logo

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

Yuklangan vaqt:

15.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

886.9169921875 KB
4.1.Chiziqli tenglamalar sistemasi . 
Kramer usuli
4.2. Gauss usuli
4.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini
iqtisodda qo’llanishi 4.1.CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI . 
KRAMER USULINoma	’lumlar  soni 	n	 	ta  bo`lgan 	m	 	ta  chiziqli  tenglamalar 	
sistamasining umumiy ko`rinishi quyidagicha:	 	






	
				
				
				
m	n	mn	m	m	
n	n	
n	n	
b	x	a	x	a	x	a	
b	x	a	x	a	x	a	
b	x	a	x	a	x	a	
...	
...	...	...	...	...	...	
...
...	
2	2	1	1	
2	2	2	22	1	21	
1	1	2	12	1	11	
 	 	 	 	(4	.1)	 	
 
bu yerda 	a	ij –	 noma	’lumlar oldidagi koeffi	ts	iy	entlar; 	b	i lar esa 	sistemaning 	 	
ozod hadlar	i 	 (i = 1,2,	…m	; 	 j = 1,2,	…n	) deyiladi	. 	
 (4	.1) tenglamalar sistemasida 	x	1, x	2, ...	, x	n  lar o`rniga mos ravishda 	
0	0
2	
0
1	...,,	,	nx	x	x	 	o`zgarmas  sonlarni  qo`yish  natijasida  berilgan  tenglamala	r 	
sistemasi  ayniyatlar  sistemasiga  aylansa,  u  holda 	0	0
2	
0
1	...,,	,	nx	x	x	 	lar  (4	.1) 	
sistemaning 	y	echimi deb ataladi. 	  Tenglamalar sistemasida  tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng, ya'ni 	n	m		, bo‘lsin. Bu 	
holda  sistema  matritsasi 	A	 kvadrat  matritsa  bo‘l	adi.  Agar 	0			 bo‘lsa,  ya'ni 	A	-х	os  bo'lmagan 	
matritsa  bo‘lsa,  u  holda 	
1	
A	teskari  matritsa  mavjud  bo‘ladi,  u  holda 	B	AX		 	tenglikdan 	
quyidagilarni hosil qilamiz:	 	
 	 	B	A	X	B	A	EX	B	A	X	A	A	B	A	AX	A	
1	1	1	1	1	1	
)	(	)	(	
						
							 	bu 	
munosabatdan:           	
.	
.
.	
1	
2
1	
2	1	
2	2	1	
2	22	12	
21	11	
2
1	







	
















	







	
						






	






	
m	nn	n	n	
n	j	j	
n
nn	
n	b
b
b	
A	A	A	
A	A	A	
A	A	A	
A	A	A	
A	
x
x
x	



	
	
 	
Oхirgi tenglikdan 	n	
j	
A	b	A	b	A	b	x	j	nj	n	j	j	j	,1	,	)	(	
1	
2	2	1	1			

	
				
	
		 ekanligi kelib chiqadi.	  Kramer  teoremasi.	 Agar  sistema  determinanti 	0			 bo‘lsa,  u  holda  (1)  sistema  yagona 	
yechimga ega bo‘lib, bu yechim quyidagi formulalar orqali topiladi.	 	
  	 	 	n	j	x	
j	
j	,1	,		

	
	 	 	 	 	 	
 	n	j	x	
j	
j	,1	,		

	
	 	formulalar  Kramer  formulalari  deb  ,tenglamalar    sistemasini  bu 	
formulalar orqali yechilishi  esa Kramer yoki determinantlar usuli deyiladi. 	      	Agar  ∆	 bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi.	 	
    	Agar    ∆	va   			n	i	i	...,	2,1	0				 	bo`lsa,  berilgan  tenglamalar  sistemasi 	
cheksiz ko`p  yechimga ega bo`ladi.	 	
    	Agar  ∆=0  bo`lib,  ∆	i lardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema 	
yechimga ega bo`lmaydi.	                                MI SOL1	.   	Berilgan tenglamalar sistemasini Kramer 	usulida yeching.	 	




	
			
			
			
1	3	2	2	
1	2	2	5	
2	3	3	
3	2	1	
3	2	1	
3	2	1	
x	x	x	
x	x	x	
x	x	x	
 	
 	Ye chish.	 	
0	1	15	12	12	30	4	18	
3	2	2	
2	2	5	
3	1	3	
												  13	5	6	8	20	2	6	
1	2	2	
1	2	5	
2	1	3	
10	30	6	6	15	8	9	
3	1	2	
2	1	5	
3	2	3	
9	3	8	6	6	2	12	
3	2	1	
2	2	1	
3	1	2	
3
2
1	
											
										
												
 	
.	13	10	9	
1
9	3	
3	
2	
2	
1	
1		

	
			

	
			
	
	

	
	x	x	x	  4.2. GAUSS USULIChiziqli  tеnglаmаlаr sistеmаsi ustidа bаjаrilаdigаn еlеmеntаr аlmаshtirish dеb quyidаgilаrgа 	
аytilаdi: 	 	
- (4	.1) sistеmаdаgi birоn	-bir tеnglаmаni nоldаn fаrqli sоngа ko‘pаytirish,	 	
- tеnglаmаlаr o‘rnini аlmаshtirish 	, 	
 - birоn	-bir tеnglаmаni sоngа ko‘pаytirib	 ,  	bоshqа bir tеnglаmаgа qo‘shish. 	 	
Mаnа shu аlmаshtirishlаr nаtijаsidа hоsil bo‘lgаn yangi tеnglаmаlа	r sistеmаsi аvvаlgisigа 	
еkvivаlеnt, ya'ni yechimlаr to‘plаmi ikkаlа sistеmа uchun bir хil bo‘lаdi.	 	
 	(4	.1)  sistеmа  mаtritsаsi  vа  оzоd  hаdlаr  ustuni  yordаmidа  kеngаytirilgаn  mаtritsа  hоsil 	
qilаmiz,	 	
1 2 3
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3	
|
|
|
|	
n
n
n	
m m m mn m
x x x x
a a a a b
a a a a b	
A	
a a a a b
 
 
 		           
 
 
 	



	
 	
Yu qоridаgi tа'kidlаngаn аlmаshtirishlаr nаtijаsidа, bu mаtritsа	 quyidаgi ko‘rinishlаrdаn birigа  kеlishi 	
mumkin:	  а) 	
1 2 3
11 12 11 1 1	
22 2 2	
|	
0 |	
|	
0 0 |	
i i i in	
n
n
nn n	
x x x x
c c c c d	
c c d	
c d	
 
 
 
             
 
 
 	
	
	
 
 	
        	n	A	r	A	r	n	m	
n	i	cii	
			
		
)	(	)	(	,	
,1	,	0	
 ,   bu  hоldа yec	him yagоnа; 	 	
1 2
11 12 1 1	
22 2 2	
|	
0 |	
|	
)	
0 0 |
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0	
i i in	
n
n
nn n	
x x x
c c c d	
c c d	
â	
c d	
 
 
 
           
 
 
 
 
 
 	





	
   	
n	A	r	A	r	n	m	
n	i	cii	
			
		
)	(	)	(	,	
,1	,	0	
 ,   bu  hоldа yechim yagоnа;	  Bu  yerda 	ni	i	i	,	,	,	2	1		lаr 	n,	,	2	,1		 ning  qаndаydir  o‘rin  аlmаshtirishlaridаn  ibоrаt  bo‘lаdi. 	
Dеmаk, quyidаgi tеоrеmа o‘rinli.	 	
Kroneker	-Kapelli	 teoremasi.	 Agar  sistema  matritsasi  rangi  kengaytirilgan  matritsa  rangiga 	
teng bo‘lsa, ya'ni 	)	(	)	(	A	r	A	r		bo‘lsa, u holda sistema birgal	ikda bo‘ladi, ya'ni yechimga ega bo‘ladi.	 	
 	Demak, biz quyidagi xulosalarni qilishimiz mumkin ekan.	 	
1. Agar 	)	(	)	(	A	r	A	r		 bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘ladi.	 	
2. Agar 	)	(	)	(	A	r	A	r		 bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘lmaydi.	 	
3. Agar 	n	A	r	A	r			)	(	)	(	  	bo‘lsa, sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.	 	
4. Agar 	n	A	r	A	r			)	(	)	(	  	bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.	  ) 	
1 1	
11 12 1 1	
22 2 2 2	
|	
0 |	
|	
0 0 |
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0	
i i in	
r in
r n
rr rn r	
x x x x
c c c c d	
c c c d	
c c d	
 
 
 
             
 
 
 
 
 
  	
 
 
 
 
 
 	
  	
n	r	r	A	r	A	r	
n	i	cii	
			
		
,	)	(	)	(	
,1	,	0	
    	bu	n	dа sistеmа chеksiz ko‘p yechimgа еgа bo‘lаdi. 	 	
d)	
1 2	
11 12 1 1 1	
22 2 2 2	
1	
|	
0 |
0 0 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |	
i i ir in	
r n
r n
rr rn r	
r
m	
x x x x	
c c c c d	
c c c d	
c c d	
d
d	
	
 
 
 
 
 
 
 
   	
 	
 
 
 
 
 	
    	n	i	c	ii	,1	,	0			. 	1, ,	r m	d d			  	sоnlаrdаn birоntаsi nоldаn fаrqli, bu hоldа 	 	
				1	,				r	A	r	r	A	r	, ya'ni  					A	r	A	r		 sistеmа yechimgа еgа еmаs.	  3	. Sistemani Gauss usuli bilan yeching	. 	






	
					
					
				
				
4	2	4	
1	2	2	3	
17	2	5	
20	3	2	
4	3	2	1	
4	3	2	1	
4	3	2	1	
4	3	2	1	
x	x	x	x	
x	x	x	x	
x	x	x	x	
x	x	x	x	
 	
Ye chish.	  	Sistemaning kengaytirilgan matritsasini yoz	ib olamiz:	 	
Birinchi  qadamda 	0	11		a	 	bo`lishi  zarur,  lekin 	1	11		a	 	hisoblashlar  uchun 	
qulaydir.  Shuning  uchun  birinchi    va  to`rtinchi  satrlarning  ornini 
almashtiramiz	 	
                   	






	






	
			
		
		
	
4
1	
17
20	
2	4	1	1	
2	1	2	3	
1	2	1	5	
3	1	1	2	
	






	






		

		
		
		
20	
1	
17	
4	
3	1	1	2	
2	1	2	3	
1	2	1	5	
2	4	1	1	
  	+	 	        	+         	  1	-	qadam.	 	Birinchi  satr  elementlarini 	–	5,  3  va   	-2    ga  ko`paytirib, 	
ularni mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to`rtinchi satrlarga qo`shamiz, 
chunki maqsad 	a	11	 element ostida nollardan iborat “ zina ” hosil bo`lsin.	 	
2	-	qadamni o`	tkazish uchun, ya’ni matritsada 	0	22		a	, lekin 	1	22		a	 yoki 	
1	22			a	bo`lgani  qulayroq.  Shuning  uchun  ikkinchi  va  uchinchi  satrlar 	
o`rnini almashtiramiz:	 	






	






		
	
		
	
		
28
13
37	
4	
7	9	3	0	
4	11	1	0	
9	18	4	0	
2	4	1	1	
	






	






		

	
		
		
28
37
13	
4	
7	9	3	0	
9	18	4	0	
4	11	1	0	
2	4	1	1	
 	3	 	4	   	 	
2	-	q	adam	. 	Ikkinchi  satr  elementlarini  4  va  3  ga  ko`paytirib  mos 	
ravishda uchinchi va to`rtinchi satr elementlariga qo`shamiz, natijada 	a	22	 	
element tagida ikkinchi ustunda “zina” hosil bo`ladi.	 	
3	-	qadam	. Hosil bo`lgan matritsada 	0	26	33			a	, uchinchi 	satr elementini 	
13
12	
26
24	
			ga ko`paytirib, to`rtinchi	 satrga qo`shamiz. Natijada:	 	
		
13
13	






	






	



	


		
		
5
7
11
4	
5	24	0	0	
7	26	0	0	
4	11	1	0	
2	4	1	1	
	






	






	


	

		
		
13
19	
7
11
4	
13
19	
0	0	0	
7	26	0	0	
4	11	1	0	
2	4	1	1	
.           	Kengaytir	ilgan matritsa zinapoya ko`rinishiga keltirildi.  Unga mos 	
keluvchi sistem	aning ko`rinishi quyidagicha:	 	







	
	
			
					
					
13
19	
13
19	
7	7	26	
11	4	11	
4	2	4	
4
4	3	
4	3	2	
4	3	2	1	
x
x	x	
x	x	x	
x	x	x	x	
 	
oxirgi  tenglamadan 	1	4		x	,  uchinchidan 	0	
26	
7	7	4	
3		
		
	
x	
x	,  ikkinchidan 	
7	4	11	11	4	3	2					x	x	x	 	va  birinchidan 	5	2	4	4	4	3	2	1							x	x	x	x	 	yechimlarni 	
olamiz.    Javob	: ( 5; 7; 0; 1 )	  4.3. CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI
IQTISODDA QO’LLANISHI. 	Oyoq kiyimlar	i ishlab chiqaradigan  fabrika S	1, S	2, S	3 xomashyodan  	
foydalanib  3  xil	 	mahsulot  ishlab  chiqaradi.  Har  bir  juft  oyoq  kiyimiga 	
xomashyodan sarflanish 	me’yori quyidagi jadvalda berilgan:	 	
 	
Xomashyo 	
turi	 	
Bir juft oyoq 	kiyimiga 	
sarflanadigan xomashyo miqdori	 	
Bir kunda 	
sarflanadigan 	
xomashyo	 	etik	 	k	rasovka	 	tufli	 	
S	1 	4	 	2	 	3	 	1700	 	
S	2 	1	 	3	 	1	 	1100	 	
S	3 	7	 	1	 	4	 	2100	 	
 
Bir  kunda  ishlab  chiqariladigan  har  bir 	turdagi  oyoq  kiyimning  sonini 	
hisoblang.	  Ye chish. 	x	1, x	2, x	3 - mos ravis	hda etik, krasovka, tuflidan bir kunda ishlab 	
chiqariladin  oyoq  kiyimlar  soni.  U  holda  har  bir  turdagi  xomashyoni	ng	 	
sarflanishiga mos quyidagi sistemani tuzamiz:	 	




	
			
			
			
2100	4	3	7	
1100	3	
1700	3	2	4	
3	2	1	
3	2	1	
3	2	1	
x	x	x	
x	x	x	
x	x	x	
 	
tuzilgan tenglamalar sistemasini Kramer usulidan foydalanib yechamiz:	 	
2500	
4	2100	7	
1	1100	1	
3	1700	4	
1500	
4	1	2100	
1	3	1100	
3	2	1700	
10	
4	1	7	
1	3	1	
3	2	4	
2	1													 	
200	;	250	;	150	2000	
2100	1	7	
1100	3	1	
1700	2	4	
3	
3	
2	
2	
1	
1	3		

	
		

	
		

	
						x	x	x	  2	. 	Korxona  3  xil  xomashyodan  foydalanib  3  xil  mahsulot  ishlab 	
chiqaradi. Ishlab chiqarishning tavsifi quyidagi jadvalda 	berilgan:	 	
 	
Xomashyo 	
turi	 	
Hr bir mahsulotga sarflanadigan 	
xomashyo (og`irlik birligida)	 	
Xoma	shyo 	
za	x	irasi 	
(o`girlik 
birligida)	 	
1	 	2	 	3	 	
1	 	6	 	4	 	5	 	2400	 	
2	 	4	 	3	 	1	 	1450	 	
3	 	5	 	2	 	3	 	1550	 	
 
 	Berilgan xomashyo za	x	irasidan foydalanib har bir tur 	mahsulotning 	
ishlab chiqarish hajmini aniqlang.	  Ye chish.	 	Mahsulot  ishlab  chiqarish  hajmlarini  x	1,  x	2,  x	3 	lar  bila	n 	
belgilaymiz.  Za	x	irani  to`la  sarflash  sharti  bil	a	n  har  bir  tur  xomashyo 	
uchun balans munosabatlarni quyidagi 3 ta noma	’lumli 3 ta 	tenglamal	a	r 	
sistemasi ko`rinishda yozib olamiz.	 	




	




	
	




	





	




	




	
	




	
			
			
			
1550
1450
2400	
3	2	5	
1	3	4	
5	4	6	
1550	3	2	5	
1450	3	4	
2400	5	4	6	
3
2
1	
3	2	1	
3	2	1	
3	2	1	
x
x
x	
x	x	x	
x	x	x	
x	x	x	
 	
demak  	




	




	
	




	




	
	




	




	
	
1550
1450
2400	
;	;	
3	2	5	
1	3	4	
5	4	6	
3
2
1	
B	
x
x
x	
X	A	 bo`lsa, 	  	A·X	 = 	B	 		X	 = 	A	-1·B	 	




	




	
	




	




	
	




	





	







	







	
		
	
	
				
3
2
1	
1	
100
250
150	
1550
1450
2400	
21
2	
21
8	
3
1	
3
2	
3
1	
3
1	
21
11	
21
2	
3
1	
x
x
x	
B	A	X

4.1.Chiziqli tenglamalar sistemasi . Kramer usuli 4.2. Gauss usuli 4.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini iqtisodda qo’llanishi

4.1.CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI . KRAMER USULINoma ’lumlar soni n ta bo`lgan m ta chiziqli tenglamalar sistamasining umumiy ko`rinishi quyidagicha:                    m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (4 .1) bu yerda a ij – noma ’lumlar oldidagi koeffi ts iy entlar; b i lar esa sistemaning ozod hadlar i (i = 1,2, …m ; j = 1,2, …n ) deyiladi . (4 .1) tenglamalar sistemasida x 1, x 2, ... , x n lar o`rniga mos ravishda 0 0 2 0 1 ...,, , nx x x o`zgarmas sonlarni qo`yish natijasida berilgan tenglamala r sistemasi ayniyatlar sistemasiga aylansa, u holda 0 0 2 0 1 ...,, , nx x x lar (4 .1) sistemaning y echimi deb ataladi.

Tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng, ya'ni n m  , bo‘lsin. Bu holda sistema matritsasi A kvadrat matritsa bo‘l adi. Agar 0   bo‘lsa, ya'ni A -х os bo'lmagan matritsa bo‘lsa, u holda 1 A teskari matritsa mavjud bo‘ladi, u holda B AX  tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz: B A X B A EX B A X A A B A AX A 1 1 1 1 1 1 ) ( ) (              bu munosabatdan: . . . 1 2 1 2 1 2 2 1 2 22 12 21 11 2 1                                                       m nn n n n j j n nn n b b b A A A A A A A A A A A A A x x x      Oхirgi tenglikdan n j A b A b A b x j nj n j j j ,1 , ) ( 1 2 2 1 1            ekanligi kelib chiqadi.

Kramer teoremasi. Agar sistema determinanti 0   bo‘lsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, bu yechim quyidagi formulalar orqali topiladi. n j x j j ,1 ,     n j x j j ,1 ,     formulalar Kramer formulalari deb ,tenglamalar sistemasini bu formulalar orqali yechilishi esa Kramer yoki determinantlar usuli deyiladi.

Agar ∆ bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi. Agar ∆ va   n i i ..., 2,1 0    bo`lsa, berilgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Agar ∆=0 bo`lib, ∆ i lardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema yechimga ega bo`lmaydi.