logo
  1. Bosh sahifa
  2. Referatlar
  3. Umumiy
  4. Tutash muhit mexanikasining predmeti, asosiy gipotezalari va tekshirish usullari.Asosiy belgilashlar. Skalyar, vektor va tenzor kattaliklar. Simvolik belgilashlar

Tutash muhit mexanikasining predmeti, asosiy gipotezalari va tekshirish usullari.Asosiy belgilashlar. Skalyar, vektor va tenzor kattaliklar. Simvolik belgilashlar

Yuklangan vaqt:

23.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

220.060546875 KB
Ko'chirib olish
1-MA’RUZA. Tutash muhit mexanikasining predmeti, asosiy gipotezalari va tekshirish usullari. Asosiy belgilashlar . Skalyar, vektor va tenzor kattaliklar. Simvolik belgilashlar Reja: 1. Tutash muhit tushunchasi. 2. TMM ning tadqiqot ob’etlari va predmeti. 3. TMM metodlari. Statik va fеnomenologik metodlar. 4. Asosiy gipotezalar. 5. Asosiy tushunchalar. 6. Dekart koordinatalari sistemasida bazis vektorlari. 7. Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish. 8. Vektorning va tenzorning ta’riflari. Diad va poliad ko’paytmalar. Tayanch iboralar: tutashlik, fazo va vaqt, ikki va uch o’lchovli metrik, Е vklid va noevklid fazolar, absolyut vaqt. Tabiatdagi hamma jismlar o’zlarining gaz, suyuq yoki qattiq holatlaridan qat’iy nazar alohida-alohida mayda bo’lakchalar – zarrachalardan tashkil topgan. Molekulyar fizika kursidan ma’lumki 1 sm 3 hajmdagi u yoki bu gazning molekulalari soni, yulduzlararo muhitdagi molekulalar soni, biror qattiq jism, masalan temirning kichik bir bo’lakchasidagi zarrachalar soni va hokazolarni hisoblab topish qiyin emas. Hisoblashlar odatda bu sonlar biz qaraydigan hajmlar uchun juda katta ekanligini ko’rsatadi, shunung uchun har qanday jismni biz taqribiy ravishda fazoning ma’lum bo’lagini tutash ( uzluksiz ) to’ldirgan deb qaraymiz ( asosiy gipoteza ) . Biz yaxshi biladigan odatdagi jismlar – suv, tuproq, havo, tosh, temir va hokazolarni fazoning biror bo’lagini butunlay ( to'lasincha) to’ldirgan jism sifatida qaraymiz. Nafaqat oddiy moddiy jismlarni, balki har xil maydonlarni ham, masalan elektromagnit maydoni, gravitasion maydon va boshqalarni ham uzluksiz kontinuum sifatida qarash yoki hisoblash mumkin. Bundan keyin biz yuqorida eslatilgan jismlar va maydonlarni bitta umumiy nom bilan – tutash muhit deb ataymiz. Ushbu muhitlarning mexanik xarakteristikalarini o’rganuvchi, ularning o’zaro ta’siri, ulardagi boshqa jismlar harakatlari va muvozanatlari bilan bog’liq masalalarni o’rganuvchi fanni Tutash muhit mexanikasi deb ataydilar. Tabiatdagi u yoki bu jismni tutash muhit deb qarash, uni ideallashtirishdan iboratdir. Bunday ideallashtirish biz deformatsiyalanuvchi jismlar harakatlarini tekshirishda uzluksiz funksiyalar apparatini, differensial va integral hisobini qo’llaganimiz bois zarurdir. Yuqorida aytilganlardan quyidagicha xulosa qilish mumkin: tutash muhit deganda deformatsiyalanuvchi (tashqi ta’sir natijasida shakli o’zgaruvchi) , qattiq, suyuq, gaz va plazma holatidagi jismlarni hamda ba’zi maydonlarni tushunamiz. Nazariy mexanika kursida qattiq jism ideallashtirilib, ya’ni uni absolyut qattiq jism deb qarab, uning muvozanati va harakati o’rganiladi. Tumash muhit mexanikasi deformatsiyalanuvchi qattiq, suyuq va gazsimon jismlarning muvozanati, harakati va o’zaro ta’siri masalalarini o’rganadi . Bu yerdan ko’rinib turibdiki tutash muhit mexanikasi fan va texnikaning juda ko’p sohalariga tegishli masalalarni hal qilish bilan shuq’ullanishi kerak. Bunday masalalarning ichidan quyidagilarni alohida ajratib ko’rsatish mumkin: - elastiklik nazariyasi masalalari; - qovushoq elastiklik nazariyasi masalalari; - plastiklik nazariyasi masalalari; - astrofizika va kosmogoniya masalalari; - qurilmalarning mustahkamligi va yemirilishi masalalari; - gaz va suyuqliklarning ularda harakat qilayotgan jismga ta’sirini o’rganish; - gaz va suyuqliklarning quvurlardagi harakati; - suyuqliklarning tuproq qatlami yoki jismlardan o’tish harakati – filtrasiya masalalari; - gidrostatika masalalari; - to’lqin harakati masalalari, bu yerda to’lqin harakati jismning har uch fazaviy holatida ham sodir bo’ladi; - suyuqlik va gazlarning turbulent harakati masalalari; - qattiq jismlar atmosferaning qalin qatlamlariga yorib kirganda ularni yonishdan va erishdan saqlash; - magnit gidrodinamikasi masalalari; - biomexanika masalalari; - metereologiya masalalari; - yer fizikasi va seysmologiya masalalari; - harakatlanuvchi jismlarning elektromagnit maydonlar bilan o’zaro ta’siri masalalari va hokazo. Moddiy jismlar harakatini o’rganishda tutash muhitlar mexanikasi asosan ikki usuldan foydalanadi. Bular statistik hamda fenomenologik – makroskopuk usullardir: 1) Statistik metodlar (usullar) - biror muhitning harakati tekshirilayotganda uning zarrachalari bir biriga nisbatan harakatda deb qaraladi, lekin uning har bir zarrasining traektoriyasi, tezligi, tezlanishi va boshqa xarakteristikalari o’rganilmasdan, shu jism zarrachalari uchun umumiy bo’lgan o’rtacha xarakteristikalar o’rganiladi. Bu esa o’z navbatida fizika fanida qo’llaniladigan statistik usulga olib keladi va o’rganilayotgan hodisalarga ehtimollar nazariyasi nuqtai – nazaridan qaraladi. Statistik metodlar har doim zarralarning xususiyatlari, o’zaro ta’siri va hokazolar bilan bog’liq bo’lgan qo’shimcha gipotezalarga asoslanadi. Shuning uchun ham statistik metodlarni qat’iy va aniq metodlar deb bo’lmaydi. Bundan tashqari statistik metodlar asosida chiqarilgan harakat tenglamalari juda murakkab bo’lganligi sababli bu metodlar o’z effektivligini yo’qotadilar; 2) Fenomenologik – makroskopuk metod - moddiy jismlar harakatini o’rganishdagi ikkinchi yo’l – tajribadan olingan umumiy qonuniyatlar va gipotezalar asosida fenomenologik – makroskopik nazariyani yaratishdir. Amaliy jihatdan muhim ko’pgina masalalarni yechishda makroskopik nazariya juda effektiv apparat hisoblanadi va uning yordamida topilgan ma’lumotlar tajriba natijalari bilan mos tushadi. Shuning uchun ham biz tutash mumitlar mexanikasi kursini o’rganishni moddiy muhitning fenomenologik – makroskopik nazariyasi asosida olib boramiz. Tutash muhit mexanikasida ham, moddiy jismlar harakatini o’rganadigan boshqa fanlarda bo’lgani kabi, fazo va vaqt tushunchalari asosiy tushunchalar bo’lib hisoblanadilar. Chunki, har qanday harakat biror fazoda qandaydir vaqt davomida sodir bo’ladi. Tutash muhit mexanikasi doirasida har qanday harakatni biz metrik (ixtiyoriy ikki nuqtalari orasidagi masofalar aniqlangan) fazolarda tekshiramiz. Bunday metrik fazoga misol sifatida oddiy uch o’lchovli Evklid fazosini keltirish mumkin. Bu fazoning har bir nuqtasi, butun fazo uchun yaroqli bo’lgan, yagona ( x,y,z ) Dekart koordinatalari sistemasi bilan aniqlanadi va ixtiyoriy x 1 , y 1 , z 1 hamda x 2 , y 2 , z 2 koordinatali nuqtalari orasidagi masofa quyidaqir= √(x1− x2)2+(y1− y2)2+(z1− z2)2 formula bilan beriladi. Bundan keyin biz faqat hamma nuqtalari uchun yaroqli bo’lgan yagona Dekart koordinatalari sistemasini kiritish mumkin bo’lgan fazolarni qaraymiz. Bunday fazo Evklid fazosi deyiladi va shu asosda rivojlantiriladigan mexanika Nyuton mexanikasi deyiladi . Tutash muhitlar mexanikasida absolyut vaqtdan foydalaniladi. Vaqtning absolyutligini uning hamma uchun bir xilligida deb tushunish kerak, ya’ni vaqt poezddagi, samolyotdagi, auditoriyadagi va h.k. kuzatuvchilar uchun bir xil o’tadi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, bu narsa faqat Eynshteynning nisbilik nazariyasini hisobga olmaslik mumkin bo’lgan holdagina o’rinlidir. Har bir fanning o’ziga xos tekshirish usullari bo’ladi. Xuddi shunday, tutash muhit mexanikasining ham o’ziga xos usullari mavjud. Bu usullar matematik analiz, differensial geometriya, funksional analiz va boshqa matematik fanlar qonunlariga tayanadi. Tutash muhit mexanikasining hamma usullari asosida quyidagi konsepsiya yotadi: tutash muhitning harakatini bir qiymatli aniqlovchi va tavsif etuvchi (xarakterlovchi) qator tushunchalar kiritiladi va ular sonlar yoki boshqa matermatik tushunchalar yordamida aniqlanadi. Bunday tushunchalarga misol sifatida tezliklar maydoni, bosimlar maydoni, harakat, muvozanat, zichlik, harorat va boshqalar ko’rsatilishi mumkin. Tutash muhit mexanikasida mexanik masalalarni matematik masalalarga keltiruvchi usullar ishlab chiqiladi. Bu usullar yordamida mexanik masala qandaydir sonlarni yoki sonlar funksiyalarini har xil matematik amallar yordamida topishga keltiriladi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, ko’p hollarda matematik masalaga keltirilgan mexanik masala shunday qiyinlashadiki uni echish amri- mahol bo’ladi. Shuning uchun ham matematik ko’rinishga keltirilgan mexanik masalani echish matematikaning yoki matematiklarning ishi emas, balki mexanikaning, xususan mexaniklarning ishi hisoblanadi. Chunki ana shunday masalalar mexanik gipoteza va mulohazalar asosida soddalashtirilib, keyin echilishi mumkin. Shunday qilib, tutash muhit mexanikasining usullari mexanik masalani matematik masalaga keltirish va uni echish usullaridan iboratdir . Shunday qilib quyidagi asosiy gipotezalarga ega bo’ldik. 1) jism zarrachalari jism joylashgan fazo bo’lagini (qismini) tutash, (bo’shliqlarsiz) to’ldiradi. Bu zarrachalar cheksiz kichik hajmga ega bo’lib mexanik parametrlarga egadir (zichlik, harorat va h.k.); 2) Jism harakat qiladigan fazo Evklid fazosi bo’lib, bu shunday fazoki unda hamma nuqtalar uchun umumiy bo’gan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish va ixtiyoriy nuqtalar orasidagi masofani aniqlash uchun yagona formula beriladi. Maso-faning o’lchov birligi sifatida Parij meridianining milliondan bir bo’lagi – metr (m) qabul qilingan. 3) Vaqt absolyutdir. Ya’ni u har qanday koordinatalar sistemasida bir xil va bir tekis o’tadi, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasining nisbiy harakati bilan uzviy ravishda bog’langan. Vaqt birligi sifatida o’rtacha quyosh sutkasining 86400 dan bir qismi – sekund (s) qabul qilingan. Oliy matematikaning maxsus bo’limlaridan biri hisoblangan tenzor hisobi keyingi vaqtlarda fanning juda ko’p sohalarida qo’llaniladi. Bu sohalarga tutash muhitlar mexanikasi, nazariy fizika, kristallografiya, yarim o’tkazgichlar fizikasi va boshqalar kiradi. Tenzor hisobiga bag’ishlangan adabiyot juda ko’p bo’lishiga qaramasdan talabalar, muhandis va aspirantlar tenzor hisobi bo’yicha biror qo’llanmani tanlashda ancha qiynalishadi. Chunki u yoki bu adabiyot uni yozgan muallifning qiziqish va ishlash sohasi bilan bevosita bog’liq bo’lib, ko’proq shu sohaga tegishli bo’lgan tushunchalarni o’z ichiga oladi. Bundan tashqari eng muhimi bu adabiyotlarning barchasi rus tilida ekanligidir. Ma’lumki Samarqand davlat universiteti O’zbekistonda mexanika bo’yicha mutaxassislar tayorlovchi ikki universitetdan biri. Ushbu mutaxassislik bo’yicha o’qiyotgan talabalar tutash muhitlar mexanikasi fanini, asosiy mutaxassislik fanlaridan biri sifatida, chuqur o’rganishlariga to’g’ri keladi. Har qanday tutash muhitning holatini xarakterlovchi kattaliklar, xususan fizik va geometrik kattaliklar, koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq emas, ya’ni ular invariant kattaliklar yoki ob’ektlardir. Ammo bu kattaliklarni tenzor hisobi elementlaridan foydalanib o’rganish, ya’ni ularni biror koordinatalar sistemasiga bog’lab o’rganish ancha qulay. Bunda yuqoridagi invariant ob’ektning o’zi koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’lmagan holda, koordinat sistemasiga bevosita bog’liq bo’lgan bir qancha kattaliklarning majmuasi bilan aniqlanadiki, kattaliklar invariant ob’ektning tuzuvchilari yoki komponentalari deb ataladi. Ana shunday ko’p komponentali invariant ob’ektlarni tenzorlar deb ataydilar. Bundan tashqari tutash muhitlar mexanikasining bayoni «tenzor tili» da bo’lishi kerakligi munosabati bilan quyida tenzor hisobidan ba’zi zaruriy boshlang’ich ma’lumotlar keltirishni lozim topdik. 1. Dekart koordinatalari sistemasida bazis vektorlari. Vektorning komponentalarini almashtirish. Koordinat chiziqlari o’zaro perpendikulyar bo’lgan koordinatalar sistemasi ortogonal koordinatalar sistemasi deyiladi. Umuman vektorning ortogonal sistemasi deb shunday {⃗xα} vektorlar to’plamiga aytiladiki, bu to’plamning ixtiyoriy vektorlari orasidagi skalyar ko’paytma nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni (⃗xα⋅⃗xβ)= 0, (α≠ β). Agar bu to’plamga kiruvchi har bir vektorning normasi birga teng bo’lsa, bunday sistema ortonormal sistema deyiladi. Agar vektorlarning ortogonal sistemasida unga kiruvchi vektorning hammasiga ortogonal bo’lgan vektor topilmasa, bunday sistema to’liq ortogonal sistema deyiladi. Uch o’lchovli Evklid fazosidagi Dekart koordinatalari sistemasi o’qlarini x 1 , x 2 , x 3 lar bilan, ularning ortonormal bazisini esa iэ⃗ ( i =1, 2, 3) lar bilan belgilaymiz. U holda ta’rifga ko’ra         , ' ,0 ; ' ,1 lsa bo j i agar lsa bo j i agar э э ij j i  ⃗ ⃗ (2.1) bu yerda  ij - Kroneker simvoli. Ma’lumki, ixtiyoriy ⃗α vektori iэ⃗ ( i =1, 2, 3) bazis vektori orqali quyidagi ⃗α= α1⃗э1+α2⃗э2+α3⃗э3= ∑i=1 3 αi⃗эiyiq’indi ko’rinishda ifodalanadi, bu yerda αi ( i =1, 2, 3) vektorning tuzuvchilari (komponentalari). Yozuvning qulayligi uchun oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi yig’indi belgisi (  ) ni tashlab yuborib, tenglik quyidagicha yoziladi ⃗a= аi⃗эi, (i= 1,2,3). (2.2) Ushbu ifodadagi yig’indi hisoblanuvchi va ikki marta takrorlanuvchi i-indeksi « gung » indeks deb ataladi («gapirmasa ham yig’ndi olish kerakligini aytadi»). Fazo uch o’lchovli bo’lganda gung indeks 1, 2, 3 qiymatlarning har uchalasini ham qabul qiladi. Gung indeksni har qanday i, j, k, ….. harflari bilan belgilash mumkin, masalan ⃗α= αi⃗эi= αj⃗эj= αk⃗эk= α1⃗э1+α2⃗э2+α3⃗э3. Indeksning gung yoki gung emasligini aniqlash uchun uning takrorlanishiga etiborni qaratish kerak. Agar indeks takrorlanmasa u «erkin» indeks deb yuritiladi. Misol uchun βij⃗эj= ⃗bi yozuvida i-erkin, j-esa gung indeksdir. Ortonormal bazisi ⃗эi ( i =1, 2, 3) bo’lgan eski x 1 x 2 x 3 Dekart koordinatalari sistemasi o’qlariga nisbatan biror burchakka burilgan va ortonormal bazisi ⃗эi ' ( i =1, 2, 3) bo’lgan yangi x1'x2'x3' Dekart koordinatalari sistemasini qaraymiz. Yangi xi ' va eski x j o’qlari orasidagi burchak kosinusini  ij deb belgilaymiz. U holda  ij yangi ⃗эi ' va eski ⃗эj bazis vektorlarning skalyar ko’paytmasiga teng bo’ladi, ya’ni ⃗эi '⋅⃗эj= αij (2.3) Kiritilgan  ij kattalik ⃗эi ' birlik vektorining ⃗эj birlik vektori yo’nalishiga tushirilgan proyeksiyasiga teng, va aksincha,  ji kattalik ⃗эj birlik vektorining ⃗эi ' birlik vektori yo’nalishiga tushirilgan proyeksiyasiga teng, hamda αij= αji bo’lganligi uchun ⃗эi ' birlik vektorining ⃗эj bazisdagi yoyilmasi ⃗эi '= αi1⃗э1+αi2⃗э2+αi3⃗э3= αij⃗эj (2.4) kabi va ⃗эj birlik vektorining yangi ⃗эi ' bazisdagi yoyilmasi ⃗эj= αj1⃗э1 '+α j2⃗э2 '+α j3⃗э3 '= αij⃗эi ' (2.5) kabi bo’ladi. Ushbu ifodada j indeks erkin, i indeks esa gungdir, (2.4) ifodada teskarisi, yani i -erkin, j-gung indeksdir. Eski bazisdan yangi bazisga o’tish formulasi (2.4) dagi  ij koeffisiyentlar o’tish matrisasini tashkil qiladilar. O’tish matrisasi ortogonal matrisadir, chunki 1)[αij]T⋅[αij]= E; 2)[αij]⋅[αij]T= E; 3)[αij]T= [αij]−1, bu yerda [αij]T -transponirlangan, [  ij ] -1 –teskari va E-matrisaning elementlari  ik  jk =  ij va  ki  kj =  ij shartlarni qanoatlantiradi, hamda uning determinanti  1 ga teng, ya’ni |αij|=±1, bu yerdagi musbat ishora agar ⃗эi ' va ⃗эj bazislar bir xil o’ng yoki chap bazislar bo’lsalar qo’yiladi, aks holda manfiy ishora olinadi. Endi ixtiyoriy ⃗а vektorining komponentalarini almashtirish formulalarini topamiz. Buning uchun ⃗эi ' va ⃗эj ' bazislardagi yoyilmalaridan foydalanamiz: ⃗a = aj⃗эj va ⃗a = ai '⋅⃗эi ' demak aj⃗эj = ai '⋅⃗эi ' Oxirgi tenglikda ⃗эj o’rniga uning (2.5) ifodasini qo’yamiz αj⋅⃗эj= αj⋅αij⃗эi '=i 'α⃗эi ' bundan ai '= αij⋅aj (chunki αij= αji) (2.6) ifodaga ega bo’lamiz. Aksincha, agar ⃗эi ' ning o’rniga uning (2.4) ifodasini qo’ysak aj=αijai ' (2.7) ifodaga ega bo’lamiz. Olingan (2.6) formula eski koordinat sistemasidan yangisiga o’tishda vektor komponentalarini almashtirish qonunidir. Aksincha (2.7) formula yangi o’qlardan eskilariga o’tishda vektor komponentalarini almashtirish qonunidir. Koordinat o’qlarini burishdan bog’liq bo’lmagan ob’ekt sifatida vektorning ta’rifini uning komponentalarini almashtirish qonunidan kelib chiqqan holda berish mumkin: Dekart koordinatalari sisitemasida koordinat o’qlarini burganda (2.6) qonun bo’yicha almashtiriluvchi aj sonlar uchligi bilan tavsiflanuvchi invariant ob’ekt vektor yoki birinchi rang tenzor deyiladi, sonlar uchligi esa uning komponentalari deyiladi.. 2. Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish. Yuqorida biz Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalarni almashtirish bilan tanishdik. Endi ixtiyoriy ikkita  1 ,  2 ,  3 va  1 ,  2 ,  3 koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik bu ikki sistema o’rasida uzluksiz, o’zaro bir qiymatli moslik ζi= ζi (  1 ,  2 ,  3 ), ( i =1, 2, 3) (2.8) mavjud bo’lsin. Bu funksiya (moslik)ni  1 ,  2 ,  3 lar boyicha defferensiallaymiz dζ i= ∂ζi ∂η1dη 1+ ∂ζi ∂η2dη 2+ ∂ζi ∂η3dη 3. (2.9) yuqorida indekslarga doir keltirilgan mulohazalarga asosan (2.9) ni dζ i= ∂ζi ∂ ηjdη j, (i,j= 1,2,3 ) (2.10) ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda j-gung indeks. Agar aj i= ∂ζi ∂ηj, (i,j= 1,2,3) (2.11) deb belgilab olsak (2.9) ifodaga ko’ra aj i miqdorlar uchinchi tartibli matrisani tashkil etishlarini ko’ramiz A=‖aj i‖=‖ a11 a31 a31 a12 a22 a32 a1 3 a2 3 a3 3 ‖=‖ ∂ζ1 ∂η1 ∂ζ1 ∂η2 ∂ζ1 ∂η3 ∂ζ2 ∂η1 ∂ζ2 ∂η2 ∂ζ2 ∂η3 ∂ζ3 ∂η1 ∂ζ3 ∂η2 ∂ζ3 ∂η3 ‖ . O’zaro bir qiymatlilik shartidan bu matrisaning determinanti noldan farqli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni Δ=|aj i|≠ 0 (i,j=1,2,3) u holda (2.9) sistemani d  i larga nisbatan yechsak quyidagi munosabatni olamiz dη i= ∂ ηi ∂ ζ jdζ j, (i,j= 1,2,3 ) (2.12) Quyidagicha belgilash kiritamiz b j i= ∂ ηi ∂ζ j (2.13) U holda (2.12) ifodaning koeffisiyentlaridan tuzilgan B= ‖bj i‖ matrisaga ega bo’lamiz. A va B matrisalar to’g’ri va teskari almashtirishlarning o’tish matrisalari deyiladi. Bu matrisalar o’zaro teskari matrisalardir. Haqiqatan, (2.11) va (2.13) ifodalarga asosan А⋅В=‖аj i‖‖bk j‖=‖aj i⋅bj i‖=‖∂ζi ∂ζk‖= ¿{1, agar i= k bo 'lsa ¿¿¿¿ chunki  1 ,  2 ,  3 lar o’zaro bog’lanmagan koordinatalardir. Demak, A⋅B=‖δk i‖=‖ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ‖= E (2.14) bu yerda δk i =¿{1, agar i=kbo 'lsa ;¿¿¿¿ ya’ni yuqorida ko’rilgan Kroneker simvoli. Oxirgi (2.14) tenglik A va B matrisalarning o’zaro teskari matrisalar ekanligini ko’rsatadi. U holda B matrisaning determinanti |bj i|= 1 Δ = 1 |aj i| formula bilan topiladi. Endi egri chiziqli koordinatalar sistemasida bazis vektorlarini kiritish zaruriyati paydo bo’ladi. Buning uchun boshi biror M nuqtada bo’lgan  1 ,  2 ,  3 koordinatalar sistemasini olamiz va uning M (0, 0 ,0) hamda M ' (d  1 , d  2 , d  3 ) nuqtalarini bog’lovchi d⃗r= ⃗M M ob’yektni (2.1.- chizmada strelka bilan ko’rsatilgan) qaraymiz. Shundan keyin M nuqtadan koordinat chiziqlarni o’tkazamiz va ularda faqat d  1 , d  2 , d  3 koordinat orttirmalaridan biri bilangina aniqlanadigan N 1 , N 2 va N 3 nuqtalarni belgilaymiz.  2 2.1 - chizma. Quyidagi geometrik∂¯r ∂ζi= ⃗эi,(i= 1,2,3 ) (2.15) ob’yektlarni bazis vektorlari deb ataymiz. Ko’rinib turibdiki bunday bazis vektorlari koordinat chiziqlarining urinmalari bo’ylab yo’naladilar (2.1-chizma) . Umuman olganda d ⃗r ixtiyoriy yo’nalgandir, lekin har qanday holda ham (2.15) ga ko’ra d ⃗r ni d¯r= dζ 1⃗э1+dζ 2⃗э2+dζ 3⃗э3 (2.16) yoki d¯r= dζ i⃗эi N 3 N 23 N 1M(0, 0, 0) 1 ko’rinishda yozish mumkinkin. (Ushbuni Dekart koordinatalari sisitemasidagi ifodasi (2.2) bilan solishtiring). Bu yerdagi d i lar d⃗r ning komponentalari deyiladi. Bazis vektorilari ⃗эi larning  1 ,  2 ,  3 koordinat sistemasidagi koordinatalari mos ravishda (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) lardan iborat. Shu bazis vektorlarning  1 ,  2 ,  3 koordinat sistemasidan farqli, boshqa koordinatalar sistemasidagi koordinatalari albatta boshqacha bo’ladi. Biror  1 ,  2 ,  3 koordinat sistemasidagi bazis vektorlarini ⃗эi′ lar bilan belgilaymiz. U holda qaralayotgan ob’yekt uchun d ⃗r= dη i⋅⃗эi ' (2.17) formulaga ega bo’lamiz. Ta’rifga ko’ra bu yerda ⃗эi '= ∂ ⃗r ∂ ηi (2.18) Oxirgi formulani quyidagicha o’zgartiramiz: ⃗эi '= ∂⃗r ∂ηi= ∂⃗r ∂ζj⋅∂ζj ∂ηi= ⃗эj⋅ai j yoki ⃗эi '= ai j⋅⃗эj (2.19) Endi d  i komponentalar uchun (2.12) va (2.13) ifodalarga ko’ra dη i= bj idζ j (2.20) Oxirgi (2.19) va (2.20) formulalardan foydalanib d⃗r ning koordinatalar sistemasini almashtirishga nisbatan invariantligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan (2.17) dan d ⃗r= dη i⃗эi '= b j idζ i⋅ai s⃗эs '= ai sb j idζ j⃗эs '= dζ j⃗э j chunki (2.11) va (2.13) larga ko’raаi s ⋅bj i =δj s =¿{1,j=s¿¿¿¿ Koordinatalar sistemalari almashtirilganda xuddi ⃗эi' bazislariga o’xshash (2.19) formula bilan almashtiriluvchi kattaliklar kovariant kattaliklar , (2.20) formulalar bilan almashtiriluvchi kattaliklar kontravariant kattaliklar deyiladi. 3. Vektorning va tenzorning ta’riflari TA’RIF 1. Xuddi d⃗r ga o’xshash bazis vektorlari orqali A=A i ⃗эi kabi tasvirlanuvchi va Ai komponentalari (2.20) formulalar bilan almashtiriluvchi A'j=bijAi hamda koordinatalarni almashtirishga nisbatan invariant ⃗А= Аi⃗эi=A'j⃗эj ' (2.21) ob’yekt vektor deyiladi. Bu yerda Ai kattaliklar koordinat sistemasiga bog’liq bo’ladilar, ⃗эi bazis vektorlari esa Ai kattaliklar yordamida yangi ob’yekt- ⃗A vektorni bunyod qiladilar. Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diad ko’paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo’ladi ( diad – ikki vektor ko’paytmasi, poliad ko’p vektorlar ko’paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad ko’paytmalarini kiritamiz E1= ⃗э1⃗э1,E2= ⃗э1⃗э2,E3= ⃗э1⃗э3,E4= ⃗э2⃗э1,E5= ⃗э2⃗э2,E6= ⃗э2⃗э3, E7= ⃗э3⃗э1,E8= ⃗э3⃗э2,E9= ⃗э3⃗э3. va T= TiEi, (i= 1,9 ) (2.22) ob’yektni qaraymiz. Bu yerdagi T i sonlar T ning E i bazisdasi komponentalari deyiladi. Bazis vektorlarining diad ko’paytmalari chiziqli bog’lanmaganlar. U holda T=0 tenglik faqat T i =0 ( i = 1,9 ) munosabat i ning hamma qiymatlari uchun bir varakayiga bajarilsa o’rinli bo’ladi. Odatda E i lar o’rniga ⃗эi⃗эj belgilashlarni ishlatish va (2.22) ni T=Tij⃗эi⃗эj ko ’ rinishda yozish ancha qulayroq . Diad ⃗эi⃗эj ko ’ paytmalar ham xuddi ⃗эi bazis vektorlarining o ’ zlari kabi koordinatalar sistemasini tanlashga , boshqacha aytganda koordinatalar sistemasiga bog ’ liq bo ’ ladi . Bu esa o’z navbatida koordinatalarni almashtirganda diadlarni almashtirish formulasini chiqarishni taqozo qiladi. Yuqorida keltirilgan (2.19) formula asosida ⃗эi '⃗эj ' diad ko’paytma uchun ⃗эi '⃗эj '= ai paj q ⃗эp ⃗эq (2.23) ifodaga ega bo’lamiz. Demak, T=Tij⃗эi⃗эj ob’yekt invariant bo’lishligi uchun va (2.23) formulaga asosan T ij kattaliklar kontravariant yo’l bilan almashtirilishlari zarurligi kelib chiqadi, ya’ni T'ij= bp ibq jTpq (2.24) TA’RIF 2. T=Tij⃗эi⃗эj - invariant ob’yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi. Yuqorida ta’kidlanganidek vektor birinchi rang tenzordir. Ikkinchi rang tenzorga o’xshash ixtiyoriy rangli tenzor tushunchasini kiritsh mumkin. Masalan T=Tijkl ⃗эi⃗эj⃗эk⃗эl ob’yekt to’rtinchi rang tenzordir. Bu yerdagi Tijkl larni ⃗эi⃗эj⃗эk⃗эl poliad ko’paytmalar boshqaradi; Tijkl komponentalar xuddi (2.24) kabi almashtiriladilar. Mavzuga oid namunaviy masalalar 1-misol. Tarkibida δij - Kroneker simvolidan iborat bo’lgan quyidagi ifodalarni hisoblang: (a) δii , (b) δijδij , (c) δijδikδjk , (d) δij , (e) δijAik. Yechish . Ta’rifga ko’ra δij - Kronecker simvoli quyidagicha aniqlanadi δij=¿{1,agarda i= j¿¿¿¿ Bundan foydalanib berilgan ifodalarni baholaymiz: (a) δii= δ11+δ22+δ33= 1+1+1= 3 , (b) δijδij=δ1jδ1j+δ2jδ2j+δ3jδ3j=3 , (c) δijδikδjk=δ1jδ1kδjk+δ2jδ2kδjk+δ3jδ3kδjk=3 , (d) δijδjk=δi1δ1k+δi2δ2k+δi3δ3k=δik , (e) δijAik=δ1jA1k+δ2jA2k+δ3jA3k= Ajk. 2- misol. Quyidagi 2.2-chizmada keltirilgan o’qlarning yo’nalishi va joylashishiga qarab almashtirish ortoganalligini ko’rsating. 2 x 3 x' 3 x ' 2 x 1x ' 1x Chizma 2.2 Yechish : Chizmadan aniqlash mumkinki, o’tish matrisasi quyidagi korinishga ega αij= [ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1] . Ortogonallik shartlari αijαik=δjk or αjiαki= δjk aynan bajariladi va matritsaviy shaklda quyidagi ko’rinishga ega [ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1][ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1] . Mustaqil ishlash uchun savollar 1. Tutash muhit deganda nima tushuniladi? 2. Tutash muhit mexanikasining tadqiqot ob’ektlariga fanning qaysi sohalari kiradi? 3. TMM predmeti nima? 4. Jismlar harakatini tekshirishda TMM qanday usullardan foydalanadi? 5. TMM usullari asosida qanday konsepsiya yotadi? 6. TMM ning asosiy qipotezalarini sanab bering. 7. Qanbay fazo Evklid fazosi deyiladi? 8. Metrik fazo ta’rifini bering? 9. TMM da masofa va vaqtning o’lchov birliklarini ayting. 10. TMM ning asosiy tushunchalari nimalardan iborat ? 11 .Oliy algebra kursidan uchinchi tartibli matrisalar bilan tanishib chiqing. 12. Berilgan matriisaga ko’ra transponirlangan matrisani hisoblang. 13. Berilgan matrisaga ko’ra teskari matrisani toping. 14. Birlik matrisa deb qanday matrisaga aytiladi. 15. Ortogonal matrisa deb nimaga aytiladi? 16. |αij|=± 1 ekanligini isbotlang, bu yerda  ij - ma’ruza tekstida keltirilgan yo’naltiruvchi kosinuslar. 17.  ik  jk =  ij tenglikni isbotlang. 18. Dekart koordinatalari sistemasi o’qlarini almashtiring. 19. Vektorning koordinat o’qlarini burishdan bog’liq bo’lmagan ob’ekt sifatidagi ta’rifini bering. 20. Qanday kattalik kovariant kattalik deyiladi? 21. Qanday kattalik kontravariant kattalik deyiladi? 22. Vektorning umumiy ta’rifini qanday izohlaysiz? 23. Bazis vektorlarining diad va poliad ko’paytmalari deganda nimani tushunasiz? 24. Tenzorning ta’rifini ayting. 25. Tenzorning rangi deb nimaga aytiladi? Adabiyotlar 1. Xudoynazarov X.X. Deformatsiyalanuvchi muhit kinematikasi. Ma’ruzalar matni- Samarqand, 1995y.- 7-16 betlar. 2. Блох B .И. Te ория упругости.- Харьков,1964г. – стр. 35-47 3. Седов Л.И Механика сплошной среды. To м 1.- Mосква, 1970 г .- стр. 47- 54. Adabiyotlar 1. Xudoynazarov X.X. Deformatsiyalanuvchi muhit kinematikasi. Ma’ruzalar matni. – Samarqand, 1995 yil. – 3 – 6 betlar. 2. Golubeva O.V., Shohaydarova P. Sh., Hamidov A.A. Tutash muhit mexanikasi elementlari. O’quv qo’llanma – Toshkent, 1987 yil. – 4 – 5 betlar. 3. Седов Л . И . М e х a ника сплошной среды . Уч e бник. Том. 1. – Москва, 1970 г. – стр. 9 – 21.

1-MA’RUZA. Tutash muhit mexanikasining predmeti, asosiy gipotezalari va tekshirish usullari. Asosiy belgilashlar . Skalyar, vektor va tenzor kattaliklar. Simvolik belgilashlar Reja: 1. Tutash muhit tushunchasi. 2. TMM ning tadqiqot ob’etlari va predmeti. 3. TMM metodlari. Statik va fеnomenologik metodlar. 4. Asosiy gipotezalar. 5. Asosiy tushunchalar. 6. Dekart koordinatalari sistemasida bazis vektorlari. 7. Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish. 8. Vektorning va tenzorning ta’riflari. Diad va poliad ko’paytmalar. Tayanch iboralar: tutashlik, fazo va vaqt, ikki va uch o’lchovli metrik, Е vklid va noevklid fazolar, absolyut vaqt. Tabiatdagi hamma jismlar o’zlarining gaz, suyuq yoki qattiq holatlaridan qat’iy nazar alohida-alohida mayda bo’lakchalar – zarrachalardan tashkil topgan. Molekulyar fizika kursidan ma’lumki 1 sm 3 hajmdagi u yoki bu gazning molekulalari soni, yulduzlararo muhitdagi molekulalar soni, biror qattiq jism, masalan temirning kichik bir bo’lakchasidagi zarrachalar soni va hokazolarni hisoblab topish qiyin emas. Hisoblashlar odatda bu sonlar biz qaraydigan hajmlar uchun juda katta ekanligini ko’rsatadi, shunung uchun har qanday jismni biz taqribiy ravishda fazoning ma’lum bo’lagini tutash ( uzluksiz ) to’ldirgan deb qaraymiz ( asosiy gipoteza ) . Biz yaxshi biladigan odatdagi jismlar – suv, tuproq, havo, tosh, temir va hokazolarni fazoning biror bo’lagini butunlay ( to'lasincha) to’ldirgan jism sifatida qaraymiz.

Nafaqat oddiy moddiy jismlarni, balki har xil maydonlarni ham, masalan elektromagnit maydoni, gravitasion maydon va boshqalarni ham uzluksiz kontinuum sifatida qarash yoki hisoblash mumkin. Bundan keyin biz yuqorida eslatilgan jismlar va maydonlarni bitta umumiy nom bilan – tutash muhit deb ataymiz. Ushbu muhitlarning mexanik xarakteristikalarini o’rganuvchi, ularning o’zaro ta’siri, ulardagi boshqa jismlar harakatlari va muvozanatlari bilan bog’liq masalalarni o’rganuvchi fanni Tutash muhit mexanikasi deb ataydilar. Tabiatdagi u yoki bu jismni tutash muhit deb qarash, uni ideallashtirishdan iboratdir. Bunday ideallashtirish biz deformatsiyalanuvchi jismlar harakatlarini tekshirishda uzluksiz funksiyalar apparatini, differensial va integral hisobini qo’llaganimiz bois zarurdir. Yuqorida aytilganlardan quyidagicha xulosa qilish mumkin: tutash muhit deganda deformatsiyalanuvchi (tashqi ta’sir natijasida shakli o’zgaruvchi) , qattiq, suyuq, gaz va plazma holatidagi jismlarni hamda ba’zi maydonlarni tushunamiz. Nazariy mexanika kursida qattiq jism ideallashtirilib, ya’ni uni absolyut qattiq jism deb qarab, uning muvozanati va harakati o’rganiladi. Tumash muhit mexanikasi deformatsiyalanuvchi qattiq, suyuq va gazsimon jismlarning muvozanati, harakati va o’zaro ta’siri masalalarini o’rganadi . Bu yerdan ko’rinib turibdiki tutash muhit mexanikasi fan va texnikaning juda ko’p sohalariga tegishli masalalarni hal qilish bilan shuq’ullanishi kerak. Bunday masalalarning ichidan quyidagilarni alohida ajratib ko’rsatish mumkin: - elastiklik nazariyasi masalalari; - qovushoq elastiklik nazariyasi masalalari; - plastiklik nazariyasi masalalari; - astrofizika va kosmogoniya masalalari; - qurilmalarning mustahkamligi va yemirilishi masalalari; - gaz va suyuqliklarning ularda harakat qilayotgan jismga ta’sirini o’rganish; - gaz va suyuqliklarning quvurlardagi harakati;

- suyuqliklarning tuproq qatlami yoki jismlardan o’tish harakati – filtrasiya masalalari; - gidrostatika masalalari; - to’lqin harakati masalalari, bu yerda to’lqin harakati jismning har uch fazaviy holatida ham sodir bo’ladi; - suyuqlik va gazlarning turbulent harakati masalalari; - qattiq jismlar atmosferaning qalin qatlamlariga yorib kirganda ularni yonishdan va erishdan saqlash; - magnit gidrodinamikasi masalalari; - biomexanika masalalari; - metereologiya masalalari; - yer fizikasi va seysmologiya masalalari; - harakatlanuvchi jismlarning elektromagnit maydonlar bilan o’zaro ta’siri masalalari va hokazo. Moddiy jismlar harakatini o’rganishda tutash muhitlar mexanikasi asosan ikki usuldan foydalanadi. Bular statistik hamda fenomenologik – makroskopuk usullardir: 1) Statistik metodlar (usullar) - biror muhitning harakati tekshirilayotganda uning zarrachalari bir biriga nisbatan harakatda deb qaraladi, lekin uning har bir zarrasining traektoriyasi, tezligi, tezlanishi va boshqa xarakteristikalari o’rganilmasdan, shu jism zarrachalari uchun umumiy bo’lgan o’rtacha xarakteristikalar o’rganiladi. Bu esa o’z navbatida fizika fanida qo’llaniladigan statistik usulga olib keladi va o’rganilayotgan hodisalarga ehtimollar nazariyasi nuqtai – nazaridan qaraladi. Statistik metodlar har doim zarralarning xususiyatlari, o’zaro ta’siri va hokazolar bilan bog’liq bo’lgan qo’shimcha gipotezalarga asoslanadi. Shuning uchun ham statistik metodlarni qat’iy va aniq metodlar deb bo’lmaydi. Bundan tashqari statistik metodlar asosida chiqarilgan harakat tenglamalari juda murakkab bo’lganligi sababli bu metodlar o’z effektivligini yo’qotadilar;

2) Fenomenologik – makroskopuk metod - moddiy jismlar harakatini o’rganishdagi ikkinchi yo’l – tajribadan olingan umumiy qonuniyatlar va gipotezalar asosida fenomenologik – makroskopik nazariyani yaratishdir. Amaliy jihatdan muhim ko’pgina masalalarni yechishda makroskopik nazariya juda effektiv apparat hisoblanadi va uning yordamida topilgan ma’lumotlar tajriba natijalari bilan mos tushadi. Shuning uchun ham biz tutash mumitlar mexanikasi kursini o’rganishni moddiy muhitning fenomenologik – makroskopik nazariyasi asosida olib boramiz. Tutash muhit mexanikasida ham, moddiy jismlar harakatini o’rganadigan boshqa fanlarda bo’lgani kabi, fazo va vaqt tushunchalari asosiy tushunchalar bo’lib hisoblanadilar. Chunki, har qanday harakat biror fazoda qandaydir vaqt davomida sodir bo’ladi. Tutash muhit mexanikasi doirasida har qanday harakatni biz metrik (ixtiyoriy ikki nuqtalari orasidagi masofalar aniqlangan) fazolarda tekshiramiz. Bunday metrik fazoga misol sifatida oddiy uch o’lchovli Evklid fazosini keltirish mumkin. Bu fazoning har bir nuqtasi, butun fazo uchun yaroqli bo’lgan, yagona ( x,y,z ) Dekart koordinatalari sistemasi bilan aniqlanadi va ixtiyoriy x 1 , y 1 , z 1 hamda x 2 , y 2 , z 2 koordinatali nuqtalari orasidagi masofa quyidaqir= √(x1− x2)2+(y1− y2)2+(z1− z2)2 formula bilan beriladi. Bundan keyin biz faqat hamma nuqtalari uchun yaroqli bo’lgan yagona Dekart koordinatalari sistemasini kiritish mumkin bo’lgan fazolarni qaraymiz. Bunday fazo Evklid fazosi deyiladi va shu asosda rivojlantiriladigan mexanika Nyuton mexanikasi deyiladi . Tutash muhitlar mexanikasida absolyut vaqtdan foydalaniladi. Vaqtning absolyutligini uning hamma uchun bir xilligida deb tushunish kerak, ya’ni vaqt poezddagi, samolyotdagi, auditoriyadagi va h.k. kuzatuvchilar uchun bir xil o’tadi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, bu narsa faqat Eynshteynning nisbilik nazariyasini hisobga olmaslik mumkin bo’lgan holdagina o’rinlidir.

Har bir fanning o’ziga xos tekshirish usullari bo’ladi. Xuddi shunday, tutash muhit mexanikasining ham o’ziga xos usullari mavjud. Bu usullar matematik analiz, differensial geometriya, funksional analiz va boshqa matematik fanlar qonunlariga tayanadi. Tutash muhit mexanikasining hamma usullari asosida quyidagi konsepsiya yotadi: tutash muhitning harakatini bir qiymatli aniqlovchi va tavsif etuvchi (xarakterlovchi) qator tushunchalar kiritiladi va ular sonlar yoki boshqa matermatik tushunchalar yordamida aniqlanadi. Bunday tushunchalarga misol sifatida tezliklar maydoni, bosimlar maydoni, harakat, muvozanat, zichlik, harorat va boshqalar ko’rsatilishi mumkin. Tutash muhit mexanikasida mexanik masalalarni matematik masalalarga keltiruvchi usullar ishlab chiqiladi. Bu usullar yordamida mexanik masala qandaydir sonlarni yoki sonlar funksiyalarini har xil matematik amallar yordamida topishga keltiriladi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, ko’p hollarda matematik masalaga keltirilgan mexanik masala shunday qiyinlashadiki uni echish amri- mahol bo’ladi. Shuning uchun ham matematik ko’rinishga keltirilgan mexanik masalani echish matematikaning yoki matematiklarning ishi emas, balki mexanikaning, xususan mexaniklarning ishi hisoblanadi. Chunki ana shunday masalalar mexanik gipoteza va mulohazalar asosida soddalashtirilib, keyin echilishi mumkin. Shunday qilib, tutash muhit mexanikasining usullari mexanik masalani matematik masalaga keltirish va uni echish usullaridan iboratdir . Shunday qilib quyidagi asosiy gipotezalarga ega bo’ldik. 1) jism zarrachalari jism joylashgan fazo bo’lagini (qismini) tutash, (bo’shliqlarsiz) to’ldiradi. Bu zarrachalar cheksiz kichik hajmga ega bo’lib mexanik parametrlarga egadir (zichlik, harorat va h.k.); 2) Jism harakat qiladigan fazo Evklid fazosi bo’lib, bu shunday fazoki unda hamma nuqtalar uchun umumiy bo’gan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish va ixtiyoriy nuqtalar orasidagi masofani aniqlash uchun yagona formula beriladi. Maso-faning o’lchov birligi sifatida Parij meridianining milliondan bir bo’lagi – metr (m) qabul qilingan.

O'xshashlar

Vektor va tenzor algebrasi. Indeksli belgilashlar
Tezlik gradiyenti. Deformatsiya tezligi. Uyurma. Chiziqli element, yuza va hajmning moddiy hosilasi
Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuton suyuqliklari
Hajmiy va Sirt kuchlari, Massa zichligi.Koshi kuchlanishi, kesish usuli. Kuchlanish tenzori.
EGRI CHIZIQ, YUZA VA HAJM BO’YICHA INTEGRALLARNING MODDIY HOSILALARI. MASSANING SAQLANISH QONUNI. UZVIYLIK TENGLAMASI