Muvozanat atrofidagi kinetika Reja: 1. Dastlabki mulohazalar 2. Oshkor sxema 3. Oshkormas simmetrik sxema 4. Oshkormas simmetrik bo’lmagan sxema 5. "Vaznli" oshkormas sxema 6. Model tenglamaning xarakteristikmas ko’rinishi 7. Yaxshi barqarorlashtiruvchi xossali ikkinchi tartibli aniqlikdagi ikki qadamli sxema 8. Uch nuqtali sxema

1. Dastlabki mulohazalar Tez o’tuvchi fizik-ximik o’zgarishlarni hisoblashda ko’pincha katta hisoblash qiyinchiliklar kelib chiqadi. Bu masalani umumiy qarashda haqiqiy nostasionar va kvazistasionar rejimlarga ajratish maqsadga muvofiq . Birinchi holda bizni qiziqtiruvchi kattaliklar (konsentrasiya komponentasi, temperatura) xarakterli vaqt oraliqlarida jiddiy o’zgaradi; shuning uchun odatda ularning evolyusiyasini batafsil tekshirish talab qilinadi. Oxirgi talab qoidaga ko’ra yetarlicha kichik vaqt qadamlari bilan hisoblash o’tkazish zarurligini keltirib chiqaradi. Ikkinchi holda xarakterli vaqt uchun qaralayotgan kattaliklar kam o’zgaradi; ularning yo’lini batafsil tasvirlash odatda talab qilinmaydi. Bu hollarda katta vaqt qadamlari bilan hisoblash o’tkazish mumkinbo’ladi. Ammo maxsus xossalarga ega bo’lmagan sxemalar uchun kvazistasionar rejimda talab qilingan aniqlikka mos kelmaydigan qattiq chegaralangan vaqt qadami bilan ish ko’riladi. Bu kinetika tenglamasining o’ng tarafida katta parametrlar ishtirok etishi bilan shartlangan (yoki xuddi shuning o’zi t bo’yicha hosilalar oldida kichik parametrlar mavjudligi bilan). Muvozanat atrofida kinetikaning model tenglamasini xarakteristik ko’rinishda qaraymiz du dt = − Cu +1, C = const , c>0. (1) t= 0 da u0 qiymatni qabul qiluvchi bu tenglama yechimi quyidagi ko’rinishda yozilishi mumkin u= u∞+(u0− u∞)exp (− Ct ). (2) t→ ∞ da yechim juda tez limitik ("muvozanat") u∞ qiymatga intiladi (1- rasm) . 1-rasmda I va II raqamlar bilan mos ravishda u kattalik o’zgarishining nostasionar va kvazistasionar bosqichlari belgilangan. (Rejimlarning qandaydir darajaga qadar bo’linishi shartlidir; u u o’zgarishining aniq kichiklik mezoni bilan

aniqlanadi, masalan u∞ dan 10 yoki 20 % chegarada. Ammo 1-rasmdan ko’rinadiki, katta C larda chegaraning holati rejimlarni bo’lish mezonini tanlashdan kuchsiz bog’liq). 1-rasm. Yangi o’zguruvchi sifatida v= u− u∞ ni kiritamiz, ya’ni u ning u∞ limitik qiymatdan farqi. v uchun bir jinsli tenglamaga ega bo’lamiz dv dt =−Cv . (3) 2. Oshkor sxema (3) uchun quyidagi oddiy sxemani qaraymiz vn+1− vn τ = Cv n, vn+1=(1− Cτ )vn. (4) Ko’rinib turibdiki faqat va faqat, quyidagi barqarorlik sharti bajarilganda п→ ∞ da vn→ 0 |1−Cτ |<1, Cτ <2. (5) Agar 1<Cτ <2 bo’lsa, u holda vn nolga intilishi nomonoton tebranish xarakteriga ega bo’lishini ta’kidlaymiz. Ct <1 monoton barqarorlashtirish sharti va (5)u ∞ u 2 = 0,9 u ∞ u 1 = 0,8 u ∞ u 0 0 I IIt 1 t 2 t

barqarorlashtirish shartlari ruxsat berilgan vaqt qadami tartibi bo’yicha τpeл = 1/C relaksasiya vaqtidan oshmasligi kerakligini anglatadi. Kvazistasionar rejimlarda (katta C larda) bunday chegaralashlar haddan tashqari qiyinchilik keltirishi mumkin. 3. Oshkormas simmetrik sxema (5) ko’rinishdagi chegaralashni olib tashlashni hohlagan holda oshkormas sxemalarga murojat qilamiz. Ushbu ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo’lgan simmetrik approksimasiyadan boshlaymiz : vn+1− v t n =−(0,5 Cv n+1+0,5 Cv n), vn+1= sv n, (6) s= (1− 0,5 Cτ )(1+0,5 Cτ )−1. Ko’rinib turibdiki (6) sxema barqaror sxemadir, ya’ni n→ ∞ da har qanday Cτ >0 uchun vn→ 0 . Ammo agar Cτ >2 bo’lsa, u holda barqarorlashtirish nomonoton bo’ladi. Katta Cτ lar uchun o’tish ko’paytmasi −1 ga yaqin bo’ladi, shuning uchun vn nolga juda sekin va tebranish tarzida intiladi. Amaliy hisoblashlarda tashqi qo’zg’alishlar mavjud bo’lganda sxemalarning bunday tebranish xossalari jiddiy oqibatlarga olib kelishi mumkin (rezonans tipidagi hodisalarga). Buni ushbu tenglama misolida ko’rsatamiz un+1− un τ =− 0,5 C (un+1+un)+1+ε(− 1)n. (7) Bu yerda ozod had ("tashqi manba") ε nisbiy amplitudali tebranish bilan qo’zg’atilgan. Xususiy yechimni un= A(− 1)n+u∞, u∞= 1/C ko’rinishda izlaymiz; A – noma’lum o’zgarmas koeffisiyent. Bu ifodani (7) ga qo’yib A= 0,5 ετ ni topamiz. (7) ning umumiy yechimi ushbu ko’rinishga ega

un= 1/C +0,5 ετ (− 1)n+Bv n, (8) bu yerda B – qiymati boshlang’ich shartlardan aniqlanuvchi ixtiyoriy o’zgarmas; katta n lar uchun oirgi qo’shiluvchi ahamiyatga ega bo’lmaydi. Yechim u∞ ning atrofida tebranishini ko’ramiz, chunki tebranishning nisbiy amplitudasi 0,5 Cτε , ga teng, ya’ni "manba" uchunga nisbatan 0,5 Cτ marta katta. ( Cτ = 20 da tebranish nisbiy amplitudasining 10 marta oshishiga ega bo’lamiz.) 4. Oshkormas simmetrik bo’lmagan sxema Cτ ning katta qiymatlarida ushbu birinchi tartibli aniqlikdagi oshkormas sxema ancha yaxshi sifat xossalariga ega bo’ladi vn+1− vn τ =− Cv n+1, vn+1= sv n, s= 1 1+Cτ (9) Istalgan Cτ da sxema monoton tarzada barqaror bo’ladi. Cτ o’sishi bilan yaqinlashish tezlashadi, bu (3) differensial tenglamaning miqdoriy xususiyatiga ko’ra topiladi (uninguchun s= exp (− Cτ ) ). 5. "Vaznli" oshkormas sxema "Haqiqiy nostasionarlik" shartlarida vaqt yo’li bo’yicha yechimni aniq tasvirlash zarur, birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarni qo’llaganda vaqt qadamni nomaqbul tarzda kamaytirishga sabab bo’lishi mumkin. Shuning uchun amaliy hisoblashlarda ko’pincha "oldingi oraliq qiymat"li sxema qo’llaniladi: vn+1− vn τ =−(αCv n+1+βCv n), vn+1= sv n, s= 1− βCτ 1+αCτ . (10) Bu yerda α,β lar – α+ β= 1 , α≥ 0, β≥ 0,α≥ β munosabatlar bilan bog’langan vazn koeffisiyentlari. "Nostasionarlik bosqichi"da aniqlik uchun α~0,5 deb olinadi. "Kvazistasionarlik bosqichida" barqarorlashtirish xossasini