logarifmik   funksiyaning   qiymatlar   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar
to‘plami R dan iborat.
3. y=log
a x funksiya x>0 oraliqda agar a>1 bo‘lsa o‘suvchi, 0<a<1 bo‘lsa
kamayuvchi hisoblanadi.
4.  y=log
a x funksiya grafigini keltiramiz:
5. Mustaqil  yechish uchun masalalar
53 1. Hisoblang:  a)  327 g)  	3	8   j)   4
625 81
b)  	
5	32 d)  	364     z)  	
5
32
1 v) 	
481 e) 	
3	
8
27 i)  	3
125
64
2. Taqqoslang:
               a)  	
52 va 5
3
                             v)  	10	8.0 va     1     
               b)  	
4	8.1 va     1                        g)  	5	2.0 va    0 
3.  Ifodaning qiymatini toping:
               a)  	
5	3	5	3			 v)  	243:	81	35
               b)   33	
73	10	73	10			
g)   44	65	9	65	9			
4. Funksiyaning grafigini yasang:
    a)  y=5 x
                          с)  y=0.2 x
                  b)  y=1.2 x
                       d)  	
x	
y	
	
	2
1
5. Berilgan funksiyalarni aniqlanish sohasini toping:
1.  y=log
7 (2x+3)
3.	
	x	y	5	10	log			
5.	
1	
2	log	8	
		x	
x	y 2.	
2	2	25	log	x	y		
4.  y=log
3 x
Qaysi biri kattaligini aniqlang:
1. log
3 7+log
3 4 va log
3 (7+4) 3. log
0.7 3+log
0.7 4 va log
0.7 (3+4)
log
3 28 >log
3 11 log
0.7 12<log
0.7 10
2. log
5 2+log
5 1.5 va log
5 (2+1.5) log
5 5<log
5 3.5
Berilgan funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:
54 4. y=log
3 (x-5)  5. y=log
0.3 (7-3x)  6. y=log
0.1 (x 2
-4) 
D(y)=?  D(y)=?  D(y)=? 
x-5>0,   x>5  7-3x>0,  x<3
7  x 2
-4=(x+2)(x-2)>0
Javob: 	
		¥	;5  Javob: 	
	
	¥;3
12
Javob: 	
				¥		¥	;2	2;	∪
1. Chegaralangan   va   chegaralanmagan   funksiyalarning   ta’rifini
ayting.
2. Teskari   funksiyaning   ta’rifini   ayting.
3. Ko‘rsatkichli funksiya deb nimaga aytiladi?
4. Ko‘rsatkichli   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   qanday   to‘plamdan
iborat?
5. Ko‘rsatkichlif   unksiyaning   qiymatlar   sohasi   qanday   to‘plamdan
iborat?
6. Asosi qanday bo‘lganda ko‘rsatkichli funksiya o‘suvchi bo‘ladi?
7. Asosi qanday bo‘lganda ko‘rsatkichli funksiya kamayuvchi bo‘ladi?
8. y=a x 
funksiya grafigi qaysi nuqtadan albatta o‘tadi?
9. Logarifmik funksiya deb nimaga aytiladi? 
10. Logarifmik   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   va   qiymatlar   sohasini
ayting.
11. Qanday asosda logarifmik funksiya o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi?
 1.	
y=sin	x,y=cos	x  funksiya va uning xossalari, grafigi.
2. 	
y=tan	x,y=ctgx  funksiya va uning xossalari, grafigi.
3.Mustaqil yechish uchun masalalar
1.	
y=sin	x,y=cos	x  funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=sin x   funksiya
1.   y=sin x   funksiyaning   a niql a nish   s o h a si   b a rch a   h a qiqiy   s o nl a r   to‘pl a mi,
ya’ni: R = (- ¥ ;+ ¥ ) 
55 2. y=sin x  funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1]  o r a liq yani:-1  sin x  1
3. y=sin x  funksiya eng kichik musb a t d a vri 2   bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4. y=sin x  funksiya t o q funksiya. 
5. y=sinx funksiya 0 ga teng qiymatni x=  n, n  Z larda qabul qiladi.
6.   y=sinx   funksiya   1   ga   teng   eng   katta   qiymatni   x=  /2+2  n,   n  Z   larda
qabul qiladi.
7. y=sinx funksiya -1 ga teng eng kichik qiymatni x=-  /2+2  n, n  Z larda
qabul qiladi.
8.   y=sinx   funksiya   musbat   qiymatlarni   (0;  )   oraliqda   va   bu   oraliqni
2  n(n= ± 1;  ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul   qiladi.
9.  y=sinx  funksiya  manfiy  qiymatlarni  (  ;2    )oraliqda  va  bu  oraliqni   2  n
(n= ± 1;  ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10.   y=sin x   funksiya   [-  /2;  /2]   k e sm a d a   v a   bu   k e sm a ni   2  n   (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a  o‘s a di.
11.y=sin x   funksiya   [  /2;3  /2]   k e sm a d a   v a   bu   k e sm a ni   2  n   (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a  k a m a yadi.
12. y=sin x  funksiyaning gr a figi 1.31 chizmada berilgan.
y=cosx funksiya
1.y=cosx   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar   to‘plami,
ya’ni:   R = (- ¥ ; + ¥ ) 
2. y=cos x  funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1]  o r a liq yani: -1  cos x  1
3.y=cos x  funksiya eng kichik musb a t d a vri 2   bo‘lg a n d a vriy funksiya. 
4.y=cosxfunksiyajuftfunksiya. 
5. y=cosxfunksiya 0 ga tengqiymatni x=  /2+  n, n  Z lardaqabulqiladi.
6. y=cosx  funksiya  1  ga teng  eng katta  qiymatni  x=2  n, n  Z  larda  qabul
qiladi.
56 7.   y=cosx   funksiya   -1   ga   teng   eng   kichik   qiymatni   x=  +2  n,   n  Z   larda
qabul qiladi.
8.   y= cosx   funksiya   musb a t   qiym a tl a rni   (-  /2;  /2)   o r a liqd a   v a   bu   o r a liqni
2  n
( n = ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
9.   y= cos x   funksiya   manfiy   qiymatlarni   (  /2;3  /2)   oraliqda   va   bu   oraliqni
2  n
( n  =  ± 1;  ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10.y= cos x funksiya [  ;2  ] kesmada va bu kesmani 2  n   ( n = ± 1; ± 2,) qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a  o‘s a di.
11.y= cosx   funksiya   [0;  ]   k e sm a d a   v a   bu   k e sm a ni   2  n   ( n = ± 1; ± 2,)   qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a  k a m a yadi.
12.y= cosx  funksiyaning gr a figi1.32  chizmada berilgan .
2. y=tgx	,y=ctgx  funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=tg x  funksiya
1.y=tg x     funksiyaning   a niql a nish   s o h a si   x 	
 /2+  n,   n  Z     o‘lg a n   b a rch a
h a qiqiy s o nl a r to‘pl a mi.
2.   y=tgx   funksiyaning   qiymatlar   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar   to‘plami,
ya’ni: R=(- ¥ ;+ ¥ )
3. y=tgx funksiya eng kichik musbat davri    bo‘lgan  avriy funksiya. 
4 y=tgx funksiya toq funksiya.
5. y=tgx funksiya 0 ga teng qiymatni x=  n, n  Z larda qabul qiladi.
6. y=tgx funksiya musbat  qiymatlarni (  n;  /2+  n), n  Z oral qlarda qabul
qiladi.
57 7. y=tgx funksiya manfiy qiymatlarni (-  /2+  n;  n), n  Z oraliqlarda qabul
qiladi.
8. y=tg x  funksiya (-  /2+  n;   /2+  n ), n    Z  o r a liql a rd a  us a di.
9. y=tg x  funksiya gr a figi Bund a z	к	к	х				,	2		       - ¥ <tg x < + ¥
y=ctgx funksiya
1.y=ctgx   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   x 	
 n,   n  Z   bo‘lgan   barcha
haqiqiy sonlar to‘plami.
2.   y=ctgx   funksiyaning   qiymatlar   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar   to‘plami,
ya’ni: R=(- ¥ ;+ ¥ )
3. y=ctg x  funksiya eng kichik musb a t d a vri    bo‘lg a n d a vriy funksiya. 
4  y=ctgx funksiya toq funksiya.
5. y=ctgx funksiya 0 ga teng qiymatni x=  /2+  n, n  Z larda qabul qiladi.
6. y=ctgx funksiya musbat qiymatlarni (  n;  /2+  n), n  Z oraliqlarda qabul
qiladi.
7.   y=ctgx   funksiya   manfiy   qiymatlarni   (  /2+  n;  +  n),   n  Z   oraliqlarda
qabul qiladi.
8. y=ctgx funksiya (  n;  +  n), n    Z oraliqlarda kamayadi.
9. y=ctgx funksiya grafigi: Bundax 	
 n, n  Z, - ¥ <ctgx<+ ¥
58 y=ctgx2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalar va ular ustida amallar
O‘quvchilarning   f unksiya   tushunchasining   mazmunini   o‘zlashtirish
darajasini aniqlash maqsadida o‘tkaziladigan tajriba sinovlar uchun topshiriqlar
1.   Ayrim   nuqtalarda   funksiyalarni   aniqlamaydigan   formulalarga   doir
misollar quring hamda ularning grafiklarini chizing:
2.   Bir   nechta   formulalar   bilan   berilgan   funksiyalarni   tuzish   va   ular   bilan
arifmetik   amallarni   bajaring   (chekli   va   cheksiz   to‘plamlarda   aniqlangan)   hamda
ularning grafiklarini chizing:
3.   Bir-biridan   cheklita   nuqtalardagina   farq   qiluvchi   funksiyalarga   doir
misollar tuzing hamda ularning grafiklarini chizing:
4. Ma’lum bir nechta xossalarga ega bo‘lmagan funksiyalarga doir misollar
qurish,   masalan   segmentda   chegaralanmagan   funksiyaga   misollar   tuzish   hamda
ularning grafiklarini chizing:
1)  	
f(x)=¿{f1(x),x∈A1¿{f2(x),x∈A2	A1∩A2∩A3=∅¿¿¿¿
D(f)=	A1∩	A2∩	A3	,A1,A2,A3⊂R
Uchta formula bilan berilgan bitta funksiya. Agar  	
A1∩	A2∩	A3≠	∅   bo‘lsa, bu 3 ta
formula bilan berilgan  f  qonuniyat funksiyani aniqlamaydi.
2)   Chekli   to‘plamda   aniqlangan   funksiyalarning   yig‘indisini(ayirmasini,
ko‘paytmasini va bo‘linmasini) topish:
59 f
0
(x)=¿{b
1
,x=a
1¿{b
2
,x=a
2	
a
1
≠a
2
≠a
3¿¿¿¿D(f ) q{ ,}  E(f ) q{} 	f
1
(x)=¿{c
1
,x=a
1¿{c
2
,x=a
2	¿¿¿¿	
(f
0
+f
1)(x)=¿{b
1
+c
1
,x=a
1¿{b
2
+c
2
,x=a
2	¿¿¿¿
Aniqlanish sohalarini turlicha, lekin kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamlar
tanlab   misollar   tuzish   va   ular   bilan   amallar   bajariis   ga   doir   misollar   keltirish,
grafiklarini yasash.
3)   Cheksiz   va   chegaralangan   to‘plamlarda   aniqlangan   pag‘onasimon
(zinasimon)funksiyalarning   yig‘indisini(ayirmasini,   ko‘paytmasini   va
bo‘linmasini) topish:	
g1(x)=¿{3,x∈[−3;0]¿{2,x∈(0;2]	D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿
,	g2(x)=¿{−1,x∈[−2;0]¿{3,x∈(0;1]	D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿	
(g
1
+g
2)(x)=¿{2,x∈[−2;0]¿{5,x∈(0;1]	D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{4,x∈(1;2]	E(g
1
+g
2
)={2,3,4,5}¿¿¿¿
4)   Cheksiz   va   chegaralangan   to‘plamlarda   aniqlangan   bo‘lakli   chiziqli
funksiyalarning    yig‘indisini(ayirmasini, ko‘paytmasini va bo‘linmasini) topish:	
g1(x)=¿{3x+2,x∈[−3;0]¿{−2x+1,x∈(0;2]	D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿	
g2(x)=¿{2x−1,x∈[−2;0]¿{4x−3,x∈(0;1]	D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿
60 (g
1
+g
2)(x)=¿{3х+2+2х−1=5х+1,	x∈[−2;0]¿{−2х+1+4х−3=2х−2,x∈(0;1]	D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{−2х+1+(−х+2)=−3х+3,x∈(1;2]	E(g
1
+g
2
)=¿¿¿¿5)   Berilgan   f   chiziqli   funksiyadan   faqat   chekli   nuqtalardagina   farq   qiluvchi
funksiya qurishga doir misol.	
f(x)=3x+2	,x∈[−2;3]
,	
f(x)=	f1(x),x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿¿
,	
f(x)≠	f1(x),x∈{−1,0,1,2}
6) Segmentda chegaralanmagan funksiyalarga doir misollar	
f1(x)=	¿{
1
x	
,	x∈[−	1;0)∪	(0.1]¿¿¿¿	
f
2
(x)=¿
{
tgx	,x∈(−
π
2
,
π
2
)¿
{
−1,	x=−
π
2	
,D(f
2
)=[−
π
2
,
π
2
]¿¿¿¿
.
O‘tkaziladigan tajriba sinovlaridan olingan natijalar.
1. Savol.   (Samarqand   viloyati   Ishtixon   tumani   XTBga   qarashli
91-maktabi 10-sinf o‘quvchisi Shonazarova Surayyo)	
g1(x)={
1,x∈[−2;3]	
3,x∈(3;7)
      	
D(g1)=[−2;7)	
E(g1)={1;3]	
g2(x)={
5,x∈[−3;0)	
6,x∈(0;5]
       	
D(g2)=(−3;5]	
E(g2)={5;6]
a) funksiyalarni qo‘shing 	
(g1+g2)=	?
61	
f
1
(x)=¿{3x+2,x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿]¿{1,x=−1¿{−1,x=0¿{4,x=1¿¿¿¿ (g1+g2)(x)={
1+5,	x∈[−3;0)	
1+6,x∈(0;5]	,      	(g1+g2)(x)={
3+5,	x∈[0;3]	
3+6,x∈[3;5]	
D	(g1+g2)=	[−	2;5]
    	E(g1+g2)=[6;9] .
b) funksiyalarni ayiring. 	
(g1−	g2)=?	
(g1−	g2)(x)={
1−5,x∈[−2;0]	
1−6,x∈[0;3]
  	(g1−	g2)(x)={
3−5,x∈[0;3]	
3−6,x∈[3;5]	
D(g1−	g2)=[−2;3]
   	E(g1−g2)=[−1;−2] .
c) funksiyani ko‘paytiring. 	
(g1⋅g2)(x)=	?	
(g1⋅g2)(x)=	{
1⋅5,x∈[−	2;1]	
1⋅6,x∈[0;3]
    	(g1⋅g2)(x)=	{
3⋅5,x∈[0;3)	
3⋅6,	x∈[3;5)	
D	(g1⋅g2)(x)=	[−	2;5]
    	E(g1⋅g2)(x)=[6;18	] .
d) funksiyani bo‘ling. 	
(
g1
g2)(x)=?	
(
g1g2)(x)=	
{
1
5	x∈[−	2;3]	
1
6	x∈[0;1]
    	(
g1
g2)(x)=	
{
3
5	x∈[0;2]	
3
6	x∈[−	2;0]	
D(
g1
g2)(x)=[−2;5]
     	E(
g1
g2)(x)=[2,16	;0,2	] .
2.3 .   Funksiya   tushunchasining   mazmunini   o‘zlashtirishga   doir
savollar, masalalar va testlar
Akslantirishlarning shakllari:
1. Chekli to‘plamni → chekli to‘plamga
2. Sanoqli to‘plamni → chekli to‘plamga
3. Sanoqli to‘plamni → sanoqli to‘plamga
4. Sanoqsiz to‘plamni → chekli to‘plamga
5. Sanoqsiz to‘plamni → sanoqli to‘plamga
62 6. Sanoqsiz to‘plamni →sanoqsiz to‘plamga
7. Chegaralangan to‘plamni → chegaralangan to‘plamga 
8. Chegaralangan to‘plamni → chegaralanmagan to‘plamga
9. Chegaralanmagan to‘plamni → chegaralangan to‘plamga
10. Chegaralanmagan to‘plamni → chegaralanmagan to‘plamga
11. Sanoqli   va   chegaralangan   to‘plamni → Sanoqli   va   chegaralangan
to‘plamga
12. Sanoqli   va   chegaralangan   to‘plamni   → Sanoqli   va   chegaralanmagan
to‘plamga
13. Sanoqli   va   chegaralanmagan   to‘plamni   → Sanoqli   va   chegaralangan
to‘plamga
14. Sanoqli va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqli va chegaralanmagan
to‘plamga
15. Sanoqsiz   va   chegaralangan   to‘plamni → Sanoqsiz   va   egaralangan
to‘plamga
16. Sanoqsiz va chegaralangan to‘plamni → Sanoqsiz va chegaralanmagan
to‘plamga
17. Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqsiz va chegaralangan
to‘plamga
18. Sanoqsiz   va   chegaralanmagan   to‘plamni → Sanoqsiz   va
chegaralanmagan to‘plamga
O‘z-o‘zini nazorat  qilish uchun  savollar:
1. Chekli to‘plamni chekli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga misollar
keltiring .
2. Sanoqli     to‘plamni   chekli   to‘plamga     akslantiruvchi   funksiyaga
misollar  keltiring .
3. Sanoqli   to‘plamni   sanoqli   to‘plamga   akslantiruvchi     funksiyaga
misollar keltiring .
63 4. Sanoqsiz   to‘plamni   chekli   to‘plamga   akslantiruvchi   funksiyaga
misollar  keltiring .
5. Sanoqsiz   to‘plamni   sanoqli   to‘plamga   akslantiruvchi   funksiyaga
misollar  keltiring .
6. Sanoqsiz   to‘plamni   sanoqsiz   to‘plamga   akslantiruvchi   funksiyaga
misollar keltiring .
7. Aniqlanish   sohasi,   qiymatlar   sohasiga   teng   bo‘lgan   funksiyaga
misollar keltiring .
8. Aniqlanish sohasi qiymatlar sohasining  qismi  bo‘ladigan  funksiyaga
misollar  keltiring 
9. Qiymatlar   sohasi   aniqlanish   sohasining   qismi   bo‘ladigan   funksiyaga
misollar  keltiring .
10. Chegaralangan   to‘plamni,   chegaralangan   to‘plamga   akslantiruvchi
funksiyaga misollar keltiring.
11. Chegaralangan   to‘plamni   chegaralanmagan   to‘plamga   akslantiruvchi
funksiyaga misollar keltiring .
12. Chegaralangan funksiyalarga misollar keltiring. 
13. Chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
14. Segmentda chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
15. Intervalda chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
16. O‘suvchi funksiyalarga misollar keltiring.
17. Qat’iy o‘suvchi fuksiyalarga misollar keltiring.
18. Kamayovchi funksiyalarga misollar keltiring.
19. Qat’iy   kamayovchi   funksiyalarga   misollar   keltiring.   Monotom
bo‘lmagan   funksiyalarga   misollar   keltiring.   Jift,   toq   va   davri   funksiyalarga
misollar keltiring.
20. Jift, toq va davri bo‘lmagan funksiyalarga misollar keltiring.
21. Bir   nechta   formulalar   bilan   berilgan   fuksiyalarning   yig‘indisini,
ayirmasini, ko‘paytmasini va bo‘linmasini toping.
22. Funksiyaning teskarisini topish. 
64 23. O‘zi teskarisiga teng bo‘lgan funksiyalarga misollar keltiring.
24. Berilgan chiziqli funksiyadan:
a) faqat bitta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
b) faqat p ta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
25. Pog‘onasimon funksiyalarga misollar keltiring.
Akslantirishlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. Akslantirishlar   va   ularning   turlari.   Funksiya   tushunchasi,   berilish
usullari va uning asosiy xossalari.
2. Aniqlanish   va   qiymatlar   sohalarining   turlari   (quvvatlari)   bo‘yicha
funksiyalarning turlari.
3. Funksiyalar ustida arifmetik amallar. Funksiyalarning tengligi. 
4. Bir-biridan cheklita nuqtalardagina farq qiluvchi funksiyalar.
5.  Biektiv akslantirishning ta’riflari ?
6.  [a;b]va	[c;d]  kesmalar o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
7.  	
[ a ; b	] va ( − ∞ , + ∞ )
- o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
8.  	
(−	∞	,+∞)→	{a;b}     akslantirishni toping?
To‘plamlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1.   To‘plam   tushunchasi.   Berilish   usullari.   To‘plamlar   ustida   amallar
(qism   to‘plam,   bo‘sh   to‘plam,   to‘ldiruvchi   to‘plam)   To‘plamlarning   dekart
ko‘paytmasi. 
2   Sanoqli va sanoqsiz to‘plamlar
3.Chegaralangan   to‘plamlar,   to‘plamning   aniq   quyi   va   aniq   yuqori
chegaralari.   4.Chegaralangan   to‘plamning   aniq   chegaralarga   erishish   haqidagi
teorema.
5.Sanoqli va chegaralangan,
6.Sanoqli va chegaralanmagan,
7.Sanoqsiz va chegaralangan, 
8.Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamlarga misollar. 
65 9.(	
n
n+1,n+1	
n+2)   intervalga   tegishli   bo‘lgan   chekli,   sanoqli   va   sanoqsiz   qism
to‘plamlarga misollar keltiring. 
10. To‘plamning aniq chegaralarini toping?
To‘g‘ri tasdiqlarni belgilang:
1) To‘plamning chegaralari albatta o‘zining elementlari bo‘ladi.
2) A Chekli to‘plam bo‘lsa, 	
max	{ai}=sup	{A} , 	A={a1,a2,a3,....,an}
3) 	
sup	{[0,1	]}=1;inf	{(0,1	)}=0;
4) 	
sup	{[0,1	]}=sup	{(0;1)}.
5)   Yuqoridan   chegaralangan   to‘plam   faqat   bitta   yuqori   chegaraga   ega
bo‘ladi.
6)   Quydan   chegaralangan   to‘plamning   quyi   chegaralari   cheksiz   ko‘p
bo‘ladi. 
TESTLAR :
1. Chegaralanmagan to‘plamlarni toping:
A)	
N,(−∞;0],{n2},[0;+∞);(−∞;+∞)  
B) 	
Z	,[a	;b	],{2	n	+	1	}{
n	+	1	
n	},Q
C) 	
Z,N,I,Q,R,[0;1];
D) 	
[−1;1],{x:|x|≤5},{
n+1
n	},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0	}.
2. To‘g‘ri munosabatlar keltrilgan javobni belgilang.
A) 	
N	⊂Z	⊂Q	⊂R	;Q∩	I=	∅
B) 	
N	⊂Z	⊂Q	⊂I⊂1R
C) 	
N∪	Z=Q	;N∩	Z=	Z;
D) 	
Q∩	I≠	∅	;Q	¿=	N	.
3.To‘g‘ri ta’riflarni toping:
66 1) Yuqoridan chegaralangan to‘plam yuuqori chegaralarining eng kattasiga 
uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
2)  Yuqoridan chegaralangan to‘plam yuuqori chegaralarining eng 
kichigiga uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
3) Quyidan chegaralangan to‘plam quyi chegaralarining eng kattasiga 
uning aniq quyi chegarasi deyiladi. 
4) Quyidan chegaralangan to‘plam quyi chegaralarining eng kichigiga 
uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
A) 2,3. B) 1,4. C) 1,2. D) 3,4.
4. Tasdiqlardan to‘g‘rilarini aniqlang:
1)∀  Chegaralangan to‘plam sanoqlidir.
2) 
∀  Sanoqli to‘plam chegaralangandir.
3) 
∀  Chegaralanmagan to‘plam sanoqsizdir. 
4) 
∀  Chegaralangan to‘plam sanoqsizdir. 
5) 
∀  Chekli to‘plam chegaralangandir.
6) 
∀  Sanoqsiz to‘plam chegaralanmagandir.
A) 3,4.   B) 1,2,3.    C) 4,6.     D) 4,5,6.
5. To‘g‘ri moslikni o‘rnating:
1) kesmani segmenetga akslantrish:
2) chekli oraliqni R ga akslantrish:
3) R ni bita nuqtaga akslantrish:
4) R  ni segmenega akslantrish :
5) R ni ikkita nuqtaga akslantrish:
a) 
y=tgx	;	−	π
2<x<π
2
    b) 	y=c−	const
   v) 	y=	kx	+l
     g) 	y=sin	x
d) Dirixle funksiyasi 	
Δ(x)=¿{0,xεR	¿¿}¿{}
A) 1-b; 2-a; 3-b; 4-ch; 5-d;     B) 1-a; 2-b; 3-e; 4-d; 5-c;
S) 1-e; 2-d; 3-a; 4-c; 5-b;    D) 1-c; 2-e; 3-d; 4-a; 5-b.
Funksiyaning xossalariga doir  testlar:   
67 1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.y=√3x+4+	1	
ln	(2−5x)
A) 	
[−0,5	;9
5)∪(
9
5;2)      B) 	(−	1
2;2)     C) 	[−0,5	;9
5)∪(2;+∞)     D)  	
∅
2. 	
y=	1
x2+1   funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
A) 	
(0;1]      B) 	(
1
2;+∞)     C) 	[0;1)     D)  	(−∞;+∞)
3. 	
f(x)={	
x2,	−	2≤	x≤1	
2x+1,	1<x≤4   va   	
g(x)={
1−2x2,	[−1;2]	
−x−1	(2;3]    funksiyalarning 
yig‘indisini toping.
A)   	
{
1−x2,	−1≤x<1	
2x2+2x+2,	1<x<2	
¿¿¿¿     B)  	
{
1−	x2,	−1≤	x≤1	
x,	2<x≤3  
4. Quyidagi ikkita formula bilan berilgan qonuniyat funksiyani aniqlaydimi?	
f(x)={
x2,	[−1;1]	
x+1,	[1;2]
A) Yo‘q, chunki  x=1 da  u
1 =1; u
2 =2
B) Ha , 	
D(f)=[−1;2] , 	E(f)=[0;2]
C) Yo‘q, chunki  	
E(f)⊂D(f)
D) Ha , 	
D(f)=[−1;2] , 	E(f)=[0;1]∪[2;3]
5. Chegaralangan funksiyalarni toping:
1) u=x 2 
, 2)u=sinx, 3) y=lnx,  4)y=cosx 5) 	
y=	1	
1+x2  6) 	D(x)={
0,	x∉I	
1,	x∈Q
68 A) 2,4,5,6          B) 1,2,3      C) 1,3       D) 1,2,3,4
6. Chegaralanmagan funksiyalarni toping:
1)  u=x 2
,  2) y=cosx,  3) y=e x
  4) u=sinx, 5) y=kx+l   6)  y=tgx  7) y=lnx,    
A) 1,3,5,6,7       B) 1,2,4          C) 1,5,6           D)3,4,7 
II BOB bo‘yicha xulosalar.
O‘quvchilarning bilim faolligini faollashtiruvchi, ularning qiziqishi va bilim
sifatini   oshiradigan   vizual-majoziy   materiallardan   foydalanish   kerak   va   shu
materiallarni qanchalik darajada o‘zlashtirganligini tekshirish kerak;   
Funksiyalarni o‘qitish usulida, asosiy jihatlardan biri funksiyalarni o‘rganish uchun
grafik va analitik usullarning kombinatsiyasi hisoblanadi. 
Bu esa o‘quvchilar tafakkurining uyg‘onish, rivojlanishiga xizmat qiladi va bu esa 
o‘quvchilarning bilim ko‘nikmasini oshirishga xizmat qiladi.
69 III B О B.  T А JRIB А -SIN О V ISHL А RINI T А SHKIL ETISH V А  UNING
N А TIJ А L А RI
3.1. T а jrib а -sin о v ishl а rini t а shkil etish.
Samarqand   viloyati   Oqdaryo   tumani   XTBga   qarashli   iqdisoslashtirilgan
(IDUMI) “ 52-sonli  maktab” negizida bayoniy tajriba   o‘ tkazdik. 2021-2022   o‘ quv
yilida   tajribada   10-sinfning   30   nafar   o‘ quvchilari   ishtirok   etdi.   Aniqlovchi
eksperimentning maqsadi  8-9-sinfl а r   algebra kursi uchun  o‘ quvchilarda funksional
tushunchalarning shakllanish darajasini, “Funksiyalar” mavzusi b o‘ yicha masalalar
yechish qobiliyatini aniqlashdan iborat.    8-9-sinflаr da algebra kursida   o‘ quvchilar
birinchi   navbatda   funksiya   tushunchasi   va   shu   tushuncha   bilan   bo g‘ liq
terminologiya   bilan   tanishishini   aniqladik.   Boshlan g‘ ich   maktabda   o‘ quvchilar
asosiy   ele mentar   funksiyalar   bilan   tanish dilar,   10-11-sinflarda   esa   “Funksiyalar”
mavzusidagi   material   tizimlashtiriladi   va   umumlashtiriladi.   Bundan   tashqari,
funktsiyalarning   o‘ ziga   xos   turlari   bilan   k o‘proq   tanishish   mumkin .   Xususan,
o‘ quvchilar trigonometrik funksiyalar, k o‘ rsatkichli va logarifmik  funksiyalar bilan
tanishadilar .   Shuningdek,   funktsiyani   matematik   tahlil   usullari   bilan   tekshirishni
o‘rgandi .   10-11-sinflarda   “Funktsiyalar”   mavzusini   o‘ rganishni   davom   ettirish
uchun   9-sinf   oxirida   o‘ quvchilar   tegishli   bilim   va   k o‘ nikmalar   bazasiga   ega
b o‘ lishlari   kerak.   Natijada   1-sonli   nazorat   ishi   tuzildi,   u   o‘quvchilarga   taklif
qilindi, unda quyidagi  turdagi topshiriqlar  taqdim etiladi:
-funktsiyani aniqlash sohasini topish;
-funksional belgilarni tushunish;
-funksiya grafigini tuzish va uni  o‘ rganish;
- funksiyalar grafiklarini tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalarini 
yechishda q o‘ llash b o‘ yicha ; funksiyalar grafigini tuzish .
70 3.2. T а jrib а –sin о v ishl а rining n а tij а l а ri t а hlili.
M а tem а tik а g а   ixtis о sl а shtirilg а n   m а kt а bl а rd а gi   о ‘quvchil а rni   PIS А   d а sturi
а s о sid а   funksi уа  tushunch а sini bilish d а r а j а sini b а h о l а sh m а qs а did а  8-9-sinfl а r v а
10-11-sinfl а r   kesimid а   t а jrib а   v а   n а z о r а t   guruhl а rid а   о ‘tk а zilg а n   n а z о r а t   ishl а ri
n а tij а l а rini  his о bl а shd а   qul ау   b о ‘lishi  uchun 100 b а llik re у ting tizimid а n 5 b а llik
re у ting tizimini qul ау  deb t о pdik. Bu quуidаgi 1-2-jаdvаldа ifоdаlаngаn:
1-jаdvаl (8-9-sinflаr)
Bаhо « 2 » « 3 » « 4 » « 5 »
Bаllаr 51-54 55-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100
Tаjribа g 1 1 1 2 4 6 5 5 3 2
Nаzоrаt g 2 3 4 6 6 5 2 1 1 0
1-jаdvаl (10-11-sinflаr)
Bаhо « 2 » « 3 » « 4 » « 5 »
Bаllаr 51-54 55-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100
Tаjribа g 0 1 1 2 7 5 5 5 3 1
Nаzоrаt g 2 3 3 5 8 5 2 1 1 0
Ushbu jаdvаlni DTS dа keltirilgаn dаrаjаlаr bо‘уichа quуidаgichа bаhоlаrgа
ауlаntirdik:
III   dаrаjа   –   reprоduktiv   dаrаjа   bо‘lib,   DTS   dа   belgilаb   berilgаn   bilimlаrni
о‘zlаshtirishning minimаl dаrаjаsigа mоs kelаdi – «3» bаhо.
II   dаrаjа   –   bu   hаm   reprоduktiv   dаrаjаdа   qо‘llаnilаdigаn   DTS   dаgi   bilimlаr
dаrаjаsi bо‘lib, bu dаrаjаdа egаllаngаn bilimlаr «4» bilаn bаhоlаndi.
I dаrаjа – bilimlаrni ijоdiу qо‘llаsh dаrаjаsi bо‘lib - «5» bilаn bаhоlаndi.
1. Reуting kо‘rsаtkichi 86-100 % – «5»
2. Reуting kо‘rsаtkichi 71-85,9 % –  «4»
3. Reуting kо‘rsаtkichi 56-70,9 % –  «3»
4. Reуting kо‘rsаtkichi 0-55 % –  «2».
71 Tаjribа-sinоv   ishlаri   jаrауоnidа   186   nаfаr   о‘quvchilаrdаn   оlingаn
sаvоlnоmа,   test   vа   bоshqа   ishlаr   tаhlil   etilib,   mаtemаtik-stаtistikа   metоdi   оrqаli
tаsоdifiу   tаnlаngаn   ikkitа   guruh   (hаr   bir   sinfdа   35   tа   dаn   о‘quvchi)
о‘quvchilаrining   аxlоqiу   shаkllаngаnlik   dаrаjаsi   аniqlаndi.   Yuqоridаgi   1-2-
jаdvаlgа аsоslаngаn hоldа quуidаgi 3-4-jаdvаlni tо‘ldirаmiz:
3-jаdvаl (8-9-sinflаr)
№ Guruhlаr nоmi « 2 » «3» «4» «5»
1. Tаjribа guruhi 1 4 15 10
2. Nаzоrаt guruhi 2 13 13 2
4-jаdvаl (10-11-sinflаr)
№ Guruhlаr nоmi « 2 » «3» «4» «5»
1. Tаjribа guruhi 0 4 17 9
2. Nаzоrаt guruhi 2 11 15 2
Yuqоridаgi jаdvаlgа mоs keluvchi pоligоnlаrni chizаmiz:
72Ta jriba guruhi Nazorat guruhi0246810121416
1 24 1315
13
10
2Tаjribа nаtijаlаri 8-9-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho      73Ta jriba guruhi Nazorat guruhi024681012
0 25 10
10
99
3Tаjribа nаtijаlаri 
2 baho 3 baho 4 baho 5 bahoTa jriba guruhi Nazorat guruhi024681012141618
0 24 1117
15
9
2Tаjribа nаtijаlаri 10-11-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho      Ta jriba guruhi Nazorat guruhi0246810121416
1 24 1315
13
10
28-9-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho
Ta jriba guruhi Nazorat guruhi024681012141618
0 24 1117
15
9
210-11-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho
74 Pоligоndа   qауd   etilgаn   chiziqlаrdаn   аnglаnаdiki,   bu   tаnlаmаlаr   uchun   mоs
о‘rtаchа   bаhоlаr   8-9-sinflаrdа   4,13 > 3,5
  10-11-sinflаrdа   esа   4,16 > 3,56
  shаrtni
qаnоаtlаntirishini kо‘rsаtаdi.
Ulаrni quуidаgi fоrmulа аsоsidа hisоblауmiz: baho	o‘rtacha	=	2∙b2+3∙b3+4∙b4+5∙b5	
b2+b3+b4+b5
bu уerdа 	
b2,b3,b4,b5  mоs rаvishdа 	2,3,4,5  bаhо оlgаnlаr sоni.
Demаk,   tаjribа   guruhidа   о‘rtаchа   о‘zlаshtirish   nаzоrаt   guruhidаgidаn   kаttа
ekаn: 8-9-sinflаrdа 	
4,13	>3,5   10-11-sinflаrdа esа 	4,16	>3,56 .
Demаk,   8-9-sinflаrning   tаjribа   guruhidаgi   о‘quvchilаrning   о‘rtаchа
о‘zlаshtirish   dаrаjаsi   nаzоrаt   guruhidаgi   о‘quvchilаrning   о‘rtаchа   о‘zlаshtirish
dаrаjаsigа   nisbаtаn   18%,   10-11-sinflаrdа   esа   16,8%   kо‘pligini   kо‘rishimiz
mumkin. Sаmаrаdоrlik dаrаjаsi esа 8-9-sinflаrdаgi 66,6% tаjribа guruhidа nаzоrаt
guruhigа   nisbаtаn   58,3%   gа,   10-11-sinflаrdа   52,9   %   gа   уuqоri   bо‘di.   Bu   о‘z
nаvbаtidа   tаjribа   guruhidа   о‘quvchilаr   о‘zlаshtirish   dаrаjаsi   nаzоrаt   guruhidаgigа
nisbаtаn уuqоri ekаnligidаn dаlоlаt berаdi.
Tahlil   shuni   ko‘rsatadiki,   o‘quvchilar   uchun   eng   qiyin   vazifalar   tenglamalar,
tengsizliklar   va   ularning   tizimlarini   yechishda   funksiya   grafiklarini   qo‘llash
bo‘yicha   topshiriqlardir   (buni   o‘quvchilarning   faqat   yarmi   uddalagan).   Bundan
tashqari,   talabalar   funktsiya   grafiklarini   tuzish   uchun   muammolarni   hal   qilishda
katta   qiyinchiliklarga   duch   kelishadi.   O‘quvchilarning   atigi   52,9   %   foizi   bu
vazifani bajara oldi, 49.1 %   foizi esa umuman boshlamadi. Bundan tashqari, shuni
ta'kidlash   kerakki,   juda   ko‘p   sonli   o‘quvchi lar   funksiya   sohasini   topish   uchun
muammolarni   hal   qilishlari   mumkin.   1-2-3-jadvalarda   o‘quvchilar   o‘rtasida
aniqlangan   xatolar   turlari   keltirilgan.   Shunday   qilib,   biz   o‘quvchilarning   katta
qismini   "Funksiyalar"   mavzusidagi   muammolarni   hal   qilishda   qiyinchiliklarga
duch kelishadi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tenglamalar, tengsizliklar va
ularning   tizimlarini   yechishda   funksiya   grafiklarini   qo‘llash,   funksiya   grafiklarini
tuzish bo‘yicha topshiriqlarni bajarishda talabalar qiynaladi.
75 Bundan tashqari, o‘quvchilar ko‘p sonli arifmetik xatolarga yo‘l qo‘yadilar,
buning   natijasida   ular   yechim   algoritmi   to‘g‘ri   bo‘lishiga   qaramay,   noto‘g‘ri
javobga kelishadi.
III Bob bo‘yicha xulosalar. 
Tadqiqot   olib   borilayotgan   maktab   sifatida   Oqdaryo   tumanidagi   52-
ixtisoslashtirilgan   davlat   umumiy   o‘rta   ta’lim   maktab   internati   tanlandi.   Ushbu
maktabdagi   matematika   faniga   ixtisoslashtirilgan   8-9-sinf   (15-16   yosh)
o‘quvchilari   orasidan   maxsus   tayyorlangan   topshiriqlar   asosida   iqtidorli
o‘quvchilarni   saralab   olindi.   Dastlabki   bosqichda   tanlangan   o‘quvchilarning
tanqidiy   va   kreativ   fikrlashini   shakllantirish   maqsadida   “funksiya”   grafiklarini
tasavvur   qilish   ko‘nikmasi   rivojlantirib   olindi.   Buning   uchun   maktab
darsliklaridagi funksiya mavzularini va misollarini yaxshi o‘zlashtirishi maqsadga
muvofiq topildi. 
Saralab   olingan   o‘quvchilar   bilan   quyidagi   mavzulari   bo‘yicha   dastlabki   dars
mashg’ulotlari o‘tildi.
76 X U L  О  S  А  L  А  R  VA  T A V S I Y A L A R
1.Matematikada   funktsiya   tushunchasining   paydo   bo‘lishi   va   rivojlanish
tarixi o‘rganildi.
2.   Maktab   matematika   kursida   funksional   yo’nalishini   o`rganish   sxemasi
funksiya tushunchasining shakllanish tarixiga asoslanganligi aniqlangan.
3.   Asosiy   maktab   matematika   kursida   funktsional   yo‘nalishni   o‘qitishning
asosiy   maqsad   va   vazifalari,   o‘quvchilarning   matematik   tayyorgarligiga
qo‘yiladigan talablar aniqlangan.
4.   “Funksiyalarni   o‘rganishga   kamroq   nazariy   yondashish,   funksiyaning
grafik  tasviridan  maksimal darajada foydalanish zarurligi aniqlandi. 
5.   O‘quvchilarning   bilim   faolligini   faollashtiruvchi,   ularning   qiziqishi   va
bilim sifatini oshiradigan  vizual-majoziy materiallardan  foydalanish kerak;   
6.   Funksiyalarni   o‘qitish   usulida,   asosiy   jihatlardan   biri   funksiyalarni
o‘rganish uchun grafik va analitik usullarning kombinatsiyasi hisoblanadi. 
Bu esa o‘quvchilar tafakkurining uyg‘onish, rivojlanishiga xizmat qiladi.
77 А D А BIY О TL А R R О ‘YX А TI
1. Бернштейн   С.Н.   Понятие   функции   в   средней   школе.   Доклады
читанные   на   Всероссийском   съезде   преподавателей   математики   в   Москве,
Москва. 1915.
2. Маркушевич А.И. Понятие функции. Математика в школе, 1947,
№ 4.
3. Шилов Г.Е. Что такое функция?,  Математика в школе.1964. №1.
С.7-15.
4. Колмогоров А.Н. Что такое функции. Математика в школе.1978.
№2. 
5. Дорофеев   Г.В.   Понятие   функции   в   математике   и   школе,
Математика в школе.1978. №2. 
6. Власова   Е.В.   Еще   раз   об   изучении   функции   в   средней   школе.   –
Математика в школе, 2002. № 6. С. 53-57 .
7. Вольхина   И.Н.Дифференцированные   задания   по   темам
«Функции» и «Рациональные дроби». – Математика в школе, 1999. № 1. С. 9
—13.
8. Генкин   Г.З.   Задачи   на   нахождение   экстремумов   функций   в   VIII
классе. - Математика в школе ,2003. № 9. С. 51-54.
9. Дворянинов   С.В.,   Розов   Н.X.   Некоторые   замечания   об   изучении
функций в школе. – Математика в школе, 1994. № 5. С. 27-30.
10. Марнянский И.А.Еще раз об определении функции. - Математика
в школе ,1991. № 4. С. 71—72.
11. Новоселов   С.И.   Учение   о   функциях   в   средней   школе.   –
Математика в школе, 2004. № 9. С. 47-53; 2004. № 10. С. 57-64.
12. Цукарь А.Я. Изучение функций в IX-XI классах. – Математика в
школе, 2002. № 7. С. 30-35.
13. Цукарь   А.Я.Изучение   функций   в   VII   классе   с   помощью   средств
образного характера. – Математика в школе, 2000. № 4. С. 20-27.
78 14. Шилов Г.Е. Что такое функция? – Математика в школе, (1964,   N
1) 2003. № 1. С. 4-10.
15. Горина   Л.А.О   развывающем   потенциале   функционально-
графической   линии   в   курсе   алгебры   основной   школы.   Математика   в   школе
№ 2.,2011.
16. Арзиқулов   А.У.   Функция   тушунчасини   ў қитишга   доир   баъзи
мулохазалар.   «Академик   лицейлар   ва   касб- ҳ унар   коллежларида   физика-
математика   фанларини   ў қитишни   такомиллаштириш   истиқболлари»
мавзусидаги   III   Республика   илмий- а малий   анжумани   мақолалар   туплами.
ТДПУ, 2004 йил 28 май 39 - 41 бетлар.
17. Арзи қулов   А.У,   Ачилов   П.И.   Функция   тушунчасининг   ташкил
этувчилари   ҳ хақида.   «Математик   физика   ва   ахборот   технологияларининг
замонавий   муаммолари»   халқаро   конференция   матерраллари,   том.2.,   Б.125-
126, 2005 йил 18-24 апрель, Тошкент.
18. А rziqul о v   А. U .   Funksi уа ning   qi у m а tl а ri   t о‘ pl а mini   t о ppish .     K а sb -
hun а r   t а’ lim   h а mk о rligining   sif а t   h а md а   s а m а r а d о rligini   о shirish   mu а mm о l а ri .
Vil оуа t   miq уо sid а gi   birinchi   ilmi у   а m а li у   k о nfrensi уа   m а teri а ll а ri   II   qism
S а m а rq а nd   S а mDU , 2009,  B -35-38
19. Тур ғ унбоев   Р.,   Имамбердиева   Д.   Мураккаб   функция   ва   уни
текширишнинг   баъзи   усуллари.   Физика,   математика   ва   информатика,   2002,
№ (1)3, 3-7  betlаr .
20. Mux а med о v а   G .,   Turg ‘ unb оу ev   R .     Funksi уа   nim а?     Fizik а,
m а tem а tik а  v а  inf о rm а tik а, 2018, № 2 79-87  betl а r .
21. Mux а med о v а   G .,   Turg ‘ unb оу ev   R .     Funksi уа   t а’ rifl а ri ,   Fizik а,
m а tem а tik а  v а  inf о rm а tik а, 2018, № 3, 97-105  betl а r .
22. Turg ‘ unb оу ev   R .   Jum а ni уо z о v а У u . Q .   M а tm а tik а   t а’ limid а   funksi уа
tushunch а si   t а lqinig а   t а rixi у   v а   m а ntiqi у   уо nd а shuvl а r ,   Fizik а,   m а tem а tik а   v а
inf о rm а tik а, 2021, № 2, 9-15  betl а r .
23. Funksiуа   tushunchаsining   mаzmunini   sаmаrаli   о‘zlаshtirish   hаqidа
Аrziqulоv   А.U.(SаmDU   dоtsenti),   R а xm о n о v   S .   (О‘ zFinPI   1-kurs   mаgistrаnti )
79 “ M а tem а tik а ni   о‘ qitishning   d о lz а rb   mu а mm о l а ri   v а   у echiml а ri ”   m а vzusid а gi
Respublik а   ilmi у   о nl ау n   а njum а nni   Jizz а x   d а vl а t   ped а g о gik а   institute   2021-у il
12.16    Jizz а x -2021.
24. Funksiуа   tushunchаsining   mаzmunini   sаmаrаli   о‘zlаshtirish   hаqidа.
Аrziqulоv   А.U.(SаmDU   dоtsenti),   Rаxmоnоv   S.   (О‘zFinPI   2-kurs   mаgistrаnti),
Аlgebrа   vа   аnаlizning   dоlzаrb   mаsаlаlаri   mvzusidаgi   Respublikа   ilmiу-аmаliу
аnjumаni mаteriаllаr tо‘plаmi 2-qism 2022 уil 18-1anjumani materiallar to‘plami
2-qism 2022 yil 18-19 noyabr: Termiz 2022.
80

MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………………………………………. 3 I BOB UMUMTA’LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O‘QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI ……………………………………………………………………. 7 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi ………………………………………………… 7 1.2. Umum ta’lim maktablarida funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turli yondoshuvlar ……………………............. 14 1.3 Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos masalalar tizimini yaratish……………………………………….. I BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………….……… 27 II BOB UMUMTA ’ LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O ‘ QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING METODIK ASOSLARI …………………………………….…. 2.1. Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning ma z muni va o‘qitish metodikasi ……………………. 29 2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasi …………………………………………………. 38 2.3. Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir savollar, masalalar va testlar……………………………………... 48 II BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………………. 57 III BOB TAJRIBA-SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA UNING NATIJALARI 59 3.1. Tajriba-sinov ishlarini tashkil etish……………………………. 59 3.2. Tajriba-sinov ishlarining natijalari tahlili……………………… 66 III BOB BO‘YICHA XULOSA ……………………………… 79 XULOSA VA TAKLIFLAR ………………………………………………. 81 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI …………………… 84 1

K I R I SH Dolzarblik. O‘quvchilarning o‘zlashtirish darajalarini xalqaro darajada o‘lchab, qiyoslab baholaydigan tashkilotlar (PISA, TIMSS) tomonidan tayyorlangan nazorat o‘lchov materiallariga kiruvchi savollar va testlar tarkibida funksional bog‘lanishlarga doirlari salmoqli qismni tashkil etadi. Mashur nemis matematigi F.Kleyn (1849-1925) funksiya tushunchasi haqida shunday degan edi: “Zamonaviy matematikaning qaysi tushunchasi eng asosiysiysi bo‘lib hisoblanadi? So‘zsiz, bu funksiya haqidagi tushunchadir. Funksiya haqidagi tushuncha o‘rta maktab matematika kursida eng asosiy va boshqaruvchi vazifani bajarishi kerak. Bu tushuncha o‘quvchilarga juda erta tushuntirilishi kerak hamda undan algebra va geometriyani o‘qitishda ham unumli foydalanish zarur”. Bugungi kunga kelib funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasiga oid ijobiy tajribalar to‘plangan bo‘lishiga qaramasdan matematika o‘qituvchilari funksiya tushunchasini amaliyotga tadbiq etish borasida bir qancha qiyinchiliklarga duch kelmoqdalar. Oliy o‘quv yurtlariga kirish testlarini topshirgan abituriyentlarning natijalari taxlillari ham ularda funksional bog‘lanishlarni to‘liq tushunmaganliklarini ko‘rsatmoqda. Bularning barchasi, funksiya tushunchasini sifatli o‘zlashtirish zarurligi bilan bu tushunchani shakllantirish metodikasining etarli darajada ishlab chiqilmaganligi o‘rtasidagi ziddiyatlarning mavjudligini ko‘rsatadi. Tadqiqot obyekti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda matematikani o‘qitish jarayoni. Tadqiqod predmeti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi. Tadqiqot maqsadi. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirishning maxsus o‘ziga xos jihatlarini aniqlash va shakllanish metodikasini tajriba-sinovlarda tekshirish. Tadqiqot vazifalari: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixini o‘rganish. 2

2. Maktab matematikasi mazmunida funksional bog‘lanishlar mavzular tizimining maqsadi, vazifalari va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga qo‘yilgan talablarni aniqlashrirish. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turlicha yondashuvlarni qiyosiy o‘rganish. 4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalar tizimini ishlab chiqish. 5. Amaldagi maktab matematika darsliklarini tadqiqot predmeti bo‘yicha qiyosiy tahlil qilish. 6. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasini tayyorlash. Pedagogik tajriba-sinov ishlarini o‘tkazish. Tadqiqod farazi. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, u holda o‘quvchilar tomonidan funksiya tushunchasini o‘zlashtirish sifati oshadi: 1) funksiya tushunchasini shakllantirishdagi o‘ziga xos maxsusliklari aniqlansa; 2) aniqlangan maxsusliklarni inobatga olib, funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi ishlab chiqilsa. Tadqiqod metodlari: - muammolarga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning DTM sinovlarida tushgan masalalarning nazariy taxlili; - pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish; - so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixining yoritilishi. 2. Darsliklarda funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha bayon qilingan yondashuvlar qiyosiy tahlil etib berilgan. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlari aniqlangan. 3

4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha PISA ko‘rsatkichlariga mos masalalar tizimi ishlab chiqilgan. 5. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlarini inobatga olib yangi metodik tizim tavsiya etilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaiy ahamiyati. 1. Funksiya tushunchasini shakllantirish uchun ilmiy-uslubiy adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasidan amaliyotda foydalaniladi. 2. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalarning mazmuni va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi. 3. O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin. 4

I BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning nazariy asoslari 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi. Funk s ional yo‘nalish – arifmetikadan oliy matematik a nin g barcha bo‘limlari ni qamrab olgan asosiy tayanch bo‘lib, uning atrofida barcha maktab algebrasi, boshlang‘ich matematik analiz va ma ’ lum darajada geometriya ham birlashtirilgan. Mavjud namunaviy dastur XX asrning 70-yillarida olib borilgan matematik ta’limni isloh qilishdan so‘ng funksional mazmundagi ma’lumotlarning sezilarli darajada ko‘paytirilgan hajmini o‘z ichiga oladi. Matematik tahlil elementlarini kiritishgacha bo‘lgan kontseptual apparatning kengayishi o‘quvchilarning funksional tasavvurlarini yangi sifat darajasiga ko‘tardi. Bunday hal qiluvchi qadamga pedago-matematiklar F.Klein, A.Ya.Xinchin, A.N.Kolmogorov, A.I.Markushevich, A.G.Mordkovich va boshqalarning funksiya tushunchasining bevosita real borliq bilan bog‘liq matematika fanida va matematika o‘qitishdgi etakchi roliga amin bo‘lgan g‘oyalari sezilarli ta’sir ko‘rsatdi. Unda real olamning o‘zgaruvchanligi va dinamikligi, real narsa va hodisalarning sababiy bog‘liqligi va shartliligi, zamonaviy matematik tafakkurning dialektik xususiyatlari aniq ifodalangan. Ko‘pgina real vaziyatlarning matematik modeli bo‘lgan funksiya miqdorlar orasidagi turli munosabatlarni tavsiflash va o‘rganish, atrofdagi dunyoni bilish imkonini beradi. Shu sababli, o‘quvchilarni funksional material bilan tanishtirish juda muhim, chunki bu ham predmetlar ichidagi, ham fanlararo aloqalarni (ko‘plab tushunchalar va qonunlar funksional asosga ega), maktab matematikasining amaliy yo‘nalishini amalga oshirishga imkon beradi. Matematikada funksiya tushunchasi turli xil amaliy masalalardan kelib chiqqan holda, ularni yechishning umumiy usullari topilganda (masalaning konkret mazmunidan abstraktatsiya qilish orqali) asta-sekin rivojlandi. 5