Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

Yuklangan vaqt:

15.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

886.9169921875 KB

Ko'chirib olish

4.1.Chiziqli tenglamalar sistemasi .
Kramer usuli
4.2. Gauss usuli
4.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini
iqtisodda qo’llanishi

4.1.CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI .
KRAMER USULINoma ’lumlar soni n ta bo`lgan m ta chiziqli tenglamalar
sistamasining umumiy ko`rinishi quyidagicha:







   
   
   
m n mn m m
n n
n n
b x a x a x a
b x a x a x a
b x a x a x a
...
... ... ... ... ... ...
...
...
2 2 1 1
2 2 2 22 1 21
1 1 2 12 1 11
(4 .1)

bu yerda a ij – noma ’lumlar oldidagi koeffi ts iy entlar; b i lar esa sistemaning
ozod hadlar i (i = 1,2, …m ; j = 1,2, …n ) deyiladi .
(4 .1) tenglamalar sistemasida x 1, x 2, ... , x n lar o`rniga mos ravishda
0 0
2
0
1 ...,, , nx x x o`zgarmas sonlarni qo`yish natijasida berilgan tenglamala r
sistemasi ayniyatlar sistemasiga aylansa, u holda 0 0
2
0
1 ...,, , nx x x lar (4 .1)
sistemaning y echimi deb ataladi.

Tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng, ya'ni n m  , bo‘lsin. Bu
holda sistema matritsasi A kvadrat matritsa bo‘l adi. Agar 0   bo‘lsa, ya'ni A -х os bo'lmagan
matritsa bo‘lsa, u holda
1
A teskari matritsa mavjud bo‘ladi, u holda B AX  tenglikdan
quyidagilarni hosil qilamiz:
B A X B A EX B A X A A B A AX A
1 1 1 1 1 1
) ( ) (
     
       bu
munosabatdan:
.
.
.
1
2
1
2 1
2 2 1
2 22 12
21 11
2
1

































      














m nn n n
n j j
n
nn
n b
b
b
A A A
A A A
A A A
A A A
A
x
x
x






Oхirgi tenglikdan n
j
A b A b A b x j nj n j j j ,1 , ) (
1
2 2 1 1  


   

  ekanligi kelib chiqadi.

Kramer teoremasi. Agar sistema determinanti 0   bo‘lsa, u holda (1) sistema yagona
yechimga ega bo‘lib, bu yechim quyidagi formulalar orqali topiladi.
n j x
j
j ,1 , 



n j x
j
j ,1 , 


 formulalar Kramer formulalari deb ,tenglamalar sistemasini bu
formulalar orqali yechilishi esa Kramer yoki determinantlar usuli deyiladi.

Agar ∆ bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi.
Agar ∆ va   n i i ..., 2,1 0    bo`lsa, berilgan tenglamalar sistemasi
cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
Agar ∆=0 bo`lib, ∆ i lardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema
yechimga ega bo`lmaydi.

MI SOL1 . Berilgan tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching.





  
  
  
1 3 2 2
1 2 2 5
2 3 3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x

Ye chish.
0 1 15 12 12 30 4 18
3 2 2
2 2 5
3 1 3
           

13 5 6 8 20 2 6
1 2 2
1 2 5
2 1 3
10 30 6 6 15 8 9
3 1 2
2 1 5
3 2 3
9 3 8 6 6 2 12
3 2 1
2 2 1
3 1 2
3
2
1
          
         
           

. 13 10 9
1
9 3
3
2
2
1
1 


  


  




 x x x

4.2. GAUSS USULIChiziqli tеnglаmаlаr sistеmаsi ustidа bаjаrilаdigаn еlеmеntаr аlmаshtirish dеb quyidаgilаrgа
аytilаdi:
- (4 .1) sistеmаdаgi birоn -bir tеnglаmаni nоldаn fаrqli sоngа ko‘pаytirish,
- tеnglаmаlаr o‘rnini аlmаshtirish ,
- birоn -bir tеnglаmаni sоngа ko‘pаytirib , bоshqа bir tеnglаmаgа qo‘shish.
Mаnа shu аlmаshtirishlаr nаtijаsidа hоsil bo‘lgаn yangi tеnglаmаlа r sistеmаsi аvvаlgisigа
еkvivаlеnt, ya'ni yechimlаr to‘plаmi ikkаlа sistеmа uchun bir хil bo‘lаdi.
(4 .1) sistеmа mаtritsаsi vа оzоd hаdlаr ustuni yordаmidа kеngаytirilgаn mаtritsа hоsil
qilаmiz,
1 2 3
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
|
|
|
|
n
n
n
m m m mn m
x x x x
a a a a b
a a a a b
A
a a a a b
 
 
              
 
 
 





Yu qоridаgi tа'kidlаngаn аlmаshtirishlаr nаtijаsidа, bu mаtritsа quyidаgi ko‘rinishlаrdаn birigа kеlishi
mumkin:

а)
1 2 3
11 12 11 1 1
22 2 2
|
0 |
|
0 0 |
i i i in
n
n
nn n
x x x x
c c c c d
c c d
c d
 
 
 
             
 
 
 


 
 
n A r A r n m
n i cii
  
 
) ( ) ( ,
,1 , 0
, bu hоldа yec him yagоnа;
1 2
11 12 1 1
22 2 2
|
0 |
|
)
0 0 |
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
i i in
n
n
nn n
x x x
c c c d
c c d
â
c d
 
 
 
           
 
 
 
 
 
 







n A r A r n m
n i cii
  
 
) ( ) ( ,
,1 , 0
, bu hоldа yechim yagоnа;

Bu yerda ni i i , , , 2 1  lаr n, , 2 ,1  ning qаndаydir o‘rin аlmаshtirishlaridаn ibоrаt bo‘lаdi.
Dеmаk, quyidаgi tеоrеmа o‘rinli.
Kroneker -Kapelli teoremasi. Agar sistema matritsasi rangi kengaytirilgan matritsa rangiga
teng bo‘lsa, ya'ni ) ( ) ( A r A r  bo‘lsa, u holda sistema birgal ikda bo‘ladi, ya'ni yechimga ega bo‘ladi.
Demak, biz quyidagi xulosalarni qilishimiz mumkin ekan.
1. Agar ) ( ) ( A r A r  bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘ladi.
2. Agar ) ( ) ( A r A r  bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘lmaydi.
3. Agar n A r A r   ) ( ) ( bo‘lsa, sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.
4. Agar n A r A r   ) ( ) ( bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.

)
1 1
11 12 1 1
22 2 2 2
|
0 |
|
0 0 |
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
i i in
r in
r n
rr rn r
x x x x
c c c c d
c c c d
c c d
 
 
 
             
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 

n r r A r A r
n i cii
  
 
, ) ( ) (
,1 , 0
bu n dа sistеmа chеksiz ko‘p yechimgа еgа bo‘lаdi.
d)
1 2
11 12 1 1 1
22 2 2 2
1
|
0 |
0 0 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
i i ir in
r n
r n
rr rn r
r
m
x x x x
c c c c d
c c c d
c c d
d
d

 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
n i c ii ,1 , 0   . 1, , r m d d   sоnlаrdаn birоntаsi nоldаn fаrqli, bu hоldа
    1 ,    r A r r A r , ya'ni     A r A r  sistеmа yechimgа еgа еmаs.

3 . Sistemani Gauss usuli bilan yeching .







    
    
   
   
4 2 4
1 2 2 3
17 2 5
20 3 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x

Ye chish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasini yoz ib olamiz:
Birinchi qadamda 0 11  a bo`lishi zarur, lekin 1 11  a hisoblashlar uchun
qulaydir. Shuning uchun birinchi va to`rtinchi satrlarning ornini
almashtiramiz















  
 
 

4
1
17
20
2 4 1 1
2 1 2 3
1 2 1 5
3 1 1 2














 

 
 
 
20
1
17
4
3 1 1 2
2 1 2 3
1 2 1 5
2 4 1 1
+ +

1 - qadam. Birinchi satr elementlarini – 5, 3 va -2 ga ko`paytirib,
ularni mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to`rtinchi satrlarga qo`shamiz,
chunki maqsad a 11 element ostida nollardan iborat “ zina ” hosil bo`lsin.
2 - qadamni o` tkazish uchun, ya’ni matritsada 0 22  a , lekin 1 22  a yoki
1 22   a bo`lgani qulayroq. Shuning uchun ikkinchi va uchinchi satrlar
o`rnini almashtiramiz:













 

 

 
28
13
37
4
7 9 3 0
4 11 1 0
9 18 4 0
2 4 1 1














 


 
 
28
37
13
4
7 9 3 0
9 18 4 0
4 11 1 0
2 4 1 1
3 4

2 - q adam . Ikkinchi satr elementlarini 4 va 3 ga ko`paytirib mos
ravishda uchinchi va to`rtinchi satr elementlariga qo`shamiz, natijada a 22
element tagida ikkinchi ustunda “zina” hosil bo`ladi.
3 - qadam . Hosil bo`lgan matritsada 0 26 33   a , uchinchi satr elementini
13
12
26
24
   ga ko`paytirib, to`rtinchi satrga qo`shamiz. Natijada:
 
13
13




















 
 
5
7
11
4
5 24 0 0
7 26 0 0
4 11 1 0
2 4 1 1



















 
 
13
19
7
11
4
13
19
0 0 0
7 26 0 0
4 11 1 0
2 4 1 1
.

Kengaytir ilgan matritsa zinapoya ko`rinishiga keltirildi. Unga mos
keluvchi sistem aning ko`rinishi quyidagicha:









  
    
    
13
19
13
19
7 7 26
11 4 11
4 2 4
4
4 3
4 3 2
4 3 2 1
x
x x
x x x
x x x x

oxirgi tenglamadan 1 4  x , uchinchidan 0
26
7 7 4
3 
 

x
x , ikkinchidan
7 4 11 11 4 3 2     x x x va birinchidan 5 2 4 4 4 3 2 1       x x x x yechimlarni
olamiz. Javob : ( 5; 7; 0; 1 )

4.3. CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI
IQTISODDA QO’LLANISHI. Oyoq kiyimlar i ishlab chiqaradigan fabrika S 1, S 2, S 3 xomashyodan
foydalanib 3 xil mahsulot ishlab chiqaradi. Har bir juft oyoq kiyimiga
xomashyodan sarflanish me’yori quyidagi jadvalda berilgan:

Xomashyo
turi
Bir juft oyoq kiyimiga
sarflanadigan xomashyo miqdori
Bir kunda
sarflanadigan
xomashyo etik k rasovka tufli
S 1 4 2 3 1700
S 2 1 3 1 1100
S 3 7 1 4 2100

Bir kunda ishlab chiqariladigan har bir turdagi oyoq kiyimning sonini
hisoblang.

Ye chish. x 1, x 2, x 3 - mos ravis hda etik, krasovka, tuflidan bir kunda ishlab
chiqariladin oyoq kiyimlar soni. U holda har bir turdagi xomashyoni ng
sarflanishiga mos quyidagi sistemani tuzamiz:





  
  
  
2100 4 3 7
1100 3
1700 3 2 4
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x

tuzilgan tenglamalar sistemasini Kramer usulidan foydalanib yechamiz:
2500
4 2100 7
1 1100 1
3 1700 4
1500
4 1 2100
1 3 1100
3 2 1700
10
4 1 7
1 3 1
3 2 4
2 1            
200 ; 250 ; 150 2000
2100 1 7
1100 3 1
1700 2 4
3
3
2
2
1
1 3 


 


 


      x x x

2 . Korxona 3 xil xomashyodan foydalanib 3 xil mahsulot ishlab
chiqaradi. Ishlab chiqarishning tavsifi quyidagi jadvalda berilgan:

Xomashyo
turi
Hr bir mahsulotga sarflanadigan
xomashyo (og`irlik birligida)
Xoma shyo
za x irasi
(o`girlik
birligida)
1 2 3
1 6 4 5 2400
2 4 3 1 1450
3 5 2 3 1550

Berilgan xomashyo za x irasidan foydalanib har bir tur mahsulotning
ishlab chiqarish hajmini aniqlang.

Ye chish. Mahsulot ishlab chiqarish hajmlarini x 1, x 2, x 3 lar bila n
belgilaymiz. Za x irani to`la sarflash sharti bil a n har bir tur xomashyo
uchun balans munosabatlarni quyidagi 3 ta noma ’lumli 3 ta tenglamal a r
sistemasi ko`rinishda yozib olamiz.






































  
  
  
1550
1450
2400
3 2 5
1 3 4
5 4 6
1550 3 2 5
1450 3 4
2400 5 4 6
3
2
1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x
x
x
x x x
x x x
x x x

demak

































1550
1450
2400
; ;
3 2 5
1 3 4
5 4 6
3
2
1
B
x
x
x
X A bo`lsa, A·X = B  X = A -1·B

















































 


   
3
2
1
1
100
250
150
1550
1450
2400
21
2
21
8
3
1
3
2
3
1
3
1
21
11
21
2
3
1
x
x
x
B A X

4.1.Chiziqli tenglamalar sistemasi . Kramer usuli 4.2. Gauss usuli 4.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini iqtisodda qo’llanishi

4.1.CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI . KRAMER USULINoma ’lumlar soni n ta bo`lgan m ta chiziqli tenglamalar sistamasining umumiy ko`rinishi quyidagicha:                    m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (4 .1) bu yerda a ij – noma ’lumlar oldidagi koeffi ts iy entlar; b i lar esa sistemaning ozod hadlar i (i = 1,2, …m ; j = 1,2, …n ) deyiladi . (4 .1) tenglamalar sistemasida x 1, x 2, ... , x n lar o`rniga mos ravishda 0 0 2 0 1 ...,, , nx x x o`zgarmas sonlarni qo`yish natijasida berilgan tenglamala r sistemasi ayniyatlar sistemasiga aylansa, u holda 0 0 2 0 1 ...,, , nx x x lar (4 .1) sistemaning y echimi deb ataladi.

Tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng, ya'ni n m  , bo‘lsin. Bu holda sistema matritsasi A kvadrat matritsa bo‘l adi. Agar 0   bo‘lsa, ya'ni A -х os bo'lmagan matritsa bo‘lsa, u holda 1 A teskari matritsa mavjud bo‘ladi, u holda B AX  tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz: B A X B A EX B A X A A B A AX A 1 1 1 1 1 1 ) ( ) (              bu munosabatdan: . . . 1 2 1 2 1 2 2 1 2 22 12 21 11 2 1                                                       m nn n n n j j n nn n b b b A A A A A A A A A A A A A x x x      Oхirgi tenglikdan n j A b A b A b x j nj n j j j ,1 , ) ( 1 2 2 1 1            ekanligi kelib chiqadi.

Kramer teoremasi. Agar sistema determinanti 0   bo‘lsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, bu yechim quyidagi formulalar orqali topiladi. n j x j j ,1 ,     n j x j j ,1 ,     formulalar Kramer formulalari deb ,tenglamalar sistemasini bu formulalar orqali yechilishi esa Kramer yoki determinantlar usuli deyiladi.

Agar ∆ bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi. Agar ∆ va   n i i ..., 2,1 0    bo`lsa, berilgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Agar ∆=0 bo`lib, ∆ i lardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema yechimga ega bo`lmaydi.

O'xshashlar

Tenglamalar yechish

Masalalarni tenglamalar yordamida yechish

Chiziqli differentsial tenglamalar va ularni yechishning Lagranj va Bernulli uSullari.

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Boshlang’ich sinf matematika darslarida tenglamalar yechish yo’llari.