1 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MEXANIKA -MATEMATIKA FAKULTETI “NAZARIY VA AMALIY M EXANIKA” KAFEDRASI T ebranishlar nazariyasi fanidan MUSTAQIL ISH Mavzu: M oddi y nuqtaning tebranma harakatini tekshirish Bajardi: ____ -guruh talabasi _____________ ____ ___ _______________ Qabul qildi: ________________________ Mustaqil ish topshir ilgan vaqt _________ Mustaqil ish qabul qilingan vaqt_________ Samarqand 2022

2 Mustaqil ishni bajarish tartibi: Xar bir talaba avval namunaviy yechib ko’rsatilgan masalalar bilan tanishib chiqadi so’ngra o ’zining jurnaldagi nomeri bo’yicha o’ziga tegishli bo’lgan masalaning qiymatlarini oladi. Mustaqil ishni bajarayotgan vaqti avval mavzuga tegishli asosiy tushunchalarni yozib so’ngra masala yechiladi. Namunaviy masalalarni yozish shart emas. Xar bir talaba chizmalarni chizishda koordinata o’qlarini kiritishga, kuchlarning yo’nalishini qo’yishga alohida e’tibor berishi, mustaqil ish yuzi namunadagidek bo’lishi va mustaqil ish oxirida foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati keltirilishi talab etiladi. Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshirish Qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranishlar To‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanuvchi nuqtaga, faqat bitta –muvozanatlovchi kuch qo‘yilgan bo‘lsin . -kuchning s hu to‘g‘ri chiziq bo‘ylab o‘tkazilgan koordinata o‘qiga proyeksiyasi quyidagicha bo‘ladi, (2. 1) nuqtaning harakat qonunini aniqlaymiz. Harakatning differensial tenglamasini Ox o‘qidagi proyeksiyasini yozamiz: yoki (2. 2) Tenglikning ikka la tomonini -ga bo‘lib yuborib va belgilash kiritib, yuqoridagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz: (2. 3) (2. 3) tenglama, qarshiliksiz muhitdagi erkin tebranma harakat differensial tenglamasi deb ataladi. Ushbu differensial tenglamaning umumiy yechimi : , (2. 4) bu yerdagi va – lar i ntegral lash o‘zgarmas lari. Agar , deb kiritsak, u holda ( 2. 4) tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi yoki , (2. 5) (2. 5) qonuniyat bilan tebranuvchi n uqtaning harakati garmonik tebranma harakat deb ataladi. Tebranma harakatdagi nuqtaning tezligi , ( 2. 6) A, tebranish amplitudasi , tebranish fazasi deb ataladi. Nuqt aning to‘la bir marta tebranishi uchun sarflangan vaqt oralig‘i T , tebranish davri deb ataladi. Davr o‘tishi bilan faza 2 -ga o‘zgaradi. Shu sababli kT=2  bo‘lish sharti dan tebranish davri aniqlanadi (2. 7) Tebranish davriga teskari kattalikga tebranish chastotasi deb ataladi (2. 8) da ekanligidan foydalanib, ( 2. 5) va ( 2. 6) formulalar orqali x0=As in , v 0/k=A cos  -ni aniqlaymiz. Bu tengliklarni kvadratga ko‘tarib, ularni hadma -M F F cx Fx  M xF xm  cx xm  m 2k m c 0 2   x k x kt C kt C x cos sin 2 1   1C 1C  cos 1 A C   sin 2 A C     sin cos cos sin     kt kt A x    kt A x sin       kt Ak x x cos     kt k T 2  T k 1 2     0t 0 0, v v x x  

3 had qo‘shsak, so‘ngra ularning birini ikinchisiga nisbatini olsak, A va  larning qiymatlarini aniqlaymiz A= , tg =kx 0/v 0 (2. 9) Shunday q ilib, boshlang‘ich shartlarsiz, ya’ni chegaraviy shartlar berilgan masalalar bir necha yechimga yoki, umuman, yechimga ega bo‘lmasliklari mumkin ekan. Qarshilikligi muhitdagi erkin tebranishlar Qarshili kl i muhitlardagi erkin tebranma harakatni tekshirib ko‘ramiz. Qarshili kl i muhitlar ning qarshiliklari nuqtaning tezligiga to‘g‘ri proportsional ravishda o‘zgaruvchan funksiyadan iborat bo‘ladi, masalan =- . Nuqtaning harakatida muvozanatlovchi kuch va muhit qarshiligi kuchi , ta ’sir etsin (1 -rasm ). U holda Fx=-cx , Rx=-vx=- bo ‘lganligi uchun , shu nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi m =-cx - Tenglamaning ikkala tomonini m -ga bo ‘lib yuborib , tegishli belgilashlar kiritsak , +2b +k 2x=0 (2. 10 ) bu yerda k2=c/m; 2b= /m ( 2. 11 ) (2. 10 ) tenglama qarshilikli muhitdagi erkin tebranma harakatning differensial tenglamasi deb ataladi. Uning yechim i quyidagi ko’rinishda bo’ladi: x=e -bt (C 1sink 1t+C 2cosk 1t) (2. 12 ) yoki x=A e -bt sin(k 1t+ ) bo‘ladi, (2. 13 ) (2. 13 ) tenglama bo‘yicha sodir bo‘ladigan harakat, so‘nuvchi harakat bo‘ladi, chunki tenglamada e -bt dan iborat ko‘paytma bo‘lganligi sababli, x=OM ( 2-rasm ) qiymat vaqt o‘tishi bilan kamayib borib nolga intiladi. Ushbu tebranma harakatning grafigi 2-rasm da tasvirlangan (grafik ikki tarafdan x=A e -bt va x= -A e -bt punktir egri chiziqlar ichiga olingan, chunki sin(kt+ ) ning son qiymati 1 -dan oshm aydi). T1 vaqt oralig ‘ini so ‘nuvchi tebranishlar davri deb ataladi va u sin (kt +) ning davriga teng bo ‘lib , uning qiymati T1= = (2. 14 ) Agar (2. 7) tenglikni e’tiborga olsak (2. 14) formula quyidagi ko ‘rinishga kel adi , T1= = T(1+ ) (2. 15 ) Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli majburiy tebranm a harakati. 1-rasm . 2-rasm x v k 02 02 2  / R v F R x x x x x 2 1  k 2 2 2  k b 2 1 2 2  k b k  / T b k 1 2 2  / 1 2 b k 2 2

4 Nuqtaga muvozanatlovchi -kuchdan tashqari vaqt mobaynida davriy ravishda o‘zgarib turuvchi -kuch ham ta’sir et sin . -kuchining Ox o‘qidagi proektsiyasi : Q x=Q 0sinrt (2. 16 ) Bunday kuch qo ‘zg ‘atuvchi kuch deb ataladi va shu kuch ta ’siridagi tebranma harakatni majburiy tebranishlar deb ataladi . (2. 16 ) formuladagi r -qiymatni qo ‘zg ‘atuvchi kuchning chastotasi deb ataladi . Ushbu (2. 16 ) ko ‘rinishdagi kuchga garmonik qo ‘zg ‘atuvchi kuch deb ataladi . 1. M u h i t q a r s h i l i g i bo ‘l m a g a n h o l d a g i m a j b u r i y t e b r a n i s h l a r 1. Harakatlanuvchi nuqtaga muvozanatlovchi kuchdan tashqari faqat qo ‘zg ‘atuvchi kuch - ta ’sir etsin . U holda nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagi ko ‘rinishda yoziladi m =-cx + Q 0sinrt Bu tenglamaning ikkala tomonini m -ga bo ‘lamiz va quyidagi belgilashlarni kiritamiz c/m =k2, Q 0/m =R0 (2. 17 ) R0-ning o‘lchov birligi tezlanish kabi bo ‘ladi . U holda yuqoridagi differensial tenglama quyidagi ko ‘rinishga keladi + k2x= R0sinrt (2. 18 ) (2. 18 ) tenglama muhit qarshiligi bo ‘lmagan holdagi nuqtaning majburiy tebranma harakatining differensial tenglamasi deb atal adi va bu tenglamaning yechimi x=x1+x2 ko ‘rinishda bo ‘ladi . Bu nda (2. 18 ) tenglamaning umumiy yechimi (2. 19 ) (2. 19 ) yechimdan ko‘rinib turibdiki, teb ranma harakat ikkita, ya’ni: cha stotasi -k va amplitudasi A , chastotasi -r va amplitudasi V bo‘lgan majburiy tebranishlar ning yig‘indisidan iborat bo‘lar ekan. Majburiy tebranishlarning chastotasi -r, qo‘zg‘atuvchi kuchning chastotasiga teng bo‘ladi. 2*. M u h i t q a r s h i l i g i t a ’ s i r i d a g i m a j b u r i y t e b r a n i s h l a r . Harakatdagi nuqtaga, muvozanatlovchi kuch , tezlikka proportsional ravishda o‘zgaruvchi qarshilik kuchi va qo‘zg‘atuvchi kuch Q ta’sir etsin. Bunday kuchlar ta’siridagi nuqtaning harakat differensial tenglamasi, quyidagicha bo‘la di m =-cx - + Q 0sinrt ( 2. 20) Tenglamaning ikkala tarafini m -ga bo‘lib, yuqoridagi belgilashlarni e’tiborga olsak, yuqoridagi tenglama +2b +k 2x= R 0sinrt (2. 21) F Q Q F Q x x   rt p k P x kt A x sin ; sin 2 2 0 2 1        rt p k P kt A x sin sin 2 2 0      F R x x x x

5 (2. 21) tenglama, yopishqoq muhit qarshiligi ta’siridag i majburiy tebranma harakatning differensial tenglamasi deb ataladi. Uning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. x=Ae -btsin(k 1t+ )+Bsin(rt -) ( 2. 22 ) Ushbu tebranma harakat murakkab bo‘lib, xususiy va majburiy tebranma harakatlarn ing yig‘indilaridan iborat bo‘ladi. Ta’kidlanganidek, bunday tebranishlar tez �R�U�D�G�D���V�R�µ�Q�D�G�L���Y�D���E�X���V�R�µ�Q�L�V�K���G�D�Y�U�L���W u -ni o‘rnashish (o‘tish jarayoni) vaqti deb ataladi, lekin ko‘p hollarda u e’tiborga olinmaydi. Moddiy nuqtaning tebranma harakatini tekshir ish massali yukning (2 va 4 -variantlar) yoki massalari va bo’lgan va yuklar sistemasining (1,3,5 – variantlar) x o’qi bo’yicha harakat tenglamasi topilsin. Sanoq boshi yukning yoki mos ravishda va yuklar sistemas ining tinch vaziyatida (prujinaning statik deformatsiyasi holatida) olinsin. Yuklarn i birlashtirib turuvchi sterjen og’irliksiz va deformatsiyalanmaydi, deb hisoblansin. yuk ( ) har birining bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan ikkita bir hil parallel prujinaga osilgan taxtachaga mahkamlangan, yuk mahkamlangan nuqta prujinalarning o’qlaridan teng masofalarda joylashgan. 1-variant. Biror vaqt onida yukka yuk ( ) osib qo’yiladi. Yuklar sistemasining harakatiga qarshilik kuchi tezlikka proporsional: , bu yerda - tezlik (m/s). Mutlaq bikir taxtachaning va unga mahkamlangan dempfer qismining mas sasi hisobga olinmasin. 2-variant. ( ) va ( ) yuklarni birlashtirib turuvchi sterjen kesib yuborilgan ondan boshlab nuqtaga (ketma – ket ulang an prujinalarning yuqori uchi) qonun bo’yicha harakat qila boshlaydi( o’qi vertical bo’ylab pastga �\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q�������3�U�X�M�L�Q�D�O�D�U�Q�L�Q�J���E�L�N�L�U�O�L�N���N�R�H�I�I�L�W�V�L�\�H�Q�W�O�D�U�L�� , . 3-var iant. ( ) taxtachaning nuqtasiga mahkamlangan va bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan prujinaga osilgan. Taxtacha bikirlik koeffitsiyentlari , bo’lgan ikkita parallel prujinaga osib qo’yilgan. nuqta bu prujinalarning o’qlaridan va masofalarda joylashgan: Bi ror vaqt onida yukka yuk osib qo’yiladi. Xuddi shu vaqt onida �\�X�N�O�D�U�� �V�L�V�W�H�P�D�V�L�J�D�� �S�D�V�W�J�D�� �\�R�¶�Q�D�O�J�D�Q�� tezlik beriladi. Mutloq bikir taxtachaning massasi hisobga oli nmasin. 4-variant. Ikkita bir xil parallel prujinaning ( ) va ( ) yuklar ta’siridagi statik deformatsiyasi . yuklar prujinalarga mutlaq bikir taxtacha yordamida osilgan. Biror vaqt onida yuklarni birlashtirib turuvchi sterjen kesib yuboriladi. yukning harakatiga qarshilik tezlikka proporsional, bu yerda -tezlik . Taxtachaning va unga mahkamlangan dempfer qismining massasi hisobga olinmasin. 5-variant. Bikirlik koeffitsiyenti bo’lgan prujinaga osig’liq yukka ( ) yuk osilgan ondan boshlab nuqta (prujinaning yuqori uchi) Dm D Dm Em D E D D E D kg mD 4 sm N с / 6 AB D D E kg mE 2  H R 6  AB D kg mD 2 E kg mE 3 B   smt10 sin  sm N с / 24 1 sm N с / 34 2 D kg mD 8,1 AB F sm N с / 8 1 sm N с / 4,2 2 sm N с / 6,4 3 F a b 2 3/ / c c b a  D E kg mE 8,1 s m/ 5,0 0  D kg mD 2 E kg mE 5 sm fst 6,4 AB D  N R 8  s m/ sm N C / 6,4 D kg mD 2 E kg mE 3 B