KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

873.5 KB

Ko'chirib olish

“ KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR ”
M U N D A R IJA
Kirish .
I BOB. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar .
1.1 Qo’shish amali.
1.2 Ayirish amali.
1.3 Ko‘paytirish amali.
1.4 Bo‘lish amali.
II BOB. . Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar.
III BOB. Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish,
bo’lish,darajaga ko’tarish.
IV BOB.
Kompleks sondan ildiz chiqarish.
V BOB.
Prеzеntatsiya namoyishlar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Samarqand Davlat Universiteti xuzuridagi pedagog kadirlarni qayta tayyorlash va ularni
malakasini oshirish mintaqaviy markazining “Matematika” fani o’qituvchisi
Babakulova Dilbarningning “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” ”
Mavzusidagi
Bitiruv ishiga ilmiy raxbarning
X U L O S A S I
Bugungi kunda ta’lim jarayonida matematika ga bo’lgan talab borgan sari
ortib bormoqda. Fan ta’lim rivojlangan sari Axborot texnologiyalarining ham yangidan
yangi turlari ko’plab imkoniyatlari yaratilmoqda. Axborot texnologiyalari nafaqat ta’lim
tizimida balki barcha sohalarda ham qo’llanilib kelinmoqda. Xozirgi vaqtda biror bir
sohani matematikasiz tasavvur qilish qiyin.
Ushbu Bitiruv Malakaviy Ishida Komplek sonlar va ular ustida amallarini
misol va masalalar bilan yoritib berilgan. Shu bilan birga slaytlar bilan yanada to’liq
yoritib bera olgan .
Babakulova Dilbar tomonidan tayyorlangan “Komplek sonlar va ular ustida
amallar” mavzusidagi Bitiruv ishi o’rnatilgan talablarga mos ravishda tayyorlangan va
talab qoidalarga to’liq mos keladi. Mavzuni o’rganuvchi uchun oson qilib yoritib
bergan. Ushbu Bitiruv Malakaviy ishini ijobiy tomondan baholash mumkin deb
xisoblayman.
Ilmiy Raxbar: N.Ravshanova

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi. Mustaqillikka erishilgandan keyin barcha
sohalardagi kabi ta`lim tizimida ham jiddiy islohatlar amalga oshirildi, ta`limning
sifatini yaxshilashga kirishildi.
Ta`lim berishning yangi usullari joriy qilina boshlandi. Shulardan eng asosiysi
o`quvchilarga yangi pedagogik texnologiya asosida dars berish masalasi. Bu
usulni matematika sohasida ishlashga ham tadbiq qilish yangi
samara berishi amalda tasdiqlandi. O`quvchilarning badiiy didini o`stirish,
dunyoqarashini kengaytirish uchun ularning kompyuter va zamonaviy
tehnalogiyalar asosida ishlashi juda muhim. Buning usullarini ishlab chiqish esa,
hech qachon dolzarbligini yo`qotmaydi. Biz mazkur bitiruv ishimizda bu xususida
o`z taklif va mulohazalarimizni ifodalashga harakat qilamiz.
Jamiyatning barcha qatlamlarini, ayniqsa, yoshlarni yuksak ma`naviyat va
ma`rifat sohibi qilib tarbiyalash bugungi kunning dolzarb masalasidir.
Kursni tugatish ishining maqsadi. Bitiruv makalaviy ishimizni yozishdan
asosiy maqsadi o’quvchilarga o’z sohamiz bo’yicha to’g’ri tarbiya berish bilan birga
Kompleks sonlar va ular ustida amallarni o’rgatish usullarining eng
qulay va sodda tartibda o’rgatish yo’llari haqida bayon qilamiz.
Kursni tugatish ishining obyekti. Kasb-hunar maktabi o’quvchilari va
pedagoglar. Mazkur kurs ishi kompleks sonlar va ular ustida amallar oid manbalar va
uslubiy tavsiyalarni o`z ichiga oladi.

I BOB. 1. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar .
Kompleks sonlar ta'limoti ilm-u fanda, xususan, ma tematikada alohida o'rin tutadi. Tez
rivojlanayotgan bu soha texnikada, shuningdek ishlab chiqarishning ko'plab so halarida
g'oyat keng qo'llanishga ega. Shu sonlar haqida ayrim ma'lumotlarni keltiramiz. Xususiy
bir misoldan boshlaylik.
x 2
+ 4 = 0 tenglamani yechish jarayonida x
1 = 2 va x
2 = -2 «sonlar» hosil
bo'ladi. Haqiqiy sonlar orasida esa bunday «sonlar» mavjud emas. Sunday holatdan qutulish
uchun ga son deb qarash zarurati paydo bo'ladi.
Bu yangi son hech qanday real kattalikning o'lchamini yoki uning o'zgarishini
ifodalamaydi. Shu sababli uni mavhum (xayoliy, haqiqatda mavjud bo'lmagan) birlik
deb atash va maxsus belgilash qabul qilingan: = i. Mavhum birlik uchun i 2
=-l
tenglik o'rinlidir.
a + bi ko'rinishdagi ifodani qaraymiz. Bu yerda a va b lar istalgan haqiqiy sonlar, i esa
mavhum birlik.
a + bi ifoda haqiqiy son a va mavhum son bi lar «kompleksi»dan iborat bo'lgani uchun
uni kompleks son deb atash qabul qilingan.
a + bi ifoda algebraik shakldagi kompleks son deb ataladi, bu yerda a R, b R, i 2
= -
1. Bu paragrafda
a + bi ni qisqalik uchun «algebraik shakldagi kompleks son» deyish o'rniga
«kompleks son» deb ishlataveramiz. Kompleks sonlarni bitta harf bilan belgilash qulay.
Masalan, a + bi ni z = a + bi ko'rinishda belgilash mumkin.z =a + bi kompleks sonning
haqiqiy qismi a ni Re(z) (fransuzcha reele - haqiqiy) bilan, mavhum qismi b ni esa
Im(z)(fransuzcha imaginaire — mavhum) bilan belgilash qabul qilingan: a= Re(z),
b = Im(z).
Agar z=a + bi kompleks son uchun b=0 bo'lsa, haqiqiy son z = a hosil bo'ladi.
Demak, haqiqiy sonlar to'plami R barcha kompleks sonlar to'plami C ning qism to'plami
bo'ladi R C.
1 - m i s o l . z
1 = l+2i, z
2 = 2-i, z
3 = 2 , 1 , z
4 = 2i, z
5 = 0 kompleks sonlarning haqiqiy va
mavhum qismlarini topamiz.
Yechish. Kompleks son haqiqiy va mavhum qismlarining aniqlanishiga ko'ra,
quyidagilarga egamiz:
Re(z
1 )=l; Re(z
2 ) = 2; Re(z
3 ) = 2,l; Re(z
4 ) = 0; Re(z
s )=0;
Im(z
1 )=2; Im(z
2 ) = -i; Im(z
3 ) = 0; Im(z
4 ) = 2i; Im(z
s ) = 0.
Kompleks sonlar uchun « < », « > » munosabatlari aniqlanmaydi, lekin teng
kompleks sonlar tushunchasi kiritiladi. Haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda teng
bo'lgan kompleks sonlar teng kompleks sonlar deb ataladi. Masalan, z, = 1 , 5 + va z
2
= + 0,8i sonlari uchun
Re(z
1 ) = Re(z
2 ) = l,5, Im(z
1 ) = Im(z
2 ) = 0,8. Demak, z
1 = z
2
Bir-biridan faqat mavhum qismlarining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son
o'zaro qo'shma kompleks son lar deyiladi. z =a+ bi kompleks songa qo'shma kompleks son
= a-bi ko'rinishda yoziladi. Masajan, 6+ 7i va 6- 7i lar qo'shma kompleks sonlardir:
= 6-7i. Shu kabi soniga qo'shma son
= z bo'ladi. Masalan, = =6+7i. a haqiqiy songa qo'shma son a ning o'ziga
teng:
= = a - 0 i =a. Lekin bi mavhum songa qo'shma son =-bi dir. Chunki =
=0-bi=-bi,

a , b R. . Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i; (1)
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b- d )i; (2)
(a + b i )  ( c + di ) = (ac - bd ) + (ad + bc)i (3)
(4)
(1) va (2) tengliklarni bevosita qo'llash qiyin emas. Kompleks sonlarni ko'paytirish
amalini i 2 = -1 ekanligini e'tiborga olib, ko'phadlarni ko'paytirish kabi bajarish mumkin.
2 - m i s o l . ( 2 - i ) ( + 2 i ) = 2  + 2 2 i - i  - 2 i 2 = + 4 i - i + 2 = + i .
(4) formulani eslab qolish va amaliyotda bevosita qo'l lash ancha qiyin. Shu sababli
ni hisoblash uchun, uning surati va maxrajini c - di ga ko'paytirib, tegishli amal larni
bajarish qulaydir.
3-misol
.

Kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallari xossalari haqiqiy sonlarnikiga
o'xshash;
1)
z + w= w + z; 1') zw = wz;
2)
(z + w) + t = z+(w + t); 2 ' ) (zw)t=z(wt);
3) z + 0= z; 3' ) z  l = z ;
4) z(w +t) = zw +zt.
z +w = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi z, w kompleks sonlari o'zaro qarama-qarshi sonlar
deyiladi. z kompleks soniga qarama-qarshi sonni -z bilan belgilash qabul qilingan. z = a
+ bi kompleks songa qarama-qarshi bo'lgan yagona kompleks son mavjud va bu son –
z=-a- bi komp leks sonidan iborat.
zw=1 tenglikni qanoatlantiradigan z va w kompleks sonlari o'zaro teskari kompleks
sonlar deyiladi. z = 0 soniga teskari son mavjud emas. Har qanday z 0 kompleks
songa teskari kompleks son mavjud. Bu son - sonidan iborat. z = a + bi kompleks
songa teskari bo'lgan sonini topamiz:
bunda i 2
har safar -1 ga almashtiriladi.

1. Qo’shish amali. z
1 =a
1 +b
1 i va z
2 =a
2 +b
2 i kompleks sonlarning yig‘indisi deb haqiqiy
qismi qo’shiluvchi kompleks sonlar haqiqiy qismlarining yig‘indisiga, mavhum
qismi ularning mavhum qismlarining yig‘indisiga teng bo‘lgan z kompleks songa
aytiladi va u quyidagicha yoziladi:
z=( a
1 + a
2 ) + (b
1 + b
2 )i
Misol: (5-3i) + (3+3i)=(5+3) + (3-3)i= 8
(2+5i) + (-2+5i)=(2-2) + (5+5)i= 10i
2. Ayirish amali. z
1 =a
1 +b
1 i kompleks sondan z
2 =a
2 +b
2 i kompleks sonning ayirmasi
deb z
1 va z
2 ga qarama – qarshi bo‘lgan – z
2 sonlarning yig‘indisidan iborat bo‘lgan
kompleks songa aytiladi:
z = z
1 + (-z
2 )= ( a
1 - a
2 ) + (b
1 - b
2 )i
Misol: (10+2i) – (3 - 4i) = (10 - 3) – (2+4)i = 7+6i
(4+5i) – (3+5i)= (4 - 3) – (5 - 5)i = 1
3. Ko‘paytirish amali . z
1 =a
1 +b
1 i va z
2 =a
2 +b
2 i kompleks sonlarning
ko‘paytmasi deb
z= α
1 × α
2 =(a
1 a
2 – b
1 b
2 ) + (a
1 b
2 + a
2 b
1 )i
kompleks songa aytiladi. Kompleks sonlarni ko‘paytirganda i 2
=-1 ,
i 3
= -i , i 4
= i 2
×i 2
=1, i 5
=i va hokazo, umuman k butun bo‘l ganda i 4k
=1, i 4k+1
=i, i 4k+2
= -1 ,
i 4k+3
=-i ekanligini e’tiborga olish kerak.
Misol: (5+2i)(3-4i)= 23-14i
(2+i)(2-i)= 4+1=5
4. Bo‘lish amali. z
1 =a
1 +b
1 i kompleks sonning z
2 =a
2 +b
2 i kompleks songa bo‘l inmasi
deb z
1 = z× z
2 tenglikni qanoatlantiradigan z kompleks songa aytiladi va u quyidagi
formula bilan topiladi:

Misol:
O‘rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri:
(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)
(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi)
(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]1-teorema.
Isbot . z=a + bi,w = c + 4i bo'lsin. U holda = a-bi, = c-di va =
= a + c - (b + d)i = (a - bi) + (c- di) =
2-teorema.
I s b o t. Haqiqatan,
= = ac - bd - -(ad + bc)i. Ikkinchi
tomondan,
= (a-bi)(c-di) = ac- bd-(ad+bc)i. Natijalar bir xil. Demak,
.Xususan,z 0 bo'lsa, z ga teskari bo'lgan songa qo'shma son z ga qo'shma sonning
teskarisi bo'ladi. Haqiqatan, 2- teoremaga ko'ra z  = l tenglikdan = 1
olinadi. Bundan =
N a t i j a. Kompleks sonning natural ko'rsatkichli da rajasiga qo'shma son, berilgan songa
qo'shma sonning shu natural ko'rsatkichti darajasiga teng; .

2. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar.
1. Kompleks sonning trigonometrik shakli. Kompleks sonlarga oid ko'pgina
tushunchalar ayoniy bo'lishi uchun kompleks sonni biror geometrik shakl (figura, tasvir)
sifatida qarash qulaydir.
Biz z = x + yi kompleks sonning geometrik shakli sifatida, XOY koordinata
tekisligidagi A(x; y) nuqtani yoki boshi O(0; 0) nuqtada, oxiri esa A(x; y) nuqtada
bo'lgan vektorni qabul qilamiz (17- a, b rasmlar). Bunda koor dinata tekisligining har
bir nuqtasi faqat bitta kompleks sonni tasvirlaydi va aksincha, har qanday kompleks son
faqat bitta nuqtada tasvirlanadi. Haqiqiy sonlarga abssissalar o'qining nuqtalari, bi (i R}
sof mavhum sonlarga esa ordinatalar o'qining nuqtalari mos keladi. Shunga ko'ra,
koordinatalar tekisligi kompleks tekislik , abssissalar o'qi haqiqiy o'q , ordinatalar o'qi esa
mavhum o'q deb ham ataladi.
z = x + yi kompleks sonining geometrik tasviri bo'lgan vektor uning radius-vektori
deyiladi. Har qanday z = x + yi kompleks son yagona radius-vektorga ega, chunki x, y
sonlari yagona A(x; y) nuqtani (vektorning oxirini) aniq laydi. Kompleks son radius-
vektorining uzunligi shu son ning moduli deyiladi. z =x + yi kompleks sonning modulini
 z  yoki r bilan belgilaymiz.  z  , x, y haqiqiy sonlar quyidagi tenglik bilan
bog'langan:
z  = . (1)
Haqiqatan ham, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga k o ' r a ,
t e n g l i k o'rinlidir (17- b rasm).
4- misol. z= -i kompleks sonning modu lini toping.
Yechish. x = , y =- bo'lgani uchun, . - vektor
z = x +iy 0 kompleks sonning radius- vektori bo'lsin (17- b rasm). Markazi O(0; 0)
nuqtada bo'lgan r=  z  radiusli aylananing B(r; 0) nuqtasini, O nuqta atrofida bu
nuqta A(x; y) nuqta bilan ustma-ust tushadigan qilib buramiz (17-d rasm). Bu ishni, bir-
biridan 2 ga karrali bo'lgan burish burchagiga farq qiladigan chek siz ko'p burish
burchaklari yordamida amalga oshirish mumkin. Shu burish burchaklarining har biri z =
x + iy kompleks sonning argumenti deb ataladi.
17- d rasmda z = x + iy kompleks sonning argument- laridan biri bo'lgan  burchak
ko'rsatilgan.
z = x+iy kompleks sonning barcha argumentlari to'p lamini Arg(z) bilan belgilaymiz.

Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki, agar  Arg(z) bo'lsa, u holda ixtiyoriy k Z son
uchun  + 2 k Arg(z) bo'ladi. Shu sababli Arg(z) to'plamni quyidagicha tasvirlash
mumkin:
Arg(z) = {  + 2 k :  k Z}.
Burish burchagining kosinusi va sinusi ta'riflaridan ko'rinadiki, z = x + yi kompleks
sonning har qanday cp argument! uchun quyidagi munosabatlar o'rinli:
cos  = , sin  =
Bu tengliklar asosida, z = x + yi kompleks sonini z =  z|(cos(  + i sin  ) ko'rinishida
yozib olish mumkin. Bunday yozish kompleks sonni trigonomelrik shaklda tasvirlash deb
yuritiladi.
Kompleks son cheksiz ko'p argumentlarga ega bo'lgani uchun, uni cheksiz ko'p usullar
bilan trigonometrik shaklda yozish mumkin. Shu sababli kompleks sonning trigono metrik
shaklini tayin bir oraliqda yotadigan argument orqali yozish maqsadga muvofiqdir. Biz ana
shunday oraliq sifatida [0; 2 ] oraliqni olamiz. Bu oraliqda har qanday z(z 0 ) kompleks
sonining faqat bitta argumenti yotadi.
z = x + yi kompleks sonining [0; 2 ] oraliqda yotadi gan argumenti shu sonning bosh
argumenti deyiladi va arg(z) bilan belgilanadi. Shunga muvofiq ravishda,z =  z |
(cos(arg(z)) + isin(arg(z))) ni z kompleks sonning bosh trigonometrik shakli deb ataymiz.
Bundan keyin, kompleks sonning argumenti va kompleks sonning trigo nometrik shakli
deyilganda, mos ravishda kompleks son ning bosh argumenti va bosh trigonometrik shakli
nazarda tutiladi.
Endi z = 0 soni ustida to'xtalamiz. Bu sonning moduli 0 ga teng, lekin argumenti
aniqlanmaydi.

5- m i s o 1. a) 1 + i; b) 3i; d) -1 + i; e) 1 – i sonlarini trigonometrik shaklda ifodalang.
Y e c h i s h .a) |1 + i  = , ,
1 +i= (cos + isin
) (18- a rasm);
a)  3i  =3 , , 3i = 3(cos +isin ) (18-b rasm);
3 .Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish,
bo’lish,darajaga ko’tarish.
Trgonometrik shaklda yozilgan kompleks sonlarni ko’poaytirish,bo’lish va
darajaga ko’tarish qoidalarini keltirib chiqarish uchun asos bo’ladigan
teoremalarni qaraymiz.
1-teorema. Kompleks sonlar ko’paytmasining moduli ko’paytuvchilar modullarining
ko’paytmasiga tenng, ko’paytuvchilarning har qanday argumentlari yig’indisi shu
kompleks sonlar ko’paytmasining biror argumenti bo’ladi.
Isbot. z=r(cosφ+ i sinφ) va w=R(cosα+ i sinα) larz,w kompleks sonlarning biror
trigonometrik shakli bo’lsi. U holda, z va w sonlar ko’paytmasini ko’phadlarni
ko’paytirish qoidasi yordamida topsak, zw=rR(cos(φ+·)+isin(φ+α)) hosil bo’ladi.
Demak |zw|=rR=|z||w| va φ+α ning biror argumentidan iborat
2-teorema. Kompleks sonlar nisbatining moduli bo'linuvchi va bo'luvchi
modullarining nisbatiga teng, bo'linuvchi va bo'luvchi har qanday argumentlarining
ayirmasi bo'linmaning biror argumenti bo'ladi.
Isbot. z =
=r(cosφ+ i sinφ) va w =R(cosα+ i sinα) lar z va w kompleks sonlarining biror
trigonometrik shakli b o l s m .
U h o l d a
tenglik bajariladi. Bu yerdan esa ekanligi va φ-α sonning uchun argument bo'lishi
kelib chiqadi.
Endi trigonometrik shaklda berilgan sonlarni ko' paytirish, bo'lish va darajaga
ko'tarish qoidalarini kelti ramiz.
Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda
bo'lishi shart emas!) berilgan
z=r(cos φ + i sin φ ) va w=R(cos φ + i sin φ ) kompleks sonlarni:
a) ko'paytirish uchun, zw=rR(cos(φ+α)+ i sin(φ+ α )) tenglikni tuzish va φ + α ni bosh
argument bilan almashtt rish;
b) bo'lish uchun , = (cos(φ-α)+ i sin(φ- α )) teng likni tuzish va φ – α ni bosh
argument bilan almashtirish kerak.

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko' paytirish qoidasini z n = z · z · · · z (n
ta ko'paytuvchi) ko’ paytma uchun ketma-ket tatbiq etib, z n ni hisoblash qoi dasini hosil
qilamiz:
zn =(r(cosφ + isinφ)) n ni hisoblash uchun, zn =r n(cosnφ + isinnφ) n tenglikni tuzish va
nφ argumentni bosh argument bilan almashtirish kerak. Agar z =cos φ + i sin φ bo'lsa, darajaga
ko'tarish for mulasi quyidagi ko'rinishni oladi: (cosφ + isinφ) n =
cosnφ + i sinnφ. Bu
tenglik Muavr formulasi deyiladi.
4.Kompleks sondan ildiz chiqarish.
z kompleks sonning n-darajali ildizi deb, w n= z tenglik bajariladigan har qanday w
kompleks songa aytiladi (bu yerda n N). Agar z=0 bo’lsa, w n= 0 (n N)
tenglik w=0 soni uchungina bajariladi.
Agar z o bo’lsa, w n= z (n N) tenglik w ning n ta har xil kompleks ildizlarga ega
bo’lishini isbotlaymiz.
Teorema.
z=r(cosφ+ i sinφ) 0 kompleks soni n ta har xil w k kompleks ildizlarga
ega va bu ildizlar quidagi formula bilan toiladi:
k=0,1,2,…,n-1
Isbot.
w=R(cosα+ i sinα) kompleks somi z=r(cosφ+ i sinφ) 0 sonning n-darajali ildizi
bo’lsin. U holda R n (
cosnφ + i sinnφ )= r(cosφ+ i sinφ) tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkita
kompleks sonning modullari teng va argumentlari bir-biridan 2π k (bu yerda k
Z)
qo’shiluvchiga farq qilsagina, ular teng bo’adi. Shu sababli
R= , (1)
(2)
t engliklar bajariladi. Hosil qilingan b'u tengliklarni w ning trigonometrik shakliga qo'yamiz;
(3)
Bu yerdan ko'rinadiki, z = r(cosα + i sinα) komp leks sonining bar qanday n- darajali
ildizi (3) ko'rinishda bo'ladi. Aksincha, (3) ko'rinishdagi har qanday kompleks son
z=r(cos φ + i sin φ ) kompleks sonining n- darajali il dizi bo'ladi. Buni darajaga ko'tarish
yordamida bevosita tekshirib ko'rish mumkin.
Shunday qilib, (3) ko'rinishdagi sonlar va faqat shu sonlargina z=r(cos φ + i sin φ )
kompleks sonining n- da rajali ildizi bo'ladi.

$Endi (3) formula z 0 sonining n ta h ar xil ildizini aniqlashini ko'rsatamiz. Qulaylik uchun (3) formuladagi w ning k ga bog'liq ekanligini oshkor ko'rinishda yozib olayik: (4) k = 0 , k =1, ..., k = n- 1 bo'lganda bu formula yorda mida w 0 , w 1 , ..., w n-1 _ son lari hosil qilinadi. Bu son lar ning argumentlari bir- bi ridan 2π ga karrali bo' l ma gan qo'shiluvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun bu sonlar orasida tenglari mav jud bo'lmaydi, ya'ni ular n tadir. Endi ixtiyoriy sonini soniga qoldiqli bo'larniz: k = n · m + s, bu yerda m Z, s {0, 1, 2, ..., n- 1}. U holda, Bu yerdan ko'rinadiki, (4) formuladagi k ning o'rniga h ar qanday butun son qo'yilganda ham, w 0 , w 1 , .,., w n-1 { sonlardan birortasi hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi. Markazi koordinatalar boshida bo'lgan radiusli aylanani qaraymiz. W 0 , W 1 , ..., W n-1 nuqtalar shu aylanada yotadi va uni n ta teng yoylarga ajratadi, chunki qo'shni W k nuqtalarning argumentlari bir- birlaridan - ga farq qiladi. Demak, bu nuqtalar aylanaga ichki chizilgan muntazam n burchakning uchlari bo'ladi (20- rasmda bu muntazam oltiburchak, chizmada n = 6<W 0 OW 5 = ).$

1-slayd
2-slayd

3-slaydMavhum birlik haqida tushuncha.
x 2
+4=0 tenglamani yechish jarayonida x
1 =2 va x
2 =-2 ,,sonlar’’
hosil bo`ladi. Haqiqiy sonlar orasida esa bunday ,,sonlar’’ mavjud emas.
Bunday holatdan qutulish uchun ga son deb qarash zarurati paydo
bo`ladi.
Bu yangi son hech qanday real kattalikning o`lchamini yoki uning
o`zgarishini ifodalaydi. Shu sababli unli mavhum birlik deb atash va
maxsus belgilash qabul qilingan: =i. Mavhum birlik uchun i 2
=-1 tenglik
o`rinlidir.A
lgebrai
k
ko`rinishidag
i kom
pleks
sonlar.
Ta’rif.
z=a+bi
ko`rinishidagi
son kom
pleks
son deb
ataladi. Bu
yerda a va b
sonlar haqiqiy
sonlar, i-
m
avhum

birlik. Re(a+bi)
=a,
Im
(a+bi)=bi.
Kom
pleks
sonlar
to`plam
i C
orqali
belgilanadi.
O`ZARO QO`SHMA
KOMPLEKS SONLAR
a+bi va a-bi
ko`rinishidagi sonlar o`zaro
qo`shma kompleks sonlar
deyiladi. TENG KOMPLEKS SONLAR.
Ikkita a+bi va c+di
kompleks sonlar faqat va
faqatgina a=c va b=d
bo`lgandagina bir-biriga teng
kompleks sonlar deyiladi.
QARAMA-QARSHI KOMPLEK SONLAR.
-a –bi soni a+bi soniga qarama-qarshi kompleks
son deyiladi.

4-ilovaKompleks sonlar ustida amallar.
AYIRISH.
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
BO`LISH.QO`SHISH.
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)+(c+di)+(m+ni)=(a+c+m)+(b+d+n)i;
(a+bi)+(a-bi)=2a;
(a+bi)+(-a-bi)=0.
Misollardan namunalar.
z
1 =3-2i va z
2 =1+3i kompleks sonlarning
a) yig’indisini b) ayirmasini d) ko’paytmasini e) bo’linmasini
toping.
Yechish:
z
1 +z
2 =(3-2i)+(1+3i)= (3+1)+(-2+3)i =4+i;
z
1 -z
2 =(3-2i)-(1+3i)=(3-1)+(-2-3)i=2-5i;
z
1 *z
2 =(3-2i)(1+3i)=3*1+3*(3i)-2i*1-2i*1-2i*(3i)=3+9i-2i-
6i 2
=3+7i-6*(-1)=9+7i;
d) KO`PAYTIRISH.
(a+bi)*(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)=
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(a+bi*)(a-bi)=a 2
+b 2
.

5-slayd
KOMPLEKS SONDAN KVADRAT ILDIZ CHIQARISH
ni his о bl а ng.
Yechish. K о mpl е ks s о nd а n kv а dr а t ildiz chiq а rish f о rmul а l а ri
1) v а
2) l а rd а n f о yd а l а n а miz.
B е rilg а n mis о ld а bo’lg а nligi uchun birinchi f о rmul а ni qo’ll а ymiz:

6-slayd

KOMPLEKS SONNING TRIGONOMETRIK SHAKLI.
z=|z| (cos(arg(z)+isin(arg(z))) komplers sonnng
trigonometrik shakli.
MISOL: z=1+3i alg е braik shakldagi kompl е ks sonni trigonom е trik shaklga k е ltiring.
Yechish. Buning uchun г va  larni topib ularni ) sin (cos   i r bi a   
ga qo’yamiz. k= =2 б k=2 б tg  = . tg  = dan  =
bo’ladi.
D е mak, z=2(cos +isin ).
2-misol. ni trig о n о m е trik sh а klg а k е ltiring.
Yechish.

7-slayd
Bo’lish.Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar
ustida amallar.
Ko’paytirish.
z
1* z
2 =r
1  r
2 ((cos 
1 cos 
2 -
sin 
1 sin 
2 )+i(sin 
1 cos 
2 +cos 
1 sin 
2 )),
z
1* z
2 =r
1 r
2 ((cos( 
1 + 
2 )+
sin( 
1 + 
2 )) Darajaga
ko’tarish.
z n
=(r(cos  +isin  ) n
=
r n
(cosn  +isinn  )Misol.
z
1 =4(cos60 0
+ isin60 0
),
z
2 =2(cos15 0
+isin15 0
) bo’lsa, u
xolda
Misol.Misol.
z
1 =2(cos23 0
+isin23 0
),
z
2 =3(cos22 0
+ism22 0
) bo’lsa,
u xolda
z
1 z
2 =6(cos45 0
+isin45 0
) .

XULOSA
Ushbu bitiruv malakaviy ishimda Komplek sonlar va ular ustida amallar haqida
to’la ma’lumot berishga harakat qildim. Usulni tanlashda bir qator omillar-mazkur
bosqichda yechiladigan misol, masalalari, o’quvchilarning yosh va individual
xususiyatlari, zarur didaktik vositalarning mavjudligi va boshqalar hisobga olgan holda
tayyorlandi. Elementar matematik tasavvurlarni shakllantirishda amaliy va o`yin
metodlari bilan birga qo`llanadi. Bu ularning mohiyatini hech bir kamaytirmaydi.
Bitiruv malakaviy ishimni xulosalar ekanman, Komplek sonlar va ular ustida
amallar haqida har qanday usul bilan dars o`tmaylik, shu usul jamiyatga, hayotiy
voqealarga bog`lab dars o`tilsagina, o`quvchini darsga qiziqtira olsa bu birinchi
navbatda bizning yutug`imiz hisoblanadi.Shu jumladan Kompleks sonlarni yechishni
to’rtta amal usulida qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, trigonometric shakli va
kvadrat ildiz chiqarish kabi mavzularga doir bo’lgan masalalarni o’z bitiruv ishimda
yoritib o’tdim.
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak zamonaviy axborot tehnalogiyalari Komplek sonlar va
ular ustida amallar haqida bugungi o’quvchilarga haqida to’la va to’g’ri ma’lumot
berib, ulardan oqilola foydalanish usullarini o’rgata olsak, o’ylaymanki biz
oldimizga qo’ygan asosiy maqsadlarimizdan biriga erishgan bo’lamiz.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1. Abduhamidov A.U., Nasimov X.A., “Algebra va matematik analiz asoslari” I-II-qism
Akademik litseylar uchun o’quv qo’llanma. T-2000 yil.
2. Nasimov X. va boshqalar. “Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami”.T.-
2004 yil.
3. Nasimov X. va boshqalar. “Algebra va analiz asoslari”.T-2004 yil.
4. B.Abdalimov, A.Abdug’apporov va boshqalar. “Oliy matematikadan masalalar yechish
bo’yicha qo’llanma” .Toshkent-1985 yil.
5. Sh. I. Tojiyev “MATEMATIKA” Toshkent-1990 yil.
6. A. Sa’dullayev, H.Mansurov va boshqalar “Matematik analiz kursidan misol va masalalar
to’plami” I qism. Toshkent-1993 yil.
7. A.U.Umrbekov,Sh.Sh.Shoabzalov “Matematikani takrorlang”.Toshkent-1990 yil.
8. H.A.Nasimov,D.D.To’raqulov “Matematikadan PRAKTIKUM”Toshkent-1990 y.
1. http://www.Ziyonet.uz
2. http://www. Google.uz.
3. http://www. matanaliz .uz
4. http://www. matematikbilimdon.uz

“ KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR ” M U N D A R IJA Kirish . I BOB. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar . 1.1 Qo’shish amali. 1.2 Ayirish amali. 1.3 Ko‘paytirish amali. 1.4 Bo‘lish amali. II BOB. . Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar. III BOB. Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish, bo’lish,darajaga ko’tarish. IV BOB. Kompleks sondan ildiz chiqarish. V BOB. Prеzеntatsiya namoyishlar Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar

Samarqand Davlat Universiteti xuzuridagi pedagog kadirlarni qayta tayyorlash va ularni malakasini oshirish mintaqaviy markazining “Matematika” fani o’qituvchisi Babakulova Dilbarningning “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” ” Mavzusidagi Bitiruv ishiga ilmiy raxbarning X U L O S A S I Bugungi kunda ta’lim jarayonida matematika ga bo’lgan talab borgan sari ortib bormoqda. Fan ta’lim rivojlangan sari Axborot texnologiyalarining ham yangidan yangi turlari ko’plab imkoniyatlari yaratilmoqda. Axborot texnologiyalari nafaqat ta’lim tizimida balki barcha sohalarda ham qo’llanilib kelinmoqda. Xozirgi vaqtda biror bir sohani matematikasiz tasavvur qilish qiyin. Ushbu Bitiruv Malakaviy Ishida Komplek sonlar va ular ustida amallarini misol va masalalar bilan yoritib berilgan. Shu bilan birga slaytlar bilan yanada to’liq yoritib bera olgan . Babakulova Dilbar tomonidan tayyorlangan “Komplek sonlar va ular ustida amallar” mavzusidagi Bitiruv ishi o’rnatilgan talablarga mos ravishda tayyorlangan va talab qoidalarga to’liq mos keladi. Mavzuni o’rganuvchi uchun oson qilib yoritib bergan. Ushbu Bitiruv Malakaviy ishini ijobiy tomondan baholash mumkin deb xisoblayman. Ilmiy Raxbar: N.Ravshanova

KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Mustaqillikka erishilgandan keyin barcha sohalardagi kabi ta`lim tizimida ham jiddiy islohatlar amalga oshirildi, ta`limning sifatini yaxshilashga kirishildi. Ta`lim berishning yangi usullari joriy qilina boshlandi. Shulardan eng asosiysi o`quvchilarga yangi pedagogik texnologiya asosida dars berish masalasi. Bu usulni matematika sohasida ishlashga ham tadbiq qilish yangi samara berishi amalda tasdiqlandi. O`quvchilarning badiiy didini o`stirish, dunyoqarashini kengaytirish uchun ularning kompyuter va zamonaviy tehnalogiyalar asosida ishlashi juda muhim. Buning usullarini ishlab chiqish esa, hech qachon dolzarbligini yo`qotmaydi. Biz mazkur bitiruv ishimizda bu xususida o`z taklif va mulohazalarimizni ifodalashga harakat qilamiz. Jamiyatning barcha qatlamlarini, ayniqsa, yoshlarni yuksak ma`naviyat va ma`rifat sohibi qilib tarbiyalash bugungi kunning dolzarb masalasidir. Kursni tugatish ishining maqsadi. Bitiruv makalaviy ishimizni yozishdan asosiy maqsadi o’quvchilarga o’z sohamiz bo’yicha to’g’ri tarbiya berish bilan birga Kompleks sonlar va ular ustida amallarni o’rgatish usullarining eng qulay va sodda tartibda o’rgatish yo’llari haqida bayon qilamiz. Kursni tugatish ishining obyekti. Kasb-hunar maktabi o’quvchilari va pedagoglar. Mazkur kurs ishi kompleks sonlar va ular ustida amallar oid manbalar va uslubiy tavsiyalarni o`z ichiga oladi.

I BOB. 1. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar . Kompleks sonlar ta'limoti ilm-u fanda, xususan, ma tematikada alohida o'rin tutadi. Tez rivojlanayotgan bu soha texnikada, shuningdek ishlab chiqarishning ko'plab so halarida g'oyat keng qo'llanishga ega. Shu sonlar haqida ayrim ma'lumotlarni keltiramiz. Xususiy bir misoldan boshlaylik. x 2 + 4 = 0 tenglamani yechish jarayonida x 1 = 2 va x 2 = -2 «sonlar» hosil bo'ladi. Haqiqiy sonlar orasida esa bunday «sonlar» mavjud emas. Sunday holatdan qutulish uchun ga son deb qarash zarurati paydo bo'ladi. Bu yangi son hech qanday real kattalikning o'lchamini yoki uning o'zgarishini ifodalamaydi. Shu sababli uni mavhum (xayoliy, haqiqatda mavjud bo'lmagan) birlik deb atash va maxsus belgilash qabul qilingan: = i. Mavhum birlik uchun i 2 =-l tenglik o'rinlidir. a + bi ko'rinishdagi ifodani qaraymiz. Bu yerda a va b lar istalgan haqiqiy sonlar, i esa mavhum birlik. a + bi ifoda haqiqiy son a va mavhum son bi lar «kompleksi»dan iborat bo'lgani uchun uni kompleks son deb atash qabul qilingan. a + bi ifoda algebraik shakldagi kompleks son deb ataladi, bu yerda a R, b R, i 2 = - 1. Bu paragrafda a + bi ni qisqalik uchun «algebraik shakldagi kompleks son» deyish o'rniga «kompleks son» deb ishlataveramiz. Kompleks sonlarni bitta harf bilan belgilash qulay. Masalan, a + bi ni z = a + bi ko'rinishda belgilash mumkin.z =a + bi kompleks sonning haqiqiy qismi a ni Re(z) (fransuzcha reele - haqiqiy) bilan, mavhum qismi b ni esa Im(z)(fransuzcha imaginaire — mavhum) bilan belgilash qabul qilingan: a= Re(z), b = Im(z). Agar z=a + bi kompleks son uchun b=0 bo'lsa, haqiqiy son z = a hosil bo'ladi. Demak, haqiqiy sonlar to'plami R barcha kompleks sonlar to'plami C ning qism to'plami bo'ladi R C. 1 - m i s o l . z 1 = l+2i, z 2 = 2-i, z 3 = 2 , 1 , z 4 = 2i, z 5 = 0 kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlarini topamiz. Yechish. Kompleks son haqiqiy va mavhum qismlarining aniqlanishiga ko'ra, quyidagilarga egamiz: Re(z 1 )=l; Re(z 2 ) = 2; Re(z 3 ) = 2,l; Re(z 4 ) = 0; Re(z s )=0; Im(z 1 )=2; Im(z 2 ) = -i; Im(z 3 ) = 0; Im(z 4 ) = 2i; Im(z s ) = 0. Kompleks sonlar uchun « < », « > » munosabatlari aniqlanmaydi, lekin teng kompleks sonlar tushunchasi kiritiladi. Haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda teng bo'lgan kompleks sonlar teng kompleks sonlar deb ataladi. Masalan, z, = 1 , 5 + va z 2 = + 0,8i sonlari uchun Re(z 1 ) = Re(z 2 ) = l,5, Im(z 1 ) = Im(z 2 ) = 0,8. Demak, z 1 = z 2 Bir-biridan faqat mavhum qismlarining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son o'zaro qo'shma kompleks son lar deyiladi. z =a+ bi kompleks songa qo'shma kompleks son = a-bi ko'rinishda yoziladi. Masajan, 6+ 7i va 6- 7i lar qo'shma kompleks sonlardir: = 6-7i. Shu kabi soniga qo'shma son = z bo'ladi. Masalan, = =6+7i. a haqiqiy songa qo'shma son a ning o'ziga teng: = = a - 0 i =a. Lekin bi mavhum songa qo'shma son =-bi dir. Chunki = =0-bi=-bi,

a , b R. . Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i; (1) (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b- d )i; (2) (a + b i )  ( c + di ) = (ac - bd ) + (ad + bc)i (3) (4) (1) va (2) tengliklarni bevosita qo'llash qiyin emas. Kompleks sonlarni ko'paytirish amalini i 2 = -1 ekanligini e'tiborga olib, ko'phadlarni ko'paytirish kabi bajarish mumkin. 2 - m i s o l . ( 2 - i ) ( + 2 i ) = 2  + 2 2 i - i  - 2 i 2 = + 4 i - i + 2 = + i . (4) formulani eslab qolish va amaliyotda bevosita qo'l lash ancha qiyin. Shu sababli ni hisoblash uchun, uning surati va maxrajini c - di ga ko'paytirib, tegishli amal larni bajarish qulaydir. 3-misol . Kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallari xossalari haqiqiy sonlarnikiga o'xshash; 1) z + w= w + z; 1') zw = wz; 2) (z + w) + t = z+(w + t); 2 ' ) (zw)t=z(wt); 3) z + 0= z; 3' ) z  l = z ; 4) z(w +t) = zw +zt. z +w = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi z, w kompleks sonlari o'zaro qarama-qarshi sonlar deyiladi. z kompleks soniga qarama-qarshi sonni -z bilan belgilash qabul qilingan. z = a + bi kompleks songa qarama-qarshi bo'lgan yagona kompleks son mavjud va bu son – z=-a- bi komp leks sonidan iborat. zw=1 tenglikni qanoatlantiradigan z va w kompleks sonlari o'zaro teskari kompleks sonlar deyiladi. z = 0 soniga teskari son mavjud emas. Har qanday z 0 kompleks songa teskari kompleks son mavjud. Bu son - sonidan iborat. z = a + bi kompleks songa teskari bo'lgan sonini topamiz: bunda i 2 har safar -1 ga almashtiriladi.

O'xshashlar

String turidagi satrlar va ular ustida amallar.

”Minglik” mavzusida sonlarni nomerlashga o’rgatish metodikasi va ular ustida amallar bajarish metodikasi

”O’nlik” mavzusida sonlarni nomerlashga o’rgatish metodikasi va ular ustida amallar bajarish metodikasi

”Yuzlik” mavzusida sonlarni nomerlashni o’rgatish metodikasi va ular ustida amallar bajarish metodikasi

Noravshan to’plamlar ustida amallar