determinant uslubiy

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1161 KB

Ko'chirib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Algebra va geometriya kafedrasi
Determinantlar nazariyasi
«Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish
uchun uslubiy tavsiyalar
« 5 460100 MATEMATIKA »
ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun
(Uslubiy qo‘llanma)
SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan
2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan.
1

Samarqand – 2011
Determinantlar nazariyasi. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar
o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 56 bet.
Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha «5460100
– matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik mantiq,
Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda
shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, determinantlar nazariyasi ning
usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar
yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Bular
talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi degan
umiddamiz .
Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev
Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Nosirova H.N.
Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov I.A.
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev M.Y.
2

Tayanch iboralar: o’rin almashtirishlar; tartib; juft va toq o’rin
almashtirishlar; inversiya; transpozitsiya; dekrement; sikl; siklning uzunligi;
matritsa; bosh diagonal; Vandermont determinanti; minor; Laplas teoremasi;
algebraik to’ldiruvchi; zinapoyali determinant; o’zaro determinant.
1-§. O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar
n ta 1, 2, .., n sonlar (yoki n ta har xil a
1 , a
2 , .., a
n simvollar ) ning
ma’lum tartibda mumkin bo’lgan ixtiyoriy joylashuviga shu sonlarning (yoki
simvollarning) o’rin almashtirishi deyiladi. Berilgan n ta simvollarni 1, 2, ..., n,
sonlar bilan tartiblash mumkin bo’lganligi sababli ixtiyoriy n ta simvollarning
o’rin almashtirishlarini o’rganish 1, 2, ..., n larning o’rin almashtirishlarini
o’rganishga keltiradi. n ta sonlarning barcha o’rin almashtirishlari soni 1·2·3··· n
= n ! (« n-faktorial » deb o’qiladi) ga teng. Masalan, a
1 , a
2 , a
3 simvollarning
barcha o’rin almashtirishlari quyidagilardir: a
1 a
2 a
3 , a
1 a
3 a
2 , a
2 a
1 a
3 , a
2 a
3 a
1 ,
a
3 a
1 a
2 , a
3 a
2 a
1 . Ularning soni 3! = 6 ta.
Agar o’rin almashtirishda ikki sondan kattasi kichigidan oldin kelsa bu
sonlar inversiyani tashkil etadi, agar kichigi kattasidan oldin kelsa, tartib
deyiladi .
Inversiyalar sonini hisoblash usuli: o’rin almashtirishdagi sonlarni
yozilish tartibi bo’yicha (chapdan o’ngga) har bir son uchun undan o’ng
tomonda turgan kichik sonlar sanaladi va hosil bo’lgan barcha sonlar qo’shiladi.
Masalan, (613542) o’rin almashtirishda inversiyalar soni 5 + 1 + 2 + 1 = 9 ga
teng.
Inversiyalar sonining juft, toqligiga qarab o’rin almashtirish juft yoki toq
deyiladi.
O’rin almashtirishdagi ikki sonni o’rnini almashtirish transpozitsiya
deyiladi. i va j sonlarning transpozitsiyasi ( i, j ) bilan belgilanadi. n ta sonning
har qanday o’rin almashtirishidan shu sonlarning istagan boshqa o’rin
almashtirishiga bir nechta transpozitsiyalarni bajarish bilan kelish mumkin
bo’lib, bunda n- 1 tadan ko’p bo’lmagan transpozitsiyalar bilan chegaralanishi
mumkin. Misol. (312546) o’rin almashtirishdan (631254) almashtirishga beshta:
(3, 6), (3, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 4) transpozitsiyalarni bajarish bilan kelish
mumkin.
1, 2, ... , n sonlarning barcha n ! o’rin almashtirishlarni har keyingisi
oldingisida bitta transpozitsiyani bajarishdan hosil bo’lgan qilib (tushirib
qoldirmaydigan va takrorlanmaydigan), birin-ketin joylashtirish mumkin. Har
bir transpozitsiya o’rin almashtirishning juft-toqligini o’zgartiradi. n  2 son
3

uchun n ta sondan tuzilgan o’rin almashtirishlardan juftlari soni toqlari soniga,
ya’ni ga teng bo’ladi.
n ta 1, 2, ... , n sonlar to’plamining o’ziga o’zaro bir qiymatli
akslantirishiga (biyeksiyasiga) bu sonlarning o’rniga qo’yish yoki n-tartibli
o’rniga qo’yish deyiladi. Shunday qilib, o’rniga qo’yishda 1 dan n gacha
bo’lgan har bir songa shu sonlardan qandaydir biri mos keltirilgan bo’lib, ikkita
har xil songa ikkita har xil son mos keladi. O’rniga qo’yish umumiy qavsga
olingan ikkita satr ko’rinishida: yuqori satrda turgan har bir sonning tagida unga
mos keluvchi sonni yozish bilan ifodalanadi. Masalan, o’rniga
qo’yishda 1  1,
2  3, 3  6, 4  2, 5  5, 6  4 mos keltirilganligini bildiradi.
Sonlarning yuqori satrda joylashuviga qarab bitta o’rniga qo’yishni bir
nechta ko’rinishda yozish mumkin. Masalan,
, , ,
o’rniga qo’yishlarning barchasida 1 soni 3 ga, 2 soni 4 ga, 3 soni 1 ga, 4 soni 2
ga o’tganligi sababli, ular aynan bitta o’rniga qo’yishni ifodalaydi. n ta son
yordamida tuzilgan har bir o’rniga qo’yishni n ! har xil ko’rinishlarda yozish
mumkin. n ta sondan tuzilgan har xil o’rniga qo’yishlar soni ham n ! ga tengdir.
Agar o’rniga qo’yishning ikkala satridagi inversiyalar yig’indisi juft
bo’lsa, o’rniga qo’yish juft deb, agar inversiyalar yig’indisi toq bo’lsa, toq deb
aytiladi. Demak, agar ikkala satrdagi inversiyalar bir xilda juft, yoki ikkalasi
ham toq bo’lsa, o’rniga qo’yish juft, agar har xil bo’lsa o’rniga qo’yish toq
bo’ladi. O’rniga qo’yishning juft-toqligi uning ikkita satr yordamida
ko’rinishidan bog’liq emas, ya’ni bitta o’rniga qo’yishning har xil ko’rinishida
inversiyalar juft-toqligi bir xildir. Masalan, o’rniga qo’yishning
birinchi yozuvida to’rtta, ikkinchisida ikkita inversiya bor, ya’ni juft.
n elementdan tuzilgan juft o’rniga qo’yishlar soni toq o’rniga qo’yishlar
soniga va demak, ga tengdir ( n  2).
O’rniga qo’yishning juft-toqligini aniqlashning boshqa usuli ham bor. Bir
nechta sonlar ketma-ketligida berilgan o’rniga qo’yishda birinchi son -
ikkinchisiga, ikinchisi - uchinchisiga va h.k oxirgisi - birinchisiga o’tsa, bu
sonlar sikl deb ataladi. Siklni undagi sonlarni umumiy qavslarga olib yozish
bilan belgilanadi. Agarda son yana o’ziga o’tsa, u ham bitta siklni tashkil etadi.
Umumiy sonlarga ega bo’lmagan sikllar, o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllar
deyiladi. Har qanday o’rniga qo’yishni o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllarga
ajratish mumkin (yoki yoyish mumkin). Masalan, .
O’rniga qo’yishdagi elementlar soni n va uning yoyilmasidagi sikllar soni
k ning ayirmasi bo’lgan d soniga, ya’ni d = n - k ga o’rniga qo’yishning
dekrementi deyiladi. O’rniga qo’yishning juft-toqligi uning dekrementining juft-
toqligi bilan bir xildir. Masalan: n = 6, k = 3, d = 3 bo’lib, o’rniga qo’yish toq.
4

n -tartibli ikkita o’rniga qo’yishni ketma-ket bajarishdan hosil bo’lgan
o’rniga qo’yishga ularning ko’paytmasi deyiladi. Masalan, agar
, , bo’lsa, u holda bo’ladi.
Agar siklni o’rniga qo’yish deb tushunsak, u holda o’rniga qo’yishni
o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllarga yoyilmasiga uning shu sikllarning
ko’paytmasi ko’rinishidagi ifodasi deb qarash mumkin. Agar 1, 2, ..., n ,
sonlarning o’rniga qo’yishda i
1 son i
2 ga, i
2 i
3 ga ,... i
k- 1 i
k ga ( k  n ),
i
k i
1 ga o’tib, qolgan sonlar o’ziga o’tsa, bunday o’rniga qo’yishga sikl yoki
siklik o’rniga qo’yish deyiladi va ( i
1 , i
2 , ..., i
k ) ko’rinishida belgilanadi. ( i
1 , i
2 , ...,
i
k ) va masalan, ( i
2 , i
3 , ..., i
k , i
1 ) sikllar o’zaro tengdir. k songa siklning uzunligi
deyiladi.
Uzunligi 1 ga teng sikl ko’paytmada yozilmaydi. Masalan,
. Uzunligi ikkiga teng sikl transpozitsiya deyiladi. Har qanday
o’rniga qo’yishni transpozitsiyalar ko’paytmasi shaklida ifodalash mumkin.
Masalan, ( i
1 , i
2 , ..., i
k ) = (i
1 , i
2 ) (i
1 , i
3 ) ... (i
1 , i
k ) . Bu ifodalanish yagona emas, har
qanday juft o’rniga qo’yishni juft sondagi transpozitsiyalar, toq o’rniga
qo’yishni toq sondagi transpozitsiyalar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalash
mumkin.
1-m i s o l . Agar RPOKUTME harfli o’rin almashtirishni tartib deb qarab,
unga nisbatan KOMPUTER o’rin almashtirishining juft yoki toqligini aniqlang.
Yechish. K harfi O, P, R harflari bilan 3 inversiyani tashkil qiladi. O harfi
P, R bilan 2 inversiyani, M harfi P, U, T, R harflari bilan 4 ta inversiyani, P
harfi R harfi bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1
inversiyani, T harfi R bilan 1 inversiyani, E harfi R bilan 1 inversiyanm hosil
qiladi. Hammasi bo’lib KOMPUTER o’rin almashtirishida 14 ta inversiya bor.
Demak, bu o’rin almashtirish juft. ■
2-m i s o l. ( 2 n, 2 n- 2 , ..., 6, 4, 2, 2 n- 1 , 2 n- 3 , ..., 5, 3, 1 ) (1)
o’rin almashtirishida inversiyalar sonini toping. O’rin almashtirishi juft
bo’ladigan n larning, va toq bo’ladigan n larning umumiy ko’rinishini
ko’rsating.
Yechish. Inversiyalar sonini hisoblaymiz:
bundan n = 4 k va n = 4 k + 3 bo’lgandagina (1) o’rin almashtirish juft
bo’lishini ko’ramiz.■
3-m i s o l. (9, 5, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 2) o’rin almashtirishdan (9, 8, 7, 6, 5, 4,
3, 2, 1) o’rin almashtirishga o’tish mumkin bo’lgan transpozitsiyalarni
ko’rsating.
5

Yechish. Bu transpozitsiyalar quyidagilardan iboratligini ko’rish qiyin
emas. (5, 8), (1, 7), (5, 6), (3, 5), (1, 4), (1, 3), (2, 1). ■
4-m i s o l. n ta 1, 2, ..., n sonlarning (1 2 ... n ) o’rin almashtirishidan
farqli har qanday o’rin almashtirishida ma’lum bir transpozitsiya bajarish bilan
undagi inversiyalar sonini bittaga kamaytirish mumkinligini ko’rsating.
Yechish. Qaraladigan o’rin almashtirishda kamida bitta 
k , 
k+1 , ( 
k >

k+1 ) juftlik topiladi.
( 
k , 
k +1 ) transpozitsiya inversiyalar sonini bittaga
kamaytiradi. ■
5-m i s o l. Quyidagi o’rin almashtirishni sikllar ko’paytmasiga yoying va
dekrement orqali juft-toqligini aniqlang
.
Yechish. Berilgan o’rniga qo’yishni o’zaro bog’liq bo’lmagan
(1 2) (3 4) .... (2 n -1, 2 n ) sikllarning ko’paytmasi ko’rinishida yoyish mumkin.
Demak, uning dekrementi 2 n – n = n ga teng bo’lib, o’rniga qo’yishning juft-
toqligi n ning juft-toqligi bilan bir xildir. ■
6-m i s o l. (3 2 1) (6 5 4) .... (3 n , 3 n -1, 3 n -2) o’rniga qo’yishda sikllardagi
yozuvdan ikki satrlardagi yozuvga o’ting.
Yechish. Birinchi sikldan 1 ning 3 ga, 3 ning 2 ga, 2 ning 1 ga o’tishini
ko’ramiz. Ikkinchi siklda 4 – 6 ga, 6 – 5 ga, 5 – 4 ga o’tadi. Oxirgi siklda
3 n 3 n -1 ga, 3 n -1 3 n -2 ga, 3 n -2 esa 3 n ga o’tadi. Natijada, biz quyidagi
o’rniga qo’yishni hosil qilamiz. ■
7-m i s o l. Hisoblang:
.
Yechish.

. ■
8-m i s o l. Agar
, ,
bo’lsa, A - 1
XB = C tenglikdan X o’rniga qo’yishni toping.
Yechish. A - 1
XB = C tenglikni chapdan A ga, o’ngdan B - 1
ga ko’paytirsak,
X=ACB - 1
ni topgan bo’lamiz.
bo’lganligi sababli,
ni hosil qilamiz. ■
M A S H Q L A R
1 . Berilgan o’rin almashtirishlarning biridan ikkinchisiga o’tish mumkin
bo’lgan transpozitsiyalarni ko’rsating.
6

a) (10, 1, 2, 8, 7, 4, 3, 6, 9, 5) o’rin almashtirishdan (8, 9, 5, 1, 10, 7, 2, 3,
6, 4) o’rin almashtirishga;
v) (2, 4, 6, ..., 2 n , 1, 3, 5, ..., 2 n -1) o’rin almashtirishdan (2 n , 2 n -1, ..., 4, 3,
2, 1) o’rin almashtirishga.
2 . i va k larning (1, 2, 7, 4, i , 5, 6, k , 9) o’rin almashtirish juft
bo’ladigan qiymatlarini toping.
3 . Agar ASQMUI o’rin almashtirishni tartib deb qarab, MUSIQA o’rin
almashtirishidagi inversiyalar sonini toping.
4 . Quyidagi o’rin almashtirishlardagi inversiyalar sonini toping. Qanday n
larda o’rin almashtirishlar juft, qanday n larda toq bo’lishini aniqlang va shu n
larning umumiy ko’rinishini bering.
a) (2, 4, 6, ..., 2 n , 1, 3, 5, ..., 2 n - 1);
v) (1, 3, 5, ..., 2 n - 1, 2, 4, 6, ..., 2 n );
c) (2 n , 1, 2 n - 1, 2, 2 n - 2, 3, ..., n + 1, n );
d) (1, 4, 7, ..., 3 n - 2, 2, 5, ..., 3 n - 1, 3, 6, ..., 3 n );
e) (3, 6, ..., 3 n , 1, 4, ..., 3 n - 2, 2, 5, ..., 3 n - 1);
f) (1, 5, ..., 4 n - 3, 2, 6, ..., 4 n - 2, 3, 7, ..., 4 n - 1, 4, 8, ..., 4 n );
g) (4 n , 4 n - 4, ..., 8, 4, 4 n - 1, 4 n -5, ..., 7, 3, 4 n -2, 4 n - 6, ..., 6, 2,
4 n - 3, 4 n -7, ..., 5, 1).
5 . (1, 2,.., n ) o’rin almashtirishning k -chi o’rnida turgan 1 soni nechta
inversiyani hosil qiladi?
6 . 1, 2, 3, ..., n o’rin almashtirishning k -chi o’rnida turgan n soni nechta
inversiyani hosil qiladi?
7 . 1, 2, ..., n sonlarning ixtiyoriy o’rin almashtirishidagi inversiyalar soni
va tartiblar soni yig’indisini toping.
8 . Qanday n lar uchun 1, 2 , ..., n sonlarning istalgan o’rin
almashtirishidagi inversiyalar soni va tartiblar sonlarining juft-toqligi bir xil,
qanday n lar uchun har xil bo’ladi?
9 . 1, 2, ..., n , sonlarining biror o’rin almashtirishida (12) transpozitsiya
bajarsak, inversiyalar soni qanday o’zgaradi?
10 . a
1 , a
2 , ..., a
n- 1 , a
n o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni k ekanligi
berilgan. U holda a
n , a
n- 1 , ..., a
2 , a
1 o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni
nechta bo’ladi?
11 . n ta elementning barcha o’rin almashtirishlaridagi inversiyalarning
hammasi nechta?
12 . 1, 2, ..., n sonlarning inversiyalari soni k ga teng bo’lgan ixtiyoriy
o’rin almashtirishidan boshlang’ich holatiga k ta transpozitsiyalarni bajarish
natijasida o’tish mumkin bo’lib, undan kam sondagi transpozitsiyalar orqali
o’tish mumkin emasligini isbotlang.
13 . Ixtiyoriy butun k ( 0 k  C
n 2
) soni uchun 1, 2, 3, ..., n , sonlarning
o’rin almashtirishlari ichida inversiyalari soni k ga teng bo’lgani borligini
ko’rsating.
7

14 . Qanday umumiy va yetarli shartda (
1 
2 
3 ... 
n ) o’rin
almashtirishida yonma-yon turmagan ikki sonning transpozitsiyasi undagi
inversiyalar sonini bittaga oshiradi? Qanday shartda bittaga kamaytiradi?
15 . Quyidagi binar munosabatlardan qaysilari o’rniga qo’yish bo’ladi:
; ; ;
; ; .
16 . Quyidagi o’rniga qo’yishlarni o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllar
ko’paytmasi ko’rinishida ifodalang va dekrement bo’yicha uning juft-toqligini
aniqlang.
; ;
;
;
.
17 . O’rniga qo’yishlarni ko’paytiring:
.
18 . Quyidagi o’rniga qo’yishlarda sikllar bo’yicha yozuvlardan 2 ta satrlar
bo’yicha yozuvga o’ting:
;
;
.
19 . Hisoblang:
.
20 . i va k larning o’rniga qo’yish: a) juft; b) toq
bo’ladigan qiymatlarini toping.
21 . Agar siklning biror darajasi birga teng bo’lsa, u holda daraja
ko’rsatgichini siklning uzunligiga bo’linishini isbotlang.
22 . Birga teng bo’lgan o’rniga qo’yishlarning barcha darajalari ichida eng
kichik ko’rsatgich o’rniga qo’yishning sikllarga yoyilmasidagi sikllarning
uzunliklarining eng kichik umumiy karralisiga tengligini ko’rsating.
23 . Agar bo’lsa, A 101
ni toping.
24 . Agar bo’lsa, A n
ni toping.
25 . Agar
8

, ,
bo’lsa, AXB = C tenglikdan X o’rniga
qo’yishni toping.
26 . O’rniga qo’yishni ( ,  ) transpozitsiyaga chapdan ko’paytirish shu
o’rniga qo’yishning yuqori satrida
 va  transpozitsiyani bajarishga, o’ngdan
ko’paytirish esa quyi satrda
 va  transpozitsiyani bajarishga teng kuchli
ekanligini isbotlang.
27 . Agar
 va  lar o’rniga qo’yishning biror sikliga kirsa, u holda bu
o’rniga qo’yishni (
 ,  ) transpozitsiyaga ko’paytirganda ( o’ngdan yoki
chapdan) berilgan ikkita siklga ajraladi, agar
 va  lar har xil sikllarga kirsa, u
holda yuqorida aytilgan ko’paytirishda bu sikllar bittaga birlashadi. Shuni
isbotlang.
28 . Oldingi ikki masaladan foydalanib har qanday o’rniga qo’yishning
inversiyalar soni va dekrementining juft-toqligi bir xildir.
29 . Berilgan o’rniga qo’yish transpozitsiyalar ko’paytmasi ko’rinishida
ifodalashda eng kam miqdordagi transpozitsiyalar soni o’rniga qo’yishning
dekrementiga tengligini isbotlang.
30 . 1, 2, 3, 4 sonlarining o’rniga qo’yishlari ichida
o’rniga qo’yish bilan o’rin almashinuvchi bo’lgan o’rniga qo’yishlarni toping.
31 . 1, 2, 3, 4, 5 larning o’rniga qo’yishlari ichida
o’rniga qo’yish bilan o’rin almashinuvchi bo’ladiganini toping.
2-§. Determinantning ta’rifi va asosiy xossalari.
Determinantni satr yoki ustun bo’yicha yoyish
To’g’ri to’rtburchak ko’rinishidagi sonlar jadvaliga matritsa deyiladi.
Matritsani belgilashda qavslardan foydalanamiz, masalan,
.
Matritsani tashkil etuvchi sonlarni uning elementlari deyiladi. Matritsa
elementlarining gorizontal qatoriga uning satrlari , vertikal qatoriga ustunlari
deyiladi. Agar matritsadagi satrlar soni ustunlar soniga teng bo’lsa, undagi
satrlar soni – matritsa tartibi deb ataladi. Umumiy ko’rinishda yozilganda
matritsaning elementlari ikkita indeksli bitta harf orqali belgilanib, birinchi
indeks satrning tartib raqamini (nomerini), ikkinchi indeks ustun tartib raqamini
ifodalaydi. Masalan, n- tartibli A matritsaning umumiy ko’rinishi quyidagicha
yoziladi:
9

.
Kvadrat matritsaning yuqori chap burchagini quyi o’ng burchagi bilan
tutushtiruvchi kesmada yotuvchi elementlar qatori matritsaning bosh dioganali ,
yuqori o’ng burchagini quyi chap burchagi bilan tutashtiruvchi kesmadagi
elementlar qatori yordamchi diagonali deyiladi.
n-tartibli determinant yoki n> 1 da A matritsaning determinanti deb, shu
matritsaning elementlaridan quyidagi formula yordamida hosil qilingan songa
aytiladi:
Bunda birinchi to’rtta ifoda determinantning belgtlanishi; birinchi summa o’zaro
teng bo’lmagan barcha
, (*)
o’rniga qo’yishlar bo’yicha olinib, bunda s – yuqori satrdagi inversiyalar soni,
t – quyi satrdagi inversiyalar soni, ikkinchi summa barcha (k
1 , k
2 , ..., k
n ) o’rin
almashtirishlar bo’yicha olinib, k -bu o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni.
Bu ikki summa aynan tengdir. Summalardagi qo’shiluvchilar determinantning
hadlari deyiladi; determinantning har bir hadi – matritsaning har bir satridan
bittadan, har bir ustunidan bittadan olingan n ta elementlar ko’paytmasiga teng
bo’lib, agar (*) o’rniga qo’yish juft bo’lsa, bu ko’paytma o’z ishorasi bilan, agar
o’rniga qo’yish toq bo’lsa, teskari ishora bilan olinadi. Birinchi tartibli
determinant o’zining yagona elementiga teng. n -tartibli determinantning barcha
elementlari soni n! ga teng. A matritsaning elementlari, satrlari, ustunlari mos
determinantning elementlari, satrlari, ustunlari deb ataladi.
1-m i s o l. Ikkinchi tartibli determinant:
. ■
2-m i s o l. Uchinchi tartibli determinant:
■
Bu ifoda uchburchaklar qoidasi ( Sarryus qoidasi ) bo’yicha topiladi. Uni
quyidagi jadvallar orqali tasvirlash mumkin bo’lib, bir xil ishora bilan bitta
ko’paytmada ishtirok etuvchi elementlar kesmalar bilan birlashtirilib
ko’rsatilgandir:
10

Matritsa (yoki determinantlar) ning barcha satrlarini mos ustunlar bilan
almashtirishga transponirlash deyiladi. Demak, berilgan matritsaning satrlari
transponirlangan matritsaning o’sha tartibda yozilgan ustunlaridan iborat, va
aksincha.
Kvadrat matritsa (yoki determinant) bo’lgan holda transponirlash
matritsani (yoki determinantni) bosh dioganal atrofida 180 0
burishdan iborat
bo’ladi.
Bir nechta bir xil uzunlikdagi satrlar yig’indisi deganda , har bir elementi
berilgan satrlardan mos elemantlar yig’indisidan iborat satrga aytiladi. Satrni
songa ko’paytirish deganda quyidagi satr tushuniladiki, uning har bir elementi
shu songa ko’paytirishdan hosil bo’ladi.
Bir xil uzunlikdagi satrlarning chiziqli kombinasiyasi deb, berilgan
satrlarni chiziqli kombinasiya koeffisiyentlari deb ataluvchi sonlarga
ko’paytmalarining yig’indisiga aytiladi.
Agar biror satr boshqalarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u
holda berilgan satr bu satrlar orqali chiziqli bog’langan deyiladi. Agar bir xil
uzunlikdagi satrlarning hyech biri qolganlari orqali chiziqli bog’lanishda
bo’lmasa, bunday satrlar chiziqli bog’lanmagan deyiladi.
Masalan, (-1, -7, 5, -3)=2(1, -1, -2, -3)-3 (1, 2, -3, -1) tenglik birinchi satr
qoligan ikki satrning chiziqli kombinasiyasidan iborat ekanligini ko’rsatadi.
D e t e r m i n a n t l a r n i n g a s o s i y x o s s a l a r i
1. Determinantda hamma satrlar mos ustunlar qilib yozilsa, ya’ni
transponirlanganda, determinatning qiymati o’zgarmaydi.
2. Determinantning biror satridagi (yoki biror ustunidagi) barcha elementlar
nolga teng bo’lsa, bunday determinant nolga teng bo’ladi.
3. Determinantda istalgan ikki satrni (yoki ikki ustunni) o’zaro almashtirsak,
determinantning faqat ishorasi o’zgaradi.
4. Ikki satri (yoki ikki ustuni) teng bo’lgan determinant nolga tengdir.
5. Determinantning biror satridagi (yoki ustunidagi) barcha elementlarni
aynan bitta songa ko’paytirilsa, u holda determinant ham shu songa
ko’paytiriladi. Boshqacha aytganda, satrdagi (yoki ustundagi) barcha
elementlarning umumiy ko’paytuvchisini determinant belgisi ostidan
chiqarish mumkin.
6. Biror satridagi barcha elementlari boshqa bir satrining mos elementlariga
proporsional bo’lgan determinant nolga tengdir. Xuddi shunday ustunlar
uchun ham o’rinli.
11

7. Agar determinantni i -chi satridagi barcha elementlar k ta qo’shiluvchidan
iborat bo’lsa, u holda bu determinantni k ta determinantlarning yig’indisi
ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lib, bunda ularning i -chidan farqli
barcha satrlari berilgan deteminantdagidek, i -satri esa birinchi
determinantda birinchi qo’shiluvchilardan ikkinchisida -ikkinchilaridan va
h.k. tuzilgandir. Xuddi shunday, ustunlar uchun ham o’rinlidir. Xususiy
holda bitta satrga boshqa bir satrni (ustunni) qo’shish (yoki undan ayirish)
mumkin.
8. Agar determinantning hyech bo’lmaganda bitta satri boshqa satrlari orqali
chiziqli bog’langan bo’lsa, bu determinant nolga tengdir. Aksincha, agar
n- tartibli (n  2 ) determinant nolga teng bo’lsa, u holda uning hyech
bo’lmaganda bitta satri boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan bo’ladi.
Xuddi shunday ustunlar uchun ham o’rinlidir.
3-m i s o l. Quyidagi ko’paytmalardan qaysi birlari mos tartibli
determinantga kiradi:
a) a
33 a
16 a
72 a
27 a
55 a
61 a
44 ; v) a
27 a
36 a
51 a
74 a
25 a
43 a
62 .
Yechish. a) bu ko’paytma yettinchi tartibli determinantga kiradi, chunki u
har bir satr va har bir ustundan bittadan olib tuzilgan yettita elementning
ko’paytmasidan iborat. Uning ishorasini aniqlash uchun berilgan ko’paytmadagi
indekslardan o’rniga qo’yishni tuzib uning juft-toqligini aniqlaymiz:
.
Dekrement 2 ga teng bo’lganligi sababli, bu o’rniga qo’yish juft, demak,
ko’paytma plyus ishora bilan kiradi.
v) bu ko’paytma birinchi satrdagi elementni saqlamagani uchun
determinantga kirmaydi. ■
4-m i s o l. i va k larni a
47 a
63 a
1 i a
55 a
7 k a
24 a
31 ko’paytma 7-tartibli
determinantga plyus ishorasi bilan kiradigan qilib tanlang.
Yechish. Berilgan ko’paytmaning 7-tartibli determinantga plyus ishorasi
bilan qatnashishi uchun ko’paytuvchilarning indekslaridan tuzilgan
o’rniga qo’yish juft bo’lishi zarur. Bu o’rniga qo’yish
i=6, k=2 bo’lganda juft bo’ladi. Darhaqiqat,
o’rniga qo’yishning dekrementi 4 ga teng
bo’lganligi sababli juftdir. ■
5-m i s o l. n tartibli determinantning birinchi ustunini oxiriga qo’yib,
qolgan ustunlarni esa joylashish tartibini saqlagan holda chap tomonga siljitsak,
determinant qanday o’zgaradi?
Yechish. Agar determinantda birinchi va ikkinchi ustunlarni, so’ng
ikkinchi va uchinchi ustunlarni, va h.k. ( n -1)-chi va n -chi ustunlar o’rinlarini
almashtirib qo’ysak, natijada masala shartidagi almashtirishni hosil qilamiz.
Hammasi bo’lib determinant ustunlarining ( n -1) ta almashtirishini bajargan
bo’lamiz. Demak, determinant (- 1 ) n- 1
ga ko’paytirilgan bo’ladi . ■
12

6-m i s o l. Bosh dioganalga nisbatan simmetrik joylashgan elementlari
qo’shma kompleks sonlardan iborat determinant haqiqiy sondan iboratligini
ko’rsating.
Yechish. Faraz etaylik, determinant d = a + b
i bo’lsin . d da transpozitsiya
bajarib, mos elementlari d determinantning elementlariga qo’shma bo’lgan d 1
determinantni hosil qilamiz. Determinant o’zining elementlari
ko’paytmalarining (ma’lum ishoralar bilan olingan) yig’indisiga teng bo’lganligi
sababli, va bir nechta kompleks sonlarning yig’indisi va ko’paytmasiga qo’shma
bo’lgan kompleks sonlarning xossasiga ko’ra: d 1
= a - b
i bo’ladi. d = d 1
bo’lganligi sababli, a + b
i = a - b
i tenglik bajariladi.
Bundan b = 0 ni va d = a - haqiqiy son ekanligini ko’ramiz. ■
7-m i s o l. Bosh dioganalga nisbatan simmetrik joylashgan elementlari
faqat ishora bilangina farq qilsa, ya’ni barcha i va k larda a
ik =-a
ki shart bajarilsa,
u holda bunday determinant kososimmetrik deyiladi. Toq tartibli kososimmetrik
determinant nolga teng bo’lishini ko’rsating.
Yechish. d determinantning har bir satridan (-1) ko’paytuvchini chiqarsak,
transpozitsiyalashgan d ga teng bo’lgan determinantni hosil qilamiz, ya’ni d =
(-1) n
d . n toq bo’lganligi sababli d = 0 ni hosil qilamiz. ■
8-m i s o l. 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 41 ga bo’linadi.
determinant 41 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Oxirgi ustunga 10000 ga ko’paytirilgan birinchi ustunni, 1000 ga
ko’paytirilgan ikkinchi, 100 ga ko’paytirilgan uchinchi, 10 ga ko’paytirilgan
to’rtinchi ustunni 41 soniga bo’linadigan 24026, 40262, 02624, 26240, 62402
sonlardan tuzilagan determinantni hosil qilamiz. Demak, berilgan determinant
41 ga bo’linadi. ■
n-tartibli (n 2) d determinantning a
ij elementining M
ij minori deb, d
determinantning a
ij elementi turgan satr va ustunni o’chirishdan keyin qolgan n-
1 tartibli determinantga aytiladi.
a
ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deb A
ij = (-1) i+j
M
ij ga aytiladi.
Agar determinantning biror satr (ustun) elementlarini ularning algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytirib yig’sak, shu determinantga teng bo’ladi. Xususiy
holda, agar satrda (yoki ustunda) bitta elementdan boshqa barchasi nolga teng
bo’lsa, u holda determinant shu elementning uni algebraik to’ldiruvchisiga
ko’paytmasiga teng bo’ladi. Masalan,
determinantda a
23 element minori
13

.
ga teng bo’lib, uning algebraik to’ldiruvchisi A
23 = -M
23 .■
9-m i s o l. Determinantni uchinchi satr bo’yicha yoyib, hisoblang.
.
Yechish.
■
10-m i s o l. Determinantni yoymasdan quyidagi ayniyatni isbotlang.
.
Yechish. Chap tomondagi determinantning ikkinchi ustunini yz ga,
uchinchi ustunini xz ga, to’rtinchi ustunini xy ga ko’paytirib, quyidagini hosil
qilamiz:
.
Bu determinantning birinchi satridan xyz ni, ikkinchi satridan x ni,
uchinchidan u ni, 4-dan z ni chiqarsak, o’ng tomondagi determinant hosil
bo’ladi. ■
11-m i s o l. Determinant xossalaridan satr yoki ustun bo’yicha yoyishdan
foydalanib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang:
Yechish. Determinantni birinchi ustun bo’yicha yoysak, quyidagilar hosil
bo’ladi:
14

■
M A S H Q L A R
32. Determinantlarni hisoblang:
; ; ; ;
; .
33 . Determinantlarni hisoblang:
; ; ;
; ; ;
; ;
.
34 . Determinantlarni yoymasdan turib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang:
15

;
;
; .
35 . Quyidagi ko’paytmalardan qaysi birlari mos tartibli determinantlar
yoyilmasiga kiradi:
a) a
43 a
21 a
35 a
12 a
54 ; b) a
61 a
23 a
45 a
36 a
12 a
54 ;
c) a
12 a
23 a
34 ... a
n- 1, n a
kk (1 k  n) ; d) a
12 a
23 ... a
n- 1, n a
n 1 ;
e) a
11 a
2 ,n a
3 ,n-1 ... a
n, 2 ;
f) a
13 a
22 a
31 a
46 a
55 a
64 ... a
3n-2, 3n a
3n- 1 , 3n- 1 a
3n, 3n- 2 .
36 . i va k ni shunday tanlangki, a
62 a
i 5 a
33 a
k 4 a
46 a
21 ko’paytma 6-tartibli
determinantga minus ishorasi bilan qatnashsin.
37 . determinantning x 4
va x 3
ni saqlovchi hadlarni
toping.
, determinantning x 4
, x 3
va x 2
ni saqlovchi hadlarni
toping.
38 . determinantni 4-ustun elementlari bo’yicha yoying;
determinantni 1-ustun elementlari bo’yicha yoying;
determinantni 3-satr elementlari bo’yicha yoying.
39 . Determinantni uni yoymasdan turib hisoblang:
.
16

40 . Determinantning xossalaridan foydalanib (satr va ustun bo’yicha
yoyishni ham hisobga olganda) ayniyatlarni isbotlang:
;
;
;
.
41 . Agar n- tartibli determinantda:
a) har bir elementi ishorasi o’zgartirilsa;
v) har bir elementni yordamchi dioganaliga nisbatan simmetrik bo’lgan
element bilan almashrirsak;
s) har bir elementni «markaz»ga nisbatan simmetrik bo’lgan element bilan
almashtirsak, u holda determinant qanday o’zgaradi?
42 . Agar determinantning
a) ikkinchisidan boshlab har bir ustuniga oldingi ustunni qo’shib borilsa;
v) ikkinchi ustunidan boshlab har bir ustunga oldingi barcha ustunlar
qo’shib borilsa;
s) oxirgisidan boshqa har bir satrdan keyingi satr ayrilib borilsa,
oxirgisidan esa oldingi birinchi satri ayrilsa, determinant qanday o’zgaradi?
43 . 185, 518, 851 sonlari 37 ga bo’linadi. determinant 37 ga
bo’linishini isbotlang.
44 . 20604, 53227, 25755, 20927, 289 sonlari 17 ga bo’linadi.
determinant 17 ga bo’linishini isbotlang.
45 . Determinantni yoymasidan foydalanib, quyidagi determinantlarni
hisoblang:
17

;
; ; .
46 . Determinantlarni hisoblamasdan tenglamalarni yeching:
; ;
.
3-§. Elementar almashtirishlar yordamida determinantlarni hisoblash
n-tartibli determinantni hisoblashni (n- 1 )-tartibli bitta determinantni
hisoblashga olib kelish mumkin.
.
Determinantni hisoblash kerak bo’lsin. Agar birinchi ustunning barcha
elementlari nolga teng bo’lsa, u holda d = 0 (2-xossa) bo’ladi; agar a
11 = 0, lekin
a
k1 0 bo’lsa, u holda 1- va k - satrlar o’rnini almashtirib, yuqori chap
burchakda noldan farqli elementni hosil qilamiz. Demak, umumiylikni saqlagan
holda a
11 0 deb hisoblash mumkin. 2-satrga ga ko’paytirilgan 1-satrni,
3-satrga ga ko’paytirilgan 1-satrni, ..., n -satrga ga ko’payti-rilgan
1-ustunni qo’shamiz. Determinantning qiymati o’zgarmaydi (8-xossa) va
quyidagi ko’rinishni oladi:
18

.
1-m i s o l. determinantni hisoblang.
Yechish.. Determinantda quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:
a) 1-ustun elementlarini 2-ustunning mos elementlariga qo’shamiz;
v) (-2) ga ko’paytirilgan 1-ustun elementlarini 3-ustunning mos
elementlariga qo’shami щ ;
s) (-1) ga ko’paytirilgan 1-ustun elementlarini 4-ustunning mos
elementlariga qo’shamiz.
Natijada determinantning qiymati o’zgarmaydi:
.
Birinchi satrda uchta nol bo’lganligi sababli bu determinantni 1-satr elementlari
bo’yicha yoyish qulaydir. Shunday qilib,
. ■
2-m i s o l. determinantni hisoblang.
Yechish. Har bir keyingi ustundan 1-ustunni ayiramiz.
. ■
M A S H Q L A R

47 . Determinantlarni hisoblang:
; ; ;
; ; ; ;
19

; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
.
§ 4. n -tartibli determinantlarni hisoblash usullari
Sonli determinantlarni hisoblashda qo’llaniladigan ma’lum usullar juda
ko’p hisoblashlarni bajarishni talab qiladi. Harfiy va sonli determinantlarning
ma’lum bir ko’rinishlari uchun ularni hisoblashning ba’zi bir usullari ishlab
chiqilgan.
1. Determinantni uchburchak ko’rinishiga olib kelish usuli
Bu usulning asosiy g’oyasi – dioganaldan bir tomonda turgan barcha
elementlar elementar almashtirishlarni bajarib nolga keltiriladi. Agar bosh
dioganaldan bir tomonda yotgan elementlar nolga teng bo’lsa, bunday
determinant bosh diagonaldagi barcha elementlar ko’paytmasiga teng bo’ladi.
Agar determinantning yordamchi diagonalidan bir tomonda yotgan barcha
20

elementlar nolga teng bo’lsa, u holda bunday determinant ishora bilan
olingan diagonaldagi barcha elementlar ko’paytmasiga teng.
1-m i s o l. n -tartibli determinantni hisoblang:
.
Yechish. Birinchi satrni qolgan satrlariga qo’shib chiqamiz. Natijada bosh
diagonalning pastida turgan barcha elementlari nolga teng bo’lgan determinant
hosil bo’ladi:
.
Demak, ■
2-m i s o l. n -tartibli determinantni hisoblang.
Yechish. Oxirgi ustunga oldingi barcha ustunlarni qo’shamiz:
.
Determinant belgisi ostidan oxirgi ustundagi umumiy ko’paytuvchi -
na + x ni c
hiqaramiz. Oldingi ustunlarning har biridan a ga ko’paytirilgan oxirgi ustunni
ayiramiz. Natijada yordamchi diagonalidan yuqorida turgan barcha elementlari
nollardan iboratbo’lgan uchburchak ko’rinishidagi determinantga kelamiz:
.
Demak,
.■
2. Chiziqli ko’paytuvchilarni ajratish usuli
21

Bu usulning asosiy g’oyasi n -tartibli determinantga bir yoki bir necha
o’zgaruvchilarning m -tartibli ko’phadi sifatida qaraydi. Bevosita yoki ma’lum
almashtirishlarni bajarib determinant bo’linadigan m ta o’zaro tub bo’lgan
chiziqli ko’paytuvchilar topiladi. U holda determinant o’zgarmas ko’paytuvchi S
aniqligida shu chiziqli ko’paytuvchilarning ko’paytmasiga teng bo’ladi.
O’zgarmas S soni mos ravishda determinantning hadi va chiziqli
ko’paytuvchilar ko’paytmasidagi hadini solishtirish natijasida topiladi.
3-m i s o l. n -tartibli determinantni hisoblang.
.
Yechish. Determinantning diagonalidagi elementlari ko’paytmasi x ni eng
katta - ( n – 1 )-darajada saqlaydi. Demak, bu determinant x ning ( n – 1 )
darajali ko’phadidir. x ning x = 2 - a, x = 3 - a, ..., x = n – a qiymatlarida bu
determinantning mos holda 1- va 2-, 1- va 3-, .. , 1- va n -satrlari bir xil bo’ladi
va natijada determinant nolga teng bo’ladi. Shunday qilib, d determinant x + a -
2 , x + a - 3 , ..., x + a – n ga bo’linadi va demak,
d = c ( x + a - 2)( x + a -3 ) ... ( x + a – n ) (*)
c sonni topish uchun bosh diagonaldagi elementlarini ko’paytirishda hosil
bo’lgan x n- 1
hadni (*) ning o’ng tomonidagi c x n- 1
had bilan solishtiramiz. Bu
hadlar teng bo’lishi shartidan s = 1 ni va natijada
d = ( x + a – 2 ) ( x + a – 3 ) ... ( x + a – n ) ni hosil qilamiz. ■
4-m i s o l. determinantni hisoblang.
Yechish. 1-ustunga qolgan ustunlarni qo’shamiz; natijada birinchi
ustunning barcha elementlari ( x – a – b – c ) ga teng bo’ladi. Demak, d
determinant ( x – a – b – c ) ga bo’linadi. Agar 1-ustundan 2-ustunni ayirib, 3-
ustunni qo’shib va 4-ustunni ayirsak, u holda 1-ustunning barcha elementlari ±1
aniqligida x + a - b + c ga teng bo’ladi. Demak, d determinant x + a – b + c ga
bo’linadi. Agar 1-ustundan 2- va 3-ustunlarni ayirsak, va 4-us-tunni qo’shsak, u
holda ±1 aniqligida 1-ustun elementlari x + a + b - c ga teng bo’ladi, demak, d
determinant x + a + b - c ga bo’linadi. Natijada
d = m ( x – a – b – c ) ( x + a – b + c ) ( x – a + b + c ) ( x + a + b - c) ga ega
bo’lamiz. Bu ifodada m soni x, a, b, c sonlardan bog’liq emas. m sonini
aniqlash uchun d determinantning bosh diagonali elementlarni ko’paytirishdan
ho
sil bo’ladigan x 4
hadni o’ng tomonda hosil bo’ladigan mx 4
bilan solishtirib, m =
1 ni hosil qilamiz. Shunday qilib,
d = ( x – a – b – c ) ( x + a – b + c ) ( x – a + b + c ) ( x + a + b –c ) . ■
22

3. Rekurrent munosabatlar usuli
Bu usulda berilgan determinant xuddi shu ko’rinishdagi tartibi kichik
bo’lgan bitta yoki bir nechta determinantlarga keltiriladi. Buning uchun
determinant biror satr yoki ustun bo’yicha yoyiladi. Ba’zi hollarda ma’lum
almashtirishlar bajarib determinant qulay ko’rinishga keltiriladi va so’ng satr
yoki ustun bo’yicha yoyiladi. Determinantni xuddi shu ko’rinishla pastki tartibli
bitta yoki bir nechta determinant orqali ifodalovchi tenglikka rekurrent yoki
qaytish munosibatlari deyiladi. Rekurrent munosibatdan matematik induksiya
usulidan foydalanib berilgan determinantning umumiy ifodasi keltirib
chiqariladi.
Bu usul quyidagi o’zgartirilgan shaklda ham qo’llanilishi mumkin: n -
tartibli determinantlar orqali ifodalovchi rekurrent munosibatda, shu rekurrent
munosibatdagi n ni ( n – 1) bilan almashtirgandagi ifodasi keltirib qo’yiladi;
xuddi shunday ( n – 2 )-tartibli ifodasi va h.k. qo’yib chiqiladi. Natijada n -
tartibli determinantning umumiy ko’rinishi hosil bo’ladi. Bu ifodalashning
to’g’riligi matematik induksiya usuli yordamida tekshirib ko’riladi.
5-m i s o l. ( n + 1)-tartibli
determinantni hisoblang.
Yechish. d
n+1 ni oxirgi satr bo’yicha yoyib chiqamiz.
.
O’ng tomondagi 1-determinant uchburchak shakliga ega. 2-determinant
berilgan d
n+ 1 determinant ko’rinishiga ega bo’lib, tartibi n -ga teng va a
n ni
saqlamaydi. Natijada d
n+1 = a
n + x d
n (1) rekurrent munosabat hosil bo’ladi.
d
n+ 1 determinantning umumiy ko’rinishini keltirib chiqarish uchun d
1 va d
2
larni qaraymiz:
.
d
1 - x ga nisbatan nolinchi darajali, koeffisiyenti a
0 ga teng bo’lgan
ko’phad, d
2 - birinchi darajali, koeffisiyenti a
0 va a
1 ga teng bo’lgan ko’phad.
d
n+ 1 uchun xuddi shu kabi: munosabat o’rinli
ekanligini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, o’rinli bo’lsin. d
n ning bu
ifodasini (1) ga qo’ysak, hosil bo’ladi. ■
23

6-m i s o l. n -tartibli
determinantni hisoblang.
Yechish. d
n ni 1-ustun bo’yicha yoyamiz.
O’ng tomondagi ikkinchi determinantni birinchi satri bo’yicha yoyamiz.
Natijada rekurrent munosabat hosil bo’ladi. Bunda
ni 1 + cos bilan almashtirib,
(2)
ga kelamiz. (2) rekurrent munosabatda n ni n -1 bilan almashtiramiz. U holda
ga teng bo’ladi. d
n- 1 ning bu ifodasini (2) ga
qo’ysak,
(3)
ga ega bo’lamiz. (2) da n ni n -2 bilan almashtirib,
va uni (3) ga qo’yib,
ifodani topamiz va
h.k.
,

24

ifodasini va natijada ni hosil qilamiz. d
n ning bu ifodasini
matematik induksiya usuli yordamida tekshiramiz.
Rekurrent munosabatlar usuli determinantning umumiy ko’rinishidagi
qonuniyatni topish talab etadi. Bu usulning qiyinchiligi ham shunda.
, (4)
ko’rinishdagi rekurrent munosibatni qanoatlantiruvchi determinantlarni
o’rganish bilan chegaralanamiz. (4) dagi p va q lar n dan bog’liq bo’lmagan
o’zgarmas kattaliklar.
q = 0 bo’lganda, d
n geometrik progressiyasining hadini hisoblagan kabi
hisoblanadi: , bunda d
1 - 1-tartibli determinant, ya’ni d
n ning chap
yuqori burchagida turgan element.
q  0 bo’lsin.  ,  -lar kvadrat tenglamaning ildizlari
bo’lsin. U holda bo’lib, (4) tenglikni quyidagi ikki xil
ko’rinishda yozish mumkin:
, (5)
, (6)
bo’lsin. Geometrik progressiyaning ( n -1)-hadini topish
formulasidan (5) va (6) larga ko’ra va
, bundan esa, yoki
, bunda
, (7)
ni hosil qilamiz. d
n
ning bu ifodasi n > 2 uchun hosil qilingan bo’lib, n= 1 va
n= 2 lar uchun bevosita tekshiriladi. c
1 va c
2 larning (7) munosibatdan emas,
balki boshlang’ich shartlardan topish mumkin.
bo’lsin. (5) va (6) tengliklar bitta
tenglikka aylanadi. Bundan
, (8)
25

hosil qilamiz. Bunda .
(8) da n ni n- 1 bilan almashtirib, ni, va undan esa
ni hosil qilamiz. Bu ifodani (5) tenglikka qo’yib:
ni topamiz. Bu usulni bir necha marta qo’llab,
yoki , bunda , (
bo’lganligi uchun ) ni hosil qilamiz. ■
7-m i s o l. n -tartibli determinantni
hisoblang.
Yechish. Birinchi satr bo’yicha yoyib, ni hosil qilamiz.
Bu rekurrent munosabatga muvofiq keluvchi kvadrat tenglama
ildizlarga ega. Demak, . c
1 va c
2 koeffisiyentlarni
, formulalardan topamiz. bo’lganligidan c
1 =-3,
c
2 =4 bo’ladi. Demak, bo’ladi. ■
4. Determinantni determinantlar yig’indisiga yoyish usuli
Ba’zida n -tartibli harfli determinantni ikki yoki bir nechta
determinantlarning yig’indisi ko’rinishida ifodalash orqali oson yo’l bilan
hisoblash mumkin.
8-m i s o l. n -tartibli determinantni
hisoblang.
Yechish. Determinantni birinchi ustun bo’yicha yoyamiz:
26

Ikkita determinant ham uchburchak ko’rinishiga ega. ■
9-m i s o l. n -tartibli determinantni
hisoblang.
Yechish. Berilgan determinantni:
ko’rinishda yozamiz.
Determinantning har bir ustun elementini ikkita qo’shiluvchining
yig’indisi ko’rinishida ifodalab, determinantning ma’lum xossasiga ko’ra d ni
n -tartibli 2 n
ta determinantlar yig’indisiga yoyish mumkin. Bunda hosil bo’lgan
determinantlarning ba’zilarida bir xil ustunlar hosil bo’ladi va bunday
determinantlarlar qiymati nolga teng bo’lganligi sababli ularni tashlab,
qolganlarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(bunda a
i lar i -ustunda).
determinantni oxirgi ustun bo’yicha yoyib, hosil
bo’lgan ( n -1)–tartibli determinant yana oxirgi ustun bo’yicha yoyib va h.k.
27

oxirgi ustuni a
i larga teng bo’lgan uchburchak ko’rinishidagi i -tartibli
determinant hosil bo’lguncha qadar davom ettiramiz. Natijada
.
n -tartibli x n
ga teng bo’lganligi sababli quyidagi ifodani
hosil qilamiz: .■
5. Determinantning elementlarini o’zgartirish usuli
Bu usulda determinantning barcha elementlarini bitta songa o’zgartirish
yo’li bilan barcha elementlarning algebraik to’ldiruv-chilarini hisoblash qulay
bo’lgan holga keltiriladi. Bu usul quyidagi xossaga asoslangandir: agar d
determinantning barcha elementlariga aynan bitta x sonini qo’shsak, u holda,
determinant x sonini d .
bo’lsin.
ni 1-satrga nisbatan ikkita determinantga, ularning har birini esa 2-satrga
nisbatan ikkitadan determinantlarga va h.k. yozamiz. Barcha elementlari x ga
teng bo’lgan satrlari bittadan ko’p bo’lgan determinantlar nolga teng,
elementlari x ga teng bo’lgan satrlar soni bitta bo’lgan determinantlarni shu satr
bo’yicha yoyamiz. U holda isbot qilinishi kerak bo’lgan
tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, d ’
determinantni hisoblash d
determinantni va uning algebraik to’ldiruvchilari yig’indisini hisoblashga olib
kelinadi.
28

10-m i s o l. n -tartibli determinantni
hisoblang.
Yechish. Bosh diagonalda yotmagan elementlarning algebraik
to’ldiruvchilari nolga teng, bosh diagonaldagi elementlarniki esa bosh
diagonaldagi boshqa elementlarning ko’paytmasiga teng. Shuning uchun,
6. n-tartibli determinantni Vandermond determinantiga olib kelib
hisoblash
Vandermond determinanti deb,
ko’rinishidagi determinantga aytiladi.
U quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
Ba’zi determinantlarni Vandermond determinantiga olib kelish yo’li bilan
hisoblash mumkin.
11-m i s o l. Vandermond determinantiga keltirish yo’li bilan
determinantni hisoblang.
29

.
Yechish. Determinant belgisi ostidan ko’paytuvchilarni
mos ravishda birinchi, ... , ( n +1)-satrlardan chiqaramiz. Natijada Vandermond
determinantini hosil qilamiz:
■
12-m i s o l. Vandermond determinantiga
ko’rinishdagi determinantni ham keltirish mumkin.
elementlarning n-p tadan olingan barcha ko’paytmalaridan
tuzilgan yig’indini s
n-p bilan, d
n bilan shu elementlardan tuzilgan Vandermond
determinantini belgilasak, tenglik o’rinlidir.
M A S H Q L A R
Determinantinng tartibi aniq bo’lmagan holda, uning tartibi n -ga teng deb
qaraladi.
48 . Quyidagi determinantlarni uchburchak ko’rinishiga keltirib yeching:
30

a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ; f) .
49 . Elementlari shart bilan aniqlangan n -tartibli
determinantni hisoblang.
50 . Elementlari shart bilan aniqlangan n -tartibli
determinantni hisoblang.
51 *
. Elementlari shart bilan aniqlangan n -tartibli determinantni
hisoblang.
52 . Determinantlarni chiziqli ko’paytuvchilarni ajratish usuli bilan
hisoblang:
a) ; b) ;
c) ; d) *
.
53 . Rekurrent munosibatlar usuli bo’yicha determinantlarni hisoblang.
31

a) ; b) ; c)
;
d) ; ye)
;
f) ;
g)
54 . Determinantlarni determinantlar summasi ko’rinishida ifodalab,
hisoblang:
a) *
; b) *
;
32

c) .
55 . Determinantlarni Vandermond determinantiga keltirib hisoblang:
a) ; b) ;
c) *
;
d) *
; e) .
§5. Minorlar va ularning algebraik to’ldiruvchilari.
Laplas teoremasi
n-tartibli d determinantning k-tartibli ( 1 ≤ k ≤ n ) minori deb d
determinantning k ta ixtiyoriy satrlari va k ta ixtiyoriy ustunlarning kesishgan
joyida turgan elementlardan tuzilgan M determinantga aytiladi. Xususiy holda
d ning n -tartibli minori d ning o’ziga teng. Nolinchi tartibli minor ta’rifiga
ko’ra 1 ga teng deb qabul qilinadi. d determinantning M minorida turgan k
ta satr va k ta ustunlarni o’chirish natijasida hosil bo’lgan minorga d
determinantning M minorining to’ldiruvchi minori deyiladi. d determinantning
M minorining algebraik to’ldiruvchisi deb, M minor turgan satr va ustun
nomerlari yig’indisi juft bo’lganda plyus ishora bilan toq bo’lganda minus ishora
bilan olinadigan to’ldiruvchi minorga aytiladi.
33

Laplas teoremasi. d determinantning qandaydir k -ta satri (yoki qandaydir
k ta ustuni) tanlangan bo’lsin. n ( 1 ≤ k ≤ n – 1 ). Agar shu satrlarda (yoki
ustunlarda) joylashgan barcha k -tartibli minorlarni ularning algebraik
to’ldiruvchilariga mos ravishda ko’paytirib, bu ko’paytmalar qo’shilsa, d
determinant hosil bo’ladi.
1-m i s o l. Determinantni hisoblang: .
Yechish. Ikkinchi va beshinchi satrlardagi ikkinchi tartibli o’nta
minorlardan faqat uchtasi noldan farqli. Shu satrlar bo’yicha yoyamiz:
■
Xususiy holda, agar d determinantning bosh diagonalini umumiy
elementlarga ega bo’lmagan kvadrat matritsalar yordamida qoplash mumkin
bo’lib, ularning determinantlari d
1 va d
2 bo’lsa, va ularning bir tomonida hamma
elementlar nolga teng bo’lsa, u holda d = d
1 d
2 bo’ladi.
2-m i s o l. ■
Zinapoyali determinantlar deb ataluvchi umumiy holda, ya’ni d
determinantning bosh diagonalida determinantlari d
1 , d
2 , ..., d
k , ga teng bo’lgan
kvadrat matritsalar ketma-ket turgan bo’lib, bu ketma-ket matritsalar bir
tomonidagi barcha elementlar nolga teng bo’lsa, u holda d = d
1 ∙ d
2 ∙ ∙ ∙ d
k
bo’ladi.
3-m i s o l.
34

■
Ba’zi hollarda avval determinantda almashtirishlar bajarib, so’ng Laplas
teoremasini qo’llash qulaydir.
4-m i s o l. Determinantni hisoblang:
.
Yechish. Ikkinchi satrdan ikkilangan birinchi satrni ayiramiz, uchinchi
satrga ikkilangan to’rtinchi satrni qo’shamiz. Natijada,
ni hosil qilamiz.
Determinantni ikkinchi va uchinchi satrlar bo’yicha yoyib, quyidagini
hosil qilamiz:
■
M A S H Q L A R
56 . Laplas teoremasidan foydalanib, quyidagi determinantlarni hisoblang:
a) ; b ) ; c ) ;
35

d) ; e) ; f) ;
g) ; h) ; i)
;
j) ; k) ; l) ;
m) ; n) .
57 . Quyidagi determinantlarni avval almashtirishlar bajarib
soddalashtiring, so’ng Laplas teoremasidan foydalanib hisoblang:
a) ; b ) ; c )
;
36

d) ; e) ;
f) *
; g) ;
h ) ; i ) ;
j) .
(determinant tartibi 2 n ga teng ).
58 . matritsani mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi
va to’rtinchi ustunlarni o’chirish natijasida hosil bo’lgan uchinchi tartibli
determinantlarni A, B, C, D- lar bilan belgilaymiz. U holda
ekanligini isbotlang.
§ 6. Determinantlarni ko’paytirish
Bir xil n- tartibli va determinantlarning
ko’paytmasi deb, xuddi shu tartibli va barcha elementlari quyidagi to’rtta
formulalarning
1) ;
37

2) ;
3)
4)
biri orqali hisoblanadigan determinantga yatiladi. Birinchi holda
c
ij element detA determinantning i -satri elementlarini mos ravishda det B
determinantning j -satri elementlariga ko’paytirib, hosil bo’lgan ko’paytmalarni
qo’shish natijasida hosil qilinadi. Bu holda ko’paytma birinchi determinant
satrlarini ikkinchi determinant satrlariga ko’paytirishdan, ikkinchi holda satrlarni
ustunlarga ko’paytirishdan, uchinchi holda ustunlarni satrlarga, to’rtinchisida
ustunlarni ustunlarga ko’paytirishdan hosil qilingan deyiladi. Bu to’rt holda
detC=detA detB ning c
ij elementlari har xil bo’lgani bilan detC
determinantning qiymati bir xildir.
1-m i s o l .
determinantlarni to’rt xil usulda ko’apytiring va barcha xollarda hosil bo’lgan
qiymatlar berilgan determinantlar qiymatlarining ko’paytmasiga teng ekanligiga
ishonch hosil qiling.
Yechish.
1) 2)
3) 4)
d
1 = - 36, d
2 = 2 Demak, d
1 d
2 = - 72. . ■
38

2-m i s o l.
determinantni hisoblang.
Yechish. determinantni satrni satrga ko’paytirish yo’li bilan kvadratga
ko’taramiz. Natijada, bosh diagonalda bir xil ifoda , bosh
diagonaldan tashqarida esa nollar hosil bo’lishini ko’ramiz. Shu sababli =
bo’ladi. ning bosh diagonali a ga teng ko’paytmani
saqlagani sababli, oxirgi tenglikning har ikkala tomonidan plyus ishorali ildiz
chiqarish mumkin, shu sababli = .■
3-m i s o l.
= determinantni hisoblang.
Bunda x x …, x (xususiy holda, s
=n ) o’zgaruvchilarning darajali yig’indisidir.
Yechish. Vandermond determinanti
V
n =
Ni o’zini o’ziga ustunlarni ustunlarga ko’paytirish yo’li bilan ko’paytirib va V
(4- § , 6 -bandini qarang) ning ifodasidan foydalanib, ni
hosil qilamiz. ¼¼ ■
4-m i s o l. berilgan.
39

 determinantni  determinantga ko’paytirish orqali  determinantni
hisoblang.
Yechish.  determinantni  determinantga satrlarni satrga ko’paytirish
yo’li bilan ko’paytiramiz
.
= 1 bo’lganligi sababli  =24 ekanligini hosil qilamiz. ■
M A S H Q L A R
59 .
 determinantni  determinantga ko’paytirish orqali toping:
a) , ;
b) , .
60 . Determinantlarning kvadratlarini toping:
a) ; b) .
61 . Determinantni kvadratga ko’tarish yo’li bilan hisoblang:
.
62 . Quyidagi determinantlarni determinantlar ko’paytmasi ko’rinishida
ifodalash yo’li bilan hisoblang:
40

a) *
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) *
;
f) *
, bunda
63 *
. Agar f(x)=a
1 + a
2 x + a
3 x 2
+ … + a
n , - lar birning n -
darajali ildizlarining barchasi bo’lsa, u holda sirkulyantning qiymatlari:
= . . . tenglik yordamida
aniqlanishini isbotlang.
64 . Oldingi masaladagi belgilashlarda
41

= tenglik
o’rinli ekanligini isbotlang.
65 *
. Quyidagi ikki determinantni
ko’paytirib, Eyler ayniyati:
ni isbotlang. Butun sonlarning qanday xossasi bu tenglikdan kelib chiqadi?
66 *
. Quyidagi ayniyatni determinantlarning ko’paytmasi yordamida
isbotlang: ,
bunda
Butun sonlarning qanday xossasi bu tenglikdan kelib chiqadi?
67 *
. Oldingi masala belgilashlaridan foydalanib, quyidagi ayniyatni
isbotlang:
68 *
. n > 1 tartibli d determinantning barcha elementlarini ularning
algebraik to’ldiruvchilari bilan almashtirishdan hosil bo’lgan d '
determinantga
o’zaro determinant deyiladi. ekanligini isbtolang.
69 *
. M – d determinantning m- tartibli minori , A – M ning algebraik
to’ldiruvchisi , - M ga mos keluvchi o’zaro determinantning minori
(ya’ni d determinantning M minorga kirgan elementlarini ularning
algebraik to’ldiruvchilari bilan almashtirishdan hosil bo’lgan) bo’lsin.
U holda = d m- 1
A tenglikni isbotlang .
42

70 *
. d determinantning i -chi va j -chi satrlarini, k -chi va l -chi ustunlarini
o’chirishdan keyin hosil bo’lgan ( n – 2)-tartibli minorini C bilan, (bunda i<j va
k<l ), a
pq elementning algebraik to’ldiruvchisini A
pq bilan belgilaymiz.
ekanligini isbotlang.
71 *
. Agar d determinant nolga teng bo’lsa, u holda o’zaro determinantning
barcha satrlari (hamda barcha ustunlari) o’zaro proporsional ekanligini
isbotlang..
72 *
. Agar a
ij – n- tartibli d determinantning elementi,
ij - d
determinantga o’zaro bo’lgan d '
determinantning A
ij elementiga mos keluvchi
algebraik to’ldiruvchisi bo’lsa, u holda
ij = d n- 2
a
ij ekanligini isbotlang.
73 *
. Agar M – n- tartibli d determinatning m- tartibli минори ,
-
o’zaro determinantning M ga mos keluvchi minori, - minorning
algebraik to’ldiruvchisi bo’lsa, u holda = d n-m-1
M ekanligini isbotlang.
74 *
. Noldan farqli d determinantning barcha elementlarining minorlarini
bilgan holda, uning elementlarini toping.
75 *
. Determinantlarni ko’paytirish yordamida satrlar (yoki ustunlar)
o’rnini almashtirganda determinantning ishorasi o’zga-rishini isbotlang.
76 *
. Determinantlarni ko’paytrish yordamida biror satrga (ustunga) c
songa ko’paytirilgan boshqa satrni (ustunni) qo’shganda o’zgarmasligini
isbotlang.
J A V O B L A R
III - BOB. D E T E R M I N A N T L A R
1 . a) (10,8), (1,9), (2,5), (1,10), (7,10), (7,4), (2,3), (3,6), (4,6);
b) (2,2 n ), (4,2 n -2),.., hosil bo’lgunga qadar (2 n , 2 n –2 ,.., 2,1,3,..,2 n –1)
transpozisiyalar bajarish lozim. So’ngra 2 n –1 soni 2 n va 2 n – 2 orasiga
joylashguncha qadar o’zidan oldingi sonlar bilan transponirlanadi. Xuddi
shunday 2 n – 3 uchun va h. k.
2 . i = 8; k = 3.
3 . 10.
43

4 . a) n ( n+ 1) inversiyalar. Faqat n = 4 k va n = 4 k + 3 larda
inversiyalar soni juft;
b) n ( n– 1) inversiyalar, faqat n = 4 k va n = 4 k + 1 larda inversiyalar
soni juft;
c) Inversiyalar soni n 2
, faqat n juft bo’lganda juft bo’ladi;
d) Inversiyalar soni n ( n– 1) , faqat n = 4 k va n = 4 k + 1 bo’lganda juft
bo’ladi;
e) Inversiyalar soni n (3 n+ 1) , faqat ixtiyoriy n larda juft bo’ladi ;
f) Inversiyalar osni 3 n ( n – 1) , faqat ixtiyoriy n larda juft bo’ladi;
g) Inversiyalar soni n (5 n+ 1) , istalgan n larda juft bo’ladi;
5 . k– 1 .
6 . n-k.
7 .
8 . n = 4 k, 4 k + 1 larda bir xil, n = 4 k + 2 , 4 k + 3 larda har xildir. Bunda k
– ixtiyoriy butun nomanfiy son.
9 . Inversiyalar soni  1 ga o’zgaradi.
10 . .
11 . n! Ko’rsatma. Oldingi masaladan foydalaning.
12 . Ko’rsatma. Ketma-ket o’zaro qo’shni transpozisiyalarni bajarib 1 ni
birinchi o’ringa, 2 ni ikkinchi o’ringa va h.k. keltiring. Bitta qo’shni
transpozisiyani bajarish inversiyalar sonini bittaga o’zgartiradi.
13 . Ko’rsatma. (1, 2 ,..., n ) o’rin almashtirishdan boshlab quyidagi
transpozisiyalardan tuzilgan o’rin almashtirishlar qaralsin: avval 1 ni o’ngda
turgan har bir son bilan o’rin almashtirib oxirgi o’ringa keltiriladi, so’ng ikkini
xuddi shu turgan joyga keltiramiz va h.k. n, n – 1 ,.., 2, 1 o’rin almashtirishga
kelguncha davom ettiriladi.
14 . Ko’rsatma . ( A ii
1 .. i
m j B ) o’rin almashtirishda ( i, j ) transpozisiya
bajarilgan bo’lsin. Agar j bilan inversiya tashkil qiluvchi i
1 ,
i
2 ,.., i
m lar sonini r
bilan belgilansa, u holda agar i<j faqat p + q = m bo’lganda inversiyalar bittaga
ko’payadi, faqat p + q = m + 1 bo’lganda 1 taga kamayadi. i>j da p+ q=m- 1
dagina inversiyalar soni 1 taga ko’payadi, p + q = m bo’lgandagina 1 taga
kamayadi.
15. a) va f) o’rniga qo’yishlar emas.
16. a) (1) (278) (345) (6), juft o’rniga qo’yish;
b) (18) (27) (36) (45) (9), juft o’rniga qo’yish;
c) (13) (2) (46) (15)..(3 n – 2, 3 n )(3 n –1). Dekrement n ga teng. Œrniga
qo’yishning juftligi n ning juftligi bilan bir xildir;
44

d) (1, k + 1, 2 k + 1,..., nk + 1 ) (2, k + 2, 2 k + 2,...., nk - k + 2)...( k , 2 k , 3 k
,..., nk ). Dekrement nk - k ga teng. Juft k larda va toq k va n larda o’rniga
qo’yish juft. k toq n esa juft bo’lganda esa o’rniga qo’yish toq.
17. a) ; b) 





4 6 15 3 2
6 5 4 3 2 1 ; c) ; d)
18. a) ; b) ; c) ;
d) ; e) .
19 . (

1 ,..., 
n ) . 20 . a) i =8, k =5; b) i =5, k =8. 23 . A .
24 . A n
= . 25 . x = .
28 . Ko’rsatma. O’rniga qo’yishning birinchi satridagi sonlarni o’sib
borish tartibida joylashtirib, so’ng ayniy o’rniga qo’yishdan ikkinchi satrda bir
qator transpozisiyalar bajarib berilgan o’rniga qo’yishga o’tish lozim.
29 . Ko’rsatma. O’rniga qo’yishni dekrement soniga teng miqdordagi
transpozisiyalar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalashda berilgan o’ringa qo’yishni
bitta siklga kiruvchi sonlar transpozisiyasiga ko’paytirish va 27 masaladan
foydalanish lozim. Transpozisiyalar sonining minimalligini isbotlash uchun bitta
transpozisiyaga ko’paytirishda dekrement bittadan ko’pga oshmasligini
e’tiborga olish lozim.
30 . Yechish. Agar X – S bilan o’rin almashinuvchi, ya’ni SX=XS shartni
qanoatlantiruvchi o’rniga qo’yish bo’lsa, X - 1
SX = S. S ni S = (12)(34)=
X - 1
(12) XX - 1
(34) X sikllarga yoyamiz. Bevosita hisoblash bilan X - 1
(12) X —
uzunligi ikkiga teng bo’lgan (12) siklda 1 va 2 ni X o’rniga ularga keluvchi
sonlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan sikl bo’ladi. Bu (34) sikl uchun ham
o’rinlidir. Shunday qilib, X o’rniga qo’yish S dagi sikllarni xuddi shu
uzunlikdagi sikllarga o’tkazadi, S ni sikllarga yoyilmasining yagonaligiga ko’ra
esa, sikllar yoki o’ziga, yoki biri boshqasiga o’tadi. Uzunligi 2 ga teng bo’lgan
har bir siklni ikki xil yo’l bilan: (12) = (21), (34) = (43) yozish mumkin
bo’lganligi sababli, S bilan o’rin almashinuvchi o’rniga qo’yishlar
quyidagilardir:
, , , ,
, , , .
31 . , , ,
, , .
32 . a) -1; b) 0; s) sin(  -  ); d) 0; e) 0; f) a 2
+ b 2
+ c 2
+ d 2
.
33 . a) -50; b) 16; c) 0; d) 3abc - a 3
- b 3
- c 3
; e) 0;
f) sin(  -  ) + sin(  -  ) + sin(  -  ); g) –2; h) 0; i) 3i .
45

34 . s) Ko’rsatma . Tenglikning chap tomonida turgan determinantning
uchinchi ustunini a + b + c ga ko’paytirib, ab + bc + ca ga ko’paytirilgan
birinchi ustun ayriladi.
35 . a) minus ishora bilan kiradi; v) plyus ishora bilan kiradi; s)
determinantning hadi emas; d) (- 1 ) n- 1
ishora bilan kiradi; e) (-1) (n- 1 ) (n- 2 )/2 ;
ishora
bilan kiradi; f) (- 1 ) 3n
= (- 1 ) n
ishora bilan kiradi.
36 . i =5, k =1. 37 . a) 10 x 4
, - 2 x 2
, - 3 x 3
; b) x 4
, x 2
,6 x 2
,2 x 2
.
38 . a) 4a – c – d ; b) 2a + b – c – d ; c) -5a – 5b – 5c – 5d .
39 . 0.
41. a ) (- 1) n
ga ko’paytiriladi; b ) o’zgarmaydi. Ko’rsatma: almashtirishni
o’rta chiziqlarga nisbatan gorizontal va vertikal ikkita simmetriya bilan, hamda
bosh diagonalga nisbatansimmetriya bilan almashtirish mumkin ; c) o’zgarmaydi.
42 . a) o’zgarmaydi. b) o’zgarmaydi; c) nolga aylanadi.
45 . a) a
11 a
22 ...a
nn ; b) a
1 n a
2 ,n- 1 ...a
n1 ; c) ab cd; d) ab cd ; e) 0.
46 . a) x =a
1 ,..., x = a
n- 1 . x = a
i da ikkita satr ustma-ust tushadi;
b) –1, -2,..., - n +1; c) a
1 a
2 , ...,a
n- 1 .
47 . a) –252; b) –3; c) –3; d) –65; e) –1455; f) 8; g) 900; h)-74; i) 54; j) 2:
k) 0; l) 394; m) 39; n) 1875; o) –8204; p) ; q) ; r) 1/35. Ko’rsatma.
Har bir satr elementlarini umumiy maxradga keltirish va uni determinant
belgisidan tashqari chiqarish lozim;
s) ( + -5); t) 2( + - ) 2
.
48 . a) n ; b) x
1 (x
2 - a
12 ) (x
3 - a
23 ) ... ( x
n - a
n-1,n ) ;
c)
b
1 b
2 ...b
n ; d) 2n + 1 ; e) ( a
0 + a
1 +a
2 +...+ a
n ) x n
;
f) x
1 x
2 ...x
n ( a
1 / x
1 + a
2 / x
2 +...+ a
n / x
n ).
Ko’rsatma. Determinantning i- ustunidan x
i ni chiqarish va har bir ustunga
barcha keyingi ustunlarni qo’yish lozim.
49 . 1.
50 . n(- 1 ) n- 1
.
51. (- 1 ) n- 1
(n- 1 )2 n- 2
. Ko’rsatma. Har bir satrdan oldingi satr ayrilib, so’ng
oxirgi ustun qolganlarga qo’shiladi.
46

52 . a) (- 1 ) n
(x- 1 )(x- 2 )...(x-n) ; b) a
0 (x-a
1 )(x-a
2 )...(x-a
n ); c) (x 2
- 1 )(x 2
- 4 );
d) x 2
z 2
. Ko’rsatma. Birinchi ikki satr va birinchi ikki ustunlarni o’rnini
almashtirib, determinantda x ni (-x) ga almashtirganda uning o’zgarmasligi
isbotlanadi. da determinant nolga aylanishini tekshirish va uni x 2
ga
bo’linishini isbotlash lozim. Xuddi shu mulohazalarni z uchun ham o’tkazish
kerak.
53 . a) n +1; b) 2 n +1
-1; c) ; d) 9-2 n +1
; e) 5·2 n -1
-4·3 n -1
;
f) da ; da ; g)
54 . a) ( x
1 - a
1 )( x
2 - a
2 )...( x
n - a
n )(1+ a
1 / (x
1 - a
1 )+ a
2 / (x
2 - a
2 )+... .+
+ a
n / (x
n - a
n ). Ko’rsatma. x
i =(x
i a
i )+ a
i deb olish kerak;
b) ( a
1 -x
1 )( a
2 -x
2 )..( a
n -x
n )- a
1 a
2 ...a
n . Ko’rsatma. Yuqori chap burchakda 0=1-
1 deb qabul qilish va determinantni birinchi satrga nisbatan yi ђ indisi ko’rinishija
ifodalash lozim.
s)( x
1 -a
1 b
1 ) ( x
2 -a
2 b
2 )...( x
n -a
n b
n )( 1 +(a
1 b
1 )
/x
1 + (a
2 b
2 )/ x
2 +....+ (a
n b
n )
/x
n ).
55 . a) x
1 x
2 ...x
n ; b) ;
c) . Ko’rsatma. Ikkinchi satrdan birinchi satr, uchinchisidan
almashtirish bajarilgan ikkinchi satr ayriladi va h.k. ;
d) . . Ko’rsatma. Birinchi ustun
elementlarini ( x
1 -1)+1,0+1,...,0+1 yi ђ indi ko’rinishida ifodalash va berilgan
determinantni determinantlar yi ђ indisi ko’rinishida yoyish mumkin;
ye) .
56 . a) 216; b) 1; c) –106; d) 120; e) –11; f) –2; g) 1; h) 15;
i) –( ayz+bxz+cxy ); j)-( aa 1
+bb 1
+cc 1
);
l) ;
m) ; n) .
47

57 . a) –12; b)16; c) 1; d) –400: e) –36; f) 0. Ko’rsatma. Ikkinchi,
uchinchi, to’rtinchi satrlardan birinchi satr ayriladi; g) -84; h) 81; i) 14;
j) (-1) n
( nx +1) x n .

58 . a) 18; b) ( a+b+c+d )( a+b-c-d )( a-b+c-d )( a-b-c+d ).
59 . a) 256; b) 78400.
60 . ( a 2
+b 2
+c 2
+d 2
+e 2
+f 2
+g 2
+h 2
) 4
.
61 . a) n > 2 da 0; n = 2 da ( x
2 -x
1 )( y
2 -y
1 ).
K o’rsatma. va
determinantlarni ko’paytma ko’rinishida
ifodalash kerak;
b) agar bo’lsa, 0, agar n +2 bo’lsa, ;
c) agar n >2 bo’lsa, 0, agar n= 2 bo’lsa, ;
d) agar bo’lsa, 0, agar n= 2 bo’lsa, ;
e) . K o’rsatma.. i -chi satr va k -chi ustunda joylashgan
elementni quyidagi ko’rinishda yozing ; f) .
K o’rsatma.. Satrlarni satrlarga ko’paytirish yo’li bilan quyidagi determinantlar
ko’paytmasi ko’rinishida yozing:
va
.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.
2. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
3. Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
4. Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
48

5. Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vysshey algebre.
M., Nauka, 1977.
6. Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M., Nauka,
1985.
7. Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent,
«O’zbekiston», 2001.
8. Narzullayev U.X., Soleyev A.S. Algebra i teoriya chisel. I - II chast,
Samarkand, 2002.
Mundarija
1-§. O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar
2-§. Determinantning ta’rifi va asosiy xossalari
3-§. Elementar almashtirishlar yordamida determinantlarni
hisoblash
4-§. n -tartibli determinantlarni hisoblash usullari
5-§. Minorlar va ularning algebraik to’ldiruvchilari.
Laplas teoremasi
6-§. Determinantlarni ko’paytirish
49

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Algebra va geometriya kafedrasi Determinantlar nazariyasi «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar « 5 460100 MATEMATIKA » ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun (Uslubiy qo‘llanma) SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan 2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan. 1

Samarqand – 2011 Determinantlar nazariyasi. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 56 bet. Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha «5460100 – matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik mantiq, Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, determinantlar nazariyasi ning usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Bular talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi degan umiddamiz . Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Nosirova H.N. Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori, professor Ikromov I.A. fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Yaxshiboyev M.Y. 2

Tayanch iboralar: o’rin almashtirishlar; tartib; juft va toq o’rin almashtirishlar; inversiya; transpozitsiya; dekrement; sikl; siklning uzunligi; matritsa; bosh diagonal; Vandermont determinanti; minor; Laplas teoremasi; algebraik to’ldiruvchi; zinapoyali determinant; o’zaro determinant. 1-§. O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar n ta 1, 2, .., n sonlar (yoki n ta har xil a 1 , a 2 , .., a n simvollar ) ning ma’lum tartibda mumkin bo’lgan ixtiyoriy joylashuviga shu sonlarning (yoki simvollarning) o’rin almashtirishi deyiladi. Berilgan n ta simvollarni 1, 2, ..., n, sonlar bilan tartiblash mumkin bo’lganligi sababli ixtiyoriy n ta simvollarning o’rin almashtirishlarini o’rganish 1, 2, ..., n larning o’rin almashtirishlarini o’rganishga keltiradi. n ta sonlarning barcha o’rin almashtirishlari soni 1·2·3··· n = n ! (« n-faktorial » deb o’qiladi) ga teng. Masalan, a 1 , a 2 , a 3 simvollarning barcha o’rin almashtirishlari quyidagilardir: a 1 a 2 a 3 , a 1 a 3 a 2 , a 2 a 1 a 3 , a 2 a 3 a 1 , a 3 a 1 a 2 , a 3 a 2 a 1 . Ularning soni 3! = 6 ta. Agar o’rin almashtirishda ikki sondan kattasi kichigidan oldin kelsa bu sonlar inversiyani tashkil etadi, agar kichigi kattasidan oldin kelsa, tartib deyiladi . Inversiyalar sonini hisoblash usuli: o’rin almashtirishdagi sonlarni yozilish tartibi bo’yicha (chapdan o’ngga) har bir son uchun undan o’ng tomonda turgan kichik sonlar sanaladi va hosil bo’lgan barcha sonlar qo’shiladi. Masalan, (613542) o’rin almashtirishda inversiyalar soni 5 + 1 + 2 + 1 = 9 ga teng. Inversiyalar sonining juft, toqligiga qarab o’rin almashtirish juft yoki toq deyiladi. O’rin almashtirishdagi ikki sonni o’rnini almashtirish transpozitsiya deyiladi. i va j sonlarning transpozitsiyasi ( i, j ) bilan belgilanadi. n ta sonning har qanday o’rin almashtirishidan shu sonlarning istagan boshqa o’rin almashtirishiga bir nechta transpozitsiyalarni bajarish bilan kelish mumkin bo’lib, bunda n- 1 tadan ko’p bo’lmagan transpozitsiyalar bilan chegaralanishi mumkin. Misol. (312546) o’rin almashtirishdan (631254) almashtirishga beshta: (3, 6), (3, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 4) transpozitsiyalarni bajarish bilan kelish mumkin. 1, 2, ... , n sonlarning barcha n ! o’rin almashtirishlarni har keyingisi oldingisida bitta transpozitsiyani bajarishdan hosil bo’lgan qilib (tushirib qoldirmaydigan va takrorlanmaydigan), birin-ketin joylashtirish mumkin. Har bir transpozitsiya o’rin almashtirishning juft-toqligini o’zgartiradi. n  2 son 3

uchun n ta sondan tuzilgan o’rin almashtirishlardan juftlari soni toqlari soniga, ya’ni ga teng bo’ladi. n ta 1, 2, ... , n sonlar to’plamining o’ziga o’zaro bir qiymatli akslantirishiga (biyeksiyasiga) bu sonlarning o’rniga qo’yish yoki n-tartibli o’rniga qo’yish deyiladi. Shunday qilib, o’rniga qo’yishda 1 dan n gacha bo’lgan har bir songa shu sonlardan qandaydir biri mos keltirilgan bo’lib, ikkita har xil songa ikkita har xil son mos keladi. O’rniga qo’yish umumiy qavsga olingan ikkita satr ko’rinishida: yuqori satrda turgan har bir sonning tagida unga mos keluvchi sonni yozish bilan ifodalanadi. Masalan, o’rniga qo’yishda 1  1, 2  3, 3  6, 4  2, 5  5, 6  4 mos keltirilganligini bildiradi. Sonlarning yuqori satrda joylashuviga qarab bitta o’rniga qo’yishni bir nechta ko’rinishda yozish mumkin. Masalan, , , , o’rniga qo’yishlarning barchasida 1 soni 3 ga, 2 soni 4 ga, 3 soni 1 ga, 4 soni 2 ga o’tganligi sababli, ular aynan bitta o’rniga qo’yishni ifodalaydi. n ta son yordamida tuzilgan har bir o’rniga qo’yishni n ! har xil ko’rinishlarda yozish mumkin. n ta sondan tuzilgan har xil o’rniga qo’yishlar soni ham n ! ga tengdir. Agar o’rniga qo’yishning ikkala satridagi inversiyalar yig’indisi juft bo’lsa, o’rniga qo’yish juft deb, agar inversiyalar yig’indisi toq bo’lsa, toq deb aytiladi. Demak, agar ikkala satrdagi inversiyalar bir xilda juft, yoki ikkalasi ham toq bo’lsa, o’rniga qo’yish juft, agar har xil bo’lsa o’rniga qo’yish toq bo’ladi. O’rniga qo’yishning juft-toqligi uning ikkita satr yordamida ko’rinishidan bog’liq emas, ya’ni bitta o’rniga qo’yishning har xil ko’rinishida inversiyalar juft-toqligi bir xildir. Masalan, o’rniga qo’yishning birinchi yozuvida to’rtta, ikkinchisida ikkita inversiya bor, ya’ni juft. n elementdan tuzilgan juft o’rniga qo’yishlar soni toq o’rniga qo’yishlar soniga va demak, ga tengdir ( n  2). O’rniga qo’yishning juft-toqligini aniqlashning boshqa usuli ham bor. Bir nechta sonlar ketma-ketligida berilgan o’rniga qo’yishda birinchi son - ikkinchisiga, ikinchisi - uchinchisiga va h.k oxirgisi - birinchisiga o’tsa, bu sonlar sikl deb ataladi. Siklni undagi sonlarni umumiy qavslarga olib yozish bilan belgilanadi. Agarda son yana o’ziga o’tsa, u ham bitta siklni tashkil etadi. Umumiy sonlarga ega bo’lmagan sikllar, o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllar deyiladi. Har qanday o’rniga qo’yishni o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllarga ajratish mumkin (yoki yoyish mumkin). Masalan, . O’rniga qo’yishdagi elementlar soni n va uning yoyilmasidagi sikllar soni k ning ayirmasi bo’lgan d soniga, ya’ni d = n - k ga o’rniga qo’yishning dekrementi deyiladi. O’rniga qo’yishning juft-toqligi uning dekrementining juft- toqligi bilan bir xildir. Masalan: n = 6, k = 3, d = 3 bo’lib, o’rniga qo’yish toq. 4

n -tartibli ikkita o’rniga qo’yishni ketma-ket bajarishdan hosil bo’lgan o’rniga qo’yishga ularning ko’paytmasi deyiladi. Masalan, agar , , bo’lsa, u holda bo’ladi. Agar siklni o’rniga qo’yish deb tushunsak, u holda o’rniga qo’yishni o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllarga yoyilmasiga uning shu sikllarning ko’paytmasi ko’rinishidagi ifodasi deb qarash mumkin. Agar 1, 2, ..., n , sonlarning o’rniga qo’yishda i 1 son i 2 ga, i 2 i 3 ga ,... i k- 1 i k ga ( k  n ), i k i 1 ga o’tib, qolgan sonlar o’ziga o’tsa, bunday o’rniga qo’yishga sikl yoki siklik o’rniga qo’yish deyiladi va ( i 1 , i 2 , ..., i k ) ko’rinishida belgilanadi. ( i 1 , i 2 , ..., i k ) va masalan, ( i 2 , i 3 , ..., i k , i 1 ) sikllar o’zaro tengdir. k songa siklning uzunligi deyiladi. Uzunligi 1 ga teng sikl ko’paytmada yozilmaydi. Masalan, . Uzunligi ikkiga teng sikl transpozitsiya deyiladi. Har qanday o’rniga qo’yishni transpozitsiyalar ko’paytmasi shaklida ifodalash mumkin. Masalan, ( i 1 , i 2 , ..., i k ) = (i 1 , i 2 ) (i 1 , i 3 ) ... (i 1 , i k ) . Bu ifodalanish yagona emas, har qanday juft o’rniga qo’yishni juft sondagi transpozitsiyalar, toq o’rniga qo’yishni toq sondagi transpozitsiyalar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalash mumkin. 1-m i s o l . Agar RPOKUTME harfli o’rin almashtirishni tartib deb qarab, unga nisbatan KOMPUTER o’rin almashtirishining juft yoki toqligini aniqlang. Yechish. K harfi O, P, R harflari bilan 3 inversiyani tashkil qiladi. O harfi P, R bilan 2 inversiyani, M harfi P, U, T, R harflari bilan 4 ta inversiyani, P harfi R harfi bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1 inversiyani, U harfi R bilan 1 inversiyani, T harfi R bilan 1 inversiyani, E harfi R bilan 1 inversiyanm hosil qiladi. Hammasi bo’lib KOMPUTER o’rin almashtirishida 14 ta inversiya bor. Demak, bu o’rin almashtirish juft. ■ 2-m i s o l. ( 2 n, 2 n- 2 , ..., 6, 4, 2, 2 n- 1 , 2 n- 3 , ..., 5, 3, 1 ) (1) o’rin almashtirishida inversiyalar sonini toping. O’rin almashtirishi juft bo’ladigan n larning, va toq bo’ladigan n larning umumiy ko’rinishini ko’rsating. Yechish. Inversiyalar sonini hisoblaymiz: bundan n = 4 k va n = 4 k + 3 bo’lgandagina (1) o’rin almashtirish juft bo’lishini ko’ramiz.■ 3-m i s o l. (9, 5, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 2) o’rin almashtirishdan (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) o’rin almashtirishga o’tish mumkin bo’lgan transpozitsiyalarni ko’rsating. 5

O'xshashlar

matrisalar uslubiy

komplex son uslubiy

MATNDA JAMLOVCHI OLMOSHLARNING AYRIM FUNKSIONAL-USLUBIY XUSUSIYATLARI

MAXSUS FANLARNING O’QUV-USLUBIY TA’MINOTINI ISHLAB CHIQISH

MATNDA GUMON OLMOSHLARINING AYRIM SEMANTIK VA FUNKSIONAL-USLUBIY XUSUSIYATLARI