Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka usulida yechish

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

342.48828125 KB

Ko'chirib olish

Mavzu: Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka usulida
yechish
Reja:
Kirish.
Elliptik tipdagi tenglamalar:
1.1. Elliptik turdagi tenglamalar.
1.2. Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish
1.3. Elliptik tipdagi tenglamalani progonka usulida yechish.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Kurs ishi maqsadi: Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka
usulida yechish. .
Kurs ishi vazifalari:
 Elliptik tipdagi tenglamalar haqida umumiy
malumotlar.
 Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish.
 Elliptik tipdagi tenglamalarni Progonka
usulida .yechish.
Kurs ishi tarkibi: Kurs ishi tarkibi Kirish, 2 ta bob, xulosa,foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxati va ilovalardan iborat.

KIRISH
Kurs ishida elliptik turdagi tenglamalar ko'rib chiqiladi.
Elliptik turdagi eng keng tarqalgan tenglama Puasson tenglamasi.
Ushbu tenglamani echish uchun matematik fizikaning ko'plab muammolari, masalan,
qattiq tanadagi haroratni barqaror taqsimlash, diffuziya muammolari, elektrostatik
bo'lmagan muhitda elektrostatik maydonni elektr toklari mavjud bo'lganda taqsimlash
muammolari va boshqalar.
Elliptik tenglamalarni echish uchun bir nechta o'lchovlar uchun differensial
tenglamalarni yoki ularning tizimlarini algebraik tenglamalar tizimiga aylantirish uchun
raqamli usullar qo'llaniladi. Qarorning aniqligi koordinatali panjara qadamlari,
iteratsiyalar soni va kompyuterning bitli panjarasi bilan belgilanadi .
Kurs ishining dolzarbligi shundaki, ushbu turdagi tenglamalar tufayli turli xil
jismoniy sohalarda sodir bo'lgan statsionar jarayonlarni tasvirlash mumkin. Misol
uchun, Puasson tenglamasidan foydalanib, elektrostatik maydonni, bosim maydonini
ta'riflash mumkin. Quyidagi muammolarga duch keladi: amalda elliptik turdagi
tenglamalarni qo'llash va ularni qanday hal qilish. Kurs ishining maqsadi quyidagilardan
iborat: amalda elliptik turdagi tenglamalarni qo'llash masalasini o'rganish.
Maqsadga erishish uchun qo'yilgan asosiy vazifalar hisoblanishi mumkin:
- elliptik turdagi tenglamalarni tavsiflovchi qoidalar bilan tanishish;
- ushbu turdagi asosiy tenglamalarni aniqlang;
- ushbu tenglamalardan foydalangan holda muammolarni hal qilish qobiliyatini
o'rganish;
- yechim bosqichlarida yuzaga elishi mumkin bo'lgan muammolarning o'ziga xos
xususiyatlarini ko'rsatish.
Ushbu mavzuni o'rganish maqsadi xususiy hosilalar differensial tenglamalar..
Elliptik tenglamalar Laplas va Puasson tenglamalari bo'lib, elektr maydon uchun
salohiyat nazariyasida paydo bo'ladi. Bundan tashqari, parabolik va hiperbolik
muammolarning ko'pgina statsionar (o'rnatilgan) echimlari bu tapa tenglamasiga
kamayadi. Bunday tenglamalar issiqlik uzatish jarayonida haroratning statsionar
taqsimlanishini va diffuziya vaqtida kontsentratsiyaning statsionar taqsimlanishini
tasvirlaydi. Laplas tenglamasiga boshqa ko'plab vazifalar ham keltiriladi, masalan,

elektrostatik maydonni elektr zaryadlari yo'qligida bir hil bo'lmagan o'tkazuvchan
muhitda taqsimlash vazifasi.

Elliptik turdagi tenglamalar.
Bugungi kunga qadar , Koshi muammosini o'rganishda biz giperbolik turdagi
tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, elliptik turdagi eng oddiy tenglamaga, ya'ni Laplas
tenglamasiga ikkita mustaqil o'zgaruvchiga e'tibor qarataylik:
(1)
Biz ushbu tenglamaning har qanday qarorini ba'zi analitik funktsiyaning haqiqiy qismi
deb bilamiz: koordinatalarni boshlash uchun qabul qilishimiz mumkin bo'lgan ma'lum
bir nuqta atrofida tenglama (1) qarorini ko'rib chiqing. Ushbu nuqtada va uning
atrofida ikkinchi tartibga qadar uzluksiz hosilalari borligini hisobga olsak , biz kuch-
quvvat ketma-ketligining kengayishiga ega bo'lamiz :
ba'zi doiralarda birlashib, ba'zi murakkab raqamlarning mohiyati . Bir qator a'zolarni
ajratish
haqiqiy qism, biz bir xil polinom uchun bir qator shaklda taqdim etamiz
(2)
va bu ketma-ketlik mutlaqo bir-biriga yaqinlashadi, agar biz oxirgi qatorni butun ijobiy
daraja uchun ikki qatorli shaklda yozsak
(3)

va agar u haqiqiy qiymatlar nolga etarlicha yaqin bo'lsa, u ham bir-biriga
yaqinlashishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, ketma-ket (3) a'zolarining mutlaq
qiymatlari ketma-ketlikdan olingan ikki qatorli a'zolardan oshmaydi
Lekin
u bir-biriga yaqinlashadi va bu erdan to'g'ridan-to'g'ri ketma-ket (3 )shart bilan mutlaqo
yaqinlashadi. Bu qator olamiz guruh a'zolari va qabul qilasiz, shuning uchun qator (2),
ya'ni yig’indi bo'lgan ketma-ket (3) teng , Shuning uchun har bir yechim tenglama (1)
representable tomonidan bir kuch ketma-ket bir mahalla har qanday nuqtasi bo'lsa, bu
nuqtada, bu qaror qildi no xususiyatlari, ya'ni, boshqacha aytganda, har bir yechim
tenglama (1) bir tahliliy funksiyasi . Shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri Garmonik
funktsiyaning hosilalari bor barcha buyruqlar va agar ikkita Garmonik funktsiya
samolyotning ikki o'lchovli qismiga to'g'ri keladigan bo'lsa, ular hamma joyda bir xil
bo'ladi. Giperbolik turdagi tenglama uchun mutlaqo boshqa rasm mavjudligini
unutmang:
(4)
bu erda a-berilgan haqiqiy raqam. Bu tenglik aniq qarorga ega .
(5)
qayerda ikkinchi tartibda uzluksiz sanab chiqing ega o'zboshimchalik vazifasi . Haqiqiy
o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasida, uzluksiz birinchi va ikkinchi hosilalari
qurish mumkin va hech qanday ma'noda uchinchi darajali t hosilaga ega emasligini
isbotlaydi. Bunday yechim uchun (4) uchinchi darajali derivativlarga ega bo'lmaydi va
shuning uchun analitik funktsiya (x, y) bo'lishi mumkin emas. Tenglama uchun
(1) Koshi vazifasi qo'yilishi mumkin . Misol uchun, agar berilgan bo'lsa va ularning
hosilasi bo'lsa, tenglama echimini (1) izlashingiz mumkin
(6)

bu erda analitik vazifalari y [29]. Bu vazifa mahallada aniq bir qarorga ega
bo'ladi. Biroq, bu vazifa, ular aytganidek, noto'g'ri: bu Koshi kichik o'zgarishlar bilan
uning echimlari sezilarli darajada o'zgarishi mumkin. Darhaqiqat, keling
(7)
bu erda-berilgan ijobiy raqam. Ushbu dastlabki ma'lumotlarga mos keladigan tenglama
(1) echimini tekshirish qiyin emas:
(7)
Ruxsat bering . Shu bilan birga, dastlabki ma'lumotlar y ga nisbatan bir xil nolga teng
bo'ladi, chunki hal (7) ko'plikdan mukammal bo'lsa, abadiylikka intiladi . Haqiqatan
ham, agar, masalan, indikativ funktsiya shu tarzda tezroq o'sib borayotgan bo'lsa,
dastlabki ma'lumotlarning nolga bo'lgan talabiga binoan, qarorning o'zi cheksiz
ko'payadi. Boshqacha qilib aytganda, yuqoridagi misoldan biz Koshi muammosini hal
qilishni ko'rib turibmiz tenglama uchun (1) dastlabki ma'lumotlarga uzluksiz qaramlik
xususiyatiga ega emas. Giperbolik turdagi tenglama uchun bunday doimiy qaramlik, bir
ma'noda, har doim sodir bo'ladi .Biz ikki mustaqil o'zgaruvchining ishi uchun Laplas
tenglamasi echimlarining tahliliyligini isbotladik. Xuddi shu uchta mustaqil
o'zgaruvchining holatida ham bo'lishi kerak
Ushbu bayonotning isboti. Ushbu tenglamani koordinatalar boshida va uning atrofida
ikkinchi tartibga qadar uzluksiz hosilalari hal qiling. Funktsiya va shunday bo'ladi,
boshida markazi va Radius R. bilan ba'zi yopiq sohada Garmonik funktsiyasi,
biz formula bilan sohasida yuzasida nuqtalarda uning qiymati orqali , sohada ichida
joylashgan har qanday nuqtada, bu funktsiya qiymatini ifoda mumkin.
(8)
Nolga juda yaqin bo'lgan har bir kishi uchun biz funktsiyani kengaytira olamiz

Nyuton binomi formulasidan foydalanib, barcha ijobiy darajlarda kuchli bir
qatorda. Shu bilan birga, integral (8) ning barcha podyntegral funktsiyasi, ushbu ketma-
ketlikni s ga mos ravishda integratsiyalashga bog'liq bo'lgan koeffitsientlar bilan baxtli
bo'lib, biz uchun kuchli qatorni olamiz Xuddi shunday, tenglama echimlari ham
ko'rsatilishi mumkin

biz keyingi bobda muhokama qilinadi nima o'zgaruvchilar analitik vazifalari bor. S. N.
Bernshteynning asarlarida elliptik tipdagi tenglamalarning keng klassi uchun
echimlarning analitik dalillari berilgan Hozirgacha biz klassik, ya'ni ikki marta doimiy
ravishda differentsiatsiya qilingan, elliptik tenglamalar echimlari haqida
gapiramiz. Keling, ushbu tenglamalarning umumiy (yirtilgan) echimlari qanday
xususiyatlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik. Tenglama (1) ni ko'rib chiqing va unga
mos keladigan Laplas operatori operator uchun tuzilgan va quyidagi xulosaga o'xshash
argumentlarni amalga oshirishi mumkin: tenglama (1) zaif tanaffuslarga ega echimlar,
shuningdek, kinematik va dinamik sharoitlarni qondiradigan kuchli tanaffuslar bilan
echimlar mavjud emas birgalikda ishlash. Bu tushunarli, chunki bu va boshqa echimlar
uchun zaif va kuchli bo'shliqlarning sirtlari faqat tenglamaning xarakterli yuzasi bo'lishi
mumkin va bunday elliptik tenglamalar mavjud emasligi aniqlandi. Biz umumiy
haqiqatni isbotlaymiz: Teorema. Laplas tenglamasi sinfining har qanday umumiy
echimi klassikdir.Bu bayonot har qanday mustaqil o'zgaruvchilar uchun amal
qiladi. Faqat ravshanlik uchun tenglamani (1) oling. Tenglama (1) ning umumiy
echimi har qanday va
(9)
[60] da tasdiqlangan teoremaga ko'ra, funktsiyaning o'rtacha miqdori Garmonik (va
shuning uchun analitik) funktsiyalardir, ular taxminan va normalarda . Eslatib o'tamiz,
biz Garmonik funktsiyalarning quyidagi xususiyatlaridan foydalanamiz :
(10)
radius nuqtasida markazga ega bo'lgan bir doira mavjud bo'lsa, biz funktsiyalarning
oilasi Bunyakovskiyning tengsizligidan foydalansak va doimiy ravishda teng ravishda

cheklangan va teng ravishda ekanligini ko'rsatamiz
Ushbu faktlar tufayli
(11)
har qanday . Bundan tashqari, har qanday egalik uchun
(12)
bu erda doiralarning simmetriya farqi uning maydoni, tengsizlik (11). va (12) shuning
uchun ular uchun marginal funktsiyasi doira ichida yagona cheklangan teng uzluksiz
vazifalarini berish, va u uning uyg'unligini isbotlash uchun uzluksiz bo'ladi , biz Puasson
formula (formula (25) foydalanish funktsiyalari va o'zboshimchalik bilan sobit
doira uchun yotgan b . Ushbu formulada siz dasturiy ta'minot chegarasiga borib, I.
funktsiyasi uchun adolatli ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin . Shunday qilib,
teorema isbotlangan. Shunday qilib, biz tenglama uchun sinfning barcha
umumiy echimlari klassik, ya'ni oddiy Garmonik funktsiyalardir . Aksincha, heterojen
tenglama uchun
(13)
umumiy echimlarga o'tish uning ko'plab echimlarini sezilarli darajada
kengaytiradi. Ma'lumki, silliq f uchun echimlardan biri (13) Nyuton salohiyati bilan
beriladi. Uchta mekansal o'zgaruvchiga nisbatan bu ko'rinishga ega
(14)
qaerda . F doimiy D cheklangan maydoni D tutashuv farq bo'lsa, funktsiya (14) ikkinchi
tartibda D uzluksiz hosilalari bor va D tenglama (13) javob beradi. Aksincha, (14) ning
ikkinchi darajali doimiy türevleri bo'lmagan va shuning uchun klassik tenglama hal (13)

bo'lmagan doimiy vazifalari mavjud. Ko'raylik, har qanday funktsiya da uzluksiz deb D,
funktsiya va sinf tenglama umumiy hal (13). Buning uchun har qanday holatda ham
isbotlash kerak
(15)
Bizning taxminlarimiz bilan funktsiya va doimiy va doimiy ravishda farqlanadi, shuning
uchun u bila turib domo tegishli . Tenglikni tekshirish uchun (15) funksiyalarni ko'rib
chiqing
(16)
tashqarida davom etgan nol funktsiyasining o'rtacha miqdori mavjud.:
(17)
Shuning uchun ular har qanday D. da bir xil tarzda birlashishlariga ishonch hosil qilish
qiyin emas, chunki bu (17) da siz sobit chegaraga o'tishingiz va u uchun adolat (15) ga
ishonch hosil qilishingiz mumkin. nisbati (15) bundan tashqari, tenglamani (13) hal
qilishda umumlashtirilgan derivativlar mavjud. birinchi va ikkinchi buyruqlar
tenglamani deyarli hamma joyda qondiradi. Biz buni umumiy turdagi elliptik
tenglamalar uchun darhol isbotlaymiz. Buy erda biz ushbu nuqtada tasdiqlangan
teoremaning bayonoti issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasiga ham amal qiladi, ya'ni bir
hil issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasi sinfining umumlashtirilgan echimlari klassikdir.
Kosmosda va vaqt ichida rivojlanayotgan jismoniy hodisalardan tashqari, vaqt o'tishi
bilan o'zgarmaydigan ko'plab jarayonlar mavjud. Ushbu jarayonlar statsionar deb
ataladi. Ushbu jarayonlarni o'rganishda turli xil jismoniy xususiyatlar (tebranishlar,
issiqlik o'tkazuvchanligi, diffuziya va boshqalar) odatda elliptik turdagi tenglamalarga
keladi. Misollar bo'lishi mumkin: Laplas va Puasson tenglamalari turli xil statsionar
jismoniy maydonlarni tasvirlaydi. Elektromagnit maydon vaqt o'tishi bilan o'zgarmasa,
Maksvell tenglamasidan olingan tenglamalar . Ushbu turdagi eng keng
tarqalgan tenglama Laplas tenglamasi

Ushbu tenglama erkin maydon nuqtalarida tortishish va elektrostatik potentsiallar
bilan tavsiflanadi, u siqilmaydigan suyuqlikning beqaror oqim tezligi potentsialini
tasvirlaydi va u doimiy issiqlik harakati bilan bir hil izotropik muhitning harorati uchun
ham amal qiladi. Funktsiya mintaqada Garmonik deb ataladi , agar u bu sohada
doimiy bo'lsa va uning hosilalari bilan 2 tartibiga qadar davom etsa va Laplas
tenglamasini qondirsa.Garmonik funktsiyalarning xususiyatlarini o'rganishda turli
matematik usullar ishlab chiqildi, ular samarali bo'lib, giperbolik va parabolik turdagi
tenglamalarga qo'llanildi [1]. Statsionar issiqlik maydoni. Marginal vazifalarni
belgilash. Statsionar issiqlik maydoni ko'rib chiqiladi. Non-statsionar issiqlik harorati
issiqlik o'tkazuvchanlik differensial tenglama bilan ifodalanishi mumkin

Jarayon statsionar bo'lsa, harorat taqsimoti.
vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi va Shuning uchun Laplas tenglamasini qondiradi.
(1)
Issiqlik manbalari mavjud bo'lganda tenglama olinadi.

bu er da -issiqlik manbalarining zichligi, a -issiqlik o'tkazuvchanligi
koeffitsienti. Laplas (2) ning heterojen tenglamasi ko'pincha Puasson tenglamasi deb
ataladi. Sirt bilan chegaralangan ba'zi hajmlar ko'rib chiqiladi . Tana
ichidagi haroratni statsionar taqsimlash vazifasi quyidagicha ifodalanadi :
T tenglama ichida qoniqarli funktsiyani toping .

, (3)
va quyidagi turlardan birida olinishi mumkin bo'lgan chegara holati:
na (birinchi chegara vazifasi);
(ikkinchi chekka vazifa);
(uchinchi mintaqaviy vazifa).
bu erda , , , – belgilangan vazifalar -tashqi normaldan yuzaga keladigan
lotin . Laplas tenglamalari uchun birinchi chegara vazifasi ko'pincha Direxle
vazifasi deb ataladi va ikkinchi vazifa Neymanning vazifasidir.m Agar yuzaga
nisbatan ichki (yoki tashqi) sohada yechim topilsa , tegishli vazifa ichki (yoki
tashqi) mintaqaviy vazifa deb ataladi [3]. Suyuqlikning potentsial oqimi. Ruxsat
etilgan oqim va elektrostatik maydonning salohiyati. Ikkinchi misol sifatida,
manbalarsiz suyuqlikning potentsial oqimi ko'rib chiqiladi. Chegaradagi ma'lum bir
hajmning ichida tezlik bilan ifodalanadigan siqilmaydigan suyuqlik (zichlik
) ning statsionar oqimi mavjud. Agar suyuqlik oqimi vorteks
bo'lmasa, tezlik potentsial vektor, ya'ni (4). qaerda -skalar
funktsiyasi, tezlik potentsiali deb ataladi. Hech qanday manbalar bo'lmasa, unda
(5). Bu erda y (3) ifodasi o'zgartirilganda, u chiqadi:
,yoki (6). ya'ni, tezlik salohiyati Laplas tenglamasini
qondiradi. Bir hil o'tkazuvchan muhitda volumetrik zichlikka ega statsionar oqim
mavjud . Agar muhitda ommaviy oqim manbalari bo'lmasa, unda
. (7)
Elektr maydoni omning differentsial qonunidan oqim zichligi bilan aniqlanadi
(8)

bu erda -atrof-muhitning o'tkazuvchanligi. Jarayon statsionar bo'lgani uchun, elektr
maydoni beqaror yoki potentsial, ya'ni bunday scalar funktsiyasi mavjud
. (9)
Shuning uchun formulalar (6) va (7) asosida (10) ya'ni. statsionar
oqimning elektr maydonining salohiyati Laplas tenglamasini qondiradi. Statsionar
zaryadlarning elektr maydoni ko'rib chiqiladi. Jarayonning statsionarligidan
quyidagilar mavjud
, (11)
ya'ni, maydon potentsial va
Bo'lsin -dielektrik sobit bilan ifodalanadi muhitda mavjud zaryad hajmi
zichligi . Elektrodinamikaning asosiy qonunidan kelib chiqqan holda
(12)
barcha to'lovlarning yig'indisi va Otrograd teoremasidan foydalanish.
(13)
bu chiqadi . . Bu erda (8) ifodasi o'zgartirilganda , chiqadi:
(14)

$elektrostatik salohiyat Puasson tenglamasini qondiradi. Agar volumetrik to'lovlar bo'lmasa, potentsial Laplas tenglamasini qondirishi kerak. . Biz bir qator jarayonlarni ko'rib chiqdik. Yuqoridagi uchta turga tegishli bo'lgan asosiy marginal vazifalar. Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish Birinchi qism cheksiz sohada degenerativ elliptik tenglamani echishning xatti- harakatlarini o'rganishga bag'ishlangan. R n , n 2 , x = (x 1 , x 2 .... x 2 ) R ikkinchi darajali chiziqli elliptik tenglama uchun chegara vazifasini birinchi va uchinchi turdagi aij uxi nj, chegaraga tashqi normaning nj komponentlari bilan birgalikda ko'rib chiqadi. Barcha koeffitsientlar i, j = tenglamalar b, D 0 bilan o'lchanadi. Simmetriya matrisi {aij (x)} elliptik holatini qondiradi: har qanday vektor y R n va deyarli barcha x tengsizliklar uchun ijobiy doimiy va salbiy bo'lmagan s(x) funktsiyasi mavjud:Har doim b s (x) funktsiyasi s(x), D(x) va 1/s(x) funktsiyalari chegarasida nol bilan murojaat qilishi mumkin.Keling, cheksiz maydonning p filiallariga ega ekanligini taxmin qilamiz n abadiylikka erishish va quyidagi talablarga javob beradigan ichki n +1 cheklangan hududlarning birlashuvi = qiymati sifatida taqdim etiladi. Qo'shimchalar N + 1 = N +1 \ N cheklangan miqdordagi i, i = 1, soniga bo'linadi..., p: N + 1 = nia (N ) lipshitsy hiperpoverhnostey yakuniy soniga bo'linadi vektorlarni aniqlang tN = (tN,..., tN ) va N = (n,..., N ) formulalar tN = dist(S i , S i +1) va n = (i), bu erda tengsizliklar amalga oshiriladi yuqorida ko'rsatilgan vakillik = biz chaqiramiz –vazifaga mos keladigan maydonni ajratish (1), (2) (keyinchalik oddiy bo'linish). Shu kabi kontseptsiya lm Koжeвникoвa (Mat. SB., 2005) 2 = va S 1 holatlarida Ox 1 o'qi bo'ylab cheksiz bir bo'lakka ega bo'lgan maydon uchun. Ishda (Mat. SB., 2005) hududlar {zn} = 0 raqamlari ketma-ketligi bilan belgilanadi. Raqamlar ketma-ketligining mavjudligi uchun zarur bo'lgan va etarli bo'lgan asosiy shart shundan iboratki, kichik a'zolarsiz = elliptik tenglamani ajratish uchun, ya'ni s 1 ): har qanday r uchun R 2 r 1 funktsiyaning tashuvchisi 0 da yotadi va uning qiymati C0 (Rn \1 ) funktsiyalarining majmuasida tenglik bilan aniqlanadi operator koeffitsientlari l tengsizlikka javob beradi b = (b 1 , b 2 ,..., b n ); c = (c 1 , c 2 ,..., c n ), a doimiy. Biz barcha n = 0, 1 uchun vektor C uchun talab qilamiz... va k 122$ $k2 e2k = 1, kosmik H (; 1) nisbati C0 (Rn \ 1 ) maydonini v 1 = (dv + s|v| )dx normasiga to'ldirish sifatida aniqlanadi. Teorema 1. Tenglama koeffitsientlari (1) (8)-(10) nisbatlarini qondirishi mumkin. Keyin u(x) muammoni hal qilish (1), (2) baholashni qondiradi f (x 1 ) ijobiy funktsiyasi bilan aylanish maydonini ko'rib chiqing. Koжeвникoвaning ishi (mat. SB., 2005), o'zboshimchalik bilan z 0 0 dan boshlab induktiv tenglik bilan ketma-ketlikni aniqlaymiz : Biz doimiy v ning mavjudligini taxmin qilamiz, shundan keyin ba'zi c 1 bilan baholashlar etarli darajada muntazam ravishda taqsimlansin. Masalan, ijobiy sonlar mavjudligi taxmin qilinadi D, va 1 barcha b a D, b a min{f (a), f (b)} / 2 tengsizliklar mavjud P R1 ning "muhim" proektsiyasi tenglik bilan belgilanadi s(x) 1 –ketma-ketlik f maydonini ajratib turadi.Xuddi shu-ketma-ketlik-bo'linish va teng bo'lmagan elliptik tenglama holatida, agar ba'zi C 0 bo'lsa, mahalliy bir xillik holati amalga oshirilsa, agar tenglama degenerat bo'lsa, ya'ni holat (18) bajarilmasa, biz hamma joyda Dirixle chegara holati, ya'ni 1 = va oddiylik uchun biz n = 2 ishini cheklaymiz. Funktsiya s (x) bu erda f uzluksiz bo'lishi kerak, va o'zga ruvchilar x 2 – hatto va vaqti-vaqti bilan rivojlanmagan (0, f (x1 )). Bundan tashqari, agar f doimiy funktsiya bo'lsa, vaziyat (1), masalan, doimiy funktsiyalari (x 2 ) 1, (x 0 ) 1 va shunga o'xshash (1, 2 ) bo'lgan turlarning funktsiyasini qondiradi, bu + 2. Xususan, (x 1 ) 0 da biz chegara hududida degeneratsiya qilingan tenglamani olamiz.Endi baholash (15) quyidagi teorema o'rnatilgan divergent shaklida tenglama uchun aylanish joylarda keng sinf uchun teorema aniqlik baholash (11) bunday natija olish imkonini beradi.Bunday holda, funktsiya s(r, 0) s(r, 0,..., 0) ortadi va r da abadiylikka intiladi, biz r = r, r+ = r1 + belgilarini kiritamiz, bu erda r s(r1, 0) = es(r, 0) va = r 1 r. Teorema 2. F maydoni f funktsiyasi bilan belgilab qo'yilsin, bu shartni qondiradi {z n } = va - - ketma-ketlik. S (x) funktsiyasi f(20) aylanish sohasidagi tenglama (u 0)ning noaniq echimi uchun vaziyatni qondiradigan bo'lsa, unda k(m) ning ijobiy soni bo'ladi, agar s(r, 0) funktsiyasi monoton ravishda ortib borayotgan bo'lsa, abadiylikka intiladi va C 0 soni mavjud bo'lsa, unda 0 tenglamaning noaniq echimi Ls u = baholashni qondiradi mintaqaning geometriyasi bo'yicha echimlarni kamaytirish$

tezligi belgilanadigan joylar va tenglamalarning misollari. Agar siz s(x
1 , x
2 ) = ex
1 ni
qabul qilsangiz, unda (11) tenglama uchun Dirixle muammosini hal qilishni baholash
kerak (20) u elliptik tenglamaning echimi bo'lgani uchun, bu yerda shart (23)
bajarilganini va tenglamani (20) noto'g'ri hal qilish uchun turni baholash (24) shuning
uchun, ma'lum bir ma'noda, baholash (26) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (2) (3) (3)) (2)
(3)) (3) (3)) (3) (4)) (4) (4) (4)) (4)) to'g'ri deb hisoblash mumkin.Keling, paraboloid {|x
| x
1 } da Puasson tenglamasini ko'rib chiqaylik. Koжeвникoвaning ishidan (mat. SB.,
2008) masalani yechishning quyidagi tushishi ma'lum Dirixle agar bu paraboloidda S
(x) = ex
1 funktsiyasi bilan tenglama(20) uchun Dirihle vazifasini ko'rib chiqsak, unda
(11) a ning ikkinchi – tengsizlik, shuning uchun s(x) ning o'sishi elliptik tenglama
uchun Dirixle masalasini yechishning cheksizlikda tushishini sezilarli darajada
tezlashtirishi mumkin.
Progonka usulida yechish
Masalaning qo’yilishi. Quyidagi algebraik sistemani qarayik.
(1)
(2) ,(3)
bunda
Yechish algoritmi. Sistema (1)-(3)ni yechishning sodda usulini ko’rsatish lozim. Bunda
ikkinchi tartibli ayirmali tenglama (1)ni uchta birinchi tartibli ayirmali tenglamaga
keltirish progonka metodining asosiy go’yasi bo’lib hisoblanadi. Birinchi tartibli
tenglamalar umuman olganda chiziqli bo’lmagan tenglamalardan iborat
bo’ladi.Quyidagi recurrent munosabat o’rinli bo’lsin deb hisoblaymiz.
(4)

Bu yerda α
i+1 va β
i+1 no’malum koeffisientlar. Munosabat (4)ga asosan
ifodani (1)ga qo’yamiz ni hosil qilamiz. Oxirgi
ifodaga (4)dan y
i ning qiymatini qo’yamiz:
tengliklar o’rinli bo’lsa, Bundan
α
i+1 uchun rekurrent formula (5)
va β
i+1 ni hisoblash uchun recurrent formula i=1,2,… , N-1 (6) ni hosil
qilamiz. Ushbu formulalarni chiqarishda formula (4)dan kelib chiqdik. Agarda α
i va
β
i koeffisientlar ma’lum bo’lsa va γ
N ning qiymati xam ma’lum bo’lsa u holda chapdan
o’ngga (i+1 dan i ga) xarakatlanib barcha γ
i larni ketma-ket topamiz. Koeffisientlar α
i ,
β
i uchun tenglamalar chiziqli bo’lmagan tenglamalardan iborat, ular ushbu
funksiyalarning qiymatlarini ikkita qo’shni tugunlar orqali bog’laydi. Parametrlar α
i ,
β
i uchun masala chapdan o’ngga γ
i uchun esa teskari yo’nalishda yechiladi. Xar bir α , β , γ
uchun Koshi masalasini yechish lozim. Bu funksiyalar uchun boshlang’ich shartlarni
topishda chegaraviy shartlar (2) va (3) dan foydalanamiz. Formula (4) i=1,2,…, N-1 lar
uchun o’rinli bo’lganligidan, i=0 da ga ega bo’lamiz, boshqa tomondan (2)ga
asosan ekanligi ma’lum. Shu sababli ularni tenglashtirish natijasida
(7)
(8)
larni hosil qilamiz. Shunday qilib α
i , β
i funksiyalar uchun Koshi masalasini hosil
qilamiz: α uchun bu masala (5) , (7)
dan iborat β
i uchun esa (6), (8) dan iborat (to’g’ri progonka formulalari). So’ngra barcha
α
i va β
i i=1,2, … N lar uchun aniqlangandan keyin , γ
N chegaraviy qiymatni topish
zarur. ν Ushbu tenglamalar sistemasidan topiladi.
bundan bo’lganda ( 9)
ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib, γ
i ni aniqlash uchun Koshi masalasi (4), (9) ni
hosil qilamiz (teskari progonka formulalari) Ushbu bayon qilingan metod progonka
metodi (o’ng progonka) deb ataladi. O’ng progonka metodining barcha formulalarini
yig’ib, ularni kompyuterga dastur tuzishga qulay ko’rinishda yozamiz:

(10)
Bunda yuqoridagi strelkalar hisoblash yo’nalishini ko’rsatadi:
Metodning turg’unligi. Progonka metodi formulalarini formal ravishda chiqardik. Biz
bu formulalarda
ifodalarga bo’lish amalini bajardik, bu esa qachon mumkin ekanligini ko’rsatmadik.
Formulalar (10) o’rinli bo’ladigan yetarlilik shartlarini ko’rsatamiz. Bu shartlar
quyidagi ko’rinishga ega.
(11)
Ushbu shartlar bajarilganda. larda o’rinli ekanligini
ko’rsatamiz. Dastlab ekanligini ko’rsatamiz,
chunki ekanligidan larda bo’lishi kelib chiqadi.
Ushbu ayirmani qaraylik
.
Bunda bo’lishi, ya’ni
ekanligi kelib chiqadi. Bundan
ko’rinadiki, bo’ladi, bo’l
ganda formula (9) dagi maxrajni quyidan baholaymiz:

chunki Shunday qilib, formula (10) ning maxrajlari
(11) shartlar bajarilganda noldan farqli bo’ladi. Ta’kidlash lozimki, hech bo’lmaganda
bitta i=i
0 nuqtada sharti bajarilgan bo’lsa, u
holda Bunday
holda sharti ortiqcha bo’ladi,
chunki Bundan (11) shartlar bajarilganda,
masala (1)-(3) formulalar (10) bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega bo’ladi
Formulalar (10) bilan kompyuterda hisoblashlar taqribiy, chekli sondagi raqamlar bilan
olib boriladi. Yaxlitlash xatolari sababli masala (1)-(3) ning yechimi γ
i o’rniga, o’sha
masalaning o’zgartirilgan koeffisientlar miqdorlar
bilan olingan yechimi Shunda tabiiy savol tug’iladi: yaxlitlash xatolarining
to’planib borishi evaziga aniqlik yuqolib ketmaydimi, hisoblashlarni davom ettirish
olinayotgan miqdorlarning o’sishi evaziga mumkin bo’lmasdan qolmaydimi. Progonka
metodida, ni topishda yo’l qo’yilgan
hato ni topishda ortib ketmaydi. Xaqiqatdan ham
tenglamalar
dan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
bo’ladi, chunki Bu esa progonka metodining turg’unligini ko’rsatadi.
Arifmetik amallar soni. Progonka metodida formula(10) bo’yicha hisoblashlarga
sarflanadigan arifmetik amallarni hisoblaymiz. ni hisoblash i ning har bir
qiymatida (i=1,2.....,N-1) bitta ayirish bitta qo’shish amali bajariladi, ya’ni tahminan 2N
ta amal bajariladi. Shunday qilib α
i+1 hisoblash uchun tahminan 3N arifmetik amal
sarflanadi. β
i+1 ni hisoblash uchun suratida 2N amal va bilish amali bilan birgalikda
jami 3N amal bajariladi. γ
i ni hisoblash uchun i ning har bir qiymatida bitta ko’paytirish
va bitta qo’shish amali jami2N amal talab qilinadi. Hammasi bo’lib 3N+3N+2N=8N
arifmetik amal sarflanadi, bunda N sistema (1)-(3) dagi noma’lumlar soni.

Xulosa
Bu kurs ishimda, "elliptik turdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka ususlida
yechish"mavzusi yoritdim. Bu kurs ishida elliptik tipdagi tenglamalar haqida nazariy
malumotlarni va laplas tenglamasini yoritdim.Kurs ishi davomida biz oldimizga
qo'yilgan vazifalarni bajarishga muvaffaq bo'ldik, bu esa ishning maqsadiga erishishga
olib keldi. Nazariy materiallarni o'rganib chiqqach, men asosiy tenglamalar bilan
shug'ullandim ularni olib tashlashni va muammolarni hal qilishda qo'llashni
o'rgandik. Muammolar va ularni hal qilish yo'llari aniqlandi. Misol tariqasida, elliptik
tenglamani hal qilishni talab qiladigan uchta vazifa bor edi. Ushbu ishni amalga oshirish
jarayonida ushbu mavzuning zamonaviy ilm-fanda ahamiyatini baholash, elliptik
turdagi tenglamalar yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan asosiy vazifalarni aniqlash
imkoniyati paydo bo'ldi. Xulosa qilib aytganda, ushbu masalaning o'rganilishi katta
qiziqish paydo bo'lishiga yordam berdi, bu esa taniqli mualliflarning asarlarini yanada
tahlil qilish va ulardan foydalanish bilan tanishtirishda g'ayrat bilan davom etish
imkonini berdi.

FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI
1. A. N. Tixonov, A. A. Samarskiy, matematik fizika tenglamalari M., "fan"
nashriyoti, 1977. – 735 bet.
2. D. A. Sharipov , matematik fizika metodlari bo'yicha ma'ruzalar to'plami, 1-qism,
NSU nazariy fizika kafedrasi, 2004. – 123 bet.
3. S. I. Kolesnikova, matematik fizika tenglamalarining asosiy muammolarini hal
qilish usullari, M., MFTY, 2015. – 80 bet.

4 . Internet resurslar
1. https://translate.google.com/
2. http://dict.scask.ru/

Mavzu: Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka usulida yechish Reja: Kirish. Elliptik tipdagi tenglamalar: 1.1. Elliptik turdagi tenglamalar. 1.2. Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish 1.3. Elliptik tipdagi tenglamalani progonka usulida yechish. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar

Kurs ishi maqsadi: Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish va progonka usulida yechish. . Kurs ishi vazifalari:  Elliptik tipdagi tenglamalar haqida umumiy malumotlar.  Elliptik tipdagi tenglamalarni barqarorlantirish.  Elliptik tipdagi tenglamalarni Progonka usulida .yechish. Kurs ishi tarkibi: Kurs ishi tarkibi Kirish, 2 ta bob, xulosa,foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati va ilovalardan iborat.

KIRISH Kurs ishida elliptik turdagi tenglamalar ko'rib chiqiladi. Elliptik turdagi eng keng tarqalgan tenglama Puasson tenglamasi. Ushbu tenglamani echish uchun matematik fizikaning ko'plab muammolari, masalan, qattiq tanadagi haroratni barqaror taqsimlash, diffuziya muammolari, elektrostatik bo'lmagan muhitda elektrostatik maydonni elektr toklari mavjud bo'lganda taqsimlash muammolari va boshqalar. Elliptik tenglamalarni echish uchun bir nechta o'lchovlar uchun differensial tenglamalarni yoki ularning tizimlarini algebraik tenglamalar tizimiga aylantirish uchun raqamli usullar qo'llaniladi. Qarorning aniqligi koordinatali panjara qadamlari, iteratsiyalar soni va kompyuterning bitli panjarasi bilan belgilanadi . Kurs ishining dolzarbligi shundaki, ushbu turdagi tenglamalar tufayli turli xil jismoniy sohalarda sodir bo'lgan statsionar jarayonlarni tasvirlash mumkin. Misol uchun, Puasson tenglamasidan foydalanib, elektrostatik maydonni, bosim maydonini ta'riflash mumkin. Quyidagi muammolarga duch keladi: amalda elliptik turdagi tenglamalarni qo'llash va ularni qanday hal qilish. Kurs ishining maqsadi quyidagilardan iborat: amalda elliptik turdagi tenglamalarni qo'llash masalasini o'rganish. Maqsadga erishish uchun qo'yilgan asosiy vazifalar hisoblanishi mumkin: - elliptik turdagi tenglamalarni tavsiflovchi qoidalar bilan tanishish; - ushbu turdagi asosiy tenglamalarni aniqlang; - ushbu tenglamalardan foydalangan holda muammolarni hal qilish qobiliyatini o'rganish; - yechim bosqichlarida yuzaga elishi mumkin bo'lgan muammolarning o'ziga xos xususiyatlarini ko'rsatish. Ushbu mavzuni o'rganish maqsadi xususiy hosilalar differensial tenglamalar.. Elliptik tenglamalar Laplas va Puasson tenglamalari bo'lib, elektr maydon uchun salohiyat nazariyasida paydo bo'ladi. Bundan tashqari, parabolik va hiperbolik muammolarning ko'pgina statsionar (o'rnatilgan) echimlari bu tapa tenglamasiga kamayadi. Bunday tenglamalar issiqlik uzatish jarayonida haroratning statsionar taqsimlanishini va diffuziya vaqtida kontsentratsiyaning statsionar taqsimlanishini tasvirlaydi. Laplas tenglamasiga boshqa ko'plab vazifalar ham keltiriladi, masalan,

elektrostatik maydonni elektr zaryadlari yo'qligida bir hil bo'lmagan o'tkazuvchan muhitda taqsimlash vazifasi. Elliptik turdagi tenglamalar. Bugungi kunga qadar , Koshi muammosini o'rganishda biz giperbolik turdagi tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, elliptik turdagi eng oddiy tenglamaga, ya'ni Laplas tenglamasiga ikkita mustaqil o'zgaruvchiga e'tibor qarataylik: (1) Biz ushbu tenglamaning har qanday qarorini ba'zi analitik funktsiyaning haqiqiy qismi deb bilamiz: koordinatalarni boshlash uchun qabul qilishimiz mumkin bo'lgan ma'lum bir nuqta atrofida tenglama (1) qarorini ko'rib chiqing. Ushbu nuqtada va uning atrofida ikkinchi tartibga qadar uzluksiz hosilalari borligini hisobga olsak , biz kuch- quvvat ketma-ketligining kengayishiga ega bo'lamiz : ba'zi doiralarda birlashib, ba'zi murakkab raqamlarning mohiyati . Bir qator a'zolarni ajratish haqiqiy qism, biz bir xil polinom uchun bir qator shaklda taqdim etamiz (2) va bu ketma-ketlik mutlaqo bir-biriga yaqinlashadi, agar biz oxirgi qatorni butun ijobiy daraja uchun ikki qatorli shaklda yozsak (3)

va agar u haqiqiy qiymatlar nolga etarlicha yaqin bo'lsa, u ham bir-biriga yaqinlashishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, ketma-ket (3) a'zolarining mutlaq qiymatlari ketma-ketlikdan olingan ikki qatorli a'zolardan oshmaydi Lekin u bir-biriga yaqinlashadi va bu erdan to'g'ridan-to'g'ri ketma-ket (3 )shart bilan mutlaqo yaqinlashadi. Bu qator olamiz guruh a'zolari va qabul qilasiz, shuning uchun qator (2), ya'ni yig’indi bo'lgan ketma-ket (3) teng , Shuning uchun har bir yechim tenglama (1) representable tomonidan bir kuch ketma-ket bir mahalla har qanday nuqtasi bo'lsa, bu nuqtada, bu qaror qildi no xususiyatlari, ya'ni, boshqacha aytganda, har bir yechim tenglama (1) bir tahliliy funksiyasi . Shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri Garmonik funktsiyaning hosilalari bor barcha buyruqlar va agar ikkita Garmonik funktsiya samolyotning ikki o'lchovli qismiga to'g'ri keladigan bo'lsa, ular hamma joyda bir xil bo'ladi. Giperbolik turdagi tenglama uchun mutlaqo boshqa rasm mavjudligini unutmang: (4) bu erda a-berilgan haqiqiy raqam. Bu tenglik aniq qarorga ega . (5) qayerda ikkinchi tartibda uzluksiz sanab chiqing ega o'zboshimchalik vazifasi . Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasida, uzluksiz birinchi va ikkinchi hosilalari qurish mumkin va hech qanday ma'noda uchinchi darajali t hosilaga ega emasligini isbotlaydi. Bunday yechim uchun (4) uchinchi darajali derivativlarga ega bo'lmaydi va shuning uchun analitik funktsiya (x, y) bo'lishi mumkin emas. Tenglama uchun (1) Koshi vazifasi qo'yilishi mumkin . Misol uchun, agar berilgan bo'lsa va ularning hosilasi bo'lsa, tenglama echimini (1) izlashingiz mumkin (6)

O'xshashlar

Mapleda tenglamalar sistemasi va tenglamalarni yechish

Mapleda differensial tenglamalarni yechish funksiyalari.

Mapleda differensial tenglamalarni yechish funksiyalari

Oddiy differentsial tenglamalarni sonli yechish va ularning approksimasiyasi

mapleda differensial tenglamalarni yechish funksiyalari labaratoriya ish