Chiziqli tezkor masala. 1. Chiziqli boshqarish sistemasi va uning erishish to’plami. Ekstremal prinsip. 2. Chiziqli sistemaning regulyarligi va normalligi. 3. Chiziqli tez harakat masalasi. Optimallikning zaruriy va yetarli shartlari. 4. Pontryaginning maksimum prinsipi. 5. Chiziqli stasionar tez harakat masalasi. Optimal boshqaruvning sintezi.

1. Chiziqli boshqarish sistemasi. Ekstremal prinsip. Boshqarilayotgan obyektining harakati (jarayon), ˙x= A(t)x+B(t)u, t≥t0, u∈V (1) vektorli chiziqli differensial tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda x=(x1,...,xn) holat vektori , u=(u1,...,um) boshqaruv vektori, V ⊂Rm boshqaruvlar to’plami , t- vaqt, t 0 -boshlang’ich vaqt momenti. (1) tenglamada n×n o’lchovli A(t) matrisa va n×m o’lchovli B(t) matrisa elementlarini t≥t0 nuqtalarda uzluksiz deb faraz qilamiz. V boshqaruvlar to’plamini R m ning bo’sh bo’lmagan qavariq kompakt to’plami deb hisoblaymiz. Odatdagidek, (1) boshqarish sistemasi uchun joyiz boshqaruvlar sifatida, V boshqaruvlar to’plamidan qiymatlar qabul qiluvchi bo’lakli-uzluksiz u=u(t),t∈[t0,t1],m - vektor-funksiyalarni qaraymiz va bunday boshqaruvlar to’plamini U deb belgilaymiz. Differensial tenglamalar kursidan yaxshi ma’lumki, har bir u=u(t),t∈[t0,t1], - joyiz boshqaruvga va x(t0)=x0 (2) boshlang’ich shartga (1) tenglamaning [t0,t1], - oraliqda bo’lakli-silliq x(t)=x(t,u,x0), - yechimi mos keladi hamda bu yechim x(t)= F(t,t0)x0+∫ t0 t F(t,τ)B(τ)u(τ)dτ ,t∈[t0,t1] (3) Koshi formulasi [2] orqali ifodalanadi, bu yerda F(t,τ)−(1) tenglamaga mos ˙x= A(t)x (4) bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental matrisasidan iborat, ya’ni F(t,τ)−n×n - o’lchovli matrisa bo’lib, uning i- ustuni (4) tenglamaning i ex )(  ( e i -E birlik matrisaning i -ustuni) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xi(t,τ) yechimidan iborat.

(3) formulaga ko’ra , x(t)=x(t,u,x0), trayektoriyaning t=t 1 vaqt momentiga mos nuqtasi, x(t1)=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt , (5) ko’rinishda bo’ladi. Barcha u(t)∈U boshqaruvlarga mos (5) ko’rinishdagi nuqtalarni qaraymiz. Ular R n da qandaydir Q(t 1 ) to’plamni hosil qiladi. Shu to’plamni (1),(2) boshqarish sistemasining t 1 vaqt momentidagi erishish to’plami deb ataymiz. Demak, ta’rifga ko’ra, Q ( t 1 ) = ¿ ¿ . Q(t 1 ) to’plam elementlarinig (5) ko’rinishda ifodalanishidan va V boshqaruvlar to’plamining qavariq kompaktligidan, Q(t 1 ) to’plamning ham chegaralangan qavariq to’plam ekanligi kelib chiqadi. Endi Q(t 1 ) to’plamning yopiqligini ta’minlovchi shartni keltiramiz. Bu shart (1) sistemaning regulyarlik xossalari orqali ifodalanadi. Avvalo V boshqaruvlar to’plamining k- o’lchamli yoqi tushunchasini keltiramiz. Agar S  V qism to’plam V to’plamga o’tkazilgan, normallari chiziqli bog’lanmagan m-k ta tayanch tekisliklar kesishmasiga tegishli bo’lsa, S to’plam, V ning k -o’lchovli yoqi deyiladi. V to’plamning o’zini esa, m -o’lchovli yoqdan iborat deb hisoblaymiz. Agar ixtiyoriy с∈Rn,c≠ 0 vektor va ixtiyoriy [t0,t1] kesma uchun с'F(t1,t)B(t) funksiya V to’plamning har bir k - o’lchamli yoqiga [t0,t1] oraliqning chekli sondan ko’p bo’lmagan nuqtalari yoki kesmalarida ortogonal bo’lsa, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantiradi, deyiladi. Quyidagi tasdiq o’rinli: 1-lemma. [2] Agar (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsa, Q(t 1 )- yopiq, chegaralangan, qavariq to’plam bo’ladi.

Chiziqli boshqarish sistemalarini o’rganishda, ekstremal prinsip deb ataluvchi, quyidagi tasdiqdan keng foydalaniladi. 2-lemma. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin. U vaqtda har bir c∈Rn,c≠ 0 vektor t1≥t0 va son uchun Q(t 1 ) to’plamning shunday x chegaraviy nuqtasi mavjul bo’ladiki, unda c'x= maxx∈Q(t1)c'x (6) munosabat bajariladi. (6) tenglikning o’rinli bo’lishi uchun, shunday u(t)∈U boshqaruv topilib, x=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt , (7) c'F(t1,t)B(t)u(t)=maxv∈Vc'F(t1,t)B(t)v,t∈[t0,t1] (8) tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir. Isboti. 1-lemmaga ko’ra Q(t 1 ) to’plam kompakt bo’lganligi uchun, Veyershtrass teoremasidan, uzluksiz f(x)=c'x funksiyaning Q(t 1 ) da global maksimum nuqtasi x mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni (6) tenglik bajariladi. Bu nuqta x to’plamning chegaraviy nuqtasi bo’ladi. Haqiqatan ham, agar x∈int Q(t1) deb faraz qilsak, yetarli kichik ε >0 uchun x+εc ∈Q(t1) bo’ladi va c'(x+εc )= c'x+ε ,‖c‖′>c'x , ya’ni (6) ga zid munosabat bajariladi. Q(t 1 ) to’plamning aniqlanishiga ko’ra, x nuqta, biror u(t)∈U boshqaruv yordamida, (7) formula bo’yicha hosil qilinadi. Endi (6) shartni c'x≥c'x,∀ x∈Q(t1) ko’rinishda yozib va bu yerga x nuqtaning (7) ifodasini va x∈Q(t1) nuqtaning, Koshi formulasi orqali, x=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt ,u(t)∈U ifodasini qo’ysak, quyidagi ∫ t0 t [c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)u(t)]dt>0 (9)

munosabatni hosil qilamiz. Bu tengsizlik ixtiyoriy u(t)∈U boshqaruv uchun, jumladan, u(t)=¿{u(t),t∉(θ−ε,θ],¿¿¿¿ (10) ko’rinishdagi boshqaruv uchun ham bajariladi, bu yerda θ∈(t0,t1],v∈V ,ε>0 - yetarli kichik (t0<θ − ε<t1) . Agar (10) boshqaruvni (20) ga qo’yib, uni ε >0 ga bo’lsak va ε →0 da limitga o’tsak, lim ε→0∫ θ−ε θ [c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)v]dt= ¿c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)−c'F(t1,θ)B(θ)v≥0 tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa , v∈V vektorning ixtiyoriyligiga ko ’ ra , c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)=maxv∈Vc'F(t1,θ)B(θ)v (11) tenglikning bajarilishini ko’rsatadi. Shunday qilib, (8) tenglik barcha θ∈(t0,t1], uchun bajarilishi ko’rsatildi. Agar u(t) boshqaruvning bo’lakli uzluksizligini hisobga olsak, uni t=t 0 nuqtada chapdan uzluksiz deb hisoblashimiz mumkin. Natijada, (11) da θ→ t0 da limitga o’tsak, uning θ=t0 nuqtada ham o’rinli ekanligini ko’ramiz. Shunday qilib, (8) tenglikning barcha t∈[t0,t1], - uchun to’g’riligi ko’rsatildi. Lemma isbotlandi. Keltirilgan ekstremal prinsip sodda geometrik ma’noga ega.Ekstremal prinsipga ko’ra, (8) shartni qanoatlantiruvchi boshqaruvlar (ularni ekstremal boshqaruvlar ham deb ataydilar ) va faqat shu boshqaruvlargina chiziqli sistema trayektoriyasinii erishish to’plami chegaraviy nuqtasiga o’tkazadi. (8), (7) formulalar bo’yicha u(t) boshqaruvni va x∈Q(t1) nuqtani hosil qiluvchi c≠0 vektor esa, Q(t 1 ) to’plamdagi x nuqtaga o’tkazilgan tayanch tekislikning normalidan iborat (1-rasm). Q(t 1 ) с 1-расм