Logarifmik va ko'rsatkichli tenglama va tengsizliklarni o'rganish metodikasi

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

516.982421875 KB

Ko'chirib olish

MAVZU:Logarifmik va ko'rsatkichli tenglama va
tengsizliklarni o'rganish metodikasi
REJA:
1. Logarifmik tenglama.
2. Ko`rsatkichli tengsizliklar.
3. Tenglama,tengsizlik va ularning
sistemalarini asosiy sinflarini o’rganish
metodikasi.

Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglama va tengsizliklar.
Ko rsatkichli tenglama va tengsizliklar transtsendent tenglama va ʼ
tengsizliklar sinfiga kiradi.
Ta rif:
ʼ O zgarmas asoslarda daraja ko rsatkichlarida noma lum ʼ ʼ ʼ
qatnashgan tenglama(tengsizlik) lar ko rsatkichli tenglama va
ʼ
tengsizliklar deb ataladi.
Ko rsatkichli tenglama(tengsizlik)larni yechish
ʼ
1. y= a x
ko‘rinishdagi funkciya ko‘rsatkichli funkciya deyiladi. Bunda
a
 1, a  0.
2. a
 1 bo‘lsa, y= a x
funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a) D(y)=R;
b) E(y)=R
+ ;
v) funkciya o‘sadi ;
g) x=0 da y=1;
d) x>0 da a x
>1;
e) x<0 da 0< a x
<1.
1- shakl.
3. y= a x
funkciya 0< a<1 da quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a) D(y)=R;
b) E(y)=R
+ ;
v) funkciya kamayadi;
g) x=0 da y=1;
d) x>0 da 0< a x
<1;
e) x<0 da a x
>1.
2-shakl.
Ta’rif: Musbat b sonining a asosga ko‘ra logarifmi deb b ni hosil qilish
uchun a ni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichiga aytiladi. Bunda
a
 1, a>0.
v sonining a asosga ko‘ra logarifmi odatda log
a b ko‘rinishda yoziladi.
Ta’rif: Asosi 10 dan iborat bo‘lgan logarifmlarni o‘nli logarifmlar deyiladi.
Ularni odatda lgb ko‘rinishda yoziladi, bunda b ixtiyoriy musbat son.
Ta’rif: Asosi e sonidan iborat logarifmni natural logarifm yoki Neper
logarifmi deyiladi. Ularni odatda lnb ko‘rinishda yoziladi, bunda b
ixtiyoriy musbat son.
y=a x
ko‘rsatkichli funkciya monoton funkciya bo‘lib, u teskarilanuv- x0y
1 y= а x
а>1
x0y
1 y= а x
0< а<1

chidir.
y=a x
funkciya grafigini y=x to‘g‘ri chizig‘iga nisbatan simmetrik
akslantirsak, y=log
a x funkciya grafigini hosil qilamiz.
4. a>1 bo‘lsa, logarifmik funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a) D(y)=R
+ ;
b) E(y)=R;
v) funkciya o‘sadi;
g) x=0 da l o g
a x=0;
d) 0<x<1 da l o g
a x<0;
e) x>1 da l o g
a x>0 ( 3-shakl ).

5. y= log
a x funkciya 0<x<1 da quyidagi xossalarga ega:
a) D(y)=R
+ ;
b) E(y)=R;
v) funkciya kamayadi;
g) x=0 da l o g
a x=0;
d) 0<x<1 da l o g
a x>0;
e) x>1 da l o g
a x<0 (4 -shakl ).
4- shakl.
Logarifmlar quyidagi asosiy xossalarga ega:
1. log
a (x y)= log
a x+log
a y;
2.
log a(
x
y)= log ax− log ay;
3. l o g
a y k
=k
 l o g
a b;
4.
log ay=log cy
log ca ; (c≠1; c>0);
5.
log aky= 1
klog ay, k≠ 0;
6.
log amyn= n
m log ay, m≠0;
7. l o g
a a=1;
8. l o g
a 1=0;
9.
xlog ay= ylogax, bu yerda x,y lar musbat haqiqiy sonlar.
10.
alog ab= b
11.
log ay= log anyn x0y
1 y=lоg
a x, 0<a<1 x0y
1
y=l о g
a x, a>0
y=l о g
a x, 0<a<1
3-шакл.

12. log ay= 1
log ya.
Yuqoridagi barcha formulalar o‘nli va natural logarifmlar uchun ham o‘rinli
bo‘laveradi.
1. Ko‘rsatkichli tenglama.
Ta’rif: Noma’lum o‘zgaruvchi daraja ko‘rsatkichida ishtirok etgan
tenglamaga ko‘rsatkichli tenglama deyiladi
Sodda ko‘rsatkichli tenglama a x
=b ko‘rinishda yoziladi, bunda a>0,
b>0, a
 1. Bu tenglamaning ikkala qismini a asosga ko‘ra logarifmlab,
x=log
a b ni topamiz.
1- misol. 5 2x-1
=y 3-x
tenglamani yeching.
Yechish. 2x-1=(3-x)log
5 y yoki
x=
1+3log 5y
2+log 5y ni hosil qilamiz.
Quyida ko‘rsatkichli tenglamalarning maxsus turlarini qaraymiz:
1.1.
 a 2x
+  ax
+  =0 (a>0, a  1) ko‘rinishdagi tenglama
Bunday tenglama a x
=t
1 va a x
=t
2 tenglamalar sistemasini yechishga
keltiriladi. Bunda t
1 , t
2
 a 2x
+  ax
+  =0 tenglamaning ildizlari.
2- misol.
8
2x− 2
3(1+1x)+12 = 0 tenglamani yeching.
Yechish: Daraja ko‘rsatkichining xossalaridan foydalanib,
(8
1
x)
2
− 2
3(1+1
x)
+12 = 0 ёки (8
1
x)
2
− 8⋅8
1
x+12 = 0
tenglamani hosil
qilamiz.
t=8
1
x
almashtirish bajarib, t 2
-8t+10=0 ni olamiz. Uni yechib, t
1 =2 t
2 =6 ni
olamiz. U holda dastlabki tenglama
{8
1
x
=2
¿
¿¿¿ sistemaga ekvivalent bo‘ladi.
Bu sistemani 8 asosga ko‘ra logarifmlab,
{
1
x
= log 8 2 ¿ ¿ ¿ ¿

ni hosil qilamiz.

1.2.  a 2x
+  (ab) x
+  b 2x
=0 ko‘rinishdagi tenglama
Bunday tenglama
t= ax
bx almashtirish yordamida kvadrat tenglamaga
keladi.
3- misol. 9 x
+6 x
=2 2x+1
tenglamani yeching.
Yechish: Daraja ko‘rsatkichining xossalaridan foydalanib, quyidagi
3 2x
+2 x

3 x
=2  2 2x
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning ikkala qismini
2 2x
ga bo‘lib,
t=(
3
2)
x belgilash kiritib, t 2
+t=2 kvadrat tenglamani hosil
qilamiz. Uni yechib, t
1 =1, t
2 =-2 ildizlarni topamiz.
U holda
{(
3
2)
x
=1¿¿¿¿ sistema hosil bo‘ladi, uning 1-tenglamasini
3
2 asos
bo‘yicha logarifmlab, x=0 ekanini topamiz.Sistemaning 2-tenglamasi
yechimga ega emas, chunki
(
3
2)
x x ning har qanday qiymatlarida noldan
katta.
Javob : x=0.
1.3. Ko‘paytuvchilarga yoyish bilan yechiladigan tenglamalar
4- misol. 25
 2 x
-10 x
+5 x
=25 tenglamani yeching.
Yechish: Qo‘shiluvchilarni quyidagicha guruxlaymiz: 25
 2 x
-25+5 x
-
2 x

5 x
=0
25(2 x
-1)+ 5 x
(1-2 x
)=0 , umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga
chiqarsak, (25-5 x
)( 2 x
-1)=0 tenglamani olamiz. Bundan esa 5 x
=25 yoki
2 x
=1 tenglamalarni olamiz. Bu tenglamalardan x=2 yoki x=0 yechimni
topamiz.
Javob: x={0;2}
1.4. a(x) b(x)
=1 ko‘rinishdagi tenglama

Bu tenglama {a(x)=1¿¿¿¿ sistemaga teng kuchli bo‘ladi.
5- misol.
|x−5|x2−5x+6=1 tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama
{x− 5= 1¿¿¿¿ sistemaga teng kuchli.
Sistemaning 1- tenglamasi x
1 =6 ildizga, ikkinchisi esa x
2 =2,
x
3 =3 ildizlarga ega. Dastlabki tenglama ildizlari {2;3;6} sonlar bo‘ladi.
1. Оддий кўрсаткичли тенглама ва тенгсизликлар
хоссага асосан қуйидаги оддий кўрсаткичли тенгламалар ечилади

ax= b ёки a x= a c ;
(1)

a f(x)= b ёки a
f(x)
= a c ;
(2)

a f(x)= b g(x) ёки a
f(x)
= a
g(x) .
(3)
a
x
= b
тенгламанинг ечими a>0 , a≠ 1 ва b > 0 да
x= log ab
дан иборат. Агар b сонини b= ac кўринишда тасвирлаш
мумкин бўлса, у ҳолда
a
x
= a
c тенгламанинг
a>0 , a≠ 1 даги
ечими
x= c дан иборат.
a f(x)= b
тенгламанинг ечими ( уни a асосига кўра
логарифмлаб )
a> 0 , a≠ 1 ва b> 0 да f(x)= log ab . Агар b сонини

b= acкўринишда тасвирлаш мумкин бўлса , у ҳолда a
f(x)
= a c
тенгламанинг
a>0 , a≠ 1 даги ечими f(x)= c дан иборат .
a f(x)= bg(x)
тенгламанинг ечими ( уни асосларидан бири
бўйича логарифмлаб )
a> 0 , a≠ 1 ва b> 0 , b≠ 1 да ечими
f(x)= g(x)log ab
Агар b сонини b= ag(x) кўринишда ифодалаш
мумкин бўлса, у ҳолда
af(x)= ag(x) тенгламанинг a> 0 , a≠ 1
даги ечими
f(x)= g (x) бўлади.
Оддий кўрсаткичли тенгламаларга ўхшаш кўрсаткичли
тенгсизликларни ҳам ажраатиб кўрсатамиз :

a x> b (a x< b ) ёки a
x
> a
c (a x< ac) ;
(4)

a f(x)> b (a f(x)< b) ёки af(x)> ac (af(x)< ac) ;
(5)

a f(x)>b g(x) (a f(x)< bg(x)) ёки af(x)> ag(x) (a f(x)< ag(x)) , бу ерда
a> 0 , a≠ 1
. (6)
( Шунга ўхшаш тенгсизликларни «≤» ёки «≥» ишоралар билан
ҳам қараш мумкин )
Оддий кўрсаткичли тенгсизликларни ечиш усули кўрсаткичли
функциянинг монотонлик хоссасига асосланган (
30 хосса).
ax> b (ax< b)
ёки ax>ac (ax<ac) тенгсизликнинг ечимлар
тўплами :
a > 1
, b> 0 да x>log ab ( x<log ab ) ёки x>c ( x< c );

0< a<1, b> 0 да x<log ab ( x>log ab ) ёки x< c ( x>c );
a> 0
, b≤ 0 да ихтиёрий ҳақиқий сон ( ечимлар йўқ ).

a f(x)> b (af(x)< b) ёки af(x)> ac (a f(x)< ac) тенгсизликнинг
ечими тенг кучли алмаштириш билан боғлиқ :
a>1
, b> 0 да f(x)> log ab ( f(x)<log ab ) ёки f (x)> c ( f(x)<c
) тенгсизликка ;
0< a<1
, b> 0 да f(x)<log ab ( f(x)>log ab ) ёки f(x)<c (
f(x)> c
) тенгсизликка ;
a> 0
, b≤ 0 да ихтиёрий ҳақиқий сон ( ечимлар йўқ ).
a f(x)>bg(x) (af(x)<bg(x))
ёки af(x)> ag(x) (af(x)< ag(x))
тенгсизликнинг ечими тенг кучли алмаштириш билан боғлиқ ::
a> 1
, b>0,b≠ 1 да f(x)>log abg(x) ( f(x)<log abg(x) ) ёки f(x)>g(x) (
f(x)<g(x)
) тенгсизликка ;
0<a<1
, b>0,b≠1 да f(x)<log abg(x) ( f(x)>log abg(x) ) ёки f(x)<g(x) (
f(x)>g(x)
) тенгсизликка .
Мисол: 1. Тенгламаларни ечинг: а)
4x=64 ; б) 17 x−x2=1 ;
в)
(
2
5)
x−1
=(6,25 )6x−5 , г) 32x−153x+2=(
9
5)⋅52x33x ; д)
(2− √3)x2
= (2+√3)x ;
е)
62x−1=83−x ; ж) 72x−4=36 2−x .
Ечиш: а)
64 сони 43 га тенг бўлгани учун берилган тенглама, у
ҳолда берилган тенглама
4x= 43 кўринишни олади, унинг ечими x=3 .
б)
1=17 0 бўлгани учун, у ҳолда берилган тенглама x− x2= 0⇔
x=0,x=1.
тенгламага тенг кучли.
в) Тенгламанинг ўнг қисмини
2
5 асосга келтирамиз :
(6,25 )6x−5=(
25
4)
6x−5
= (
5
2)
12x−10
= (
2
5)
10−12x
.
(
2
5)
x−1
=(
2
5)
10−12x тенгламани оламиз , у

x−1=10 −12 xтенгламага тенг кучли , x=11
13 илдизга эга .
г) Ягона асосга ўтишни тенгламанинг иккала қисмини тенглама
ўнг қисмида турган ифодага бўлиш орқали амалга оширилади(бу
мумкин,чунки кўрсаткичли функция қийматлари мусбат)
32x−153x+2
52x33x ⋅5
9= 1⇔ 3−15x+2
3x ⋅5
32= 1⇔ (
5
3)
x+3
=(
5
3)
0
ни оламиз, бундан
x+3= 0⇔
⇔ x=−3
.
д) Берилган тенглама
(2− √3)x2
= (2− √3)−x тенгламага тенг кучли,
чунки ,
2+√3= (2+√3)(2− √3)
2− √3
= 1
2− √3 . x2=− x тенгламага ўтамиз , унинг
илдизлари
x=0 и x=−1 .
Жавоб: а)
x=3 ; б) x=0;x= 1 ; в) x=11
13 ; г) x=−3 ;
Мисол: 2. Тенгсизликларни ечинг : а)
25 x>125 3x−2 ; б)
(0,3 )4x2−2x−2≤(0,3 )2x−3
; в) 2
x
x2−1<2
1x−2 ; г) 32x−1<11 3−x .
Ечиш: а)
25 x=52x ҳамда 125 3x−2=59x−6 бўлгани учун берилган
тенгсизлик ,
52x>59x−6 тенгсизликка тенг кучли . y=5t функция
ўсувчилигини ҳисобга олиб -
2x>9x−6 тенгсизликка ўтамиз , бундан
x<6
7
.
б)
y=(0,3 )t функция - камаювчи бўлгани учун берилган
тенгсизликни тенг кучли
4x2− 2x− 2≥ 2x−3 тенгсизлик билан
алмаштирамиз .
(2x− 1)2≥0 , бундан x - ихтиёрий ҳақиқий сон .
в)
y= 2t функция ўсувчи бўлгани учун берилган тенгсизликка
тенг кучли
x
x2−1
< 1
x− 2 тенгсизликни ечамиз. Охирги тенгсизликни
оралиқлар усули билан ечамиз, бунинг учун тенгсизликни

1 
2
1 1 2+ +__ _ x
x
x2−1
− 1
x−2<0кўринишга келтирамиз. Касрларни умумий махражга
келтиргандан ва ўхшаш ҳадларни ихчамлагандан сўнг
1−2x
(x−1)(x+1)(x−2)<0
га эга бўламиз.
Каср қийматлари манфий бўлган оралиқларни танлаймиз . Бундан
x<−1
;
1
2<x<1 ; x>2 .
Жавоб: а)
x<6
7 ; б) x - ихтиёрий ҳақиқий сон ; в) x<−1 ;
1
2<x<1
; x>2 ; г)
x<
1+3log 311
2+log 311 .
Янги ўзгарувчини киритиш
Мисол: 5. Тенгламаларни ечинг: а)
25 x− 6⋅5x+5= 0 ; б)
125 x+20 x=23x+1
.
Ечиш: а)
5x=t деб белгилаймиз, бу ерда , t>0 ( 20 хоссага кўра
). Берилган тенглама
t га нисбатан квадрат тенгламага келади :
t2− 6t+5= 0
, унинг илдизлари t=1,t=5 . Уларнинг иккаласи ҳам t>0
шартни қаноатлантиради , у ҳолда алмаштиришга қайтиб
[5x=1,
[5x=5
[
⇔

[x=0,
[x=1.
[ ни оламиз.
б) Берилган тенгламага даража хоссаларини қўллагандан сўнг
Берилган тенглама:
125 x+20 x= 2⋅8x кўринишга келади. Тенглама
иккала томонини.
8x га бўламиз(кўрсаткичли функция хоссасига

кўра 8x>0 ), олдинги тенгламага тенг кучли (
125
8 )
x
+(
20
8 )
x
= 2
⇔
(
5
2)
3x
+(
5
2)
x
− 2= 0
тенгламани оламиз. (
5
2)
x
= t алмаштириш киритамиз,
бу ерда
t>0 , t3+t− 2=0 ⇔ (t− 1)(t2+t+2)= 0 , ни оламиз, унинг ечими
t=1
. (
5
2)
x
=1 тенгламани ечамиз , бундан
x=0 .
Мисол: 6. Тенгсизликларни ечинг : а)
(5+2√6)x+(√3+√2)x>12 ;
б)
1
3x+5
≤ 1
3x+1−1 .
Ечиш: а)
(√3+√2)x= t бўлсин, бу ерда t>0 . (5+2√6) ифода √2 ва
√3
сонлар йиғиндисининг квадрати, яъни (5+2√6)= (√3+√2)2 , у ҳолда
(5+2√6)x= (√3+√2)2x
.
t2+t− 12 >0 тенгсизликни ечамиз, t>0 эканлигини
ҳисобга олиб,
t>3 ни оламиз. (√3+√2)x>3 тенгсизликни ечиш қолади ,
бу ерда
√3+√2>1 , шунинг учун x>log √3+√23 .
б)
3x= t деб белгилаймиз , бу ерда t>0 ,ва t+5>0 эканлигини
ҳисобга олиб ( яъни бу ифодага тенгсизликнинг иккала қисмини
кўпайтирамиз ), берилган тенгламага кучли
3t−1−t−5
3t−1 ≤0
тенгсизликни оламиз , ўхшаш ҳадларни ихчамлаймиз ва
2t−6
3t−1≤0 ни
оламиз , тенгсизлик ечими ярим оралиқ
(1
3;3] . Кейин
қўштенгсизликни
1
3<3x≤ 3 ечамиз, y=3n - ўсувчи, шунинг учун
−1<x≤1
.
2.3. Бир жинсли тенглама(тенгсизлик)лар
Мисол: 7. Тенгламани ечинг
2⋅81 x+1−36 x+1−3⋅16 x+1=0 .

Ечиш: Берилган тенглама тенгламага тенг кучли2⋅92(x+1)−9x+1⋅4x+1−3⋅42(x+1)=0
, уни ечиш бир жинсли
2u2(x)−u(x)v(x)−3⋅v2(x)=0
тенгламага келтирилади, бу ерда u(x)=9x+1 ,
v(x)=4x+1
. 4x+1>0 бўлгани учун тенгламани 42(x+1) га бўлиш мумкин,
берилган тенгламага тенг кучли
2⋅(
9
4)
2(x+1)
−(
9
4)
x+1
− 3= 0 тенгламани
оламиз.
(
9
4)
x+1
=t алмаштириш киритамиз,
t>0 : 2t2− t− 3= 0⇔ t=3
2 .
Берилган тенглама
(
9
4)
x+1
= 3
2 ⇔ x=− 1
2 га тенг кучли.
Мисол: 8. Тенгсизликни ечинг
32x2− 2⋅3x2+x+6+32x+12¿0 .
Ечиш: Тенгсизлик бир жинсли, уни
32x2− 2⋅3x2
¿3x+6+32(x+6)¿0
кўринишда ифодалаш мумкин. 7-мисолдаги алмаштиришларни
бажарамиз.
(
3x2
3x+6)
2
− 2⋅(
3x2
3x+6)+1>0
⇔ (3x2−x−6)2
−2⋅3x2−x−6+1>0 га эга
бўламиз.
t=3x2−x−6 алмаштириш киритамиз, бу ерда t>0 , t2− 2t+1>0 ⇔
(t− 1)2>0
ни оламиз. Охирги тенгсизликнинг ечими t−1=0 дан
ташқари барча ҳақиқий сонлардан иборат, яъни
t=1 ни қарамаслик
лозим:
3x2−x−6≠1⇔ x2− x− 6≠ 0⇔ x≠3,x≠−2 .
Жавоб:
x≠3,x≠−2 .
2.4. Функциялар хоссаларидан фойдаланиш
Мисол: 9. Тенгламаларни ечинг : а)
5x−2=8− x ; б) 3x+4x= 5x ;
в)
5x⋅x
√8x−1= 500 .
Ечиш: а)
x=3 - берилган тенглама илдизи. Тенглама бошқа
илдизларга эга эмас, чунки тенгламанинг чап қисми ўсувчи

функция, ўнг қисми эса камаювчи. Бу функциялар графиклари
биттадан ортиқ кесишиш нуқтасига эга эмас. Демак , x=3 -
тенгламанинг ягона илдизи.
б)
x=2 - берилган тенглама илдизи. Тенглама бошқа
илдизларга эга эмаслигини кўрсатамиз.Тенгламани
(
3
5)
x
+(
4
5)
x
= 1
кўринишга келтирамиз .
f(x)=(
3
5)
x
+(
4
5)
x - функция иккита камаювчи
функциялар йиғиндиси сифатида камаювчи, ҳар бир қийматини бир
марта қабул қилади.
Мисол: 10 . Тенгсизликларни ечинг : а)
3x+ 4x≥ 25 ; б)
√8− 2x−2< log 3(x− 7)
.
Ечиш: а) Тенгсизликнинг чап қисми иккита ўсувчи функциялар
йиғиндиси сифатида ўсувчи функция .
x<2 учун f(x)= 3x+4x< f(2)= 25
,
x≥2 учун f(x)≥ f(2)= 25 бўлгани учун берилган тенгсизлик ечимлар
тўплами
x≥2 .
б) Тенгсизлик аниқланиш соҳаси
{x−7>0,¿¿¿¿ ⇔ {x>7,¿¿¿¿ ⇔
{x>7,¿¿¿¿
системадан топилади. Система ечимларга эга эмас, демак берилган
тенгсизлик ҳам ечимларга эга эмас.
Якуний хулосалар : Кўрсаткичли тенглама(тенгсизлик)ларни
ечиш жараёни иррационал тенглама(тенгсизлик)ларни ечиш
схемасига кўра амалга ошади: берилган тенглама(тенгсизлик)ни

соддалаштириш, уни маълум типдаги тенглама(тенгсизлик)ка олиб
келиш, оддий тенглама(тенгсизлик) ни ечиш .
Логарифми к тенглама ва тенгсизликлар
Логарифмик тенглама ва тенгсизликлар трансцендент тенглама ва
тенгсизликлар синфига киради.
Таъриф : Ўзгармас асосларда даража кўрсаткичларида номаълум
қатнашган тенглама(тенгсизлик) лар кўрсаткичли тенглама ва тенгсизликлар
деб аталади.
Логарифмик тенглама(тенгсизлик)ларни ечиш y=ax,a>0,a≠1
кўрсаткичли функция хоссаларига асосланган:
Аниқланиш соҳаси – барча ҳақиқий сонлар тўплами (
R ).
20.
Қийматлар соҳаси-барча мусбат сонлар тўплами ( ax>0 , барча x∈R
лар учун).
30.
При a>1 да функция ўсади, яъни агар x1< x2 бўлса , у ҳолда то
ax1< ax2
. При 0 < a < 1 дар функция камаяди, яъни агар x1<x2 бўлса, у
ҳолда , то
ax1>ax2 . Тескариси ҳам ўринли.
Теорема.
a
x1> a
x2 кўрсаткичли тенгсизлик a> 1 да x1> x2
тенгсизликка тенг кучли ,
0< a< 1 да x1< x2 тенгсизликка тенг кучли .
40.
ax1= ax2 фақат ва фақат x1= x2 бўлганда ўринли .
1. Оддий лоагарифмик тенглама ва тенгсизликлар
Л огарифмик тенглама(тенгсизликлар)ларда номаълумни ўз ичига
олган ифодалар логарифм белгиси остида қатнашади. Эслатиб ўтамиз, b
сонининг а асосга кўра логарифми деб , бу ерда
a>0,a≠1 , а сонини b сони
ҳосил бўлиши учун кўтариш керак бўлган даража кўрсаткичига айтилади:
log ab= c⇔ b= ac
, где a>0,a≠1,b>0 . Логарифм таърифига кўра логарифмик
тенглама(тенгсизлик)ларни ечишда уларга кирувчи логарифмик ифодалар

мавджудлик шартларини ва уларни тенглама(тенгсизлик ) аниқланиш
соҳасини топишда ҳисобга олиш лозим.
Логарифмик тенглама ( тенгсизликлар) ни ечиш y=log ax,a>0,a≠1
функция хоссаларига асосланган :
10.
Аниқланиш соҳаси – (0;+∞) барча мусбат сонлар тўплами
20.
Қийматлар соҳаси – барча ҳақиқий сонлар тўплами R .
30.
a> 1 да функция (0;+∞) да ўсади , яъни агар 0<x1<x2 , бўлса, у ҳолда
log ax1<log ax2
. 0<a<1 да функция (0;+∞) да камаяди, яъни агар 0<x1<x2
бўлса, у ҳолда
log ax1>log ax2 . Тескариси ҳам ўринли : агар log ax1<log ax2
бўлса, у ҳолда
a>1 да 0<x1<x2 тенгсизликка , а 0<a<1 да - x1>x2>0
тенгсизликка ўтамиз .
40.
log ax1= log ax2 фақат ва фақат x1= x2 бўлганда ўринли, бу ерда
x1>0,x2>0
.
А.
log af(x)= b кўринишдаги тенглама ва унга мос log af(x)<b ,
log af(x)≤ b
, log af(x)>b , log af(x)≥ b тенгсизликлар, бу ерда a>0,a≠1 .
log af(x)= b
тенглама (логарифм таърифига кўра ) f(x)=ab тенгламага
тенг кучли .
Мисол: 1. Тенгламани ечинг :
log 3(5 x− 1)= 2 .
Ечиш: Берилган тенглама
5x−1=32 тенгламага тенг кучли . У ҳолда :
5 x− 1= 32⇔ 5 x− 1= 9⇔ 5 x= 10 ⇔ x= 2
.
log af(x)<b
тенгсизлик ( логарифми к функци я 30 хоссасига асосан )
a>1
да {f(x)<a
b
,¿¿¿¿ тенгсизликлар системасига, 0<a<1 да f(x)>ab
тенгсизликка тенг кучли . Шунга ўхшаш бошқа мос тенгсизликлар қаралади .
Мисол: 2. Тенгсизликни ечинг:
log 5(x+ 2)≤ 3 .

Ечиш: Учитывая, что 3= log 553 эканлигини ҳисобга олиб,
log 5(x+2)≤ log 553
тенгкучли тенгсизликка ўтамиз. y= log 5t функция асоси
равно 5>1 бўлгани учун , у аниқланиш соҳасида ўсади ( t >0 да ). У ҳолда :
log 5(x + 2 )≤ log 55
3
⇔ ¿ {x + 2 > 0 ; ¿ ¿ ¿
.
В.
log af(x)= log ag(x) кўринишдаги тенглама ва унга мос ,
log af(x)<log ag(x)
log af(x)≤ log ag(x) , log af(x)>log ag(x) ,
log af(x)≥ log ag(x)
тенгсизликлар, бу ерда a>0,a≠ 1 .
log af(x)= log ag(x)
тенглама ( логарифми к функци я 40 хоссасига кўра )
{f(x)>0;¿{g(x)>0;¿¿¿¿
системага тенг кучли, у ўз навбатида {f(x)>0;¿¿¿¿ ёки {g(x)>0;¿¿¿¿
системалардан бирига тенг кучли
Мисол: 4. Тенгламани ечинг:
lg (x2− 2)= lg x .
Ечиш: Берилган тенглама
{x
2
−2>0;¿{x>0;¿¿¿¿ системага тенг кучли.
Лекин аниқланиш соҳаларининг шартларидан бирини ташлаш мумкин,
чунки у логарифмик ифодаларнинг тенглигидан автоматик равишда ҳисобга
олинади. У ҳолда:
{x
2
−2>0;¿{x>0;¿¿¿¿ { x > 0 ; ¿ ¿ ¿ ¿
lg (x2− 2)= lg x
тенгламани бошқача усулини ҳам таклиф этиш мумкин.
Бу усул текшириш билан якунланиши лозим, топилган илдизлар берилган
тенгламани қаноатлантириши текширилади. Масалан,
lg (x2− 2)=lg x
тенгламани ечишда олинган
x1=− 1,x2= 2 илдизларни текшириб, x=−1 да
иккала қисмида маънога эга бўлмаган
lg(−1) ифода ҳосил бўлади, яъни x=−1

берилган тенглама илдизи эмас, x=2 ни қўйганда lg 2=lg 2 тўғри тенгликни
оламиз, яъни.
x=2 берилган тенглама илдизи бўлади.
log af(x)<log ag(x)
тенгсизлик ( логарифмик функциянинг 30 хоссаига
асосан )
a>1 {f(x)>0,¿¿¿¿ тенгсизликлар системасига; 0< a<1 да
{g(x)>0,¿¿¿¿
тенгсизликлар системасига тенг кучли. Шунга ўхшаш бошқа
мос тенгсизликлар қаралади.
Мисол: 5. Тенгсизликни ечинг:
log 3(5− 4 x)<log 3(x− 1) .
Ечиш:
y= log 3t логарифмик функция асоси 3>1тенг бўлгани учун, у
аниқланиш соҳасида ( t>0 да ) У ҳолда берилган тенгсизлик.
{5 − 4 x > 0 ; ¿ ¿ ¿ ¿
тенгсизликлар системасига тенг кучли.
С .
log g(x)f(x)= b кўринишдаги тенглама ва унга мос log g(x)f(x)<b ,
log g(x)f(x)≤ b
, log g(x)f(x)>b , log g(x)f(x)≥ b тенгсизликлар .

log g(x)f(x)=b тенглама (логарифма таърифига кўра ) {g(x)>0;¿{g(x)≠1;¿¿¿¿
системага тенг кучли.
f(x)>0 шарт f(x)= gb(x),g(x)>0 шартларга асосан
автоматик ҳисобга олинади..
Мисол: 7. Тенгламани ечинг:
log x4x=2 .
Ечиш: Берилган тенглама
{4x>0;¿{x>0;¿{x≠1;¿¿¿¿

системага тенг кучли. Лекин аниқланиш соҳасининг 4x>0 шартини ташлаш
мумкин, чунки системанинг бошқа шартларига кўра автоматик ҳисобга
олинади. У ҳолда :
{4x>0;¿{x>0;¿{x≠1;¿¿¿¿ {x> 0 ;¿ {x≠ 1 ;¿¿¿¿
log g(x)f(x)<b
ёки log g(x)f(x)≤b тенгсизлик ( логарифмик функциянинг 30
хоссасига асосан )
[
¿
{g(x)>1;¿{f(x)>0;¿¿¿¿¿
ёки
[
¿
{g(x)>1;¿{f(x)>0;¿¿¿¿¿
системалар жамланмасига тенг кучли.
log g(x)f(x)>b
ёки log g(x)f(x)≥b тенгсизлик ( логарифмик функциянинг
30
хоссасига асосан)
[
¿
{g(x)>1;¿¿¿¿¿ ёки
[
¿
{g(x)>1;¿¿¿¿¿
системалар жамланмасига тенг кучли
Мисол: 8. Тенгсизликни ечинг:
log x2+4(4x+7)≥1 .
Ечиш: Берилган тенгсизлик системалар жамланмасига тенг кучли
[
¿
{x
2
+ 4 > 1 ; ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Жамланманинг иккинчи системаси ечимларга эга эмас, чунки x2<−3
тенгсизлик ечимларга эга эмас Биринчи система
x2− 4x−3≤0 тенгсизликка
тенг кучли, унинг ечими кесмадан иборат
2− √7≤ x≤ 2+√7 .
D .
log ϕ(x)f(x)= log ϕ(x)g(x) кўринишдаги тенглама ва унга мос
log ϕ(x)f(x)<log ϕ(x)g(x)
, log ϕ(x)f(x)≤ log ϕ(x)g(x) , log ϕ(x)f(x)>log ϕ(x)g(x) ,
log ϕ(x)f(x)≥ log ϕ(x)g(x)
тенгсизликлар . log ϕ(x)f(x)= log ϕ(x)g(x) тенглама
(логарифмик функциянинг
40 хоссасига асосан)
{f(x)>0;¿{g(x)>0;¿{ϕ(x)>0;¿{ϕ(x)≠1;¿¿¿¿ системага тенг
кучли, у эса ўз навбатида
{f(x)>0;¿{ϕ(x)>0;¿{ϕ(x)≠1;¿¿¿¿ ёки {g(x)>0;¿{ϕ(x)>0;¿{ϕ(x)≠1;¿¿¿¿ системалардан бирига
тенг кучли
Мисол: 10. Тенгламани ечинг:
log x2−1(3x−1)=log x2−1x2 .
Ечиш: Берилган тенглама
{3x−1>0;¿{x
2
>0;¿{x
2
−1>0;¿{x
2
−1≠1;¿¿¿¿
системага тенг кучли
Аниқланиш соҳаснинг
3x−1>0 ёки x2>0 шартларидан бирини ташлаш
мумкин, чунки у
3x−1= x2 тенгликка асосан автоматик ҳисобга олинади. У
ҳолда :
{x
2
>0;¿{x
2
−1>0;¿{x
2
−1≠1;¿¿¿¿{x≠ 0 ;¿ {x
2
> 1 ¿ {x
2
≠ 2 ;¿ ¿¿ ¿

MAVZU:Logarifmik va ko'rsatkichli tenglama va tengsizliklarni o'rganish metodikasi REJA: 1. Logarifmik tenglama. 2. Ko`rsatkichli tengsizliklar. 3. Tenglama,tengsizlik va ularning sistemalarini asosiy sinflarini o’rganish metodikasi.

Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglama va tengsizliklar. Ko rsatkichli tenglama va tengsizliklar transtsendent tenglama va ʼ tengsizliklar sinfiga kiradi. Ta rif: ʼ O zgarmas asoslarda daraja ko rsatkichlarida noma lum ʼ ʼ ʼ qatnashgan tenglama(tengsizlik) lar ko rsatkichli tenglama va ʼ tengsizliklar deb ataladi. Ko rsatkichli tenglama(tengsizlik)larni yechish ʼ 1. y= a x ko‘rinishdagi funkciya ko‘rsatkichli funkciya deyiladi. Bunda a  1, a  0. 2. a  1 bo‘lsa, y= a x funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi: a) D(y)=R; b) E(y)=R + ; v) funkciya o‘sadi ; g) x=0 da y=1; d) x>0 da a x >1; e) x<0 da 0< a x <1. 1- shakl. 3. y= a x funkciya 0< a<1 da quyidagi xossalarga ega bo‘ladi: a) D(y)=R; b) E(y)=R + ; v) funkciya kamayadi; g) x=0 da y=1; d) x>0 da 0< a x <1; e) x<0 da a x >1. 2-shakl. Ta’rif: Musbat b sonining a asosga ko‘ra logarifmi deb b ni hosil qilish uchun a ni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichiga aytiladi. Bunda a  1, a>0. v sonining a asosga ko‘ra logarifmi odatda log a b ko‘rinishda yoziladi. Ta’rif: Asosi 10 dan iborat bo‘lgan logarifmlarni o‘nli logarifmlar deyiladi. Ularni odatda lgb ko‘rinishda yoziladi, bunda b ixtiyoriy musbat son. Ta’rif: Asosi e sonidan iborat logarifmni natural logarifm yoki Neper logarifmi deyiladi. Ularni odatda lnb ko‘rinishda yoziladi, bunda b ixtiyoriy musbat son. y=a x ko‘rsatkichli funkciya monoton funkciya bo‘lib, u teskarilanuv- x0y 1 y= а x а>1 x0y 1 y= а x 0< а<1

chidir. y=a x funkciya grafigini y=x to‘g‘ri chizig‘iga nisbatan simmetrik akslantirsak, y=log a x funkciya grafigini hosil qilamiz. 4. a>1 bo‘lsa, logarifmik funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi: a) D(y)=R + ; b) E(y)=R; v) funkciya o‘sadi; g) x=0 da l o g a x=0; d) 0<x<1 da l o g a x<0; e) x>1 da l o g a x>0 ( 3-shakl ). 5. y= log a x funkciya 0<x<1 da quyidagi xossalarga ega: a) D(y)=R + ; b) E(y)=R; v) funkciya kamayadi; g) x=0 da l o g a x=0; d) 0<x<1 da l o g a x>0; e) x>1 da l o g a x<0 (4 -shakl ). 4- shakl. Logarifmlar quyidagi asosiy xossalarga ega: 1. log a (x y)= log a x+log a y; 2. log a( x y)= log ax− log ay; 3. l o g a y k =k  l o g a b; 4. log ay=log cy log ca ; (c≠1; c>0); 5. log aky= 1 klog ay, k≠ 0; 6. log amyn= n m log ay, m≠0; 7. l o g a a=1; 8. l o g a 1=0; 9. xlog ay= ylogax, bu yerda x,y lar musbat haqiqiy sonlar. 10. alog ab= b 11. log ay= log anyn x0y 1 y=lоg a x, 0<a<1 x0y 1 y=l о g a x, a>0 y=l о g a x, 0<a<1 3-шакл.

12. log ay= 1 log ya. Yuqoridagi barcha formulalar o‘nli va natural logarifmlar uchun ham o‘rinli bo‘laveradi. 1. Ko‘rsatkichli tenglama. Ta’rif: Noma’lum o‘zgaruvchi daraja ko‘rsatkichida ishtirok etgan tenglamaga ko‘rsatkichli tenglama deyiladi Sodda ko‘rsatkichli tenglama a x =b ko‘rinishda yoziladi, bunda a>0, b>0, a  1. Bu tenglamaning ikkala qismini a asosga ko‘ra logarifmlab, x=log a b ni topamiz. 1- misol. 5 2x-1 =y 3-x tenglamani yeching. Yechish. 2x-1=(3-x)log 5 y yoki x= 1+3log 5y 2+log 5y ni hosil qilamiz. Quyida ko‘rsatkichli tenglamalarning maxsus turlarini qaraymiz: 1.1.  a 2x +  ax +  =0 (a>0, a  1) ko‘rinishdagi tenglama Bunday tenglama a x =t 1 va a x =t 2 tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Bunda t 1 , t 2  a 2x +  ax +  =0 tenglamaning ildizlari. 2- misol. 8 2x− 2 3(1+1x)+12 = 0 tenglamani yeching. Yechish: Daraja ko‘rsatkichining xossalaridan foydalanib, (8 1 x) 2 − 2 3(1+1 x) +12 = 0 ёки (8 1 x) 2 − 8⋅8 1 x+12 = 0 tenglamani hosil qilamiz. t=8 1 x almashtirish bajarib, t 2 -8t+10=0 ni olamiz. Uni yechib, t 1 =2 t 2 =6 ni olamiz. U holda dastlabki tenglama {8 1 x =2 ¿ ¿¿¿ sistemaga ekvivalent bo‘ladi. Bu sistemani 8 asosga ko‘ra logarifmlab, { 1 x = log 8 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ni hosil qilamiz.

1.2.  a 2x +  (ab) x +  b 2x =0 ko‘rinishdagi tenglama Bunday tenglama t= ax bx almashtirish yordamida kvadrat tenglamaga keladi. 3- misol. 9 x +6 x =2 2x+1 tenglamani yeching. Yechish: Daraja ko‘rsatkichining xossalaridan foydalanib, quyidagi 3 2x +2 x  3 x =2  2 2x tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning ikkala qismini 2 2x ga bo‘lib, t=( 3 2) x belgilash kiritib, t 2 +t=2 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Uni yechib, t 1 =1, t 2 =-2 ildizlarni topamiz. U holda {( 3 2) x =1¿¿¿¿ sistema hosil bo‘ladi, uning 1-tenglamasini 3 2 asos bo‘yicha logarifmlab, x=0 ekanini topamiz.Sistemaning 2-tenglamasi yechimga ega emas, chunki ( 3 2) x x ning har qanday qiymatlarida noldan katta. Javob : x=0. 1.3. Ko‘paytuvchilarga yoyish bilan yechiladigan tenglamalar 4- misol. 25  2 x -10 x +5 x =25 tenglamani yeching. Yechish: Qo‘shiluvchilarni quyidagicha guruxlaymiz: 25  2 x -25+5 x - 2 x  5 x =0 25(2 x -1)+ 5 x (1-2 x )=0 , umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarsak, (25-5 x )( 2 x -1)=0 tenglamani olamiz. Bundan esa 5 x =25 yoki 2 x =1 tenglamalarni olamiz. Bu tenglamalardan x=2 yoki x=0 yechimni topamiz. Javob: x={0;2} 1.4. a(x) b(x) =1 ko‘rinishdagi tenglama

O'xshashlar

Irratsional tenglama va tengsizliklarni o’rganish metodikasi

Jadidchilik va jadid adabiyotini ilmiy o'rganish bosqichlari

Ijtimoiy pedagogik faoliyat metodikasi va texnologiyasi

”Minglik” mavzusida sonlarni nomerlashga o’rgatish metodikasi va ular ustida amallar bajarish metodikasi

”O’nlik” mavzusida sonlarni nomerlashga o’rgatish metodikasi va ular ustida amallar bajarish metodikasi