O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MUHANDISLIK FIZIKASI INSTITUTI NAZARIY VA AMALIY MEXANIKA KAFEDRASI Nazariy mexanika fanidan Nuqta kinematik xarakteristikalarini topish №-2 HISOBLASH GRAFIK ISHI Samarqand– 20 25

HGI ish № 2 Mavzu: Nuqta kinematik xarakteristikalarini topish. 1. Nuqta harakatining berilish usullari Nuqta harakati davomida qoldirgan iziga uning trayektoriyasi deyiladi. Nuqtaning harakati uning fazodagi yoki tekislikdagi vaziyati bilan vaqt oralig’idagi bog’lanishni ifodalovchi harakat qonunining berilishi bilan to’la aniqlanadi. Nuqta harakati – koordinat, vektor va tabiiy usullarda berilishi mumkin. Bu harakat usullari bir-biriga ekvivalentdir. 1) Koordinatalar usuli Bu usulda M moddiy nuqtaning harakati xyz dekart koordinatalari sistemasida uchta bir qiymatli, uzluksiz va differensiallanuvchi (1) funksiyalarning berilishi bilan aniqlanadi (1-rasm). Keltirilgan (1) tenglamalar nuqta trayektoriyasining parametrik tenglamalari bo’lib, nuqtaning harakat tenglamalari deyiladi. Nuqtaning trayektoriya tenglamasini topish uchun (1) tenglamalardan t vaqtni yo’qotib (2) ko’rinishdagi bog’lanishlarni hosil qilish kerak. Nuqtaning Oxy tekisligidagi harakati ikkita bir qiymatli, uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyalarning berilishi bilan aniqlanadi va bu holda uning trayektoriya tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. 2) Vektor usul Moddiy nuqtaning harakati bu usulda berilganda uning radius vektori (1- rasm) t vaqtning funksiyasi sifatida qaraladi, ya’ni Nuqtaning radius–vektori va uning dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish (3) 2

tenglik bilan ifodalanadi, bu yerda koordinat o’qlarining birlik vektorlari. 3) Tabiiy usul Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda istalgan t vaqt uchun uning trayektoriyadagi vaziyati (4) tenglikdan aniqlanadi, bunda boshlang’ich vaziyatdan egri chiziq bo’ylab hisoblanuvchi yoy uzunligi (yoy koordinatasi) (2-rasm). Nuqta harakati tabiiy usulda berilishi uchun quyidagilar ma’lum bo’lishi kerak: a) Nuqta trayektoriyasi; b) Trayektoriyaning sanoq boshlanadigan nuqtasi, hamda harakatning musbat va manfiy yo’nalishlari; c) Nuqtaning trayektoriya bo’ylab (4) ko’rinishdagi harakat qonuni. 2. Nuqtaning harakat tezligi va tezlanishi. Nuqta trayektoriyasining egrilik radiusi Harakatdagi nuqtaning tezligi – uning fazodagi yoki tekislikdagi vaziyatini aniqlovchi radius–vektor dan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosiladir. Tezlik nuqta vaziyatining vaqt birligi ichida o’zgarishini xarakterlaydi , bunda tezlik vektorining qo’zg’almas dekart koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari: (5) formulalardan aniqlanadi. Tezlik vektorining moduli va yo’nalishi quyidagicha topiladi: (6) bu yerda - tezlik vektori ning x,y,z koordinata o’qlari musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchaklaridir. Tezlik vektori doimo traektoriyaga urinma bo’ylab yo’naladi. Moddiy nuqta harakati tabiy usulda berilganda uning tezligi ga teng. Bu yerda - yoy koordinatasi s ning o’sish tomoniga yo’nalgan birlik vektori (2-rasm), - tezlik vektorining urinma yo’nalishiga proyeksiyasi bo’lib 3

formula bilan aniqlanadi. Agar bo’lsa, moddiy nuqta s koordinatasining qiymatlari o’sish tomoniga qarab harakatlanadi. Agar bo’lsa, nuqta s yoy koordinatasining qiymatlari kamayadigan tomonga qarab harakatlanadi. Harakatdagi moddiy nuqtaning tezlanishi tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosilasiga yoki radius-vektordan vaqt bo’yicha ikkinchi tartibli hosilasiga teng. Tezlanish tezlikning vaqt birligi ichidagi o’zgarishini xarakterlaydi va formula bilan hisoblanadi. Tezlanish vektorining qo’zg’almas dekart koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari (7) kabi topiladi, ya’ni nuqta tezlanishining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari tezlik vektori proyeksiyalarining vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilalariga, yoki nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalariga teng. Tezlanishning moduli va yo’nalishi (8) formulalar yordamida aniqlanadi. Bu yerda - tezlanish vektorining x,y,z koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklaridir. Tezlanish vektori hamma vaqt trayektoriyaning botiqlik tomoniga qarab yo’nalgan. Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda tezlanish vektori urinma va narmal tezlanishlarning vektorli yig’indisiga teng (3-rasm), ya’ni Tezlanishning urinma yo’nalishiga proyeksiyasi ga teng va uning qiymati (9) formula bilan aniqlanadi. Urinma tezlanish tezlik vektorining vaqt birligi ichidagi miqdor jihatdan o’zgarishini harakterlaydi. Normal tezlanish (10) formula yordamida topiladi. Bu yerda - trayektoriyaning egrilik radiusi. Ko’pincha (10) formuladan trayektoriyaning egrilik radiusining qiymatini aniqlashda foydalaniladi 4

Normal va urinma tezlanishlar berilganda tezlanishning kattaligi va yo’nalishi quyidagicha topiladi . Yuqoridagi (10) formula trayektoriyaning egrilik radiusi qiymatini aniqlash uchun ishlatilgan vaqtda normal tezlanishning qiymati formula bilan hisoblanadi. Topshiriq: M nuqtaning berilgan harakat tenglamalari asosida,uning trayektoriya tenglamasi, vaqtning paytida traektoriyadagi vaziyati, tezligi, to’la tezlanishi, urinma va normal tezlanishlari, tegishli nuqtada trayektoriyaning egrilik radiusi topilsin. Natijalar shaklda tasvirlansin 3 . Topshiriqni bajarish tartibi 1. Trayektoriya tenglamasini topish va uni dekart koordinatalari sistemasida qurish. 2. Vaqtning istalgan payti uchun tezlik va te zlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, kattaliklari va yo’naltiruvchi kosinuslarini topish. 3. Nuqtaning boshlang’ich t=0 va berilgan vaqtdagi , hamda to’xtash jaylaridagi vaziyatlarini trayektoriyada ko’rsatish. Harakatning va to’xtash joylari oraliqlarida nuqta harakatining yo’nalishlarini aniqlash, hamda nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonunini vaqtga bog’liq ravishda aniqlash. 4. Tezlanishning trayektoriyaga urinma va normal yo’nalishlariga proyeksiyalarini topish hamda trayektoriyaning egrilik radiusini aniqlash. 5. Vaqtning berilgan payti uchun tezlikning va tezlanishning kattaligi, ularning dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari, urinma va normal tezlanishlar qiymatlari, egrilik radiusi qiymatini hisoblash. 6. Yuqorida olingan natijalarni chizmada ko’rsatish. 4. Topshiriqni bajarish namunasi Berilgan: , (11) bunda ; Yechish. 1. (11) harakat tenglamalari parametrik ko’rinishdagi trayektoriya tenglamasidir, bunda parametr – t . Trayektoriyaning dekart koordinatalaridagi tenglamasini topish uchun (11) dan t ni yo’qotish kifoya. Buning uchun ularni quyidagicha yozib olamiz 5