MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI
![MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA
DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH
METODIKASI
MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………………………………….
3
I BOB UMUMTA’LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA
CHUQURLASHTIRIB O‘QITILADIGAN KURSLARIDA
FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING
NAZARIY ASOSLARI
……………………………………………………………………. 7
1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va
rivojlanishi tarixi ………………………………………………… 7
1.2. Umum ta’lim maktablarida funksiya tushunchasini
shakllantirishdagi turli yondoshuvlar …………………….............
14
1.3 Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos
masalalar tizimini yaratish………………………………………..
I BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………….………
27
II BOB UMUMTA ’ LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA
CHUQURLASHTIRIB O ‘ QITILADIGAN KURSLARIDA
FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING
METODIK ASOSLARI …………………………………….….
2.1. Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning
ma z muni va o‘qitish metodikasi ……………………. 29
2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning
metodik loyihasi ………………………………………………….
38
2.3. Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir
savollar, masalalar va testlar……………………………………... 48
II BOB BO‘YICHA XULOSA ……………………………….
57
III BOB TAJRIBA-SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA
UNING NATIJALARI 59
3.1. Tajriba-sinov ishlarini tashkil etish…………………………….
59
3.2. Tajriba-sinov ishlarining natijalari tahlili………………………
66
III BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………………
79
XULOSA VA TAKLIFLAR ……………………………………………….
81
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ……………………
84
1](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_1.png)
![K I R I SH
Dolzarblik. O‘quvchilarning o‘zlashtirish darajalarini xalqaro darajada
o‘lchab, qiyoslab baholaydigan tashkilotlar (PISA, TIMSS) tomonidan
tayyorlangan nazorat o‘lchov materiallariga kiruvchi savollar va testlar tarkibida
funksional bog‘lanishlarga doirlari salmoqli qismni tashkil etadi. Mashur nemis
matematigi F.Kleyn (1849-1925) funksiya tushunchasi haqida shunday degan
edi: “Zamonaviy matematikaning qaysi tushunchasi eng asosiysiysi bo‘lib
hisoblanadi? So‘zsiz, bu funksiya haqidagi tushunchadir. Funksiya haqidagi
tushuncha o‘rta maktab matematika kursida eng asosiy va boshqaruvchi vazifani
bajarishi kerak. Bu tushuncha o‘quvchilarga juda erta tushuntirilishi kerak
hamda undan algebra va geometriyani o‘qitishda ham unumli foydalanish zarur”.
Bugungi kunga kelib funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasiga oid
ijobiy tajribalar to‘plangan bo‘lishiga qaramasdan matematika o‘qituvchilari
funksiya tushunchasini amaliyotga tadbiq etish borasida bir qancha
qiyinchiliklarga duch kelmoqdalar. Oliy o‘quv yurtlariga kirish testlarini
topshirgan abituriyentlarning natijalari taxlillari ham ularda funksional
bog‘lanishlarni to‘liq tushunmaganliklarini ko‘rsatmoqda. Bularning barchasi,
funksiya tushunchasini sifatli o‘zlashtirish zarurligi bilan bu tushunchani
shakllantirish metodikasining etarli darajada ishlab chiqilmaganligi o‘rtasidagi
ziddiyatlarning mavjudligini ko‘rsatadi.
Tadqiqot obyekti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan
makrablarda matematikani o‘qitish jarayoni.
Tadqiqod predmeti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan
makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi.
Tadqiqot maqsadi. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan
makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirishning maxsus o‘ziga xos
jihatlarini aniqlash va shakllanish metodikasini tajriba-sinovlarda tekshirish.
Tadqiqot vazifalari: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va
rivojlanish tarixini o‘rganish.
2](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_2.png)
![2. Maktab matematikasi mazmunida funksional bog‘lanishlar mavzular
tizimining maqsadi, vazifalari va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga
qo‘yilgan talablarni aniqlashrirish.
3. Funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turlicha yondashuvlarni
qiyosiy o‘rganish.
4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalar tizimini
ishlab chiqish.
5. Amaldagi maktab matematika darsliklarini tadqiqot predmeti bo‘yicha
qiyosiy tahlil qilish.
6. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning
metodik loyihasini tayyorlash.
Pedagogik tajriba-sinov ishlarini o‘tkazish.
Tadqiqod farazi. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, u holda o‘quvchilar
tomonidan funksiya tushunchasini o‘zlashtirish sifati oshadi:
1) funksiya tushunchasini shakllantirishdagi o‘ziga xos maxsusliklari
aniqlansa;
2) aniqlangan maxsusliklarni inobatga olib, funksiya tushunchasini
shakllantirish metodikasi ishlab chiqilsa.
Tadqiqod metodlari:
- muammolarga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning
DTM sinovlarida tushgan masalalarning nazariy taxlili;
- pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish;
- so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi:
1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixining
yoritilishi.
2. Darsliklarda funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha bayon
qilingan yondashuvlar qiyosiy tahlil etib berilgan.
3. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlari
aniqlangan.
3](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_3.png)
![4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha PISA ko‘rsatkichlariga
mos masalalar tizimi ishlab chiqilgan.
5. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlarini
inobatga olib yangi metodik tizim tavsiya etilgan.
Tadqiqot natijalarining nazariy va amaiy ahamiyati.
1. Funksiya tushunchasini shakllantirish uchun ilmiy-uslubiy
adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasidan amaliyotda foydalaniladi.
2. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalarning mazmuni
va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi.
3. O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish
mumkin.
4](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_4.png)
![I BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib
o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning nazariy
asoslari
1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi
tarixi.
Funk s ional yo‘nalish – arifmetikadan oliy matematik a nin g barcha
bo‘limlari ni qamrab olgan asosiy tayanch bo‘lib, uning atrofida barcha maktab
algebrasi, boshlang‘ich matematik analiz va ma ’ lum darajada geometriya ham
birlashtirilgan.
Mavjud namunaviy dastur XX asrning 70-yillarida olib borilgan matematik
ta’limni isloh qilishdan so‘ng funksional mazmundagi ma’lumotlarning sezilarli
darajada ko‘paytirilgan hajmini o‘z ichiga oladi. Matematik tahlil elementlarini
kiritishgacha bo‘lgan kontseptual apparatning kengayishi o‘quvchilarning
funksional tasavvurlarini yangi sifat darajasiga ko‘tardi. Bunday hal qiluvchi
qadamga pedago-matematiklar F.Klein, A.Ya.Xinchin, A.N.Kolmogorov,
A.I.Markushevich, A.G.Mordkovich va boshqalarning funksiya tushunchasining
bevosita real borliq bilan bog‘liq matematika fanida va matematika o‘qitishdgi
etakchi roliga amin bo‘lgan g‘oyalari sezilarli ta’sir ko‘rsatdi. Unda real olamning
o‘zgaruvchanligi va dinamikligi, real narsa va hodisalarning sababiy bog‘liqligi va
shartliligi, zamonaviy matematik tafakkurning dialektik xususiyatlari aniq
ifodalangan. Ko‘pgina real vaziyatlarning matematik modeli bo‘lgan funksiya
miqdorlar orasidagi turli munosabatlarni tavsiflash va o‘rganish, atrofdagi dunyoni
bilish imkonini beradi. Shu sababli, o‘quvchilarni funksional material bilan
tanishtirish juda muhim, chunki bu ham predmetlar ichidagi, ham fanlararo
aloqalarni (ko‘plab tushunchalar va qonunlar funksional asosga ega), maktab
matematikasining amaliy yo‘nalishini amalga oshirishga imkon beradi.
Matematikada funksiya tushunchasi turli xil amaliy masalalardan kelib
chiqqan holda, ularni yechishning umumiy usullari topilganda (masalaning konkret
mazmunidan abstraktatsiya qilish orqali) asta-sekin rivojlandi.
5](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_5.png)
![Bu erda boshlang‘ich nuqta bo‘lib o‘zgaruvchi miqdor tushunchasi bo‘lgan
edi. Funksiya tushunchasining mazmuni matematika rivojlanishi jarayonida ishlab
chiqilgan va boyitilgan, qayta kiritilgan ta’riflar bo‘yicha ko‘plab bahs-
munozaralar mavjud bo‘lgan. Va hozir ham matematika tushunchaning yakuniy,
oxirgi ta’rifini topdi, deb aytish mumkin emas.
Funksiya tushunchasi uzoq rivojlanish yo‘lini bosib o‘tgan va o‘z tarixiga
ega. Miqdorlarning funksional bog‘lanishi g‘oyasi qadimgi davrlarga borib taqalsa
ham, funksiyaning umumiy tushunchasiga ehtiyoj faqat XVII-asrda o‘zgaruvchilar
g‘oyasining paydo bo‘lishi munosabati bilan paydo bo‘lgan, shu bilan
matematikaga vaqt o‘tishi bilan kuzatiladigan harakat, o‘zgarish, jarayonlar kirib
keldi. Dastlabki talqini geometrik yoki mexanik ko‘rinishda edi: butunlay ixtiyoriy
egri chiziqlar nuqtalarining ordinatalari–abscissalarning funksiyalari, yo‘l va
tezlik-vaqtning funksiyalari (P.Ferma, R.Dekart, I.Nyuton, G.Leybnits). Bu davrda
G.Leybnis “funksiya” (1673), “o‘zgaruvchan”, “o‘zgarmas” (1698) atamalarini
kiritdi. “Funksiya” atamasi lotincha “amalga oshirish”, “bajarish” degan ma’noni
anglatadi. Asta-sekin funksiyani talqini dastlabki g‘oyalardan xalos bo‘la boshladi
va analitik usul-funksiyani formula bilan aynanlashtirish hukmronlik qila boshladi
(I.Bernulli, L.Eyler). 1718-yilda I.Bernulli funksiyaning birinchi aniq ta’rifini
bergan bo‘lsa , L.Eyler 1734-yilda y=f(x) belgilashni kiritgan . Taxminan XIX-
asrning o‘rtalarida funksiya tushunchasi formulaning yakka hukmronligidan xalos
bo‘ldi va yangi ta’rif klassik, zamonaviyga yaqin deb ataladigan moslik g‘oyasiga
(N.I.Lobachevskiy, L.Dirixle) qaratilgan. To‘plamlarning umumiy nazariyasi
yaratilgandan so‘ng, moslik g‘oyasi to‘plam g‘oyasi bilan to‘ldirildi, bu funksiyani
nafaqat sonli to‘plamlar uchun, balki ixtiyoriy tabiatdagi obyektlarda ham ko‘rib
chiqish imkonini berdi. XIX asr oxirida funksiya tushunchasini rivojlantirilib,
akslantirish tushunchasi shakllandi. XX asrda fizikaning ehtiyojlari bilan bog‘liq
holda, funksiya haqidagi dastlabki g‘oyalardan tashqi ko‘rinishi bilan juda farq
qiladigan "umumlashgan funksiyalar" (L.Shvars, S.L.Sobolev) paydo bo‘ldi.
Funksiya tushunchasi rivojlanish misolidan foydalanib o‘quvchilarni muhim
falsafiy kategoriyalar-sabab va oqibatning namoyon bo‘lish bilan tanishtirish
6](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_6.png)
![mumkin.Funksiya tushunchasi bilan umumiy funksional tushunchalarning ma’lum
bir tizimi bilan bog‘liq (sonli funksiya, aniqlanish va o‘zgarish sohalari, berilish
usullari, grafik, o‘sish va kamayish, juft va toqlik, funksiyaning nollari (ildizlari),
ishorasining o‘zgarmasligi, monotonlik, ekstremumlar, davriylik, teskari va
murakkab funksiyalar, uzluksizlik yoki uzilish, argument va funksiyaning
orttirmasi, differensialanuvchanlik, integrallanuvchanlik va boshqalar). Sanab
o‘tilgan tushunchalarning ko‘pchiligi funksiya xossasi ham, funksiyaning alohida
turi nomi deb ham ataladi. Masalan, trigonometrik funksiyalardan birining
davriylik xossasi ayni paytda uning shu xossa bilan ajralib turuvchi davriy
funksiyalar turiga mansubligini ko‘rsatadi.
Funksional yo‘nalishda muhim o‘rin elementar (oddiy degani emas) deb
ataladigan, keng qo‘llanlishi sohasiga ega bo‘lgan funksiyalar sinfini chuqur
o‘rganishga beriladi. XVII-asrgacha yaxshi o‘rganilib bo‘lgan elementar
funksiyalar ko‘phadlar, ratsional va irratsional funksiyalar, ko‘rsatkichli,
logarifmik, trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalarni o‘z ichiga oladi.
Ushbu funksiyalar to‘plami asosiy arifmetik amallar (qo‘shish, ayirish,
ko‘paytirish, bo‘lish), algebraik amallar (butun darajaga ko‘tarish, ildizdan
chiqarish) va transendent amallar (irrasional darajaga ko‘tarish, logarifmlash,
trigonometrik, modul), uzluksizlik tushunchasi va geometrik almashtirishlar bilan
chambarchas bog‘liq bu o‘z navbatida funksional yo‘nalishni boshqa mazmunli-
uslubiy yo‘nalishlar o‘rtasida bog‘lanishlarni o‘rnatishga imkon beradi. Elementar
funksiyalarning tasnifi quyidagicha ifodalanishi mumkin: Ketirilgan tasnif u yoki
bu funksiyani “tashqi belgisi” bo‘yicha, ya’ni amalga oshirilayotgan amallarga
bog‘liq ravishda ma’lum bir sinfga kiritadi. Biroq, transsendent amallarni o‘z
ichiga olgan formula bilan berilgan har qanday funksiya transsendent emas.
Demak, masalan, funksiya transsendent bo‘lmasa, uning moslik qonuni algebraik
amallar yordamida ifodalanishi mumkin: y = 2 + x 2
. "Transendent" so‘zi lotincha
transendens so‘zidan olingan bo‘lib, biror narsa chegrasidan chiqib ketish, oshib
ketish ma’nosini bildiradi. Transsendent funksiyalar algebraik funksiyalar
to‘plamidan tashqariga chiqadi. Elementar funksiyalar sinfiga ularning arifmetik
7](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_7.png)
![amallar yordamida olingan turli kombinatsiyalari ham kiradi. Biroq, maktab
kursida funksiyalar bilan bunday amallarning ta’riflari yo‘q. Sonli funksiyalar
bilan arifmetik amallar hali ham bilvosita kuzatilmoqda (grafiklarni yasashda,
ba’zi ta’riflarda, masalan, yig‘indining hosilasi va boshqalarda).
Funksiyadan funksiyani hosil qilish (murakkab funksiya) amali yordamida
asosiy elementar funksiyalar ham o‘zaro bog‘lanishi mumkin. Bunda biz murakkab
funksiya yoki funksiyalar kompozisiyasi tushunchasiga kelamiz. Ikkita y=f ( z ) va
z=g ( x ) , funksiyalar berilgan bo‘lsin u holda y=f ( g ( x )) funksiya berilgan ikkita
funksiyaning kompozitsiyasi yoki ulardan tuzilgan murakkab funksiya deyiladi.
z=g ( x ) funksiya oraliq argument, x – asosiy argument deyiladi.
Funksiyalar kompozisiyasi bu funksiyalarni ma’lum bir tartibda ketma-ket
qo‘llash natijasidir. Funksiyalar kompozisiyasini yozish uchun ko‘pincha "o"
belgisi ishlatiladi va ular h=f o g deb yozadilar g, ya’ni h funksiyasi f va g
funksiyalar kompozisiyasi sifatida olingan ( avval g , keyin f ni qo‘llaniladi ).
Ma’lumki, agar z – x ning, y – z ning funksiyasi bo‘lsa, u holda y ni – x ning
murakkab funksiyasi sifatida qarash mumkin. Masalan, √1− x2 funksiyani z=1− x2
va
y= √z funksiyalar kompozisiyasi sifatida qaralishi mumkin Murakkab
funksiyaning bunday berilishi zanjirli berilishi deb ham ataladi. Bunday holda,
funksiyalar zanjiri ularning istalgan sonidan iborat bo‘lishi mumkin.
z = x 2
+ 2 va
y= √1− z
funksiyalaridan murakkab funksiya hosil qilish mumkin emas, ya’ni √ 1 − z
haqiqiy sonlar to‘plamida mavjud emas, chunki hech qanday x soniga mos
keladigan y soni mavjud emas. Shuning uchun, murakkab funksiyalarni ko‘rib
chiqishda, tarkibiy funksiyalarning aniqlash sohalarinihisobga olish lozim.
Funksiya tushunchasi bilan teskari funksiya tushunchasi va berilgan
funksiyaning teskari funksiyasi bor-yo‘qligini aniqlash, agar mavjud bo‘lsa, uni
qanday topish ko‘nikmalari chambarchas bog‘liq. Matematikada "teskari" so‘zi
ko‘p qo‘llaniladi: teskari son, teskari kasr, teskari amal, teskari teorema, o‘zaro
teskari sonlar (teoremalar), o‘zaro teskari nisbatlar (2:3 va 3:2) va boshqalar.
"Teskari funksiya" tushunchasining ma’nosi nima. M.I.Bashmakovning (9-sinf)
darsligida quyidagi ta’rif berilgan f funksiyasi uchun teskari funksiya deb shunday
8](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_8.png)
![g funksiyaga aytiladiki, u har bir y soniga ( f funksiya qiymatlar sohasidan) shunday
x sonni mos qo‘yadiki, uning uchun f ( x ) =y tenglik bajariladi". Agar y=f ( x )
funksiya teskari funksiyaga ega bo‘lsa (ba’zan u x=f − 1
( y ) bilan belgilanadi) , u
holda f ( x ) teskarilanuvchi deyiladi, y=f ( x ) va x=f−1 ( y ) funksiyalar – o‘zaro teskari
funksiyalar deyiladi. Masalan, y=kx va x= y
k ( k ≠ 0) ,
y = x 3
va
x= 3√y o‘zaro teskari
funksiyalar.
Mavjud algebra darsliklarida bo‘lakli funksiyalarga, ya’ni aniqlanish
sohasining turli oraliqlarida turli formulalar bilan berilgan funksiyalarga misollar
keltirilgan. Bunday funksiyalarning grafiklari o‘quvchilarga ma’lum bo‘lgan
funksiyalarning alohida "bo‘laklari" dan iborat bo‘lib, yaxlit tasvirni yaratadi va bu
ularning nomlanishga asos bo‘lib xizmat qilgan. Ko‘pgina hollarda, bo‘lakli
funksiyalar haqiqiy vaziyatlarning matematik modellari hisoblanadi. Bunday
funksiyalar faqat XIX-asrning o‘rtalarida, ya’ni funksiyaning ta’rifi
aniqlashtirilgandan boshlab qarala boshlandi. Ulardan ba’zilari o‘z nomlari va
belgilanishlariga ega: modul ( │x│ ), ishora (sign x ), butun qism ([ x ]), kasr qism
({ x }), Dirixle funksiyasi ( D ( x ) ). Ushbu turdagi funksiyalar elementar funksiyalar
deb hisoblanmaydi
Nazariya bilan bog‘liq oxirgi muhim savol: qanday funksiyalar teng
deyiladi? Ikki y=f ( x ) va y=g ( x ) funksiyalar berilgan bo‘lsin , ular teng bo‘ladi, agar
ular bir xil aniqlanish sohasiga ega bo‘lsa va aniqlanish sohasidagi istalgan x=a
uchun f ( a ) =g ( a ) tenglik o‘rinli bo‘lsa. B unday funksiyalar aynan teng, bir xil deb
ham ataladi.
Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari, qo‘llanilishini tizimli o‘rganish
7-9-sinflar algebra kursida boshlanib, so‘ngra 10-11-sinflar algebra va analiz
asoslari kursida davom ettiriladi, asosan sonli funksiyalar, ya’ni sonli to‘plamda
berilgan va shu sonli to‘plamdan qiymatlarni qabul qiladigan funksiyalar
o‘rganiladi. Sonli funksiyalar ham o‘rganish obyekti, ham "matematik analiz" ning
barcha asosiy tushunchalari quriadigan bevosita muhitdir. Maktabda ular, asosan,
elementar funksiyalarni o‘rganish va qo‘shni fanlarda differentsial va integral
9](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_9.png)
![hisob asoslarini qo‘llash uchun apparat sifatida analiz asoslarini o‘rganish bilan
cheklaniladi. O‘quvchilar funksiyaning aniqlanish sohasida (global yondashuv) va
konkret nuqta yaqinidagi (lokal yondashuv) o‘zgarishini tahlil qilish bilan
tanishadilar. Funksional materialning zamonaviy mazmuni o‘quvchilarga
funksiyalarni algebra (elementar vositalar) vositalari ham, matematik tahlil (hosila
tushunchasini kiritish yordamida) vositalari orqali ham tekshirish bilan tanishishga;
ikkinchisining afzalliklariga, ya’ni funksiyalarning keng sinfini o‘rganishga va
natija olish jarayonini soddalashtirishga ishonch hosil qilishga imkon beradi.
Analizning asoslari XVII-XVIII asrlarda I.Nyuton va G.Leybnislar
tomonidan ishlab chiqilgan, L.Eyler funksiyani uning markaziy tushunchasi deb
e’lon qilgan. I.Nyuton uzluksiz harakatda ikkita kattalik o‘rtasidagi bog‘lanishni
tasvirlashning umumiy usulini kashf etdi: tezlik yo‘lning hosilasi, yo‘l esa
tezlikning integralidir. Klassik masala bo‘lib G.Leybnis tomonidan yechilgan egri
chiziqqa urinma o‘tkazish haqidagi masalasi hisoblanadi. XIX asrning birinchi
uchdan birida O.Koshi analiz lni qurish uchun qat’iy mantiqiy asosni yaratdi.
Funksiyaning uzluksizligi, hosila va integralning zamonaviy ta’riflarida limit
tushunchasidan foydalaniladi. Ikkinchi avlod standartlarida butun funksional blok
L.Eylerning taniqli g‘oyasini ta’kidlab, "Matematik tahlil" yoki "Funksiya"
mazmunli bo‘limlariga kiritilgan. An’anaga ko‘ra, dastlab u "algebra" faniga
kiritilgan. Shunday qilib, funksiya matematik obyekt sifatida algebra va matematik
analiz vositalari yordamida o‘rganiladi. “Progressiya” (9-sinf) mavzusini ketma-
ketlikni natural argument funksiyasi sifatida hisobga olgan holda funksional
yo‘nalishga kiritish zarur. Funksional g‘oyadan kombinatorikani o‘rganishda ham
foydalanish mumkin. Amaldagi 7–9-sinflar uchun algebra, 10–11-sinflarda algebra
va anaiz asoslari bo‘yicha darsliklarida funksional material taqdimotining
tuzilishini quyidagi sxema orqali ko‘rsatish mumkin: Funksional materialni
muvaffaqiyatli o‘rganishga boshlang‘ich maktabda va 5-6-sinflarda o‘tkazilishi
kerak bo‘lgan tegishli propedevtika ham yordam beradi. Bu sinflarda matematikani
o‘rganish faktlarning miqdoriy to‘planishini va faoliyatning o‘ziga xos usullarini
10](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_10.png)
![ta’minlashi kerak, buning asosida funksiya tushunchasi va uning konkret turlarini
o‘rganishda keskin sifat o‘zgarish (sakrash) mumkin bo‘ladi.
1.2. Maktab ta’limida funksiyaning umumiy tushunchasini aniqlashga turli
yondashuvlar
Matematika o‘qitish metodikasi funksiya tushunchasini talqin qilishda uning
rivojlanishidagi alohida tarixiy bosqichlarni aks ettiruvchi ikkita asosiy yo‘nalish
mavjud: klassik (an’anaviy) va zamonaviy (nazariy-to‘plam tushunchasiga
asoslangan). Har bir yo‘nalish doirasida aniqlovchi (turdosh) tushuncha va tegishli
atamalarni tanlashda farq qiluvchi bir nechta yondashuvlar mavjud.
Yo‘nalishlardagi funksiyani ta’riflashga turli yondashuvlarini sxemada
quyidagicha ko‘rsatish mumkin: Zamonaviy yo‘nalishda yana bir yondashuv
mavjud bo‘lib, unga ko‘ra ta’rif funksiya tushunchasiga emas, balki faqat
funksional holatga beriladi. Bunday ta’rif uchun" u holda to‘plamda funksiya
berilgan" iborasi xarakterli hisoblanadi, A.N.Kolmogorov o‘z vaqtida funksiya
tushunchasini ta’riflanmaydigan tushunchalarga kiritishni tavsiya qilgan (uning
Kvant jurnalidagi maqolasiga qarang, 1970, №1,2). M.I.Bashmakov «ma’lum
ma’noda funksiya tushunchasi aniqlanmagan boshlang‘ich tushunchalarga yaqin
bo‘lgan asosiy tushunchalardan biridir» deb hisoblaydi [2, b. 133].
A.G.Mordkovich "funksiyaning birinchi paydo bo‘lishidagi rasmiy ta’rifni" rad
etadi va "funksional vaziyatning tushuntirish tavsifi" bilan cheklanadi.
Yuqorida aytilganlarning barchasi o‘rta maktab uchun funksiyaning optimal
ta’rifi masalasi hali ham dolzarb ekanligi haqidagi fikrni tasdiqlaydi. Muammoning
murakkabligi allaqachon algebra bo‘yicha mavjud bo‘lgan barcha darsliklarda
funksiyalarning ta’riflari mualliflarning yondashuvlari va uslubiy mulohazalaridan
birini aks ettiruvchi turli formulalar bilan berilganligidan dalolat beradi. Funksiya
yoki funksional vaziyatning ta’riflari o‘rta maktabda ham farqlanadi. Ikkita algebra
darsligida (M.I.Bashmakova; G.V.Dorofeyeva va boshqalar) o‘quvchilarga
matematikada funksiyaning ta’rifi bir necha usulda berilishi mumkinligi to‘g‘risida
aniq ma’lumot beriladi va atama (so‘z) ga turli xil izohlar beriladi. Ushbu ijobiy
11](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_11.png)
![jihat o‘quvchilar o‘rtasida u yoki bu ma’no variantni afzal ko‘radigan turli xil
kitoblarni o‘qishda yuzaga keladigan tushunmovchiliklarni bartaraf etishi mumkin.
Funksiya ta’riflarining turlicha ifodalanishiga qaramay, ulardagi umumiy
fikrlarni ajratib ko‘rsatish mumkin:
1) "funksiya" atamasi bo‘yicha sonli funksiyalarni tushuniladi (ular
maktabda o‘rganish obyekti hisoblanadi);
2) "o‘zgaruvchan" atamasi turli xil o‘zgaruvchan miqdorlarni umumiy
belgilash uchun ishlatiladi (funksiyaning o‘zgaruvchanligi belgisi);
3) ikkita teng bo‘lmagan o‘zgaruvchilarning bir vaqtning o‘zida mavjudligi
ta’kidlanadi( x va y );
4) funksiyaning asosiy xarakterli belgisi - bir qiymatlilik aniq ajratilgan
(maktabda faqat bir qiymatli funksiyalar o‘rganiladi);
5) funksiyani berilishining hech qanday usuli haqida gapirilmaydi (bu
o‘rganish uchun alohida masala hisoblanadi).
Shuni ta’kidlaymizki, x va y larni aniqroq leksik qarama-qarshi qo‘yish
uchun ular mos ravishda erkli va erksiz o‘zgaruvchilar deb ataladi; funksiyaning
ta’rifi x o‘zgaruvchining barcha qiymatlariga faqat va faqt bitta son mos
qo‘yiladigan holatni istisno qilmaydi (bu holda funksiya doimiy yoki konstanta
deb ataladi). Yana shuni ta’kidlaymizki, hozirda asosiy maktabda qabul qilingan
ta’riflar klassik yo‘nalishning zamonaviylashtirilgan variantidir. Ular funksiyalar
bilan birlamchi tanishish uchun pedagogik jihatdan mos keladi: o‘quuvchilarning
odatdagi tasavvurlariga yaqinroq, mavjud propedevtikani hisobga olgan holda, ular
fan tarixida bo‘lgani kabi, o‘zgaruvchan jarayonlarni tavsiflash va o‘rganish uchun
kuchli vositani taqdim etadi.
O‘tgan asr 70-yillarida algebra darsliklarida qo‘llanilgan moslik (munosabat,
akslantirish tushunchasi orqali funksiyaning sof to‘plam-nazariy ta’rifini (ko‘proq
rasmiy) rad etish, uning bir qator psixologik va pedagogik kamchiliklarini hisobga
olgan holda oqlangan deb hisoblanadi (G.V.Dorofeyevning "Математика в
школе" jurnali, 1978-yil, 2-son maqolasiga qarang). Biroq, yuqori sinflarda
(ayniqsa, ixtisoslashtirilgan sinflarda) funksiya tushunchasini qayta o‘rganish, agar
12](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_12.png)
![o‘quvchilar uning mazmun darajasida tushunchaga ega bo‘lgan bo‘lsalar va
ularning umumiy mantiqiy rivojlanishi ancha yuqori bo‘lsa, to‘plamlarni ko‘rib
chiqishga imkon beruvchi umumiyroq zamonaviy ta’rif bilan tanishtirish maqsadga
muvofiqdir.
Funksiya tushunchasini kiritish
Funksiya tushunchasi – funksional-grafik yo‘nalishda markaziy o‘rinni
egallaydi. Algebra kursi tarkibiga ta’rifning kiritilish o‘rni haqida turlicha fikrlar
mavjud. Ba’zilar tushunchaning birinchi paydo bo‘lishida darhol ta’rif berish
mantiqiyroq deb hisoblashadi, chunki asosiy belgilarini ajratadigan aniq formulasiz
funksiya tushunchasi haqida aniq tasvvurni shakllantirish qiyin. Boshqalar esa,
formal ta’rifni faqat o‘quvchilar konkret funksiyalar bilan ishlash bo‘yicha etarli
tajribaga ega bo‘lganlarida va birinchi navbatda yodlashni talab qilmaydigan tavsif
bilan cheklangan holda kiritishni taklif qilishadi. Ammo hamma asosiy maktabda
funksiyani yoki funksional vaziyatni ta’riflash zarurligiga ishonch hosil qiladilar.
Biroq ta’riflar bir-biridan farq qiladi. Funksiyani ta’riflashda ishlatiladigan
umumiy tushuncha va tegishli atamalar o‘quvchilar uchun tushunarli bo‘lishi kerak
va o‘rganishning ushbu bosqichida dastlabki noqulay mulohazalarni talab qilmaydi
deb hisoblanadi. Ta’rifda keltirilgan ma’lumotlar nafaqat ilmiy, balki
o‘quvchilarning yosh xususiyatlariga ham mos kelishi kerak. Ikkinchisi
Yu.N.Makarichev va boshqalar (1970) darsligida 6-sinfda (hozir u 7-sinf) funksiya
tushunchasining nazariy-to‘plam talqinida buzilgan ta’riflanadigan (tayanch)
tushuncha va atamalarning ma’nosi propedevtik bosqichda oldingi tajribaga
asoslanib, formal ta’riflarsiz, aniq misollar yordamida ochib beriladi.
O‘qituvchi mualliflarning darslikda qabul qilingan belgilashlarga nisbatan
nuqtai nazariga amal qilishi kerak, chunki belgilashlarda nomuvofiqliklar mavjud.
Funksiya yoki funksional vaziyatning ta’rifi matnini diqqat bilan o‘qib chiqish,
so‘ngra o‘quvchilarning asosiy tushunchalarni, atamalarni, so‘ngra funksiya haqida
umumiy tushunchalarni o‘zlashtirishdagi faoliyatini tashkil etish zarur. Matematik
atamalarning kundalik ma’nosiga, kelib chiqishi va lotin yoki yunon tilidan
13](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_13.png)
![tarjimasiga e’tibor berish lozim. Yu.N.Makarichev va boshqalarning 7-sinf algebra
darsligi bo‘yicha funksiyaning umumiy tushunchasini kiritish usuliga to‘xtalib
o‘tamiz, bunda funksiya bir o‘zgaruvchining ikkinchisiga bog‘liqligining maxsus
turi sifatida qaraladi. "Bog‘lanish" atamasi o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi munosabat
sifatida qaraladi. Bu nuqtai nazar boy tarixiy ildizlarga ega, ilovalar bilan
chambarchas bog‘liq bo‘lib, grafiklar tilidan to‘liqroq foydalanish imkonini beradi.
Bundan tashqari, o‘quvchilar miqdorlar orasidagi bog‘lanish tushunchasini
qo‘llashda yetarlicha tajribaga ega. Shuning uchun funksiya tushunchasi bilan
tanishishda o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi ilgari uchragan uch-to‘rtta bog‘lanishni
ko‘rib chiqqan va tahlil qilgan, formula, grafik va jadval bilan berilgan, "erkli
o‘zgaruvchi", "erksiz o‘zgaruvchi" atamalari mazmunini ochib beradigan evristik
suhbat bilan induktiv usulni tanlash tavsiya etiladi. (Darslikda miqdorlar
o‘zgaruvchi sifatida qaraladigan harakatga, kvadratning yuzi, yo‘l haqi, harorat
grafigiga doir to‘rtta masala taklif qilinadi). Shu bilan birga, erkli o‘zgaruvchining
har bir qiymatiga erksiz o‘zgaruvchining bitta qiymatiga mos kelishini
ta’kidlanadi. Bir o‘zgaruvchining boshqasiga bunday bog‘lanishi funksional
bog‘lanishi yoki funksiya deb ataladi deb ma’lumot beriladi. Bunday tayyorgarlik
ishlaridan so‘ng ta’rifni, so‘ngra "argument", "funksiya aniqlanish sohasi”,
"argument va funksiya qiymatlari" atamalarini kiritish mumkin.
Shuni ta’kidlash kerakki, darslikdagi "funksiya" atamasi ikki ma’noda
qo‘llaniladi: ikkita o‘zgaruvchi o‘rtasidagi munosabatlarning maxsus turi va erkli
o‘zgaruvchining o‘zi. O‘quvchilar "kvadratning yuzi uning tomoni uzunligi
funksiyasi", "kvadrat yuzasining uning tomoni uzunligiga bog‘lanishi funksional
bog‘lanishdir" kabi iboralar bilan tanish bo‘lishi kerak. Shu kabilarga alohida
e’tibor qaratish lozimki ta’rif matnida "mos keladi" so‘zi funksional bog‘lanishni
(funksiyani) ifodalash shakli haqida emas, shuning uchun o‘quvchilarga kirish
masalalarida ko‘rsatilgan (lekin nomlanmagan) funksiya berilishining - formula,
jadval, grafik turli xil usullar haqida tushuncha berish kerak. Keyin funksiya
grafigining ta’rifi koordinata tekisligining barcha nuqtalari to‘plami sifatida
shakllantiriladi, ularning abscissalari argument qiymatlariga, ordinatalari esa mos
14](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_14.png)
![funksiyaning qiymatlarga teng bo‘ladi. O‘quvchilar istalgan berilishi usulida
argument qiymati bo‘yicha funksiya qiymatini topishgava teskari masalani
yechishga, funksiyani berilishining bir usulidan boshqasiga o‘tishni (agar iloji
bo‘lsa) o‘rganadilar. Funksiyani berilishining yuqoridagi usullarining har biri
ma’lum kamchiliklarga ega (qaysi biri?), shuning uchun amalda ularning bir
nechtasi bir vaqtning o‘zida qo‘llaniladi. O‘quvchilar nutqida “ y= 2 x+ 5 formula
bilan berilgan funksiya ” to‘g‘ri iborasi o‘riniga y= 2 x+ 5 funksiya” iborasi
ishlatilishiga o‘rniga yo‘l qo‘ymaslik lozim, chunki bu funksiyani formula bilan
noto‘g‘ri aynanlashtirishiga olib keladi. O‘qituvchi bu tushunchalar orasidagi
farqni doimo ta’kidlab turishi kerak. O‘quvchilar funksiyani formula bo‘yicha
aniqlashda erkli o‘zgaruvchining qiymatlari sohasini ko‘rsatish kerakligiga e’tibor
berishlari kerak. Bu bosqichda real bog‘lanishlarning grafiklarini qurish va o‘qish,
nuqtaning grafikga tegishli yoki tegishli emasligini aniqlash, konkret
bog‘lanishlarni tushuncha keltirish bo‘yicha topshiriqlarni bajarish ko‘nikmasini
shakllantirish bo‘yicha ishlar davom ettiriladi. Masalan, tekis harakatda yo‘lning
vaqtga bog‘liqligi nima uchun unktsiya bo‘ladi degan savolni muhokama qilish
mumkin. Bu bir vaqtning o‘zida jismning bosib o‘tgan yo‘li ikkita qiymatga ega
bo‘lmasligi ma’nosida funksiyadir.
Darslikning so‘nggi nashrlarida mualliflar ko‘proq bilishni istaganlar uchun
"Funksiyani bir nechta formulalar bilan berish" qo‘shimcha bandini
kiritganlar.Funksiyaning umumiy tushunchasi va funksiya grafigini o‘rganishning
ushbu bosqichida tegishli belgilashlar kiritilmaydi. U 9-sinf darsligining ikkinchi
bobida, o‘quvchilar eng oddiy funksiyalar bilan tanishib chiqqan paytda kiritiladi.
O‘zgaruvchilar uchun standart belgilashlar qo‘llaniladi: x va y (ular koordinata
o‘qlarini ham bildiradi); y = f ( x ) yozuvi qandaydir funksiyani bildiradi; f ( x ) belgisi
– x ga teng argument qiymatiga mos keladigan o‘zgaruvchi yoki funksiya
qiymatiga ega bo‘lgan ifoda; f harfi ( lotincha functio so‘zining birinchi harfi ) f ( x )
ni x bo‘yicha hisoblash qoidasini tavsiflaydi. Shunga o‘xshash juft
o‘zgaruvchilardan biri sifatida ( y x ning funksiyasi – y ( x )) funksiya tushunchasini
erta kiritishga yondashuv Sh.A.Alimov va boshqalar; K.S.Muravin va
15](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_15.png)
![boshqalarning 7-sinf algebra darsliklarida ham qabul qilingan; K.S.Muravin va
boshqalarga ko‘ra funksiyaning ta’rifida x o‘zgaruvchi uchun "ruxsat etilgan
qiymat" so‘zlari kiritilgan, bu so‘zlarning paydo bo‘lishi o‘quvchilarga funksiyalar
beriladigan harfiy ifodalar har doim ham ma’noga ega emasligi bilan tushuntiriladi.
Boshqa federal ro‘yxatdagi darsliklarida funksiyaning formalmantiqiy ta’rifi
keyinroq (8 yoki 9-sinf) berilgan. Bu vaqtga kelib, o‘quvchilarhaqiqiy sonlar
to‘plami bilan allaqachon tanish bo‘lganlar va shuning uchun funksiya aniqlanish
sohasi haqida gapirish va uzluksiz chiziq shaklida grafiklarni qurish haqida
gapirish joiz bo‘ladi. Bundan tashqari, talabalar shunday algebraik materiallarga
ega bo‘ladilarki, ular funksiyalarning xossalarini, ya’ni ifodalarni, tenglamalar va
tengsizliklarni ayniy shakl almashtirishlar bilan asoslashda qat’iylik darajasini
oshirishga imkon beradi. Ushbu yondashuv bilan funksiya va uning grafigi haqida
umumiy tushuncha turli xil funksional bog‘lanishlar va ularning grafiklari,
funksiyalarning ba’zi xususiyatlari bilan ishlash bo‘yicha to‘plangan tajribani
umumlashtirish sifatida paydo bo‘ladi. A.G.Mordkovich 9-sinf algebra darsligida
matematikaning rivojlanish tarixiga murojaat qilgan holda, o‘quvchilarni funksiya ,
grafik va funksiyalar xossalarining ning formal ta’rifi zarurligiga olib keladi.
A.G.Mordkovich, S.M.Nikolskiy va boshqalar; G.V.Dorofeyeva va boshqalarning
ta’riflarida; funksiya aniqlanishi sohasi deb e’lon qilingan ma’lum bir sonli
to‘plamda qaralishini ta’kidlaydilar, A.G.Mordkovich, boshqa mualliflardan farqli
o‘laroq, u o‘zgaruvchini funksiya deya atamaydi; uning ta’rifidan kelib chiqadiki,
funksiya y = f ( x ) bilan belgilanadi , bu erda x ϵ X ( X – aniqlanish sohasi), asosiy
e’tibor funksiya ta’rifining tabiiy sohasiga emas, balki berilganiga qaratilgan ( f ( x )
ifodasining ruxsat etilgan qiymatlari sohasiga). A.G.Mordkovich va
M.I.Bashmakovning darsliklarida funksiyani beriishda nimani ko‘rsatish kerakligi
haqida savol tug‘iladi. O‘quvchilar bilishlari kerakki, javob ta’rifning o‘zida, ya’ni
aniqlanish sohasi va moslik qoidasi (qonunida). Funksiya argument uchun belgini
tanlashga va uning qiymatlarini hisoblash uchun qoida tavsifiga bog‘liq emasligini
ta’kidlanadi;bir xil qoidaga ega bo‘lgan, lekin aniqlanish sohalari har xil bo‘lgan
funksiyalar har xil deb hisoblanadi (masalan, y = x 2
va y = x, x ≥ 0 da funksiyalar
16](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_16.png)
![farq qiladi). A.G.Mordkovichning darsligida aytilishicha, matematikada funksiyani
aniqlashning bir qancha usullari mavjud. Eng ommabop (analitik, grafik, jadval)
bilan bir qatorda, mos keladigan qoida ona tilidagi so‘zlar bilan tasvirlanganda,
o‘quvchilarni funksiyani berilishining og‘zaki (tavsif) usuli bilan tanishtiradi .
M.I.Bashmakov o‘zgaruvchilar orasidagi funksional bog‘lanish tenglamasi
tushunchasini kiritadi (funksiyaning oshkormas berilishi); masalan, x va y
o‘zgaruvchilar orasidagi munosabat 3 x- 5 y= 7 tenglama ko‘rinishida bo‘lsa,
funksiya oshkormas berilishi bo‘ladi, chunki y ga nisbatan yechilmaganligi ruxsat
berilmaganligi sababli, oshkormas funksiyadir.
Funksiyani kiritishda ushbu tushunchani funksiyaga o‘xshash, ammo undan
farq qiladigan boshqa tushunchalar bilan solishtirishning iloji yo‘q. Shuning
uchun, berilgan bog‘lanishning funksiya ekanligini aniqlashtirishni talab qiluvchi
maxsus mashqlardan foydalanish muhimdir. O‘quvchilarning turli maktab fanlari
(fizika, kimyo, tarix, biologiya, geografiya) va kundalik hayotdan olingan
bilimlaridan foydalangan holda bunday mashqlar matematika o‘qitish metodikasi
kitobida keltirilgan.
Funksiya tushunchasini o‘quvchilar tomonidan ongli ravishda
o‘zlashtirishning zaruriy sharti funksiya bo‘lgan va bo‘lmagan bog‘lanishlarga o‘z
misollarini keltira olishlari hisoblanadi. Funksiyaning umumiy tushunchasi juda
murakkab, shuning uchun o‘quvchilar uni faqat asosiy, keyin esa yuqori sinflarda
o‘rta maktabning algebra kursidagi aniq tasavvurlar va faktlarning uzoq vaqt
to‘planishi natijasida muvaffaqiyatli o‘zlashtira oladilar.
Funksiyaning ta’rifi. X
va Y haqiqiy sonlar to‘plamlari berilgan bo‘lib,
ular
R ning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari X ⊂R,Y⊂R xva y lar esa, mos
ravishda, ularning elementlari
X ⊂R,Y⊂R bo‘lsin.
T a’rif. Agar
X to‘plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra
Y
to‘plamdan bitta y son mos qo‘yilsa, X
to‘plamda y funksiya berilgan
( aniqlangan ) deb ataladi va u simvolik ravishda
f:x→ y yoki y= f(x) kabi
belgilanadi.
17](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_17.png)
![Bunda x -argument yoki erkli o‘zgaruvchi, y -funksiya yoki erksiz
o‘zgaruvchi,
f -xarakteristika (qonun yoki qoida); X -to‘plam funksiyaning
aniqlanish sohasi ,
Y={y:y= f(x),x∈X } to‘plam esa, uning qiymatlari to‘plami
(o‘zgarish sohasi) deyiladi. Bundan keyin biz funksiyaning aniqlanish sohasini
D(f)
, qiymatlar to‘plamini esa, E(f) orqali belgilaymiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi.
Ta’rif. Argumentning funksiya ma’nosini yo‘qotmaydigan (ya’ni cheksiz
yoki mavhumlikka aylantirmaydigan) hamma qiymatlari to‘plami, shu
funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi.
1-misol.
f(x)= √4−x
lg(x−2) funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Yechilishi . Berilgan funksiyaning ko‘rinishini e’tiborga olganda, uning
mavjud bo‘lishi uchun, birinchidan,
4−x≥0 yoki x≤4 ikkinchidan, x− 2>0 yoki
x>2
uchinchidan, lg(x−2)≠0 yoki x≠3 shartlar bajarilishi kerak. Bu shartlarni
e’tiborga olsak, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi
D(f)=(2;3)∪(3;4] bo‘ladi.
Funksiyaning o‘zgarish sohasi.
y= f(x) funksiya x∈X to‘plamda berilgan bo‘lsin.
Funksiyaning o‘zgarish sohasi diskret nuqtalardan, nuqtadan, oraliq,
segment, bir necha oraliqlardan va h.k. iborat bo‘lishi mumkin. Jadval yoki grafik
usulda berilgan funksiyalarning o‘zgarish sohalari o‘z-o‘zidan ma’lum. Analitik
usulda, ya’ni
y= f(x) shaklda berilganda funksiyaning o‘zgarish sohasini topish
uchun
y ning f(x)= y tenglama haqiqi yechimga ega bo‘ladigan barcha
qiymatlarini toppish talab qilinadi.
Funksiyaning o‘zgarish sohasini topishda quyidagi tasdiqlarni e’tiborga
olish lozim: Agar berilgan funksiya (bu erda uzluksiz funksiya nazarda tutiladi)
qaralgan sohada eng kichik va eng kata qiymatga erishsa,
f(x)
funksiyaning
o‘zgarish sohasi, uning eng kichik va eng kata qiymati hamda ular orasidagi barcha
sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
18](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_18.png)
![2-misol. [0;√2] kesmada f(x)= x4+9 funksiyaning o‘zgarish sohasini
toping.
Yechilishi.
[0;√2] kesmada berilgan funksiyaning eng kichik qiymati
f(0)=9
, eng katta qiymati f(√2)=13 bo‘lgani uchun, uning o‘zgarish sohasi
E(f)=[9;13 ]
dan iborat.
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Tekislikda ikkita
o‘zaro perpendikuliyar bo‘lgan
OX va OY o‘qlardan tashkil topgan sistema to‘g‘ri
burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi.
OX -o‘qi abssisalar o‘qi, OY -
ordinatalar o‘qi deyiladi.
Tekislikda har qanday nuqtaning ikkita koordinatasi bo‘ladi.
A(x;y)
Masalan:
A(2;3),B(−3;2),C(4;0),D(0;−3),O(0;0) - koordinatalar boshi deyiladi.
Agar nuqta abssisalar o‘qida yotsa u holda uning ordinatasi nolga teng
bo‘ladi.
Agar nuqta ordinatalar o‘qida yotsa u holda uning abssisasi nolga teng
bo‘ladi.
Koordinatalar boshining abssisasi va ordinatalari nolga teng.
O(0;0) .
Ta’rif . Tekislikning
(x,f(x)) kabi aniqlangan nuqtalaridan iborat ushbu
{(x,f(x))}={(x,f(x)):x∈X ,y= f(x)∈Y}
to‘plam funksiyaning grafigi deb ataladi.
Funksiyaning berilish usullari.
Funksiya umumiy holda analitik, jadval, grafik va so‘z usullari bilan
berilishi mumkin.
Analitik usul. Ko‘pincha
x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish
formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument
x ning har bir qiymatiga mos
keladigan
y funksiyaning qiymati, x ustida analitik amallar - qo‘shish, ayirish,
ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish, ildizdan chiqarish, logarifmlash va h.k.
amallarni bajarish natijasida topiladi. Odatda bunday usul - funksiyaning analitik
usulda berilishi deyiladi.
Masalan,
x x y x y ln ,2 6 2 funksiyalar oshkor shaklda berilgan.
19](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_19.png)
![Jadval usul . Ba’zi hollarda Y y X x ва o‘zgaruvchilar orasidagi
bog‘lanish formulalar yordamida berilmasdan, jadval orqali berilgan bo‘lishi ham
mumkin. Masalan,
t - yanvar oyining birinchi dekadasi (10 kunligi) kunlari nomeri
bo‘lsa,
T - shu nomerli kuni soat 16 00
da Samarqand shahrida kuzatilgan havo
haroratini bildirsin, natijada quyidagi jadvalga kelamiz:
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
-3 0
-5 0
Q2 0
Q5 0
Q1 0
0 0
-2 0
-5 0
-3 0
-1 0
bunda
t - argument, T - funksiya bo‘ladi. Bog‘lanishning bunday berilishi,
funksiyaning jadval usulda berilishi deb ataladi. Bu usuldan, ko‘pincha, miqdorlar
orasida tajribalar o‘tkazish jarayonida foydalaniladi.
Jadval usulining qulayligi shundan iboratki, argumentning u yoki bu aniq
qiymatlarida funksiyani hisoblamasdan, uning qiymatlarini aniqlash mumkin.
Jadval usulining qulay bo‘lmagan tomoni shundan iboratki, argumentning
o‘zgarishi bilan funksiyaning o‘zgarish xarakterini to‘liq aniqlab bo‘lmaydi.
Grafik usul .
xOy koordinatalar
tekisligida
x ning X to‘plam fDX
dan
olingan har bir qiymati uchun
yxM ,
nuqta
yasaladi, bunda nuqtaning abssissasi
x ,
ordinatasi esa
y bo‘lib u , y funksiyaning x
ga mos kelgan qiymatiga teng. Yasalgan
nuqtalarni birlashtirsak, natijada biror chiziq hosil bo‘ladi, hosil bo‘lgan bu chiziq
berilgan funksiyaning grafigi deb qaraladi ( 1 -chizma).
Ta’rif . Tekislikning
x f x, kabi aniqlangan nuqtalaridan iborat ushbu
} , : , { } , { Y x f y X x x f x x f x
to‘plam, funksiyaning grafigi deb ataladi.
Funksiyaning grafik usulda berilishining kamchiligi shundan iboratki,
argumentning sonli qiymatida berilgan funksiyaning aniq shaklini har doim topib
20](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_20.png)
![bo‘lmaydi, lekin bu usulning boshqa usullardan afzalligi uning tasviri yaqqol
ko‘zga ko‘rinib turishidadir.
So‘zlar orqali ifodalanadigan usul. Bu usulda Y y X x ,
o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi funksional bo g‘ lanish faqat so‘zlar orqali ifodalanadi.
Masalan:
Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo‘yish
natijasida ham funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya, odatda, Dirixle funksiyasi
deyiladi va
x D kabi belgilanadi:
D(x)=¿{1,agar x ratsianal son bo ‘lsa ¿¿¿¿
keyin uni koordinata boshiga nisbatan simmetrik ko‘chirish yetarli.
1.2. Umumta’lim maktablarida funksiya tushunchasini shakllantirishdagi
turli yondoshuvlar davrlar boyicha tahlil etilgan
1.3. Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos
masalalarning mazmuni va turlari keltirilgan.
1.3. Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos masalalar
tizimini yaratish.
PISA-FUNKSINAL BILIMLAR SAVODXONLIGINI
ANIQLOVCHI DASTUR
PISA dasturining maqsadi, u qanday zaruriyat tufayli paydo bo ldi?
ʻ
XXI asr – informatsion texnologiyalar asri. Bu asr o z mutaxassislaridan
ʻ
avvalgilaridan butunlay farq qiluvchi kompetensiyalarni talab qiladi. XX-asrda va
undan oldin kuchli xotira, ensiklopedik bilim, o z sohasida iloji boricha ko proq
ʻ ʻ
ma lumotni bilgan mutaxassislar qadrlangan bo lsa, endi bu bilimlar hal qiluvchi
ʻ ʻ
ahamiyatga ega bo lmay qoldi. Qidiruv tizimlari, onlayn ensiklopediyalar, sohalar
ʻ
bo yicha mukammal onlayn ma lumotlar bazalari yaratildiki, endi bu
ʻ ʻ
ma lumotlarni eslab qolish zaruriyati ikkinchi darajali bo‘lib qoldi.
ʻ
21](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_21.png)
![Endilikda ta’lim muassasalari bitiruvchilarining olingan axborotlarni tahlil
qilish, ulardan yangi ma lumotlarni hosil qila olish, kreativ fikrlash kabiʻ
kompetensiyalari birinchi o ringa ko tarilayapti.
ʻ ʻ
PISA dasturi maqsadi o‘quvchilarning fundamental (fanni o‘zlashtirish)
bilimlarini aniqlash emas, ularda XXI-asr ko nikmalarini shakllantirish,
ʻ
raqobatbardosh kadrlarni yaratish uchun mustahkam zamin yaratish hisoblanadi.
Ya`ni, haqiqiy hayotda kerak bo ladigan hodisalarni tahlil qilish, ulardan xulosa
ʻ
chiqarish va muloqotga kirishish ko nikmalarini qay darajada egallayotganini,
ʻ
ta lim tizimining bu o zgarishlarga qanchalik moslashayotganini aniqlash
ʻ ʻ
maqsadida o tkaziladi.
ʻ
Kimlar ishtirok etadi?
Ishtirokchilarning natijalarini yaxshiroq taqqoslash uchun PISA ma'lum
bir yoshdagi o‘quvchilarning ta'limiy yutuqlarini baholaydi. Tadqiqotda 15 yoshu
3 oy, 16 yoshu 2 oydan kichik bo‘lmagan oquvchilar ishtirok etishadi. Ko‘p
mamlakatlarda 15 yoshli bolalar majburiy ta`limni bitirish yoshidabo‘lganligi
sabab aynan shu yosh belgilangan. Rivojlanishining ushbu bosqichida kelajakda
ular uchun foydali bo‘lishi mumkin bo‘lgan kompetensiyalarni aniqlash muhim
ahamiyatga ega.
PISA ishtirokchilari Westat (AQSh) statistika kompaniyasi tomonidan
xalqaro tadqiqotlar milliy koordinatorlari bilan birgalikda tanlanadi.
O‘tkazilish davri
Dastur 3 yilda birmarta o‘tkaziladi. Dastlab 1997-yilda ishlab chiqilgan va
2000-yilda birinchi marta qo‘llanilgan. Har uch yillikda ma`lum bir yo‘nalishga
e`tibor qaratiladi.
1-Jadval. Tadqiqot yo‘nalishlari
PISA 2000 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 200 3 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 2006 O‘qish Matematik Tabiiy fanlar
22](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_22.png)
![savodxonligi savodxonlik savodxonligi
PISA 2009 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 2012 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 2015 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 2018 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA 2021 O‘qish
savodxonligi Matematik
savodxonlik Tabiiy fanlar
savodxonligi
PISA testlari tarkibi
PISA testlari 5 ta yo nalish bo yicha o tkaziladi: o qish, matematikʻ ʻ ʻ ʻ
savodxonlik, tabiiy-ilmiy fanlar, hamkorlikda muammolarni hal qilish va
moliyaviy savodxonlik yo nalishlari. O zbekiston 2021-yilda uch yo nalish:
ʻ ʻ ʻ
o qish, matematik savodxonlik va tabiiy-ilmiy fanlar yo nalishlari bo yicha
ʻ ʻ ʻ
testlarda qatnashishni rejalashtirgan edi.
Bu testlarda o quvchilarning
ʻ dars davomida aniq mavzular bo yicha ʻ
o rgangan bilimlarini sinovdan o tkazish nazarda tutilmagan! Asosiy e tibor
ʻ ʻ ʻ
o quvchilarning mazkur yo nalishlar bo yicha eng asosiy tushunchalarni bilishi,
ʻ ʻ ʻ
sohaviy bilim va ko nikmalarni egallagani, ulardan hayotiy vaziyatlarda
ʻ
foydalana olishiga qaratiladi!
PISA sinovlarida to rt xil usuldan foydalaniladi:
ʻ
a) bir javobli testlar;
b) bir nechta javobli testlar;
c) qisqa yoki batafsil javob yoziladigan savollar;
d) biror muammoning yechimi bo yicha o quvchi fikri (odatda bunday
ʻ ʻ
savollarda tekshiruvchida umumiy javoblar bo ladi, o quvchi javobi test tuzivchi
ʻ ʻ
javobiga aynan mos kelishi talab qilinmaydi, o quvchi ijodkorligi qo llab-
ʻ ʻ
quvvatlanadi)
23](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_23.png)
![Bundan tashqari testlar bilan bir vaqtda o quvchilardan anketalar ham olishʻ
nazarda tutilgan.
PISA: asosiy yo nalishlar
ʻ
O qish savodxonligi
ʻ . Insonning matn shaklida berilgan ma lumotlarni ʻ
tushuna olish va qayta bog‘lana olish ko nikmasi, jamiyat hayotida faol qatnashish
ʻ
jarayonida o qigan ma lumotlaridan o z maqsadlari yo lida foydalana olish, bilim
ʻ ʻ ʻ ʻ
va imkoniyatlarini amalga oshira olish layoqati.
Bu yerda, o qish savodxonligi tushunchasi keng ma no kasb etadi. Bu
ʻ ʻ
yo nalishning maqsadi o quvchining berilgan badiiy asardan parcha, biografik
ʻ ʻ
ma’lumot, xat, hujjat, gazeta va jurnallardan olingan maqolalar, turli qo llanmalar,
ʻ
geografik kartalar kabi rang-barang mavzulardagi, tarkibida matnni ochib berishga
mo ljallangan diagrammalar, rasmlar, kartalar, turli chizma va jadvallarda berilgan
ʻ
matnni tushunish, mazmuni haqida fikr yurita olish, matn mazmuniga baho berish
va o qiganlari haqida o z fikrini bera olish kabi kompetensiyalarini aniqlash
ʻ ʻ
hisoblanadi.
Matematik savodxonlik . Bu insonning u yashayotgan dunyoda
matematikaning o‘rnini aniqlash va tushunish, asoslangan matematik mulohazalar
yuritish hamda fikrlaydigan, qiziquvchan va ijodkor fuqaro sifatida hozirgi va
kelajakdagi ehtiyojlarini qondirish maqsadida matematikadan foydalanish
qobiliyatidir. Savodxonliksinovlarida odatda hayotning turli sohalarida (tibbiyot,
turar joy, sport va h.) duch kelishi mumkin bo lgan matematikaga oid vaziyatlar
ʻ
taklif qilinadi.
Tabiiy-ilmiy fanlar savodxonligi . Hayotiy hodisalarda ilmiy usulda hal
qilinishi mumkin bo lgan muammolarni aniqlash, kuzatuv va tajribalar asosida
ʻ
xulosalar chiqarish kompetensiyasi. Bu xulosalar atrofimizdagi olamni tushunish
va inson faoliyati natijasida unda sodir bo layotgan o zgarishlarni anglab yetish,
ʻ ʻ
shunga ko ra, kerakli qarorlar qabul qila olish ko nikmasini rivojlantirish ushbu
ʻ ʻ
sinov yo‘nalishining asosiy maqsadidir.
24](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_24.png)
![Bu savodxonlik asosi bizning maktablarimizda fizika (astronomiya
elamentlari bilan birga), biologiya, kimyo va geografiya fanlari o qitilishʻ
jarayonida berilishi ko zda tutilgan.
ʻ
MATEMATIK SAVODXONLIK
Ikk olamning o‘zaro ta’siri
Real olam Matematik olam
Matematika fanidan turli xil hayotiy sharoitlarda maktab o‘quvchilarining
amaliy ko‘nikmalarini shakllantirish o‘quv jarayoni samaradorligining asosiy
prinsiplari va maqsadlaridan biridir
15 yoshli o‘quvchilarning matematik savodxonligi PISA-2003, PISA-2012,
PISA-2021 xalqaro tadqiqotining asosiy yo‘nalishlaridan biriga aylandi.
Matematik savodxonlik deganda o‘quvchilarning quyidagi qobiliyatlari
tushuniladi:
- yuzaga keladigan atrofdagi muammolarni aniqlash va matematikadan
foydalanib hal qilish;
- bu muammolarni matematika tilida ifodalash;
- matematik faktlar va usullarni qo‘llash orqali ushbu muammolarni hal
qilish;
- ishlatilgan usullarni tahlil qilish;
25 MATEMATIK
MUAMMO
KONTEKSTDAGI
NATIJALAR MATEMATIK
NATIJALAR Qo‘llashBaholash
SharhlashIfodalashKONTEKSTDAGI
MUAMMO](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_25.png)
![- qo‘yilgan muammoni hisobga olgan holda olingan natijalarni tushuntirish,
talqin qilish;
- natijalarni, yechimlarni shakllantirish, ularni ifodalash va qayd etish.
TOPSHIRIQLAR TASNIFLASHI
Uchta asosiy toifa:
1. Mazmun yo‘nalishi - 4 ta yo‘nalish.
2. Matematik kompetentlik -3 xil.
3.Qo‘llash sohasi(kontekst) - 4 ta toifa.
Mazmun yo‘nalishi
Test savollari mazmunini tanlashda matematika an'anaviy maktab
daturining asosiy mavzulari, xususan, raqamlar, o‘lchovlar, baholash, algebra,
funksiyalar, geometriya, ehtimollik, statistika, raqamlar nazariyasi elementlari
hisobga olinadi. Ushbu mavzular doirasida yuqori amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan
bir qator masalalar (geometrik o‘lchamlarni o‘lchash, baholash, foizlar, o‘lchovlar,
real chizmalarning diagramma va grafikalar talqini, ehtimollik, statistik
ko‘rsatkichlar va boshqalar)ga katta e’tibor qaratiladi. Topshiriqlar tanlangan
to‘rtta matematik sohadan biriga to‘g‘ri keladi:
- miqdorlar;
- fazo va shakl;
- o‘zgarishlar va munosabatlar;
- noaniqliklar.
Matematik sohalar bo‘yicha topshiriqlar:
Yo‘nalishlar Izoh
O‘zgarish va
munosabatlar - O‘zgaruvchilar o‘rtasidagi bog‘liqlik;
- Ob’yektlar o‘rtasidagi doimiy va qisqa muddatli
munosabatlar;
- O‘zgarish va munosabatlarning turlari va kelib chiqish
sabablarini aniqlash;
- Matematik modelini qurish.
26](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_26.png)
![Fazo va shakl -Fazoviy jismlar, geometrik shakllar o‘rtasidagi
munosabatlar;
- Ob’yekt xususiyatlari, joylashuvi va chizmalari
- Abstrakt tasavvur;
Noaniqlik - Bugungi jamiyatda ehtimollik va statistik hodisalarning
bevosita bog‘liqligi;
- berilgan axborotlarni aniqlash va umumlashtirish;
- o‘zgarishlar, sodir bo‘lish ehtimolligini aniqlashtirish;
- iqtisodiy munosabatlarni oldindan ayta olish qilish.
Miqdor - Obyektlar, munosabatlar, vaziyatlarning miqdoriy
ko‘rsatkichlari,
- Turli miqdoriy munosabatlarni anglash, tahlil qilish va
izohlash,
- O‘lchov birliklari, hisob-kitob, mutlaq qiymatlar va
ko‘rsatkichlar, nisbiy o‘lchamlar, raqamli diagramma va
sxemalarni tushunish,
- Arifmetik hisobni og`zaki, yozma va kalkulyator
asosida bajarish, asoslash.
Manba: "PISA-2012 natijalari" ning OECD Xalqaro hisoboti.
Matematik kompetentlik
O‘quvchilarning matematik savodxonligi holati tanlangan mazmun
yo‘nalishi bo‘yicha axborotlarga ega bo‘lishdan tashqari, matematik
kompetentligining rivojlanish darajasi bilan ham tavsiflanadi. O‘quvchilarning
matematika bo‘yicha bilimi, ko‘nikmasi,tajribasi hamda qobiliyatlari ularga turli
muammoli vaziyatlarni muvaffaqiyatli hal etish imkonini beradi.
Tadqiqotlarda matematik kompetentlikning uch darajasi nazorat qilinadi:
- qayta tiklash;
- aloqalar o‘rnatish;
- mulohaza yuritish.
27](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_27.png)
![Kompetentlikning birinchi darajasi : qayta tiklash (takrorlash), ta’riflash va
hisoblash. Birinchi darajadagi kompetensiyalar ko‘plab standartlashtirilgan testlar,
javoblarni tanlab olish vazifalar shaklidagi faoliyatlarni o‘z ichiga oladi. Bu
kompetentlik darajasi turli faktlarni bilish, xossalarni qayta tiklash, o‘xshash
matematik obyektlarni taniy olish, standart algoritm va tartiblarni amalga oshirish,
standart usullar va algoritmik ko‘nikmalardan foydalanish.
Kompetentlikning ikkinchi darajasi : muammoni hal qilish uchun zarur
bo‘lgan aloqalar va integratsiya. Ikkinchi darajali kompetensiyalar qo‘yilgan oddiy
muammolarini hal qilish uchun matematikaning turli sohalari, bo‘limlari va
mavzulari orasida bog‘lanishlarni aniqlashni o‘z ichiga oladi. Bu vazifalarni
standart vazifalarga kiritib bo‘lmaydi, lekin ularda ko‘rilayotgan vaziyat chuqurroq
matematik bilimlarni talab qiladi. Ushbu kompetensiya darajasida o‘quvchilar
topshiriq shartiga ko‘ra berilgan ma’lumotlarni taqdim etish va bu vaziyatga
muvofiq muammoni qo‘yish ko‘nikmalariga ega bo‘lishlari kerak bo‘ladi.
Matematikaning turli bo‘limlari materiallari orasidagi aloqalarni o‘rnatishda
o‘quvchilardan mavjud tushunchalar, shartlar, isbotlar, tasdiqlar va misollarni
farqlash hamda ularni o‘zaro bog‘lash qobiliyatiga ega bo‘lishlari talab etiladi.
Ushbu kompetensiya darajasi, shuningdek, turli belgilar asosida yozilgan mantning
mazmunini tushuntirish va sharhlash, ularni matematik tilga tarjima qilish
qobiliyatini ham o‘z ichiga oladi. Ushbu kompetensiya darajasiga bog‘liq bo‘lgan
vazifalar nuqtayi nazaridan, o‘quvchilar vaziyatning o‘ziga xos xususiyatlariga
bog‘liq qaror qabul qilishni talab qiladigan muayyan holatni taklif qilishadi.
Kompetentlikning uchinchi darajasi : matematik modellashtirish, mantiqiy
fikrlash, umumlashtirish va intuitsiya. Kompetentlikning uchinchi darajasida
o‘quvchilardan vaziyatni matematik modellashtirish talab qilinadi: masala shartida
berilgan ma’lumotlarni tahlil qilish, o‘rganish va mustaqil ravishda matematik
modelini talqin qilish, muammoni hal qilish uchun matematikadan foydalanish,
matematik mulohazalar yordamida hal qilish yo‘lini topish, zaruriy matematik
dalillar, isbot va umumlashtirishlarni amalga oshirish. Ushbu faoliyat tanqidiy
fikrlash, tahlil va mushohada yuritishni o‘z ichiga oladi. O‘quvchilar nafaqat taklif
28](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_28.png)
![etilayotgan muammolarni hal qila olishlari, balki uni masaladagi vaziyatga mos
ravishda shakllantirishlari, shuningdek, matematikaning ilm-fan sifatidagi mazmun
va mohiyatini chuqur tushunishlari kerak. Ushbu kompetentlik darajasi matematik
savodxonlikning eng yuqori cho‘qqisi bo‘lib, baholash va sinov jarayonida katta
qiyinchiliklar tug‘diradi. Bunda erishilgan natijalarni baholash uchun javoblari
tanlanadigan testlardan foydalanish maqsadga muvofiq emas. Ushbu daraja uchun
javobi ochiq bo‘lgan topshiriqlar mos keladi. Kompetentlik uchinchi darajasidagi
topshiriqlarni ishlab chiqish va baholash juda qiyin vazifa hisoblanadi.
Qo‘llash sohasi (kontekst)
- Shaxsiy hayot (kundalik yumushlar: xaridlar, taom tayyorlash, o‘yinlar,
sog‘lik va h.k.);
- Ta’limiy-kasbiy faoliyat (maktab hayoti va mehnat faoliyati quyidagilarni
o‘z ichiga oladi: o‘lchovlar, harajatli hisob-kitoblar, materiallarni buyurtma qilish,
masalan, matematika kabinetiga kitob javoni uchun to‘lovlarni amalga oshirish va
h.k.);
- Ijtimoiy hayot (valyuta ayirboshlash, banklarga sarmoya kiritish, saylov
natijalarini tashxis qilish, demografiya);
- Ilmiy faoliyat (nazariy masalalarni ko‘rib chiqish, masalan, aholining
balog‘atga yetish ko‘rsatkichini tahlil qilish yoki sof matematik masalalarni
yechish (masalan, uchburchak tengsizliklarining qo‘llanilishiga doir).
Iqtisodiy hamkorlik va rivojlanish tashkilotining (Organisation for
Economic Cooperation and Development (OECD)) Xalqaro o‘quvchilarni
baholash Dasturi (Programme for International Student Assessment (PISA)) – turli
davlatlarda15 yoshu 3 oy 16 yoshu 2 oylik o‘quvchilarning savodxonligini (o‘qish,
matematika, tabiiy fanlar, hamkorlikda muammolarni hal qilish, moliyaviy
asoslar)hamda bilimlarini amaliyotda qo‘llash qobiliyatlarini baholaydi. Shu bilan
birga, ushbu dasturlar ta`limdagi bo‘shliqlarni aniqlashga yordam beradi.
O zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining“ Xalq ta limi tizimidaʼ ʼ
ta lim sifatini baholash sohasidagi xalqaro tadqiqotlarni tashkil etish chora
ʼ
29](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_29.png)
![tadbirlari to g risida”gi 2018-yil 8-dekabrdagi 997-sonli qaroriga ko‘ra,ʼ ʼ
umumta`lim maktab o‘qituvchilarining o‘zlashtirish ko‘rsatkichlarini nazorat qilish
va baholashni xalqaro dasturlar asosida amalga oshirish hamda ta’lim sifatini
baholash bo‘yicha xalqaro tadqiqotlarda ishtirok etish vazifalari belgilandi.
2021-yilda PISA va PIRLS xalqaro dasturlarida mamlakatimizning ham
ishtirok etdi. Dastur 3 yilda bir marta o‘tkaziladi va har uch yillikda ma`lum bir
yo‘nalishga e`tibor qaratiladi. Quyida matematik savodxonlikni baholash
me`zonlari, 2003-yil va 2012-yilda taqdim etilgan PISA topshiriqlari hamda
ularning tahlillari keltirilgan.
I BOB bo‘yicha xulosa.
Matematikada funktsiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixi
o‘rganildi. Asosiy maktab matematika kursida funktsional yo‘nalishni o‘qitishning
asosiy maqsad va vazifalari, o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga
qo‘yiladigan talablar aniqlandi.
PISA dasturi maqsadi va vazifalari o‘rganildi.
30](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_30.png)
![II BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib
o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning metodik
asoslari
2.1. Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning
ma z muni va o‘qitish metodikasi
Funksiyalar va ularning asosiy sinflari
1. Funksiyalar ustida amallar
2. Aniqlanish sohasini topishga doir tipik misollar.
3. Juft va toq funksiyalar
4. Davriy funksiyalar
5. Chegaralangan funksiyalar
6. Monoton funksiyalar
7. Funksiyaning ekstremumlari, eng katta va eng kichik qiymatlari.
8. Akslantirishlarning turlari
Funksiya tushunchasi.
1-ta’rif: Agar X to‘plamdan olingan har bir x elementga (x∈X ) biror f
qoida yoki qonunga ko‘ra
Y to‘plamda bitta y element (y∈Y) mos qo‘yilgan
bo‘lsa, u holda
X to‘plamda f funksiya berilgan deyiladi va quyidagicha
belgilanadi.
f:X → Y
yoki x→
f
y,y= f(x) X to‘plam funksiyaning aniqlanish sohasi ,
f(x)
lar to‘plami esa funksiyaning qiymatlar to‘plami deyiladi va mos ravishda
D(f)
va E(f) kabi belgilanadi.
Tabiy aniqlanish sohasi bilan sun’iy aniqlanish sohalarini farqlash kerak
y= f(x)
yozuvda x funrsiyaning argumenti y esa uning x nuqtadagi qiymati
deyiladi.
Asosiy elementar funksiyalar:
31](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_31.png)
![1. To‘plamlar sifatida D(f) va E(f) lar o‘rtasida quyidagi munosabatlar
bo‘lishi mumkin:
1.
D (f)= E(f) 2. D (f)⊂E(f) 3. D (f)⊂E(f) (Misollar)
2. Funksiyalar
D(f) va E(f) larning quvvatlari ( elementlar soni )
bo‘yicha quyidagi 6 turda bo‘lishi mumkin; (Misollar)
1 2 3 4 5 6
(f) chekli sanoqli sanoqli sanoqsiz sanoqsiz sanoqsiz
E(f) chekli chekli sanoqli chekli sanoqli sanoqsiz
Misollar:
1)
2;1 ,5;1 1 ,1
5 ,2 ) (
E D x
x x y
2)
2;2 , 1 2 ,2
2 ,2
E N D k n
k n y
3)
N E N D N n n n y , ; ,1 3 ) ( 2 ;
4)
1;1;0 , ; , E R D R x signx y
5)
Z E R D R x x y , , ;
6) 0 2 , , , R E R D R x x y
Ta’rif ( Funksiyalarning tengligi ). Agar
D (f)= E(f) bo‘lib, x∈D (f)= D (g)
uchun
f(x)=g(x) shart bajarilsa, f funksiya g funksiyaga teng deyiladi.
Funksiyalar bilan arifmetik amallarning aniqlanilishi:
(f+g)(x)= f(x)+g(x),x∈D (f)∩ D (g)
(f⋅g)(x)= f(x)⋅g(x), x∈ D (f)∩ D (g)
(
f
g)(x)= f(x)
g(x)
, x∈D (f)∩ D (g),g(x)≠0
(∑i=1
n
fi)(x)= ∑i=1
m
fi(x); (∏i=1
n
fi)(x)= ∏i=1
n
fi(x)
To‘plamning: a) xarakteristik funksiyasi:
xf=¿{0,x∉D(f)¿¿¿¿
32](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_32.png)
![b) Tegishlilik funksiyasi:
Funksiyalarning formulalari haqida.
1) Maxsus belgilardan iborat: ,... , , ,
2) O‘zgaruvchili bitta ifoda
y= ax 2+bx +c
3) Bir nechta funksiyalarning kombinatsiyalari:
y=c1f1+c2f2+...+cnfn
4) Bir yoki bir nechta funksiyalarning superpozitsiyalari:
y= f(f(f(f(x....)))),y= fn(x),y= f(xn),y= fn(xn),n∈N ,n∈Z,n∈Q
5) Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalar
5. Funksiyaning grafigi:
) ( ), ( :) , ( ), ( x f y f D x y x x f y to‘plam
funksiyaning grafigi deyiladi. Grafiklar ustida amallar. Grafiklarni siljitishlar.
6.
) ( ), ( f D x x f y
funksiya orqali maxsus to‘plamlar qurish:
a)
c x f y x ) ( :) , (
b) c x f y x ) ( :) , (
c) B x f A y x ) ( :) , (
7. O‘zi bilan teskarisi teng bo‘lgan funksiyalar, teskarilanuvchilik.
8. Funksiyalaning berilish usullari o‘rtasida bog‘lanish:
1) Jadval ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
2) Grafik ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
3) Jadvaldan grafik va grafikdan jadvalga o‘tish
Tabiiy aniqlanish sohasi yagona:
R D x y , sin
Sun’iy aniqlanish sohasi cheksiz ko‘p:
].... 2;0[
] ; [
2
1
D
D
Grafikning
Ox o‘qidagi proyeksiyasi ) (f D
Grafikning
Oy o‘qidagi proyeksiyasi ) (f E
Aniqlanish sohasini topishga doir tipik misollar .
1.
).... ( ln ) ( ), ( ), ( ln ,) ( ,
) (
) ( 2 x P x Q y x arctgQ y x Q y x Q y
x Q
x P y n n
2. Qiymatlar sohasini topishning ayrim usullari.
33](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_33.png)
![) (x f y tenglamani x ga nisbatan yechish
3.Maxsus funksiyalar:
] [ , |, | x y x y x y
Dirixle funksiyasi, Riman funksiyasi,
x
y 1 sin
, x
x
y sin1 ,
x
x y 1 sin
x
x y 1 sin ,
x
x y 1 ,
) (
) (
x f
x f y
,
2 ,1
2 ,2 ,1
2
2
x x
x x x
x
x x y
4. Funksiyani aniqlanmaydigan formulalarga doir misollar:
x x
y x y x x y
3
1
2
1 ;5 cos ); ( log log
22
Har qanday chiziq ham biror funksiyaning grafigi bo‘lavermaydi.
5. Funksional tenglamalar orqali funksiyani aniqlash.
) (x f y
ning grafigi asosida
f
f f f 1, , ; 1 2 , larning grafigi.
6.
) (x f y
funksiyaning aniqlanish sohasidagi chekli (cheksiz) nuqtalarda
qiymatlarini o‘zgartirib yangi funksiya qurish:
Masalan:
D x x f y ), (
0 1
0
1 ); ( ) (
\) ( ), (
) (
X x x f x f
X f D x x f
x f
01 01
\)(),()( ),()(
XfDxxfxf Xxxfxf
7. Faqat bitta (ikkita) nuqtada aniqlangan funksiyalarga misollar
2 2 x x y
, 0 ) ( , 2;1 ) ( f E f D
8. Funksiyani davom ettirish (Davriy davom ettirish)
Juft va toq funksiyalar
34](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_34.png)
![Ta’rif. Sonlar o‘qidagi X to‘plamining ixtiyoriy x soni uchun – x son ham X
to‘plamga qarashli bo‘lsa, u holda X to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan
simmetrik to‘plam deyiladi.
Masalan: a) sonlar o‘qi; b) (-a;a) interval; c) (-3,-2,-1; 1,2,3)
Y a rim interval va (-3; 2) interval simmetrik to‘plam emas.
Ta’rif . Agar X to‘plamda f funksiya uchun quyidagi shartlar
1. X to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lsa.
2. Ixtiyoriy x∈X element uchun f(x)= f(−x) tenglik bajarilsa, u h olda
f
funksiya juft deyiladi.
Ta’rif . Agar
X to‘plamda f funksiya uchun quyidagi shartlar
1.
X to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lsa.
2. Ixtiyoriy
x∈X element uchun − f(x)= f(−x) tenglik bajarilsa, u h olda
f
funksiya toq deyiladi.
Juft funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Agar 0 soni toq funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lsa, u holda
f(x)=0
bo‘ladi.
3. Juft ham toq ham bo‘lmagan funksiyalar ham mavjud. Masalan:
ko‘rsatkichli funksiya.
Koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan M to‘plamda ham juft
ham toq bo‘lgan
y=0 funksiya yagonadir.
Koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan
M to‘plamda aniqlangan
har qanday
u= f(x) funksiyani quyidagicha aniqlangan juft ϕ(x)= f(x)+ f(− x)
2 va
toq
g(x)= f(x)− f(−x)
2 funksiyalarning yig‘indisi f(x)=ϕ(x)+g(x) shaklida
ifodalash mumkin.
Juft va toq funksiyalar ustida arifmetik amallar
35](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_35.png)
![1. Bitta to‘plamda aniqlangan juft funksiyalarning yig‘indisi, ayirmasi,
ko‘paytmasi va nisbati ham juft funksiya bo‘ladi(nisbatda maxraj noldan farqli
bo‘lganda).
2. Bitta to‘plamda aniqlangan toq funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi
toq funksiya bo‘ladi, ko‘paytmasi va nisbati esa juft funksiya bo‘ladi(nisbatda
maxraj noldan farqli bo‘lganda).
Davriy funksiyalar
Ta’rif. Agar shunday noldan farqli T son topilib, ∀ x∈D(f) uchun: 1) x+T∈D(f) .
1)
f(x+T)= f(x) shartlar bajarilsa, u holda f davriy funksiya, T uning davri
deyiladi.
Ta’rif. Agar
R da aniqlangan 2l davrli F(x) funksiya uchun [−l;l] kesmada
F(x)= f(x)
shart bajarilsa, u holda F(x) funksiya f(x) funksiyaning davriy davomi
deyiladi.
Davriy funksiyalarning xossalari:
1. Davriy funksiya ixtiyoriy qiymatini cheksiz marta qabul qiladi.
2. Agar
T va P sonlar f ning davrlari bo‘lsa, T+P ham davri bo‘ladi.
3. Agar
T son f ning davri bo‘lsa, nT , n∈Z ham davri bo‘ladi, va T
uning eng kichik davri deyiladi.
4. Agar musbat
T1 va T2 sonlar mos ravishda f va g funksiyalarning eng
kichik davrlari bo‘lsa, u holda ular umumiy davrga ega bo‘lishi uchun
T1:T2
nisbatning ratsional son bo‘lishi zarur va yetarlidir hamda ularning yig‘indisi va
ko‘paytmasi ham davriy bo‘ladi.
5. Agar
f davriy funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy F funksiya uchun
F(f(x))
murakkab funksiya ham davriy bo‘ladi.
6. Agar
f funksiyaning eng kichik davri T ga teng bo‘lsa, u holda
kf (ax +b)+l
(a noldan farqli) funksiya ham davriy bo‘lib, uning davri
T
a ga teng
bo‘ladi.
36](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_36.png)
![Ixtiyoriy haqiqiy son o‘zgarmas funksiyaning davri bo‘ladi. Ixtiyoriy qat’iy
monoton funksiya davriymasdir.
Chegaralangan funksiyalar
Ta’rif. Agar X to‘plamda aniqlangan f funksiya uchun shunday A soni topilib
barcha
x∈X lar uchun f(x)≥A tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya quyidan
chegaralangan deyiladi.
A soni esa f funksiyaning quyi chegarasi deyiladi.
Ta’rif. Agar
X to‘plamda aniqlangan f funksiya uchun shunday A soni
topilib barcha
x∈X lar uchun f(x)≤A tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya
yuqoridan chegaralangan deyiladi.
A soni esa f funksiyaning yuqori chegarasi
deyiladi.
A
soni funksiya qiymatlar to‘plamining quyi(yuqori) chegarasi bo‘lib
yagona ravishda aniqlanmaydi.
Ta’rif.
X to‘plamda aniqlangan f funksiya uchun shunday S
o‘zgarmas musbat son topilib, barcha
x∈X lar uchun f(x)≤ S tengsizligi
bajarilsa,
f funksiya X to‘plamda chegaralangan deyiladi.
C h egaralangan funksiyalar xossalari :
1. Bitta to‘plamda aniqlangan chegaralangan funksiyalarning yig‘indisi,
ayirmasi , ko‘paytmasi va moduli ham shu to‘plamda chegaralangan bo‘ladi.
2. Bitta to‘plamda aniqlangan
f funksiya chegaralangan va g funksiya
quyidan chegaralangan bo‘lsa, ularning nisbati ham shu to‘plamda chegaralangan
bo‘ladi.
3. Agar
f(x) funksiya X to‘plamda chegaralangan bo‘lsa, u holda
quyidagi funksiyalar ham
X to‘plamda chegaralangan bo‘ladi:
n√f(x),gf(x),gf(x),sin f(x),cos f(x),sin −1f(x),cos −1f(x),tg−1f(x),ctg −1f(x)
.
Monoton funksiyalar
y= f(x)
funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
37](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_37.png)
![Ta’rif . Agar X to‘plamga tegishli ixtiyoriy x1 va x2 lar uchun x1<x2
bo‘lganda
f(x1)<f(x2),(f(x1)≤ f(x2)) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f funksiya X
to‘plamda o‘suvchi (kamaymovchi) deyiladi.
Ta’rif. Agar
X to‘plamga tegishli ixtiyoriy x
1
va x
2
lar uchun x1<x2
bo‘lganda
f(x1)> f(x2),(f(x1)≥ f(x2)) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f funksiya X
to‘plamda kamayuchi (o‘smavchi) deyiladi.
To‘plamda o‘suvchi (kamaymovchi) kamayuchi (o‘smavchi) funksiyalar
umumiy nom bilan qat’iy monoton ( monoton) funksiyalar deyiladi.
Monoton funksiyalarning xossalari:
1. Agar
f va g funksiyalar X to‘plamda o‘suvchi(kamayuchi)bo‘lsa,
ularning yig‘indisi ham
X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘ladi.
2. Agar
f va g funksiyalar X to‘plamda manfiy bo‘lmasdan o‘suvchi
(kamayuchi) bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi ham
X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi)
bo‘ladi.
3. Agar
f va g funksiyalar X to‘plamda manfiy bo‘lib o‘suvchi
(kamayuchi) bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi
X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi)
bo‘ladi.
4. Agar
f funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) va C o‘zgarmas son
bo‘lsa, u holda:
a)
f(x)+C funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘ladi.
b)
Cf (x),C>0 funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘ladi.
v)
Cf (x),C<0 funksiya X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi) bo‘ladi.
5. Agar f funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) va f ( x )
>0 bo‘lsa, u
holda
1
f(x) funksiya X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi) bo‘ladi.
6. Agar f funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) va
f(x)≥ 0 bo‘lsa, u
holda
√f(x) funksiya ham X to‘plamda o‘suvchi(kamayuchi) bo‘ladi.
38](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_38.png)
![7. Agar f funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘lsa, u holda:
a)
a f ( x )
funksiya a >1 bo‘lganda X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘ladi.
b)af(x) funksiya 0 < a <1 bo‘lganda X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi)
bo‘ladi.
v) log
a f ( x )
funksiya, f ( x )
>0 va a >1 bo‘lganda X to‘plamda
o‘suvchi(kamayuchi) bo‘ladi.
g)
log af(x) funksiya, f(x) >0 va 0 < a <1 bo‘lganda X to‘plamda kamayuchi
(o‘suvchi)bo‘ladi.
Ta’rif : ( nuqtada o‘sish va kamayish tushunchalari (Alimov 1-qism 222-
bet).
Funksiyaning ekstremumlari , eng katta va eng kichik qiymatlari.
Faraz qilaylik f funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
Ta’rif . Agar
x0∈X nuqtaning shunday δ>0 , ( x
0 − δ , x
0 Qδ
) ∈ X
, atrofi
mavjud bo‘lib, bu atrofdagi barcha(ixtiyoriy) x lar uchun f(
x ) ≤ f( x0 ) tengsizligi
bajarilsa, u holda x
0 nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi deyiladi.
Agar
x0∈X nuqtaning shunday δ>0 , ( x0−δ,x0Qδ ) ∈X , atrofi mavjud bo‘lib,
bu atrofdagi barcha (ixtiyoriy ) x lar uchun
f(
x ) ≥ f( x0 ) tengsizligi bajarilsa, u holda x0 nuqta f funksiyaning lokal
minimum nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimum nuqtalari uning lokal
ekstremum nuqtalari deyiladi. Funksiyaning lokal ekstremum nuqtalaridagi
qiymatlari uning ekstremal qiymatlari yoki ekstremumlari deyiladi.
Agar f( x
) ¿
f( x
0 ) (f( x
)
¿ f( x
0 )) x ≠ x
0 qat’iy tengsizliklar bajarilsa, u holda x
0
nuqta f funksiyaning qat’iy lokal maksimum(minimum) nuqtasi deyiladi.
Teorema : ( Lokal ekstremumning etarli sharti ). Agar y= f( x
), x ∈ X
funksiya qandaydir
δ>0 , ( x0−δ,x0]∈X oraliqda o‘suvchi (kamayuvchi) va δ>0 ,
¿ ¿
) ∈ X
oraliqda kamayuvchi(o‘suvchi) bo‘lsa, u holda x
0 nuqta f funksiyaning
qat’iy lokal maksimum (minimum) nuqtasi bo‘ladi.
39](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_39.png)
![Ta’rif. Agar M ⊆ X to‘plamga qarashli bo‘lgan x0 nuqta mavjud bo‘lib,
ixtiyoriy x ∈
M lar uchun f( x
) ≥
f( x
0 )( f( x
) ≤
f( x
0 )) tengsizlik bajarilsa , u xolda f( x
0 )
son f funksiya M to‘plamdagi eng kichik(eng katta) qiymati deyiladi .
Bunday qiymatlar mavjud bo‘lmasligi,cheklita yoki cheksiz ko‘p bo‘lishi
mumkin.
Agar funksiya segmentda monoton bo‘lsa, u holda eng katta yoki eng
kichik qiymatlarini kesmaning chetlarida qabul qiladi.
Agar funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, eng katta qiymatiga ega
bo‘lmaydi.
Agar funksiya quyidan chegaralanmagan bo‘lsa, eng kichik qiymatiga ega
bo‘lmaydi.
C h egaralangan funksiyalar ham eng katta va eng kichik qiymatlarga ega
bo‘lmasligi mumkin.
Faraz qilaylik f funksiya M to‘plamning x
0 ∈
M nuqtasida eng katta
qiymatini qabul qilsin, u holda quyidagi xossalar o‘rinli bo‘ladi:
1) Agar C>0 bo‘lsa, u holda C f funksiya ham M to‘plamda eng katta
qiymatini qabul qiladi. C < 0 bo‘lsa, u holda C f funksiya M to‘plamda eng kichik
qiymatini qabul qiladi.
2) Ixtiyoriy o‘zgarmas C uchun f +C funksiya ham M to‘plamda eng
katta qiymatini qabul qiladi.
3) Agar M to‘plamda f(
x ) ≠ 0 bo‘lsa, u holda x0 nuqtada 1
f ( x )
funksiya ( M to‘plamda) eng kichik qiymatini qabul qiladi.
4) Agar f va g funksiyalar M to‘plamda eng katta qiymatlarini qabul
qilsa, u holda f +g funksiya ham M to‘plamda eng katta qiymatini qabul qiladi.
5) Agar M to‘plamda f( x
) ≥
0 va p ∈
N , a>1 bo‘lsa, u holda x
0 nuqtada
quyidagi funksiyalar ham (M to‘plamda) eng katta qiymatlarini qabul qiladilar:
f(x)n
, n√f(x) , af(x) ,log a¿¿
Y u qoridagi xossalar eng kichik qiymatlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
40](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_40.png)
![Asosiy elementar funksiyalar va ularning asosiy xossalari
1. Chiziqli funksiya va uning xossalari, grafigi.
2. Kvadrat funksiya va uning xossalari, grafigi.
3. Kasr chiziqli va ratsional funksiyalarning xossalari, grafigi.
1. Chiziqli funksiya va uning xossalari, grafigi.
Ta’rif: y= kx+b ko`rinishidagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi.
Bunda k va b –sonlar, x -o`zgaruvchi, k –burchak koeffitsiyent k=tga ga
teng.
Chiziqli funksiya grafigi to`g`ri chiziqdan iborat. Chiziqli funksiyaning
aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to`plamidir.
k
0 da qiymatlar sohasi ham barcha haqiqiy sonlar to`g`ri chizig`idan
iborat.
k
0 da funksiya ( ¥; + ¥ oraliqda o`sadi. k da funksiya ¥; + ¥ oraliqda
kamayadi.
Umuman, y=kx+b funssiyaning grafigi y=kx funksiya grafigini ordinatalar
o‘qi bo‘ylab b birlikka siljitish yo‘li bilan hosil qilinadi. y=kx va y=kx+b
funksiyalarning grafiklari parallel to‘g‘ri chiziqlar bo‘ladi.
y=k
1 x+b
1 va y=k
2 x+b
2 to‘g‘ri chiziqlar k
1 =k
2 bo‘lganda parallel bo‘ladi.
Bu to‘g‘ri chiziqlar k
1∙ k
2 =-1 bo‘lganda to‘g‘ri chiziqlar perpendikulyar
bo‘ladi.
Agar y=kx+b chiziqli funksiyada b=0 bo‘lsa funksiya y=kx funksiyadan
iborat bo‘ladi. Bu funksiyaga to‘g‘ri proporsionallik deyiladi. Grafigi koordinatalar
boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdan iborat.
41
0 , k kx y yy=kx, k>0
х
0](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_41.png)
![Mavzuga oid misollar.
Misol-1 : y=3x-2 funksiya grafigini chizing.
Yechish: 1 Qiymatlar jadvalini tuzamiz:
X 0 1 2 3 -1 -2 -3
y -2 1 4 7 -5 -8 -11
2) D(y)=(-∞,+∞)
y
0 x
-2
1-misol. M (2;−3) nuqtadan o‘tuvchi va y=5x−6 chiziqqa parallel bo‘lgan
to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz.
Yechilishi. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq
y=5x−6 to‘g‘ri chiziqqga parallel,
demak, uning burchak koeffitsiyenti ham
k=5 . To‘g‘ri chiziq M(2;−3) nuqtadan
o‘tadi. Demak, uning tenglamasi
y=5(x−2)−3 yoki y=5x−13 .
42
у=3х-
2](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_42.png)
![2-misol. M (−2;−3)va N(4;−1) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning
tenglamasini tuzamiz.
Yechilishi. (2) formuladan foydalanamiz:
y−(−3)
−1−(−3)= x−(−2)
4−(−2) , bundan
y= 1
3x−21
3
.
Talabalarga topshiriqlar
1-misol. Koordinata boshi va M nuqtadan o‘tivchi to‘g;ri chiziq
tenglamasini tuzing.
a)M (3;−4);b)M (0;−3);d)M (3;0);e)M (2;5)
2 - misol. Funksiyaning grafigini yasang:
a)y= x−2;b)y=−x+3;d)y=4x−2;e)y=−2x−5
3-misol. Funksiyaning grafigini yasang:
a)y=2x+1;b)y=−2x+1;c)y=3x−4;d)y=0,5 x−1;e)y= 1
4x−2
4-misol.
y(x)=3x−1 chiziqli funksiya berilgan.
1)
y(0),y(1),y(2) ni toping;
2) agar
y(x)=−4,y(x)=8,y(x)=0 bo‘lsa, x ning qiymatini
toping.
5-misol. Funksiyaning grafigini uning koordinata o‘qlari bilan kesishish
nuqtalarini topib, yasang:
1)y=2x+2;2)y=−1
2x−1;3)y=4x+8;4)y=−3x+6;5)y=−6x−2
Kvadrat funksiya va uning xossalari, grafigi.
Ta’rif :
y= ax 2+bx +c ko`rinishidagi funksiyaga kvadrat funksiya deyiladi.
Bunda a,b,c- sonlar x,y - o`zgaruvchilar.
Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladan iborat.
Kvadrat funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to`plamidir. a da
parabola tarmoqlari yuqoriga yo`nalgan bo`ladi, a da esa parabola tarmoqlari
pastga yo`nalgan bo`ladi.
43](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_43.png)
![Kvadrat funksiyani grafigini chizish uchun:
1.Funksiyani aniqlanish soxasi topiladi.
2.Parabola uchi koordinatalari topiladi.
3.Qiymatlar jadvalini to‘ldiramiz.
4. Qiymatlar jadvalidan foydalanib koordinatalar sistemasida nuqtalarni
belgilaymiz va shu nuqtalarni tutashtirsak grafik hosil bo`ladi.
y=x 2
funksiya bizga quyi sinflardan tanish. Uning grafigi, uchi
koordinatalar boshi O(0;0) da va tarmoqlari yuqoriga yo‘nalgan parabola
(1-rasm). y =ax 2
funksiya grafigi esa x 2
parabolani abssissalar o‘qidan a
koeffitsiyent bilan cho‘zish (|a|>1 da) yoki qisish (|a|<1 da) orqali hosil qilinadi.
a<0 da y=ax 2
parabola Ox o‘qiga nisbatan simmetrik akslanadi. Ixtiyoriy a≠0 da
y=ax 2
funksiya grafigi paraboladan iborat.
y=ax 2
+bx+c, a≠0 funksiya grafigini yasash maqsadida ifodaniy=a(x+ b
2a)
2
+4ac −b2
4a yoki y=a(xa )2+b
ko‘rinishga keltiramiz, bunda
−α= b
2a,β= 4ac −b
4a .
bundan ko‘rinadiki y= ax 2+bx +c funksiyaning grafigi
y=ax 2
parabolani Oy o‘qqa nisbatan α qadar va Ox o‘qqa nisbatan β qadar
parallel ko‘chirish orqali hosil qilinadi, bunda parabolaning
O(0;0) uchun L(α;β)
nuqtaga o‘tadi.
Mavzuga oid misollar
Misol-2:
u= x2− 2x+1 funksiya
grafigini chizamiz.
Yechish:
D(y)=(−∞;+∞)
Parabola uchi koordinatalarini
topamiz:
x0= − b
2a= − (− 2)
2 = 2
2= 1; y0= 12− 2⋅1+1= 1− 2+1= 0
44](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_44.png)
![x y
0 1
-1 4
-2 9
2 1
3 4
4 9 0 1
Mustaqil yechish uchun misollar:
1-misol. Funksiyalarning grafiklarini yasang:
a) y=x 2
+6x-20; b) y=-x 2
-6x+20;
d) y=3x 2
-6x+4; e) y=2x–x 2
;
f) y=6-4x–x 2
; g) y=2x 2
+8x-1.
2-misol . A, B, C nuqtalardan o‘tuvchi parabolani yasang va tenglamasini
tuzing:
a) A(2;-1), B(1;3), C(0;2);
b) A(1;1), B(2;3), C(0;2);
d) A(-2;1), B(5;-1), C(4;2);
e) A(2;0), B(3;-6), C(4;1).
3-misol. x
0 abssissali nuqtada y= ax 2+b parabolaga urinuvchi to‘g‘ri
chiziqning tenglamasinit uzing, bunda :
a) a=-1, b=1, x
0 =3; b) a=4, b=2, x
0 =2.
4-misol. Quyidagi funksiyalarning grafiklari chizilsin:
1. y=2x+1, y= 2-3x, y=-2-x, y=x-4.
2. y=x 2
-4x+2, y=x 2
-6x+3, y=2x 2
-4x+5, y=x 2
-3x+4
3.Kasr chiziqli va ratsional funksiyalarning va uning xossalari ,grafigi.
Ikki chiziqli funksiyaning nisbatidan iborat
kasr - chiziqli funksiyani qaraymiz . Uning grafigi to ‘ g ‘ ri chiziq yoki giperbola
bo ‘ lishi mumkin :
45у у=х 2
-2х+1
x](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_45.png)
![1) Agar c=0,d≠0 bo‘lsa,(1) munosabat
y=(
a
b)x+b
d chiziqli
funksiyaga aylanadi uning grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat;
2)
c≠0,a
c= b
d=m bo‘lsa, y= mcx +md
cx +d = m ga ega bo‘lamiz. Bu holda (1)
funksiya grafigi
Ox o‘qqa parallel bo‘lgan va
M (− d
c;m) nuqtasi chiqarib
tashlangan
y=m to‘g‘ri chiziq bo‘ladi;
3)
a≠0,a
c≠ b
d. Oldin ax +b
cx +d kasrdan butun qism ajratamiz:
ax +b
cx +d= a
c+
b− ad
c
cx +d = a
c+
bc − ad
c2
x+d
c
= β+ k
x− γ
, bundan β= a
c,k= bc − ad
c2 ,γ=− d
c . (2)
Bundan ko‘rinadiki,
y= x+b
cx +d funksiya grafigi y= k
x funksiya grafigi (giperbola)ni
parallel ko‘chirishlar bilan hosil qilinadi, bunda koordinatalar boshi
L(γ;β) nuqtaga
o‘tadi.
γ,β va k lar (2) formulalar bo‘yicha topiladi.
Mavzuga oid misollar.
5
14 2
x
x y
funksiya grafigini yasang
Yechilishi . Kasrdan butun qismini ajratamiz :
2x+14
x+5 =2+ 4
x+5,unda k=4,γ=−5,β=2.O'(−5;2)
nuqtadan yordamchi O'x',O'y'
46](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_46.png)
![koordinatalar o ‘ qlarini o ‘ tkazamiz . Ularda y= 1
x funksiya grafigini, so‘ng y= k
x
funksiya girafigini yasaymiz. Bu grafik
xOy koordinatalar sistemasida y= 2x+14
x+5
ning grafigi bo‘ladi.
O‘quvchilarga topshiriqlar
1-misol. Funksiyalarning grafiklarini yasang:
a)y= 2x−5
x+1 ; b)y=−3x+2
2x−3 ;d)y= 4x+1
2x−3
e)a)y= 3x+4
2x− 1; f) y= x+9
−3x+1; g)y= 6x+1
4x−2
2-misol . A, B, C nuqtalarustidan o‘tuvchi
d cx
b ax y
funksiya
Grafigini yasang:
a) A(-2;0), B(1;4), C(0;2);
b) A(1;-3), B(3;2), C(-1;3);
d) A(4;-3), B(2;1), C(3;-4);
e) A(-5;1), B(-2;3), C(-1;5).
3-misol. Funksiyaga teskari funksiyani toping:
1.
y=ax 2 funksiya va uning xossalari, grafigi.
2.
y=ax funksiya va uning xossalari, grafigi.
47](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_47.png)
![3.y=log ax
funksiya va uning xossalari, grafigi.
4. Mustaqil yechish uchun masalalar
1. y= x n
funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=x n
formula bilan berilgan funksiyani ko‘rib chiqamiz. Bunda
x-erkli o‘zgaruvchi n-esa natural son. Bunday formula natural ko‘rsatkichli darajali
funksiya deyiladi.
y=x, y=x 2
va y=x 3
darajali funksiyalarni ko‘rib chiqqan edik.
x n
ifoda istalgan x da ma`noga ega. Shuning uchun natural ko‘rsatkichli
darajali funksiyaning aniqlanish sohasi hamma haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi.
Darajali funksiya xossalarini keltirish uchun daraja ko‘rsatkichi juft son bo‘lgan
holda xossalarni ko‘rib chiqamiz.
n juft bo‘lganda y=x n
funksiyaning xossalari:
1.Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi.
2.Funksiyaning grafigi koordinatalar boshidan o‘tadi.
3. Agar x 0 bo‘lsa, y>0 bo‘ladi. (Funksiyaning grafigi). Bu musbat sonnig
ham manfiy sonning ham juft darajali musbatligi kelib chiqadi. Funksiyaning
grafigi birinchi va ikkinchi koordinata choraklarida joylashgan.
4. Funksiya juft bo‘ladi. Bu n juft bo‘lganda (-x) n
=x n
tenglik istalgan x
uchun to‘g`riligi kelib chiqadi. Funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan
simmetrik.
5. Funksiya [0;+ ¥ ) oraliqda o‘sadi va (- ¥ ;0] oraliqda kamayadi
5. Funksiyaning qiymatlari sohasi nomanfiy sonlar to‘plamidir.
y=x 2
va y=x 4
funksiyalarni grafiklari.
48Y
X Y
X](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_48.png)
![Endi darajali funksiyani daraja ko`rsatkichi toq bo`lgandagi xossalarni ko`rib
chiqamiz.
1. Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi
2. Agar x>0 bo‘lsa, y>0 bo‘ladi.
Agar x<0 bo‘lsa y<0 bo‘ladi. Funksiyaning grafigi birinchi va uchinchi
choraklarda joylashgan.
3. Funksiya toq bo`ladi. Bu hol n toq bo`lganda istalgan x uchun (-x) n
=-
x n
tenglik to`g`ri bo`lishidan kelib chiqadi.
4. Funksiya butun aniqlanish sohasida o`sadi.
5. Funksiya qiymatlari sohasi hamma haqiqiy sonlar to`plamidir.
Misol: y=х va y= 3 х funksiyalar haqida ma’lumot.
1) y=
х funksiya va grafigi.
y=
3 х funksiya va grafigi.
1) Teskari funksiyalar haqida ma`lumot.
y=
х funksiya darajali funksiyaning n= 2
1 bo‘lgandagi ifodasidir.
Bu funksiyaning xossalari quyidagicha:
A).y=
х funksiyaning aniqlanish sohasi barcha nomanfiy sonlar to‘plami
bo‘ladi.
B).y=
х funksiyalar x ³ 0 oraliqda o‘sadi.
49х хуу
у=х 3
у=х 5](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_49.png)
![S). y=х funksiyaning grafigi 0 x 1 oraliqda y=x funksiyaning grafigidan
yuqorida, x 1 oraliqda esa y=x funksiyaning grafigidan pastda yotadi.
Umuman olganda y=
х funksiyaning grafigi:
y y=
х
0 x
d) y=
х funksiyaning qiymatlar sohasi barcha nomanfiy sonlar to‘plami
bo‘ladi.
y=
3 х funksiyaning quyidagi xossalari bor.
A) y=
3 х funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonalar to‘plami.
V) y=
3 х funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami.
S) y=
3 х funksiyaning grafigi..
y=
3 х
0 x
50](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_50.png)
![D). y=3 х funksiya har doim o`suvchi funksiya.
2. y= a x
funksiya va uning xossalari, grafigi
y = a x
funksiyaga ko‘rsatkichli funksiya deyiladi. Bunda
0 ,1 a a bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli funksiya xossalarini keltiramiz:
1. Ko‘rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar
to‘plami:
) ; ( ) ( ¥ ¥ y D
2. Ko‘rsatkichli funksiyaning qiymatlar sohasi barcha musbat sonlar
to‘plami:
); 0( ) ( ¥ y E
3. y= a x
ko‘rsatkichli funksiya a>1 bo‘lganda barcha haqiqiy sonlar
to‘plamida o‘suvchi bo‘ladi, 0<a<1 bo‘lganda esa kamayuvchi bo‘ladi.
a) a >1 va x
2 >x
1 bo‘lsin. U holda
1 2 x x a a dan x
2 >x
1 bo‘lganligi sababli x
2 -
x
1 >0 va
1 1 2 x xa yoki 1 1
2
x
x
a
a munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bundan
1 2 x x a a ekani kelib
chiqadi.
b) 0< a <1 va x
2 >x
1 bo‘lsin. U holda
1 2 x x a a bo‘ladi, chunki 0<a<1
bo‘lganligi uchun
1 1a va 12
1 1 xx
a a
yoki 1 2 x x a a bo‘ladi.
4. y= a x
funksiyaning grafigi a ning har qanday qiymatida ham (0;1)
nuqtadan o‘tib, Ox o‘qidan yuqorida joylashgan bo‘ladi.
51](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_51.png)
![1 – misol: y=2 x
funksiya grafigini yasang:
Yechish: Bu funksiya grafigini yasash uchun ushbu jadvalni to‘ldiramiz:
Jadval asosida funksiya grafigini chizamiz:
x -2 -1 0 1 2x y 2 25.0 41 5.0 21
1 2 4
2-misol.
x
y
5
1 funksiya grafigini yasang:
Yechish:
x
y
5
1 uchun ushbuj advalni to‘ldiramiz:
x -2 -1 0 1 2
x
y
5
1
25 5 1 2.0 51 04.0 251
52](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_52.png)
![Jadval asosida funksiya grafigini chizamiz.
3. y=log ax funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=log
a x (a>0,
1a ) ko‘rinishdagi funksiyaga logarifmik funksiya deyiladi.
logarifmik funksiya quyidagi xossalarga ega:
1. Logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar
to‘plamidan iborat, chunki log
a x ifoda x>0 bo‘lgandagina ma’noga ega.
2. Logarifmik funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar
to‘plami R dan iborat.
3. y=log
a x funksiya x>0 oraliqda agar a>1 bo‘lsa o‘suvchi, 0<a<1 bo‘lsa
kamayuvchi hisoblanadi.
4. y=log
a x funksiya grafigini keltiramiz:
5. Mustaqil yechish uchun masalalar
53](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_53.png)
![1. Hisoblang: a) 327 g) 3 8 j) 4
625 81
b)
5 32 d) 364 z)
5
32
1 v)
481 e)
3
8
27 i) 3
125
64
2. Taqqoslang:
a)
52 va 5
3
v) 10 8.0 va 1
b)
4 8.1 va 1 g) 5 2.0 va 0
3. Ifodaning qiymatini toping:
a)
5 3 5 3 v) 243: 81 35
b) 33
73 10 73 10
g) 44 65 9 65 9
4. Funksiyaning grafigini yasang:
a) y=5 x
с) y=0.2 x
b) y=1.2 x
d)
x
y
2
1
5. Berilgan funksiyalarni aniqlanish sohasini toping:
1. y=log
7 (2x+3)
3.
x y 5 10 log
5.
1
2 log 8
x
x y 2.
2 2 25 log x y
4. y=log
3 x
Qaysi biri kattaligini aniqlang:
1. log
3 7+log
3 4 va log
3 (7+4) 3. log
0.7 3+log
0.7 4 va log
0.7 (3+4)
log
3 28 >log
3 11 log
0.7 12<log
0.7 10
2. log
5 2+log
5 1.5 va log
5 (2+1.5) log
5 5<log
5 3.5
Berilgan funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:
54](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_54.png)
![4. y=log
3 (x-5) 5. y=log
0.3 (7-3x) 6. y=log
0.1 (x 2
-4)
D(y)=? D(y)=? D(y)=?
x-5>0, x>5 7-3x>0, x<3
7 x 2
-4=(x+2)(x-2)>0
Javob:
¥ ;5 Javob:
¥;3
12
Javob:
¥ ¥ ;2 2; ∪
1. Chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalarning ta’rifini
ayting.
2. Teskari funksiyaning ta’rifini ayting.
3. Ko‘rsatkichli funksiya deb nimaga aytiladi?
4. Ko‘rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi qanday to‘plamdan
iborat?
5. Ko‘rsatkichlif unksiyaning qiymatlar sohasi qanday to‘plamdan
iborat?
6. Asosi qanday bo‘lganda ko‘rsatkichli funksiya o‘suvchi bo‘ladi?
7. Asosi qanday bo‘lganda ko‘rsatkichli funksiya kamayuvchi bo‘ladi?
8. y=a x
funksiya grafigi qaysi nuqtadan albatta o‘tadi?
9. Logarifmik funksiya deb nimaga aytiladi?
10. Logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasini
ayting.
11. Qanday asosda logarifmik funksiya o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi?
1.
y=sin x,y=cos x funksiya va uning xossalari, grafigi.
2.
y=tan x,y=ctgx funksiya va uning xossalari, grafigi.
3.Mustaqil yechish uchun masalalar
1.
y=sin x,y=cos x funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=sin x funksiya
1. y=sin x funksiyaning a niql a nish s o h a si b a rch a h a qiqiy s o nl a r to‘pl a mi,
ya’ni: R = (- ¥ ;+ ¥ )
55](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_55.png)
![2. y=sin x funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1] o r a liq yani:-1 sin x 1
3. y=sin x funksiya eng kichik musb a t d a vri 2 bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4. y=sin x funksiya t o q funksiya.
5. y=sinx funksiya 0 ga teng qiymatni x= n, n Z larda qabul qiladi.
6. y=sinx funksiya 1 ga teng eng katta qiymatni x= /2+2 n, n Z larda
qabul qiladi.
7. y=sinx funksiya -1 ga teng eng kichik qiymatni x=- /2+2 n, n Z larda
qabul qiladi.
8. y=sinx funksiya musbat qiymatlarni (0; ) oraliqda va bu oraliqni
2 n(n= ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
9. y=sinx funksiya manfiy qiymatlarni ( ;2 )oraliqda va bu oraliqni 2 n
(n= ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10. y=sin x funksiya [- /2; /2] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a o‘s a di.
11.y=sin x funksiya [ /2;3 /2] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a k a m a yadi.
12. y=sin x funksiyaning gr a figi 1.31 chizmada berilgan.
y=cosx funksiya
1.y=cosx funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
ya’ni: R = (- ¥ ; + ¥ )
2. y=cos x funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1] o r a liq yani: -1 cos x 1
3.y=cos x funksiya eng kichik musb a t d a vri 2 bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4.y=cosxfunksiyajuftfunksiya.
5. y=cosxfunksiya 0 ga tengqiymatni x= /2+ n, n Z lardaqabulqiladi.
6. y=cosx funksiya 1 ga teng eng katta qiymatni x=2 n, n Z larda qabul
qiladi.
56](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_56.png)
![7. y=cosx funksiya -1 ga teng eng kichik qiymatni x= +2 n, n Z larda
qabul qiladi.
8. y= cosx funksiya musb a t qiym a tl a rni (- /2; /2) o r a liqd a v a bu o r a liqni
2 n
( n = ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
9. y= cos x funksiya manfiy qiymatlarni ( /2;3 /2) oraliqda va bu oraliqni
2 n
( n = ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10.y= cos x funksiya [ ;2 ] kesmada va bu kesmani 2 n ( n = ± 1; ± 2,) qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a o‘s a di.
11.y= cosx funksiya [0; ] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n ( n = ± 1; ± 2,) qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a k a m a yadi.
12.y= cosx funksiyaning gr a figi1.32 chizmada berilgan .
2. y=tgx ,y=ctgx funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=tg x funksiya
1.y=tg x funksiyaning a niql a nish s o h a si x
/2+ n, n Z o‘lg a n b a rch a
h a qiqiy s o nl a r to‘pl a mi.
2. y=tgx funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
ya’ni: R=(- ¥ ;+ ¥ )
3. y=tgx funksiya eng kichik musbat davri bo‘lgan avriy funksiya.
4 y=tgx funksiya toq funksiya.
5. y=tgx funksiya 0 ga teng qiymatni x= n, n Z larda qabul qiladi.
6. y=tgx funksiya musbat qiymatlarni ( n; /2+ n), n Z oral qlarda qabul
qiladi.
57](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_57.png)
![7. y=tgx funksiya manfiy qiymatlarni (- /2+ n; n), n Z oraliqlarda qabul
qiladi.
8. y=tg x funksiya (- /2+ n; /2+ n ), n Z o r a liql a rd a us a di.
9. y=tg x funksiya gr a figi Bund a z к к х , 2 - ¥ <tg x < + ¥
y=ctgx funksiya
1.y=ctgx funksiyaning aniqlanish sohasi x
n, n Z bo‘lgan barcha
haqiqiy sonlar to‘plami.
2. y=ctgx funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
ya’ni: R=(- ¥ ;+ ¥ )
3. y=ctg x funksiya eng kichik musb a t d a vri bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4 y=ctgx funksiya toq funksiya.
5. y=ctgx funksiya 0 ga teng qiymatni x= /2+ n, n Z larda qabul qiladi.
6. y=ctgx funksiya musbat qiymatlarni ( n; /2+ n), n Z oraliqlarda qabul
qiladi.
7. y=ctgx funksiya manfiy qiymatlarni ( /2+ n; + n), n Z oraliqlarda
qabul qiladi.
8. y=ctgx funksiya ( n; + n), n Z oraliqlarda kamayadi.
9. y=ctgx funksiya grafigi: Bundax
n, n Z, - ¥ <ctgx<+ ¥
58](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_58.png)
![y=ctgx2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalar va ular ustida amallar
O‘quvchilarning f unksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirish
darajasini aniqlash maqsadida o‘tkaziladigan tajriba sinovlar uchun topshiriqlar
1. Ayrim nuqtalarda funksiyalarni aniqlamaydigan formulalarga doir
misollar quring hamda ularning grafiklarini chizing:
2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni tuzish va ular bilan
arifmetik amallarni bajaring (chekli va cheksiz to‘plamlarda aniqlangan) hamda
ularning grafiklarini chizing:
3. Bir-biridan cheklita nuqtalardagina farq qiluvchi funksiyalarga doir
misollar tuzing hamda ularning grafiklarini chizing:
4. Ma’lum bir nechta xossalarga ega bo‘lmagan funksiyalarga doir misollar
qurish, masalan segmentda chegaralanmagan funksiyaga misollar tuzish hamda
ularning grafiklarini chizing:
1)
f(x)=¿{f1(x),x∈A1¿{f2(x),x∈A2 A1∩A2∩A3=∅¿¿¿¿
D(f)= A1∩ A2∩ A3 ,A1,A2,A3⊂R
Uchta formula bilan berilgan bitta funksiya. Agar
A1∩ A2∩ A3≠ ∅ bo‘lsa, bu 3 ta
formula bilan berilgan f qonuniyat funksiyani aniqlamaydi.
2) Chekli to‘plamda aniqlangan funksiyalarning yig‘indisini(ayirmasini,
ko‘paytmasini va bo‘linmasini) topish:
59](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_59.png)
![f
0
(x)=¿{b
1
,x=a
1¿{b
2
,x=a
2
a
1
≠a
2
≠a
3¿¿¿¿D(f ) q{ ,} E(f ) q{} f
1
(x)=¿{c
1
,x=a
1¿{c
2
,x=a
2 ¿¿¿¿
(f
0
+f
1)(x)=¿{b
1
+c
1
,x=a
1¿{b
2
+c
2
,x=a
2 ¿¿¿¿
Aniqlanish sohalarini turlicha, lekin kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamlar
tanlab misollar tuzish va ular bilan amallar bajariis ga doir misollar keltirish,
grafiklarini yasash.
3) Cheksiz va chegaralangan to‘plamlarda aniqlangan pag‘onasimon
(zinasimon)funksiyalarning yig‘indisini(ayirmasini, ko‘paytmasini va
bo‘linmasini) topish:
g1(x)=¿{3,x∈[−3;0]¿{2,x∈(0;2] D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿
, g2(x)=¿{−1,x∈[−2;0]¿{3,x∈(0;1] D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿
(g
1
+g
2)(x)=¿{2,x∈[−2;0]¿{5,x∈(0;1] D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{4,x∈(1;2] E(g
1
+g
2
)={2,3,4,5}¿¿¿¿
4) Cheksiz va chegaralangan to‘plamlarda aniqlangan bo‘lakli chiziqli
funksiyalarning yig‘indisini(ayirmasini, ko‘paytmasini va bo‘linmasini) topish:
g1(x)=¿{3x+2,x∈[−3;0]¿{−2x+1,x∈(0;2] D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿
g2(x)=¿{2x−1,x∈[−2;0]¿{4x−3,x∈(0;1] D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿
60](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_60.png)
![(g
1
+g
2)(x)=¿{3х+2+2х−1=5х+1, x∈[−2;0]¿{−2х+1+4х−3=2х−2,x∈(0;1] D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{−2х+1+(−х+2)=−3х+3,x∈(1;2] E(g
1
+g
2
)=¿¿¿¿5) Berilgan f chiziqli funksiyadan faqat chekli nuqtalardagina farq qiluvchi
funksiya qurishga doir misol.
f(x)=3x+2 ,x∈[−2;3]
,
f(x)= f1(x),x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿¿
,
f(x)≠ f1(x),x∈{−1,0,1,2}
6) Segmentda chegaralanmagan funksiyalarga doir misollar
f1(x)= ¿{
1
x
, x∈[− 1;0)∪ (0.1]¿¿¿¿
f
2
(x)=¿
{
tgx ,x∈(−
π
2
,
π
2
)¿
{
−1, x=−
π
2
,D(f
2
)=[−
π
2
,
π
2
]¿¿¿¿
.
O‘tkaziladigan tajriba sinovlaridan olingan natijalar.
1. Savol. (Samarqand viloyati Ishtixon tumani XTBga qarashli
91-maktabi 10-sinf o‘quvchisi Shonazarova Surayyo)
g1(x)={
1,x∈[−2;3]
3,x∈(3;7)
D(g1)=[−2;7)
E(g1)={1;3]
g2(x)={
5,x∈[−3;0)
6,x∈(0;5]
D(g2)=(−3;5]
E(g2)={5;6]
a) funksiyalarni qo‘shing
(g1+g2)= ?
61
f
1
(x)=¿{3x+2,x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿]¿{1,x=−1¿{−1,x=0¿{4,x=1¿¿¿¿](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_61.png)
![(g1+g2)(x)={
1+5, x∈[−3;0)
1+6,x∈(0;5] , (g1+g2)(x)={
3+5, x∈[0;3]
3+6,x∈[3;5]
D (g1+g2)= [− 2;5]
E(g1+g2)=[6;9] .
b) funksiyalarni ayiring.
(g1− g2)=?
(g1− g2)(x)={
1−5,x∈[−2;0]
1−6,x∈[0;3]
(g1− g2)(x)={
3−5,x∈[0;3]
3−6,x∈[3;5]
D(g1− g2)=[−2;3]
E(g1−g2)=[−1;−2] .
c) funksiyani ko‘paytiring.
(g1⋅g2)(x)= ?
(g1⋅g2)(x)= {
1⋅5,x∈[− 2;1]
1⋅6,x∈[0;3]
(g1⋅g2)(x)= {
3⋅5,x∈[0;3)
3⋅6, x∈[3;5)
D (g1⋅g2)(x)= [− 2;5]
E(g1⋅g2)(x)=[6;18 ] .
d) funksiyani bo‘ling.
(
g1
g2)(x)=?
(
g1g2)(x)=
{
1
5 x∈[− 2;3]
1
6 x∈[0;1]
(
g1
g2)(x)=
{
3
5 x∈[0;2]
3
6 x∈[− 2;0]
D(
g1
g2)(x)=[−2;5]
E(
g1
g2)(x)=[2,16 ;0,2 ] .
2.3 . Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir
savollar, masalalar va testlar
Akslantirishlarning shakllari:
1. Chekli to‘plamni → chekli to‘plamga
2. Sanoqli to‘plamni → chekli to‘plamga
3. Sanoqli to‘plamni → sanoqli to‘plamga
4. Sanoqsiz to‘plamni → chekli to‘plamga
5. Sanoqsiz to‘plamni → sanoqli to‘plamga
62](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_62.png)
![6. Sanoqsiz to‘plamni →sanoqsiz to‘plamga
7. Chegaralangan to‘plamni → chegaralangan to‘plamga
8. Chegaralangan to‘plamni → chegaralanmagan to‘plamga
9. Chegaralanmagan to‘plamni → chegaralangan to‘plamga
10. Chegaralanmagan to‘plamni → chegaralanmagan to‘plamga
11. Sanoqli va chegaralangan to‘plamni → Sanoqli va chegaralangan
to‘plamga
12. Sanoqli va chegaralangan to‘plamni → Sanoqli va chegaralanmagan
to‘plamga
13. Sanoqli va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqli va chegaralangan
to‘plamga
14. Sanoqli va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqli va chegaralanmagan
to‘plamga
15. Sanoqsiz va chegaralangan to‘plamni → Sanoqsiz va egaralangan
to‘plamga
16. Sanoqsiz va chegaralangan to‘plamni → Sanoqsiz va chegaralanmagan
to‘plamga
17. Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqsiz va chegaralangan
to‘plamga
18. Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamni → Sanoqsiz va
chegaralanmagan to‘plamga
O‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. Chekli to‘plamni chekli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga misollar
keltiring .
2. Sanoqli to‘plamni chekli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga
misollar keltiring .
3. Sanoqli to‘plamni sanoqli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga
misollar keltiring .
63](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_63.png)
![4. Sanoqsiz to‘plamni chekli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga
misollar keltiring .
5. Sanoqsiz to‘plamni sanoqli to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga
misollar keltiring .
6. Sanoqsiz to‘plamni sanoqsiz to‘plamga akslantiruvchi funksiyaga
misollar keltiring .
7. Aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasiga teng bo‘lgan funksiyaga
misollar keltiring .
8. Aniqlanish sohasi qiymatlar sohasining qismi bo‘ladigan funksiyaga
misollar keltiring
9. Qiymatlar sohasi aniqlanish sohasining qismi bo‘ladigan funksiyaga
misollar keltiring .
10. Chegaralangan to‘plamni, chegaralangan to‘plamga akslantiruvchi
funksiyaga misollar keltiring.
11. Chegaralangan to‘plamni chegaralanmagan to‘plamga akslantiruvchi
funksiyaga misollar keltiring .
12. Chegaralangan funksiyalarga misollar keltiring.
13. Chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
14. Segmentda chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
15. Intervalda chegaralanmagan funksiyalarga misollar keltiring.
16. O‘suvchi funksiyalarga misollar keltiring.
17. Qat’iy o‘suvchi fuksiyalarga misollar keltiring.
18. Kamayovchi funksiyalarga misollar keltiring.
19. Qat’iy kamayovchi funksiyalarga misollar keltiring. Monotom
bo‘lmagan funksiyalarga misollar keltiring. Jift, toq va davri funksiyalarga
misollar keltiring.
20. Jift, toq va davri bo‘lmagan funksiyalarga misollar keltiring.
21. Bir nechta formulalar bilan berilgan fuksiyalarning yig‘indisini,
ayirmasini, ko‘paytmasini va bo‘linmasini toping.
22. Funksiyaning teskarisini topish.
64](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_64.png)
![23. O‘zi teskarisiga teng bo‘lgan funksiyalarga misollar keltiring.
24. Berilgan chiziqli funksiyadan:
a) faqat bitta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
b) faqat p ta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
25. Pog‘onasimon funksiyalarga misollar keltiring.
Akslantirishlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. Akslantirishlar va ularning turlari. Funksiya tushunchasi, berilish
usullari va uning asosiy xossalari.
2. Aniqlanish va qiymatlar sohalarining turlari (quvvatlari) bo‘yicha
funksiyalarning turlari.
3. Funksiyalar ustida arifmetik amallar. Funksiyalarning tengligi.
4. Bir-biridan cheklita nuqtalardagina farq qiluvchi funksiyalar.
5. Biektiv akslantirishning ta’riflari ?
6. [a;b]va [c;d] kesmalar o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
7.
[ a ; b ] va ( − ∞ , + ∞ )
- o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
8.
(− ∞ ,+∞)→ {a;b} akslantirishni toping?
To‘plamlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. To‘plam tushunchasi. Berilish usullari. To‘plamlar ustida amallar
(qism to‘plam, bo‘sh to‘plam, to‘ldiruvchi to‘plam) To‘plamlarning dekart
ko‘paytmasi.
2 Sanoqli va sanoqsiz to‘plamlar
3.Chegaralangan to‘plamlar, to‘plamning aniq quyi va aniq yuqori
chegaralari. 4.Chegaralangan to‘plamning aniq chegaralarga erishish haqidagi
teorema.
5.Sanoqli va chegaralangan,
6.Sanoqli va chegaralanmagan,
7.Sanoqsiz va chegaralangan,
8.Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamlarga misollar.
65](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_65.png)
![9.(
n
n+1,n+1
n+2) intervalga tegishli bo‘lgan chekli, sanoqli va sanoqsiz qism
to‘plamlarga misollar keltiring.
10. To‘plamning aniq chegaralarini toping?
To‘g‘ri tasdiqlarni belgilang:
1) To‘plamning chegaralari albatta o‘zining elementlari bo‘ladi.
2) A Chekli to‘plam bo‘lsa,
max {ai}=sup {A} , A={a1,a2,a3,....,an}
3)
sup {[0,1 ]}=1;inf {(0,1 )}=0;
4)
sup {[0,1 ]}=sup {(0;1)}.
5) Yuqoridan chegaralangan to‘plam faqat bitta yuqori chegaraga ega
bo‘ladi.
6) Quydan chegaralangan to‘plamning quyi chegaralari cheksiz ko‘p
bo‘ladi.
TESTLAR :
1. Chegaralanmagan to‘plamlarni toping:
A)
N,(−∞;0],{n2},[0;+∞);(−∞;+∞)
B)
Z ,[a ;b ],{2 n + 1 }{
n + 1
n },Q
C)
Z,N,I,Q,R,[0;1];
D)
[−1;1],{x:|x|≤5},{
n+1
n },{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 }.
2. To‘g‘ri munosabatlar keltrilgan javobni belgilang.
A)
N ⊂Z ⊂Q ⊂R ;Q∩ I= ∅
B)
N ⊂Z ⊂Q ⊂I⊂1R
C)
N∪ Z=Q ;N∩ Z= Z;
D)
Q∩ I≠ ∅ ;Q ¿= N .
3.To‘g‘ri ta’riflarni toping:
66](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_66.png)
![1) Yuqoridan chegaralangan to‘plam yuuqori chegaralarining eng kattasiga
uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
2) Yuqoridan chegaralangan to‘plam yuuqori chegaralarining eng
kichigiga uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
3) Quyidan chegaralangan to‘plam quyi chegaralarining eng kattasiga
uning aniq quyi chegarasi deyiladi.
4) Quyidan chegaralangan to‘plam quyi chegaralarining eng kichigiga
uning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
A) 2,3. B) 1,4. C) 1,2. D) 3,4.
4. Tasdiqlardan to‘g‘rilarini aniqlang:
1)∀ Chegaralangan to‘plam sanoqlidir.
2)
∀ Sanoqli to‘plam chegaralangandir.
3)
∀ Chegaralanmagan to‘plam sanoqsizdir.
4)
∀ Chegaralangan to‘plam sanoqsizdir.
5)
∀ Chekli to‘plam chegaralangandir.
6)
∀ Sanoqsiz to‘plam chegaralanmagandir.
A) 3,4. B) 1,2,3. C) 4,6. D) 4,5,6.
5. To‘g‘ri moslikni o‘rnating:
1) kesmani segmenetga akslantrish:
2) chekli oraliqni R ga akslantrish:
3) R ni bita nuqtaga akslantrish:
4) R ni segmenega akslantrish :
5) R ni ikkita nuqtaga akslantrish:
a)
y=tgx ; − π
2<x<π
2
b) y=c− const
v) y= kx +l
g) y=sin x
d) Dirixle funksiyasi
Δ(x)=¿{0,xεR ¿¿}¿{}
A) 1-b; 2-a; 3-b; 4-ch; 5-d; B) 1-a; 2-b; 3-e; 4-d; 5-c;
S) 1-e; 2-d; 3-a; 4-c; 5-b; D) 1-c; 2-e; 3-d; 4-a; 5-b.
Funksiyaning xossalariga doir testlar:
67](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_67.png)
![1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.y=√3x+4+ 1
ln (2−5x)
A)
[−0,5 ;9
5)∪(
9
5;2) B) (− 1
2;2) C) [−0,5 ;9
5)∪(2;+∞) D)
∅
2.
y= 1
x2+1 funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
A)
(0;1] B) (
1
2;+∞) C) [0;1) D) (−∞;+∞)
3.
f(x)={
x2, − 2≤ x≤1
2x+1, 1<x≤4 va
g(x)={
1−2x2, [−1;2]
−x−1 (2;3] funksiyalarning
yig‘indisini toping.
A)
{
1−x2, −1≤x<1
2x2+2x+2, 1<x<2
¿¿¿¿ B)
{
1− x2, −1≤ x≤1
x, 2<x≤3
4. Quyidagi ikkita formula bilan berilgan qonuniyat funksiyani aniqlaydimi?
f(x)={
x2, [−1;1]
x+1, [1;2]
A) Yo‘q, chunki x=1 da u
1 =1; u
2 =2
B) Ha ,
D(f)=[−1;2] , E(f)=[0;2]
C) Yo‘q, chunki
E(f)⊂D(f)
D) Ha ,
D(f)=[−1;2] , E(f)=[0;1]∪[2;3]
5. Chegaralangan funksiyalarni toping:
1) u=x 2
, 2)u=sinx, 3) y=lnx, 4)y=cosx 5)
y= 1
1+x2 6) D(x)={
0, x∉I
1, x∈Q
68](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_68.png)
![A) 2,4,5,6 B) 1,2,3 C) 1,3 D) 1,2,3,4
6. Chegaralanmagan funksiyalarni toping:
1) u=x 2
, 2) y=cosx, 3) y=e x
4) u=sinx, 5) y=kx+l 6) y=tgx 7) y=lnx,
A) 1,3,5,6,7 B) 1,2,4 C) 1,5,6 D)3,4,7
II BOB bo‘yicha xulosalar.
O‘quvchilarning bilim faolligini faollashtiruvchi, ularning qiziqishi va bilim
sifatini oshiradigan vizual-majoziy materiallardan foydalanish kerak va shu
materiallarni qanchalik darajada o‘zlashtirganligini tekshirish kerak;
Funksiyalarni o‘qitish usulida, asosiy jihatlardan biri funksiyalarni o‘rganish uchun
grafik va analitik usullarning kombinatsiyasi hisoblanadi.
Bu esa o‘quvchilar tafakkurining uyg‘onish, rivojlanishiga xizmat qiladi va bu esa
o‘quvchilarning bilim ko‘nikmasini oshirishga xizmat qiladi.
69](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_69.png)
![III B О B. T А JRIB А -SIN О V ISHL А RINI T А SHKIL ETISH V А UNING
N А TIJ А L А RI
3.1. T а jrib а -sin о v ishl а rini t а shkil etish.
Samarqand viloyati Oqdaryo tumani XTBga qarashli iqdisoslashtirilgan
(IDUMI) “ 52-sonli maktab” negizida bayoniy tajriba o‘ tkazdik. 2021-2022 o‘ quv
yilida tajribada 10-sinfning 30 nafar o‘ quvchilari ishtirok etdi. Aniqlovchi
eksperimentning maqsadi 8-9-sinfl а r algebra kursi uchun o‘ quvchilarda funksional
tushunchalarning shakllanish darajasini, “Funksiyalar” mavzusi b o‘ yicha masalalar
yechish qobiliyatini aniqlashdan iborat. 8-9-sinflаr da algebra kursida o‘ quvchilar
birinchi navbatda funksiya tushunchasi va shu tushuncha bilan bo g‘ liq
terminologiya bilan tanishishini aniqladik. Boshlan g‘ ich maktabda o‘ quvchilar
asosiy ele mentar funksiyalar bilan tanish dilar, 10-11-sinflarda esa “Funksiyalar”
mavzusidagi material tizimlashtiriladi va umumlashtiriladi. Bundan tashqari,
funktsiyalarning o‘ ziga xos turlari bilan k o‘proq tanishish mumkin . Xususan,
o‘ quvchilar trigonometrik funksiyalar, k o‘ rsatkichli va logarifmik funksiyalar bilan
tanishadilar . Shuningdek, funktsiyani matematik tahlil usullari bilan tekshirishni
o‘rgandi . 10-11-sinflarda “Funktsiyalar” mavzusini o‘ rganishni davom ettirish
uchun 9-sinf oxirida o‘ quvchilar tegishli bilim va k o‘ nikmalar bazasiga ega
b o‘ lishlari kerak. Natijada 1-sonli nazorat ishi tuzildi, u o‘quvchilarga taklif
qilindi, unda quyidagi turdagi topshiriqlar taqdim etiladi:
-funktsiyani aniqlash sohasini topish;
-funksional belgilarni tushunish;
-funksiya grafigini tuzish va uni o‘ rganish;
- funksiyalar grafiklarini tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalarini
yechishda q o‘ llash b o‘ yicha ; funksiyalar grafigini tuzish .
70](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_70.png)
![3.2. T а jrib а –sin о v ishl а rining n а tij а l а ri t а hlili.
M а tem а tik а g а ixtis о sl а shtirilg а n m а kt а bl а rd а gi о ‘quvchil а rni PIS А d а sturi
а s о sid а funksi уа tushunch а sini bilish d а r а j а sini b а h о l а sh m а qs а did а 8-9-sinfl а r v а
10-11-sinfl а r kesimid а t а jrib а v а n а z о r а t guruhl а rid а о ‘tk а zilg а n n а z о r а t ishl а ri
n а tij а l а rini his о bl а shd а qul ау b о ‘lishi uchun 100 b а llik re у ting tizimid а n 5 b а llik
re у ting tizimini qul ау deb t о pdik. Bu quуidаgi 1-2-jаdvаldа ifоdаlаngаn:
1-jаdvаl (8-9-sinflаr)
Bаhо « 2 » « 3 » « 4 » « 5 »
Bаllаr 51-54 55-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100
Tаjribа g 1 1 1 2 4 6 5 5 3 2
Nаzоrаt g 2 3 4 6 6 5 2 1 1 0
1-jаdvаl (10-11-sinflаr)
Bаhо « 2 » « 3 » « 4 » « 5 »
Bаllаr 51-54 55-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100
Tаjribа g 0 1 1 2 7 5 5 5 3 1
Nаzоrаt g 2 3 3 5 8 5 2 1 1 0
Ushbu jаdvаlni DTS dа keltirilgаn dаrаjаlаr bо‘уichа quуidаgichа bаhоlаrgа
ауlаntirdik:
III dаrаjа – reprоduktiv dаrаjа bо‘lib, DTS dа belgilаb berilgаn bilimlаrni
о‘zlаshtirishning minimаl dаrаjаsigа mоs kelаdi – «3» bаhо.
II dаrаjа – bu hаm reprоduktiv dаrаjаdа qо‘llаnilаdigаn DTS dаgi bilimlаr
dаrаjаsi bо‘lib, bu dаrаjаdа egаllаngаn bilimlаr «4» bilаn bаhоlаndi.
I dаrаjа – bilimlаrni ijоdiу qо‘llаsh dаrаjаsi bо‘lib - «5» bilаn bаhоlаndi.
1. Reуting kо‘rsаtkichi 86-100 % – «5»
2. Reуting kо‘rsаtkichi 71-85,9 % – «4»
3. Reуting kо‘rsаtkichi 56-70,9 % – «3»
4. Reуting kо‘rsаtkichi 0-55 % – «2».
71](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_71.png)
![Tаjribа-sinоv ishlаri jаrауоnidа 186 nаfаr о‘quvchilаrdаn оlingаn
sаvоlnоmа, test vа bоshqа ishlаr tаhlil etilib, mаtemаtik-stаtistikа metоdi оrqаli
tаsоdifiу tаnlаngаn ikkitа guruh (hаr bir sinfdа 35 tа dаn о‘quvchi)
о‘quvchilаrining аxlоqiу shаkllаngаnlik dаrаjаsi аniqlаndi. Yuqоridаgi 1-2-
jаdvаlgа аsоslаngаn hоldа quуidаgi 3-4-jаdvаlni tо‘ldirаmiz:
3-jаdvаl (8-9-sinflаr)
№ Guruhlаr nоmi « 2 » «3» «4» «5»
1. Tаjribа guruhi 1 4 15 10
2. Nаzоrаt guruhi 2 13 13 2
4-jаdvаl (10-11-sinflаr)
№ Guruhlаr nоmi « 2 » «3» «4» «5»
1. Tаjribа guruhi 0 4 17 9
2. Nаzоrаt guruhi 2 11 15 2
Yuqоridаgi jаdvаlgа mоs keluvchi pоligоnlаrni chizаmiz:
72Ta jriba guruhi Nazorat guruhi0246810121416
1 24 1315
13
10
2Tаjribа nаtijаlаri 8-9-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_72.png)
![73Ta jriba guruhi Nazorat guruhi024681012
0 25 10
10
99
3Tаjribа nаtijаlаri
2 baho 3 baho 4 baho 5 bahoTa jriba guruhi Nazorat guruhi024681012141618
0 24 1117
15
9
2Tаjribа nаtijаlаri 10-11-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_73.png)
![Ta jriba guruhi Nazorat guruhi0246810121416
1 24 1315
13
10
28-9-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho
Ta jriba guruhi Nazorat guruhi024681012141618
0 24 1117
15
9
210-11-sinflаr
2 baho 3 baho 4 baho 5 baho
74](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_74.png)
![Pоligоndа qауd etilgаn chiziqlаrdаn аnglаnаdiki, bu tаnlаmаlаr uchun mоs
о‘rtаchа bаhоlаr 8-9-sinflаrdа 4,13 > 3,5
10-11-sinflаrdа esа 4,16 > 3,56
shаrtni
qаnоаtlаntirishini kо‘rsаtаdi.
Ulаrni quуidаgi fоrmulа аsоsidа hisоblауmiz: baho o‘rtacha = 2∙b2+3∙b3+4∙b4+5∙b5
b2+b3+b4+b5
bu уerdа
b2,b3,b4,b5 mоs rаvishdа 2,3,4,5 bаhо оlgаnlаr sоni.
Demаk, tаjribа guruhidа о‘rtаchа о‘zlаshtirish nаzоrаt guruhidаgidаn kаttа
ekаn: 8-9-sinflаrdа
4,13 >3,5 10-11-sinflаrdа esа 4,16 >3,56 .
Demаk, 8-9-sinflаrning tаjribа guruhidаgi о‘quvchilаrning о‘rtаchа
о‘zlаshtirish dаrаjаsi nаzоrаt guruhidаgi о‘quvchilаrning о‘rtаchа о‘zlаshtirish
dаrаjаsigа nisbаtаn 18%, 10-11-sinflаrdа esа 16,8% kо‘pligini kо‘rishimiz
mumkin. Sаmаrаdоrlik dаrаjаsi esа 8-9-sinflаrdаgi 66,6% tаjribа guruhidа nаzоrаt
guruhigа nisbаtаn 58,3% gа, 10-11-sinflаrdа 52,9 % gа уuqоri bо‘di. Bu о‘z
nаvbаtidа tаjribа guruhidа о‘quvchilаr о‘zlаshtirish dаrаjаsi nаzоrаt guruhidаgigа
nisbаtаn уuqоri ekаnligidаn dаlоlаt berаdi.
Tahlil shuni ko‘rsatadiki, o‘quvchilar uchun eng qiyin vazifalar tenglamalar,
tengsizliklar va ularning tizimlarini yechishda funksiya grafiklarini qo‘llash
bo‘yicha topshiriqlardir (buni o‘quvchilarning faqat yarmi uddalagan). Bundan
tashqari, talabalar funktsiya grafiklarini tuzish uchun muammolarni hal qilishda
katta qiyinchiliklarga duch kelishadi. O‘quvchilarning atigi 52,9 % foizi bu
vazifani bajara oldi, 49.1 % foizi esa umuman boshlamadi. Bundan tashqari, shuni
ta'kidlash kerakki, juda ko‘p sonli o‘quvchi lar funksiya sohasini topish uchun
muammolarni hal qilishlari mumkin. 1-2-3-jadvalarda o‘quvchilar o‘rtasida
aniqlangan xatolar turlari keltirilgan. Shunday qilib, biz o‘quvchilarning katta
qismini "Funksiyalar" mavzusidagi muammolarni hal qilishda qiyinchiliklarga
duch kelishadi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tenglamalar, tengsizliklar va
ularning tizimlarini yechishda funksiya grafiklarini qo‘llash, funksiya grafiklarini
tuzish bo‘yicha topshiriqlarni bajarishda talabalar qiynaladi.
75](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_75.png)
![Bundan tashqari, o‘quvchilar ko‘p sonli arifmetik xatolarga yo‘l qo‘yadilar,
buning natijasida ular yechim algoritmi to‘g‘ri bo‘lishiga qaramay, noto‘g‘ri
javobga kelishadi.
III Bob bo‘yicha xulosalar.
Tadqiqot olib borilayotgan maktab sifatida Oqdaryo tumanidagi 52-
ixtisoslashtirilgan davlat umumiy o‘rta ta’lim maktab internati tanlandi. Ushbu
maktabdagi matematika faniga ixtisoslashtirilgan 8-9-sinf (15-16 yosh)
o‘quvchilari orasidan maxsus tayyorlangan topshiriqlar asosida iqtidorli
o‘quvchilarni saralab olindi. Dastlabki bosqichda tanlangan o‘quvchilarning
tanqidiy va kreativ fikrlashini shakllantirish maqsadida “funksiya” grafiklarini
tasavvur qilish ko‘nikmasi rivojlantirib olindi. Buning uchun maktab
darsliklaridagi funksiya mavzularini va misollarini yaxshi o‘zlashtirishi maqsadga
muvofiq topildi.
Saralab olingan o‘quvchilar bilan quyidagi mavzulari bo‘yicha dastlabki dars
mashg’ulotlari o‘tildi.
76](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_76.png)
![X U L О S А L А R VA T A V S I Y A L A R
1.Matematikada funktsiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish
tarixi o‘rganildi.
2. Maktab matematika kursida funksional yo’nalishini o`rganish sxemasi
funksiya tushunchasining shakllanish tarixiga asoslanganligi aniqlangan.
3. Asosiy maktab matematika kursida funktsional yo‘nalishni o‘qitishning
asosiy maqsad va vazifalari, o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga
qo‘yiladigan talablar aniqlangan.
4. “Funksiyalarni o‘rganishga kamroq nazariy yondashish, funksiyaning
grafik tasviridan maksimal darajada foydalanish zarurligi aniqlandi.
5. O‘quvchilarning bilim faolligini faollashtiruvchi, ularning qiziqishi va
bilim sifatini oshiradigan vizual-majoziy materiallardan foydalanish kerak;
6. Funksiyalarni o‘qitish usulida, asosiy jihatlardan biri funksiyalarni
o‘rganish uchun grafik va analitik usullarning kombinatsiyasi hisoblanadi.
Bu esa o‘quvchilar tafakkurining uyg‘onish, rivojlanishiga xizmat qiladi.
77](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_77.png)
![А D А BIY О TL А R R О ‘YX А TI
1. Бернштейн С.Н. Понятие функции в средней школе. Доклады
читанные на Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве,
Москва. 1915.
2. Маркушевич А.И. Понятие функции. Математика в школе, 1947,
№ 4.
3. Шилов Г.Е. Что такое функция?, Математика в школе.1964. №1.
С.7-15.
4. Колмогоров А.Н. Что такое функции. Математика в школе.1978.
№2.
5. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и школе,
Математика в школе.1978. №2.
6. Власова Е.В. Еще раз об изучении функции в средней школе. –
Математика в школе, 2002. № 6. С. 53-57 .
7. Вольхина И.Н.Дифференцированные задания по темам
«Функции» и «Рациональные дроби». – Математика в школе, 1999. № 1. С. 9
—13.
8. Генкин Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VIII
классе. - Математика в школе ,2003. № 9. С. 51-54.
9. Дворянинов С.В., Розов Н.X. Некоторые замечания об изучении
функций в школе. – Математика в школе, 1994. № 5. С. 27-30.
10. Марнянский И.А.Еще раз об определении функции. - Математика
в школе ,1991. № 4. С. 71—72.
11. Новоселов С.И. Учение о функциях в средней школе. –
Математика в школе, 2004. № 9. С. 47-53; 2004. № 10. С. 57-64.
12. Цукарь А.Я. Изучение функций в IX-XI классах. – Математика в
школе, 2002. № 7. С. 30-35.
13. Цукарь А.Я.Изучение функций в VII классе с помощью средств
образного характера. – Математика в школе, 2000. № 4. С. 20-27.
78](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_78.png)
![14. Шилов Г.Е. Что такое функция? – Математика в школе, (1964, N
1) 2003. № 1. С. 4-10.
15. Горина Л.А.О развывающем потенциале функционально-
графической линии в курсе алгебры основной школы. Математика в школе
№ 2.,2011.
16. Арзиқулов А.У. Функция тушунчасини ў қитишга доир баъзи
мулохазалар. «Академик лицейлар ва касб- ҳ унар коллежларида физика-
математика фанларини ў қитишни такомиллаштириш истиқболлари»
мавзусидаги III Республика илмий- а малий анжумани мақолалар туплами.
ТДПУ, 2004 йил 28 май 39 - 41 бетлар.
17. Арзи қулов А.У, Ачилов П.И. Функция тушунчасининг ташкил
этувчилари ҳ хақида. «Математик физика ва ахборот технологияларининг
замонавий муаммолари» халқаро конференция матерраллари, том.2., Б.125-
126, 2005 йил 18-24 апрель, Тошкент.
18. А rziqul о v А. U . Funksi уа ning qi у m а tl а ri t о‘ pl а mini t о ppish . K а sb -
hun а r t а’ lim h а mk о rligining sif а t h а md а s а m а r а d о rligini о shirish mu а mm о l а ri .
Vil оуа t miq уо sid а gi birinchi ilmi у а m а li у k о nfrensi уа m а teri а ll а ri II qism
S а m а rq а nd S а mDU , 2009, B -35-38
19. Тур ғ унбоев Р., Имамбердиева Д. Мураккаб функция ва уни
текширишнинг баъзи усуллари. Физика, математика ва информатика, 2002,
№ (1)3, 3-7 betlаr .
20. Mux а med о v а G ., Turg ‘ unb оу ev R . Funksi уа nim а? Fizik а,
m а tem а tik а v а inf о rm а tik а, 2018, № 2 79-87 betl а r .
21. Mux а med о v а G ., Turg ‘ unb оу ev R . Funksi уа t а’ rifl а ri , Fizik а,
m а tem а tik а v а inf о rm а tik а, 2018, № 3, 97-105 betl а r .
22. Turg ‘ unb оу ev R . Jum а ni уо z о v а У u . Q . M а tm а tik а t а’ limid а funksi уа
tushunch а si t а lqinig а t а rixi у v а m а ntiqi у уо nd а shuvl а r , Fizik а, m а tem а tik а v а
inf о rm а tik а, 2021, № 2, 9-15 betl а r .
23. Funksiуа tushunchаsining mаzmunini sаmаrаli о‘zlаshtirish hаqidа
Аrziqulоv А.U.(SаmDU dоtsenti), R а xm о n о v S . (О‘ zFinPI 1-kurs mаgistrаnti )
79](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_79.png)
![“ M а tem а tik а ni о‘ qitishning d о lz а rb mu а mm о l а ri v а у echiml а ri ” m а vzusid а gi
Respublik а ilmi у о nl ау n а njum а nni Jizz а x d а vl а t ped а g о gik а institute 2021-у il
12.16 Jizz а x -2021.
24. Funksiуа tushunchаsining mаzmunini sаmаrаli о‘zlаshtirish hаqidа.
Аrziqulоv А.U.(SаmDU dоtsenti), Rаxmоnоv S. (О‘zFinPI 2-kurs mаgistrаnti),
Аlgebrа vа аnаlizning dоlzаrb mаsаlаlаri mvzusidаgi Respublikа ilmiу-аmаliу
аnjumаni mаteriаllаr tо‘plаmi 2-qism 2022 уil 18-1anjumani materiallar to‘plami
2-qism 2022 yil 18-19 noyabr: Termiz 2022.
80](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_80.png)
MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………………………………………. 3 I BOB UMUMTA’LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O‘QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI ……………………………………………………………………. 7 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi ………………………………………………… 7 1.2. Umum ta’lim maktablarida funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turli yondoshuvlar ……………………............. 14 1.3 Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos masalalar tizimini yaratish……………………………………….. I BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………….……… 27 II BOB UMUMTA ’ LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O ‘ QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING METODIK ASOSLARI …………………………………….…. 2.1. Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning ma z muni va o‘qitish metodikasi ……………………. 29 2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasi …………………………………………………. 38 2.3. Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir savollar, masalalar va testlar……………………………………... 48 II BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………………. 57 III BOB TAJRIBA-SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA UNING NATIJALARI 59 3.1. Tajriba-sinov ishlarini tashkil etish……………………………. 59 3.2. Tajriba-sinov ishlarining natijalari tahlili……………………… 66 III BOB BO‘YICHA XULOSA ……………………………… 79 XULOSA VA TAKLIFLAR ………………………………………………. 81 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI …………………… 84 1
K I R I SH Dolzarblik. O‘quvchilarning o‘zlashtirish darajalarini xalqaro darajada o‘lchab, qiyoslab baholaydigan tashkilotlar (PISA, TIMSS) tomonidan tayyorlangan nazorat o‘lchov materiallariga kiruvchi savollar va testlar tarkibida funksional bog‘lanishlarga doirlari salmoqli qismni tashkil etadi. Mashur nemis matematigi F.Kleyn (1849-1925) funksiya tushunchasi haqida shunday degan edi: “Zamonaviy matematikaning qaysi tushunchasi eng asosiysiysi bo‘lib hisoblanadi? So‘zsiz, bu funksiya haqidagi tushunchadir. Funksiya haqidagi tushuncha o‘rta maktab matematika kursida eng asosiy va boshqaruvchi vazifani bajarishi kerak. Bu tushuncha o‘quvchilarga juda erta tushuntirilishi kerak hamda undan algebra va geometriyani o‘qitishda ham unumli foydalanish zarur”. Bugungi kunga kelib funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasiga oid ijobiy tajribalar to‘plangan bo‘lishiga qaramasdan matematika o‘qituvchilari funksiya tushunchasini amaliyotga tadbiq etish borasida bir qancha qiyinchiliklarga duch kelmoqdalar. Oliy o‘quv yurtlariga kirish testlarini topshirgan abituriyentlarning natijalari taxlillari ham ularda funksional bog‘lanishlarni to‘liq tushunmaganliklarini ko‘rsatmoqda. Bularning barchasi, funksiya tushunchasini sifatli o‘zlashtirish zarurligi bilan bu tushunchani shakllantirish metodikasining etarli darajada ishlab chiqilmaganligi o‘rtasidagi ziddiyatlarning mavjudligini ko‘rsatadi. Tadqiqot obyekti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda matematikani o‘qitish jarayoni. Tadqiqod predmeti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi. Tadqiqot maqsadi. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirishning maxsus o‘ziga xos jihatlarini aniqlash va shakllanish metodikasini tajriba-sinovlarda tekshirish. Tadqiqot vazifalari: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixini o‘rganish. 2
2. Maktab matematikasi mazmunida funksional bog‘lanishlar mavzular tizimining maqsadi, vazifalari va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga qo‘yilgan talablarni aniqlashrirish. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turlicha yondashuvlarni qiyosiy o‘rganish. 4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalar tizimini ishlab chiqish. 5. Amaldagi maktab matematika darsliklarini tadqiqot predmeti bo‘yicha qiyosiy tahlil qilish. 6. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasini tayyorlash. Pedagogik tajriba-sinov ishlarini o‘tkazish. Tadqiqod farazi. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, u holda o‘quvchilar tomonidan funksiya tushunchasini o‘zlashtirish sifati oshadi: 1) funksiya tushunchasini shakllantirishdagi o‘ziga xos maxsusliklari aniqlansa; 2) aniqlangan maxsusliklarni inobatga olib, funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi ishlab chiqilsa. Tadqiqod metodlari: - muammolarga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning DTM sinovlarida tushgan masalalarning nazariy taxlili; - pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish; - so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixining yoritilishi. 2. Darsliklarda funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha bayon qilingan yondashuvlar qiyosiy tahlil etib berilgan. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlari aniqlangan. 3
4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha PISA ko‘rsatkichlariga mos masalalar tizimi ishlab chiqilgan. 5. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlarini inobatga olib yangi metodik tizim tavsiya etilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaiy ahamiyati. 1. Funksiya tushunchasini shakllantirish uchun ilmiy-uslubiy adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasidan amaliyotda foydalaniladi. 2. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalarning mazmuni va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi. 3. O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin. 4
I BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning nazariy asoslari 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi. Funk s ional yo‘nalish – arifmetikadan oliy matematik a nin g barcha bo‘limlari ni qamrab olgan asosiy tayanch bo‘lib, uning atrofida barcha maktab algebrasi, boshlang‘ich matematik analiz va ma ’ lum darajada geometriya ham birlashtirilgan. Mavjud namunaviy dastur XX asrning 70-yillarida olib borilgan matematik ta’limni isloh qilishdan so‘ng funksional mazmundagi ma’lumotlarning sezilarli darajada ko‘paytirilgan hajmini o‘z ichiga oladi. Matematik tahlil elementlarini kiritishgacha bo‘lgan kontseptual apparatning kengayishi o‘quvchilarning funksional tasavvurlarini yangi sifat darajasiga ko‘tardi. Bunday hal qiluvchi qadamga pedago-matematiklar F.Klein, A.Ya.Xinchin, A.N.Kolmogorov, A.I.Markushevich, A.G.Mordkovich va boshqalarning funksiya tushunchasining bevosita real borliq bilan bog‘liq matematika fanida va matematika o‘qitishdgi etakchi roliga amin bo‘lgan g‘oyalari sezilarli ta’sir ko‘rsatdi. Unda real olamning o‘zgaruvchanligi va dinamikligi, real narsa va hodisalarning sababiy bog‘liqligi va shartliligi, zamonaviy matematik tafakkurning dialektik xususiyatlari aniq ifodalangan. Ko‘pgina real vaziyatlarning matematik modeli bo‘lgan funksiya miqdorlar orasidagi turli munosabatlarni tavsiflash va o‘rganish, atrofdagi dunyoni bilish imkonini beradi. Shu sababli, o‘quvchilarni funksional material bilan tanishtirish juda muhim, chunki bu ham predmetlar ichidagi, ham fanlararo aloqalarni (ko‘plab tushunchalar va qonunlar funksional asosga ega), maktab matematikasining amaliy yo‘nalishini amalga oshirishga imkon beradi. Matematikada funksiya tushunchasi turli xil amaliy masalalardan kelib chiqqan holda, ularni yechishning umumiy usullari topilganda (masalaning konkret mazmunidan abstraktatsiya qilish orqali) asta-sekin rivojlandi. 5