logo
  1. Bosh sahifa
  2. Referatlar
  3. Umumiy
  4. 1-иш (Восстановлен) о

1-иш (Восстановлен) о

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1275.5673828125 KB
Ko'chirib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI (KECHKI) 416-GURUH TALABASI XAYDAROV FURQAT NING MA’LUMOTLARNI NORAVSHAN TO’PLAMLAR USULLARI ASOSIDA ISHLOV BERISH FANIDAN BAJARGAN MUSTAQIL ISHLARI Tekshirdi: Mamaraufov O.A SAMARQAND-2023 MAVZU1: NORAVSHAN TO’PLAMLAR NAZARIYASI ASOSIY TERMINLARI VA TA’RIFLARI. REJA: 1. N oravshan to’plamlar defazifikatsiyasi. 2. Defazifikatsiya usullari, ularning geometrik talqini. 3. Noravshan bilimlar bazasi. 4. Noravshan mantiqiy xulosa Asosiy atama va tushunchalar Vaqtning haqiqiy masshtabida masalalarni yechishning xususiyatlari shuni ko’rsatadiki, hisoblash imkoniyatlarining yetishmovchiligi masalaning sharoitlari to’g’risidagi axborotning yetishmasligiga ekvivalent bo’lishiga olib keladi. Universal to’plam bittadan ortiq nuqtaga ega bo’lgandagina ishga ko’ra noaniqlik o’rinlidir. Agar to’plamning ushbu elementlari uchun mos ehtimollar yoki boshqa ehtimolli tavsiflar berilgan bo’lsa, u holda ehtimolli noaniqlik o’rinlidir. Agar to’plamning faqatgina chegeraviy elementlari ma’lum bo’lsa - interval noaniqlik o’rinlidir. Va nihoyat, to’plamning har bir elementi uchun tegishlilik darajasi berilgan bo’lsa - noravshanlik ko’rinishidagi noaniqlik o’rinlidir. Noaniqlik darajasi (to’la aniqlik, ehtimolli, lingvistik, interval, to’la noaniqlik), noaniqlik xususiyati (parametrik, tarkibiy, vaziyatli) va boshqaruv paytida olingan axborotni ishlatishga (bartaraf etiladigan va etilmaydigan) ko’ra noaniqlikni sinflarga ajratish mumkin. Har xil tabiatli noaniqliklarni hisobga olish va adekvat matematik shakllantirish yechilayotgan masalaning qiyinlik darajasini o’sishiga qarab ortib boradi. Amaliyotda murakkab tizimlarni ishlash jarayoni ta’rifining detallashuvini chuqurlashtirish yo’li orqali noaniqlik darajasini pasaytirish imkoni anchagina cheklangan. Gap shundaki, L.Zadening taqqoslab bo’lmaslik tamoyiliga ko’ra, modelni dettallashtirib borgan sari unga shunchalik ko’proq noaniq omillar qo’shilib boriladi, bu esa bevosita natijalardagi noaniqlikning o’sishiga olib keladi. Natijada, modelni murakkablashtirishning ma’lum bir bosqichida ta’rifning detallashuviga asoslangan yuqori aniqlikka qaramay, model deyarli ma’noga ega bo’lmay qoladi. Umuman olganda, L.Zadening noaniqlik tamoyili ilgari chegarasiz ko’ringan matematik modellashtirish usullarining imkoniyatlariga cheklanishlar qo’yadi. Defazzifiikasiya (defuzzification) deb noravshan to’plamni ravshan songa keltiruvchi jarayonga aytiladi. Noravshan to’plamlar nazariyasida defazzifikasiya jarayoni ehtimollar nazariyasida tasodifiy sonlar vaziyatlarining tavsiflarini (matematik kutish, modalar, medianlar) topish kabidir. Defazzifikasiya jarayonini bajarishning eng sodda usuli tegishlilik funksiyasining maksimumiga mos ravshan sonni tanlashdan iboratdir. Lekin bu usulning qo’llanilish chegarasi bir ekstremalli tegishlilik funksiyalari bilan cheklanib qoladi. Ko’p ekstremmalli tegishlilik funksiyalari uchun defazzifikasiyaning quyidagi usullari hisobga olingan: Centroid – og’irlik markazi; Bisector - mediana; LOM (Largest Of Maximums) –maksimumlar ichida eng kattasi; SOM (Smallest Of Maximums) – maksimumlar ichida eng kichigi; Mom (Mean Of Maximums) –maksimumlar markazi.~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash quyidagi formula bo’yicha amalga oshiriladi: a= ∫ u u u⋅μ~A(u)du ∫ u u μ~A(u)du . Ushbu formulaning fizik ko’rinishi koordinatalar o’qi va noravshan to’plamning tegishlilik funksiyalari bilan chegaralangan tekis figuraning og’irlik markazini topishdan iboratdir. Diskret universal to’plam holida noravshan to’palmni og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash a= ∑ j=1 k uj⋅μ~A(uj) ∑ j=1 k μ~A(uj) formula bo’yicha amalga oshiriladi. ~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni mediana usulida defazzifikasiyalash uchun ∫ u a μ~A(u)du =∫ a ¯u μ~A(u)du tenglikni qanoatlantiradigan a sonni topish zarur. Mediana usulining geometrik talqini absissalar o’qida shunday nuqtani topishdan iboratki, shu nuqtadan o’tkazilgan perpendikulyar tegishlilik funksiyasi egri chizig’ining ostidagi yuzani ikkita teng qismga ajratsin. ~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni maksimumlar markazi yordamida defazzifikasiyalash a= ∫ G udu ∫ G du formula bo’yicha amalga oshiriladi. Bu yerda G - noravshan to’plamga [u,u] oraliqdan maksimal darajada tegishli bo’lgan barcha elementlar to’plami. Maksimumlar markazi usulida defazzifikasiyalash tegishlilik darajasi maksimal bo’lgan universal to’plamdagi elementlarning o’rta arifmetigi kabi aniqlanadi. Agar bunday elementlar to’plami chekli bo’lsa, u holda formula quyidagi ko’rinishga keladi: a= ∑ uj∈G uj |G | , bu yerda |G| - G to’plamning quvvati. Diskret holatda maksimumlar ichida eng katta va maksimumlar ichida eng kichkina usullari bo’yicha defazzifikasiyalash mos ravishda a= max (G) va a= min (G ) formulalari bo’yicha amalga oshiriladi. Oxirgi uchta formulalardan shu narsa ayon bo’ladiki, tegishlilik funksiyasi bittagina maksimumga ega bo’lsa, uning koordinatasi [76,84,133] noravshan to’plamning aniq nusxasidir. Masalan, “paxtaning o’rtacha hosildorligi” noravshan to’plamini og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash mumkin. Og’irlik markazi usuli bo’yicha noravshan to’plamni defazzifikasiyalash formulasini qo’llagan holda a= 0⋅21 +0.1⋅22 +0.3⋅23 +0.8⋅24 +1⋅25 +1⋅26 +0.5⋅27 +0⋅28 0+0.1+0.3+0.8+1+1+0.5+0 =25.08 ga ega bo’lamiz. Noravshan son – normal va qavariq, ya’ni a) tegishlilik funskiyasi birga teng bo’lgan tashuvchining qiymatiga ega bo’lgan b) maksimumidan chapga yoki o’ngga siljiganda kamayadigan tegishlilik funksiyasiga ega bo’lgan haqiqiy sonlar universal to’plamining noravshan qism to’plamidir. Keyinchalik bizga kerak bo’ladigan noravshan sonlarni ko’rib chiqaylik. Trapesiya ko’rinishidagi (Trapesiyasimon) noravshan son . Ma’lum bir kvazistatistikani o’rganib chiqamiz va  = « U o’zgaruvchining qiymati» deb olamiz, bu yerda U – kvazistatistika tashuvchilarining qiymatlar to’plami. Qiymatlarning ikkita term-to’plamini ajratamiz: М 1 noravshan qism to’plamli T 1 = « U taxminan a dan b gacha bo’lgan oraliqda yotibdi» va М 2 noravshan qism to’plamli sarlavhasiz T 2 to’plam, jumladan bu yerda М 2 =  М 1 shart bajariladi. U holda  T1 (u) tegishlilik funksiyasi 9-rasmdagi kabi ko’rinishga ega bo’ladi. О сновной Основной О сновной О сновной О сновной О сновной a1 a2 a3 a49-rasm. Trapesiyasimon noravshan sonning tegishlilik funksiyasi Oraliqning chegaralari noravshan tarzda berilgani uchun, trapesiya uchlarining absissalarini quyidagi ko’rinishda kiritish maqsadga muvofiqdir: а = ( а 1 + а 2 )/2, в = ( в 1 + в 2 )/2, jumladan а 1 , а 2 va в 1 , в 2 uchlar bir biriga nisbatan “taxminan” tushunchasiga qanday mazmun berishimizga qarab joylashadilar: kvazistatistikaning taxmini qanchalik katta bo’lsa, trapesiyaning yon qirralari shunchalik taxminiy bo’ladi. Chegaralangan holda “taxminan” tushunchasi “ixtiyoriy joyda” tushunchasiga aylanadi. Agar biz o’zgaruvchini sifat jihatidan baholaydigan bo’lsak, “Bu qiymat o’rtacha hisoblanadi” deb fikr bildirgandan so’ng ekspert bahosi (noravshan sinflashtirishning) “O’rtacha qiymat - bu taxminan a dan b gacha” kabi aniqlashtiruvchi tasdig’ini kiritib, so’ngra esa noravshan sinflashtirishni modellashtirishda trapesiyasimon sonlarni ishlatish mumkin. Aslida bu ishonchsiz sinflashtirishning eng tabiiy usulidir. Uchburchak noravshan sonlar . Endilikda huddi o’sha lingvistik o’zgaruvchi uchun Т 1 ={ U taxminan a ga teng} term-to’plamni kiritamiz. а    а ligi ravshan, jumladan  ning nolga qarab kamayib borishi sayin, bahoga bo’lgan ishonch birgacha ortib boradi. Tegishlilik funksiyasi nuqtai nazaridan bu a ga uchburchak ko’rinishni (10-rasm) beradi, jumladan yaqinlashish darajasi ekspert tomonidan tavsiflanadi. О сновной О с новной О с новной О с новной О с новной О с новной m( x) x a1 a2 a10-rasm. Uchburchaksimon noravshan sonning tegishlilik funksiyasi Uchburchaksimon sonlar - bu noravshan sonlarning amaliyotda, ayniqsa o’zgaruvchining bashoratli ko’rinishi sifatida, eng ko’p uchraydigan turidir. Tegishlilik funksiyasi noravshan to’plamlar nazariyasidagi boshlang’ich matematik tuzilishdir. Aniq bir holatni tahlil qilish uchun, avvalo mavjud ma’lumotni tegishlilik funksiyalari orqali akslantirish zarur. Buni amalga oshirish qiyin. Nazariyaning boshlang’ich tushunchasining tadbiqi tegishlilik funksiyasi tabiiy matematik ta’rif hisoblangan axbortli vaziyatlarning ma’lum bir turiga yoki kanonik sxemalarni mazmunli ta’rifiga tayanishi kerak. Bu kabi tadbiqqa asoslanibgina, ekspert har qanday ilovada kanonik sxemani mavjud axborot bilan solishtira olishi, ya’ni hayoliy tajriba tashkil etib, mos tegishlilik funksiyasini qurishi mumkin. MAVZU 2: NORAVSHAN TO’PLAMLAR XUSUSIYATLARI REJA: 1. Noravshan to’plamlar balandligi. 2. Normal noravshan to’plam, normallashtirish 3. Noravshan to’plam ifodalovchisi 4. Noravshan bo’sh to’plam, qavariq noravshan to’plam Noravshan to’plam tushunchasi - matematik modellarni qurish uchun noravshan ma’lumotni matematik jihatdan bayon etishga harakat qilingan urinishlardir. Ushbu tushunchaning zaminida berilgan to’plamni tashkil qilgan bir xil xususiyatli elementlar shu xususiyatga har xil darajada ega bo’lishi, demak berilgan to’plamga har xil darajada tegishli bo’lishi mumkinligi to’g’risidagi tasavvur yotadi. Bunday yondashuvga asosan “qandaydir element berilgan to’plamga tegishli” ko’rinishidagi mulohazalar ma’noga ega bo’lmay qoladi, chunki aniq bir element berilgan to’plamni qanday darajada yoki “qanchalik kuchli” qoniqtirishini ko’rsatish zarur. U tashuvchi- bu baholanayotgan kvazistatistika doirasidagi kuzatishlarning barcha natijalari tegishli bo’lgan universal to’plamdir. Masalan, agar biz paxtaning hosildorligini kuzatayotgan bo’lsak, u holda tashuvchi - o’lchov birligi senter bo’lgan bir gektardan olinadigan paxta miqdori qo’yilgan haqiqiy o’qdan ajratilgan kesmadir. U universal top’lamdagi ~A noravshan to’plam (fuzzy set) deb ( μ~A,u ) juftliklar majmuiga aytiladi, bunda μ~A - elementning ~A noravshan to’plamga tegishlilik darajasidir. Tegishlilik darajasi - [0, 1] oraliqdagi sondir. Tegishlilik darajasi qanchalik yuqori bo’lsa, universal to’plamning elementi [116,126,152] noravshan to’plamning xossalariga shunchalik ko’proq darajada tegishli bo’ladi. А noravshan to’plam – tashuvchining har bir qiymatiga ushbu qiymatning A to’plamga tegishlilik darajasi mos qo’yilgan tashuvchining qiymatlar to’plamidir [107,128]. Masalan: lotin alifbodagi X,Y,Z harflar, albatta, Alphabet = { A, B, C, X, Y, Z } to’plamga tegishli va shu nuqtai nazardan Alphabet – ravshan . Lekin “Paxtaning muqobil hosildorligi” to’plamini tahlil qiladigan bo’lsak, u holda 50 s/ga hosildorlik berilgan noravshan to’plamga ma’lum  darajada tegishli bo’lib, uni tegishlilik funksiyasi deb ataydilar. Tegishlilik funksiyasi (membership function) - bu universal to’plamdagi ixtiyoriy elementning noravshan to’plamga tegishlilik darajasini hisoblashga imkon beruvchi funksiyadir. Agar universal to’plam U ={u1,u2,...,uk} chekli sondagi elementlardan iborat bo’lsa, u holda ~A noravshan to’plam ~A= ∑ j=1 k μ~A(uj)/uj ko’rinishida yoziladi. Uzluksiz U to’plam holida ~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u belgilashdan foydalanishga kelishilgan. Masalan, “paxtaning o’rtacha hosildorligi” tushunchasini noravshan to’plam ko’rinishida quyidagicha tasvirlash mumkin:~ A = 0/21+0.1/22 + 0.3/23 + 0.8/24 +1/25 +1/26 + 0.5/27 +0/28. 1-rasmda “Paxtaning hosildorligi” noravshan to’plamining bir qator mutaxassislar o’rtasida so’rov o’tkazish orqali hosil qilingan tegishlilik funksiyasi keltirilgan. Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной Ос новной m( u) u 1-rasm. Tegishlilik funksiyasining ko’rinishi 20 dan 35 gacha bo’lgan hosildorlik mutaxassislar tomonidan so’zsiz muqobil, 60 va undan yuqoriroq - so’zsiz nomuqobil deb baholandi. 35 dan 60 gacha bo’lgan oraliqda mutaxassislar o’zlarining sinflashtirishlarida noqatiy xulosalarni ko’rsatdilar va bu noqatiylikning tuzilishi tegishlilik funksiyasining grafigida namoyon bo’ldi. Tegishlilik funksiyasini (F-funksiyalarni) qurish masalasi noravshan to’plamlar nazariyasidagi asosiy masalalardan biri bo’lib, bu muammo nafaqat noravshan to’plamlar uchungina muhim hisoblanadi. Tegishlilik funksiyasining aniq ko’rinishi mavjud noaniqlikning haqiqiy holatlarini hisobga olgan holda ushbu funksiyalarning xossalariga oid qo’shimcha farazlar (birinchi tartibli hosilaning simmetrilik, monotonlik, uzluksizlik xossalari) asosida aniqlanadi. Ko’pgina amaliy holatlarda tegishlilik funksiyasi unga oid qismiy axborotdan, aytaylik uning chekli х 1 ,..., х n tayanch nuqtalar to’plamida qabul qilinadigan qiymatlardan kelib chiqqan holda baholanishi kerak. Bunday holatda u “sharxlovchi misol” yordamida qisman aniqlangan deyiladi. 2-4-rasmlarda noravshan to’plamlar nazariyasida qo’llaniluvchi tegishlik funksiyasining asosiy ko’rinishlari keltirilgan. Simmetrik gauss tegishlilik funksiyasi : μ(x)= e −(x−b)2 2c2 b-3c b b+3c 2-rasm. Simmetrik gauss tegishlilik funksiyasi Qo’ng’iroq ko’rinishidagi umumlashgan tegishlilik funksiyasi: μ(x)= 1 1+|x− c a | 2b С 3-rasm. Qo’ng’iroq ko’rinishidagi umumlashgan tegishlilik funskiyasi Основной Основной Основной Основной Основной Основной Sigmasimon tegishlilik funksiyasi : μ(x)= 1 1+e−a(x−c) 4-rasm. Sigmasimon tegishlilik funksiyasi . To’plam tashuvchisi, o’tish nuqtasi va singlton. Noravshan to’plamning tashuvchisi μA(x)>0 bo’lgan x elementlardan iboratdir: sup pA = {x∈ X ,μ(x)>0} . μA(x)= 1 2 bo’lgan x∈X element A noravshan to’plamning o’tish nuqtasi deyiladi. Tashuvchisi X dan olingan μA=1.0 bitta nuqta bo’lgan noravshan to’plam singlton deyiladi. Noravshan to’plamning balandligi, normal noravshan to’plam. A noravshan to’plamning balandligi deb tegishlilik funksiyasining eng yuqori chegarasiga aytiladi: hgt (A)= sup x∈X μA(x) . Agar ∃x∈X ,μA(x)=1 bo’lsa A noravshan to’plam normal hisoblanadi. A normal noravshan to’plamning balandligi 1 ga teng (5-rasm), ya’ni hgt(A)=1 . Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)5-rasm. Normal noravshan to’plam Agar max(μA(x),min(μA(x),μB(x)))=μA(x)⇒A∪(A∩B)=A. bo’lsa, u holda A noravshan to’plam subnormal deyiladi (1.1.6-rasm). Bo’sh to’plam ∅ deb ∀ x∈X ,μ∅(x)=0 bo’lgan to’plamga aytiladi. Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 6-rasm. Subnormal noravshan to’plam Noravshan to’plam berilgan bo’lsin (7-rasm). А =0.3/20+0.5/22+1.0/25+0.8/27+0.4/30. Bu yerda X={15,20,22,25,27,30,33,35} – mukammal to’plam, SuppA={20,22,25,27,30}, А – normal to’plam, ya’ni ∃ 25 ∈X ,μA(25 )=1 . Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 7-rasm. Noravshan to’plam α - darajali noravshan to’plam. Tegishlilik qiymatlari ma’lum α∈[0,1 ] darajadan yuqori bo’lgan elementlarning oddiy to’plami A to’plamning α -kesimi Аα deyiladi: Аα= {x∈ X ,μA(x)≥ α} . Qat’iy α -kesim Аα= {x∈ X ,μA(x)>α} tariqasida aniqlanadi. Noravshan to’plam berilgan bo’lsin. A=0.2/5+0.4/6+0.6/7+0.8/8+0.9/9+1.0/10+0.9/11+0.8/12+ +0.6/13+0.4/14+0.2/15 . Agar α=0.3 , α=0.5 va α=0.8 bo’lsa, u holda α -darajali to’plamlarning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: A 0,3 =0.4/6+0.6/7+0.8/8+0.9/9+1.0/10+0.9/11+0.8/12+0.6/13+0.4/14, A 0,5 =0.6/7+0.8/8+0.9/9+1.0/10+0.9/11+0.8/12+0.6/13, A 0,8 =0.9/9+1.0/10+0.9/11. α -darajali to’plamlarning grafik tasviri 8-rasmda keltirilgan. Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)8-rasm. Noravshan to’plamning α− darajali to’plamlari Noravshan to’plamning quvvati. X -chekli to’plam va A - X da aniqlangan noravshan to’plam bo’lsin. U holda A noravshan to’plamning |A| quvvati quyidagicha aniqlanadi: |A|= ∑ x∈X μA(x) . X -cheksiz to’plam holida, |A| har doim ham mavjud bo’lavermaydi. Lekin, agar A chekli tashuvchiga ega bo’lsa, u holda A noravshan to’plamning quvvati quyidagicha aniqlanadi: |A|= ∑ x∈sup pA μA(x) . A noravshan to’plam B noravshan to’plamga tegishli (А⊆В) deyiladi, faqat va faqat ∀ x∈X , μA(x)≤ μB(x) bo’lsa. Tengsizlik qat’iy bo’lsa, tegishlilik qat’iy hisoblanib, A⊂B orqali belgilanadi. x α darajali A ga tegishli bo’ladi, faqat va faqat x∈A bo’lsa, ∀x∈X,μ¯A(x)=1−μA(x) B ga sust tegishli bo’ladi ( A− ¿αB ), agar X ning barcha elementlari α darajada ¯A yoki B ga tegishli bo’lsa, matematik ko’rinishda esa A− ¿αB , agar x∈(¯A∪ B)α ∀ x∈X yoki ∀ x∈X , max (1− μA(x),μB(x))≥α . A>− −¿B sust tenglama quyidagicha aniqlanadi: μA(x) va μB(x) tegishlilik belgilari ½ dan yoki katta yoki teng, yoki ikkalasi ½ dan kichik yoki teng. A>− − ¿B , faqat va faqat ∀ x∈X ,min [max (1− μA(x),μB(x)),min (1− μA(x),1−μB(x))]≥1/2 bo’lsa. Kartezian ko’paytma . Agar A1,...,An mos ravishda U1,...,Un dagi norvashan to’plamlar bo’lsa, A1,...,An kartezian ko’pyatma U1×U2×...×Un fazodagi μ A1×...× An(u 1,u 2,...,u n)= min ¿ ¿ ¿ yoki μA1×...×An(u1,u2,...,un)= μA1(u1)⋅μA2(u2)⋅...⋅μAn(un) tegishlilik funksiyali noravshan to’plam bo’ladi. Noravshan qismga agratish. Agar A to’plam X ning oddiy qism to’plami bo’lsa, u holda (A,¯A) juftlik A≠∅ ,A≠ X shartni qanoatlantiruvchi X to’plamning bo’linishidir. Agar A noravshan to’plam bo’lsa, ( A≠∅ ,A≠ X ) u holda (A,¯A) juftlik noravshan qismga ajratish deyiladi. Agar noravshan to’plamlar tizimi A1,...,Am (Ai≠ ∅ ,Ai≠ Xi,i=1,m) ∀ x∈X ,∑i=1 N μAi(x)=1 shartni qanoatlantirsa, u holda tizim X to’plamning noravshan qismlari deyiladi . MAVZU 3: Noravshan to’plamlar ustida amallar REJA: 1. Noravshan to’plamlarlarni to’ldirish. 2. Noravshan to’plamlarning kesishmasi, birlashmasi 3. Amallarning umumlashgan ta’riflari: t-norma, s-norma Klassik to’plamlar uchun quyidagi amallar kiritilgan: To’plamlarning kesishmasi – A va B to’plamlardagi ham A , ham B to’plamga tegishli elementlardan iborat bo’lgan С = А  В to’plamidir. To’plamlarning birlashmasi - A va B to’plamlardagi yoki A , yoki B , yoki ikkala to’plamga tegishli elementlardan iborat bo’lgan С = А  В to’plamidir. To’plamlarning inkori - universal to’plamga tegishli, lekin A to’plamga tegishli bo’lmagan elementlarni o’z ichida mujassamlashtirgan С =  А to’plamidir . Zade shu to’plamlarning tegishlilik funksiyalari amallari yordamida noravshan to’plamlar ustidagi shu kabi amallar majmuini taklif qildi [35]. Shunday qilib, A to’plam  А (u), В to’plam esa  В (u) funksiya orqali berilgan bo’lsa, u holda natija bo’lib  С (u) tegishlilik funksiyali C to’plam hisoblanadi. Birlashma. A va B noravshan to’plamlarning birlashmasi quyidagi tarzda aniqlanadi: ∀ x∈ X ,μA∪B(x)= max {μA(x),μB(x)} , bu yerda μA∪B - A va B uchun tegishlilik funksiyasi. Kesishma . μA∩B tegishlilik funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: ∀ x∈ X ,μA∩B(x)= min {μA(x),μB(x)} . А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. Noravshan to’plamlar ustidagi birlashtirish amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab quyidagi tarzda aniqlanadi: A=0.07/2+0.2/3+0.4/4+0.63/5+0.87/6+1.0/7+0.89/8+0.5/9+ +0.2/10+0.07/11, B=0.05/6+0.11/7+0.21/8+0.32/9+0.46/10+0.69/11+0.87/12+ +1.0/13+0.9/14+0.5/15+0.25/16+0.09/18, A∪ B= 0.07 /2+0.2/3+0.4/4+0.63 /5+0.87 /6+1.0/7+0.89 /8+ +0.5/9+0.46 /10 +0.69 /11 +0.87 /12 +1.0/13 +0.9/14 +0.5/15 + +0.25 /16 +0.09 /18 . (11-rasmga qarang ). Основной Основной О сновной О сновной О сновной О сновной x m(x) Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 11-rasm. Noravshan to’plamlarning birlashmasi А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. Noravshan to’plamlar ustidagi kesishma amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab quyidagi tarzda aniqlanadi: A= 0.15/2+0.41/3+0.66/4+0.85/5+0.97/6+1/7+0.9/8+0.6/9+ +0.42/10+0.3/11+0.18/12+0.1/13+0.03/14, B=0.05/5+0.1/6+0.16/7+0.25/8+0.35/9+0.47/10+0.62/11+ 0.8/12+0.94/13+1/14+0.97/15+0.83/16+0.5/17+0.2/18+0.07/19, A∩ B =0.05/5+0.1/6+0.16/7+0.25/8+0.35/9+0.42/10+0.3/11+ +0.18/12+0.1/13+0.03/14. (12-rasmga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 12 -rasm. Noravshan to’plamlarning kesishmasi To’ldirma . A to’plamning ¯А to’ldirmasi quyidagicha aniqlanadi : ∀ x∈ X , μ¯A(x)= 1− μA(x) . А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. Noravshan to’plamlar ustidagi to’ldirish amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab quyidagi tarzda aniqlanadi: A=0/1+0.05/2+0.14/3+0.27/4+0.5/5+0.76/6+0.93/7+1.0/8+0.96/9+0.84/10+ +0.62/11+0.37/12+0.25/13+0.16/14+0.09/15+0.03/16+0/17, ¯A =1.0/1+0.95/2+0.86/3+0.73/4+0.5/5+0.24/6+0.07/7+0/8+0.04/9+0.16/10+ +0.38/11+0.63/12+0.75/13+0.84/14+0.91/15+0.97/16+1.0/17. (13-rasmga qarang). Noravshan to’plamlarning birlashmasi va kesishmasi uchun boshqa amallardan ham foydalanish mumkin. Algebraik ko’paytma: ∀ x∈ X ,μA⋅B(x)= μA(x)⋅μB(x) . Cheklangan ko’paytma: ∀ x∈ X ,μA⊗B(x)= max {0,μA(x)+μB(x)− 1} . Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x013-rasm. Noravshan to’plamning to’ldirmasi Qat’iy (drastic) ko’paytma: μ A intersect ¿ B ( x ) = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Algebraik yig’indi: ∀ x∈X ,μA+B(x)= μA(x)+μB(x)− μA(x)⋅μB(x) . Cheklangan yig’indi: ∀ x∈X ,μA˙¿B(x)=min {1,μA(x)+μB(x)} . Qat’iy (drastic) yig’ind: μ A ∪+ B ( x ) = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. A va B noravshan to’plamlarning algebraik ko’paytmasi amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab quyidagi tarzda aniqlanadi: A=0.1/1+0.24/2+0.4/3+0.63/4+0.82/5+0.94/6+1.0/7+0.98/8+0.91/9+0.76/10 +0.57/11+0.35/12+0.2/13+0.1/14+0.04/15, B=0.02/4+0.09/5+0.2/6+0.32/7+0.46/8+0.61/9+0.76/10+0.88/11+0.96/12+ +1.0/13+0.96/14+0.85/15+0.62/16+0.37/17+0.2/18+0.09/19, А∗В =0/3+0.01/4+0.07/5+0.19/6+0.32/7+0.45/8+0.55/9+0.58/10+0.5/11+ +0.34/12+0.2/13+0.96/14+0.03/15+0/16. (14-rasmga qarang ).Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 14-rasm. Noravshan to’plamlarning algebraik ko’paytmasi А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. A va B noravshan to’plamlarning algebraik yig’indisi amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab, quyidagi tarzda aniqlanadi: A=0.03/1+0.1/2+0.28/3+0.52/4+0.75/5+0.94/6+1/7+0.96/8+0.87/9+ +0.71/10+0.55/11+0.4/12+0.28/13+0.19/14+0.12/15+0.06/16+0.02/17, B=0/1+0/2+0/3+0.02/4+0.06/5+0.12/6+0.17/7+0.25/8+0.35/9+0.5/10+ +0.68/11+0.82/12+0.95/13+1/14+0.95/15+0.62/16+0.35/17+ +0.17/18+0.06/19, A^+¿B¿ =0.03/1+0.1/2+0.28/3+0.52/4+0.75/5+0.94/6+1.0/7+0.96/8+ +0.91/9+0.86/10+0.86/11+0.88/12+0.96/13+1.0/14+0.95/15+ +0.62/16+0.35/17+0.17/18+0.06/19. (15-rasmga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)15-rasm . Noravshan to’plamlarning algebraik yig’indisi А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. A va B noravshan to’plamlarning chegaralangan yig’indisi amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab quyidagi tarzda aniqlanadi: A=0.06/1+0.17/2+0.31/3+0.5/4+0.67/5+0.82/6+0.93/7+1.0/8+0.98/9+ +0.89/10+0.75/11+0.6/12+0.45/13+0.33/14+0.23/15+0.14/16+ +0.08/17+0.03/18, B=0.03/4+0.08/5+0.15/6+0.26/7+0.4/8+0.55/9+0.7/10+0.85/11+ +0.95/12+1/0/13+0.96/14+0.85/15+0.6/16+0.33/17+0.18/18+0.09/19, A ˙¿B =0.06/1+0.17/2+0.31/3+0.53/4+0.75/5+0.97/6+1.0/7+1.0/8+1.0/9+ +1.0/10+1.0/11+1.0/12+1.0/13+1.0/14+1.0/15+0.64/16+0.41/17+ +0.21/18+0.09/19. ( 16-rasmga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)16-rasm. Noravshan to’plamlarning cheklangan yig’indisi А va В – X dagi mos ravishda μA va μB tegishlilik funksiyali ikkita noravshan to’plam bo’lsin. A va B noravshan to’plamlarning cheklangan ko’paytmasi amali ularning tegishlilik funksiyalariga qarab, quyidagi tarzda aniqlanadi. A=0.03/1+0.15/2+0.5/3+0.77/4+0.93/5+1.0/6+0.96/7+0.85/8+0.71/9+ +0.55/10+0.4/11+0.27/12+0.18/13+0.11/14+0.05/15+0.01/16, B=0.04/5+0.1/6+0.17/7+0.28/8+0.4/9+0.55/10+0.71/11+0.89/12+0.98/13+ +1.0/14+0.93/15+0.65/16+0.2/17+0.06/18+0.01/19, A¿¿B =0/1+0/2+0/3+0/4+0/5+0.1/6+0.13/7+0.13/8+0.11/9+0.1/10+0.11/11+0.16/12+0.1 6/13+0.11/14+0/15+0/16+0/17+0/18+0/19. ( 17-rasmga qarang ) . Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)17 -rasm. A va B noravshan to’plamlarning cheklangan ko’paytmasi Cheklangan va simmetrik ayirmalar. Norvshan to’plamlarning cheklangan ayirmasi |−| quyidagi formula bilan aniqlanadi: ∀ x∈X ,μA|−|B(x)= max (0,μA(x)− μB(x)) . A|−|B elementlari B dan ko’ra A ga ko’proq tegishli bo’lgan noravshan to’plam. Noravshan to’plamlarning simmetrik ayirmasi – bu, B ga qaraganda A ga ko’proq tegishli bo’lgan ¿t elementlarning noravshan to’plami: ∀ x∈X ,μA∇B(x)=|μA(x)− μB(x)| . A va B noravshan to’plamlarning cheklangan va simmetrik ayirmalariga misollar : A=0.08/1+0.23/2+0.45/3+0.7/4+0.86/5+0.96/6+1/0/7+0.98/8+ +0.92/9+0.82/10+0.67/11+0.47/12+0.3/13+0.13/14, B=0.03/6+0.08/7+0.18/8+0.34/9+0.55/10+0.7/11+0.84/12+0.94/13+ +0.99/14+1.0/15+0.96/16+0.82/17+0.6/18+0.2/19, A|−|B=0.08/1+0.23/2+0.45/3+0.7/4+0.86/5+0.93/6+0.92/7+0.8/8+ +0.58/9+0.27/10+0/11, А∇В =0.08/1+0.23/2+0.45/3+0.7/4+0.86/5+0.96/6+1.0/7+0.98/8+ 0.92/9+0.82/10+0.03/11+0.36/12+0.65/13+0.86/14+1.0/15+ 0.96/16+0.82/17+0.6/18+0.2/9. (18. а va 18.b-rasmlarga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 18. а -rasm. Cheklangan ayirma Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)18.b-rasm. Simmetrik ayirma A noravshan to’plamning m-darajasi quyidagiga teng: μAm(x)= [μA(x)]m, ∀ x∈ X ,∀ m ∈R+ , bu yerda R+ - musbat aniqlangan haqiqiy sonlar to’plami. Noravshan to’plamlar konsentrasiyasi, kengaytmasi . A quyidagi universumda noravshan to’plam bo’lsin: A= {(x:μA(x))|x∈ X } . U holda Con m konsentrasiyalash amali yordamida darajaga ko’tarish natijasida hosil bo’ladigan noravshan to’plamlar Con mA= {(x:(μA(x))m)|x∈ X } A ning konsentrasiyalari, kengaytma amali yordamida ildiz olish dil nA= {(x:n√μA(x))|x∈X } esa A ning kengaytmalari deyiladi. Natija . [μA(x)]n≤ μA(x)≤n√μA(x) ifoda hamma x∈X larda haqiqiy bo’lsa va n>1 bo’lsa, u holda Con nA⊂A⊂dil nA qism to’plamlarning munosabati ham haqiqiy hisoblanadi. Noravshan to’plamning konsentrasiyasi: n=2. A=0.03/1+0.1/2+0.21/3+0.37/4+0.57/5+0.8/6 +0,96/7+1.0/8+0.94/9+ +0.7/10+ 0.42/11+0.27/12+0.17/13+0.09/14+0.03/15, А2 = 0.0009/1+0.01/2+0.044/3+0.137/4+0.325/5+0.64/6+0.92/7+1.0/8+ +0.884/9+0.49/10+0.174/11+0.07/12+0/03/13+0/01/14+0/0009/15. ( 19-rasmga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x) 19-rasm . Noravshan to’plamlarning konsentrasiyasi Noravshan to’plamning kengaytmasi n=2. A=0.03/2+0.06/3+0.13/4+0.23/5+0.4/6+0.61/7+0.82/8+0.96/9+ +1.0/10+0.94/11+0.74/12+0.51/13+0.33/14+0.23/15+0.16/16+0.1/17+ +0.05/18+0.02/19, A1/2 =0.17/2+0.25/3+0.36/4+0.48/5+0.63/6+0.78/7+0.9/8+0.98/9+1.0/10+ +0.97/11+0.86/12+0.72/13+0.57/14+0.48/15+0.4/16+0.3/17+ +0.22/18+0.15/19 ( 20-rasmga qarang ). Основной Основной Основной Основной Основной Основной x m(x)20-rasm . Noravshan to’plamlarning kengaytmasi Noravshan to’plamlarni konsentrasiya va kengaytma amallaridan foydalangan holda almashtirish misollari quyida keltirilgan [6]. А = ∫ μA(x)/x Juda А = ∫ [μA(x)] 2/x Juda juda А = ∫ [μA(x)] 4/x Bir muncha А = ∫ √μA(x)/x Ozgina А = ∫ 4√μA(x)/x А emas = ∫(1−μA(x))/x Uncha А emas = ∫ (1−[μA(x)] 2)/x Noravshan nuqtalar, noravshan oraliqlar, noravshan sohalar . Noravshan nuqta haqiqiy R to’g’ri chiziqning qavariq noravshan qism to’plamidir. [101] da ko’rsatilishicha, noravshan nuqtalar shu noaniqlikni akslantiruvchi qismlarga nisbatan simmetrik oraliqlar yordamida tasvirlanadi (giperpiramidal akslantirish holida). Elliptik giperparaboloid holida taqdim etilgan noaniqlik fazoning barcha yo’nalishlariga matematik statistikada х0 kuzatilayotgan nuqta holiga nisbatan kovariasion matrisaga o’xshash rolni o’ynovchi matrisa yordamida hisobga olinadi. Agar oraliqning chegaralari normal qavariq noravshan to’plamlar bo’lsa, u holda u noravshan oraliq deyiladi. Noravshan oraliqlar yadroni shakllantiruvchi ravshan oraliqni tanlash yordamida aniqlanib, undan boshlab tegishlilik funksiyalari nolgacha kamayib boradi, yoki oraliqning uchlari sifatida ikkita noravshan sonni tanlash orqali aniqlanishi mumkin. Umuman olganda, Rk fazoda tegishlilik funksiyalari monoton tarzda nolgacha kamayib boruvchi noravshan o’tish zonasi bilan qurshab olingan ravshan hududni tanlash asosida noravshan hududni qurish mumkin. Noravshan sohani tasvirlashning ustuvor usuli - bu uning chegarasini hosil qiluvchi noravshan giperyuzani aniqlashdir. Bunday noravshan giperyuza o’z yadrosining ravshan giperyuzasiga ega bo’lib, undan uzoqlashib borgan sari tegishlilik funksiyalarining qiymatlari barcha yo’nalishlar bo’ylab monoton kamayib boradi. t -normalarga asoslangan amallar t -norm - bu [0,1] dagi binar t amal, ya’ni kommutativ, assotsiativ va [0,1] da monoton kamayuvchi [0,1] dan iborat t binar funksiya bo’lib, neytral element sifatida 1 ga va nol element holida 0 ga egadir. Bunda t uchun ixtiyoriy x,y,z,u,v∈[0,1 ] larda t -normaga nisbatan quyidagi shartlar bajarilishi kerak [101]: xty=ytx, xt(ytz)=(xty)tz. Agar x≤ u va y≤ v bo’lsa, u holda xty ≤ utv ; х t1=x va xt0=0 . Har bir t -normaga nisbatan noravshan to’plamlar ustidagi ¿t kesishma amalini barcha x∈X uchun hosil qilib olish mumkin: μA∩tB(x)= μA(x)tμB(x) . Barcha kesishma amallari mos t -normalardan huddi shu shaklda hosil qilinadi. A∩ B uchun t0 mos t -norm amali bo’lib, unda u,v∈[0,1 ] uchun: ut 0v= min {u,v} . Algebraik ko’paytma t1 u,v∈[0,1 ] uchun quyidagi t -normadan hosil qilinadi: ut 1v= uv . Cheklangan ko’paytma t2 u,v∈[0,1 ] uchun quyidagi t -norma bilan xarakterlanadi: ut 2v=[u+v−1]+ . Qat’iy (drastic) ko’paytma t3 quyidagi t -norma yordamida hosil qilinadi: ut3v=¿{min {u,v},agar u=1 yoki v=1,u,v∈[0,1 ]uchun ,¿¿¿¿ To’ldirma amalini ¿t kesishma amali bilan qo’llab, ikkilamchi t -normaga asoslangan ¿t birlashma amalini hosil qilish mumkin: A∪tB=(¯A∩t¯B)− . t -norma asosidagi kesishma va birlashma amallarining asosiy g’oyasi min amalini t -norma bilan almashtirishdan iboratdir. Bu g’oya noravshan kartezian ko’pyatmaga nisbatan ham qo’llanilishi mumkin. Bunda t -normaga asoslangan kartezian ko’paytmadan foydalaniladi: μA⊗tB(u,v)= μA(u)tμB(v),∀ u,v∈X . Ko’rinib turganidek, noravshan to’plamlar ustida olib boriladigan amallarga mo’ljallangan keng qamrovli operatorlar spektri mavjud. Qanday hollarda qanaqa operatorlardan foydalanish masalasi katta qiziqish tug’diradi. [5] da mos operatorlarni tanlashning 8 ta mezoni keltiriladi: aksiomatik kuch; empirik saqlash; moslashish imkoni; hisoblash samaradorligi; o’rnini bosish; o’rnini bosish chegaralari; amalning hatti-xarakati; tegishlilik funksiyalarini shkalashtirishning zaruriy darajasi . F-to’plamlar. F -to’plamlar deb ixtiyoriy X to’plamning F(X) noravshan qism to’plamlariga aytiladi, ularning tegishlilik funksiyalarini esa F -funksiyalar deb atashadi. Odatda tegishlilik funksiyasi μA deganda X to’plamni σ(A) ga qisqartirish tushuniladi, bu yerda σ(A) noravshan qism to’plamning tashuvchisidir: σ(A)= {x|μA(x)>0} . F -to’plamni belgilash uchun quyidagi ko’rinishdagi yozuv qo’llaniladi: A= ⟨μA,σ(A)⟩. Masalan, A= ⟨exp {−(x− a)2},[c,d]⟩ , B= ⟨sin x,[0,x]⟩ . Ravshan to’plamlarning birlashmasi va kesishmasi kommutativ, assotsiativ bo’lib, shuningdek bir-biriga nisbatan distributiv xossalarga egadirlar. F - to’plamlarning shu kabi xossalarini aniqlash quyidagi funksiyalarini tahlil qilishga keltiriladi [20,21]: f(α,β)= max (α,β) , g(α,β)= min (α,β) , bu yerda α= μA(x),β= μB(x),A ,B ∈F (X ) . Quyidagi munosabatlar f va g funksiyalar xossalarining natijalaridir. Bu yerda A,B,C ,A1,...,An∈F(X ) . 1. A∪ A= A ,A∩ A= A . 2. A∪ B= B ∪ A ,A∩ B = B ∩ A . 3. A∪ (B ∪ C )= (A∪ B )∪ C ,A∩ (B∩ C )= (A∩ B )∩ C . 4. A∪ (B ∩ C )= (A∪ B)∩ (A ∪ C );A∩ (B ∪ C )= (A∩ B )∪ (A∩ C ) . 5. A1= A∪ B ,A2= A∪ C ,B⊆C ⇒ A1⊆ A2 . 6. A1= A∩ B ,A2= A∩ C ,B⊆C ⇒ A1⊆ A2 . 7. A∪ ∅ = A . 8. A∩ ∅ = ∅ . 9. A∪ X = X . 10. A∩ X = A . Qabul qilingan belgilashlarda quyidagi to ’ rtta turlar F - to ’ plamlarning kesishmasini hamda birlashmasini ifodalaydilar [30,54,100,106]: f1(α ,β)= α∧ β , g1(α ,β)= α∨ β , f2(α,β)= α⋅β , g2(α,β)= 1− (1− α)(1− β) , f3(α ,β)= √α⋅β, g3(α,β)= 1− √(1− α)(1− β) , f4(α,β)= αβ +√αβ (1− α)(1− β) , g4(α,β)= 1− [(1− α)(1− β)+√αβ (1− α)(1− β)] . F - to ’ plamning qayd etilgan kesishma va birlashma variantlari min va max funksiyalari orqali ifodalangan ta ’ rifni ma ’ lum darajadagina qanoatlantiradi . F ( X ) dan olingan A va B to ’ plamlarning ayirmasi deb quyidagi ko ’ rinishdagi F funksiyali С=A\B to ’ plamga aytiladi : μC(x)= μA(x)− νA∩B(x)= ¿μA(x)− min x∈X (μA(x),μB(x))= ¿max x∈X (0,μA(x)− μB(x)). Х \ А ayirma A to’plamning F -to’ldiruvchisi deb ataladi va A’ bilan belgilanadi. μA= 1− μA(x) . F(X) dan olingan A va B uchun quyidagi munosbatlar o’rinli: 1. A ¿= ∅ . 2. A ¿ ⊆ A . 3. A ¿ ¿ ¿ . 4. A ⊆ B ⇔ A ¿= ∅ . 5. A ∩ B = ∅ ⇔ A ¿= ∅ . 6. (A∪ B)= A ∪ B . 7. (A∩ B)= A ∩ B . 8. A ⊆ B ⇔ B ⊆ A . 6 va 7 tengliklar de Morgan qoidalari deb ataladilar va mos ravishda quyidagi ayniyatlardan kelib chiqadilar: 1− max (μA,μB)= min (1− μA,1− μB) ; 1− min (μA,μB)= max (1− μA,1− μB) . MAVZU 4: Noravshan arifmetika REJA: 1. Noravshan sonlar. 2. Musbat va manfiy noravshan sonlar. 3. Umumlashtirish tamoyili. 4. Zade umumlashgan tamoyili Oraliq (interval) tahlil tushunchasining noravshan to’plamlar nazariyasida tutgan ahamiyati bois, uning asosiy tushuncha hamda usullarini keltirib o’tamiz [99,118]. Oraliq sonlar . R barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. [a,b ] oraliq deganda (a≤ b ), boshqa izohlar keltirilmagan bo’lsa, quyidagi ko’rinishdagi R ning berk chegaralangan qism to’plami tushuniladi [13,38,143]: [a,b]= {x|x∈ R∧ a≤ x≤ b} . Barcha oraliqlar to’plamini I(R) bilan belgilaymiz. I(R) ning elementlarini kichik harflar bilan belgilaymiz. Agar A - I(R) ning elementi bo’lsa ( A ∈ I(R ) ), u holda uning chap va o’ng uchlarini a,¯a:A= [a,¯a] ko’rinishda belgilaymiz. I(R) ning elementlarini oraliq sonlar deb ataymiz [43,130,132] . ∈,∩⊂ va h . k belgilari odatiy nazariy - to ’ plamli ma ’ noda tushuniladi , jumladan ⊂ qat ’ iy qamrovni anglatishi shart emas , ya ’ ni A ⊂ B munosabatda oraliqlar teng bo ’ lishi mumkin . A va B oraliqlar faqat va faqat a= b ,¯a= ¯b bo’lganda teng hisoblanadi. I(R) oraliqda tartib munosabati quyidagicha aniqlanadi: ¯a< b bo’lgandagina А < В bo’ladi. Kiritish bo’yicha ham tartiblash mumkin: A oraliq B oraliqdan A ⊂ B bo’lganda katta bo’lmaydi. Asosan biz birinchi ta’rifdan foydalanamiz. А va В oraliqlarning A∩ B kesishmasi A<B yoki B<A bo’lganda bo’sh bo’ladi, aks holda A∩ B= [max {a,b},min {¯a,¯b}] –yana oraliq hosil bo’ladi. Ta’rifga ko’ra [a,¯a] oraliq − a= ¯a munosabat bajarilganda simmetrik bo’ladi. A oraliqning ω(A) kengligi deb ω (A)= ¯a− a kattalikka aytiladi. m (A) - o’rta A oraliq uchlari yig’indisining yarmidir : m (A )= (a+¯a)/2 . Absolyut kattalik |A| quyidagi ko’rinishda aniqlanadi: |A|= max {|a|,|¯a|} . Va nihoyat, μ(A)= max {|a|,|¯a|} , S(A )= (|a|+|¯a|)/2 . |A|≤|B| da ω(A)≤ ω(B) , A⊂B va A≠ B da ω(A)<ω (B) . A ,B ∈I(R) elementlar o’rtasidagi ρ(A,B ) masofa ρ ( A ,B )= max ¿ ¿ tenglik orqali kiritiladi. Birlik oraliq , ya’ni uchlari ustma-ust tushgan a= ¯a= a oraliq a songa tengdir. Demak R∈I(R) . Standart oraliqli arifmetika . Oraliqli sonlar ustidagi amallar quyidagicha aniqlanadi[122,142]. ¿∈{+,−,⋅,/} bo’lsin, A,B∈I(R) . U holda A∗ B= {a∗ b|a∈ A ,b∈ B} , (1.2.1) jumladan bo’lishda 0∉ B . (1.2.1) ta’rif quyidagi munosabatlarga ekvivalent A+B= [a,¯a]+[b,¯b]= [a+b,¯a+¯b] , (1.2.2) A− B= [a,¯a]− [b− ¯b]= [a− ¯b,¯a− b] , (1.2.3) A⋅B= [a,¯a]⋅[b,¯b]=[min {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b},max {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b}] , (1.2.4) A/b= [a,¯a]/[b,¯b]= [a,¯a]⋅[1/¯b,1/b] . (1.2.5) Ayirish amalini qo’shish hamda ko’paytirish orqali ifodalsh mumkin, bunda − B=(−1)⋅B=[−1,−1]⋅B va A− B= A+(− B ) . a,¯a,b,¯b sonlarning ishorasiga qarab oraliq ko’paytirishga oid (1.2.4) qoida quyidagi ko’rinishlarga kiradi ( [c,¯c]=[a,¯a]⋅[b,¯b] deb olgan holda): 1. a≥ 0,b≥ 0 : c= ab ,¯c= ¯a¯b ; 2. a≥ 0,¯b≥ 0 : c= ¯ab,¯c= a¯b ; 3. ¯a≤ 0,¯b≥ 0 : c= a¯b,¯c= ab ; 4. ¯a≤ 0,¯b≤ 0 : c= ¯a¯b ,¯c= ab ; 5. a< 0< ¯a ,b≥ 0 : c= a¯b ,¯c= ¯a¯b ; 6. a< 0<¯a ,¯b≤ 0 : c= ¯ab,¯c= ab ; 7. a≥ 0 ,b<0< ¯b : c= ¯ab,¯c= ¯a¯b ; 8. ¯a≤ 0 ,b<0< ¯b : c= a¯b,¯c= ab ; 9. a< 0< ¯a ,b< 0< ¯b : c= min {a¯b,¯ab},¯c= max {ab ,¯a¯b} . Bu yerdan ko ’ rinib turibdiki , faqatgina bitta holda ( oxirgisida ) ko ’ paytmani topish uchun to ’ rt marta ko ’ paytirishga to ’ g ’ ri keladi , qolgan hollarda esa ikki marta ko ’ paytirish yetarli . Agar A va B - birlik oraliq bo’lsa, u holda (1.2.2)–(1.2.5) tengliklar haqiqiy sonlar ustidagi oddiy arifmaetik amallar bilan bir xil bo’ladi. Shunday qilib oraliq son haqiqiy sonning, oraliq arifmetika esa - haqiqiyning umumiyroq ko’rinishidir. (1.2.1) ta’rifdan ko’rinib turibdiki, oraliq yig’indi va ko’paytma assosiativ va kommutativ, boshqa so’z bilan aytganda A,B,C ∈I(R) larga nisbatan quyidagi tengliklar o’rinli: A+(B+C)=(A+B)+C, A+B=B+A, A⋅(B⋅C )= (A⋅B )⋅C , A⋅B = B⋅A Nol va bir vazifasini oddiy 0 va 1 sonlari o’taydilar, chunki yuqorida qayd etilganidek ular [0,0] va [1,1] oraliqlarga tengdirlar. Boshqa so’z bilan aytganda ixtiyoriy A∈ I(R) uchun A +0= 0+ A= A , A⋅1= 1⋅A= A . Kelgusida ko’paytirishni anglatuvchi nuqtani yozmaymiz. (1.2.1) tenglik ((1.2.2)-(1.2.5) kabi) operandlardan biri birlik oraliq bo’lsa, u holda arifmetik amalning natijasi ham birlik oraliq bo’lishini bildiradi. 0=[0,0] ga ko’paytirish bundan mustasnodir. Bu yerdan kelib chiqadiki, A birlik oraliqda qo’shish va ko’paytirishga nisbatan teskari elementlar mavjud emas, chunki, agar А + В = 0, АС = 1 , u holda А , В , С yuqorida aytilganlarga muvofiq birlik bo’lishlari shart. Qisqa qilib aytganda, ayirish qo’shishga, bo’lish ko’paytirishga nisbatan teskari emas. Demak ω (A)>0 bo’lganda A− A≠ 0,A/A≠ 1 . Lekin 0∈ A− A ,1∈ A /A . Ma’lumki, oraliqli arifmetik amallarning ta’rifiga ko’ra (A− B)+B≠ A , (A/B )∗ B≠ A , bu yerda A= [a1,a2], B= [b1,b2] . Shuning uchun, oraliqlarni ayirish va bo’lishdan foydalanib, sodda A+X=B, A*X=B oraliqli tenglamalarni, demak shu kabi noravshan tenglamalarni yechib bo’lmaydi [89]. Berilgan tenglamalarni (ular asosida yanada murakkabroqlarini) yechish zarurati noravshan va oraliqli sonlar uchun qo’shimcha ayirish va bo’lish amallarini kiritish zaruratini uyg’otdi [11,12]. q -ayirish (--) va q -bo’lish (//) amallariga [11,12] da shunday ta’rif berilganki, X=B- -A (yoki X=B//A ) tenglikni bajarishda A+X=B (yoki A*X=B ) tenglik o’rinli bo’ladi. Bunda q -ayirish amali kamayuvchi oraliqning uzunligi ayriluvchi oraliqdan kichik bo’lmagandagina o’rinli bo’ladi. B//A q -bo’lish amali ham oraliqdagi barcha sonlarga nisbatan aniqlanmagan (masalan, agar B>0, A>0, u holda B//A b2/b1≥ a2/a1 shart bajarilgandagina aniqlangan). q -ayirish va q -bo’lishning mos analitik ifodalari quyidagi ko’rinishga ega [109,113]: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z sup {a∈[0,1 ]:min {μA(z− x),a}≤ μB(z)} ; X = B // A ⇒ μX(x)= inf t sup {a∈[0,1 ]:min {μA(t/x),a}≤ μB(t)} . Berilgan ifodalarni soddalashtirib quyidagilarga ega bo’lamiz: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z ¿{1,agar μA(z− x)≤ μB(z),¿¿¿ X = B// A⇒ μX(x)= inf t ¿{1,agar μA(t/x)≤ μB(t),¿¿¿ [113] da noravshan tenglamalarni yechish uchun oraliq sonlarni ayirishning qo ’ shimcha ⊕ amali ko ’ rilgan , unga ko ’ ra (A + B )⊕(− B )= A . A= [a1,a2] va B=[b1,b2] oraliqlar uchun u quyidagi ifoda orqali kiritiladi: A⊕B= ¿{[a1+b2,a2+b1],agar a2+b1≥ a1+b2,¿¿¿¿ va q -ayirish amali uchun mo’ljallangan shartda aniqlangan [12]. Bundan tashqari A ⊕(− B )≡ A− − B ni isbotlash qiyin emas, demak (A+ B )⊕(− B )≡ (A+ B )− − B . Ko’rilayotgan masalani tahlil qilishning berilgan bosqichida noravshan sonlarga nisbatan umumiy tamoyil asosida aniqlanadigan ayirish va bo’lish amallari ortiqcha bo’lib, ularning o’rniga q- ayirish va q -bo’lish amallaridan foydalanish zarur. Masalani sinchkovlik bilan o’rganish natijasida uning oraliq arifmetikada yechib bo’linganligiga guvoh bo’ldik [130]. Lekin bu yerda ixtiyoriy oraliq sonlar juftligi uchun aniqlangan q -ayirish va q -bo’lish amallari taklif etilgan. Masalan, A B = [min {a1− b1,a2− b2},max (a1− b1,a2− b2¿]¿ . [11,12] va [130] dagi ta’riflar o’rtasidagi boglanish quyidagidan iborat. Agar [12] dagi ta’riflarga ko’ra natija mavjud bo’lsa, u holda u [130] ta’rifdan olish mumkin bo’lgan natija bilan ustma-ust tushadi. Agar [12] ta’rifga ko’ra natija olib bo’lmasa, u holda [130] ta’rif bo’yicha yuqorida qayd etilgan tenglamalarning “qanoatlantiruvchi” yechimlari hosil bo’ladi, aniqrog’i: berilgan - - / holda X=B A, bu yerda q -ayirma [130] ta’rif bo’yicha bajariladi. U holdaX +A⊃B . Xuddi shunday, agar X= B A bo’lsa, u holda X∗A⊃B . Noravshan to’plamlar nazariyasining katta bo’limi - yumshoq hisoblashlar (noravshan arifmetika) - noravshan sonlar ustidagi amallar majmuini kiritadi. Bu amallar segment tamoyil asosida tegishlilik funksiyalari ustidagi amallar orqali kiritiladi.  tegishlilik darajasini t egishlilik funksiyasining ordinatasi ko’rinishida aniqlaymiz. U holda tegishlilik funksiyasining noravshan son bilan kesishishi ishonchlilik oralig’ining chegaralari deb ataluvchi qiymatlar juftligini beradi. Agar A ∈F (x) va α∈[0,1 ] bo’lsa, u holda A to’plamning sust α -darajali F- to’plam deb ω α(A)= {x∈ X |μA(x)≥ α} , ga aytiladi, kuchli α -darajali to’plam deb esa σα(A)= {x∈ X |μA(x)>α} . ga aytiladi. Darajali to’plamlar quyidagi xossalarga egadirlar: 1. ω0(A)= X . 2. α≥ β ⇒ ω α(A )⊆ ω β(A ) . 3. μf(x,y)= 0 если y≠ f(x) . 4. ωα(A∩ B)= ωα(A)∩ ωα(B) . 5. A ⊆ B ⇔ ω α(A )⊆ ω α(B ) . 6. σ0(A)= σ(A),σ1(A)= ∅ . 7. α≥ β⇒ σα(A)⊆σβ(A) . 8. σα(A∪ B )= σα(A)∪ σβ(A ) . 9. σα(A∩ B )= σα(A)∩ σβ(A ) . 10. A ⊆ B ⇔ σα(A )⊆ σα(B ) .  tegishlilik darajasini belgilab olib, ikkita A va B ravshan son bo’yicha ishonchlilik oraliqlari: [a 1 , a 2 ] va [b 1 , b 2 ] larni aniqlaymiz. U holda noravshan sonlar ustidagi asosiy amallar ularning ishonch oraliqlari ustidagi amallarga keltiriladi. Oraliqlar ustidagi amallar esa o’z navbatida haqiqiy sonlar-oraliqlar chegarasi ustidagi amallar orqali ifodalanadilar:  “qo’shish” amali : [a 1 , a 2 ] (+) [b 1 , b 2 ] = [a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ],  “ayirish” amali : [a 1 , a 2 ] (-) [b 1 , b 2 ] = [a 1 - b 2 , a 2 - b 1 ],  “ko’paytirish” amali : [a 1 , a 2 ] ( ) [b 1 , b 2 ] = [a 1  b 1 , a 2  b 2 ],  “bo’lish” amali : [a 1 , a 2 ] (/) [b 1 , b 2 ] = [a 1 / b 2 , a 2 / b 1 ], “darajaga ko’tarish” amali: [a 1 , a 2 ] (^) i = [a 1 i , a 2 i ]. Trapesiyasimon sonlar ustida ushbu amallarni bajarish mumkinligi hisobiga bir qator muhim xulosalarga kelish mumkin:  Haqiqiy son uchburchaksimon noravshan sonning xususiy holidir;  Uchburchaksimon sonlarning yig’indisi uchburchaksimon sondir;  Uchburchaksimon(trapesiyasimon) sonning haqiqiy songa ko’paytmasi uchburchaksimon (trapesiyasimon) son bo’ladi;  Trapesiyasimon sonlarning yig’indisi trapesiyasimon sondir;  Uchburchaksimon va trapesiyasimon sonlarning yig’indisi trapesiyasimon sondir. Noravshan sonlar ustidagi nochiziqli amallarning xossalarini tahlil etish natijasida tadqiqotchilar natijaviy noravshan sonlar tegishlilik funksiyasining ko’rinishi ko’p hollarda uchburchaksimonga yaqin bo’lishi to’g’risidagi xulosaga keladilar. Bu natijani uchburchaksimon ko’rinishga keltirish orqali approksimasiyalashga imkon beradi. Agar keltirish yo’li yaqqol ko’rinib tursa, u holda uchburchaksimon sonlar ustidagi amallar tegishlilik funksiyalari uchlarining absissalari ustidagi amallarga keltiriladi. Ya’ni, agar biz uchburchaksimon sonni (a, b, c) uchlarning absissalari majmui ko’rinishida kiritsak, u holda: (a 1 , b 1 , c 1 ) + (a 2 , b 2 , c 2 )  (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 ) yozuv o’rinli bo’ladi. Bu - yumshoq hisoblashlarning eng mashhur qoidasidir. Noravshan ketma-ketliklar, noravshan to’g’ri burchakli matrisalar, noravshan funksiyalar va ular ustida amallar Noravshan ketma-ketlik - bu noravshan sonlarning nomerlangan hisob to’plamidir [48,52,110]. Noravshan to’g’ri burchakli matrisa - noravshan sonlarning ikki marotaba indekslangan chekli to’plamidir, jumladan birinchi indeks M ta satrni, ikkinchisi N ta ustunni ifodalaydi. Bunda, haqiqiy sonlar matrisalari holidagi kabi, noravshan to’g’ri burchakli matrisalar ustidagi amallar ushbu matrisalarning noravshan komponentlari ustidagi amallarga keltiriladi [68,71,115]. Masalan, ( a11 a12 a21 a22 )⊗( b11 b12 b21 b22 )=( a11⊗b11⊕a12 ⊗b21 a11⊗b12⊕a12 ⊗b22 a21⊗b11⊕a22⊗b21 a21⊗b12 ⊕a22⊗b22 ). Bu yerda noravshan sonlar ustidagi barcha amallar yuqoridagi paragrfda qayd etilgan qoidalar asosida bajariladi. F-to’plamlarning akslantirilishi Noravshan to’plamlar nazariyasida X*Y dagi ixtiyoriy F -munosabat X va Y o’rtasidagi ma’lum bir F -akslantirishni o’rnatadi degan fikr mavjud. X*Y da μf(x,y) tegishlilik funksiyali ma’lum bir F -munosabat berilgan bo’lsin. Uni F - akslantirishning noravshan grafigi sifatida talqin etish mumkin [73,103]. f: X → Y F -akslantirish berilgan deyiladi, agar har bir A ∈ F(X) ga quyidagi qoida asosida f(A) ∈ F(Y) mos qo’yilsa μf(A)(y)= sup x fi[μA(x),μf(x,y)] , i=1,4 , (1.2.6) bu yerda f i funksiya i -turdagi kesishma amallaridan birini aniqlaydi. Agar f akslantirish X*Y dagi f:X → Y akslantirishni aniqlovchi munosabat bo’lsa, ya’ni μf(x,y)= 1 agar y= f(x) va μf(x,y)= 0 agar y≠ f(x) bo’lsa, u holda (1.2.6) dan i=1 ,2,4 uchun μf(A)(y)= sup x∈f−1(y) μA(x) , (1.2.7) i=3 uchun esa μf(A)(y)= sup x∈f−1(y) √μA(x) (1.2.8) ekanligi kelib chiqadi. X=Y=R va f:R → R quyidagi F -munosabat orqali aniqlansin: μ f(x,y)= exp {− (x2+ y2)} . Agar μA(x)= exp {− (x− a)2} , a≠ 0 bo’lsa, u holda i=1 uchun μA(x)∧ μf(x,y) funksiyaning ixtiyoriy y dagi x bo’yicha maksimumiga x=ϕ(y) nuqtada erishilib, bu nuqta μA(x)= μf(x,y) tenglamadan hosil qilinadi, uning yechimi esa x= ϕ(y)= a2− y2 2a ga teng. μA(x) yoki μf(x,y) da x= ϕ(y) deb olib quyidagiga ega bo’lamiz: μf(A)(y)= exp {− ( y2+a2 2a ) 2 }. X=Y=R bo’lsin va y=f(x)=x 2 akslantirish berilgan bo’lsin. Agar μA(x)= exp {−(x− a)2} bo’lsa, x= f−1(y)=± √y ekanligini hisobga olgan holda √ y− a≤ √ y+ a , a≥ 0 , √ y+ a≤ √ y− a , a<0 munosabatlarga ega bo’lamiz. Demak (1.2.7) ga ko’ra μf(A)(y)=¿{exp {−(√y−|a|) 2 },y≥0,¿¿¿¿ ¿ ¿ (1.2.6)-(1.2.8) dan kelib chiqqan holda L . Zade X akslantirish yoki nuqtalar bilan bir qatorda X noravshan qism to ’ plamlarni hisobga olgan holda F munosbatning aniqlanish sohasini kengaytirishga imkon beruvchi asosiy tenglikni anglatuvchi umumlashtirish tamoyilini [35] kiritdi . A A= μ1/x1+ μ2/x2+...+ μn/xn ko’rinishdagi noravshan to’plam bo’lsin. U holda umumlashtirish tamoyiliga ko’ra F (A)= F(μ1/x1+...+μn/xn)= μ1/F(x1)+...+μn/F (xn) , ya’ni A to’plamning F akslantirishdagi obrazini shu akslantirishdagi x1,...,xn elementlarning obrazlarini bilgan holda hosil qilish mumkin. Umumlashtirish tamoyilining ko’pgina ilovalarida quyidagi muammoga duch kelinadi. N ta o’zgaruvchili F :X1× ...× Xn→ Y funskiya va μA(x1,...,xn) tegishlilik funksiyasi bilan xarakterlanuvchi X1×...×Xn dagi A noravshan to’plam berilgan bo’lsin. Lekin ko’pgina hollarda A to’plamning o’zi emas, uning mos ravishda X1×...× Xn dagi A1× ...× An proyeksiyalari berilgan bo’ladi. Bu borada savol tug’iladi: μA(x1,...,xn) ga nisbatan qanday ifodadan foydalanish kerak? Bunday hollarda, odatda x1,...,xn ga qo’shimcha shartlar yuklatilmagan bo’lsa, A munosbatning tegishlilik funksiyasi μA(x1,...,xn)= μA1(x1)∧ ...∧ μAn(xn) (1.2.9) ko’rinishda deb olinadi, bu yerda μAi , i=1,...,n - А i to’plamning tegishlilik funksiyasi, bu esa A -o’zining proyeksiyalari dekart ko’paytmasi ya’ni A= A1× ...× An dir degan farazga ekvivalentdir. F- X 1 va X 2 larning arifmetik ko’paytmasi, А 1 va А 2 proyeksiyalar esa quyidagi usulda aniqlangan bo’lsin: А 1 =taxminan 2 = 0,6/1 + 1/2 + 0,8/3, А 2 = taxminan 6 = 0,8/5 + 1/6 + 0,7/7. (1.2.3) dan foydalanib va umumlashtirish tamoyilini qo’llab, quyidagiga ega bo’lamiz: Shunday qilib, taxminan 2 va taxminan 6 noravshan sonlarning arifmetik ko’paytmasi topilgan tegishlilik funksiyali noravshan sondir. Noravshan funksiya.f:R→ R funksiya (ravshan) berilgan bo’lsin. U holda uning grafigini quyidagicha tanlash mumkin [7]: {(x,y)∈R2|y= f(x)} . (1.2.10)) Tegishlilik qiymatlarini shu grafikdan masofaning uzoqlashib borishi bilan monoton kamayuvchi F noravshan to’plamning yadrosi sifatida olamiz. Ushbu noravshan F to’plam noravshan funksiyani ifodalaydi. Aniq f funksiyalar uchun biz F ni yadrosi { f(x )} ga, tegishlilik funksiyasi esa μY(x)(y)= μF(x,y) (1.2.11) ga teng bo’lgan Y(x) noravshan sonlar oilasi ( x parametrli) deb olishimiz mumkin. Quyidagi grafikli oshkormas funksiya holida {(x,y)∈R2|f(x,y)= 0} (1.2.12) noravshan oshkormas funksiyaga o’tishda sohaning chegarasi (ravshan) sifatida xususiy-ehtimolli interpretasiyadan foydalanishimiz mumkin. Noravshan funksiyalarning uchta asosiy turi mavjud: Noravshan xossali yoki noravshan cheklanishlarni qanoatlantiruvchi sodda funksiyalar; Argumentlarning noravshanligini akslantirib, o’zlari qo’shimcha noravshanlikni kiritmaydigan funksiyalar: bunda ravshan elementning obrazi funksiyaning ravshan qiymatiga teng bo’ladi; Ravshan argumentning yomon-aniqlangan funksiyalari: biror bir elementning obrazi funksiya ta’siri ostida yuvilib ketadi. f –W dagi sodda funksiya V : x∈ V → f(x)∈W , bu yerda V va W – ikkita universum. 0,8/5 1/6 0,7/7 0,6/1 0,6/5 0,6/6 0,6/7 1/2 0,8/10 1/12 0,7/14 0,8/3 0,8/15 0,8/18 0,7/21 А va В – mos ravishda V va W dagi ikkita noravshan to’plam. F deb faqat va faqat quyidagi munosabat o’rinli bo’lsa noravshan A domenga va noravshan B sohaga ega bo’lgan funksiyaga aytiladi: ∀ x∈V ,μB(f(x))≥ μA(x) . Ravshan funksiyaning noravshan kengaytmasini ko’rib chiqamiz. f – W dagi V ravshan funksiya: V dagi X noravshan to’plamning obrazi kengaytirish tamoyili yordamida aniqlanadi: μf(x)(y)= sup x∈f−1(y) μX(x) , (1.2.13) μf(x)(y)= 0 , agar f−1(y)= 0 , bu yerda f−1(y) - y antsedentlar to’plami. X va Y universumlar va P(Y) Y dagi barcha noravshan to’plamlar majmui bo’lsin. ~f:X → P (Y ) - noravshan funksiya deyiladi, faqat va faqat μ~f(x)(y)= μR(x,y),∀ (x,y)∈X×Y bo’lsa. Noravshan funksiyaning ekstremumi. ~f(x) chekli ordinar (noravshan bo’lmagan) D sohada aniqlansin. ~f(x) noravshan maksimum quyidagicha aniqlanadi: ~M = max x∈D ~f(x)={(sup { ~f¿(x),μ~M(x))|x∈D} . (1.2.14) Noravshan funskiyalarni integrallash Noravshan funksiyani integrallash. ~f(x) - [a,b]⊂R,∀ x∈[a,b] dagi noravshan funksiya, ~f(x) noravshan son, fα−(x) va fα+(x) - α - darajali kesimlar. [a,b] dagi ~f(x) integral quyidagi noravshan to’plam sifatida aniqlanadi: ~I(a,b)= {(∫ a b fα −(x)dx +∫ a b fα +(x)dx ),α} . (1.2.15) Bu yerda y= {g:[a,b]→ R/g} . Noravshan funskiya barcha x∈[a,b] larda LR-noravshan son ko’rinishida tasvirlansin [3]. ~f(x)=(f(x),s(x),t(x))LR . (1.2.16) f, s, t [a,b] dagi integrallanuvchi funksiyalar deb faraz qilinadi. U holda ~I(a,b)=(∫ a b f(x)dx ,∫ a b s(x)dx ,∫ a b t(x)dx )LR . Misol. f(x)= x2,s(x)= x/4 va t(x)= x/2 li ~f(x)=(f(x),s(x),t(x))LR noravshan funksiya berilgan bo’lsin. L(x)= 1 1+ x2 , R(x)= 1 1+2|x| . ∫ 1 4~f ni topish talab etiladi. Quyidagi integrallarni hisoblaymiz : ∫ 1 4 x2dx = 21 ; ∫ 1 4 x 4 dx = 1/875 ; ∫ 1 4 x 2 dx = 3.75 . U holda ~I(a,b) noravshan integralning qiymati quyidagiga teng bo’ladi ~I(a,b)=(21 ,1.875 ,3.75 )LR . Uchlari μa(x),μb(x) bo’lgan noravshan oraliqda ravshan funksiyaning integrallashuvini ko’rib chiqamiz. μa(x) va μb(x) ~D noravshan sohaning quyi va yuqori chegaralarining darajalari sifatida talqin etilishi mumkin. F J=[a0,b0] oraliqdagi sodda integrallanuvchi funksiya bo’lsin. Kengaytirish tamoyiliga ko’ra ∫~D f integralning tegishlilik funksiyasi quyidagi tarzda aniqlanadi μ∫~D f(Z)= sup x,y∈J min (μa(x),μb(y)) , (1.2.17) Z=∫ x y f . Misol. a={(4,0.8), (5,1), (6,0.4)}, b={(6,0.7), (7,1), (8,0.2)},f(x)= 2,x∈[4,8 ] . U holda ∫~D f(x)dx =∫ 4 8 2dx = 2x|4 8 . Hisoblash natijalari quyida keltirilgan: (a,b) ∫ a b 2dx min (μx(a),μx(b) (4,6) 4 0.7 (4,7) 6 0.8 (4,8) 8 0.2 (5,6) 2 0.7 (5,7) 4 1.0 (5,8) 6 0.2 (6,6) 0 0.4 (6,7) 2 0.4 (6,8) 4 0.2 Integralning har bir qiymatiga nisbatan tegishlilik funksiyasining maksimal qiymatini tanlab, quyidagiga ega bo’lamiz ∫~D f{(0,0 .4),(2,0 .7),(4,1 ),(6,0 .8),(8,0 .2)} . Noravshan funskiyalarni differensiallash Noravshan differensiallash. “Funksiyaning ~X0 noravshan nuqtadagi hosilasi” noravshan to’plamning tegishlilik funksiyasi kengaytirish tamoyiliga ko’ra quyidagicha aniqlanadi: μ(y) f(~X0) = sup x∈f−1(y) μ~X0(x) . (1.2.18) Misol. f(x)= 3 5 x5 , ~X0= {(− 1,0 .3),(0,1 ),(1,5 )} . f'(x)= 3x4 . f(x) haqiqiy funskiyaning ~X0 nuqtadagi qidiriluvchi hosilasi quyidagiga teng bo’ladi f'(x0)= {(0,1 ),(3,0 .6)} . Noravshan hosilaning quyidagi xossalarini qayd etamiz [5]. Agar f' va g' uzluksiz va ikkalasi kamayuvchi yoki o’suvchi bo’lsa, u holda f'(~x0)⊕ g'(~x0)= (f'+g')(~x0) , (f⋅g)'(~x0)=(f'g+ fg')(~x0)⊆[f'(~x0)⊗g(~x0)]⊕[f(~x0)⋅g'(~x0)] . Agar f, g, f' va g' uzluksiz, f va g musbat va f’ hamda g’ lar kamaymaydigan bo’lsa ( f,g -manfiy, f’,g’ -o’smaydigan), u holda (f⋅g)'(~x0)=[f'(~x0)⊗g(~x0)]⊕[f(~x0)⋅g'(~x0)] . R0 dagi F noravshan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi quyidagicha aniqlanadi: μ F ( x 0 )( y ) = sup ¿ ¿ . Bu yerda fα+,fα− lar barcha α∈[0,1 ] larda mavjud, chegaralangan va differensialanuvchi deb olinadi. Noravshan tenglamalar Umumiy holda, noravshan tenglamalar deb koeffitsiyentlari va/yoki o’zgaruvchilari noravshan son bo’lgan tenglamalarga aytiladi. Amaliyotda ko’pincha sodda matematik termli va noravshan matemtik munosabatli tenglamalar va noravshan sonli va sodda matematik munosabatli tenglamalar ko’p uchraydi. Agar f1 va f2 matematik termlar ( x∈R1 elementlar va bog’lovchi amallar: +,×,−,: konsturksiyasi), Q noravshan munosabat bo’lsa, u holda f1Qf 2 noravshan munosabatli noravshan tenglama deb ataladi. Q ga misol bo’lib Q Δ «taxminan teng» xizmat qilishi mumkin. Agar f1 va f2 noravshan termlar ( μAi∈F(R1),i∈N elementlarning ⊕,≈,⊗,m { ~ax,m { ~i¿n¿ amallar bilan bog’langan konstruksiyalari), R esa sodda matematik munosabatlar bo’lsa, α -kesimlardan foydalangan holda quyidagi tenglamani aniqlash mumkin: (¿ α αf 1α)R (¿ α αf 2α)= (¿ α α[δf1 ,γf1])R (¿ α α[δf2,γf2]) . (1.2.19) Bu yerda δf1Δδf1(α) ; δf2Δδf2(α) ; γf1Δγf1(α) ; γf2Δγf2(α) . δf(α)= μ+ −1(α) , γf(α)= μ− −1(α) , μ+−1(α) , μ−−1(α) - mos ravishda μf(x) ning o’suvchi va kamayuvchi qismlariga nisbatan teskari funksiyalardir. Agar μA>0,μX>0,μC>0,f1ΔμC, f2Δ μA⊗ μX bo’lsa, u holda μC= μA⊗ μX⇔ ∪ α α[δC,γC]= ¿ α α [δAδX ,γAγX] . Demak f1(x)Rf 2(x) turdagi tenglamani yechish uchun uni (1.2.19) ko’rinishga keltirish va δx hamda γx ga nisbatan alohida-alohida yechib olish kerak. Noravshan funksiyani uning qiymatlar sonini xarakterlovchi sonlarning turiga qarab nomlash o’rinlidir. Agar qiymatlar maydoni - uchburchaksimon sonlarning maydoni bo’lsa, u holda funksiyaning o’zini ham uchburchaksimon deb atash o’rinlidir. Masalan [64] , kompaniyalarning sotuv bashorati (o’sib boruvchi natija bilan) haqiqiy o’zgaruvchining uchta funksiyasi orqali berilgan: f 1 (T) – optimistik bashorat, f 2 (T) – pessimistik bashorat, f 3 (T) – sotuvlarning o’rtacha kutilayotgan qiymatlari, bu yerda Т –bashorat vaqti. U holda “ T davrdagi sotuv bashorati” lingvistik o’zgaruvchisi ( f 1 (T), f 2 (T), f 3 (T) ) uchburchaksimon sondir, butun bashorat maydoni esa egri chiziqli soha ko’rinishidagi uchburchaksimon noravshan funksiyadir (21-rasm). 21- rasm . Uchburchaksimon noravshan funksiya Uchburchaksimon noravshan funksiyalar ustidagi bir qator amallarni ko ’ rib chiqamiz ( tasdiqlar isbotsiz keltiriladi ) [22,25,33,102,111,138]:  Uchburchaksimon noravshan funksiya quyidagi haqiqiy differensiallash (integrallash) qoidalari bo’yicha differensiallanadi (integrallanadi):d dT ( f 1 (T), f 2 (T), f 3 (T) ) = ( d dT f 1 (T), d dT f 2 (T), d dT f 3 (T) ), ∫ ( f 1 (T), f 2 (T), f 3 (T) ) dT = ( ∫ f 1 (T)dT, ∫ f 2 (T) dT, ∫ f 3 (T) dT ),  Noravshan o’zgaruvchiga bog’liq funksiya noravshan bo’ladi. F -to’plamlarni akslantirish tushunchasi amaliy ilovalarda ham, noravshan kattaliklar ustida algebraik amallarni kiritishda ham katta ahamiyat kasb etadi. MAVZU 5: NORAVSHAN MUNOSABATLAR REJA: 1. Uzluksiz va diskret to’plamlarda noravshan munosabatlar va ularning berilishi. 2. Noravshan munosabatlarni olib yuruvchisi. 3. Noravshan munosabatlarning alfa-kesimligi. Noravshan munosabatlar va noravshan cheklanishlar “Munosabat” atamasi bir xil X universumda berilgan ayrim akslantirishlar turlarini belgilash uchun ishlatiladi. Bunday holatda Rα={(u,v)/(u,v)∈X×X,μR(u,v)≥α} akslantirish X to’plamdan o’z-o’ziga akslantirish bo’lib, u { Х , Г } juftlik orqali aniqlanadi, bu yerda Г⊆X 2 [35]. X2 to’plamning elementlari tartiblangan juftliklar bo’lganligi uchun, munosabat - bu tartiblangan juftliklarning to’plamidir, chunki har bir juftlik X2 to’plamning faqatgina 2 ta elementlari orqali o’zaro birlashtiriladi. Bunday munosabat binar munosabat deb ataladi. Agar Xn to’plamning elementlari tartiblangan n -tali juftliklar bo’lsa, bunday munosabat n -tali munosabat deb ataladi. Xususiy hol - ternar munosabat - tartiblangan uchliklardan iborat to’plam. Noravshan munosabat tushunchasi - ravshan munosabatlarning noravshan to’plamlar nazariyasidagi umumlashmasidir. U elementlar o’rtasidagi o’zaro ta’sir bir oz kuchli bo’lgan holatlarni modellashtirishi mumkin. Munosabatlarning har xil turlarini farqlash mumkin. Masalan, tartib, ustuvorlik, ekvivalentlik va h.k. munosabatlar. x1,x2,...xn to’plamlardagi ~R noravshan munosabat d е b x1×x2×...×xn d е kart ko’paytmaning noravshan qism to’plamiga aytiladi. μ~R(x1,x2,...,xn) t е gishlilik funksiyasi ~R munosabatning ( x1,x2,...xn ) xi∈Xi , i=1,n el е m е ntlar orasida bajarilish darajasini bildiradi. K е lgusida ikkita to’plamning d е kart ko’paytmasi ko’rinishida b е riladigan binar noravshan munosabatlarni ko’zdan k е chiramiz xolos. Bu to’plamlarni X va Y orqali b е lgilaymiz. U holda ~R noravshan munosabatning X×Y da b е rilishi uchun (x,y,μ~R(x,y)) uchta nuqta ko’rsatiladi, bu y е rda x∈X , y∈Y , yoki xuddi shunday (x,y)∈X×Y . x≈ y noravshan munosabat qo’yilsin ("x taxminan y" ga t е ng). x,y∈{0,1,2,3 } bo’lsin. U holda noravshan munosabatni quyidagi ko’rinishdagi matritsa bilan b е rish qulay: Uzluksiz to’plam X =[0,3] va Y =[0,3] lar uchun noravshan munosabatni μ~R(x,y)=e−0.2(x−y)2 tegishlilik funksiyasi yordamida berib qo’yish mumkin. x≈ y noravshan munosabatning diskret uzluksiz to’plamlarda berilish yo’llari 22- rasmda tasvirlangan. x,y∈{0,1,2,3 } bo’lsin. y dan ancha kichik bo’lgan x noravshan munosabatni matrisa ko’rinishida berib qo’yish mumkin: . Uzluksiz to’plamlar X =[0,3] va Y =[0,3] uchun " x munosabat y dan ancha kichik ekanligini quyidagi tegishlilik funksiyasi yordamida aniqlash mumkin: μ~ R (x,y)= ¿{0, agar x≥ y,¿¿¿¿ Diskret va uzluksiz to’plamlarda " x noravshan munosabat y dan kichik bo’lishi” 23- rasmda tasvirlangan. Bundan ko’rinib turganidek, noravshan munosabatlar an’anaviy munosabatlarga qaraganda anchagina egiluvchandir. Ular nafaqat munosabatlarning bajarilish omilini yaratishga, balki uning bajarilish darajasini ko’rsatishga imkon beradi, bu esa ko’pgina amaliy masalalar uchun juda muhimdir. a) diskret to’plamlarda noravshan munosabat b) uzluksiz to’plamlarda noravshan munosabat 22 –rasm. “ x taxminan y ga teng” noravshan munosbati a) diskret to’plamlarda noravshan munosabat b) uzluksiz to’plamlarda noravshan munosabat 23-rasm- « x y dan ancha kichkina » noravshan munosabati “O’xshash mentalitet” munosbatini quyidagi { O’zbeklar (O’), Chexlar (Ch), Avstraliyaliklar (A), Nemislar (N)} millatlar uchun berish talab etilsin. Oddiy noravshan munosbatdan foydalanish o’xhash mentalitetli faqatgina bitta millatlar jufligi- nemis va avstraliyaliklarni ajratib ko’rsatishga imkon beradi. Bu munosbatlardan chexiyada mentalitet o’zbeklarga qaraganda nemislarnikiga yaqinroq ekanligi kelib chiqmaydi. Noravshan munosabat quyidagi axborotni osonlikcha taqdim etishga imkon beradi: O’ Ch A N . Noravshan ma’lumotning tashuvchisi. Noravshan ma’lumotning X va Y to’plamdagi tashuvchisi ~R deb ko’rinishdagi X×Y dekart ko’paytmaning qism to’plamiga aytiladi. Noravshan munosabat tashuvchisini noravshan munosabati deb ~R ning bajarilish darajasi nolga teng bo’lmagan barcha (x,y)∈X×Y juftliklarni bog’lovchi oddiy munosabat tushuniladi. Noravshan munosabatning α - kesimlaridan foydalanish maqsadga muvofiqroqdir, ularning ta’rifi α -darajali to’plamlarning ta’rifiga o’xshash. (1.2 bo’limga qarang). Noravshan ma’lumotning kesishmasi. Noravshan ma’lumotning X va Y to’plamdagi kesishmasi ~R deb (x,y)∈X×Y larni bog’lovchi oddiy munosabatga aytiladi, bu juftliklar uchun noravshan ~R munosabatning α dan kichik bo’lmagan bajarilish darajasi: ga teng. ~R norvashan munosbat X×X da refleksli deyiladi, agar ixtiyoriy x∈X uchun μ~R(x,x)=1 tenglik bajarilsa. Chekli X to’plam holida ~R matrisaning bosh diagonalidagi barcha elementlar 1 ga teng. Refleksli noravshan munosabatga misol sifatida “taxminan teng” munosbati olinishi mumkin. ~R norvashan munosbat X×X da antireffleksli deyiladi, agar ixtiyoriy x∈X uchun μ~R(x,x)=0 tenglik bajarilsa. Chekli to’plam holida ~R matrisaning bosh diagonalidagi barcha elemetlar 0 ga teng. Antirefleksli noravshan munosabatga misol tariqasida “ancha katta” munosabati keltirilishi mumkin. ~R noravshan munosabat X×Y da simmetrik deyiladi, agar har qanday (x,y)∈X×Y juftlik uchun μ~R(x,y)= μ~R(y,x) tenglik bajarilsa.Simmetrik noravshan munosabat chekli to’plamda berilsa, uning matrisasi ham simmetrikdir. ~R noravshan munosabat X×Y da assimmetrik deyiladi, agar μ~R(x,y)>0⇒ μ~R(y,x)= 0 munosabat har qanday (x,y)∈X×Y juftlik uchun o’rinli bo’lsa. Assimmetrik noravshan munosbatga “ancha katta” munosabati misol bo’lishi mumkin. ~R va ~R−1 noravshan munosbatlar X×Y da teskari deyiladi, agar ixtiyoriy (x,y)∈X×Y juftlik uchun μ~R(x,y)= μ~R−1(y,x) tenglik bajarilsa. Teskari noravshan munosbatga misol sifatida “ancha katta”- “ancha kichgina” juftligi xizmat qilishi mumkin. MAVZU6:Noravshan munosabatlar ustida amallar Noravshan munosbatlar o’rtasidagi amallar oddiy munosabatlarning amallariga o’xshashdir. Noravshan nazariy-to’plamli amallardek, ular turli xil usulda bajarilishi mumkin. Quyida uchburchak normalar, konormalarni qo’llovchi noravshan munosabatlar ustida olib boriladigan amallarga ta’rif keltiriladi (1.2- bo’limga qarang). Noravshan munosabatlarning kesishmasi . ~A va ~B noravshan munosabatlarning X×Y dagi kesishmasi deb μ~C(x,y)=t(μ~A(x,y),μ~B(x,y)) tegishlilik funksiyasi orqali berilgan ~C =~A∩~B noravshan munosabatga aytiladi, bu yerda (x,y)∈X×Y , t(⋅) - t-norma. N oravshan munosabatlarning umumlashmasi. ~A va ~B noravshan munosabatlarning X×Y dagi umumlashmasi deb μ~D(x,y)=s(μ~A(x,y),μ~B(x,y)) tegishlilik funksiyasi orqali berilgan ~D=~A∪~B noravshan munosbatga aytiladi, bunda (x,y)∈X×Y , s(⋅) - s -norma ( t -konorma). Noravshan munosbatlarning kesishmasi va umumlashmasi “ x taxminan y " ga teng va “ x ” “ y ” dan ancha kichkina noravshan munosabatlar ustida ko’rildi . t- norma va s-norma sifatida mos ravishda minimum va maksimumni topish amallari qo’llanildi. Noravshan munosabatlarning kesishmasi Noravshan munosabatlarning umumlashmasi 24-rasm - 25 rasmlarda berilgan noravshan munosabatlar ustida amallar Noravshan munosbatning to'ldirmasi. ~R noravshan munosbatning X×Y dagi to'ldirmasi deb tegishlilik funksiyasi μ~R'(x,y)=1− μ~R(x,y) bo’lgan ~R' noravshan munosbatga aytiladi, (x,y)∈X×Y . ~A va ~B noravshan munosabatlarning X×Z va Z×Y dagi maksimin kompozitsiyasi (ko’paytmasi) deb X×Y to’plamdagi μ~G(x,y)=sup z∈Z min (μ~A(x,z),μ~B(z,y)) tegishlilik funksiyali ~G=~A∘~B munosbatga aytiladi, bunda (x,y)∈X×Y , (x,z)∈X×Z , (z,y)∈Z×Y . X,Y,Z chekli ko’paytmalar holida ~G=~A∘~B noravshan munosabat matrisasi ~A va ~B larning maksimin ko’paytmasi ko’rinishida bo’ladi. Bu amal matrisalarni oddiy ko’paytirishdek bajariladi, bunda elementma-element ko’paytirish amali minimumni topish bilan, qo’shish esa - maksimumni topish bilan almashtirilgan. Huddi shu usulda minimaks va maksimultiplikativ kompozitsiyasi amallari aniqlanadi. Kompozitsiya noravshan mantiqiy chiqarishda kalit vazifasini o’taydi. M isol. Noravshan munosabatlar ~A=[ 0.1 0.2 0.8 1 ] va ~B=[ 0.6 0.4 0.5 0.3] berilgan. U holda bu noravshan munosabatlarning maksimaks (~G1) , minimaks (~G2) va maksimultiplikativ (~G3) kompozitsiyalari: ~G1=[ 0.1 0.1 0.5 0.3] ; ~G2=[ 0.5 0.3 0.8 0.8] ; ~G3=[ 0.1 0.06 0.5 0.32 ] matrisalar bilan tasvirlanadi. ~R noravshn munosabat X×Y da tranzitiv deyiladi, agar ~R∘~R⊆~R bo’lsa. Boshqa so’z bilan aytganda, har qanday (x,y)∈X×Y juftlik uchun ~R munosabatning bajarilish darajasi ~R∘~R ning bajarilish darajasidan kichik bo’lmasligi kerak. ~R ning tranzitiv tutashuvi ^R deb ^R= ~R∪~R2∪ ~R3∪ ...∪~Rn∪ ... munosabatga aytiladi, bu yerda ~Rn=~R∘~R∘...∘~R ⏟ nmarta . R noravshan munosabatning Xi1...Xik(i1,...,ik) dagi (1,2,…,n) ketma- ketlikka proyeksiyasi deb quyidagi ko’rinishda aniqlangan Xi1×...× Xik dagi munosabatga aytiladi: proj (R;Xi1,...,Xik)= ∫ Xi1×...×Xik supXj1,...,Xjk μR(X1,...,Xn)/(Xi1,...,Xik) , (2.1.1) bu yerda (j1,...,jk) - (1 ,…,n) da (i1,...,ik) gacha to’ldirilgan qism ketma-ketlik. Proyeksiyalar, shuningdek, marginal noravshan cheklanishlar deb ham ataladi. Aksincha, agar R - Xi1×...× Xik dagi noravshan to’plam bo’lsa, u holda X1×...×Xn dagi silindrik kengaytma - X1×...×Xn dagi C(R) noravshan to’plam bo’lib, u quyidagi munosabat orqali aniqlanadi: C(R)= ∫ X1×...×Xn μR(Xi1,...,Xik)/(X1,...,Xn) . n - tali noravshan chegaralanish R(v1,...,vn) bo’linuvchi deyiladi, faqat va faqat quyidagi shart bagarilsa: R(v1,...,vn)= R(v1)×...× R(vn) , bu yerda ¿ kartezian ko’paytmani va R(vi) - R ning X dagi proyeksiyasini ifodalaydi, ya’ni μR(X 1,...,X n)= min i=1,n μproj [R;Xj](X i) . Silindrik kengaytmaning atamalarida bu formula quyidagi ko’rinishda qayta yozib olinishi mumkin: R=intersect i=1,n C(proj [R:Xi]) . R uning proyeksiyalari birlashmalari bo’lgandagina bo’linuvchidir. Agar R bo’linuvchi bo’lsa, u holda barcha marginal noravshan bo’linishlar ham bo’linuvchidir. v1,...,vn o’zgaruvchilar o’zaro ta’sirlashmaydigan deyiladi, agar ularning chegaralanishi R(v1,...,vn) bo’linuvchi noravshan munosabat bo’lsa. Misol. Agar A=0,1/4+0,3/5+0,4/6, B=0,33/10+0,45/11+0,78/12 bo’lsa,R= A× B noravshan munosabatni hisoblaymiz. min amalning o’rniga max va prod amallardan foydalanamiz. μR= max (μA,μB) . R= A× B = 0,33/(4.10)+0,45/(4.11)+0,78/(4.12)+0,33/(5.10)+ +0,45/(5.11)+0,78/(5.12)+0,4/(6.10)+0,45/(6.11)+0,78/(6,12). R=| 0,33 0,45 0,78 0,33 0,45 0,78 0,4 0,45 0,78 | μR=(μA× μB) . R= A× B = 0,033/(4.10)+0,045/(4.11)+0,078/(4.12)+0,099/(5.10)+ +0,135/(5.11)+0,234/(5.12)+0,132/(6.10)+0,180/(6.11)+0,312/(6,12). R=| 0,033 0,045 0,078 0,099 0,135 0,234 0,132 0,180 0,312 | Binar noravshan munosabatlar Binar noravshan munosabatlar - bu klassik binar munosabatning umumlashmasidir. X×Y dagi R binar munosabat - bu X×Y dagi noravshan to’plamdir. R - X×Y dagi binar noravshan munosabat bo’lsin. R munosabatning domeni dom(R) va uning rangi ran(R) mos ravishda quyidagicha aniqlanadi: μdom (R)(x)= sup y μR(x,y),∀ x∈ X , μran (R)(y)= sup x μR(x,y),∀ y∈Y . Sup-Star kompozitsiya . Agar R va S U×V hamda V×W dagi noravshan munosabatlar bo’lsa, R va S kompozitsiya noravshan munosabat bo’lib, R∘S kabi belgilanadi hamda quyidagicha aniqlanadi: R∘S={[(x,y},sup y∈Y (μR(x,y)∗μS(y,z))]x∈X ,y∈Y,z∈Z¿¿. (2.1.2) Bu yerda * - uchburchaksimon normalar sinfidagi ixtiyoriy operator, aniqrog’i: minimum, algebraik ko’paytma, chegaralangan ko’paytma yoki qat’iy (drastic) ko’paytma bo'lishi mumkin [35] . (2.1.2) tenglama quyidagi tarzda talqin etilishi mumkin: μR∘S(x,z) - X ni Z bilan ulovchi zanjirlar to’plamining kuchidir. Har bir zanjir x-y-z shaklga ega. Bunday zanjirning kuchi eng sust ulanishning kuchiga tengdir. X va Z o’rtasidagi munosabatning kuchi x va z o’rtasidagi eng kuchli ulanishning kuchidir. А – X dagi noravshan to’plam bo’lsin. (2.1.2) ni quyidagicha yozib olish mumkin: μA∘R(y)= sup x min (μA(x),μR(x,y)) . Biz B= A∘R ni A dan R orqali induksiyalangan noravshan to’plam deb ataymiz. Bu induksiya mashhur ravshan qoidani umumlashtiradi: agar х = а va y=f(x) bo’lsa, u holda y=f(a). B= proj [C (A)∩ R;Y ] ga ega bo’lamiz. Noravshan munosbatni chekli universumda tasvirlash mumkin. Bog’langan X va Y universumlar chekli bo’lsa, X∗Y dagi R noravshan munosabat [R] matrisa ko’rinishida tasvirlanishi mumkin, uning termi [R]ij μR(xi,yj)= rij, i= 1,n; j= 1,m ga teng bo’lib, bu yerda |X|=n |Y|=m . [S]jk= S jk , k= 1,p; P=|Z| ni hisobga olgan holda, chekli noravshan munosabatlarning kompozitsiyasi [ROS ]ik= ∑ j rijS jk matrisaviy ko’paytma ko’rinishida qaralishi mumkin, bu yerda yig’indi max amali, ko’paytirish esa min amali orqali amalga oshiriladi. R∘S quyidagi ko’rinishda yozib olinganligi mumkin: proj [C (R)∩ C(S);X × Z ] . Bu yerda R va S X×Y va Y×Z da berilgan bo’lib, boshqa kompozitsiyalar kesishmaga nisbatan qo’llanilgan operatorni zamonaviylashtirish orqali kiritilishi mumkin. min ni * ga o’zgartirib, R∗S ni μR∗S(x,z)= sup y (μR(x,y)∗ μS(y,z)) orqali kiritamiz. Biz boshqa ustuvor kompozitsiyalar inf-max, sup-prod va boshqalarga duch kelishimiz mumkin. Agar-u holda noravshan munosabat А va В – X va Y universumlardagi noravshan qism to’plamlardir. A va B noravshan qism to’plamlarni X va Y mulohazalar sohasida bog’lash uchun, noravshan shartli tasdiq tushunchasi kiritiladi, ya’ni A→ B “Agar A u holda B” . Implikasiya orqali olingan R munosabat A va B qism to’plamlarning kartezian ko’paytma atamalarida ifodalanib, R= A× B orqali belgilanadi va uning tegishlilik funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: μR(x,y)= μA×B(x,y)= min [μA(x),μB(y)],x∈ X ,y∈Y . (2.1.3) Noravshan implikasiya berilgan bo’lsin: agar A u holda B . Kompozitsiyaning min amalidan foydalangan holda R= A× B noravshan munosabatni hisoblashni ko’ramiz, bunda A =0.1/20+0.3/21+0.4/22, B =0.33/60+0.45/65+0.78/70; R= A× B=0.1/(20 ,60 )+0.1/(20 ,65 )+0.1/(20 ,70 )+0.3/(21 ,60 )+0.3/(21 ,65 )+ +0.3/(21 ,70 )+0.33 /(22 ,60 )+0.4/(22 ,65 )+0.4/(22 ,70 ). Shuningdek, biriktirilgan noravshan munosabat ham uchrashi mumkin. Bunday holatlarda noravshan shartli tasdiq biriktirilgan bo’lib, AGAR A U HOLDA AGAR B U HOLDA C ko’rinishga ega bo’ladi . U holda R noravshan munosabat quyidagi ko’rinishda yozib olinadi: R= A× (B× C )= A× B × C . (2.1.4) Noravshan implikasiya ikkita implikasiyadan iborat bo’lishi mumkin. Bunday sodda implikasiyalar “yoki”, “va” biriktiruvchilardan foydalangan holda ulanadi. Misol. Agar A1 u holda B1 yoki(aks holda) AgarA2 u holda B2 implikasiya berilgan bo’lsin, bu yerda A1 , A2 - X dagi noravshan qism to’plamlar, B1 , B2 - esa Y dagi noravshan qism to’plamlar . Natijaviy R noravshan munosabat Ri(i=1,2 ) individual noravshan munosabatlarning birlashmasi ko’rinishida hisoblanadi: R= ¿ i=1,2 Ri= ¿ i=1,2 Ai× Bi . (2.1.5) R tegishlilik funksiyasi quyidagi ko’rinsihda aniqlanadi: μR(x,y)= max x {min [μA1(x),μB1(y)],min [μA2(x),μB2(y)]} . ( 2.1.6 ) Bu bitta emas, ikkitadan ortiq implikasiyalar bilan ish ko’rish holiga nisbatan kengaytirilishi mumkin. R= X×Y noravshan munosabat va A noravshan qism to’plamning A' qiymati berilgan bo’lsin. Munosabatdan B’ mos qiymatni quyidagi ko’rinishda yozib olingan kompozitsion chiqarish qoidasini qo’llash orqali chiqarish uchun ishlatiladi: B'= A'∘R = A'∘(A× B ) . Tegishlilik funksiyasi quyidagi ko’rinishda aniqlanadi: μB'(y)= max x min [μA'(x),μR(x,y)] . Ternar noravshan munosabat holida formulalarning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: C '= A'∘(B'∘R )= A'∘(B'∘(A× B× C )) , μС'(z)= max x min [ μA'(x),max y min [μB(y),μR(x,y,z)] ] . ( 2.1.7 ) Misol. AGAR A U HOLDA B BO’LSA U HOLDA C norvshan implikasiya berilgan. R= A× B×C noravshan munosabatni hisoblaymiz: A=0.3/5+0.5/6+0.8/7, B=0.3/15+0.5/16+0.8/17, C=0.2/25+0.4/26+0.6/27;R= A× B×C = =0.2/(5,15,25)+0.3/(5,15,26)+0.3/(5,15,27)+ +0.2/(5,16,25)+0.3/(5,16,26)+0.3/(5,16,27)+ +0.2/(5,17,25)+0.3/(5,17,26)+0.3/(5,17,27)+ +0.2/(6,15,25)+0.4/(6,15,26)+0.3/(6,15,27)+ +0.2/(6,16,25)+0.4/(6,16,26)+0.5/(6,16,27)+ +0.2/(6,17,25)+0.4/(6,17,26)+0.5/(6,17,27)+ +0.2/(7,15,25)+0.3/(76,15,26)+0.3/(7,15,27)+ +0.2/(7,16,25)+0.4/(7,16,26)+0.6/(7,16,27)+ +0.2/(7,17,25)+0.4/(7,17,26)+0.56/(7,17,27) . Norvashan graf. Norvashan munosabat tushunchasi bilan noravshan graf tushunchasi chambarchas bog’liq. E sodda tugunlar to’plami bo’lsin. Norvahsan graf quyidagi ko’rinishda aniqlanadi [3] G(Xi,X j)={((Xi,X j),μG(Xi,X j))/(Xi,X j)∈E× E} . Agar E -noravshan to’plam bo’lsa u holda noravshan graf noravshan munosabatlarga o’xshash usulda aniqlanadi . Misol. E={X1,X2,X3,X4} . U holda noravshan graf quyidagicha tasvirlanishi mumkin : G(Xi,Xj)={[(X1,X2),0.3],[(X1,X3),0.6],[(X1,X1),1],[(X2,X1),0.4],¿¿[(X3,X1),0.2],[X3,X2),0.5],[(X4,X3),0.8]}.¿ Foydalanilgan adabiyotlar 1. Muhamediyeva D.T. Noravshan axborot holatida sust shakllangan jarayonlarni modellashtirish. Toshkent: O’zR FA matematika va axborot texnologiyalar instituti, 2010. 37 ta jadval, 87 ta rasm, 155 ta bibl.atama, 400 bet. 2. Артикова С., Мухамедиева Д.Т. Информатизация регулирования развития экономики Республики // Известия ВУЗов. –Т., 2000. №3. 3. Артикова С., Мухамедиева Д.Т. Реализация моделей принятия решений с учетом информационных ситуаций //Узбекский журнал энергетики и информатики.-Т. ,2000. №3. 4. Ахмедов Т.М. Мухамедиева Д.Т. Шодмонова У.А. Рациональное управление распределением и использованием ресурсов в условиях рыночной экономики. Доклады международной конференции «Устойчивое экономическое развитие и эффективное управление ресурсами в Центральной Азии». ТГЭУ и Ноттенгемский Трент Университет (Великобритания). Ташкент-Ноттенгем. 2001. –С.14-17.

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI (KECHKI) 416-GURUH TALABASI XAYDAROV FURQAT NING MA’LUMOTLARNI NORAVSHAN TO’PLAMLAR USULLARI ASOSIDA ISHLOV BERISH FANIDAN BAJARGAN MUSTAQIL ISHLARI Tekshirdi: Mamaraufov O.A SAMARQAND-2023

MAVZU1: NORAVSHAN TO’PLAMLAR NAZARIYASI ASOSIY TERMINLARI VA TA’RIFLARI. REJA: 1. N oravshan to’plamlar defazifikatsiyasi. 2. Defazifikatsiya usullari, ularning geometrik talqini. 3. Noravshan bilimlar bazasi. 4. Noravshan mantiqiy xulosa Asosiy atama va tushunchalar Vaqtning haqiqiy masshtabida masalalarni yechishning xususiyatlari shuni ko’rsatadiki, hisoblash imkoniyatlarining yetishmovchiligi masalaning sharoitlari to’g’risidagi axborotning yetishmasligiga ekvivalent bo’lishiga olib keladi. Universal to’plam bittadan ortiq nuqtaga ega bo’lgandagina ishga ko’ra noaniqlik o’rinlidir. Agar to’plamning ushbu elementlari uchun mos ehtimollar yoki boshqa ehtimolli tavsiflar berilgan bo’lsa, u holda ehtimolli noaniqlik o’rinlidir. Agar to’plamning faqatgina chegeraviy elementlari ma’lum bo’lsa - interval noaniqlik o’rinlidir. Va nihoyat, to’plamning har bir elementi uchun tegishlilik darajasi berilgan bo’lsa - noravshanlik ko’rinishidagi noaniqlik o’rinlidir. Noaniqlik darajasi (to’la aniqlik, ehtimolli, lingvistik, interval, to’la noaniqlik), noaniqlik xususiyati (parametrik, tarkibiy, vaziyatli) va boshqaruv paytida olingan axborotni ishlatishga (bartaraf etiladigan va etilmaydigan) ko’ra noaniqlikni sinflarga ajratish mumkin. Har xil tabiatli noaniqliklarni hisobga olish va adekvat matematik shakllantirish yechilayotgan masalaning qiyinlik darajasini o’sishiga qarab ortib boradi. Amaliyotda murakkab tizimlarni ishlash jarayoni ta’rifining detallashuvini chuqurlashtirish yo’li orqali noaniqlik darajasini pasaytirish imkoni anchagina cheklangan. Gap shundaki, L.Zadening taqqoslab bo’lmaslik tamoyiliga ko’ra, modelni dettallashtirib borgan sari unga shunchalik ko’proq noaniq omillar qo’shilib boriladi, bu esa bevosita natijalardagi noaniqlikning o’sishiga olib keladi. Natijada, modelni murakkablashtirishning ma’lum bir bosqichida ta’rifning detallashuviga asoslangan yuqori aniqlikka qaramay, model deyarli ma’noga ega bo’lmay qoladi. Umuman olganda, L.Zadening noaniqlik tamoyili ilgari chegarasiz ko’ringan matematik modellashtirish usullarining imkoniyatlariga cheklanishlar qo’yadi. Defazzifiikasiya (defuzzification) deb noravshan to’plamni ravshan songa keltiruvchi jarayonga aytiladi. Noravshan to’plamlar nazariyasida defazzifikasiya jarayoni ehtimollar nazariyasida tasodifiy sonlar vaziyatlarining tavsiflarini (matematik kutish, modalar, medianlar) topish kabidir. Defazzifikasiya jarayonini bajarishning eng sodda usuli tegishlilik funksiyasining maksimumiga mos ravshan sonni tanlashdan iboratdir. Lekin bu usulning qo’llanilish chegarasi bir ekstremalli tegishlilik

funksiyalari bilan cheklanib qoladi. Ko’p ekstremmalli tegishlilik funksiyalari uchun defazzifikasiyaning quyidagi usullari hisobga olingan: Centroid – og’irlik markazi; Bisector - mediana; LOM (Largest Of Maximums) –maksimumlar ichida eng kattasi; SOM (Smallest Of Maximums) – maksimumlar ichida eng kichigi; Mom (Mean Of Maximums) –maksimumlar markazi.~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash quyidagi formula bo’yicha amalga oshiriladi: a= ∫ u u u⋅μ~A(u)du ∫ u u μ~A(u)du . Ushbu formulaning fizik ko’rinishi koordinatalar o’qi va noravshan to’plamning tegishlilik funksiyalari bilan chegaralangan tekis figuraning og’irlik markazini topishdan iboratdir. Diskret universal to’plam holida noravshan to’palmni og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash a= ∑ j=1 k uj⋅μ~A(uj) ∑ j=1 k μ~A(uj) formula bo’yicha amalga oshiriladi. ~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni mediana usulida defazzifikasiyalash uchun ∫ u a μ~A(u)du =∫ a ¯u μ~A(u)du tenglikni qanoatlantiradigan a sonni topish zarur. Mediana usulining geometrik talqini absissalar o’qida shunday nuqtani topishdan iboratki, shu nuqtadan o’tkazilgan perpendikulyar tegishlilik funksiyasi egri chizig’ining ostidagi yuzani ikkita teng qismga ajratsin. ~A= ∫ [u,u] μ~A(u)/u noravshan to’plamni maksimumlar markazi yordamida defazzifikasiyalash a= ∫ G udu ∫ G du

formula bo’yicha amalga oshiriladi. Bu yerda G - noravshan to’plamga [u,u] oraliqdan maksimal darajada tegishli bo’lgan barcha elementlar to’plami. Maksimumlar markazi usulida defazzifikasiyalash tegishlilik darajasi maksimal bo’lgan universal to’plamdagi elementlarning o’rta arifmetigi kabi aniqlanadi. Agar bunday elementlar to’plami chekli bo’lsa, u holda formula quyidagi ko’rinishga keladi: a= ∑ uj∈G uj |G | , bu yerda |G| - G to’plamning quvvati. Diskret holatda maksimumlar ichida eng katta va maksimumlar ichida eng kichkina usullari bo’yicha defazzifikasiyalash mos ravishda a= max (G) va a= min (G ) formulalari bo’yicha amalga oshiriladi. Oxirgi uchta formulalardan shu narsa ayon bo’ladiki, tegishlilik funksiyasi bittagina maksimumga ega bo’lsa, uning koordinatasi [76,84,133] noravshan to’plamning aniq nusxasidir. Masalan, “paxtaning o’rtacha hosildorligi” noravshan to’plamini og’irlik markazi usulida defazzifikasiyalash mumkin. Og’irlik markazi usuli bo’yicha noravshan to’plamni defazzifikasiyalash formulasini qo’llagan holda a= 0⋅21 +0.1⋅22 +0.3⋅23 +0.8⋅24 +1⋅25 +1⋅26 +0.5⋅27 +0⋅28 0+0.1+0.3+0.8+1+1+0.5+0 =25.08 ga ega bo’lamiz. Noravshan son – normal va qavariq, ya’ni a) tegishlilik funskiyasi birga teng bo’lgan tashuvchining qiymatiga ega bo’lgan b) maksimumidan chapga yoki o’ngga siljiganda kamayadigan tegishlilik funksiyasiga ega bo’lgan haqiqiy sonlar universal to’plamining noravshan qism to’plamidir. Keyinchalik bizga kerak bo’ladigan noravshan sonlarni ko’rib chiqaylik. Trapesiya ko’rinishidagi (Trapesiyasimon) noravshan son . Ma’lum bir kvazistatistikani o’rganib chiqamiz va  = « U o’zgaruvchining qiymati» deb olamiz, bu yerda U – kvazistatistika tashuvchilarining qiymatlar to’plami. Qiymatlarning ikkita term-to’plamini ajratamiz: М 1 noravshan qism to’plamli T 1 = « U taxminan a dan b gacha bo’lgan oraliqda yotibdi» va М 2 noravshan qism to’plamli sarlavhasiz T 2 to’plam, jumladan bu yerda М 2 =  М 1 shart bajariladi. U holda  T1 (u) tegishlilik funksiyasi 9-rasmdagi kabi ko’rinishga ega bo’ladi.

О сновной Основной О сновной О сновной О сновной О сновной a1 a2 a3 a49-rasm. Trapesiyasimon noravshan sonning tegishlilik funksiyasi Oraliqning chegaralari noravshan tarzda berilgani uchun, trapesiya uchlarining absissalarini quyidagi ko’rinishda kiritish maqsadga muvofiqdir: а = ( а 1 + а 2 )/2, в = ( в 1 + в 2 )/2, jumladan а 1 , а 2 va в 1 , в 2 uchlar bir biriga nisbatan “taxminan” tushunchasiga qanday mazmun berishimizga qarab joylashadilar: kvazistatistikaning taxmini qanchalik katta bo’lsa, trapesiyaning yon qirralari shunchalik taxminiy bo’ladi. Chegaralangan holda “taxminan” tushunchasi “ixtiyoriy joyda” tushunchasiga aylanadi. Agar biz o’zgaruvchini sifat jihatidan baholaydigan bo’lsak, “Bu qiymat o’rtacha hisoblanadi” deb fikr bildirgandan so’ng ekspert bahosi (noravshan sinflashtirishning) “O’rtacha qiymat - bu taxminan a dan b gacha” kabi aniqlashtiruvchi tasdig’ini kiritib, so’ngra esa noravshan sinflashtirishni modellashtirishda trapesiyasimon sonlarni ishlatish mumkin. Aslida bu ishonchsiz sinflashtirishning eng tabiiy usulidir. Uchburchak noravshan sonlar . Endilikda huddi o’sha lingvistik o’zgaruvchi uchun Т 1 ={ U taxminan a ga teng} term-to’plamni kiritamiz. а    а ligi ravshan, jumladan  ning nolga qarab kamayib borishi sayin, bahoga bo’lgan ishonch birgacha ortib boradi. Tegishlilik funksiyasi nuqtai nazaridan bu a ga uchburchak ko’rinishni (10-rasm) beradi, jumladan yaqinlashish darajasi ekspert tomonidan tavsiflanadi.

O'xshashlar

1-mavzu (1)
1-13 mavzular
Tarix fanini o'qitishda toponimik ma'lumotlar, 1
MOOC tizimlaridan foydalanish (ixtiyoriy 1 ta platformaga a’zo bo’lish).
MIKROORGANIZMLAR KLASSIFIKASIYASI. 1-BO’LIMNING ASOSIY VAKILLARI VA XARAKTERLI XUSUSIYATLARI