Chiziqli tezkor masala.
![1. Chiziqli boshqarish sistemasi. Ekstremal prinsip. Boshqarilayotgan
obyektining harakati (jarayon),
˙x= A(t)x+B(t)u, t≥t0, u∈V (1)
vektorli chiziqli differensial tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda
x=(x1,...,xn)
holat vektori ,
u=(u1,...,um) boshqaruv vektori, V ⊂Rm boshqaruvlar to’plami , t-
vaqt, t
0 -boshlang’ich vaqt momenti.
(1) tenglamada
n×n o’lchovli A(t) matrisa va n×m o’lchovli B(t) matrisa
elementlarini
t≥t0 nuqtalarda uzluksiz deb faraz qilamiz. V boshqaruvlar
to’plamini R m
ning bo’sh bo’lmagan qavariq kompakt to’plami deb hisoblaymiz.
Odatdagidek, (1) boshqarish sistemasi uchun joyiz boshqaruvlar sifatida, V
boshqaruvlar to’plamidan qiymatlar qabul qiluvchi bo’lakli-uzluksiz
u=u(t),t∈[t0,t1],m
- vektor-funksiyalarni qaraymiz va bunday boshqaruvlar
to’plamini U deb belgilaymiz.
Differensial tenglamalar kursidan yaxshi ma’lumki, har bir
u=u(t),t∈[t0,t1], -
joyiz boshqaruvga va
x(t0)=x0 (2)
boshlang’ich shartga (1) tenglamaning
[t0,t1], - oraliqda bo’lakli-silliq
x(t)=x(t,u,x0),
- yechimi mos keladi hamda bu yechim
x(t)= F(t,t0)x0+∫
t0
t
F(t,τ)B(τ)u(τ)dτ ,t∈[t0,t1] (3)
Koshi formulasi [2] orqali ifodalanadi, bu yerda
F(t,τ)−(1) tenglamaga mos
˙x= A(t)x (4)
bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental matrisasidan iborat, ya’ni
F(t,τ)−n×n
- o’lchovli matrisa bo’lib, uning i- ustuni (4) tenglamaning i
ex )(
( e i
-E birlik matrisaning i -ustuni) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi
xi(t,τ)
yechimidan iborat.](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_2.png)
![(3) formulaga ko’ra , x(t)=x(t,u,x0), trayektoriyaning t=t
1 vaqt momentiga
mos nuqtasi,
x(t1)=F(t1,t0)x0+∫
t0
t1
F(t1,t)B(t)u(t)dt , (5)
ko’rinishda bo’ladi. Barcha
u(t)∈U boshqaruvlarga mos (5) ko’rinishdagi
nuqtalarni qaraymiz. Ular R n
da qandaydir Q(t
1 ) to’plamni hosil qiladi. Shu
to’plamni (1),(2) boshqarish sistemasining t
1 vaqt momentidagi erishish to’plami
deb ataymiz. Demak, ta’rifga ko’ra,
Q ( t 1 ) = ¿ ¿ .
Q(t
1 ) to’plam elementlarinig (5) ko’rinishda ifodalanishidan va V boshqaruvlar
to’plamining qavariq kompaktligidan, Q(t
1 ) to’plamning ham chegaralangan
qavariq to’plam ekanligi kelib chiqadi.
Endi Q(t
1 ) to’plamning yopiqligini ta’minlovchi shartni keltiramiz. Bu shart
(1) sistemaning regulyarlik xossalari orqali ifodalanadi.
Avvalo V boshqaruvlar to’plamining k- o’lchamli yoqi tushunchasini
keltiramiz.
Agar S
V qism to’plam V to’plamga o’tkazilgan, normallari chiziqli
bog’lanmagan m-k ta tayanch tekisliklar kesishmasiga tegishli bo’lsa, S to’plam,
V ning k -o’lchovli yoqi deyiladi. V to’plamning o’zini esa, m -o’lchovli yoqdan
iborat deb hisoblaymiz.
Agar ixtiyoriy
с∈Rn,c≠ 0 vektor va ixtiyoriy [t0,t1] kesma uchun с'F(t1,t)B(t)
funksiya V to’plamning har bir k - o’lchamli yoqiga
[t0,t1] oraliqning chekli sondan
ko’p bo’lmagan nuqtalari yoki kesmalarida ortogonal bo’lsa, (1) sistema
regulyarlik shartini qanoatlantiradi, deyiladi.
Quyidagi tasdiq o’rinli:
1-lemma. [2] Agar (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsa, Q(t
1 )- yopiq,
chegaralangan, qavariq to’plam bo’ladi.](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_3.png)
![Chiziqli boshqarish sistemalarini o’rganishda, ekstremal prinsip deb
ataluvchi, quyidagi tasdiqdan keng foydalaniladi.
2-lemma. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin. U
vaqtda har bir c∈Rn,c≠ 0 vektor t1≥t0 va son uchun Q(t
1 ) to’plamning shunday
x
chegaraviy nuqtasi mavjul bo’ladiki, unda
c'x= maxx∈Q(t1)c'x (6)
munosabat bajariladi. (6) tenglikning o’rinli bo’lishi uchun, shunday
u(t)∈U
boshqaruv topilib,
x=F(t1,t0)x0+∫
t0
t1
F(t1,t)B(t)u(t)dt , (7)
c'F(t1,t)B(t)u(t)=maxv∈Vc'F(t1,t)B(t)v,t∈[t0,t1] (8)
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. 1-lemmaga ko’ra Q(t
1 ) to’plam kompakt bo’lganligi uchun,
Veyershtrass teoremasidan, uzluksiz
f(x)=c'x funksiyaning Q(t
1 ) da global
maksimum nuqtasi
x mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni (6) tenglik bajariladi. Bu
nuqta
x to’plamning chegaraviy nuqtasi bo’ladi. Haqiqatan ham, agar x∈int Q(t1)
deb faraz qilsak, yetarli kichik ε >0 uchun
x+εc ∈Q(t1) bo’ladi va
c'(x+εc )= c'x+ε ,‖c‖′>c'x
, ya’ni (6) ga zid munosabat bajariladi.
Q(t
1 ) to’plamning aniqlanishiga ko’ra,
x nuqta, biror u(t)∈U boshqaruv
yordamida, (7) formula bo’yicha hosil qilinadi. Endi (6) shartni
c'x≥c'x,∀ x∈Q(t1)
ko’rinishda yozib va bu yerga
x nuqtaning (7) ifodasini va x∈Q(t1) nuqtaning,
Koshi formulasi orqali,
x=F(t1,t0)x0+∫
t0
t1
F(t1,t)B(t)u(t)dt ,u(t)∈U
ifodasini qo’ysak, quyidagi
∫
t0
t
[c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)u(t)]dt>0 (9)](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_4.png)
![munosabatni hosil qilamiz. Bu tengsizlik ixtiyoriy u(t)∈U boshqaruv uchun,
jumladan,
u(t)=¿{u(t),t∉(θ−ε,θ],¿¿¿¿ (10)
ko’rinishdagi boshqaruv uchun ham bajariladi, bu yerda
θ∈(t0,t1],v∈V ,ε>0 -
yetarli kichik
(t0<θ − ε<t1) . Agar (10) boshqaruvni (20) ga qo’yib, uni ε >0 ga
bo’lsak va ε →0 da limitga o’tsak,
lim
ε→0∫
θ−ε
θ
[c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)v]dt=
¿c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)−c'F(t1,θ)B(θ)v≥0
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa ,
v∈V vektorning ixtiyoriyligiga ko ’ ra ,
c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)=maxv∈Vc'F(t1,θ)B(θ)v (11)
tenglikning bajarilishini ko’rsatadi. Shunday qilib, (8) tenglik barcha
θ∈(t0,t1],
uchun bajarilishi ko’rsatildi. Agar u(t) boshqaruvning bo’lakli uzluksizligini
hisobga olsak, uni t=t
0 nuqtada chapdan uzluksiz deb hisoblashimiz mumkin.
Natijada, (11) da
θ→ t0 da limitga o’tsak, uning θ=t0 nuqtada ham o’rinli
ekanligini ko’ramiz. Shunday qilib, (8) tenglikning barcha
t∈[t0,t1], - uchun
to’g’riligi ko’rsatildi. Lemma isbotlandi.
Keltirilgan ekstremal prinsip sodda geometrik ma’noga ega.Ekstremal
prinsipga ko’ra, (8) shartni qanoatlantiruvchi boshqaruvlar (ularni ekstremal
boshqaruvlar ham deb ataydilar ) va faqat shu boshqaruvlargina chiziqli sistema
trayektoriyasinii erishish to’plami chegaraviy nuqtasiga o’tkazadi. (8), (7)
formulalar bo’yicha u(t) boshqaruvni va
x∈Q(t1) nuqtani hosil qiluvchi c≠0 vektor
esa, Q(t
1 ) to’plamdagi
x nuqtaga o’tkazilgan tayanch tekislikning normalidan
iborat (1-rasm).
Q(t
1 ) с
1-расм](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_5.png)
![Yuqorida ta’kidlanganidek, chiziqli sistema uchun regulyarlik sharti
erishish to’plamining yopiqligini ta’minlaydi. Endi erishish to’plamining yopiqligi
bilan bir qatorda uning qat’iy qavariqligini ham ta’minlovchi yana bir shartni
keltiramiz. U normallik sharti deyiladi.
(1) chiziqli sistema uchun normallik sharti, har bir c ≠0 va t
1 > t
0 da (8)
maksimum shartidan u ( t ) bo’lakli-uzluksiz funksiyaning [ t
0 , t
1 ] dagi barcha
uzluksizlik nuqtalarida bir qiymatli aniqlanishini ifodalaydi.
Normallik sharti, regulyarlik shartidan kuchliroq talabdir, chunki normallik
shartiga ko’ra, ixtiyoriy c ≠0 va t
1 > t
0 uchun с'F(t1,t)B(t) funksiya V to’plamning
yoqlariga [ t
0 , t
1 ] oraliqning faqat alohida olingan nuqtalaridagina ortogonal bo’lishi
mumkin, ya’ni [ t
0 , t
1 ] ning qism intervallarida ortogonallik qaralmaydi.
3-lemma. Agar (1) chiziqli sistema normal bo’lsa va V boshqar uv lar to’plami
bittadan ko’p elementli bo’lsa, ixtiyoriy (2) boshlang’ich shart va t
1 > t
0 uchun Q ( t
1 )
erishish to’plami qa t ’iy qavariq bo’ladi.
Lemmaning isbotini [2] dan qarash mumkin.
2.Chiziqli tez harakat masalasi. Optimallikning zaruriy va yetarli
shartlari. (1) sistema uchun ikki nuqtali tez harakat masalasini qaraymiz: shunday
u *
(t)
U boshqaruvni topish talab qilinadiki, unga mos x *
(t) trayektoriya, t
0 ,t
1 vaqt
momentlarida berilgan x 0
,x 1
nuqtalardan o’tsin, ya’ni
x¿(t0)= x0,x¿(t1¿)= x1 (x0≠ x1)
shartlar bajarilsin va t
1 -t
0 o’tish vaqti minimal bo’lsin. Bunda u *
(t) ga optimal
boshqaruv, x *
(t) ga optimal trayektoriya,
t1
¿ ga optimal vaqt momenti (tez harakat
momenti) deyiladi.
(u¿(t),x¿(t),t1
¿) esa masalaning yechimidir. Qaralayotgan
masalani , qisqacha,
t
1
−t
0
→min¿}˙x=A(t)x+B(t)u,t∈[t
0
,t
1
]¿}x(t
0
)=x
0
,x(t
1
)=x
1
,¿}¿¿¿ (12)](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_6.png)
![ko’rinishda belgilaymiz.
Quyidagi funksiyani kiritamiz:
ρ(t)= min‖c‖=1[c'F(t1,t)x0+∫
t0
t
maxu∈Vc'F(t,τ)B(τ)ud τ−c'x'
],t≥t0
Bu funksiya barcha t
0 >t
1 nuqtalarda uzluksizdir.
1-teorema. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin.
(u¿(t),x¿(t),t1
¿)
- (12) masalaning yechimi bo’lsin. U vaqtda:
1)
t1
¿ optimal vaqt momenti
min‖c‖=1[c'F(t,t0)x0+∫
t0
t
maxu∈Vc'F(t,τ)B(τ)ud τ−c'x'
]=0 (13)
tenglamaning minimal ildiziga teng;
2) u *
(t) optimal boshqaruv,
с¿′
F(t1¿,t0)B(t)u¿(t)=maxu∈Vc'F(t1¿,t0)B(t)u,t0≤t≤t1¿ (14)
maksimum shartini qanoatlantiradi, bu yerda
c¿∈ Rn,c¿≠ 0 vektor t=t1
¿
bo’lganda (13) ning chap tomonidagi ifodaning ixtiyoriy minimum nuqtasidir;
3) x *
(t) optimal trayektoriya
˙x¿= A(t)x¿+B(t)u¿(t),x¿(t0)= x0 (15)
munosabatlarni qanoatlantiradi.
Isboti. 1)
) (1 1 t Q x munosabat 0 ) (1 t ga teng kuchlidir. Shuning uchun *1t
optimal vaqt momenti
}, ,0 ) ( : min{ 0 1 1 1 *1 t t t t t
ya’ni
0 ) (*1 t bajariladi. ρ ( t) funksiyaning uzluksizligidan va *1t ning
optimalligidan
0 ) (*1 t bo’la olmasligi kelib chiqadi. Demak, 0 ) (*1 t va *1t -
(13) tenglamaning eng kichik ildizidan iborat.
2) u *
(t) optimal boshqaruv bo’lgani uchun, Koshi formulasiga ko’ra,
∫
1
0
, )( )( ), ( ) , ( * *1 0 0 *1 1 t
t
dtt ut Bt t F x t t F x (16)](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_7.png)
( ), ( )( ), ( max[ * *1 * *1 * t
t Vv dt t ut Bt t F c ut Bt t F c
tenglikni olamiz. Bu oxirgi tenglikda integral ostidagi funksiya manfiymas va t
bo’yicha bo’lakli-uzluksiz bo’lgani uchun undan talab qilingan (14) munosabatni
hosil qilamiz.
3 ) x *
(t) optimal trayektoriya (15) munosabat orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema isbotlandi.
2-teorema. Faraz qilaylik, (1) sistema normallik shartini qanoatlantirsin.
Agar u *
(t) boshqarish, x *
(t) trayektoriya va
*1t vaqt momenti 1-teoremadagi 1)-3)
shartlarni qanoatlantirsa,
) ),( ),( ( *1 * * t t x t u -(12) tez harakat masalasining yechimi
bo’ladi.
Isboti. ρ (t) funksiyaning ta’rifi va uning uzluksizligidan
}, ,0 ) ( : min{ 0 1 1 1 *1 t t t t t
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (13) tenglamaning minimal ildizi optimal vaqt
momentini aniqlaydi. x *
( t ) optimal trayektoriya (15) tenglik orqali bir qiymatli
aniqlanganligi uchun, u *
( t ) boshqar uv ning optimalligini ko’rsatsak, yetarli bo’ladi.
(13) tenglikda
*1t t deb uni 1 , c R c n bo’yicha ixtiyoriy s *
minimum
nuqtasi uchun yozamiz:
∫
∫
1
0 1
0
1*
1**1***
1* 0
0*
1*1**
1*0
0*
1*
) ( )( )( ), (
) , ( )( ), ( max ) , ( 0
t
t t
t Vv
x c t x c x c dtt ut Bt t F c
x t t F с x c udtt Bt t F c x t t F с
(17)
Ekstremal prinsipga (2-lemma) va u *
(t) boshqaruv hamda x *
(t)
trayektoriyalarning aniqlanishiga ko’ra,](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_8.png)
![0 )) ( ( 1 * * t x x с (18)
tekislik Q(t
1 ) erishish to’plamining x *
(t
1 ) nuqtasiga o’tkazilgan tayanch tekislik
bo’ladi.
(17) tenglik ko’rsatadiki, x 1
nuqta (18) tayanch tekislikda yotadi.
*1t -tez
harakat momenti bo’lgani uchun
) (*1 1 t Q x bo’ladi. Agar 1 *1 * ) ( x t x bo’lsa,
) ( , *1 * 1 t x x
kesma Q(t
1 ) ning chegarasiga tegishli bo’lar edi. Ammo 3-lemmaga
ko’ra, Q(t
1 ) qat’iy qavariq to’plam ekanligidan, bunday bo’lishi mumkin emas.
Demak,
1 *1 * ) ( x t x ya’ni ],[),( *1 0 * ttttu
optimal boshqaruv bo’ladi.
Teorema isbotlandi.
Optimallikning zaruriy va yetarli shartlarini ifodalovchi 1-2-teoremalarga
qo’shimcha qilib shuni aytish mumkinki, normallik sharti bajarilganda optimal
boshqaruv (va demak, optimal trayektoriya ham ) yagona bo’ladi. Bu tasdiq (14)
maksimum shartidan osongina kelib chiqadi.
3. Tez harakat masalasi uchun Pontryaginning maksimum prinsipi.
Optimal boshqarish nazariyasida optimallikning zaruriy sharti Pontryaginning
maksimum prinsipi ko’rinishida ifodalanadi. Quyida 1-teoremada keltirilgan
zaruriy shartlarni maksimum prinsipi shaklida yozish mumkinligini ko’rsatamiz.
Quyidagi
**
1*
),()( cttFt
(19)
funksiyani kiritamiz va (14) shartni
10***
, )( )( max )( )( )( t t t ut Bt t ut Bt
Vv
(20)
ko’rinishda yozamiz. (19) funksiya
**
1 )(,)( cttA
(21)
qo’shma sistemaning yechimidir. Agar
] )( )( [ ), , , ( ut B xt A t u x H
Gamilton-Pontryagin funksiyasidan foydalansak, x *
(t) ning (15) ni, u *
(t) ning (14)
ni va ψ *
(t) ning esa, (21) ni qanoatlantirishini,](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_9.png)
![) ),( ),( ),( ( )( * * * * t t u t t x H t x (22)
) ),( ),( ),( ( )( * * * * t t u t t x H t x (23)
] , [ ),, ),( ),( ( max ) ),( ),( ),( ( *1 0 * * * * * t t t t u t t x H t t u t t x H Vv (24)
ko’rinishda yozish mumkin. Agar bu sistemani yana bita,
0 ) ), ( ), ( ), ( ( *1 *1 * *1 * *1 * t t u t t x H (25)
munosabat bilan to’ldirsak, tez harakat masalasi uchun quyidagi maksimum
prinsipiga ega bo’lamiz.
3-teorema (maksimum prinsipi). Faraz qilaylik, (1) sistema uchun
regulyarlik sharti bajarilsin. Agar
) ),( ),( ( *1 * * t t x t u (12) masalaning yechimi bo’lsa,
shunday trivial (aynan nol) bo’lmagan ψ *
(t) vektor funksiya topiladiki, (22)-(25)
shartlar bajariladi.
4. Chiziqli statsionar tez harakat masalasi. Quyidagi
], , [ , )(
, ) ( , ) ( , min,
1 0
1 1 0 0 0 1
t t t V t u u
x tx x tx Bu Ax x t t
(26)
tez harakat masalasini qaraymiz, bu yerda A-n
n- matrisa va B-n m- matrisalar
o’zgarmas,
mR V qavariq kompakt ko’pyoqlidan iborat.
4-lemma. [2]. Agar V ko’pyoqlining istalgan qirrasiga parallel bo’lgan w
vektor uchun
n Bw A ABw Bw rank n } ,..., , { 1 (27)
bo’lsa, (26) sistema uchun normallik sharti bajariladi.
Yuqorida keltirilgan natijalar (26) statsionar tez harakat masalasi uchun
quyidagi teoremada aniqlashtiriladi.
4-teorema. Faraz qilaylik, (26) sistema uchun (27) shart bajarilsin.
U vaqtda:
a) chiziqli statsionar tez harakat masalasining
) ),( ),( ( *1 * * t t x t u yechimi uchun
shunday ψ *
(t) funksiya mavjud bo’ladiki,
))( ),( ),( ( )( )),( ),( ),( ( )( * * * * * * * * t u t t x H t t u t t x H t x x (28)](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_10.png)
![] ), ),( ),( ( max ))( ),( ),( ( *1 0 * * * * * t t t u t t x H t u t t x H Vv (29)
shartlar bajariladi va u *
(t) boshqarish
] , [ *1 0t t da bo’lakli o’zgarmas bo’lib, uning
qiymatlari V ko’pyoqlining uchlaridan iborat (bu yerda
] [ ) , , ( Bu Ax u x H ).
b) agar V ko’pyoqlining u 1
ichki nuqtasi uchun
0 1 1 Bu Ax shart bajarilsa
va
)( ),( ),( * * * t t x t u funksiyalar (28),(29) shartlarni va 1 *1 * ) ( x t x tenglikni
qanoatlantirsa, u *
(t)- optimal boshqaruv, x *
(t)- optimal trayektoriya.
*1t - optimal
vaqt momenti bo’ladi.
v) optimal boshqaruv yagonadir.
Isboti. Teoremaning a) tasdig’i 3-teoremaning natijasidir. b) tasdiq esa, 4-
lemmani hisobga olgan holda, normallik shartidan va (29) maksimum shartidan
kelib chiqadi. b) tasdiqni (26) masalaning xususiy holi bo’lgan,
1 ,0 ) ( , )0( , min, 1 0 1 u tx x x Bu Ax x t (30)
masala uchun isbotlaymiz, bu yerda A-n
n matrisa, mR B , u- skalyar boshqaruv
parametri.
(30) sistema uchun (27) shart,
n B A AB B rank n } ,..., , { 1 (31)
ko’rinishda bo’ladi.
Asosiy va qo’shma sistemalardan iborat,
)( , )( t A Bu xt A x
sistemani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
0 ),( ),( ),( t t tx t u funksiyalar uchun u(t)
ning uzluksizlik nuqtalarida quyidagi
)( )( )( )(
)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(
t but t but
t Axt t Axt txt txt txt dt
d
tenglik bajariladi. Bu tenglikni [
, ] oraliqda integrallab,
∫
dtt but x x )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( (32)
tenglikni hosil qilamiz.](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_11.png)
![Faraz qilaylik, u *
(t)- boshqaruv va unga mos )( ),( * * t t x funksiyalar ],0[ *
1t
oraliqda (28),(29) hamda
0 ) ( , )0( *1 * 0 * t x x x shartlarni qanoatlantirsin, ammo u *
(t)
optimal bo’lmasin. U holda, shunday u 0
(t),t
[0,t 0
] boshqaruv mavjudki, unga mos
x 0
(t) trayektoriya 0)(,)0( 0
1000
txxx
shartlarni qanoatlantiradi va
*1 01 t t
tengsizlik bajariladi. (32) munosabatdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:
∫
01
0
0 * * *
0 * 01 0 01 * * * 01 * 01 * 01 * 01 *
)( )( )( )(
)0( )0( ) ( ) ( )0( )0( ) ( ) ( ) ( ) (
t
dt t but t but
x t x t x t x t t x t
(33)
Teoremaning shartiga ko’ra, u 0
(t),t
[0,t 0
], boshqaruv maksimum prinsipini
qanoatlantiradi, ya’ni
01 *1 0 * * * ,0 ,0 ),( )( )( )( t t t t but t but
tengsizlik bajariladi. Shuning uchun, (33) dan,
0 ) ( ) ( 01 * 01 * t x t tengsizlik kelib
chiqadi.
Ikkinchi tomondan, maksimum shartiga ko’ra,
],0[,)(max)()( *
1*
1**
ttbuttbut
u
bo’lgani uchun,
bt sign t u )( )( * * ko’rinishda bo’ladi. (31) shartdan
] ,0[ ,0 )( *1 * t t bt
, bo’lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, *1 01 t t ekanligini hisobga
olsak, (32) ga asosan,
∫∫
*
1
0
1*
1
0
1 0|)(|)()()()()()()()( ****
1*0
1*0
1*0
1*0
1*0
1* t
tt
t dtbtdttbuttxttxttxt
munosabat bajariladi. Olingan qarama-qarshilik,
] ,0[ ),( *1 * t t t u boshqaruvning
optimalligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
Optimal boshqaruvlarni qurishda quyidagi natija ham muhim ahamiyatga ega
[2,3].](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_12.png)
![5-teorema ( n intervallar haqida) [2]. Faraz qilaylik, (25) statsionar tez
harakat masalasi uchun (27) shart bajarilsin, m i v R v V i m ,1 ,1 : va A
matrisaning barcha xos qiymatlari haqiqiy bo’lsin. U vaqtda
))( ),...,( ( )( * *1 * t u t u t u m
ekstremal boshqaruv har bir
)(*t ui koordinatasining o’zgarmaslik intervallari soni n
tadan oshmaydi.
Misol. (30) masalada
1
0 , 0 0
0 0 ),0,0( ), , ( ,2 1 02 01 0 b A x x x x n bo’lsin.
Bu holda 5-teoremaning barcha shartlari bajarilgan bo’ladi, shuning uchun
ekstremal boshqaruv, u=+1 va u=-1 qiymatlar qabul qiladi va o’tish nuqtasi
bittadan ko’p emas, ya’ni o’zgarmaslik oraliqlari soni ikkitadan oshmaydi.
u=
1 bo’lganda x
2 = 1 nuqtaning harakat tenglamasi -=-=-= ko’rinishda
bo’ladi. Bu yerdan
const x x x dx
dx 2 ,
22 1 2 2
1 (34)
bo’lishi kelib chiqadi. ularga mos harakat trayektoriyalari 2-3-rasmlarda
keltirilgan.
Koordinatalar boshiga kelib tushuvchi AO , OV trayektoriyalarni ajratamiz (4-
5-rasm).
2 -расм. 3 -расм.](/data/documents/cadb7d47-4f2d-4f9a-9de8-108064d8bd33/page_13.png)
Chiziqli tezkor masala. 1. Chiziqli boshqarish sistemasi va uning erishish to’plami. Ekstremal prinsip. 2. Chiziqli sistemaning regulyarligi va normalligi. 3. Chiziqli tez harakat masalasi. Optimallikning zaruriy va yetarli shartlari. 4. Pontryaginning maksimum prinsipi. 5. Chiziqli stasionar tez harakat masalasi. Optimal boshqaruvning sintezi.
1. Chiziqli boshqarish sistemasi. Ekstremal prinsip. Boshqarilayotgan obyektining harakati (jarayon), ˙x= A(t)x+B(t)u, t≥t0, u∈V (1) vektorli chiziqli differensial tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda x=(x1,...,xn) holat vektori , u=(u1,...,um) boshqaruv vektori, V ⊂Rm boshqaruvlar to’plami , t- vaqt, t 0 -boshlang’ich vaqt momenti. (1) tenglamada n×n o’lchovli A(t) matrisa va n×m o’lchovli B(t) matrisa elementlarini t≥t0 nuqtalarda uzluksiz deb faraz qilamiz. V boshqaruvlar to’plamini R m ning bo’sh bo’lmagan qavariq kompakt to’plami deb hisoblaymiz. Odatdagidek, (1) boshqarish sistemasi uchun joyiz boshqaruvlar sifatida, V boshqaruvlar to’plamidan qiymatlar qabul qiluvchi bo’lakli-uzluksiz u=u(t),t∈[t0,t1],m - vektor-funksiyalarni qaraymiz va bunday boshqaruvlar to’plamini U deb belgilaymiz. Differensial tenglamalar kursidan yaxshi ma’lumki, har bir u=u(t),t∈[t0,t1], - joyiz boshqaruvga va x(t0)=x0 (2) boshlang’ich shartga (1) tenglamaning [t0,t1], - oraliqda bo’lakli-silliq x(t)=x(t,u,x0), - yechimi mos keladi hamda bu yechim x(t)= F(t,t0)x0+∫ t0 t F(t,τ)B(τ)u(τ)dτ ,t∈[t0,t1] (3) Koshi formulasi [2] orqali ifodalanadi, bu yerda F(t,τ)−(1) tenglamaga mos ˙x= A(t)x (4) bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental matrisasidan iborat, ya’ni F(t,τ)−n×n - o’lchovli matrisa bo’lib, uning i- ustuni (4) tenglamaning i ex )( ( e i -E birlik matrisaning i -ustuni) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xi(t,τ) yechimidan iborat.
(3) formulaga ko’ra , x(t)=x(t,u,x0), trayektoriyaning t=t 1 vaqt momentiga mos nuqtasi, x(t1)=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt , (5) ko’rinishda bo’ladi. Barcha u(t)∈U boshqaruvlarga mos (5) ko’rinishdagi nuqtalarni qaraymiz. Ular R n da qandaydir Q(t 1 ) to’plamni hosil qiladi. Shu to’plamni (1),(2) boshqarish sistemasining t 1 vaqt momentidagi erishish to’plami deb ataymiz. Demak, ta’rifga ko’ra, Q ( t 1 ) = ¿ ¿ . Q(t 1 ) to’plam elementlarinig (5) ko’rinishda ifodalanishidan va V boshqaruvlar to’plamining qavariq kompaktligidan, Q(t 1 ) to’plamning ham chegaralangan qavariq to’plam ekanligi kelib chiqadi. Endi Q(t 1 ) to’plamning yopiqligini ta’minlovchi shartni keltiramiz. Bu shart (1) sistemaning regulyarlik xossalari orqali ifodalanadi. Avvalo V boshqaruvlar to’plamining k- o’lchamli yoqi tushunchasini keltiramiz. Agar S V qism to’plam V to’plamga o’tkazilgan, normallari chiziqli bog’lanmagan m-k ta tayanch tekisliklar kesishmasiga tegishli bo’lsa, S to’plam, V ning k -o’lchovli yoqi deyiladi. V to’plamning o’zini esa, m -o’lchovli yoqdan iborat deb hisoblaymiz. Agar ixtiyoriy с∈Rn,c≠ 0 vektor va ixtiyoriy [t0,t1] kesma uchun с'F(t1,t)B(t) funksiya V to’plamning har bir k - o’lchamli yoqiga [t0,t1] oraliqning chekli sondan ko’p bo’lmagan nuqtalari yoki kesmalarida ortogonal bo’lsa, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantiradi, deyiladi. Quyidagi tasdiq o’rinli: 1-lemma. [2] Agar (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsa, Q(t 1 )- yopiq, chegaralangan, qavariq to’plam bo’ladi.
Chiziqli boshqarish sistemalarini o’rganishda, ekstremal prinsip deb ataluvchi, quyidagi tasdiqdan keng foydalaniladi. 2-lemma. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin. U vaqtda har bir c∈Rn,c≠ 0 vektor t1≥t0 va son uchun Q(t 1 ) to’plamning shunday x chegaraviy nuqtasi mavjul bo’ladiki, unda c'x= maxx∈Q(t1)c'x (6) munosabat bajariladi. (6) tenglikning o’rinli bo’lishi uchun, shunday u(t)∈U boshqaruv topilib, x=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt , (7) c'F(t1,t)B(t)u(t)=maxv∈Vc'F(t1,t)B(t)v,t∈[t0,t1] (8) tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir. Isboti. 1-lemmaga ko’ra Q(t 1 ) to’plam kompakt bo’lganligi uchun, Veyershtrass teoremasidan, uzluksiz f(x)=c'x funksiyaning Q(t 1 ) da global maksimum nuqtasi x mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni (6) tenglik bajariladi. Bu nuqta x to’plamning chegaraviy nuqtasi bo’ladi. Haqiqatan ham, agar x∈int Q(t1) deb faraz qilsak, yetarli kichik ε >0 uchun x+εc ∈Q(t1) bo’ladi va c'(x+εc )= c'x+ε ,‖c‖′>c'x , ya’ni (6) ga zid munosabat bajariladi. Q(t 1 ) to’plamning aniqlanishiga ko’ra, x nuqta, biror u(t)∈U boshqaruv yordamida, (7) formula bo’yicha hosil qilinadi. Endi (6) shartni c'x≥c'x,∀ x∈Q(t1) ko’rinishda yozib va bu yerga x nuqtaning (7) ifodasini va x∈Q(t1) nuqtaning, Koshi formulasi orqali, x=F(t1,t0)x0+∫ t0 t1 F(t1,t)B(t)u(t)dt ,u(t)∈U ifodasini qo’ysak, quyidagi ∫ t0 t [c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)u(t)]dt>0 (9)
munosabatni hosil qilamiz. Bu tengsizlik ixtiyoriy u(t)∈U boshqaruv uchun, jumladan, u(t)=¿{u(t),t∉(θ−ε,θ],¿¿¿¿ (10) ko’rinishdagi boshqaruv uchun ham bajariladi, bu yerda θ∈(t0,t1],v∈V ,ε>0 - yetarli kichik (t0<θ − ε<t1) . Agar (10) boshqaruvni (20) ga qo’yib, uni ε >0 ga bo’lsak va ε →0 da limitga o’tsak, lim ε→0∫ θ−ε θ [c'F(t1,t)B(t)u(t)−c'F(t1,t)B(t)v]dt= ¿c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)−c'F(t1,θ)B(θ)v≥0 tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa , v∈V vektorning ixtiyoriyligiga ko ’ ra , c'F(t1,θ)B(θ)u(θ)=maxv∈Vc'F(t1,θ)B(θ)v (11) tenglikning bajarilishini ko’rsatadi. Shunday qilib, (8) tenglik barcha θ∈(t0,t1], uchun bajarilishi ko’rsatildi. Agar u(t) boshqaruvning bo’lakli uzluksizligini hisobga olsak, uni t=t 0 nuqtada chapdan uzluksiz deb hisoblashimiz mumkin. Natijada, (11) da θ→ t0 da limitga o’tsak, uning θ=t0 nuqtada ham o’rinli ekanligini ko’ramiz. Shunday qilib, (8) tenglikning barcha t∈[t0,t1], - uchun to’g’riligi ko’rsatildi. Lemma isbotlandi. Keltirilgan ekstremal prinsip sodda geometrik ma’noga ega.Ekstremal prinsipga ko’ra, (8) shartni qanoatlantiruvchi boshqaruvlar (ularni ekstremal boshqaruvlar ham deb ataydilar ) va faqat shu boshqaruvlargina chiziqli sistema trayektoriyasinii erishish to’plami chegaraviy nuqtasiga o’tkazadi. (8), (7) formulalar bo’yicha u(t) boshqaruvni va x∈Q(t1) nuqtani hosil qiluvchi c≠0 vektor esa, Q(t 1 ) to’plamdagi x nuqtaga o’tkazilgan tayanch tekislikning normalidan iborat (1-rasm). Q(t 1 ) с 1-расм