logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1068 KB
Ko'chirib olish
Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi MUNDARIJA Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ..................................................................... 41 I. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari. ............................................. 41 II. Me’yoriy- huquqiy hujjatlar. ....................................................................... 42 IV. Internet saytlari. ........................................................................................... 43 Kirish Hozirgi zamon fizika-matematika hamda texnika fanlari taraqqiyotida vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini zarurligi va ko’p sohalarda bu nazariyaning kuchli tekshirish vositasi ekanligi shubhasizdir. Vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini keraklicha bilmasdan turib oliy o’quv yurtlarida nazariy mexanika, gidrodinamika, radiotexnika, magnit maydon fizikasi, nisbiylik nazariyasi va ba’zi boshqa fanlarni yaxshi o’rganib bo’lmaydi. Jismning fazodagi o’rni va harakati faqat boshqa jismlarga nisbatangina aniqlanishi mumkin. Jismning mos vaqti bilan o’rni aniqlanishida asos qilib olingan moddiy sistema sanoq sistemasi deyiladi. Harakatlanuvchi zarrachaning fazoda ishg’ol qilgan nuqtasini har bir sanoq sistemasida sonlar-koordinatalar bilan ifodalash mumkin. Koordinatalarning qanday sistemasi olingan bo’lmasin, skalyar faqat bitta son bilan ifodalanadi. Uch o’lchovli fazodagi vektor koordinatalarining har qanday 1 sistemasida ham uchta son bilan ifodalanadi. Bu uchta son turli sistemada turlicha bo’lsada, o’zaro aniq almashtirish qonuniga bo’ysinadi: Agar vektorni ifodalovchi uchta son biror sistemada ma’lum ekan har qanday boshqa sistemada uchta yangi sonni shu almashtirish qonunidan foydalanib aniqlash mumkin. Shunday qilib, uch o’lchovli fazodagi vektorni aniq almashtirish qonuniga bo’ysingan uchta son to’plami deb qarash mumkin. Tenzor tushunchasi ham aslida vektor tushunchasining ma’lum ravishda umumlashtirilishi natijasidir. Har qanday fizik maydon, masalan, elektromagnit maydoni, gravitatsion maydon, fazoda o’ziga munosib joy ishg’ol qiladi va kerakli fizik miqdorlar bilan harakterlanadi. Fizik maydonning aniqlanishi uchun, shu kerakli fizik miqdorlarning, jumladan ularni ifodalovchi vektorlar va tenzorlarning fazodagi taqsimot sohasini bilish lozim. Shunday qilib, maydon haqidagi matematik tushuncha kelib chiqadi. Biror fizik miqdorni aniqlovchi sonlar shu fizik miqdorning komponentalari deyiladi. Masalan, skalyarning komponenti bitta bo’lsa, vektorniki uchtadir. Inersiya momentlari, mexanik kuchlanishlar va deformatsiyalar, elastiklik modullari, magnitlanish koeffisentlar va hokazo – mana bular ko’p komponentli fizik miqdorlarga oddiy misollardir. Tenzor deyilganda komponentlari o’ziga maxsus almashtirish qonuniga bo’ysingan fizik miqdor anglashiladi. U holda skalyar bilan vektor xususiy shakllardagi eng oddiy tenzorlar bo’lib qoladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida maydon nazariyasining ayrim elementlari ularning hususiyatlari, ular ustida amallar va ularni o’rganishning usullari haqida fikr yuritiladi. Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. Bitiruv ishi tezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning kinematik xossalari, statsionar va statsionar bo’lmagan harakatlarni o’rganishga bag’ishlangan. Gamilton operatori matematik analiz, f unksional analiz , vektor analiz, maydonlar nazariyasi, differensial geometriyaning, mexanika va fizikaning bir qator masalalarida uchraydi. Gamilton operatorining maydonlar nazariyasi 2 hamda differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiqi nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, mavzuning dolzarbligini anglatadi. O’zbekistonda kadrlar tayyorlash bo’yicha noyob milliy modeli jahon hamjamiyati tomonidan keng e’tirof etilmoqda. Xalqaro tajriba tahlili shuni ko’rsatadiki, aksariyat rivojlangan davlatlarda bu sohadagi islohatlar, odatda, faqat ta’lim sohasida amalga oshirilgan. Barcha e’tibor ta’lim tizimini demokratik va insonparvarlik tamoyillari asosida takomillashtirib,uning moddiy texnika bazasini zamon va davr talablari darajasiga ko’tarish va O’zbekistonning ma’rifiy salohiyatini kuchaytirishga qaratildi.Shu maqsadda 1992-yil 2-iyulda “Ta’lim to’g’risida”gi qonun qabul qilindi. Bitiruv ishining ob’ekti va predmeti. Ishning ob’ektini sifatida oliy ta’lim tizimida fizika-matematika va texnika sohalariga oid ta’lim yo’nalishlari va mutaxassisliklarda o’tiladigan maydon nazariyasining asosiy tushunchalari hisoblanadi. 1. Bitiruv ishining predmeti bo’lib nazariy mexanika fanida maydon nazariyasi elemenlarini kengroq o’rganinsh hisoblanadi . Maydon nazariyasi usullari nazariy va amaliy mexanika masalalarini yechishda samarali usul lar hisoblanadi. Mexanikaning harakat differensial tenglamalari maydon nazariyasi operatorlari orqali kompakt ko’rinishda ifodalanadi. Potensialli maydonlarda bu tenglamalarni yechish soddalashadi. Ishning maqsadi va vazifasi. T ezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning kinematik xossalari, statsionar va statsionar bo’lmagan harakat, G amilton operatorining vektor maydon nazariyasi hamda differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiq qilish bitiruv ishining maqsadi hisoblanadi. Bitiruv ishida qo’yilgan maqsaddan kelib chiqqan holda quyidagi vazifalar belgilab olindi: 3 - Skalyar maydon gradyentini hisoblash va gradient xossalarini o’rganish. - Vektor maydon divergensiyasi yordamida oqimning xususiyatlarini o’rganish. - Vektor maydon rotori yordamida tegishli maydonning uyurmasi xususiyatlarini o’rganish. - Gamilton operatorini tadbiq etib harakat differensiyal tenglama va elastik muozanatning deferensiyal tenglamalarini soda ko’rinishda ifodalash. ` Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlar va normativ- huquqiy hujjatlarning qisqacha o‘zaro tahlili. Ushbu bitiruv ishini tayyorlash davomida mexanika sohasida izlanishlar olib borgan mamlakatimiz va dunyoning quyidagi olimlarining darslik va o‘quv qo‘llanmalaridan foydalanildi: fan bo’yicha asosiy darslik va o’quv qo’llanmalaridan R.C. Hibbeler, R.S. Khurmi, [III.2,3], dunyo bo’yicha yuqori reytingga ega jurnallarda chop etilgan ilmiy maqolalardan [V.2,3,5]. Bundan tashqari yurtimizda asos sifatida qabul qilingan O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” hamda 2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi dagi ijtimoiy sohani rivojlantirishga yo‘naltirilgan ta’lim va fan sohasini rivojlantirish, oliy ta’lim tizimini faoliyatining sifati, samaradorligini oshirish asosida ilmiy-tadqiqot va innovatsiya faoliyatini rag‘batlantirish, yutuqlarini amaliyotga joriy etishning samarali mexanizmlarini yaratish, shuningdek Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev tomonidan 20 17 yil 20 aprelda qabul qilingan PQ-2909 sonli “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risidagi qarorlari ushbu bitiruv ishida asos sifatida olingan [I, II]. Bitiruv ishida Maydon nazariyasi elementlaridan foydalanilgan holda mexanikaga oid bir nechta masalalar ko’rilgan. Xususan markaziy kuch maydonidagi harakatlarni o’rganishda maydon nazariyasining operatorlari muhum ro’l o’ynashi ko’rsatilgan. 4 Bitiruv ishning nazariy va amaliy ahamiyati. Ishning nazariy ahamiyati matematik analiz kursida asosan skalyar argumentning skalyar funksiyasi va uning xossalari o’rganilgan bo’lsa, maydon nazariyasida skalyar argumentning vektor funksiyasi, vektor argumentning skalyar funksiyasi, vektor argumentning vektor funksiyasi xossalari o’rganiladi. Bu nazariyadan foydalanib mexanika, astranomiya, gidralogiya va boshqa bir qator fanlarning amaliy masalalari yechiladi. Bitiruv ishi tuzilmasining tavsifi. Strukturaviy jihatdan bitiruv ishi kirish, ikki bob, to’rtta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. 1.1-§. Skalyar va vektor maydonlarda differensial va integral hisob 1.1.1 Vektorlar analizi O’zaro bog’langan miqdordan birining o’zgarishi bilan ikkinchisi unga mos o’zgarishi mumkin. Birinchi o’zgaruvchi miqdor argument va unga mos o’zgaruvchi miqdor funkisya deyiladi; argument skalyar miqdor vektor miqdor bo’lishi mumkin; shuningdek, funksiya ham skalyar miqdor yoki vektor miqdor bo’lishi mumkin. Skalyar argumentning skalyar funksiyalari matematik analizda batafsil tekshiriladi. Skalyar argumentning vektor funksiyalarini, vektor argumentning sklayar funksiyalari va vektor funksiyalarini tekshirish masalalari bilan vektorlar analizi shug’ullanadi. 1.1.2 O’zgaruvchi skalyar va vektorlar 5 Ma’lum chegarada o’zgaradigan t skalyar argument berilgan bo’lsin. Masalan, bunday skalyar argument sifatida vaqt olinishi mumkin. Agar t skalyar argumentning har bir qiymatiga aniq bir a vektor miqdor mos kelsa, bu a vektor miqdor t skalyar argumentning vektor funksiyasi deyiladi va a = a (t) shaklida yoziladi. Shunday qilib, skalyar argument o’zgarishi bilan vektor miqdorining yo moduli yoki yo’nalishining yoxud moduli bilan yo’nalishi birgalikda o’zgarishi mumkin. Moduli cheksiz kichik bo’lgan o’zgaruvchi vektor cheksiz kichik vektor deyiladi. Agar t argument ixtiyoriy ravishda qiymatiga intilganda a o’zgaruvchi vektor bilan o’zgarmas vektorning ayirmasi cheksiz kichik vektor bo’lsa, o’zgarmas vektor o’zgaruvchi vektorning dagi limiti deyiladi va yoki ko’rinishda yoziladi. t argumentning funksiyasi bo’lgan vektor shu argumentning aniq qiymati da bo’lsin. Agar mavjud va ga teng bo’lsa, vektor da uzluksiz vektor funksiya deyiladi. Boshqacharoq ham ifodalash mumkin. t argumentning cheksiz kichik orttirmasi ga vektorning cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni bo’lsa, vektor qiymatda uzluksiz funksiya deyiladi. Tekshirilishi lozim bo’lgan vektor funksiyalarini har doim uzluksiz vektor funksiyalar deb hisoblaymiz. Matematik analizdagi cheksiz kichik miqdorlar, limitlar haqidagi ma’lumotlar vektorlar analizida ham munosib ravishda keng va samarali ishlatiladi. 6 Vektor funksiyasi xususiyatlarini o’rganishda godograf tushunchasi ancha qulay. Argument o’zgarishi bilan o’zgaruvchi vektorning boshi o’zgarmas biror nuqtada (qutbda) turgan bo’lsa, uning oxiri fazoda qandaydir geometrik o’rin hosil qiladi, odatda, bu –aniq shakldagi chiziq; ana shu chiziq o’zgaruvchi vektorning godografi deyiladi (1-rasm). Agar vektorning yo’nalishi o’zgarmasdan, faqat moduligina o’zgarsa, uning godografi qutbdan o’tib, shu yo’nalishdagi to’gri chiziqda yotadi. Agar vektorning moduli o’garmasdan, faqat yo’nalishigina o’zgarsa, bunday vektorning godografi markazi qutbda joyshlashgan va radiusi berilgan o’zgarmas modulga teng shar sirtida yotadi. Masalan, tekshirilayotgan o’zgaruvchi vektor harakatdagi zarrachaning radius-vektori bo’lsa, radius-vektorning godografi shu zarrachaning trayektoriyasi bo’ladi. I.1.3. Skalyar argumentli vektorni differensiallash O’zgaruvchi vektor skalyar argument ning funksiyasi bo’lsin: . Argument dan ga o’zgarganda, vektor ham dan ga o’zgarsin (2-rasm). Argument orttirmasi ga vektor orttirmasi mos kelsin: . 7 Argument orttirmasi ning nolga intilishi bilan birga nisbat ham aniq bir limitga intilsa, bu limit vektorning argument bo’yicha olingan hosilasi deyiladi. Bu hosilani ko’rinishda yozsak, ta’rifga binoan: bo’ladi. Vektorning differensiali uning hosilasi bilan argument differensiali dt ning ko’paytmasidir: . vektorning yo’nalishi vektorning yo’nalishi bilan birdir, ya’ni godorgraf vatari ning yo’nalishi bilan birdir. Argumentning orttirmasi nolga intilganda, nuqta nuqtaga intiladi, demak, vatar yo’nalishi godografning nuqtadagi urinmasi yo’nalishi bilan birlashishga intiladi. Shuning uchun, vektor hosilasi bo’lgan ning yo’nalishi shu vektor godografiga tegishli nuqtada o’tqazilgan urinma bo’yicha argument orta borayotgan mos tomonga qaratilgan (2-rasm). Masalan, harakatdagi zarracha radius-vektori ning vaqt bo’yicha olingan hosilasi shu zarrachaning tezlik vektori buladi: . Aytilganlardan ravshanki, tezlik vektori trayektoriyaga urinmadir. radius- vektor godografining yoy uzunligi ni skalyar argument sifatida qabul qilishimiz mumkin. U vaqtda vektorning yo’nalishi godorafga urinma bo’lib, yoyning o’sa borayotgan tomoniga qaratilgan. Ta’rifga muvofiq: 8 nolga intilishi bilan ning limiti birga teng bo’ladi. Demak, radius- vektorning yoy uzunligi bo’yicha hosilasi o’sha radius vektor godografiga olingan urinma bo’ylab, yoyning o’sa borayotgan tomoniga qaratilgan birlik vektordir. Bu birlik vektori orqali belgilaylik: Vektor hosilasining (1) dagi ta ’ rifiga ko ’ ra , matematik analizdan ma ’ lum bo ’ lgan differensiallash qoidalarini eslasak , quyidagilarni yozishimiz mumkin : I.1.4. Skalyar argumentli vektorni integrallash Vektor funksiya uchun noaniq va aniq integrallar tushunchalarini kiritish mumkin. vektornning skalyar argument bo’yicha olingan hosilasi bo’lsin: Hosilalari vektorga teng bo’lgan barcha vektorlar to’plami vektorning noaniq integrali deyiladi, ya’ni: 9 bu yerda – ixtiyoriy o’zgarmas vektor. Argumentning dan gacha o’zgarish intervalida olingan vektorning aniq integralini noaniq integral orttiramsi sifatida ta’riflash mumkin: Ta’riflarning o’zidan ayonki, vektorlar yig’indisining integrali vektorlar integrallarining yig’indisiga teng, masalan: Bo’laklab integrallash formulasini ham isbot qilish qiyin emas. Masalan, ikki vektor skalyar ko’paytmasining hosilasini olaylik: Buning chap va o’ng tomonlarini integrallash natijasida: bo’ladi, demak: Shuningdek, vektor ko’paytma uchun quyidagini yozamiz; Aniq integral uchun esa bunday bo’ladi; 10 Misol keltiraylik. Nyutonning ikkinchi qonuniga muvofiq, bu yerda - zarracha massasi, uning tezlanishi va –shu zarrachaga ta’sir qiluvchi kuch. Odatda massa o’zgarmas bo’lganligidan, uni hosila belgisi ichiga kiritib yozish mumkin, demak , yoki Kuchning vaqt elementiga ko’paytmasi kuchning elementar impulsi deyiladi. Vaqtning dan gacha o’zgarishi oralig’ida undan olingan aniq integral: bo’ladi. Demak, chekli oralig’dagi kuch impulsi harakat miqdorining shu vaqt oralig’idagi o’zgarishiga teng. I.1.5. Fizik miqdorlar maydoni Yuqorida skalyar argumentning vektor funksiyasi bilan shug’ullangan edik. Endi vektor argumentining skalyar funksiyasi bilan vektor funksiyasini tekshirish masalasiga o’tamiz. Fizik hodisalarni harakterlovchi miqdorlar fazoda yoki uning aniq sohalarida qandaydir taqsimlangan bo’lishi mumkin. Agar biror fizik miqdor, fazo yoki undagi aniq sohaning har bir nuqtasida tayin qiymatga ega bo’lsa, bu miqdorning maydoni to’g’risida gapirish mumkin. Miqdorning skalyar yoki vektor bo’lishiga qarab, maydon yo skalyar maydon yoki vektor maydon deyiladi, miqdorning o’zi esa, maydon funksiyasi deb ataladi. 11 Masalan, jismning elektr potensiali yoki temperaturasi har bir nuqtada aniq qiymatga ega; turli joyida tempraturasi va bosimi turlicha bo’lgan jismning zichligi, umumiy aytganda, nuqtadan nuqtaga o’tgan sari o’zgara boradi va hokazo. Bu misollardagi elektr potensial maydoni tempratura maydoni, zichlik maydoni va boshqalar sklayar maydonlardir. Harakatdagi suyuqlik yoki gazning turli nuqtalarida tezlik turlicha, elektr maydoni yoki magnit maydoni kuchlanganligi turli nuqtalarda turlicha va hokazo. Bu misollardagi tezliklar maydoni, kuchlanganlik maydoni va boshqalar vektor maydonlaridir. Fizika matematika, meteorologiya, elektrotexnika va boshqa fanlarda skalyar va vektor maydonlarni grafik tasvirlash usuli qo’llaniladi. Masalan, biror vektorning maydoni berilgan bo’lsin. Bu maydonda shunday egri chiziq olaylikki, uning har bir nuqtasida vektor unga urinma bo’lsin. Bunday chiziq vektor chiziq deyiladi (3- rasm). Berilgan vektor chiziq bo’yicha harakatlanuvchi biror zararachani tasavvur qilsak, zarracha radius-vektorning godografi xuddi shu vektor chiziqning o’zginasi bo’ladi. U vaqtda radius –vektordan yoy uzunligi bo’yicha olingan hosila vektor chiziqqa urinma bo’ladi. Shunday qilib, vektor chiziqining biror ixtiyoriy nuqtasidagi vektor va hosila shu vektor chiziqining urinmasi bo’yicha yo’naltirilgan, ya’ni vektor va hosila kollinear vektorlardir: ya’ni: (1) Vektor chiziqlarning bu differntsial tenglamasini Dekart sistemasida yozib ko’rsatish mumkin, (1) ga binoan; 12 vektor nuqtaning bir qiymatli va uzluksiz funksiyasi bo ’ lsa , maydonning har bir nuqtasidan bittagina vektor chiziq o ’ tadi . Maydon vektorning biror nuqtadagi yo ’ nalishi shu nuqtadan o ’ tgan vektor chiziqning urinmasi bo ’ yicha aniq tomonga qaratilgan bo ’ ladi . Maydon vektorining biror nuqtadagi son qiymatini tasvirlash uchun, odatda, tubandagi grafik usul qo’llaniladi. vektor maydonning ixtiyoriy biror nuqtasida shu vektorga perpendikulyar ravishda joylashgan birlik yuzni tasavvur etaylik (4-rasm). Vektorning M nuqtasidan son qiymati (moduli) shu nuqtada vektor chiziqqa perpendikulyar qo’yilgan birlik yuzdan o’tuvchi vektor chiziqlar soni deb qabul qilinishi mumkin. U vaqtda vektor chiziqlarning turli joylarda zichroq yoki siyrakroq bo’lishiga qarab, vektorning son qiymatlari qanday taqsimlanishi haqida tasavvur hosil qilishimiz mumkin (5-rasm). Moduli ham, yo’nalishi ham o’zgarmas vektorning maydoni tasvirlovchi vektor chiziqlar maydonning hamma joyida bir xil 13 zichlik bilan taqsimlanadi va o’zaro parallel bo’ladi. Bunday vektor maydon bir jinsli vektor maydon deyiladi (6-rasm). Umumiy fizikadan ma’lum bo’lgan elektr kuch chiziqlari va magnit kuch chiziqlari tushunchalarini eslatib o’tish mumkin: elektr maydoni kuchlanganligining vektor chiziqlari elektr kuch chiziqlari, magnit maydoni kuchlanganligining vektor chiziqlari esa magnit kuch chiziqlari deyiladi. Endi, nuqtaning bir qiymatli va uzluksiz funksiyasi bo’lgan biror skalyarning maydoni berilgan bo’lsin. Skalyar funksiyaning qiymatlari bir xil bo’lgan maydon nuqtalari biror sirtni hosil qiladi: Bu yerda –o’zgarmas miqdori (konstanta). Barcha nuqtalarida funksiyaning o’zgarmas qiymatiga ega bo’lgan bunday sirt izosirt yoki ekvipotensial sirt deyiladi (7-rasm). Funksiya bir qiymatli va uzliksiz bo’lsa, maydonning har bir nuqtasidan bittagina izosirt o’tadi. konstantinga turli qiymatlar berib, izosirtlar oilasini tuzamiz: 14 8-rasmda izosirtning qog’oz beti bilan kesilish izlari tasvirlangan. Izosirt chizish uchun, odatda, bir izosirtdan ikkinchi izosirtga o’tishda funksiyaning o’zgarishi hamma joyda bir xil qilib olinadi. Bu holda turli joylarida izosirtlarning zichroq yoki siyrakroq bo’lishiga qarab, skalyar funksiyaning qasyi yo’nalishida qanday o’zgarishini tasavvur qilishimiz mumkin. Berilgan sohalardagi aniq taqsimotli fizik miqdorlarning qandayligiga qarab, maydonlar ham xilma-xil bo’ladi. Biz hozircha faqat skalyar maydon va vektor maydon haqida gapirdik. Bu bobda faqat shu maydonlar bilangina shug’ullanamiz. Yanada murakkabroq bo’lgan maydonlar – tenzor maydonlar masalasi bu kitobning keyingi boblarida ko’rib chiqiladi. I.1.6. Maydonda chiziq bo’yicha olingan ba’zi integrallar Tekshirilmoqda bo’lgan skalyar yoki vektor funksiyalarni maydonning hamma nuqtalarida uzluksiz deb hisoblaymiz. Uzluksizlik sharti buzilgan hollar keyinchalik ko’rib chiqiladi. Bunga funksiyasi bo’lgan vektor berilgan bo’lsin. Uning joyidagi ikki nuqta orqali o’tgan biror egri chiziqni olaylik (9-rasm). Bu egri chiziqni kichik elementlarga bo’lib chiqaylik. Elementlardan biri bo’lsin. nuqtalar orasidagi yoy uzunligini orqali, nuqtadan nuqtaga qaratilgan elementar siljish vektorini orqali belgilaylik. vektor, umuman aytganda, bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tish bilan o’zaro boradi. Tekshirilayotgan nuqtadagi vektor bilan elementar siljish 15 vektori ning skalyar ko’paytmasi ni tuzaylik. Qolgan barcha elementlar uchun ham shunday skalyar ko’paytmalar tuzib chiqib, so’ngra ularning umumiy yig’indisi ni hisoblab topaylik. Elementlarning har biri cheksiz kamaya borishi bilan bu elementlarning umumiy soni cheksiz ko’paya boradi deylik. Shunday shartga bo’ysingan yig’indi ning limiti mavjud bo’lsa, u vektorning nuqtalar orasidagi chiziq bo’yicha olingan chiziqli integrali yoki egri chiziqli integrali deyiladi va shaklda yoziladi. Chiziqli integralning qiymati vektorga, boshlang’ich nuqta bilan so’nggi B nuqtaga va chiziqning shakliga bog’liqdir. Olingan chiziq yopiq chiziq (kontur) bo’lishi ham mumkin. Vektorning yopiq chiziq (kontur) bo’yicha olingan integrali vektorning sirkulyatsiyasi yoki kontur integrali deyiladi va Shaklida yoziladi. Bir misol olaylik. Zarrachaga kuch ta’sir qilishi natijasidagi elementar siljish bo’lsin. Bajarilgan elementar ish bo’ladi. kontur bo’yicha bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tganda zarrachaga ta’sir qiluvchi kuchning bajargan ishi bo’ladi. Agar zarracha yopiq chiziq bo’yicha harakatlansa, bajarilgan ish bo’ladi. Ta’sir kuchlarining xarakteriga qarab, ayrim hollarda yopiq chiziq bo’yicha bajarilgan ish nolga teng bo’lishi mumkin. Yuqoridagi kabi mulohazalardan foydalanib, chiziq bo’yicha olingach yana ikki integral bilan ish ko’rish mumkin: va , bu yerda -nuqtaning 16 skalyar funksiyasi va nuqtaning vektor funksiyasi. Bu integrallarni yopiq chiziq bo’yicha ham olish mumkin. va . Vektorlarni poligonlash qoidasidan bizga ma’lumki, yopiq chiziq hosil qiluvchi vektorlar yig’indisi nolga teng. Shunga binoan: Misol uchun biror yopiq chiziq va uning ikkita va nuqtasi berilgan bo’lsin (10-rasm). (1) ga binoan, bunday yozamiz: bu yerdan: Demak: Chiziqning uzunligi bilan qiziqar ekanmiz, bilan integral nolga teng bo’lmaydi va integral bilan integral 17 bir-biriga teng bo’lmaydi (10-rasmdagi) yopiq chiziqning birinchi qism uzunligini va ikkinchi qism uzunligini orqali belgilasak, bunday yozishimiz mumkin: I.1.7. Maydonda sirt bo’yicha olingan ba’zi integrallar Bir jinsli vektor maydon berilgan, ya’ni maydon vektorining son qiymati va yo’nalishi o’zgarmas bo’lib, hamma nuqtalarda bir xil bo’lsin. Vektor chiziqlar yo’nalishiga perpendikulyar bo’lmagan, ammo qog’oz betiga perpendikulyar bo’lgan yuzning (11-rasm) qog’oz beti bilan kesishuv chizig’i bilan ko’rsatiladi, Yuz normalining birlik vektorini orqali belgilasak bo’ladi. Berilgan yuzning vektor chiziqlar yo’nalishiga perpendikulyar bo’lgan tekislikka proyeksiyasini orqali belgilaylik (rasmda bilan ko’rsatilgan); bu holda: bo’ladi. yuz va yuz orasidagi burchak vektor bilan normalning birlik vektori orasidagi burchakka teng: yoki, (1) ga binoan, . Demak: 18 Agar vektor chiziq yo’nalishiga perpendikulyar qo’yilgan birlik yuzdan o’tuvchi vektor chiziqlar soni vektor modulini tasvirlash nazarda tutilsa, yuz orqali vektor chiziqlar o’tadi deyishimiz mumkin. Bu miqdor orqali belgilansa: yoki, skalyar ko’paytma xossasiga ko’ra: bo’ladi. 11-rasmda yuz orqali o’tayotgan suyuqlik oqimini tasavvur qilishimiz mumkin. Mana shu qiyosdan foydalanib, (4) yoki (5) da ifodalangan miqdor vektorning yuz orqali oqimi deyiladi. Endi bizga vektor maydoni berilgan bo’lsin. Bu maydonda biror sirt olaylik (12-rasm). 19 Bu sirtni kichik elementlarga bo’lib chiqaylik; elementlardan biri bo’lsin (rasmda qog’oz betiga perpendikulyar qilib olingan). Elementar yuz orqali vektorning elementar oqimi bo’ladi. Sirtning bir elementidan ikkinchi elementiga o’tilganda vektor o’zgaradi. Shuning uchun sirt elementlari naqadar kichik olinsa, vektorning berilgan sirt orqali oqimi shu qadar aniq hisoblab chiqilishi mumkin. Sirt elementlarining har biri cheksiz kamaya borishi bilan barcha elementlar soni cheksiz ko’paya borganda olingan elementar oqimlar yig’indisi ning limiti mavjud bo’lsa, u vektorning berilgan sirt orqali oqimi deyiladi va shaklda yoziladi. Vektorning yopiq sirt orqali oqimi: shaklda yoziladi. Yuqoridagi muhokamalrga ko’ra: bo ’ ladi , bu yerda vektorning yo ’ nalishi elementar yuzini chegaralovchi kontur yo ’ nalishiga mos qilib olinishi kerak . (8) ga binoan : bo’ladi demak: 20 Yopiq sirtga nisbatan tashqi normal yo’nalishi normalning musbat yo’nalishi deb qabul qilinadi (12-rasm). U vaqtda yopiq sirtdan tashqari chiquvchi vektor chiziqlarga mos oqim musbat ishora bilan, ichkari kiruvchilarga mos oqim esa manfiy ishora bilan olinadi. I.1.8. Maydon funksiyalarining fazoviy hosilalari Maydondagi nuqtalarining biridan ikkinchisiga o’tishda maydon funksiyalari o’zgaradi. Berilgan nuqta atrofida maydon funksiyalarini uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyalar deb hisoblaymiz. Atrof nuqtalarining berilgan nuqtaga nisbatan vaziyatlari shu berilgan nuqta radiyis-vektorining juda kichik o’zgarishi bilan aniqlanadi. Berilgan nuqta atrofida maydon funksiyalarining o’zgarishini miqdoriy ifodalash masalasiga o’taylik. Misolni maydonning skalyar funksiyasidan boshlaymiz. Berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq sirt bo’yicha skalyar funksiya integrali ni olaylik. Bu integralning yopiq sirt bilan chegaralangan V hajmga nisbatini tuzamiz: Berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq sirtning shaklidan qat’iy nazar, benihoya kamayishi bilan birga, u bilan chegaralangan hajm nolga intiladi. Ana shu shart bajarilganda yuqoridagicha tuzilgan nisbatning mavjud va aniq limiti skalyar funksiya ning berilgan nuqtadagi gradiyenti deb ataladi va orqali belgilanadi: (1) Skalyar funksiyaning berilgan nuqtadagi gradiyenti shu skalyar funksiyaning o’sha nuqtadagi fazoviy vektor hosilasi deyiladi. Yuqorida aytilgandek mulohazalardan foydalanib, maydonning vektor funksiyasidan olingan fazoviy hosilalar tushunchasini kiritish mumkin. Fazo 21 nuqtasini qurshovchi yopiq sirt bo’yich olingan maydon vektor funksiyasining ikki xil integrali bizga ma’lum: va Bu integrallarning fazo nuqtasini qurshovchi yopiq sirt bilan chegaralangan hajmga nisbatini tuzamiz: , Berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq sirtning benihoya kamayishi bilan birga, birinchi nisbat qandaydir aniq skalyar miqdorga, ikkinchi nisbat esa qandaydir aniq vektor miqdorga intiladi. Birinchi nisbatning limitini ifodalovchi skalyar miqdor a vektorning berilgan nuqtadagi divergensiyasi deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Ikkinchi nisbatning limitini ifodalovchi vektor miqdor a vektorning berilgan nuqtadagi uyurmasi deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib, ta’rifga muofiq: (2) (3) bo’ladi. Vektorning divergensiyasi vektorning fazoviy skalyar hosilasi deb, uning uyurmasi esa vektorning fazoviy vektor hosilasi deb ataladi. Yuqoridagi keltirilgan ta’riflardan ravshanki, maydon funksiyalari yig’indisining fazoviy hosilasi maydon funksiyalarining fazoviy hosilalari yig’indisiga teng, ya’ni: (4) 22 (5) (6) Haqiqatan, misol uchun (4) ni tekshiraylik. Agar bo’lsa, bunday yozishimiz mumkin: Demak, (1)ga binoan: bo’ladi, ya’ni isbot qilinishi lozim bo’lim bo’lgan (4) formula kelib chiqadi. Qolgan ikki formula ham xuddi shu tarzda isbot qilinadi. O’zgarmas maydon funksiyalari va ning fazoviy hosilalari nolga teng bo’ladi: (7) (8) (9) Ixtiyoriy maydon funksiyalarining biror o’zgarmas c miqdor bilan ko’paytmasi uchun, (1), (2), (3) ga binoan, quyidagilarni yozish mumkin: (10) (11) (12) Skalyarning gradiyenti, vektorning divergensiyasi va vektorning uyurmasi maydon nazariyasining muhum tushunchalaridandir. 23 Maydon funksiyalaridan olingan fazoviy hosilalar fazo oriyentatsiyasiga bog’liq. Haqiqatan, sirt elementi psevdovektor, hajm va psevdoskalyardir. Skalyar gradiyentining polyar vektor, psevdoskalyar gradiyentining esa psevdovektor bo’lishi (1) dan ravshan. Shuning singari, polyar vektor divergensiyasining skalyar, psevdovektor divergensiyasining esa psevdoskalyar bo’lishi (2) dan ayon. Nihoyat, polyar vektor uyurmasining psevdovektor, psevdovektor uyurmasining esa polyar vektorligi (3) dan ravshan. 1.2-§. Skalyar maydonning gradiyenti, vektor maydonning divergensiyasi va rotori 1.2.1. Skalyar funksiyaning gradienti Funksiya o’zgarishlari turli yo’nalishlarda turlicha bo’lishi mumkin. Nuqta orqali cheksiz ko’p yo’nalishlar o’tadi, demak, funksiyaning shu nuqtadagi yo’nalishlar bo’yicha olingan hosilalari ham cheksiz ko’pdir. Ammo funksiyaning biror nuqtada har qanday yo’nalish bo’yicha olingan hosilasi funksiyaning shu nuqtadagi gradient bilan bo’g’langan. (1) bo’ladi. Funksiya gradientining birlik vektor yo’nalishidagi proeksiyasi grad ni tekshirib ko’raylik. (1) ga muvofiq: (2) bo’ladi. Funksiyaning gradientini aniqlashda berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq cheksiz kichik sirtning qandayligi ahamiyatsiz bo’lganidan, bu shakl ixtiyorimizcha tanlashimiz mumkin. Shuning uchun biz yopiq sirtni silindr shaklida olaylik: silindrning balandligi va asoslari bo’lsin. vektor yo ’ nalishining birlik vektori desak , bo ’ ladi . M 24 nuqta radius - vektori r bo ’ lsa , nuqta radius - vektori bo ’ ladi . Yon sirtning normali perpendikulyar . Shu sababli yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorlarga e ’ tibor qilinmasa silindrning yopiq sirti bo ’ yicha olingan integral uchun quyidagini yozishimiz mumkin : Silindrning hajmi esa . Natijada (2) ga binoan: bo`ladi. Bu ifodaning o`ng tomoni, (1) ta`rifga muvofiq, bo`ladi. Shunday qilib: yoki (3) (4) Ko`ramizki, funksiyaning biror nuqtada ma`lum yo`nalish bo`yicha hosilasi funksiya gradientining shu yo`nalishdagi proyeksiyasiga teng. Agar hosila yo`nalishi funksiya gradientining yo`nalishi bilan bir xil bo`lsa, funksiya gradientining proyeksiyasi eng katta qiymatga ega bo`ladi. U vaqtda, (4) ga binoan, funksiyaning bu yo`nalish bo`yicha hosilasi ham eng katta qiymatga ega, ya`ni o`zining gradient yo`nalishi bo`yicha funksiya eng katta su`rat bilan ko`payadi. Funksiya gradient yo`nalishining birlik vektorini orqali belgilasak, so`nggi formuladan: (5) 25 bo`ladi. Aytilganlardan shunday xulosa chiqaramiz: funksiya gradienti shunday vektorki, uning yo`nalishi funksiyaning eng katta su`rat bilan ko`payish tomoniga qaratilib, son qiymati (moduli) funksiyaning shu yo`nalish bo`yicha hosilasiga teng. Endi bitta maydonning biror nuqtasi orqali o`tkazilgan izosirt berilgan bo`lsin. Shu izosirtga nuqtada urinma bo`lgan birlik vektorni orqali belgilaylik. Izosirtda funksiya o`zgarmasligidan, funksiyaning urinma yo`nalishidagi hosilasi nolga tengdir. Demak, (3) ga binoan, . Demak, biror nuqtadagi funksiya gradienti shu nuqtadan o`tkazilgan izosirtga perpendikulyar bo`ladi. vektor funksiya gradienti ni tasvirlaydi, funksiya gradientining yo`nalishidagi proyeksiyasi shu yo`nalishdagi funksiya hosilasi ni tasvirlaydi. (4) dan ko`ramizki, izosirt normali bo`yicha olingan funksiya hosilasi funksiya gradientining son qiymati (moduli)ga tengdir. Funksiya gradientining Dekart komponentlarini topaylik, (4) va (3) dan: . Birlik vektor ixtiyoriy olinganligi sababli: (6) bo`ladi. Shunday qilib, funksiya gradientining Dekart kompanentlari uchun: , 26 , (7) . ya`ni funksiya gradientining Dekart komponentlari bio`yicha funksiyaning xususiy hosilalariga tengdir. Funksiya to`la differensiali, ta`rifga muvofiq: bo`ladi. Bu ifodaning o`ng tomoni gradient bilan siljish vektori ning skalyar ko`paytmasidir: (8) ya`ni funksiya gradienti bilan radius-vektor differensialining skalyar ko`paytmasi funksiyaning to`la differensialiga tengdir. Berilgan vektor skalyar funksiyaning to`la differensiali bilan quyidagicha bog`langan bo`lsin: . (9) (28.8) ga binoan, yoki . Bu yerda ixtiyoriy bo`lganligidan , demak: . (10) 27 Xullas, biror vektorning radius-vektor differensiali bilan skalyar ko`paytmasi qandaydir skalyar funksiyaning to`la differensialiga teng bo`lsa, bunday vektor o`sha skalyar funksiyaning gradient bo`ladi. Agar funksiyaning orttirmasining Teylor qatoriga ajratishda yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorlar e`tiborga olinmasa, u holda: (11) bo`ladi. 28 2-BOB. MAYDON NAZARIYASIGA DOIR MASALALAR YECHISH 2.1-§. Gamilton opertori va unga doir formulalar 2.1.1-Misol : funksiyaning nuqtada o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qilgan yo’nalish bo’yicha hosilani va o’zgarish tezligini toping. Yechish : Yo’nalish bo’yicha hosilani formuladan topamiz.funksiya nuqtada differensiallanuvchi. Agar chiziq o’qining musbat yo’nalishi bo’yicha burchak tashkil qilsa bilan bo’lgan burchak tashkilqiladi. Quyudagini hisoblashimiz kerak. Demak, 2.1.2-Misol : funksiyaning nuqtada shu nuqtadan o’qi bilan burchak tashkil qilgan yo’nalish bo’yicha hosilasi, vektor va eng katta o’zgarish tezligi topilsin. Yechish : Xususiy hosilalari va ularni nuqtadagi qiymatini topamiz: 29 Agar yo’nalish o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qilgan bo’lsa , o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qildi. Demak, . Bulardan, bo’lib formuladan Funksiyalarning nuqtadagi o’zgarish tezligi . 2.1.1 Qo`zg`almas sirt ustida harakatlanuvchi moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari Moddiy nuqta tenglamasi (1) ko`rinishida berilgan qo`zg`almas sirt ustida harakatlansin. Nuqtaga ta`sir etuvchi aktiv kuchlarning teng ta`sir etuvchisi bo`lsin. Avval nuqta harakatlanayotgan sirt silliq bo`lgan holni qaraymiz. Bu holda bog`lanish reaksiyasi sirt normali bo`ylab yo`nalgan bo`ladi va unga normal reaksiya deyiladi (shakl). U holda erksiz moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin: (2) bu yerda bog`lanishning normal reaksiya kuchi. 30 (2) tenglamaning ikkala tomonini o`qlariga proyeksiyalab, М nuqtaning harakat differensial tenglamalarini hosil qilamiz, ya`ni (3) bu yerda kuchning o`qlardagi proyeksiyalari, normal reaksiyaning o`sha o`qlardagi proyeksiyalari. Sirtning normal reaksiyasi sirtning tashqi normali bo`ylab yo`nalgan bo`lsa, uning yo`nalishi musbat, ichki normali bo`ylab yo`nalgan bo`lsa, yo`nalishi manfiy deb olamiz. Differensial tenglamalar kursidan ma`lumki, sirtning vektori ham sirtning tashqi normali bo`ylab yo`nalgan vektor bo`ladi, ya`ni (4) vektorni bazis vektorlari orqali quyidagicha yoziladi: (5) (4) va (5) tengliklarga asosan, normal reaksiyaning koordinata o`qlaridagi proyeksiyalari quyidagicha bo`ladi: (6) vektorning moduli: (4) tenglikdan: 31z x yo MN F    shakl Bundan da Lagranj ko`paytiruvchisi deyiladi. (6) munosabatlarga asosan (3) tenglamalar quyidagi ko`rinishga keladi: (7) (7) tenglamalar erksiz moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini yoki Lagranjning birinchi tur tenglamalarini ifodalaydi. (7) tenglamalar (1) bog`lanish tenglamasi bilan birgalikda to`rtta tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu tenglamalar sistemasidan miqdorlarni vaqtning funksiyasi ko`rinishida topish mumkin. Vaqtning funksiyasi bo`lgan koordinatalar M nuqtaning harakat qonunini ifodalaydi. Lagranj ko`paytuvchisi topilgandan keyin normal reaksiyaning moduli (8) formuladan topiladi. 2.1.3-misol. Quyidagi munosabatlarning to’g’riligini ko’rsating a) ; b) ; c) . 32 Yechish: a) Bulardan kelib chiqadiki (*) va (**) munosabatlar ekvivalent, ya’ni munosabat o’rinli. b) Faraz qilaylik va vektorlar berilgan bo’lsin Demak, munosabat o’rinli. c) 2.2-§. Ikkinchi tartibli differensial amallar 2.2.1. Vektor maydon divergensiyasi, vektor maydoni. 2.2.1 Misol . Maydonning vektor chiziqlarini toping. Yechish . Vektor chiziqlarining differensial tenglamalari bunday ko’rinishga ega: 33 Yoki Bu sistemani integrallab, hosil qilamiz: bundan: bunda -ixtiyoriy doimiydir. Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi ravshan. Bu chiziqlarning kanonik tenglamalari bunday ko’rinishga ega 2.2.2. Stoks teoremasi . 2.2.2 Misol . Ushbu vektor maydonning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizig’i bo’yicha sirkulyatsiyasini hisoblang. Yechish: tekislikning yuqori tomonini shuningdek, shu tomonga mos kelgan berk konturni aylanib chiqish yo’nalishini qarab chiqamiz. (18-chizma) uchburchak Ushbuga ega bo’lamiz: Xususiy hosilalarini topamiz: 34 Bu ifodalarni (1.3.9) Stoks formulasiga qo’yamiz. sirt bo’yicha olingan integralni bu sirtning koordinata tekisliklaridagi proektsiyalari bo’lgan karrali integrallar bilan ifodalaymiz: (19-chizma) uchburchak (20-chizma) uchburchak 35 (21-chizma) uchburchak Shunday qilib 2.2.3. Vektor maydon uyurmasi. Faraz qilaylik, fazoning sohasida quyidagi vector maydon berilgan bo’lsin. Ta’rif . vektor maydoning uyurmasi (yoki rotori) deb nuqtaning bilan belgilanadigan va formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni nuqtada topamiz. 2.2.3-Misol . Ushbu vektor maydoning uyurmasini toping. Yechish: ga egamiz. Xususiy hosilalarni topamiz: 36 . Demak, Uyurma tushunchasidan foydalanib, (1.3.9) Stoks formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin: va bunday ifodalsh mumkin: vektorning sirtni chegaralovchi konturni aylanib chiqishning musbat yo’nalishi bo’yicha sirkulyatsiyasi vektorning shu sirt orqali o’tadigan oqimiga teng. Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to’g’ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin. bunda - o ’ zgarmas skalyar . bunda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya . 2.2.4 Potensial maydon. Potensiallik shartlari . 1.3.4-Ta’rif . Agar vektor maydonning uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng bo’lsa, bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, yoki uyurmasiz) maydon deyiladi. Potensial maydonning ta’rifiga ko’ra maydonning har bir nuqtasi uchun bo’ladi, quyidagi ayniyatlar o’rinli bo’ladi: 37 Shuning uchun (1.3.13) ayniyatlarning bajarilishi vektor maydonning potensialligi sharti bo’ladi. Shu ayniyatlar Chiziqli integralning yopiq kontur bo’yicha nolga aylanishi uchun zarur va yetarlidir, shuningdek, uning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligining zaruriy va yetarli shartidir. 1.3.5-Ta’rif . Gradienti skalyar maydonni vujudga keltiruvchi skalyar funksiya shu vektor maydonning potensial funksiyasi (yoki potensiali) deyiladi. Shunday qilib, potensial maydon munosabat bilan ifodalanadi, bunda Bo’lib, shu bilan birga yoki 2.2.4-Misol. Ushbu maydon potensiali maydon bo’lishi yoki bo’lmasligini tekshiring. Yechish. bo’lgani uchun bu yerdan xususiy hosilalarni topamiz. 38 Quyidagilar ravshan, ya’ni (1.3.13) shart bajariladi, shuning uchun berilgan maydon potensial maydondir. Elastik deformatsiyaning muvozanat differensial tenglamalari Bu tenglamalar sistemasini divergensiyasidan foydalansak quyidagicha yoziladi. Deformatsiyalanmagan elastik jismda ikkita bir biriga yaqin va nuqtalarni olamiz, ularning radius vektorlari tegishlicha va bo'lsin. Deformatsiyadan keyin ular va nuqtalarga o’tadi, ularning radius vektorlari esa tegishli ravishda va bo’ladi. Ko’chish vektorining komponentlari, , , larning chiziqli xadlariga nisbatan quyidagicha yoziladi. Xuddi shuningdek va o’qlardagi proyeksiyalar ham yoziladi. Bu tengliklarni operatori orqali quyidagicha yozish mumkin. Nyutonning butun olam tortishish qonunidan kelib chiqadigan differensial tenglamani maydon nazariyasi operatorlari orqali quyidagicha ifodalash mumkin. ; 39 Agar deb potensialni kiritsak ning ikkinchi tenglamasidan, Puasson tenglamasini hosil qilamiz; Bu yerdan agar massa qatnashmasa - Laplas tenglamasini hosil qilamiz. XULOSA Masalaning yana bir muhim tomoni shundaki, vektorlar analosi tushunchasining tadbiqi, oddiy misollar yordamida keltirilgan. Loyiha ishida skalyar maydon gradiyenti vector maydon divirgensiyasi vector maydon rotiri kabi tushunchalar keltirilgan. Ularning xossalariga e’tibor qaratilgan. Shu bilan birga Gamilton operatori kiritilgan bo’lib, vector analizning operatorlari,tenglamalari va bir qator formulalari nabla operatori yordamida korsatilagan vectorlar analizi yordamida fazoda biror fizik kattalikni tarqalishi o’rganiladi. Masalan: Zichlik, temperature, elektr maydon, tezliklar maydoni, kuch maydoni va boshqalar o’rnatiladi, natijada tegishli maydon xususiyatlari aniqlanadi. Loyiha ishi doirasida asosiy tariflar, Formulalar berilgan mavzuni o’zlashtirishda vectorlar algebrasi elementlaridan foydalanilgan. O’z o’rnida shuni aytish lozimki, mazkur loyiha ishi ayrim kamchiliklardan holi emas. Masalan: Mavzuni yoritishda xorijiy tillardagi adabiyotlardan kengroq foydalanilganda ishning sifati yanada oshgan bo’lar edi. Vector maydon divergensiyasi deb nomlanib, vector maydoni, sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi. Vector maydonning yopiq sirt bo’yicha oqimini hajm bo’yicha olingan integral orqali ifodalash haqida trogradiskiy teoremasi haqida ma’lumot berildi. 40 Ushbu bitiruv ishi Gamilton operatori va uning ba’zi bir tadbiqlari. Ish ikki bobdan iborat bo’lib, birinchi bobda mazkur ishni bayon qilishda zarur bo’ladigan ma’lumotlar keltirilgan xususan skalyar maydon gradiyenti, vektor maydon divergentsiyasi, vektor maydon uyurmasi, II bob uchun asos bo’lib xizmat qiladi. II bob Gamilton operatori. Gamilton operatori (Nabla operatori) vector maydonidagi ikkinchi tartibli amallar yuzasidan gap yuritdik. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI I. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari. 1. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Erkin va farovon, demokratik o‘zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag‘ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo‘shma majlisidagi nutq / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent: O‘zbekiston, 2016. - 56 b. (.pdf 17.6Mb) 2. Mirziyoyev, Shavkat Miromonovich. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib- intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017 yilga mo‘ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo‘nalishlariga bag‘ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi ma’ruza, 2017 yil 14 yanvar / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent: O‘zbekiston, 2017. – 104 b. (.pdf 32.5Mb) 3. Mirziyoyev , Shavkat Miromonovich . Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta ’ minlash – yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi . O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza. 2016 yil 7 dekabr /Sh.M.Mirziyoyev. – Toshkent: “O‘zbekiston”, 2017. – 48 b (.pdf 22 Mb.). 41 II . Me’yoriy- huquqiy hujjatlar. 1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. O‘zbekiston Respublikasi Qonunchilik palatasi , 2020 yil 19-may . 72 -modda. 2. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. O‘zbekiston Respublikasi Oliy Majlisining Axborotnomasi, 1997 yil. 11-12-son, 295-modda. 3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Maxkamasining 2012 yil 28 dekabrdagi “ Oliy o‘quv yurtidan keyingi ta’lim xamda oliy malakali ilmiy va ilmiy pedagogik kadrlarni attestatsiyadan o‘tkazish tizimini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi № 365 sonli Qarori. 4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligining 2014 yil 31 martdagi “Oliy ta’lim muasasalari talabalarini me’yoriy-hujjatlar bilan ta’minlash to‘g‘risida”gi № 114 - sonli buyrug‘i. 5. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil 10 yanvardagi “Vazirlar Mahkamasining “Oliy ta’limning Davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to‘g‘risida” 2001 yil 16 avgustdagi 343-son qaroriga o‘zgartirish va qo‘shimchalar kiritish haqida”gi № 3-sonli Qarori. 6. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining "Uzluksiz ta’lim tizimi uchun davlat ta’lim standartlarini ishlab chiqish va joriy etish to‘g‘risida" 1998 yil 5 yanvardagi 5-son Qarori. III . Asosiy adabiyotlar. 2. Theoretical mechanics. Vasile Szolga, 2010. 3. Statics and Dynamics. R. C. Hibbeler, 2013. 4. Engineering mechanics. R.S. Khurmi, 2011. 5. Dissipation of oscillatory contact lines using resonant mode scanning. Yi Xia 1 and Paul H. Steen. npj Microgravity (2020) 6:3 ; https://doi.org/10.1038/s41526-019-0093-0 6. Controllable vibration of liquid crystal elastomer beams under periodic illumination. Jun Zhao, Peibao Xu, Yong Yu, Kai Li. International Journal of Mechanical Sciences 170 (2020) 105366. 42 7. Fayzullayev B.A. «Nazariy mexanika 1-jild», T.: “Cho‘lpon”, 2011. 8. I.V.Meshcherskiy «Nazariy mexanikadan masalalar to‘plami», T.: «O‘qituvchi», 1989. 9. G. Xudoyberganov, A.Vorisov, X. Mansurov, B.Shoyimqulov “Matematik analizdan ma’ruzalar” II qism. Toshkent 2010-yil bet-72-80. 10. A . Sadullayev , K . Mansurov , G . Xudoyberganov , A . Vorisov , G . G ’ ulomov “ Matematik analiz kursidan misol va masalalar to ’ plami ” II qism Toshkent 1993- yil bet -57-58. 11. А.С. Феденко, И.В. Белко, В.И. Видирников, В.Т. Воднев, А.А. Гусак, А.И.Нахиновская, А.П.Рядушка, Л.К. Тутаев “сборник задач дифференциалной геометрии” 1973 год Москва Наука. 12. M.A. Sobirov, A.Yo. Yusupov differensial geometriya kursi Toshkent 2001- yil bet-433-472. 13. A. Sa’dullayev, X. Mansurov, “Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami” 2-tom Toshkent 1995-yil 9-28 betlar 14. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. − М.: Наука, 1997. − 337 с. 15. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М. : Оникс 21 век, 2002. − 304 с. 16. Topildi y ev V.R. Ta’lim va tarbiya jarayonlarini tashkil etishning me’yoriy- huquqiy asoslari. –T., 2015. - 164- bet . IV . Internet saytlari. 1. www.edu.uz 2. www.edu.ru 3. www.cer.ru 4. www.ilm.uz 5. www.uza.uz 6. www.ziyonet.uz 7. www.mechaniks.com 43 V. Scopus materiallari 1. Dissipation of oscillatory contact lines using resonant mode scanning. Yi Xia 1 and Paul H. Steen. npj Microgravity (2020) 6:3; https://doi.org/10.1038/s41526-019-0093-0 2. Controllable vibration of liquid crystal elastomer beams under periodic illumination. Jun Zhao, Peibao Xu, Yong Yu, Kai Li. International Journal of Mechanical Sciences 170 (2020) 105366. 3. V.V. Rumyantsev (originator), which appeared in Encyclopedia of Mathematics - ISBN 1402006098. See original article Lagrange equations (in mechanics). Encyclopedia of Mathematics. URL:http:// encyclopediaofmath. org/index.php? title=Lagrange_equations_(in_mechanics)&oldid=47555 4. D. Besdo, Examples to Extremum and Variational Principles in Mechanics © Springer-Verlag Wien 1972 5. David Tong. "Cambridge Lecture Notes on Classical Dynamics" URL:http:// encyclopediaofmath.org/wiki/Lagrange mechanics 6. Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. p. 236. ISBN 9781860944352 . 7. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics . Cambridge University Press. pp. 140–141. ISBN 0-521-57572-9 . 44

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi MUNDARIJA Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ..................................................................... 41 I. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari. ............................................. 41 II. Me’yoriy- huquqiy hujjatlar. ....................................................................... 42 IV. Internet saytlari. ........................................................................................... 43 Kirish Hozirgi zamon fizika-matematika hamda texnika fanlari taraqqiyotida vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini zarurligi va ko’p sohalarda bu nazariyaning kuchli tekshirish vositasi ekanligi shubhasizdir. Vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini keraklicha bilmasdan turib oliy o’quv yurtlarida nazariy mexanika, gidrodinamika, radiotexnika, magnit maydon fizikasi, nisbiylik nazariyasi va ba’zi boshqa fanlarni yaxshi o’rganib bo’lmaydi. Jismning fazodagi o’rni va harakati faqat boshqa jismlarga nisbatangina aniqlanishi mumkin. Jismning mos vaqti bilan o’rni aniqlanishida asos qilib olingan moddiy sistema sanoq sistemasi deyiladi. Harakatlanuvchi zarrachaning fazoda ishg’ol qilgan nuqtasini har bir sanoq sistemasida sonlar-koordinatalar bilan ifodalash mumkin. Koordinatalarning qanday sistemasi olingan bo’lmasin, skalyar faqat bitta son bilan ifodalanadi. Uch o’lchovli fazodagi vektor koordinatalarining har qanday 1

sistemasida ham uchta son bilan ifodalanadi. Bu uchta son turli sistemada turlicha bo’lsada, o’zaro aniq almashtirish qonuniga bo’ysinadi: Agar vektorni ifodalovchi uchta son biror sistemada ma’lum ekan har qanday boshqa sistemada uchta yangi sonni shu almashtirish qonunidan foydalanib aniqlash mumkin. Shunday qilib, uch o’lchovli fazodagi vektorni aniq almashtirish qonuniga bo’ysingan uchta son to’plami deb qarash mumkin. Tenzor tushunchasi ham aslida vektor tushunchasining ma’lum ravishda umumlashtirilishi natijasidir. Har qanday fizik maydon, masalan, elektromagnit maydoni, gravitatsion maydon, fazoda o’ziga munosib joy ishg’ol qiladi va kerakli fizik miqdorlar bilan harakterlanadi. Fizik maydonning aniqlanishi uchun, shu kerakli fizik miqdorlarning, jumladan ularni ifodalovchi vektorlar va tenzorlarning fazodagi taqsimot sohasini bilish lozim. Shunday qilib, maydon haqidagi matematik tushuncha kelib chiqadi. Biror fizik miqdorni aniqlovchi sonlar shu fizik miqdorning komponentalari deyiladi. Masalan, skalyarning komponenti bitta bo’lsa, vektorniki uchtadir. Inersiya momentlari, mexanik kuchlanishlar va deformatsiyalar, elastiklik modullari, magnitlanish koeffisentlar va hokazo – mana bular ko’p komponentli fizik miqdorlarga oddiy misollardir. Tenzor deyilganda komponentlari o’ziga maxsus almashtirish qonuniga bo’ysingan fizik miqdor anglashiladi. U holda skalyar bilan vektor xususiy shakllardagi eng oddiy tenzorlar bo’lib qoladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida maydon nazariyasining ayrim elementlari ularning hususiyatlari, ular ustida amallar va ularni o’rganishning usullari haqida fikr yuritiladi. Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. Bitiruv ishi tezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning kinematik xossalari, statsionar va statsionar bo’lmagan harakatlarni o’rganishga bag’ishlangan. Gamilton operatori matematik analiz, f unksional analiz , vektor analiz, maydonlar nazariyasi, differensial geometriyaning, mexanika va fizikaning bir qator masalalarida uchraydi. Gamilton operatorining maydonlar nazariyasi 2

hamda differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiqi nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, mavzuning dolzarbligini anglatadi. O’zbekistonda kadrlar tayyorlash bo’yicha noyob milliy modeli jahon hamjamiyati tomonidan keng e’tirof etilmoqda. Xalqaro tajriba tahlili shuni ko’rsatadiki, aksariyat rivojlangan davlatlarda bu sohadagi islohatlar, odatda, faqat ta’lim sohasida amalga oshirilgan. Barcha e’tibor ta’lim tizimini demokratik va insonparvarlik tamoyillari asosida takomillashtirib,uning moddiy texnika bazasini zamon va davr talablari darajasiga ko’tarish va O’zbekistonning ma’rifiy salohiyatini kuchaytirishga qaratildi.Shu maqsadda 1992-yil 2-iyulda “Ta’lim to’g’risida”gi qonun qabul qilindi. Bitiruv ishining ob’ekti va predmeti. Ishning ob’ektini sifatida oliy ta’lim tizimida fizika-matematika va texnika sohalariga oid ta’lim yo’nalishlari va mutaxassisliklarda o’tiladigan maydon nazariyasining asosiy tushunchalari hisoblanadi. 1. Bitiruv ishining predmeti bo’lib nazariy mexanika fanida maydon nazariyasi elemenlarini kengroq o’rganinsh hisoblanadi . Maydon nazariyasi usullari nazariy va amaliy mexanika masalalarini yechishda samarali usul lar hisoblanadi. Mexanikaning harakat differensial tenglamalari maydon nazariyasi operatorlari orqali kompakt ko’rinishda ifodalanadi. Potensialli maydonlarda bu tenglamalarni yechish soddalashadi. Ishning maqsadi va vazifasi. T ezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning kinematik xossalari, statsionar va statsionar bo’lmagan harakat, G amilton operatorining vektor maydon nazariyasi hamda differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiq qilish bitiruv ishining maqsadi hisoblanadi. Bitiruv ishida qo’yilgan maqsaddan kelib chiqqan holda quyidagi vazifalar belgilab olindi: 3

- Skalyar maydon gradyentini hisoblash va gradient xossalarini o’rganish. - Vektor maydon divergensiyasi yordamida oqimning xususiyatlarini o’rganish. - Vektor maydon rotori yordamida tegishli maydonning uyurmasi xususiyatlarini o’rganish. - Gamilton operatorini tadbiq etib harakat differensiyal tenglama va elastik muozanatning deferensiyal tenglamalarini soda ko’rinishda ifodalash. ` Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlar va normativ- huquqiy hujjatlarning qisqacha o‘zaro tahlili. Ushbu bitiruv ishini tayyorlash davomida mexanika sohasida izlanishlar olib borgan mamlakatimiz va dunyoning quyidagi olimlarining darslik va o‘quv qo‘llanmalaridan foydalanildi: fan bo’yicha asosiy darslik va o’quv qo’llanmalaridan R.C. Hibbeler, R.S. Khurmi, [III.2,3], dunyo bo’yicha yuqori reytingga ega jurnallarda chop etilgan ilmiy maqolalardan [V.2,3,5]. Bundan tashqari yurtimizda asos sifatida qabul qilingan O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” hamda 2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi dagi ijtimoiy sohani rivojlantirishga yo‘naltirilgan ta’lim va fan sohasini rivojlantirish, oliy ta’lim tizimini faoliyatining sifati, samaradorligini oshirish asosida ilmiy-tadqiqot va innovatsiya faoliyatini rag‘batlantirish, yutuqlarini amaliyotga joriy etishning samarali mexanizmlarini yaratish, shuningdek Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev tomonidan 20 17 yil 20 aprelda qabul qilingan PQ-2909 sonli “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risidagi qarorlari ushbu bitiruv ishida asos sifatida olingan [I, II]. Bitiruv ishida Maydon nazariyasi elementlaridan foydalanilgan holda mexanikaga oid bir nechta masalalar ko’rilgan. Xususan markaziy kuch maydonidagi harakatlarni o’rganishda maydon nazariyasining operatorlari muhum ro’l o’ynashi ko’rsatilgan. 4

Bitiruv ishning nazariy va amaliy ahamiyati. Ishning nazariy ahamiyati matematik analiz kursida asosan skalyar argumentning skalyar funksiyasi va uning xossalari o’rganilgan bo’lsa, maydon nazariyasida skalyar argumentning vektor funksiyasi, vektor argumentning skalyar funksiyasi, vektor argumentning vektor funksiyasi xossalari o’rganiladi. Bu nazariyadan foydalanib mexanika, astranomiya, gidralogiya va boshqa bir qator fanlarning amaliy masalalari yechiladi. Bitiruv ishi tuzilmasining tavsifi. Strukturaviy jihatdan bitiruv ishi kirish, ikki bob, to’rtta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. 1.1-§. Skalyar va vektor maydonlarda differensial va integral hisob 1.1.1 Vektorlar analizi O’zaro bog’langan miqdordan birining o’zgarishi bilan ikkinchisi unga mos o’zgarishi mumkin. Birinchi o’zgaruvchi miqdor argument va unga mos o’zgaruvchi miqdor funkisya deyiladi; argument skalyar miqdor vektor miqdor bo’lishi mumkin; shuningdek, funksiya ham skalyar miqdor yoki vektor miqdor bo’lishi mumkin. Skalyar argumentning skalyar funksiyalari matematik analizda batafsil tekshiriladi. Skalyar argumentning vektor funksiyalarini, vektor argumentning sklayar funksiyalari va vektor funksiyalarini tekshirish masalalari bilan vektorlar analizi shug’ullanadi. 1.1.2 O’zgaruvchi skalyar va vektorlar 5

O'xshashlar

Dielektriklarda elektr maydon
Statistik modellashtirishning elementlari
BILISH NAZARIYASI
Tasvirlarga raqamli ishlov berish elementlari
ISHLAB CHIQARISH NAZARIYASI