Mavzu: Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy formulalari . Reja: .Kirish.Ⅰ .Asosiy qism. Ⅱ 1. Vektor maydon tushunchasi. Vektor maydonning divergensiyasi, fizik ma'nosi. Ostrogradskiy teoremasi 2. Vektor maydon uyurmasi (rotori) va uning xossalari. Vektor maydonning sirkulyasiyasi . 3. Stoks teoremasi. .Xulosa. Ⅲ .Foydalanilgan adabiyotlar. Ⅳ Kirish

Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari yosh mutaxasislami har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiyalashda uning alohida o'ringa ega ekanligi ta'kidlamasdan bo‘lmaydi. Tahliliy mulohaza, mantiqiy mushohada, fazoviy tasavvur, abstrakt tafakkur inson faoliyatining barcha sohasi uchun zarur qobilyatki, bular matematikani o'rganish jarayonida shakllanib boradi. Dekart tomonidan koordinatalar sistemasini kiritilishi matematika va uning tatbiqlarida revolyusiya yasadi. Keyingi qadam vektor hisobning kiritilishi bo’ldi. Ba'zi fizik masalalami yechish uchun esa murakkab miqdorlar - tenzorlar kerak boMadi. Tenzor kattaliklar nisbiylik nazariyasi va differensial geometriyada keng qoMlaniladi. Tenzor miqdorlar fizik jarayon xususiyatlarini invariantlari yordamida aniqlashga yordam beradi. Invariantlar deb shunday bog’lanishlarga aytiladiki, ular bir sistemadan boshqasiga o‘tganda o‘zgarmaydi. Maydonlar nazariyasidagi har bir matematik amallar nazariy va amaliy jihatdan tushunarli holda keltirilgan. Shuning uchun talabalar va fizik jarayonlar bilan mashg‘ul bo’lgan mutaxassislar uchun ushbu darslik amaliy ishlariga yordam beradi. Darslik ikki bob va ikki ilovadan tashkil topgan. Darslikning birunchi qismida skalyar va vektor maydonlarga oid tushunchalar, maydonning amallariga tegishli ma’umotlar, maydon amallarining egri chiziqli koordinatalardagi ifodalari keltirilgan. Tenzorga oid bo’limda unga tegishli amallar to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasida bayon qilingan. Har bir mavzular misoliar bilan bayon qilingan va mustaqil ishlash uchun mashqlar berilgan. Darslikda ikkita ilova keltirilgan. Birinchi ilovada kursni o'qitishda zarur bobga asosiy formulalar bayon qilingan. Hamma sohalarda matematik qonuniyatga asoslangan zamonaviy kompyuterlaming muvaffaqiyat bilan tatbiq etilishi hamda uning kundan-kunga rivojlanib borayotgani, yosh mutaxasislarning tegishli sohalar masalalarining matematik modellarini tuza bilishi va unda hisoblash texnikasini joriy etish vazifasini qo‘ymoqda. Ayniqsa, analitik hisoblashlami amalga oshiradigan bir qancha zamonaviy paketlar ishlab chiqildi (Mathematica, MathCad, Maple va h.k). Biz mustaqil ishlarni bajarishda informatsion texnologiyalardan unumli foydalanish va zamon talabiga mos keladigan niutaxassislarni tayyorlashni nazarda tutib 2- ilovada maydon amallarini Maple tizimida bajarishga oid namunalar bilan to’ldirdik. Har bir bob tegishli paragraflarga bo’lingan bo’lib, har bir paragraf mavzuga taalluqli asosiy ta'riflar, tasdiqlar, teoremalami o‘z ichiga oladi, shuningdek, ularning har biri an'anaviy misollami batafsil tahlil yordamida yechish orqali namoyish qilingan. Vektor maydon tushunchasi. Vektor maydonning divergensiyasi, fizik ma'nosi. Ostrogradskiy teoremasi

Sirt orqali o‘tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi. Faraz qilaylik, Oxyz fazoning V sohasida ⃗ a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z )⃗ k vektor maydon berilgan bo‘lsin, bu yerda P(x,y,z),Q (x,y,z),R(x,y,z)−¿ shu sohada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar. Bu sohada orientirlangan σ sirtni olamiz, uning har bir nuqtasida normalning musbat yo‘nalishi ⃗ n 0 = cosα ∙ ⃗ i + cosβ ∙ ⃗ j + cosγ ∙ ⃗ k birlik vektor orqali aniqlansin, bu yerda α,β,γ−¿ normal ⃗ n 0 ning koordinatalar o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari. Ta’rif. ⃗ a ( M ) vektorning σ sirt orqali o‘tuvchi П oqimi deb quyidagi ikkinchi tur integraliga aytiladi: П = ∬ σ❑ P ( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy ( 1 ) (8) formulani П =∬σ ❑ [P(x,y,z)cosα +Q (x,y,z)cosβ +R(x,y,z)cosγ ]dσ ko ‘rinishda yoki yanada soddaroq П = ∬ σ❑ ⃗ a ∙ ⃗ n 0 dσ ( 2 ) ko ‘rinishda yozish mumkin, chunki Pcosα + Qcosβ + Rcosγ = ⃗ a ∙ ⃗ n 0 . Bu yerda dσ ifoda σ sirt yuzining elementi. (60) formula ⃗a vektorning П oqimini vektor yozuvida ifodalaydi. Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, ⃗ a ( M ) vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini σ orqali aniqlasin. Bu tezlik vektori har bir M nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo ‘nalish, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo‘ladi. (8-chizma).

σ sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o ‘tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda M nuqtani va sirtning dσ elementini qayd qilamiz. Vaqt birligida bu element orqali oqib o‘tgan suyuqlik miqdori asosi dσ va yasovchisi a bo‘lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini ⃗n0 normal birlik vektoriga proeksiyalash yo‘li bilan hosil qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi ⃗ a ∙ ⃗ n 0 ∙ dσ kattalikka teng bo‘ladi. Vaqt birligi ichida butun σ sirt bo‘yicha oqib o‘tgan suyuqlikning to‘liq hajmi yoki suyuqlik miqdori σ bo‘yicha integrallash natijasida hosil bo‘ladi: ∬ σ❑ ⃗ a ∙ ⃗ n 0 dσ . Bu natijani formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: σ sirt orqali o‘tayotgan ⃗a tezlik vektori П oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt orientatsiyalangan yo‘nalishda oqib o‘tgan suyuqlik miqdoridir. Bektorlar oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat. σ sirt fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt bo‘lgan hol ayniqsa katta qiziqish o‘yg‘otadi. Bu holda ⃗n0 normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo‘naltirishga shartlashib olamiz. Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik ω sohadan oqib chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. σ yopiq sirt bo‘yicha olingan integralning o‘zi esa П =∯σ ❑ ⃗a∙⃗n0dσ ko ‘rinishda belgilanadi va ω sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib kirayotgan suyuqlik orasidagi farqni beradi. Bunda, agar П = 0 bo‘lsa, ω sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.

Agar П > 0 bo‘lsa, u holda ω sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan ko‘proq suv oqib chiqadi. Agar П < 0 bo‘lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko‘rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan uzoqlashadigan joylar borligini ko‘rsatadi (masalan, bug‘lanadi). Shunday qilib, ∯σ ❑ ⃗a∙⃗n0dσ integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi. Yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan chegaralangan fazoviy soha bo‘yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz. Teorema. Agar ⃗ a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z ) ⃗ k vektor maydon proeksiyalari ω sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga uzluksiz bo‘lsa, u holda σ yopiq sirt orqali ⃗a vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan ω hajm bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo‘yicha shakl almashtirish mumkin: ∯ σ❑ P ( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy = ¿ ¿ ∭ ω❑ ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) dxdydz , ( 3 ) bu yerda integrallash σ sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).formula Ostogradskiy formulasi deyiladi. Isboti. Faraz qilaylik D soha –σ sirtning (va ω sohaning) Oxyz sirtdagi proeksiyasi bo‘lsin, z = z 1 ( x , y ) va z = z 2 ( x , y ) esa shu sirtning σ1 pastki va σ 2 yuqoridagi qismlarining tenglamasi bo‘lsin (10-chizma). Ushbu