Tezlik gradiyenti. Deformatsiya tezligi. Uyurma. Chiziqli element, yuza va hajmning moddiy hosilasi Reja: 1. Deformatsiyalanuvchi tutash muhit cheksiz kichik zarrachasida tezliklar taqsimoti. 2. Absolyut qattiq jisimda tezliklarning taqsimlanishi uchun Eyler formulasi bilan (10.14) formulani solishtirish. 3. Koshi-Gelmgols teoremasi. 4. Vektorning divergensiyasi tushunchasi. 5. Vektor maydonining rotasiyasi. 6. Vektorning sirkulyasiyasi tushunchasi. 7. Stoks teoremasi Tayanch iboralar: tezlik, vektor, kovariant hosila, cheksiz kichik zarracha, tenzor, kvadratik shakl, oniy aylanish tezligi, sof deformatsiya, vaqt, radius-vektor, deformatsiya tezliklari tenzori, divergensiya, rotor, sirkulyasiya, radius vektor, uyurma vektori, uyurmali harakat, uyurmasiz harakat, potensialli harakat, gradient 1. Deformatsiyalanuvchi tutash muhit cheksiz kichik zarrachasida tezliklar taqsimoti Tutash muhit cheksiz kichik zarrachasining ixtiyoriy o 1 nuqtasining ⃗v1 tezligi (9.22) formula yordamida, bu zarrachaning o – markazining ⃗v0 tezligi. ⃗v1 ning markazdagi ( O – nuqtadagi) hosilalari va qaralayotgan nuqtaning koordinatalati ( ¯ρ - vektor orqali ifodalanishini ko’rdik. Bu formuladagi ∂⃗v ∂ξi ifoda ⃗v - tezlik vektorining kovariant hosilasidir. U holda (∂⃗v/∂ξi)= ∇ ivk⃗˙эk ekanligini hisobga olsak, (9.22) formulani quyidagicha yozish mumkin

⃗v1= ⃗v0+∇ i⃗vkρi⃗эk+ ρ¯O (ρ)= ⃗v0+1 2 (∇ ivk+∇ kvi)ρi⃗эk+ +1 2 (∇ ivk+∇ kvi)ρi⃗эk+ ρ¯O (ρ)= ⃗v0+ekiρi⃗эk+ωki ρi⃗эk+ ρ¯O (ρ),(10.1) bu erda simmetrik eki= 1 2(∇ ivk+∇ kvi) , (10.2) va antisimmetrik ωki= 1 2(∇ ivk− ∇ kvi) (10.3) tenzorlar ajratib yozildi. Bundan oldingi (10.1) ifodani Dekart koordinatalarida yozish uchin ⃗ρ= x1¯i+x2¯j+x3¯k= x¯i+y¯j+z¯k ekanligidan foydalanamiz va (10.1) tenglikni koordinat o’qlariga proeksiyalab u1= u0+e1ix0 i+ω1ixi, v1= v0+e2ixi+ω2ixi, w1= w0+e3ixi+ω3ixi (10.4) ifodalarga ega bo’lamiz. Bu ifodalardagi e j i va  j i komponentalar x i larga bog’liq emas va x i bo’yicha yuqori tartibli ρ¯0(ρ) hadlar esa tashlab yuborilgan. Quyidagi kvadratik shaklni kiritamiz Φ=1 2 e11 x1x1+e12x1x2+e31 x3x'+e23x2x3+ +1 2 e22x2x2+1 2e33x3x3; (10.5) yoki Φ= 1 2epq xpxq . Ko’rinib turibdiki ekixi= ∂Φ ∂xk (10.6) Oxirgi (10.6) formulani (10.4) formulalarga qo’ysak

u1= u0+∂Φ ∂x1+ω1ixi, v1=v0+∂Φ ∂x2+ω2ixi, w1= w0+∂Φ ∂x3+ω3ixi. (10.7) Shunday qilib, tutash muhit cheksiz kichik zarrachasi nuqtasining tezligi uchta tuzuvchilarga ajratiladi: birinchisi ⃗v0(u0,v0,w0)− x1x2x3− koordinatalardan bo’q’liq emas va demak, butun zarrachaning ilgarilanma harakatini xarakterlaydi; ikkinchisi ( ∂Φ ∂x1,∂Φ ∂x2,∂Φ ∂x3) esa  potensialga ega, uchunchisini (  1i x i ,  2i x i ,  3i x i ) mufassal tekshirish uchun Dekart koordinatalar sistemasida quyidagi antisimmetrik matrisani kiritamiz ‖ω ij‖= ¿ ‖0 ω 12 ω 13 ¿‖‖ω 21 0 ω 23 ¿‖¿ ¿ ¿¿ bu erda quyidagicha belgilashlar kiritildi ω1= ω32 ; ω2= ω13 ; ω3= ω21. (10.8) 2. Absolyut qattiq jismda tezliklarning taqsimlanishi uchun Eyler formulasi bilan (10.14) formulani solishtirish. (10.8)ga asosan (10.3)dan ω1=1 2( ∂w ∂y−∂v ∂z); ω2= 1 2( ∂w ∂x − ∂u ∂z); ω3=1 2( ∂v ∂x− ∂u ∂y). (10.9) Bu ifodalarni quyidagi simvolik tasvirlashdan chiqarish mumkin

⃗ω=ω1 ⃗i+ω2 ⃗j+ω3 ⃗k=¿ ‖⃗i⃗j⃗k¿‖‖ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ¿‖¿ ¿ ¿¿. (10.10) Agar ω1ixi= ω11 x1+ω12 x2+ω13 x3 ekanligini hisobga olsak, (10.8) belgilashlarga asosan v1ixi=ω2z− ω3y tenglikka ega bo’lamiz. Xuddi shunday ω2ixi= ω3x− ω1z,ω3ixi= ω1y− ω2x, u holda (10.7) formulani quyidagicha yozish mumkin u1= u0+∂Φ ∂x +ω2z− ω3y, v1= v0+∂Φ ∂y +ω3x− ω1z, w1= w0+∂Φ ∂z +ω1y−ω2x (10.11) yoki (10.10) belgilashlarga asosan ⃗ω × ⃗ρ = ¿‖ ⃗i ⃗j ⃗k ¿‖‖ ω 1 ω 2 ω 3 ¿‖ ¿ ¿ ¿ ¿ (10.11 1 ) bo’lganligidan (ω× ρ)x=ω2z−ω3y, (ω× ρ)y=ω2x−ω1z, (ω× ρ)z=ω1y− ω2x, (10.12) bu ifodalarni (10.11) ga qa’ysak u1= u0+∂Φ ∂x +(⃗ω× ⃗ρ)x; v1=v0+∂Φ ∂y +(⃗ω× ⃗ρ)y; w1= w0+∂Φ ∂z +(⃗ω×⃗ρ)z. (10.13) formulaga ega bo’lamiz. Agar (10.13)ni vektor ko’rinishida yozsak

⃗v1= ⃗v0+grad Φ +⃗ω× ⃗ρ+ρ⃗0(ρ), (10.14) bu formula (10.1) va (10.13) formulalarni to’liq almashtira oladi. Nazariy mexanika kursidan ma’lumki tezliklarning absolyut qattiq jisimdagi taqsimoti uchun quyidagi Eyler formulasi o’rinli ⃗v1= ⃗v0+⃗Ω× ρ, (10.15) bu erda ⃗v0 - absolyut qattiq jismning ma’lum (qutb deb ataluvchi) nuqtasining ilgarilanma harakat tazligi; Ω - absolyut qattiq jisimning oniy burchak tezligi vektori; ¯ρ - absolyut qattiq jism qaralayotgan nuqtasining ma’lum (qutb) nuqtaga nisbatan radius – vektori. Agar (10.15) va (10.14) formulalarni solishtirib qarasak, oxirgisida drad  va ρ⃗0(ρ) hadlar oldingiga nisbatan ortiq ekanligini ko’ramiz. Bu erda biz ρ⃗0(ρ) had  ga nisbatan cheksiz kichik miqdor bo’lganligi uchun birinchi yaqinlashishda uni e’tiborga olmaslik mumkin ekanligini hisobga olsak, (10.14) formulani qyuidagi ko’rinishda yozish mumkin ⃗v1= ⃗v0+⃗ω × ⃗ρ+ grad Φ . (10.16) Bu formula esa Koshu-Gelmgols teoremasini ifodalaydi . Tutash muhit cheksiz kichik zarrasining ixtiyoriy o 1 nuqtasining ⃗v1 tezligi, xuddi absolyut qattiq jisimdagi kabi, ilgarilanma ⃗v0 va aylanma ⃗ω×⃗ρ harakat tezliklari hamda ⃗v= grad Φ sof deformatsiya tezliklari yigindisiga teng: ⃗v1= ⃗v0+⃗vayl +⃗vs.d . (10.17) Yuqorida biz ⃗ω vektor bilan ⃗Ω vektorlarining o’xshashligini ko’rdik. Agar ⃗Ω vektor absolyut qattiq jism oniy aylanish burchak tezligi bo’lsa, ⃗ω - vektori uzluksiz muhit cheksiz kichik zarrachasi bilan bog’langan va dt cheksiz kichik vaqt davomida qattiq bo’lib turadigan jismning oniy aylanish burchak tezligi deb qaralishi mumkin. Boshqacha aytganda ⃗ω deformatsiya tezliklari tenzori bosh o’qlarining oniy aylanish burchak tezligidir va u uyurma ( вихрь ) vektori deb ataladi.