Matritsalar algebrasining robototexnikada qo’llaniladigan ayrim mexanizmlarning maxsusliklarini tekshirishga tadbiqlari

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

500.27734375 KB

Ko'chirib olish

Matritsalar algebrasining robototexnikada qo’llaniladigan ayrim
mexanizmlarning maxsusliklarini tekshirishga tadbiqlari
MUNDARIJA
Kirish ……………………………………………………………………………4
I-BOB. KO’PYOQLAR.
1.1 -§ . Ko’pyoqlar………………………………………………..……………..12
1.2 -
§ . Normal konuslar. Masalaning konusi…………………………………...14
1.3 -
§ . Qisqartmalar konuslari…………………………………………………..19
I-Bob bo’yicha xulosa………………………………………………………….24
II-BOB. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUS
HOLATLARI
2.1 -
§ . Mexanizmning maxsus holatlari haqida tushuncha……………………..25
2.2 -
§ . Mexanizm holat funksiyalari maxsusliklarini tekshirish…….………….26
II-Bob bo’yicha xulosa……………………………………………...………….30
II-BOB. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING
MAXSUSLIKLARINI TOPISH
3.1 -
§ . Maxsusliklarini topish algoritmi………...……………………...………31
3.2-§. Robototexnik mexanizmlarning maxsusliklarini izlashda matritsaviy
usulning qo’llanishi………….……………...…………………………………34
III-Bob bo’yicha xulosa……………………………………………………….48
Foydalanilgan adabiyotlar……………………...………………………………49
1

Kirish
1. Masalaning qo’yilishi:
Robotatexnikaning tekis mexanizmlaring maxsus holatlari, ularning
hisoblash algoritmlari o’rganiladi va mexanizmning holat funksiyalarining
maxsus nuqtalari izlanadi.
2. Mavzuning dolzarbligi:
Oxirgi paytda xalq xo’jaligida, qishloq xo’jaligida ishlatiladigan turli xil
mexanizmlar yaratildiki, ular turli erkinlik darajasiga egadirlar. Mexanizm ikki
yoki undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmlar maxsus
holatlardan holi emas. Bu mexanizmlar maxsus holatga tushganda ularning ish
bajarish funksiyasining buzilishiga, erkinlik darajasining bajarilishiga olib
kelishi mumkin. Mexanizmning maxsus holatga tushishini bartaraf etish uchun
uning strukturasini o’rganishga to’g’ri keladi. Matematik nuqtaiy nazardan
mexanizmning bo’g’lanish tenglamalari, ya’ni holat funksiyalarini
maxsusliklarini o’rganishdan iborat. Ushbu magistirlik dissertatsiyasi ishi shu
muammoni o'rganishga bag’ishlangan.
3. Ishning maqsadi va vazifalari:
Mazkur malakaviy bitiruv ishida tekis mexanizmlarning holat
funksiyalarining maxsus nuqtalarini tasniflash, ularni hisoblash algoritmi,
maxsus nuqta atrofida holat funksiyalarining lokal tasvirini o’rganishdir.
4. Ilmiy –tatqiqot metodlari:
Holat funksiyalarini maxsusliklarini o’rganishda nochiziqli algebraik
tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanilgan.
2

5. Ishning ilmiy ahamiyati:
Magistirlik dissertatsiyasi ishi referativ-uslubiy xarakterga ega bo’lib,
unda ko’rsatilgan mavzular bo’yicha masalalar yechish uslublari ishlab
chiqilgan va shu usullar yordamida amaliy masalalar yechilgan.
6. Ishning amaliy ahamiyati:
Ishda nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yakobiani hisoblash,
m-chi tartibli minorlarni hisoblash bo’yicha amaliy mashg’ulotlar olib borishda
foydalanish mumkin.
7. Ishning tuzilishi:
Ish ushbu kirish qismi, 2 ta bob 8 ta paragraf, xulosa qismi foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
I-bob. Ko’pyoqlar. Ko’pyoqlarni hisoblash algoritmi haqida bo’lib, u to’rtda
paragrafdan iborat. Birinchi paragrafda ko’pyoqlar ta’rifi keltirilgan, ikkinchi
paragrafda Normal konuslar. Masalaning konusi ta’rifi, misollar kiritilgan,
uchinchi paragrafda Qisqartmalar konuslari keltirilgan, to’rtinchi paragrafda
Ko’pyoqlarni hisoblash algoritmi ta’rifi va teoremalar bilan berilgan.
II-bob. Roboto texnik mexanizmlarning maxsus holatlari haqida bo’lib, bu
ham to’rtta paragrafdan iborat. Birinchi paragraf Mexanizm maxsus holatlari
hqaida tushuncha ta’rif va misollar bilan berilgan, ikkinchi paragrafda Roboto
texnikadagi mexanizmlarning maxsus holatlari va ularni topish algoritmi haqida
tarif va teoremalar keltirilgan.
8. Olingan natijalar:
Ushbu malakaviy bitiruv ishining mustaqil qismlarida har bir mavzularga
oid quyidagi misollar ishlab chiqilgan:
3

Misol-1 To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida
asimtotik yechimini qaraylik.
Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarining bog’lanish tenglamalarini
quyidagi ko’rinishda yozamiz:{
g
1 ≝ x
1 2
+ y
1 2
= L 2
g
2 ≝ ( x
2 − x
1 ) 2
+ ( y
2 − y
1 ) 2
= d
1 2
g
3 ≝ ( a − x
2 ) 2
+ y
22
= d
22 (1)
Endi Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamida
P0 maxsus nuqtaning kichik
atrofida (1) sistemaning parametrik yechimlarini izlaymiz. Bunda
P0(x10,x20,0,0 ,L0)

(8- chizma.)
(1) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik.
{
x
1 = x
10
+ z
1
x
2 = x
20
+ z
2
y
1 = z
3
y
2 = z
4
L = L
0 + z
5
(2)
4

Bu yerda zi(i=1,5 ) lar
P 0
maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni
(1) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz:

{
g1≜(x10+z1)2+z32=(L0+z5)2
g2≜(x20+z2− x10− z1)2+(z4− z3)2= d12
g3≜(a− x20− z2)2+z42= d22 (3)
Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (3) sistema uchun quyidagi qisqartma
sistemani olamiz.
{
2 x
1 0
z
1 + z
32
− 2 L
0 z
5 = 0
2
( x
20
− x
10 )(
z
2 − z
1 ) + ( z
4 − z
3 ) 2
= 0
2
( x
20
− a ) z
2 + z
42
= 0
Bu sistemani yechib va topilgan z
i ( i = 1.5 )
larni qiymatlarini (2) sistemaga qo’yib
(1) sistema uchun asimptotik yechimni olamiz:
x
1 = x
10
+ z
1 = x
10
+ 1
2 ( a − x
20
) z
42
+ 1
2 ( x
20
− x
10
) ( z
4 − z
3 ) 2
+ … ,

x2= x20+z2= x20+ z42
2(a− x20)+… ,
y
1 = z
3 + … ,
(4)

y2= z4+… ,

L= L0+z5= L0+ x10
2L0(a− x20)z42+ x10
2L0(x20− x10)(z4− z3)2+ 1
2L0
z32+… ,
(1) sistema uchun topilgan (4) yechimlardan ko’rinadiki (8-chizma), mexanizm
bunday maxsus holatdan har xil yo’nalish bo’yicha harakatlanishi mumkin va
ularni bilib zarur hollarda maxanizmning maxsus holatlarini yo’qotish mumkin,
ya’ni mexanizmning parametrlarini o’zgartirib maxsus holatlarga tushmasligini
ta’minlash mumkin bo’ladi.
5

Misol - 2 Uchburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida
asimtotik yechimini qaraylik. Bunda A , O , B
nuqtalar quyidagi koordinatalarga
ega: O( 0,0 ) , A ( x
1 , x
2 ) , B ( a , 0 )
va OA = l
o’zgarmas kattalik.
Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarini algebraik shaklda yozamiz:

{ f
1 ≝ x
12
+ x
22
= l 2
f
1 ≝ ( x
1 − a ) 2
+ x
22
= x
32 (2.4.6)
(
2.4 .6 )
sistemada 2 ta tenglama, 3
ta noma’lumdan iborat, bundan ko’rinadiki, n = 1
erkinlik darajasiga ega, ya’ni
1 erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmdan
iborat.
(2.4 .6 ) sistemaning yakobi matritsasi quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi.
J= 2(
x1 x2 0
x1− a x2 − x3)
Matritsaning 2- tartibli minorlari 3
ta bo’lib ular quyidagilardir:
Bundan
M 1=ax2,M 2=− x1x3,M 2=− x2x3, ekanligi va M 1= M 3=0 minorlarning
nolga aylanishi mos holda mexanizmning maxsus holatga tushishini anglatadi,
ya’ni erkinlik darajasini yuqotishdir. Aga
x3= 0 shart bajarilsa O ,Ava B nuqtalar
bir to’g’ri chiziqda yotishini anglatadi.
x2=0 bo’lganda birinchi tur maxsus
holatni ifodalaydi. Osongina aniqlash mumkinki barcha
M i lar bir vaqtda nolga
6

aylansa ya’ni M i= 0(i=1,3 ) shartlari bajarilsa berilgan mexanizm ikkinchi tur
maxsuslikka erishadi.
Teorema . Holat funksiyalari (2.4.6) sistema bilan aniqlanadigan mexanizm
ikkinchi tur maxsuslikka ega emas.
Misol - 3 Ushbu gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida asimtotik
yechimini qaraylik. Bunda A , O , B , C
nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega:
O (0,0 ),A(x1,y1),B(x3,0),C(x2,y2),
va OA =a , OC =b,BC =c ( b<a<c ) o’zgarmas
kattaliklar, L- musbat o’zgaruvchi kattalik.

Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarining bog’lanish tenglamalarini
tuzamiz:
{
g1≝x12+y12=a2
g2≝(x1− x3)2+y12= L2
g3≝(x2− x3)2+y22=c2
g4≝x22+y22=b2
(2.4.7)
7

Endi Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamidaP0 maxsus nuqtaning kichik
atrofida (2.4.7) sistemaning parametrik yechimlarini izlaymiz. Bunda
P0(x10,x20,x30,0,0 ,L0)

(2.4.7) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik.
{
x
1 = x
10
+ z
1
x
2 = x
20
+ z
2
x
3 = x
30
+ z
3
y
1 = z
4
y
2 = z
5
L = L
0 + z
6
( 2.4 .8 )
Bu yerda
zi(i=1,6 ) lar
P 0
maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni
(2.4.7) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz:
{
g1≜(x10+z1)2+z42=a2
g2≜(x10+z1− x30− z3)2+z42=(L0+z6)2
g3≜(x20+z2− x30− z3)2+z52= c2
g4≜(x20+z2)2+z52= b2
(2.4.9)
Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (2.4.9) sistema uchun quyidagi
qisqartma sistemani olamiz.
{
2x10z1+z42= 0
2(x10− x30)z1−2(x10− x30)z3+z42− 2L0z6=0
2(x20− x30)z2−2(x20− x30)z3+z52= 0
2x20z2+z52=0
8

Bu sistemani yechib:
z
1 = − z
42
2 x
10 z2= − z52
2x20

z
3 = x
30
2 x
20
( x
20
− x
30
) z
52

z
6 = 1
2 L
0
( x
30
x
10 z
42
− x
10
x
30
− x
30 2
x
20 2
− x
20
x
30 z
52 )

Topilgan z
i ( i = 1.6 )
larni qiymatlarini (2.4.8) sistemaga qo’yib (2.4.7) sistema
uchun asimptotik yechimni olamiz:
x1= x10+z1= x10− z42
2x10+… ,
x
2 = x
20
+ z
2 = x
20
− z
52
2 x
20 + … ,

x3= x30+z3= x30+ x30
2x20(x20− x30)z52+… ,

y
1 = z
4 + … ,

(2.4.10)
y2= z5+… ,

L = L
0 + z
5 = L
0 + 1
2 L
0
( x
3 0
x
1 0 z
42
− x
1 0
x
30
− x
30 2
x
20 2
− x
20
x
30 z
52 )
+ … ,
9

I-Bob. KO’PYOQLAR. KO’PYOQLARNI HISOBLASH ALGORITMI
1.1-§ . Ko’pyoqlar
R n
− Q = ¿ ,……
.,qn¿ vektorlar fazosi, R
¿ n
− ( P , Q ) = p
1 q
1 + … p
n q
n skalyar
ko’paytma aniqlangan P = ¿
,…
..,pn¿ vektorlar qo’shma fazosi.
Rn
da Q
1 … … . Q
s nuqtalarning chekli to’plami berilgan bo’lsin. Tanlangan
P
vektor uchun
( P , Q )
skalyar ko’paytma eng katta qiymati D to’plamning
chegaraviy qism to’plamini
D p bilan belgilaymiz: Uning uchun
(P ,Q j)= c,Q j∈D p
(
P , Q
j ) < c , Q
j ∈ D { D ¿
p (1.1)
Quyidagi masala qaraladi:
1.1-Masala . Berilgan
D to’plam va har bir P ≠ 0
uchun barcha D
p
chegaraviy to’plamlarini toping.
Bu masala yechimini tavsiflash uchun chiziqli tengsizliklar nazariyasida qabul
qilingan tariflarni va ularning geometrik tavsiyasini eslatib o’tamiz.
Tayinlangan P vektor va c
o’zgarmasni qiymatida
(
P , Q ) = c
tenglama da
R n
ni ikkita
L + ¿ =
{ Q : ‹ P , Q › > c } ¿
va L−¿={Q:‹P,Q›≤c}.¿ (1.2)
yarim fazodagi
L gper tekislikni aniqlaydi.
(1,2) D
to’plam uchun teng deb aytiladi. Agar uning musbat yarim fazodagi D
nuqtalari bo’lmasa va ixtiyoriy
( P , Q ) = c
1 , c
1 < c
giper tekislik uchun musbat yarim
fazoda D
ning nuqtalari mavjud bo’lsa, P
vektorga mos keluvchi teng giper
tenglikni
D1 deb Lp∩ D kesishmani D2 orqali belgilaymiz, uni D tenglikning D p
chegaraviy qism to’plami deb ataymiz.
Rn dagi M
to’plam qavariq ko’pyoq deb
ataladi. Agar u gohida sondan yopiq yarim fazoda kesishmasi bilan ifodalansa,
10

yoki
R n
bilan ustma –ust tushsa, chekli sondagi ko’pyoqli tenglamada
kesishmasa ham ko’pyoqli tenglamadan iborat bo’ladi.M
orqali D to’plamning bizga tanish manfiy L−¿¿ kesishmasini belgilaymiz,
ya’ni
M =∩ Lp−¿¿ (1.3)
Chekli
D to’plam uchun mos M to’plam ko’pyoqdan iborat. M to’plamning Lp
giper tekislik bilan kesishmasi, ya’ni M ∩ L
p ni yoq deb ataymiz.
M ko’pyoqli
to’plamning chegarasi
∂M turli o’lchovli yoqlardan iborat,ravshanki (1.3)-nol
o’lchamli yoq, qirra-bir o’lchovli yoq va h.k.
Yoqlarni
Γ j(d) deb belgilaymiz, bu yerda j -yoq nomeri d -uning o’lchovi, d
soni Γ
j
(d)
yoqni o’lchash deb ataladi. Agar Q−Q' vektorlar orasida (bu yerda Q' -
tayinlangan va Q '
∈ Γ
j
( d)
,
ni ustida yotadi) roppa-rosa d ta chiziqli bog’lanmagan
vektorlar bor bo’lsa,
D j(d)= D∩ Γj(d) deb belgilaymiz. Demak, Γ j(d)= Lp∩ M barcha
chegaraviy
D qism to’plamlar ko’pyoq yoqlarida joylashgan D
j ( d)
qism
to’plamlardan iborat bo’ladi.
1.2- § .
Normal konuslar. Masalaning konusi
Δ
-qavariq chiziqli qobiqni D da qaraymiz:
11

$Δ ={ Q : Q = ∑ j = 1s λ j Q j ; λ 1 ≥ 0 , … . , λ s ≥ 0 ∑ j = 1s λ j = 1 , Q j ∈ D } Hamma vaqt M = ∆ , bu yerda ∆ bilan ∆ -to’plamni yopiqligi tushuniladi. Qavariq ∆ -qobiq politop (ko’p uchli) deb ataladi. D -chekli to’plamda ∆ = ∆ ga, ega bo’lamiz, ya’ni ∆ -qavariq qobiq M -ko’pyoqli bilan ustma-ust tushadi. Teorema:1.1[Bruno ] M -bo’sh bo’lmagan to’plam R n da politop bo’ladi. Agar, u cheklangan ko’p yoqli to’plam bo’lganda. D' -qandaydir D dagi to’plam Rn da aniqlangan bo’lsin. Bunga konus to’plam deyiladi. K (D')={P:⟨P ,Q'⟩=⟨P,Q''⟩,Q',Q''∈D' ⟨P ,Q'⟩>⟨P,Q ⟩,Q ∈D {D ' ¿} (1.4) K ( D j ( d)) konusni K j (d) bilan belgilab, uni Γ j( d ) ni qirrasini normal konusi deb ataymiz. U uchta vektordan iborat. Shunday qilib, agar D to’plam chekli bo’lsa, unda M to’plam ko’pyoqli bo’lib hisoblanadi va uning chegarasi Γ j (d) ning chekli sondagi qismlaridan iborat bo’ladi. M ko’pyoqning o’lchami n bo’lsin. Unda K j(n−1) normal konus Γ j (n − 1 ) ni giper chegarasi nur bo’lib hisoblanadi. Γ j(n−1) ga ortoganaldir va M ko’pyoqdan tashqariga yo’nalgandir. K j (n − 2 ) –normal konuski o’lchamli sektor bo’lib hisoblanadi, tekislikda joylashgan, Γ j (n − 2 ) –ga ortogonal bo’ladi. K j(d) normal konus Γ j (0) ni uchi bo’lib, u esa n -o’lchamli ko’pyoqli konusdir. Bu geometrik tasvirlashdan ko’rinadiki, Γ j(d) ni qirrasi d ga teng, unda K j(d) normal konusning o’lchami n − d ga teng. Xususan, Γ j(d) ni qirrasi va uning normal konuslari K j (d) faqat M -ko’pyoqning uchlari orqali aniqlash mumkin. Bundan tashqari, normal konus K j(d) -ni faqat Γ j(d) yoqda yotgan va unga tutashgan qirralarning yordamida aniqlash mumkin. Barcha K j(d) normal konuslarning birlashmasi R ¿ n ∖ \{ 0 } fazosiga to’g’ri keladi. Agar P∈K j(d) bo’lsa unda D p = D j( d ) . Shundan ham 1.1- masalaning yechimi bo’ladi. 1.1-masalani yechimini olish uchun algoritm 12$

ko’rinishida obyektning xususiyatlarini o’rganamiz. Agar
D '
qandaydir D
to’plamning qismi bo’lsin. Unda konusni hisoblaymiz:
K
( D ' )
= { P :
⟨ P , Q
i ⟩ = ⟨ P , Q
j ⟩ , Q
i , Q
j ∈ D '
⟨
P , Q
j ⟩ ≥ ⟨ P , Q
k ⟩ , Q
k ∈ D { D '
¿ } (1.5)
Xuddi, (1.4) konusning ulanishi kabi xuddi shunday
Kl(d) bilan K
l ( d)
normal
konusni belgilaymiz. Bundan
Kl(d)= K ¿¿ ) bo’ladi.
Lemma-[1]. Agar
D' va D'' -lar D ning qism shakllari bo’lsin, unda
K
( D '
∪ D ' ' )
= K ¿ bo’ladi.
1.2-Teorema:[1 ].
D' qandaydir D
ning qism soxasi bo’lsin,
Unda: a)
K
( D ' )
= K
l ( d)
(1.6)
Bu yerda
Γl(d) -eng kichik chegara bo’lib, D' -ning hamma nuqtalarini o’zida
saqlaydi.
b) Agar
D' to’liq yotmagan bo’lsa, hech qanday chegara, unda
K ( D ' )
= { 0}
bo’ladi.
Γ j(d) chegara-qirra M -ko’pyoqliniki bo’lib tutilishni yaratadi, agar Γ
j (d)
∩ Γ
k ( i)
-lar ostida nazariy to’plam kesishmalari tushuniladi, Γ
j
(d)
∪ Γ
k ( i)
-esa eng kichik
qirrasi tushuniladi.
Γ j(d)va Γk(i) larda yotuvchi darajalarining nisbati sifatida Γ
j (d)
> Γ
k ( i)
qo’shi. Strukturada birlik bo’lib
M -ko’pyoqli hisoblanadi, nol bo’libesa ∅
-bo’sh
to’plam tushuniladi.
kd -qirralar soni bo’lsin. d o’lchamlarda l= dim M bo’ladi.
Unda Eyler Puankare formulasi o’rinli bo’ladi.
∑
d = − 1l
( − 1 ) d
k
d = 0 , k
− 1 = k
1 = 1 , l ≥ 0. ( 1.7 )
(1.7) formulani quyidagicha yozish mumkin:
∑
d = 0l
(
− 1 ) d
k
d = 1 , yoki
∑
d = 1l − 1 (
− 1 ) d
k
d = 1 − ( − 1 ) d
= 1 + ( − 1 ) d − 1
Chunki, k
d = 0
bo’lsa, d > l = dimM
da uni quyidagicha yozish mumkin:
13

∑d≥−1
(− 1)dkd=0,
m esa M - ning o’lchamiga bog’liq emas. Butun M ko’pburchakdan va ∅
to’plamdan farq qiluvchi Γ
j
(d)
qirra xos deb ataladi
1.3-Teorema. Agar
M -qandaydir to’plam ko’pyoqliklarda l -o’lchamda
va
Γi(d) esa uning xos qirrasidir. Unda Γi(d) -esa barcha Γkl−1 giper qirralarning
kesishmalari bilan mos tushsin,
Γi(d) -da yotuvchi d= 0,1 ,… .,l−3 lar uchun
bunday giperqirralar l − d
, dan kam bo’lmagan holda topiladi. d = l − 2
uchun
ular aniq
2 -ta bo’ladi d= l−1 da esa aniq bitta bo’ladi.
Shunday qilib, Γ
i
( d)
qirraning strukturali diagrammasida chiziqchalar bilan
bo’g’langan qirralar bilan
Γ j(d+1) da, agar Γ
j (d + 1 )
⊃ Γ
i ( d)
bo’lsa, har bir Γi(d) qirralar
hech bo’lmaganda
l− d ta kesishma Γ j(d+1) qirralarning va Γ
j (d + 1 )
ning qirralarida
d+2
dan kam bo’lmaganlari yotadi, d o’lchamda.
M
ko’pyoqli l -o’lchamda oddiy-sodda deb ataladi, agar d = 0 , … . , l − 1
uchun har bir
Γi(d) qirrasi, l− d ga teng bo’lgan uning giper qirralarining Γ
k ( l − 1 )
ni
saqlaydi. Oddiy ko’pyoqlar uchun ushbu Dena –sammirvilya [11] tenglamasi
o’rinli
∑
d = 0l
( − 1 ) d
( l − d
l − i ) k
d = k
i , ( 1.8 )
i = 0 , … .. , 1
bo’ladi.
¿=3
bo’lganda agar k0,k1,k2 uchta sonlardan biri berilgan bo’lsa, unda qolgan
ikkitasi (1.8) tenglamada topiladi. Xususan, k
0 va k
1 larni k
2 orqali ifodalash
mumkin:
k0=2k2−4,k1=3k2− 6.
Bu hol
l -o’lchamli o’xshashlikda juda foydali bo’ladi, keyingi
algoritmlarda qirralar soni nazorat qilish uchun
K j(d) ulanishlar normal K
j (d)
konuslar uchun ham strukturani tashkil etadi. U qirralari sturukturasi uchun
14

ikkilanganlikda.
R
¿ n
da V1 ,…… ,Vr vektorlar berilgan bo’lsin, ularning konusli
qobiqlari:
K =
{ P : P =
∑
j = 1r
λ
j V
j , λ
j > 0 }( 1.9 )
Qavariq konus bo’ladi. Agar V
k vektorlarning hech biri
V
k =
∑
j = 1 , j ≠ kr
λ
j V
j , λ
j > 0 ,
Tenglikdek ifodalanmasa unda
V1 ,….. ,Vr vektorlar K konusni yasovchilarini
tashkil etadi. K
yopiq konusni ham λ
j ≥ 0
da (1.9) ko’rinishda yozish mumkin,
V1
,….. , V
r vektorlar (yasovchi)ni tashkil etadi, agar ular tegishli xossaga mos
kelsa.

Teorema 1.4 (1,4) dagi har qanday konus (1.9) ko’rinishda berilishi
mumkin va aksincha.
R
¿ n
da
K ochiq qavariq konus berilgan bo’lsin (masalaning konusi),
R n
dagi
chekli
D to’plamda quyidagi masalani qaraymiz: D -to’plamdan faqat D
j ( d)
chegarali qism to’plamlarini ajratish lozim, ular uchun K
j
(d)
normal konuslar esa K
konus bilan kesishadi. Masalaning
K konus masalasida U
1 , … . , U
σ yasovchilar
berilgan va ular ushbu tengsizliklar bilan ifodalanadi:
⟨P,W k⟩<0,k=1,… ..,t.(1.10 )
normallardan iborat giperqiralar va
Vs¿ vektorlardan iborat. K
ning chegaralarida
yotuvchi.
Bu masalani yechishning algoritmi quyidagicha beriladi. Har bir
Q
i ∈ D ( i = 1 , .. , m )
nuqtalar uchun chiziqli tengsizliklar sistemasini yozamiz;
⟨
P , Q
k − Q
i ⟩ ≤ 0 , k = 1 , … , s ( 1.11 )
15

Motskin-Burger algoritmda U (K) to’plamni bo’sh deb hisoblaymiz.
V (K )={U 1,… .,U σ}
ning esa dastlab (1.11) Sistema uchun algoritmini qo’llaymiz.
Bunda, agar biz yasovchilarni (1.11) sistemani qanoatlantiradi. Unda
K
( Q ) ∩ K = ∅
bo’ladi. Endi biz V1 ,….. , V
v yasovchilarni olaylik, u esa K (Q1)∩ K
konusning yasovchilari hisoblanadi. K
konusdagi topshiriqlardan foydalanib
(1.10)
V1 ,….. ,Vv yasovchi vektorlarni V1 ,….. ,Vμ ichki va V
μ + 1¿
, … , V
v¿
chegaraviy
vektarlarga bo’lamiz
K uchun. Xuddi shunday qilib i bo’yicha ketma –ket
K (Qi)∩ K
larni yasovchilarini topamiz. m ta qadamda barcha V1 ,….. ,Vp ,
V p+1¿ ,… ,Vω¿
yasovchilarning ro’yxatini olamiz. Olingan natijalardan jadval
tuzamiz. Bunday jadval uchun barcha xususiyatlar o’rinli.
V j vektorlar uchun,
ushbu xususiyatlar bilan cheklanib diagramma strukturasini quramiz. Strukturali
diagramma bu holda faqat
M -ko’pyoqning ushbu qirralarida ularda normal
konuslar esa masala konusi
K bilan kesishadi.
1.3-§. Qisqartma konuslari
Teskari masalani qaraymiz. Faraz qilaylik,
Γ j(d) - Γ
ko’pburchakning
qandaydir qirrasi yoki uchi bo’lsin. Barcha shunday
P vektorlar to’plamini
topish kerakki, ular uchun
Γ j(d)= Lp∩ Γ bo’lsin, ya’ni L
p tayanch to’g’ri chiziq Γ
ko’pburchak bilan faqat
Γ j(d) lar bo’yichagina kesishsin.
Bunday P
vektorlar to’plamini Γ
j
(d)
uchning yoki qirrasining konusi deb
ataymiz va
K j(d) bilan belgilaymiz. Shunday qilib,
K
j
(d)
= { P : L
p ∩ Γ = Γ
j ( d)
}
~Q ∈Γ j(d) bo’lsin. K
j (d)
konusning P vektorlari quyidagi
tengliklar va tengsizliklar sistemalari orqali aniqlanishi ravshan:
Barcha, Q ∈ Γ
j
( d)
larda ( Q , P ) = ( ~ Q , P )
Barcha,
Q ∈Γ{Γ¿j(d) larda ( Q , P ) > ( ~ Q , P )
Bu shartlardan birinchisi shuni ko’rsatadiki,
( Q , P ) = ( ~ Q , P )
chiziq Γ
j (d)
to’plamni o’zida saqlaydi: ikkinchi shart bo’lsa, bu to’g’ri chiziq
Γ ko’pburchak
16

uchun tayanch to’g’ri chiziq ekanligini ko’rsatadi. Γ ko’pburchak D to’plam
nuqtalarining qavariq qobig’i,
Γ j(d) bo’lsa D
j ( d)
to’plamning qavariq qobig’I
bo’lganligi sababli,
K j(d) konusni berishda faqatgina D ning nuqtalarini berish
yetarli ya’ni biror
~ Q ∈ D
j ( d)
uchun
K j(d)={P:(Q ,P)=(~Q ,P)barcha ~Q ∈D j(d)
(Q ,P)>(~Q ,P)barcha ~Q ∈D ¿j(d)}(1.12 )
1-Misol.
f= x1+x2+x1x2 misolda, Γ
1 ( 1)
qirra uchun
K
j
(d)
=
{ P :
( Q
1 , P ) = ( Q
2 , P )
(
Q
3 , P ) > ( Q
1 , P )}
ga ega bo’lamiz. Q
j nuqtalarning sonli qiymatlarni hisobga olsak,
K
1
( 1)
= { P : p
1 = p
2 p
1 + p
2 > p
1 }
yoki K
1 ( 1)
= { P : p
1 = p
2 > 0 }
p
1 , p
2 tekislikda K
1 ( 1)
konus
birinchi kvadratning bissektrisasi bo’lgan nurdan iborat bo’ladi. (3-1 rasm). Bu
nur Γ
1
( 1)
qirraga perpendikulyar bo’lib, Γ
1 ( 1)
qirrada yotmaydigan Q3 nuqtaga tomon
yo’nalgan. Xuddi shunday
K
2
( 1)
=
{ P :
( Q
2 , P ) = ( Q
1 , P )
(
Q
1 , P ) = ( Q
2 , P )} = { P : p
1 = 0 , p
2 < 0 }
ni topamiz.
p1,p2
tekislikda K
2 ( 1)
konus Γ
2 ( 1)
qirraga ortogonal bo’lgan nurdan iborat, nihoyat
ham nur bo’ladi.(1.1-
chizmani qarang)
17

Endi uchlarning konuslarini topamiz. Γ
j(0)
uch D to’plamning yagona
nuqtasini saqlaganligi uchun konus ta’rifidagi tengliklar ma’nosini yo’qotadi,
faqat tengsizliklar qoladi. Shunday qilib
K
1
( 0)
= { P : ( Q
2 , P ) > ( Q
1 , P )( Q
3 , P ) > ( Q
1 , P ) }
Q j
nuqtalarning sonli qiymatlarini hisobga olsak
K1(0)={P:p2>p1p1+p2>p1}={P:p2>p1p2>0}
p
1 , p
2 tekislikda K
1
( 0)
- K
1 ( 1)
va K
2 ( 1)
(3.1-chizma) nurlar bilan chegaralangan burchak.
Xuddi shunday
K2(0)={P:(Q1,P)>(Q2,P)(Q3,P)>(Q2,P)}={P:p1>p2p1>0}
ni topamiz, u K
1
( 1)
va K
2 ( 1)
nurlar bilan chegaralangan burchakdir.
K3(0)={P:(Q1,P)>(Q3,P)(Q2,P)>(Q3,P)}={P<0}
esa K
1
( 1)
va K
3 ( 1)
nurlar bilan chegaralangan burchakdir. (3.1-rasm)
Taxlil qilgan misolda konus:
K j(d) ancha sodda berildi, bu D
to’plamning
sodda tuzilishidan bog’liqdir (u faqat uchta nuqtadan iborat). Umumiy holda
konusning berilishidagi tenglik va tengsizliklar sonini qisqartirish mumkin,
bunda
D ning barcha nuqtalari o’rniga Γ ko’pburchakning faqat Γ
j( 0 )
uchlarini
qarash yetarli. U holda
K
j( 1 )
=
{ P :
( Γ
k( 0 )
, P ) = ( Γ
j( 0 )
, P ) Γ
j( 0 )
u Γ
k( 0 )
∈ Γ
j( 1 )
(
Γ
i( 0 )
, P ) > ( Γ
j( 0 )
, P ) Γ
i( 0 )
u Γ { Γ
j( 0 )
¿ }
18

K
j( 0 )
= { P :( Γ
i ( 0)
, P ) > ( Γ
j ( 0)
, P ) Γ
i ( 0)
≠ Γ
j ( 1)
}
Bundan tashqari K
j( 1 )
ning ta’rifida faqat bitta tengsizlikni qoldirish yetarli,
chunki tenglik Γ
j
(1)
qirraga ortogonal bo’lgan to’g’ri chiziqni ifodalaydi, har bir
tengsizlik bo’lsa, bu to’g’ri chiziqdan
Γ ko’pburchakning ichki tomon yo’nalgan
yarim to’g’ri chiziqni ajratadi.
K
j( 0 )
uchning konusi ta’rifida faqat ikkita tengsizlikni qoldirish yetarli:
K j(0)=¿
ya’ni Γ
j( 0 )
uchning konusi
Γ j(0) uchga yopishgan Γ
j − 1( 0 )
va Γ
j( 1 )
tomonlarning
normallari bilan chegaralangan. Bu K
j( 0 )
konusning berilishidagi tengsizlikni
( Γ ¿
¿ i ( 0 )
− Γ ¿
¿ j ( 0 )
, P ) > 0 ¿ ¿
ko’rinishda yozish mumkinligidan kelib chiqadi. Bularning hammasi
( Γ ¿
¿ i ( 0 )
− Γ ¿
¿ j ( 0 )
, P ) > 0 ( Γ ¿
¿ j + 1 ( 0 )
− Γ ¿
¿ j ( 0 )
, P ) > 0 ¿ ¿ ¿ ¿
tengsizliklardan kelib chiqadiki, chunki ya’ni
Γi(0)− Γ j(0)=c1(Γj−1(0)− Γ j(0))+c2(Γ j+1(0)− Γ j(0))
Bunda, c
1 , c
2 > 0
Shuni ta’kidlash kerakki,
Q va P vektorlar mos ravishda
R 2
va
R 2
qo’shma
tekisliklarga tegishli.
2- Misol.
f= x13+x23−3x1x2+x1x22
Bunda, D =
{ Q
1 = ( 3,0 ) , Q
2 = ( 0,3 ) , Q
3 = ( 1,1 ) , Q
4 = ( 1,2 )} .
19

Q1,Q2,Q3 nuqtalar uchburchakning uchlaridan iborat. Uni
Γ
1
( 0)
= Q
1 , Γ
2 ( 0)
= Q
2 , Γ
3 ( 0)
= Q
3 kabi belgilaymiz. U holda Γ1(1)−Q1va Q3 uchli qirra.
Γ
2
( 1)
− Q
3 va Q
2 uchli qirra, Γ3(1)−Q2va Q1 uchli qirra. D
j ( d)
to’plam
D
1
( 0)
= Q
1 , D
2 ( 0)
= Q
2 ,
D
3 ( 0)
= Q
3 , D
1 ( 1)
= Q
1 ∪ Q
2 , D
2 ( 1)
= Q
3 ∪ Q
2 ,
D3(1)=Q2∪Q4∪Q1
Bularga f
funksiyaning oltita qisqartmasi mos keladi:
f
1¿
( 0)
= x
13
, f
2¿ ( 0)
= − 3 x
1 x
2 , f
3¿ ( 0)
= x
23
,
f
1¿
( 1)
= x
13
− 3 x
1 x
2 , f
2¿ ( 1)
= x
23
− 3 x
1 x
2 , f
3¿ ( 0)
= x
1 3
+ x
23
+ x
1 x
22
,
Endi, K
j( 1 )
konuslarni topamiz (ularni biz
fj(d) qisqartmalarining konuslari deb
ataymiz). U holda
K
1
( 1)
= { P : ( Γ
1 ( 0)
, P ) = ( Γ
2 ( 0)
, P ) < ( Γ
3 ( 0)
, P )} = { P : p
2 = 2 p
1 > 0 }
K
2
( 1)
= { P : ( Γ
2 ( 0)
, P ) = ( Γ
3 ( 0)
, P ) < ( Γ
1 ( 0)
, P )} = { P : 2 p
2 = p
1 > 0 }
K3(1)={P:(Γ3(0),P)=(Γ1(0),P)<(Γ2(0),P)}={P:p1= p2<0}
K
1
( 0)
= { P : ( Γ
3 ( 0)
, P ) > ( Γ
1 ( 0)
, P ) ,( Γ
2 ( 0)
, P ) > ( Γ
1 ( 0)
, P )} = { P : p
2 > p
1 , p
2 > 2 p
1 }
K
2
( 0)
= { P : ( Γ
1 ( 0)
, P ) > ( Γ
2 ( 0)
, P ) ,( Γ
3 ( 0)
, P ) > ( Γ
2 ( 0)
, P )} = { P : 2 p
1 > p
2 , 2 p
2 > p
1 }
K
3
( 0)
= { P : ( Γ
2 ( 0)
, P ) > ( Γ
3 ( 0)
, P ) ,( Γ
1 ( 0)
, P ) > ( Γ
3 ( 0)
, P )} = { P : p
1 > 2 p
2 , p
2 < p
1 }
20

I-BOBNING XULOSASI
I - bobda biz ishimiz uchun muhim hisoblangan asosiy
boshlang’ich tushunchalarni va mavzuga aloqador bo‘lgan bir nechta sodda
tushunchalar bilan tanishdik.
I - bobning asosiy natijalari quyidagicha:
 Ko’pyoqlar va ularni berilish usullari o‘rganildi.
 Normal konuslarni topish algoritmi berildi
 Qisqartma konuslar va ularni topishga doir misollar keltirildi.
Har bir mavzuga doir ta’riflar va teoremalar keltirib o’tildi va misollar bilan
yanada mustahkamlandi.
21

II-Bob. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUS
HOLATLARI
2.1-§. Mexanizmning maxsus holatlari haqida tushuncha
Tekis mexanizmlar maxsus holatlar haqidagi masalalar mexanizmlar
nazariyasi sohasi tadqiqotchilarni oldindan qiziqtirib kelardi. Shu bilan
birgalikda [1-3] ishlarni misol keltirish mumkin. [1] Monografiyada bu
masalaning ahamiyati haqida ma’lumot keltirilgan. Bir qator tadqiqodchilar
tomonidan bir yoki undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmlarning
maxsus holatlarning mavjudligi kiriteriyalarini ishlab chiqilgan.
Ushbu bobda ikki va undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo’lgan tekis
mexanizmlarning maxsus holatlarini aniqlash kriteriyalari amaliyotga tadbiq
qilinadi. Agar mexanizm bitta erkinlik darajasiga ega bo’lsa, uning maxsus
holati haqida so’z boradi, bir necha erkinlik darajali mexanizmlarda esa odatda
maxsus konfiguratsiya haqida so’z boradi.
Mexanizm maxsus konfiguratsiyaga tushganda, u cheklanmagan holda
uzoq vaqt harakatda bo’lishi mumkin, lekin bu oldingisidan bitta yoki bir nechta
erkinlik darajasi kam bo’lgan boshqa mexanizm bo’ladi. Maxsus holat sifatida
bunday mexanizmda ko’p o’zgaruvchili funksiyadan iborat bo’ladi. Bir necha
erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmning holatini ifodalovchi bu
funksiyalarni mexanizmning ko’pxilligi deyiladi.
Maxsus holatlarni bilish bizga har bir aniq mexanizmlar uchun to’g’ri
mexanik sistemalarni boshqarish strategiyasini yaratish imkoniyatini beradi.
Undan tashqari mexanizmni boshqarishda ortiqcha energiya sarflanishini oldi
olinadi. Bu ishda maxsus holatlarni aniqlashda, sistemani ifodolovchi bog’lanish
tenglamalari, ya’ni nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yakobianini
o’rganishga asoslangan usuldan foydalaniladi. [1] da bu usulning afzalligi
ko’rsatilgan va barcha maxsus holatlarni aniqlashda bu usuldan foydalaniladi.
22

Ushbu usul matritsaviy usul bo’lib hisoblanadi va biz bu usulni tatqiqot uchun
tanlab olamiz.
2.2-§. Mexanizm holat funksiyalari maxsusliklarini tekshirish .
Ilm-fan va texnikaning rivojlanishdagi asosiy yo’nalishlar robototexnik
sestimalarini yaratish va konstruksiyalashlar hisoblanadi. Murakkab tekis
mexanizmlarning birgalikda yaratilishiga bu sistemalarni harakatga keltirishda
kam harakat muommolarga asoslanib, tanlangan mantiqlarga bog’lanadi. Ushbu
ish bitta yoki bir nechta erkinlik darajasidagi holatlar uchun tekis
mexanizmlarning maxsus holat funksiyalarini o’rganishga bag’ishlangan. Holat
funksiyasini bilish esa ko’plab masalalarni yechish imkoniyatni beradi. Masalan:
mexanizmlarini loyihalash va o’rganishlarda paydo bo’ladigan holatlarda, yarim
avtomat va avtomatik rabotlarni yaratishda.
Oxirgi vaqtlarda, kinematik zanjirli mexanizmlardan foydalanish ko’proq
uchraydi, ular juda katta qattiqlikka ega bo’lib, u juda katta pozitsiyalarni
aniqligini olish imkoniyatini beradi. Mexanizmlarning holat funksiyalarini
o’rganish yopiq kinematik zanjirlarda juda katta qiyinchiliklarga olib keladi.
Lekin, zamonaviy texnikalarning talablari bu yo’nalishda rivojlanishni talab
qiladi. Oxirgi yillarda roboto texnikalarida foydalaniladigan juda ko’p sonli
mexanizmlar paydo bo’lishdi, ular juda murakkabdir. Mexanizmlarning holat
funksiyalari to’liq o’rganilmagan. Holat funsiyani bilmaslik juda katta
qiyinchilikka olib keladi, bunday masalalarni yechishda, xuddi mexanizmning
barcha xususiyatlarini aniqlashdek, uning muvozanat holatini aniqlash kabi,
ishonchli qonunlarni boshqarishda yaratishlar kabi va hakozalar.
Mexanizmlarning holat funksiyalarini o’rganishdagi xususiyatlarini
o’rganish muommolari esa maxsus holatlar muommolari bilan bog’langan.
Tekis va fazoviy mexanizmlarning harakati, bitta va bir nechta erkinlik
darajalardagi maxsus holatlarning yaqinida sodir bo’ladi. Matematik nuqtaiy
23

nazardan maxsus holatlar mexanizmining bog’lanishlarining tenglamalar
sistemalarining yakobiani nolga teng bo’ladi.
Bu holat juda ham o’rinli emas, chunki mexanizmning maxsus holatiga
yaqinlashishida Sistema ustuvor bo’ladi, sharnirlardagi kuchlar esa ko’payadi,
erkinlik darajasi yo’qolishi mumkin. Ayrim hollarda xususiyatlarni
o’zgartirishdan olinadi, lekin buni har doim ham bajarish mumkin emas va
bunda mexanizmlarning holat funksiyalarini bilish maxsus holatlarda ko’plab
masalalarni yechishga yordam beradi.
Tekis mexanizmlarning holat funksiyalari masalasi bir nechta erkinlik
darajalarida mexanizmlarning nazariyasida oldindan tadqiqotchilarni o’ziga jalb
etadi. [1-3]. Bu masalalarning mohiyatlari mexanizmlarning barcha
bo’g’inlarining holatlarini aniqlashdan iborat bo’lib, yetakchi mexanizmlarning
qismlariga bog’liq. Matematik nuqtaiy nazardan esa bu masala 2 ta bosqichga
bo’linadi.
A. Berilgan mexanizmning sxemasiga asosan to’liq bog’lanish tenglamalar
sistemasini tuzish;
B. Olingan tenglamalar sistemasini yechish.
Shunday qilib, ko’pchilik tekis mexanizmlar holat funksiyalari noaniq
ko’rinishda beriladi, nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasida holat
funksiyalarni o’rganish va topish muammolari esa shundan iboratki, ushbu
algebraik tenglamalar sistemasini yechishdir. O’zgaruvchilardan olingan
yechimlar mexanizmning holat funksiyalarini lokal ifodalaydilar.
Hozirgi paytda nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish
usullari mavjud. Bulardan tashqari N. Abel va E. Galav [2.1] teoremalaridann≥5
da algebraik tenglamalarni yechishni chekli formulalari mavjud emas.
Algebraik tenglamalar sistemasiga resultant usulini qo’llab, noma’lumlarni
ketma-ket yo’qotib bitta algebraik tenglamaga olib kelish mumkin, yuqori
darajadagi uning yechimi esa oldingi sistemaning yechimini olishga yordam
24

beradi. Yuqori darajadagi oxirgi tenglama esa bir vaqtda holat funksiyasini
shoxlarini sonini aniqlashga yordam beradi, ammo oxirgi formulani olishga
imkon bermaydi. Mexanizmlarning holati masalalarini yechishda juda murakkab
tuzilishlarda ham umumiy yechimni Teylor qatoriga yoyish orqali ularning soni
erkinlik darajalari soniga teng bo’lganda olish mumkin, lekin koeffitsientlarni
topish bu qatorlarda, faqat Teylor qatoriga yoyilish nuqtasi atrofida regulyar
bo’lgan hollarda mumkin. Agar nuqta regulyar bo’lmasa, unda Teylor qatoriga
ushbu nuqta atrofida yoyib bo’lmaydi. Bu esa noregulyar nuqtada xususiy
hosilalar nolga ayalanadi yoki cheksizlikka aylanadi. Ma’lumki, xuddi shunday,
ko’plab mexanizmlarning xususiyatiga egadir. Agar mexanizmlar bitta erkinlik
darajasiga ega bo’lsa bu maxsus nuqtalar bo’ladi. Mexanizmlarning
xususiyatlari bitta erkinlik darajasida [5-6] ishlarda berilgan. Nochiziqli
algebraik tenglamalar sistemasining umumiy lokal yechimini qurish muammosi
mexanizmlarning holat funksiyalarini aniqlaydi yoki ko’p obrazli maxsus
holatlarda mavjud bo’ladi. Birinchi qadam lokal qurishlarda mexanizmlarning
holatlari maxsus nuqtalarda bitta erkinlik darajadagi mexanizmlar uchun [1-3]
ishda olingan. Bu ishning mualliflari tenglamalar sistemasining yechimini
paramaetrik shaklda izlashni taklif etishgan. Aytilganlardan mexanizmlarning
to’liq holat funksiyalarining ko’rininshini quyidagi shartlar bajarilganda olish
mumkin:
a) Agar ushbu mexanizmlarning bog’lanish tenglamalar sistemasi algebraik
ko’rinishida to’liq shaklda berilgan bo’lsa;
b) Agar barcha maxsus holatlar keltirilgan bo’lsa yoki maxsus ko’p obrazli
mexanizmlarda va ularning to’liq klassifikatsiyasi o’lchamlarning turlari
bo’yicha aniqlangan bo’lsa;
c) Bog’lanishlar sistemasining to’liq yechimlari maxsus nuqta atrofida
cheksiz qatorlar ko’rinishda topilgan bo’lsa.
Aniq mexanizmlarni o’rganishda ko’pgina mualliflar tomonidan ularning har
xil ko’rinishdagi bog’lanish tenglamalari sistemasini taklif etilgan. Ayrim
25

hollarda holat funksiyasini aniq ko’rinishda berilgan. Bog’lanish tenglamalar
sistemasini aniq yechimini topish murakkabdir. Ularning nochiziqliligidan kelib
chiqqan holda, bunday sistemalarni analitik o’rganish juda katta qiyinchiliklar
tug’diradi. Sonli yechish usullaridan foydalanishga to’g’ri keladi. Bunday
usullar esa kam afzalliklarga egadir.
26

II-BOBNING XULOSASI
O’rganalayotdigan mexanizmlarning to’liq holat funksiyalari ko’rinishini
quyidagi shartlar bajarilganda olish mumkin:
a) Agar ushbu mexanizmlarning bog’lanish tenglamalar sistemasi algebraik
ko’rinishida to’liq shaklda berilgan bo’lsa;
b) Agar barcha maxsus holatlar keltirilgan bo’lsa yoki maxsus ko’p obrazli
mexanizmlarda va ularning to’liq klassifikatsiyasi o’lchamlarning turlari
bo’yicha aniqlangan bo’lsa;
c) Bog’lanishlar sistemasining to’liq yechimlari maxsus nuqta atrofida
cheksiz qatorlar ko’rinishda topilgan bo’lsa.
Ushbu bobda mexanizmlarning maxsus holatlari haqida tushuncha berildi va
qaysi shartlar bajarilganda maxsusliklarni topish mumkinligi keltirib o’tildi.
27

III-Bob. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUSlKLARINI
TOPISH
3.1-§. Maxsusliklarini topish algoritmi
O’rganilayotgan mexanizmning bog’lanishlar tenglamasi quyidagi
nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasi ko’rinishida ifodalanadi:Fi(U ,V )≝Fi(x1,… ,xm,xm+1,… ,xm+n)= 0,i=1,m n≤m(3.1 )
Bunda, U =
( x
1 , x
2 , … , x
m ) va V = ( x
¿ ¿ m + 1 , … , x
m + n ) ¿
mos holda holat va
boshqaruv koordinatalari,
Fi -esa ko’phadlar. Tenglamalar soni m , holat
koordinatalar soni
U bilan mos keladi, n
esa mexanizmning erkinlik darajasi deb
ataladi.Umumiy holda mexanizmning erkinlik darajasi
n= k−m tenglik bilan
topiladi, bu yerda
k -tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar soni. Har bir V
boshqaruv koordinatalarning qiymatlariga
( 3.1 )
sistemani qanoatlantiruvchi U
ning chekli sondagi qiymatlari mos keladi.
U (V ) ko’p qiymatli vektor funksiya
deb aytiladi, ya’ni
xi= xi(x¿¿m+1,… ,xm+n).¿
Faraz qilaylik, x
k0
=
( x
1 , … , x
m , x
m + 1 , … , x
m + n ) nuqta ( 3.1 )
tenglamalar
sistemasini qanoatlantirsin. Holat funksiyasining ushbu nuqta yaqinidagi holatini
kuzataylik. Buning uchun
m⨯k o’lchovli ( 3.1 )
sistemaning yakobi matritsasini
qaraymiz:
J ≝
( ∂ F
i
∂ x
k ) , i = 1 , m , k = 1 , m + n .
( 3.2 )
1≤i1<i2<..<im≤m+n
–qandaydir m tartiblangan butun sonlar guruhi bo’lsin,
uni
I=(i1,… im) orqali belgilaymiz. M I orqali ( 3.2 )
matritsaning m tartibli
minorlarini belgilaymiz, ya’ni undagi i
1 , … i
m indeksli ustunlarni tanlashdan
olinadi.
Quyidagi holatni ko’rib chiqamiz:
1) Agar ∀ I , M
I ( x
k0
) ≠ 0
bajarilsa, u holda
xk0 nuqtani ( 3.1 )
sistemaning oddiy
nuqtasi deb ataymiz;
28

2) Agar ∃ I '
, I ' '
, M
I '( x
k0 )
= 0 , M
I } ( {x} rsub {k} rsup {0} )≠ ¿ bajarilsa, u holda xk0 nuqtani
( 3.1 )
tenglamalar sistemasining birinchi tur maxsus nuqtasi deb ataymiz.
3) Agar
∀ I,M I(xk0)=0 bajarilsa, u holda xk0 nuqtani ( 3.1 )
tenglamalar
sistemasining ikkinchi tur maxsus nuqtasi deb ataymiz.
Oddiy nuqta atrofida ( 3.1 )
sistemasining yechimi oshkormas funksiyalar
haqidagi Koshi teoremasiga asosan, absolut yaqinlashuvchi qatorlar ko’rinishida
tasvirlash mumkin:
xi− xi0= φi(xm+j− xm+j 0 ),i=1,m ,j=1,n,

( 3.3 )
Bunda, φ
i -darajali qatorlar. Mos ravishda mexanizmning holati bu nuqtada
oddiy bo’ladi. Birinchi va ikkinchi tur maxsus nuqtalar atrofida mexanizmning
maxsus holatlari mos keladi. Maxsus nuqta atrofida
U (V) holat funksiyasi V
boshqaruv koordinatalarining bir qiymatli analitik funksiya bo’lmay qoladi.
Ikkinchi tur maxsus nuqta (o’lik holat) atrofida ( 3.1 )
sistemaning yechimi ( 3.3 )
ko’rinishda ifodalab bo’lmaydi,chunki bu holda oshkormas funksiyalar haqidagi
teoremaning shartlari bajarilmaydi, lekin Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamida
quyidagi ko’rinishdagi parametrik yechimlarni olish mumkin:
x
i = x
i0
+
∑
j = 1∞
b
ij τ p
ij
, i = 1 , m ( 3.4 )
Yuqoridagilardan kelib chiqadiki ( 3.1 )
Sistema yechimlari maxsusliklarni
tahlil qilish uchun barcha maxsus nuqtalarni topish va ikkinchi tur maxsus
nuqtalar bo’ladigan barcha hollarni ko’rsatish kerak. O’rganilayotgan
mexanizmlar bog’lanish tenglamalarining maxsusliklarini tahliliga asosan
quyidagi maxsusliklarni hisoblash algoritmi ishlab chiqilgan:[1]
1. Mexanizmning bog’lanish tenglamalarini algebraik shaklda yozish;
Fi(U ,V )=0,i=1,2 ,… ,m .
29

2. Bog’lanish tenglamalari sistemasining yakobi matritsasini tuzish;
J ≝( ∂ F
i
∂ x
j ) , i = 1 , m , j = 1 , m + n
3. Yakobi
J matritsa barcha M I m -tartibli minorlarini tanlash;
4. Tanlangan minorlarni hisoblash;
5. Hisoblangan minorlarni ko’paytuvchilarga ajratish va mexanizimning
shunday holatini aniqlash kerakki, unda hech bo’lmaganda bitta
I' indekslar
guruhi uchun
M I'= 0 shart bajarilsin;
6. Yakobi matritsasining
m -tartibli barcha minorlarining bir vaqtda nolga
aylanish shartlarini topish;
7. Barcha
I=(i1,… ,im) lar uchun M I =0 sharti bajariladigan mexanizmning
holatlarini aniqlash.
Birinchi tur maxsusliklarni toppish uchun dastlabki 5 ta qadam yetarli, oxirgi
ikkita, ya’ni 6 va 7 bosqichlarni aniqlash juda murakkabdir.
3.2-§. Robototexnik mexanizmlarning maxsusliklarini izlashda matritsaviy
usulning qo’llanishi
30

To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida asimtotik
yechimini qaraylik. Bunda A , O , B , C
nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega:O (0,0 ),A(x1,y1),B(x2,y2),C(a,0)
va AB =d1 , BC = d2 ( d1,d2>0 ) o’zgarmas
kattaliklar, L- musbat o’zgaruvchi kattalik.
Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarining bog’lanish tenglamalarini
quyidagi ko’rinishga ega:
{
g
1 ≝ x
1 2
+ y
1 2
= L 2
g
2 ≝ ( x
2 − x
1 ) 2
+ ( y
2 − y
1 ) 2
= d
1 2
g
3 ≝ ( a − x
2 ) 2
+ y
22
= d
22 (3.2.1)

( 1)
sistemada 3 ta tenglama, 5 ta noma’lumdan iborat, bundan ko’rinadiki, n=2
erkinlik darajasiga ega, ya’ni 2
erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmdan
iborat.
(
3.2 .1 )
sistemaning quyidagicha 3x5 tartibli yakobi matritsasi ko’rinishga ega
bo’ladi.
J = 2
( x
1 y
1 0
x
1 − x
2 y
1 − y
2 x
2 − x
1
0 0 x
2 − a 0 − L
y
2 − y
1 0
y
2 0 )
31

Matritsaning 3-tartibli minorlari quyidagilar:
M
1 = 8| x
1 y
1 0
x
1 − x
2 y
1 − y
2 x
2 − x
1
0 0 x
2 − a |
M 2=8
|
x1 y1 0
x1− x2 y1− y2 y2− y1
0 0 y2 |
M 3=8
|
x1 y1 − L
x1− x2 y1− y2 0
0 0 0 |

M 4= 8
|
x1 0 0
x1− x2 x2− x1 y2− y1
0 x2−a y2 |
M 5=8
|
x1 0 − L
x1− x2 x2− x1 0
0 x2− a 0 |

M 6=8
|
x1 0 − L
x1− x2 y2− y1 0
0 y2 0 |
M 7=8
|
y1 0 0
y1− y2 x2− x1 y2− y1
0 x2−a y2 |
M
8 = 8 | y
1 0 − L
y
1 − y
2 y
2 − y
1 0
0 y
2 0 |
M 9=8
|
y1 0 − L
y1− y2 x2− x1 0
0 x2−a 0 |

M 10=8
|
0 0 − L
x2− x1 y2− y1 0
x2− a y2 0 |
Bundan: M
1 = 8
( x
2 − a )( x
2 y
1 − x
1 y
2 ) , M
2 = 8 y
2 ( x
2 y
1 − x
1 y
2 ) , M
3 = 0
M 4= 8x1(x2y1− x1y2+a(y2− y1)),
M 5=8L(x2− x1)(x2− a) ,
M 6=8L(x2− x1)y2,
M 7=8y1(x2y1− x1y2+a(y2− y1)) ,
M 8=8Ly2(y2− y1)
, M 9=8L(y2− y1)(x2−a) ,
M
10 = L
( x
1 y
2 − y
1 x
2 + a ( y
1 − y
2 )) .

Teorema . To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizm ikkinchi tur maxsuslikka
erishmaydi.
Isbot. Shartga ko’ra mexanizm ikkinchi tur maxsuslikka erishishi uchun ∀ i
lar uchun M
i = 0
( i = 1,10 )
sharti bajarilishi zarur. Lekin bunday holat yuz bermaydi,
chunki aniqlanishiga ko’ra x
1 ≠ x
2 , L > 0
.
32

Endi Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamidaP0 maxsus nuqtaning kichik
atrofida (3.2.1) sistemaning parametrik yechimlarini izlaymiz. Bunda
P0(x10,x20,0,0 ,L0)
(8- chizma.)
(3.2.1) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik.
{
x
1 = x
10
+ z
1
x
2 = x
20
+ z
2
y
1 = z
3
y
2 = z
4
L = L
0 + z
5
( 3.2 .2 )
Bu yerda
zi(i=1,5 ) lar P0 maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni
(3.2.1) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz:

{
g1≜(x10+z1)2+z32=(L0+z5)2
g2≜(x20+z2− x10− z1)2+(z4− z3)2= d12
g3≜(a− x20− z2)2+z42= d22 (3.2.3)
Tegishli hisoblashlarni bajarib hamda (2.4.1) sistema shartlarini hisobga olib,
quyidagi sistemaga kelamiz:
{
z
1 2
+ 2 x
10
z
1 + z
32
− 2 L
0 z
5 − z
52
= 0
z
12
+ 2
( x
10
− x
20 )
z
1 − 2 z
1 z
2 + 2 ( x
20
− x
10 )
z
2 + z
22
+ ( z
4 − z
3 ) 2
= 0
z
22
+ 2
( x
20
− a ) z
2 + z
42
= 0 (3.2.4)

Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (3.2.3) sistema uchun quyidagi qisqartma
sistemani olamiz.
{
2x10z1+z32− 2L0z5=0
2(x20− x10)(z2− z1)+(z4− z3)2= 0
2(x20−a)z2+z42=0
Bu sistemani yechib:
34

z
1 = 1
2 ( a − x
20
) z
42
+ 1
2 ( x
20
− x
10
) ( z
4 − z
3 ) 2

z2= z42
2(a− x20)
z5= x10
2L0(a− x20)z42+ x10
2L0(x20− x10)(z4− z3)2+ 1
2L0
z32
.
Topilgan z
i ( i = 1.5 )
larni qiymatlarini (2.4.2) sistemaga qo’yib (2.4.1) sistema
uchun asimptotik yechimni olamiz:
x
1 = x
10
+ z
1 = x
10
+ 1
2 ( a − x
20
) z
42
+ 1
2 ( x
20
− x
10
) ( z
4 − z
3 ) 2
+ … ,

x2= x20+z2= x20+ z42
2(a− x20)+… ,
y
1 = z
3 + … ,
(3.2.5)

y2= z4+… ,

L= L0+z5= L0+ x10
2L0(a− x20)z42+ x10
2L0(x20− x10)(z4− z3)2+ 1
2L0
z32+… ,
(3.2.1) sistema uchun topilgan (3.2.5) yechimlardan ko’rinadiki (8-chizma),
mexanizm bunday maxsus holatdan har xil yo’nalish bo’yicha harakatlanishi
mumkin va ularni bilib zarur hollarda maxanizmning maxsus holatlarini
yo’qotish mumkin, ya’ni mexanizmning parametrlarini o’zgartirib maxsus
holatlarga tushmasligini ta’minlash mumkin bo’ladi.
Misol-2 Endi biz ushbu mexanizmning yana bir maxsus xolatini o’rganamiz
35

Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamida sistemaning ushbu maxsus xolatida
P 0
maxsus nuqtaning kichik atrofida (3.2.1) sistemaning parametrik yechimlarini
izlaymiz. Bunda P 0
( x
10
= x
20
= a , y
10
, y
20
, L 0
)
(6- chizma.)
(1) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik.{
x
1 = a + z
1
x
2 = a + z
2
y
1 = y
10
+ z
3
y
2 = y
20
+ z
4
L = L
0 + z
5
( 3.2 .6 )
Bu yerda
zi(i=1,5 ) lar P0 maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni
(3.2.1) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz:

{
g1≜(a+z1)2+(y10+z3)2=(L0+z5)2
g2≜(y20+z4− y10− z3)2+(z2− z1)2= d12
g3≜(a− a− z2)2+(y20+z4)2= d22 (3.2.7)
Tegishli hisoblashlarni bajarib hamda (3.2.1) sistema shartlarini hisobga olib,
quyidagi sistemaga kelamiz:
{
z
1 2
+ 2 a z
1 + z
32
+ 2 y
10
z
3 − 2 L
0 z
5 − z
52
= 0
z
12
+ 2
( y
20
− y
10 )
z
4 − 2 z
1 z
2 − 2 ( y
20
− y
10 )
z
3 + z
22
+ ( z
4 − z
3 ) 2
= 0
z
22
+ 2 y
20
z
4 + z
42
= 0 (3.2.8)

Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (3.2.7) sistema uchun quyidagi qisqartma
sistemani olamiz.
{
2az1+2y10z3− 2L0z5= 0
2(y20− y10)(z4− z3)− 2z1z2= 0
z22+2y20z4=0
Bu sistemani yechib:
36

z
3 = − z
22
2 y
20 − z
1 z
2
y
20
− y
10
z
4 = − z
22
2 y
20
z
5 = az
1
L
0 − y
10
z
22
2 L
0 y
20 − y
10
z
1 z
2
L
0 ( y
¿ ¿ 2 − y
1 ) ¿ .
Topilgan zi(i=1.5 ) larni qiymatlarini (3.2.6) sistemaga qo’yib (3.2.1) sistema
uchun asimptotik yechimni olamiz:

x1= a+z1+… ,
x
2 = a + z
2 + … ,

y
1 = y
10
+ z
3 = y
10
− z
22
2 y
20 − z
1 z
2
y
20
− y
10 + …
, (3.2.9)
y
2 = y
20
+ z
4 = y
20
− z
22
2 y
20 + … ,

L= L0+z5= L0+az 1
L0
− y10z22
2L0y20− y10z1z2
L0(y¿¿2− y1)+… ,¿
37

Misol - 3 Uchburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida
asimtotik yechimini qaraylik. Bunda A , O , B
nuqtalar quyidagi koordinatalarga
ega: O( 0,0 ) , A ( x
1 , x
2 ) , B ( a , 0 )
va OA = l
o’zgarmas kattalik.

Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarini algebraik shaklda yozamiz:

{ f
1 ≝ x
12
+ x
22
= l 2
f
1 ≝ ( x
1 − a ) 2
+ x
22
= x
32 (3.2.10)
(2.4 .10 )
sistemada 2 ta tenglama, 3 ta noma’lumdan iborat, bundan ko’rinadiki,
n = 1
erkinlik darajasiga ega, ya’ni 1
erkinlik darajasiga ega bo’lgan
mexanizmdan iborat.
( 3.2 .10 )
sistemaning yakobi matritsasi quyidagicha
ko’rinishga ega bo’ladi.
J= 2(
x1 x2 0
x1− a x2 − x3)
Matritsaning 2- tartibli minorlari 3
ta bo’lib ular quyidagilardir:
Bundan
M 1=ax2,M 2=− x1x3,M 2=− x2x3, ekanligi va M 1= M 3=0 minorlarning
nolga aylanishi mos holda mexanizmning maxsus holatga tushishini anglatadi,
ya’ni erkinlik darajasini yuqotishdir. Aga
x3= 0 shart bajarilsa O ,Ava B nuqtalar
bir to’g’ri chiziqda yotishini anglatadi.
x2=0 bo’lganda birinchi tur maxsus
holatni ifodalaydi. Osongina aniqlash mumkinki barcha
M i lar bir vaqtda nolga
aylansa ya’ni M
i = 0 ( i = 1,3 )
shartlari bajarilsa berilgan mexanizm ikkinchi tur
maxsuslikka erishadi.
38

Teorema . Holat funksiyalari (3.2.10) sistema bilan aniqlanadigan mexanizm
ikkinchi tur maxsuslikka ega emas.
Misol - 4 Yana bir To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta
atrofida asimtotik yechimini qaraylik. Bunda A , O , B , C
nuqtalar quyidagi
koordinatalarga ega: O( 0,0 ) , A ( x
1 , y
1 ) , B ( x
3 , 0 ) , C ( x
2 , y
2 ) ,
va OA = a
, OC = b , BC = c
(
b<a<c
) o’zgarmas kattaliklar, L- musbat o’zgaruvchi kattalik.

Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarining bog’lanish tenglamalarini
tuzamiz:
{
g1≝x12+y12=a2
g2≝(x1− x3)2+y12= L2
g3≝(x2− x3)2+y22=c2
g4≝x22+y22=b2
(3.2.11)

( 3.2 .11 )
sistemada 4
ta tenglama, 6
ta noma’lumdan iborat, bundan ko’rinadiki,
n=2
erkinlik darajasiga ega, ya’ni 2 erkinlik darajasiga ega bo’lgan
mexanizmdan iborat.
39

(3.2 .11 )
sistemaning quyidagicha 4x6 tartibli yakobi matritsasi quyidagi
ko’rinishga ega bo’ladi.
J = 2
( x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 )
Matritsaning 4-tartibli minorlari quyidagilar:
M
1 = 16
| x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 |
M 2=16
|
x1
x1− x3
0
0
y1
y1
0
0
0
0
x2− x3
x2
0
x3− x1
x3− x2
0 |
M
3 = 16
| x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
− L
0
0 | M
4 = 16 | x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 |
M
5 = 16
| x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
0
y
2
y
2 0
− L
0
0 | M
6 = 16 | x
1
x
1 − x
3
0
0 y
1
y
1
0
0 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 |
M 7=16
|
x1
x1− x3
0
0
0
0
x2− x3
x2
0
0
y2
y2
0
x3− x1
x3− x2
0 |
M
8 = 16 | x
1
x
1 − x
3
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 0
− L
0
0 |
M
9 = 16
| x
1
x
1 − x
3
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 | M
10 = 16 | x
1
x
1 − x
3
0
0 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 |
40

M
11 = 16| y
1
y
1
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 | M
12 = 16 | y
1
y
1
0
0 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 0
− L
0
0 |
M 13=16
|
y1
y1
0
0
0
0
x2− x3
x2
0
x3− x1
x3− x2
0
0
− L
0
0 |
M
14 = 16 | y
1
y
1
0
0 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 |
M
15 = 16
| 0
0
x
2 − x
3
x
2 0
0
y
2
y
2 0
x
3 − x
1
x
3 − x
2
0 0
− L
0
0 |
Bundan: M
1 = − 16 x
3 2
y
1 y
2 ;
M 2=16 x2x3y1(x2− x3) ; M 3=0 ;
M
4 = 16 x
3 y
1 y
2 ( x
2 − x
3 ) ;
M
5 = 0
;
M 6=0 ; M 7=16 x1x3y2(x1− x3);
M
8 = 16 x
1 x
3 y
2 L
;
M 9=16 x1x2L(x3− x2); M
10 = 16 x
1 y
2 L ( x
3 − x
2 ) ;

M 11=16 x3y1y2(x1− x3);
M
12 = 16 x
3 y
1 y
2 L
; M
13 = 16 x
2 y
1 L ( x
3 − x
2 ) ;

M 14=16 y1y2L(x3− x2);
M 15=0 ;
Teorema . To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizm ikkinchi tur maxsuslikka
erishmaydi.
Isbot. Shartga ko’ra mexanizm ikkinchi tur maxsuslikka erishishi uchun
∀ i
lar uchun
M i= 0(i=1,10 ) sharti bajarilishi zarur. Lekin bunday holat yuz bermaydi,
chunki aniqlanishiga ko’ra
b≠c va L>0
41

Endi Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamidaP0 maxsus nuqtaning kichik
atrofida (3.2.11) sistemaning parametrik yechimlarini izlaymiz. Bunda
P0(x10,x20,x30,0,0 ,L0)
(2-chizma.)
(3.2.11) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik.
{
x
1 = x
10
+ z
1
x
2 = x
20
+ z
2
x
3 = x
30
+ z
3
y
1 = z
4
y
2 = z
5
L = L
0 + z
6
( 3.2 .12 )
Bu yerda
zi(i=1,6 ) lar
P 0
maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni
(3.2.11) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz:
42

{
g1≜(x10+z1)2+z42=a2
g2≜(x10+z1− x30− z3)2+z42=(L0+z6)2
g3≜(x20+z2− x30− z3)2+z52= c2
g4≜(x20+z2)2+z52= b2 (3.2.13)
Tegishli hisoblashlarni bajarib hamda (3.2.11) sistema shartlarini hisobga olib,
quyidagi sistemaga kelamiz:
{
z12+2x10z1+z42= 0
(z1− z3)2+2(x10− x30)z1−2(x10− x30)z3+z42− z62−2L0z6=0
(z2− z3)2+2(x20− x30)z2−2(x20− x30)z3+z52= 0
z22+2x20z2+z52=0
(3.2.14)
Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (3.2.13) sistema uchun quyidagi
qisqartma sistemani olamiz.
{
2x10z1+z42= 0
2(x10− x30)z1−2(x10− x30)z3+z42− 2L0z6=0
2(x20− x30)z2−2(x20− x30)z3+z52= 0
2x20z2+z52=0
Bu sistemani yechib:
z
1 = − z
42
2 x
10
z2= − z52
2x20

z
3 = x
30
2 x
20
( x
20
− x
30
) z
52

z
6 = 1
2 L
0
( x
30
x
10 z
42
− x
10
x
30
− x
30 2
x
20 2
− x
20
x
30 z
52 )

43

Topilgan zi(i=1.6 ) larni qiymatlarini (3.2.12) sistemaga qo’yib (3.2.11) sistema
uchun asimptotik yechimni olamiz:
x
1 = x
10
+ z
1 = x
10
− z
42
2 x
10 + … ,
x2= x20+z2= x20− z52
2x20+… ,

x3= x30+z3= x30+ x30
2x20(x20− x30)z52+… ,

y1= z4+… ,
(3.2.15)
y
2 = z
5 + … ,

L = L
0 + z
5 = L
0 + 1
2 L
0
( x
3 0
x
1 0 z
42
− x
1 0
x
30
− x
30 2
x
20 2
− x
20
x
30 z
52 )
+ … ,
44

III-BOBNING XULOSASI
.
Yuqoridagi izlanishlar shuni ko’rsatadiki, o’rganilayotgan mexanizmlar
bog’lanish tenglamalarining maxsusliklarini quyidagi maxsusliklarni hisoblash
algoritmi yordamida topish mumkin:
1. Mexanizmning bog’lanish tenglamalarini algebraik shaklda yozish;
F
i( U , V ) = 0 , i = 1,2 , … , m .
2. Bog’lanish tenglamalari sistemasining yakobi matritsasini tuzish;
J ≝
( ∂ F
i
∂ x
j ) , i = 1 , m , j = 1 , m + n
3. Yakobi J
matritsa barcha
M I m -tartibli minorlarini tanlash;
4. Tanlangan minorlarni hisoblash;
5. Hisoblangan minorlarni ko’paytuvchilarga ajratish va mexanizimning
shunday holatini aniqlash kerakki, unda hech bo’lmaganda bitta
I' indekslar
guruhi uchun M
I ' = 0
shart bajarilsin;
6. Yakobi matritsasining
m -tartibli barcha minorlarining bir vaqtda nolga
aylanish shartlarini topish;
7. Barcha I =
( i
1 , … , i
m ) lar uchun M
I =0 sharti bajariladigan mexanizmning
holatlarini aniqlash.
45

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Баротов А.С. Алгоритм вычисления особенностей алгебраических
кривых возникающих в робототехнике ⁄ ⁄
Узбекский математический
журнал.-Ташкент, 2011.-№ 1.-С.11-20.
2. Брюно А.Д. Солеев А. Локальная униформизация ветвей
пространственной кревой и многоранники Ньютона
⁄⁄ Алгебра и анализ
Т. 3, вып. 1, (1991), С. 67-102.
3. Брюно А.Д. Солеев А. Класификация особенностей функции
положения механизмов ⁄ ⁄
Проблемы машиностроения инадежности
машин.
№ 1, 1994.С.102-109.
4. Солеев А. Нахождение ветвей трехмерной алгебраической кривой //
Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук
№ 6,1983. С. 21-27
5. “ ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUSLIKLARINI
IZLASHDA MATRITSAVIY USULNING QO ’ LLANISHI ” // Barotov Adizjon
Sadiyevich , Abdullayev Sarvar Anvar O ’ g ’ li // Международный научно-
образовательный электронный журнал «ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА В XXI
ВЕКЕ». Выпуск №15 (том 2) (июнь, 2021). Дата выхода в свет: 30.06.2021.
6. Брюно А.Д., Локалный метод нелинейного анализа
дифференциальных уравнений // М.: наука, 1979.
7. “ UCHBURCHAKLI GIDROSILINDIRIK MEXANIZMNI HOLAT
FUNKSIYASINING MAXSUS NUQTA ATROFIDA ASIMTOTIK
TASVIRLANISHI” // Baratova Mohira Abdalimovna , Abdullayev Sarvar Anvar
o ’ g ’ li // Международный научно-образовательный электронный журнал
«ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА В XXI ВЕКЕ». Выпуск №21 (том 2) (декабрь,
2021). Дата выхода в свет: 31.12.2021.

46

8 . Barotov A . S ., Abdullayev S . A .
“ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUSLIKLARINI
IZLASHDA MATRITSAVIY USULNING QO’LLANISHI” //
International scientific and practical conference on “Modern problems of applied
mathematics and information technologies”,
May 11-12, 2022, Bukhara, Uzbekistan
9. Солеев А., Баротов А.С. Локальной представление в малой
окрестности особой точки функции положения робототехнических
механизмов // Узб.журн. Проблемы механики, 2000, № 3,-С. 4-8.
10. Солеев А., Баротов А.С. Локальной представление функции
положения плоского механизма в окрестности особой точки //
Узб.журн.Проблемы механики, 2000, №
6,-С. 13-18.
11. Диментберг Ф.М. Об особых положениях пространственных
механизмов. Машиноведение. 1997. №
5.с. 53-58.

47

Matritsalar algebrasining robototexnikada qo’llaniladigan ayrim mexanizmlarning maxsusliklarini tekshirishga tadbiqlari MUNDARIJA Kirish ……………………………………………………………………………4 I-BOB. KO’PYOQLAR. 1.1 -§ . Ko’pyoqlar………………………………………………..……………..12 1.2 - § . Normal konuslar. Masalaning konusi…………………………………...14 1.3 - § . Qisqartmalar konuslari…………………………………………………..19 I-Bob bo’yicha xulosa………………………………………………………….24 II-BOB. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUS HOLATLARI 2.1 - § . Mexanizmning maxsus holatlari haqida tushuncha……………………..25 2.2 - § . Mexanizm holat funksiyalari maxsusliklarini tekshirish…….………….26 II-Bob bo’yicha xulosa……………………………………………...………….30 II-BOB. ROBOTOTEXNIK MEXANIZMLARNING MAXSUSLIKLARINI TOPISH 3.1 - § . Maxsusliklarini topish algoritmi………...……………………...………31 3.2-§. Robototexnik mexanizmlarning maxsusliklarini izlashda matritsaviy usulning qo’llanishi………….……………...…………………………………34 III-Bob bo’yicha xulosa……………………………………………………….48 Foydalanilgan adabiyotlar……………………...………………………………49 1

Kirish 1. Masalaning qo’yilishi: Robotatexnikaning tekis mexanizmlaring maxsus holatlari, ularning hisoblash algoritmlari o’rganiladi va mexanizmning holat funksiyalarining maxsus nuqtalari izlanadi. 2. Mavzuning dolzarbligi: Oxirgi paytda xalq xo’jaligida, qishloq xo’jaligida ishlatiladigan turli xil mexanizmlar yaratildiki, ular turli erkinlik darajasiga egadirlar. Mexanizm ikki yoki undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo’lgan mexanizmlar maxsus holatlardan holi emas. Bu mexanizmlar maxsus holatga tushganda ularning ish bajarish funksiyasining buzilishiga, erkinlik darajasining bajarilishiga olib kelishi mumkin. Mexanizmning maxsus holatga tushishini bartaraf etish uchun uning strukturasini o’rganishga to’g’ri keladi. Matematik nuqtaiy nazardan mexanizmning bo’g’lanish tenglamalari, ya’ni holat funksiyalarini maxsusliklarini o’rganishdan iborat. Ushbu magistirlik dissertatsiyasi ishi shu muammoni o'rganishga bag’ishlangan. 3. Ishning maqsadi va vazifalari: Mazkur malakaviy bitiruv ishida tekis mexanizmlarning holat funksiyalarining maxsus nuqtalarini tasniflash, ularni hisoblash algoritmi, maxsus nuqta atrofida holat funksiyalarining lokal tasvirini o’rganishdir. 4. Ilmiy –tatqiqot metodlari: Holat funksiyalarini maxsusliklarini o’rganishda nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanilgan. 2

5. Ishning ilmiy ahamiyati: Magistirlik dissertatsiyasi ishi referativ-uslubiy xarakterga ega bo’lib, unda ko’rsatilgan mavzular bo’yicha masalalar yechish uslublari ishlab chiqilgan va shu usullar yordamida amaliy masalalar yechilgan. 6. Ishning amaliy ahamiyati: Ishda nochiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yakobiani hisoblash, m-chi tartibli minorlarni hisoblash bo’yicha amaliy mashg’ulotlar olib borishda foydalanish mumkin. 7. Ishning tuzilishi: Ish ushbu kirish qismi, 2 ta bob 8 ta paragraf, xulosa qismi foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. I-bob. Ko’pyoqlar. Ko’pyoqlarni hisoblash algoritmi haqida bo’lib, u to’rtda paragrafdan iborat. Birinchi paragrafda ko’pyoqlar ta’rifi keltirilgan, ikkinchi paragrafda Normal konuslar. Masalaning konusi ta’rifi, misollar kiritilgan, uchinchi paragrafda Qisqartmalar konuslari keltirilgan, to’rtinchi paragrafda Ko’pyoqlarni hisoblash algoritmi ta’rifi va teoremalar bilan berilgan. II-bob. Roboto texnik mexanizmlarning maxsus holatlari haqida bo’lib, bu ham to’rtta paragrafdan iborat. Birinchi paragraf Mexanizm maxsus holatlari hqaida tushuncha ta’rif va misollar bilan berilgan, ikkinchi paragrafda Roboto texnikadagi mexanizmlarning maxsus holatlari va ularni topish algoritmi haqida tarif va teoremalar keltirilgan. 8. Olingan natijalar: Ushbu malakaviy bitiruv ishining mustaqil qismlarida har bir mavzularga oid quyidagi misollar ishlab chiqilgan: 3

Misol-1 To’rtburchakli gidrosilindirik mexanizimning maxsus nuqta atrofida asimtotik yechimini qaraylik. Qaralayotgan mexanizmning holat funksiyalarining bog’lanish tenglamalarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:{ g 1 ≝ x 1 2 + y 1 2 = L 2 g 2 ≝ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 = d 1 2 g 3 ≝ ( a − x 2 ) 2 + y 22 = d 22 (1) Endi Nyuton ko’pyoqliklari usuli yordamida P0 maxsus nuqtaning kichik atrofida (1) sistemaning parametrik yechimlarini izlaymiz. Bunda P0(x10,x20,0,0 ,L0) (8- chizma.) (1) sistemada quyidagi koordinatalar almashtirishni olaylik. { x 1 = x 10 + z 1 x 2 = x 20 + z 2 y 1 = z 3 y 2 = z 4 L = L 0 + z 5 (2) 4

Bu yerda zi(i=1,5 ) lar P 0 maxsus nuqtadan kichik chetlanishdir. Bu qiymatlarni (1) sistemaga qo’yib quyidagi sistemani hosil qilamiz: { g1≜(x10+z1)2+z32=(L0+z5)2 g2≜(x20+z2− x10− z1)2+(z4− z3)2= d12 g3≜(a− x20− z2)2+z42= d22 (3) Nyuton ko’pyoqliklari usulini qo’llab (3) sistema uchun quyidagi qisqartma sistemani olamiz. { 2 x 1 0 z 1 + z 32 − 2 L 0 z 5 = 0 2 ( x 20 − x 10 )( z 2 − z 1 ) + ( z 4 − z 3 ) 2 = 0 2 ( x 20 − a ) z 2 + z 42 = 0 Bu sistemani yechib va topilgan z i ( i = 1.5 ) larni qiymatlarini (2) sistemaga qo’yib (1) sistema uchun asimptotik yechimni olamiz: x 1 = x 10 + z 1 = x 10 + 1 2 ( a − x 20 ) z 42 + 1 2 ( x 20 − x 10 ) ( z 4 − z 3 ) 2 + … , x2= x20+z2= x20+ z42 2(a− x20)+… , y 1 = z 3 + … , (4) y2= z4+… , L= L0+z5= L0+ x10 2L0(a− x20)z42+ x10 2L0(x20− x10)(z4− z3)2+ 1 2L0 z32+… , (1) sistema uchun topilgan (4) yechimlardan ko’rinadiki (8-chizma), mexanizm bunday maxsus holatdan har xil yo’nalish bo’yicha harakatlanishi mumkin va ularni bilib zarur hollarda maxanizmning maxsus holatlarini yo’qotish mumkin, ya’ni mexanizmning parametrlarini o’zgartirib maxsus holatlarga tushmasligini ta’minlash mumkin bo’ladi. 5

O'xshashlar

EVOLYUTSION ALGEBRA VA UNING TADBIQLARI

KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI

KARRALI XOSMAS INTEGRALLAR VA ULARNING TADBIQLARI

IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING MAXSUSLIGINI YECHISH

BIR YILLIK JAVDARNING AYRIM FIZIOLOGIK XUSUSIYATLARI